Cuadernillo de ingreso

Curso Introductorio Facultad de Economía Centro Universitario Concepción Lic. Graciela Alvarez de Cardozo

Matemática – CUC Lic. Graciela Alvarez de Cardozo ________________________________________ _________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _______________________________________ ________________

1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

Lic. Graciela Alvarez de Cardozo

CONJUNTOS NUMÉRICOS Antes de iniciar el estudio de los números reales haremos una breve revisión de los conjuntos numéricos que lo componen, enumerando sus principales propiedades recordando cuáles son las operaciones que están definidas en ellos y cuáles no. Usaremos la letra ℝ para denotar el conjunto de los números reales.

El conjunto de de los números números naturales ( ℕ ) 2,3, 4,... 4,..... .... ..., ., n ,..... ,.....} ℕ = {1, 2,3,

Observa! El “0” no es un número natural

Propiedades del Conjunto ℕ 1. ℕ es un conjunto infinito 2. Entre dos números naturales siempre existe un número finito de números naturales. Es decir, ℕ es un conjunto discreto.

3. 4.

5.

6.

7.

Si a y b son números naturales, siendo a < b, entre a y b existen (b – a – 1) números naturales. ℕ tiene a 1 como primer elemento y no tiene último elemento. Todo número natural tiene sucesor. 8 es el sucesor de 7 Si a y b son números naturales, naturales, a es el sucesor de b, si a – b = 1 Todo número natural, excepto el 1, tiene antecesor. 7 es el antecesor de 8 Si a y b son números naturales, a es el antecesor de b, si b – a = 1 Todo número número natural natural y su sucesor se llaman llaman consecutivos. 51 y 52 son consecutivos Si a y b son números naturales tales que a < b , a y b son consecutivos si b – a = 1. Ley de Tricotomía Dado cualquier par de números naturales a y b, se verifica necesariamente una y solamente una de las siguientes: ab Así, se define en ℕ una relación de orden. En consecuencia, decimos que el conjunto de los números naturales está totalmente ordenado por la relación menor o i gual.

Representación de ℕ en la recta numérica Para representar ℕ en la recta numérica elegimos un punto fijo O (origen) y un segmento unitario.

O A

B 1

2

3

C 4

5

6

7

1

8

9


A cada número natural le corresponde un punto y sólo uno sobre la recta. Observemos en la gráfica que existen infinitos infinitos puntos como A, B y C sobre la recta, a los que no corresponden corresponden números naturales, es decir, los números naturales no completan la recta. Por otra parte, por la ley de tricotomía, al representar los números naturales a y b en la recta numérica, es necesario tener en cuenta que:  Si a < b , entonces entonces el punto punto correspondiente correspondiente a “a” está a la izquierda del punto punto que que corresponde a “b” . a b



S a = b , entonces entonces los puntos correspondientes a “ a” y a “b” coinciden. coinciden. a=b



Si a > b , entonces entonces el punto punto correspondiente correspondiente a “a” está a la derecha derecha del p punto unto que que corresponde a “b”. b

a

El conjunto de los números enteros ( ℤ ) Para resolver los casos de imposibilidad de la sustracción en ℕ , el hombre creó los números enteros.

ℤ = {......, − 4, −3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, ........} donde

ℤ = ℕ ∪ {0} ∪ ℕ

Siendo ℕ

−

−

el conjunto formado por los opuestos de los elementos de ℕ . Es decir que:

−

ℕ = {−1, −2, −3,− 4, ........} Recordemos que el 0 no es positivo ni negativo y que los naturales naturales se llaman también enteros

positivos. En ℕ no es posible resolver 3 − 10 . En ℤ si se puede resolver pues: 3 − 10 10 = −7 ∈ ℤ

Propiedades del Conjunto ℤ 1. ℤ es un conjunto infinito. 2. Entre dos números enteros siempre existe un número finito de números enteros. Es decir, ℤ es un conjunto discreto. Si a y b son números enteros, enteros, siendo a < b , entre entre a y b existen (b (b – a – 1) números números enteros. 3. ℤ no tiene primer elemento y tampoco tiene último elemento. 4. ℕ ⊂ ℤ . Todo número natural es entero, pero no todo número entero es natural.

5. El valor absoluto de un número entero a se representa a , si éste es positivo y es su opuesto, si este es negativo.

2

a . Por definición es el propio número


7 =7

−7 = 7 7 = −7 = 7 6. Todo número entero tiene un sucesor. 12 es el sucesor de 11

−19 es el sucesor de − 20 7. Un número entero y su sucesor se llaman consecutivos. Si a y b son números enteros, a y b son consecutivos si b − a = 1 8. Todo número entero tiene antecesor. Si a y b son números enteros, a es el antecesor de b si se verifica verifica que b − a = 1 9. Ley de Tricotomía Dado cualquier par de números enteros a y b, se verifica necesariamente una y solamente una de las siguientes: ab Así, se define en ℤ una relación de orden. En consecuencia, decimos que el conjunto de los números enteros está totalmente ordenado por la relación menor o igual. Representación de ℤ en la recta numérica Para representar ℤ en la recta numérica elegimos un punto fijo O (origen) y un segmento unitario. A −2

O B −1

0

C 1

2

3

4

5

6

7

Hacemos corresponder al origen O el número entero 0 (cero). Los números enteros positivos se representan a la derecha del cero y los enteros negativos a la izquierda del cero. A cada número entero le corresponde un punto y sólo sólo uno sobre la recta, pero pero existen infinitos puntos como A, B y C sobre la recta a los que que no les corresponden corresponden números números enteros, es es decir, los números enteros no completan la recta numérica.

El conjunto de los números racionales ( ℚ ) Para resolver los casos de imposibilidad de la división en ℤ , se crearon los números racionales. Son números racionales aquellos que pueden ser expresados como el cociente entre dos números enteros. El conjunto de los números racionales se denota ℚ Recuerda!!!!  p  La división por 0 no ℚ =  / p∧ q∈ ℤ ∧ q≠ 0  está definida q 

2 ∈ℚ 3

porque2

y3 ∈ ℤ

−5 ∈ ℚ

ya qu− e5=

−5 ; −5 1

y3 ≠ 0

1y∈ ℤ

1y ≠ 0

Propiedades del conjunto ℚ 1. ℚ es un conjunto infinito. 2. Entre dos números racionales existe siempre un número infinito de racionales; es decir, ℚ es un conjunto denso.

3


3. ℚ no tiene primero ni último elemento. 4. ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ . Todo número entero es racional, pero no todo número racional es entero. 5. Ningún número racional tiene sucesor ni antecesor. 6. Ley de tricotomía. a c y ∈ ℚ entonces una y sólo una de las siguientes afirmaciones es cierta: Si b d a c a c a c ; ; < = > b d b d b d ℚ es un conjunto totalmente ordenado por la relación ≤ . 7. Un número racional puede ser expresado mediante una fracción o en forma decimal; tanto una como la otra designan exactamente el mismo número. La expresión decimal de un número racional tiene un número finito de cifras decimales significativas, o es periódica.

⌢ 22 ,444...... = 2,4 = 2,444 9 15 = 7,5 7, 5 2 ⌢ 1 − = −0,1666.... = −0,16 6

Representación de ℚ en la recta numérica Para representar un número racional en la recta numérica se divide el segmento unidad en tantas partes como indica el denominador la fracción que lo representa y se toma tantas como lo dice el numerador. - 3/ 2 −2

1/2 −1

0

7/ 4 1

2

A todo número racional le corresponde un punto sobre la recta, ¿corresponderá a cada punto de la recta un número racional? En otras palabras, ¿completa la recta el conjunto de los números racionales? La respuesta es no.

El conjunto de los números irracionales ( Ι ) Los números irracionales aparecen en la historia de la matemática vinculados a la geometría. Se supone que las magnitudes inconmesurables fueron descubiertas por la Escuela Pitagórica en el siglo VI A.C., al tratar de resolver problemas tales como la relación entre la diagonal y el lado de un cuadrado o la longitud de una circunferencia de diámetro igual a 1. Posteriormente, los matemáticos demostraron que si la raíz enésima de un número entero positivo no es un número entero, entonces es un número irracional. Es decir,

Si a ∈ Z + y

n

a ∉Z ⇒

n

a ∈I

4


Así,

2 , 3 , 7 , 8 , 3 6 , 4 5 , etc. Son números irracionales. 2 representa la longitud de la diagonal de un cuadrado cuadrado de lado 1. π

representa la longitud de una circunferencia de diámetro igual a 1.

H = 12 + 12 H =

En el siglo VII a.C. usaban el siguiente algoritmo para calcular el área del círculo: “Tomar el diámetro. Restar la novena parte. De esta diferencia nuevamente la novena parte y restar de la anterior. Multiplicar el resultado por el diámetro” ¿Era un buen buen cálculo? Sigue los pasos y comprueba.

2

lc = π d ⇒ lc = π Ac = π R ⇒ Ac = 2

π

4

Estos números no pueden pueden representarse mediante mediante una fracción y se denominan irracionales y tienen infinitas cifras decimales no periódicas.

2 = 1, 41 414213.....

π

= 3, 141592653.....

5

18 = 1, 782602.....

Representación gráfica de los números irracionales Los números irracionales en general no se pueden representar exactamente, ya que, aunque conociéramos conociéramos sus infinitas cifras, cifras, no podríamos podríamos subdividir infinitas veces la recta. En la práctica, práctica, es suficiente representar sus valores v alores aproximados. aproximados. Es posible, sin embargo, representar con exactitud algunos irracionales irracionales tales como

2,

3,

etc. , cuya ubicación en la recta se se puede hallar geométricamente geométricamente tal como se ve en la siguiente figura: figura:

Para ubicar en la récta el número

n , consideramos

un triángulo rectángulo de catetos

n − 1 y 1 , en el

que la hipotenusa se puede obtener por el Teorema de Pitágoras :

(

n −1

)

2

+ 12 = n − 1 + 1 = n

Con la ayuda de un compás lo situamos en la recta real

−4

−3

−2

−1

0

1

2 5

2

3

3

4

5,


El conjunto de los números reales ( ℝ ) El conjunto de los números reales se forma mediante la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales.

ℝ = ℚ∪I Propiedades del conjunto ℝ 1. ℝ es un conjunto infinito 2. ℝ no tiene ni primer ni último elemento. 3. Es un conjunto totalmente ordenado: dados dos números reales distintos, siempre se puede establecer entre ellos una relación de menor o mayor. 4. Ley de Tricotomía Dado cualquier par de números reales a y b, se verifica necesariamente una y solamente una de las siguientes: ab

5. Los números reales completan la recta numérica. Es decir, a todo número real le corresponde un punto sobre la recta y a todo punto sobre la recta le corresponde un número real. 6. Entre dos números reales existen infinitos números reales, es decir, ℝ es un conjunto denso. Como además completa la recta, decimos que ℝ es denso y continuo.

Todo lo expresado anteriormente acerca de los conjuntos numéricos se puede sintetizar en el siguiente cuadro:

Enteros

Enteros positivos (naturales) Cero Enteros negativos

Racionales Decimales exactos Cociente de dos enteros Decimales periódicos Números Reales

Irracionales (Infinitas cifras no periódicas)

6


Axiomas de Campo A continuación enunciaremos una serie de axiomas que se verifican en el conjunto de los números reales. Axioma 1: Propiedades de clausura

a + b ∈ ℝ

∀a , b∈ ℝ ⇒ 

 a.b ∈ ℝ

Axioma 2: Propiedades conmutativas de la adición y la multiplicación

a + b = b + a

∀a , b∈ ℝ ⇒ 

 a.b = b.a

Axioma 3: Propiedades asociativas de la adición y la multiplicación

 a + (b + c ) = ( a + b ) + c  a. ( b.c ) = ( a.b ).c

∀a , b, c ∈ ℝ ⇒ 

Axioma 4: Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la l a adición

∀a, b, c ∈ ℝ ; a. ( b + c) = a.b + a.c Axioma 5: Existencia de elementos neutros Existen dos números reales y distintos, el 0 y el 1, tales que ∀a ∈ ℝ , se verifica que:

a+0=a a.1 = a “0” recibe el nombre de neutro aditivo o idéntico “1” recibe el nombre de neutro multiplicativo . Axioma 6: Existencia de elementos inversos

i) ∀a ∈ ℝ, ∃ ( − a ) ∈ ℝ / a + ( − a) = 0

−a se llama inverso aditivo u opuesto de a 1 ii ) ∀a ∈ ℝ, con a ≠ 0, ∃ a −1 = ∈ ℝ / a.a −1 = 1 a

−1

a se llama inverso multiplicativo o recíproco de a

Propiedades de la igualdad 1. Reflexiva: ∀a ∈ ℝ , a = a 2. Simétrica: ∀a , b ∈ ℝ , Si a = b ⇒ b = a 3. Transitiva: ∀a, b, c∈ ℝ, Si ( a = b ∧ b = c) ⇒ a = c 4. Uniforme de la adición: ∀a , b, c ∈ ℝ, Si a = b ⇒ a + c = b + c 5. Uniforme de la multiplicación: ∀a, b, c ∈ ℝ , Si a = b ⇒ a.c = b.c

7


Diferencia y cociente a. i) Dados dos números reales cualesquiera “ a ” y “ b ”, si existe otro real “ x ” tal que a + x = b , este real “ x ” se llama diferencia entre “ b ” y “ a ” y lo representamos como x = b − a . ii) También se suele definir definir la diferencia entre entre “b ” y “ a ” ∈ ℝ como b − a = b + ( − a ) b. i) Dados dos números reales cualesquiera “ a ” y “ b ”, con b ≠ 0 , si existe otro real “ x ” tal que b. x = a , este real “ x ” se llama cociente entre “ a ” y “ b ”, y lo representamos como a x = . b a − ii) También se suele suele definir el cociente entre “ a ” y “ b ”, con b ≠ 0 como = a.b 1 b

PARA RESOLVER 1) Escribe V (verdadero) o F (falso) según corresponda corresponda en cada caso. Justifica tu respuesta. a) b) c) d) e) f) g) h)

–3 es un número natural Todo número natural es entero. Todo número entero es natural. Los múltiplos de 11 son números enteros. El inverso multiplicativo de todo número entero distinto de cero es un número entero. Los números pares son racionales. Los números impares son irracionales. La raíz cuadrada de cinco es un número racional.

2 . 2 es un número irracional. i) j) A todo punto sobre la l a recta le corresponde un número racional. k) A todo número irracional le corresponde un punto sobre la recta. 2) Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales ir racionales.. b) −

6

a)

g) –5

h) e

1 7

c) i)

4 3 13

d) − π

e) 7

j) 0

k)

f)

4 5

3 3

l) 12

3) Escribe dos números racionales y dos irracionales que estén comprendidos entre: a) 7,34 y 7,35 ⌢ b) 0,4 y 0,45 c)

31 18 y 13 7

4) Sabemos que el cociente de dos números enteros, si el divisor es distinto de cero, es siempre un racional, pero... ¿ocurre lo mismo con el cociente de dos decimales exactos? Justifica tu respuesta 5) Escribe en la forma más abreviada posible las siguientes expresiones: a) 3 2 - 7 2 =

(

b) 2 +

3

)

2

=

d) ( 5 + e) ( 1 +

2 )2= 2)(3+ 8

g) ( 5 +

2)=

4)( 5-

4)=

h) 5 + 4 3 - (7 + 2 3 ) =


c)

(

)

5 2+ 5 =

f) ( 3 +

2)(3- 2)=

6) ¿Cuáles axiomas o propiedades de la igualdad, si es que los hay, justifican cada enunciado? a) b) c) d) e) f) g) h)

6 ( x + 3 ) = 6 x + 18 a ( -b + b ) = a . 0 Si 2 = x, entonces x = 2. x3 – y3 = x3 + ( - y3 ) 4x+(2y+5)=(4x+2y)+5 x+y=y+x – 1. 3 x = - 3 x = ( - 3 ). X 5 y 3 + 0 = 5 y3

i)

(x+2).

1 = 1 ; x ≠ -2 x + 2

7) Completá la siguiente tabla. Anotá las observaciones, curiosidades o regularidades que te parezcan interesantes. Formulá algunas hipótesis a partir de tus observaciones e intentá demostrarlas.

a

b

1

-2 3

1 2 1 − 4

a

b

b

a

 a     b 

−1

a.b −1

(a.b )−1

1-

a b

1 2 1 2 ⌢ 0,3

0,5

⌢

2,6

8) Indica para qué valores de x no están definidas en R las siguientes expresiones

a)

1

b)

x

e)

0 x 2 + 4

f)

x − 2 x + 2

4 x +

1 3

2 x 2 − 1 c) 2 x + 1 0 g) x( x − 2)

3 x x 2 − 2 x 5 x + 2 h) 3 x − 1

d)

9) El costo por rentar una lavadora de alfombras es de $ 4,25 por hora más $ 3,25 por el jabón. Calcula el costo de lavar una alfombra cuando el tiempo requerido es de 3,5 horas. 10) Una persona compró acciones de una compañía a $ 26 acciones es de $ 22

3 cada una. Hoy en día el valor de las 8

1 cada una. ¿A qué porcentaje del valor original corresponde el valor actual 2

de las acciones? 11) El precio de una computadora fue rebajado a la mitad. Después se le hizo una rebaja adicional de 34 dólares. El nuevo precio es de 338 dólares. ¿Cuál era el precio original?

9


12) En 1984, un norteamericano norteamericano promedio promedio comía 55,7 kg de pollo. Esto era 2,8 kg más que que el promedio de 1982. ¿En qué porcentaje se incrementó el consumo de pollo de 1982 a 1984?

LOGARÍTMO El logaritmo de un número en cierta base, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número. En Símbolos:

log a b = c

⇔

a c = b con a > 0 , a ≠ 1 y b > 0

Ejemplos:

log 2 8 = 3

porque

2 =8

log10 0, 01 = −2 porque 10

log a a = 1

Casos especiales:

Si a = 10, se llama logaritmo

3

−2

decimal log10 x = log x y si

= 0, 01

log a 1 = 0

a = e se llama neperiano

log e x = ln x

log a a n = n

PARA RESOLVER Determina:

1) log 2 4 =

2) log3 81 =

4 ) l og 4 64 =

5) log2

1 3

=

2 8) log7 7 =

7 ) l og 5 1 = 10) log 7

1

=

7

11) log

2

4=

1 = 25 1 6) log2 = 4

3) log5

9) log10 0, 001 = 12) log8 1 =

PROPIEDADES DE LOGARITMOS 1) x= y ⇔

log a x= log a y

2) log a ( x. y) = log a x+ log a y

 x   = log a x − log a y  y 

3) log a 

4) log a x y = y. log a x 1 5) log a n x = . log a x n

10


PARA RESOLVER log a x = 2, 3 y log a y = 5, 2

1) Sabiendo que :

calcula calcula aplicand aplicando o propieda propiedades des :

 x  = y  

c) log a

x=

f ) lo g a

a) log a ( x. y ) =

b) log a 

d ) log a y =

e) log a

4

3

2) Sabiendo que : lo log 2 10 = 3, 32

1

=

x

1 y

log 2 3 = 1, 58

y

calcula calcula aplicand aplicando o propied propiedades ades :

0,,1 = a) log 2 0

3 = 10 f ) log 2 12 =

30 0= b) log 2 3

c) log 2

d ) log 2 1000 = e) log 2 90 =

CAMBIO DE BASE

Si deseas calcular un logaritmo cuya base no figura en la calculadora, debes efectuar un cambio de base:

log a x =

log b x logb a

l og 7 l og 2

o

Ejemplo:

log 2 7 =

log 2 7 =

ln 7 ln 2

PARA RESOLVER Determina, haciendo uso de la calculadora, efectuando cambio de base:

1) log 2 15 15 =

2) log3 28 =

3) log5 73 =

4) lo log 7 44 =

5) lo log2 0,18 =

6) lo log8 9, 81

11


2. POLINOMIOS EN UNA VARIABLE Lic. Graciela Alvarez de Cardozo

POLINOMIOS Definición: Se llama polinomio en una variable variable a la expresión algebraica de de la forma:

P ( x ) = a0 x n + a1 x n−1 + a2 x n− 2 + ......... + an ai ∈ ℝ ; ∀ i = 0,1, 2, ........n

los

y

n ∈ℕ

Si a0 ≠ 0 dire iremos mos que que el pol polinom inomio io es de grado rado " n" los ai se llaman llaman co coeficientes eficientes y a n término independiente Ejemplo:

Observa los exponentes de las x

P ( x ) = 2 x + 5 x − 3x + 1 4

  

2

Es de cuarto grado Está ordenado en forma decreciente 3

Está incompleto, falta el término que corresponde a x , si lo queremos completar lo agregamos con coeficiente “0”

P ( x ) = 2 x 4 + 0 x3 + 5 x2 − 3x + 1 → Polinomio ordenado y completo

PARA RESOLVER Determina el grado de los siguientes polinomios, ordénalos en forma decreciente y complétalos:

1) P ( x ) = 3x 4 − 5 x 2 + x 5 − 1

2) Q ( x ) = 1 − x 2

3) R( x) = x8 − 3 x2 + 1

4) S ( x) = 2 + x5 − 3 x2

Igualdad de polinomios

Diremos que los polinomios

P ( x ) = a0 x + a1 x n

n −1

+ ...... + an

m−1

y Q ( x) = b0 x + b1 x m

+ ...... + bm

Son iguales sí y sólo sí son del mismo grado y los coeficientes coeficientes

m=n

y ai = bi

∀i

12


Ejemplo: Determina los valores valores de a y b, para que los siguientes polinomios sean iguales

P ( x ) = ( a − 1) x 2 + 3 x − 4 Q ( x ) = 2 x 2 + 3x + ( 2b − 1) Como vemos los polinomios polinomios son del mismo grado, grado, o sea solo solo debemos hacer hacer cumplir la segunda segunda condición que tiene que ver con la igualdad de coeficientes:

a −1 = 2

⇒ a = 2 +1

⇒ a=3

3=3

−4 = 2b − 1 ⇒ −4 + 1 = 2b

⇒ b=−

3 2

Valor Numérico Se llama valor numérico de un polinomio P ( x ) para x = a , al valor que se obtiene al sustituir la variable por a y efectuar las operaciones indicadas, se denota P ( a ) . Ejemplo: 1) Calcular el valor numérico numérico de P ( x ) = x − 2 x + 5 x − 4 4

2

para

x= 2

P ( 2 ) = 2 − 2.2 + 5.2 − 4 4

2

P ( 2 ) = 16 − 8 + 10 − 4

Si P ( a ) = 0 ⇒ x = a es

P ( 2 ) = 14 2) Si ahora realizamos el cálculo cálculo para x = 1

un cero del polinomio

P (1) = 1 − 2.1 + 5.1 − 4 4

2

P (1) = 1 − 2 + 5 − 4 P (1) = 0

PARA RESOLVER 1) Determinar los valores de a y b para que P ( x ) = Q ( x ) . a)

P ( x ) = 2 x 4 − ( a + 2 ) x3 + 5 x 2 + 4 x − 5

b)

P ( x ) = 5 x − 4 x + ( a − b) x + 2b

c)

P ( x ) = ( a + b) x2 − 3ax + 1

3

2

y

y Q ( x) = 2 x4 + 3 x3 + ( 2b + 3) x2 + 4 x − 5 Q( x) = 5 x − 4 x + 2 x + ( a + 1) 3

y Q ( x) = 4 x2 + ( 2b + 1) x + 1

2) Determina el valor numérico de P ( x ) para

x = 0 , x = 1 , x = −1 , x = 2 , x = − 2

P ( x ) = 3 x − 5 x + 3x + 2 x − 3 4

3

2

3) Determina el valor de k , para que x = 2 sea un cero de P ( x ) a)

P ( x ) = x + kx + 6

b)

P ( x ) = x3 − 3 x 2 + k 2

2

2

13


P ( x ) = ( 3k + 1) x + 2 x + 4 2

c)

OPERACIONES CON POLINOMIOS Adición: Dados dos polinomios P ( x ) y

Q ( x ) se define la suma como otro polinomio cuyos términos

se obtienen sumando los términos del mismo grado. Ejemplo:

Si P ( x ) = 3x + 2 x − 5x − 4x + 1 4

3

2

Q ( x ) = 4x + 3x + 2 3

y

P ( x ) + Q ( x ) = ( 3x + 2 x − 5 x − 4 x + 1) + ( 4x + 3x + 2) 4

3

2

3

= 3 x4 + 6 x3 − 5 x2 −1 x+ 3 Sustracción: Q ( x ) se define la diferencia P ( x ) − Q ( x ) como otro

Dados dos polinomios P ( x ) y

polinomio que se obtiene sumando a P ( x ) el opuesto de Q ( x ) Ejemplo:

Si P ( x ) = 3 x + 2 x − 5 x − 4 x + 1 4

3

2

Q ( x ) = 4 x + 3x + 2 3

y

P ( x ) − Q ( x ) = ( 3 x 4 + 2x 3 − 5x 2 − 4x + 1) +  − ( 4 x 3 + 3x + 2) 





= ( 3 x4 + 2 x3 − 5 x2 − 4 x+ 1) + ( − 4 x3 − 3 x − 2) = 3 x4 − 2 x3 − 5 x2 − 7 x− 1 Multiplicación de un número real por un polinomio: Para multiplicar un número real por un polinomio, se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición. Ejemplo:

Sea P ( x ) = 2 x5 + 3 x 4 − 2 x 2 − 7 x + 4

y el n° real k = 5

5.P ( x ) = 5. ( 2 x 5 + 3 x4 − 2 x 2 − 7 x + 4) = 10 x5 + 15 x4 − 10 x2 − 35 x+ 20 Multiplicación de polinomios: Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo y luego se suman los términos semejantes. Recuerda:

Ejemplo:

(2 x

+ 5 x − 3) ( x − 4 x) = 2 x − 8 x + 5 x − 20 x − 3 x + 12 x 2

5

4

3

2

2

= 2 x5 − 8 x4 + 5 x3 − 23 x2 + 12 x

14

n+ m

x .x = x n

3

m


Productos de la suma de dos términos por su diferencia El producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos, es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos términos.

( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b2 Ejemplo:

( a + 3) ( a − 3) = a 2 − 9

( 2 x+ 3 y3 ) ( 2 x − 3 y3 ) = 4 x2 − 9 y6 Cuadrado de un binomio Al elevar al cuadrado un binomio se obtiene un trinomio cuadrado perfecto 2

( x+ a) =

x2 + 2 xa+ a2

Ejemplo: 2

• ( x+ 5 ) = x2 + 2. x.5 + 52 = x 2 + 10 x + 25 2

• ( 2 x− 3) = 4 x2 + 2.2 .x( −3) + ( −3)

2

= 4 x 2 − 12 x + 9 Cubo de un binomio Al elevar al cubo un binomio se obtiene un cuatrinomio cubo perfecto 3

( x + a ) = x3 + 3. x2 .a + 3.x.a 2 + a3 Ejemplo: 3

• ( x+ 2 ) = x3 + 3 x2 .2 + 3 x.22 + 23 = x3 + 6 x2 + 12 x+ 8 3

3

2

2

• ( 4 x− 1) = ( 4 x) + 3.( 4 x) .( −1) + 3.4 .x( −1) +( −1)

3

= 64 x3 − 48 x2 + 12 x− 1 División de Polinomios Para dividir dos polinomios primero debemos completar y ordenar los polinomios, luego dividimos el primer término del dividendo en el primer término del divisor y nos da como resultado el primer término del cociente, luego multiplicamos este término por el divisor , le cambiamos el signo y lo sumamos con el dividendo, con el resultado realizamos los mismos pasos anteriores y continuamos de la misma manera hasta que nos quede un polinomio de menor grado que el divisor, a este polinomio lo llamaremos resto. Ejemplo: Divide P ( x ) = 2 − 4 x + 2 x

3

en Q ( x ) = 3 x + x − 1 en 2

15


2x3

+ 0x2

-

4x

-2x3

- 6x2

+

2x

- 6x2

-

2x

+ 2

+ 6x2

+

18x

- 6

+

16x

- 4

X2 + 3x - 1

+ 2

Observa: se completó y ordenó los polinomios

2x - 6

Divide P ( x ) = x + 7 x + 6 − 5 x − 5 x 4

2

3

en en Q ( x) = x2 + 1

x 4 − 5 x 3 + 7 x 2 − 5 x + 6

− x 4

x 2 + 1

− x 2

x 2 − 5 x + 6

− 5 x 3 + 6 x 2 − 5 x + 6 + 5 x 3

+ 5 x 6 x 2 + 0 x + 6 − 6 x 2 − 6 0

Regla de Ruffini La regla de Ruffini es un método muy cómodo para efectuar divisiones por expresiones de la forma x − a . Ejemplo: Dividir P ( x ) = 2 x − 3 x + 5 en Q ( x ) = x − 2 3

1 )Debemos completar y ordenar los polinomios

2 2

2) escribimos los coeficientes del dividendo

2

0

−3

5

4

8 10

4

5 15 = Resto

3) Colocamos a la izquierda a = 2 4)El primer coeficiente del dividendo baja sin cambios 5) Se multiplica el coeficiente que bajó por a y se le suma el segundo coeficiente del dividendo y así sucesivamente hasta llegar al resto 6) El polinomio cociente es de un grado menos que el dividendo y sus coeficientes son los números que se fueron obteniendo en la tercera fila: C ( x ) = 2 x + 4 x + 5 2

16


PARA RESOLVER Dados los polinomios P ( x ) = 3x − 5 x + 3x − 2 , Q ( x ) = x − 3x + 4 4

3

2

y

R ( x) = x + 3

Calcular:

1 1) 2 P ( x ) − Q ( x ) 2

2)

2 P ( x ) .Q ( x) 3

3)  3P ( x)  : Q ( x) − R( x) 

4) 5P ( x ) + 2Q ( x )  :  R ( x ) − 4 6)  R ( x) − 7 x − 2

3

5)  2 xR ( x) 

7) ( 2 x − 3) Q ( x) +

2

3 4 P( x) −  R ( x)  5

2 1 8)  P ( x ) .Q ( x )  :   R ( x )   2 

Factorización de polinomios Factorear un polinomio significa expresarlo como producto de polinomios primos. 1) Factor Común: Para extraer factor común se debe proceder de manera inversa a la propiedad distributiva. Primero se debe reconocer reconocer cual es el factor que que se encuentra repetido en cada cada término y luego para encontrar el factor que va entre paréntesis, se divide cada término por el factor común. Ejemplo:

6 x2 − 9 x3 = 3 x2 ( 2 − 3 x) 2) Factor común por grupos: Se factorea grupos de términos con factores comunes y luego al resultado se lo factorea nuevamente. nuevamente. Ejemplo:

ax + 2 x − a y − 2 y = x ( a + 2 ) − y ( a + 2 )

= ( a + 2) ( x − y ) 3) Diferencia de cuadrados: Si un binomio es la diferencia de dos cuadrados, es factoreable como el producto de la suma de las bases de dichos cuadrados por la diferencia de las mismas. Ejemplo:

25 x2 − y6 = ( 5 x + y3 ) ( 5 x − y3 ) 4) Trinomio cuadrado perfecto: Cuando desarrollamos el cuadrado de un binomio, obtenemos un trinomio cuadrado perfecto, por lo tanto para factorear este trinomio, debemos proceder de manera inversa.

x2 + 2 xa+ a2 = ( x+ a)

2

Ejemplo: 2

2

x2 − 10 x+ 25 = x2 + 2. x. ( −5 ) + ( −5 ) = ( x− 5 )

5) Cuatrinomio cubo perfecto: Cuando desarrollamos el cubo de un binomio, obtenemos un cuatrinomio cubo perfecto, por lo tanto para factorear este cuatrinomio, debemos proceder de manera inversa.

x3 + 3 x2 a + 3 xa2 + a3 = ( x + a)

3

x3 + 6 x2 + 12 x + 8 = x3 + 3. x2 .2 + 3. x.2 2 + 23 = ( x + 2 )

17

3


6) Trinomios de la forma ax + bx + c : Para factorear este trinomio, lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación obteniendo las raíces x1 y x2 , luego factoreamos de la siguiente 2

manera:

ax + bx + c = a. ( x − x1 ) ( x − x2 ) 2

Ejemplo:

P ( x ) = 3x 2 + 5 x + 2

3 x+ 5 x+ 2 = 0 2

⇒

−5 ± 52 − 4.3.2 −5 ± 1 x = = 1,2 2 .3 6 −5 − 1 − 6 x2 = = = −1 ; 6 6

−5 + 1 −4 2 = =− 6 6 3 2  ∴ 3 x2 + 5 x+ 2 = 3.  x+  ( x+ 1) 3  x1 =

7) Suma y resta de potencias de igual exponente: Para un polinomio de la forma P ( x ) = x ± a , n

n

existen cuatro posibilidades:

P ( x) = x ± a n

P ( x) = x ± a n

∧

n

n

∧

n es par n es impar

Primero determinamos si x = a ∨ x = − a son raíces del polinomio, lo hacemos aplicando el teorema del resto, luego “bajamos” un grado el polinomio usando la regla de Ruffini,. Lo veamos con un ejemplo:

P ( x ) = x + 32 = x + 2 Probamos las posibles raíces x = 2 ∧ 5

5

5

x = −2

P ( 2 ) = 2 5 + 32 no es raíz 32 ≠ 0 ⇒ x = 2 no 5

P ( −2 ) = ( −2) + 32 = −32 + 32 = 0 ⇒ x = − 2 es raíz Ahora “bajamos” el grado del polinomio aplicando Ruffini:

P ( x ) = ( x − a ) Q ( x) , donde

( x5 + 32 ) : ( x + 2 ) 1 −2

0 −2

1 −2

0

0

Recuerda: Si P ( a ) = 0 , entonces

Q ( x ) es el cociente entre

0

P ( x) y

32

4 − 8 16 − 32 4 − 8 16

0 = resto

Por lo tanto, podemos escribir:

P ( x ) = x 5 + 32 = ( x + 2 ) ( x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 − 8 x + 16 )

18

( x − a)


PARA RESOLVER Factorea los siguientes polinomios:

1) 24 x5 + 18 x4 − 30 x2 =

2) 4 x3 − 2 x2 + 6 x− 3 =

3) x4 − x3 + x − 1 =

4) 2 x5 − x4 + 6 x3 − 3 x2 + 8 x − 4 =

5) 1 − x 2 =

6) 25 x 2 − 4 =

7) x 4 − 625 =

8) x 6 − 64 =

9) x 7 + 1 =

10) x 4 + 81 =

1 = 4 13) x6 + 4 x3 + 4 =

12) x3 +15 x2 + 75 x+ 12 125 =

15) 2x − 7 x+ 12 =

16) x2 + x− 6 =

11) x2 − x+

14) x3 −12 x2 + 48 x− 64 =

17) 6 x4 − 3 x3 − 24 x2 + 12 x = 18) x5 − 4 x3 − 8 x2 + 32 = 19)

2

x− 12 +x36 =

20)

3

x−1 =

19


3. ECUACIONES E INECUACIONES Lic. Graciela Alvarez de Cardozo

ECUACIÓN: Se llama ecuación a la igualdad algebraica que sólo se verifica para algunos valores particulares de sus incógnitas. Cada uno de estos valores se denomina solución o raíz de la ecuación. Resolver una ecuación es determinar esos valores, aplicando los axiomas de los números reales. Ejemplo:

3 ( 7 − 2 x ) = 14 − 8 ( x − 1) 21 − 6 x = 14 − 8x + 8

→ utilizando propiedad distributiva

21 − 6 x = 22 − 8x 8 x − 6 x = 22 − 21

→ utilizando propiedad uniforme de la adición

2 x = 1 → sumamos términos semejantes x =

1 → utilizando propiedad uniforme de la multiplicación 2

PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN 1. 2. 3. 4.

Utiliza la propiedad distributiva para eliminar paréntesis, si fuera necesario. Elimina fracciones y decimales, si fuera necesario Suma en ambos miembros de la ecuación los términos que sean semejantes. Utiliza las propiedades de la adición y de la multiplicación para despejar la variable.

TEOREMA: ∀a , b ∈ ℝ , a.b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0 Es decir, si el producto de dos números es igual a cero, al menos uno de los factores es igual a cero. Ejemplo: ( x + 3) . ( 2 x − 1) = 0

x + 3 = 0 ∨

utilizando el teorema

2x − 1 = 0

↓ x = − 3

↓ x=

1 2

Por lo tanto tenemos dos soluciones.

PARA RESOLVER 1) 33 − 4 x= −24 − 7 x 3)

4 x − 2 = x + 3 5

2) 2 x− 4 = x− 7 4)

3 ( x − 2 ) 5

= 4 x −1

20


5)

7)

−x2 2 −x5 = 3 4 x− 3

4

− 1 = 2 x + 3

9)

2 x x− 1 − =1 3 4

11)

4 x −x 5 −x 2 − = x − 3 4 2

13) ( x− 3) ( x+ 5) = 0 2  15)  x−  . x= 0 3 

6) 2 − x

+

−x3 = 3 ( x − 5) 4 x

−

x

+1 = 2 4 3 2 3 x− 1 2 x+ 3 10) + =5 4 2 3 ( x − 5) + 2 ( x − 1) x5 − 12) = 4 2 1  14) ( 2 x+ 8)  x−  = 0 2  8)

3  x− 5  ( 2 − 5 )x = 0 2 

16 ) 

17) Una cuerda de 28 metros se corta en dos pedazos. Uno de los trozos es tres metros más largo que el otro. ¿Cuál es la longitud de los trozos? 18) El precio de una casa rodante se redujo r edujo en 11% para alcanzar un valor de $48.950. ¿Cuál era el precio original? 19) La suma de dos enteros consecutivos es 36. ¿Cuáles son estos enteros? 20) Seis más nueve veces un número es lo mismo que dos menos diez veces el número. ¿Cuál es el número? 21) Un agricultor está sembrando su campo. El primer día siembra el 20% del mismo,, el segundo día la tercera parte del resto, y en ese momento le quedan 12 hectáreas sin sembrar. ¿Cuál es la superficie total del campo? 22) Un matrimonio tiene tres hijos. Cada uno le lleva al siguiente 2 años. Entre los tres suman 26 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?

SISTEMAS DE ECUACIONES EN DOS VARIABLES Un conjunto de dos o más ecuaciones que contienen las mismas variables se llama sistema de ecuaciones. El conjunto solución de un sistema se compone de todos los pares ordenados que hacen ciertas a todas las ecuaciones del sistema. Ejemplo:

 2 x + 3 y = 19   4 x + y = 23

La solu soluci ción ón de este este sist sistem ema a es x = 5 e y = 3 → La ya que verifica simultáneamente las dos ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones puede tener una única solución, infinitas soluciones o ninguna solución, pero eso lo analizaremos detalladamente cuando cursemos Matemática 1, ahora sólo veremos los que tienen solución única. Como ya viste en la escuela secundaria, existen métodos para resolver este tipo de sistema, ahora recordaremos sólo los más usados.

21


Método de Sustitución Vamos a resolver el sistema sistema haciendo notar notar cada uno de los los pasos que se deben deben seguir para aplicar este método:

2 x + 3 y = 19   4 x + y = 23 1) Despejar una incógnita de cualquiera de las dos ecuaciones: y = 23 − 4 x

2) Sustituir en la otra ecuación 2 x + 3 ( 23 − 4 x ) = 19 3) Resolver la ecuación resultante 2 x + 69 − 12 x = 19 ⇒ 10 x = 50 ⇒ x = 5 4) Reemplazar el valor encontrado en la ecuación que se encuentra despejada la otra incógnita y = 23 − 4.5 ⇒ y = 3

Método de Igualación

2 x + 3 y = 19   4 x + y = 23 1) Despejar la misma incógnita las dos ecuaciones: 19 − 2 x  2 3 1 9 3 1 9 2 ⇒ ⇒ x y y x y + = = − =  3    4 x+ y= 23 ⇒ y= 23 − 4 x 2) Igualar las ecuaciones 19 − 2 x = 23 − 4 x 3 3) Resolver la ecuación resultante 19 − 2 x= 3 ( 23 − 4 x) ⇒ 19 − 2 x= 69 − 12 x⇒ 10 x= 50 ⇒ x= 5 4) Reemplazar el valor encontrado en la ecuación que se encuentra despejada la otra incógnita y = 23 − 4.5 ⇒ y = 3

PARA RESOLVER 1) Aplica los métodos de sustitución e igualación en cada uno de los siguientes sistemas:

 x+ 2 y= 9 a)  3 x− y= 13  x− 2 y= 6

c) 

 − x+ 3 y= −4

 x+ y= 9

b) 

 2 x− y= −3

5 x− 3 y= 24 d )  3 x+ 5 y= 28 22


3  2 +x =y 8 e)   5 −x 3 y= 7  2 2

27  x 7 y − = −  2 2 4 f )  5 +x y = 7  2 2

2) María compró dos carteras de distinto precio, la primera le costó 200$ menos que el doble de lo que cuesta la segunda y ésta vale 40$ más que la primera. ¿Cuánto pagó María por cada cartera? 3) Encuentra dos números cuya suma sea 192 y su diferencia 67. 4) Un día una tienda vendió 30 camisetas. Las blancas costaban $9,95, y las amarillas $10,50. En total se vendieron $310,60 en camisetas. ¿Cuántas camisetas se vendieron de cada color 5) Carlos es 8 años mayor que su hermana María. Hace 4 años la edad de María era dos tercios la de Carlos. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos? 6) El perímetro de un campo rectangular es de 628m. El largo del campo excede a su ancho en 6m. Calcula las dimensiones. 7) Iván y Luis son profesores de matemáticas. En total llevan 46 años dando clases. Hace dos años Iván llevaba 2,5 veces los años que tenía Luis como profesor. ¿Cuántos años lleva en la enseñanza cada uno de ellos?

ECUACIONES CUADRÁTICAS Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:

ax + bx + c = 0 con a, b, c ∈ ℝ 2

∧ a ≠0

A partir de ejemplos vamos a analizar cómo se resuelven este tipo de ecuaciones: a)

2 Si b = c = 0 ⇒ ax = 0

2 b)

2

2≠ 0⇒ como

x= 0

2

x= 0 ⇒

=x 0

Si c = 0 ∧ b ≠ 0 ⇒ ax 2 + bx = 0

3 x2 + 4 x= 0 ⇒

x( 3 x+ 4) = 0 ⇒ x= 0 ∨

3 x+ 4 = 0

Por lo tanto las soluciones serán:

x1 = 0 c)

y

x2 = −

4 3

Si b = 0 2 y c ≠ 0 ⇒ ax 2 + c = 0

2 x2 − 18 = 0 ⇒ 2 x2 = 18 ⇒ x2 = 9 ⇒ x= 3 ⇒ x= ± 3 d)

Si b ≠ 0 ∧ c ≠ 0 la ecuación se dice completa y podemos aplicar aplicar la la siguiente fórmula:

x1,2

− b ± b 2 − 4 ac = 2a

23


x − 5 x + 6 = 0 2

2

x1,2 =

− ( −5) ± ( −5) − 4.1.6 2.1

5 ± 25 − 24 5 ± 1 = 2 2 5 +1 x1 = =3 2 5 −1 x2 = =2 2 x1,2 =

PARA RESOLVER 1) 3

=x 0

2

2) − 5

4) 2 x2 − 5 x= 0 7)

2

−x4 = 0

2

=x 0

5) x2 + 7 x= 0 8) 3

10) 2 2x− 5 − x 3= 0

2

−x6 = 0

3)

2

=x 0

6) − 3 x2 + 6 x= 0 9)

2

11)

2

+x1 = 0

10 = 0 x− 7 + x 10

4 3 + x =0 7 49 14) 3 2x+ 7 x= 20

1 1 − x =0 2 2 15) 9 2x+ 15 + x4 =0

16) 6 2x+ 4 x= 10

17) 2 2x+ 13 + x 15 = 0

1 2)

x−

2

13)

x+

2

18) Encuentra 3 enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 149. 19) Calcula tres enteros consecutivos tales que el cuadrado del primero más el producto de los otros dos sea 46. 20) El ancho de una fotografía rectangular es 5cm menor que su largo, si su área es de 24cm 2 calcula las dimensiones de la fotografía. 21) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm. La longitud de uno de los catetos es 17cm menor que la del otro cateto. Calcula las longitudes de los catetos. 22) El área de un triángulo equilátero es de 50m2. Calcula la longitud del lado.

Inecuación: Una inecuación es una desigualdad de la forma: P ( x ) ≤ Q ( x ) , donde P ( x ) y Q ( x ) son polinomios, si además son de primer grado la inecuación se llama lineal. Resolver una inecuación es encontrar todos los valores de la incógnita que la verifican, y el conjunto solución es un intervalo real o el conjunto vacío. Una inecuación se resuelve como una ecuación, salvo en el caso en que se divida o multiplique a ambos miembros por un número negativo, lo que invierte el sentido de la desigualdad. desigualdad.

Ejemplo:

2 ( 5 − 3 x) ≤ 4 x− 20 ⇒ 10 − 6 x≤ 4 x− 20 −6 −x 4 ≤x −20 − 10 ⇒ − 10 ≤x − 30 x≥

−30 −10

∞) ⇒ x≥ 3 ⇒ C s = [ 3,

24

Observa que cambió el sentido de la desigualdad porque se dividió ambos miembros por -10


PARA RESOLVER 1) 3 x+ 2 ≤ 0

2) 3 ( 4 − 3 )x≥ 5 + 2 x

3) 5 x+ 1 < 2( 3 x+ 5)

4) ( 7 x− 2 ) 3 > 3 x− 4

5) 2 − x< 3( 3 − 5 x)

6) 4 − 5 x≥ 3 + x

7)

1 2 x+ 5 ≤ (1 − x) 2 3

8)

3  5 x− 5 ≥ 2  1 + 4  4

 

9)1, 6 − 2 x> ( 0, 4 − x) : 0, 2

x

10) Al planear un baile escolar, encuentras que una banda toca por $250, más el 50% del total de ventas por entradas. Otra banda lo hace por una cuota fija de $550. Para que al colegio le sea más rentable la primera de las bandas, ¿cuál es el máximo precio que puedes cobrar por entrada, suponiendo que la asistencia será de 300 personas?

25


4.FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Lic. Graciela Alvarez de Cardozo __________________________ ______________________________________ _________________________ ________________________ _________________________ _______________________ _________ Las funciones desempeñan en la actualidad un papel fundamental en las aplicaciones de la matemática a otras ciencias. El concepto matemático de función formaliza la idea de asignación, tan frecuente en nuestra experiencia cotidiana: asignamos a cada persona su edad, a cada círculo su área, a cada mes su producción, etc. La información que una función proporciona entra por los ojos de modo muy sencillo a través de su gráfica. La gráfica te hace capaz, con una sola mirada, de decidir cómo varían las magnitudes que la función relaciona, dónde están los intervalos de crecimiento y decrecimiento y cuáles son las tendencias generales del fenómeno que la función describe. Ejemplo: En el siguiente gráfico se muestra la evolución de las exportaciones de Yerba Mate, en la provincia de Misiones.

Elaborado en base de datos INDEC 1) 2) 3) 4) 5) 6)

¿En qué año los volúmenes exportados superaron las 35.000 toneladas? ¿Cuándo fue máximo el volumen de exportación?¿cuándo mínimo? ¿En qué año tuvo mejor precio? ¿Entre qué valores varía el precio por Kg de la Yerba mate? ¿Qué observas con respecto a la variación del precio de la Yerba mate? ¿Qué observas con respecto a la variación de los volúmenes de exportación de este producto?

26


Un gráfico como este nos brinda información, informaci ón, pero por sobre todo nos muestra muestr a un panorama general de la relación entre dos variables. (En este caso, por un lado el tiempo y el volumen de exportación de la Yerba mate, y por otro el tiempo y el precio por Kg. De la Yerba mate)

Definición 1: Se dice que f es una función de A en B, si a cada valor de x (elemento de A), le corresponde como imagen uno y sólo un valor de y (elemento de B) No todas las relaciones entre variables son funciones.

En símbolos:

f : A→ B se lee " f d e A en B" x → y = f ( x) " y es función de x"

" El valor de y depende del valor de x " Definición 2: Las variables son magnitudes que pueden tomar cualquier valor. Generalmente las representamos con las últimas letras del abecedario: x , y , z . Como el valor de y depende del valor elegido para x , es la variable dependiente, y x es la variable independiente.

Definición 3: Al conjunto de valores que puede tomar la variable x , lo llamamos Dominio de la

función. Definición 4: El valor y0 que le corresponde a x0 del dominio, se llama imagen de x0 y se escribe

y0 = f ( x0 ) . Al conjunto de todos esos valores imagen se lo llama Rango o Imagen de la función.

PARA RESOLVER

Analiza los siguientes gráficos. ¿Representan funciones?.¿Cómo puedes decidir si un gráfico corresponde a una función?. En cada caso escribe el dominio y el rango correspondiente. correspondiente. 1) 2) y

y 2

2

-4

-2

0

2

4

x

0

x

0 -6

-6

6

-4

-2

0

2

4

6

-2

-2

3)

4) y

y

2

2

0 -6

-4

-2

x 0

2

4

6

0 -6

-4

-2

-2 -2

27

x 0

2

4

6


5)

6) y

y

2 2

x

0

− .5π

−2π

−1. 5π

−1π

−0. 5π

0

0. 5 π

1π

1. 5 π

2π

2. 5π

x

0 -6

-4

-2

0

2

4

6

-2 -2

Formas de definir funciones Las funciones pueden definirse de varias formas: 1) Mediante un un gráfico gráfico

s a d a l e n o t

45.000 40.000 35.000 30.000 25.000 20.000 15.000 10.000 5.000 0

Té Yerba Mate Tabaco

1991

1992

1993

1994

1995

años

2) Mediante un conjunto de pares ordenados

f = {( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ..........} Dom f = { x1 , x2 , .......}

Im f = { y1 , y2 , .......} Ejemplo:

f = {(1,1) , ( 2, 4) , ( 3, 9) ..........} Dom f = {1,2,3,.......}

Im f = {1, 4, 4, 9, 9, .......} 3) Mediante una fórmula Cuando la función viene dada por una fórmula, el Dominio es el conjunto de valores v alores de x para los cuales se puede calcular f ( x ) Por ejemplo: 1. Si f ( x ) = 2 x ,

28


x puede tomar cualquier valor real, ya que siempre se puede calcular 2. x x ; en este caso Dom f = ℝ

2 2. S i f ( x ) = , x − 1 2 x − 1 Entonces Dom f = ( −∞,1) ∪ (1, ∞ ) En x = 1 no puede calcularse

3.

Si f ( x ) =

El cociente y las raíces de índice par a veces no están definidas para algunos valores de x

x+2 En este caso, para poder aplicar la fórmula, x debe se mayor o igual a -2. Por lo tanto Dom f = [ 2, ∞ )

Calcula el dominio de las funciones dadas por:

a ) f ( x) = 3 x − 1 c) f ( x ) = e) f ( x ) =

2 x x + 2 x +5 2

b) f ( x) =

x +1

d ) f ( x) = x. x f ) f ( x) =

1 x

No cualquier frase que implique dependencia expresa una función

4) Mediante un enunciado Muchas veces oímos frases como:  “ a cada alumno le corresponde un número de la lista”  “la velocidad del automóvil depende de la aceleración aplicada aplicada al mismo”  “los ingresos dependen de las unidades vendidas” Busca ejemplos de frases que indiquen funciones 5) Mediante una tabla de valores La siguiente tabla muestra las variaciones mensuales precio del trigo y de la soja en Bs. As. durante el año 1996.

AÑO 1996

TRIGO ($ / tn)

SOJA ($ / tn)

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

185 190 186 174 168 152 150 154 161 170 182 183

138 135 135 140 148 152 154 158 150 146 140 135

29


¿Entre qué meses se dio el mayor aumento del precio del trigo? ¿Entre qué meses se dio la mayor disminución en el precio de la soja?

Escala No es necesario que las escalas de los ejes sean iguales, pues las variables suelen representar magnitudes diferentes. La elección de la escala debe realizarse atendiendo únicamente a la mejor lectura de la gráfica o a lo que se quiera mostrar de la situación. Ejemplo: Supongamos que el aumento en porcentajes del costo de vida en el primer trimestre del año, en cierto país, está dado por la siguiente tabla:

ENERO

1,5

FEBRERO

2,3

MARZO

3,5

Un diario oficialista mostraría estos datos de la siguiente s iguiente manera:

COSTO DE VIDA s 4 e j a 3 t n 2 e c 1 r o P 0

COSTO DE VIDA

ENERO

FEBRERO

MARZO

Meses

Un diario opositor al gobierno lo presentaría así:

COSTO DE VIDA

s e j a t n e c r o P

4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

COSTO

Meses

30


Variaciones de una función Función creciente Una función es creciente si su gráfica, leída de izquierda a derecha, es ascendente. Esto significa que al aumentar la variable independiente “ x”, también aumenta la variable dependiente “ y “. y

Si x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )

f

f ( x2 )

f ( x1 ) x1

x

x2

Función decreciente Una función es decreciente si su gráfica es descendente. Esto significa que al aumentar la variable independiente “x “, la variable dependiente “ y “ disminuye. y

Si x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )

f

f ( x1 )

f ( x2 ) x1

x

x2

Intervalos de crecimiento Frecuentemente, las funciones poseen tramos donde crecen y tramos donde decrecen. Así para la función de la figura,

31


f es decr decreci ecient entee en ( a, b) f es creci crecient entee en en ( b, c ) b a

c

x

Máximos y mínimos La gráfica muestra las exportaciones e importaciones de la Comunidad Andina con Suecia Observa: En un máximo relativo la función pasa de ser creciente a decreciente y en un mínimo relativo pasa de ser decreciente a creciente.

Máximos: En el año 1998 y en el año 2001 las importaciones son mayores que en fechas inmediatamente próximas, los valores correspondientes a esos años son máximos locales o relativos. Pero el valor de las importaciones correspondientes al año 1998, es mayor en todo el período estudiado, por lo tanto éste es el máximo absoluto de la función.

Mínimos: En los años 1996, 2000 y 2002 las importaciones son menores que en fechas inmediatamente próximas, los valores correspondientes a esos años son mínimos locales o relativos. Pero el valor de las importaciones correspondiente al año 2002, es el menor en todo el período estudiado, por lo tanto éste es el mínimo absoluto de la función. Determina los máximos y mínimos correspondientes a las exportaciones. exportaciones.

Discontinuidades-Continuidad Observemos estas tres gráficas: 1) Las ganancias mensuales de un representante de de televisores son $1000 fijos más $100 por cada aparato vendido. Esta es la gráfica de la función.

32


y

1600

1500

1400

1300

1200

1100

1000

900

800

700

600

500

400

300

200

100 x

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

−100

−200

−300

−400

−

La variable independiente sólo tiene sentido para los valores 0,1,2,3,4,….. , pues no se puede vender un número fraccionario fraccionario de televisores 2) En el envío de un paquete por correo, el precio depende del peso. Para pesos inferiores a 5Kg., el franqueo es constante (cuesta lo mismo mandar 1,5Kg. Que 3 Kg.) y 10

5

x

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3) Esta gráfica describe el crecimiento de una planta con el paso del tiempo 60 y

40

20

x

0 0

1

2

3

4

5

33

6

7

8


Hay ocasiones en las que la variable independiente no es continua, sino que pasa dando saltos de cada valor al siguiente (gráfica 1). Cuando esto sucede la variable se llama discreta, y en esos casos, la gráfica de la función no es una línea sino una serie de puntos. En otras ocasiones, aunque la variable independiente sea continua, la función presenta saltos bruscos (gráfica 2). Esos saltos se llaman discontinuidades, y la función que los tiene se dice que es

discontinua. Como vemos en la gráfica 3, la variación de la altura es suave, sin saltos bruscos. Una función se llama continua cuando no presenta discontinuidad de ningún tipo.

Tendencias de una función Volvamos a analizar varias gráficas: 1) Ponemos al fuego una olla de agua hasta que hierva. Apagamos el fuego y la dejamos allí. La temperatura va bajando paulatinamente a medida que pasa el tiempo, según se ve en la gráfica que representa la función tiempo-temperatura. Es claro que la temperatura del agua se aproximará cada vez más a la temperatura de la habitación. Suponiendo que esta sea de 20o C, diremos que al pasar el tiempo, la temperatura del agua tiende a 20o C. o

temperatura C

100

20 Tiempo (en horas)

2) El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado. La gráfica representa la función lado-área y

15

10

5

00

1

2

3

4

x

34


Si el lado crece, el área también. Podemos conseguir que el área sea tan grande como queramos sin más que hacer crecer el lado. Eso se puede expresar diciendo que si el lado tiende a infinito, entonces el área también tiende a infinito. Estos son dos ejemplos de funciones en las que, aunque sólo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir como se comportarán lejos del intervalo en el que han sido investigadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara. 3) Este tercer caso es diferente al de los anteriores, pero también conociendo un trozo de la curva podemos hacer previsiones de lo que ocurrirá más allá. y 1

0 −

. 5π

−2π

−1 . 5π

−1π

−0. 5 π

x 0

0. 5 π

1π

1 . 5π

2π

2. 5 π

-1

Período A este tipo de función se le llama función periódica. La forma de la gráfica se reproduce cada cierto intervalo. La longitud de ese intervalo se llama período. Es evidente que una función periódica queda perfectamente determinada conociendo su comportamiento en un período.

Estudio comparativo de varias funciones del mismo m ismo tipo En muchas situaciones que se sintetizan con gráficos, la interpretación de las mismas suele ser más acertada si las funciones que son objeto de estudio se comparan y analizan en forma conjunta, para ello deben graficarse en un mismo sistema de ejes, con lo que la relación entre las mismas queda muy clara. Los puntos de intersección y las diferencias entre ellas suelen ser claves para la descripción del fenómeno. Ejemplo: La siguiente gráfica nos muestra los ingresos y gastos de una empresa durante un período de tiempo. Ingresos Gastos

s25 o s20 e p e15 d s e10 n o l l i 5 M

0

1997 1997 1998 1998 1999 1999 2000 2000 2001 2001 2002 2002 2003 2003 2004 2004

Año

a) ¿Cuál fue el mejor momento de la empresa? ¿Cuál el peor? b) ¿Qué significan los puntos de intersección de las dos gráficas? c) ¿Hubo algún momento en dónde la empresa trabajó tr abajó en rojo?

35


d) ¿Si hubieras analizado las gráficas por separado, las respuestas hubieran sido las mismas?, ¿Podrías haber contestado todos los interrogantes?

Ingresos e 30 d 20 s s e o 10 n s e o 0 l p l i M

s o20 s e p15 e d10 s 5 e n 0 o l l i M

Ingre

7 9 9 1

8 9 9 1

9 9 9 1

0 0 0 2

1 0 0 2

2 0 0 2

3 0 0 2

4 0 0 2

Año

Gas

7 9 9 1

8 9 9 1

9 9 9 1

0 0 0 2

1 0 0 2

Año

2 0 0 2

3 0 0 2

4 0 0 2

8.11- Funciones Pares e Impares Existen funciones cuyas gráficas obedecen a ciertas condiciones de simetría que facilitan la representación de las mismas. EJEMPLO 1: Si analizamos la función f : f ( x) = x y observamos su gráfica: 2

y 8

6

4

2

x

0 -2

f(1) = f( −1) ;

-1

0

1

2

f( 2) = f( −2 ) ; ........

Vemos que ésta es simétrica respecto al eje “ y “ , se dice entonces que es una función par

Definición 1: Una función es par cuando su gráfica es simétrica respecto del eje de las ordenadas. En símbolos:

f : y = f ( x) es par ⇔ f ( x) = f ( − x) Ejemplo:

Si f ( x ) = x

2

calculamos 2

f ( − x) = ( − x) = ( − x) .( − x) = x2 = f ( x)

∴ f ( x) = f ( − x) ⇒ f ( x) = x2 es par EJEMPLO 2: Si analizamos la función f : f ( x) = x

3

36


y

5

x

0 -2

-1

0

1

2

-5

f(1) = − f( −1) ;

f( 2) = − f( −2 ) ; .........

Vemos que su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas, se dice entonces que es una

función impar Definición 2: Una función es impar cuando su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas. En símbolos:

f : y = f ( x) es impar ⇔

f ( x) = − f( − x)

Ejemplo:

Si f : f ( x ) = x

Si una función no es par ni impar se dice que no tiene paridad

3 3

f (− x) = ( − x) = ( − x) .( − x) .( − x) = − x = − f ( x)

∴

3

f ( x) = − f ( − x)

Determina si las siguientes funciones son pares, impares o no tienen paridad:

1) f ( x) = 5 x

2) f ( x) = x2 + 5

4) f ( x) = x2 + 5 x + 6

5)

3) f ( x) = x3 + 2

f ( x) = 4 x2 +1

6) f ( x) = 2 x −1

Ceros de una función f ( a ) = 0 . Geométricamente son los puntos donde la gráfica de la función f interfecta al eje de las abscisas. Diremos que a es un cero de la función f sí y sólo si

Ejemplo: Si f : f ( x) = x − 1 y queremos encontrar los ceros de f , seguimos el siguiente procedimiento: 2

a) Igualamos a cero la función b) Resolvemos la ecuación resultante c) Las raíces obtenidas son los ceros de la función.

37


f : f ( x) = x − 1 = 0 ⇒ x = 1 2

2

⇒ x = 1 ⇒ x = ± 1 ∴

f(1) = 0

f( −1) = 0

y

son los ceros de f

Si graficamos la función; y

2

0 -2

-1

x 0

1

2

Observamos que los puntos puntos ( 1,0) y ( -1,0) son el resultado de la intersección de la gráfica gráfica de f con el eje de las abscisas. Encuentra los ceros de las siguientes funciones:

1) f ( x) = x2 − 5 x + 6

2) f ( x) = x3 − 1

4) f ( x) = x − x + x − 1 3

5) f ( x) =

2

3) f ( x) = 2 x + 3

x 2 − 4 x + 2

Función Biunívoca Una función f es biunívoca o uno a uno si no existen dos pares ordenados, que tengan la misma segunda componente. En otras palabras, cada elemento “ y “ del rango de f , está asociado un solo elemento “ x “ del dominio de f . En símbolos:

( a, b ) ∈ f  Una función f es biunívoca ⇔  ⇒ a=c y  ( c, b ) ∈ f  Esto se puede observar más fácilmente en la gráfica de la función: Ejemplo 1: Sea la función: f : f ( x) =

1 2 x + x+ 3 2 y

8

Trazando una recta paralela al eje OX, si ésta corta a la gráfica en más de un punto no es biunívoca.

6

4

2

-4

-3

-2

-1

00

1

2

38

3

x


Si observamos: f ( −2 2)) = f (0) = 3

f ( −4) 4) = f ( 2) = 7 Es decir, existen valores de “y” para los cuales corresponde más de un valor de “x”, por lo tanto f no es biunívoca. Ejemplo 2: Sea f : f ( x) = x

3

y 4

2

x

0 -2

-1

0

1

2

3

A cada valor del rango le corresponde un único valor del dominio, por lo tanto f es biunívoca.

Clasificación de funciones Las funciones se pueden clasificar en ALGEBRÁICAS y TRASCENDENTES, las algebraicas son aquellas donde su expresión analítica involucra las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Y las trascendentes son las que no son algebraicas.

Ejemplos:

f ( x) = x + 5 x 2



3 x  g ( x) =  son funciones algebraicas x − 1  h( x ) =

x3 + 1  

f( x) = senx



g ( x ) = log x  son fu funciones tr trascendentes h( x ) = e

( x − 2) 



39


Clasifica las siguientes funciones en algebraicas y trascendentes:

1) f ( x) = 3 x − 5 4) f ( x) =

2 x x − 1

2) f ( x) = x2 + 5 x + 3)

5) f ( x) = 2 (

3) f ( x) = cos ( x − 1) 6) f ( x) = ln l n( x+ 2)

PARA RESOLVER 1) El siguiente gráfico muestra la inflación en Perú. ¿Te animas a realizar un informe sobre la situación? Para ello analiza máximos y mínimos de la función, ceros, períodos de igual comportamiento, etc.

El informe realizado al respecto por el economista internacional Roberto Ayala para FLAR Estudios Económicos fue el siguiente, luego de leerlo compáralo con el tuyo. “A diciembre de 2004, la inflación anual fue 3,5%, nivel coincidente con el límite superior de la meta de inflación anunciada por el Banco Central de Reserva de Perú (1,5% - 3,5%). De esta manera, 2004 es el sexto año consecutivo en que la inflación anual a diciembre no supera 4%. Sin embargo, desde junio a noviembre, se registraron niveles de 4% o más, lo que no se presentaba desde noviembre de 2000. Las bajas tasas de inflación mensual de los últimos meses del año –incluidas deflaciones mensuales en agosto, octubre y diciembre contribuyeron a que se alcance el objetivo propuesta por l as autoridades. Adicionalmente, como se observa en el gráfico, la inflación presenta una tendencia ascendente a partir de 2002. En dicho año, la inflación anual promedio fue de 0,2%, mientras que en 2003 y 2004 fue de 2,3% y 3,7% respectivamente. Dicha tendencia, sin embargo, se ha comenzado a revertir en los últimos meses de 2004.”

2) La producción mensual de computadoras de cierta empresa en el lapso de un año, es el que se muestra en la siguiente tabla: Meses Nº de comp. producidas

E 200

F 400

M 700

A 800

M 900

a) Realiza el gráfico correspondiente correspondiente

40

J 800

J 600

A 800

S 900

O 700

N 900

D 500


b) c) d) e)

¿En qué meses la empresa tuvo mayor producción? ¿Cuál es el total de computadoras que la empresa produce por año? ¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente? ¿La gráfica es continua o discontinua? Explica.

3) Una agencia de viajes paga a uno de sus promotores un sueldo básico de $400. Si vende en el mes más de 15 pasajes, le da una bonificación de $20 por cada uno de los que superan dicho número. a. Realiza el gráfico del sueldo en función de los pasajes vendidos. A otro vendedor se le ofreció un trato distinto, según se muestra en el gráfico

Sueldo 700 600 500 400 300 200 100

Nºpasaj

0 0

5

10

15

20

25

30

35

b. Explica cómo es el trato que se hizo con este vendedor. c. Encuentra la fórmula que representa esta situación d. Superponiendo las dos gráficas, podrás comparar los sueldos de ambos promotores. ¿Alguna vez son iguales?¿Alguno de ellos es siempre mayor que el otro?¿Cuál de los dos tratos elegirías si fueras promotor de esa agencia? 4) Una empresa ofrece la siguiente promoción para un nuevo producto.

  

Menos de 10 litros ↔ $3 el litro 10 litros o más y menos de 20 litros ↔ $2 el litro A partir de 20 litros ↔ $1,5 el litro

TODAS LAS COMPRAS SIN GASTOS DE ENVÍO

a) b) c) d) e)

Investiga los gastos para distintas compras. Identifica las variables. ¿cuál es la dependiente y cuál la independiente? Determina el dominio y la imagen de la función. ¿La función es continua?, en caso de no serlo indica los puntos de discontinuidad. Encuentra la fórmula que permite calcular el gasto y efectúa la gráfica correspondiente.

41


f) Si tengo $15, ¿cuántos litros puedo comprar? ¿es única la respuesta? g) Si tengo $25, ¿cuántos litros puedo comprar? ¿es única la respuesta? ¿cuál es el significado de esta situación?. ¿Para qué cantidades de dinero sucede lo mismo? h) Un cliente iba a comprar 9 3

4

litros y decidió comprar 20 litros. Analiza por qué

habrá cambiado de opinión. ¿Vos qué habrías elegido? 5) Una playa de estacionamiento tiene una tarifa de $ 2 la primera hora, $1 las tres siguientes y $ 0,75 cada una de las horas que estacione a partir de ese momento. a. Grafica el costo del estacionamiento en función del tiempo. b. ¿Es una función continua? Explica. c. Expresa en fórmula fórmula la función costo. d. ¿Cuánto más debe pagar un señor que estaciona 7 horas respecto de otro que estaciona 5? 6) Analiza el siguiente gráfico y elabora un informe. informe.

BIBLIOGRAFÍA:   

J. Cólera Jiménez y otros- Matemática 1- Editorial Editorial Anaya Adriana Berio y otros – Matemática 1 – Editorial Puerto de Palos Stanley Smith Smith y otros – Algebra y TrigonometríaTrigonometría- Addison Wesley Longman

42

Cuadernillo de ingreso

Recommend Documents