Criterios de Divisibilidad - Vorobiov

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Cr ite r ios de Divisibilida d - Vorobiov - slide pdf.c om

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l a c c t o n e s p o p u la r e s

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d e m a t e m a t lc a s

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CRITERIOS

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D E D IV S I B I L ID A D

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http://slide pdf.c om/re a de r/full/c r ite r ios-de -divisibilida d-vorobiov

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U.11.

l1I)r,f3HARJf

BOPOBlJEB

,l(EJ1HMOCTH

H3.n:A 1'},1JlI>CTBQ

«RAYRAj}

~[OCHBJI


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LECCIONES

POPULARES. DE MATE!o.L~.rL'lCAS

N. N. VonOBIOV

D :E DIV IS1B IL ID A D

C R 1T E lIU O S

SEGTINDA EDIGION

AMpLTADA Y MOOII'[l,;ADA

EDI';[:OlllAL .MIH MOS~U


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Traer uetdo del rusopor J. JUlio

al

Pl'imera ediel6n Segunda ,ed.ieifjn

Ingell loro

1915 198& ,

Impreso en Ia.. !) RSS

©

R3Aft'renl>CTDO

(C)

Tradllcci6n

tHayPIaa.

i980

espafiol. Edltorial

Mir.

1984

al http://slide pdf.c om/re a de r/full/c r ite r ios-de -divisibilida d-vorobiov

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INDlCE

Prefaeio § 1. Divisibilidad § 2. Divisibilid'ad § ;;.

de los nfimeros

10

de sumas y productos

26

Crltertos de residues equivalentes y divlsibilidad § 4. Criterios geneealss dcresiduos eguivalentes y .de divisihifidnd § 5. Divlslbtltdad (Je potencies Demostraciones de Ios teoremas Hesoluc.ionos


de

los problemas

32· 49 53.

61 72

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PREFACIO QUE EL AUTOR ACONSEIA LEER CON SUMA ATENCION

La ac Lu III ensefia n za escolar a e las matem Hi cas sa orienta fundamentalmentea desarrollar en E ll alumno el pensamiento Iuncional, y capacitarlo para operar con objetos matematicos continuos. Los cambios quo se planean en los programas

oscolares

do esta materia

estan

encausados

en 10. rnisma

sa tnvesttgnn AI mismo tiempo, ultimamonte, nuevos campos de aplicacion do las matematicas: Ia composicion de prograrnns para computadoras, algunos aspectos

direcci6n.

do In cibernetica y el ostudto de operaciones, economia mntematica, lingiiistioa matomatica, etc. El dominic de estas rarnas do In oiencia, junto can el perfeccionamtento del aparato elasico, exige 01 desarrollo de Ill. tecnica cornhinatorra, el analisis de 1 0 d iscreto y Ia creaclon de nuevas abstracciouos matemdticas

fructiferas.

de dlvu 19aci6n

Los aspectos enumerados de las itustrarso en la literatura

deberan ci en tifica.

tambien

Desde la Iinde a Ill. esposura de un bosque conducen rnu chos sendsros. Sonsinuosos, se juntan, se separan de nuevo y se cruzan. Pasoando podemos notar su gran cantidad , recorrer algunos de e110s y ver como se internan en las frond as. Si se quiere estudiar seriamente un bosque es necesarin seguir sus senderos mientras se puedan distinguir ontre Ia pinocha seca y las pequefias matas de araadauo, Para podsr aprovechar los dones del bosque bay que abandonar pOI' complete ]05 caminos trillados y abrirse paso a travefl

dol enteolazamtento

do ramas esptnosas. El presente Iol leto puede conslderarse como descri pcion de uno de 108 posibles paseos por In linde de las maternattcos datosobliga rofo-I' ha8ico~, contempnninens. La exposicion de los nos de divisihilidad, a inc-lui rentes a los critcrios en este foIleto

lgunas cuestioncs

fj

hastan te abstractns

4]

o lns

rnaterruiticns discretns. A e~<;I.aR pertonoceu, nuto todo, Ins afil'marloncs (1(\ In I.em'in elemental do los mimoros, ngrupndas en torno H I tcoroma Iundamontal de In ari.tIlIl)l:ir.1l ':? :11 analisis de 1" dcsc.omposici611 canonica do un mimoro n,lLIHc'lL en Iactores

simples.

mimeros se examina

Luego,

la propia

divistbilldad

como una relacion definida


de lO A

en e1 coniun8/100

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to de 1 0

mimeros enteros, es decir, como ln realtzacion dcU110 Hoc,ibn bastunte general y ahstr8Gtl1. "Pot ultimo, 105 eriterios de divisibihdad sa tratan aqul cumo algoritmoa quo Li'ansfnntin II cadu ~,rfril Oil respuesta n la. jnLel"t.ogaeJon ~so divide 0 no PIlI' ~I: Jrumer9 dado? El autor considerd litH destacar enLre los \;rH~rios 4 e divi:::;iWJf,lail 0. residnoa equl'Vnlcnlel1i) de cquirresldl1aJiilad

irian los mirneros dado.

los «critenios .quo transfurpoi' un nltmcTO

en re~iduof\. a l tlividirlus

.

Con objeto de acontuan Ias variadas relaciones mutuas entre hachos matematisos sueltos y las postbitldades de diIerontos So.

enfoques

estahlecen El

de 'Ill misrno tema, algunas de dos maneras diferentes.'

alirruacioues

libro

i!sta destinado a los escolares de los gra.do:i superiores afioion ados .a las maternatlcas y (a oxoepcion de algunas menclones de 13 io-rmula del hinomlo) no exige ninexcepto capacidad ],)ilr1ieJc(',1.1Jsr iden1..icos. POtu 13 estructuea 16.gica del matorial .~. bastante compleja, pol' Jo que 18 asimilacion del TrU.smo en todos susdetaljos exige muchn atencion y paciencia. Recomendamos al lector el siguiente plan do estud io

to previo, transfnrrnaciones

gun conocimien

sencilfas

del Iihro, E n 18 primcra

lect.UTIl puedo

solarnen to n1

Ji mitarse

problemas (1 1 tsxtolos b'asic'o de N'sJ\:'2§§ 3'1,1-4 34, sin36,resolver 45, 47, los 119 "y flO), ESlo oxcepcion da.'a U.II conoeimiento descrlp tivo genornl de 1 0 J~I·'t[c.riil. Como 1 1 1

m ayorl a do In gen toe sin cxperiencta cunveacida un ivoca

de In exactitud

de 'un

numero

del' Tns teoremas 9-13

del toorerna

nntural

l~eI'undo1() PQr 10 visto , como

en

mi.11.emtd.icaS

CSt.{,

de de:.s:r.oUlposi'Cion

en Jaetorcs

primes

11n :UiOIIH~), ('Hil

(consi-

puede entun-

como sus consecucncias.

la segilpd", tl'alar en deque. es neoesnrfn demostrar pvr En sl rnismo Ins teorem as ell ol Ql'den t'e fH'(\C tdflo.~lsctnra sentan. Para que ol Iector no ceda al\m~F\i(ldo Irer.uontcmcnte Ins UCHllJstrnciOl1('s 1'H lW fb :.:-; de < I Ia tCl1LI:l(".iOn (l~lItiliz
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8,

En lasagunda Iecturaconviene estudiar e1 § 5 y resolver tambten los problemas dei texto hasieo. P or AI'Uma, en la tOrcera. Iectura S8 estudhl; 10 q -ue ,estti. on gaHul'n.o. y los problemas que contiene, Et'que desco profnndizl'i.l' susconoedmientosen et campo de )H t'eor:fa. de I,os nfimeros' deheri.'i recurrir al curse ciasico 1. 'M. Viilogradov «Fl1ndamentosde dalacademtco la l.eor!a de los nUl):lerOEl:l> (Ellitorfal Mil'.', 19.77).. Se recomianda 8st1l(1111.r la teozia abstracja de las r~laeiones en un conjnnto y las sueosfvas cuestiones ':';'fuculadas ael por el Iibro ~_LecCiQnesd-eaJgebl'a general» de A. G. Ku ..

rosh (Ea.

Natika,

G. Birkhoh Pot

0

Ia «Teorfa d o e , las estrueturas»

de

(IL, 1951).

«Alg.orrtmo$ Y l'eso,lucio-nesde p roD blemas con cemputadorasa.de B. A" 'l\~Bjt~ri-hrot (Fism,atguiz, 196-0) contrene una eXl!/fcllci6nma~ detaUad:a 'Y s-isternatfca do In. n oc,i.6na1.go:ri tm.iga., y en r < I . . monograff a -b .a __ siea T oo ria de

108

fin,

Hl73}

e1 fo lleto

algonitmos»

(Trabajo.s

matsmatreos

Steklov do la Ac.adcmi,a. .de Cienclas 19!)4) ,de A, A. Markoy lral lamos una del tem<;l. L a segun dJ1Gld fei6n se d ifetnnc is .mente pot algunos mejoramiontcs de tlgrad~ce al pro"feqor Grolla (RDA) por este , H 1 3 I J J 1 · t < J ' . _

Tnstituto

de laprim(>xa

sola-

redaeclon. E n auter Ia ayuda prestada en N.


del

de Ip: URSS1 t. 42, Bxpnsici6n rigtlrosa

N. Vdrobi01J

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i)REFAC1Q

A LA PRESBWl'E

EDTCIQN

Enesta

edicion -se ~xplic~ con mas detallo que eli I n arrterior Ia escncia a)goritmiea de los critorios. a E l oquirresid unIidud y.d ivisibilidud y se Incluye, ademas, uri examen de eIlos en sis:tnnUl1:l n umedcosar1Ji trarios,

Vyri~L1

ailo 10'19


N.N. VOTotll:(),U

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§ 1. l>lVISIBILlDAD

1.

La suma, d iferencta

l'esnHan siemprc ('onjulItQccrrl1.do·

cntoros.

r

DE LOS NOMEROS

producto

Es

10

que

do dos mimeros enterns se

SLlt,I{l

Hamata

vo.('e!'\

de n Ut)lor:()~ en teres, refid6ud.ose a las cperacionss de adicion rosta y m uJ l.ip.lioacion. Pero referldo n In op()rtll~i6n de division, eete conjuuto deja de ser cerrado: hahlando en general. 01 cociento dll h\ II iYisi6I1 de UT) ell Lora por 0 Ll'O puede 110 ser en tel'O, POI eso , a J . estud iar JII.~ -pnt-l.icu laridades de Ia d i. ~8i6n una de IQ.t\prirneras cuesf.iouos que se prede los cntcros serlta tra ta de : : ; 1 . cs flle,Lillie 0 110 esta nperuciou para dog numeros dndns, as decir , de 5 11 dtcisibilidad, AI oxatninar las utras oporaclones IlrjLmCLkafi con mnneros 1,mI,OI'O$, ovtden temen to, ta I prohlema no surge.

En

ad elan 1.0 ('on~iael'(l rernos couocl das las Pl'O p ted ad ss fllnda m en l',a lc i':\ tic la s opernc iouos mi Lmeticfls con Ilumoros ("nieTO.'!, 3:,s'l como I n~ cleruon ta les dt> las igualu ados y designaldades. Al oxpresar «rnimero» vamns a entender siempre,

iii no se dice ]0 contrazio

, quo es entero .

Como es linhitual , lo~ rnimeros enteros 110 nega t. j V08: Uf 1, 2, ' , , $e l lamaran naturales. RQfiri{ind.ollos a tndos ell os em j) Isa ramos C 1 torm ill 0 ooniuni« de todos los niimeros

naturales. 1JE1~)NIlON, It.I IHlrn.eroo, OS

es d ivlsibt e

lo mlsmo , /) dtvide n a) si (>xi~te

a : =bc .

1111

por el b (0 10 qlle

numoro

c tal.

que

dilJisibilld(ui. del mimero a. pOl' l~f\le hecho !'.e citmomiull cl b y so anot.a asi u; b, D e i> I .n c am o s qne 1 1 \ e~"eritllra a : b n.o ~ignifi(',.a nn a operucio« concrctu qlll' :'ill tldll'.nl (lred,lIar "Oil a y b ; aino deter-

(//trmacion

rniuadu nu m ericos

que

quo s~ roficro II cllos, Scglm los valures L0 1D en I~ y b , Ia o.H1'Jlwc.!on a; b puedc SCl:

('IIW IIl

0 110 , E~::> y 4 ! i: l no, AflL POI' ej(~mnfinnaci6n p.lo! II; 2 a10' Parll dilucldar si In : b es ciertao nn , a flor 'el C~ dC('·[I'. f}llN\ ilclilr:nr III aivif'.ibilinJ1~ ilnI numoro h , (~\i, ..Ieu muchos y vari ados proced i mien Los. Uno do el lns

ronsi-rto

(~II II ivid

rf""mll}1

ril'II,J:i.'ti:,do

ii' d i1'('C1al.Ilt-llte IL 1)1)1'h. Pert! a men IItlo ('~"'.l() lilrgn y faLig;usn 'Y , lI:iI'II rnl mun l.(', surge

(;\1deseo de cosnprobat 1 < 1 autenticirfud de (a divlsihllid •.d que no s in Lere$(\ iiin er~(:.~'iO:t ]1\ 1 I iv i~i6n m iSrI18, Tam poco est~


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de m6s la siguiento considerscton: p6r ahora nos interesa unicarnente ei hecho en si de la aivisibiltdatl dol numero a par e1 b; al efectuur Ia division, sabrcmos su coLnmhien dante y cesiduo (SI la division no .resulta ex acta ) rutn que carentes de todo valor para nosotros, yu que (lit cl mnmsnto dado s610 nos in.tarasa saber si el resid tI() It 0 la d i\ ~ sioil

va a setiguaI

a cero. Par

O.JlO

cousiguion to. hay mo ti.vos

para suponer quo efecfuaudo Is di visiou nosotros 11tHn()1S malgastado una parte de rnresbro trabajo (v, por 10 visto, no pequefiaj en o btener «desperdicios de produoeicn». Es do esperar procedtmieutos de aclaraclonde In di'lisibilidail m a s

dlrectos y sconomtcos quo Ia «burdar d ivisicn , capaces do establecer e1 heoho de la divisibi.hdad por una via maii' ccrta, sin dejal' desechos tan ahnndanues. Estas ~.!irerIUlzas efecti vaments se justifica n, yfl quo tales procedimicntos existan. Ellos se Ilarnan critertos dedivisibiUdad. Indud ablemente,

ol lector

conoce algunos

de ellos, La.

finalidad

de este Ilbro es examiner los difet'entes cr iterios de divisihilirlarl Iun damen ta lmcnte on el aspocto basico. La esencia de cualquier criteria de divfsibiliilnd pOl' un ntimero dado b es quo, por medio de 81, la cuestion de 1<1 divisfbf lidad de ella lquter ruirnero a -par b Be Tedllce 1\ In dlvlsihilidud pOl' /J do cierto nurnero rnenur de a. (No os Vel' que de d

ifi c i

l

Ia

c o m p r o b a c io n

\a,

d tv ls l

bihd n d

,

ap l

l-

cando 1 0 . divisi6n

cormin,

tnmbien

sion.) De

el

do d ivislb ilid ad es un objE"t'o mil y d r f i Inc H do, aun qlto no Sillto

tal

modo,

so basn on osts compren-

c.riterio

ma tern a lteo de cal',k~cc a 18 vista. Esto no OS'Iti f6rmula, ni tfloremA, ni definic,Ioll, sino cierto proceso abs{)lnl;imento dol ru.ismo lipo como 01 de .la rnu ltiphcacion «en co lumna» 0, digfnnU!1\, (\1 de ca leular uno tras otro los ll:hminos do alg\lHIt pJ'Ogretlion ~'I'litm(.tloa, nocnin en La el parrafo

de criterio do di visi bll'idad Rera rl'm~iSllflil siguiente. 2. En la rlefl.llici O il d o Ja d Lvi:-.i hiltdnd d c los n (ITTIerOS n atln so lIro 105 di forcn l.I'~ vu Iorcs qll~} plli.'cio teuor ItO so (lice 01 cocien te nl ilivirlir {t pnr b . AdDJ:l'1Il0:'l l'l'tll l'II~:-;l.iO!l has ta, 0 1 fin IH .L uf, plU :1l q 11(1 ell n (1o 11111f.! .110 l . ( , 1'I1.![l mo,,:; q u C '

rogresar

a ella.

Sea a =e


(1.1)

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12

y,

al mismo tiempo,

a

De ul:I'L a'Stgua lda des

m::::

bc 1•

oh tenem o s be

que

belt

=s

o que

b (c Si para =],

Cl)

=.

13:;1;0 G
Pf;\!'O

0, = 1 = 0, entonces c - c.. = si b =, entonces, svidentemente,

0

sea,

C

=

tambien

= 0 y In Igualdad

(1.1) se cumpls para cualquier c, De tal modo, por cera as divisible solamente cero, siendo Procisamen to 0 1 cociento de tal division indeterminado.

a

so H(me preson te ,esto 81 hahlar sohre Ia Imposibflidad de diviilir por cero , Pero siel dlvisru; difiere de ceno y Ia division 'L"ieJ1eIugar, ontonees 01 cocien te ttene un 8610 valnr

completamente Hahlando

det.erminado, de Ja division,

siempre

supondremos

divisor os distinto de cero. Fijemos algunas propledadea elernontales

que

el

de 1 1 1 divisibi-

lidad. 'fEonEM,A

1.

a;

a.

Esta propiedad sa Ilnma rejlexiua; TEORBMA a, Si a: b y b ! c, entorrces

a: c.

Esta propiedad S6 Ilama tra nsiti ua , TEOREMIr. 8. St a ; b y b : a. entonces, 0 b ten. a =, a bien a see b (propiedad asimetrlea do la divisihilido.d), St a; by, b I> I a. I. entonces a, =O. TF..oRF"MA ,. 1

Corolario . St

a,

}j

."j.EOUEMAI/.Pa.ra

I a P 1b I.

Basandosc

y a'*

que

a

Ib

en este toorcmu,

0, entonces ! a I es necesario

basta

>- I b

I.

y 'sufictcnie

Ilm itarse

OIl

que

adelanto

S O cuando el dhrisor el C < l l . ]8 as un mimero Doexaminer igunJ modo, dtvlsihilldad de mimeros enterosposittvo. cualesquieru S E > . reduce a Ladivi::;ihilidud de nfimeros 1 1 0 negatives.

R

TEOnl?,MA

o, Se (tll

Coralarto .

u,! h, a2:

b , ••.

] a.; : b

+ + ... + an) 122

entonces

I

, h.

Si Ia suma de dos .nfimeros y uno de los suman-

dog son divisibles por un n6.mero b, entonces, el otro sumando tam:bi6n

10 sera.


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.i3. No sa debe considarar que todos ostos teorernas son evidentes Y AO hall meuester de nlnguna demostraciou purticular. La cuestion Incluso no astriba aqul en que en las matematicas cualquisr aflrmacioa doba ser demestrada, con exclusion del axtorna y las dofinic:iones. Las demoatraciones de estos hachos (par ejemplo, que cualquisa mimero es divisible pOl' sl mismo) son imprescindibles por prrncipto, dado que ellas no pueden ser obteaidas unicamen te de 10. definicion de Ia MVisibilidad sino que se van en Ia necesidad de smplear

Ias propiedades

de los mismos numeros. ayudatil. u comprender este mas circun-

EI aigulenle ejomplo 1l0B sta ncia da m en to. Eviden.temente, Ia suma, Ia diferencia y el produoto de numeros pares son alempre pares. Al mismo tlempo, la 1livislon deun numero par ]lor otro .no slsmpre es Iaotlble "!I, de serlo, el coclonte no result a ain falta parvPor eso lntrOdllc~mos Ia nocion de divisihili.dad de mimeroil pares. DEFINIClON.

El mimero par a es ,Uvuible

de

ItIl

e, a = 'b n6.mero par b sl exi .• ateoltal mimeroipar Bvidentemente teorema no casque clerto rpara

modo par

POl'

el

Ia divisihil. idad

par, dado que, por ejemplo, no existe un numero 'par e tal, que a = €te. A Iaa cuestlonea relaoionadas con Ia dlvisibilidad par de numeros pates volveremos arinvarlas -vecee. EI ejemplo anterior rnuestra que

se pueden Grear diferentes teorias de d~visibiHdad con distintas propiedad!?!! y que les. teorelllil:s,. eorrectos' pura algnnas ile pst-as tecrias. pueden, resulta-r Incorrectos para otms. Problemas.

Demostran las siguientes

afirmaCoiones:

1 2.. 0: a: a. 1.

S. Si 1 : a, ontoncesa .= 1. 4. Cualquiera que sea a 7 '= 0 existe un mimoro b , disrlnto de a, tal que b: a . 5. Cualquiera que sea a, existe un mimero b tal I que a se. deduce que 0 bien c de b : eye: b , 0 bien C " =.

=

6. D em ostflll: los teorem as

tal teoda 7. CODstruir par. Ia divIsibllid.ad S 114 . resulten

a n:filogos a los tsoremes 2, 3. 4 Y 5 para

de divlsibilidad correctos '! lOB 2 - y 6, no.

en In que los teoremas 1,

superficial acerca de los hechos concreto!'! de Ia d.ivialbiltdad , salta n Ia vista In slgulente circunstancia. Ia di visibilidad practicamente, de los numeroa no esta Iigada a su magnitud, POI' un lado , que' son divlslbles por una can.tidad hay pequeiiascUras relnttvamente grande de .nfimeros, POI' ejempLo. 12 es diviS. Ya despues de tenet conocimiento


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14 slble 1)(/1'1, 2, 3, 4, o y 12; 60 tiona 12 divisores. A tales cifras. ricas 0 11 d ivixores, se ]0 5 pucdon oponer numeroa Inti}" gl'{lIH]OS C()l1 unn cantidud mluimu de dtvlsores, 2 (do acuerdo II J l(!t)J'illllll '1 Y a l probloma 2, cad a .Dumero distinto d e Ia lin idad es div isi.blc s1.([\1era pOI: d os numeros dife1'8ntes). Aunquo en roalidad se conooan algunas Ioyes quo vinculan las propiedades de J i ' 1 ' d ivisibi lidad de los mimaros con S U s valores. de \.0005 modos, ellas tianon un c.aracter tan intrincado 'l confuse que liquf no Ias vamos a tratar.

resulta ol hecho de que la estahlecer e n tra los mirneros till delta orden , distinto del -usua] segUn Ia magnitud, pero que t~iene con el ultimo mueho de comtin, En efecto, retlexionamos, que sentido exacto se expone on las palabras sobre Ia posibilidad de orclenar los nfune:ros naturales por sus magnitudes. Como no as dHien veri bajo l'stN posi bilid ad se en tiel'lde quepa1'8 alguuas parejAs do II I

4.T:tllto mas Interesante isma d ivfsibifidnd permrte

numeros

a y b tiene

lugar

la relaci6n

«mayor

0

igual»:

a>b, 10 que :;igniflca que 1 1 1 diferencia a - b no es negative (es natural c tal, que a = decir, deheru oxist ir lin numero =b c). IPero si tamhien el fenomeno do III divisibi lldad cunslste on que cierras parejas de Du:rpero~ a y b rcsponden It alguna condlclen complstamente determinada (precise-

+

c, tal que a =e) I men Ia exiateucia de un enteroy «mayor Asl , to, las arelaclones do d ivisi bll idad 0 Igual» son nociones de una misma naturaleza y es P0i: eso que podemos hahlnr do sus propied ades comunes 0, a] reves, contraponerlas una a . otra. Ell particular, 10. relacien de «mayor 0 igual» entre dos mimeros naturales, Jo mlsmo que Ia de diVisibilidad, es c.iOl'tll. enunctacien sobre estos nlimeros y puede ser Justa

(porSefitll'anlos ejemplo, en (par laej.emplo,a 5). 5:;> 3) 0 no segllidSl quecon Telaei6n de divisibi1idod tiene mas propiedades ccmunes Ia relacion de «mayor o igual» quo Ia de emayor». Esto esta Iigado a quo la relacion de «mayor 0 igual», semejante a la de di visi hihdad , es reJlexiva (ell efec.lo, In c.orrelad6n (1 :;? a es cierta p1lE3. .cualquiet lL ) Y 13 rclecicn de «mayor», :00 ( 1 : 1 desigualdad a > a IIlJpc,a Liano lugar). Justamente por eso., C o m o relaci6n de crden entre los numnros naturales, aqui se examlna Ia

>


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15 de «mnyoro

iguab> yuo

In

lI\1e

nuls shnplc

IlHflWf'I':ia

y natural. S,. La l'I',hIC,ioli

~

L1l.'ni' his Si!;ll ii;IILei; 1)l'upil'dutiC5,

fad lcs de: corn-

limbnr';

1" a ; ; p . (l (es 1'(' rJ r. ' x IVII) , 2'" Si a ;;;:;,; y b ~ D, entcncos a = ( e e Mim(,Lriofl). ::1 Si a. ~ b ~r II ~ c ; cntonces a;;;t; I; (c 5 t.rllJl~il.ivlll, It " En wlln sucesirin de n(nllilrO!i naturales 0

a1 ;;;.

(til ~

a ,1 ~

, "':;;.-

all ;;;. - • '.

\:,uoY$ terminus di£'it'rlHl uno de etr», l'xisLirii (,I {IUnli'fO rIlUQIo. Estu :PI'Ol)iNlad de la reluclon .' so lImll;) I!}glm~l~ '(eel'S ile u_rdeJlac.ioll U ordenamlento compleio del 'NIDJ.llnl<'I de ll\IIDl!'rOg naturales. La propiedadrde 'ordcnucion complete tien{' unu fonnulueioll bastante cemplicada y un tanto artificial. . N , Q obstante ... evela rllsg()S

de extraordlnarin importancla en 1<1ccnstruccicn del conjunto tit.' numeros naturales urdenndos por 10.l'o'lo.ci6n~, D . ( ' aqneili. 5 1 ; ! deducen mucbas otras proptedadcs til! esta ro'lacion , A clenuls, segi" m veremos, precisamen t( > en a q m H l fl ' <,,,w in b asa dos lo s l':lzt)nA.m it'n I.,)S « inductl v os~ tan empleados en dlstlntos problemas xn~ltemiilkos. Para el ompleo pmveehoso de esta propledad sefialnmos 10 slgui'existo tal numero ff, quo de u;;;;' I, se dorlnco que a = (aquf a y b son nUmeros naturales). En efecto , si tal.numero no existleru, entoneos, nosntros.podrjamos oncontrar para cada un tal an+-t qllea" -:;;;,:1 1,,+1 Y an ~'«,,+I' Comen ente:

zando

con eel arhih'ario 1 i1 11ht.end.ria rno~

at ;;,:.t!!

:;;::

dR';;;'

, .•

una sllc('sion

:;;;;,-Un ;;,: tl" + l~ .. "

de nunca aeabar. Perc su exlstenclu rorrtruria III "fopieda(\ dr! ordenamieato complejo del eonfnnto de ntlmoros naturales. iia la .d o re alm e n tc Par 0 consiguleute, el u'limero a se exlste y 51) luunn mfnimo primero (ovldentemcnte es el cero}, Sefialernos aqu] mismo qua no hemos

establecldo

la nnicirlad

d.l,1nulJlCTO

m.lnirno.

L!) llilrNno.~

luego en forma lndirecta. 5° Cualquicra

_

que sea e],numeroe

para e1 cual b :;;;;.4. Rsta propiedad del conjunto

existo un.ntimero

b

de losnUnlc1'!,s naturales

ilislinto dl' 51:'

a,

llama de

tlim-itacion, en ~I sentldo de III rolncioll:;;;'. 6 0 cup;lquiel'
~f!

eleonjunto

de to dos los m im eros


natt1rales y no las propip.dadf.'s do

I1n05

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16 u ()~J:(HI a u meros lmlm:nu(ls por esta l'elaci6n. para valor

,1;>01' t'SO

llll(ldl1resul tllr q uo

(l\.rn I,'ualqlliera, una numoros no pOl' el sino l'eillcibn por algon moti vo quo distinto, algunus on de par('jas las afu-rnaclones

tQ ~ T' pueden no resultae ciertaa, Problema 8. Basdndoae tinicameute en las propledades 1"_7" de Ia rulaci6n ~ yde ntnguna manera en 13.6 de los misrnos mimeros y las (' P(!I'llCiOD(>S

COIl

a) domostrar

('U().'):

la unicidad

del numero minimo ,

b) dernostrar In unicidad del mimorc inmadinto antorrer, c) formulae .la ,111finicion del numero Inmcdiato posterior al uui) y demoatrar 5 1 1 cxistoncia y mero dado a (es decir, del mimero a

+

unicidad Problema O.

Vel'Hicut (\uBIl.'s do las afirmncioQl.ls l.g-7° siguen I'D vigor para la relncioll de ~mayor» (». o . La [usteza de las pro precludes de Ia relaci6n;a. (como tambien,

por otra parte, de oualquler otra relacion) puede ser estahlecida de dos maneras.

En primer

lugar,

pcdemos

aprovechar

lus cual id ades de unos

otros numeros 0 las part.icularldades conocidas de La eatruotura del coniunto de todos los mimeroa naturales. Asi Iueron verlficadaa por nosotrna, preclsamente, Ias propiedades 1°_7°. En segundo Iugar, ya U

convencldos de Ia.jusl.ez« de 1"-7", podemos dejar ilc lade que la ralauno numerus en parejas y deducir Ias siguientes propiudades do

cion;;;:.

eata eelackin unica men te de SUs propledudos 1"-7°.

Asi fueron demostra-

dus por nose tros In existencia del numero minimo y las afirmaciones tid problema 8. EI segundo eil£()qllC. do III cll('sLi6n es muy empleudo en las rna tema-

ucas contemporaneas y Ileva 01nombre de aatomdtteo: Con el se detervaries asiianuu: (en nuostro caso, las aflrmsciones 1"_7°) que reflejan las prinoipales propledudes de los 0 bjetos estudlarlns y no estan suietos a demostracian, y de eUos, por medio de Is logica pura. sin reo L',urrir pOl' sogunda vez a las propiedades do los obJeto.s estudladoa, 80 ded ucen to das las restantes aJirmll clenes Ilamadaszecremas. Puede ser que a algunos de los lectures 1"1 ex amen de las propiedades de Ins relacioues sin los objetos enlnzades por ollas (por cjernplo , los numeres) las parezca alcenzar alturas de In abstraccton matermiticn completamcnte inneccsartas en Is practica. Por ('ate mottvo es necominan

serto hacer doe ubscrveclcnes. Enprjml'r lugur , desde el punta

de vista de Ias matemaucas

OOD-

ternporaneas todos los raznnamientos efectuados aqui no son en absolute «particularmcnte ahstractose. Es m a s . en nuestroa dins Ias matematicas

se ven ohllgadas

a exarn inar

ctones, e tnoluso unir (~ parelas

slmultancameute

de relaclones

distintas

rnuchas re'laCOil relaclones

dedd!> asi, do «segundo grado»). nuevas EI (por material oxpuosto basta ahora permito Ilustrar Ia necrdn

de relaci6n entre relaclones con un ejemplo. Sea o:.~, ... un determinudo conjunto de re lacicnes que vinculan numeros naturales. ESlo signnicu. que para cualquier paroja de numeros a y b y una l'c!aci6n arbitrarla 'Y de nuestro conjunto, sabemes ai la pareja a, b (1sta onlazada 0 no por ]8 r~}(Ici6n y. De estarlo esueiblrernos ~' V~. Vamos a decir q-ue In reiaclOn ct os Ittfis [uerte que la ~, y ascrtbir a := > ~si cual quier 'pareja de nfimeros, Iigada por la relacion ~. resulta Jigada tamhi6n por la ct, ('8 decir, sl de ctflb sigue'aa:b.


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A,,-l,po e o jt'ffillio : '

dt,,,lgllu ,

DUO,

la rei

'

hC16"

(J

o lu iii v lsi bihdu rl pa r

1

:=; por niediu de p ; P Qt!-l'U W S C 'SIT 10 ir :, ~ p, Luego, (!~ l'v hl{ " lltc qU !!~ le s ~islep:::;>,;;"">. £\1 HIisruo th"lIl~l(l', eu ills' e(mjuD'ws' 1(' uijltfl't'(IBU1j,ltlTn r-elaciolil's tllml>l~n 'lH11,ur,lit::" con TeSpl'ct~ \1 Ins c , l l a i ! ! , ' ! ; no sc l")\lt'!le ,aEir-

m w :'q~t\e llu-meros

es 1 1 1 0 , S Jill'l'j:(' '0 J'nasde,l)U q,ll{' ( ,lira , J ..:[ lI,O [ \e "lS i si para dos a. : t b triltur(lli.'.'!I. por ejemplo, SUllO!ll'IO()S I}Ut' II /~ ,l! y qlle. \a clfra, en In Hol.,.rciOn decunnl ~ U- a ., ell Ulay(:'r (jill' 1 . 1 . . 1 1 . H l D i a de nna

,HUIlla b, entonces III /'" --::;,~. Olaro

qlle

>~.

Ili;;;a: ;:::l libr~~mlmtG

P W = I ) l'jlel'lll'

IJf.Jl

1I0l'·loW.!S \1 m COlli p}CJ como

las ruhiclories CIHl'i!' rell.lt'·ioncs I.'S inlli)'lQI'us!lhll' una J,IJ'liclka esp()ciai. E el segundo lUg;IC, lull'S ·l'lI7.0numj{'lltos 'C In·lilBllutm mns abstruetos, so eornlcuzan a I?IlCQII\.r'.jf ~~ildil vez I.,'c.nm us y .nne h'()e\l,~riMl'l euIas apliclI!liom's dl' J ' 1 1 ' t llul\Nnalic!1.s· b . in . l·r,·(Hl
,lwnasiad(l

do nlte~;;;tr0

le ma

I'Ti noipul,

7. La posibi litlod t1 0 emplear 01 m eL qclo .d.e fnducd6n completa (llemudn tamhien de tnduccion perjecta 0 matentiiti,.t;a) esta est re:c .1 1[ IllW :U ( ,0 Jig:.on.ll a In otdenac.iOn de! con[unto do nurnoros naturales pur rnedio de Ia relacidu : ; > .

H a h itua lm en L a esto .m6t od o sa em plea dol af4igH [i3n-to mancra . S ea A ( 1 2 ) \UlllIl'f1l'mnci6n co ncern ion to al uu m ere n.n1lmal o.rbitl'l.uio n. Esl.() :;lglJlllcaquol de h ech e, (fJJGlXfl.D~OS <',,<>11 10 .secie iufiLlitn de nfirmaciones A (0), il (!l), .•. ,A (~1), ... sobre c u d a uno dUolos J1UIDerOS 11:1 LW'l11os. S(lp.(jlt_g·<.ltn9S gnu a) lit afirmacf6u in indueA :0) ~S~{)t'l'Qcla <(lbUSt~ de c i6]J}~)); b) do ja co#,}'crci6ri '1<1

de in a~iJ.'m'UC.i6n A (II) se d£'S[lnmuu

+

dcJa afirmaclon i) «(trDllsic.i611 ·in!lllte~l,;a.»·l. A (n EI princlpio a·e induce ion matematicn ufirDla qua en las

h~p6tasIs

nntural

a) y 1)), .4 (f~) es cortee,La

pam Qua lquter

IlIlml\fO

n.

Esh) prlnc:ilJio 00 es lITl11uJirJl'u.Hliull HI deduej(lc) ( 1 £ , las llt()llil's:rdeDilllos pm' [,a ri>ltldtin ~. Sl'l'

1 0 1 '( l l I1 1 1 " l Il ,· • . slill! !jUI' pUN!1 (;(lI)jllnli, lie' runncrns nutu-

En efe-no, supougnmos q\lQ lascondivionoe ;n Y 1 » dd f'rll~~,il,io Ill' iniluet>ioll..pam .lu (lfjrmlu'lon A (Ii) se CJ1Hl1li1l:!1, ]}('l'O I" ~'()J;id(lSi6~ rle ~sk .pt.iriciP:io lit} ll(-!l(> [ugar, L() (t'I(i.mo. ~ign;tic;H 1\11(, dcbcn oxistir

I.(llcs rrumeros nt, paril Ios cuales 1,1 ",fi~m'H;Wl't 'A {II< I Ill' e.s j\J~lil, -t5P<1 trll uno. (Ie ellos, ::it pnra lodns los n <:: tn 1II ilfil'Olat,JI)H·A ( 1 1 - 1 C''; JII81~Len" tonces, m] us 01 tnl"n.,r c\() In'S ninnnros r~ll'V jo s niall'S A (II"' un tien!! l\c.m·Q lmsQ U (' u na imlucci6n: sa li'tecul'ul.emCnl('. (1). F:\'iilCJl!A!l11('nl(" 1"St.Udirol'Pni' il~o es. esencia!. La impo.:r~a.nn.'(:5 que. di,,·It<'1 hnse c"n~·l;:rUe al pdnu:tl" d4'los, no.m e l'O ::; e xa m i na llt .." . j1 o~ r n oso tr os, lj

lorna lu nl'irmutiiin

It

2-0131\'1 http://slide pdf.c om/re a de r/full/c r ite r ios-de -divisibilida d-vorobiov

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tS

Sl DO crist..il' ma tal, Lugar. un que A (mil)Perc sea inclort«.10 es, entonces d(!bera < ml Ell c().n().lusion, uosotros Ilegnmoe n 10 , !lucesio!\ de Tlumeroe Ilife-

rentes rUt

?m~ :;;;:..-••

;;,:..lI'r ~ •••

(1,2,

"

para cada uno de los euales A (In) no ij
b e r a ser 108

T it,', EvidI!II'Lcm~nte,

cualcs A (ri) no es cierta, A (0), POt

11~r

es 01 menor de f.o;do~ lus.numerqspara

PU1'

rr!r

*'

Y

us ctorta a ~ condiclon, 0; m ;..existe - 1). e1 mere 1 1 1 . . .. cuanto .inmediato anterior (en realtdad es e1 Como nuSf!.r ci(,l't~.,. Pere ent.?nc~5, por.1~ m~ '~~I~f, Ia !l.fitin~ciQ.n.A (m~) dobed condl«16n h) del prmC:~l:IQ d,e luJucdoo. ma.tcrnA~ICf~ ta:rol,lIen 10 debel'a ser la.lIfirlDllcton.l1 (mr 1r , es declr A (mr ), Ucgando a una contradicci6n. -Ella indrea que no tw y mhneros m paru los CTH.lW3.A (m ) no t IlV l( !rll h lg 11 1: (e s 'rL e.c ir, n o fUel'n t1icrta) Hacemos 1 0 . s iguiall too bsar¥aCi6n. Los l'n~onall"!jentos cru.e acabamos de eiectullr no BC dehon eonsldecar ni aemostraci6n, .nirundamento uelpl'illcipio da Jnducclon. Enos solamente indican que una

+

afinIlaeiQn.lI1..8teni~Uca

(del

melo!Io

dl;l induceton)

puede

set" ddlucida

de otra'~ (de las prcpredndes de L a :rel&~i6n;;i)" ruismas m,QPlcdtldes han side empleadas por nosotros .cOmo axicmas, pOt 10 eual no fnetort demostrades sino !!olanuml;o·'Ye'rifkudas. Cualquier Intento ]lara. demostrarla~ en Iorma matematica tropezazia Inevitahlcmenle can .Ia necesfdad d e Introductrcondlctones nuevas en cafidad de axiomas. E n -Part.icular, Iasdeincstmctones de Ia pToJlledad de ordenaci6n completa debsTRn omplear lOB mlsmos razonamientos inductfvos (el Iector puede c~rcionlrl!c de ella por 51misme). Estl;l8

AI mstodo

de indu.cci6n mateora.tica

varlantes ls fuaron dedlcados

108

en

foUetosde

SIlS

dif9ron.tes

1. S. Sominski

-4Metodo do ind uccien ma~em.6.tjcM (Editorial «Natilce», 1974) y de L. 1. Golov[na. e .T. M, Yaglom teoremas,et.c:~5e hnllan vmons Prof/lema

10.

Iados lll?l una deter;nJim,lda relaci6n ~, con -propiedrides analogas ala: 1 °_7°. UClUristtal'. queen este caso cstos.obietos (elementos) puedenser (c~ decir. escritos en un eierto arden): A.It .42, A de modo que A J . c - A f,unica y exclustvamente ouand» t ~ [ ; num.erad,os

De heche, propiedades

8,

,

_ ••

lc dtcbo significn crus 1a eelaclon, POSCQdOf.1 de ll\~ Ql'ocna a1 eonhintc e m una cadena Ilneal do ele-

i

1°_7°,

mentos! At ~ A g -3 As

.:.a .• -

8, N { ) obstante, volvamos 1 1 la :relaci6n de divisibiWlud. Para e) ease de numerus p
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19

1"-:-6<' 7podemos la rv lden Iasalirmaciones y 5mu()strun 10 que H In aftrmacion l'efl>f1d~1 a iiI ci6n.> por Ia que ;. En concierno,5u,~tltufr aplicacton de la dlY1sihilld,Hl, ella ai'irma.. Hle nos numerus )IH') pur 10 jl1QnQS es divisible por cl ntro». Pero es,tp noes cicrto , Asi" b i'ehcj
Ia, relacicn de divisibilidad no ordcna 1(l,6 BUliI('f(J$ naturales cn.fQrm~l de cadena lineal' sino .11<, un lli!lilo uuis cornplejo. (vease ' 1 - . ( Iigura), Sofialamos que Ins niunerosvoclnos p!1r. sus valores puedon rosultur hnstante «alejados» uno 'flo,otro crt e1 sent.ide 'de , J " Iirvisibil.idud , Los numerus 4 ), 5 (, )' 8 ·In deruucstrun rlurument (' Probemospusar

Ia de naturales,

tie 1;1divj~ibiliaad

de nnrnerus L'uLeros positives '1

iucluyumos cern ene l l'XiHHl'n_ Entonccs 1'1 esquem a de II I f.i'gur;'( S p enriqucce eon una casillu uhkada nuis arrlhu '~e. las demas, ya qlll' cero cs divisihl~ pili cualquier numero Y l1h,guno distinto de cero p~ divisible pore]. Qejari10s que el lector "pur-S11cU~>ht.n viJ!·lvl\ n fhrlllllhir y Yorifkat . lai\ ilfII'lIl3.C.iOlll'S 1°~7" para esie "l~I!~O9. DEF1Nll.:lON Clw lq,ilier rclaoum ~,~1l1\(irl\jJl;ld.iI n las eoutliokmes: 1 .0 de -Pl'Opil'dad tellexlvn (a:>- a)~ 2° de propkd'ld nsimdtrien (de a s- b Y i> & ' fl, S!' d('sp\"(1lld(' 'Ill!' a = ); 30 de' propietlnd translj.ivs (do at- Ii yb ,f- c ,~ () desprende que a e - c), 8{ ~ llama T e la e io n d e d rd en acio r!' palCial.. 1.111'\ reluciones de. ordenacion par6ial jllPgall .1lITgnm"]Ja pe 1 afliIlomle 'Ju. ordr-nacion lineal lng-ar; (In'nde "nul-urlli» nu til'm' lJOr l'kmlllo, cada ohjetn (so describe o a pr0 cill POl" varios! ndii.·ps di ft~reit tel", e.1J:dj'Ii! h va m en h , .1!lel'!)J para hIe", Nilre'sL . CdlHo('.jempln se IHlt'!il' citur iu
ti.po~ depwgmn\ll

e.s dccir,

dl' comp('tkhmes,

que c1 pr imer- rqllipo .loWn 2·

mayor('s


entonccs, ".~ natural.

exit.o~_

Pr-ro

~j

p~f,(iS

considerar

pncs.i.os Iuernn

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20

ocupados on. Ll.du~ los juego de croquottclcual,

tipos a excepcion, dtgamos,ell dol de programa, por algun motdvo , esta vez fue iucluido tUb compeuciouesj, (\(IllJe 'el segundo equipo resulto mejor, entouces, lu cuesuon sobrc J;j dlslrtbuc.lon delInlttva de-los puestos entrenueslros ('quipoS~'l\ IlO vs tan.claru., Los cntusiastas delcroquet pueden oxigtr, Inc.lusn,. un PtH'HLoniiis'uilu para su equipo, DtJ todOS'Iiiodo,s, cualquier distribuc ion tot.aliiante ile IHlestos estarn, Iigada a determinadcsrocuentos convencionales de.los J) 1111 tos (porejemplo, a] registro de enos). iO,Lns condic lones {'-0", cuyoeurnpl.imlento .hace que Ia rclacion & - se'a do ordcruuntcnto parcial, sun hastante ltherales. Pur. eso

con procedunieutos muy varlados, pueden ser ordenados parctalmente los ohjelos nuis distintos, en virtud de 10 cual se puede dedi' hastante poco 'sohrl' La rehwi(>I} de ordenacion ,parcial arhitraria, Iuera de que ella. es de ·ohlel'lwfidll0' parcial. En. particular, 11los cbjetos para los (males '~U detcnniuo Ia l'ldu~'iGn de ordenackm parcial. es imposible, hablund« es -Iorina. geueral, uplioar el rnetodo de Induccioa matemattca. Complotemos, SII) emilllrg"(!, las condiciones j" _if'" con 1~8 siguientcs. 4 " urilellud'u,li curuple.t.r; [J 0 Illm ltaciou: (\0 cada objelO que 110 seu ul mtnimo posee un Inmcdiato anterior: 8° ca da o'bjetf' no . tiono mas quo un numoro Iinito de anteriori'S; 9 cualosquiorn que sC'an.a y b& - ,U '(b .pal, existe un e , Inmediato '. anterior d e ,/; , tal 4 1 1 ( ' C &- a." Itesulte que a base 'dc Ia ordenacldnparclal. d-el conjuntu de uurne:r08 naturales COil. In relacion que sarisiaca la s condlclcnes 1° .....6 ° ; _ B 0 Y g o sapuodeconstruir dcterminada variante del metodo de inducclon, co nsistente en 1 0 ' que .sigu«. . 0

zt (n)

(1.U1I

afinnarfon·conc.p.rnientc III ruimero arb.itrarloSean:nuevameute Supongamos que alia operaeicn A Jill es cierta allt donde, en 0 1 sentido de la ordenacion &-, u es el mrmero minimo; b) si n esun riumero y.Ia.lusteza

de -cada una de las afirmaciones

del tlpo A (m ) ha sido establecida para todos los m .. tales qUen,t- m : y n m" en tonces, A ,(,,) tf\.mbien (> 8 ciortu.

*La'

nueva

forma

del principio

de' Induccion

"afirrna que cumplieun. ric la «forma vjdn,~del prlnclpio de indue-

dose IMcO'ndicioncs a) y b). A (n) es cierta pnra cualquier Problema

11

Deducir

cion. 'Como " . . . tina ,
),

t 1. L a d ivi sion do llumef.O$ en teros, como Jmmos vis to, 110 slcJ Tipfe l'i.e puorl r hacer. POt' eso , paralelamento a 10. misma, os - u t H examiuar tamhien otra operacion mas geno-


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2 '1

y que, si In dlvision ral, hechoslernpre coincidefact'ihle C on ella. Drcha opcrac+on

T('i:'!l1lta viaMe.,d'e es [a divisi6n con

'residua.

c on re sid uo el nurnero a por (H b (b 2-:> sigrrifien presentar '0 1 primero en ] :; 1 forma Dividi.r

DEPiNIC10N.

> 0.)

.

:bql."

a ~

don de

0 «; r .

T,

< b.

En r-sto taso, 01 mimero g se donomina eociente incompleta y eJ numern r, resi-duo qe la division de a flor b. Ef:.M clare que T = 0 ,\inf(;,a y exclusivamante clH.tuili:) a : b. En tal cirClmstancia q es Igunl al coclcntede tlividit It porb~ .M ostrom os que .la division C 9n residua Bicmpre es fac:._trble y queeste y 0 1 cociente incomplotn quedan enteramen t.e determ i~Hi flo.'! 110r al d iv irl cndo -y e~ d ivisor, 11~~d eclr. sc m unicos. Sea. .a1 principln a.;;> O. Escrthamos -IllS rduller'oS unb ,delras de otro a, a -

b,a

-

(1 3)

2l', ...

hast,a que apare:zc,a_ un Jlumcro nega:l.i "9 (t.aTtle 0 LOmpriH}O evidentamento teROra que apareeel"l'». Aceptornos que 01 ultima fle log termi noS 110 llegut~:vos de 1 1 1 '>IICeSiOJI {f.::1}. as dooir , el mn::;; pequeiio

Des ign iiiH l 0 10

I'

de, torlos,

os

In

niimbr:o(f.

-

bq.

tend remus a' =

bq

+ r.

('1.4)

Indud ab'[emcn te r < b (do o tro modo r -b, l't' r1('til' a 1) b, serfn 110 J)eg::ltiyo~ cosa lrnpos: hle sinntlo r el - (q menor de los DumefoR no }legativos de In ,5 1 { ' . e . < ; ; i(Hl (1.;1}). De~a.l modo , (1.4) apa,Tere prec;jtmmc-riLe como 13 representacion husoada del mimero a. - $.ca ahOTl1Q.< (l~ Baz:Quani[o ignhl
+

has_\i~ que

cornprohar

at a. b, a 2li. a parez ca 01 primer 'u-{mrero n-o ll(}g
que

r

<: b.).

r de, 1 ,1 ordcnac.lon

relaci6n

;;'..

+

-+

.

Yar.il

Dejemos ,=

(L

+ bq",

I_) ITu.bh1nilo '~'Oll ina>; eXi1ddlftl, (\81.\ SI_' ill','>l'rI'lll,I,' ( ' Q . T i J p l e L - a Ilel conjunto d ! 1 Ti);merv~ n;lj,lll·al(\~ pe cIa


-

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22Entonces,

designnndo

-q'

per q, cbtenemos

a =q

+r

y esto es 10 que [ustamsnte sa pedia. La poslbtltdad de ai:visitJu .residual fue -ptohada en todos

los

IOHsm:;.

Demostreuios d ecir,

1 1 horn

que

esta

d ivision

cs univoca , es

si (J,

=bq

+ 1"

(1.5)

y adonuis

- - = ! IJ Y r =1' d (HI'fOl:'I,rm:i6n de In

l~I'ltorH'-O;·rt

Tal mente cludir

uuicidad IIO so [merle 191mplorlie.lorrdo qno, siendo unj vuoa la oporncton de

sustrnccidn. ra Sll(',l~s;iou (j .3) puedcecn C(lOstru,i!];, por un solo proced imlento: S"11Utimo termino .no uegativn l.amhien es corrrpletamente dctermtn ado; sen, puos, tiste nuestro r ... , etc, Tal rnzouamionto aunuo nos, libra do la posihiIidad de ohuonor otcos valores de q y r pox cualqutera ntra via nhso 1u l.amente distill ta, Oomparando las relaciones (1 .5) y (L6), .noso tros vemos quo 0

d

iloJJ(I(~

r -. r 1=; (ru -

?),

I

es decir, J' _ - Ij__ lis Ili V Isi.hlo por b, l?(L_FO I r - r.l < b y por 01 teoroma 4 est o puede :;;,ersolarnen Lncuundo r - h = = ().P sea, .,i r =- "1 Pore en toucos b (1]1. -

q) = ()

:y. -corrsid ernudo q ll'!c\ mrmero b difiere,iloc-ero, tll O~ = q 01 probada es deoir, q1 - fl. Queda l3 Itnic.i-tilH l de la diviSlQtJ

rosid lla] _ De tid modo. Iiemos dsmostrado ol siglJien'l,e teorsma. TIJbm!.\" '\ '7 ' (s()b;re 1ft division residual}. P a ra lo ... m im eros arb! CI'a.l'iOB a Y /' (/1 :> 0) existen. iI son Llnico.'1 tales 1;III1Wros i' y q. ljne, It -bq \" 1, siendo 0 .~~r < b . llill'eJluJs Ijolal' que en part ioulnr, para b --"1, teudremos

r -- li,lie

rloudo

a

g. Est_o .responde

=


a 11\ af[rmadon

001

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23

j:Jrohlema"2. Junto

con el'lo quedrc.clam

que r > : t IJ:> 1, ontnn-

ces, a. > q.

Problema 12. Fotnll,lbI' y dClIlostrllr'l'\ 1!r1.1I1 pnrn _ 1 ~ drvi$illt_lj,r1ntl }JAr.

teCJrl'It\il

r1cIa division :r¢s:i..

Un m'ini'(lI'O j:L"d ij,firito Ile L a unidad . se Tlama primo 0 simp!« pi e:;, dlvisihJe. ;(_olam~I'I'le- por si rnismo f.'2- URfJ~T{;:J(,iY

y por UJ10~ _ Primo's son, 13. etc,

.

-POl;

ejemplo, _.

IQSJl:u

.

meros 2, 3, ! 1 , 7. 1__., ,

-.

Un m 1 . t n e I : O dist.irrto de: Ia unidad 'I qua n o . u s simple se . ' dcuommn compuesio 'rEOIlE!'.f A~: Las tuimeros primos son infil'li~(Ulu'!lJe numerosos, $ . Cualqulcr vmimero que divid'asi.muHanciiment.e it 10s n\jmeros a Y ' b$p. llarna div.i..mr C.olT/,!i,f1, i T o ' eslnsninneros. El rnavor d ' C ' Ioad ivtsores cornunes de los rnimeros ay b so de ~~lL08y ~mJjit\HSmell~e comlln n u i ' : c Lmcd l n Q io rlet{~miD:a se indicn pOI' de C a(li~isor , b). Sl el rnaxirno cornun divisor de a -y b 1'-5 ignal a In unfdad ~ C'.h:iOH(',e8 se_dic.1l que estes n(un.mfQs son primos entre sf. Con, otras palabrgs, a y b son pnlmos antro. si ,f)i ellos nun tiempo [10 son ilivisible,',n:lOT niTigtin, niimero, excluyendo 1 i\ nnidad. . stendo p prtmo, TEOEEMA 9 ss a I } _ P son ruuneros naturalee, entonces, 0 tnen a ;' p 0 bien. ombos son. primos entre sL Cualquter TIl) mero d ivisi hIe sim 1 1 1 tall enmen La por q. Y b sa llamamulttplo comlin'de el'les, At menon m ii.ILiplo G Om uu po¥;itivo 'de a y .b se le denorrrinu minima -comii'n rmiltiplo d.cesto's tn·lmeto'l. TEOREMA tt) S) M es mu~Uplo conuin y in ftf,f,ninto cemiin. 7(lUUiplo C k - a y b, enionces, M 1m:. . T}!:O;RFJNi'A tias ruimeros u. El minima eomifn mtWi:pkide primos e.i1.ti'esl es iifila-l a sa p'roducto: . p c CCroliirtQ.P-ar:aque a sea ·ffjvi,"liblcp6r Ios uumeros bye primos. entre si., es necesarlo 'Y ' snIt(;ier1Je qilO ]o:t:ea J)Of

~1 prod 'T'FOEJ\:MA

It(,lfl

£2

Si

deellof}_. au:

c,

siendo lo-s niimeros

b y

t: prl11LO};

entre sL . a .' c.'

~. Sf el p{o ducto . d e varin,s j(Jc[Vre_

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24

< k < n, ontonces ol n'um()ro

Corolarw. S i l' es prirno y O

Cl~-c:

j.1! ..• ::!.-. (11-1)k·{·2

/1

(p-J)p ... ('p - k-1)'(p-}r)

es { Ii vi sjlJ! e po!, p

(J'I'Qnunh fil'lldam811 L,aI do 1a Ilri:tIhe:tita.). Cualqnie» numero entero pOs{tWD. excepto la unidad; puede de fuctarr:s primos; $tel1Q.Q s e rf ' r e pl 'e S ( JtZl a a v en.jorm« d(l. producu: eZ,illico moiJo (los rl'odllc tos que s61'O tie d ifqrel1r.i an p~m el 'l"I';ORE,\I',\

ordon

l.n

I ,

de: los f,)C.tore'l

1 11.) '> 6

consnlerun

djsl.intos)

l.euremn tnrldltlllOrltHJ O E : ' 1,1 aritanel.iea sl)rml/{ 1< 1 posibili(hui, ~(l priucipio. d'l rlsseomponcr .ualqulcr numero CIl fnel;Qre!! priraos Sin cmbucgo, lu relllizncion ) 1 1 · a c t i c . a de

tal d escom posrcten

'pl'flSont a 1.I\n serias d iflclIH A q os q IJ & las rn a L B m IH iC -H I'; f'1) n I.om por6JlQfI~ toda v ln , a veco s. Lln pueden supurar. I]n lancLuHlidarl ]0,8 numeros gnandes so doscomponon on flldoTCS _0 SH estnlil.ece quo son primosper 1:11d io d e muy pOC0. Asi, h a t-e so lam ents 0 1 e,c·lrOnic",'J~ rsl TlI'l,I11em 211)9$7 - 1 es pr-irno. . . Sell quo r lerto nll]]W-fo, a 10. t.enemos a esconrpuestn ell un los file,tores 19w1les pro.dllc-lo do fa{'l,ores pcirnos. Agrupaudo obtenemos una f6rimlJa 11'(\1tipn

comprrlutlnrn» d~st>ul)['i{)

RO

tpW

a=:

donds

Pl!

P21

,.

, Pr

p_r - ' jJ ';2~ .• • son

(1.7)

pa.~. r

disrintos

rrumeros

primos

y

'j •• ct r varios numsros oureros proEl (L7) uhicado E 'U ol segundo miernbro Ia f6-rtn1l1n a enositiv/)s. so nama d
Gt.1'

( % .2 , >

dncto

Para que los niimeros a . Y ' b eean prime» 'rr;:Ollh;MA fQ entre .'if es nocesario II sujiricnte que ninguru» de los [aetores primos que integran: la. descomposici/ia c(uu}nica del ruimero a inlegre Ia del ruimero b. S~a (1-7),: la. (lescOtnFDsici6fl ca~u51lica iJd '_rI~OJn;;M 0 \ rG tuimero u, En toll ces; para 'ta div1sibilldadb; a es necesario .!I snfi('ienJe

que

t- :

1')0\1

fl. ,I"

1...'

h: p-(1)\l s ,

2

'\ .. "

* .. b':'.

pfLr

r .

Do Joe;tooramas :15 y 16 sa desprende que 'I n dtvislhilldad do ,{1\T'in:-; nLlmOTI)S primos en tre ,~ i as sqniVOl' 0 1 produoto valento fI 'Ill d i\'f i! H l )il td - Il c l sinlult'»nea p o e ('lulo UI)O do ellos Problema 13, EstJmfl'r. desdo 1l1·tibn 0 1 minlmo divisor primo dol mimoro

compuesto


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25

._.'. t.rl

.a·--P 1

.rz,~

p ;? ;{

•••.

pr;(, "

fa tlrc stO f f~ P o $iG i6 n caruinicasdel -niim ero a: Enionce« j.lo i"a fa divtsib iU d ud: {i,b , fK necesar!o ,ysuficihrte (pa:1'1; (;lrsco7nPQsici'6nc(in6IliCl,J;.

de

Xi

len ga Z it [ormo

!j= pr.lptl2 1 .2

• ~

P ~" I

.....'

l <'" d · e Q «: ( ') . , . . - i" R C -" A .~ .,~'. v.r~1" .. '~"'~::.:::.o ' ~ ~,0!.~~ I . ( J .," ~ '::i':':" P ·r ~ .;.:: "Ct'r· .....~ ·. IJl ._"":.~ Para 10.s. fi l l os do ,est.:(l Ii1 , 1 ' 0 rosu I ta nillY j lIi()'ol'LI~n 1 . 0 . lo siguien te o . m. .II:t u.lirne)'os !tutu(aJe,\\ J~'I'IItm ce .s·m . TEOR'E"{A )8: Sean: ..J

U

0 .

r I '

,J l

t

puede sar ( J / , Y : s e n t a : d p como Ii,n pfoau4o tn. =Ill m2,(ioncic ( fI1 :1 ' ~ ) = ,1 y se }w.Tle till ,k pam, cua] t" ~ In 2 ,

a

Eslo: heclro, poses anaIfnriasalgeilrll'icasdli! que. a q Iii 11'0 tocaremos,

largo IiJc a ne'Cl ,

Problema: .1 4r. lndi~i1r 01 J)l'Oc.(~,rlirninn1',o quo IH )S,peI'm ite cQn~t:mliJ', pOT Ias gCf'lc,ompo.~jd'onol! C~1l6:.uil;:[tsd(> dos Jlilmeros, Ia d(!ls('.omposic.ion cII116nkn del mlnimo conuin Ll'ul1tipln de ellos Y su m a xilllo cnrm in divisor'. Problema l;rj ])esignemospor 't (a) I'll ('IJt)t,iOad de 10::; distintos di\fisol'cs (lc1 ltltmero n (iu'c]nido:!i' Tn lndillld y. el 'Pf.opio. d ). l\'[osil.T,ax qHl~ JHil'U 1 1 " cu !{ arl (N~mUp,f')~1Vi{Hl call 6llici\ r J " rk. r T .C'''. /Iu'r/;oo 1 .~. •. rt

7

ta, Entontnlr

Problema Y' t

,1

sabiondc

quo

If;

d, i t : - 4 .

(a } =1 4 . ,

1'7 ~ La d'~~(9mpo~ici{in l'/ln6nka' fl(~l Hurn.OW,a ttonola fOllma p~lp~~yT (all) =.8L lA qllt; C8 igllal r (dl)?, Problema, 1/8, (',A quc'cs igllal , 1: 1, sia, "_ 2 1 : (aV Prolilema

n{~l11

t)Bi.'1"I1

IJ 11.JI

t';'i

Problema r que. K p(lsihl(l Hal ! t i l ' lJatural que para nrnJrndl>" ~,:>(l v \',ul!li"piifW. :7 s tal, 1Y, .a :

([iii t'1'O

niil1Jj_'r\J

poseedor .!Ie k IIH::.tQn;~,primos T(l(2f

't"(a»K.

Problema.

.:l1-1·t

2(),

los par,?

rrSOlllel)]Tet',Lf)~,

'par:a iii d.ivisihilldud


l,u()l't'Ojilf:'i

.•..lltdogor.;·

a Ius

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26

§ 2. DIVlSlBILIDAD

DE S:UMAS Y PRODUCTOS

i. Much'lfs vecos eil una di:v.:isi6n res,idual nos ~uteresa hallar preeisatnente el .residuo de 10. divi-siptl del nfunero a ; pOl' el b, m,i:ep.tM~ quo Ia magnifud d el oociento .incomjtleto lie < . > 1 1 a no juega n i n g u n

Supongamos,

papel,

pOl' cejenlplo, que queremos

saber

que

ala

de Ia somaua sImi el io deenero del afio 2000 (naturalmsnte, de conservarse Iraeta eso epQcA 01 calcndaeio que se emplea lIOY). Es #i,f..il euJernrf:9, POl' ~ J almanaque, quo c] 110 rIe enoro de 1980, «cae» ell mattes. Los veinLe afios que nos separan do ast.a Ieoha estan Iormados -pCI' 20·365 4 (01 Ultimo sumandc I::lS Ifl cnntidad do afios blsiestos en et curso de este lapso),(), sen, 7305 dfas, los que 'cornponen 101.13semanas cornnletas, y 4 . dial'. Al cabo de !1043 semanas sera·

+

mnr.tf}S los cuatro {Has mas, el 1.1~Ode enero del afio 2000 Y va con asersiirrado. Evi'dfIlltemente, para reso}ve£ el problema recien plantoado no tiene ningunn Jmportanclasnher proclsamente cnrintas :semanas completas tmnscurcieron en ;20 alios y solo nos .interesa 1" cant.idad de diafl< nestantes dospues do estas semanas, . Con problemas de tal genero se eucuentran a voces los histoniadores. sohre todo los orientelistos, al conlrontar

nuevamonto

distintos calendarios. las Pareciera fechas indioadae que, paraen hallar el residuo de, la divjsioJl

de

nn mimero por otro 10 :mas simple es· efecf.uar diractamsnte la dIvision con reaiduo , Sin embargo, ella no es tan facti Em 1a prox:.tic·a, sobre todo sl al djvidcndb (;P1l.1 Invcsttgamos no ~!':lta escrito enel-sistema decimal de calculo 3 que estamoa ncosbcmbradcs. sino en forma de expreslon compleja 1000 del tipo, digamos, 2 31000• Al mismo ·tiempo, la mnyor parte del t:rahajo invertido'Ten hallac e1 cociento incomplete que, por seta sf rnismo , no noses neeesarlo. Pot 10 tanto se haec ina lspensable encotrtrar 1U} pnoced imiento que ues llerm~~a l);tI1RJ' sl residue clirectamenlesin calcular d icho cociente P.rCSGn thmo.~, uno Be tales proccdrmion tOE a bass del problema quo ncabnmos de resolver para 01 t= de enero del ano 2000. Podcmos .razouar asi. Cad D . afio simple (no hi~;'iosto) se cornpons de 365dias que forman 52 semanas completas

+


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y un dia.

El uno bisissto cornpronda la misma (';9;n·ti igual II lade u i i . o " ! , {rail-scn:&idbs durante esta tiempo , adem-is, cada billHlsto Csey'\\l)nta pox dos. T a l eanl.idad cle dlas- es .Igual a 2D F = 2 5 . & xcluyendo de ella 3 semanascompletas rosnltun /f dia.s, a coutar d es-d e n uestro maries. O cnrre q ue ta l ustltucion «afio por'

+

dial) ea . 1 0 : mmd£es_taci6n iI'e un :rO("UTJo d£>Ia divi~I6n residnaf es uhtcner preclsanrcnte 1111 .residuo, y el cocionte Jncompleto s6to so considera CQ.!TI9 material fl.c' partida para 111"lJ,;[glljen~ te~ .opl.'!l'acj
(l(j~

sumirristra

I l u m e ' i 1 o . o S e ll

In Ilsta de

uno

untro sistema num/rtco de base 0 posicianal; Rocordemos que 01 rnimero A so deuominn Iiunwto insctjp l.o en ol sistema I eon hase to, mejordteho numerico en el t 1 1 ,' rm posie L O I H \('!londo sistema numerico t.. () ~ un 1)(I1[ICI'Q cnterojioslttvo, mayor q~J~ La I l n L U E l I l ) , si va presenterlo en Ia forma

,A -_

a)1

til

I-lL n

J

- 1 • .•

t' I- - J

+

ILrt·

1-

all'

t11,1 0

1

n i1 .1 1 f e J~ O S Q .o Los nnmero del .<11).

at,

. ~ an ~e d ell

III L

II il

I

flrH8

n

ci

L:!.,

j~11r

Cunndo t = to nlrtonernos un ',>
I)

U O IIl'x po sic io llllll'rrllIlIW l,

pro(l.tlldo, de lus cuestlones cd f
V

E'om lo


ligudas "Sisll:'Ulna

1\

1 "'1 '1 /1 11Ill.iSIIIII

los sistemasrle \J\J

calcuto.

i.ii'llJ'j!('

!It'

! . I i i 'en

dtlcu)u~ (Ell { \N nU K a ", 10 0 .8) .

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28 orfras

(ir.omaiIOSlJ). Ia

en mimeros

indlcat:f6n

de que

[0 SOl!

~era omitidri, E'sta cl aro que. de (2,'1) resulta

A -= (a,jtn-.I

+a,,_,t'HI.+

' .. +a,l~t;+ ao. 1

. _ -

.es· el testa de tlividiJ.· {,·OJl l'(>~iduo A lICIt' t, Aqui, 01 cocrente tncompleto do tnl division so h n1 1'1 l errtre pal'erltesis. DiviiHend )10 residualmento por l ohtenemos

gs, d~dr.

la ultima

citra

tllQ't-i.~, dol

riumero A

(a.ntn'~2 1 - a n_.ltll-Lf-;.••• +az) t -l- a 'J .

La pe.inHLinia

.<.dun

i'Jllri(l

del niimero

A res'l1L~ el l'(lsi-

a uo, P roslguterrdo a s.l.e'procoso de rettorada ai:Yi~i6Jl residual sucoslvazncrrte tod as las ttdt1"i.1-t clfras pOI: t, eonsegulremos dol rnim ero do ilel'eeha a izquierda (e8 d(1(1·i:l·, A, conta rulo de i.nn;> rlorG S 11 suporicres). Evidentemonte. '(mojo.!.' drcho, cern u-rreg 10 a lord en U'Dl i n to COlD 11lcto del con] u nto do esto proceso do dlvjll(imeros naturalasssgun la magnitud), ~i6n residual sucesiva, tarde 0 templ'lll10 ha de Interrumptrse, J ogl'·acern os todas J a s f!\Jfti"l cifra s de Com o res u ltado n\nn~r0 A ! 0 sea , su noL ;tC :i6n en el sistema [ulIRel'ko ~Il
A sL eu partIclllar,es com o seefectiu:l .el paso do un n u m orr: de. W'I sistema Uti m cd cq n otro. F or cjem p If) e

10 000

=6,·1666

:1666 = 0.277 277 -= 6·46

4 6 = 6.7

+4 + ;1

+ .I.

+4

7=6.1+1 1=(j·O+1 1~0l' Q:iO, '10 0.0(.1,

en el sistemll

u umerieo

C U III

P IUlsln

I' 0 I'

gflill:I'smo$, se ascribe como 114144. equirrestduales a los llumeto8 3. DEFINICION, Llamaremds a - y b si, dividtdos POt m; sus' tesiduo!;lt:irestos resultan Igun les. l~iJG.rnn~ a')g!lOH;:' propredades de hales rlllnrm~(;::;. TF..ol\i';M~'< III /J:(~.m. que Ios iuimeeos a y b; al ser lli,(H(1id:Os jsor m, l~ealf, eljuil·i·csiauiJ.les, es necesa1:iuy su/.idieute q u . t : iJ

(a -

b) , In.


'

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29

Si 10 .$ ' rilimeros a y b s o n eqnirrmiitJ unles 0 1 por m y m ,! d; tam hi On In ~()l'a 1 1 <11 tJiv:Uiirlofj

C(JToldl'lo.

di'v iclJrlos: por d ...

SL III dwi(ifr por m; 10.1" ruimeros nl~ a2' ' , , •" ., iln son equirresoduatee; reepectivament«; c o n los n r t m :c r : o . ic ; /j1.' b.2 • • , ,.,. bn , eniances; tambter; lo ,w,'l'ifn los tuimeros. -+ a" y 'b i at, a .~ <>2 -t b," ,(~sr :como lo» 'i'EOHI;':i\IA Zil.

+ + .,.

~ :« 2

.,

,

Y

q;'1

£ 1 /',2. ",

,_

s:

+ + '..

,b i>

,

al di vid i _ r - llOf' In 1(:)$ [lilmel'OS n y b SOl! on tonees ,to inhilln 10 sot/ill li" y bn pru:
numere

A.

1314

=.:..

2"[',51 &,

-

Evldent'emen te,al

il ividir PQr 31 13 'rosl:LHa equirresidual eon 1,~2.coti. -'l_y5 :talilbien con :-1. -Qtiiere decirque.a base de 10 d.emos,tl·ado-, al ssr dividido. put 3" ..1 es equirresidual

cln:umero 116

COD

(_-1).26 (-1)15

-

es iglwl

o sea, eIres·idUQbu§'cado

por

3;

null;1:r

-:EJE~I'LQ2_

==

It

=' _ O . •

~;~r:oy A ,e.s divisilile

e l ]'es.ia uo d·c In d.l vi510 0 d fi.l misl'M

num ex:O , A ,por 37. Para as-to prssentamos A

-= 1 --"-1

A en Ia siguiente

forma:

(2~)L GjS)~.

(132)8 -

.Dado que-al.ser divid ido por37. 1. : 1 2 =.G 9 esequirresidrml COIl -1.6.,2n- =2 con -5 y 51 1 = 125 con +14, elllm1C~~S('1 nl),ffiNo A !'(]tegrn 1 0 Q S _C O U (-Hi)r8 - (-5)~.C+f!ij~ 0,

10 que

0,£1

'II) mismn,

con

(Hi2J 4 Pero

.1(\2,

OR

E'''lo'lignH ica

+

70'.

..le d r 2 5 0 . e s 'e q'l.Iir.re sifl f'l11.('

nil

I

t:'.lJH - ...~ IT

7 1 ) ('OU

_ I.

/1 os ecru i-rro:;;id ua I c tUI:

(""-'--:3J4 http://slide pdf.c om/re a de r/full/c r ite r ios-de -divisibilida d-vorobiov

+ {-,i)o 31/100

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30

0,

Y1

10 quo es

10 mismo, con

81 ~ (25}2,

por 16 tillito,

con

81 -

(_5)0 =j -

25 = 5G.

POI' fin, 56, ai set' d.ividido por 37, resulta equirresidual con '19, ~1cual, a] .no ser negative y,resuHnr .menor de 31. se considera como el residue huscado. Problema 2 . 1 . Hnllar el residuo de la divtston de': a) A = (116 -I 1 7 . 1 7 r U por 8; h) A. =4 : ll66 por: 1 7 , Problema 22. Demostrar que para cualquler 7 : / . : 1 1 ) (Ii:!

+ Un):

6;

_

b) (~n+ 1fm 1 ) i 9; c ,) (wall 1) : :1 n+ll; d .) para cualqrrier a . [al!.n+!

0)

+

(a.-1)'ft2] :,(a 2-a.

para cualquter

---I

1);

k,

(nib -

1); (n -

impar,

f) para cualquier - k (nh

+ 1):

(n

.1.);

+ 1.).

~, Los nl'urreros a-y b (rue en la (Uvi~i6n por ilLson equiITcsjf3uale~. 'tamhien Sf) Ilsmun co .n .g rt~ ente-sr esp eeto o l m od 41 tl ~ . Illsto sa indic~ as;-' a

= b ( m o d . m ),

1 1 1p . ropia f 6 r m u l a s e llama rorogn.ellc_la •. 1 , ( 1 , congruoncla d f : . dOB nume'r~s respecto ·3 'c:ierto modulo Jijo ,n divi0,.10 que DB 10 mismo, sn pro'pi£ldadclc.teslduflexivu: a ~ a (mou. TIl). { )1If. En cfecto. 'a - a = 2c Prcpledarl simstrh'I\:' si a , ,.... 1((m611. rnJ. entonccs b -= u . (111(')1i. y

!II) .

hocho , si.(a - b } om . cntonecs (aunque sea .~6Io por ol ti:'(\l'(~' mil. 5), tilmblJn 01 - al ; m· 3"Propirdflrl 5 1 a.;=: b (mOf l. m ) y b ~ c (m6I.1. nt), t·r:;insitiYIl: -eulonces, II""" c (mod. IU ) _ .' Para ~a demostrscldn cs suliclonto B(liilllar que Illlr. el lecirc-mu 6, ]j(>

t1.l' (a -

b) : in . y (0 -~)

: rn se (l.euucQ que

(a -

,:).: in. P O S ! ! £ ' propiorlades de~)

·S i u n a re ln c.ii5 n ( Ill. d O I1 i.g D a m o s P O l " T U C I 1 iO Tt,flexlvD.. sim6tric.n y transltlva, sa llama rel{lr-i6p. tb euui.l-'lzle'~oi(L (0 http://slide pdf.c om/re a de r/full/c r ite r ios-de -divisibilida d-vorobiov

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3t equiMlentli). EJ ejcmplQ rmis simple de felaci6n equrvalenjesobra -un nllmer'Qs conjunto de 1 '5 In 1 '1 '1 ac i6 n. d e igualdud, P'ro6/i:ma.23., La Tclaciun de equivalcncla ......suhre un tmiji.lllto dC' mimeros divide (.IOstD en tales clasos Q tipo~ {llllllliH lu!;; de cquivalencra), de una misrnn -cluscson unldos Jlor In que. dosnumerosclli;IllJsquiera re.la .c i6n d.e ¢ qw ,v aJ etlc ~ -y dos c.ulilesquiera de clasps diferentes, no,

(D QIh ostra rl& ) . E ste prol:ll'om n trnta. soh ro

In relac16u de equlvalencia q ue enla za los numoroe. Sin cmbllrgo, csto no es sustanclal y In ilJitnl!\Ci6n de Liiehoproblcnnr cs correcta para l'emcJOJIE'S d~ equ i"alC'uela que une objclOB deIa.mas arbitrari« naturaleza. Dado que la reluduu_de .coagrnencia respecto al mOdulo m es relatamhien divide uu conjuaro de IU~II;ncrogeatcros c#i:n.- d¢ equlvalencln, en clases, Ias.cnales se llaman !!lase:rde .restos respccto .ul Il1od\ll!J ni, 4 La' canfidnd de clases de.restos respcctc al, mddulo m esigual. a . m. De hccbo, des numeros a -y b pertenecen a una misma clase. de rest o ' S resIleclo III m o d ulo I n iinica y cxclusivumen~e euando. a l ser div:idi·dos·llor m nUll cl mismo l'()IDllncntc, Perc e] residue de la division por r n : puede tener exactamonte m vnloros; 0, i 2, . ", In - 1. Por 'constg111enle, Lambien 1 ft cantidad de elasos ea Igunl, a . m· 0

('.'{(.raordinariaJTlelit,l'\3oiinlnmoB UU1'l circunstancla interesuntc, q U e haec li~aB prcctso cl corolerto del teorema ''1.9. . Para que entia clasu de 1"f'81,IIS resper,t~ almodulo 'm~ es\ecollt~rridaun

nlg1lIlli clase lie restos

respecto ~lmJJdulo

l)l\l

cs nccesarro Y $UIl-

etente que ml lTnll, Efec.tivamentc, examinemos Ia clase de restos K l rCspccto al100-dulo ml que conuene el namerc O. Evidcntenlcntc.la clase 1 < 1 esta cornpuesta, pa r todos los num erus que al Bel' divfdidos P 9D m~ dan 0 com o restduo es decir, son divisihles pOI' mJ' E n particular, ella conIII modulo m J! q ue conL ie n!! el n tn nero Inl' L a clase de restos-respeeto ,ti~ne Xl ta:mb'ienPOI" contiena 0 'Y :por eso csl.a compuesta de todos.los nu " meroa.dlvistbloa 1'l2' Dado que en ella entra el ntirnero ·mI. debcni ,ser mI.: 1 1 1 " . 2 ' CO!!.esto queda demos1;r'ada la necesidnd, all 8tilidcncia '('s evidente, De t:~1 morlr», In rela:c.ion de d:ivisibilidadplwde detcrminarBc por lIwdio d e ]IIS ecrrelaelones entre las clases (\1) restos, Eslc prneedimlento _permitI' estahlccer L a liiv isih iU da d P 8'r1 l oi)jetos dJ! Dat,ll'nlcz(l mueho mas general y compleia que Los llum.E'rOS natumles, El suoostvo Be~ l.IlT ono de esta"s ldcns conduce t' I 1t'11.t'or)a de gl'upos, nnn ram a jmportante del A l g e b l l { l contcmpora:nea qut> til.'ne Ilplicllcm'in en III rfsioll It!odca Pyrosigam la cristnlogrnfia. ns lit enurneracien

de las propiedadcs de 1<1cougruenci« , Por t'l teorerna 20 SI! deducou inmedlatnmentc: 5 Si a ""'" b (rood. m ) y c .... (I (mod Ill), entouces

de los

11 urneros

Q

Jl

Corolar:io,. Si a

==:l.

+

C

zza

b

+d

(mUll

In)"

II (mor1:m), 'entontes a

para cualquier cntero

+ r ..,.:b

+r

1 1 1 1 6 . 1 - rn)

r,


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G O & a = I)

(lnlIlL

m) "If (I~

d

I '_ _

(moil,. m ),

!)[\lOIlC,~9

= b (i (m6,1 1l.).

Las J!~l,Ipi~Uudl'~ ii'~')' (i- iuuestran 1111(" Ius 19uuhLujJe,~, S{!' puerlon Jl,umar

-(!.lW

las

10

u!lrgnll'Ht:ilU!,

.y uu,lhipIiC llt·

miSIIlO

mieinbros.

por

2{, Hl I'll U H l~( luj unto (1 (., n(mlcros en teres ~e rla L a relaC*~ll do c q 'l\ v( jl« n ~ _lI( " '. que to ~lilUIJ t'll In cluses, (ll. tuJ modo qlle de a "'" b Y tr, - d 5 1! d.l,d_"u,a 11 C ~ b d , ontenccs, ia relilr.i6n '""' ['rob l~ma

+

I:::erfi una

c(mgrtlf'nc.l>ll'esp(,C-l:fJ

exclusivamenlr, c unudo Pr()/)l'!fIIQ

, I C ! Ias

25

", =-

.FOl'lllUI'lI'Y

!C,(I!JgI'lwucitl,;.

+,

ai modulu b (mud _ fIl)).

'II

(es III/ell',

Ja,~ ,rl,!t!:las

Ik'lIlo,stnll'

a --- b ,'juicay (1l)

siru_pliFicacion

PrvI>IN'JlJ. 26_ 81 ('1 Wllllerli l' Ill> prim.! I ':! il imllvisillk l'()T el, euton211, 3il,. i,!u;!_ Illin1\'TOS ('_(1[1., fl' - 1) fl. nuucu hubra gl'lI['lltc-~ entre SI resped.!. illmod_lI!(' p p"r l'I'.", ill d 1vldir 'lOB nUUll'110S 11 a ptH' p, obtencuios una sola Yl'7. cada rositluo , tI, 2a, 3a" • , " (p ~I!S

I I

entre a,

('xc,epdol, del j'r,t,bit'llw

es Ilt'l'eSar!u sea. dki~n/Jk

los

lC n.

27 (l(~t.lI'(!1l111 iI(' Wl~I)\ll. Para q~111 i'I. .~J,(jtr'I"1J I" lfJl,'" (/1 ... 1). 1 ,,' 12

+

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tea f'rirllQ

. . . ([I !

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I):

ljro1JllflJw-iX. F()1"II\ld;H' S Ut'Ill').~I.rru· j·c:;.i(hl(ls ()(Iuival('nk:!.-

§ ::I, emTEn1QS

'l«fll~i"1

I1n l[,(,)l'f'IIIH all;l\o~()

ul Ui para

J)E lHt.sfDUOS I'~Q(ifVA['ENT"~S Y TIlVlSlBfLIDAD

1. 81-procerlim iento

n1ny gunorn l de hallar

el ref'iduo

de

:ubitrOl'lO, L a dJ nnu vi!:li( >natm:al n de UTt dado numeco~, a.conaistc nnturnl on por 1 0 _ - l i'.ig U L Oaunqus r l Le: VII£1jo, mos

a eonstruir

Jaslr{'~si6n

de uumercs

n~o.tm:aJcs (8,1)

equirrosidun les pnra In divisicn pOI' m, El proced imiento de construccion de 1 0 sucesion hade ser tal que a: cualquieru de sus t01'm.i.no~, mayor 0 igua l a rlt, 10 sucQ.dera POT lo monos uno rmis. 1 1 : n tnnces, ovldoutemen te, cualquler t6rm j no de ]0 slIC{ll'l6n (3d) .mennr de m (si desdo lucgo est a existe), se'r'lJ 1 9 H al a I residunrlu III rl iVlsionrle a porm. Dicho tet'mino puode sor. p O T f1j(~Hlplo, 4 ~ 1 {ilUmo de l il sur-osidn (rr"iruhmo fit ella exlste). mil'" ~0n('illn~ r i o . ul f;IICCI::,i6n OR UJIO (10 h ) · " 1 ,ejrmllll)~ 1 '1 ( 1,;1 ), l-IH Tlildl\ del ji. U,,§ 1: a, a. http://slide pdf.c om/re a de r/full/c r ite r ios-de -divisibilida d-vorobiov

lit .

a -

2m., 34/100

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J ) e , heclro , los. P "I'(J,b1;em as de .hllilaig{)dQre5i)il,loen los' sjcmplos 1 }':'2 deLp;j:.r-ca,fo precedlm1;fil ~e·:1'~4U{'efl:a 1;1 c:oqStl'\)5~~ ciuit do sueoslencs deusee kipu. '. Cnalquier ·procedhnjei1to. de coustruccron d e e H I sucesion G t 1.) que couW,n.ga e1.u1timo termiJIQ, :;erii 1 1 a : 1 1 1 < 1 . ( 1 0 cfitetio d e re$id !,lalid .(J,ilo d e r(lSiaUQs equuialente» par«. Ul dipfsiott por m. Hel ajernplu .que aeabamos de- prestmlar se despro:uq:e· que uno desstos cTirorios as elproceso de ir restando sucesi\:'nm:OJJt'fl el mnnero in, hast~ obte.nor o j pd.mer mlrrieto 6:1. meuorgu~· 2. E vicl!;luteUlen to, .pat'a: gaJ'uutizlll' unc.rlteri9:;leguro .deequirrssiduaUdad .0 de.residuos -equtvalentes es n e c e s a r i o que' e l sn:tisfa::ga las Ires condiciones siguientes: 1) EI crj·tel"io de residuoeequlvaloutes debe-seer aplieahle a clJatq~i~r nurnero natura] a. COIl' otras jralabras, cIHlI~ quteea que sea e1 numero a, la sqce~i6n (;t1),,(.',onsLruLda. por 61, realmen to dabeeD . tene" ! In propiedad an ttl~ ind icada: despues de ea da termin.o· suyo no iriiaxiol' antI do]jora seg.uii' siquiera UllO. .mas. E sC n es la _ p.ro pic dlld masiuuiad .

del cl'iledf'l, H a m a d a

.. 2) E.l.c.raorlo de equll'J'eslduahJncl ha dp son peeciso en sumo grade, Es de-cu.e1 fLlunetua ill~,be determiner com p letamen te tedos: los termino!:; du Jllsi.IC·l\SW n (3. L), sin dtlja.r Lugar a, ntnguna aebitraciedad . 3)

estar seglltOS do que al menos uu. (3.1) es menor que m: Esl.eI'equisiLo pddr'a:;;er C'urnp1ido si. construimos la sucesion (8.1) de hi m od 0 : quo sin f.aitil. pesea 8610 una C.l.UlUaltu Iinitn de t6l'rni~ .nos, as d·ec,ir; que el procsso de su eonstruccion no PUIlUll .'ppJ!'ongarse till .Liempo In(lcHnido, y ta:rqJ:l 0 l.u(uj)ranQ~er.mine. con la. aparlcren del residuo tie la division de a por In, POI',

l'in,

debemos

Le:l:mirlQ de L a Sllcos[on

La propiedad del criterl.Q de residuos eq uivnlontos

enuueiad

a

:68.

. Llama S:U e.ji.cilm cl(l. 3~ Los pl':QSesos dotado-s d.e propiedades d.;-,rnaflivtd,ad. :{Jf~cisi6n y oficiencia" se denpm.iJl.31l .(tlgontnpos Y L\Il' In s mHtem~ ticas :ac.e,l.utles

'irnportan te.

So :s·o-.brel'il Lielfdeq

il1gor..it;molOomo enumeradas,

sido creada

.

ue

proesso

(10. 05

.pot

d esempef an 1 1n

J/,I~

J)il

..

lti

rofe.rillu

dotad.o

su .dofiniciOil

ella

l"l'

!!(:lZ H I. aS

oura.CiLe1'lz:acic)J1

i:J;el

de Ill:'" t re s llwni oil < : H l e : s : ~.xa::Cli\, A P9SiH' de hHhe.c

matematicas rnodernus


Pie'!

ea relal.ivurneul.e 35/100

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34 y IHI

0

]05

ui no !)urefit-jan formn 'N p b s t acompletn comp l ola CllU1Ot'r';lIJoS ed ('. scr ,de Ia da , hasLaJLLo n eo, requtsttos mnnera ras condiciouos quo doberan sut.isfacer lol'l procesos n:iaLcmo.tieos Ilamados algoritmos. E1 papal do estos liLtimos quean de~ermllwdo,por cll1ocho de que son proccdrmlentos unifortnes J e :rcsolucion a c toda una serie de p rob lemas dol misrno lipo. Ai'll! cada Crltci'io ae oqnlrresrdualidad perrnito haUai' los rosiduos a t, la o diviRi(Hl ue uu rn'imero a: vartuhlo (jGr

llno In . fijo , Hahla~jdo

. algo

Il hcemente,

se l·cduc.en a algoritmos' louos c:uyaf.i teSolU010116li pueden Set

rnutematrcos 1 . 101' e80, 110 escasual que e1 C!C1lfll'rOUll de lu teoria rIe los algoritmos coinotdio historicamente con ill

los prohlemns automariaadas, aparicion

y difmli6n

A algorttmos

58

de,

las computerloras

reducsn no

SOlD

elecl;rollicas.

los prcblemas de eompu-

Lo', on 01 senfid o (lstrictQ de in palnbra, 0 sea, aquallos para los cuales, basandose OU los tl.atos irriclales, por reglns m a s

o rnenos ccmplejas se puodo obtener una respuesta numerica, Tarhbi{in podernos planrearnos III lama de hal lar un algorifmo que uos permit-a resolver .eualquier problema en a lguna rama (por supuesto. estrict amente delinrrtada) de Ias matemriticas. Este algl)ritrnQ deb,era. 5,81' capaz de t:ran:sforrna.c las Iormulaciones de los teoremas en SU8 demostraclones, A pes~lr do lo Jan L a sU co q uo nO$ puod a par-seer, tales ItlgorlLI1\US

extston, aan cuando se empleen en esreras .no

lHUY

nmpltas de las matematicas.A su vsz , en ch~.dm; esferas de estlls (por ejemplo, las quo abaccan todn 1 3 0 al'itmeti(',n), dLchoslllgoritmos no-puodca existtr 0 11 pcincipio. 4. Preoiaemos, con arreglo (1 los ccHGrlos de roslduos eq:.uiv:iIQI'I 1.0.8, el con tonido y las consecuencias de f) bservar tres requtsitos plantoados a los algorit moa. De 1a masividad del ('.riLedo d.e equirresid ualidad so il osprend e qua 6sto debet
por cuulquiar m ";» 1, no wd os los :nurnerut) red undan oqulrresid Ira los EW h:e si). Esro Sigrtuica que (;·0010 parte IIlLograute includihle de 0 ; ' : 1 1 . 0 pmoeeo bieue que figu..r
(:1.1) d eheu


ser (ti(:1entific.Hble.'w

a tal punto

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0::;'(\1'1

hi r o I n (WH 'l'o:o;(g;n iento rl e [{to p:if!d ~\fl de nfiCielll'ia. adorlHl,::; rlo torlo W~ I ),

que ~lo, e'lll)~"~(' dlelian lr!):::e .'! lJcosien ; A.I.,.J ~pueda ror

.fin, 1A

l~lIhbteri.llevIl tras d l\ ill una.necesldad de po~l [)il i(hides ilimi(nelli/;\, pura compnrar (pOT , 1 1 1 11ll.lgu i1.nd-). 011 t:atln '{lil:';O' rlo nll(}R:[:rIJ PI'OCClSf). c 1 111rnsro (I h~e!lid 1 .1 A It r (HI C1 ~Ii isnr In.

A,~rTH1es, La obsorvanciu

de C-:1QIl uno ric los Crl'.~ l'tiq1dW:(1~ ,£ I1go l'H m i'c os, po r (\1 crfteeio de eql1iIl'c.-'idlln lidnd so Ilpoyu, 'ante L ono, en 1 : 1 , illdeiC{'.I:il,)le neeesidnd dcradEll'
_

:3. ~)211.31 Ji'!!!_

,all} -

2. ;'l-U'I ' '7.17

{-::\.2 )

snn igllqJes IT rl.Hcren-I-('~<; Y_, CH 01 'ul t-im9 (',ISO,. c uid de 6Jlo~ es 'f't Jnn:yrir,- rcql1j nru consuhidos o . s f u C r 7 . 0 5 , aunque HI').real id a d , i H p,ririioro dB It'ltos n(im@l'<)fjes so lnm o n IJi UII 0 v til M g\;nllo ;{ , " . T

Esevidentequo

In comparacion de los l\'I]m~\r'C)s d(! (il.Z),

:~cgun F I l l nm .gl1lt!ld.('~ M U cH dob idol 1 .\ r r~ l'm n d o -s n c:~\,'ritu1':11. Flnr 10 tUI1 t Q. pilTA consuul r 1m : ('.(·fLnrin,'1 do (\(PI irnsidnn] i da d .os m u~' 'j rnpor+a 11 t.e ]1N"s(m I,ll rIm. 11 Umoros de L a 'I rnanera que, 'hi rfl1 ib lem en te, pu o dau ser cnm nn r/Hlos' .cnn rl:l'r(~gJo II $ .11 m ngnitnd. D lchas form ns do a..'lCI''i.l,m'lI cxj;~l(lt1. P i)l' ejemplo .• :'(1\11 h\1') Qu9 se hacon '11 unes 1\ otl'l")<1 s.i~tC',C d , ! ' hw;e) (vensf!§.2 p.2).EI ! ; I , I I _ < . ; nunuiriecs fdgoi'itrno ( H H ' f 1 eseritos en lUI Iftl;4rnosisl,DIn';,1 11lL'COril;pnrl1I' ilo,," ruimoros, rrj.e#.c,(l \ :ost.r,i ba nnl 0 q~le sigue: 1 :) AI "pt.fncJ piPNI cildn IIl1m(lro<;,e til(: hMI las,d 1'1'~lSlftil

por linn (comenznntlo, dig:lIl\of\, dl'!"lhda d".!·!'I',lm); sl , dO:'lrrn6s: Lal'lI.H!]Oj que UTIO de, ellos re::llilltl:cOmpl(ltnmeuto ill (ilro a un

le

{pfcd;jll~ntll:'ismos,

en

j,OJ1(',es

,('I

~(>g'l!lldo

~er;l

ntftyQF

:i" http://slide pdf.c om/re a de r/full/c r ite r ios-de -divisibilida d-vorobiov

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que 01 Iucrou pr imero vugotedas ; pero si al en mismo ambos nfimeros reservasP H i do c.ifIas Hemp(l, .las entonces, -a conrpararlos B;(' ejll-cltLil el siguionte ])rocedhrrio"nto: 2) Las' mscrtpcioues de los numeros que se verifican sa rsstableeen comparsndo S)lS prtmeres (desde ta izquierda) guarismos, En este -caso, cuanto mayor sea la ciira, mayor sera 0-1 numero; .\'\1 las cifras rosultan igualea, an ton cos pasamos 11 compar ..u· Ius segundas, etc .• hasta que apnrezoa 18 primera d-iferonda deestas, Ademas, cuanto mayor sen al guarismo , mayorsera el mimetc. Si todas Ias ciira,s :l'espec'ti V 3_$ de los uiimeros r~~u1tan identicas, todos los m'imcros seran iguales. Al efectuar el segundo d o e los procedlmrentos indicados, sa supono que sabemos como eomparar La magnuud de Ios num eros ulll: V 'O C (}S,0 sea, m enores que 1.8.base del sistema uumerico, Es~o sIgnllico. qne en cada aistema numetrco lOB sign 0 s-cdtra s imcinlea de antemano son presentados en cierto orden fijado; por ejemplo, en 10 numeracion decuual corriente, el signa «2» antecede al « 3 » , err 1 3 1 sentldo de que cl primero describe una cantidad menor quo el segundo, Desd e el punto de v ista de tal 'c.otojo tilgorHm ico, todos los sistemas unmericos sou equivalentes te6ricamante. En este sen Lido, III comperacion misma de lQI'\"sistemas numeri$ElgUn cos puede servtr, au comodtdad pracLica, de ejeroplo de planteamionto 110 algoritmico de. J8 cuestidn (no se cumplo In COiloid6JI de pr-ecision), J)ero en esta no .nos datendrernos. 8610 prestemos atencion al hecho de que en dicha cuestion 111 Iuerza de la costumlrro de trahajar ('011 'el sistema de mimeros decrmales no 110s brind a n ingu a von taja p8'rLi[ I

culan.

6. Ad\11l1'US. do los <~JgOl'u.mus dccomparacron de numerus, escnito s o n u n mlsmo !'\l~LQm[_l uumerico. exifoll.eTl tamhien a q uallos con 10$ quo se ejecuta:n ope.Ntcionesarilmet:ic8f.l. Son los procedimiantos till udicion, sustraccion y multipltcaciO n, do numaros « e n columna» y In division esexagesimal» de eJ1os, uni versnlrnento conocidos (y que, evidentemeute, dependen poco de In base del sistema iuunertco). Claro l~Lii qire (Jll (il uiLimo peocedimrenro 10 mas adocuado quiZ[iS sed"

JIO

h u h III r

f;l III

IJ lemeu te dedi

Vi:-;jOJISlnO

de, d ivision

residual. A I ll,jSCUlJll'

Jo-IS

operactones.

IIi\' if ) hl pl'kll~'1Ide:> manejo http://slide pdf.c om/re a de r/full/c r ite r ios-de -divisibilida d-vorobiov

IIOS

proporctoua

dol ::.istelllu de num oros

lin gran docim a38/100

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!:lo r' ejeJ l.J pl.(), 1< 1ojC(\u,Cl'on

les.

1 . . 3 . 'UQ '1232

de In oporarl(,n

122.. 4 3"1

24"0

2'~: 4 qulnanod

en 01 sistema

C

11 numera ci 6n req

tIll'

J:() {{

c:tQl'iI1

innd os

esK uDe erz o_IsL t. mnJgo.rtLmiza.ci6n e nt ales, de Jud't vj~i:6n tQJliti'uul ,~c tlesptflnde ta rn-b ien, sfigun (0 dicho enel p. 2 § 2, In idgoritmizaciou ,d,e! paso de Ia -eserttuea de los numeros de lin SIstema d-e. nornru:ii,e:iQ:n a otro. Porconaiguiente, porlenros ha bJar co m pa ra cic n tam bien l;1eJo o5 ,a lgo tH m o o5 de de 116meI'o" 't d~

ejeCollC16nlo' operacioaes em] enos) .srea que sa hallanesccitos on illi>tinlos sistemas fim I1Il'l'icoB.G om odediu::cw iI ulterior. doses do deaqui resultaque todas In}! lasquoen f6~'iiliJ1asRritm6ticllsen Ingarc,omp,utos, de 'h~tJ:asutibizando _P\i.!lnmo.s coloear unos uotros ntimeros, Sol) algoritmos, It por fin, prestemos utencion ,£\1heche de que aqui no hablamos dnl 'algorit.niO del pl'opio proceso (le 'f..~eritllriJ. flo 'IosIl u m e r o s .n a t urales, arbi trariarnen to presenladcsen UIlO II 0:1:1:0 sistema numerico, YQqut'l uadio sa,be, .:,~t'.i1puud e ser

el p.ooblelPa Inicial, don., ' 1 . .C oComo m p o n c m'c.jomplo oa para jlustru.doruxammcmos cada. mi mer o .nacural

si6''lW'ntc til!t611~tru(;in StI()e~i6n numl!'f;) dC5M.mpvOl[cilm de un~

fI. III

~ S " ) ' . a i l \ ) , !1 - 1 " \ .. " quo son \U ~ ci[ras ~ll!t\im31i:!lfi"nilu del nfuneroVn (si eL'll(Lm'Cl'!> (ciYraJ!)

/, 1 no es ( _ ' x a c , b a m i ? ' u L c uu cadrade, oviden temonte, estu sucesion resultn aperiud r C a ) , adm Hlen,]o

'q u e rlrlr, r a : n Bon 195 n(lffiQflJ,s·,de las cirl';l~'g tudc51l.cr.ru:a~~' (Ii) = =0 (f =1. 2; .•. ). Si a h (fta In _NlO lhlad t i E ' g ll> l ris1 1lo 's ~ I!U a ]M C!.tri) C 8 f,in tL fI . (~on el ultimo de CU05, un mimero T~'~'tal, qU(~IJSI),,'i;"n pura 'I >rItRI,) ponem os que I ,

f pe,i:Q

81

111"

'

.,

I'

.m (II) =0'1. (:,111

tidu d

tIll

+ fO " fro + ....+ 1O '1~'m . ~I I. 011Vj>

(>8

inf ini tn,

etrtnnccs

ndmi:tir~

lII,jH

,<11,/;11-

mns, que l ( N i= O . C u iln 111)0 de 105 llJlmel'<11l .t (.'l ~~ naturul. .,COll Lilli" se ff1riia dudu~() IHiLlatde un algoriLm(~ Capll% (1l' I.rilnsfiil'mal' f!i nltm:en. II ('11la escrltura rlel n{ l111ero .f(n.j, de,lJ'tro d:el ti,j:Slema nmneric'o' di:o~,imi~I,

~u ,w b cf'uuti" ,lllieq!lC !

111.ff() IligotHn1lJIlidnd

!It'

o s LI'I J',l;')l~ lr ur r il'w

consist!! en 1 1 1 '('Xigl'lWltI , d e l . l i ' l , . c . e r n j r si rn 1a dt'scumposlc.16.1l n p C ' u n a l 'v"ilreSilhilra un niim ero finit
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38

'I,ll'

!). UIIO 1I1'\'3 (,j

d.; 11." hub Imp~rtliflll('S ldg'(I,i1.IJ1')$ (,'1\ lils l!:'ldidl':3. ratllca Jlil,nlm: de en Io .:>igllient,l';

a. L dll$ u!lIr\er<,os "JlI,lll·nl~.~ y l'('slillliJi ! l p a rnr /J ~ i~ = .IJo

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,Ie l' po r 1·1:·/J ' rig, -IPrul:ligulcmla t'st;!!; ~nce~ivilS clivisip!ieSl'c· II!'Vi8i0!l·pr~c:e{kn!.t· obl('neHl(\~ las siguicnu:«

La Illv,is·!{1l1_1:p.lii:dl1at

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etc.

l'lrn'l'I:I'sr. Ih15(!rlPI.o C,B V('rdl1d.l~~I!mrIlL(~rur a\g~!IpH ) rlll"en II!!! Propil.·rllltl(·S d" Pl'i.'Cli,1WII. masa y ('h-

Ijllt'

';·!('JU; ill ,

::;;,'U,.il!:mll:> que d

POL' IlV!l9.tn),:; prncL'~() exutninarlu l'ildl~a en ~fecr'iSidu,Lles. hlllr ,~uei's[:va~ dlY1SIOlH'S POl' 1\~lJ. lil~ JII·!.'p[ ('da .i1t!-~ ·( ~ (' ,p.recisiou.:l niHSll, , d ( ~ f'sle pl'(/(~l'si' S')!l l'!:,~11H11~OS lk Ia,JI!I!lIJ.,lua 11()SllHh!ln:d de reah~,\CI<-l1l )' uuicidad do la II iv isi<:m f(!sldu1I1. Lil ('ficj('lIcia de nuestro proceso W {ltftel'mina ~IIUI])iCIlIIlIl,' ftidlnwnll\ El, niiIlWI'\1 b "los resitluos (1(, las.divlsloucs in!,('-

r,,".'!llllf.'.~ ;.'u;rrll'"

; 1 1 . ' 11I1t'!>ll'(. < I t ' h flnlt']'(lS

Pcro 1 < 1 c,u,llitl,ld

l',vL,lculI'IIwntn.

,It, 1,.,.1(,.., 10:>uumuros

uo uegat.iv!)s,

slln~slolll's

11('

deere-

mart,rl'S

, Ii_. b.,

J . Por I~S()_ tllmpoc-o 1 1 1 !:Iltc.{'si·on (U n puodo ~ ~'JIl:ta r cou Ill! b tel'm:iu(!s A ~L nlw.~I-l'lI proeeso no Vod,':\ csl.il1' Iormado P O I '

t:'13 i g t l u I iliai'

+

pt'V('i!Sti r('I'Il1i,IU~, 11(1 !J('g:~Li·vus

II b

mas de b ( \h Y i s l (J I I I'O I n~:;i(\uul('sl). De tal manora, l'll)ri)CI!!S() examtuado es, efe,el.iv[im~'nl('. lilt nlgorilrml) - y jusJWca. con t o H l a plenitud 311 denomtnaoion . .....larcmoa .lus r onrlictones en glh) HnaJizil ('1 proceso. Evi'de!lr~mente, In (I H-i m a !ii vi; s:ion.d(l'ilc v{ 1 Sl'1' tal que hilg'u Imposilrlc seguir dlvldicndo' por 8 11 residuo. Pero csto ncurr '!i(IJlIlnente euaudo 61 .'r;; igunl II 'co'o, II S lill, .C,UIlIlUO IniHlifllt\ ,division rj!~IiHn exacta, Problcsn« 29. a) E I ultinlo rosiduo 'p rli£p.rentt! (it' cero, en h t' a pH eacjliJI dIll 11lglid!.mo

b) GilUrl'sqILi£>J','

+

do Eucltrlos a los numerus a y b ._ e s ( a , b), 1l[J'('!l_(!
enterns

A - y B que /lA. Probleuva: af!, Derlucrr Ios teoremna 9. 1.2, 1,~y 14 del resultade III del problema 2vL (;)llhrayalnos que nuestros razounmleutos, liglUlos TIl uhwl'itm:o (1~ -g"c.lities, ffletoll basados solnmento ell' laposlbilidnd Nosotrus no empleamcs ou llllo~ ni de (dhcluDl' div isR ,nes residua les. lOB Lt'J;li'(~maS

f! ~i4 Iii 'c ':o alesq uk'ra

otra s

c.on.sidC1~ad(Jnf's basadcs-eu

ol

tcorema Iuudamontnl, de ill aritmulicu.-\ 9. «511

r .m

apU('Arj6n

1,mbajo»)

pUI}('10

dl,)

resultar

101'1

algocit mos

bastante

(pm: deciclo

vol.umiriosa.

asi ,

Examlne-

mos, com o ejem plo •. stproceso para obtener au descompostci611canonica pOI: cl mimoron (0 sea, el a lgorH m o que trans1\ Dehocho, el nlnnero ~Ie('stils divifliolles I1n t.iene sohrepasar ;) 1(1~' b, 10 cual Be dosprendeal examlnnr los numerus q_\JC de Fibonacci '(vease,VtJJ; l'j~J}lplo. el Iibro del auto!' «Num¢r:os lie Fibonaccb, Editorial < iN a i! lt a 'b j 1 97 8 , pags. 82-83).


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.3 9 forma

nntural

ell su de,'3c-oIllPQsi:cii'ill('il)fo.nica), ~lgOl:hmic"1 do ~5Le proceso induya-

un mrmaro

Para dQsl'll:car In osencia moslo, como etnpa, dcnku del PWC:OflO d(l IlIllJazgo sucesivo do IIlI' dasconrpostclunss cancntcas do todns los .luim'ero's naturales, uno tras otro, Esto uv nln 1os ~ iguian:teS 1'0 Z an n'rnien tos hochos «por lnducclon» (vease p, 7" § 1). Supongamos que para todos los mimaros mouoros de u; Ias rloscompc-sidonc", canorrious )'3 han .sitlo e~el'itas. Par tnl Iista es bl e sa her (en forrn 11 WID rileta men to: nigo rItnrica) emIl es pos i de lo s numeros inferiorcs a n: Son primos: Enumenindolos de menor a mayor, csdn uno de olios sera dividirlo por n. S f n e~ (U ...- lsiblo por (',ie:rto p, entonces n = = nIP Y nl < n, pero In descom posicr6n canentca den, pOI' 10 supuesto fig-urn en. nuestrn Iista (vlsto el .resultadu .delproblema 13 es suficlonte dividir solo por aquel los p que .son mcnores por Ia de. - j / - - 1 i , ) y 80 obriene la de~G,ornposir,i611can6nien 1

oescumpo"i("jOll canonica nanto p on In tmidud.

10. Vol vsmos,

de

en e U a

numentadu

fill

no obsta nL~.

los cri'terioa

11

sidua Ild a d, J..a (,OUR1T1H :,Cl6u algfU-ltmic,1:I.

el expo-

de equirrc-

de 1 . 1 1 . . , I l c ; e s i o l l

( 3. I.)

puede ser ofectuada ]101: muy dlvorsas vias, La IOU'S nntura] es Ia sign icn te. Prncuremos ho.llar Ia funcion f (;t) sujetnn las <'[)Jtd--idoTl(>s q~\)e siguen:

a) para. .. ::;.:-,ot el valor de

t

(.t) os

natural;

nunroro

\1]1

b) 'Para 3; < 1n el valor (le f (;l') (:I$. indcterrnlnudn (os do"I : : , r ~ , no H Em e sontido): (no M una a a sorn broso q U P , . IIlIU U otrn Iuncion pierd a su senrido para clertos valores del nrgumento, P O I' cjern p 10 . no valor de 1<1funoi'on

10 bienael c) si x. d) si x

>, n t"

>-

entonces m, ontoncos

z

1 1paNI

(x -

(;r) '< z: los mirneros

f

a: y

.slduales 1a division Tal es pa:rR Iunc lonos oxis lo 11, poe POI' m, ujemp 10,

III (;~)= {. r : ~

tn. ""

x

>-

indctorrninnda,

J ustamen te Ia sncesion

G n t a . 0:') In (1.3) en § L

'T

J

f .flO

= flo

:1'

-t--e.

11~

(.:r)-$()Jl CIf\liTI'(I,( ; ):) :

lit.

para

J "';-

tu lld611 ton ht.

m

It II\)

<;('

cOlIstnq"e

Il)-d)

Cada fnncidn

f

( x ) que satlsfaga


las condtcionos 41/100

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40

responde a dodo proced'imiento de construccion do 18 Sucesi o n (:~.1) eH decii, a d atarmirr ad 0<'-1'1 tori 0 de resid uos equivalentes psra Ia diVision por m, I~fectiya m en L e, to memes e l n U mow 11 R lura I ar bHrarj 0 a y conetrnyamos la f? lJ cesi.6n de mlmeros I

0 4 0, .A].

A:;l,

"j

(3.4)

donde A 0 =ca y AHl =1A,,) p,ara k: -, O. L .. . (a~5) Si 1 1 k ;> nt, el valor de fa Iunciou f (II 1 1 ) esd eterminado. pOI' 10 que a A h Ie sigue al menos un. tel'mino mas. Pero si y A I, resulta A II < m, f (A,.) es indeterminado 81 Ultimo termino de In. -sucesion (9). Asi, nosotros tensmos verdaderamento ctorro crrtorio do residues equivalentes. 1'1. Mcsteemos que el criterin de eq'lrinesiu ualtdad haIlado poses las tres peopiedades del algoribmo. La condicion de maaividad aqui es observada, -y'U que cualquisr .ntimero da cnmienzo a cierta sucesion (3.4) dntada de 18 propiedsd (3_.5). La condicion de precisionee ve cumpltda, dado-que para calculan los valoros de f (x) de la i.unei6n fe.s suliclentc saber compararpor 1 1 1 magru tud los numeros x y m y efectuar la operation de sustraccion (restando m de 'x). Ccmo rue expllcado, ambos proeedimlentos (de traturse .de. utimeros escritos on ciarto sistema" unmerico) so n algoritmQs y por 10 tan to poseen proplsd ad de precision. Dirijamonos a Ia condlcton eficiencta. La IUfICi6n ius elegida tal que, por supropia"'constnleci6n, los termitlos de 1ft sucesion (3.4) .son posifivos y decrecientes. Per eso en ella podemes ancorrtrnr I'll -termino minimo no' negati vo. no supera al (Su. .rnrmero , como es tacH de comprobar, mimaro a-). Pero si &:Itetermino (Ilamemoslc e x - ) fuera mayor o siquieraigual a m, entonces existiria, como an-tes.. un

a .e

valor de f ( ( X ) .no negativo, pero menor de (t. Esto slgnitlcaria que entre 10's termino$' no negatives de la sucesion (3.4), a no seria oj Ultimo .. Por consigulente, 0 1 Ultimo termino no negativ:o ·d-e (3.4) debera ser menor que, m, Pero entonces el valor de tea) p-ier.de todo sentido y, 'hablando en genera 1, a rasu It a e1 '(iltiino tt'ir:mino de rruestra s.u('.e·si6 n, 'Do tal modo, sl procoso de construction de Ia sncesion concluve y su ultimo teunino es el residua de Ia divisi6n de a por m. http://slide pdf.c om/re a de r/full/c r ite r ios-de -divisibilida d-vorobiov

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En conclusieu, hemos constatado que ef criterio de resid (lOS oqui valen tes, , desert pto per noso tros, verdnd eramonto jiosee Ias propiedades de precision, mnsividad y eficienciu requenidas, 0 sea,ss nn algoritme, 12. Empleando el procedimlento expuesto .sn oj p. 9 para formal! los criterios de eqnirresidualldad, hallamos algunos de el105. Coincidie.ndo can 10 dlcho antenormente, conslderaremos que los numeros cnyos residuos de 81' 'divisloti es p reci so. halla», es~611.escritos en un sistema posicional numerico

de, cierta

Iiase t. El critario de equirresidualidad cierto In, al divid ir por dichc m. transforma, de hsc'hot en residue rio e1 proptonumero, sino a, B tl escritnra, en concordancia COD el slstemanumerice. J>-Of.€lSU, .hahlando en general, el criterto de .residuos equivalentes para fa division pot un nfunero COJICreto iijo, depended de Ia basa del .sistema numerico. Sirnultanea:rnenLs, la Iormulaoion textual del criterlc de eqnirrestdualldad lJa'fa Iadtvlpaen la division

pOl'

si6n por un 'm dado. en un tl1uH sistema de nurneracion, pnede valor- plenamente 'para e1 criterio de equirresidualidad 1 1 1 dividh~ par otro m' en un sistema numerico con otra haser'. Los. ejemplos respectivos seran tornados del contenido do los teoremas 19, 20 y21. Para svitar posibles malentendidos convengnrnos que, O il adelan te, vam os a eseribln (<<0enorni rU !fi») t811 to e1 dl visor m. como Ia base t, del sistema numerico, en 01 sistema do (t

numeracidn al hahlar delencritordo de residues equlvalen tesdecimal. para 13 Ast, diviaion por 12 cl sistema septenario de numeracion, hemos de entender que 12 prectsamanto os e] mimero 3,4 y no oJ 3·3 (US! resultaria ·si.j 2 f.nera examtnado como un numern cscrito {!O 01 sistema septenarto a e numeration}. Como primer eiemplo hallamos 0 1 criterio de residues equlvalentes para [3 divir-si6n poe 5 en al sistem a decimal do numeracicn. S ea A un 1115mero natura 1. Presen temoslo eon In Iucma 10 a. b (11 es Ia ull:imll cifra del mimero A) \1 adll11LflIDOS. que

+

s! A:~31(l, si

5:::;;;A<10,

si A<5.


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42 ,

El lector 1 1 1 1 0 ( 1 ( ' 1 verlficar por a i mismo que urra fuT lc.i611 dC~(,J.'rninHdn do este mod.tlSflti.f>fllce las cortdiciorros a)-a) fled

p.

10.

Do

I.n]

modo,

para

hallnr

de Ia .H,visioF de

ol roslduo

ei iJ.rt() nfimero por 5 Of; so fic:itmte tnrnar su Ultima cifra. Si ella es menor que 5, entonoos, prccisamente, sel'6. e1

rli'~iduo bnscarlo: en case contrario debemo,s qTlit:irJe 5Sefialnmos que para ounlquier mimero 01 empleo 'do este r ritotio de rosiduos equivalentes conduce :Jconstr.\li'r 1)..03. l'Hlc('.<;iOlIdl1I Opo (3.4), cornpuesta pot no m a s de tres termi-

no".

Desde luego , 610 bjet'o (Ie todos los razonamien ~05 efecluados 110 os descubrir {lei criterlo de divj8ibilidad»p0J: sino 0 btenerl o por el proced imian to (1 (IUQ con ocomnstodos. uniforme dsscripto en ~ 1 1 p, 10. Problemo; 3.1. SeJinInr y aualisar .los 'c,ritedos analeg:o.,~ de residues oqujvalentes para Ia division pur 2, 4, 8, 10, H i, 20 y 2;) en ~I f\if'temn

Problema

rleoimal de numeraci on. 32. Sefialar; y ana lizur ]O~ c;ritBr'i'Os analogos

de eqn irresid nalidad para las divisiones POl': 1l)9 y27' on Cisil'ltcma:ternario ae '~numerrici6'n; 1 b) 8, Q, Hi, 18, 2 1, ;36. 48y72 en'-al sistema duodecimal. do numeracion, Problema!1H.Prescnternoso1.rluD1el.(.1t:JLural A en Ia forma tOIl(L

y admltnmos

que

+b

b

(0 ~

< 10h)

1(Ll)= 1,

b,

-=

{

al residue d'c ln division de A

pOT

m, si m~,A<

Indete rrn inada ,

lCuilles

SOI!

en la. [orma

los numerus

los que tal nlgrrritano,

In COli

equivalentes? Preseniemos el mimero arbitraria natural A

+ b,

atl!

1(i-f)..._.

1'Qk,

si A
para cierto II'. es cr.iterlo I.l'EtH:lI'!.~'U,21

A'""> 10 " ';::-'.,

{

de residuos

dondeO

~

b

< tit,

y pongamos

b,

si A;:;;,., til,

b-m,

sim
indeterminada,

8£ A


q7J,C·

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\l!lt' ei (~l"{i)ritm(l de. construccuin. [in: 'in de regia de ill, sucest/m: '!lpar (0,5) g'm criteria de equ: ""jjsld,.trllidad para (:-:A) la ait'isiOn pot In con una . !1.i.lII:i.f/// ditdU t, (! s ncc eear io !I sufl-'

cienle que t"

:

IIJ.,

13. Como' !') cg llJ 'lr l () l"lj'oll1p1o ex amillenlu:';o residues equivalcntcs parn I" divi""'i{lIt pnr iJedrnll1 rlc lLl1UlOr:u:i(lIl_ L a e s e . r H _ l I l ' t \ I1d llt' ilnoT.' () nntur.i! de 1I!Iffierad6n "t,i,I~)I(\ I I I II WHI

a

H J l',d teciu de

en t'l siSI.£'mu.

-

/1 en cl sIK,~elnndecimal

donde

o ~ Arlmitames

rtj

-i: lI_l

pura

t

--= (II I i. .; n,

11ll(!

1"1.:I;;;';dO,

;.'l~ "< 10, l')i ,il <;1.

"j

Problem« 3 4 " V orifica r (l lie la Iu nnD ),! 12 (x) satislaco dcte£m:iHfl COli CLlOUJl critoeio las eoudiciorrcs a)~.cl)Y de resid uos eq u iv a l ell tes en la d i i,~i6l\ pOT :1 . Problema .'15. ilpllcar 0 1 criterio eOfl!"'lrlli!lo de residno2 oquivalentes para 11) d ivision -por3: a). a Los nurneros 858 773 - y 789 988; h) <~] nurne:ro, CU}'fl nntacicn dJ)c,in:)[il L\St[l C-(llllpue.sLlj

do 4444 cuatros. Problema

36.

Scfialar

de residues oqulvalentes

yaltul izar l o r : ' ! orl t o r i o s para In division pOl' 7,

amUQgos 9, 11,13

'i 37 ell el sistema decimal de nurnera clo n .. Problema 3 7 . Sena la r y analizar )0(> rd_L (lcios de oq uirresidualidad para Iadi ~isj6n P O l': . Y 8 on ul sistema de .numeracifiu a) Z, ternario; b} 2, 4 y 8.en el sistema. de uum urncinn scV tC lH lriu_ Preseniemos ei raunero arbiirario natural A TEQl{.E~U_22

'i

en la forma

a n--]"til! n-j) - 1 a .nt hn_j_ -I,

.

I a til, -I 'I ' -r 1'0, 'L

dimde '!

o ~

a1

<

til.


para

i = 0, 1, ..

n, 45/100

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1 1 adlliil:amns que ao

t (A)={

I

al

+ ...

I

0,71-1 - I- a".

S~ A ?r.'th, m~A
A.-m., t nd et er In tnada >

8;'

Entoncee, para que el algoritmo engendrado 1107' la ju,neiu n J de construocion: de" la sucesuin. (3.4), po r la regla. (3.5)" sea ori terfQ egu.ir,.estdu.alidad la d It,< it6 n p o r 11), as' necesario su.flclente que ( th - para y de 1}: m: Problema 38. In,diear: JOB criteries de residuos eqnivalim tes q uo « ca em. bajo In ft'il'uJa. de este teorsma para. los f)UIDCt'OS escrltos en los sistemas numericos' do base 7; 9 y 13 Q compuestos de 6.• 7> g y "i3 guarismos. . nn ruimero natural preseniado en la 'Ir:OHEMA 2.1L S{!U A to/rna a,~.tim

-, .. I_

11,-1 th(1I-1) a·.

'1' _L

• •

O~ai

< til-

para

+ a-t: h + ~~

a01,

i = 0, 1, . _ ,. n,

Adn: it{jJJl.Qs que.

f

(A)

=

ao-,aJ - + - a : r {

al

residua

• - .

±a , ; "

de d.ioidir

indetermtnada ,

i1 -por

I n ,

s~ A ~i~,,, st v n . ~A<·tn, st

A
Entonces, pa/'a que el algorilmo de construaeidri de la sucestor: (3.4) par la. regla (3.5). engendrado par la tlincMn I, sea crtierio de equtrresidualidad pard la aivisf.on por rn, es necesaria y suftoierue que (t" +1) i m : Problema 39. Safialar 0 1 criteric de oquirrcsidualidad que il'cael)bajo la ferllla de esta teorarna, para los numeros

eseritos en Ios-sfstemas IJ ectonarlo y declmal. numsrlcos Lernllrio, qulnario,

octcnoo

14. En muchos pcoblemas LJenc'poca unportaucia no sfJlo La magnttud dol cociente mcomjileto de In rlivisi6n de Ull numoro pi)!' oL1"o, .sino tlimbien, Ia ,de su rostduo , y {mica-. rnenta ill ta resa 0 1 heche de quo ss te.. uJtIIJI'O so D (Ill In 0 rio, es deciI', sea 0 no 1;)1primer numero d ivlsihle pur el 'segundo. Despues de 1() clicho on al p _ 1 queda clare c o m o enfocar los problemas' de tal tipo.


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Llamaremos equidunsible« 8J,1 In division p o r m e J O f l - 1 1 6 m e ~ [OS ( f Y 1 )'5 i a rn lJo~l5 oll divisihles 'P orm o!"! H r;'hos no Io son. Problema 40. Cualesquiera quo sean los nurneros de l'B~iduos equivalentes para fa division por In, Iuera cual Iuese es te ult.im o. son eCJ.1Hdiv isihl es 1 ) 0 1 " IH. M ostrar ell un ejom'p 1 0 llue' 10 in verso JHi 88 cierto. Problema 41. tiliW1 de Ia equidivtsi hilulud

Iidndes

en

ili..viflion?

tal

Problema

m que dividan dos muneros, de e~tog so deducen sus equirresiduncualos

42. Demeerrar

qneIa

teJar'ion de equld.lviaihl-

.Ii dad, para, Ia (Jivisi6Jl [lor un nfirnero undo l/t, as oqui va I_(:'n~e,'y dJvfr1e eL cnujunto de' nfimeros enteros erl dos closes, Problema 43. lSon correctos el teorerua 20 y BU corolario para los rnuneros equid ivigiblos?

15, .Adrn+tamos Ia neccsldad (to Ii(lIHll' rn clare 1 1 1 d Iviaihi lidad do ,jnor ui. V a m os a const.ruir 1(1 ~,\'Lcef!i611 do m uneros en r.«ro~ ,1 ecrcc iontes: "

"

(a.o)

oquillivj"dble!'{

residual pur In • .ElegiCOil 11 para In division proceso do (;,(Jn~l.rlJ(·c-i6J1 do Ia sucosion (3, O) lot que ?1(',l'llil ('[II IN' teimillo de ell a, mny ur o jgual·~m V lI lou

rnns

HII

nbso luto a m, le : < ; 1 l () N l n pOl' 1 0 monos rmo m i l s . As;J, c :. U M H! O 0 1 t'tlLimo' ienl:l.LHfl 110. {3.6} es igllill a (~l\('j), A cs divif'ibll! por m: y euando 110, no 1 0 os. !l!tCPf;ii1n lquiorn i l .procodimionto In IlL Cuase~{i de COh~lrucl2i6[) dfdsibHi,fi(l(l do POtl (3 .6) mad~j ariterto do Problem;a. 44. Demostrar que nraiqliie.r 'crtter,iu rir r()~i~ duos equi valcntes TNITa L a (hvisibn por m . (}ti, fTite-ri() el.e.rllvi~i bl lidad pOl' m, Evideritemeute, lns critoriosde dillis'il.lflfdn(l tienen 'Iii!!

snr algoritrnos,

es d(>cil'. sa t.isfacer las rnismas C.OIl(liC,IfI'IH.'S masividad y ofic.icllcia q lie los criterius de

precision, equirrcsidnnlidad.

do

Es

faell

compro har (so 10 dejarnos al ]cetor) quo emploando cualquisr Iuncidn f (,x). que satisf
a)-c) del p. 10 y In coud icion d*},'( I (x) tiOIlQ scntld» , los num eros :& y f ( . 1: son eq uld 1 . visthlcs por m, Be pued ~ constmir el C l " I : eri 0 dedi I I isib j litt,nd I) O r m a x a c :, 1 . 1 1m en to do] mlsmo modo como se construyo 0,1 critcrio do residuos eqni Va] en tes para l!l di vlslon r)()r rn. II base de wd (I rund{Ut que satisfag-a Ins condidouesl\)-d).


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46 r-r,\llcrilO~ algunos c . 1 ' i t:crios do d ivisi))ilidl!(l, 8 eg u II e I L eorerna 1 () (IS suJi c j en to po d or d oturm i nar If' div isilJilillnd (It! Ius Illlrnew,<;> po.!' 1l.H O del tipo pa (olevado a 1a potencia tie un rulmero J)flmo). 16.Critol'io dedfv lsihlkidad por 7 en r-lsistema d¢cimal ilc .,llu.IllCrH l·ion. Sf''' A un nllm-eru nil turn 1. Presentern 0;0.10, como y ~ , gO 11IZ(! IIl1l.(fJ'i.otOl(;\IlI:o. I!B IIi [ormn r o n -I- b, dondo (J ~~;; { J '

< H I,

.r~ (IJ)=ja=

{

m lm il iondo

q ue

2bl,

~lll.c"l!,ln~:lo la dlvi,'1ion

do: A

I_}llr

'j,

1I1Ill't{,IJhll\,Hla,

~i A : ; ; ; < ; 1 0 , P!l~
0 1 cump I[mien to (k his cnudieiny d*J parn Iv f-unci'l>H h (A). H O S ·1 1) -( ') L < \ I'Ilo ci6 11 hVI) 1" 10 5th\ U II c.rite,rio conocidn de d ivisi-

Problema 4if Vcrilkar

biJidiul 1)(11'7: 0 1 guarismo W (t b (0 ~ < 10) cs divisihle pOI' 7 , tiulc a y sxclusl v um en 1.0 c ! l Ot H 1 u0 lo ~::; (I, - 2b; a It\ divisibilidml 0 1 niiruero nb tonido so v orH ka nuov am onte po L ' 7 COil esro prooed Im.ien to 1 etc, Problema. 4()' O (\m O Sh ~lH ' q ue 0 1 crtterin obtenldo de dtv]-

+

;:lihWdad P91~ 7nn es 01 ~~·ritetin de llhnl In . cJivitiii)n reairlua L P OI' 7.

1.7. C.rite,rio do divisibiUdad m im l'ro

natnra

l A

en

lit fnnm n

l'e~<:ithHJ"

]lor iO n

fdAJ=

13.

-+

-

{

al roalduo

l'l'escnl.oInos

b , ;\(1 n)i lie.nil.FI

8,

a+4b, < i l ' la divil;;i6n dl:' A

pOI'

1.3, st

(It qll e

A~40, 13~ A<.40,

si A < 13.

in d ct . (H H I Inurln ,

Problema 47. V!mIlcur ol c u m

oqu ivu lon tes

p l .im

icuto de Ins c c n d

ic l o -

nos a)--c-) y d ") paraI« Illneton II (;If) y Iormulnr el critcrio ohtenido do l]ivisihili rla(l por t:t Pr·ublem.fl 4,~ ,:QUl-c"fe{'ll}::; tendrri la snsl"ilucioll dl'-t muncro 40 pot' 11110 tiiem.) I' en In del'<:'fTIljll.neiun do In {lIUdon 14? j)roblelJl.f/,4[). J':" Iorrua ~imillir' n las constru '1:·iGJle~ dl~ pOT 7 Y HI CnmpOI\CI" los criIOf:; cl'Hori(li-\ d e d iv iF li1 r1 id flU torios aIJfalogo." l dt' clivisibilidtHI I H ) t 17. H I, 2 a, :W y 3'1.


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47 Problenu: 50'. COMLrllir dos criterlos dH dWisd>ilidad por 49. 18. 'rhmlicn IHu'u los nuineros oscritos 0 11 ntros :::;L~toma$ dcnumeraclon, li(1 declmales, hay critorius de dtvisibiltdad de, esc mismo tJI10, lEI oriterio de dt visibi.lidad por 11 en el sistema tie J:wmerat,ioo a e base Go cornpuesto de U gua.nsmos, Presen LO"mos el mimero natural I i all 10 fOl'TTUl o a + b don-do 0 ~ " con 10 autcnonnente ~ b < 6 (en concerdancla dleho, empleando todos los ra zonam lentossa . efectuDen .n 01 donnminaciones 'sistem a y de los ntirneros muneracten)

y pong!llilOS

los sigrlos

~ll:1ci._m a dl o

que sl A~;;ci1,

si. "A - 1 1, S~

.4.< 11.

Problema; 51, Verificnr 01 cumplimtento de las condiclones 0)- .) y d *)p~u'a In fUllciiJn t y Iormul ir 0 1 critc1'io de divisibilldnd o btenido, Ptoblema52.

I\.n{ilogo

Ilt crtter io de div-LsibiliuMl

tH'.a-

bado do conslruin, coustruyamos los' c.riteJ'lo'l de. di \'tsihifid'3.u pot: a) 5, en el sistema de' lIumer;l(;io,ltseptnnanioj b) 7, en olsistcrrfa'

0 comde .numeraciou de J;asel1 de 11 guarismos: c) 17, en 01 sistema de nnmemcion duodeoimal. 19. Ell. los puntos anteriores u e este parrafo nosotros h.OlIlOS vlsto gean canrtdad de los m a : - ! diloren L . e s (',l·i.too'ios de residuos equivaleu tes y div isib ilida d . L o.' f:illo.lidnd prll:ctica de la corrstruccion de todos estos C,CltCI'iOS ()~ obteuer algorttmos facilmeIltomao,0jables que. <1eLcrmi.ncn los reslPlICSto

duos dotcrminados (cridivision por algunos .numeros \lOS equ:ivaIentes) 0 nos revelen .si tales resiterins ende Iaresid duos SOil Igua les a coro 0 no (el'i'teri(lS de tf(vtsibiliIJad). ol oLjet.iyo prolHasta quo punta homos C.UillI)lido,pu6s,

puestoi' de cqulrresiduulldad. talos como Ins de La dlvlslon pox 2, 3, 5 y 10 011 el sistema decimal do numoracldn (y eu genera l, por 0 1 divisor U e . L grad:o do In .

base

Alg\UlOS crtterlos

dal )\Ii15hmw do. numcrsclon),


realmente

ccsultacon

muy

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48

pnic ~ ic :o .< ;y CO n- VO Il io n tes, a operacion as de c.ftlr,nlo

El

empleo.td

(J

otros

Iigado

esta

voluminosas, Es natural eutoncos, '])USCo.J,: y uptlcae los criterios de equivalentss, cuyo smpleo Ileva d ivtslbflidad y residues al objetivo poe las vi8smas senctllas posibles. UnQ de Ins dlfi<'ultade~ con las quo se troptezu 'en 'tal mas 9 monos

pruebas es valuar lit sencillee ( 0 . a t revds, la compleiidad) del empleo de tal 0 cual criteria con un mimero. 'I'al ("arac.tcrfs~iea Iiumerica puede s6r1por: ejemplo , Ia oantidad de operacionss arltmetlcas con numecos digitos necesanas durante €II Pl"{lC,DSO de apltcacicn del criteria dado tipude

a uno

n otro mimero, POl' dosgractu, todn cnea cterlstlca del v olum en (le 1~)F i calculos depende en gran .med ida .de las propisdades lndivi.duales del rrumero cuya dlvistbiltdad eusayamos. Per cjemplo , pOQnIDOS eomprobar con mucha fhc.ilitllld, que e1 residno Qe '1~division de 31 025 'por 8 es 1, Para cllo basta con hallar 01 residuu do III it ivision de 25 'por '8. Pero para hnllar cldo la divisiou do 30 525 por 8 hny que realt~-lir 1 1 ' 1 d[vi.si6n rsstduat do 52,5 poe este u l t i m o , 10 cnal yn requiem uu mayor mimoro de computes (siendo ludistinto. que vse efeetuen mentalrnonta 0 PDf esccito). O,tio ejerupto es el eritorio de residues equivn 1(:11 Le~ J.1;1 ra Ia divisiorl por 37 (va'ase 01 _pm,ble:ma 36). E] residue de dividir

10014023

par

37" se

ha Ua

d.iwid Iendo

-pOl'

61 In

14. suma 10 23. Como as racHdever, rasulta Igual a 10 De todos modes, pecos son los quo puedsn aplicar mentalmenlo este crtterto de reslduos equi vnlon tes 61 rnnnero 782639485. Por Cl'O, H I tra tar sohre Ja conveniencia del ornpleo de

+

+

los criterios

de d Ivisthilidad y residuos equiva l e o n tes, nosotros teuemos q"IHl ilejar de.Iado Iacomp.lejidnd do Ins pnw,-

bas tndfviduales

de divtslhilidad

de los numeros

y

va lorar

las Cnn posiblltdades till snfoque

com€? «termino medic», osdede cada ssperarcriterio una Icrrnulaofon de la _l).red,cHl del criterio medlda de. cornplejldad de d ilisi ldlidad 0 Of! residues oquivalentos 0 .incluso hallar e1 que en este sentido ~ea TIllis econcmico. POI desgracia a-qui no leneolOS posihiIidad de desarrnl lar esto aspacto de Ia (lIf''If, i n en Eornr:.

m 5 fi dc tnllnda .


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§ 4., C R l1 'E R 1 O.8 (i.b :N E R AL E S

DR llESIDUDS

t.

Todos

EQUIYA-LENfES Y D E DlVlSlBlLIDAD

JoS, criterios

como los do divisibihdad

un tnnto artificiales

de

residues

equivalentes,

coustruidos anteriormeuto,

y a primers

vista

pareco

~si so

Vim

que allos,

o al menos algunos de ellos, Iueron hallados decasualidad, o bien son el resultado de -pruebas y ensayos. En realidad ssto no as asi, Ocurrs que existen procedimien Los de cons-truccion de criterios de dfvisibilidad y residuoscqulvalentes para eualquier mimero 'dado de ant'em-ano. Ellos se Haman, respecti vamente, crtterios generales de d'ivisibiWl'aa o crtterias g(!nerales de residuos equiJ)alente.s. Los criterios generales de divi·.!?ibWdad son pmcedimient05 ohtencidn concretes de divisibilidad, Per eso de a astos Ultfmosde seceiterios los puede considarar como los resultados a los que llevan los criterios generales. Can tal punto de vista los czitanios generales de divislhilldad son a los concretos absolutamente aS1, como e1 concreto es al resultado de su aplfcacion a cierto numero, es decir, al, residue de Ia division del numero dado a por el numero dado nt, Los criterios generales .de divistlnlidad y residues equi ..

valantas semejan algoritmos, por 10demas, hastanteuniginuJes-sus conelusiones }' resultados tierren que volver a .sor

nuevamente algoritmos, preclsamente, criterios concretes de divisihilii:l ad 0 ,resid DOS equi v a l entes. Pero, para tratar estos criterios generales como algoritmos, debemos estaz seguros de que e110s poseen las eondiclones necesarias de 'Precision, mssividad y eficieu.cia . Para hahlar en detalle, sefialando el criterio general de diviaibilidad

(10 mismo que 0 1 ccitetio general de

residuos equivalentes) nosotros tenemos queveeificar e1 cumplimiento deIas siguieates condiciones. En ptimer Iugar, para cualquiar mimero m, til debe dar roalrnente un criterio de dtvisibthdad (de residues equivalerrtes) POt este niimero. Dsbera, dtgamos asi, stransfermar» cada mimero natural en criteria

caspecblvo. Precisamenta

fit

en esto reside su eitcien»

tiene que ser cta, En segundo lu'gar, e1 criiei'iogelleral tietermtnado, es decir, apllcado a1 mimero dado m, e I debe .-013111 http://slide pdf.c om/re a de r/full/c r ite r ios-de -divisibilida d-vorobiov

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50 11i vH I' 1 ) < 1 1 " 1111 proced lmien tu 1) ion den II id o !l u u crl t e r i o comjrletumontc ('Ollc,rclo de diviaihi.lidad (de reslduos aquivulenLl\~) por oste nuuiero. 1'M till, en loreer Ingar, el crlterio debe ser- in,ii,,~iva es a ocir, verd ad eraman te ganerai, y dar crile! ius dr:d'ivisibilidud 0, u s .eosiduoe equivalentes parD.cualq~liel' ruimoro uatural vconcebido deantemano. E'u oste -sentid.g, el proceduntento de ccnstruccibn del erif,erio de residnoa equivalentes, descripto en el p. 6 § 3, as! C01110 el procedlmiento para haHllr Ioscnrterios de dlvislhilidad doscri-pl:Q ell et p.·9 § 3, J1Q son critsrios generales. En efecto, la -lndicac.i6n de las funciones que observan Ias

coudiciones

necesarias es un proceso quo no satisfacs, por £ I h ora , n inguno ( J e los requisl tos de precisidn, masiv ldad y elicienoia. no, nos dan nlnguna EI.l realidad , estos peocedlmlontos garnn ira (10 q lie 1 a J uncion n ecesarla sorsi hill ad a; quiere rlucir que 01105 catecen de eficienr.in. Luogo, si la: Iuncidn requerida prscisamon te existe, a ella se puede Ilegar pill' diferentes via!;, siu hablar ya de que tales funciones pueden ser vanias, 0 ::'lca, estosprccedtmientos no tienen :precision. Finalrrlen te, allos tam-pow son suficientes, y podria ser que para lLnOS u oleo!', valores concretes de m tarnpoco hallemos Ias fnnciones requeridas. En todo caso, por 5 1 rnisrno el proced.irmeu'to no iuforma sobre esto. ASL, para que el procoso descrtpto llegue a : sec un algonltmo debora ser completado nun con Jnstrucciones

preclsas que garanl.lcen 18 construccien de una fllnci6n 1 m , absolutamonte doterminada para cads mimero concreto m,

Es L a critorlos

ro 1,10 m n do ealgo'dtmisar» Ia cons Lrucci 6n de 1 - 0 9 de d.ivisibilidad puede ser resuelto incl.uso Call J)a.~tante f{lciIld ad, pues los criterlos generales d e .divisibilidad SOIl conocidos desde h ac e mucho. D e hocho, uno de tales criterios generales dB residues _ l)

§ '1 al equivalentes Iuecuestion construidode por nosotros rasidual an el p., 'it tratar sobre Ia Ta divisi6n So rpuedo Iermulae asi: a cada mnneroeutero positi \'0 m se Ie conforma 1111(HOi,eSO de n;U:::;tl'RCeioll sucesiva de este numoro m hasta olrtener uno menor que ~l ()lease Ia uHitna Irasa dalp. 1 § 3). 'rnJ conlormacica, osta claro, posee todas las j)'fOp L O U fldell requerldas: de pr~('.isi6n (nosctros sahsmos oxactamente

10 q IIC conformamnsal mimero m : el proceso de sustraeclones SU{;OSiVRR lie "~), de maaividad (dtcho pmceso de sustracciu-


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51

lI;1 q u iN ' m) )" d I) cfi..eit1rl('.ia con rl'out(ldll c;on (" (l:l.l intcnto scr N'() Loh~l,ll1le, siempnc cs exil,().,,(!)~ cl v nlo l' pr.io l.ico, del r:Hl.erio gOIl'end de residues oquivnluntes dcscnipto es m~y pequcfio: 110::1 IH I,t·(tU

Cierto perfeccionamien to riot criterio gtlJWr'lll de residuos cq ni vn'lentes, basado en Ia s U -,'iI ,n H :c lo n 8 I 1 c('$ i va, conduce «sexngesimal» do llumeros III conocido prnceso de dlvisron ontoros. Este proceso tamhien pucdo S{lr examinado como crtterin geJlel'al de- residues equivalentes, No 0 $ 1 . . 1 \ do mas rccordat que Ia aplastante mayorin. de genic ]0 omplea, preeisamente, para encontrnr 108 residues de Ia drvision. En este case se razona slguiendo el esquema que transcrlhlmos en dos variantes: en el Innguaje connm de Lodos los aia,s y en la Ienguaalgoritmica. En Ia.Lengua

i)

En]n

!'I)IDun

Y o debo .IiaIla r nl residuu do In division de u . por 0 1 m dado;

2 ) _pa ra csto nil'

'PJ)I"

le-nlot\l-q ue d iv i:/II;

momentn cnmtenzn a efectu8,r la iHv.rsion

il) eneste

de 4) '"

a

por

divide

El criteri.) gonoral de restduos uqutvalentos comtonza n transformar 1 )1 numero m ; al cf,lW,rio genord :·',h)s {111"e! resultadh de ]a tr-ansforma6i'iil 001 1111' men) m; un critC!rio concreto a 'e resld U " S equi V I) Ientes pa rn la d tvi§i6n por /l'I, eonststsnte en llividirpor. m air~ctam(1l\Wi el criterto concreto obtonido comlonza. a tl'~" Bform l:l_r

divi.sion

In'".

y obteIlgn

(11

reaiduo ,

COD

elnJIU\oro

restduu por

't;I:

Ia

711,;

0 ,1 critel'in concreto nos 1 1 0 " 1 1 ! I I o b [et ivo; al reslduo dl) 111 Jlivi._~16n

de

En este raznnamlente

lcngua.olgorltndca

a, POl' m,

los tres primarns

1111508

sun mil,),

y pol' eso no puede asombrnrnos que el cuaeto paso, senctllos la ejeolJ.(;',i6.n do Ia division en si, resulte tan v olum inosn, La Iina.lldad daIos cribari.Q!, goneT~te& de residues equiveleaprecisamenta, es aljgsrar 0 1 cunrto paso b e , " 1 y divisibilic!ad, a cuanta de que '88 porfeccioIie el segundo. Justamonto esto es 1 0 que se sobrsenttende habitualmente al hablar de tales 'c..ri torios.

2. EJ primer criterioigenerul exactitud , incluso

el de- rssiduos


de divisibrlidad

(eJ))}mas

eq u ivalen [,os), lLi,st6rkn53/100

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o

VOl'

Iue propue a mediados sigl() XVJI tmanto l J famoso. m a teril .... fl'an c.os Pascal, Sudelcsencin es 18 51,.. a ticotodavfn guiente. Sea tn. n6meros

Ull

numero natural.

Compongamos

Ia sucesion de (4.1)

suponiendo

quo

r.l es iguala

al rssiduo

de Ia division de ~O IJor 'm; por m,

'2

»»

~)

1Q

1 8

»)}

if

10 rz pot m,

7'1

etc.

Presentemos ahora el mimero natural arbitrarin forma lO"a n + - tOn.-'1.all_.l 10 a1 ao., y determinemos la fnnoiun

+ ... +

fm(a)

=

{

=

Aen

la

+

+, ..

s1 10n~m. 4o+ria, .l-ra a2 +r"a n, al resid uo de la divisidn de A pOI' m sllO~< mZ;;;:A,

. indeterminada,

si

A
Problema 53, Verifiear que In funcioh F m eatisfaee las condiciones a)-d) del p , 10 § 3 para cualquier m; As}, hemos conatmido un criterlo de -residllos equ ivalontc, para Ia division por: e1 mimero arbitrario m; 0 sea" un crlte,rio general. Problema 54. Formulae los criterios do residuos squivalentes obtenidos dol criterio jfeneral de Pascal en Ia di'Visi6n POl';

a) lJ) c) d} e)

'2, 5 y to; 4, 20'1' 25; 3 y 9; 11;

7. Problema 55_ Sean ell Ia sucesion

rJ ,

'0.1

residue de dlvidtr »

»)

(4.i)

1'00 pox m 100 r 1 pot m, 1

100

T:a

por tn,

el.e., http://slide pdf.c om/re a de r/full/c r ite r ios-de -divisibilida d-vorobiov

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53 Deducir de aqui un criterto general de residuos equivaleu tes, similar al de I:'McaJ. Problema Deducir al ceitcrio general de equlrresi~Jlalid}lo en un sistema t nar1" de n umernc ion , analogI) al cniterio de Pascal. 3~ En el p. 19 § 3 homos habladosobre )al:'propisdades comparatives de los crlterios de di i,.r isihihdad (0 do .residuos

so.

cquivalentes}

por un mimero determinado. Como el criterio general de divisihihdad tieno que peoporcionamos el crlterio de divisfbiltded

cnalquier

pOI'

mimero

n ritu.ra 1, en toncaa,

nada tiona de partic.Illal' que para distmtos (lumeros puede. oonducirnos

a crrtertoa

de divislhilidad

c3.oIa mlis dtversa

calidad. A~i. por ejemplo

C l1oriterio genera l

de Pascal junto

los c.dterios de residues eqnivalentes, completamente sibles para

COIl

admi-

la division. por 3 y 11 i nos da un criteria

ds

reslduos equlvslentes :para la divisi6n poi' 7, muy voluminoso yCon de relacion di.ficil aplieacj6n (vease el de problema 54, e}). a esto, a propdslto los criterios generales

de dlvtsibflidad y residuos equivalantes, se pueden anunctar consideraciones semeja.ntes a las que se expusieron en el l), 19 § 3 durante e] e x a m c n de Ia calidad de los crit.eri(5) concretes de. divisihlltdad. En ests sentldo se considecard {)r;timo el crttorio equivalentes) que,

gerleral do d IvIslbil! dad (de (,Bsid uos aplicado a cunlquier entero positivo ]\08

m, undo de antemano e1 ests majorm. criterlo de dtvlsihllldad depOI' (de residues squtvalontes) EI .Iector comprendera que hallau 0 1 cri terio gon.eral de d ivisihilidad mas acertado es una cuesti611 que esta lejos Jill solQ de ser resu olts , si 11 0 Inuluso de Ill) plan teo rign:roso. .

§ ~. DIV1S11HLIDAD

DR l'O'fENOIAH

f. Comeuccmos pOI' In descripcion de un proceso al quI.' so pod ria larnar «cr!tor,io muy genera] do resirluos equiva-

lentes». Sua k l" j cl'tortll.rncril do t;" \_)or-m:


IH1[.Urnl

y r 61 resirlno

de [11dh~isi{lI.!

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54

POI' al corolario del teoroma 20 (vea.so e1 1'. 3 § ,2), pnru cualquier per III n, los numeros rn y e», al SCI' divididos. tambiendeheran ser equirreslduales. Fracciouemoe ahora el njimero arhltrario A lit} derecha a h;,quierda. Son
+

h

a, y pengamos o ~que

f (A)=~l

{

<

para. i = 0, 1, ...

,n,

+

a_nrTl+an~!l'n-Lr ... ajr+ao,si A~,t'\ rosldu_~de dividir Apor m , 's~ m~A A

Hldetermmarla,$l

E,
que

en casosaimtlaces,

ceso de construcciou

Ao as

t

=A ,

como

Al

=I (Au).' A'),

= (A i),

crltsrio de residuoa equlvalontss. Problema 51. Cel'ciorars(l, no obstante,

< m,

antes,

do los mimeros

< v,

01 pro-

' .•

U II

que osto real-

mente es asl. Problema 58. Supoutendo que t = 10 y . k =, banal' ol rosiduo do In divlsion del mimcro 1 . 048 57B por 7. Problema -59,. Cerclocarso de quo til criteria de residuos

cquivalentes que gene:raU7,aqi6n acabamos de escrihlr so lo esdeunaPascal form·a,menmas clarn d~ , aquella del critetio don arlo en 1"1prcbl ema 50. 2. Hahlando Iormalmeute, III cornponer en IlU pl.1 el eritor io general de equineestdualldad , aphcamos las proptedados de Jas poton etas at.wcllles a su (Iivisibilidad. Sill embargo. la cucstlon re'lativa a dicha divisihilidad es, en esencia, aJgo que trata so bra Ia di visiou dc.ctortos productos, 1101' esoven pl'irl('.ipi.o, tamliHin sologro resolver esto I:omando cornobrrse .los resultados i1_u§ 2. Simultsiueamcrrte. Ia .realizaci.6n practica del criLerin de cqurrresid.ua lidad obteniuo pa ra uuas u oJ ras combinaciones a e JQ;:', valores de Ins.mimeros t - y m puerlc cmniucirn grandee va lores do k y r, tales, q II!: cl I: u le. 1I 1 0 r l( , 10::1 valorss de. Ia Iunc i,OIl f requiem l levnr tl rubo linn considernhlo cuntidnd do computes, que Inclusc podrla superar, on volumon, las opcraclones do In division directa POI' In,


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55

Esta claro que el caicnlo de los valores de In func_i6n J re5u J tST
diferencia aT' -

a es dtvisible par el.

N Q sa debe do « pequefio afirma tooremas 0 1 da nom lna Este de Fermat consuconfundlr~gran tsorema», ultimo q ue para un entero n > 2 no existen enteros a, bye tliles

+

q uo an bf'l = on, A despech o d's num erosas tenta ttv a s, hasra ahora e1 gran teorema DO fne n i domostrado ni re-!Iltado.

Corolaria. Si p os primn y a. indlvlsihlo pOl' el, entonces 1 as d ivisible por p. . Problema 60. Presen tar un ejeOlpl0 donde tie manlficste quo tanto el taorem a 24 com o su cotolarlo para un p c o m puesto, hablando en ganeral, no son correctos. Problema 61. Demostrar e1 teorsma (1(:1F('rmnt bttSiintlos~ en el resultado del problema 26. Supongamos que el mimero naturnt m Lione Ii! dosoompoap-1 -

sicion canenica:

.

flO llga m os q ue < p ( m ) = p'fl-I (PI-i)

Las f6ruuilaR

p~2-1

(P2-1.)

...

p~ k

1(p!,~1).

(5.2)

(5.}) y (5.2) C Olt forril ( Ill pnra .rad a m : natura

numero completamente doteeminado (II (m). Esto decir qne podemos Iiablar de fnnciou tp dol nrgum onto 1111

I

ql1ie~1'

natu-

ral,


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56

flinu·fon

TIm"INIClONLa

( f J determinada

antes

se llama

junrion de' Euler, . La tuncton' de Euler [uega un }lapel extraordinatiarnente importante en muchas cuestiones de Ia teoria de los mimeroe, Incluso en este Iihro Indtearemos vartas apllcaotones de

d1n. 'l'l;l(llt'MMJI

la . siguiente

Para ml Y igualdad: 25

'ittJl!

primos enire-si, tiene lugar

Problema c z . Calcu lur (P (12), II' (120) ': I c P (1000). Problema 03. Determinar todos los mimeros m para los cuales: a) < p (rn) =' 10, b)

q>

(ril)

= 8,

01 parn que Problema Q ) (m) =64. 14. Dernostrne que no exisbo talm, Problema 65. Demoetrar que q > (m) as i.gual a In eantidad de mimeros naturales primos entre sf ('.011 my menoros que m. Eata propiedad de Ia Iuncidn de Euler tiena extraordlnarla importancra, Frecuenternente ella es coufundldacon In de.fi-

.nicien de Ia funci6n.

(teorema de Euler). Silos niimeros a!1 m : son primos entre sf, a,lwn) 1 es divisible por m. 1'.EOREMA

26

Los residues do Ia division de un mismo dividend 0 ]lOI' diferentos divisores, sa hallan Iigados entre si de un modo bastente complefo. Del teorema de Euler se puode o.btener III depcndencla , de principal imporf.ancla para nosetros, que tienen los r~siduos de Ia division por Iactures primos entre si, CQn Ia diyisioil

01 produeto do eflos, Sean (,nl, m 2) =1, a 1 Y Ib, rnimeros por

Probtema-B«. equlrresiduclos COli A para Jus divisiones por ml Y Ina. respoctivnrnen te. En toncos, en 11\ di v tilion por mIm.j. cl mimero

m . +a· m ) (m +m (a1221'1:2 sot6:eqttirresid

un I con

4 , A base de

)Q)(m.1'''''2)-1

A.

hechos estahlecidus podemos Ioruralm- el criterio general do 105 residues eqntvalentes para un divisor arbitrario

tn, en

[08

1lll

sistema


t.ilmhien

erbitrario

do numera58/100

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57

cion aquella mnnejabla, de Ia t;e)1 que sa ha bI6 forma en e1 data p. 1.. y. snftelentemente Les "rOc()rdllmos. nuevarnents quoeuI11quier criterlo de equirresidualidad .es' un algorttmo, 0 sea, un (letel'TlJ-inado prcceso y, por eso , e1 carlicter de cualquier dcscripei'6n de 61 debera set una narracien en. desarrollo. Asi, tenemos los numeros m y t. Presentomos men 18 forma de un producto m =~m2 tal que (m·lt) = y para ciectapotencia It tenga Iugar la divisibiltdad f' , m 2' Begun 01 teorema 18.• tal pr~sent,acf6n es posible. En vigor. del problema 66, el a sunto q ue brata sohre laequirresidualidad paraIa division POT;npn,. 'Pued.oser .redncida a una ouestion amiloga en Ia division POT m~ Y m2• Pero el criterlo de equirrssldualidad 'Para. m o z )0 contiene 0 1 teo;rema 21, y el de equirresidualidad para m}. el teorema 22, Despues de apltcar as to~.crit6ri os de rasiduos equl VR.l an tes c l ebemos 'U tilizar el resullado del problema 66. Por ejemplo, en el caso do hallar r e l criterio de eq1:1Lrrssidualidad -panda dfvision.por 12 en un sistema de numeraclon decimal, evidentamente, m;l = 3, m 'l =, y Ii: - 2. El process descripto es crlterio genecal de-reslduos.equivalentes, on a1 ssntido de que iiI" para cualq;uicr In, hrind a ciertn (,riterio concreto de equirresidua Il dad. Esto se desprende de Ja algorttmisabilidad de In eonstmccioude In desoomposlclon canonica del mimero (vease et p. 9 ,§ 3). Nos queda f:ormlrlarconclaridad nl crtterio de squirresldualidad sefialado para Ia di~jsi6n por mI, valiendol1os de Ia posibilidad de d~t6rminM el indice It, bassndonos on 01 teorema de Euler. 5. Aplicando los teommns damostnados construyamos varias ceiterios generales de divisibilid ad 'Y resid uos equ ivaIentes. P,ijemos 0 1 numecu .r,lId;urn 1 Tn Y preson l.ornos 0 1 n uI 1 le c o .A (>.11

In forma

donde

o sea, 'los numeros a t (l = 0, 1, ... , k) http://slide pdf.c om/re a de r/full/c r ite r ios-de -divisibilida d-vorobiov

SOIl

(P (rn)-narios. 59/100

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58

La

func.i611

. ao

+

F(A)=

={

til

1- •• ,

+U 'H

s! A'~

~l rCsidll(~ de lHdivfi;i(m de)lpor ,. Indetermlnada,

establece.icomo

BS

Moil do comprobar,

1O'l'(m) ,_

m, si.tn~'A<10(jl(ttil.

A
do .residuos oqnivalentes,

P r o b l e m a 67. Vcdfic.al; esta circunstanoiu. Si los ruimeros a y In son primos entre. ;~r .'J'1::om~MA 27 .I I lo s k]y k 2' eq uirr estd lla lr es, e n' la dWlsi6rt, por 'I V ( m ) , lo « ntim ero s a ir] y (lh~ B on equirreslduales en ladivistQn por m. Problema

(;'8, Formular

concretes de equirresid'unlidad para Ia di visiCin por 7" 11 ,y 13:, nbtenidos a hase. ds este criterio general de reaiduos oquivrrlerrtes, 108

criterlos

P ro b le m a

B 9.· Formula r e1 ceitsrio aruilogo general de equlrresidualidad para i,1I) sistema t1""r';~'a.rbItrffro,) de Tlumeracion, Cerciorarse Be que el(',riterio general do residues. equivalentes,

asl chtenido

, por. au formulaoidu

It O

tlependG

do In b ase t d el sistem a n am e l'ic o. Problema 70, D em ostrnr que (n L 3 - - n) , 273f), G. En muchos oases 01 criterio genera! de residuos equivnlentesno os, flOJ' decirlo asi, «suficientcmente economico» vaque, hablando en general, 01 mimero q i (m ) puederesulbar dcmasiado 101hiqU~1 al ornplear este eritetio nos v om o s c bllgagrande, do s, porD eun lado, a sum ar enorm es guarfsmos y ., por el otro, en 'eate Ct\SO, 'R di vidir los mimeros c p (m)-nax'ios criteriQ distinto 'd'e d'lrectamentc :pur m (0 ompl'eara-lg{m d i'11)i biJidnd y Te;;id uos oqui 'fltlentos):. Por eso, en Iugar de Iii (m ) es deseable probar otrn exponenea manor , J1:n 1 , 1 1 1 1 l serio de casoaesto se conslgue hacer. Por ejeroplo, para m =,37. R 9 puede 'toma r 3 .enl ugar de (jl (7n) = 36; ya q UtI

ItJQ D . Q n su In <1idsion por 372 deJa com o ( T nresidua ; para un nno dfirp puede tourar en Iugar 'yLc, m . =f.1 ) =10; Il!Wl ~lCWN E 111urilflro.8 .min imo, para d. cual :a1 d iVi-fli e ( J / porm qucda com o 1'(!:~jQ1I9 1, 1'0 Jlama esponente, al qw : le pertcncc« el "~,i'illwro :(I., I)(U'11 Jond iV i.~Ujll res iIi\1
a con: el :m 6 rlu,lo . m ,

Evidenternento, cualesquiera que sean los nu:meros pritncs outrusl c i Y ml 01 expnuente' 6, al que p,erltme"Ce, q en


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It t div [Siall [lot m, no suporn

Iilste cxponente se puede tomar, precisanrento, en hlgar ilq ~ ( m ) , a1 lnnmular al criteno generalde divisihthdadrlel p. 5. Problema 7.1.Modfficar e1 cnltorio generlll de divlsilrilidad construldn, ernploandc en lugar do {fl (m ) 01 oxponente al ql(m).

POT m. tlWrlO Qe numera-

que 1e pertonoco 1"0 en Ia diviaiou residual Problema 72. Lo rnismo parn un.slstema

don. 7 . E l (!xpmrente, 1 1 1 que 1,-" pertcncce el num oro a en la division ll.or·m,llablando en general, tarnbieu puede set' i J _ , ' 1 m l a fjI (m). " P O I " ejem-

-plo, Ia 8 1 w e s l o u pOI" H, S(lr3

de lo s rcslduos 2, 4, 8, ; J , .

tal.

que. al divldlr

POI'

del miinero

du g

ul, oxponento

'lO-

de,.J I·v .id 1 ' las potenclas

fa .

9, 7, 3, 6, 1i

t1, c'l niunero

2 pertcnezca

Esto sigllifiea que pam emplear e.l critcrio 'de ('lJuil'residualilhl (m ) =f).,-l (71 1), Y ('I tenrema dc : Eulcra(lqllii.'l"t, III Iorma: 1a (01 - f (p':'I)_ 1) ip(l!-Pllrll (a., p) "- L Dndo (JU~ el nrnnoro pIX-j ([.' - 1) es par, c .l { 1 1ttmndlvideudo r c s u l t n 11M ,(\jrL'I'encia.dl!.~lJlldn!d()~, ''1 Jl()SO· I T O ! ! ronom os. que

(a1h1,O:-1Cl'-1) +·1) GUIIlO P

*' 2, utnbos

t1.('tures

bles P Ol' p, .. Esto sj~jfica

En eJ Brimer

-1. donde

mtsruo

f,:

(P-0_1): [P .

no ~Hle.IlNI .simult,-"irll',Ulll'nll'

que 111es, il . 'h i L'J.lJJ;1!2'f(m)

easo nos vernos.

~ q > (nt). ==- t 1/ 2< " ! l (m ).

k

(alhIP,-!

(,HI

IllS

+ - i,

cnmlic:i()nes

I!

nil las (lttl tco1'('ml)

y en el segundo.

scr

drvisi-

I ,.I t'll a 1•21j (m)_ ,h)1 .ll~(jl"('ma 23,

22, con ~I

8. E l ernpleo de In. fuuciou y 01 teorema d e Euler 110 queda Iimltado n Ios ('.:ritOI'jns de d ivisibiltd ad. 1'01' su interuiimernedin se pueden resolver. pot ejoiTl-JIlo. ocuacluues-con res onteres. TJi'A)RE1\LA

28.

St

los ruimeros a it b sot: primos cutr« si;

la. ecuacidn. .~ t.(m tlm : p u.e de s er l'e.~iU:ltfLen. m lm eros de mimeros ( : 1 : 1 · , !II) donde x (= n1;
Y t =c

(l es ciuilq uier

1=a'I;U'f b.

e nte l'o ) se rtu ;

ertlerO /I !f iotia« lo «

'l(u"Ci(!.~

1 - o.t; -at SUS

so lu cto nes

C o m 'lJ le ta s.

numero http://slide pdf.c om/re a de r/full/c r ite r ios-de -divisibilida d-vorobiov

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60

7$:.IIUtn()rof; DemostrnrIt y un .nl 28 sin Problema teoremanntilogo P son suponen que los primos en tie f:\L Problema 74. Hallae 01 pfoC:odimionto, de resoluciou, on mimeros enteros, de lad ecuaclones del tipo (5.3), bllsandose sn el rosultado del problema 29, h). ' Problema 75, Resolver en rnrmeros euteros ins ecuacioues f1 )',5 ;1 '+7y =9" ' b) 25x -I- i 3 y = = = .8. Sean

TI~mmll[A 211

ij

primos entre sf.

equirre-

If m: 9. con to(f(m)-1 Cit la divisiOn :topor m, Entanc.es yios.mimeros sidual ,fOa b y a -I' Trb serap, eq uid ~ v i.sib le ,~ p o.r m . BAsnndoso en este teorema, S& puede constnuir e1 aiguicnDesignemos call lc al to criterio general de d ivisibllidad. residue de hl division residual de 1.0'l'(m)-1 [lor In, presenternos el mrmero .arhitrarlo A ell In form" 10a b (0 ~ b «: < 1 0 ) Y pougamos que:

+

+

F(A)= .a I leb : ... ~llrcsidIIO.do {

pal'IlA>a'1 1;\d iv isi61 1 deA por

iudctcrrn inadn,

/tI,

para

rn<, A

parnA

k b,

<

(J,

I-leb,

< 'm;

Si k resulta d'emasiedo 1;1'l\lI(fo (prb#mo f~ tn), OIl su lugar ('~ eonven lonte co.locar en 1II form \1 Iaci on dal .respee ti YO (.1'1 terio, Ii; - Tn. pura la fuucion F, el crunpllProblema 76'. V odficlH '; mlcnto de las condiciones 0)-(',) del p 10 §3 y d*) del p. i5 § 3. F ro b lem a 71. A base dol criterio gen eraJ d udl viailnlrdad quo acabarnos de ccnstruir, dedllcil' el criL.erio de divisjh~Uaail pot .loanumeros 17, 19; 2'1, 31,y6.9. Problema 78. Coustruie un crttenio general de, qivisivi Iidlld Illiulo go , representando al mimero natura', arhltrario en b (0 ~ b «: 1(0)1 y deducir de 61 ln~ 'J'i~()]., Iorma 100a rlos de d ivisfbilidnd par 17, 4 ::1, 49. 67 , 101 y '199. Problema 7.9. Constuuir llll criterio(\nalogo de drvisihll idad 1 : ' : 1 1 un sistema do nruneracinn. l)!"rJo I

+

d nl cciLql'io g:CJwra,)do dh-i :,;ibiH dud (,Ollf;,lpuidn, derlur ir rrit.el'io~ cm H 'rei:os' dft (lhiisibi'lid:rd p'.Jt-a Ia division pur: . a) 2 1. CD 01 sistem a oct6rlo!) II Oc.lOllU10 d'e DuuJ('rnc.I6ni PrOhlem(L

b) 31,

01 1

S(1~ .A

bIL';(I

t11 ;,-;i):\lcrnlt duodecim al


de numececion, 62/100

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DEMo~'rRACIONES DE tOSTBOREMAS

L E s suf1c',iont-e I:\Qiin~<.).rtitle

(t

=·1.

2. Por condicien, sa . 1 H d l a l ' u n dl Y 4 2 LnJcs, que a = Ulit y 1 :1 =cd'!.. Pero entoncos, a =d 1 'J,' es decir, a; c. '3·. Nosotros tenernos qua a = b C 1 y b =, U C ' . l . , ' de donde resulbn que a =c1e?,. es decir C;}C'l =. Como los numeros en onces 0 bien, £:, =2 = C.i, y Cjt son enteros por condlelon, = 1, 0 bien £:1 = C2 = -1. En el imer caso .c =by ell 01 segundo (i. = b . I

4. 1, entonces, pOI' cuauto I b a =be. Si c > I a Sea \.. tambien I be I I> 1>laj, 10 quaeoatradlce Ia hi.pqt.esis. r> Qui ere decir quo I e 1< 1, y como 91 nnmero c ssentero par

condieion, c = 0 , por lo que tarnbien a =. 5. Evldentemente, du a =e se deduce que 1 a I = = ,b 1 I e l y de I a , = b II C I. que a =e 0 a =(-c), adernas, losnumerosc, 0 y I c I son enteros 0 no, simulhaneamsnte.

6. En efecto, soan

a1 = bell 'a"

dondo

todos los n6meros

mando

pOl'

mtombros

a 1+ Uz

+...

= bC2,

cl' cz ,

..•

, en. son en torn,s. SfI-

ostas iguuldades + i ' £ T i = li (c1 +cz

obtanernos

+... + en').

Lo que se bulla entre paeentesis es un numero entero , qusdando dernostrado con elto [ustamante 10 que 5() pedia.

S. La damcstraoicn se efectua pot el ahsurdo. Supcngamos que Ia cantidad de numeros primos os finita, que todos ella'S puedan ser escrims:

de modo

(Demosr.

1)

Designamcs por P alproducto de todos estos rnimeros y examinamos la difere.ncia P - L Esta supers. a cada UD.O de los mimeros primos enumerados en lu notacicn (Demost. 1) par 10 que no puede ser numero lJrImo. De talmotlo, alla es divisible como mininro por un mimero pnimo Ph. Poro incluso P Io eII por Ph- VOl' consig)lioIlto, a base dol corolario


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62

1 ; P ' t > 1 . 1 0 dondc P I. = 1! III cual t r l l d ic{! v i heche d e q IC o f I1U~lCI'O pit seil 1 ) 1 :i111 II ( v " C 3 ~ ( )

del teorcm n ('.011

li, l n l l l . i J i e n

In llug. 24). . La domostmclon axpuesta Ia inlinidad del conjanto de uwneros JJ rtrnos J no Irailada pol' E uchi1 es (ell e t sigl 0 IV a.n.e.). . 9, S110s mimeros a 'J p son nri:mo,~ entre sl. entoncos

ue

el teorerna q ueda dewo:;;Lrlluc), Encaso GO!I trario ambos f;{ml'U divisihlos por un mlsmo IlUIJI'ero, distinto de la unidad, Como p

r.

es primo, taJ nfirnsro puede S81' solamente Quiore decir que ell este case a; p y esto es precisaments loque se pedis. 10. Drvidiendo con 'rosiduo 1 1 1 por Tn obtenemos .

M

=mq+r,

< In.

Como M y m son divisibles por a. y h, .81'l.t0IlCCS;, s , o g u : n el corclazio del teQ~ema6, "llnri.bhln 01 mimemidLiplocomull de 1'0 r 10 deber.a ser, eon 10 cual uesultn donde. 0 ~~ r

estes numerus ..Pero r < m : yIn es el minirno cennm m.(d~ipl0 posisivo de a y b. Qriiere dedi .que r no puede ser positivo, de tal modo, r =. POT esoM : m. 11. Aceptemos que los n(unero~ a y b son primos entre si y m es su miuimo eorrnin multiplo. Como ab , a y ab ; b, entonces, pOl' 8 1 tco:rema anterior, ab; m; Seq ab = mk,

Pongamos quo 1 1 1 . = ac. En tonces ab =de, as dedi', b =k, asi que b: k, Exactamente de igual mancra podemos pera ;1,k."y Dado a ydecir b son suadirnos de con qued ioion, ~(1mbhhl queerc primos en tee si pOY Ie = asto qui ,preciaa.mente, que In = a b o 12. Llamemos 111. al miuimo C Om.LW miLtiplo do Iosnnmoros b y C. Por el, tcorema precedento In =e. Proslguleudo, pot, cond icidn ab t a, ademas, evidentemente, ob; b, Quiare declr, segtin til teorema 10, que abo: be,cs decir, que ab = = bek 0, dospues de simplifloar por b, que a = ck; y esto as justamente 10 que f : . e - pedia, 13, La demostracicn se efectua -pot induccion segun e1 tlUDHH'O de Iactores. Habioudo una ~o10, autonces e1 teorema 9 1)

l.ri vi al. Sup ongaroo 8 q ue el teorema fue domostrado

cualquior

Dsstgnemoa

producto 111(12'

de n Iactores. ...

(.tr!pOI'

..4.

Sea a1.a,~••.

para

a.(lall+1

E li este ca so AaT 1

;

+1 i

p.

p ..

Si a . ; . +'l : p; el teorema C[U eda demos trad 0, .en CI'lSO con Lral'io r nil I J 'Y p, sogun cl teorema 9, sen primos ent:C9 si ; 1'01'0 1;i111,(lIle['~,OT Jo anterio r, A : p. Dildo que A as un producto


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63

de - n

JHt'I:OfO$,

IIUO

de olios, pvr eousideraciones

do.iuduccieu,

tieuj:: que ser divisible poe p. El Iuorernu queda dumostrado , Corolaria. Todo 01 quebrado representa UII numero entero, es declr, su uumerndor es divisible por el denominador. Conslderemos al numerador producto de Jos facboras; p 'Y 1-2 _ .. (p ~ 1) =p - 1)1 Ntnguno de los faetoree del donominador delquobradn.ss divisible por p. De ahi que, segun eL teorerna anterior, tampoco 1 0 - sea todo e1 denorninador. Pero eirtoneas, deacusrdo a l teorem a n, eI y p son prim os- en tra si. P O I ' aso, d e h eI ;li .s er dtvisible por el denommador el segundo factor del numeradoz. Llamando q al cociente de ests division, C~ = pq

exigtdo queda demostrado .. 14....Pro barnos at principio que cualquier numoro diferea te de ]0 unidad puede sar descopuesto on Iactores simples. Supongamos que todos lo s mimeros rnenores de N pueden ser descornpuestos asi, Si N es prime, entonees, e J se desy 10

com pone -autnmatlcamen La.en "prod ueto (cornpuesto primos ptec.isamente,de un, solofactor, de) de propio numero N) y 81teorema queda demostrado. Sean ahora N compuesto, NJ undjvisor 'suyo , diferente tanto de el como de fa unldad, y N z el cociente de dlvidir N por N1 • Isntonces, N =JN'I.; y ademas, como es facilcoro_probar,. 1 < N2 N. Dado que IV] y Nt :500 menores de N, entonces, por hJp6te_SJ~,

<

eILospued.cn

ser dcseempueetesea

productos

de ractores

primos, Sean estas deseomposiciones N1= PrP? .. ; P I< Y N'l =t(j2 • - • q I: EntonuS;P'1P2 - . - hfbfJz ... 9 . I as ]a

dosoemposieion buscada ael numerc N _ De tal m o d o , Ia posihilidad de deseomponer quads. demostrada, Pasamos a demostrar 10, unicidtui de Ia descomposicion. Aeeptenros que. se nos hayan dado dos descomposiclones del uumero 1 '1 en Iactores primos: P 1P 'I, ... P h Y (l1 g",· - . g'[. Evtdsntemente, .

(Demost. 2) Como r J :i.q z . , • ql es divisible par PI' entonces, de JICUDl'do III tsorema anterior, al menos uno de lQS m im eros. de 'qt, 92' - . -, q l sera divisible pOl' P I- Acaptemos que q1.: pj (01 hecho d o e que consideremos divisible por P J precisarnente ~I(pctrner factor dol segundo micmbro de (Demost. 2) no as ninguna htpotesis complementaeia, ya que teuemos derecho a cnmhiar do (u-ga.c Ips factores ': I design nr por 9] preci sn-


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t'l4

mente 1 ]1

It .aquel

os prime,

que J~5 divislble por PI)'

OUtUJJC6S" oslo us })O1' p}la

-:- q1. Slmpfificando mos

Dado quo 1 3 1 numero

facti hlcsnlarnente para p~ = igualdad (Damost. 2), obtone(Oemos,t.3)

g O I i forma analoga a III ante-rior nos convcncomos do q u e u n o do los numeros de ['!> {fa •••• , q t (per ejemplo, q.J es d ivisible por P ? Y. poor -eso, P '! =e«•.:Siu~plificando Ia igQaldad Pi dlsminuimos (Demose. 3) por sus miembres Talcantidad proceso (Ie de factores simplifies-de atilt en una unidad , Ia cien, evidentements, (;a' puede prolongar hast-a que uno de los praductes quede completamante simplW.cado. Sea el primero ell simplificarse el producto ublcado en el primer miembro de (Delnost.2_). Et producto uhicado en el.segundo miembro rla (Damost. 2) tatnbUin quedani Integramento simpllfieado, de locontrurio obtendriarnos una igualdud

del tipo

1 ="+l ••.

gt,

ya C Ine 11) 'unidad no es divisible por ningfin uumero priTtio. Gon 10 cual nosotros obtonomos t:uubiell que

cosa

im posihle,

PI =1t P2 .ILl teocema

queda

=2,

enteramente

••

~. P h =ll·

demostrndo,

1 .5 . -S ea n p~tp~t ... p ~ " y q P 1Q f2 .•. q r t . respectivamanto, descompcsielcnes can6nicas de los n6.meros a ~r b; y d, un divisor counin de ellos. Si d *- 1, sera divisible por .aumero 'Primo p. Eatonces, de acuerdo al teorama 3, a !p Y t : p, de rnanera que p se halla tanto en tre .Ios .n ume108, Pl. P2, ... , p,,, como ('JILreIos·qi. "h•.. q,. POr eso, 1 IJ' 1

'J

en tre IGS rnimeros prtmos que integran Ia descom pO!-licioD cllIluni.ca a habra uno q u e integra L a canrinlca b. A la tnversn, si a y bson primos entre si y p int.egl'a la rlescomposlclon canerrlca Ib, entonces, b no s e r a d ivisi ble poe p y p no lntegrara Ill. descomposlcton canenica b. 16. Necesidad.,ColDO a ? pft (i =, 2•... ! k), de b ; a ohtenemos Io requerido mediante I a simple referenda II I lanrema 2. : 1 . 8 sufieleneta sa demuestra por inducci6n. La divisibiltdad 'I> : p l f J esuua de llil'! eondiciones. Supongamos astable-


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cide

ya por nosotros

que

b :p~l ...

'(1i:.; i «; k).

p~l-

Ademas, dtsponemos de In divisfhihdnd b ~ Pfitl. Como los nurneros p~l ••• p1 1 y E,#,~1 segun e1 teorerna anterior, son primos eul.re S I, nosotros podemes omploar 0 1 coro1ario del toorema H, por el que b:p«l - •

L

pl'.J.lpC(./i-1 .,.

I

1.+1 •

AS1, el paso Inductlvo queda fundamentado. '17. Necesidad. Pongarnos que a .; b. Del teorema

deduce que cada divisor prime b as De tal modo, b posee Is forma t 2 P'hplh

di'V'isol' primo de a.

pPh IJ_!

...

~1

donde ~ > a1, 0 Como

U II

~11"

0 ~

Il~.' , "

13 se

0 ~

'~l

.Supongamos que

>

ptl'~ P'h-ct'p!h 1 Il ,.,. ,,"

as. un mhnero entero, eJ .numero del 4ltimo quelirado debora -ser di v,isible por el denominarlor y con roa'!; razon por p~l-« 1. Psro entonces, sog-un 61 tooremn 13, a] menus uno de los mimeros p < } " • • " P 'u debera ser divisible po;r PI' lo que no puede 991:'. Qulere decile que ~l ~ al. Como para nosotros es) indiferente Ia 1I.u.mera_ci¢n.. de los dlvisorcs primos de ul hemosprobado con eUo que tambHin~2 ~ C(-2 •• ,•• , ~,,~ ah La uecesidad

Para la forma

quodo establecida.damostrat la suficieneias_efullnmos

si b tien~

in-die-ada, entonces a=bp~t-litp}J-f>2

... p:,,-Ilh•

18. Esert hamos In descom posicton meres m y t: _

"'-1

rll-.-P

Escojamos divtdan t,

°

precisns,

q}IO

entre 803,

,··Pn'

an

t_

los pdmos

III

q l

que PI' .•.

&-Il13tD http://slide pdf.c om/re a de r/full/c r ite r ios-de -divisibilida d-vorobiov

,

de los

Ill]-

1 \1

··'''t·

Pl •...

que se hall en entre

aceptemos

cauonica

, Pn aquallos que qh

.•.

,

q l. Para ser

P r s e a n respeotivnmante 67/100

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,It

!I!_ " _

'Ollglllh()~

f] r :

I

I.

•

J •p ' Y . r

tQUCOi'l q

en (I fltl~ : pt :'G r .'1 J-r+,l

r'

el l0orbll[\ l.;j, (m . 1, t) =- L Jdi I[ll'l'() nutu J'ifl I.. q lit) no StU'11I infCl,jor S~'g_(111

ue

,/1."

• _.

r

'1 ,1 .

l\dCII1i'i.::;,

•

(,I

tOIO()rTl(lS

11I iugnrul

de JM:;lvla-

ri ()I){~~ C lT

tXJ.

"K " ....

, fj;"'

EM V SlgllificH

quo r> ~l1'lr i =1. 1 . 1 ) que, do ucuculu con cl tooi'tima 17,

HJ. Kcct'sidad.

l) = Cornu

j1

Y

tit

Seuu

=q l_

(L

pOI'

my'!.

+

1'1

+r

2

(0 ~: r1

< m),

(Domost .

(0 ~

<. Jli.) ,

(Demnsl

/) NU l ( lC jllil'r ct'idua Jes,

7:2

1'1

=r~. E sto

b = m ( 'J ) ~

(l -

siJtnil'icn

fl,)

,

f)

q ue

q~).

d ecir , (fl' ,,-- b) m. S uffciencia. S O H (a - b) i In. D ivid I ell d o (I Y b por ollle,IIemo:-\ (Domost. 4) y(Demofll. ;J), }\dernii$, 01'1

(1 ,

£1

-

c=o

m (q l -

q 2)

+ r1 -

In

"2 '

riJ, (qj - fJ'J) = rL (r[ - ;-2) ~ tn, P eru I r l - f''l I < m, SegLIll (lJ teorem;l o sea, que pill' M teDl'emH 4, r 1 - r 2 '= 0 6 "I =1'2' N esto (\E-I pl'l'd::;anWlIlt> 10 que se psd la. {IJ, -

20.

no

111

,1 /) ()j

In

condicldu

al

a

hal3"e

-=:C/)1

dl~1 I.UOI'(HlHI H i teuomos

+ m q,{

)

a2 -h~+mQ2.'

(1 )

(Dcmost.

a n =,b,( + m q " . de

S um nndo A i 1 1 1 P les

~(ai

+

G.!!,

rnicm b ro

:\ mtemhrn estns Igua lda des. obtunemus

1.'r111lF.fc)rnHiciones,

+ . . -+

Il n)

-

(h1

+ +..,+ Q:/ .

=-


In

(rh

+

/)11)

rlospues ='"

(1 2 - - ;- . . .

+ q'i)' 68/100

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61

qU(1 ),01'

t~1 '1,()Ol'BnW

I]UO 1)I'O('l"'HUWII~I)

~0I1 ,Ct) nirrosid ua les, Hl'l.5igllificu Pltl'a derllO,,"LrItT q ue J()~pTo d :;;eilalaml)l;!- la sigljieule Identidad:

+ hf)'t):{p- +

SII

ina ,

la!< 1 ,1 c

l.n s

Siltl

cq uirresrduales

+

+

(pq lp " I lqln) m, qm) = kp De ella se dod uce quo 0 1 prod ucto de dos .1l{UUOI'()!l del gel! em bm. " H snltll nuov arnente un mirnero (loJ mismo gellcro. a POI' eso , raznnand o tnductivamonta, nos con vencemos de ( Ie

+

ol prod ucl.o dl' cualquiee cnntidad de lII'imeros tipo bm . es til! ntimero de Igua], tipc. 111l1tiplio.nnd.o LOm ll!l'O p o r r.cl'miJ\O L l l t J n o ; ; I!lf;; igunlallOO. (D em o st. 6) y a pllca ndo aJ seg1mfio, m iem ln-o los ra zonarni entos etectuad os ffbton nmos que a.

+-

a j,a ,.z ' . -

« - n , = bl_b2

b"

..•

+ tni,

donde t es UJl l1fw H !£'o ento !'O. D e tnl m odo, 0 .1 h ech e de q ue 10$ pra il uctos sun cq Uirrosidunles queda pro bado, 21. Neccsidad. ~;j cl n l g o r H m n dcscripto es tin c.riterio de resrduos equivaleutes pHl'll, 1(1d ivtsifin por m ; entoucos, para

ella,

tllmbi6il

y I) dbbcJ'iill ser equirresiII.:-!l si A ='t b, Pero

lus.numeroszl

dU Slle8,. En particular, osto 5erli osto signiflca que A - b =k

+

m, Sufieieneia, El'1l nuestras d()sigllll(~lOn(lS A - 1J= at", os de('ir', los lllJmerbS A y b 3011. eq.l1ino"iid uules (HI la dlvi~6n ]_lor m,Si: t" !. m, eutonces pllrac'sl;::t, pOI' ('1 C-OI'OIarjl) del tenrerna 17,· cll.os lambie'" ~O]\ cquirresiduales. Por eso, on esto'ca so, In 5uccsIon 1101 A l' • , ., cons tru lda COil Q I nlgM im 0, es til I;0 m P uesta pn r {I um eros q II(! so n cq UirI'I'Siduales en Ia divisiiin POt m, ,As! PIW~i 01 peoce-o de constnrcc'ion de dichasu cesion es criterio de equi i.;w"id nnlidad para ht division

_POT

;

nt.

22. Ncccstdad, St elalgoritmo

descripto esroalmeutc lilt czitecio de equirre-Idunlidad F UJ'H In di.'dSi6u por m, C:!l mismo, en. parl.il."uIllt, tamblen d euer(i SBJ' nplica bl0 al n ume1 'Y 1 < 1 . oquirrosiTO A =li + ao. Aqiri, f (A) =lit> -d.mUtlad de 1ns:_nLl:UI,t~l'o:; A y sign iIica q 11& (til' - 1 .) : rn.

f (A),

Su.ficiencia. A :p t/,. b;11 'cell In fUfi('.ion t sadesprenda que

+

en

In tlh'isibll

LOJIC~()I:I,

do 11) defi

porm, Hi-<.'.jtIH

tl 0

A- f{A)=a" (tii"-1) f--a,l--j (ll«II'-Ji-l).

_, http://slide pdf.c om/re a de r/full/c r ite r ios-de -divisibilida d-vorobiov

... +

(1;,

(t'l - 1). 69/100

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Aqui,

cnda sumand« (vease, por ejem'pJo, 91 problema 22, es divisible POl'. tk - 1. Esto significil, que si (til - 1) ;J m; tamhieu A - f (A) in. La equirrestdualidad de 108 restantes tlkminos de In sucasion (3.4) y t~mb~en dfil sus terminos, 5i ella comlensa por e1 nlimero A
'i

+

1): m. Tn, nos da (til diVisionpor SlIficiencia. Ell nU 815f;rO ' caso t.enem O's

+

que

p8r~. A ~

til.

A-J (A)"," an (tl,,'"±1)+ a,l-.! w , { n - 1)= r 1,)+ .•.

.. . + al

(til.

+

1)

(Demost,

7)

[aqui, el Sig)10 «n;18.51)se 'balta eli- eJ tarmioo que correspondo al cceficien to imp8 e con k como exponente, y el emenosa, al coeficiente par). Segun los p. e) y f} del problema 22, la th~ expresi6n un r impar es divisible por L " 1, + 1 para un r pat, tambi tin es di v iSfb I e por tl' + 1, y Ia tkr - i, para .EsGsignificn qua si (til + 1) ; m1 en (Demost. 7) cada termj~ nQ as divisible par m. coatando desde la derecha, 'j, por 10 'tanto, tambien 10 as toda la difsrencia A -/ (A). Asi pues, los ntimeros A y f (A), en Ia division por m, resultan equirresiduales, La eqnirrssidualidad de los terminos restantes de Ia suoeston (3.4). ast como de los proptos termino!; de

si ell!l comienza por e1 mimsro A < ~/l, se ultima, desta dtrectsmente de su construccieu, esprende 24. La demostracfcn se efectua an Iorma tnduetiva -pOi" u, Para a =t (11' -

a =1 -

1

==

0,

} ' U i p.

Supongamos

que a P - a as divialhla ptl., P.y demostremos que (a 1}P - (a 1) tamhlen as divisible por p. En efaeLo. d~sco:mponieJldo (a 1)P'por fa formula del birromio da Newton tenemos .

+

+

+

(a

+ i) P

-·(0,

. . . + Cf,-

+ 1) = a

I a--\'

+ G'i.~P-1 + C ; a

P

1 -1 =" - a

11

-'2 + .. ~

+ C;aP-o, +C ;a -1I-tP

'" + C P

p-

ii,P -

a os d tvisrb!e

cutrep


'1

a.

, ••

(Demost, 8).

por I!Ipoteais, De scuerdo co-nel

70/100

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69

corolano del teorema 13, C ~ (1 ~ k ~ P -

1) lgualmente

es divisible por p. Por consiguiente, entre p es divisible carla snmando del segundo miembro de la telacion (De~ most, 8) de ahi que (teorsma 6) tambien 10 sea loda 10 suma , Hemos hmdamentedo ,9] paso inducttvo y demostrado todo el teorema. Corolorio, P O T e1 'toorema de Ferrnaf a- -

a

=a (pp-2

-

1) ; p.

Si a; .eneste caso, no es divisible -por Pi s~g(inel teoroma 13, por p debera d ivid irse aP-l - 1. . ~5. So-an ~ =f l , , . p~ h Y l 1 l : 2 = q r ' • .• qf"l- Par el teorema 15cadn uno de los nfimeros Pt. . .•' p,._es dlferente de cad a uno de los ruimoros (b •..• , q I' Quiqt~ doc.i'r que 111 desconrposlclon cerronica m 1m .2 sera p~l ... p ~ 'rq 7 ' , , . q-IV. POl:', eso (fl(m1 m2)=pf1-1

(1?t-1 )

...

X (Pit-i)

p~h-l"X .q~(-1

(qt -1) ...

q~l-t (Ill-i),

es decir,

(m.) If' (m'l)' 2fL Demostremos al principto en forma d(Jdllcti~(1 segun por pu.. Para a =1 In a; que .apa,- Ip { I ) _ 1 as diviaihle l\firm~ci6n demostrada, avidentomente. as corofario del teorerna de Fermat, cuyacerteza yafue estalileclda. Dc tal modo, la b~t~e de In induceifin queda dernostrada. Suprmgamns ahora que (apa-'I'fP-l) - n "prJ.. Y examinemos .la expresion aJl4(P401)_ 1. Nosotros 'deberemos dcmostran que ella es divif\ible ]lOr pa.T'L, Pam aPG.(p-H-1. =aPU.-1r-P-tl)P_1. If.' (17h~)

=f >

I

Dado que aPa.- (rI'-l) - 1, scgun hip'otesif), es l por pri. 01 mimero aPu.- (l'-l)ltieno 1 < 1 forma Np« sign jfica quo Np«+ 1)'P 1 . a P l(p I ) _ 1= as de-dr, [lOt la f6rmula del hinomio aPrl.(l'

II-1

= Nilrt.p

+ C~NP-t

n'1.(p- 1)

divisible 1, Esto

+

.+ . " .. , .. +C~-INpa.+l-~.


71/100

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70

m

pr im or surua nrio

yll ql1() lo AIg'l1ielll.l',';i

dtl

{iJLima suma

.Ill

es

pOI' pi:t.)< V i\11l"illllJ('I~ ]I -

~I:I

div i.c (ib lo

[lor

p'J.+1

a -', 'I, Rn cuda uno do los. > - est,n adl'.i6n eutra p COIl un 1 de

'Y.p

< I 0:-, Y adomas, binoax ponento no illfcrior oj coefieionto 13, os divisi1Jlo mial que, on vigor-del CJIL'ol:u:io del teororna por p . Ql1iJ'!'c d C (' ir QW3 t;',:dl'll uno de estos ~lI IRIl'IlClo;'l tambi en es J.vi,"ihIH por prx+l. Por liJtimo, 1 .1 dlferenc.ia 1. - ~ = set supri m id a III !e-flP P m : eso , flJ)gUII el I.enrcrna 6.

(al/IZ(i'-ll_l) I!JJ

De rill modo quedu anu lizrulo eLt;u!'i()

- I,o;~l.

quo f}1 nlIUWC() In 811 pnn gn rnos ~tlO J ; < 1

P(I:;;f\J}.

1J1J

soJaJllenliH

diyi,I()T pruno

q lie c I t oo rem a do E ~II()!' rH O dernos tea-

do pa rn ) 1 , , ) 1 ' . IlidirC!:i T nl ':t' m~, siendo D o m o s Lru nll 'I~ ~ 1,'o 'tC(J ro m 1 \ fill ra el Inogo adrnitunos quo 1it, =p·fl .. tHltOIH'~!'\,

cou

ollo,4 primos on 1;1'0 sf id ico n~~ m L m~. S i 'P~}I y m 2 , = ~~t', IlOSlltJ:OF; 0 btencmos, p rec isn-

l( da c vi deHl'i",

urcnte,

el p:l:O(ni.IHlllel.l'V'() indispensa b le pa ra .1 CT I'L 0 8 truci (Ill de 1 teoreiun. As I. d t)'moi:'trcrnos

emrucindn. Seau 198 utnncros

da r

[in

n la

(~l ~I Ii rmuci 6 n

primos nlltl'O ~1. EIltoJ1(\{}~ 10 ::.t\r{UI,IHhyrnii.s. It -'{m~. QUt{W(l decir q 1It"!.'(I.'f('''-£1 y·irlL tn.inbi(>n sou primfls ell tre _ 8 . 1 , P br eso, segun h i 110 LOSj5" Y

I, a

In

((t'II('h.~))<"1;1'''1_1 = a.... '!flI''+'(r''~)-i=a'W\'');.1-''.'21_1·_ a'ttmJ_i

di vtstble por m~. E : : < c . \ ( \ t - n m e _ n L t H ] o iglllli 1 ei\'> divisible (10 q u o ali,H lll vencemos

t'.-I

mauora

1I!),':1

con-

t.mnhien

nor

( n

z·

ln j

a(~(1I1,} 1 0 . , bI y m,:! so n prim os Em o m(jo ivisl IIlIIIloroH L l'OS1, Pcro - 1 ct~~ n :l()11, 0 udorruis por su 1 J roduc to, 1101' In. RI luoremu do J 1 } u . i f ) 1 ' ql.ltJfln c h : 1 - J I ' I ' f ) , o : ; L I ' R d o . 27. SC;Ul

a i"

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011 C'i"-tll dh""I(HI son Oidllill('~lm; nump,.:-;igllifi!:'~ 1 l[lIC 1 Y (lr Ji;:-.Il.J tlIIY.lbi~J') los n(Il1HH'<)1:! (till ~ "OtI Ofp !ll'rf;'; Itl \1111p , , < : j t!nlll II I vi F \ ['tin por In. 28. Hn l lern.» III pl'llldpiH pOL' Io moun- IHIIl " ( ' - " ' I . r i l l c . i 6 n

t'!'it:llhl(~('(\ que

" O R lJ,/I'~ \'a)'

\..t:'1

1/) do estu ecnaciou


Eviden temonte,

para esto e~ suli-

72/100

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71

H JH "fH Ilr.:aJ ' till

cicnto l.enrernn {ca'j;{f))

-

:r.' q u e

n um e rn

(a j" , -

(alr'lil) de. Epler i) ; ~, c ): b r que ef IIUmt'l'O ca(P(!I'F

c ) : lr.

QUWI't!

tit'd)'

so P"tlfJt)

..J

P or

~J (IHI>.

IIOJTlflr

como Xl Sean ahora '(.e", ,/I,") cualquior 0(.1'11 rosolllc,jou do iii ecuaci{inax -I by',- c. .Mustremos quo I()~ JJ(il1l1~('HS ,r' yx-" SOJl equirresid II OJCc1't'1l ladhrjgj{m por ILEll (_>fp~~ o, lWe-pl.cIUOf' ( IU O

+ fly'

a x'

ug

tu:" - - I 1 :\t!~ L ll l l d n

c.

=,

por tth'millo 1 1 1 ~oglllldll l~ll<"dlltl

I,O I'IH l l Iq

p rim ern o ht

= c,

N

il e

III

0 11 ('. T Tl liS '

a(x' -

b (y' -

.1:") -

JI"), _ =

0,

d I) rlrmd e - a { X ' -x"')i 'b. Como por C O ' 1 l d idim rl y b ISOll :pri 1110.0; entre !'-1, segul'l 0 1 teorcma 1 2 . tx' - x") : b. l' nos ~[1l('.,dll

citnr

De tal

ilan

entre

01

modo,

teoromn 19. todos Ioavaloros

(a.,t't -

c) ~ b,

x se ha-

/) ,

1=c

fl,!i (tIl

b

que I;otlaR las parejns

r6sohJC.l()Jle~ d C ' . nuostra

bt,

supouiondo

nE Il que, -lJ.Xt,+ c

l/(=

obtenernos

do

ios uumeros 'Xi = a(JI(b)-1.+

POl'O

conocidns

rle muneros

at e

Ifl

~(JD

ecnacion.

·29.' COI.;slflercnqlo que m . y - 10 son primes outre sf. 10$ numoros i0u h y (lOa b) 10qfr''',-j. I Seg,all el toorema

+

+

'1G , resultnn

(jOa

eq\.l id iv isih les por

+

lJ )

asl , rlo aeucedn

eguidivLsiblt,

1t)qJltflJ-1~.; II

POt

los teorcmas

m

e(Hl


m, Pern

1 0 q · , m l q .,

+,

1Q'flm ..- 1 b ,

.10 1~lIler y ~O, 1U a

cl miruoro

+-

b es

u, -I' kll.

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DE LOS PROBLEMAS

IIEsOLUCIONES

i.0 =a·O para cualquisr a. 2. a =. 1·a, quiere decir que a

i: 1.

3, Sea t; a. Esto significa quo para daterminado roc', i = c; do rlonde sededuce li= 1.

q_UB

lal ,<

onte-

1. Y como a =fo 0,

c > 1 . Y 'poner b - = M. 5. En calidad d'e,tal b sa puade tomar, pOl' ejemplo, 2a. Sua en esto caso que par-a d~ferminado c tamhien 2 a ' c .y d 2f£. c : a. Asl, hallaremos tales dt - y d 2 qu e 2a =le y c De nqtll se cleJllCO que 2'a = (l)d.14 O . despues (10 sirrrpltfi-

4. Es .'Iuficisntet!lmnr

eualqnier

=

car por a, que 2 =ld~. Pero para los ell teros dj Y d 2 tal Igualdarl 50,1 am ente es rac~ibJeCtlando uno do estes mimeros es lgual a 1 y el ctro a 2. Si d , 1 = 1, entonces c =2 a =i pero si iJ,2 ~ 1.; OIl-

tonces c =a. hacon

6. Las rlmuostracioncs nose Dll cl, caso de divillibilidad

1. Sea ,n un a:

nilTu(!In

b 81 buy un.entero

C

diferendnn

I'll

nadn

fijo mayor que la nurdad. ::,snp\Hlgi\IUOI:i .que 1 1 - =e ' Y C ~ n. La justcza de los leo-

ti),l,l'que

-n

remas anrilogos a los 1, "I y" se ccmprueba sin dtficultad, ai'aflrn.it'imoB

ql\('

II·

-=

fie {as que s~

cormin,

lIb

Y II =' nc,' (,nt()nc<',,;

It :

No obstante,

b y b ~ e E n esto (!dso

r~

11,

a =,ali y, dado

qm ' ri~ > II, Ju div isi I> ilidad a:~(ic no' ttono j ngar. A~i, lam puc{J 10 t!t> nc (a +a) : b. 'r .

8. a ) Scan ~ 'J a~.doe ourner05 mlnimos,

Pur In dtcotonua,

o bien

a I• Si al ~ am. entonces, d(,_bitlll a hi pequefiez de a.1 t!):Ilet:n9S III =all' Si Il-z;;;;' a ll entonces, dobide a La pequefiez do ilK. tomamos al = u)l' >~b'i!.105 dos lrunodlntos antl~ b} Sean a 1111H tim ero d('wrmimrdo.b1 riores, Pon la dicotomia, 0 bien lit ;;;;..,_ z , -0 hien b 2 #b l' l'llril. to'ncI'ctar

I I , ~

Us, 0 bien liz - ~

quo b1.? b2 •• Noso troa .tcnem os qu~ a ;,. 01 ;,. b~,.y -eomu ac.ep_temos al DUIDI!'l':Ob~ ea 01 inrnedinto al!tQ~lor de a, 0 bien b = ti 0 bien b =

= b~

Pero pur rcquisi:tn bl iF a; quiere dad le.xigida qur-da demostrada,

l

J

de-cit' que lh """ b2 Y Ia uritci-

Se Ilnrnanumero imnediato posterior> lie fl--;\ UU O h. tRl que b -;;;'a y b':F a, y de b;;;" (' ~a se deduce que (I Lien c = - b, (f bien c = II. SUp().lll'lImv~ 'tUi,' (ljerl-o a no tieno un U(lIt;tt.'fO tnrncdlato PO!!tc~iOf. li:slu signlfulH que para cualquler an ~ II Y rliferenlo de a, sellllJlrrrl1 u n Un+l djv er,~(l ta uto dean co m o , de a, till que an ;;;. till,+l ;;;.. a. ThmUlIlOS ahora IIU Ul ~ a aruitrario y distinto de a (en vigor de '20 csto so pucde c -)


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ill' 61 ccnstruyamns

hacer) Y pllrtit'ndo

Ia SlIc,l'si6n. infinit.a

dl' n(iml'r(ls

rli.v(!l''$Q$ Il:l

:;;;;'a2:;;;",·

••

~(Jn:;;;"

a,,+l'.'

:; ;; ; "O !.

L a propia eiisten~ill Of ' es ta Sllresion, contradioe 114 °_ POI' consig'uil'nte, ('1 n{nnl'm lnmediato p(l.~t"rior existe. ApHI.'III1do Iii. rlin~t(l.m~f1se-establecosu flnicioAIi, com o st:' hl'lO en los pun los a) y til " 9. UII pl'ople:dad l.raositivu (3 D), In iU T IlitR do del eonjllnto de m im ero s ( 5 0 ) . I ii propicdad 4 ° y Ia exi$tencili del l1\lmCI'O inmolilnt.o anterior (HO) lligUt'D en. v lsror L a I'licotom ia se 8\1stitllye po r tri:cotomfa (0 bien ,; :> b, (I hien b > a, n hten a =). T A l propledad refIexivll (fOl ro~ I'ltfl lncorrecta . ya q ue a > a mmeaPOI' es fin, c.iel't.o. 10 que conr-ierne 11 ' III llfirmaeiO,o 2° fomnilmpDte sigw' en v igor (pu.nq :ue. l'mtfl'ra 31'1'" qu(> tambi ~n nos-parozea un tanto para-rro· jfco). ' En efeeto, rigul'osaml'fltt' hablando, esta afinnaei6n. en TIl1Pstr.o CflSO so loT'mula tls{! p:nl'a los mimeroa nntueales eualesqnlera a y b, ( 1 ( . ' a> b y b :> a lie d ed 11 ce'q t1 o a = b. SUl!On~amoB q uo i'stll enunciactdn 110 es cterta, F.ntonc--cs hnllorom oe ta les m im eros narueales a y b que al.m tsm o tiem po a> b, b > f1 , y Il #> b. COila. imposible. tll'Mntrailic(d6n ohtonida iI~m\lt>stra Qlll' nuestTll 10... Afirmacion Admitamos

es un cerrecta, coniunto

ordenado

]lor In 1 ' 1 > . 1 a e . i 6 n &- ~ poseerlorn

de. III:! prOpiedadps 1"_1". Como ya IIlt'r!l.l'stableeid,o. el cnnjnntn ti~nc nn elemento mlnirno. Llamcm.oSlo U n' DI' los-resultadoa del problema 8 51' deduc-e quecada ('Jem ento H e .ne suinrnedlato poate-rior Desi~n['mo,~' pOI' al 01 I'Tl)mcntn qIll' l'R Inmediato p!ist!1.rior i l f 1 f7q. pO'l' «2 el flllD I'S rnmeoiat,o 'Pn~tcrln.r de' al;, etc. C om o l'i;> su]t;a_no obtenemos Ia sllcesion 00,

(1;1,

(R,

il!). • • •

n

oOl1de paracealquler

n,•. ~n+l ~ a n' D('1 hccho '1IlQ la rl'Inc16n f- e~ rcf1exiva y I:1;tlTi$litivlI !I~ tl(l~pr(lnaC qm! Ilj ~ IlJ ?!lit-n Y cuando I :;;;;.. Nos qneda mostrar que III SIICNllOD (R.nl':'(e·hlsivamente abarca lonos los obietos exam inados P Ol'llosot-ro.s_. Esto S {1 lO,!!J'a por Induccien con

lin razonamienf» muvsut'il. SUl!on~8:mos.quI_. fin n o J){~rt~n(lr,(l ;\ I:r sUC-f'si6n (R.n. Consldcrnre, mos como primer' paso illl nuestro rasonamiertto por inrlute.ion Ia 00t .t m c ilin d e este b o o A c e-ptem o s h ab er ( ,'fllc tuA c ln 1 1 - do SIIS PllS0S, [t,re.o,uTtas rle 10!;! euales hemos ohtenido element.., "'!I-f' nc-tp.rmlnlHto 'Si b n-1 =n. eonsidetaremos termlnndo nuestro Pl'OcC'soi'Vurro si 0n-I o F an ontoneos, p .l elemento "'11-1 ti('ne un inm l!dinto anterior. q U I! p. arn nosot:roa 8I'1 'iL p l'l,,~ l~ am ont e")TJ. Ill. En can(,".lt1sil1n, obtenem os S1l'CNli(it1 de elem entos div ersos . b (l & - ", f- b~ & - ..• • ~

l in

&- • • •

A bllSl' tlt' 4 c.<;tJl ! \ u ( " ; ( ' : s i o n (1('1l(~rliI,l'n!'l' un tlirmino 0

ultimo.

Pero

porel mismo prinf'-iflio n c > · .SIl ~onl'-triwrllin Ml t ,e rm i J lf) p u pa ! ' !WI' .•~oll1~ ml'ntf'ao' Sen; -para IlPT preclsos, b T l : ~'/!o· No ,r:'!
=,a.

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Lu (d[{m n slgilifii'~i

In Sl':n!~('s'jon fiLl\;. [J'N'O

PIJI' ,:.rJllsiJ:!uil'nte,. itt Idl~{)l.j,~sis_ IlkIntnl'
I'

.(4H1W"I.,Ii't!.'

l,,,h,s h\~

Ito

q\(e:h~ T ) I i " ; r k ' n e c . 1 , '

I'

l!"ln'sion

(1st!)

(II-. 1) coufiene

I l , ,s!!:;} I, d{,l'lu Iii;' rneru , Qrrlil!l1:ti(!l" ,,~n~:('!~i6:nit · uium'!'!.'!;; - 'I, ~1' II a -: "an.' 'Par~ 10~ c U 3 . 1 e S

Hiv\H'sI)!I (H,2)

~,SCl'u. IIaninda (;ukii lHI il(~(!,~tll eu , I G c m . , 'j\'l,OSl ]"('1111;> :1 II I vr Il}('i IIill q lit! {wm J a : s . COlldit,[CHICS qL1C n e s o tros II' Im[HI~JHlI)~ 11III
Ili,lUIII(1

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[,:I'le; (~llilt.'l1il'~

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se q UIeta que COc de. 11.. En adelun ll.\

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!lr'mll'tli~

i nmed iii ~vs illlll~;rlQ res tales <.~fiikl,lU.i:\' ' ' il' a es ri:Hi~'~lrgaexat:1uml'lit'l (!l) una Co'dil niffi)il~i rl,':;mh\ri~jl'(~~,

!I1WIWI'Jl

V'it)l'lut>

li

d('~de

lit'. lHll.{'fio,tcs

IUIi

l\X,IHI(fiar

,;<\,I:UUl'Il-tc

IIll-illall JIIlI' l,h'('l~J Glukuu ( · 1 1 ' nn t~'rij)rl'S' d r ' uno Ill'. los-numoros imn(1,ilil!lj,:o; ;lllh~i-i()ws'; Si ('ndll Uno; d(' ellos tllvhrran()a
hmgUud

Iinii I'itllu,

l'!IL()nce~ el f1rnp~{\ .0 ~n()p'Htr[a -~l'nl'r- T(I(!ena;l de lMglii; 'Co mil ::\\' fill i(or~l.. Q,l,:iirn'c ,H~dr q Ui" -P llf.ii tillcstnl hip-(,les.is, p.Hr tu nl(;DOS, uno, (ll' los u(ullews IHlLeri(l'l"es iJlined,lato~ tie a'g 'po;;(>('clldeJlu!i (\1' anterlnres t!tn la Tg/ H; 0.1)f[10 lie q u [e ra :, O~'Signe[lJ(lsIo'po!, ajY repuamos, aplkandu.lliH, 1.{H}i1Sl\lS ta~,()u'tmje'nlf!~ que aea bam os (\_d bii~;(>l', Bt'tn j\i,,~ dil cjer[" ri(li~\i'!'ll1,2' ankri'>riJJIlll'il i,\ll),di! alq,u~ -tiC-Ilt'ICUft('U!!.s'ill' ,riit,(>f,iJJr'estan llppH.iI.'Il.ill) lIirgHscnmo ,Sl"!]Uil'nI, esw pro('('BH HeglITl1.os-.a 111 SHCl'si6n ,iJll.l'l'ii)rl'S'

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b(lmprallO

V i! ,j INI (' i: " 'Iil] irahlcs.

II. (ill R~ cl nntcrkrr irun;,dil1L(I d,., II' es 0 ' 1 , ontoncos, I'videnU'lnent(l" "Ida I -'I" Y 1'IH"ll Hlfl0,~ ]o:-'!a minimos n (II) =. lS f:> 1 I ,~ r/I). poc nr.l, 1111' (,lj'lrlcilld() Ilr,'pc>nd/cntc 'I.~ 1'1. D!)sll!nNr~(\S rl()r 11 {ill ('I L'Il!I.Mi;rd." ~A (lr) ",~ dc.rl:1 lltll'll. j,(Hln,<. los. 'n(lIIwl'l'1s G, pari! I.h;,t .'nllll'~!I (a ) " n~ gUl[jlWI"~, t'OJUO 1'* awil de Vt'I', III forundnd6n (lill llrimil'h) d ~ , [Ulillcrjiin ('II II ! rllu~vn (Or.lll(1 j)11.fal a s .lIfir.filllfioTlc,'s A (il) ',<) 111i'i dl! ("(I'h~U forlfl i1liir i'm I!li In f!!l'tn~v1.l'jil pbl'H lal:! ilf t r 'J " f l l l c . fU '] 1 1 1 l

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75

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~()t.o IIlul!(/.

18. Sea /) el rninimo divisor: prlm o del IIJilllOro a. Do ~c:{~ ::;p deduce (l'U~ a = pl», flll a lq uior 11ivisor priulo (/ \h~J numero b C~ LHlllbi6n. al mi8nlQ tiempo , d iv isor de a, POI. sso, q?3 p, 0 sen, Vnill hici' b ~ p. asi, a .;:?- I'~'v : por fin.

t'u.

p~

1':1' P al .... ; p " 14 , 8MpTiHWS t'eJlIc.i6n comen plotauna do119todos lof\ ,H u mcros q no eutrn III 11 , a l m onos, las ,I.cscomposiciunos c.m611ic,a,~ dll a y b. I?
p~J p z '

a. _

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di-.v"l.')ihll)' pur Pi. ('rd\()JICL~
EnL()J1C8s.. 1 l b aso del teo rem a lin a y - b es (It' P~.. " . ( J Z " ,

1 7 . o j r.nnxilllO Y

mlu lmo

SII

co rnu n rlivlCQllI(m

rnul-

tiplo , V·',

P , 1 . P2 2 f.J. Como cnn

~e d~'chl('(' tlHI l.eort'ma

;h!~ (t{ ).nlll ps [(\io n

m ;i lir',

. _ ,p

Y ···rlll"·

~Dnonit:n

~II,clOlllh, til

+

(,r-If'~~'

7. civliT

fliVII;fll'

"'~I!,

Ill'b(!.rf1

l{)ln{l los v a lnrcs a + 1'

deJ

n'''IH!l'(> ill,

'1.(\{lpLlir

fl 1. 2;.

I ,. 1'/)1'-

,Ij,,:

~2' ln ~ v .,1 [1 F r> srj~. t , r,JS ' 'fa filii:; sorqwsll1k> !.'II.llE·/'!lllll('l'1I cotnlunatl(,n(~~ til? ostns VHI{II-"~it eUi).i! nos dai'l t~!dO;;i I(I'~ djVIS(ll·I.'~ ,1/: G,lllliH',1cadI! '1111<)Hlln S(ll" \7('7. (si I~ualqllil'r dj'vi~ur l-r, ri'l'il.icl'ii v~lriil~ cit'IlIII>

',it'C"I'Ii, ~ll:niri,-ul'jil 11"" ~I lWIIl' VII.ril!s dlJ~l'nrnflH.~iliIHU,'~ (',111(,11[1'01'1), lll"ii"lle,rU Ill" [..lle!' (hVI;'()['l'1' 11. ('~ Iglln I II

i:1

('1'1

,,[6.

+

1)

(rIg

+ 1:)

•••

A,hnJtumnsquL·la,.d.l.ls!mmp()siclon


(':1./.

+ t).

ran{mlua Ile.a StHl'l'f'p~·2 ; ,

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76

- r :- fi 0;2 ;;;;.

Evrdentemente,

pndemns

poner.quo

PI=

2.

Y p~ =,

ttl ;;;;.2

L Prosipuiendo, obtonemos!

+

(at

+ t)

1) (a2

+ { = Tya,+

de dpnd", k =2,,0:1 =192

..•

(a;,

+1) = -14, De

i =2.

talmodo,

Q,

=6'9 =

NOSOtro5 tenemos:

17

,,(all) =~p f a ' p ~ ( l 2 )

+

= (cx t

+

+ 1)

(2cxll

+ t) =t,

qlll' _ (2 ' X t 1 ) (27.1 1 ) CS 'II deecomposlctdn dal mimero 8 1 en ~98r
M il

des:

•

+ 1 =f. + { = 3,

20:'t

20hj :0:1

+

~:1I

clll,dmt'IQ

= n,

1

estes

Itt'

2a~ .2a-z

2a;

NI!:jOS at

Quiett>

dectr que, 'T (a·)= 't"

0

bien

=

81;

=27';

+ 1~

9_

10 que contradico

a la

sl~.pn-

108 restantes,

a~ =f3;

1,

a~= 4.

a1 =4,

(p~C1.1p!~~)

+1

= 0.,

sic:,ion ,Ic q u e ('I ,num i> F ci ~l O ~ posltlv(I.En otl=

+f

= T (p f p ~ 9)....., (1\+ 'l). < s n

+.t)

-= 160.

o bleu, 'to

1$. &I'~ p~1 jl~ll La pOlJclkilj-n

cld

P -Ill' l'llZ

,,'tIl In descourpostcion caruiulca del uumero

••

problema 07.2

II

P~Z

p :h .•• __

Ct.2+t

k+i

___

at

·1-1

{ I .

nos cia

. 1 1) .«~ P '"-= 2faJ +') • (0;2-'

, .,

p~l

S e fin la m es

1_1\·13=j69.

(,-j.)=T- (p~(t]p~a~ =t (p12pf)==

•••

t,~Ct.h' '1)

i

=2~.

(R.5)

qUit

21'

1-H =1

22

28

4.

2'"

<'2+1'=3 < 3+1-2 < 12+1 1

3 1 "<'" t+i

-c:

<.,

(N

,_

-'"

(a:;;'

4),

")

O· ;_ . .. .. .

pa

(p:;;O 51 a ;.. ~,1), 2-< ._cx+1 Pur eso, 1')1 ol primer mlcmbro i 1 J l (B ,5) cada qnebrado no as [rif... ri(IT a uno Y. naturuiIuent.e. nlnguno mayor qUI! dos. 0 sea, ep 01 pl'lmeJ; ,


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71 mlembro de (H.5) umcilmNlle

puetleu haber quebrados dol siguienLe

I;onjunto:

2z~

lJ

£ II

2"';

1+1'

1+1' :!+I'3+1'

23

+

l'

0

dos,

respueatas

2~'

2T1Y

i

del problema:

31

+ t' 8

y,

Ambos ~asos correspondeu

a las

i109

12,.

19. "EscribaIJIos hI dcscomposicien a =Tl ••.

cun6nica del ntimero a:

p~~.

Entonces. a!l

Y de acuerdocou

(R.4)

=2al ~ ••. , p2ahk

(problema

15)

(2c c ~ +i) .. ,(2CtIr-j--,1),

-r (0 :1.)_ 1(0)' -

(a.l+i) .. "(ct4+1)

•

E.8 cada quebrada (apl'oxilJlIill~ l)ctl~ce valor doserti.cil a 2)vet COil que el aumanto de 0: i, (2ut de modo1)/('2; que el minlmo de (late

que,brndo sImi alcanzado cuando Ct., decte que

+ =+i Y cl>nstituira

(~)II

(a~) ~ 't (a ) P"2

t'

EslA clare

8/2. Esto quiere

•

que siendo' k suficienLemelll~ grande,

(3/2)k

> K.

Para

esto basta eon tmnar

10gK

k

>log 3/2" = JOO. (IS sulicil'nto

-

POI: ejemplo, cuundo K H,if; c o m o k Li,en:e qua.see cnroroj podemns

l,hnar- 1.; > 2/0.18 tomar k = f2.

=

20. Para Ia division par, los teoremas analogos » los 1.1-i4 dejan de seT ciertos. En aiecro, los Ilinneros 30 y 42 son ptimos en. psrldad. El :minimo 'Par mu[tiplo ea 420, 1 1 el producto, 1260~ Prosiguiendo, 60 =.10 es diVISible en paridadpor el numerG 30 prime en pazidad: 6 y 30 'son. primos en. p.aridaa entre sl, y 10 00 us divisible en paridad _por 30. . filtimo,6060en= 6·iO Por n'iulwro -tas del Jactores

dos ~escomposicionea (listinprlmos en parldad. 21. a) U6 as equirresidual con 4, y t7co.n 1 .. en Ia divi-

sion. per 8.

Qulere

deoir que A 10 as con 5!!1.= (52)10

Pero fl D esta division, dad. Poe eonsigutente, residue 5.

b) 14

&S

= 30·2 son

5.

=25 es equirrssidual con 1 8 nnien III, divisiorrpor 8. A, nos dael

equirresHlual con -3

POl" G SO A e!$ equirrosid u al


".

.52

co n

en la cliv'isi6n por 17. 3 S)S6.3. (_:~)$I~8 =- 3 2 & 6 =

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78

I,HII'ill. ;-? 10 !,w llt,tnol'; ~U8Ull1lJ' Pero (HI2)-l.2 iU~!'·;i = - = - c -2. x: -'. i:I()~ Luego, J.llil c::, equirreairlun! Nll e,] lJumtn'i; y 2" (',OJ 1 ,j! ( ,1 1 1t! . (I I" i~ l 6 1 1 porJ.7. Qutere dccir q U I l.A os equi-

l-2).t!·3fl-= 242.30 -= (2 }1(]·4·H0 -,~ t-1)1·o)( x Il·;.lu ..::.1 20. L'el'o (It (ul.irno llum~ro.d fWI' d iv ld ido por 17 IIit como 1'00: i rl (1.0 L I;nl~illlLl11cou

,22.

il)

Sou,

de di\'idir'

III ( > I rcsiduu

n:

pOl'

H.

EIlI.OlfC-CS

puede IOHHU· los vnlores 0, 1. 2, :l. 4. :y :J, mientras 1 · - 'I Ln1 mi equiuresidual ('011 II!! 1 - 1 1 1 1 , en la d ivlsion

u sea.

lit

ni'"i p_lH'

IJ ,

probar III d[visibilidad puc (i LIe los numeros 'lO8, fl, ·I~.:IO, (jU, 1/)1),. Tudes olios SOlI dtv isi hlos )01: 6. Liltrlb'icil eli poslhlo utiPIlI'Il()bl.OIWf Ot mi s mo rcsultado li:tar' cousidor, dOJl(!~ mils particularos. El numero n ; S -i Hn 3 l\S e.qlli[~re~ldtln' COli ('I n jjn 12n = n3 - n = = (n. -1) n . 'In T 1) Oil In di';]siou pOI" G, Poro de lOR tros numoros ~'II"NOS su(':e~·jv()l'o n. 1 , n y J/ . -1-1.. uno nl d'chlHllO.~

+

rnenoxos

os' d.ivisihle

pal' ("StlL\ ttccil'r

Y 1I11() I:lS divi-

pOI' ~)

Esto significa (~E!gUl) el corolanio del toororna 11) quo 0 1 prod lIciocle estes l " C S numcl'os 6 [ 0 $ dh,i~i'b[o 1 ; 1 ( . 1 1 ' Il, A propuxito, h a com os uutnr q ue

sible

pot;)

«1111l'XlictiL!lll.

-fr h)

4"

+

l'ill'il

It

l~m -1 .. _

· I!I. ...

+ l[)/'/ -y

(n - 1) It (n,+ 1 ) =i:+I.

>~.

(cmplealldo

.-; (:1 l 'l'l-'e ' n

I -

+

+

+ '1;m -

1.)'1 ';

lu

'"'

{ ~ (3'"-2

1 -

_).

+-

.!2r.1l.-~ ~ ''If

1

1)11I01I\1u):

fO rrnuladdl.

.- ,

I ~lCIl.-1 n

1 T I

-I C n -2 )+H:in,

:JI1-:tC~ -l

umbos ~un'lillllios evirlenf.emente, sun divisihles !Jot 9. J 5·1 Para 1 .1 ., I n 1Il'f'lm oxprosion es IgHidn Il [ - : IH ,

+

c) T Ju d ellJ o ~ t·r'n ci6 11 L',lII'lI n = I) 10:1(1-

.$i01l

qne ahorn

so dC ,lt-lull

1 =Ot -

l

110 1' iTultll;,ciUIJ,

= ':i

;11l+l!.

=

!),•

l.iene Ingar la diVL!"!iililirlnct

(jefF' _

1) l ~n+2.

r. I I.to II cos,


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P or lfip6L esl'Ii de induccion 81 V a :im er raCl.O[' r l r - l segulldt) rni OltdirQ QS d iv iBt b to , po r i{"+2 _ I '(,d,e!l1 ~j;f Sjl "fr LII j I' lo s rf i i)c:t)S: del segundo fu ct o:.,r p or las unidades quo on I,\. dFvtsi611 uor ~i so II cq ulrro- id 1 1 111('S, con ellos: C o I IIj m O J:q ;.) o.b \011 id o muostrn qua sl segundo inc tor tll'\ d ivisible por '.3, 1.'0 1' ~nll sigu (llille, todoe 1 prod uC'.f,oo'!j d iisib Io poe ':, \, !+ , l ~ ; : W '''' 1 ) ~ 2, 'slondo' 'E'sLo_pmei s a r n 0 " n t . ( ! , ' 1 0 'f} u e AI' pcd in. d) a2:{);\;iden tcmouto eli ~q uiTl:e,
(li2)nT2'=

+

a~'H'1

(1

'1!+'i

+ u)

I, n

+.

J}{n2L

1) =r~l-

((.1.-J)"i:9

(1-,(1,

s'io n( ] o [ustamontc 10: quo BO ex igill, 1) (n L I· n)-~t0 ) (n!' - '1 ) .....;.,n (n~I+1+

iii

d~''''+I'n-j- a~l)~

(,t;~"+1=

=a2

o

- 1 en

,,'-

_n2L1

1

-I-

11,2).

1).

n-i-'l'j.

23'; eea . ..... unu relaclon Ill! uivale,JlI1. eu C1 cIHtJLlllto (k If(l!U\;·l'()~, a y ()xu,mliw 1Il0S, tudos lOR Y)(lInl'I'olHIUl~ Tomamos cl nCj~IlI.'l'(f urhltrurio l lomes. ,CO Ill(> In -rdull.iiill..... C'~ t t'a t l 1 l : , i 1 , 1v u l()d(),~, lillo~ s o n l e SOIL. eq \J i'" cqulvaleiucs cutrc sJ. Dusignemos 1 ) ( , > 1 " . 1 < J > l dn.,~l' Iii: tcdos ('.';;IH.~IlUlht'res. 01 nurneru arhil.rariu b nu Jler.IN1C(~:;j!nl(' it /,," b ,.,._,. (I 01;1d(' e l'~Ci{'rtn lllnlll'l"() "ie K, cnumeos til ru hi'l>lL bFi'lll b ,.._,' ,. 10 que, Cf' imposihk' per Ja,l'!I:n'j/in delj., QJI It're doctr qil" niuEs(,ut\iCH\<);;.ah()l"iI

,SJ

flll~l'll

'J hie(v]ml

g-,lno til)' In'; I1~Ull'I'()i;

lIc' q ue h!5111l0 contienec,:,talla,

d(' K sonvqu

iller"

i:vl\ luntes 'a ,nilJgIllH'

(IP eq(ljv('I~:II('i,) Por ~'!>Il~ig\'lit'nl'(" k' ~'S lncluso 1),1dt) quo (' I nuracro a. (1$' t o r n a d o [101' uoso tros H,hsnlnliJll.lcntc arlu(>11

«.

los 1'!ftollarnien.tos(!Jec.tlladol;, mllr-~ll'lni (jIll) ('urln Il'(mwro I){'~' !.':~(.(l os.!o 1111(~_1)r(.\cis'illJj'h\(\, st; tencce a dIH'la, claso de f!quivult'lH:.in. pedifl, '24~ No e,lbc.du,d,\,quJ) entre los: [lI'H!lI'r(+~ 0, L ._ , Irll!;lhn"ln tins lu'rl.cllec,i(!nt'cs: auna mismac lusq, 1'\('a.u cllos Is vi. Ii '""'-' , H ,lhJa:J,rdo. ell gonoral, 1"lh:08 l)ar('ja,s dl' riu:iJIef(1~ de 11M. 11l1~1)1:1l',lil5(1 plwlipu in .cluso resultur vnrias. B-1ijames uqltdla 111l1';1 [fLour! Ii! I)laglii t,lld I li~' '/ I t1'!.ltil),

q

.sea rn/lxima.

Dado

Lllego, nosotros

I ....,

uo

hnllamns

-7,

k ~

I --

cu:alquter

l -

I("HI

outl'!!I.'tOOS

I,:, I_ .,

que tml1hien vanl tun lquror 11

Por Iiu, ,para

< 'f),nd rc

por

(If ~

f'

Ir

{ r,.. -

11mll·('r!l

D - - O.

+

II r"""' r, O , S ( l dl'di1(;,c qll($J

,... Ii, D (! lat mnnera (~ ~,.drdr, d() (1- ; ; : ;= . . 1 ' ( m O ll, k. --" ina ti pos de rc Iuc j Oil t'f 'Ill i cuen tn L!',grWlllM Wii. Iii~ diJ.~1'8 d < , restns con

[ "e!ipl.'( ~t .o

u

l m 6dulo

r1 L


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80 cada

m

que ceuteuga hulnoru unu Para de dliis

clases tOiles necesario ruas Je..., upo de rcstoay que k - que I =m. u e unIlquivaJen

110

,25. a) Ambos miernbrus de Ia congeuencra Y I'Lmodl11osoil divislbles por un mismo niimcro (50 sobreentlende , diferente decere), En ejector ail b tl (moo. milj

=

signiHcll

que bd =a -

lId -

es decrr, ( a . -

de donde

b) ; nt,

a-

=

b) d : md, b

(mod. m I.

lI) Ambos de Ia congruencia nnembros un numero primo con el modulo.

~fl'ctJvament~, st rerna 1-2, de

d y m.

mente

por

(mod. m i.

1 m, sc deduce que a -

b) d

ser divididos

sonprimos entre 5 1 , entonces, pur 01 teo-

ad;;;:l bd

es dectr, de (0 -

pueden

b :

s., cl!Q,uerill,

,n .

10 qtre precisa-

26. Supongamos quo 1~ k

P -

~

t,

ka ~

la

(mod. pl.

Esto significa que (l - k ) a : p. Por euan~9 a 110es dtvlslble por p, 10 {mal tampoco puede ser, ya que 0 < l - k
i - kip.

Entre los numeros q, Zq•.. '. (p - 1) q sehallani exactamente Uno que al ser dividido par p nos de como reslduo Ia unidad. Acoptemos que t.al llI'ilaero sea

qq:

qq

(rood. lJ).

_t

g , 2 q , .. "

Por otro Iado, entre los mimeros existir

-

1) Q tambidn puede

por p nos d e como residue es q(j:

in unidad.

Aclaremos en que CilSOSq =. En torlos estos casos lu congruonefa Be aneta
'f)

(p

s610 uno que al Sin' divirlido

I!:l:lle. segun lucra establectdo,

(,28)

(8.6)

In que es

(mod.

1.

saa

p ),

(0 f/I ISiXIU,

BilLa signirfea

=0

t

il~ -

(m6d. p.),

que q~ -1

==

(q

+ 1) (q -

1) !v -

En vista de que oj nilmcro p es prime, por el teorema 13 debera ser 0 pi('ll (q 1) !p, u' bien (q -<1) : p: Como q se halls entre cero y p, el primer caso es Jlosihle 11Ilic"lmente paraq=p - f, yel segundo, pan' q =1. De tulimodo, para p = 2 y p = 31siempre ~erli q = ii. mientras qne para p ~ 5, solamonte on.Io 9 casos cuando q =y q = P - f. Par ccnsiguiente, para p ;;;: 5, todos 103 nUmerus restantes 2, ... , •• " p - 2 pueden SOl" llni(los en pares (p - 3)/2 tales, que al produc-

+

to lie Ios numeros compouentes


de cada uno de ellos, 81 ser divididol!l

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81 por p, dejen como residue :J. Anotemos Ia congruencra para, el loud dGdichos pares, agregando a esta hbtJ

p y volvemos ohtenldos

a

1 =' p -

multlpfiear

i

miemhro

del tlpo (H.6) Ia. congruencta

(ulod. pi,

miemhro

I i

toilo'S (05 (p -

1)/2

de las congruenclas.

Como resultado

de esta illllHlplicad6n, en d primer miernbro !Ie d:e todos los n(lmerus de;;de ,1 ! h.rstu p - f. y en

ohtiene 1'1 producio 1'1 segundo, p - 1:

2·3 •••

(p -

1) =""

o hion 1·2;.3 •••

(p -

1)

(mod. p),

+ 1 ......0

(fluid., p).

La ~JUma congruencia stgntllea que

II~2

••.

{p -

i}

+ 1] : Pi

y ['stu _I'S precfsamentolo q.!W se exigl!l. ." Quedan, 'por veriiicar los cases euuudo p = 2y evidentementa (1 1) , 2 :I (2 + . I 'llos, ) )~

+

}J

=

3. Poro para

Suficienc.ia. 8i ~l 'numero pua c~ pr imo ser dcseompuesto en el pr-odl~vlo de dos Iuctores meuores: P =,pptira f!tP2' 5i 1'1 = F Pt; e n tonces, 'PI Y P2 entrau lnmlliencomb Iectores enel producto {·2 • , . (p - 1)' baciendolo divisible por PIPZ' 1'8 dec lr, por p , Aceptemos ahora que PI = Ps = iJ·Enlotl{;cs'p = ' ({} sea,

2,cll.tQnG('S p;» 2q s q y 2(1. de modo que queda divisihlepor ,p, es deeir, pur p , En a(II~J()8 cnsos 1· 2 . , . (1' - 1) 1 no pucde set divisible P( lf p. Para filla.1iZtlT, si P = , '1, entonces 1- 2·3 - 1 ,=. 5, Y por 4 no (~S divi~lbJe,

pes·

en

un .aumere rrim!l). Si q?-

el.cuadrad.ode

1'1 producto

.1·2 , . '. (p -

1

entran Lo s Iactrnus

+

2,~.l ' H O H E ; M A ,

w/lonltlJ Sea 111= -p '? p ':" . _ . ~,~!i lo: de,ICC!fnpOS[Ci6:r.a [tn de que 'Z[,S usimeros A (' J J sean. equirrestduales e/l- la diVlstiin par m" es ,WC6$a ri'o :,y Jllllil.'ienf:.e I;!!te ellos 10 .~I'{lt!,; i I, In, du;isiiill' par

de m, Entonees, po s.; I

pur

]JQr P~'"

pt<~, • , .,

Defllostradon.

·J'\eee.~id'ad.La eqliirreshluillidil
lie A -Y ' B ~n

In

p 1 'l ( / ~

division pOl' mSigniliea que (A -.B) !II AJeiMis1 (A - B); = 1, ... , k) Y Iosnumeros A - y B resnltnn equrrresidn.tles r-n It! division. por todos los p~i. Su(icienciu. Seun los numcros A y B !·lllllrrt·sllllI,I!ll.<; ell Iii division V01' cada.uno de los p ~ . j _ _ Designemos pOI: rial residuo. lIe la dIvision de A y 11 por

p1

i

(i

=

1;2,

. _ " k), Es\u A "'"

Supongaznos

si~til[h:iI quI'

- ., J rj

lIDO

(Zt,

•

P.j ).

(R.7)

que en. adelante In

~='m"

l= t ••.••

k.

Pj'


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82 el Ulo(hdo y 8t110 0 S mlombros

y rnu ItmUlilll!lllQB (lU7) Jill!' In;

'S u lIIallllo m iUJllhrll u m !cm lrl'fl A(u z 1

Tm.2'+ • "

~l'

IL l congruenehi

lotills osla s .eougruoncins

ohtonem os

+lIlh)::

(H.S) C,HJllO

y 1) sun

.( 1

p~k. ilhl,()]WHIOS /,/

(III,!

+:

He~tauil() resulta

m~

(l(I\III'rl'sidllalt·S

IJOl' p[l'\p~'2,

•

•

~ i_

tamhien

+ ..

1-1 111 <) :::

"',',+ ...

nuomlm

(A -

1 :1 (llVislllll

Oil

:I

+

Inkn,

HliNlIbro

III

cougruencia

+ m2 + ... + mkrll)

ii( (raj

(lUI)

m)-

(m6d.

(fUJ) Iii}

=-0

(mod.

Iii (H .8)

nil,

++ +..-++

1112 Ill. (A ~ B i (mt "~/I) -1 - ... PeriJ In suma 1111 nl2 !tilL Y= -II!. ~I'1lJ primo.~(>ntr() 31. En efecto, si ella t.uvi(lra con III un ,livisoY'C( lll1'ill prlmo /l 61 inl
os declr,

29. a) Anotatnos

crih en la s divisiullcs rltmo

de EucH.lul"

sisll'fil;hkament.e

rcslduales I.

todas las I~nilidades

q ue consrituyon

I iI
qlll.'

Ill's-

del IIL go-

a l'b : losnumeroa a =bqO-l-'I,

b-=1"Jql+ I'J

rll,

= '211 - 2 - 1 - . 'l'

Tn_~ =T"-Lq~1--j- rn, 'n ,I -1Il!Jn·

l

(1l.1(l)

I r

N'(1$lllrOS tonruios que rn,_I: "n' Junto con rn,-2 = rn.-lq,,-l r.... ~sl(" nos (1(1 ClUI~rn_~ " 1 / . , AVlIuzando de m odo lIllIUUgo por ul etstum u ,h' igullhhllles (II. I(). haein arrtba nosulrua ohl4!l,l!mos. pot fin, que

+

I t '

r>j,Y bi r,\. 0 SPIl, qlll'--rn. t's Sl';)

tl rllillqLllt'1'

( '8 10 I\ () s< < i,t t q ur: r'1

:

{1~

dlVlsnr cornua d. A V lIJl7 .-a lldo

diviS{)I' COHlUlI III' (I. ')' b. con a. - bqo rl _ d ~ a y b. Juntn por el sistem a de jglla ldades O L IO )

+

hncia H bajl!, JlIls'll.ri.)_"· obtendremos sucesivamentc que r~ :d, r~; tl: . ,._, . " 'r:n ; d. Quier. II..e ir qll{'r" ea ilivisihll: ]1or-clIalqllit,'r divlsnrr'nunm til' II -j" b, ~h~nd,) P Ol' .. Ilo m ismo SU 1Il1i:l.·iIIW 101Im(IO Ilivlsllr. h), L a ,ll·ll1 hsl.r.n diin so (i.f('I'tiltlpur inlhl(',diin .. RlIllUnicndo A 0"--:- 0 ,


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B ~ . c ,- 'I, A 1.-"-' J, HI ~ -"10, 1I!'~l~r(oS .~ . r~ ~ aii.J blIt l3e'lll ,lIwrll.

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J :l I'C S ( ,H f ·c m l 1 : : :! ul 1 1 (1m e w , n n tl l tl l l jH 'hilrl1l'io A e n III form~~ 10nOa b, -dOHdc 0 ~.;;b < '100\1 {II:.\ 11N'h', Ilt')I pi II {nll0 ro triHlll,;io con l~l q 110 le:rm ilHI 11) Y 1

/(A)= lH p.t)I'

~"«\ si

; J 2 : . Lunitemouos Ji{hld,(})1 91 si"LeHiH Sillil por 18,

. 1 2 , : ; : 1000,

~;:;~A < t O O O , ,1 <~,

(\1 f:-.fl ted!) dc, eq II j rresidundlJ(}d(}('.jf1Y~,lllo uOlueNlcioll, parHladhrl~ a

(J~1l

rninar

:'1..:;; Ii

<:

1i14n -I {;, dellll.luC!i'.(Iclilu, dnutl C U tndo 01ellsistema ta form ,\dllt)Ul't'.Im,1! :SOil. I ~ f r A(0 pref;en sea , NI

b es !ii 0il'tll. 'binari,( ell eslo: .si.st_eHnl), y

('.011

I"

(1\Il\

term lUa ld ni)

IIwr:1)

/1

<:

ps_tril.('

f(A)= /I, n L rosi (I u() d n la o Iiiv j sion

={

indetQrmina(.ia,


do

;l pia.

lR,

SI

Q:,~::~ 1H,

-SI

'1R:o;; A

SI

< 1411,

A

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La verifir,ncibl1 do que 0 1 peo eeso do constcuccldn de la A, f ( L 1 l, 1/ U )L, ... ron lm en te (lS lin eritcrio do

sueeslon

, H e (lIcctua do manera esrandur. 33. Para aquellns meuya descompoaiciou canonica tietleJ 01 aspecto 2a.511. 34 Las condiciones a) y b) se cumplen automaticam ente. P ur cuan hI 10 y 1 son eq uirrosidua Ie,_'len .l{l division por ~1. tarnbien Io rieberan ser Los flUmerO:-i A y I (.4J- PUI"

equirrcsirlualidad

0 1 heche senctllo. fin, do que para A ~ 3, I ("t) < A 1 sa esta hle('e COil IlII ('ul,c,1l10 35,0) t (85877:3) -_ : · m : f (3~) = 11; f (11) =. b) t (A) -= 4 4 . 4 4 · 4 =- 17 7 7 6; ((17 7 7 G ) =8 ; f ( 2 8 ) = <=10~ f (H)) = H e . EI crilc!'io de residues equi valentos nl d iv id i r por 9 es a nM .ogo

ill ya

do

examinado

eq uiv ulea

rosiduox

tes

d iv idir pOl' :t. A Iin do obtenor H I eriterio de re:qidllQs equlvnlentes d iv id i pur 11 -prcsen ta II I os oj n U rnoro A en Ia Ior 11\ a

1 0 z"au dondo cuerda

0

+ 1i)2

t1

-2an_1

+ ..

+ 102a,

+

al III

(tn,

<»,

COLI

(de derecha

<, 1()l), Evidenternen tn, tal exposicion moIn d(vi/liull UO 1111 numero err «(grupos» hinurtos It

izqulerda).

Soa

f(A)= ao +aJ~' ... f-an, = II I resi II 1ICt de la d i viaion { Indeterruinada,

N os q uoda

~ efia la r

4 10

! ' < i A;;~dOO. A por 1 1 , si '1 1 ~ A < :100, si A

que en In d.iv ision

pnr 1 < 1

< ii, J63

numeros

y / (11) venl aderamente SOD equirrexiduales s, ademas, I (AJ <..L 01,1'0 eJ'itc:rio de residues equivnlen tes al d Ivid ir por 1'1 so obtiene prosen tando el mimero A en 10 forrnn A

t1

=- 10 1l(l'l

+

WfI-la,i_1

+ ... + iO a + a (l l

Y vH lil?lIdonos fie In equirre idualtdad de 10 COIl -1 y de 100 con 1OH i I) ( 1 i. v 1 !'.i 6n pot 11. Por eso A as eq uirresid ua 1 con

+

+ ...

eJ J11JfiWJ'O (to - 1 1 1 (1 . 2 as ±all' Y Iu Jnrmulacien del respecti vo crt tcrio· de rcsid uos eq uivulentes 00 presenta

dificuItad.


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85 Por fin, d iv idi(inno el nu mern A podemos presen tarlo OIl lit flll'lna

+

tOS>lan,

10ail-3Un_J

a , < 10 UU ).

+'..

o..!

ell

10 3a1

('gl'l1 [HIS>}

+

trinarios,

(Ill

A es o q nirr esid un l E nto nces, C·OII In Burna u()+ a 1 a ", en In (liviRion P Ol' ;{7, y con In , suma de signo va ri I1Me au - a I + a \"l .•. ± a'l. ou lil d i ir;ion por 7 ; 11 -y 13. 37, Como ejemplo examinernos el critprto de Nluirre(0 ~

+ ".. +

sid ualldad para In division pur o S , ell 0 1 sistenra l.ernnrio numeraci on, P,_'escn ta rncs rillra esto u n A arbitrarto ~

a n32n

2 n_1:1 ('1"'-1').

+ ... + a 1 3 ~ + ao,

donde

0:::;:

III

< 9.

G,

es la esencla del grupo h ina rto en q ue };(J Iracciona numero A, contarulo de derecha a iz qu ierdu. Nos quean snponcr que

A q ui ,

III

+a

do

si A } " . ? '

slA=.,,8,

o,

:'li ..1 <8 y efoctuar

los razonamientos eiit
= 4, 6, Hi, '24 de 2); 171 (Ii;;:-,(k numoracion 'En 12, d~ bass3J; \) () compuesto de II 01 sistema guarlsmos: 2, I~,:~ (lc = 1),; 5, 1'0, 20, 40 ( Ie .,= 2); 7, 1:',\,

14, 26, etc. (k= 3)~ En el sistema de numoracion

do .base 1:~ I) compuosto de. ): 7, 14, 21,ek .( k =,).

13gnarismos: 2,3, 4, 6 (k = 3,9. En el sistomnrlenumeracton torn arjo: ~, 4 (k = -j); 8, -12, 24 (k =2): 1;\, 26 (k -- 3); ti1 (if, -:. ~ ); En el sistema do numeracion qutnarro: 2, a , lj (k =1 ),i 2 ); 31 (k =)~ R, 12, 2 4 (k

=

el sistem a de .num era cion ()C,tOJiU'I'1O H nc:t()Uoo: : ~ , ! J (k=1), :i,til (lc=2); decimal E n. ,oJ sj:-steina de Ilulliel'}idou : 1 . 1 (k = 1);. 10J ( 1 r = 2h 7, It. 1 ; - - 1 (/r =, ::_'\), 40 .S 1 lo s nll'mCl'Q.f) a .r b M)n l'(I!i i1'J'csidnn Ips, ~CIlr.O.nCP:--' (a - tI) ; m. VOI'CSO, envigor del I. Ptl rt1HHI ti-, n y b ~OJI \) no di vislbles POl' m slrnultaneamen to, En


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S f)

], .\' ;'"'Ol!.

divisiljll

('l]l'Iidiyi"ihlus

PN'O no

eljuiri'll:-;idnall!s

ell

ju

[lO I" :l

4 1. 11l'illlZl',a.

IIlW ,(Ill Iii e~luid ivisibi lidurl por In so I a ( > q 1I i ITt'S'i 1111n Iid 1 1 4 ] P a t:a . la d i .\,'1~ iO"II po J~ /1/ E s! 0

SigllifieH

q,lltl VHI(r~ lns iui m eros

(,1

811nOl!gilmo~

re-i d~1il

no di visihld;

por.nt

Lond1'ii II

v idid os por 61. QJli'Cl'O deell' q 110 esl.e residuo dp!~ora ser H {lIal a nno , il"iqlW rn= 2. 42. La rolnclbnde pOI' oquidivHihHilh"rl In, ovidcntem en.to, cs 1'(:Jlrxi\rn (cuulquier nUmBL'Oes equtdlv isihle oonsigll 0 1'\ t'IJ IIlmisrno al <;1'1" ([i\'I"il>ll) ptrr in), sim6tdt:h (s! b 1 0 es <\011 a} Y trans] ti VI! (::;i (] iviHjhl~ con b .; ImWnC08, a es-oqnidivisihlo COn /' y b COLlI.', entoncos, /,110 (IS tarnlti6u In i-;m(\

;11 H'T

dl

(I..

c)

COIl

'

.

te, os!'a ,t)fl prod::;u rneu to ln !,tilllCdll:n de Aqlil to\lh$ P Ot m Nluivll!(~H(',jn, lo s numoros d ivisibles l)(Jl'I"QlltI!:Olt n uu a (: I ~I.".(~' V lo~ qH O ItO , U 0 [.1',1. dB E~ rtJc;il com pro b,lt' que cuan do If/, ; :> '2 IJ I 01[ II iii ivisiP or

consiguien

lu lidad

PIlJ'lI

do la~ su m as no :-:~ ,d edu ce (I'e If) de to ~ su rnu ndo s. 'q lJ (\]H nq u id iv i~ibi,Hdl\(1 de los IH'OUllCld:,< so ,aC's~

( J e : ; \U I i\ : 1 1 1 . < ,:0/'0.:1' e s n e c e s a r i ( ) Y l : i l l t i c , ion (.0 q 110 0 1 1I1llnoro Tn sell 1'1'1m o, POt p J5fJ electo , f 'i uno de los prollllcLo:". C~ divisible pi-lmo, entoncos, sogun 0 1 teorem», 1a" /I) nW II()$ 1 .11 1 0do sus flletOl'ofl deheru sor divlsihle pur J i l l . Adornns. por p so divldo un factor de ctro producto que ,jl;'. e~ ~'q',lid l.\'l~[,Lle y laml)iQII, prend

pOI'

It

d o

II I

lorl o ol prod Ul1].O. P oro si U11 producto no ~,~ In to nto ' P O T, p. el otro tampoco 10 seni (de 10 c.ol.iLt'nrio,

divisible.

do esta hlecor, tarn hi6n 01 pl'Lm N II JlIl~e do 10 q H e. auaharnos prod ucto Slll'i it ( li'v isl b le 1101' p) .A'Ia iU\'OrSl!, 8 1 0 I n (i m o rn f' o s r-n m pu o sto ,III)" pmr.i'lI(',Lo" tit' fm'.L()['C'S crrl1id)\'i~ilJlc," no SOl,' yll equidj\'1r:l1bl(!s.g..-' puedun sultr.iente pnner [1= P 1 P ~ ( P l 1, P'J'=F 1). ElltOlIC.()~, 1 0 ' , , , 11umeros 1 Y Pl' 1 \ : t > t como los fl iimeros j Y (!~k(wiill t',q II idiv 1,-

*

siden lIIicntr.ll~ l'» !l0 hJNipOl' tOIlWIl to,

44,.

I

CO I'() < I I

45,EI dudable.

i(\ In r :n ed

l'lfrnpllrn'ii'Jllo

los productos

1·'1 y IJ~'V'!' (1YI-

(,oTd el Jlf(.)hleuw3FL riP

lns cond ieinncs

a')

y

h')

lfS

in-

S 1 cu iHlcLTnle: it .._. [j~ " " j" 110 C;dIQdIH] it q 1I(~l' (..(.'1) < : /1 , liMO ~i'n - 21;:,::: n.OI'lI 011('0:"\, C~I a.d e;-:I gil aid ad pued (l sorque I a >'C'26 I ulcanza 110 so C IJIllJl [d 'I", Ilr p,~ I.e r.1I.~(1,u Lmodulo su v a lor rn{ ixi J[lO c.u aLIi! 0 If ,tl 'Y b - U S e S igual .a 18, POI',


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87 cuuslgulente, dvsigualdad la fUTlcion j.

pnra [IHl'A

'>

A 19. I (A) < A. LII jllsLm." do li~la valore menoroa se assguro determiuaudo ,

+b

P or fin, 10 a

iliv b :1 i6 1 1 p a r 7 (ya rib ta uto , COli 5.oa

+

+

a s equidivisfb]o COI l 5 0 a f.iu q ue 5 y 7 SOil prim os outre s1.) v,

+

u:

l 1.1' 1

La

por 1 ( 1

7 (7,a Ii) = 46. E1 mimero 15, a I sor dividido poor (,' f l H 1como resid no, y 1 - 2·5 =9. da 5. 47. La eond.icidn e) .t (A) <;1 sign ilicn que a llb <

+

fDa. < + b, 0 ciou necesania

sea,

3 b <; 9a,

POI'

se cumple,

eso, para a

~:;>/l la

cond i-

, La condfcion d). Eviden ternento en In division pur '1:1, lOa· b es equidivisible con 4011 + 4b y 01 ultimo numero 4b . esequirresidlLal con a 48. El critezio dr. divisibilidarl llieroe cfidencia1 ya q uo f (39) =9, £9. Snpongamos que as necesarlo construir e1 criterio do

+

+

+

dlvlsihtlidad por cierto tn. Proouremoxelcgie tal s, prirno con my on 10 posiblc pequefio , que (108 1): m. (astocurrlo pararn =; S l'csu.lt6 igual a .3); 0 bien (i0s 1) ; In' (por ojemplo , para tit =1.3, s =). 1'~1lel prtmero de estos cases en ill dlv isi 6n pOl' nt, .A :;:; = 10a + b ' Of] equ'idivisihle con 10as C~

dccir,

COIL

a -

+ us

= (1Os

O S , y'oll

+ 1) a

,..-

ot segundo,

(10s 1 )a -I- a

It

+

I

bs,

COU

+ bs;

cs decir, eon a -I- bs. b En relacidn 1 1 10 djcho, el nu.rflero 10a en la divisi.6rr por 17, e s eqnidlvisihl« cun a ~ !Jb. ~» » » 19, » » » (./,.1- 2b, I)' I)> > 23,» » II 11 -1 ' Th, 2 9 ,» ) I) II» »a - 3& , » l)) 31 » » i) o : I- : , 1 ) , La eOnc,hlsi611 do las Icnnulacloncs oaactas de (l:-)tos ori lerios de d ivlsfhiltdad se Ia doiamos III Ioctor. . .;0. (1 ) Co mo 100 as equir:l'(\~idlJ(ll con 2 ell In d i.\' Ison ,1\), cunlquier mimcro ((I) In forrnu 'POI'

+

1()2rlan

es

+ 102I1-lI.a·I'_~ + . , .+ 1 0

aquirresid ual

2([1

+ nu

(0 ~ ;. a,

< to O}

COIl


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88

+ 2-1 Z n _ + ... + 2al +

2 na"

1

t

en In di vIsion llor 4 0. b) 1 0 a b es eq uld ivislhla

+

por 4 9.

+ 5b

a

co n

C tp

on la division

:>

para A 6, tendremos f (A ) < A . 52. 8) La presentacien de A dentro del..ststema de n u m a raci6n sop tsnario, en Is forma 7a b, de !'11 equidivisibilidad con a 3 b en la divisi6n por 5; b) La presentaclon de A dentro del sistema de numeracion de b ase 11 0 com nuosto de 11 guarlsm os, en la forma. Ha b, da au equidivislbilidad can a 2b en la division par 1;

si. Evidentemento,

+

+

+

+

de A dentro del sistema de numera-

c) La presentaci6n

cion duodeolm al, en Ia form a 12a + b, d.·a sn equldivistbfltdad conQ. - 7b en Ia division por 17.

59, Lascondlciones-a] y b) se eumplen automaticamente .. Las c):{ ( 1 ) son'observadas.perque e1 paso'de A (A) se ra-

«r

duce a sustttuir

ciertos mimeros PQf sus residues de Ia dlvisl6n entre A '(menores que los mismos mimeros y equirrasiduales con ellos), 54. a) T2, =7'3 b) r3

= r" = ..•

c)

='2·=

T,t

d) rl =';) c)

..•

=1',,=0,

as decir,

rk=O (k>

7n=1, =

es deci.r, Tk=i;

=J''Ji-t

=

='!i

55. So Ia d ejamos

r 6t

= 1-

= -1,

1'2 -

= 1. es declr,

=,

101+2

=5,

ral+5

n.=O (k:;9 2);

=

=,

t'61+fi

es decir,

=..• =n=O,

7'6t+3=6,

3).

r!l, =

rh.

=_1)11;

·rfH+4 =i.

;.\I Tecter. 56. 'I'o m atnos un m arbitrario y ponemos que i] as igual al rsstduo de la divisi6n de t por m, » » » f) f) » ) trl por In etc. 1'2 I) Entonces e1 numero 1

n ant

+

as cquirrestdual

anrn

con

+

an_1t-

an~]in·_l

+ ... + a1t + ao + ... + + ail. a1rl

en 10 . divisi6n por m. Luego de esto , Ia constnucclon cri (arlo ex 19id 0 no presen ta dificu Ita d• 57. Se

0 5 8 , 10

dejamos

],0

al

Iactor.

7 .1/.i: - I- 2, de modo

2 =

que r = 2 y entoncos 3

tonemos

que Ao

=048576,


del

At =,2

2

+4.2

+ 85·2 + 90/100

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89

+ 76

=270,

Az

=2·2

+ 70

=4 y As =4.

59. Si en la division POt m, t es equirresidual

=. rt,entonc,l's,

en

tr1

division

]0

(\'>

dicho mimero,

pOI'

equirresidua]

con

, - ! J . =rll,

»

»

rS =a ,

tr ~ »

con r

=

etc.

2, ni 23 6]. Si a : p, entonces

60. Ni 2. -

1 son dtvisibles

pO l' q ,

Y el teorema [{1,1e(11l dernostrado, 'Peru si a no e~ divisible por p, entonees a y p entre sf y es posrhle simplifioar Ia- congruencia 80:11 Frimos oxprresta en Ia condicion del tsorema: aP-

1

! p,

(~p

=1

(mod. pl.

Para comprohnr la lthima. congrueneia dividlmos residualmente POl' p cads uno de los rnimeros dol tipota (t =- 1, 2, .. ., p - 1):

+ r,

ta =JrP

Esto pneds

escrito aS1:

SCI'

(mod. p),

a=1'1

2n=rz (mod. p),

(H.11) ~ .

•

I

•

Del resultado de] problema 26 se desprende qllB entre los ruimoros rl encontramoa exactarnente una sola vez cnda uno de los nfrmeros

congruencia

1, 2, ...

, p - L Multlplicande

toda

(p

pl.

[a

obtenomos

(p -

1·2 ..•

1) a'P-l

~

1-2 .•.

1 ) (mod.

Nos queda simpllficar estA':c,ongruencia por 1..2'.':, (p-1). 02. < p (12) =(P (2 2,,3) =a-1 (3 - 1) = 2·2 = 4, ) (5 - 1) = c r (120) =- rp (23.3.5) =3-1 (il -1 = 4_·2·4 = 2, \P (1000)

-= If" (2;i· 53)

=33-1 5:1-'1 (5 -

1) =. ·25·4 =400.

(is.

Vamos

-3

buscar

m.

en

In forma

PC:'

1> ';2 . , . r f t ; h .

Entonces. (1 )

p~I .. l

EJ prodncto

(P L

-:1)

r;~2-tl( P 2

-

I) ...

p7,:;,J

(,Jh-1}=jO.

del p.rimer rniembro debera ser d ivisiblo pOE 5.


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1)0

QuIcrc dueir, 0 hien que \lOU de l-os nurneeos 11 P2' .... -. ,-,_ P h es ;, (pIW~ ser'exaotoe pongamos P - j =),0 hien quo p()r 5 es \liv .i:;;ible una do las diforencias p~ - 1, pz - 1" .• . ., T ) If - j ( sn pon f;l\ m os quo parnos til: ci rc uns ta n cia . (PI - f) ; f)). ErL. el primero de estos _ C O : S O S Pi - 1= 4, 0 0 8 1 1 lI11fJO:-{ibJ(J. )Ill. quo H) no os divisible pOl' it En olsogundo , pOI' cuanto p 1. deberti SOl' llU mero prnno y 10 1 (P I - 1),

liuicllmeu to (If!, poslblo pnrn PI = 11. Pcrcentoncos«, y del teoroma 25 so deduce quo

=.

duclr,• gIL

h)

(I

J iieu U----'

conclusio»,

p 7 1-

t

.1 ·, -0

III

b__iHlJl II! IT'= 2_.

nO$of;-tos tenemos (]\10

CPt -1)

( P2 " - - - " ' 1) ."

p~2~1

81 m e::> irnpa r , entoncescq =2 .

'l·1 segund

de

-0

rniombeo

d

D

l a desigualdad

ml

p~h;='0

=1 y'm,;!- =.22_

-1)

t (P h

="-

= U/,=

•••

anctada

8;

1(pues

es la poteucia

(108):

(Pl -

1) ( P 2 -

Esto [ ' : 1 $ posiblo (Illjcn-rnent~, es docirvcuando 7 1 '£ - :15_

1) ...

(PI! --1) = 8.

cuaudo It =,

£ II

. SM uhoracl numoro m pal.'. Supungamos, quo PJ =. Indndablemeutc, ali - .' ... antes y nosotros t_{!llCffiflS que

=S

para cortez,l, fl.,k

1) •.. (Ph ,_ -t) =, Es ovia 011 to que a ::::;;; 4. Si 0 ; = 1,011 ton COl";, 01 20;-.1

Y It s ::' [I,

= '1 como

(P 2 -

(:1 l.60

SO

nso-

mojll al exa m inudo: asl, Ii:! dosigtlald-
1.5,

m2

-= . ' 1 0 ,

04. Supongamos p~l-I

Tn:!

-= '20,

lrtl

=24

Ins •.

H -L

que

(PI -1) p~!'-l (pz-1J ... pj,k


y

I (Ph-i")

=

14.

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01 Cad a unrr de los num('.ro,~ del tipo P i 1111id ail, 6 hieu nn rnimero par, y por C~() Ill) H abiendu dt scr m enor quo 0 1 n {',TIIcropriJ11o tarnpoco I'IHirn ~cr igual I) 14. Qulcre rlecir n U meres / f 1 . i-l. (> 1 :1 ~ iat,e. ['01'0 entoncos, fit -

os d hisillI~ 'f65, Sell

por

1 es 0 ])iC II 1.1 1I11l'!h.! ;;(lI' siol,o. nn un it un idurl , quo 1 1 1 1 0 do Ios

1 '.:_ (j -y 1 1 ! ]

10

(j,

p~rplt ' .. p%I(, Examinemos al priuclpio flo !Ill II Um 4 3 l '1 ! p rim o ; In = pa. I nPi; potencial

In,'''''

l!l ril~n cnnndo

fill pl"iOH)'.' (·nire fille ciorto A I'IIJme!'o necem. sean no ~ r P'l'por sario de y suficicntc I[lIC estc ymJ.lIiCJ'O sea divisible /1 -

I'ero en tre los rnitnuros T.TWJltr~ ~

numceos

JI

ostn

OJ 1, 2, ' . "

tlivil'ihlc!'

, h a b ra

110 tuciou

( 1 -

so In-

Por ("()II:;iglLicllLe,

p,

+)

; ; i ~ - , -m: ( 1-+) -_< 1 ,

m-

pur

1 oxistcn

III -

=pU-1

(p-i)

C1I

(m).

-='(p

mirneros 'Primos con p. SoiialeTl'1o.s nhorn quo para qllo tt: y m. KOHn prim os entre sf as uecssario y sllncien te quo COlt a ~(1a prim o (\1 resid U () de 1 1 1 oivisil)JI de a por m, 1'01' 10 que aca hamosfdo esta hlecor, In c/!IILidafl e tc resii'ltJ os 1 1 0 I a d i vis ion par p 'Z i • re.clIIJ'oe It IIien ke prj rn 0 c; C(1I1

1 " 1 ; , es igual prnceso

de

(h~

rlarT

11

l'CSO lu c.i

eq

r l 1 : \( 1 1 1 1 ' 1 :\ $11

PO_I'll,

como yn lue exnlicado

para

11 lrrcsidualid

to

division

aden

In

Adcmas-, f;i qnerem os

versn.

ell

d

6 n rlel proh lorna ({ O, d (\ 1'1_equ iresid uali-

numcros

10::;

"

(P (p 1 1).

( . l o r . 10(1015 lo s

pt"

St.1

por m.. Y v i c o m lm { lr(),
que 11.1 es nec esa rio Y liufic ien to fJ uo Io soil ron NHln 11IH ) J J C ' los n iirnerns p ? - i Porconslgulente, a nl(ill cfJlnhilLIJei6n de 10f)l'<"."i(lll()~ (] (1

I a d iYi~i6f1 }lor p 'f J , p '( ; z "

V(lS

d ivisoros,

d ivif')ioll

I lIr'l"q-lIt! ignnl

,,'

an.

ctllltifl~ld

COil

t.()IIIIJili

If' (fi~~) . , . (f' ( P h i,)

tp (p~I)

till

rosiduo

de la

u~ IIO COS lll'i(l 1 : < , 1 ) 1 1 « -

11k. 'J ,U I l l li ~ ; 1 i

de tales

loS l:i)Hp(l!'ll-

primoscon

oxuctarnonte

1(\ cCHTeSpC)[Hi('

por m, prime

In

"Pi"h.,

LI'IOII(':-'

r l o l'(I:::id!l()~

es

" " '- ' !.I'(Jn)

Tenerrros (/.1

7 " 7

A

+

lli/it ,y

((.~=- I

PIli'

eso

(a . 7nz

+ a211t1) (tn. + II~Z)lp

I

q~rrt'!..

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92

~

1 1 0 2 )-1- ( q l

tA (m,-l-

=A (m.+

'1 - q z ) rn.,m zJ (

'1'1

-1 -

mi)!p(mlIR2)-1

=

(qj +q2) mtm~ (m t 1- ~)
m2)(jl('mlm2LI-

Aqui, segU Jl 0 1 teOl'Gma de Euler, Cll111 division por 1n,tn1. elprimer sumando C iS eq uirrosid ual con A " y el.sogunde Idi vistble porm Lm 2' Eso significa q uo al divid ir P O l' 1n1m2> toda Ia su rna es equ irrasid nal co n A . (J7. Se 10 Ill1ja.mUS al Ioctor, 68.»» » II

I,

(J9.

I)> >

10. n13_

n

;)

=

ntz=n(j'( I~)

\\

n (n-'

» 1)

_

=2~(1).=

PCl'O

n31jl(~)=n.8IP(3)=n12fJ1(2).

(n,l2 - 1) P para p e50, 0 bien n. ~ p, o h; 7, 13. Ahora os precise remltirse al tooruma 16_ 71. SQ 10 dejamos al Iector. :i > 72.»» » » POl'

=2,

:~,

lj,

del maximo b.c divisor de los ruimerns Si c73. no Sea es ·divisible por e l,cormin entoncos, Ia ecuaclon ax byr..y=

+

no tiene soluckin en nfimeros enteros. Pero si, 10 es, entonces amboamiembros

de

Ia ecuacionpueden

stmplificarse

pOl'

d

Y nosotros llegamos a un caso ya examinado. bB =1. Supongamos 74. Soan A y JJ tales que aA

+

que

+ bt,

=A

Xl

i-aA

y/rr:::::c-b--at.

axd ..bY t =a(cA.

+ btl +b ( c

l' ba A

=,caA

Va

y (x" cion. 75. (I)

os v erda dcra m ente X,

=··55

+ 7t

-at)

=

+ a b t + c( 1-A ) + . ab.t =,

Ia soluclon =8125

+ 7t,

do nuestra

ecua-

-5 si= 91 r 5 t = -20088-5t. 1

POl" C!HllILo lOR lCTmin08 independientcs y cooftcientes quo aco mpafiau It t '-"11IRS· c"xpl'tJsiQol:ji:\ jiara XI e YI son , H i docir, «aproxlmadamente propcrclonales», nosotros espera-


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99

r,q-solucioHos en mimeros mos ubteuor nuestras (!e emos mouorcs. En nooioues efecLo, pod escri hir

=

Xt

G

+ 7 (t + 4Ll17).

y,; =3 0,

supoutendo

5 (t

+ "''1017 =

t

'ltW

-

l' ,rmsoll'os

+ 7t',

=

XI'

+ 4017) obtonemos

= 3- 5~.

y ,.

Sofialam os que 61 proced imian to do raaolucidn de acu aclones en li{i,nterusen teras, expuesto onel problema 74, perrnite utilizar ltUllletos meuores, auuque lambhin exige cfi lculos a lgo m ;;i$ complejos, b) Hngarnos valar que 25, porel rn6dllio t:{j per ten ec e al indlce 2. Podemos sscribir X,

Yi o_,despue.,>

=

~

8.,25 =8

1-;;-:;5

13

+2Gt

2

j31,

00

+

-= -384-2.'it

_

de .sitnphfica r,

+ 1o,t',

;l:"

=

y"

= -9

- 2-5 t' ,

76. La eondlcion c) se ssegura d) se, 'deduce d.e] teorema 2 . . . 1 1 .

I 77. IT m

automaticamente

y

In

{927 2\)3149 t!l ;1 : ! o S (0-3) '5 • 12,(05)"1.

17

78~ Se 10 dejamos al lector. 79. Se 10 dejamos 80. a)

8q>\ZI)-1

=

al lector. =4 0.8 .

8 11

+

En

10 . division

pol' 2'1

u irresid este es eq ual COil 8. en Quiere decir queporSa 2"1. - 1 h numero y u -8h son. equidivlsihles Ia division b) 12!P(31)-1~ '12 39= (12.2)111.12 = 144B ·12 ese.quirr.esidual con 1.114."12 =:1217.12 =-3p.1.2 =- ,(33)2 ·3,·12= =. -f31 - 4)2.(31 5h en Iii division por 31 y tambien. c'q.uitresid ual con -1.0·5 = -80, El ultimo numero, evidentamenta, es equirresidual CQn 1 ; 1 , POl'10 tanto, Ios numeb y a .rOB i2a. i3h sou equidivisiblel'l en 1<1 division

+

+

+

+

por 31. http://slide pdf.c om/re a de r/full/c r ite r ios-de -divisibilida d-vorobiov

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«Lecotoues JflqmJilrC!l de materna LIens» es una celocciou liastu 0 1 mOll"mllo qtle so IHki6 (~II 1\175 y llovn puhlieados "'I)rUl dc' !'.iU lollctos. ESf,rilils J)or mal.ormil.icos ~nvi6I,h:os rHlIII)HW~. tHlIlo POt Sit IlllJ~l1'IfoCOJILo C()Jl1{) por I'll o hra cion tffica, tied kad.as a lcmas in Ioresan Las If{\ " M Il tematicas E lo w e rt t.u l e s 0 mtermed ias en I.I~Cegt.'l. y InJVla tenia l.ica Superior expuesta s en IO E 'm n clara y precise, que (,~H 110regIa no exige conocirnientos previos espociallzndos, Jas « Lecc.ionos» cst.{ m U un amplio destlnadas circulo de lectoros y pueden corupade roalirnrscn peqlleu()s yates quo brindan Ia posihilidnrl zar, bajo,el mundo de capitanes expertos, 11I1,WrLO y agrada b-It! v ia je par el i umsnso oceano de Ia ctencia rna tomauea, IJi en ell III pro x imid ad de las costas, liieu ad {llll:rull d 05e OJ1 A lm ismo ticm po , Ias «Lecciones» esl.lmulan ol.le! lector Q J don det razonamiento 16g1c.()y III aptitud de descu-

aquel,

hrir relaclones ell tte feJl{)UlOno$4pru:cn1:emt1ll t.s mil y nl ojad OSi Iamilinri zaud ole eon los elernen tos principu les de In ('Ui1.11Til: matcmatica. Por Lotio ello, ias«LecciOlnis»,ri(!sLilladai'l, Oil uu principle do los gl'adOSi;Wpel'iorl's d~\ 1<1 'II J08 alumuos

llflsel1aHzll m ea ur, puedeu sec recomendadas LlunhioJl _ Il los estudinnteede cualq uier espcdalidildy 110 dejan de telHw intt\res para los maestros y profesiouales. Los l i Iros do csta serre teatan, como regl«, sohre Lwn(l:-> ospocia I't\~ do las M:lteflllhicas y, por constguren tc, ci')tun d('sUnad_o~ U lU I r irc n lo muy rostruigtdo de !CC.lOJ05 'pie, apurtc de Ins prnlesionnles, -aharca a los estudinntes de Jo~ Inst itutos PuhttScnic.os y de I~s Facultadcs de Ciencins Naturules do 1m; uruvorsidades. Pueden scr recomundades como [nil teriul ndicrou al de e$ l.-lIdio 3.1 tr4lar tle:l.f;t'JUinado:s temas delpf0gTilHlIl

trabajo

y

lam bi€npued.eJl

circulos mutcmaticos.

LOf\

algunos mnmentos quo IlrllladoB ell In .'! c ir cu ln s maleflHHit:{)s

1'.111

al leerlns

set' apro vachadns en


el

rnnestros eucoutra-

in dudn

podran

8(11'

esc ol a res.

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A NUESTROSLEGTORES

Mir cdil~ lihros t;oVioticos traducldos al CIii'lIiiUI, illglUs, frUl1c6s, arab!! 'I ouos Idlom a s extranlcroe. 'Entre ellos fi~urnn las meiores cbras de las 'dlsl.intns rnmaa de In elencia y In tocm<:a: manunles para los centres lie ensefinnza sup'erio'r lr(lSCU,clSIS tecno!{,gtc,(l.!J: lil(~rtllnrn~()hrl' eiNH'iaSJlu turales y medic-as. Tamhien I<~ incluyen uH>nograflas. Ii hros ric divuigaci{11I c,ienLHica y cienciu ficcii'in. Dirijan ~ni; opinillnl's H 111 EqHorial Mil', t_ Rjzhskiper., 2, 1211820, Mllscil, 1-1'l!.), GSP, U R c S ,


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Nikc.lslri

S.

J tL ':i~ 'il!.i\1 "o •. U G L A N AL IS 1S

~sLe Jibro e~Lc1escnto

MA'i'I!:MATICO

para ayudar

a los esecleres los

que de

csl.udiun secundana ol ls m atem atico Y plLedell considaearse por separado de 10::1 demas, como uidependicntes, En, los prime8C .ros dos capitulos el uoailsjs: matematico estudia a base tie la geometria y Ia Iisica, La gratiea continua y el movimiento, pOl' SL -mismos, sirven de Iundamento para las de-

rlucciones basreas, Se cia una idea del Iinuto de una sucasion y del do una Iuncion, Se exponen el c3.lculo diferencial e

uuegral y sus aplteaciones,

el tercer capitulo se estudia ,11.1.lOCIOIl de los num eros realas, El capIt).ll.6 cuartc asta del binomio de Newton y al analists dodlcado a ill formula cornbtnatorlo. G n 01 ultimo, quinto, capitulo, el Isetor enCOD~D

una lwJVH mlormacidn aceroa de los mimeros plejos y su lJi..tPO(al l'tlsoh'!;ll"ecuaciones algehruicas.

Ll'ura


com-

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l e c c lo n e s p o p u la r e s

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d e . m a t e m it ic a s

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E d it o r ia l M I R

M osco

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Criterios de Divisibilidad - Vorobiov

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