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F. J. Barb Barbas as Gonz Gonzal alez ez E. Palm Palm Vill Villal al
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2009 2009 Impr Impres esi6 i6n: n: Sept Septie iemb mbre re
2009 2009
IC
SO 2008 2008/2 /200 00
PROGRAMA Conjun unto to 1. Conj
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BIBLIO BIBLIOGR GRAF AFIA IA PRINC PRINCIPA IPA edic edicio ion) n) Edit Editor oria ia Thom Thom so Lear Learni ning ng
BIBL BIBL GR FI
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Edit Edit rial rial Pira Pirami mi
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Para Para info info maci macion on sobr sobr su in tala talaci ci configuracion: http://members3.jcom.home.ne.jp/imaxima
edicion)
CO
UN OS
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plejos.
Bibliografia co plem plemen en
Calc Calc lo
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UM RICO RICO
PROBLEMAS
1-
J2 3.- Re lver la
esig aldade
ig ientes
11
x+
x2-
;x+ g)
3x
x - 4 >
4>
i) [x
31
x + 2 > x-2
k)
n)
11-
11
J3
a)
+i
b)-1+i
6.-
7.-
4i)3
1>
p) 15--1
b)~=-J2-i
-iy'3
d)
11+
-11
-3
lli
f)
J2
J3 3+
4i
qu
8.-
a)
z-
verifican:
z-
z-
(C
i]
z - 11 7r
i) =~
j)
11--1
k)
if
etermmar
9.-
b)
iz
10.-
Zl
f(z)
la expr si n:
f(i)
z~
alcula
Supuesto
12.-
l,Como de eria os
(C
a)
la ecuaciones b)
Z3
27
a,
13.-
2i 14.-
X4
(C
complejo.
la ecuacion
Z4
3x 3z 5)
15.-
l,Como
en formas trigonometrica
Z2
Zl
11.- Consider mo
Z2
elegir
16.- l)
solv r,
2)
ra
(C
.rvI,N,p
sign
gu
un
17.- Sean
(1 sc bi
la ecuacion
da
sabi
do qu
st
jo
gu
i)
15
gu -~(1
Z2
sibl
sosc
s.
iV3). Se id se
de sto
lejos.
z~ .,,5
ul
valo
'~
algebraica.
Z2
sen!!_ 7r
utilizam
18.-
la relaci ne
za
ul
trigono etrica
vr
zo
st se
ue
de
gu
CALCUL
TEMA2
DIFERE CIAL
2.
Deriva
de un funcion: definicion interpretacion
propiedades. Aproximacion lineal
2.
Funcio derivada Deriva io implicita. Funcio inversa. Derivada sucesivas.
Problema de optimizacion
limites, errores, analisis de lo valore maximo
principal: Caleul
R.
R.B. Minton
mi imos mediante la formul de Taylor
PROBLEMAS
1.-
b)
(x
en
la
in io
(equivalentes): f(a)
1m
1m -'-:____:__;
h->O
a)
x->a
1,
(x
-1
X4
ae
a) f(x) b)
(x)
j(x)
b)
(x
x+ vx
1,
[z
11 en
4x
(x
en
Sl
en
Sl
f(x)
f(x)
---1'
f(x)
f(x)
en
-2x
Sl
2x si
en
existe
a.
)l
CI.l
.... tiempo
24horas
J(x)
6.-
a)
J'(x).
b)
f'(x)
a)
8.-
J(x)
b)
si
f(x)
2x
1'(0)
x> existe Sl
(x
f(x)
{g(X) k(x)
0,
f(x)
S1
so
derivables
S1
en
D+f(O)
k'(O)
D-f(O)
g'(O).
O?
f(x)
t,
P(t) P(t)
qu incluy
P'(t). 10
;x
f(O)
entonces
0, f ' ( x )
1.
(x punto.
b) f ( x )
a) f ( x )
f(x)
f'(x)
f"(x).
Deter-
a.
rapidez
disminuyendola?
a) h(t)
-16t
h(t)
lOt
40t
f(x),
f' (x).
(S
er ncia
es el ci ad.)
/o necesari
f(x)
tene
f(O)
0, f(10)
2, f'(O)
1'(10)
bx +cx+d la constantes
a, b, c,
f(O)
1'(0)
ev
2/10
is
f(x)g(x)h(x).
ad
termino?
(g(X))-l
17.-
es -g'(x)(g(X))-2.
Usar
f(x)(g(X))-l. F(x)
18.-
Comparar
f(x).g(x)
f(x),g(x).
F"
(a (a
b)3,
(a
(x).
F"'(x)
a)
xe
c)
para
d)
0.01,
b)
/Ai'"'"""::
V'±
0.1,
3ysenx lny
2x
radianes
1.
10
Calcular Fil (x
comparar Fil (x
b) "(x)g(x)
y'(x) implicitamente.
19.-
b)
con
escribir
21'(x)g'(x)
f(x)g"(x).
-3xy
x)
n( argthx
vx
"21n
cosh
simplificar. a)
=argshx
b)
=argthx
d)
I(x)
x) b) (x)?
(x
err,1r
I(x)
sen zr
g(x)
vr=x
log.
(J
(x
(log)
1r
1)
esteresultado?
h(x)
J)(x)
(x
Ju ti icar la espuesta
11
l,Es contradictorio
explicita de h-
SI
I~I
f(x)
ax 28.-
calcular [h- ( x ) ] '
si
\1'32-
con
se derivabl
f(x)
:S 61n(
f(x)
puntos
f- (x). f-l(X)
a) f ( x )
b) f ( x )
=-, [-1,1]
[-1,1]
grafica. a) f ( x )
c)f(x)
31.-
R~
id
f(x)
(x
cos( x-I) -I
(x b) l, umpl
f(x)
32.- Si f'(x)
entonces f ( a )
x,
f(x)
f(b).
4x X4
6x
cuadratica).
ceros. 12
si si
x:Sl
>1
ax
lR(a
0).
37.-
mimeros
x,
reales cualesquiera
;I
cos
que:
\Ix sen
3x
\I
38.- Sea f(x)
f(O)
v»
(0,1),
(0,1)
(O,~) f'(O)
O.
(x f'(c)
Como f(O)
ta
f'(c) f(a)
39.-
a, entonces f(x)
todo
f(x) g(a)
f'(x)
g'(x)
g(x)
probarlo.
a) 2.,fii
l/x
b) e"
para
para
c) x-I
-4 x.....2x
3x+
x-->O
g)
x-e-oo
j) lim
lux
f)
d) lim x-+O
eX
eX h) lim--
xsenx sx
x->oo
x-->O
X-->OO
(Jx2
1-
13
li
x-su+
(COSX)l/
ln
para
para
f(x)
f(x)
existe. b) f(x)
f(x)
c) f(x)
f(x)
in
in f(x)
ar g(x)
43.-
g(x)
so
x,
paralelas
P, el volumen, V,
la
T,
nRT para constantes
f.
positivas a, b, n, R.
crftico T e superiores
aTe,
tome
O.08206-atm/mo:K
5.46
P'(V)
12-atm/m
pl/(V)
0.03049 limo.
y,
=1
f(t)
lID
e-
i. l,
l, l,
maximo
O.Para temperaturas
45.-
lo ejercicios ig ientes enco trar lo extrem
absoluto de ca
fu ci
en el interval
dado. a)
b)
f(x)
4, 2]
f(x)
e)
senx
f(x)
2cos x, [-7r,7r]
f(x) f(x)
cosx, [0,27r]
ar a) f(O)
1, f(2)
b) f(3)
0, f'ex)
[-4,0]
x+
ca
5, f'ex)
para
fu 2, f'ex)
para
3, f'ex)
co
ad
para
para
ad
2. 3, 1'(3)
0, f(O)
f'(O) no existe
lo
es lo
av
to
ex
un grafica. a)
b)
~ex
)· f(x)
es
f(x)
j(
ar Wet)
ae
be
Cuando
de ostrar
Wet)
W'(t)
crecimiento.
crec
do
decrec la en iente)
b)
a)
15
-+
a) f(O)
2, f'(x)
b) f(O)
0, f'(x)
O)
1, 1"(x)
0, 1"(0)
1, f'(x) 1, f"(X)
c) f(O)
0, f( -1)
-1
1,
f(l)
1, f"(X) O.
1, f'(x)
y 0
1, f"(X)
1, f'(x)
O.
w(t) 0; W " ( O )
w'(O)
0.05
W"(O)
de mercancia donde s(x)
-3
270x
3.600x
la ventas f(x)
f(x)? 54.-
f(x)
b) f(x) f(x)
d) f(x)
+c e-x2 sen(cx)
16
xe
bx
st
represent
dade
d)
uadr do un
da
so de
st
qu
st
de su
gu
vive
si va
b)
qu
Qu
en
se
de
un
dada
bi
uadr do qu
st
un
(0,1
di
st
st st
Cuanto
(Sug
us
gu
'r 59.-
ul
se
ja
su un
un
un de ui
st
que
de
sp
di
un
se un
dividu
spuede
se vi
ucho
si s.
jo vo un
sist
de
hm s.
so bida xi ic
la
te
ia
qu sist
de
de es p(x)
bsorbid
:r
17
x/(R
sist X)2.
st
(x ohmios). que
x'(t) .5x(t [5-x(t)]
x(t)
hallar la concentraci6
la
61.- Representar:
62.-
f(x)
63.-
f(x)
x2
x~-~.'
se id
f(x)
(1 +00)
64.- Sea
--+
hallar (J-l)'
--+
sen
f(x)
(x
f(x)
2"
que
f' (x
no esta
ax+ lnx+
3e
e
se
continua
f(x).
f(x)
ll la respuesta)
18
(Justificar
f(x)
f(x)
ell~ll'
id
f(x)
f(x)
en
la funcion f ( x )
O+-~-r-Y~~~+-~~_' -1
-2
f(t)
ten afios.
b)
10
!!
termin
ide:
complementario 19
1-
+e-
CD. parabolica
CD(C
KCi,
seindo CDO,K
CD(C
E( E.
E(C
E(C f(x)
0.2474
sen Pl(X)
b) Representa
P3(X).
a) f ( x )
b) f ( x )
1+x
=lnx
c)cosxln(1
+x)
iimero "e" 20
x,
f(x)
In(l
x)
para
c=
f(x)
(IX
en 9.
el polinomio:
ar
calc lar:
-
2x x-+o
sen
sen
x;
en f(n-l(xo)
f(n(xo)
i-
co f'(xo)
I.
f"(xo)
entonces
(xo)
funciones:
a) f(x) f(x)
b) f(x)
f(x) g(x)
_~X3
CALCULOINTEGRAL
TEMA3
integrales.
ig
le
,y
.7 Integr le
principal:
im ro ias.
alculo
T. Smith
RB Minton
22
PROBLEMAS
a(t)
1.-
se
v(O)
de
ie
3.
a)
f o 7 r cos xdx:::
_!._
fo7r
dx
17
b)
X4
fosenx
J1+t3dt
X2
f(x)
'i
F(x)
sen
si
f(x)
;1 si
g(x)
f(t)dt.
Se pide
si
g(x)
f(x).
de g. g.
v(t)
+4t+3t2
a)
jX-l --dx x+l
m)
b)
dx
n)
c)
5sec xdx
l)
d)
eX eX+3
0)
e)
cos dx
p)
senx
v'1
h)
senx dx foi8X
i)
Ln(x
e-
3x
11
4x -7dx dx
x-I
xLn(x
l)dx
cosh
aa)
5x tgh(x
ab)
cos"
ac)
tarr'xsec'lxdx
ae)
dx
dx cos
af)
7)dx
sen" xdx
arctgxdx
v'X2
sen
cosxesenxd
1. 4x
...;x=5
ad)
sen2x l+cos
2)dx t)
Ln(~nx) dx 10.-
3x
2x
nx
v'4X2
z)
dx +x
s)
2x
y)
2x
x2
r)
er
x)
dx eX
q)
g)
dx
x-
v'8
+4dx
ai)
Jse~dX
3x
x-I
Segun registros
es f(t)
-0.3t2
4t
12:00 h.? 11.-
ri
an
ta
ar
as
ci
v(t)
2t
60t
12.-
ejercicios: a)
b)
XE[0,27r]
y=4cosx,
d)
y=x
t)
2eO.0
poblacion es d(t)
aiio,
t)
2x(x> b)x
4t
2eO.0
2t
il
t) para
), y=3-x y2
15.-
arcseny
1)2)-
dy
JX~2+ tan
-3 se
Elabora un dibujo
sen:
18.-
25
centfrnetros
parabola
el eg nd la para
al la el 21.-
la
a.
rm
an
io
it
1-
y.
monticulo. y.
el
re
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te
al id
es
~7r.
fr lo
)2
ro
24.-
OY OY
ta
1, vale 7r rm
to
ri es
{(x,y)
la tear
tiliza
lo metodo
ri
er
e:
-1,y:::;
tubas
de discos, la integrales necesarias para calcular 2.
f(x)
a) Di ujar
(x
=max{ ia
',
for}.
Se pi e:
co in
iv il ad
(-1,1].
{(x,
lR Ix
1)2/\ x-I::;
(y
1)2}.
f(x)
cosh(x/a)
mi ma altitud.
P(t)
30.-
31.-
27
0.30
Ys
2c
x)
a(l- cost)
a)
b)
2s
d)
c) e)
cos
at
Espi al de Arqufmedes
cos 2y e
O.
a. =3
se
2.
1(19),
c1 9)
R,
V2R. pued
accede cos
Re re enta la
graficamente
117r/4
sen (})2)d(}
7r/6
R.
1.
/x
8}
;2
R.
R,
a)
[100 X(I~)2dX
io
{(x, y)
lR?/0:::;
v'x(l
x)
-l}.
1.
Caracoles
(0
a.O
cos sen
Caraco co lazo intern
Cardioide (fonna de coraz6n)
Caracol convexo
Caracol co hoyuel
"2
pa 11=2
JI
"2 ,.=
cos,,1l
r=aco5,,11
Rosa
r=asen"O Rosa
Rosa
r=asennO Rosa
II
Circulos .r Le"'niscala,~
"2 '"=
co
tl
Circulo
Circulo
se
r'
edicion).
31
2(
Lenmiscata
,.
a'
lemniscata
TEMA4 DIFERENCIALES
Di Aplicaciones 4.
Trayectorias
orto onales
et
et
in
PROBLEMAS
1.
han oido todavia.
(x
dy
dx
d~
de
Ce:'
a)
2-
b) y2
ky, para
d)
y2
e)
Cy
dy
dx
Ce"
h) y2 i)
2kx
33
Cx Cx
-y
dy a) dx
b)
3x
dy
dx
e"
xdy dx
0-
h)
d)
x+ (y
ytgx
i)
cos"
sx
dy dx
8.-
5.ay5.b)
N(t) ecuacion diferencia
N'(t)
ve ific
O'3N(t).
N(O)
t)
Representar 00 po mililitr 10.-
egundo
ia de expe imento
10
13t
e0
10
ia
li
la
11.-
de
si
de
da
se
25
12.-
sado su
un
de sado
de
da
e,
rg do
R, se desc ga
sist
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ja
du
do un
iert
gr siva
ie
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bl
te la
st ios, si la se ivid
ia
Vo. Si conec-
ga
la go de la resist
da ia
dt
ve,
donde:
V/R.
funcion de la
stic
de
),
ir ui
la
di io
iniciale
(Va). (b
"Cua
da
si
se
si
dobl
13.-
ambiente Tm:
dT
1',).
dt
Fy
solucion,
da inst
de
solucion,
14.-
de
ye
go
ha
P=(2,0) 15.-
solv
la sigui
te
ua io
di re
iales:
35
bo
je
simetrfa-OX
vertic
b) c)
5e3x
f)
e"
g)
h)
y'
d)
sx
e)
2x
x+
nx
j) y"+y=senx+2cos
16.-
elastica
K,
4M.
~;
Y2(0)
Yl(O)
[0,27T-].
maxima.
y'(t)
represente la ev lucion
=~
y(t),
inicial 10
19.-
dx
Ky 36
K.
0,
es: y"
!!"'y'
!y f..L
eo stante
amorti ua iento.
que:
a)
40 dines/em
b)
40 dines/em
c)
50 dinas/cm
y(O)
f..L
y(O)
f..L
y(O)
f..L
3, y'(O) 3, y'(O) 1, y'(O)
10
up.
autonomf
alcane
especffica
espeeffieo
dW dx
2V3
JWV4+
tiempo, x: distaneia,
"{if!
tinicial fina
==
Se pi e:
37
peso.
ax especifico
ax
b)
(W es un para etro ua
b.l) Integrar [1]sie do
so
constante. V)(dt/dW)max)
b.2)
tegr qu
[1 si xi iz
do la ut
ia
lcul
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st
so
(con
V(W)
ax
EL
IVER IT TO
IA
IA TE IC
IC
uT ISTI
IM
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bl
rafi
1.
ho ga se
debe
re re
45
ut de xa
de va
crece
decrece?
iDe es concav
convexa?
f.
1(0)
I" JUSTIFIQU
indicand
CLARAMENTE TODA
alguna caracterfstica
LA RESPUESTAS
(Sigue detr s)
se
do
9+4=1
4+9=1 R,
or tu os
discos
t,
y(t)
masa-resorte amortiguado
ie Calcul lo equilibrio
0180ma
libr qu verifica la ecuacion diferencial:
se suelta
la posici
de equili ri
(y(O)
alores
Represente la funcio
y(t).
3:
ptos.
na velocida
haci
ESCUEL UNIVERSITARI IN ENIERi TECNIC ER NAuTIC EPARTAMENT MATEMATI PLIC ESTADisTIC CALCULO
SE UNDA PART Ti
re
A.-
re
in to
de lo in rementos finitos:
"Si f(x) que
[a
derivabl
en a ,
tal
c )" .
nc f(x) qu verifica el teorema.
B.- Calcule
o: 45
con
J3+i
C.- Represente lo mirneros complejo
D.-
qu verifican:
f(x)dx
datos:
f(x)
CALCULO
1(0)
1.- A.-
101
0,
si
2x
si
51
5,
1(0)
C.
I'(x) (x) x)
Vx
20.
2.'y
on de ltur 3.ecuacio
diferencial
da
ua do
sist
rn. dt
tamafio de paracaidas
('
Calcule: (t
lOrn/s('g:2).
l: c)
iS
,<;(t)
Prim ra
Part
Segu
Part
Problema
A:l,25 ptos 13:0,5 ptos, C:O.5 pt.os D:O,75 ptos
ESCUEL U:\"IVERSITA IA DE INGENI RI TE NI DEPA TAYI NT DE ATEMAT CA APLI AD
AERONA TI ESTADIST CA
CALCULO
SE
PA 45
ut
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A.
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"S
f(c)
bl
[a
1R
(a
f(x)dx".
B.- Identifiqu
razonadament
2il
Izl}
iff,
.y f(;r)
.r
f(;r.)
.1:0
.1'0
(R
rose tc gr ic uu-ntc ~.jus ifique
de uada
-1
-1
te
lo
sult do
bt
id s.
ES UE UNIV RS TA lA DE INGE IE iA TE NI DEPA TAMENT MATEMATICA AP ICAD
Cada
bl
ho ga se
debe
45 hoja
la matriz
ROBLEMA
AERO AuTICA ES ADISTICA
ut de xa
rs
-v'3+i)
03:!!:
3~
~i
rado
da do el esulta
en form bin6mica la funci6n f(x)
PROBLEMA
edo vertices sobr la
dicb.o rectangulo tien de la funci6n.
la
lo semiejes coordenado
Sea
la l e m n i s c a t a de ecuaci6n
4(
(a:2
y2
la
cUadrant
co tangente horizontal
f(8)
la
C.
1r
C.
PROBLEMA
4.
1"
esol er
cos
y(2)
f(x)
integral definida
/1
[f'(x)]2dx.
te
[a
es simetric
EP RT ME TO DE MATEMATICA
da
bl
debe
ho ga se
PLIC
ESTA ISTICA
ut hoja de xa
se
do
30
cos 2. x2
Se la funcio f(x)
_t
~dt,
re
f(x)
de
1.
ra radio 1. 4.
f(x)
Jl 00
xy
senx
Resolver:
Demostra si f(x)
el siguient teorema: es derivabl
ES UELA UNIV SI AR NGENIE DEPA TAME TO MA EMAT
P(z)
z3
da
bl
(7
4i)z2
ho ga se
debe
(10
TE NI PLIC DA
AE NAuT ES DIST
30 ut hoja de xa
se
18i)z
do
rafz,
2.
f(x)
se pide
xe
hubiera. funcion,
g(x)
116e-2X(x
2) 'S pide
form de Lagrange g(l)
Se la regi
{(x,y)
R2/x
2: 1,
gira
4}
2. 4(
PROBLEMA
tori
to
Demostra
al
ic
C).
amilia
el siguient teorema.
Sea
I, se verifies: f'(x)
I, entonces
f'(x)
I, entonces
I.
es ec ecie te
I.
lc la
epre enta
la tray c-
CU LA NI RS R l M EN T
UA
NG NI R. MA CA
MA
C N IC AA ER O N
CA CA
L IC A
is minUt08 EI Fecha
came
us de calculadoras, No de la Escuela debe de Fecha revisi6n:
En un
la mesa. de 2005.
2005,
alterna
v'3. +:n, -2 valor de
R.Sb'd
que la'
tal
ed'
=-11
'dada
tal que ZT
-,
se
fuera
-1+1
.Jj
3- +n
Expresar
b)
regiOn
en forma polar.
familia de circtmferenclas
pasan por el po o.
la ci
inte io
vale ('If'
c) Sea
ncontrar icha ci cunferenoie,
{(x,y)
al giIw la regi6n
ci
2)u2.
/y alrededor
(y de larecta
tal que el
area
que de la regi.6n
y'3)2::; 3}. Halla.r el volumengenerado
-2.
base la regi.6
dond
la seccione
perpendiculare
eje
Ba iend
qu
la gmnc
la
representa
f'(x)
-2
-1
-2 -3
..... decrecimiento qu~ valores de
la funci6n
c) Identificar, si existen, m8.xim08, siderando -/(0)
o.
el resultado
c6ncav mfnimos
de la funci6n
b a c i a arriba?
puntas
de inftexi6n de la funci6n
I(z) c o n -
de los
Encontrar la trayectorias or ogona1es de la familia de curws a m b a s familiae segUn o s v a lo r e de pa.rW:netros respectiws. PROBLEMA&. D e m o s t r a r el siguiente teorema: "Si
I(z)
at entonces
I.
a."
or
co
Representar.
E SC U EL A U N lV ER S IT AR I D E N G EN IE R i T E N IC A A ER O N A uT IC A D EP AR rA M EN T O D E M A TE M AT IC A A PL IC A D E ST AD IS T C A
da
bl El
5 m ja
se
se
carne
PROBLEMA 1. Expres .r en form m6dulo-argumentall
olucione
de 1&ecuacl6n -1
representarlas
PROBLEMA 2. 1&funci6n ri
de 1&funci6 impropia?
lo extremos absoluto
anterior.
v ' 3 ] I.Es
Estudiar au convergencia
PROBLEMA 3. Dada 1&funci6
derivable
re1&tivossi los hubier
F(z)
(-5tdt
ca.lcular (F-1),(O).
+00).
PROBLEMA 4.
Sea
con
y2/3
la ecuaci6n de astroide tI
JC
BStroide.Partiend punt (1,1).
cos: con [0,2 1 1 " ] so unas ecuaciones parametricas de asen de esta ecuaciones ealcular la pendient de la
ecuaciones parametrica co
PROBLEMA
[0, 1 1 " / 2 ] .
5.
Hallar la curv
y(x)
el
ic
Sea
Problema
inyectiv
derivable, entonces (f-l(X»)'
,5 tos. Proble
,5 ptos
f'(f-l(X»
siempr qu
X»
E SC U EL J \ U N IV ER S IT AR l D E N G EN IE R i T EC N I C A A ER O N A uT IC A D E A R rA ME NT O D E M A E MA T C A A PL IC A D ES AD CA
da
bl
ho ga se
debe
El c a r n e Fecha
15 ut hoja de xa de calculadoras.
se
do
la mesa. 2005.
Fecha revisi6n:
pt em re
2005.
PROBLEMA 1. pr
nt
gr .fic me te lo
que v e ri fi .c a
lore
e c ua e io n :
Iz.-
Sea lex)
siguient
donde au derivada /'(x)
gr8.fica
1.5
para
[0,3], presenta la
f'(x)
.S
. .. .
/(x) para que /(0)
g'(x)
/(2) ar
O.
deduci
(0,3).
f un c o n lex) para
m8.ximos minimo
[-3,3] es impa entonces
Sea.
f(x)
f(x) la re
J:r;
3.
aJla
f(x)
ecuaci6n de ro
1. Dibujar
v'3:1JS.
postes
3,76m.
8 r e a de
las
regi6n
cuerpo eje
Chx; girar
regi6n
2.
3, 76
Nota Toma
Resolver:
1/-4x=x1l' 1/(1)
Si
[a,b]
F(x)
f(t)dt, entonces F'(x)
f(x)
[a,b].
ESCU ESCUEL EL
UNIV UNIVER ERSI SITA TARI RI
R T M EN EN T
DE INGE INGENI NIER ERiA iA TECN TECNIC IC
MA
MA
Tiempo:
CA
AERO AERONA NAuT uTIC IC
L IC IC A
CA
hora hora 30 minu minuto to
Cada Cada prob proble lema ma debe debe entr entreg egar arse se en hoja hoja de exam examen en pors porsep epar arad ado, o, No sepermit sepermit el us de calc calcul ulad ador oras as El carn carn de la Escu Escuel el debeesta debeesta enci encimade made la mesa mesa Fechaprevist de publicacionde publicacionde notas:jueves notas:jueves Fechaprevist de revision revision de examenes:lun examenes:lunes es
de febrer febrer de 2006 de febr febrer er de 2006
PROBLEMAl. Sea
-8
8.J3
Representar zo
Calc Calcul ular ar
repr repres esen enta ta
z~
punto)
_1)2
Dada Dada la func funcio io rn
Ta
form form de Lagr Lagr nge. nge. te infl inflex exio io
se pide pide
-( -I
tili tili ando ando el poli polino norn rnio io nter nterio io apro aproxi xima ma el valo valo de
rv
re
(s lo hubi hubier era) a)
si om la asin asinto tota ta
punt puntos os de cort cort co lo ejes ejes coor coor enad enad s.
c) Repr Repres esen enta ta la func funcio io util utiliz izan ando do lo resu result ltad ados os de apar aparta tado doan ante teri rior or
(3 punt puntos os x,
Se la regi region on
lR
/\
Se pide pide
/\
re
qu calc calcul ular aria ia
el area area de R.
la
regi region on inte integr gran ando do un de la ante anteri rior ores es
R. dond dond la secc seccio ione ne perp perpen endi dicu cula lare re
io
al ej OY son
lr dedo dedo de la rect rect
(3 punt puntos os Resolver:
y'
2xy
3.j;
y(O) (1, puntos puntos PROBLEMAS. Demo Demost stra ra el sigu siguie ient nt teor teorem ema: a:
"Si
nton ntonce ce
(1, puntos puntos
ESCU ESCUEL EL
UNIV UNIVER ERSI SITA TARI RI
DE INGE INGENI NIER ERiA iA TECN TECNIC IC
AERO AERONA NAuT uTIC IC
DEPARTAMENTO DEPARTAMENTODE DE MATEMATICA MATEMATICAAPLICA APLICADAY DAY ESTADISTICA ESTADISTICA
Tiempo: hora hora 30 minu minuto to oble oble eb tr arse arse ep ra s.
No sepennit sepennit el us de calc calcul ulad ador oras as EI carn carn de la Escu Escuel el debe debe esta esta enci encimade made la mesa mesa Fechaprevi Fechaprevistade stade public publicaci aci6nde 6nde notas:marte notas:marte dejuli de 200 Fecha Fecha previs prevista ta de revisi revisi6n 6n de examen examenes:mi es:mierc ercole ole dejuli de 200 405.
PROBLEMAl. Dados z,' Z2
a)
expresar z, en form form modu modulo lo-a -arg rgum umen enta ta
z,
Z2
b)
(Ji-Ji
en forma forma bino binomi mica ca
Z2
.37
(1 punt punto) o) Se la func funcio io
(x
-I
te infl inflex exio io
e"
Se pide pide
rv
re
(s lo hubi hubier era) a)
ibuj ibujar ar la gr fi
de
s! om la asin asinto tota ta
punt puntos os de cort cort co lo ejes ejes coor coor enad enad s.
f(x).
la
lo
1]
Just Justif ific ic la resp respue uest sta. a. Ca1c Ca1cul ular arlo lo
en caso caso afrrm afrrmat ativ ivo. o.
(3 punt puntos os Dada Dada la curv curvas as expr expres esad adas as en coor coorde dena nada da pola polare re
cos
cos
se pide pide
ra es vertic vertical. al.
(2 punt puntos os
Estu Estudi diar ar si la inte integr gral al -t
-/-dx
es impr improp opia ia ye
caso caso afrr afrrma mati tivo vo dete determ rmin inar ar
conv conv rg
no.
(1 punt punto) o)
PROBLEMAS. En ontr ontrar ar la tr yect yector oria ia orto ortogo gona nale le
K,
la fami famili li de urva urva cuya cuya ecua ecua io
Dibujar
amba amba fami famili lias as de urva urva segu segu lo valo valore re de us para parame metr tres es re pe tivo tivos. s.
(1, puntos puntos Demo Demo tr
"Si
el teor teorem em de valo valo medi medi para para inte integr gr le
[a
(c)
b-a
dx (1, puntos puntos
ESCU ESCUEL EL
UNIV UNIVER ERSI SITA TARI RI
DEPA DEPART RTAM AMEN ENTO TO DE
DE INGE INGENI NIER ERiA iA TECN TECNIC IC ATEM ATEMAT ATIC IC
Tiempo:
APLI APLICA CADA DA
AERO AERONA NAuT uTIC IC ESTA ESTADI DIST STIC IC
hora hora 30 minu minuto to
No se perm permit it el us de calc calcul ulad ador oras as ch
revi revi ta evis evista ta
lica lica io re isio isio ex
tas: tas: es
rt arte arte
epti epti re se tiem tiem
4,
se pide pide repr repres esen enta ta e1pol e1polig igon on
00
PROBLEMAl. Dad e1polino e1polinomio mio p(z)
cuyo cuyo vert vertic ices es on la rake rake de poli polino nomi mio, o, sabi sabien endo do qu e1per e1perim imet etro ro de poli poligo gono no obte obteni nido do
rake de mi mo ±i on rake
a1 u1ar u1ar
(1 punt punto) o) La deriv derivad ad
I'
de un cier cierta ta func funcio io cont contin inua ua
tien tien un graf grafic ic qu
sime simetr tric ic
resp respec ecto to de ej de orde ordena nada das, s, co asin asinto tota ta vert vertic ica1 a1es es en maximo mo re1a re1ati tivo vo en ±c ±a maxi Tomese se como como ejem ejempl plo, o, 1agra 1agrafi fica ca sigu siguie ient nte: e: ±d Tome
I'(X)
Se pide pide a) Dete Determ rmin in
lo inte interv rv lo de crec crecim imie ient nt
decr decrec ecim imie ient nt
de 1afun 1afunci cion on
l,En l,En qu
a1canz a1canz extrem extremos os re1ati re1ativos vos l,De qu tipo tipo on
.punto .punto 1afunci 1afuncion on rm
af sabi sabien endo do qu es cont contin inua ua
I" ( x ) . (3 punt puntos os Dada Dada la regi region on
{(x,y)
E]R2
I x 2 - III I } ,
se pide pide
R.
re
alre alrede dedo do de la rect rect
(1, puntos puntos
x:$;O O
Sean f(x)
-x
t)
pide
2 x)
(1,5 puntos
PROBLEMAS. Da
la
ua i6
0.005
di eren ia
y(x;C),C
0.0005
R. 20)
-e
(1,5 puntos
"Si f(x)
es u n a f un c i o n continua en [a,b] yderivableen
ce(a,b)
ta qu f'(c)
(a,b),
entoncesexisteun
-a (1,5 puntos
ESCUEL
UNIVERSITARI
DE INGENIERiA TECNIC
DEPARTAMENTO DE MATEMATIC
APLICADA
Tiempo:
AERONAuTIC ESTADISTIC
15 minutos
Cada problema debe entregarse en hoja de examen po separado No sepermit el us de calculadoras El carn de la Escuel debe esta encimade la mesa Fech prevista depublicaci6nde notas:vierne 16de febrer de 2007 Fecha prevista de revisi6n de examenes: iernes 23de febrer de 00
PROBLEMAl. Se la ecuaci6n
0,
Z3
epre enta la
olucione de la ecua i6n, xpresandolas
bin6mi en form xponen ial. Calcular el perirnetro soluciones de la ecuaci6n
form
area de poligono uyos vertices so la (1 punto)
In(lnx)
Dada la funci6
se pide Detenninar la asintota de
si la hubiera. en par calcular
Apli ar el teorem de la fu ci6n invers
(1-1)' Utilizar el polinomi
para da un aproximaci6n de (3,5 puntos) Sea laregi6n
{(x,y)
(Y_l)2
R.
_2(Y_l)2
/\0
calcular su area alrededo de ej OX la
ri
girar
to
alrededo de ej OY. (3,0 puntos)
Resolver la ecuaci6n diferencia siguiente, identificand yl
representand
la soluci6n obtenida
(1- ~x
y(l) = - " 2 (1, puntos PROBLEMAS. Enunciar
Teorem de Rolle.
tili ando st teorem demostra qu si
los polinomio
(x)
bx
rt
Sugerencia: utilizar la funci6
h(x)
P(x)(1 punto)
ESCUEL EP
UNIVERSITARI TA ENTO
DE INGENIERiA TECNIC TE
nC
IC
Tiempo:
AERONAuTIC ES ADISTI
horas
No se permit el us de ca1culadoras
ec
evista de ubli
io
ta
ierc le
juli
07
PROBLEMAl. Ca1cular
(_l+iYoO
(1-F3
50
(1 punto)
J(x)
se pide ca idad
H!.
terminar
la asintota
tr ar
afic
Ay~o}, OY.
(3, puntos (8) en
7t
(3 puntos ,
d erencia senh
.
.
y'
=1
sh
(1, puntos PROBLEMAS. mo tr
"Sea
J(x)
el ig ie te te re a:
derivabl en
entonces
=J (1 punto)
ESCUEL
UNIVERSITARI
DE INGENIERiA TECNIC
DEPARTAMENTO DE MATE ATIC
Tiempo:
AERONAuTIC
APLICADA
ESTADISTIC
hora 30 minuto
permit nt eg en la iz No se permit el us de ca1culadoras
ch ch
PROBLEMA
re ista re ista
li aci6 re is 6n
am
tas: rt s: ju
ptie re tiem re
1.
Hallar ellu ar geometrico de lo afijos de lo mimero complejo representa
20
icho lu ar geom tric
sq
l+z-z
O. Identifica
el lano lR
(1, puntos
_llx
Dada la funcio
se pide
as como us sintot s,
la hubi ra Calcularlos
en caso afirmativo
(3 puntos Se la region
{ ( x , y)
lR
senh
:s
:s
:s
In
id
R.
revolucion obtenido al gira lu
alrededo de la rect alrededo de ej OX
(3 puntos Dada la famili de curvas
31
curv de mi mo qu verifi
2/
C,
lR determinar su ha ortogona
0) (1, puntos
PROBLEMAS. Enunci
el Te rema de
alor Medi para funcio es derivables Teorem de Lagr nge.
Utilizar este Teorem para demostrar:
(1 punto)
ESCUEL
UNIVERSITARI
DE INGENIERiA TECNIC
DEPARTAMENTO DE
ATEMATIC
Tiempo:
APLICADA
ho as
30
AERONAuTIC ESTADISTIC
inutos
No se permit el us de calculadoras
evista
lica io de
tas: ju
eb er
PROBLEMAl. Z2
Z2
2,
Identificar
la curv
soluci6n
iff,
binomica,
1, PUNT OS
I'
La fu i6
ri
I'
x)
indicand correspondientes
ed iend
lo
tr
el ti
unto
lo intervalos
infl i6n.
presenta alguna simetrfa,
I" 2,5PUNTOS
Sea
f(x)
l+cosx
Se pide
la rect ra
lu
OX
{(x,
ffi.
GEsimpropia Estudiar su convergencia
3,SPUNTOS
cosh
ffi.. Encontra la
urva de ambo
.fi 1,SPUNTOS PROBLEMAS. Sea
t2
rm
Demostra qu la funci6
x;::: IPUNTO
ESCUEL
UNIVERSITARI
DE INGENIERIA TECNIC
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA
Tiempo:
AERONAuTIC ESTADi TICA
hora V30 minuto
No se permit el us de calculadoras
ch ec
PROBLEMAl.
(1+.J3
if
=_2
revist re ista
Ji ci re isio
tas: es
ex
juli juli
(1+.J3 solucion de la ecuacion
lnt:: xy)]-
,~
de punt
00
1,5PUNTOS
rm
ntom
Se pide en re
1. ra
1, de dich funcion,
2,OPUNTOS Sea
la region plan limitada por:
1.
tan
integrando respecto de la variable x. rt solido generado cuando la region metoda de discos
y. te gira alrededo de ej OX Ca1cular el volume
io resolviend el
3,5PUNTOS Sea
el desplazamiento de un determinad
1e
sistem libr masa-muelle-amortiguador
solucion de la
{y(O)=O
r c i o n e s 11l1Clas
=1
y(t). la
lo valore extremos de desplazarnient
de la velo idad y'
t)
t ) para
2,OPUNTOS Demostra
"Si
teorem de valo medi
f(x)
es continua en
ar integr le
[ a , b ] entoncesexiste c E ( a , b )
ta qu
f(c)=_l_f (x)dX" 1,OPUNTO
ESCUEL
UNIVERSITARI
DE INGENIERiA TECNIC
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA
Tiempo:
oras
30
AERONAuTIC ESTADISTIC
inutos
Cada problema debe entregarse en hoja de examen po separado am Fech revi ta de pUblicacio de nota 22 de septie br de 2008 Fech prevista de revision de examenes 24 de eptiembr de 2008
PROBLEMAl. Resolver la ecuaci6n
Z4
i.J3
Z2
-1
expresando la Yca1cul
olucio es
la longitud de
form ex on ncia erim tr
bin6mi a.
de polf on qu
obti ne
unirlas.
1,SPUNTOS
Dada la funci6
1 2 x 4 1 n Ixl-13x4
x:;t:O x=
,s pide
en lo qu 1can an extr mo relativo puntos de infl xi6n de la fu ci6n Estudiar la existencia asfntotas, epre enta la fu ci utilizando lo re ul ad de lo apartado nteriore de
3,OPUNTOS
4/\ (x
y2
b) Utilizando oorden da polares, calcul
{(x,y)
OY. Ca1cular el volume
re de la regi6n
4/
~2
2)
y2
3,OPUNTOS
Resolver la ecuaci6n diferencia
2X2y'
xy
1,
1,SPUNTOS PROBLEMAS. En nc ar
teor ma de la deri ad de la funci6
nv rs
(argcoshx)
utilizarlo para emostr r:
-1
1,OPUNTO
hora 30 da
bl
debe
rega se
ut
hoja de xa
se
do
la 19 de febrero.
23 de febrero.
Re olve
la ecua i6
siendo
Z6
2. Sea 1a funci6n I(x) a) Representa
In
la ra ic
de I(x)
I(x) para
la funci6n
I(;~de
grad
(1, +00).
Xo
{12.
,<:...I
la funci6n I(x)
Obtener una
cos
sen
4.
I(x)
xyr=x
con
[0,1].
\Ix
I(x)
OX. OX, del eje OY,
1.
I(x) con
ES UELA UNIVERSITA IA EPARTAME TO
INGE IERi
MATEMATI
bl
debe
30
ga se
Fe ha pr vi ta
IC
APLI AD
ho da
TE
ERONAuTI ESTA isTI
ut
hoja de xa
se
do
publ cacion de ot s: 26/06/ 9.
Fe ha pr vi ta de re isio
examen
29/06/ 9.
PROBLEMA
(cos 1L
mimero complejo
b) Identifica
12
sen
J3'
1L 20
12
xpre arlo
geometrico siguiente: {z
esboza elluga
form binomica.
C/Re(z2)
1}
2.
x¥=O
Sea f(x) si f(x)
es derivable 'V lo
xtremo
relati os de f(x). f(x)
en el interval
[-1,1]. funcion,
Sean la funciones: f(x)
X2,
g(x)
encerr da
ntre us graficas
la rect alrededo de
f(x)
2. je OY.
correspondient OX,
rden da
de g(x) correspondient
[2, +00).
4.
erpendicul re
un di metr
da
so tria gulo
quil teros.
ESCUEL
UNIVERSITARI
EPARTAMENT
IN ENIE iA TE NI
MATEMATICA APLI AD
ho da
bl
debe
ga se
Fe ha prevista
30
ESTA isTI
ut
hoja de xa
publicacio
Fe ha prevista de revi io
AE ONAuTI
se
do
de otas 15/09/09
de xa en s: 18/09/09
PROBLEMA
Resolver la ecuacion
siendo
2.
Sea I(x)
eX+! OX. Enunciar lo teoremas empleados.
I(x)
en
I(x) I(x)
-1
1(0)
rr log,
{(x,
T R2 /
1)2
1;
siendo
(x
y}
alrededor de
je OY.
4.
Sea F(x) emostrar qu F(x)
re
