Criterios de Convergencia Para Funciones

Cálculo Integral 

4.2 Criterios Criterios de convergencia para funciones Discontinuas Discontinuas

Sea   f   x   una función continua en e intervalo  a, b   excepto en el punto c. Si (1)   f   x   0  y

(2)

lim   f   x  x  c   x c

e!cribimo!   f   x  

 A

 x  c  m

m

 cuando

 A  0 a   

en cuyo ca!o

cuando  x   c b

 "ntonce! la integral impropia impropia



  f     x  dx

a

 (#) e! convergente cuando m  1 ($) e! divergente cuando m  1 1

 "%emplo& 'eterminar la convergencia convergencia de la integral



dx 3

1

 x4

0

$.# Criterio de Convergencia Convergencia cuando un mite de Integración e! Infinito& Sea   f   x   una función continua en a  x    Si

(1)   f    x   0

*

(2)

lim

 x  

  f   x   x m  A  donde  A  0,   en cuyo ca!o e!cribimo!

  f    x  

 A

  cuando

 x m

 x    

 "ntonce! la integral e! impropia impropia



  f     x  dx

 

a

 (#) e! convergente cuando m  1 ($) e! divergente cuando m  1 

 "%emplo& 'eterminar !i la integral

 1

dx 5

 x 5  2

 e! convergente

1. Defi Defini nici ción ón::

 'ecimo! +ue la integral



b

a

  f     x  dx

 e! impropia !i

(1) la función integrando tiene punto! de di!continuidad en el intervalo intervalo  a, b   o (2) por lo meno! uno de lo! lmite! de integración integración a o b e! infinito infinito  A continuación vamo! a dar una definición preci!a de la integral impropia en tale! ca!o!. ca!o!. Si



b

a

  f     x  dx

 re!ulta !er un n,mero real e!to e! un valor finito

determ determina inado do entonce entonce!! decimo! decimo! +ue la integr integral al e! conver convergent gente. e. "n ca!o ca!o contrario decimo! +ue e! divergente. 2. Integral Integral impropia impropia cuando cuando la función función e! 'i!cont 'i!continua inua

 -ilda ery -errera -errera /alomino

Ingeniera de Si!tema! Si!tema!

/ág. 1

Cálculo Integral 

1) Si   f   x   e! continua en el intervalo  a , b    entonce! con!iderando valore! de    0  definimo!



b

b

  f    x  dx





lim e 0

a

  f    x  dx

a b

2) Si   f   x   e! continua en el intervalo  a , b    entonce! con!iderando valore! de    0  definimo!. b  

b



  f    x  dx





lim   0

a

  f    x  dx

a

#. Si   f   x  e! continua en el intervalo  a , b   excepto en el punto  x  c  donde  a  c  b  entonce! con!iderando valore! de   y     0  definimo! b



  f    x  dx



a



lim   0

c  

  f    x  dx 

lim   0

a



b

  f    x  dx

c   

 Ejemplo 1



Calcular la integral impropia

3

dx

  x  y   o e!tablecer !u divergencia.

0

 Solución:

 a función   f   x  

1

e! continua en todo punto excepto en  x  1 .

 x  1 2

 "ntonce! aplicamo! (#) de la definición 2.



3

0

dx

 x  1

 lim

2

 



0



1  

dx

 x  1

0

2

 lim  



3

dx

 x  1 2

  0 1   

  1   1    1   3 lim     0  1     0    x  1     0    x  1  lim

 1    1 1   lim   1  lim     0    0       

 

 Ejemplo 2 1

Calcular la integral impropia



dx x

0

 o e!tablecer !u divergencia.

 Solución 1

 a función   f   x  

 x

e! continua en el intervalo  0, 1   y tiene un punto de

di!continuidad en  x  0 . Aplicamo! (1) de la definición 20  1



0

dx  x

1

 lim  

0



 

 lim 2  

0

dx  x  x

, 1  

 

0

 lim 2 1   

0

c



2

(/ue!

lim  

0

 

 0 )

 uego la integral dada e! convergente y !u valor e! 2. $. Integral impropia cuando lo! lmite! de integración !on infinito!  'efinición 1. Si   f   x  e! continua en a  x    !e define  -ilda ery -errera /alomino

Ingeniera de Si!tema!

/ág. 2

Cálculo Integral 





  f     x  dx 

a

lim b  



b

  f    x  dx

a

2. Si   f   x  e! continua en     x   b,  definimo!



b

  f    x  dx 



lim

a  



b

  f    x  dx

a

#. Si   f   x   e!  x     continua en definimo!





 f  x  dx 



 -ilda ery -errera /alomino

lim



b

a  a b 

 f  x  dx

Ingeniera de Si!tema!

/ág. #