S.E.P.
S.E.S.
D.G.E.S.T.
INSTITUTO TECNOLÓGICO De Comitancillo
MATERIA:
Estadística inferencial II
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Tema:
Cuadros latinos y cuadros greco-latinos
TITULAR:
M.C. Eduardo Gutiérrez Bartolo
PRESENTAN:
Santiago Casique Yensi Cristell
CARRERA:
Ing. en Gestión Empresarial
SEMESTRE:
V
GRUPO: “C” San Pedro Comitancillo Comitancillo Oax. Diciembre Diciembre de 2012
1. CUADRADO LATINO Un cuadrado latino es una matriz de n×n elementos en la que cada casilla está ocupada por uno de los n símbolos de tal modo que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada columna y en cada fila.
Las siguientes matrices son cuadrados latinos: Los cuadrados latinos se dan como una tabla de multiplicar (tabla Cayley) de quasigrupos, los cuales se aplican en el diseño de experimentos. Historia y terminología El nombre cuadrado latino se origina utilizó caracteres latinos como símbolos.
con Leonhard
Euler ,
quien
Un cuadrado latino se dice que está reducido (o "normalizado" o "de forma estandarizada") si la primera fila y la primera columna están en orden natural. Por ejemplo, el primer cuadrado está reducido, porque la primera fila y la primera columna son 1, 2, 3. Es posible hacer un cuadrado latino permutando (reordenando) las filas y las columnas. Representación a través de un arreglo ortogonal Si cada entrada de un cuadrado latino de n × n se escribe como una tripleta (f , c , s), donde f es la fila, c la columna y s el símbolo (para nuestro caso un número), se obtendrán n2 tripletas, llamado arreglo ortogonal del cuadrado. Por ejemplo, para el primer cuadrado latino de todos estos ejemplos, el arreglo ortogonal será así: { (1,1,1),(1,2,2),(1,3,3),(2,1,2),(2,2,3),(2,3,1),(3,1,3),(3,2,1),(3,3,2) }, donde, por ejemplo, la tripleta (2,3,1) representa que el valor en la fila 2 columna 3 es 1. La representación de un cuadrado latino puede escribirse en términos del arreglo ortogonal, y queda así:
existen n2 tripletas de la forma (f , c , s), donde 1 ≤ f , c , s ≤ n; todos los pares (f , c ) son diferentes, todos los pares (f , s) son diferentes, y todos los pares (c , s) son diferentes.
La representación por arreglos ortogonales muestra que las filas, columnas y símbolos representan un papel muy similar. Clases equivalentes de cuadrados latinos Muchas operaciones sobre un cuadrado latino produce otro cuadrado latino (por ejemplo, alternar filas).
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Si permutamos las filas, permutamos las columnas, y permutamos los símbolos de un cuadrado latino obtenemos un nuevo cuadrado latino que decimos que es isotópico del primero. El isotopismo es una relación de equivalencia; basándose en esto, se dice que todos los cuadrados latinos están divididos en subgrupos, llamados clases isotópicas; según esto, dos cuadrados de la misma clase se dice que son isotópicos, y dos de clases diferentes son no isotópicos. Otro tipo de operación puede explicarse fácilmente usando la representación de estos por arreglos ortogonales. Si se reorganizan consciente y sistemáticamente los tres elementos de cada tripleta (f , c , s) por (c , f , s), lo cual corresponde a una transposición del cuadrado (reflejado en la diagonal principal), o es posible reemplazar cada tripleta (f , c , s) por (c , s, f ), lo que es una operación más complicada. Todas juntas dan 6 posibilidades, incluida la de no hacer nada, lo que da 6 cuadrados latinos llamados conjugados del cuadrado original . Finalmente, es posible combinar estas dos operaciones equivalentes: dos cuadrados latinos son paratópicos si uno de ellos es conjugado del otro. Esto es nuevamente una relación de equivalencia, con la clase de equivalencia principal llamada clase principal, especies o clase paratópica. Cada clase contiene 6 clases isotópicas. El número de cuadrados latinos No se conoce una fórmula para el cálculo fácil del número de cuadrados latinos de n × n son para n=1,2,...,n. Los límites superiores e inferiores más exactos conocidos para n más grande están demasiado separados. Aquí se dispone de todos los valores exactos conocidos. Es posible notar que los números crecen exageradamente rápido. Para cada n, el número de cuadrados latinos disponibles (secuencia A002860 en OEIS ) es n! (n-1)! veces el número de cuadrados latinos reducidos (secuencia A000315 en OEIS). El número de cuadrados latinos de distintos tamaños n
Cuadrados latinos reducidos Todos los cuadrados latinos de tamaño n de tamaño n
1
1
1
2
1
2
3
1
12
4
4
576
5
56
161280
6
9408
812851200
7
16942080
61479419904000
3
8
535281401856
108776032459082956800
9
377597570964258816
5524751496156892842531225600
1 0
758072148316013281148928 0
9982437658213039871725064756920320 000
1 1
536393777327737129811967 3540771840
7769668361717701441074443467342306 82311065600000
Para cada n, cada clase isotópica (secuencia A040082 en OEIS) contiene arriba de (n!)3 cuadrados latinos (el número exacto varia), y cada clase principal (secuencia A003090 en OEIS) contienen alguna de las 1, 2, 3 o 6 clases isotópicas. Clases equivalentes de cuadrados latinos n
clases principales
clases isotópicas
1
1
1
2
1
1
3
1
1
4
2
2
5
2
2
6
12
22
7
147
564
8
283657
1676267
9
19270853541
115618721533
10 34817397894749939 208904371354363006 Aplicaciones El estadístico inglés Ronald Fisher se valió del uso de los cuadrados latinos para mejorar significativamente los métodos agrícolas, cuando se hallaba investigando la eficacia de los fertilizantes en el rendimiento de las cosechas. Buscó la manera de plantar cosechas en similares condiciones de suelo de modo que la calidad de la tierra no fuese un factor indeseable que influyese en el rendimiento de la cosecha. Si bien la única manera de asegurarse de tener condiciones idénticas de tierra era utilizar siempre el mismo suelo, en la práctica esto es casi imposible, pues se deberían desenterrar y volver a plantar las cosechas varias veces.[1] Por otra parte, aunque sí se pudiera hacer esto último, las condiciones meteorológicas serían otro factor indeseable. Para evitar esto, por ejemplo en un caso en que se tuviese un campo cuadrado dividido en 16 parcelas, se
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puede concebir un cuadrado latino en que la descripción del campo sea tal que la calidad del suelo varíe «vertical» y «horizontalmente». Entonces se aplican al azar los 4 fertilizantes («a», «b», «c», y «d») con la única condición de que cada fertilizante aparece una sola vez en cada fila y en cada columna. De esta manera se busca eliminar la variación de la calidad de tierra. Si hubiese otro factor que pudiese influir en el rendimiento, por ejemplo, el momento del día (A, B, C, D) en que se aplica el tratamiento, entonces puede utilizarse un cuadrado latino ortogonal al anterior donde se identifiquen dichos momentos del día. De esta manera cada pareja momento-fertilizante se aplicará en una única parcela.[1] Así, un plan podría ser :[1] plan, MOMENTO a, A b, B c, C d, D b, C a, D d, A c, B c, D d, C a, B b, A d, B c, A b, D a, C
Cuadrados latinos y rompecabezas matemáticos El popular rompecabezas Sudoku es un caso especial de cuadrado latino; toda solución de un Sudoku es un cuadrado latino. Un Sudoku impone una restricción adicional a los subgrupos de 3×3, estos sólo deben contener los dígitos del 1 al 9 (en la versión estándar). El rompecabezas conocido como Diamante 16 (Diamond 16 Puzzle) ilustra un concepto generalizado de la ortogonalidad de los cuadrados latinos: el cuadrado ortogonal ([1], 1976) o "Matrices ortogonales"-- ortogonal en el sentido combinatorio y no en un sentido algebraico-lineal ( A. E. Brouwer , 1991). Para una comparación con la geometría finita, véase Geometría del cuadrado latino (en inglés).
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2. CUADRADO GRECO-LATINO Un cuadrado greco-latino, cuadrado de Euler o cuadrados latinos ortogonales de orden n se denomina, en matemáticas, a la disposición en una cuadrícula cuadradan×n de los elementos de dos conjuntos S y T , ambos con n elementos, cada celda conteniendo un par ordenado (s, t ), siendo s elemento de S y t de T , de forma que cada elemento de S y cada elemento de T aparezca exactamente una vez en cada fila y en cada columna y que no haya dos celdas conteniendo el mismo par ordenado. La disposición exclusivamente de los caracteres latinos o de los griegos forma un cuadrado latino. Un cuadrado greco-latino por lo tanto, se puede descomponer en dos cuadrados latinos "ortogonales”. Ortogonalidad aquí significa que cada uno de los pares (s, t ) del producto cartesiano S×T aparece exactamente una vez.
Historia Los cuadrados latinos ortogonales eran bien conocidos antes de Euler. Según lo descrito por Donald Knuth en el Volumen 4 de El Arte de Programar Computadoras, la construcción del conjunto 4x4 fue publicado por Jacques Ozanam en 1725 (en Récréations mathématiques et physiques) )en forma de solitario de cartas. El problema consistía en colocar los ases, reyes, reinas y jotas de una baraja de cartas estándar, en una rejilla de 4x4 de modo que en cada fila y cada columna aparecen los cuatro palos y las cuatro figuras. Este problema tiene varias soluciones. Una variante común a este problema era establecer la restricción adicional de que no se repitiese ningún palo, ni ninguna figura en las diagonales principales. Según lo descrito por Martin Gardner en Entrenamiento de Gardner [1] y en Nuevos pasatiempos matemáticos [2] el número de soluciones diferentes a este problema se estimó incorrectamente por Rouse Ball en 72, (sin contar giros, ni simetrías) y el error se mantuvo durante muchos años antes de que se demostrara por Kathleen Ollerenshaw que el número de soluciones era de 144.
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Cada una de las 144 soluciones tiene 8 reflexiones y rotaciones, lo que da un total de 1.152 soluciones. Las 144x8 soluciones se pueden clasificar en las dos clases siguientes:
Solución
Forma Normal
Solución #1
A ♠ K ♥ Q ♦ J ♣ Q ♣ J ♦ A ♥ K ♠ J ♥ Q ♠ K ♣ A ♦ K♦ A♣ J♠ Q♥
Solución #2
A ♠ K ♥ Q ♦ J ♣ J ♦ Q ♣ K ♠ A ♥ K ♣ A ♦ J ♥ Q ♠ Q♥ J♠ A♣ K♦
Para cada una de las dos soluciones, se pueden obtener 576 (24 × 24) soluciones permutando los cuatro palos y los cuatro valores de forma independiente. No permutación convertirá las dos soluciones en los demás El conjunto completo de soluciones se puede comprobar mediante el siguiente esquema: 1. Sin pérdida de generalidad, vamos a elegir la carta A ♠ en la esquina superior izquierda. 2. Ahora, en la segunda fila, las dos primeras casillas no pueden ser ni as, ni picas, debido a que se repetirían en la misma columna o diagonal. Por lo tanto, en una de las otras dos casillas debe ser haber un as, y en la otra una pica, ya que la carta A ♠ tampoco se puede repetir. 3. Si optamos por la celda de la segunda fila, tercera columna para el as, y se propagan las restricciones, tendremos la 1ª solución de las de arriba, salvo permutación de los palos y valores. 4. Por el contrario, si elegimos la celda (2,3) para la pica, y se propagan las restricciones, obtendremos la 2ª solución, salvo permutación de los palos y valores. 5. Dado que no existen otras posibilidades para la celda (2,3), el conjunto de soluciones es completo.
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Conjetura de Euler Los cuadrados latinos ortogonales fueron estudiados en detalle por Leonhard Euler , que tomó para el primer conjunto S = { A, B, C , …}, las primeras n mayúsculas del alfabeto latino, y para el segundo conjunto T = {α , β, γ, …},las primeras letras n minúsculas del alfabeto griego, de ahí el nombre cuadrados greco-latinos. En la década de 1780, Euler demostró métodos para construir cuadrados greco-latino, donde n es impar o un múltiplo de 4. Al observar que no es posible construir cuadrados de orden 2 e incapaz de construir un cuadrado de orden 6 (ver problema de los treinta y seis oficiales), conjeturó que no existen cuadrados grecolatinos para ningún número n ≡ 2 (mod 4) o dicho de otra forma que n sea impar de clase par (múltiplo de 2 que no es múltiplo de 4). La inexistencia de cuadrados de orden 6 fue confirmado definitivamente en 1901 por Gaston Tarry [3] [4] a través de la enumeración exhaustiva de todas las posibles combinaciones de símbolos. Sin embargo, la solución a la conjetura de Euler estuvo sin resolverse durante mucho tiempo. Contraejemplos a la conjetura de Euler En 1959, R.C. Bose y S. S. Shrikhande construyeron algunos contraejemplos de orden 22 siguiendo puntos de vista matemáticos. Poco más tarde E. T. Parker encontró un contraejemplo del orden 10 utilizando en la búsqueda un UNIVAC (lo que hace que sea uno de los primeros problemas de combinatoria resueltos con una computadora digital). En 1960, Parker, Bose, y Shrikhande [2] (conocidos como los aguafiestas de Euler) demostraron que la conjetura de Euler es falsa para todo n ≥ 10. Por lo tanto, existen cuadrados greco-latinos de lado n para todos los n ≥ 3, excepto n = 6.
Dos cualesquiera de los siguientes: texto, color de primer plano, color de fondo y tipo de letra forman un par de cuadrados latinos ortogonales:
Fiordo
Jawbox
flemas
cueros
dorado
Dorado
Fiordo
jawbox
flemas
cueros
Cueros
Dorado
fiordo
jawbox
flemas
8
Flemas
Cueros
dorado
fiordo
jawbox
Jawbox
Flemas
cueros
dorado
fiordo
Aplicaciones Los cuadrados greco-latinos se utilizan en el diseño de experimentos, la programación de torneos y la construcción de cuadrados mágicos. El escritor francés Georges Perec estructuró en 1978 su novela La vida: instrucciones de uso en torno a un cuadrado ortogonal de 10 x 10. Cuadrados latinos mutuamente ortogonales
Los cuadrados latinos ortogonales entre sí, surgen en varios problemas. Un conjunto de cuadrados latinos, se llaman mutuamente ortogonales, si para cada par de ellos son ortogonales entre sí. El cuadro anterior muestra cuatro cuadrados latinos mutuamente ortogonales de orden 5, que representan, respectivamente:
El texto: fiordo, Jawbox, flemas, cueros, dorado El color de las letras: blanco, rojo, lima, azul y amarillo El color del fondo: negro, azul marrón, azul marino y plateado El tipo de letra: con remates (Georgia / Times Roman), palo seco (Verdana / Helvetica), monoespaciado (Courier New), cursiva (Comic Sans), y de fantasía(Impact).
Número de cuadrados latinos mutuamente ortogonales El número de cuadrados latinos mutuamente ortogonales que puedan existir para un determinado orden n no es conocido para cualquier n, y es un área de investigación en la combinatoria. Se sabe que el número de cuadrados latinos mutuamente ortogonales no puede exceder de (n-1) y este límite superior se alcanza cuando n es una potencia de un número primo. El mínimo es conocido por ser 2 para todo n excepto para n = 1, 2 y 6, donde 1. En general el número máximo es desconocido para los números compuestos. Los primeros valores a partir de n = 2, 3, 4 [...], 9 son 1, 2, 3, 4, 1, 6, 7, 8, (secuencia A001438 in OEIS). (Sucesión A001438 en OEIS) Se denomina familia completa al conjunto formado por n-1 cuadrados latinos de orden n mutuamente ortogonales. Cuando existe familia completa para un determinado orden n entonces es posible construir un plano proyectivo finito de
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orden n y recíprocamente si es posible construir un plano proyectivo finito de orden n entonces es posible construir una familia completa de cuadrados latinos mutuamente ortogonales de orden n.[2]
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