Cuadrado mágico Un cuadrado mágico es una tabla tabla de de grado primario donde se dispone de una serie de números enteros en enteros en un cuadrado o matriz o matriz de de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales principales sea la misma, la constante mágica. Usualmente los números empleados empleados para rellenar rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico.
que, sin repetirse ninguno, las sumas de las series son la constante mágica. Si en vez de la disposición anterior colocamos los números consecutivamente, obtenemos una disposición en la que los números de la diagonal principal se pueden escribir de la forma ( a 1)×n + a. −
Calculando la suma, sabiendo que las filas a van de 1 a n:
∑
n a
=1 (a
(n + 1)
Los cuadrados mágicos actualmente no tienen ninguna aplicación técnica conocida que se beneficien de estas características, por lo que sigue recluido al divertimento, curiosidad curiosidad y al pensamiento matemático. Aparte de esto, en las llamadas ciencias ocultas y más concretamente en la magia la magia tienen tienen un lugar destacado. destacado.
n
−
1) n + a = (n + 1)
(1+n) 2
2 − n
=
3
n
∑
n
a a=1
+2n2 +n−2n2 2
−
=
∑
(
n
=1 n +1) 2 a
=
2
n n
De nuevo la constante mágica. Más aún, cualquier serie de seis valores en los que no haya dos de la misma fila o columna sumará la constante mágica. Escribiendo Escribiendo el término i , j de la matriz como ( i 1)×n + j , y tomando 6 términos cualesquiera con la condición de que ni i , ni j se se repitan y varíen de 1 hasta n, la ecuación resultante será exactamente la misma que en el caso anterior y la suma, por tanto, la constante mágica. −
1 Intr Introd oduc ucci ción ón
Como se puede demostrar, la cantidad de series posibles posibles Consideremos Consideremos la sucesi sucesión ón matemátic matemáticaa 1,2,3,4...36(cua- de n números que cumplan la condición anterior es n !, drado de orden 6), y dispongamos los números ordenada- 720 en cuadrados de orden 6, y ni siquiera son todas las mente en dos series dispuestas dispuestas en zig-zag: posibles, posibles, ya que antes habíamos obtenido seis que no están incluidas entre ellas. Resulta evidente que cualquier par de números alineados verticalmente suma lo mismo ya que a medida que nos De orden orden 3 exis existe te un único único cuadr cuadrad adoo mágic mágicoo (las (las distin distintas tas desp desplaz lazamo amoss por las colu columna mnas, s, en la fila supe superio riorr se añade añade variaciones se pueden obtener por rotación o reflexión), una unidad, mientras que en la fila inferior se resta. La en 1693 en 1693 Bernard Frenicle de Bessy estableció que hay suma es en todos los casos la de los números extremos: extremos: 880 clases de cuadrados mágicos de orden 4. [1][2] Posteriorme riormente nte se ha enco encontr ntrado ado que que exis existen ten 275.30 275.305.2 5.224 24 cuacuadrados mágicos de orden 5; el número de cuadrados de 2 n + 1 = 36 + 1 = 37 mayor orden se desconoce aún pero según estimaciones de Klaus de Klaus Pinn y C. Wieczerkowski realizadas en 1998 Si disponemos el conjunto de números en seis filas ( ver mediante los métodos de Montecarlo de Montecarlo y y de mecánica de mecánica establa a la derecha ), fácilmente fácilmente se puede apreciar que las tadística tadística existen existen (1,7745 ± 0,0016) × 10 19 cuadrados de sumas en las distintas columnas han de ser necesariamen- orden 6 y (3,7982 ± 0,0004) × 10 34 cuadrados de orden te iguales, ya que los números se encuentran agrupados 7. por pares tal y como estaban en el primer caso (compáreórdenes inferiores, inferiores, es evidente evidente que se los pares de filas 1ª 6ª, 2ª 5ª y 3ª 4ª con la disposi- Por lo que respecta a órdenes de orden uno existe un único cuadrado mágico, 1 , miención original). Ahora sin embargo, por ser tres los pares tras que de orden 2 no existe ninguno, lo que se puede de filas (n/2), la suma será: demostrar considerando el cuadrado mágico a, b, c , d de de la figura; para que tal disposición fuera fuera un cuadrado mán(n2 + 1) gico deberían cumplirse las siguientes ecuaciones (siendo M 2 (n) = M la la constante mágica o cualquier cantidad, si se quiere): 2 cantidad que se denomina constante mágica, y que en escribiendo el sistema el sistema de ecuaciones en ecuaciones en forma matricial y nuestro caso es n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111. buscando el orden de la matriz de coeficientes, se obtiene Salta a la vista que el cuadro anterior no es un cuadra- que es tres, mientras que el número de incógnitas es cuado mágico, ya que al disponerse los números de forma tro, de modo que el sistema solo tiene la solución trivial a = d = = M /2 /2 siendo siendo imposibl imposiblee construi construirr un cuadrado cuadrado consecutiva, las sumas de las cifras de cada fila son ca- = b = c = mágico en el que las cuatros cifras cif ras sean distintas. da vez mayores. Sin embargo hemos encontrado seis series de números comprendidos comprendidos entre 1 y 36, de forma tal −
−
−
1
2
2 HISTORIA
Resumiendo: la cantidad de diferentes n×n cuadrados a Júpiter, el de 5 (65) a Marte, el del 6 (111) al Sol, el mágicos para n entre 1 y 5, sin contar rotaciones y re- del 7 (175) a Venus, el del 8 (260) a Mercurio y el de 9 (369) a la Luna; idéntica atribución puede encontrarse en flexiones, son: la astrología hindú. 1, 0, 1, 880, 275305224 (sucesión A006052 en La introducción de los cuadrados mágicos en occidenOEIS). te se atribuye a Emanuel Moschopoulos en torno al siglo XIV, autor de un manuscrito en el que por vez primera Para s = 6 se ha estimado que hay aproximadamente se explican algunos métodos para construirlos. Con posterioridad, el estudio de sus propiedades, ya con carácter 1.7745×1019 . científico, atrajo la atención de grandes matemáticos que dedicaron al asunto obras diversas a pesar de la manifiesta inutilidad práctica de los cuadrados mágicos. Entre ellos cabe citar a Stifel, Fermat, Pascal, Leibnitz, Frénicle, Bachet, La Hire, Saurin, Euler,... diríase que ningún matemático ilustre ha podido escapar a su hechizo.
The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei) . Compilado por Bao Yunlong en el siglo XIII, edición de la Dinastía Ming, 1457-1463. Biblioteca del Congreso de los EE.UU.
2 Historia Muchos de los aspectos históricos de los cuadrados mágicos no se conservan. Y al ser comprobables, estos aspectos resultan innecesarios. El cuadro Melancolía I 1514 de Alberto Durero, sigue existiendo, lo mismo que el edificio de la Sagrada Familia.
Melancolía I , grabado de Alberto Durero; el cuadrado mágico
En la antigua China ya se conocían los cuadrados mági- aparece en la esquina superior derecha. cos desde el III milenio a. C., como dice el Lo Shu.[2] Según la leyenda, un cierto día se produjo el desbordamiento de un río; la gente, temerosa, intentó hacer una ofrenda al dios del río Lo (uno de los desbordados) para 2.1 El cuadrado mágico de Durero calmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacían, apaEl cuadrado márecía una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla, gico de Alberto hasta que un chico se dio cuenta de las peculiares marcas Durero, talladel caparazón de la tortuga, de este modo pudieron incluir do en su obra en su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el dios Melancolía I está satisfecho y volviendo las aguas a su cauce. considerado el Igualmente conocieron combinaciones de esta clase los indios, egipcios, árabes y griegos. A tales cuadrados, las diferentes culturas les han atribuido propiedades astrológicas y adivinatorias portentosas grabándose con frecuencia en talismanes. Así, como recoge Cornelius Agrippa en De oculta philosophia libri tres (1533), el cuadrado de orden 3 (15) estaba consagrado a Saturno, el de 4 (34)
primero de las artes europeas. En el cuadrado de orden cuatro se obtiene la constante mágica (34) en
3 filas, columnas, diagonales principales, y en las cuatro submatrices de orden 2 en las que puede dividirse el cuadrado, sumando los números de las esquinas, los cuatro números centrales, los dos números centrales de las filas (o columnas) primera y última, etc. y siendo las dos cifras centrales de la última fila 1514 el año de ejecución de la obra.
cuadrado mágico de Melancolía, pero dos de los números del cuadrado (el 12 y el 16) están disminuidos en dos unidades (10 y 14) con lo que aparecen repeticiones. Esto permite rebajar la constante mágica en 1.
3 Construcción de cuadrados mágicos Hay numerosas formas de construir cuadrados mágicos, pero las más sencillas consisten en seguir ciertas configuraciones o fórmulas que generan patrones regulares. Además pueden imponerse condiciones adicionales al cuadrado, obteniéndose cuadrados bi-mágicos, tri-mágicos, etc. Análogamente pueden construirse círculos, polígonos y cubos mágicos. No existe un método general para construir cuadrados mágicos de cualquier orden, siendo necesario distinguir entre los de orden impar, los de orden múltiplo de 4 y el resto de orden par (4× m + 2).
3.1 Cuadrados mágicos de orden impar (I) Algunas disposiciones particulares en el cuadrado mágico de Durero que suman la constante mágica.
Estos cuadrados pueden generarse según el método publicado en 1691 por Simón de la Loubere, llamado a veces método siamés , país en el que desempeñó el cargo de embajador de Luis XIV, método ya conocido por los astrólogos orientales. Comenzando en la casilla central de la primera fila con el primer número, se rellena la diagonal quebrada con los siguientes en sentido NO (ó NE). Completada la primera diagonal se desciende una posición y se rellena la segunda en el mismo sentido que la anterior, repitiéndose el paso anterior con el resto de diagonales hasta completar el cuadrado.
Fachada de la Sagrada Familia
2.2 El cuadrado mágico de la Sagrada Familia La Fachada de la Pasión del Templo Expiatorio de la Sagrada Familia en Barcelona, diseñada por el escultor Josep María Subirachs, muestra un cuadrado mágico de orden 4. Obviamente, se podría haber comenzado en cualquiera La constante mágica del cuadrado es 33, la edad de de las casillas centrales de las filas o columnas perimeJesucristo en la Pasión. También se ha atribuido la elec- trales, siendo en cada caso la dirección de las diagonales ción de este número como una velada alusión a la supues- hacia fuera del cuadrado y el sentido del desplazamiento ta adscripción masónica, que nunca ha sido demostrada, una vez finalizada cada diagonal el dado por la posición de Antonio Gaudí, ya que 33 son los grados tradiciona- relativa del centro del cuadrado respecto de la casilla iniles de la masonería. Estructuralmente, es muy similar al cial.
4
3 CONSTRUCCIÓN DE CUADRADOS MÁGICOS
Resulta evidente que comenzando por cualquier otra ca- centro del cuadrado, o si se prefiere se recolocan en orden silla las sumas de las filas y columnas será la constante decreciente (en ambos casos el resultado es el mismo). mágica, ya que la posición relativa de las cifras será la misma que en el caso anterior; sin embargo, en la diagonal paralela a la dirección de rellenado no se cumplirá esta condición (sí en la otra). De hecho, la particular elección de la casilla inicial responde a la necesidad de que en la diagonal paralela a la dirección de llenado se coloquen consecutivamente los cinco números centrales de la serie ya que cualesquiera otros cinco números consecutivos no sumarán la constante mágica. 3.1.1 Algoritmo simple en python.
def magico_impar (n): # Método Siamés -- 1691 Simón de la Loubere i = 0 j = n/3 contador = 1 arreglo = [0]*n for y in range(n): arreglo[y] = [0]*n arreglo[i][j] = 1 x = (n*n) while(contador < x): if((i-1)>=0): if((j+1)<(n)): if(arreglo[i-1][j+1]==0): i -= 1 j += 1 contador += 1 arreglo[i][j] = contador else: i += 1 contador += 1 arreglo[i][j] = contador else: if(arreglo[i-1][0]==0): i -= 1 j = 0 contador += 1 arreglo[i][j] = contador else: i += 1 contador += 1 arreglo[i][j] = contador else: if(((j+1)<(n))): if (arreglo[n-1][j+1]==0): i = n-1 j += 1 contador += 1 arreglo[i][j] = contador else: i += 1 contador += 1 arreglo[i][j] = contador else: i += 1 contador += 1 arreglo[i][j] = contador echo: i -=2 contador -=3 destroyer[i][j] = contador for p in arreglo: print p return arreglo
Partiendo de la misma disposición y escogiendo patrones simétricos similares de las cifras a conservar pueden construirse cuadrados mágicos diferentes al obtenido antes, como el siguiente:
3.2 Cuadrados mágicos de orden impar (II) Paso 1: Se escriben los números del 1 al n². Se escribe el
1 en la casilla superior del rombo y se seguirá de forma oblicua como se ve en este ejemplo. El cuadrado mágico será un cuadrado inscrito en el rombo que hemos forma3.4 do. Paso 2: Trasladamos los números de las esquinas del
rombo a las casillas vacías que hay en el lado opuesto del cuadrado. Paso 3: Quitamos las esquinas del rombo: ya tenemos un
cuadrado mágico de orden impar.
3.3
Cuadrados mágicos de orden múltiplo de 4 más 2
Para construir esta clase de cuadrados se puede usar el método LUX. En parte se basa en el método de la Loubere, que se usa en la construcción de cuadrados mágicos de orden impar (ver más arriba).
Como ejemplo, vamos a construir un cuadrado mágico de Cuadrados mágicos de orden múltiplo lado 10.
de 4 Se construye un cuadrado con los números dispuestos consecutivamente (véase el segundo cuadrado de orden seis de la introducción), disposición en la que como sabemos, las sumas de las diagonales son la constante mágica. Una vez hecho esto, y conservando la submatriz central de orden n /2 y las cuatro submatrices de esquina de orden n/4 los números restantes se giran 180º respecto del
1º paso:
Vamos a agrupar las casillas en subcuadrados de 2x2, y cada uno de ellos lo etiquetaremos de la siguiente forma: - Los cuadrados de las k+1 primeras filas, donde k es la división entera del tamaño del cuadrado entre cuatro, se etiquetan con la letra L (3 filas en este caso). - Los cuadrados de la siguiente fila se etiquetan con la letra U.
5 - Los cuadrados de las filas restantes se etiquetan con la letra X.
Algunos cuadrados conservan la suma mágica a lo largo de todas las diagonales quebradas, además de filas, coEstas letras más adelante nos indicarán cómo rellenar ca- lumnas y diagonales principales, como el de la derecha. Estas disposiciones se suelen denominar cuadrados diada subcuadrado de 2x2. bólicos, aunque también se llama a veces así al cuadra2º paso: do de Durero que no cumple esta condición. Este último Se intercambia el cuadrado U central con el cuadrado L también se ha llamado a veces cuadrado satánico porque existen muchas combinaciones, ciertamente peculiainmediatamente superior. res, de números simétricamente distribuidos a lo largo de 3º paso: la matriz con los que se consigue la suma mágica, como Etiquetaremos cada subcuadrado de 2x2 con un número ya mostramos con anterioridad cuando hablamos de él. siguiendo el método de la Loubere. De esta forma indi- Al respecto cabe recordar que el número de combinaciocaremos el orden en el que se va a rellenar cada subcua- nes de n cifras, tomadas de la serie aritmética 1 a n×n, es incluso superior al de cuadrados que se pueden construir drado. con dichas cifras, por lo que encontrar disposiciones apa4º paso: rentemente peculiares tales que se obtenga la suma máAhora, al subcuadrado i-ésimo le corresponden los núme- gica es más común de lo que se cree. Si nos fijamos por ros 4i - 3, 4i - 2, 4i - 1 y 4i. Por ejemplo, al subcuadrado ejemplo en el cuadrado diabólico de la figura, veremos 10 le corresponden los números 37, 38, 39, y 40. que tales disposiciones también suman 34 (las cuatro esSolo nos falta saber cómo se colocan los cuatro números quinas y las cuatro centrales, las cuatro submatrices de dentro de su subcuadrado correspondiente, y ahí entra en orden cuatro, etc., y, además, las diagonales quebradas. Aunque en él no aparece la fecha de creación de Melanjuego el etiquetado LUX. colía I como sucedía en el cuadrado mágico de Durero, en el que existen más de 34 combinaciones). Subcuadrado tipo L Si entendemos los cuadrados mágicos como matrices, con sus operaciones usuales de suma y producto, el cuaSubcuadrado tipo U drado mágico de orden 3 tiene la interesante propiedad de que su matriz inversa vuelve a ser un cuadrado mágiSubcuadrado tipo X co que tiene valores fraccionarios positivos y negativos y cuya constante mágica es 1/15. Como puede verse, las letras recuerdan a la forma que Este es el cuadrado mágico de orden 3 habitual... hacen los números al colocarse en cada cuadrado. ...y este es su cuadrado mágico inverso. Con todos estos elementos ya puede construirse el cuaLos cuadrados p-mágicos son aquellos tales que elevadrado: das todas las cifras del cuadrado a la k potencia, siendo 1≤k ≤ p, siguen siendo mágicos:
4 Variantes
•
Existen multitud de variantes de los cuadrados mágicos simples que acabamos de describir, así como métodos alternativos de construcción de los mismos que pueden encontrarse en las páginas abajo indicadas, de modo que aquí nos limitaremos a hacer una breve descripción de algunas de la variantes existentes. Hay, por ejemplo, cuadrados mágicos que continúan siendo mágicos cuando se les quita una banda exterior; incluso los hay que continúan siendo mágicos si se les quita una banda y luego una segunda banda. El cuadrado completo de la figura, de orden 7, tiene por constante mágica 175 (los cuarenta y nueve primeros números); el cuadrado interior de orden 5 que comprende los números centrales de la serie anterior (13 a 37), también es mágico y tiene por constante mágica 125, al igual que el cuadrado de orden tres central (números 21 a 29) que tiene una constante mágica de 75.
•
•
El cuadrado bi-mágico menor conocido es el de orden 8 mostrado más adelante y que tiene por constantes mágicas 260 (k=1) y 11180 (k=2). Se conjetura que no existen cuadrados bi-mágicos de orden inferior, aunque no existe prueba concluyente de ello. En 1998, J. R. Hendricks demostró que es imposible construir cuadrados bi-mágicos de orden 3, salvo el que contiene 9 cifras iguales, que de mágico tiene más bien poco. Se han construido cuadrados tri-mágicos de órdenes 12, 32, 64, 81 y 128; el único de orden 12 fue construido por el matemático alemán Walter Trump en junio de 2002. El primer cuadrado tetra-mágico, de orden 64 , lo obtuvo Andrés González, en junio de 1998, usando números del 1 al 4096 sin repetir ninguno de ellos. Puede segregarse en 64 tableros de ajedrez y siempre sumaría igual, indistintamende de la posición en
6
5 CUADRADOS MÁGICOS ESOTÉRICOS
las que resulten las filas norte, sur, este y oeste. Según González, en esta obra no se usó ningún ordenador para cuadrarlo. El cuadro se encuentra registrado en el Archivo Internacional Central de Objetos de Arte.
5.1 El uso e importancia en la magia
Los cuadrados mágicos, se conocen desde la antigüedad y han sido empleados siempre en rituales de magia. Para el mago, los cuadrados mágicos expresan en diferentes planos, manifestaciones de la realidad espiritual, un conocimiento directamente aplicable en diversas formas. Las El primer cuadrado tetra-mágico, de orden 512, fue más frecuentes son: obtenido por André Viricel y Christian Boyer en mayo de 2001; en junio del mismo año presentaron Valores numéricos obtenidos por diversas fórmuel primer cuadrado penta-mágico, de orden 1024. las, que pueden utilizarse para conocer cantidades Ya en 2003, presentaron un cuadrado tetra-mágico y proporciones exactas para determinadas operaciode orden 256 y el matemático chino Li Wen uno nes (por lo general deben cumplir ciertas normas). penta-mágico de orden 729. Signos que resultan de unir con líneas números concretos de un cuadrado mágico concreto. Tales signos Pueden construirse cuadrados mágicos con números exse conocen como firmas y refieren a atributos (cualitraídos de cualquier sucesión aritmética independientedades) de la potencia a invocar. Dichos signos deben mente del número inicial y de la razón de la serie. Siendo ser revelados por la entidad a la que el cuadrado esa0 el primer término y r la razón, fácilmente se demuestra tá destinado. Para usarlos luego, basta trazarlas con que la constante mágica será en este caso: una tinta especial sobre casi cualquier superficie y realizar un sencillo ritual para solicitar sus atributos. n[2a + ( n2 1)r] •
•
•
M 2 (n)
=
−
0
2
•
El propio cuadrado mágico esotérico, grabado o realizado con materiales y fórmulas precisas y luego consagrados en un ritual (que consiste básicamente en oraciones), puede luego ser llevado consigo como talismán.
Análogamente, se pueden construir cuadrados mágicos a partir de sucesiones geométricas, en cuyo caso serán los productos los que den por resultado la constante mágica. Estos pueden construirse con las reglas dadas para los cuadrados aritméticos, sin más que sustituir el término de la serie geométrica en la posición indicada por la corres- Por un lado se considera que cada ángel y demonio (en general denominados inteligencias, sin entrar en jepondiente de la serie aritmética: rarquías) está en sintonía (influencia) con un cuadraLa constante mágica es en el caso general do determinado, algo así a lo que hoy entendemos por resonancia. Por otro el trazo de líneas seguidas que resulta de recorrer en el orden correcto de los valores, así 2 ( 1) como otros órdenes más complejos, describen símbolos ) M 2 (n) = ( a0 r (firmas) asociados a entidades espirituales, donde en el cuya similitud con la ya obtenida para las series aritméti- ritual correcto, dibujar el signo con la tinta elaborada exprofeso de forma precisa, equivale a invocar al espíritu cas es palpable. al que se hace referencia (llamándolo por su nombre), y También se han construido cuadrados mágicos con series donde el espíritu evocado está obligado a comparecer y/o de números primos consecutivos, o con las cifras decima- a cumplir las virtudes asociadas al signo trazado. les de los recíprocos de la serie aritmética de los números naturales. ∗
2
n
−
n
2
Por último señalaremos la existencia de disposiciones mágicas n-dimensionales; así, con la serie 1 - n³ pueden construirse cubos mágicos, y en general, con la serie 1 - nr cuadrados mágicos r-dimensionales de orden n, con sus respectivas variantes multi-mágicas y cuya visualización no es inmediata, aunque pueden tratarse cómodamente mediante el empleo de computadoras.
5 Cuadrados mágicos esotéricos
5.1.1 Invocar entidades con ayuda de los signos del cuadrado mágico
En magia, invocar a una entidad por su nombre solo es posible si se conoce previamente su nombre y se pronuncia correctamente, lo que de alguna manera entraña ciertos riesgos. Con la multiplicidad de idiomas surge ese problema y por tanto la pronunciación correcta dejaría inutilizado todo conocimiento previo, si no se ha trasmitido con el mismo la correcta pronunciación de los nombres.
Por ello, la ventaja del procedimiento de los trazos del cuadrado mágico, lo hace universal. Aún desconociendo Para elmago, un cuadrado mágico es mucho másque para el nombre de un espíritu, utilizando correctamente el moun matemático la tabla de logaritmos. delo del trazo se efectúa la invocación de losespíritus. Los
5.2 Descripción de propiedades de los cuadrados mágicos esotéricos
7
cuadrados mágicos son empleados para establecer un llamamiento correcto a una entidad espiritual, marcando los trazos que dicha entidad tenga establecido para sí. Una vez comparezca la entidad puede reclamársele que exprese su nombre e incluso que le enseñe otros atributos que el mago desconoce sobre dicha entidad.
principal de evocación, donde se remplaza la exigencia de comparecencia por la petición de lo que se desea en forma de oración, tanto en una como en otra se alaban las virtudes del ente y la confianza ciega de que cumplirá lo pedido, pactado o prometido. El ritual siempre conlleva medidas de protección contra inteligencias hostiles a la Hay dos acciones que en magia se distinguen claramente raza humana. aunque coloquialmente suelen usarse indistintamente, es Los magos siempre han insistido sobre los aspirantes en preciso diferenciarlas: la importancia de no intentar hacer uso de ellos, sin un conocimiento profundo teórico antes de pasar al prácti Evocar: Es solicitar la presencia de una entidad, para co, bajo la pena de sufrir en su propia carne tormentos que comparezca ante el mago. Allí donde está elma- indescriptibles. go una entidad hace manifiesta su presencia mediante sonidos, luces y sombras o formas más o menos 5.1.2 Duración de los efectos corpóreas así como olores y sonidos bastante indescriptibles algunos. El cuadrado mágico, los signos derivados, etc... carecen •
•
Invocar: Es solicitar que se cumpla una petición. La entidad no hace acto de comparecer, aunque el mago puede recibir impresiones internas de su manifestación. dichas manifestaciones en cambio no tienen por qué recibirlas otros asistentes en caso de haberlos.
de toda utilidad si el mago no lo fabrica siguiendo ciertas reglas sobre materiales a usar, aspectos zodiacales relativos a iniciar su elaboración, etc... así como sin los rituales finales de consagración y uso.
Cuando se porta un cuadrado mágico como talismán basta el ritual de consagración, los signos en cambio requieren un ritual de uso, ya que solo sirven para el uso a que También son usados sin requerir la presencia de las en- se haya declarado y solo para esa vez. El tiempo que detidades referenciadas, mediante peticiones por escrito, si ba durar su efecto depende del uso a que se destina, por ya se conoce el efecto de los signos, en tal caso, basta tra- ejemplo si se reclama la comparecencia de un espíritu su zar el signo y hacer uso de las oraciones pertinentes. Tam- duración es efimera, dura por tanto hasta que se despida bién, cuando no se quieran usar signos o no se conozcan a la entidad, en cambio si se usa por ejemplo para hacer de modo más general, puede trazarse completamente el crecer una planta, su efecto se prolonga algunos meses en cuadrado que corresponda a la entidad que se quiera in- el tiempo. vocar, junto a alguno de sus nombres este es el caso de En general para efectos de larga duración se emplea el los llamados amuletos y talismanes. cuadrado mágico entero como talismán. Y para efectos Cuando se evoca o invoca a una entidad, puede hacerse inmediatos, suelen usarse los signos que se trazan sobre uso de las propiedades (o poderes) que el ente espiritual el cuadrado mágico. La evocación es más potente que la tiene asignados. Partiendo del cuadrado mágico del que le invocación pero también entraña elevados riesgos para el es asociado, existen diferentes trazos que invocan a cada mago, especialmente para el aspirante a mago que puede uno de sus poderes (atributos), y que recuerdan más a dejarse fácilmente impresionar y sucumbir a las exigencualquier fórmula de oración propia de otras tradiciones cias de la entidad, especialmente si la entidad que comparece es hostil a la raza humana o una entidad se hace o religiones. pasar por otra y el mago o el aspirante a mago no toma Es común que una entidad tenga más de 1 nombre, ya que las medidas necesarias. cada nombre suele hacer referencia a uno de susatributos. En la alta magia, la primera operación cuando una entidad concurre a la llamada es pedir que descubra al mago los diferentes trazos que le son propios, para que este con posterioridad pueda invocar sus poderes. Una vez conocidos estos, el mago tiene la obligación de guardar celosamente los mismos, cuidando que no caigan en manos afrentosas y a menudo el propio mago se cuida de alterarlos a voluntad (cifrarlos diríamos hoy) para que en tal circunstancia no puedan ser usados sin un conocimiento profundo tanto del trazo como de lo que suponen tales potencias.
5.2 Descripción de propiedades de los cuadrados mágicos esotéricos Nota: para apreciar las comparaciones, para los cuadrados mágicos esotéricos, se ha tomado otros colores, diferentes a los empleados hasta aquí.
Un cuadrado mágico esotérico, utiliza criterios más restrictivos en cuanto a condicionantes para ser tenido por un cuadrado mágico, tanto es así, que solo existe uno por cada n. A fin de reconocer cuáles son esotéricos y cuáles Los rituales para invocar la ejecución de los poderes son no (o siendo equivalentes reducirlos a su expresión corelativamente fáciles una vez se conocen los trazos (atri- rrecta) es importante conocer las propiedades que los rebutos de la entidad), todos son una derivación del ritual lacionan e identifican.
8
5 CUADRADOS MÁGICOS ESOTÉRICOS
•
•
•
La propiedad de equivalencia establece que 2 o más cuadrados son semejantes si todas sus casillas varían en la misma proporción, el esotérico, no puede ser cualquiera, sino solo 1, tal como se expresa en su apartado, pero que puede ser reducido al cuadrado mágico esotérico equivalente.
•
También obtenemos la Cifra mágica, al multiplicar el Número base por n Cm=Nb×n (o a la inversa, obtenemos Nb, al dividir la Cifra mágica entre n Nb= Cm/n).
Y siendo Cifra mágica-2 la suma de las esquinas entonces: Cm2= r+s+t+u
La propiedad de las esquinas propone un método rápido de descartar cuadrados mágicos si no cumplen dicha propiedad, los que pasen la criba no pueden todavía ser admitidos.
Entonces Cm2, la suma de las esquinas Cm2= Cm - (Nb( n-4))
Las propiedades del centro, posicionales y diagonales tiene por objeto aprender a reconocer cuadrados mágicos esotéricos, así como a fabricarlos.
O también (partiendo de que Cm=Nb×n): Cm2= Nb×n - (Nb(n-4)). O reduciendo: Cm2= 4Cm / n.
5.2.1 Propiedad de equivalencia
Se señalan en losdibujoslascasillasde esquina, para cuadrados de n=4 y n=3
En sentido esotérico, solo se considera cuadrado mágico, a aquellos que tienen las mismas cifras que el número de casillas (que siguen la serie de números naturales desde 1 hasta n²). El cuadrado de la figura (color naranja, a la izquierda) no es un cuadrado mágico esotérico. En este caso es elresultado de un cuadrado mágico de n=3 a cuyas cifras se le ha sumado 20, comparar con el original (color naranja a la derecha) de n=3, viendo la ubicación de las cifras y su concordancia.
•
•
5.2.2 Propiedad de las esquinas •
•
En sentido esotérico, un cuadrado mágico, debe reunir unas condiciones de suma de sus esquinas (que llamamos Cifra mágica-2, o de segundo orden). Explicación de como se halla: Si llamamos Composición al sumatorio de los números que componen el cuadrado mágico: C= sum (1+2+3....), o también C= ((n²+1)×(n²/2)... ...y si llamamos Número base (Nb) a la Composición dividida entre el número de casillas que componen el cuadrado, tendremos que Nb= C / (n²). El número base también puede calcularse de la siguiente manera: Nb= (n²+1)/2 (obsérvese en la tabla adjunta más abajo la relación de sus cifras entre ambas columnas donde Nb escasi la mitad de n² ). El número base en un cuadrado mágico esotérico de n= impar siempre aparece en la casilla central, lo que en cierto modo ayuda a reconocer y rechazar de un simple vistazo los que no cumplan dicha condición. (Véase la sección propiedades posicionales más abajo para más detalles).
Podemos comprobar que en el cuadrado mágico de 4 la suma de las 4 esquinas Cm2 =Cm (Cifra mágica2= Cifra mágica).
También la suma de las cifras de las 4 casillas que forman una cruz (las que están en el medio entre dos esquinas adyacentes), suman Cm2. La particularidad de n=par_impar produce dos casos. •
• •
Se deduce que si el cuadrado tiene menos esquinas de 4, entonces dicha cifra es sumada, que si es mayor de 4 esquinas, la cifra es restada. Para el caso de 4 esquinas exactas, ni se suma ni se resta, o bien se suma y se resta, (como prefiera ser considerado).
Para el caso de n=impar: Cm2= C +R +U +Z (dibujo de la izquierda). Y para el caso de n=par las dos casillas adyacentes que forman la cruz en las mismas condiciones, solo que en este caso al ser dos grupos de 4 casillas, es dos veces CM; =2 Cm2): Cm2=(C1 +C2 +R1 +R2 + U1 +U2 +Z1 +Z2 )/2 (dibujo de la derecha).
Se muestran un cuadrado de n=3 para ejemplo de caso impar, y uno de n=6 para ejemplo de caso par. Obsérvese que del caso par, se toman las dos casillas centrales de CRUZ, razón, por la que hay que dividir luego entre dos. •
Se ha remarcado en la tabla el ejemplo mostrado sobre el cuadrado mágico con el caso de n= 7: al aplicar C=1225; Nb=25; Cm= 25×7=175; Cm2= 175(25(7-4)=100
9
5.4 Propiedades de las diagonales (diametrales)
•
•
Se puede comprobar Cm2=R+S+T+U, (las esquinas, en amarillo 22 + 4 + 46 + 28 ) = 100
de n-par sobre los de n-impar. (el mismo cuadrado rotado o reflejado, deja de ser ordenado aunque no deja de ser esotérico.
Igualmente se puede comprobar Cm2=C+R+U+Z,(los centros en cruz, en oscuro 41 + 13 + 9 + 37 ) = 100
1. n-impar: Nb ocupa la casila central. La cifra mayor está encima de la casilla central y la inferior debajo.La esquina r está ocupada por la cifra Nb-(n/2(1/2)) y la opuesta u por lacifra Nb+(n/2-(1/2)). La esquina s está ocupada por la cifra n/2+(1/2) y la casilla opuesta t, por 2×Nb- (la cifra de s), o lo que es igual, por la cifra mayor del cuadrado mágico, (n/2-(1/2)).
Es decir C+R+U+Z=R+S+T+U . •
•
Puede entenderse que el cuadrado de 1, no tiene 4 esquinas, y sin embargo su cifra mágica-2, es 4, al no poder sumar más que 1, queda fuera de ser un cuadrado mágico esotérico. El cuadrado de dos, si tiene 4 esquinas, pero su cifra mágica-2 arroja un resultado de 10, lo cual es imposible que resulte. Se explica más arriba en este artículo, el porqué un cuadrado mágico de n=2, no lo es (Cm no resulta), y aquí además porqué no es esotérico.
5.3 Propiedades del centro En un cuadrado mágico esotérico también se cumple la siguiente condición (además de todo lo anteriormente explicado): * En los casos impares: Obtenemos la Cifra Mágica-2 en los cuadrados mágicos esotéricos al multiplicar el valor central de la casilla por 4 * En el caso de los cuadrados pares: Obtenemos la Cifra Mágica-2 con la suma de sus 4 casillas centrales ( al igual que sucede con los centros en cruz explicados más arriba en que deben tomarse 2). Es decir el 'peso específico' del centro se mantiene en equilibrio. Si quisiéramos usar una fórmula general sería esta: la media de las casillas centrales * 4. Dado que los casos impares no tiene una casilla central como única, debe considerarse el menor caso que reúna esa condición, siendo siempre 4 casillas. Se puede comprobar con el ejemplo de 7 casillas de más arriba, o con el de 3, etc. 5.3.1 Propiedades posicionales
Por la que se considera a un cuadrado mágico esotérico que está ordenado cuando se cumplen además otras condicones que son ligeramente distintas en los cuadrados
Diagonales: La diagonal que va desde la esquina superior izquierda hacia la esquina inferior derecha siempre lleva sus casillas numeradas correlativamente. La otra diagonal lleva sus casillas numeradas en saltos de n comenzando justamente por (n +1)/2 1. n-par: La casilla r (la 1ª), es ocupada por la cifra n, la cifra 1 ocupa la casilla s, y la última cifra, la diagonal t, y la casila u=t+s-r.Al ser par, no existe casilla central, y por lo mismo Nb, no es entero, y no ocupa casilla. Diagonales: la 1ª diagonal lleva las casillas numeradas en saltos de n 1 empezando por n y la otra diagonal lleva las casillas numeradas en saltos de n +1 empezando por 1 y acabando en n². −
5.4 Propiedades de las diagonales (diametrales) Se verifica que la suma de dos casillas diametralmente opuestas siempre suman n² + 1. Se aplica por igual a los casos de n= impar como a los casos de n=par, siendo solo diferente, que para el caso impar el centro es una casilla y para el caso par no hay casilla definida Para no saturar su comprobación se ilustran solo cuatro ejemplos denominados a,b,c,d con su correspondiente diametralmente opuesto respecto del centro (que se ha dejado a propósito). Puede verificarse con los valores del cuadrado de la derecha. Siendo: DI= n² + 1= 7² + 1= 50 se demuestra que: para a DI= 47 + 3= 50, para b DI=42 + 8= 50, para c DI=6 + 44= 50, para d DI=31 + 19= 50...
10
5 CUADRADOS MÁGICOS ESOTÉRICOS
Puede verse entonces que la propiedad de las esquinas es una consecuencia natural derivada de esta. Esta propiedad junto con las propiedades posicionales proporcionan todas las reglas necesarias para elaborar una fórmula general con la que elaborar cuadrados mágicos esotéricos de cualquier tamaño que se aborda un poco más abajo.
5.5 Alusiones a la cábala •
Hay equivalencias entre las cifras de los cuadrados mágicos esotéricos y las letras del alfabeto hebreo, considerado por los cabalistas, de modo que solo cuando se aplica al cuadrado adecuado, puede tomarse correctamente el resultado cabalístico, siendo inexacto las conclusiones si se toma el cuadrado mágico equivocado.
Las reglas particulares, así como esta general, ha sido desconocida por muchos que a lo largo de los tiempos trataron de desentrañar sus misterios o de desenmascarar sus mentiras, es por ello que los estudios de aquellos que ignoraron tales cuestiones carecen de validez, pues la palabra tomaba el número de acuerdo a las reglas de este para interpretar la palabra, y no la palabra se convertía en número para interpretar la palabra, como tales pretendían. Así como las palabras tenían sus reglas, también las tenían los números, y era así como se convertía en sagrada su interpretación, pues no bastaba con conocer los números si no se conocían sus reglas, igual que no basta para comprender un idioma, aunque se conozcan sus letras, si se desconocen sus reglas....
•
Lista de figuras: para reconocer mejor el cambio operado en cada paso se ha despejado el cuadrado de todo lo no necesario para entender el paso, por dicha razón a cada paso no necesariamente se va acumulando los valores ya obtenidos.
5.6.1 Caso impar
Para explicar cómo elaborar un cuadrado mágico esotérico de lado impar, previamente decidimos n que para el ejemplo será 9 Siendo n=9 calculamos el nº de casillas n²=9*9=81 y a su vez calculamos NB con cualqiera de las fórmulas que se dieron anteriormente, al caso NB = (n²+1) /2=41. NB no precisa ser calculado en este instante, sin embargo sirve de verificación para constatar que se trata de un cuadrado mágico esotérico y no de otro cualquiera. •
•
Se muestra el cuadrado vacío y donde irán los valores 1, NB y n² como se indica en propiedades posicionales más arriba en el artículo. (ver figura-1 ). Se hace notar la importancia estratégica de NB , que se emplea en el paso-3 Paso 1: elaborar la diagonal principal; d / como se indica en propiedades posicionales: calculamos la primera cifra: = (n + 1) /2 = 9 +1 /2=5 primer valor por tanto 5, los siguientes serán ((nº fila-1) * n) + valor 1ª fila caso de la fila 2= ((2-1) * 9) +5=14, sucesivamente aplicando el mismo cálculo serán: 23,32,41,50,59,68 y 77 (ver figura-2).
Es de señalar que sin embargo, a pesar de lo indicado más arriba en el artículo, los mencionados como cuadrados satánicos, estrictamente en sentido esotérico, no son tenidos por tales si no tan solo el cua- En la imagen (figura-8) 1ª a la derecha de la figura 7 se drado de lado 6 esotérico, ya que la suma de sus ci- muestra un método rápido de rellenar ambas diagonales fras (Composición), suma 666. Y es en donde los sin necesidad de calcular. cabalistas buscan o debieran buscar el número de la Bestia tal como se menciona en la Biblia. Paso 2: elaborar las diagonales respecto de la principal; todas las d \ que desembocan a d / tiene valores correlativos por consiguiente, empezando por la casilla central hacia abajo serán: 42,43,44,45 5.6 Elaborar cuadrados mágicos esotéri(figura-3) y hacia arriba serán: 40,39,38,37... procos ceder igualmente desde el resto de las casillas que forman d / . Con esto ya tenemos resuelto la mitad El proceso de elaborar cuadrados mágicos esotéridel cuadrado, todas las casillas impares... (figura-4). cos se aborda en 2 fases. como se ha venido viendo Para no enturbiar la figura-4 se rellenan solo unas a los largo del artículo, los casos de n par o impar pocas casillas y se marcan los demás afectados con conllevan situaciones que requieren diferente trato. el mismo color de fondo que estos... De entrada y por abreviar acordamos llamar a cada diagonal con los siguientes símbolos: diagonal direc- Puede verse en la imagen (figura-9) (la 2ª a la derecha de ta (arriba izquierda hacia abajo derecha) con lo lla- la figura-7, más abajo), cuáles casillas son estas, tomadas maremos d \ . Diagonal inversa (arriba derecha hacia del cuadrado original del que se toman los valores, y que abajo izquierda) lo llamaremos d / al caso son correlativos. Obsérvese el giro a 45º de la •
•
•
•
11 imagen para ver la concordancia claramente. La imagen ilustra la no necesidad de calcular dichas casillas. Por ejemplo para la primera fila se ve que estas son: 37 - 29 - 21 - 13 y 5.
•
Paso 3: Desde este momento hay que considerar el cuadrado en 4 zonas, primero en 2 separadas por d / y nuevamente dividimos cada zona en 2 de acuerdo a d \ (ver figura-5 donde pintamos cada área de un color (solo las casilla que faltan por resolver)). Cada una de las 4 zonas delimitadas se resuelve con suma o resta de un valor ya existente en la casilla adhyacente operando con NB, siendo condicionado cada zona al siguiente criterio; El valor de cada casilla resulta de operar la casilla inmediata al lado:
•
En la zona norte, izquierda + NB
•
En la zona sur, derecha - NB
•
En la zona oeste, inferior - NB
•
Rellenar las diagonales sin calcular
En la zona este, superior + NB. Esto es, una casilla en la zona este se calcula sumando el valor de la que está encima de esta + NB.
En última imagen (3ª a la derecha de la figura-7) se muestra de donde proceden estas casillas en el cuadrado original, y como se ubican en cada sector. Compárese cada sector con la ubicación de la figura-9. Puede verse como los sectores han sido trasladados. Todas las casillas corresponden a las que se muestran en la figura-7 en color amarillo. Se ha calculado solo una casilla en cada zona (ver figura-6), para apreciar con más claridad cada caso, analicemospor ejemplo la de la zona este. Tomemos (ver figura-5) la casilla situada entre aquella que tiene el valor 34 y la que tiene valor 44, valdrá, lo que vale la casilla según se indica por la zona a que corresponde, este caso la de encima de ella + NB= 34 + 41=75 ( ver resultado en figura-6 y comprobar con figura7). La figura-7 muestra el cuadrado completamente relleno y de un mismo color las casilas obtenidas en cada paso. Corresponde a cada paso los siguientes colores: paso 1: marrón, paso 2: arena, paso 3: amarillo. A la derecha se muestra una imagen donde se relacionan las casillas que corresponden a las diagonales sin necesidad de calcular, nótese que el cuadrado de la imagen (figura 8) tiene todas sus casillas correlativamente numeradas del 1 al 81. 5.6.2 Caso par •
Los métodos explicados detalladamente valen para cualquiera que sea el número de n, que por razones
Rellenar casillas diagonales respecto de la diagonal principal
de espacio se ha trabajado con ejemplos cuyo n resulta fácilmente manejable. •
•
Cuando ya se conocen las reglas pueden construirse siguiendo otro criterio basándose en la relación que mantienen entre sí las casillas. Con todo se recomienda seguir las instrucciones cuando se hace manualmente. Una vez realizado un cuadrado mágico esotérico puede fácilmente mudarse en cualquier otro tipo de cuadrado mágico simplemente por sustitución, adición, giro ó cualquier otro método.
6 Bibliografía [1]
12
8 VÉASE TAMBIÉN
8 Véase también
Rellenar las casillas del paso 3 sin calcular
[2] Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9. •
•
•
•
•
Andrews, William Symes: Magic Squares and Cubes. Nueva York: Dover, 1960. ISBN 0-486-206580 Fults, John Lee: Magic Squares. La Salle, Illinois: Open Court, 1974. ISBN 0-87548-197-3 Pickover, Clifford: The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, 2003. ISBN 0-691-11597-4 Knorr Rosenroth: Aesch Mezareph o Fuego Purificador , original: Sulzbach año-1677-84, presente edición en español: Muñoz Moya y Montraveta editores, Cerdanyola del Valles, año-1987, ISBN 8486335-32-9 Cornelio Agrippa: Numerología Oculta , Ediciones Obelisco año-1996 ISBN 978-84-7720-493-0
7 Enlaces externos •
•
•
•
•
•
Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Cuadrado mágicoCommons. Enciclopedia Libre Página de Blai Figueras Álvarez (10 de enero de 2004). Cuadrados mágicos con las letras de diversos alfabetos (en inglés) Magic Squares (en inglés) Resolución de Cuadrados Mágicos programáticamente: fórmulas y algoritmos.
•
Matemáticas recreativas
•
Círculos mágicos
•
Sudoku
13
9 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias 9.1 Texto •
Cuadrado mágico Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_m%C3%A1gico?oldid=87786853 Colaboradores: EL Willy, Oblon-
go, Sabbut, JorgeGG, Ruiz, Neto~eswiki, Sanbec, Zwobot, Interwiki, Dodo, Crescent Moon, Cookie, Tano4595, Robotito, LadyInGrey, , AlGarcia, Periku, Huhsunqu, Chlewey, Soulreaper, Peejayem, Emijrp, Rembiapo pohyiete (bot), Orgullobot~eswiki, RobotQuistnix, Francosrodriguez, Alhen, Chobot, Caiserbot, Yrbot, BOT-Superzerocool, Oscar ., Vitamine, YurikBot, Sasquatch21, VictorGonI, Txo, Jorge Egúsquiza Loayza, Carlos Alberto Carcagno, Iulius~eswiki, BOTpolicia, CEM-bot, Laura Fiorucci, JMCC1, Baiji, Rastrojo, Rosarinagazo, Dorieo, Ingenioso Hidalgo, Roberto Fiadone, Gusgus, Mpeinadopa, Soulbot, Xavigivax, Gsrdzl, CommonsDelinker, TXiKiBoT, Hingelstein, Humberto, Rei-bot, MarisaLR, RaizRaiz, El filóloco, Nicoguaro, Matdrodes, Fernando Estel, DJ Nietzsche, Muro Bot, BotMultichill, SieBot, PaintBot, Bigsus-bot, BOTarate, Marcelo, Tirithel, Javierito92, Antón Francho, Nicop, DragonBot, Leonpolanco, Botito777, BetoCG, Aperezdejuan, Csolisr, Armando-Martin, AVBOT, Ted Alvram, CruzAV, Ezarate, Diegusjaimes, Linfocito B, Samsam mama, Cathlucky, Luckas Blade, Hscamplise, LordboT, Bingul, Diogeneselcinico42, SuperBraulio13, Jkbw, FrescoBot, Bot0811, Botarel, Renraku~eswiki, Juan Andres Gonzalez Fernandez, RedBot, Aquiel, Prinea, HUBOT, Ave César Filito, Nachosan, Jorge c2010, Axvolution, EmausBot, Savh, Nashosky, Grillitus, Waka Waka, Vocin, MerlIwBot, JoshAcevedo, Marcelicha, Mailermar, Federicotg, DAVID TORRES CHABLE, Johnbot, Justincheng12345-bot, Helmy oved, Gatomon 123, Lobo azul, Legobot, HispanoMatematico, Antonio Pomares Olivares, MrCharro, Jarould y Anónimos: 133
9.2 Imágenes •
Archivo:Commons-logo.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Licencia: Public do-
main Colaboradores: This version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features. (Former versions used to be slightly warped.) Artista original: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab. •
Archivo:Cuadrado_Mágico_Impar.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/91/Cuadrado_M%C3%A1gico_
Impar.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Transferido desde es.wikipedia a Commons. Artista original: The original uploader was Willy de Wikipedia en español •
Archivo:Cuadrado_Mágico_Parmente_par.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Cuadrado_M%C3%
A1gico_Parmente_par.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ? •
Archivo:Cuadrado_Mágico_Parmente_par2.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/dd/Cuadrado_M%
C3%A1gico_Parmente_par2.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ? •
Archivo:DiagonalesCM.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f7/DiagonalesCM.png Licencia: Public do-
main Colaboradores: Diagonales_CuadradoMagico_Impar Artista original: La imagenha sido elaborada pormi: Crescent Moon. El proceso; directamente editando sobre wikipedia y luego capturando la pantalla, cortar, girar y guardar con un programa de imagen. •
Archivo:DiagonalesCM03.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4e/DiagonalesCM03.png Licencia: GFDL
Colaboradores: Trabajo propio Artista original: La imagen ha sido elaborada por mi enteramente Crescent Moon. El proceso; directamente editando sobre wikipedia y luego capturando la pantalla, pequeña edición, cortar, pegar, girar y guardar con un programa de imagen •
Archivo:Diagonales_imparesCM02.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/Diagonales_imparesCM02.
png Licencia: GFDL Colaboradores: Trabajo propio Artista original: La imagen ha sido elaborada por mi: Crescent Moon . El proceso; directamente editando sobre wikipedia y luego capturando la pantalla, pequeña edición, cortar, girar y guardar con un programa de imagen •
Archivo:Dürer_Melancholia_I.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/18/D%C3%BCrer_Melancholia_I.jpg
Licencia: Public domain Colaboradores: [1] Artista original: Alberto Durero •
Archivo:Magic_square_Lo_Shu.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Magic_square_Lo_Shu.png Li-
cencia: Public domain Colaboradores: ? Artista original: ? •
Archivo:Ms_sf_2.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a6/Ms_sf_2.jpg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colabora-
dores: ? Artista original: ?
9.3 Licencia del contenido •
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0