Cuarta Semana de Clase

 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL EXPERIMENTAL DE LOS LLANOS OCCIDENTALES OCCIDENTALES "EZEQUIEL ZAMORA" COORDINACIÓN DE POSTGRADO. CURSO DE ESPECIALIZACIÓN ESPECIALIZACIÓN Y MAESTRÍA. GERENCIA GENERAL

La Univeri!a! #e Sie$%ra

CURSO: ESTADÍSTICA PARA LA INVESTIGACIÓN SEMANA IV 

CONTENIDO: TEORÍA PROBABILIDADES: Diagrama del Árbol, Experimeno Aleao Aleaorio rio,, Exp Exper erim imen eno o Deerm Deermin! in!"i "i#o, #o, E"pa#i E"pa#io o

$%e"r $%e"ral, al,

P%no P%no

$%e"r $%e"ral, al,

S%#e"o, S%#e"o Seg%ro, S%#e"o Impo"ible, Algebra de Con&%no, Probabilidad Axiom xiomaa

'

"%" "%"

Prob Probab abil ilid idad ade" e",, Di"rib%#i*n+

pro propied piedad ade" e",, Di" Di"ri rib% b%#i #i*n *n

E"per "peran an(a (a $aem aem) )i# i#a, a, Di" Di"rrib%# ib%#i* i*n n Bino Binomi mial al,,

Di" Di"ri rib% b%#i #i*n *n

Norm Normal al,,

de

C%ad C%adro ro de

3 PROBABILIDADES De-ini De-ini#i* #i*n n : : .n .n Expe Experim rimen eno o e" e" el re"%l re"%lado ado de

%na ob"er/ ob"er/a#i a#i*n *n o

medi#i*n+ Lo" experimeno" p%eden "er: a+

Experimeno Aleao aorio, e" #%ando no "e p%ede de#ir de an anemano "% re"% re"%l lad ado, o, e& e&em empl plo, o, en el la lan( n(am amie ien no o de %n dado dado 0onr 0onrad ado o no pode podemo mo"" a"eg%rar 1%e n2mero #aer)+

b+

Deermi De ermin! n!" "i# i#o, o, e" #%an #%ando do "e #on #ono#e o#e el re" e"%l %la ado do ane ane"" de real realii(a (arr el experimeno, e&emplo, al rallar %n #erillo de -o"-oro en %na li&a, "abemo" 1%e "e en#endera+ De-ini De-ini#i* #i*n n 3: Llamar Llamaremo emo"" E"pa#i E"pa#io o $%e"r $%e"ral, al, al #on&%n #on&%no o de re"%l re"%lado ado""

po"ible" de %n experimeno aleaorio+ A #ada elemeno del e"pa#io m%e"ral lo llamaremo" P%no $%e"ral+ Lo" p%no" m%4"rale" lo" de"ignamo" e, e3,+++++e n ' al e"pa#io m%e"ral por 56 e, e3,+++++e n7, a"! en el lan(amieno de %n dado 0onrado lo" p%no" m%4"rale" "on: e5, e353,+++++e 858 ' el e"pa#io m%e"ral e" 56,3,+++87 De-ini De-ini#i* #i*n n 9 Llamar Llamaremo emo"" S%#e"o S%#e"o a odo odo "%b#on "%b#on&%n &%no o A de %n e"pa#i e"pa#io o m%e"ral , e" de#ir, de# ir, al #on&%no de re"%lado" po"ible"+ De-ini De-ini#i* #i*n n : Llama Llamarem remo" o" S%#e"o S%#e"o Seg%ro Seg%ro ' lo de"igna de"ignarem remo" o" por E, a %n "%#e"o 1%e o#%rre en #ada ob"er/a#i*n+ De-ini De-ini#i* #i*n n ;: Llamar Llamaremo emo"" S%#e"o S%#e"o Impo"i Impo"ible ble a %n "%#e"o "%#e"o 1%e no p%ede p%ede o#%rrir en ning%na ob"er/a#i*n, lo de"ignaremo" por + P%e" P%e"o o 1%e 1%e lo" lo" "%#e "%#e"o "o"" "on "on #on& #on&%n %no o"" l*gi l*gi#o #o", ", 1%e 1%e la" la" prop propo" o"i# i#io ione ne"" rela relai i/a /a"" al "%#e "%#e"o "o p%ed p%eden en rad rad%# %#ir ir"e "e en el leng leng%a %a&e &e de eor eor!a !a de #on& #on&%n %no o e in/er"amene+ En pari#%lar enemo" %n )lgebra de #on&%no"+ a+

A.B e" el "%#e "%#e"o "o
b+

A B e" el "%#e"o <ano A #omo B<

#+

A= e" e" el "%#e"o
d+

A > B e" el "%#e "%#e"o "o
;:

En

#%al #%al1% 1%ie ierr

expe ex peri rime men no o

alea aleao ori rio o

"iem "iempr pree

exii"e ex "e

in#erid%mbre "obre "i %n "%#e"o e"pe#i-i#o p%eda o no p%eda o#%rrir, #omo

3 PROBABILIDADES De-ini De-ini#i* #i*n n : : .n .n Expe Experim rimen eno o e" e" el re"%l re"%lado ado de

%na ob"er/ ob"er/a#i a#i*n *n o

medi#i*n+ Lo" experimeno" p%eden "er: a+

Experimeno Aleao aorio, e" #%ando no "e p%ede de#ir de an anemano "% re"% re"%l lad ado, o, e& e&em empl plo, o, en el la lan( n(am amie ien no o de %n dado dado 0onr 0onrad ado o no pode podemo mo"" a"eg%rar 1%e n2mero #aer)+

b+

Deermi De ermin! n!" "i# i#o, o, e" #%an #%ando do "e #on #ono#e o#e el re" e"%l %la ado do ane ane"" de real realii(a (arr el experimeno, e&emplo, al rallar %n #erillo de -o"-oro en %na li&a, "abemo" 1%e "e en#endera+ De-ini De-ini#i* #i*n n 3: Llamar Llamaremo emo"" E"pa#i E"pa#io o $%e"r $%e"ral, al, al #on&%n #on&%no o de re"%l re"%lado ado""

po"ible" de %n experimeno aleaorio+ A #ada elemeno del e"pa#io m%e"ral lo llamaremo" P%no $%e"ral+ Lo" p%no" m%4"rale" lo" de"ignamo" e, e3,+++++e n ' al e"pa#io m%e"ral por 56 e, e3,+++++e n7, a"! en el lan(amieno de %n dado 0onrado lo" p%no" m%4"rale" "on: e5, e353,+++++e 858 ' el e"pa#io m%e"ral e" 56,3,+++87 De-ini De-ini#i* #i*n n 9 Llamar Llamaremo emo"" S%#e"o S%#e"o a odo odo "%b#on "%b#on&%n &%no o A de %n e"pa#i e"pa#io o m%e"ral , e" de#ir, de# ir, al #on&%no de re"%lado" po"ible"+ De-ini De-ini#i* #i*n n : Llama Llamarem remo" o" S%#e"o S%#e"o Seg%ro Seg%ro ' lo de"igna de"ignarem remo" o" por E, a %n "%#e"o 1%e o#%rre en #ada ob"er/a#i*n+ De-ini De-ini#i* #i*n n ;: Llamar Llamaremo emo"" S%#e"o S%#e"o Impo"i Impo"ible ble a %n "%#e"o "%#e"o 1%e no p%ede p%ede o#%rrir en ning%na ob"er/a#i*n, lo de"ignaremo" por + P%e" P%e"o o 1%e 1%e lo" lo" "%#e "%#e"o "o"" "on "on #on& #on&%n %no o"" l*gi l*gi#o #o", ", 1%e 1%e la" la" prop propo" o"i# i#io ione ne"" rela relai i/a /a"" al "%#e "%#e"o "o p%ed p%eden en rad rad%# %#ir ir"e "e en el leng leng%a %a&e &e de eor eor!a !a de #on& #on&%n %no o e in/er"amene+ En pari#%lar enemo" %n )lgebra de #on&%no"+ a+

A.B e" el "%#e "%#e"o "o
b+

A B e" el "%#e"o <ano A #omo B<

#+

A= e" e" el "%#e"o
d+

A > B e" el "%#e "%#e"o "o
;:

En

#%al #%al1% 1%ie ierr

expe ex peri rime men no o

alea aleao ori rio o

"iem "iempr pree

exii"e ex "e

in#erid%mbre "obre "i %n "%#e"o e"pe#i-i#o p%eda o no p%eda o#%rrir, #omo

9 medida medida de la Opor% Opor%nid nidad ad o Probab Probabili ilidad, dad, #on la 1%e podamo" podamo" e"pera e"perarr 1%e %n "%#e"o o#%rra, e" #on/eniene a"ignar %n n2mero x ?@,, Si e"amo" "eg%ro" 1%e el "%#e"o o#%rrir) de"ignamo" "% probabilidad por , e" de#ir P 5 ' "i e"amo" "eg%ro" 1%e el "%#e"o no o#%rrir) de"ignamo" la probabilidad por #ero, e" de#ir, P 5@+ Exi"en do" pro#edimieno" para obener e"imadore" para la probabilidad de %n "%#e"o: b+

En-o1% En-o1%ee #l)"i# #l)"i#o o o a prior priori, i, "i %n "%#e" "%#e"o o p%ede p%ede o#%rr o#%rrir ir en en " manera manera"" di-er di-eren ene" e" nBSC

de %n n2mero n2mero oal oal de n manera" manera" po"ible", po"ible", enon#e" enon#e" la PS5 PS5 nBδ  C

donde n  e" el #ardinal del e"pa#io m%e"ral o n2mero de "%#e"o" -a#ible" del e"pa#io e"pa#io m%e"r m%e"ral al ' nS nS e" el #ardin #ardinal al de lo" "%#e"o" "%#e"o" in/ol% in/ol%#rad #rado" o" del e"pa#io m%e"ral #+

Prob Probab abil ilid idad ad emp! emp!ri ri#a #a Si "e "e repi repie e n /e#e /e#e" " %n expe experi rime men no o n

, %n "%#e"o nBSC

o#%rre " /e#e", enon#e" la probabilidad del "%#e"o e": PS5 nBδ  C

E&emplo : a+ S%p*nga"e 1%e "e iene %n l)pi( penagonal ' 1%e en #ada #ara "e mar#an lo" n2mero" del  al ; ' la" e"1%ina" "e "%ponen limada" de -orma 1%e al e#0arlo a rodar "obre %na "%per-i#ie li"a de l%gar a %n experimeno al a(ar+ S% e"pa#io m%e"ral e" 56,3,9,,;7, "i raamo" de e"imar el "%#e"o , e" de#ir, P, nBSC

enon#e" la probabilidad e" PS5 nBδ  C 5 +

, ;

Si lan(a lan(amo" mo" el l)pi l)pi(( ;@@@ ;@@@ /e#e" /e#e" ' 1%er 1%errem remo" o" e"im e"imar ar #%)n #%)na" a" /e#e /e#e" " apare# apare#er) er) el , "e e"perar) 1%e P5

,@@@ ;@@@

5

, ;

E"o E"o"" do" do" en-o en-o1% 1%e" e" "e pre" pre"en ena an n en mae maem) m)i i#a #a"" #omo #omo el en-o en-o1% 1%ee axiom)i#o por medio de la eor!a de #on&%no+ 3+

En %na %na -%nd -%ndido idora, ra, "e iden idenii-i#a i#a %n %n loe loe de de 3@ blo1 blo1%e" %e" de de moor moor,, de de lo" lo" #%ale" #%ale" ; #onienen de-e#o" inerno"+ El #omprador "ele##iona 9 blo1%e" al a(ar ' pr%eba "% d%re(a+ Se a#epar) el loe "i no "e ideni-i#an de-e#o"+ C%)l e" la probabilidad de 1%e "e a#epe el loe

 Sol%#i*n: A -in de re"ponder e"a preg%na, 0a' 1%e #on"iderar do" a"pe#o": a+

El n2mero de -orma" de "ele##ionar 9 blo1%e" de lo" 3@ di"ponible" e"pa#io m%e"ral C3@,95

b+

3@+,F+,G 9+3+,

5+@

El n2mero de -orma" de "ele##ionar 9 blo1%e" "in 1%e ning%no enga de-e#o" "%#e"o" in/ol%#rado" C;,95 :;; ,+,:@

,;+,:+,9 9+3+,

5;;, por lo ano, PS5

5@+9FF, e" de#ir la probabilidad de 1%e "e a#epe el loe e" del @+9FF

Alg%no" axioma" de la probabilidad: Sea Px la -%n#i*n de probabilidad ' PA la probabilidad del "%#e"o A, enon#e" "e "ai"-a#en: a+

@ PA , e" de#ir, la probabilidad de 1%e o#%rra %n "%#e"o "iempre e"ar) enre @ ' , "i e"amo" "eg%ro de 1%e el "%#e"o o#%rrir) PA5 probabilidad de ex#io, "i e"amo" "eg%ro" 1%e el "%#e"o no o#%rrir) PA5@ o 1A5 probabilidad de -ra#a"o, de a1%! "e ded%#e 1%e 1A H pA5  5  le' de $organ

  1A5 > PA, e" de#ir, la probabilidad de 1%e %n "%#e"o no

o#%rra e" %no meno" la probabilidad de 1%e el "%#e"o o#%rra+ E&emplo : Al lan(ar %n dado 0onrado, #%)l e" la probabilidad de 1%e #aer): a+

%n n2mero menor 1%e 9, b+ no #aiga %n n2mero ma'or 1%e #%aro Sol%#i*n: a #omo lo" n2mero menore" 1%e 9 "on 3, e" de#ir, el  ' el 3,

enon#e" nS53, ' el e"pa#io m%e"ral e" 8, e" de#ir, odo" lo" po"ible" n2mero" 1%e p%eden "alir, enon#e" n 58, por lo ano, Px95 probabilidad de obener %n n2mero menor 1%e 9 e" de

3 8

5

, 9

, e" de#ir, la

, 9

Sol%#i*n: b apli#ando la propiedad: 1A5 > PA, b%"#amo" la probabilidad de 1%e #aiga %n n2mero ma'or 1%e  ' "e lo re"amo" a , #omo lo" n2mero"

; ma'ore" 1%e  "on ; ' 8, enemo" 1%e nS53, enon#e" PxJ5 1xJ5 >

, 9

5

3 9

3 8

5

, 9

, #on lo 1%e

, por lo ano, la probabilidad 1%e "e obenga %n n2mero 1%e

no "ea ma'or 1%e  e" de

3 9

Alg%na" propiedade" de Probabilidade": a+

P 5@

 1 5

b+

P 5

 1 5@

#+

Para #%al1%ier n2mero de "%#e"o" m%%amene ex#l%'ene" A, A3,++,An en , e" de#ir, A, A3,++,An "on independiene" enre "!, iene: PA.A3.++++.An5PA H PA3 H+++H PA n, en pari#%lar "i A56A.A3.A97, enon#e" PA.A3.A95PA H PA3 H PA9 "eg%ndo prin#ipio -%ndamenal de #oneo+

d+

Para #%al1%ier n2mero de "%#e"o" A, A3,++,An en , donde Ai depende de A & i,& KH, e" de#ir, para alg2n A, A3,++,An dependiene" enre "i "e iene: PA.A3.++++.An5PA H PA3 H+++H PAn > PA A3 > P  A A9++++ > PA A3 ++++ An> H P  A A3 ++++ An en pari#%lar "i A56A.A3.A97, enon#e" PA.A3.A95PA H PA3 H PA9 > PA A3 > PA A9 > PA3 A9 H PA A3 A9 "eg%ndo prin#ipio -%ndamenal de #oneo+

e+

Si AC A3

 PA PA3

-+

PA > A35PA > PA3

g+

Para #%al1%ier n2mero de "%#e"o" m%%amene ex#l%'ene" A, A3,++,An en , e" de#ir, A, A3,++,An "on independiene" enre "!, "e iene:

8 PA A3 ++++ An5PA+PA3+++++++PA n, en pari#%lar "i A56A A3 A97, enon#e" PA A3 A95PA+PA3+PA9 primer prin#ipio -%ndamenal de #oneo 0+

Para #%al1%ier n2mero de "%#e"o" A, A3,++,An en , donde Ai depende de A & i,& KH, e" de#ir, para alg2n A, A3,++,An dependiene" enre "!, "e iene: PA A3 ++++ An5PA+PA3 A+PA9 A A3+PAn A A3 ++++ An>,

en

pari#%lar "i A56A  A3 A97, enon#e": PA A3 A95 PA+PA3 A+PA9 A3 A9 E&emplo: Se lan(a %n dado, C%)l e" la probabilidad de 1%e "alga %n n2mero menor 1%e ; a+ "i no "e da ning%na #ondi#i*n, b+ "i el n2mero 1%e "ali* re"%lo "er  impar+ Sol%#i*n: El e"pa#io m%e"ral del lan(amieno de %n dado e"a dado por  5 , 3, 9, , ;, 8

 n 58+

Sol%#i*n a: Como no "e da ning%na #ondi#i*n lo" "%#e"o" in/ol%#rado" "on lo" n2mero" menore" 1%e ;, e" de#ir, x;5 , 3, 9,  Px;5

: 8

 Px;5

menor 1%e ; e" de

3 9

 nx;5, por lo ano,

, enon#e" la probabilidad de 1%e "e obenga %n n2mero

3 9

Sol%#i*n b: Como 0a' %na #ondi#i*n de 1%e re"%lo 1%e "ali* %n n2mero 1%e -%e %n impar, apli#amo" la propiedad NM G, por lo ano, Px;

x5I5Px5IPx;x5I, #omo lo 1%e "e no" pide e" Px;x5I, lo

de"pe&amo", #on lo 1%e no" re"%la 1%e Px;x5I5

PBx

<

PBx

"%#e"o" in/ol%#rado": x;5 , 3, 9,   x5I5 , 9, ; nx; x5I53 ' adem)" nx5I59

 Px; x5I5

3 8

;∧x =

=

IC

IC

 , b%"#ando lo"

  x; x5I5 , 9

 Px; x5I5

, 9

 ' Px5I5

9 8

 ,

Px5I5

, 3

  Px;x5I5

9 ,

  Px;x5I5

3 9

, por lo ano, la probabilidad de

3

obener en el lan(amieno del dado %n n2mero menor 1%e ; dado 1%e "ali* %n n2mero impar e" de

3 9

E&emplo: Se iene %n pa1%ee de #ara" e"paola", #%)l e" la probabilidad de 1%e al exraer %na #ara e"a "ea: a+

%na #opa, b+ %n a", #+ %n re' de ba"o, d+ %n #%aro o %na "oa,

a+

%n re" o %na #opa, -+ no "ea %n oro, g+ no "ea %n #%aro o %na "oa, 0+ no "ea %n re" o %n #ora(*n Sol%#i*n: El e"pa#io m%e"ral e") deerminado por la" @ #ara", e"

de#ir,

5 , 3, 9, , ;, 8, , @, , 3 de ba"o, #opa, e"pada ' oro

re"pe#i/amene

 n 5@

Sol%#i*n a: Lo" "%#e"o" in/ol%#rado" "on la" @ #ara" de #opa, e" de#ir  x5C

nx5C5@, por lo ano, Px5C5

,@ :@

  Px5C5

probabilidad de exraer del pa1%ee de bara&a" %na #opa e" de

, :

, por lo ano la

, :

Sol%#i*n b: Lo" "%#e"o" in/ol%#rado" "on lo"  a", e" de#ir, x5A" nx5A"5, por lo ano, Px5A"5

:

 Px5A"5

:@

de exraer del pa1%ee de bara&a" %n a" e" de

, ,@

, por lo ano, la probabilidad

, ,@

Sol%#i*n #: El "%#e"o in/ol%#rado e" el re' de ba"o, e" de#ir, x5Rb nx5Rb5, por lo ano, Px5Rb5

, :@

, por lo ano, la probabilidad de exraer del

pa1%ee de bara&a" al re' de ba"o e" de

, :@

G Sol%#i*n d: Como lo" "%#e"o" obener %n #%aro ' obener %n die( "on "%#e"o" m%%amene ex#l%'ene", apli#amo" la propiedad NM 9, e" de#ir, Px5/x5@5Px5 H Px5@ H

,

 Px5/x5@5

,@

, ;

  Px55

, ,@

, ' Px5@5

,

 Px5/x5@5

,@

, ,@

, por lo ano, la probabilidad de exraer del pa1%ee de

bara&a" %n #%aro o %n @ e" de

, ;

Sol%#i*n e: Como lo" "%#e"o" obener %n re" o obener %na #opa "on "%#e"o"

dependiene",

Px59/x5C5Px59 Px59 x5C5

,

H

apli#amo"

Px5C Q Px59 x5C

 Px59/x5C5

:@

la

, ,@

 H

, :

 >

, :@

propiedad   Px595

NM , e" de#ir, , ,@

 Px59/x5C5

, Px5C5

,9 :@

, :

'

 , por lo ano,

la probabilidad de exraer del pa1%ee de bara&a" %n re" o %na #opa e" de

,9 :@

Sol%#i*n -: Apli#ando la le' de $organ, e" de#ir, la probabilidad de 1%e al exraer %na #ara de %na par de bara&a" no re"%le "er %na #ara de oro, e" %no meno" de 1%e "i "e exraiga %na #ara de oro, e" de#ir, 1x5O5 Q Px5O 1x5O5 >

, :

"ea de oro e" de

 1x5O5 9 :

9 :

, enon#e", la probabilidad de exraer %na #ara 1%e no

+ La" "ol%#ione" g ' 0 1%edan #omo e&er#i#io"+

E&emplo: Se ienen re" #a&a" 1%e #onienen: NM : ; bola" negra", 3@ bola" blan#a" ' 3; bola" ro&a", NM 3:  bola" negra", 39 bola" blan#a" ' 3@ bola" ro&a", NM 9: F bola" negra", 3 bola" blan#a" ' 9@ bola" ro&a", #%)l e" la probabilidad de 1%e: a+ al exraer %na bola de la #a&a NM  e"a "ea: i+ negra, ii+ blan#a, iii+ ro&a, i/+ negra o blan#a, /+ blan#a o ro&a, /i+ negra o blan#a o ro&a, /ii+ no "ea blan#a o ro&a, b+ al exraer do" bola" de la #a&a NM 3 I+ #on repo"i#i*n II+ "in repo"i#i*n, e"a" "ean: i+ %na negra ' %na ro&a, ii+ do" blan#a", iii+ no "ean do" ro&a", i/+ no "ea ni ro&a ni blan#a, #+ al exraer re" bola" de la #a&a NM 9, I+ #on

F repo"i#i*n II+ "in repo"i#i*n, e"a" "ean: i+ re" blan#a", ii+ %na de #ada #olor, i/+ no "ean negra", d+ "e lan(a %n dado, "i "ale %n n2mero menor 1%e re" "e "a#a %na bola de la #a&a NM , "i "ale %n n2mero ig%al 1%e re" pero menor 1%e #in#o "e exrae %na bola de la #a&a NM 3, ' "i "ale %n n2mero ma'or 1%e #in#o, "e exrae %na bola de la #a&a NM 9, #%)l e" la probabilidad de 1%e "ea blan#a+ Sol%#i*n: El e"pa#io m%e"ral e" el n2mero oal de bola" 1%e #oniene #ada #a&a, e" de#ir, el e"pa#io m%e"ral de la #a&a NM  e" n 58@, el de la #a&a NM 3 e" n 358@, ' el de la #a&a NM 9 e" n 95@ Sol%#i*n a: 1%eda #omo e&er#i#io Sol%#i*n b Ii: Px5N x5R, #omo la "eg%nda bola "e /a a exraer #on repo"i#i*n, la" do" exra##ione" "on independiene", #on lo #%al apli#amo" la propiedad NM , e" de#ir, Px5N x5R5Px5NPx5R, #omo Px5N5 3@ 8@

o Px5R5

, 9

  Px5N x5R5

,P 8@

x

, 9

  Px5N x5R5

,P ,G@

,P 8@

 ' Px5R5

, e" de#ir, la

probabilidad de exraer de la #a&a NM 3 %na bola negra ' %na bola ro&a #on repo"i#i*n e" de

,P ,G@

Sol%#i*n b IIi: Px5N x5R, #omo la "eg%nda bola "e de&a a-%era, la "eg%nda bola 1%e "e exraiga /a a depender de la bola 1%e "e exra&o primero, #on lo #%al apli#amo" la propiedad NM G, e" de#ir, Px5N x5R5Px5NPx5Rx5N, #omo Px5N5

,P 8@

, "e "%pone 1%e "e exra&o %na bola negra, e"o 1%iere de#ir 1%e

1%edan nada m)" 8 bola" negra" ' en #on"e#%en#ia el e"pa#io m%e"ral "er) a0ora de ;F, por lo 1%e Px5Rx5N5 ,P ,PP

3@ ;F

 Px5N x5R5

,P 8@

x

3@ ;F

 Px5N x5R5

, e" de#ir, la probabilidad de exraer de la #a&a NM 3 %na bola negra ' %na bola

@ ro&a "in repo"i#i*n e" de

,P

, lo" e&emplo" re"ane" de b+ ' #+ %edan #omo

,PP

e&er#i#io"+ Sol%#i*n d: A0ora enemo" #%aro e"pa#io" m%4"rale" 1%e "on: el e"pa#io m%e"ral de la #a&a NM e" n 58@, el de la #a&a NM 3 e" n 358@, ' el de la #a&a NM 9 e" n 95@ ' la del lan(amieno del dado e" n 58, #omo para "a#ar %na bola /a a depender del n2mero 1%e "alga en el dado, e"amo" en pre"en#ia de %na probabilidad #ondi#ional, por lo ano, para exraer %na bola blan#a enemo": Px5B5Px9Px5BCI x9 H P9 x ;Px5BCII 9 x ;

H

PxJ;Px5BCIII xJ;,

b%"#ando #ada %na de e"a" di"ina" probabilidade" enemo": Px95 Px95

, 9

, P9 x ;5

9

P9 x ;5

8

,

, 3

, PxJ;5

39

, 8

, Px5BCI x95

3,

Px5BCI x95 9 , Px5BCII 9 x ;5 8@   ' Px5BCIII xJ;5 8@

3 8

3@ 8@

, P

  Px5BCIII xJ;5 3@ ,

"%"i%'endo e"o /alore" enemo" 1%e: Px5B5

, 9

x

, 9

H

, 3

x

%na bola blan#a e" de

39 8@

H

, 8

x

P 3@

 Px5B5

,9 98

,

, la probabilidad de exraer 

,9 98

De-ini#i*n: .na /ariable aleaoria e" %na -%n#i*n /alorada n%m4ri#amene, #%'o /alor e") regido por -a#ore" en lo" 1%e iner/iene el a(ar, ' e"a p%ede "er: a+

Di"#rea: Si lo" /alore" 1%e a"%men "e p%eden #onar, e&emplo: el n2mero de al%mno" de E"ad!"i#a II de la #arrera de Plani-i#a#i*n

b+

Conin%a: Si p%ede a"%mir #%al1%ier /alor denro de %n deerminado iner/alo, e&emplo: la edad de lo" al%mno" de E"ad!"i#a II de la #arrera de Plani-i#a#i*n De-ini#i*n ;: El /alor e"perado de %n experimeno e" %n promedio, ' "e

#al#%la mediane la -*rm%la:

 n

 

∑ PiSi

E5 i =,

5P H P33 H ++++++++++++P nn

E&emplo: a .n in/er"ioni"a "e da #%ena de 1%e iene %na probabilidad de @,@ de obener %na %ilidad de B"+ +;@@+@@@,@@ ' %na probabilidad de @,8@ de perder B"+ 9+F@@+@@@,@@ en %na in/er"i*n+ C%)l e" "% ganan#ia e"perada Sol%#i*n: E5@,@x+;@@+@@@,@@ H @,8@x>9+F@@+@@@,@@

 E53+38@+@@@,@@

ob"4r/e"e 1%e la p4rdida de B"+ 9+F@@+@@@,@@ iene "igno negai/o+ La ganan#ia e"perada por el in/er"ioni"a e" de B"+ 3+38@+@@@+@@ a+

.n al%mno del "%bpro'e#o E"ad!"i#a II 0a#e la" "ig%iene" e"ima#ione" para e"%diar el mod%lo I de E"ad!"i#a II+ Tabla N  Probabilidad

Tiempo de ermina#i*n

@+9@ @+3@ @+;@

@ d!a" ; d!a" 33 d!a"

El n2mero e"perado de d!a" para la ermina#i*n del pro'e#o, "eg2n la e"ima#i*n del pari#ipane e": E5 @+9@x@ H @+3@x; H @+;@x33 5  d!a" Lo" #)l#%lo" del /alor e"perado p%eden #omprender: el n2mero de o#%rren#ia", #omo: n2mero de errore", #anidad de prod%#o" de-e#%o"o", n2mero" de a##idene", e#+ De-ini#i*n 8: La $edia de la" "%ma" de do" o m)" /ariable" aleaoria" e" ig%al a la "%ma de la" media" de di#0a" /ariable"+ De-ini#i*n : La Uarian(a de la" "%ma" de do" o m)" /ariable" aleaoria" e" ig%al a la "%ma de la" /arian(a" de di#0a" /ariable"+

3 xH'5 x H

'

in-inia" '

3

' x5

3 3 xH'5 V x + V ' o

V

N N

n

−

−

n

V

V3

=

x

+

y

+

x

V3

'  donde

x5

V n

 para pobla#ione"

para pobla#ione" -inia", donde: N: amao de la

,

pobla#i*n, n: amao de la m%e"ra ' en propor#ione" Vp

+

,

p

= 3

V3

p ,

+

V3

p

3

Noa: La" de"/ia#ione" e")ndar n%n#a "e "%man, "olamene "e p%eden "%mar la" /arian(a", e" de#ir, para en#onrar la /arian(a oal, "e "%man la" /arian(a", po"eriormene "e exrae la ra!( #%adrada de la /arian(a oal "i "e 1%iere la de"/ia#i*n e")ndar oal+ E&emplo: Se #one#aron do" ramo" de %ber!a, 1%e pro/ienen de %na di"rib%#i*n 1%e iene %na media de 9F m"+ ' %na de"/ia#i*n e")ndar de + m"+ E" po"ible #al#%lar la media ' la de"/ia#i*n e")ndar de di#0a "e##i*n+ Sol%#i*n: B,,+PC

3

+

B,,+PC

3

x5 '59F, =

,8+;:89

x5 '5+

xH'59F

H

9F5G

'

xH'5

"i "e 0%biera 1%erido %nir #in#o ramo" de di#0a

%ber!a, endr!amo": 59F H 9F H 9F H 9F H 9F5F; ' 5

B,,+PC

3

+

B,,+PC

3

+

B,,+PC  

3

+

B,,+PC

3

+

B,,+PC

3

=

38+,83@

De-ini#i*n G: .na di"rib%#i*n de probabilidade" e" %na di"rib%#i*n de -re#%en#ia" relai/a" re"pe#o a re"%lado" de %n e"pa#io m%e"ral, "eala la propor#i*n de /e#e" en 1%e la /ariable aleaoria iende a adopar di/er"o" /alore"+ E&emplo: En el lan(amieno de do" dado" no #argado" la di"rib%#i*n de probabilidade" e" la "ig%iene: por el primer prin#ipio -%ndamenal del #oneo enemo" x 56,3,9,,;,87x6,3,9,,;,87 , ,3 ,9 , ,; ,8 3, 3,3 3,9 3, 3,; 3,8 9, 9,3 9,9 9, 9,; 9,8 , ,3 ,9 , ,; ,8 ;, ;,3 ;,9 ;, ;,; ;,8

9 8, 8,3 8,9 8, 8,; 8,8 Tabla N 3 Ualor oal

N2mero po"ible

3 9  ; 8  G F @  3

 3 9  ; 8 ;  9 3 

Probabilidad 985@+@3G G5@+@;;8 35@+@G99 F5@+ ;985@+9GF 85@+8 ;985@+9GF F5@+ 35@+@G99 G5@+@;;8 985@+@3G

La probabilidad de obener en la "%ma de lo" dado" %n "ei" e" de @+9GF, gr)-i#amene, e"a di"rib%#i*n "e repre"ena #omo "e m%e"ra en la -ig%ra:

                 

@+3@ @+G @+8 @+ @+3 @+@ @+@G @+@8 @+@ @+@3 @+@@



3

9



;

8

;



9

3  Wig+ N 

La" di"rib%#ione" de probabilidade" p%eden "er: di"#onin%a" ' #onin%a", enre la" di"#onin%a" m)" imporane" enemo": binomial,

 0ipergeom4ri#a, ' poi"on, ' enre la" #onin%a" enemo": La Normal, >S%den -> Wi"0er enre ora"+ De-ini#i*n F:

La Di"rib%#i*n binomial: El 4rmino
de p H 1 n, e" de#ir, "e %ili(a para de"ignar "i%a#ione" en la" 1%e lo" re"%lado" de %na /ariable aleaoria "e p%eda agr%par en do" #aegor!a"+ La" #aegor!a" deber)n "er m%%amene ex#l%'ene", ' la" #la"e" "er #ole#i/amene ex0a%"i/a", por lo 1%e no e" po"ible obener ning2n oro re"%lado+ Enre la" /ariable" aleaoria" 1%e "e p%eden #on"iderar #omo binomiale" enemo" enre ora": re"p%e"a" de %n examen /erdadero>-al"o, prod%#o" man%-a#%rero" de-e#%o"o" ' no de-e#%o"o", pe1%eo" de %n &ard!n de in-an#ia 1%e 0an "ido /a#%nado" o no, e#+ Para %ili(ar la di"rib%#i*n binomial e" ne#e"ario 1%e "e #%mplan lo" "ig%iene" "%p%e"o": a+ Exi"e n ob"er/a#ione" o en"a'o"+ b+ Cada en"a'o iene do" po"ible" re"%lado": probabilidad de 4xio P ' probabilidad de -ra#a"o 15 > p+ #+ La" probabilidade" de 4xio" p ' de -ra#a"o 1 "e manienen #on"ane para odo" lo" en"a'o"+ d+ Lo" re"%lado" de lo" en"a'o" "on independiene" enre "!+ La probabilidad mediane la di"rib%#i*n binomial "e #al#%la mediane la

"ig%iene -*rm%la: bx,n,p5

n: n2mero" de en"a'o" x: S%#e"o" in/ol%#rado" p: probabilidad de 4xio

 n x n−x  p  1  x

, #on x5@, , 3,++++++++, donde:

; 1: probabilidad de -ra#a"o E&emplo G: Si la probabilidad de 1%e %na per"ona in"#ria en el regi"ro ele#oral "ele##ionado al a(ar de la" li"a" o-i#iale" para 1%e /oe en la re/o#aoria del mandao del pre"idene e" del @X+ C%)l e" la probabilidad de 1%e 3 de  ele#ore" regi"rado" /oen en la re/o#aoria del pre"idene

Sol%#i*n: p5@X

enemo": Px535

 159@X, n5 ' x53, apli#ando la -*rm%la: bx,n,p5

 n x n−x  p  1 x

 :      3

@+@3@+9@35@+388, por lo ano, la probabilidad de 1%e 3

de  ele#ore" regi"rado" /oen en la re/o#aoria del pre"idene e" de @+388 E&emplo F: .na empre"a 1%e -abri#a me"a" de billar "o"pe#0a 1%e el 3X de "% prod%##i*n e") de-e#%o"a en alg%na -orma+ Si e"a "o"pe#0a e" #orre#a, en#%enre la probabilidad de 1%e en %na m%e"ra de n%e/e me"a": b+

Ya'a C%aro "ean de-e#%o"a"

#+

Ya'a por lo meno" %na de-e#%o"a

d+

Yalla a lo "%mo do" de-e#%o"a"

e+

No 0a'a me"a" de-e#%o"a"

-+

Todo" "ean de-e#%o"a" Sol%#i*n a: p53X

 15FGX, n5F ' x5,

8

px55

 F       :

@+@3FG;5+Gx@>;, e" de#ir, la probabilidad de 1%e en %na m%e"ra

de n%e/e me"a" #%aro "ean de-e#%o"a" e" de +Gx@>; Sol%#i*n b p53X

px 5 Q px 

 15FGX, n5F ' x5, 3, 9, , ;, 8,  ,G, F

 px 5 >

 F       @

@+@3@FGF >

 x ,

 F       ,

@+@3FGG5@+G83, e" de#ir,

la probabilidad de 1%e en %na m%e"ra de n%e/e me"a" por lo meno" %na "ea de-e#%o"a e" de @+G83 Sol%#i*n # p53X

Px 5

 F      @

@+@3@FGF >

 15FGX, n5F ' x5@, , 3

 x 3,

 F       ,

@+@3FGG5@+@3;, e" de#ir, la probabilidad de 1%e

en %na m%e"ra de n%e/e me"a" a lo "%mo do" "ean de-e#%o"a" e" de @+@3;, lo" e&emplo" d+ ' e+ %edan #omo e&er#i#io"+ De-ini#i*n 3@+ La media de %na di"rib%#i*n binomial e" el promedio a largo pla(o, o el /alor e"perado de %na /ariable aleaoria binomial+ De-ini#i*n 3+ La de"/ia#i*n e")ndar de %na di"rib%#i*n binomial indi#a el grado en 1%e lo" /alore" m%4"rale" ender)n a /ariar a parir de la media de la di"rib%#i*n+ Tabla N 9

 $edia N2mero de 4xio Por#ena&e de 4xio

5np

Uarian(a 3

5np1

3

5

P

De"/ia#i*n V

=

np1

p1 n

V

p

p1

=

n

E&emplo: S%p*nga"e 1%e la probabilidad de 4xio e" de @, ' el n2mero de ob"er/a#ione" e" @@+ En#%enre la media ' la de"/ia#i*n e")ndar de la di"rib%#i*n de probabilidad, ano para el n2mero #omo para el por#ena&e de 4xio+

Sol%#i*n: Tabla N  $edia N2mero de 4xio Por#ena&e 4xio

5@@x@+5@

de

P&'.(

Uarian(a

De"/ia#i*n

3

5@@x@+x@+F5F

V3

=

@+,x@+F ,@@

=

@+@@@F

V

=

V

=

,@@x@+,x@+ F

@+,x@+F ,@@

=

=

9

@+@9

De-ini#i*n 33: .n /alor K e" %n n2mero 1%e indi#a en #%ana" de"/ia#ione" e")ndar %n /alor original  e") "eparado de "% promedio

S

+ Se #al#%la

mediane la -*rm%la: K5 S

−

S

V

, donde:

S

: la media, : de"/ia#i*n e")ndar ' : /alor original

E&emplo: C%)l e" el /alor de K para: 53@, 5; '

K5

3@ > 3; ;

= −

,

S

53;

G lo 1%e indi#a 1%e 3@ e"a a %na de"/ia#i*n por deba&o de la media+ En la -ig%ra anerior "e m%e"ra el 0i"ograma de la di"rib%#i*n de probabilidade"+ Si "e ra(a %na #%r/a 1%e %na lo" p%no" medio" de la pare "%perior de #ada re#)ng%lo, "e obiene la "ig%iene #%r/a+  

@+3@ @+G @+8 @+ @+3 @+@ @+@G @+@8 @+@ @+@3

               

@+@@



3

9



;

8

;



9

3



Wig+ N 3

E"a #%r/a "e aproxima a la di"rib%#i*n binomial+ En 99, De $oi/re dio a #ono#er, por primera /e(, %na -*rm%la para %na #%r/a de e"e ipo+ -x5

, 3Z

3 >( e 3

 donde K e" el /alor ipi-i#ado,

9+9F ' e 3+G3G+

De-ini#i*n 39: La gr)-i#a de la -%n#i*n dada por la -*rm%la anerior re#ibe el nombre de #%r/a normal e")ndar+ La #%al iene la" "ig%iene" propiedade": a+

E" "im4ri#a re"pe#o al e&e [+

b+

C*n#a/a 0a#ia aba&o en el iner/alo >,, #*n#a/a 0a#ia arriba en > 6>,7+

#+

E" a"in*i#a #on re"pe#o al e&e de la"  en ambo" "enido+

d+

Para 5@, iene "% /alor m)ximo+ De-ini#i*n 3: Para de-inir la di"rib%#i*n de probabilidad normal e")ndar, la

#%al debe "er %na -%n#i*n 1%e rela#iona medi#ione" #on probabilidade", "e di#e 1%e la probabilidad a"ignada al iner/alo #omprendido enre lo" p%no" a ' b, "obre el e&e de la" , e" el )rea #omprendida enre a ' b, la #%r/a normal e")ndar 

F ' el e&e de la" + A"!, la probabilidad de 1%e %n elemeno de %n #on&%no e"#ogido al a(ar, de %na pobla#i*n normal, enga %na medida en el iner/alo a,b, e" el )rea deerminada por la #%r/a, el e&e  ' la" re#a" x5a ' x5b+

a

b

Wig+ N 9

ig%almene para xa o xJa, e" de#ir, odo" lo" /alore" de a 1%e "on ma'ore" 1%e x o odo" lo" /alare" de a 1%e "on menore" 1%e x

a

b

Wig+ N 

Como la probabilidad del e/eno "eg%ro e" , el )rea limiada por la #%r/a [ el e&e de la"  debe "er ig%al a + E&emplo: Si %na /ariable aleaoria iene %na di"rib%#i*n normal #on %na media

59@ ' %na de"/ia#i*n e")ndar

5+G@, C%)l e" la probabilidad de

obener %n /alor: a+ $enor 1%e +8, b+ $enor 1%e 3+@G, #+ $a'or 1%e 3;+ pero menor 1%e 9F+88 ' d+ $enor 1%e 33+;F o ma'or 1%e 9

3@ Sol%#i*n a:

59@, 5+G@, Px+85

A

9@

+8

AT5;@X H A, 0allamo" el /alor ipi-i#ado de K, K5

Wig+ N ;

,:,+8, − ,9@ +G@

5+G, obenemo"

#on a'%da de la abla de la #%r/a normal /er pag+ 9, el )rea b%"#ada e" enon#e",

A359+@8X

Px+85;@X H 9+@85F9+@8, por lo ano, la

probabilidad de obener %n /alor menor 1%e +8 e" de F9+@8X  Sol%#i*n b:

59@, 5+G@, Px3+@G5

A

A3 3+@G

9@

A5;@X > A3, 0allamo" el /alor ipi-i#ado de K, K5

Wig+ N 8 ,3:+@G  − ,9@ +G@

5>@+8, b%"#ando el

)rea en la abla #%r/a normal enemo" 1%e el )rea b%"#ada Px3+@G5;@X > 3+8533+98,

, la probabilidad de obener %n /alor menor 1%e

3+@G e" de 33+98X Sol%#i*n #:

A353+8X

59@, 5+G@, P3;+x9F+88

3

A

3;+

A3

9@

9F+88 Wig+ N 

AT5A H A3, 0allamo" lo" /alore" para K  ' K 3 ' para "%" re"pe#i/a" )rea" en la abla de la #%r/a normal, 0allamo" el /alor ipi-i#ado" de K: K5

,3;+: − ,9@ +G@

5>@+;G, '

K35

,9F+88 − ,9@ +G@

5+3 b%"#ando el )rea en la abla

#%r/a normal enemo" 1%e el )rea b%"#ada A53+F@X ' A359F+3;X, enon#e" P3;+x9F+8853+@FX H 9F+3;X58+;X, por lo ano, la probabilidad de obener %n /alor ma'or 1%e 3;+ pero menor 1%e 9F+88 e" de 8+;X Sol%#i*n d:

59@, 5+G@, P33+;FJxJ9

A

33+;F

A3

9@

9

Wig+ N G

AT5@@X Q A H A3, 0allamo" lo" /alore" para K  ' K 3 ' "%" re"pe#i/a" )rea" en la abla de la #%r/a normal, 0allamo" el /alor ipi-i#ado" de K: K5

,33+;F − ,9@ +G@

5>@+F;, ' K35

,9 − ,9@ +G@

5@+ b%"#ando el )rea en la abla #%r/a

normal enemo" 1%e el )rea b%"#ada A 593+GFX ' A353+FX, enon#e":

33 P33+;FJxJ95@@X > 93+GFX H 3+FX59F+X, por lo ano, la probabilidad de obener %n /alor menor 1%e 33+;F o ma'or 1%e 9@ e" de 9F+X

E\ERCICIOS PROP.ESTOS +

Cone"e en lo" primero" ; !em" "i e" /erdadero o -al"o, en #a"o de "er  -al"o &%"i-i1%e la re"p%e"a en #ada %no:

a+ b+

.n experimeno aleaorio e" a1%el del 1%e #ono#emo" odo" "%" re"%lado" Uerdadero Wal"o Si enemo" do" "%#e"o" A ' B de %n experimeno aleaorio donde A ' B "on dependiene" enon#e", PA]B5PA H PB > PA.B Uerdadero Wal"o

#+

Si enemo" do" "%#e"o" dependiene" A ' B de %n experimeno aleaorio enon#e", PA B5PAPBA Uerdadero

d+

Sean A ' B "%#e"o independiene", enon#e" PA B^5PA^ PB^+ Uerdadero

e+

Wal"o Wal"o

Si en %n #on&%no 1%e iene m elemeno lo" omamo" de m en n omando en #%ene el orden de #olo#a#i*n, e"a -orma de #onar re#ibe el nombre de #ombina#i*n+ Uerdadero

-+

Wal"o

.n diagrama de )rbol e" %n in"r%meno e*ri#o 1%e no" permie e"pe#i-i#ar  por #ompren"i*n odo" lo" elemeno" de %n prod%#o #are"iano enre #on&%no", 1%e engan %n n2mero de elemeno" in-inio"+

39

g+

Uerdadero Wal"o Si la probabilidad de 1%e %n "%#e"o o#%rra e" a, enon#e", la probabilidad de 1%e no o#%rra el "%#e"o e" 1x5 Q Px Uerdadero Wal"o

0+

Si en %n experimeno aleaorio #al#%lamo" la probabilidad de %n "%#e"o A ' obenemo" 1%e PA53, enon#e" e"e re"%lado p%ede "er /erdadero Uerdadero

i+

Wal"o

Si A e") -ormado por lo" "%#e"o" independiene" enre "! 6A, A3, A97 ' A5 A A3 A9,enon#e", PA5PA H PA3 H PA9 e": Uerdadero

3+

Wal"o

En %na -%ndidora, "e ideni-i#a %n loe de 3@ blo1%e" de moor, de lo" #%ale" ; #onienen de-e#o" inerno"+ El #omprador "ele##iona 9 blo1%e" al a(ar ' pr%eba "% d%re(a+ Se a#epar) el loe "i no "e ideni-i#an de-e#o"+ C%)l e" la probabilidad de 1%e "e a#epe el loe

9+ Se elige %na #ara de %n naipe e"paol de @ #ara", C%)l e" la probabilidad de 1%e "alga %n ba"o o %n a" + Si "e lan(a %n dado, C%)l e" la probabilidad de 1%e "alga %n n2mero m2liplo de do" o de re" ;+ Si "e lan(a %n dado, C%)l e" la probabilidad de 1%e "alga %n n2mero m2liplo de do" ' de re" 8+ Enre @@ E"%diane" de la .nelle( Ap%re, 3@ #%r"an Admini"ra#i*n, 3; Plani-i#a#i*n G, Ed%#a#i*n

' 9 Conad%r!a, de lo" @@ e"%diane" "e

"ele##ion* %no a(ar+ C%)l e" la probabilidad de 1%e e"e e"%diane #%r"e: a+ g+ +

Admini"ra#i*n, b+ Plani-i#a#i*n, #+ Ed%#a#i*n, d+ $edi#ina, Conad%r!a, En la .NELLEK Se ienen %na #a&a 1%e #onienen, 3; bola" negra", F bola" blan#a" ' 9 bola" ro&a", "e exraen 3 bola" "in reempla(amieno C%)l e" la probabilidad de 1%e e"a" bola" "ea amba" blan#a"

G+

Se ienen %na #a&a 1%e #onienen, 3 bola" negra",  bola" blan#a" ' 8 bola" ro&a", "e exraen 9 bola" "im%lanea" "in reempla(amieno C%)l e" la probabilidad de 1%e e"a" bola" "ea oda" negra"

F+

Al lan(ar do" dado", enon#e" P;JxJ e":

3 @+ Al lan(ar do" dado", enon#e" P;x e": + La probabilidad de exraer %na piedra de %n &%ego de domino ' 1%e la "%ma de "%" #ara "ea ma'or 1%e re" pero menor 1%e n%e/e e": 3+ En %n #%r"o de E"ad!"i#a para Admini"radore" I de 8@ al%mno", 38 apr%eban el m*d%lo I, 3; apr%eban el m*d%lo II, 3 apr%eban el m*d%lo III, F apr%eban el m*d%lo I ' II,  apr%eban el m*d%lo I ' III,  apr%eban el m*d%lo II ' III ' G no apr%eban ning%no de lo" m*d%lo", "i e"#ogemo" %n al%mno al a(ar, la probabilidad de e"e 0a'a aprobado lo" 9 m*d%lo" e": 9+ Deermine la probabilidad de obener %na #ara ' %n "ello al lan(ar do" /e#e" %na moneda+ + Si "a#a" al a(ar %na -i#0a de %n domin*+ C%)l e" la probabilidad de obener  p%na&e F o %n doble ;+ L%( $arina e") embara(ada ' en #on"%la #on el Ob"era e"e le di#e 1%e /a a ener rilli(o", L%( $arina emo#ionada "%ea en ener do" /arone" ' %na 0embra, pero 1%e el ma'or "ea /ar*n el inermedio 0embra ' el menor  /ar*n+ Enon#e" la probabilidad de 1%e "e le #%mpla el "%eo a L%( $arina e": 8+ .n experimeno #on"i"e en lan(ar al aire do" dado" #on -orma de eraedro, #%'a" #ara" e")n en%merada" de  a + Yallar la probabilidad de obener  do" n2mero" pare" o %n n2mero menor o ig%al 1%e #%aro en #ada lan(amieno+ + En la mae"r!a _eren#ia ' Plani-i#a#i*n In"i%#ional 0a' @ pro-e"ore" #onraado"+ De e"o"  "on m%&ere" ' 8 "on 0ombre"+ Si "e de"ea e"#oger  para e"e "eme"re %n "olo #onraado en %na "ele##i*n aleaoria, C%)l e" la probabilidad de 1%e no "ea "ele##ionada %na m%&er, Con"iderar!a %"ed in%"%al 1%e ning%na m%&er "e eli&a ba&o ale" #ir#%n"an#ia" Expli1%e "% re"p%e"a+ G+ En %n gr%po de 8@ e"%diane" de Probabilidad ' E"ad!"i#a, 9@ "on a-i#ionado"

al

-%bol,

; al b4i"bol ' ; a ambo" depore"+

Si

"e

"ele##iona aleaoriamene %n al%mno de e"e gr%po, C%)l e" la probabilidad de 1%e el al%mno "ea a-i#ionado al b4i"bol o -%bol

3; F+ En %na al#an#!a 0a' @ moneda" de ; #4nimo", 33 moneda" de @ #4nimo" ' 8 moneda" de 3@ #4nimo"+ Si "a#a" do" moneda" al a(ar "in repo"i#i*n+ C%)l e" la probabilidad 1%e "ean %na moneda de @ ' ora de 3@ #4nimo" 3@+ Deermina la probabilidad de 1%e al lan(ar %n dado re"%le menor o ig%al 1%e 3 o ma'or 1%e ; 3+ Se ienen do" #a&a" 1%e #onienen: #a&a NM : 3@ bola" negra", G bola" blan#a" ' 3 bola" ro&a", #a&a NM 3: 9 bola" negra",  bola" blan#a" ' @ bola" ro&a", "e lan(a %na moneda, "i "ale #ara "e exraen do" bola" #on reempla(amieno de la #a&a NM , "i "ale "ello "e exraen do" bola" "in reempla(amieno de la #a&a NM 3+ C%)l e" la probabilidad de 1%e e"a" bola" "ean %na negra ' %na ro&a 33+ En %n ban#o de "angre "e ienen #%aro donadore" de lo" #%ale" "olamene %no #%ena #on el ipo de "angre AH+ Si "e "ele##iona aleaoriamene %n donador 0a"a obener %no de ipo AH+ C%)l e" la probabilidad de 1%e la er#era per"ona "ele##ionada enga "angre AH 39+ En %n ban#o de "angre "e ienen #%aro donadore" de lo" #%ale" "olamene %no #%ena #on el ipo de "angre AH+ Si "e "ele##iona aleaoriamene %n donador 0a"a obener %no de ipo AH+ C%)l e" Probabilidad de 1%e la er#era per"ona enga "angre AH, dado 1%e la primera ' la "eg%nda no lo ienen PAH`AH]AH + 3+ .na #la"e iene @ 0ombre" ' 3@ m%&ere", de la #%al la miad de lo" 0ombre" ' m%&ere" ienen o&o" #a"ao"+ En#onrar la probabilidad de 1%e la per"ona elegida al a(ar "ea 0ombre o enga lo" o&o" #a"ao"+ 3;+ .na -amilia e") #on-ormada por lo" padre" ' #in#o 0i&o" menore" de edad de lo" #%ale" do" "on nio" ' el re"o "on nia"+ C%)l e" la probabilidad de 1%e al e"#oger %no de lo" miembro", el elegido "ea de "exo ma"#%lino 38+ En el iner"eme"rar 3@8 la probabilidad de 1%e %n e"%diane apr%ebe E"ad!"i#a Para Admini"radore" I e" 9GX ' la probabilidad de aprobar  $aem)i#a _eneral e" 3FX+ Si la probabilidad de 1%e apr%ebe E"ad!"i#a E"ad!"i#a Para Admini"radore" I * $aem)i#a _eneral e" ;X+ C%)l e" la probabilidad de aprobar E"ad!"i#a Para Admini"radore" I ex#l%"i/amene

38 3+ Se 0a ideni-i#ado re#ienemene %n rie"go ambienal en la "obre expo"i#i*n a a"be"o en el aire+ En la #i%dad de Cara#a" "e omo %na m%e"ra de @ edi-i#io" p2bli#o" de m)" de 3@ ao" de anigedad, en 9 "e ideni-i#* ai"lamieno" #on maeriale" 1%e prod%#en %n n2mero ex#e"i/o de par!#%la" de a"be"o en el aire+ C%)l e" la probabilidad de 1%e oro edi-i#io del mi"mo ipo enga problema 3G+ .na #omp%adora en el 0ogar e") #one#ada #on %n "er/idor a ra/4" de %n m*dem ele-*ni#o+ La primera mar#a repeidamene 0a"a e"able#er el #ona#o+ Por "%p%e"o, el pro#e"o de mar#ado ermina %na /e( logrado el #ona#o ele-*ni#o+ Si " denoa el 0e#0o de 1%e "e e"able#e #ona#o en %n ineno e"pe#!-i#o, ' n, 1%e no "e e"able#e+ a+

Elabore %n diagrama del )rbol para repre"enar el pro#e"o mar#ado

b+

Son ig%almene po"ible" la" ra'e#oria" del )rbol

#+

En%mere lo" p%no" m%4"rale" 1%e genera el )rbol+ a#a"o p%ede #omplear"e e"a li"a

d+

En%mere lo" p%no" m%4"rale" 1%e #on"i%'en e"e e/eno+ Se e"able#e #ona#o a lo "%mo en  /e#e"

3F+ En la #on-ig%ra#i*n de %n "i"ema de #*mp%o, para 1%e la empre"a lo %"e en #onrol de #alidad, en li#en#iado en #omp%a#i*n iene  op#ione" de #omp%adora": IB$, UA, YONE[cELL o YP+ Son 8 la" mar#a" de moniore" 1%e p%eden ad1%irir"e ' 9 lo" ipo" de impre"ora" gr)-i#a"+ a+

Si odo el e1%ipo e" #ompaible, En #%)na" -orma" p%ede di"ear"e el "i"ema

b+

Si el li#en#iado ne#e"ia %"ar %n pa1%ee de "o-are e"ad!"i#o 1%e e") di"ponible "*lo para IB$ o UA, De #%ana" manera" p%ede #on-ig%rar el "i"ema

9@+ Se reali(ar)n pr%eba" #on ; re#%brimieno" %"ado" en la prod%##i*n de #able" de -ibra *pi#a #onra el -r!o exerno+ La" pr%eba" "e e-e#%ar)n en orden aleaorio+ a+

En #%)no" *rdene" p%ede lle/ar"e a #abo la" pr%eba"

3 b+

Si 3 de lo" re#%brimieno" "on de %n -abri#ane+ C%)l e" la probabilidad de 1%e la" pr%eba" de e"o" re#%brimieno" "e reali#e" %na de"p%4" de la ora

9+ .na #ompa!a iene @ programadore", G anali"a" de "i"ema,  li#en#iado" en #omp%a#i*n ' 9 e"ad!"i#o"+ Se elegir) %n e1%ipof para %n n%e/o pro'e#o a largo pla(o+ El e1%ipo #on"i"ir) en 9 programadore", 3 anali"a" de "i"ema", 3 li#en#iado" en #omp%a#i*n '  e"ad!"i#o+ a+

En #%)na" -orma" p%ede "ele##ionar"e el e1%ipo

b+

Si el #liene in"i"e en 1%e "e in#l%'a en el pro'e#o a %n ingeniero de #omp%a#i*n #on el 1%e 0a raba&ado aneriormene, De #%ana manera p%ede "ele##ionar"e el e1%ipo

93+ \%an ' Carlo" &%egan 3 parida" de a&edre(+ \%an gana  parida", Carlo" F parida" ' enablan ; parida"+ A#%erdan &%gar %n ma#0 de 3 parida"+ Yallar la probabilidad de 1%e: a \%an gane ; parida", b 0agan abla" en  parida", # \%an ' Carlo" ganen alernadamene, d Carlo" gane 9 parida"+ 99+ Se lan(a %na moneda 9 /e#e"+ C%)l e" la probabilidad de 1%e por lo meno" #aiga do" #ara" 9+ S%p*nga"e 1%e "e iene %na #a&a 1%e #oniene 3 bola" ro&a", G negro" ' @ /erde"+ C%)l e" la probabilidad de 1%e "e exraiga %na bola ro&a o /erde 9;+ Se elige %n #omi4 de 9 miembro" enre 8 #andidao" po"ible" C, C3, C9, C, C; [ C8, a e"pe#i-i#ar el e"pa#io m%e"ral, b a"ignar ade#%adamene a lo" "%#e"o" elemeno" del e"pa#io m%e"ral, # 0allar la probabilidad de 1%e "e eli&a C, d 0allar la probabilidad de 1%e C ' C3 "ean elegido", e 0allar la probabilidad de 1%e C * C3 "ean elegido", - 0allar la probabilidad de 1%e C no "ea elegido, g 0allar la probabilidad de 1%e ni C ni C3 "ean elegido"+ 98+ Se ienen do" #a&a" 1%e #onienen: #a&a NM : 3; bola" negra", F bola" blan#a" ' 93 bola" ro&a", #a&a NM 3: 39 bola" negra", ; bola" blan#a" ' 3 bola" ro&a", "e lan(a %na moneda, "i "ale #ara "e exraen do" bola" de la #a&a NM , "i "ale "ello "e exraen do" bola" de la #a&a NM 3+ C%)l e" la probabilidad de 1%e e"a" bola" "ea blan#a" a #on reempla(amieno b "in reempla(amieno+

3G 9+ En el #%r"o de E"ad!"i#a para la in/e"iga#i*n de la #o0ore UI de A#0ag%a" %na de la" pari#ipane" e") embara(ada de rilli(o" ' ella 1%iere 1%e el primero 1%e na(#a "ea /ar*n, el "eg%ndo 0embra ' el er#ero /ar*n a+ C%)l e" la probabilidad 1%e "e le #%mpla "% de"eo b+ de no #%mplir"e en e"e orden #%al e" la probabilidad de 1%e na(#an do" /arone" ' %na 0embra 9G+ Sea A, el e/eno de obener %n oal de  p%no" al irar do" dado" ' B el e/eno de obener %n oal de + C%)l "er) la probabilidad de obener %n  o %n  al lan(ar %na /e( lo" do" dado" 9F+ C%)l e" la probabilidad de 1%e al exraer %na piedra de %n &%ego de domino, a+ La "%ma de "%" #ara" re"%le "er: menor 1%e 8 o ma'or 1%e G b+ La "%ma de "%" #ara" "ea: ma'or 1%e 8 o menor 1%e @, o %n doble+ @+ Cla"i-i1%e #ada %na de la" /ariable" aleaoria" "ig%iene, 'a "ea #omo di"#rea o #onin%a+ a+

La" edade" de lo" pari#ipane" de E"ad!"i#a para la In/e"iga#i*n+

b+

El n2mero de pari#ipane" del #%r"o E"ad!"i#a para la In/e"iga#i*n+

#+

Pa"elio" /endido" en el #a-e!n -rene de la .ni/er"idad+

+ La probabilidad de 1%e %na #iera #la"e de #omponene pa"e #on 4xio %na deerminada pr%eba de impa#o e" de @+;+ en#%enre la probabilidad de 1%e exa#amene 3 de lo" "ig%iene"  #omponene" 1%e "e pr%eban pa"en la pr%eba+ 3+ La probabilidad de 1%e %n pa#iene "e re#%pere de %na rara en-ermedad de la "angre e" de @++ Si "e "abe 1%e ; per"ona" 0an #onra!do e"a en-ermedad, C%)l e" la probabilidad de 1%e: a+ al meno" @ "obre/i/an, b+ "obre/i/an enre 9 ' G per"ona", ' #+ "obre/i/an exa#amene ; per"ona" 9+ El @X de a%o" de lo" pro-e"ore" de la .NELLEK>AP.RE ienen problema" #on el "i"ema el4#ri#o+ Si 0a' G3 pro-e"ore" 1%e ienen a%o en la .NELLEK>AP.RE+ C%)l e" el n2mero e"perado de a%o" de e"o" pro-e"ore" 1%e endr) problema #on el "i"ema el4#ri#o + Se "ele##iona a %n empleado de %n gr%po de @ para "%per/i"ar %n #iero pro'e#o, e"#ogiendo aleaoriamene %na pla#a de %na #a&a 1%e #oniene @

3F n%merale" del  al @+ En#%enre la -*rm%la para la di"rib%#i*n de probabilidade" de  1%e repre"ena el n2mero de la pla#a 1%e "e "a#a+ C%)l e" la probabilidad de 1%e el n2mero 1%e "e "a1%e "ea menor a  ;+ En la #i%dad de A#0ag%a "e da #omo ra(*n del @+; de lo" robo" la ne#e"idad de

dinero para #omprar e"%pe-a#iene"+ En#%enre la

probabilidad 1%e denro de lo" ; pr*ximo" a"alo" reporado" en A#0ag%a: a+ exa#amene 3 "e debieran a la ne#e"idad de dinero para #omprar droga", b+ #%ando m%#0o 9 "e debieran a la mi"ma ra(*n indi#ada en el aparado a+ 8+ .n examen de e"ad!"i#a -%e admini"rado a ;@ al%mno", "iendo lo" re"%lado" %na di"rib%#i*n normal #on %na media de 9 ' %na de"/ia#i*n !pi#a de @+9+ Yallar la probabilidad de 1%e %n al%mno "a1%e %na p%n%a#i*n menor 1%e 3+ o ma'or 1%e 9+8+ + .n gr%po de @ per"ona" "e "iena en %n ban#o+ C%)l e" la probabilidad de 1%e do" per"ona" -i&ada" de anemano "e "ienen &%na" G+ La probabilidad de 1%e %na per"ona 1%e /i/e en A#0ag%a po"ea %n perro "e e"ima en 9@X+ En#%enre la probabilidad de 1%e la d4#ima per"ona enre/i"ada aleaoriamene en "ea la 1%ina per"ona 1%e po"ea %n perro+ F+ Lo" e"%diane" A ' B ienen re"pe#i/amene probabilidade" 3 ' ; de "%"pender %n examen+ La probabilidad de 1%e "%"pendan el examen "im%l)neamene e" de @+ Deerminar la probabilidad de 1%e al meno" %no de lo" do" e"%diane" "%"penda el examen+ ;@+ .n #ien!-i#o ino#%la /ario" raone", %no a la /e(, #on %n germen de %na en-ermedad 0a"a 1%e obiene 3 1%e la 0an #onra!do+ Si la probabilidad de #onraer la en-ermedad e" @+88, #%)l e" la probabilidad de 1%e "e re1%ieran G raone" ;+ S%ponga de 1%e la probabilidad de 1%e %na per"ona deerminada #rea %na 0i"oria a#er#a de lo" aenado" a %na -amo"a a#ri( e" de G@X+ #%)l e" la probabilidad de 1%e: a+ la "exa per"ona 1%e e"#%#0a al 0i"oria "ea la #%ara 1%e la #rea, b+ la er#era per"ona 1%e e"#%#0a al 0i"oria "ea la primera la #rea

9@ ;3+ De lo" al%mno" de la mae"r!a en _eren#ia ' Plani-i#a#i*n In"i%#ional el X -%man+ Si "e elige 8 al%mno" para #ono#er "%" opinione" "obre el #igarrillo+ a+

En#%enre la probabilidad de 1%e ning%no -%me+

b+

Obenga la probabilidad de 1%e odo" -%men+

#+

Deermine la probabilidad de 1%e por lo meno" la miad de lo" 8 -%men+

;9+ Si %n -abri#ane de a%om*/ile" propor#iona /e0!#%lo" e1%ipado" #on di"ina" op#ione" 1%e el #liene "ele##iona: a+

A%om)i#o o "in#r*ni#o

b+

Con o "in aire a#ondi#ionado

#+

Con radio ' reprod%#or, o #on radio ' CD o #on radio ' $P9

d+

En %no de lo"  #olore" en exerior: a(%l o blan#o o ro&o o /erde

i+

C%)l e" el e"pa#io m%e"ral

ii+

C%)l e" la probabilidad de 1%e %n #liene elegido al a(ar e"#oba %n /e0!#%lo "in#r*ni#o, #on aire a#ondi#ionado, 1%e enga $P9 ' no le impore el #olor del exerior+

iii.

C%)l e" la probabilidad de 1%e %n #liene elegido al a(ar e"#o&a %n /e0!#%lo a%om)i#o, "in aire a#ondi#ionado, 1%e enga CD o $P9 ' el #olor del exerior ro&o o /erde .

;+ La" "e##ione"  ' 3 de E"ad!"i#a para la in/e"iga#i*n del Po"grado de _eren#ia ' Plani-i#a#i*n In"i%#ional 0a' in"#rio @@ e"%diane", pre"enado" la" pra#i#a" indi/id%ale" I, II, ' III lo" re"%lado" "on lo" "ig%iene": a+

3; aprobaron el pra#i#a I

b+

 aprobaron el pra#i#a II

#+

@ aprobaron el pra#i#a III

d+

33 aprobaron el pra#i#a I ' II

e+

3 aprobaron el pra#i#a I ' III

-+

9G aprobaron el pra#i#a II ' III

g+

F aprobaron el pra#i#a I o II o III

9 i+

C%)l e" la probabilidad de 1%e "e "a1%e %n e"%diane al a(ar ' e"e 0a'a aprobado %no de lo" m*d%lo" ane" men#ionado" ex#l%"i/amene

ii+

C%)l e" la probabilidad de 1%e "e "a1%e %n e"%diane al a(ar ' e"e no 0a'a aprobado do" de lo" m*d%lo" ane" men#ionado" ex#l%"i/amene

;;+ En el "eme"re 3@;>I en la mae"r!a de _eren#ia ' Plani-i#a#i*n In"i%#ional, la probabilidad de 1%e %n e"%diane apr%ebe E"ad!"i#a Para la In/e"iga#i*n e" @,; ' la probabilidad de aprobar Comp%a#i*n para la In/e"iga#i*n e" @,8;+ Si la probabilidad de 1%e apr%ebe E"ad!"i#a Para la In/e"iga#i*n * Comp%a#i*n para la In/e"iga#i*n e" @,G@+ C%)l e" la probabilidad de aprobar amba" ;8+ Si "e ienen 3 l)pi#e" %no ro&o ' oro /erde, #%'a" #ara" e")n n%merada" , 3, 9,  ' "4 0e#0a a rodar "obre el pi"o, le'endo lo" n2mero" #orre"pondiene" a "%" #ara" "%periore"+ Con lo anerior: a+

E"able(#a el e"pa#io m%e"ral de lo" a#one#imieno"+

b+

Deermine la probabilidad de 1%e la #ara "%perior del l)pi( ro&o "ea  o 9, mienra" 1%e la /erde "ea 3 o +

#+

C%)l e" la probabilidad de 1%e la "%ma de "%" #ara" "ea 

d+

%4 la "%ma de "%" #ara" "ea %n n2mero par

;+ S%ponga 1%e agrega %n l)pi( a(%l al e&er#i#io anerior+ P%ede e"able#er %n e"pa#io m%e"ral Si e" a"! deermine: a+

La probabilidad de 1%e exa#amene %na de la" #ara" exp%e"a" pre"ene el n2mero 3+

b+

La probabilidad #orre"pondiene a 1%e exa#amene do" de la" #ara" exp%e"a" pre"enen el n2mero 3+

#+

%e la" re" pre"enen el n2mero 3+

;G+ Se

elige

%n

#omi4

de

re" miembro"

enre

8

#andidao" A,

B, C, D, E ' W+ a+

E"pe#i-i#ar el e"pa#io apropiado ' a"ignar ade#%adamene probabilidade" a lo" "%#e"o" elemenale" del e"pa#io m%e"ral+

b+

Yallar la probabilidad de 1%e "e eli&a A+

#+

Yallar la probabilidad de 1%e A ' B "ean elegido"+

93 d+

Yallar la probabilidad de 1%e A o B "ean elegido"+

e+

Yallar la probabilidad de 1%e A no "ea elegido+

-+

Yallar la probabilidad de 1%e ni A ni B "ean elegido"+

;F+ En re%ni*n del Coordinador de Po"grado #on el &e-e de laboraorio para "aber  1%4 d!a e"aba di"ponible el "al*n de #omp%a#i*n para el di#ado de la #%ara pare del "%b+>pro'e#o E"ad!"i#a Apli#ada de la #%ara #o0ore de la $ae"r!a en Ed%#a#i*n S%perior, el &e-e de laboraorio re"pondi* 1%e di"pone de re" d!a" lo" #%ale" "on: l%ne" de 8:@@ P$+ a @:@@ P$+, mi4r#ole" de 8:@@ P$+ a @:@@ P$+ ' lo" ")bado" de G:@@ A$+ a 3:@@ m+ En #on"%la #on lo" pari#ipane" ; para /er 1%4 d!a de lo" ane" men#ionado" ello" no 1%er!an #la"e", "e ob%/o la "ig%iene in-orma#i*n: 33 no 1%er!an #la"e lo" l%ne", 39 no 1%er!an #la"e lo" mi4r#ole", 3; no 1%er!an #la"e lo" ")bado", G no 1%er!an #la"e lo" l%ne" ' mi4r#ole", F no 1%er!an #la"e lo" l%ne" ' ")bado, 3 no 1%er!an #la"e lo" mi4r#ole" ' ")bado, 9 no 1%er!an #la"e lo" re" d!a" ane" men#ionado"+ Se de"ea "aber: a+

#%)l e" la probabilidad de 1%e lo" pari#ipane" no 1%er!an #la"e %no de lo" d!a" men#ionado" no engan

b+

#%)l e" la probabilidad de 1%e lo" pari#ipane" 1%er!an #la"e lo" d!a" men#ionado", engan

#+

#%)l e" la probabilidad de 1%e lo" pari#ipane" no 1%er!an #la"e lo" l%ne" ex#l%"i/amene, no lo engan

d+

#%)l e" la probabilidad de 1%e lo" pari#ipane" no 1%er!an #la"e lo" mi4r#ole" ex#l%"i/amene, lo engan

e+

#%)l e" la probabilidad de 1%e lo" pari#ipane" 1%e 1%er!an #la"e lo" ")bado" ex#l%"i/amene, no lo engan

-+

#%)l e" la probabilidad de 1%e lo" pari#ipane" no 1%er!an #la"e lo" mi4r#ole" ' ")bado ex#l%"i/amene, lo engan

8@+ El deparameno de /ena" de Comer#ial Trai "ele##iona 3+@@@ #liene" enre odo" lo" 1%e po"een #%ena de #r4dio en di#0o e"able#imieno ' "e le" preg%na "obre el %"o 1%e 0an dado a "% #r4dio d%rane el pa"ado ao, obeni4ndo"e lo" "ig%iene" re"%lado": ;;@ #liene" en &%g%ee", 8@@ #liene"

99 en ar!#%lo" de /e"ir, +@@ #liene" en are-a#o" para el 0ogar, 9@@ #liene" en &%g%ee" ' ar!#%lo" de /e"ir, 33@ #liene" en &%g%ee" ' are-a#o" para el 0ogar, ;@@ #liene" en ar!#%lo" de /e"ir ' are-a#o" para el 0ogar, 3@@ #liene" en &%g%ee", ar!#%lo" de /e"ir ' are-a#o" para el 0ogar+ Se preg%na: a+

#%)l e" la probabilidad de 1%e lo" #liene" 1%e no %"aron "% #r4dio en ning%na de e"a" re" men#ionada" lo %"en

b+

#%)l e" la probabilidad de 1%e la" per"ona" %"aron "% #r4dio "*lo para #omprar &%g%ee", lo /%el/an a %"ar

8+ El @X de lo" e"%diane" de E"ad!"i#a para la in/e"iga#i*n apr%eban la pr)#i#a I, el 8@X apr%eban la pr)#i#a II+ Sabemo" adem)", 1%e %n 9;X del oal apr%eban la" do" pr)#i#a"+ Si elegimo" %n e"%diane de E"ad!"i#a para la in/e"iga#i*n al a(ar, #al#%lar la probabilidad de 1%e: a+

Ya'a aprobado la pr)#i#a II, "abiendo 1%e aprob* la pr)#i#a I

b+

Ya'a aprobado la pr)#i#a II, "abiendo 1%e no aprob* la pr)#i#a I

#+

No 0a'a aprobado la pr)#i#a II, "abiendo 1%e aprob* la pr)#i#a I

d+

No 0a'a aprobado la pr)#i#a II, "abiendo 1%e no aprob* la pr)#i#a I

83+ A lo" F@ al%mno" del #%aro "eme"re de E"ad!"i#a De"#ripi/a "e le" reali(* %na en#%e"a "obre "%" pre-eren#ia" depori/a" ' lo" re"%lado" obenido" e")n dado" en la "ig%iene abla+ W2bol Uoleibol Yombre" 9; 9 $%&ere"  9 Toal 8 

Toal 3 G F@

Si "e elige al a(ar %n al%mno de E"ad!"i#a De"#ripi/a, C%)l e" la probabilidad de 1%e "ea 0ombre o pra#i1%e -2bol 89+ En la Biblioe#a del Po"grado de la .NELLEK exi"en ; !%lo" di-erene" de libro" #la"i-i#ado" por )rea" ' #o"o #omo "e m%e"ra en la "ig%iene abla: Co"o Área" E"ad!"i#a

;@@@ B"+ @

33;@@ B"+ G

9@@@@ B"+ 9

9 _eren#ia Plani-i#a#i*n

3 

@ 

F 3

Yallar la probabilidad de 1%e %n libro elegido al a(ar "ea: a+

De E"ad!"i#a ' #%e"e ;@ B"+ W

b+

De _eren#ia ' #%e"e 9@@ B"+ W

#+

De Plani-i#a#i*n ' #%e"e enre ;@ B"+ W ' 33; B"+ W

d+

De E"ad!"i#a" ' #%e"e meno" de 9@@ B"+ W

e+

De _eren#ia o #%e"e 33; B"+ W

-+

De Plani-i#a#i*n o #%e"e m)" de ;@ B"+ W

8+ _lobo /i"i*n en#onr* 1%e el @X de lo" narradore" de noi#ia" de alo ni/el eran m%&ere", ' 1%e el 9X de lo" 1%e o#%paban p%e"o de alo ni/el en la plana ele/i"i/a eran m%&ere" #on i%lo de $ae"r!a+ El Con"e&o Admini"rai/o de Uene/i"i*n, de"ea elegir al a(ar %n narrador de noi#ia de _lobo /i"i*n para nombrarlo #orre"pon"al de %n #argo e&e#%i/o de alo ni/el en "% #anal+ a+

C%)l e" la probabilidad de 1%e eli&an %na m%&er 1%e enga $ae"r!a

b+

Se "abe 1%e el 3;X de lo" narradore" de noi#ia de _lobo /i"i*n ienen i%lo de $ae"r!a, C%)l e" la probabilidad de "ele##ionar %na m%&er de enre lo" 1%e ienen $ae"r!a+

8;+ .ili(ando la abla de )rea de la #%r/a normal, #al#%lar el )rea en lo" "ig%iene" #a"o" para #ada #a"o 0a#er la gr)-i#a del )rea pedida a+

@K+3

b+ >+9;K@

#+

>@+8GK+3F

d+

K>@+;G

e+

KJ>+

-+ >+3K+9 a+

."ando la abla de )rea de la #%r/a normal, #al#%lar el /alor de K 1%e #orre"ponde a la" )rea" 1%e "e indi#an en lo" "ig%iene" #a"o" reali#e la gr)-i#a de: a+ @ a K e" 3F+9, b+ de >  a K e" 3+, #+ de > a K e" @+@

88+ .n examen de e"ad!"i#a -%e admini"rado a ;@ al%mno", "iendo lo" re"%lado" %na di"rib%#i*n normal #on %na media de 9 ' %na de"/ia#i*n !pi#a de @+9+ Yallar la" "ig%iene" probabilidade"+ a+

P9+;JJ,

b+

P3+G9,

#+

e+ 13+F;JJ9+@ -+ 19+@9+;+

P3+G9+,

d+

P3+JJ9+8,

9; 8+ Se lan(an do" dado" 0orado", #%al e" la probabilidad de 1%e la "%ma" de "%" #ara" re"%le: a+

$enor 1%e ;, b+ ma'or 1%e G, #+ ma'or 1%e  pero menor o ig%al 1%e  d+

menor 1%e 9 o ma'or o ig%al 1%e F

8G+ S%pongamo" 1%e lo" "alario" de @@ Li#en#iado" en Plani-i#a#i*n "ig%en %na di"rib%#i*n normal ' 1%e el "alario promedio e" de B"+ ;F3@ ' "% de"/ia#i*n !pi#a e" de B"+ +F;+ Se pide: a+ El n2mero de Plani-i#adore" 1%e ienen "alario" #omprendido" enre B"+ 3;@@ ' B"+ 3;8@ b+ El n2mero de Plani-i#adore" 1%e ienen "alario" "%perior a B"+ F@@@ 8F+ En la #i%dad de San Wernando de Ap%re "e da #omo ra(*n 1%e el ;X de lo" robo" el dinero "e %ili(a para #omprar e"%pe-a#iene"+ En#%enre la probabilidad 1%e denro de lo" ; pr*ximo" a"alo" reporado" en San Wernando de Ap%re #%ando m%#0o 9 "e debieran para #omprar  e"%pe-a#iene"+ @+ .n agene de "eg%ro" /ende p*li(a" a #in#o per"ona" de la mi"ma edad ' 1%e di"-r%an de b%ena "al%d+ Seg2n la" abla" a#%ale", la probabilidad de 1%e %na per"ona en e"a" #ondi#ione" /i/a 9@ ao" o m)" e" 39+ Y)lle"e la probabilidad de 1%e ran"#%rrido" 9@ ao", /i/an al meno" re" per"ona" + .n agene de "eg%ro" /ende p*li(a" a #in#o per"ona" de la mi"ma edad ' 1%e di"-r%an de b%ena "al%d+ Seg2n la" abla" a#%ale", la probabilidad de 1%e %na per"ona en e"a" #ondi#ione" /i/a 9@ ao" o m)" e" 39+ Y)lle"e la probabilidad de 1%e ran"#%rrido" 9@ ao", /i/an al meno" re" per"ona" 3+ Si %na /ariable aleaoria iene %na di"rib%#i*n normal #on %na media 59@ ' %na de"/ia#i*n e")ndar 5+G@, C%)l e" la probabilidad de obener %n /alor menor 1%e 33+;F o ma'or 1%e 9 9+ Si %na /ariable aleaoria iene %na di"rib%#i*n normal #on %na media 59@ ' %na de"/ia#i*n e")ndar 5+G@, C%)l e" la probabilidad de obener %n /alor ma'or 1%e 3;+ pero menor 1%e 9F + .n examen de e"ad!"i#a -%e admini"rado a ;@ al%mno", "iendo lo" re"%lado" %na di"rib%#i*n normal #on %na media de 9 ' %na de"/ia#i*n !pi#a de @+9+ Yallar la probabilidad de 1%e %n al%mno "a1%e %na p%n%a#i*n

98 menor 1%e 3+ o ma'or 1%e 9+8+ ;+ 3; pailla" ienen %n pe"o medio de +3 hg ' %na de"/ia#i*n !pi#a de @+38 hg+ Yallar la probabilidad de 1%e %na m%e"ra al a(ar de G; pailla" engan %n pe"o oal: a+

Enre +33 hg ' +3;

b+

$)" de +9

8+ .n pro#e"ador de alimeno" en/a"a #a-4 en -ra"#o" de @@ gramo"+ Para #onrolar el pro#e"o, "e %ili(a la "ig%iene regla de de#i"i*n+ Se "ele##ionaran 8 -ra"#o" #ada 0ora "i "% pe"o medio e" in-erior a %n /alor  #rii#o, "e deiene el pro#e"o ' "e rea&%"a en #a"o #onrario, "e #onin2a la opera#i*n "in deener el pro#e"o+ Deerminar el /alor #rii#o de modo 1%e 0allar %na probabilidade" "olo @+@; de deener el pro#e"o #%ando e") en/a"ado a %n promedio de @+; gramo", #on %na de"/ia#i*n !pi#a de 3+; gramo" + De"p%4" de %n exen"o e"%dio, lo" ar#0i/o" de %na #ompa!a de "eg%ro" re/elan 1%e la pobla#i*n de %n pa!" #%al1%iera p%eden #la"i-i#ar"e, "eg2n "%" edade", #omo "ig%e: %n 9;X de menore" de 3@ ao", %n 3;X enre 3 ' 9; ao", %n 3@X enre 98 ' ;@ ao", %n ;X enre ; ' 8; ao" ' %n ;X ma'ore" de 88 ao"+ S%pongamo" 1%e "e p%ede elegir %n indi/id%o de al manera 1%e #%al1%ier 0abiane iene la mi"ma probabilidad de "er elegido+ C%)l e" la probabilidad de 1%e "i "e "ele##iona %n 0abiane al a(ar e"e "ea: a $a'or 1%e 9; ao" b $enor 1%e G ao" # 3 ao" d ;; ao" e G@ ao" G+ El n2mero de a##idene" 1%e o#%rren en %na deerminada e"1%ina lo" d!a" /ierne" enre la" 8:@@ ' :@@ p+m+ p%eden "er: @,,3,9, o  #on probabilidade" ig%ale" a G@X, GX, 8X, X, 3X a

Yalle el n2mero e"perado de a##idene", d%rane di#0o periodo

b

D%rane 3@@ periodo" #omo "e #on"ider*