Cuadernillo PSU 4° Bicentenario

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4

Educación Media

Dirección editorial Prof. Rodolfo Hidalgo Caprile

Jefatura de área

Cuaderno de ejercicios PSU Según temario Demre Proyecto Bicentenario

Matemática

































El material didáctico Cuaderno de ejercicios PSU, Proyecto Bicentenario , para Cuarto Año de Educación Media, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de: RODOLFO HIDALGO CAPRILE

Subdirección editorial: Jefatura de área:

Ana María Anwandter Rodríguez Cristiann Gúmera Valenzuela Cristia

Edición:

Patricio Loyola Mart Martínez, ínez, Dafne Vanjorek Suljgoi

Jefatura de estilo:

Alejandro Cisternas Ulloa

Corrección de estilo:

Sara Martínez Labbé

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de: María Verónica Román Soto Con el siguiente equipo de especialistas Diseño y diagramac diagramación: ión: Cubierta: Producción:: Producción

Daniel Monetta Moscoso Raúl Urbano Cornejo Rosana Padilla Cencever

Referencias del Texto Texto Ensayos tipo PSU de d e los autores: au tores: Alejandro Ruz Ramos, Santiago Blanco Bla nco Molleda. Santillana del Pacifico S. A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2007.

La editorial ha hecho todo lo posible p osible por conseguir los permisos correspondientes para las obras con “Copyright” que aparecen en el presente texto. Cualquier error u omisión será rectificado en futuras impresiones a medida que la información esté disponible.

































Presentación El Cuaderno de d e ejercicios PSU Matemática, Proyecto Bicentenario es un material de apoyo que te permitirá evaluar tanto los conocimientos y habilidades de la Matemática que se desarrollaron durante la enseñanza media. Este cuaderno consta de un conjunto de preguntas que se organizan según los contenidos de las Pruebas de Selección Universitaria Universitaria (PSU) establecidos para el subsector de Matemática de modo que te permita identificar aquellos contenidos que debes conocer para enfrentar con éxito esta prueba y puedas utilizar esta información para mejorar aquellos que aún no has logrado y profundizar en los logrados. Las preguntas vienen seleccionadas por eje temático, t emático, es decir: Números y Proporcionalidad, Proporcionalidad, Álgebra, Geometría y Probabilidad y Estadística. Es tadística. ¡Buena Suerte!



































































Índice

I

Números y proporc proporcional ionalidad idad............................6

II

Álgebra........................................................19

III

Geometría ....................................................89

IV

Probabilidad Probabi lidad y estadística ...........................122



































Cuaderno PSU Estas pruebas comprenden preguntas acerca de los contenidos del área de Matemática. En ellas se evalúan las habilidades y contenidos declarados para este subsector en la educación media, y que te permitirá preparar de mejor manera la Prueba de Selección Universitaria. Lee atentamente las preguntas de cada prueba antes de responder. responder. Luego, Luego, puedes reunirte con un compañera o compañero y comentar las l as respuestas. Registra aquellos contenidos cuyos resultados no fueron los esperados, de manera que puedas reforzarlos posteriormente. posteriormente. Recuerda que puedes comenzar por el tema que te parezca mejor m ejor.. ¡Éxito en tu trabajo!

Lee atentamente cada pregunta antes de contestar.

I 1.

Números y proporcionalidad Juan cuenta de 3 en 3, Pedro Pedro lo hace de 6 en 6 y Pablo de 8 en 8, entonces coinciden en el número: A) 6 B) 8 C) 12 D) 16 E) 24

2.

        El valor de la expresión  1 − 1   1 − 1   1 − 1   1 − 1  es:  2   3   4   5  A) 0

1



































Matemática 4.

De los 80 envases que tenía un comerciante, vendió el 45% a $ 1.250 cada uno, el 75% del resto a $ 1.200 y el resto a $ 1.000 cada uno. El comerciante, con el 45% de los envases, ganó: A) $ 95.600 B) $ 45.000 C) $ 39.600 D) $ 11.000 E) $ 10.000

5.

De los 80 envases que tenía un comerciante, vendió el 45% a $ 1.250 cada uno, el 75% del resto a $ 1.200 y el resto a $ 1.000 cada uno. Por el segundo y tercer grupo, el comerciante ganó: A) $ 56.000 B) $ 50.600 C) $ 45.000 D) $ 39.600 E) $ 30.000

6.

Un campesino tiene 57 ovejas, que representan el 8% del total de sus ovejas, ¿cuántas ¿cuántas ovejas tiene en total? t otal? A) 399 B) 464 C) 700 D) 757 E) 800

7.

La diferencia entre el 60% y el 45% 4 5% de una cantidad de dinero es $ 126. ¿Cuál es la cantidad de d e dinero? A) $ 171 B) $ 186



































Cuaderno PSU Si el valor de una cuota por pago mensual de arriendo de una máquina es $ 50.000 y se reajusta mensualmente según la siguiente tabla de porcentajes: Mes de arriendo

Porcent aje aumento

Primero Segundo Tercero Cuarto

0,0 0,3 0,2 0,1

Responde las preguntas 9 y 10. 9.

¿Cuál es el precio para la cuota del d el segundo mes de arriendo? A) $ 50.000,3 B) $ 50.000 C) $ 50.003 D) $ 50.150 E) $ 50.250

10.

El tercer mes se cancelará por el arriendo: A) menos que el primer mes. B) más que el cuarto mes. C) menos que el cuarto mes. D) $ 200 más que el segundo mes. E) $ 100 menos que el cuarto mes.

11.

Si el 0,2% de A es el 0,4% de B, entonces: A)

A

>B



































Matemática

Los promedios finales de un total de 40 alumnos de un curso se presentan en una tabla de frecuencia con intervalos. N ot a

Frecuencia

[1 , 3 [ [3 , 5 [ [5 , 7 ]

10 15 15 40

A partir de la información responde las preguntas 12 y 13. 12.

El porcentaje de alumnos con nota inferior a 3 es: A) 25% B) 20% C) 10% D) 8% E) 4%

13.

Al curso se integran tres alumnos nuevos cuyos promedios promedios están sobre la nota cinco. Entonces el porcentaje de aumento en este rango es: A) 120% B) 115% C) 100% D) 20% E) 3%

14.

p

Un obrero recibe un sueldo de $ p y paga por el arriendo de su casa $ . Entonces, el porcentaje del sueldo que 5 invierte invie rte en el arriendo es:





































Cuaderno PSU 16. La expresión 22.222 + (5 • 10 3)

tiene como resultado:

A) 22.722 B) 25.222 C) 27.222 D) 52.222 E) 7.222 17.

Pedro y Soledad solicitan a su madre que guarde el dinero que les regalaron para Navidad. Pedro le pasa $ 20.000 y Soledad $ 15.000. Días después, Pedro retira $ 5.000 y posteri post eriormente ormente entrega $ 2.500, pero decide comprar un regalo y saca $ 3.000. 3 .000. Soledad es invitada a una fiesta y pide a su mamá $ 5.000, luego entrega $ 2.200, posteriormente posteriormente le solicita $ 3.500 para comprar unos aros, tiene una tentación con una falda y le pide a la mamá $ 5.000. Entonces, de todos los cálculos necesarios, se puede asegurar que: A) Soledad tiene mayor cantidad de dinero que Pedro. B) Soledad tiene menos dinero que Pedro. C) Ambos tienen la misma cantidad de dinero. D) La diferencia de dinero entre ellos es $ 5.700 E) Si a la cantidad de dinero que tiene Pedro le sumamos $ 4.570, ambos tendrían la misma cantidad.



































Matemática

20.

2

1

5

9

En un curso de 45 alumnos: los esc escribe, ribe, resuelve problemas y el resto está leyendo. Entonces: I. II. III.

la mayor cantidad de alumnos está leyendo. una mayor cantidad de alumnos está leyendo que escribiendo. la misma cantidad de alumnos escribe y resuelve problemas.

Es(son) correcta(s): A) Solo I B) Solo II C) I y II D) II y III E) Todas. 21.

De los 80 envases que tenía un comerciante vendió el 45% a $ 1.250 cada uno, el 75% del resto a $ 1.200 y el resto a $ 1.000 cada uno. El importe total de la venta fue: A) $ 95.600 B) $ 84.600 C) $ 56.000 D) $ 55.500



































Cuaderno PSU 24.

¿Cuál es el valor de un libro? (1) El vendedor gana el 18% del valor del libro. (2) El 10% del valor del libro es 36. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional.

25.

El 30% del 20% de x – n está dado por la expresión: A) 60(x – n) B) (x – 6) /6 C) 6(x – n) D) 0,6(x – n) E) 0,06(x – n)

Si el valor de una cuota por pago mensual de arriendo de una máquina es $ 50.000 y se reajusta mensualmente según la siguiente tabla de porcentajes:



































Matemática 28.

Los promedios finales de un total de 40 alumnos de un curso se presentan en una tabla de frecuencia con intervalos. N ot a

Frecuencia

[1 , 3 [ [3 , 5 [ [5 , 7 ]

10 15 15 40

El ingreso de cinco alumnos nuevos al curso signif significa ica un aumento en el porcentaje del: A) 112,5% B) 12,5% C) 12% D) 5% E) 0,5% 29.

Si en la fracción A) 200%

n

, m aumenta el 20% y n disminuy disminuyee el 40%. ¿En qué porcentaje varía la fracción

n

?



































Cuaderno PSU 32.

¿Cuál(es) de las siguientes cantidades no es(son) irrac i rracional(es)? ional(es)? I. II.

π

2 5

III.

2

A) Solo I B) Solo II C) I y III D) II y III E) I y II 33.

 1



¿Cuál(es) de las siguientes condiciones se debe(n) cumplir para que la expresión  − h represente siempre a un  3  número positivo? I.

II.

h igual a . 3

h menor que . 3





































Matemática 35.

Paraa responder esta pregunta utilice la siguiente situación: Par 100

% n 80 e o 60 t n e i 40 m i d 20 n e R 0

85

70

65

50

35

25 1

2

3

4

5

6

Años

De acuerdo con el gráfico, el período en el que el ciclista tuvo su mayor rendimiento rendimiento fue entre los años:



































Cuaderno PSU 38.

En un curso están presentes 38 alumnos y faltó el 5% del total. Entonces, el número total de alumnos del curso es: A) 45 B) 42 C) 40 D) 38 E) 36

39.

Un grupo de 15 trabajadores tarda 4 horas en cosechar la uva de una línea de parras de un viñedo. La tabla ilustra parcialmente la situación:



































Matemática 42.

Si todos los valores enteros, para para los cuales el área de un rectángulo es 18 cm 2, forman magnitudes inversamente proporcionales, proporci onales, entonces la constante de d e proporcionalidad proporcionalidad es: A) 18 B) 9 C) 6 D) 3 E) 2

43.

La siguiente sucesión de triángulos está formada por un número determinado de segmentos. Así, para un triángulo se necesitan 3 segmentos; para dos triángulos, 5 segmentos, y así sucesivamente.



































Cuaderno PSU 45.

Un grupo de 15 trabajadores tarda 4 horas en cosechar la uva de una línea de parras de un viñedo. La tabla ilustra parcialmente la situación: x (N° trabajadores)

5

y (horas)

El número de personas y el tiempo son magnitudes: I. II.

directamente proporci proporcionales. onales. inversamente proporci proporcionales. onales.

10

15 4

20

25



































Matemática

II 1.

Álgebra

Si “2p” es par, entonces el impar sucesor del antecesor de “2p” es: A) 2p – 1 B) 2p + 1 C) 2p D) 2p + 2 E) 2p – 2





































Cuaderno PSU 4.

La siguiente es una máquina que transforma números



































Matemática 3

2



































Cuaderno PSU 9.

Si se considera la figura:



































Matemática











































Cuaderno PSU 16. Un tronco de 20 metros se corta en tres partes, de manera que la primera parte tiene 2 metros más que la tercera,























































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































Cuaderno PSU 87. Enviar una encomienda por correo tiene un costo que depende del peso. Peso Peso y costo están es tán relacionados como se

muestra en la siguiente tabla:

Intervalo peso (gramos)

Costo en pesos $

[0,200[

450

[200,500[

750

[500, 700[

950

[700,1.000[

1.250

[1.000,1.200]

1.450

El gráfico general que representa la situación es: A)

$

B)

$

Peso (gramos) D)

$

C)

Peso (gramos) $

Peso (gramos) Peso (gramos) E)

$

Peso (gramos) 88. La función I. II. III.

y = x y la función lineal y = mx tienen en común que ambas:

pasan por el origen del sistema. cortan al eje “y” en el punto (0,1). son coincidentes en más de un punto del d el gráfico.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II

































Matemática 89. La recta cuya ecuación es 3x – 4y + 12 = 0 pasa solo por los cuadrantes:

A) II y III B) I, II y III C) I, II y IV D) I, III y IV E) II, III y IV 90. Sea el sistema de ecuaciones

L1: 2x – y = 0 L2: x + y = 9 El(los) gráfico(s) que mejor representa(n) la solución del sistema es(son): L2

I.

L1 L2

II.

L1

III.

L2

L1

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y III E) Todos. 91. Si los vértices de los lados de un triángulo son A(–5, 0), B(7, 0) y C(0, 6), entonces la ecuación de la altura

correspondiente al lado BC es:

































Cuaderno PSU 92. Se tiene un triángulo rectángulo de madera cuyos catetos miden 20 cm y 30 cm. Se desea calcular el lado del

cuadrado que se puede obtener de este trozo de madera, de modo que se pierda la menor cantidad de madera posible. La figura ilustra la situación: A

30 D

B

E

F 20

C

El lado del máximo cuadrado que se puede obtener, en cm, es: A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 93. La tarifa que permite obtener el precio de un telegr telegrama ama con entrega domiciliaria es de $ 600 de tasa fija y de

40 pesos por palabra. La expresión que permite encontrar el precio (p) del telegrama, conocido el número (n) de palabras, es: A) p = 600 ¬ 40n B) p = 640 + n C) p = 600 + 40n D) p = 640 ¬ n E) p= 560 + n 94. En una jaula hay conejos y pajaritos. Entre ellos hay 40 cabezas y 100 patas. Si “x” es el número de pajaritos e

“y” el el número de conejos, entonces la expresión correcta que involucra el número de cabezas de ambas especies es: A) y = 60 ¬ x B) y = 40 + x C) y = 140 ¬ x D) y = 140 + x E) y = 40 ¬ x

































Matemática 95. La ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 3) y (2, 5) es:

A) y = 2x ¬ 1 B) y = ¬2x + 3 C) y = ¬2x ¬ 1 D) y = 2x ¬ 3 E) y = 2x + 1 2

96. Sea n = –1. Si se ordenan de mayor a menor los números 2n − 1 ; 3n

(

)

2

A) n n + 2 ; 3n

+

+

(

+

n3

)

n3 ; n n + 2 ; 2n − 1

(

)

D) n n + 2 ; 2n − 1 ; 3n E)

)

n ; 2n − 1 2

2

(

n3 ; n n + 2 , se tiene:

3

B) 2n − 1 ; n(n + 2) ; 3n C) 3n

+

2

(

+

n3

2n − 1 ; 3n2 + n3 ; n n + 2

)

97. Un pintor tiene una tela de 320 cm de perímetro. Sus Sus medidas se precisan en expresi expresiones ones representadas en la

figura siguiente: 3x – 60

x

Si el pintor utiliza toda la tela en su obra, entonces para encontrar el largo y ancho de la tela se puede plantear la ecuación:

((

A) 2 3x − 60 60

) x) +

=

320

B) x2 − 60x = 320 C)

(3x)x

D) 3x

2

−

−

60 = 5. 77 775

60x = 5.77 775 5

E) x2 + 60x = 320 98.

































Cuaderno PSU 99. Si en la expresión

A)

−

7

3 2

=

1

5+

x+

2

1

el valor de x es cero, entonces el valor de y es:

y

B) 0 C)

D) E)

2 7 −

2 7

7 2

100. Un curso de 27 alumnos está integrado por hombres y mujeres. Los hombres son 3 más que el doble de las

mujeres. ¿Cuántos alumnos varones y cuántas niñas hay respectivamente en el curso? A) 18 y 19 B) 19 y 8 C) 17 y 10 D) 16 y 11 E) 11 y 16 101. La función

9 f(x) = 32 + x transforma temperaturas de grados Celsius (x) a grados Fahrenheit. 5

¿A cuántos grados Fahrenheit corresponden 35 ºC? A) 18,3 B) 18,3333… C) 33,8 D) 77 E) 95 102. En el sistema

A)

B)

7 3 −

7 3

C) 3 D)

3

−

2x + y − 1 = 0 2x − 2y + 8 = 0

el valor de y es:



































Matemática

103. En la sucesión siguiente aparecen sus cuatro primeros términos:

2 + 0 , 2 + 3, 2 + 6, 2 + 9,...

¿Cuál es el térm término ino que ocupa el séptimo lugar? A) 3 B)

15 15

C) 2 5 D)

17

E)

23

104. ¿Cuál es el valor aproximado de

20 que se obtiene a partir de considerar que 5 = 2, 2361?

A) 8,9444 B) 4,4722 C) 4,4721 D) 4,4622 E) 4,2361 3

105. Si en la expresión t = x 2 − x la variable x toma el valor

A)

2

B) − 2 C) 0 D) 4 − 4 2 E) 2 − 2 2 3

106. La potencia 164 es equivalente a:

A) 6

2, entonces el valor de t es:



































Cuaderno PSU 2

108. ¿Cuál de las siguientes alternativas alternativas corresponde corresponde a una cantidad menor que la fracción

A)

B)

?

2

3 2 2 1,8

C) D)

3 4 8 2

E)

3 5

3

2

109. ¿Qué conjunto de valores de a, b, b, c y d hacen que la expresión algebraica ax − bx + cx − d = 0 sea una ecuación

de segundo grado? A) a = ¬3 B) a = 0

b=0 b=1

C) a = ¬2 D) a = 0 E) a = 1

c >0 c=1

b=0

c<0

d = ¬1 d=0 d=1

b=0

c=1

d=1

b=0

c>0

d=1 2

110. Par Para a resolver cierta ecuación de segundo grado de la form forma a ax − bx + c = 0, un alumno escribió lo siguiente:

x=

−2 ±

4 + 48 ...

faltándole el denominador.

A partir de lo anterior, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a dicha ecuación? I. II. III.

El coeficiente b del término de primer grado es 2. El término de 2º grado tiene coeficiente 2. El valor de c es 6.



































Matemática 2

111. Dada la ecuación x − kx + 1 = 0, ¿qué valor(es) valor(es) tiene el parámetro k si las dos soluciones de la ecuación son

iguales? I.

2

II.

–2

III.

0

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) I y III 112. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones expresiones algebraicas corresponde(n) a una función cuadrática? I. II. III.

y = x2 − 1

)

)

y = 2x − 1 3x − 2 y = 2x + 3

A) Solo I B) Solo II C) I y II D) II y III E) Todas. 113. Mediante el procedimiento consistente en “completar un binomio cuadrado perfecto” para para resolver una ecuación

de segundo grado, se llega a dos ecuaciones de primer grado. Si se resuelve la ecuaciónx 2 procedimiento, ¿cuáles son esas dos ecuaciones de primer grado? A) x −

1 2

=

B) x − 1 = 2

5 2

y x −

1 2

=−

y x 1 = 2

5 2

−

x

−

1 0 usando dicho =



































Cuaderno PSU 114. La suma de una fracción con su recíproco es

A)

B)

C)

D)

E)

3

73 24

. ¿De qué fracción se trata?

4 4 3 7 12 3 8 24

115. La raíz cuadrada de un número aumentado en 4 sumada a dicho número es igual a 8. ¿Cuál es el número?

A) 12 B) 8 C) 5 D) 2 E) Ninguna de las anteriores. 2

116. Con respecto a cierta parábola de la forma y = ax + bx + c que interseca al eje X en los puntos de abscisas 2 y 5.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. II. III.

Dicha parábola es única, es decir, decir, no hay otra que corte al eje X en los puntos de las abscisas 2 y 5. La parábola del enunciado es y = x

2

− 7x + 10.

La parábola corta al eje Y en el punto (0, c).

A) Solo I B) Solo III C) I y II



































Matemática 2

117. De acuerdo con el gráfico de la función y = ax + bx + c, se puede afirmar que:

y 5 4 3 2 1 -1 0 -1

x 1

2

3

4

5

A) la ecuación ax2 + bx + c = 0 tiene solo una solución real. B) la ecuación ax2 + bx + c = 0 no tiene soluciones reales. C) el coeficiente a de ax2 + bx + c = 0 es negativo. D) la parábola no corta al eje de ordenadas. E) Todas las anteriores alternativas son falsas. 118. El gráfico muestra un arco o parte de la parábola correspondiente a la función y = ax

1

cuando x = − es positivo. Entonces es verdadero que: 2 y 5 4 3

2

+

bx + c . El valor de y





































Cuaderno PSU 119. En un expe experimento rimento de laboratorio se estableció gráficamente la variación variación cuadrática de d e la variab variable le t con respecto

a otra variable ”s” tal como se muestra en el gráfico. ¿Cuáles son, respectivamente, los valores máximo y mínimo de ”t”? t

s

A) 2, ¬1 B) 2, ¬3 C) 1, ¬3



































Matemática 122. ¿Cuál es el mayor número entero entero que cumple la condición descrita d escrita a continuación?

1 “Si a los dos terc tercios ios de un número se le resta , se obtiene un número menor que 1”. 5 A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 123. ¿Cuál es la ecuación de la función cuadrática representada por la parábola del gráfico adjunto?

(1) Su vértice es el punto (0, –2). (2) Corta al eje X en x = –2 y x = 2. Y 5 4 3 2



































Cuaderno PSU 125. ¿Qué edad tienen Pab Pablo lo e Ignacio?

(1) Pablo supera a Ignacio por 3 años. (2) El producto de las edades es 270. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional. 2

126. ¿Cuál es el valor del parámetro a en la ecuación cuadrática x − 6x + 9 − a = 0?

(1) x1 = 1 es una solución de la ecuación. (2) x2 = 5 satisface a la ecuación. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional.



































Matemática

128. Al resolver la ecuación

3x 2 −

4 ± 16 + 84 x − 7 = 0 se aplicó la fórmula clásica de la siguiente manera: manera:x = 6

De acuerdo con lo anterior anterior,, ¿qué valor falta en

?

A) –4 B) 4 C) –2 D) 2 E) Ninguno de los anteriores valores. 129. Si las raíces de una ecuación de segundo grado son x1 = –2 y x2 = –3, ¿cuál es la ecuación?

A) B) C) D) E)

− 6x − 5 = 0 − 5x − 6 = 0 2 + 5x + 6 = 0 2 − 5x + 6 = 0 2 + 5x − 6 = 0 2

130. Para resolver la ecuación 4x

2

procedimiento de completar un cuadrado perfecto, se suma y se − 4x − 3 = 0 con el procedimiento

resta un mismo número en el primer miembro. ¿Cuál es ese número?



































Cuaderno PSU 132. De acuerdo con la tabla de d e valores que se muestra para la función y = 2x

A)

X

Y

1

3

¬2

0

2m

0

1 4

B)

2 C) 0 D) 1 E) 2 133. La ecuación de una función cuadrática es y = 2x

2

−x−

3

8 ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola? A)

 3   ,0 

.

2

+ 3x − 2, ¿cuál es el valor de m?





































Matemática ) = 2 establece la relación entre el número de bacterias 135. La expresión N(t) bac terias N(t) y el tiempo transcurrido (t), en t

minutos. ¿Cuál será el número de bacterias transcurridos 8 minutos? A) 8 B) 16 C) 64 D) 128 E) 256 136. Si al doble de un número le quitamos 3, resulta el triple de dicho número. Entonces el número que cumple la

condición:



































Cuaderno PSU 140. La pendiente de la recta L1 es m1 y la pendiente de la recta L2 es m2. Si ambas son paralelas, entonces se puede

afirmar que: A) m1 =

1 m2

B) m1 m2 = ¬1 •

C) m1 = ¬m2 D) m1 = m2 E) m1 m2 = 1 •

141. Si L1: 3x – y + 2 = 0 y L 2: x + 3y – 6 = 0, entonces L1 y L2 son rectas:



































Matemática

145. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones expresiones corresponde(n) a la suma de d e 12 con I.

39

II.

13 3

III.

5 3

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) II y III

27?



































Cuaderno PSU 2

149. Para resolver la ecuación x − mx + n = 0 en que m y n son números reales,

¿cuál de las siguientes fórmulas fórmulas es correcta? A) x = B) x =

C) x =

m 2 m 4 m 2

±

±

±

m2 − 4n 2 m2 − 4n m2 2 2

−n



































Matemática 2

2

153. La función cuadrática y = x − 1 es de la forma y = ax + bx + c .

¿Cuáles son los valores de a, b y c? A) 1, 1 y –1 B) 1, 0 y –1 C) 1, 1 y 0 D) 1, –1 y –1 E) 1, –1 y 1 154. El número 160 se puede descomponer en dos factores enteros que están en la razón 2 a 5.

¿Cuál es la diferencia absoluta entre esos dos factores?





































Cuaderno PSU 156. ¿A cuál de las siguientes funciones funciones cuadráticas corresponde la parábola del gráfico?



































Matemática 159. La variable m en relación con t tiene un comportamiento compor tamiento que se modela mediante una función cuadrática cuando



































Cuaderno PSU 162. El valor x = –2 ¿satisface a la inecuación x + a ≥ −3 ?



































Matemática 1

1



































Cuaderno PSU 168. Si se comparan gráficamente gráficamente las funciones y = x e 3

y = x4 , se puede afirmar que:























































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































Cuaderno PSU 36. En la circunferencia de centro 0 es posible averiguar cuánto mide el ángulo ACB si:

(1)  AOB = 85º (2) L1 //L2

B

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola.

O

C) Ambas juntas, (1) y (2).

C

L1 L2

D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional.

A

37. En el triángulo ABC de la figura, CD es bisectriz del ángulo ACB. Si AD = 4

y AB = BC = 12, entonces AC mide: C

A) 24 B) 12 C) 8 D) 6

A

E) 4

D

B

38. Tres sitios se extienden desde la calle Oriente hasta la calle Pon Poniente, iente, como muestra la figura.

Los límites laterales son segmentos perpendiculares a la calle Pon Poniente, iente, además el frente total de los sitios en la calle Oriente es 120 m. E ORIEN T CALLE

Sitio 1

Sitio 2

Sitio 3

40 m

30 m

20 m

CALLE PONIENTE En la calle Poniente, la expresión 120 : x = 90 : 30 permite calcular el frente del sitio: A) 1 B) 2 C) 3 D) 1 y 2 E) Cualquiera.

































Matemática 39. Si en la circunfer circunferencia encia de centro 0 se s e sabe que:

CAO

= 25º,

A) 170°

CBO

= 60º, entonces el

AOB

mide:

C

B) 110° C) 100° D) 65°

B

O

A

E) 60°

40. Si en la figura PQ = 72 cm, entonces PR • PS vale: A) 5.184

Q

B) 4.226

P

C) 720

R

D) 432 E) 288

S 41. En la figura, AC es un arco de circunferencia de centro P, donde I. II. III.

rectángulo. isósceles.

ACB

= 45°, entonces el triángulo APB es:

B

escaleno.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III

A

P

C

D) I y II E) I y III

42. Dadas las siguientes aseveraciones: aseveraciones:

En todo cuadriláter cuadriláteroo inscrito en una circunfere circunferencia ncia los ángulos opuestos opues tos son suplementarios. cuadrilátero ro de ángulos opuestos suplementarios se le puede circunscribir una circunferencia. II. A todo cuadriláte III. En todo rectángulo se puede inscribir una circunferencia. Son correctas: I.


































Cuaderno PSU 43. Si en la figura

ADC

= 70º y

BCD

=

4 CBE, entonces BAF + CBE es: 5

A) 162°

D

B) 126° C) 88°

C

D) 70° E) 56°

A

B

E

F circunferencia ncia inscrita. Si d es diámetro, ¿cuál ¿cuál de 44. La figura está formada por un triángulo rectángulo en C y una circunfere las siguientes igualdades es verdadera? A) a + b ¬ c = d

C

B) a ¬ b + c = d

b

C) c ¬ a = d D) a ¬ b = d

a d c

A

E) b ¬ c = d

B

figura, ura, es es posible calcular cuánto mide el ángulo CBT si: 45. En la circunferencia de centro 0 que se muestra en la fig (1) AT es tangente a la circunferencia. (2) CAT = 35º B O

D

C T A) (1) Por sí sola. B) (2) Por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional.

A

































Matemática

t riángulo rectángulo de madera cuyos catetos miden 20 cm y 30 cm. Se desea calcular el lado del 46. Se tiene un triángulo cuadrado que se puede obtener de este trozo de madera, de modo que se pierda la menor cantidad de madera posible. La figura ilustra la situación. A

E

30 D

B

F 20

C

El lado del máximo cuadrado que se puede obtener, en cm, es: A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8

47. Tres sitios se extienden desde la calle Oriente hasta la calle Poniente, como muestra la figura.

Los límites laterales son segmentos perpendiculares a la calle Pon Poniente, iente, además el frente total de los sitios en la la calle Oriente es 120 m. TE ORIEN CALLE

Sitio 1

Sitio 2

Sitio 3

40 m

30 m

20 m

CALLE PONIENTE El frente del sitio 2 en la calle Oriente mide: A) 53 m B) 40 m C) 36 m D) 27 m

































Cuaderno PSU 48. En la clase de Matemática de Segundo Medio se plantea el siguiente problema. Se quiere calcular el ancho de un

río, para ello se ha trazado un esquema como se muestra m uestra en la figura. En ella se precisan triángulos cuyos lados DE y AB son perpendiculares al segmento AE.

A

120 m

C

3

m

D 2m E

Río B Paraa calcular el ancho del río, cuatro alumnos entregan la siguiente información: Par información: Carlos: Debemos formular la razón ED : AB. Susana: También es necesaria la razón DC : BC. Pedro: Debemos analizar las razones y formular una proporción con dos de las razones. María: Yo creo que otra razón que nos puede servir es CE : AC.

La información suficiente para resolver el problema, es la entregada por: A) Carlos, María y Pedro. B) Susana, María y Pedro. C) Carlos, Susana y María. D) Carlos, Susana y Pedro. E) Carlos y Pedro.

49. El área de un círculo está dada por la expresión A = πr2. Entonces, dada el área, la expresión que permite calcular

el radio del círculo es: A) r

A =

π

A

B) r = ±

π

C) r

A =

π

D) r

A



































Matemática 50. En el Δ ABC rectángulo en C de la figura, el valor de 1 + cos α es: A)

B)

C)

25 26 25 13

C

18

24

10

13

D)

17 12

E)

17 13

α

A

51. Se sabe que en un triángulo rectángulo sen α = A)

7 12

B)

12 13

C)

5 12

D)

7 13

E)

8 13

26

B

5 . ¿Cuál es, entonces, el valor de cos α? 13

52. En un Δ ABC rectángulo en C, se conocen las proyecciones proyecciones p = 3,2 cm y q = 1,8 cm.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?



































Cuaderno PSU figura ura es rectángulo en C. El lado AB mide 15 cm. 53. El triángulo ABC de la fig ¿Cuánto mide la altura CD? (1) AD = 3 cm (2) DB = 15 cm – AD C

A

D

B

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional.

traslaciones ones que se han efectuado es: 54. Al observar la figura se puede deducir que el número de traslaci

A) 5 B) 4 C) 3

2



































Matemática 56. El cuadrilátero de la figura es un romboide. De las siguientes afirmaciones, es(son) verdadera(s): I. II. III.

DB ≅ AC DE ≅ EB Δ DEC ≅ Δ AEB B

A

E

D

C

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) I y III

En la clase de Matemática de d e Segundo Medio se plantea el siguiente problema: se quiere calcular el ancho de un río, para ello se ha trazado un esquema como se s e muestra en la figura. En ella se precisan triángulos cuyos lados DE y AB son perpendiculares al segmento AE. D

A

120 m

C

2m 3m E



































Cuaderno PSU 58. El ancho del río en metros es: A) 184 B) 180 C) 82 D) 80 E) 50

59. En el triángulo ABC rectángulo en C, CD es la altura h c, AC= 6 5 , DB = 3 y cos α = tg β? A)

1 2

B) 2

C

C) 2 5 6

5

D)

5 E)

2 5 5

60. Se sabe que 1 + cos α = 7

A) 4

7

B)

2 C)

4 5

A 7 4

5

β

α

. ¿Cuál es el valor de sen α?

D

B

2 5 5

. ¿Cuál es el valor de



































Matemática 61. En el espacio se consideran tres rectas. Dos de ellas son perpendiculares entre sí y la tercera es una recta

cualquiera. ¿Cuál(es) ¿Cuál(es) de d e las siguientes afirmaciones afirmaciones es(son) necesariamente verdadera(s)? I. II. III.

Las dos rectas perpendiculares son coplanares. Existe un punto común a las tres rectas. La tercera tercera recta es paralela a una de las otras dos.

A) Solo I B) I y II C) I y III D) II y III E) Todas. 62. Tomando en cuenta todas las diagonales de un cubo, sin considerar considerar sus aristas, ¿cuántos pares de rectas que

contienen a las diagonales y que se intersecan entre sí tiene el mencionado cuerpo? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16 63. Una recta es perpendicular a un plano. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. II. III.

Una segunda recta es perpendicular a la recta dada. Por lo tanto, ella es perpendicular al plano. Un plano que es paralelo al plano dado es perpendicular a la recta. Si una segunda recta no es paralela a la recta dada, no puede intersectar al plano.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) II y III





































Cuaderno PSU 64. En relación con cuatro puntos diferentes del espacio, es siempre verdadero que: I. II. III.

tres de ellos pertenecen a una recta. los cuatro son coplanares. tres puntos no colineales determinan determinan un único plano.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y III E) II y III

65. Dadas dos rectas cualesquiera L y L’ en el espacio, se puede afirmar que: I. II. III.

si no son paralelas se cortan en un punto. si una tercera recta es perpendicular a L y también a L’, entonces L // L’. una recta que sea paralela a L’ podría ser perpendicular a L.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II



































Matemática 67. En el espacio espacio,, tres planos pueden tener variadas posiciones. ¿Cuál(es) ¿Cuál(es) de las siguientes situaciones es(son)

posible(s) de ocurrir? o currir? I. II. III.

Ninguno de los tres planos se corta entre sí. Los tres planos tienen solamente un punto en común. Dos de los planos son perpendiculares y el tercero no es perpendicular a ninguno ninguno de ellos.

A) Solo I B) Solo III C) I y II D) I y III E) Todas.

68. En el interior de un paralelepípedo recto de dimensi dimensiones ones 10 cm, 12,5 cm y 20 cm, ¿cuántos cubos de 5 cm de

arista caben? A) 20 B) 16 C) 12

12,5 cm 20 cm

D) 8 E) Ninguna de las anteriores.

10 cm



































Cuaderno PSU decir, manteniendo la distancia desde su centro al 71. El traslado libre de una esfera en forma paralela a un plano, es decir, plano, da origen a un cuerpo geométrico. ¿Qué cuerpo es? A) Una esfera. B) Un cono recto. C) Un cono oblicuo. D) Un cilindro. E) Un cuerpo redondo, atípico.

72. El punto P de coordenadas (1, 3, 5) se desplazó hasta la posición del punto Q de acuerdo con el siguiente

procedimiento: - avanzó 1 unidad en la dirección OX; - avanzó 2 unidades en la dirección OY;

Z Q

- subió 3 unidades en la dirección OZ. P

¿Cuáles son las coordenadas del punto Q? A) (4, 5, 6) B) (3, 4, 8) C) (4, 4, 7)

O

Y



































Matemática 74. El Δ ABC es rectángulo rect ángulo en C. ¿Cuál es su área?

(1) a + b = 41 cm (2) c = 29 cm B a C

c

b

A


y, z). ¿Cuáles son las coordenadas del punto Q 75. En el espacio hay un punto P que tiene ciertas coordenadas (x, y, simétrico de P con respecto al plano YZ? (1) x = 4 ; z = 3



































Cuaderno PSU 77. Los puntos B, C y D son colineales. AB = 12 cm, BD = 8 cm, CE = 5 cm, DE = 4 cm. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. II. III.

AE = 18 cm AC + CD = 16 cm BC = CE

D C


12 cm

A

D) I y II

B

E) Todas.

78. ABC es un triángulo rectángulo en C, de altura hc = 8 cm. ¿Cuánto mide el cateto a?

(1) DB = 16 cm (2) AD = 4 cm C b

h

a

E





































Matemática 80. El Δ ABC es rectángulo rect ángulo en C. ¿Cuánto mide el ángulo β?

(1) tg β=

3 2

(2) sen α =

A α

2 7 7

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

β

B

C



































Cuaderno PSU P, Q, R y S. ¿Cuáles son las coordenadas del d el punto de 83. Las rectas L1 y L2 cortan a los ejes en los puntos P, intersección de las rectas entre sí? (1) P(0, –2); Q(2, 0); R(7, 0) (2) S(0, 6)

L2

y L1

S


O

P

Q

R

x



































Matemática 86. El cuadrilátero ABCD de la figura es un trapecio. Si AB = 20 cm, entonces ¿cuánto mide EC?

(1) DC = 8 cm ; AE = 15 cm (2) AC = EC + 15 cm ; DC = AE – 7 cm D

C E

A

B



































Cuaderno PSU 89. En el triángulo ABC, CD es una bisectriz. Si AD = 10 y DB = 7, ¿cuánto mide el perímetro del triángulo?

(1) BC = k + 9 (2) CA = 4k C



































Matemática 92. ABCD es un cuadrado y EFCG un rectángulo tal que su vértice E pertenece a la diagonal BD del cuadrado. ¿Cuál es el área del ΔBFE?

(1) CG : GE = 4 : 3 ; BE = 8 2 cm (2) GC – GD = 2 cm

D

A) (1) por sí sola.

G

C

E

F

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional.

A

B





































Cuaderno PSU 95. Dados dos planos cualesquiera en el espacio, ¿son perpendiculares entre sí?



































Matemática

cilindro recto? 99. ¿Cuál es el volumen de un cilindro



































Cuaderno PSU

Probabilidad y estadística



































Matemática 3.

El diagrama muestra de manera incompleta cómo se distribuyen las caras y sellos en el lanzamiento de



































Cuaderno PSU 5.

Las frecuencias de cada uno de los resultados que se obtienen al lanzar dos monedas se muestran en la tabla

























































































































































































Cuadernillo PSU 4° Bicentenario

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