Culegere Microunde

George LOJEWSKI

Nicolae MILITARU

MICROUNDE Culegere de probleme

EDITURA ELECTRONICA 2000

Microunde – Culegere de probleme

1 LINII DE TRANSMISIUNE TEM

1.1 Să se calculeze parametrii lineici ai unui cablu coaxial fără pierderi având raza conductorului interior r = 3 mm şi raza interioară a cămăşii R = 1 cm. Cablul are dielectricul din polietilenă, ε r = 2,2. Rezolvare: Într-un sistem de coordonate cilindrice, dată fiind simetria circulară a cablului coaxial, fiecare dintre cele două câmpuri conţine câte o singură componentă, iar aceste componente nu depind de coordonata unghiulară ϕ : r E ρ = E0

ρ

Hϕ = H 0

r

ρ

, E0 = Z d H 0

Sarcina electrică lineică q L de pe suprafaţa conductorului interior poate fi dedusă din legea fluxului electric aplicată unei suprafeţe Σ cilindrice, coaxiale cu cablul, de lungime unitară şi rază oarecare ρ , (r < ρ < R ) :

q L = ∫ D ⋅ n Σ dA = ∫ εE ⋅ n Σ dA = Σ

Σ

2π 1

∫ ∫ εE ρ (ρ )ρdϕdz = 2πrεE0 00

Cunoscând câmpul, tensiunea dintre conductoare poate fi determinată aplicând definiţia ei clasică: B

R

R

U = ∫ Edl = ∫ E ρ ( ρ )dρ = ∫ E0

r

R r ρ A r r în care A şi B sunt două puncte arbitrare, situate fiecare pe câte unul dintre cele două conductoare. Rezultă astfel capacitatea pe unitatea de lungime a conductoarelor: 1 2π ⋅ ⋅ 2,2 9 2πεrE 0 qL π 36 ⋅ 10 = = = 101,5 ⋅ 10 −12 F m = 101,5 pF m CL = 10 R U rE 0 ln ln 3 r dρ = E 0 r ln

5

Linii de transmisiune TEM

Pe de altă parte, orice undă TEM se propagă cu o viteză de fază vϕ egală cu viteza undelor plane în mediul dielectric respectiv, c. Astfel, ştiind că 1 vϕ = LL C L iar 1 c=

εμ

din egalarea celor două expresii rezultă relaţia: LL C L = εμ . Cu alte cuvinte, inductanţa lineică a cablului coaxial poate fi exprimată în funcţie de capacitatea sa lineică. Se obţine: μ R 4π ⋅ 10 −7 10 ln = ln = 0,241 ⋅ 10 −6 H m = 241 nH m . LL = 2π r 2π 3 1.2 O porţiune dintr-un cablu coaxial fără pierderi de lungime l = 10 cm, terminată în gol, prezintă la frecvenţa f1 = 100 kHz o reactanţă de intrare capacitivă X i = −138 kΩ. Mărind treptat frecvenţa, se constată o scădere a modulului impedanţei de intrare până la frecvenţa f 2 = 433 MHz , la care apare un minim. Din aceste măsurări să se determine permitivitatea electrică a dielectricului din cablu şi impedanţa caracteristică a cablului. Rezolvare: Impedanţa de intrare a unei linii fără pierderi, terminată în gol, are expresia: Z + jZ C tg βl Z i Z =∞ = Z C S = − jZ C ctg βl = − jX i , S Z C + jZ S tg βl Z =∞ S

unde X i = Z C ctg βl este reactanţa de intrare a liniei de transmisiune considerate. La creşterea frecvenţei, minimul modulului impedanţei de intrare are loc când βl = π 2 , adică l = λ 4 . Folosind datele din problemă, rezultă: c λ2 = = 4 ⋅ l = 40 cm. f2 Pe de altă parte, c0 λ c λ2 = = = 02 f2 f2 ε r εr de unde rezultă valoarea constantei dielectrice: 2

2

2

⎛ ⎞ ⎛ λ 02 ⎞ ⎛ c0 ⎞ 3 ⋅ 10 8 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = εr = ⎜ ⎟ ⎜ 4lf ⎟ ⎜ 0,4 ⋅ 433 ⋅ 10 6 ⎟ = 3 . λ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ La frecvenţe mici ( λ >> l ), tg βl = tg 2πl λ ≈ βl astfel încât impedanţa de intrare devine L 1 1 1 c λ = − jZ C = − jZ C = −j L ⋅ = −j , Z i ≈ − jZ C βl C L ωl LL C L ωC i 2πl 2πfl

6


unde Ci = l ⋅ C L reprezintă capacitatea de intrare a liniei. La frecvenţa f1 la care λ >> l , se poate deci scrie 1 1 =− Xi = − ω1C i ω1C L l astfel încât se poate deduce capacitatea lineică a cablului coaxial de lungime l : 1 1 = = 115 ⋅ 10 −12 F m = 115 pF m . CL = − 5 3 2πf1 X i l 2π ⋅ 10 ⋅ 138 ⋅ 10 ⋅ 0,1 De aici rezultă şi impedanţa caracteristică a cablului: ZC =

LL 1 = CL CL

LL C L =

εr πf X c 1 = = 0 (−2πf1 X i ) = − 1 i c ⋅ C L c0 ⋅ C L 4lf 2 2 f2

deci

ZC =

π ⋅ 10 5 ⋅ 138 ⋅ 10 3 2 ⋅ 433 ⋅ 10 6

= 50 Ω .

1.3 Cât este rezistenţa lineică a unei linii de transmisiune având impedanţa caracteristică Z C = 100 Ω , terminată adaptat, dacă s-a constatat o atenuare a semnalului de 1 dB la fiecare 10 m parcurşi? Pierderile în dielectricul liniei se consideră neglijabile. Rezolvare: Constanta de atenuare a unei linii este legată de parametrii săi lineici prin relaţia: α = Re{γ } , unde constanta de propagare γ are expresia:

γ =

(RL + jωLL )(GL + jωC L ) .

Dacă R L << ωLL (pierderi mici în metal) şi G L ≈ 0 (pierderi neglijabile în dielectric), se poate scrie: ⎛ R RL ⎞ γ ≅ ( RL + jω LL ) ⋅ jωCL = jω LLCL 1 + L ≅ jω LLCL ⎜1 + ⎟. jω LL ⎝ 2 jω LL ⎠ Rezultă astfel expresia constantei de atenuare a liniei considerate: R R α = LL C L L = L . 2 LL 2Z C Cu valorile problemei se obţine: A 0,1 α = = 0,1dB m = Np m = 0,0115 Np m , l 8,7 de unde rezultă: R L = 2αZ C = 2 ⋅ 0,0115 ⋅ 100 = 2,3 Ω m .

1.4 Se consideră circuitul cu schema din figura de mai jos în care tronsonul de linie de transmisiune folosit este fără pierderi, are drept dielectric aerul iar impedanţa sa caracteristică prezintă valoarea Z C = 50 Ω . Se cere: a) Să se calculeze puterea activă în sarcină, la frecvenţa f = 1 GHz , folosind expresia impedanţei de intrare în linie; 7


b) Să se calculeze aceeaşi putere, folosind tensiunea pe sarcină. l = 3, 75cm

U1

ZC

10 V −l

ZS

U2

100 Ω

O

z

Rezolvare: Lungimea de undă pe linie corespunzătoare frecvenţei de lucru este: c 3 ⋅ 10 8 λ= 0 = = 0,3 m = 30 cm f 10 9 şi deci, în raport cu λ , linia folosită are lungimea: l=

λ

. 8 Impedanţa de intrare în tronsonul fără pierderi cu lungimea l are expresia: a) Z + jZ C tg βl Z in = Z C S Z C + jZ S tg βl şi întrucât ⎛ 2π λ ⎞ tg βl = tg⎜ ⋅ ⎟ = 1, ⎝ λ 8⎠ rezultă valoarea impedanţei de intrare: 100 + j50 Z in = 50 = (40 − j30 ) Ω . 50 + j100 Puterea activă la intrarea circuitului are expresia:

U1

2

⋅ Re{Z in } . 2 2 Z in Deoarece linia folosită este fără pierderi, puterea activă de la intrare este egală cu puterea în sarcină: 10 2 PS = Pin = ⋅ 40 = 0,8 W . 2 2 2 2 40 + 30 Pin =

(

)

Observaţie: Termenul Z in poate fi determinat direct, ştiind că impedanţa de intrare a

unei linii de lungime λ 8 , fără pierderi, terminată pe o sarcină pur rezistivă, are modulul egal cu impedanţa sa caracteristică, Z in = Z C = 50 Ω . b) Pentru o linie fără pierderi de lungime l şi impedanţă caracteristică Z C , ecuaţia tensiunii pe linie poate fi pusă sub forma: U ( z ) = U 0 cos βz − jZ C I 0 sin βz ,

8


în care amplitudinile undelor directă şi inversă au fost exprimate în funcţie de tensiunea totală de la sarcină U 0 şi curentul total de la sarcină, I 0 . Cu notaţiile din figură, relaţia precedentă devine: U 1 = U (− l ) = U 2 cos β (− l ) − jZ C I 2 sin β (− l ) şi deoarece curentul prin sarcină, I 2 , poate fi exprimat în funcţie de tensiunea la sarcină, U I2 = 2 , ZS rezultă: 1⎞ 1 ⎛ 50 ⎛ 2π λ ⎞ ⎛ 2π λ ⎞ U 1 = U 2 cos⎜ U 2 sin ⎜ ⋅ ⎟= ⋅ ⎟+ j ⎜1 + j ⎟U 2 2⎠ 2⎝ ⎝ λ 8⎠ ⎝ λ 8 ⎠ 100 de unde poate fi dedusă tensiunea la sarcină în funcţie de tensiunea de la intrarea liniei: 1 U2 = U1 . 1⎞ ⎛ 2 ⎜1 + j ⎟ 2⎠ ⎝ Puterea transmisă sarcinii pur rezistive are expresia: PS =

U2

2

2Z S

şi valoarea: 2

⎛2 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ 10 ⎜ 5 ⎟ ⎠ = 0,8 W . PS = ⎝ 2 ⋅ 100

1.5 Pentru circuitul cu schema din figura de mai jos să se deseneze distribuţia amplitudinii tensiunii în lungul liniilor de transmisiune la frecvenţa f = 3 GHz , dacă tronsoanele de linie de transmisiune sunt considerate fără pierderi iar dielectricul liniei este aerul, ε r = 1 .

U in 24 V

l = 10 cm

l1 = 5cm

ZC

Z C1

150 Ω

U

50 Ω

l2 = 2,5cm U1

R1 450 Ω

U2 ZC 2 150Ω

R2 100 Ω

Rezolvare: Lungimea de undă pe linie corespunzătoare frecvenţei de lucru este: c0 3 ⋅108 c = = 0,1m = 10 cm . λ= = 9 f f ε r 3 ⋅10 Primul tronson are deci lungimea egală cu o lungime de undă λ , al doilea tronson este repetor de impedanţă (l1 = λ 2) iar cel de-al treilea tronson - inversor de impedanţă (l 2 = λ 4) .

9


Impedanţa de intrare în linia de lungime l 2 este: Z C2 2 150 2 = = 225 Ω . R2 100 Tronsonul l 2 este terminat pe o sarcină pur rezistivă, R2 = 100 Ω , a cărei valoare este mai mică decât Z C 2 = 150 Ω , caz în care raportul de undă staţionară pe linia de Z i2 =

lungime l 2 se poate calcula direct cu relaţia: Z 150 σ 2 = C2 = = 1,5 . R2 100 Impedanţa de sarcină a tronsonului de lungime l1 are deci valoarea R ⋅Z 450 ⋅ 225 Z S1 = R1 || Z i 2 = 1 i 2 = = 150 Ω . R1 + Z i 2 450 + 225 Impedanţa de intrare în tronsonul de lungime l1 (repetor de impedanţă) este aceeaşi: Z i1 = Z i | = Z S1 = 150 Ω . l =λ / 2

Deoarece linia cu lungimea l1 este terminată pe o sarcină pur rezistivă, cu o valoare mai mare decât impedanţa caracteristică a liniei Z S1 = 150 Ω > Z C1 = 50 Ω , raportul de undă staţionară se poate calcula cu relaţia: Z 150 σ 1 = S1 = = 3. Z C1 50 Primul tronsonul are drept impedanţă de sarcină impedanţa de intrare în tronsonul repetor. Aceasta este egală cu impedanţa lui caracteristică, Z i1 = Z C = 150 Ω , deci tronsonul este terminat adaptat, astfel încât raportul de undă staţionară σ = 1 iar tensiunea la sarcină este egală cu tensiunea de la intrare: U = U in = 24 V . Impedanţa lui de intrare are valoarea: Z in = Z C = 150 Ω . Pentru tronsonul de lungime l1 = λ 2 , tensiunile de la extremităţi sunt U , respectiv U 1 . Întrucât impedanţa de sarcină Z S1 = 150 Ω a acestui tronson este pur rezistivă şi mai mare decât Z C1 = 50 Ω , rezultă că la capătul dinspre sarcină al tronsonului repetor va exista un maxim de tensiune, egal cu U1 = 24 V . Pe de altă parte, între două maxime ale distribuţiei de tensiune există şi un minim, situat, faţă de sarcina tronsonului repetor, la distanţa π + ϕΓ λ d= λ = = 2,5 cm . 4π 4 În punctul de minim tensiunea are valoarea: U1 24 = =8V. 3 σ1 Pentru reprezentarea distribuţiei de tensiune pe linii se face observaţia că tensiunea la sarcină este U 2 . Întrucât R2 = 100 Ω < Z C 2 = 150 Ω rezultă că la sarcină există un minim al distribuţiei de tensiune de pe tronsonul inversor egal cu

10


24 = 16 V . σ 2 1,5 Distribuţia de tensiune în lungul tronsoanelor este reprezentată în figura de mai jos.

U2 =

U1

=

U ( z ) [V] 24 16 8

−17,5

−7, 5

−2,5

O

z [cm]

1.6 O linie având impedanţa caracteristică Z C = 50 Ω este terminată pe o sarcină compusă dintr-un rezistor cu rezistenţa de 20 Ω în serie cu un condensator având capacitatea de 3 pF. Să se calculeze raportul de undă staţionară şi distanţa la care apare primul minim de tensiune, la frecvenţa f 0 = 1 GHz . Dielectricul liniei este aerul iar pierderile ei sunt neglijabile. Rezolvare: Reactanţa de sarcină are valoarea: 1 1 =− = −53 Ω XS = − 2πf 0C ω 0C astfel încât impedanţa de sarcină este Z S = RS + jX S = 20 − j53 Ω . Această sarcină determină un coeficient de reflexie al tensiunii, Γ : Z − Z C 20 − j53 − 50 Γ= S = = Γ ⋅ e jϕ Γ = 0,69 e − j1, 43 rad . Z S + Z C 20 − j53 + 50 Raportul de undă staţionară σ este determinat de modulul coeficientului de reflexie: 1 + Γ 1 + 0,69 σ= = = 5,45 . 1 − Γ 1 − 0,69 Poziţia minimelor este determinată de faza coeficientului de reflexie. Calculând întâi lungimea de undă pe linie, c0 3 ⋅ 10 8 λ= = 9 = 0,3 m = 30 cm f 0 ε r 10 ⋅ 1 se obţine în final poziţia minimului, calculând distanţa lui de la sarcină: 11


d min =

π + ϕΓ π − 1,43 ⋅ 30 = 4,08 cm . λ= 4π 4π

Altfel: Pe diagrama Smith: Se reprezintă punctul corespunzător impedanţei normate de sarcină: ZS 20 − j53 = rS + jx S = = 0,4 − j1,06 . ZC 50 Acesta se află deci la intersecţia dintre cercul r = 0,4 cu arcul de cerc x = −1,06 . De pe diagramă se identifică cercul concentric cu diagrama σ ≈ 5,5 şi poziţia normată a punctului d λ ≈ 0,136 , de unde rezultă distanţa cerută: d min ≈ 0,136λ = 0,136 ⋅ 30 = 4,08 cm . 1.7 Conectând la capătul unei linii de măsură cu pierderi neglijabile o sarcină necunoscută, se măsoară pe linie un raport de undă staţionară σ = 2, iar la distanţa d = 22 cm de capătul liniei se constată existenţa unui minim al distribuţiei tensiunii. Cunoscând lungimea de undă pe linie λ = 30 cm şi impedanţa caracteristică a liniei de măsură Z C = 75 Ω , să se determine impedanţa sarcinii de la capătul liniei. Rezolvare: Din datele experimentale se poate calcula coeficientul de reflexie al sarcinii, Γ = Γ ⋅ e jϕ Γ : Γ =

σ −1 1 = ≈ 0,333 , σ +1 3

π ⎞ ⎞ ⎛ 22 ⎞ ⎛ − 1⎟ = π ⎜ 4 − 1⎟ = ⎜ 2π − ⎟ rad . 15 ⎠ ⎝ 30 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ λ Reţinând o valoare ϕ Γ ∈ (− π , π ) , rezultă: ⎛ d min

ϕΓ = π ⎜4

π

1 −j Γ = ⋅ e 15 ≈ 0,33 e − j0, 209 rad . 3 Din expresia coeficientului de reflexie al tensiunii la sarcină, Z − ZC Z S ZC −1 zS −1 Γ= S = = Z S + ZC Z S ZC + 1 zS + 1 se determină impedanţa normată de sarcină: 1 + Γ 1 + 0,333 e − j0, 209 zS = = 1,955 e − j0,154 rad = 1,932 − j0,3 . = − j0, 209 1 − Γ 1 − 0,333 e În final, prin denormare, se obţine valoarea impedanţei de la capătul liniei: Z S = z S ⋅ Z C = (1,932 − j0,3) ⋅ 75 = (145 − j22,5) Ω . Observaţie: Distanţa, faţă de sarcină, la care apare primul minim rezultă din relaţia π + ϕΓ d min = λ = 7 cm . 4π Pe o linie fără pierderi distanţa între două minime consecutive este de λ 2 astfel încât minimul măsurat este de fapt al doilea: d min + λ 2 = d min, 2 = 7 + 15 = 22 cm . 12


Altfel: Pe diagrama Smith: Se desenează cercul concentric cu diagrama σ = 2 , tangent exterior la cercul r = 2 şi tangent interior la cercul r = 1 2 . Deplasării pe linia fără pierderi de la intrarea sa spre sarcină îi corespunde pe diagrama circulară o rotaţie în sens trigonometric, pe un cerc cu centrul în origine, până la o deplasare normată: d 22 = ≈ 0,733 . λ 30 Aceasta presupune parcurgerea completă a diagramei plus încă o deplasare de 0,733 − 0,5 = 0,233 . Punctul astfel obţinut, situat la intersecţia dintre cercul σ = 2 şi dreapta determinată de centrul diagramei şi poziţia 0,233, corespunde impedanţei normate de sarcină. De pe diagramă se citeşte: r = 1,93 ; x = −0,3 şi deci valoarea impedanţei necunoscute, obţinută prin denormare, este: Z S = (r + jx )Z C = (1,93 − j0,3) ⋅ 75 ≈ (145 − j22,5) Ω . 1.8 O linie de transmisiune fără pierderi, cu impedanţa caracteristică Z C = 100 Ω, este terminată pe o sarcină având impedanţa Z S = (50 + j150) Ω. la frecvenţa de lucru. Ştiind că puterea transmisă sarcinii este PS = 10 W, să se calculeze valoarea maximă a tensiunii pe linie.

Rezolvare: Se calculează întâi coeficientul de reflexie al sarcinii: Z − Z C − 50 + j150 − 1 + j3 1 + j2 Γ= S = = = ≈ 0,33 + j0,66 = 0,745 e j1,107 rad . Z S + Z C 150 + j150 3(1 + j) 3 Rezultă o valoare a coeficientului de reflexie al puterii: P 5 2 Γp = i = Γ = . Pd 9 Puterea transmisă sarcinii este diferenţa dintre puterea undei directe şi puterea undei inverse,

(

)

(

PS = Pd − Pi = Pd 1 − Γ p = Pd 1 − Γ

2

).

Din datele problemei, se calculează puterea undei directe Pd şi puterea undei inverse, Pi : Pd =

Ps

1− Γ

2

=

10 = 22,5 W , 1 − (5 9 )

Pi = Pd − PS = 22,5 − 10 = 12,5 W .

Puterea undei directe Pd este legată de unda directă de tensiune U d prin relaţia: Pd =

Ud

2

2Z C de unde se obţine amplitudinea undei directe: U d = 2 Z C Pd = 2 ⋅100 ⋅ 22,5 = 67 V .

13


În mod similar se poate deduce şi amplitudinea undei inverse: U i = 2 Z C Pi = 2 ⋅100 ⋅12,5 = 50 V . Valoarea maximă a tensiunii pe linie este suma amplitudinilor undelor directă şi inversă: U max = U d + U i = 67 + 50 = 117 V . Valoarea minimă a tensiunii pe linie este U min = U d − U i = 67 − 50 = 17 V . Observaţie: Amplitudinea undei inverse poate fi calculată şi din definiţia coeficientului de reflexie: U i = Γ ⋅ U d = 0,745 ⋅ 67 ≈ 50 V . Valorile maxime şi minime calculate în cele de mai sus sunt condiţionate de o lungime suficientă a liniei.

1.9 Să se stabilească condiţiile în care o linie fără pierderi, având ca sarcină o impedanţă pur rezistivă, prezintă la intrare tot o impedanţă pur rezistivă. Rezolvare: Expresia impedanţei de intrare a unei linii fără pierderi este: Z + jZ C tg βl Zi = ZC S Z C + jZ S tg βl Întrucât linia este fără pierderi, Z C ∈ ℜ . Considerând Z S = RS ∈ ℜ , partea imaginară a impedanţei de intrare are expresia: Z 2 − RS2 tg βl Im{Z i } = Z C C2 . Z C + RS2 tg βl

(

)

Impedanţa de intrare este pur rezistivă atunci când Im{Z i } = 0, adică în unul din următoarele cazuri: a) R S = Z C , deci atunci când linia este terminată adaptat;

b) tg βl = 0 , sau βl = kπ , sau l = k de impedanţă);

π

λ

2

, adică în situaţia liniilor în

λ

λ

2

(repetoare

λ

c) tg βl → ∞ , sau βl = (2k + 1) , sau l = (2k + 1) , deci pentru liniile în 2 4 4 (transformatoare de impedanţă). Altfel: Pe diagrama Smith: Trecerea de la punctul corespunzător sarcinii pur rezistive, situat pe axa absciselor ( x = 0 ), la punctul corespunzător impedanţei de intrare se face prin rotirea, în sens orar, pe un cerc cu centrul în originea diagramei circulare. Şi acest punct, corespunzând unei impedanţe cu partea reactivă normată nulă, trebuie să se afle pe axa absciselor. Această situaţie poate apărea dacă: a) Punctul iniţial se află în origine, deci raza cercului pe care se face rotaţia este nulă, astfel încât punctul corespunzător impedanţei de intrare este tot în origine. În acest caz R S = Z C , adică linia este terminată adaptat. 14


b) Rotaţia se face cu un unghi de 360 o astfel încât cele două puncte se suprapun. În această situaţie lungimea liniei este de λ 2 . c) Rotaţia se face cu un unghi de 180 o astfel încât ambele puncte se află pe axa absciselor, aşezate simetric în raport cu centrul cercului. În acest caz lungimea liniei este de λ 4 .

1.10 Se consideră o linie de transmisiune fără pierderi, prezentată în figura de mai jos. Să se determine poziţia secţiunii AA′ pentru care modulul impedanţei de intrare, Z i , trece printr-un maxim.

λ 2 z

A

ZC A′ O

z

Rezolvare: Admitanţa de intrare a porţiunii de lungime z terminate în scurtcircuit, de la dreapta secţiunii AA′ , este: 2πz Yisc = − jYC ctg βz = − jYC ctg ,

λ

unde YC este admitanţa caracteristică, reală, a liniei, iar λ este lungimea de undă. Admitanţa de intrare a tronsonului terminat în gol, de la stânga secţiunii AA′ , are expresia: 2π ⎛ λ 2πz ⎞ 2πz ⎛ ⎞ ⎞ ⎛λ . Yig = jYC tg β ⎜ − z ⎟ = jYC tg ⎟ = − jYC tg ⎜ − z ⎟ = jYC tg⎜ π − λ ⎝2 ⎠ λ ⎠ λ ⎝ ⎠ ⎝2 Admitanţa de intrare văzută în secţiunea AA′ reprezintă suma celor două admitanţe calculate anterior: 2πz ⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ 2πz Yi = Yisc + Yig = − jYC ⎜ tg + ctg ⎟ = − jYC ⎜ u + ⎟ , λ λ ⎠ u⎠ ⎝ ⎝ unde 2πz u = tg . Rezultă:

λ

⎛ 1 1⎞ = YC ⎜⎜ u + ⎟⎟ . u u⎠ ⎝ Deoarece produsul mărimilor u şi 1 u este constant, suma lor este minimă (adică modulul impedanţei este maxim) atunci când cele două mărimi sunt egale. Rezultă deci condiţia: u =1 Yi = YC u +

15


sau tg de unde

2πz

2πz

λ

= ±1 ,

λ

=±

Se obţine:

z=±

λ 8

π 4

+ kπ , k ∈ Z .

+k

λ 2

.

⎛ λ⎞ Întrucât z ∈ ⎜ 0, ⎟, convin numai valorile ⎝ 2⎠ z=

respectiv z=

λ

8

,

3λ . 8

1.11 Să se proiecteze circuitul cu schema din figura de mai jos astfel încât la frecvenţa corespunzătoare unei lungimi de undă λ = 50 cm să se obţină adaptarea unei sarcini având impedanţa Z S = (25 − j100) Ω la o linie de acces cu impedanţa caracteristică Z C = 75 Ω . Toate liniile de transmisiune au ca dielectric aerul şi prezintă pierderi neglijabile.

ZC

Zi1

λ 4

d

Z C′

ZC

ZS

Zi 2

Rezolvare: Metoda 1. Lungimea tronsonului în λ/4 (inversor de impedanţă), la frecvenţa de lucru, este λ 50 l= = = 12,5 cm . 4 4 Din condiţia de adaptare este necesar ca: Z i1 = Z C = 75 Ω . Pe de altă parte, tronsonul inversor de impedanţă realizează adaptarea unei impedanţe de sarcină reale, Z i 2 , la o altă impedanţă, Zi1 , de asemenea reală: Z C′ = Z i1 ⋅ Z i 2 = Z C ⋅ Z i 2 .

16


Se impune deci ca lungimea d a celui de-al doilea tronson să prezinte o valoare pentru care Im{Z i 2 } = 0 , astfel încât impedanţa Z i 2 să fie pur rezistivă. Impedanţa de intrare în tronsonul cu lungimea d , considerat fără pierderi, are expresia: Z + jZ C tg βd . Zi2 = ZC S Z C + jZ S tg βd În mărimi normate se obţine: Z z + jt , zi 2 = i 2 = S Z C 1 + jz S t unde 25 − j100 1 4 Z = −j zS = S = ZC 75 3 3 reprezintă impedanţa normată de sarcină, iar d t = tg βd = tg 2π .

λ

Astfel, rezultă: 1 4 − j + jt 1 + j(3t − 4) [1 + j(3t − 4)]⋅ [(3 + 4t ) − jt ] zi 2 = 3 3 = = ⎛ 1 4 ⎞ (3 + 4t ) + jt (3 + 4t ) 2 + t 2 1 + j⎜ − j ⎟t ⎝3 3⎠ adică

(

)

3 t2 +1 12t 2 − 8t − 12 + j . 17t 2 + 24t + 9 17t 2 + 24t + 9 Din condiţia Im{z i 2 } = 0 rezultă valoarea lungimii d pentru care impedanţa z i 2 este pur rezistivă: 12t 2 − 8t − 12 = 0 sau 3t 2 − 2t − 3 = 0 deci 1 ± 10 t1, 2 = . 3 Rezultă astfel următoarele cazuri: • t1 = tg βd1 ≈ −0,72 adică βd1 = arctg(− 0,72) + k1π , k1 ∈ Z deci zi 2 = ri 2 + jxi 2 =

λ λ ⋅ 0,624 + k 1 , k 1 ∈ Z ; 2π 2 t 2 = tg βd 2 ≈ 1,387

d1 = − •

adică

βd 2 = arctg1,387 + k 2π , k 2 ∈ Ζ

deci

17


λ λ ⋅ 0,946 + k2 , k 2 ∈Ζ . 2π 2

d2 =

Rezultă de aici că cele mai mici valori pozitive pentru lungimea d sunt: • d1 = 20 cm • d 2 = 7,53 cm Corespunzător acestor valori, impedanţa z i 2 , respectiv impedanţa caracteristică Z C′ a tronsonului inversor primesc următoarele valori: • pentru d1 = 20 cm : zi2 =

3(t12 + 1) 17t12 + 24t1 + 9 t = −0,72

=

1

3(0,72 2 + 1) ≈ 8,55 17 ⋅ 0,72 2 + 24 ⋅ 0,72 + 9

şi, corespunzător, Z C′ = Z C ⋅ Z i 2 = 75 ⋅ (75 ⋅ 8,55) = 219,3 Ω •

pentru d 2 = 7,53 cm :

zi2 =

3(t 22 + 1) 17t 22 + 24t 2 + 9 t

= 2 =1,387

3(1,387 2 + 1) ≈ 0,117 17 ⋅ 1,387 2 + 24 ⋅ 1,387 + 9

şi, corespunzător, Z C′ = Z C ⋅ Z i 2 = 75 ⋅ (75 ⋅ 0,117) = 25,65 Ω

Metoda 2. Se bazează pe observaţia că impedanţa pe o linie de transmisiune fără pierderi este pur rezistivă numai într-un plan de maxim sau de minim al distribuţiei de tensiune pe linie. În acest caz, impedanţa corespunzătoare unui plan de minim al distribuţiei de tensiune este Z = C , Z z=z ( min )

σ

unde Z reprezintă impedanţa văzută într-un plan situat la z (min ) faţă de sarcină. Similar, într-un plan de maxim se obţine valoarea Z z=z = Z Cσ , ( max )

unde Z reprezintă impedanţa văzută într-un plan situat la z (max ) faţă de sarcină iar σ este raportul de undă staţionară pe linie. Tronsonul în λ 4 , inversor de impedanţă, transformă o impedanţă pur rezistivă Z S în altă impedanţă, de asemenea reală, Z C′2 Z S . Distanţa d trebuie să fie astfel aleasă încât impedanţa văzută în planul respectiv să fie reală, deci să corespundă fie unui minim, fie unui maxim al distribuţiei de tensiune pe linie. Distanţa de la sarcină la care apare primul minim al distribuţiei de tensiune este dată de relaţia: π + ϕΓ λ. d= 4π Cu datele problemei, impedanţa normată de sarcină este:

18


ZS 1 4 = −j ZC 3 3 iar coeficientul de reflexie al tensiunii la sarcină are valoarea Z − Z C zS − 1 Γ= S = ≅ 0, 79 e− j1,249 rad . Z S + ZC zS + 1 Se obţine astfel lungimea tronsonului terminal: π − 1, 249 50 ≅ 7,53 cm . d= 4π În acest plan, impedanţa normată are valoarea: 1 1− Γ zi 2 = = = 0,117 . σ 1+ Γ Denormând, se obţine valoarea impedanţei de intrare în tronsonul de lungime d : Z i 2 = Z C z i 2 = 75 ⋅ 0,117 = 8,775 Ω . zS =

Impedanţa liniei de lungime l = λ 4 = 50 4 = 12,5 cm se calculează cu ajutorul relaţiei: Z C′ = Z C Z i 2 = 75 ⋅ 8, 775 ≅ 25, 65 Ω . În mod similar se determină distanţa d şi impedanţa caracteristică Z C′ în cazul unui maxim al distribuţiei de tensiune. Primul maxim de tensiune pe linie este situat – faţă de sarcină – la o distanţă d : d=

λ

−

ϕΓ λ ≅ 20, 03 cm . 4π

2 În acest plan, impedanţa normată are valoarea 1 + Γ 1 + 0, 79 zi 2 = σ = = ≅ 8,52 . 1 − Γ 1 − 0, 79 Denormând, se obţine valoarea impedanţei de intrare în tronsonul de lungime d : Z i 2 = Z C zi 2 = 75 ⋅ 8,52 = 639 Ω . Corespunzător, impedanţa caracteristică a tronsonului inversor are valoarea: Z C′ = Z C Z i 2 = 75 ⋅ 639 = 219 Ω .

Metoda 3. Pe diagrama Smith. Se reprezintă pe diagramă punctul corespunzător impedanţei normate de sarcină: ZS 25 − j100 = rS + j xs = ≅ 0,333 − j1, 333 . 75 ZC Acesta se află deci la intersecţia dintre cercul r = 0,333 şi arcul de cerc x = −1,333 . Se citeşte de pe diagramă poziţia corespunzătoare punctului obţinut, notat cu A : (d λ ) A ≈ 0,348 . Corespunzătoare unei deplasări de la sarcină până într-un plan al liniei în care impedanţa este pur rezistivă, pe diagramă se efectuează o rotaţie în sens orar (spre generator), pe un cerc cu centrul în origine, până la intersectarea semidiametrului real negativ. Punctul astfel obţinut, notat cu B , reprezintă impedanţa normată z i 2 . De pe

19


diagramă se citeşte valoarea acesteia,

(d λ ) B

z i 2 = r ≈ 0,12 , şi poziţia ei normată:

= 0,5 . În acest fel, prin denormare se determină lungimea d a tronsonului terminal care asigură în planul său de intrare o impedanţă pur rezistivă, d = [(d λ )B − (d λ ) A ]λ = (0,5 − 0,348) ⋅ 50 = 7,6 cm , precum şi valoarea ei: Z i 2 = ( z i 2 ) A Z C ≈ 0,12 ⋅ 75 = 9 Ω . Urmând relaţiile prezentate în cadrul acestei probleme la metoda 2, poate fi determinată şi valoarea impedanţei caracteristice a tronsonului inversor, corespunzător datelor obţinute pe diagrama circulară. Astfel, rezultă: Z C′ ≈ 26 Ω . Continuând rotirea din punctul B , pe acelaşi cerc concentric cu diagrama Smith, se constată intersecţia cu semidiametrul real pozitiv, în punctul B ′ . Se găseşte astfel şi cea de-a doua soluţie a problemei: ( z i 2 )B′ = r ≈ 8,5 , adică, prin denormare, Z i 2 = ( z i 2 ) B′ Z C ≈ 8,5 ⋅ 75 = 638 Ω de unde Z C′ ≈ 219 Ω , respectiv d = [(d λ )B′ − (d λ ) A ]λ = {[(d λ )B + 0,25] − (d λ ) A }λ ≈ ≈ (0,75 − 0,348) ⋅ 50 = 20,1 cm . Variaţia cu frecvenţa a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces corespunzător celor două soluţii, obţinută prin simulare pe calculator, este prezentată în figura 1.11.1.

Figura 1.11.1.a d = 20 cm Z C′ = 219,3 Ω

20

Figura 1.11.1.b d = 7,53 cm Z C′ = 25,65 Ω


Observaţie: Se constată că deşi cele două soluţii obţinute sunt ambele corecte la frecvenţa nominală, ele conduc la un răspuns în frecvenţă uşor diferit. Dacă se acceptă o anumită dezadaptare pe linia de acces, exprimată printr-o valoare maxim admisibilă a lui Γ sau σ atunci se poate defini o bandă de frecvenţe în interiorul căreia circuitul de adaptare considerat funcţionează corect. Banda de frecvenţe este mai largă pentru prima soluţie. 1.12 Să se calculeze lungimile l1 , l 2 precum şi impedanţa caracteristică Z C′ astfel încât circuitul cu schema din figura de mai jos să realizeze la frecvenţa f = 1 GHz adaptarea unei sarcini Z S = (20 + j10 ) Ω la o linie de acces cu impedanţa caracteristică Z C = 50 Ω . Atât cele două tronsoane cât şi linia de acces au ca dielectric aerul şi prezintă pierderi neglijabile.

l1 = λ 4

ZC

ZC′

ZS

ZC l2

Rezolvare: La frecvenţa f = 1 GHz lungimea de undă este

λ= şi deci

c0 3 ⋅108 = = 0,3 m = 30 cm f 109

λ

30 = 7,5 cm . 4 4 Condiţia de adaptare a impedanţei complexe de sarcină Z S la linia de acces având o impedanţă caracteristică reală impune ca admitanţa totală de sarcină – alcătuită din admitanţa YS = 1 Z S şi admitanţa de intrare în tronsonul derivaţie pe sarcină terminat în scurtcircuit – să fie reală. În această situaţie, tronsonul inversor de impedanţă are rolul de a transforma valoarea reală obţinută într-o valoare egală cu impedanţa caracteristică a liniei de acces, fapt care permite adaptarea. Admitanţa de sarcină este l1 =

=

21


1 1 = = (0,04 − j0,02 ) S Z S 20 + j10 iar admitanţa de intrare în tronsonul derivaţie are expresia: Y + jYC tg βl 2 Yi = YC S = − jYC ctg βl 2 . YC + jYS tgβl 2 Y →∞ YS = GS + jBS =

S

Admitanţa totală în planul de sarcină al liniei în λ 4 are expresia Yt = Yi + YS = G S + j( BS − YC ctgβl 2 ) . Impunând condiţia de adaptare, Im{Yt } = 0 , rezultă condiţia: B ctg βl 2 = S YC adică soluţia: B λ λ l2 = arcctg S + k , k ∈ Z 2π YC 2 Urmărind obţinerea unui tronson cu o lungime minimă, se consideră k = 0 şi deci se obţine: λ ⎛ − 0,02 ⎞ λ 3π 3λ 3 ⋅ 30 l2 = arcctg⎜ ⋅ = = = 11,25 cm . ⎟= 2π 8 8 ⎝ 0,02 ⎠ 2π 4 În această situaţie, admitanţa totală are o valoare reală: Yt = GS = 0,04 S deci impedanţa din planul de sarcină al tronsonului inversor este:

Figura 1.12.1 l 2 = 11,25 cm Z C′ ≈ 35,35 Ω

22


1 1 = = 25 Ω . Yt 0,04 Impedanţa caracteristică a tronsonului în λ 4 se calculează ca medie geometrică a impedanţelor terminale: Z C′ = Z C Z t = 50 ⋅ 25 ≈ 35,35 Ω . Variaţia cu frecvenţa a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces obţinută prin simulare pe calculator este prezentată în figura 1.12.1. Zt =

1.13 Să se stabilească în ce condiţii o linie de transmisiune fără pierderi, intercalată între un generator cu impedanţa internă Z G şi o sarcină cu impedanţa Z S poate fi utilizată ca circuit de adaptare. Rezolvare: Impedanţa de intrare a liniei fără pierderi, de impedanţă caracteristică Z C , 2π lungime l şi constantă de defazare β = , are expresia:

λ

Z S + jZ C tg βl . Z C + jZ S tg βl Transferul maxim de putere este obţinut dacă se îndeplineşte condiţia Z i = Z G* . Notând Z G = RG + jX G , Z S = RS + jX S , tg βl = u şi ţinând seama de faptul că pentru linia fără pierderi Z C ∈ ℜ, se scrie: R + j( X S + uZ C ) RG − jX G = Z C S . Z C − uX S + juRS Prin egalarea părţilor reale şi a părţilor imaginare de aici rezultă: Z C (RG − R S ) = u ( X S RG − X G RS ), Zi = ZC

uZ C2 + ( X S + X G )Z C − u (RS RG + X S X G ) = 0 , de unde, prin eliminarea variabilei u , se obţine ecuaţia:

⎡ (R − RS )(RS RG + X S X G ) ⎤ RG − RS ⋅ Z C3 + ⎢ X S + X G − G ⎥ZC = 0 . RG X S − RS X G X S RG − X G RS ⎣ ⎦ Renunţând la soluţia Z C = 0 care nu convine rămâne condiţia: Z C2

(

)

(

)

RS RG2 + X G2 − RG RS2 + X S2 . = RG − RS

Deoarece impedanţa caracteristică a liniei fără pierderi este reală, trebuie ca Z C2 să fie pozitiv, adică RG2 + X G2 RS2 + X S2 − RG RS ≥0, 1 1 − RG R S sau 23


RGp − RSp ≥ 0, 1 1 − RG RS în care s-au notat prin RGp şi R Sp rezistenţele corespunzătoare reprezentărilor de tip paralel pentru impedanţele Z G şi, respectiv, Z S ( Z G = RGp || jX Gp , Z S = RSp || jX Sp ). Dacă această condiţie este satisfăcută rezultă u ∈ ℜ şi din ecuaţia tg βl = u se determină lungimea necesară a liniei. În concluzie, adaptarea este posibilă atunci când rezistenţa în reprezentarea paralel şi conductanţa în reprezentarea serie ale impedanţei generatorului sunt, ambele, ori mai mici, ori mai mari decât mărimile corespunzătoare ale impedanţei de sarcină. 1.14 Să se calculeze lungimea l a unui tronson de linie terminat în scurtcircuit şi distanţa d , faţă de sarcină, la care trebuie legat în derivaţie acest tronson, pentru a se realiza adaptarea unei sarcini cu impedanţa Z S = (20 − j10 ) Ω la o linie de acces. Atât linia principală cât şi tronsonul de linie folosit pentru adaptare sunt fără pierderi şi au impedanţa caracteristică Z C = 50 Ω , iar lungimea de undă pe linie este λ = 100 cm . d

ZC

Y1

ZS

( 20 − j10 ) Ω

Y2 ZC l

Rezolvare: Analitic, problema se rezolvă punând condiţia de adaptare; aceasta revine la a scrie că admitanţa totală de la capătul liniei de acces să fie egală cu admitanţa caracteristică a liniei de acces, YC = 1 Z C . Admitanţa normată de intrare în tronsonul de lungime d terminat pe admitanţa normată de sarcină y S = YS YC este: y + j tg βd Y y1 = 1 = S . YC 1 + jy S tg βd Admitanţa normată de intrare în tronsonul de lungime l terminat în scurtcircuit are expresia: Y y 2 = 2 = yi y =∞ = − j ctg βl . S YC

24


Din condiţia de adaptare: Y1 + Y2 = YC sau y1 + y 2 = 1 , se obţine: y S + j tg βd − j ctg βl = 1 1 + jy S tg βd în care admitanţa normată de sarcină are valoarea Y Z 50 yS = S = C = = 2 + j. YC Z S 20 − j10 Rezultă relaţia: 2 + j + j tg βd − j ctg βl = 1 1 + j(2 + j) tg βd adică ⎡ − tg 2 βd − 4 tg βd + 1 ⎤ 2 1 + tg 2 βd + − j ctg β l ⎢ ⎥ =1 5 tg 2 βd − 2 tg βd + 1 ⎣ 5 tg 2 βd − 2 tg βd + 1 ⎦ din care, prin identificarea părţilor reale şi imaginare, se deduc condiţiile: 2 1 + tg 2 βd • =1 , 5 tg 2 βd − 2 tg βd + 1 de unde se obţine: 3 tg 2 βd − 2 tg βd − 1 = 0 . Rezultă astfel două valori pentru lungimea tronsonului terminal: 1 tg βd1 = − 3 adică 1 βd1 = arctg(− ) + k1π , k1 ∈ Ζ 3 deci d1 ≈ 44,8 cm , respectiv tg βd 2 = 1 adică

(

)

(

βd 2 = de unde d2 =

)

π

4

λ

= 12,5 cm . 8 − tg 2 βd − 4 tg βd + 1

− ctg βl = 0 5 tg 2 βd − 2 tg βd + 1 Corespunzător celor două valori ale tg βd , se obţin de aici două soluţii pentru lungimea tronsonului lateral: ctg βl1 = 1 •

25


adică l1 =

λ 8

= 12,5 cm ,

respectiv ctg βl 2 = −1 , adică 3λ l2 = = 37,5 cm . 8 Sintetizând rezultatele obţinute, se constată că adaptarea la linia de acces se produce pentru următoarele perechi de lungimi ale tronsoanelor: d = 44,87 cm, l = 12,5 cm ; d = 12,5 cm, l = 37,5 cm .

Altfel: Pe diagrama Smith: Se începe prin reprezentarea pe diagramă, a punctului, notat cu A , corespunzător impedanţei normate de sarcină z S = Z S Z C = 0,4 − j0,2 . Datorită conexiunii paralel, se preferă calculul cu admitanţe. Admitanţa normată de sarcină y S = 1 z S = 2 + j este reprezentată de punctul notat cu A′ , simetric cu A în raport cu centrul diagramei. Determinarea distanţei d revine la determinarea unghiului de rotaţie în sens orar (spre generator), astfel încât admitanţa de sarcină, A′ , să se transforme într-o admitanţă având partea reală egală cu unitatea (deoarece adăugarea ulterioară a admitanţei de intrare a tronsonului lateral – pur reactiv – nu va influenţa asupra părţii reale a admitanţei totale). Efectuând rotaţia din punctul A′ până la intersectarea cercului g = 1 , se obţine punctul B . Unghiul de rotaţie, determinat cu ajutorul gradaţiilor de pe periferia diagramei, corespunde unei distanţe normate la lungimea de undă d λ = 0,125 , adică, denormând, d = 0,125λ = 12,5 cm . În punctul B , partea imaginară a admitanţei (susceptanţa) tronsonului terminal, citită pe diagramă, are valoarea normată b = −1 ; în consecinţă, lungimea tronsonului lateral trebuie astfel determinată încât susceptanţa lui de intrare să aibă valoarea normată +1, necesară pentru compensare. Lungimea aceasta poate fi determinată tot pe diagramă, prin intermediul unghiului de rotaţie necesar pentru a transforma admitanţa terminală a tronsonului lateral, y = ∞ (reprezentată de punctul C ), în susceptanţa necesară pentru adaptare (punctul D ). Se obţine: l λ = 0,375 , de unde, denormând, rezultă: l = 0,375 ⋅ λ = 37,5 cm . Se constată că problema mai admite o soluţie, reprezentată de punctul B ′ . Pentru acest punct se obţin: d λ = 0,449 , adică d = 0,449 ⋅ λ = 44,9 cm şi 26


l λ = 0,125 , adică

l = 0,125λ = 12,5 cm . Observaţie: Prin acest procedeu poate fi adaptată orice sarcină Z S , deoarece oricare ar fi punctul de pornire, la rotirea în jurul originii se intersectează cercul g = 1 , deci se obţin soluţii. Variaţia cu frecvenţa a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces, corespunzătoare celor două soluţii, obţinută prin simulare pe calculator, este prezentată în figura de mai jos. Se poate observa faptul că prima soluţie conduce la o bandă ceva mai largă a circuitului de adaptare.

Figura 1.14.2.a d = 44,87 cm l = 12,5 cm

Figura 1.14.2.b d = 12,5 cm l = 37,5 cm

1.15 Un cablu coaxial fără pierderi, de lungime l = 40 cm , are impedanţa caracteristică Z C = 200 Ω şi este terminat pe o impedanţă compusă dintr-un rezistor cu rezistenţa de 100 Ω în paralel cu un condensator având capacitatea de 5 pF . l

ZC

RS

CS

Zi

27


Ştiind că lungimea de undă pe cablu este λd = 25 cm iar dielectricul dintre conductoare prezintă o constantă dielectrică ε r = 4 , să se calculeze impedanţa de intrare a liniei.

Rezolvare: Frecvenţa de lucru are valoarea: c0 3 ⋅ 10 8 c = = = 6 ⋅ 10 8 Hz = 600 MHz . f = λ d λ d ε r 0,25 ⋅ 4 Rezultă că admitanţa de sarcină are valoarea 1 + jωC S = 10 −2 + j2π ⋅ 6 ⋅ 10 8 ⋅ 5 ⋅ 10 −12 YS = G S + jBS = RS

(

)

= 0,01 + j188,5 ⋅ 10 − 4 S sau, în mărime normată, Y y S = S = 2 + j3,77 . YC Admitanţa normată de intrare în linia de transmisiune are expresia: y + j tg βl yi = S , 1 + jy S tg βl unde l 40 βl = 2π = 2π = 10,052 rad λd 25 adică tg βl = 0,726 . Rezultă astfel valoarea admitanţei de intrare: 2 + j3,77 + j0,726 yi = = 0,6 − j2,09 = 2,174 e − j1, 291 rad . ( ) 1 + j 2 + j3,77 ⋅ 0,726 Prin urmare, impedanţa de intrare normată este: zi = 1 yi = 0,127 + j0,442 sau, denormând, Z i = z i Z C = (0,127 + j0,442 ) ⋅ 200 = (25,4 + j88,4 ) Ω .

Altfel: Pe diagrama Smith: Se reprezintă pe diagramă admitanţa normată de sarcină, y S = 2 + j3,77 . Punctul obţinut se roteşte apoi în jurul centrului diagramei, în sens orar (deplasare spre generator), cu un unghi corespunzător lungimii normate a liniei, l λ = 1,6 ; aceasta presupune parcurgerea completă a trei cercuri, plus încă o deplasare de 1,6 − 3 ⋅ 0,5 = 0,1 diviziuni. În punctul astfel obţinut se citeşte admitanţa normată de intrare, yi = 0,6 − j2,09 . Pentru a afla impedanţa normată de intrare, se consideră punctul simetric lui y i faţă de origine. Se obţine z i = 0,127 + j0,442 sau, denormând,

Z i = z i Z C = (24,5 + j88,4 ) Ω , ceea ce corespunde soluţiei obţinute anterior pe cale analitică.

28


1.16 Pentru o impedanţă de sarcină Z S = (100 + j50 ) Ω, să se calculeze lungimile

l1 , l 2 ale tronsoanelor de linie conectate în derivaţie la distanţele (fixe) l0 = 50 cm , respectiv l0 + d = 75 cm faţă de capătul liniei, astfel încât linia de transmisiune să fie terminată adaptat. Atât linia principală cât şi tronsoanele terminate în scurtcircuit sunt fără pierderi şi au impedanţa caracteristică Z C = 50 Ω . Lungimea de undă pe linie este λ = 100 cm. Prin modificarea lungimilor l1 , l 2 ale tronsoanelor este posibilă adaptarea oricărei impedanţe de sarcină ? l0

d B

A

y ′′

ZC B′

y′

y2

A′

l2

ZS y1

l1

Rezolvare: Se notează cu y1 , y 2 admitanţele normate de intrare ale tronsoanelor laterale terminate în scurtcircuit. Deoarece l 0 λ = 1 2 , tronsonul terminal de lungime l0 este repetor de impedanţă astfel încât admitanţa lui normată de intrare are valoarea: 1 ZC 1 = = = 0,4 − j0,2 = g ′ + jb′ . y′ = y S = zS Z S 2 + j Întrucât d λ = 1 4 rezultă că tronsonul de lungime d este inversor de impedanţă astfel încât se poate scrie: 1 y′′ = . y′ + y1 Condiţia de adaptare la intrarea în tronsonul de lungime l 2 este: y2 + y′ = 1 . Pe de altă parte, admitanţele de intrare în tronsoanele de linie laterale terminate în scurtcircuit au expresiile: y1 = − j ctg βl1 , y 2 = − j ctg βl 2 , prin urmare condiţia de adaptare devine: 1 − j ctg βl 2 = 1. g ′ + jb ′ − j ctg βl1 29


Egalând aici părţile reale şi imaginare, se obţine sistemul: g′ = 1, 2 ( g ′) + (b′ − ctg βl1 )2 − b ′ + ctg βl1 ctg βl 2 = . 2 ( g ′) + (b′ − ctg βl1 )2 Rezolvând sistemul, se obţin soluţiile: −1± 6 , ctg βl1 = b ' ± g ' 1 − g ' = 5 1 6 ctg βl 2 = ± ' − 1 = ± , 2 g de unde βl1' = 1,289 + k1'π , k1' ∈ Z ,

(

)

βl1" = −0,967 + k 2' π , k 2' ∈ Z respectiv

βl 2' = 0,685 + k1"π , k1" ∈ Z , βl 2" = −0,685 + k 2"π , k 2" ∈ Z . Se obţin următoarele valori pozitive minime ale lungimilor tronsoanelor: l1 = 20,5 cm; l2 = 10,9 cm sau

l1 = 34,6 cm; l2 = 39,1 cm. Observaţie: Problema admite soluţii numai dacă g ' < 1. Variaţia cu frecvenţa a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces corespunzătoare celor două soluţii, obţinută prin simulare pe calculator, este prezentată în figura de mai jos.

Figura 1.16.2a l1 = 20,5 cm l 2 = 10,9 cm

30

Figura 1.16.2b l1 = 34,6 cm l 2 = 39,1 cm


Altfel: Pe diagrama Smith: Se porneşte de la y ′ = y S + g S + jbS = 0,4 − j0,2 , căreia îi corespunde pe M. Admitanţa din stânga în secţiunea AA′ , diagramă punctul y A = y S + y1 = g S + j(bS − ctg βl1 ) , va fi reprezentată de un punct N a cărui poziţie pe cercul g = g S = 0,4 depinde de l1 . Trecerea în secţiunea BB ′ se face rotind punctul N

pe un cerc cu centrul în origine în sens orar (spre generator) cu (d λ ) ⋅ 4π = π . Se obţine deci punctul diametral opus lui N , care se notează cu Q şi căruia îi corespunde admitanţa y ′′ = y A−1 . Se impune condiţia y ′′ + y 2 = 1 , adică y A−1 − j ctg βl 2 = 1. Punctul Q se află pe cercul g = 0,4 , rotit cu π radiani. Se caută intersecţia acestui cerc cu cercul g = 1 . Se găsesc punctele Q ′ şi Q ′′ prin care trec cercurile b = bQ′ , b = bQ′′ , care corespund susceptanţelor compensate de tronsonul cu lungimea l 2 . Rezultă deci: b2′ = −bQ′ = −1,22 , b2′′ = −bQ′′ = 1,22 , adică punctele R ′ şi R ′′ care corespund admitanţei

de intrare în linia cu lungimea l 2 . Această lungime se obţine prin deplasarea pe cercul exterior în sens orar (spre sarcină) până se ajunge la scurtcircuit ( y = ∞ , notat cu S ). Se măsoară: l 2′ λ = 0,359 − 0,25 = 0,109 ; l 2′′ λ = 0,141 + 0,25 = 0,391 , de unde, prin denormare, rezultă: l 2′ = 0,109λ = 10,9 cm , respectiv l 2′′ = 0,391λ = 39,1cm . Se precizează poziţiile N ′ şi N ′′ ale punctului N , ca simetrice ale punctelor Q ′ şi Q ′′ în raport cu originea. Prin N ′ şi N ′′ trec cercurile b = bN′ = −0,48 , respectiv b = bN′′ = 0,48 care corespund susceptanţei b A = bS + b1 . Deci susceptanţa liniei l1 poate avea valorile: b1′ = b ′N − bS = −0,28 , respectiv b1′′ = b N′′ − bS = 0,68 . Punctele reprezentative se notează cu T ′ , respectiv T ′′ . Deplasându-le în sens trigonometric (spre sarcină) până în punctul S , se obţine: l1′ λ = 0,456 − 0,25 = 0,206 şi l1′′ λ = 0,096 + 0,25 = 0,346 adică, prin denormare: l1′ = 0,206λ = 20,6 cm , respectiv l1′′ = 0,346λ = 34,6 cm . Se constată în final că rezultatele obţinute pe cale grafică, cu ajutorul diagramei circulare, sunt în bună concordanţă cu cele obţinute pe cale analitică. 31


1.17 Să se calculeze dimensiunile şi poziţia unui tronson de adaptare în λ 4 cu ajutorul căruia să se realizeze adaptarea unei sarcini Z S = (25 − j100 ) Ω la un cablu coaxial având impedanţa Z C = 75 Ω . Dielectricul cablului este aerul. Raza mare a secţiunii transversale a cablului este a = 1 cm. Tronsonul de adaptare se realizează prin modificarea razei conductorului interior. Frecvenţa de lucru este f = 600 MHz. Se neglijează pierderile. d

l

2b ' 2a

2b

2b

zS

z1 Rezolvare: Lungimea de undă corespunzătoare frecvenţei de lucru este: c 3 ⋅ 10 8 λ= 0 = = 0,5 m = 50 cm . f ε r 6 ⋅ 10 8 Schema echivalentă structurii desenate este prezentată mai jos.

ZC

λ 4

d

Z C′

ZC

ZS

Transformatorul de impedanţă în λ 4 schimbă o impedanţă reală Z S în altă impedanţă reală, Z C′2 Z S . Distanţa d trebuie să fie aleasă astfel încât impedanţa văzută în planul respectiv să fie reală şi mai mică decât Z C (deoarece b ′ > b , Z C′ < Z C ), deci să corespundă unui minim al tensiunii. Poziţia minimului de tensiune este dat de relaţia: ⎛1 ϕ ⎞ d = ⎜ + Γ ⎟λ . ⎝ 4 4π ⎠ Impedanţa normată de sarcină este Z 25 − j100 1 4 zS = S = = −j ZC 75 3 3 iar coeficientul de reflexie al tensiunii la sarcină este: Z − Z C zS − 1 10 ( − jarctg3) ΓS = S = = ⋅e ≅ 0, 79 ⋅ e − j1,249 rad . Z S + ZC zS + 1 4 32


Se obţine: ⎛ 1 1,249 ⎞ d =⎜ − ⎟ ⋅ 50 = 7,53 cm . 4π ⎠ ⎝4 În acest plan de minim al distribuţiei de tensiune impedanţa normată are valoarea: 1 1 − ΓS z1 = = = 0,117. σ 1 + ΓS Impedanţa tronsonului de adaptare în λ 4 trebuie să corespundă ecuaţiei

(zC′ )2 = 1 ⋅ z1 , deci

z C' = z1 = 0,342, adică

Z C' = Z C ⋅ zC' = 75 ⋅ 0,342 = 25,65 Ω . Din expresia impedanţei caracteristice pentru cablurile coaxiale, 60 a ln , ZC = εr b rezultă că pentru cablul coaxial iniţial, raza conductorului interior este: ⎛ Z ε ⎞ b = a ⋅ exp⎜ − C r ⎟ = 2,86 mm , ⎜ 60 ⎟⎠ ⎝ iar pentru porţiunea de lungime λ 4 ⎛ Z' ε ⎞ b′ = a ⋅ exp⎜ − C r ⎟ = 6,52 mm . ⎜ 60 ⎟⎠ ⎝ Lungimea l a tronsonului cu impedanţa Z C′ este:

l = λ 4 = 50 4 = 12,5 cm. 1.18 Să se calculeze puterea maximă transmisibilă printr-un cablu coaxial cu dimensiunile R = 2, 72 mm, r = 1mm având ca dielectric aerul, terminat pe impedanţa lui caracteristică. Se ştie că în cazul aerului intensitatea câmpului electric maxim admisibilă este de E0 str = 30 kV cm şi se admite un coeficient de siguranţă C = 0,2. Rezolvare: Notând cu E 0 intensitatea maximă a câmpului electric (de la suprafaţa conductorului interior) rezultă: B R r R U = ∫ Edl = ∫ E0 d ρ = rE0 ln . A r ρ r Dar: P=

U

2r 2R

2

2Z C

,

unde

33


Z C = 60 ln

R Ω. r

În consecinţă R R 2 r 2 E0 ln r = r W P= R 120 2 ⋅ 60 ⋅ ln r iar dacă se introduce coeficientul de siguranţă C rezultă valoarea puterii maxime transmisibile prin cablul coaxial în condiţiile date: R −6 6 2 r 2 E0,2 str ln ⋅ ⋅ 10 3 10 ( ) ⋅ ln 2, 72 = 15 kW . r = 0, 2 ⋅ Pmax,tr = C ⋅ 120 120 2

r 2 E0 ln 2

1.19 Să se calculeze puterea maximă transmisibilă printr-un cablu coaxial cu dimensiunile R = 2, 72 mm, r = 1mm, având ca dielectric aerul, dacă impedanţa lui terminală este Z S = (90 + j60 ) Ω. Se consideră, ca şi în cazul problemei precedente, intensitatea câmpului electric de străpungere a aerului E0 str = 30 kV cm şi se admite un coeficient de siguranţă C = 0,2. Rezolvare: În cazul unui cablu coaxial, fără pierderi, dezadaptat, puterea transmisă sarcinii are expresia PS = Pd − Pi =

Ud

2

Ui

2

− , 2Z C 2Z C iar raportul de undă staţionară este U U + Ui σ = max = d U min Ud − Ui

deci 2

U 1 (U d − U i )(U d + U i ) = max PS = 2Z C 2Z C σ Comparând cu cablul terminat adaptat, (vezi problema 1.18), se constată că puterea maximă transmisibilă scade de σ ori. Cu datele problemei, impedanţa caracteristică a cablului coaxial are valoarea: R Z C = 60 ln = 60 ln 2, 72 ≅ 60 Ω r iar impedanţa normată de sarcină este: Z 90 + j60 zS = S = = 1,5 + j ZC 60 astfel încât coeficientul de reflexie al tensiunii la sarcină z − 1 0,5 + j 1 + j2 Γ= S = = = 0,415 ⋅ e j0,727 rad . z S + 1 2,5 + j 5 + j2 34


Rezultă de aici valoarea lui σ : 1 + Γ 1 + 0, 415 = ≅ 2, 42 . σ= 1 − Γ 1 − 0, 415 Cablul fiind identic cu cel din problema anterioară, se deduce: (Pmax,transm. )adaptare 15 ⋅ 10 3 = = 6,2 kW . Pmax,transm. = σ 2,42

1.20 Ce capacitate trebuie să aibă un condensator conectat la un capăt al unei linii fără pierderi de lungime l = 3 cm pentru ca linia terminată în scurtcircuit la celălalt capăt să rezoneze la frecvenţa de 1 GHz ? Impedanţa caracteristică a liniei este Z C = 50 Ω iar dielectricul acesteia are o permitivitate electrică relativă ε r = 4 . l

ZC

C

Zi

Rezolvare: Impedanţa de intrare în tronsonul cu lungimea l , terminat în scurtcircuit, are expresia: Z i = jZ C tg βl , şi cum lf ε r 0,03 ⋅109 ⋅ 2 l βl = 2π = 2π = 2π = 0,4π rad λ c0 3 ⋅108 rezultă: Z i = j50 ⋅ tg (0,4π ) = j154 Ω . Condiţia de rezonanţă este: X C + X i = 0, de unde 1 XC = −Xi = − . ωC Se obţine astfel capacitatea condensatorului: 1 1 = ≈ 10 −12 F = 1 pF . C= 9 ωX i 2π ⋅ 10 ⋅ 154 1.21 Un emiţător transmite semnalul antenei prin intermediul unei linii având constanta de atenuare α = 0,0434 dB m şi lungimea de 10 m . Ştiind că raportul de undă staţionară pe linie este σ = 1,25 şi că puterea medie activă în antenă este de 100 W , să se calculeze puterea debitată de emiţător. 35


Rezolvare: Randamentul unei linii de transmisiune are expresia: 1− Γ

η=

2

, 2 e 2αl − Γ e −2αl unde Γ reprezintă coeficientul de reflexie al sarcinii iar l este lungimea liniei având constanta de atenuare α . Pentru datele numerice ale problemei, se obţine: 1 αl = 0,0434 ⋅ ⋅ 10 = 0,05 Np m << 1 , 8,686 fapt ce permite folosirea aproximaţiei: e±2α l ≅ 1 ± 2α l. Din expresia raportului de undă staţionară pe o linie se deduce σ −1 , Γ= σ +1 astfel încât se poate scrie:

η≅

1− Γ 1 + 2α l − Γ

2

2

(1 − 2α l )

=

4σ 1 = . 2 4σ + 2α l ( 2σ + 2 ) 1 + α l ⎛ α + 1 ⎞ ⎜ σ ⎟⎠ ⎝

Din definiţia randamentului: P η = ant , Pem unde Pant este puterea livrată antenei, iar Pem este puterea debitată de emiţător, rezultă: ⎡ 1 ⎞⎤ ⎛ ≅ ⎢1 + α l ⎜ σ + ⎟ ⎥ Pant , η σ ⎠⎦ ⎝ ⎣ de unde, cu datele problemei se obţinea valoarea cerută: ⎡ 1 ⎛ 5 4 ⎞⎤ Pem ≅ ⎢1 + ⋅ ⎜ + ⎟⎥ ⋅100 = 110 W . ⎣ 20 ⎝ 4 5 ⎠⎦

Pem =

Pant

1.22 Să se calculeze impedanţa caracteristică şi randamentul unui tronson de cablu coaxial de lungime λ 4 folosit pentru adaptarea unei sarcini Z S = 10 Ω la un generator având impedanţa internă pur rezistivă, Z g = 250 Ω. Constanta de atenuare a cablului este α = 1dB m , iar lungimea de undă λ = 20 cm. l =λ 4

Zg

Eg

U in

ZC

−l

36

ZS

US

O

z


Rezolvare: Condiţia de adaptare este: Z g = Z in , unde Z in este impedanţa de intrare a liniei cu pierderi, Z + Z C th γl . Z in = Z C S Z C + Z S th γl Pentru un tronson inversor ( l = λ 4 ) se obţine βl = π 2, deci th αl + j tg βl 1 = , th γl = lim th (αl + jβl ) = lim π π 1 + j th αl ⋅ tg βl th αl βl → βl → 2

2

astfel încât condiţia de adaptare conduce la: Z th αl + Z C , Z g = ZC S Z C th αl + Z S de unde rezultă ecuaţia: Z C2 − Z g − Z S Z C th αl − Z g Z S = 0, cu soluţiile

(

ZC =

)

(Z g − Z S )th αl ± (Z g − Z S )2 th 2 αl + 4Z g Z S

. 2 Valoarea pozitivă a impedanţei caracteristice poate fi scrisă sub forma: 2⎫ ⎧ ⎡1 ⎛ Zg ⎤ ⎪ ⎞ Z S ⎞⎟ Z ⎪ 1 ⎛⎜ Z g S ⎟ − − ZC = Z g Z S ⎨ th αl + 1 + ⎢ ⎜ th αl ⎥ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Z Z Z Z 2 2 ⎢ ⎥⎦ ⎪ S g S g ⎪ ⎝ ⎠ ⎠ ⎣ ⎝ ⎩ ⎭ sau, cu notaţia r = Z g Z S : 2⎫ ⎧ ⎤ ⎪ ⎡1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎪1 ⎛ ZC = Z g Z S ⎨ ⎜ r − ⎟ th αl + 1 + ⎢ ⎜ r − ⎟ th αl ⎥ ⎬ . 2 2 r r ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎪ ⎣ ⎪⎩ ⎭ Pentru un tronson inversor, fără pierderi, ( α = 0 ), se regăseşte expresia impedanţei caracteristice ca medie geometrică a impedanţelor sale terminale: ZC = Z g Z S .

Dacă linia are pierderi mici iar R g şi RS nu diferă prea mult, astfel încât nu fie mult diferit de 1, se poate scrie: 1⎛ 1 ⎞ ⎜ r− ⎟ th αl << 1 2⎝ r⎠ şi de aici rezultă: ⎡ 1⎛ ⎤ 1 ⎞ Z C ≅ Z g Z S ⎢1 + ⎜ r − th α l ⎥ . ⎟ r⎠ ⎣ 2⎝ ⎦ Cu datele problemei atenuarea tronsonului are valoarea: Np 0,2 αl = 0,115 ⋅ m = 5,75 ⋅10 −3 Np , m 4 şi deci

r să

37


th α l = th ( 5, 75 ⋅10 −3 ) ≅ 5, 75 ⋅10−3 = α l . Astfel, se obţine: 1⎛ 1 ⎞ 1⎛ 1 ⎞ 1⎛ 1⎞ r− thα l ≅ ⎜ r − α l = ⎜ 5 − ⎟ 5, 75 ⋅10−3 = 1,38 ⋅10−2 << 1 , ⎜ ⎟ ⎟ 2⎝ 2⎝ 2⎝ 5⎠ r⎠ r⎠ astfel încât, pe baza relaţiei aproximative, rezultă valoarea impedanţei caracteristice: Z C ≅ 2500 (1 + 1, 38 ⋅10−2 ) = 50, 69 Ω .

Observaţie: Rezultatul calculat prin aproximare diferă foarte puţin de valoarea Z C = Z S Z g = 50 Ω rezultată în urma neglijării pierderilor. Puterea reală medie (puterea activă) pe o impedanţă complexă Z la bornele căreia tensiunea are amplitudinea U , este dată relaţia: 2

1U Pmr = ⋅ Re{Z } , 2 Z2 astfel încât expresia randamentului tronsonului de adaptare devine: 2

2

U Z in P η= S = S 2 Pin U in Z S Re{Z in } Se calculează: U S U ( z ) z =0 U d (0 ) + U i (0 ) 1+ Γ = γl = = , γl −γl U in U ( z ) z = −l U d (0 ) e + U i (0 ) e e + Γ e −γl unde Γ este coeficientul de reflexie al tensiunii la sarcină, U (0 ) Z S − Z C z S − 1 Γ= i = = , U d (0 ) Z S + Z C z S + 1 iar z S = Z S Z C reprezintă impedanţa normată de sarcină. În cazul problemei, l = λ 4 , astfel încât ±γl

±αl

e =e şi, prin urmare, US U in

2

π

e

±j

2

= ± j e ±αl

2 zS = αl j( z S + 1) e − j( z S − 1) e −αl

2

2

⎞ ⎛ zS ⎟⎟ . = ⎜⎜ ⎝ z S sh αl + ch αl ⎠

De asemenea, Re{Z in } Z in Z C Z S th αl + Z C th αl + 1 z S = = ⋅ = . Re{Z S } Z S Z S Z C th αl + Z S th αl + z S Randamentul poate fi astfel scris şi sub următoarea formă: th αl + 1 z S 1 1 1 η= ⋅ = 2 ⋅ . 2 2 (th αl + 1 z S ) ch αl th αl + z S ch αl 1 + ⎛⎜ z + 1 ⎞⎟ th αl + th 2 αl ⎜ S z ⎟ S ⎠ ⎝ În cazul liniei cu pierderi mici αl << 1 astfel încât, în final, rezultă:

38


η≅

1

(α l ) 1+

2

2

⋅

1 2 2 αl ) ⎞ ⎛ αl ) ⎞ ⎛ ( ( 1 ⎞⎛ 1 + ⎜ zS + ⎟ ⎜ α l − ⎟ + ⎜α l − ⎟ z S ⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎝

2

,

adică

η≅

1

. ⎛ 1 ⎞ 1 + ⎜ zS + ⎟ α l zS ⎠ ⎝ Cu datele numerice ale problemei, αl = 5,75 ⋅ 10 −3 Np << 1 , z S = Z S Z C = 10 50,69 = 0,197 şi astfel se obţine valoarea randamentului: η = 97,1% . 1.23 Un cablu coaxial având pierderi neglijabile şi lungimea λ 4 este folosit pentru adaptarea unei impedanţe de sarcină rezistivă Z S = 25Ω la o linie de acces având impedanţa caracteristică Z C = 100Ω . Considerând pentru factorul de undă staţionară pe linia de acces o valoare maxim admisibilă σ max = 1,1, să se determine banda de frecvenţe a acestui circuit de adaptare calculat pentru o frecvenţă centrală f 0 = 1GHz. l = λ0 4

ZC′

ZC

ZS

Rezolvare: Condiţia de adaptare la frecvenţa centrală f 0 este: Z C' = Z C Z S = 100 ⋅ 25 = 50 Ω . Impedanţa de intrare în tronsonul de adaptare are expresia: Z + jZ C' tg βl Z i = Z C' S' . Z C + jZ S tg βl În vecinătatea frecvenţei f 0 se poate scrie:

βl = (β 0 + Δβ )l = β 0 l + de unde admiţând condiţia tg β l = − ctg

Δβ

β0

Δβ

β0

β 0l =

π⎛

Δβ ⎞ ⎜⎜1 + ⎟, 2⎝ β 0 ⎟⎠

<< 1 , rezultă:

π Δβ 2 β0 ≅− . 2 β0 π Δβ 39


Notând x =

π Δβ , în vecinătatea frecvenţei nominale f 0 , expresia impedanţei 2 β0

de intrare a tronsonului devine: 1 Z S − jZ C′ 1 + jz S x x = Z′ Z i = Z C′ C 1 ⎛ 1 Z C' − jZ S z S ⎜⎜1 + j x zS ⎝ unde Z ZS 1 zS = S = = . Z C′ ZC 2

⎞ x ⎟⎟ ⎠

= ZC

1 + jz S x , 1 1+ j x zS

Deoarece x << 1, se poate scrie: ⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎤ Z i ≅ Z C ⎢1 + j ⎜ zS − ⎟ x ⎥ . zS ⎠ ⎦ ⎝ ⎣ În aceste condiţii, coeficientul de reflexie calculat la intrarea tronsonului are expresia: ⎛ 1⎞ j ⎜ zS − ⎟ x zS ⎠ Z − ZC 1⎛ 1⎞ Γ= i = ⎝ ≅ j ⎜ zS − ⎟ x , Zi + ZC zS ⎠ 2⎝ ⎛ 1⎞ 2 + j ⎜ zS − ⎟ x zS ⎠ ⎝ iar raportul de undă staţionară pe linie are expresia: 1+ Γ 1 σ= ≅ 1 + 2 Γ = 1 + zS − ⋅x. 1− Γ zS De aici, pentru o valoare dată a lui σ max , rezultă:

x max =

π Δβ 2 β0

=

π Δf

=

σ max − 1

. 1 zS − zS Cu datele numerice ale problemei, se obţine: ⎛ Δf ⎞ 1,1 − 1 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⋅ = 0,042 , ⎝ f 0 ⎠ max 1 − 2 π 2 şi deci

max

2 f0

max

B = 2(Δf )max ⋅ f 0 = 2 ⋅ 0,042 ⋅109 = 84 ⋅10 6 Hz = 84MHz .

1.24 Pentru a mări banda de frecvenţe în care se obţine adaptarea unei sarcini, se pot folosi circuite de adaptare compuse din mai multe tronsoane de linie de lungime λ 4 , cu impedanţe caracteristice diferite, conectate în cascadă. Să se calculeze banda de frecvenţe în care are loc adaptarea (admiţând σ max = 1,1 ) dacă pentru a adapta o sarcină cu impedanţa Z S = 25Ω la impedanţa caracteristică a liniei de acces, Z C = 100 Ω. se folosesc două tronsoane de lungime

λ 4 . Frecvenţa centrală este f 0 = 1GHz. 40


Să se compare răspunsul cu cel de la problema precedentă.

ZC

λ 4

λ 4

Z C1

ZC 2

ZS

Zi 2

Rezolvare: La frecvenţa f 0 , notând Z i 2 = Z 0 , condiţiile de adaptare sunt: Z C1 = Z C Z 0 ZC2 = Z0Z S . Se introduc parametrii

r = Z S Z C = (Z C 2 Z C 1 )

2

şi k = Z S ZC2 ;

se exprimă Z S , Z C , Z C1 , Z C 2 în funcţie de Z 0 , k , r . Din relaţiile ZC2 = Z0Z S , kZ C 2 = Z S ,

rezultă

ZS = k 2Z0 , Z C 2 = kZ 0 . Se obţin imediat: Z kZ Z C1 = C 2 = 0 , r r 2 2 Z k Z0 . Z C = C1 = Z0 r Pentru frecvenţe puţin diferite de frecvenţa centrală f 0 la care l = λ 4 , impedanţa de intrare a tronsonului de linie terminat pe sarcina Z S este (vezi problema precedentă) 1 1 k−j Z S − jZ C 2 x = Z 1 + jkx . x = kZ Zi2 = ZC 2 0 0 k x 1 1− j 1+ j Z C 2 − jZ S x x k Impedanţa de intrare a tronsonului de impedanţă caracteristică Z C1 are expresia:

41


1 Zi 2 1 −j Z C1 x x =Z . Z i1 = Z C1 C1 Zi2 1 1 ⋅ Z C 1 − jZ i 2 ⋅ 1− j x Z C1 x Întrucât Zi2 r 1 + jkx = ⋅ , Z C1 k 1+ j x k se scrie: r 1 + jkx 1 ⋅ −j x ⎛ ⎞ k 1+ j x x k ⎜1 + j + jx r (1 + jkx )⎟ k k k ⎠, k Z i1 = Z0 = Z0 ⋅ ⎝ x⎞ ⎛ r r 1 r 1 + jkx r (1 + jkx ) + jkx⎜1 + j ⎟ ⋅ 1− j ⋅ k⎠ x k 1+ j x ⎝ k 2 k k 1− x r + j1+ r x Z i1 = Z 0 ⋅ . r r − x 2 + jk 1 + r x Încercând soluţia ca Z i1 să nu depindă de x, rezultă egalităţile: Z i 2 − jZ C 1 ⋅

(

( (

) ( (

)

) )

)

−k r j 1+ r k = , = −1 jk 1 + r r îndeplinite numai pentru r = 1, k = ±1. Rezultatul nu prezintă interes deoarece conduce la Z S = Z C , caz în care circuitul de adaptare devine inutil. Coeficientul de reflexie la intrare este Z − Z C Z i1 Z C − 1 Γ = i1 = , Z i1 + Z C Z i1 Z C + 1 1 1− x2 r + j 1+ r x Z i1 k = . ZC 1 − 1 ⋅ x2 + j k 1 + r x r r Se obţine ⎛ 1 ⎞ ⎛1 k ⎞ − r ⎟ x2 + j 1 + r ⎜ − ⎜ ⎟x k r r⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Γ= . 1 ⎞ 2 ⎛ ⎛1 k ⎞ 2−⎜ r + ⎟x + j 1+ r ⎜ + ⎟x r⎠ r⎠ ⎝ ⎝k Pentru o valoare dată a lui r se urmăreşte minimizarea modulului coeficientului de reflexie la variaţia lui k . În acest scop, derivând Γ în raport cu k şi deoarece

(

)

(

)

(

)

(

x << 1, rezultă condiţia: 1 k − = 0, k r deci

42

)


k = 4 r, ceea ce conduce la alegerea optimă Z 0 = Z C Z S . Pentru această alegere, rezultă: 1 − r x2 x2 1 r . Γ≅ ≅ ⋅ r− 2 r 1 ⎛ ⎞ 2 2 1+ ⎜ 2 + r + ⎟x r⎠ ⎝ De aici se poate calcula raportul de undă staţionară pe linia de acces: 1+ Γ 1 2 ≅ 1+ 2 Γ = 1+ r − x . σ= 1− Γ r Ţinând seama de expresia lui x, rezultă:

⎛ Δf ⎜⎜ ⎝ f0

⎞ ⎛ Δβ ⎞ 2 ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ = ⎠ max ⎝ β 0 ⎠ max π

sau, numeric, ⎛ Δf ⎞ 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ f 0 ⎠ max π

σ max − 1 r −1

,

r

1,1 − 1 = 0,16437 . 2 − 0,5

Se obţine astfel lărgimea benzii B = 2 ⋅ (Δf )max ⋅ f 0 = 328,75 MHz , banda obţinută fiind de aproape 4 ori mai mare decât în situaţia analizată în problema precedentă. Variaţia cu frecvenţa a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces, obţinută prin simulare pe calculator, este prezentată în figura de mai jos.

Se constată că, într-adevăr, corespunzător unei valori − 1 1,1 − 1 σ Γ = max = = 0,047 , σ max + 1 1,1 + 1 43


banda circuitului de adaptare considerat este Bsim ≅ 329 MHz , ceea ce confirmă rezultatul obţinut pe cale analitică. 1.25 Într-un cablu coaxial se folosesc discuri dintr-un material dielectric pentru susţinerea conductorului central. Aceste discuri au grosimea d = 3 mm şi sunt fixate la o distanţă D = 2 cm unul de altul. Ştiind că dielectricul are permitivitatea electrică ε r = 4 şi pierderi neglijabile, să se calculeze constanta de defazare şi lungimea de undă la frecvenţa f = 300 MHz.

-

Rezolvare: Se exprimă succesiv: capacitatea suplimentară datorită prezenţei unui disc: C sup l = C L d (ε r − 1) ,

unde C L este capacitatea lineică a liniei în absenţa discurilor; - numărul de discuri pe unitatea de lungime: N =1 D ; - capacitatea suplimentară totală pe unitatea de lungime: ⎡d ⎤ C L sup l = C sup l N = C L ⎢ (ε r − 1) + 1⎥ ; ⎣D ⎦ - capacitatea lineică în prezenţa discurilor: ⎡d ⎤ C L' = C L + C L sup l = C L ⎢ (ε r − 1) + 1⎥ . ⎣D ⎦ În situaţia în care lungimea de undă este mult mai mare decât distanţa dintre discuri se poate considera că linia are un dielectric omogen, a cărui permitivitate electrică rezultă din relaţia: ε rech = C L' C L . Se obţine astfel: 3 d ε rech = 1 + (ε r − 1) = 1 + ⋅ 3 = 1,45. 20 D Lungimea de undă în acest cablu este: 3 ⋅108 c0 λ0 = = = 0,83 m = 83 cm , λ= ε rech f ε rech 3 ⋅108 ⋅ 1,45 deci ipoteza λ >> d este pe deplin justificată, iar 2π 2πf ε rech = = 7,566 rad m . β= c0 λ

44


2 GHIDURI UNIFORME

2.1 Să se determine funcţiile de distribuţie transversală ale componentelor câmpului electromagnetic pentru modul de propagare E 21 în ghidul metalic uniform de secţiune dreptunghiulară. Folosind rezultatele obţinute, să se reprezinte liniile de câmp electric şi magnetic. Rezolvare: Sistemul de coordonate potrivit pentru studiul acestui ghid este sistemul cartezian. Componenta axială E z se obţine din ecuaţia membranei cu condiţia la limită corespunzătoare: mπ nπ E zmn ( x, y ) = E 0 sin x sin y a b Pentru modul E21 , 2π π E z21 ( x, y ) = E 0 sin x sin y a b Componentele transversale se obţin din componenta axială cu relaţiile de legătură: γ jωμ ET = − 2 ∇T Ez + 2 ( e z × ∇T H z ) , k k γ jωε H T = − 2 ∇ T H z − 2 ( e z × ∇T E z ) , k k ∂ ∂ 2 2 unde k 2 = (mπ a ) + (nπ b ) , iar ∇T = e1 + e 2 . ∂x ∂y Ţinând cont că H z = 0, se obţin expresiile: 2π 2π γ π E x = − 2 E0 cos x sin y , a a b k 2π γ π π E y = − 2 E0 sin x cos y , b a b k jωε 2π π π H x = 2 E 0 sin x cos y , b a b k jωε 2π 2π π H y = − 2 E0 cos x sin y . a a b k 45

Ghiduri uniforme

Cu ajutorul lor se reprezintă liniile de câmp electric şi magnetic.

b a 2.2 Să se determine viteza de fază şi viteza de grup ale unei unde H 10 care se propagă într-un ghid metalic uniform, de secţiune dreptunghiulară, umplut cu un dielectric având permitivitatea electrică relativă ε r = 4 , la frecvenţa f = 9 GHz . Dimensiunile transversale ale ghidului sunt a = 1,5 cm, b = 0,75 cm. Rezolvare: Pentru modul H 10 în ghidul dreptunghiular λc = 2a = 3 cm . Ca urmare, frecvenţa critică corespunzătoare modului de propagare are valoarea c0 3 ⋅ 10 8 c = = = 5 ⋅ 10 9 Hz = 5 GHz fc = λ c λC ε r 0,03 ⋅ 4 de unde se obţine f c f = 5 9 . Viteza de fază este: c0 ω 3 ⋅ 10 8 c = 1,8 ⋅ 10 8 m s . = = = vϕ = 2 2 βg ε r 1 − ( f c f )2 1− ( fc f ) 4 1 − (5 9 ) Viteza de grup este: c 1 vg = = c 1 − ( f c f )2 = 0 1 − ( f c f )2 = 1,25 ⋅ 10 8 m s . dβ g εr

dω

2.3 Să se calculeze constanta de defazare şi lungimea de undă ale modului H 10 care se propagă la frecvenţa f = 6 GHz printr-un ghid metalic uniform având secţiunea dreptunghiulară cu a = 2 cm, b = 1 cm. Ghidul este umplut cu un dielectric fără pierderi având ε r = 4. Rezolvare: Lungimea de undă critică corespunzătoare modului de propagare H 10 în ghidul de undă dreptunghiular are valoarea: λc = 2a = 4 cm. Rezultă frecvenţa critică, c c0 3 ⋅ 10 8 fc = d = = = 0,375 ⋅ 1010 Hz = 3,75 GHz, λ c λc ε r 0,04 4 şi lungimea de undă pe ghid,

46


λ

λg =

1 − (λ λ c )

2

=

c0 f ε r 1 − ( fc f )

2

=

3 ⋅ 10 8 6 ⋅ 10

9

4 1 − (3,75 6 )

2

=

= 0,032 m = 3,2 cm. Se obţine astfel valoarea constantei de defazare: 2π 2π βg = = = 196 rad m . λ g 3,2 ⋅ 10 − 2 Observaţie: Constanta de defazare mai poate fi calculată şi cu relaţia

β g = β 1 − ( f c f )2 = (2π λ ) 1 − ( f c f )2 , unde

λ = λ0

ε r = c0 f ε r = 3 ⋅ 10 8 6 ⋅ 10 9 4 = 0,025 m = 2,5 cm.

Rezultă astfel valoarea constantei de defazare,

β g = (2π 0,025) 1 − (3,75 6 )2 = 196 rad m . 2.4 Să se calculeze lungimile de undă λ gmn şi vitezele de fază vϕ mn pentru toate modurile E mn care se pot propaga într-un ghid metalic uniform de secţiune dreptunghiulară, cu dielectric aerul, având dimensiunile a = 6 cm, b = 3 cm , la frecvenţa f = 7,5 GHz .

Rezolvare: În ghidul dreptunghiular, frecvenţa critică corespunzătoare unui mod de propagare având indicii (m, n), este dată de expresia: 2

2

2

2

c c ⎛m⎞ ⎛n⎞ ⎛m⎞ ⎛n⎞ f cmn = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 0 2 ⎝ a ⎠ ⎝b⎠ 2 εr ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ Pentru modurile E , m > 0 şi n > 0, astfel încât frecvenţele critice sunt:

E11 : f c11

c = 0 2

1 1 3 ⋅ 10 8 + = 2 a2 b2

1 1 + = 5,59 ⋅ 10 9 Hz = 5,59 GHz < f 2 2 0,06 0,03

c0 2

4 1 3 ⋅ 10 8 + = 2 a2 b2

4 1 + = 7,07 ⋅ 10 9 Hz = 7,07 GHz < f 2 2 0,06 0,03

E 21 : f c21 =

1 4 3 ⋅ 10 8 1 4 E12 : f c12 + 2 = + = 10,3 ⋅ 10 9 Hz = 10,3 GHz > f 2 2 2 2 a b 0,06 0,03 Deci dintre modurile E mn se propagă numai E11 şi E21 . Se calculează, pe rând: • lungimea de undă în spaţiul liber, λ0 = c0 f = 3 ⋅ 108 7,5 ⋅ 10 9 = 0,04 m = 4 cm • lungimea de undă în ghid corespunzătoare modului E11 de propagare, λ0 4 = = 6 cm λ g11 = 2 2 1 − f c11 f 1 − (5,59 7,5) c = 0 2

(

)

47

Ghiduri uniforme

• viteza de fază corespunzătoare aceluiaşi mod, vϕ11 = f ⋅ λ g11 = 7,5 ⋅ 10 9 ⋅ 6 ⋅ 10 −2 = 4,5 ⋅ 10 8 m s •

lungimea de undă în ghid corespunzătoare modului E 21 de propagare, λ0 4 = = 12,4 cm λ g 21 = 2 1 − f c21 f 1 − (7,1 7,5)

(

•

)

viteza de fază corespunzătoare modului E 21 ,

vϕ 21 = f ⋅ λ g 21 = 7,5 ⋅ 10 9 ⋅ 12,4 ⋅ 10 −2 = 9,3 ⋅ 10 8 m s . 2.5 Ce valoare are permitivitatea electrică relativă a dielectricului care umple un ghid metalic de secţiune dreptunghiulară, dacă la frecvenţa f = 3 GHz lungimea de undă din ghid pentru modul H 10 este egală cu lungimea de undă în spaţiul liber ? Se cunosc dimensiunile transversale ale ghidului: a = 4 cm, b = 2 cm . Rezolvare: Lungimea de undă în ghid are expresia:

λg = =

λd

1 − ( fc f )

2

=

λ0

ε r 1 − ( fc f )

λ0 ε r 1 − (λ0 λc ) (1 ε r ) 2

=

2

=

λ0 ε r 1 − (λ d λc )

λ0 ε r − (λ0 λc )

2

2

=

.

Condiţia λ g = λ0 conduce la:

ε r − (λ0 λc )2 = 1 , adică 2

⎛λ ⎞ ε r = 1 + ⎜⎜ 0 ⎟⎟ . ⎝ λc ⎠ Înlocuind cu datele problemei, se obţine: λc = 2a = 8 cm

λ0 = c0 f = 3 ⋅ 10 8 3 ⋅ 10 9 = 0,1 m = 10 cm 2

⎛ 10 ⎞ ε r = 1 + ⎜ ⎟ = 2,56 . ⎝8⎠ 2.6 La frecvenţa f = 10 GHz , impedanţa de undă a modului H 11 într-un anumit ghid metalic dreptunghiular cu dielectric aer are valoarea (Z u ) H = 394 Ω . Cât este 11

impedanţa de undă a modului E 22 la această frecvenţă ? Care sunt dimensiunile ghidului (presupunând a = 2b ) ? Rezolvare: Impedanţa de undă a modului H 11 are expresia:

48


(Z u ) H

11

=

(

Z0

1 − f c11 f

)2

,

unde Z 0 = μ0 ε 0 = 120π ≅ 377 Ω reprezintă impedanţa de undă în spaţiul liber. Rezultă: 2

2 ⎞ ⎛ Z 0 ⎟ = 1 − ⎛⎜ 377 ⎞⎟ = 0,29 . = 1− ⎜ ⎜ (Z u ) H ⎟ f ⎝ 394 ⎠ 11 ⎠ ⎝ Pe de altă parte, frecvenţele critice ale modurilor E mn şi H mn sunt identice:

f c11

1 c 1 + 2, 2 2 a b

f c11 =

2

2

c ⎛ 2⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ . 2 ⎝a⎠ ⎝b⎠ Se constată că f c22 = 2 f c11 , astfel încât f c22 =

f c22 f = 2 ⋅ 0,29 = 0,58 . Rezultă valoarea impedanţei de undă a modului E 22 la frecvenţa f :

(Z u ) E

22

(

= Z 0 1 − f c22 f

)2 = 377

1 − 0,58 2 = 307 Ω

Deoarece b = a 2 , 2

c 5 c 1 ⎛2⎞ +⎜ ⎟ = 0 f c11 = , 2 2 a ⎝a⎠ 2a de unde rezultă λ0 5 c 5 a= 0 = . 2 f c11 2 f c11 f

(

)

Ştiind că λ0 = c0 f = 3 ⋅ 10 8 1010 = 0,03 m = 3 cm , se pot obţine dimensiunile transversale ale ghidului: 0,03 5 a= = 11,56 cm , 2 ⋅ 0,29 b = a 2 = 5,78 cm.

2.7 Să se calculeze unghiul de incidenţă pe pereţii laterali al celor două unde plane a căror suprapunere alcătuiesc modul H 10 care se propagă într-un ghid metalic uniform de secţiune dreptunghiulară cu dielectric aerul, la frecvenţa f = 7GHz . Dimensiunile transversale ale ghidului sunt a = 3,5 cm, b = 1,7 cm. Cât devine acest unghi la frecvenţa f ′ = 4,3 GHz ? Rezolvare: Pentru ghidul şi modul considerat, λc = 2a = 7 cm,

49

Ghiduri uniforme

f c = c λc = 3 ⋅ 10 8 0,07 ≈ 4,28 ⋅ 10 9 Hz = 4,28 GHz. Unghiul de incidenţă pe pereţii laterali este dat de relaţia: 2

⎛f ⎞ λ sin θ = 0 = 1 − ⎜⎜ c ⎟⎟ . λg ⎝ f ⎠ La f = 7 GHz rezultă: 2

⎛ 4,28 ⎞ sin θ = 1 − ⎜ ⎟ = 0,79 ⎝ 7 ⎠ adică

θ = 52,3o . La f ′ = 4,3 GHz rezultă: 2

⎛ 4,28 ⎞ sin θ = 1 − ⎜ ⎟ = 0,096 ⎝ 4,3 ⎠ adică

θ = 5,52 o . Observaţie: Apropierea de frecvenţa critică implică o direcţie de propagare a undelor plane componente tot mai depărtată de direcţia axială, ceea ce înseamnă că odată cu scăderea frecvenţei de lucru, unghiul de incidenţă al celor două unde plane componente scade şi el, devenind chiar zero la frecvenţa de tăiere În această situaţie propagarea devine pur transversală şi deci apare un fel de “rezonanţă transversală” în interiorul ghidului, fenomen ce echivalează cu absenţa oricărei propagări în lungul ghidului. 2.8 Să se calculeze constanta de atenuare pentru modul H 10 în cazul unui ghid uniform de secţiune dreptunghiulară având ca dielectric aerul şi dimensiunile a = 2 cm, b = 1 cm , la frecvenţa f = 6 GHz . Rezolvare: Pentru ghidul şi modul considerat, λc = 2a = 4 cm,

f c = c0 λ c = 3 ⋅ 10 8 0,04 = 7,5 ⋅ 10 9 Hz = 7,5 GHz. Se constată că f < f c , deci în ghid nu are loc o propagare, ci există doar o oscilaţie atenuată ( γ = α ). Constanta de propagare, reală, are expresia: 2

2

2

2π ⎛ ω c ⎞ 2π ⎛ λ0 ⎞ ⎛ω ⎞ ⎜ ⎟ −1 γ = k − ω εμ = ω εμ ⎜ c ⎟ − 1 = ⎜ ⎟ −1 = λ0 ⎝ ω ⎠ λ0 ⎜⎝ λc ⎟⎠ ⎝ω ⎠ Se calculează, pe rând: λ0 = c0 f = 3 ⋅ 108 6 ⋅ 10 9 = 0,05 m = 5 cm , 2

2

2

α =γ =

2π ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ − 1 ≅ 94, 24 Np m , 0, 05 ⎝ 4 ⎠

sau, echivalent, α [dB m ] = 8,686 ⋅ α [Np m] = 8,686 ⋅ 94,24 = 818,5. 50


2.9 Să se calculeze lungimile de undă ale modurilor care se pot propaga într-un ghid metalic de secţiune circulară având raza a = 5 cm , la frecvenţa f = 3 GHz . Ghidul are ca dielectric aerul. Rezolvare: În ghidul circular, frecvenţele critice ale modurilor de propagare sunt date de: ( f c )Emn = c ρ mn , 2πa ′ , ( f c )H mn = c ρ mn 2πa ′ este unde ρ mn este rădăcina a m -a a funcţiei Bessel de speţa 1 şi de indice n , iar ρ mn rădăcina a m -a a derivatei acesteia. ′ şi se Din tabelele de funcţii Bessel se extrag, în ordine, primele valori ρ mn , ρ mn calculează frecvenţele critice corespunzătoare: 3 ⋅ 10 8 ′ ρ11 = 1,84 ( f c )H11 = ⋅ 1,84 = 1,75 ⋅ 10 9 Hz = 1,76 GHz < f , 2π ⋅ 0,05

ρ10 = 2,40

( f c )H

3 ⋅ 10 8 = ⋅ 3,05 = 2,91 ⋅ 10 9 Hz = 2,91 GHz < f , 2π ⋅ 0,05

10

′ = 3,05 ρ12

ρ11

( f c )E

3 ⋅ 10 8 = ⋅ 2,4 = 2,29 ⋅ 10 9 Hz = 2,29 GHz < f , 2 ⋅ π ⋅ 0,05

12

′ = 3,83 = ρ10

( f c )E

11

= ( f c )H

10

3 ⋅ 10 8 = ⋅ 3,83 = 3,66 GHz > f , 2π ⋅ 0,05

3 ⋅ 10 8 ( f c )H13 = ⋅ 4,2 = 4,01 ⋅ 10 9 Hz = 4,01 GHz > f . 2π ⋅ 0,05 Deci la frecvenţa f = 3 GHz se pot propaga numai modurile H 11 , E10 şi H 12 . Ele au lungimile de undă: c0 3 ⋅ 108 λg H = = = 0,1234 m = 12,34 cm , 2 2 11 9 f 1 − f cH11 f 3 ⋅ 10 1 − (1,76 3) ′ = 4,2 ρ13

( )

(

(λ g )E

=

(λ g )H

=

10

12

)

c0

(

f 1 − f cE10 f

(

c0

f 1 − f cH12 f

)

=

)

=

2

2

3 ⋅ 108 3 ⋅ 10

9

1 − (2,29 3)

2

3 ⋅ 10 8 3 ⋅ 10

9

1 − (2,91 3)

2

= 0,1548 m = 15,48 cm , = 0,411 m = 41,1 cm.

2.10 O linie microstrip este folosită pentru adaptarea la frecvenţa de 1 GHz a unei sarcini având impedanţa RS = 25 Ω, la impedanţa generatorului R g = 100 Ω. Să se determine (aproximativ) dimensiunile liniei, ştiind că suportul este din alumină ( ε r = 9 ) şi are grosimea d = 1 mm.

51

Ghiduri uniforme

Rezolvare: Lungimea tronsonului de linie folosit pentru adaptare trebuie să fie l = λ 4 :

λ0 c0 3 ⋅ 10 8 = = = 0,025 m = 2,5 cm . 4 4 εr 4 f εr 4 ⋅ 10 9 ⋅ 9 Pentru linia de lungime λ 4 impedanţa de intrare are expresia: l=

λ

=

Z C2 Zi = ZS deci valoarea impedanţei caracteristice a liniei microstrip trebuie să fie: Z c = Z g Z S = 100 ⋅ 25 = 50 Ω .

O expresie foarte aproximativă a impedanţei liniei microstrip este: d ZC ≅ Z d , D unde D este lăţimea liniei. Cu substratul considerat, rezultă: Z Z0 120π D=d d =d = 10 −3 = 2,5 ⋅ 10 −3 m = 2,5 mm . Zc Zc ε r 50 9

2.11 Într-un ghid de undă metalic, umplut cu aer, de secţiune dreptunghiulară, având dimensiunile transversale a = 5 cm, b = 2,5 cm, se propagă la frecvenţa f = 4 GHz o undă H 10 . Ştiind că intensitatea maximă a câmpului electric (în planul de simetrie x = a 2 al ghidului) este E 0 = 10 3 V m , să se calculeze densitatea maximă a curentului de deplasare J D şi densitatea maximă a curentului superficial de conducţie J C . Să se precizeze poziţia şi orientarea acestor curenţi.

Rezolvare: Curentul de deplasare este dat de relaţia J D = jωε E . Densitatea maximă apare în planul median al ghidului, ( x = a 2 ), deci pentru modul considerat va avea direcţia câmpului electric (verticală): 1 J D max = ωεE0 = 2π ⋅ 4 ⋅ 10 9 ⋅ 10 3 = 0,222 ⋅ 10 3 A m 2 9 4π ⋅ 9 ⋅ 10 Densitatea de curent superficial de conducţie este dată de relaţia: JC = n × H . Pe pereţii verticali, JC = n × H z , de unde se deduce faptul că λ g E y max λ g E 0 λ 0 E 0 λ0 J C max = H z max = = = , λ c (Z u ) H λc Z 0 λ g Z 0 λ c unde

λ0 = c0 f = 3 ⋅ 108 4 ⋅ 10 9 = 0,075 m = 7,5 cm , 52


λc = (λ c )H10 = 2a = 10 cm . Se obţine:

10 3 7,5 ≈ 2A m 120π 10 şi acest curent are direcţia verticală. Pe pereţii orizontali există două componente tangenţiale, H x şi H z , defazate cu J C max =

π 2 , de amplitudini inegale, depinzând de coordonata x : π H z = H 0 cos

H x = jH 0

a

x,

λc π sin x . a λg

Polarizarea fiind eliptică, valoarea maximă în timp a câmpului magnetic total este semiaxa mare a elipsei: H max = max{H x , H z }. Deoarece atunci când punctul se apropie de pereţii laterali H x scade iar H z creşte,

H

max

va avea un minim corespunzător situaţiei

Hx = Hz

(polarizare

circulară) şi o valoare maximă: ⎧⎪ λ c ⎫⎪ { } ( H ) ( H ) H = max , = max ⎨ , 1⎬ . x max z max 0 max ⎪⎩ λ g ⎪⎭ Cu datele numerice ale problemei, se calculează: λc = 2a = 10 cm , H max

λ0 = c f = 3 ⋅ 108 4 ⋅ 10 9 = 0,075 m = 7,5 cm , λ0 7,5 = = 11,3 cm , λg = 2 2 1 − (λ 0 λ c ) 1 − (7,5 10 ) E λ λc 10 = = 0,88 < 1 deci H max max = H 0 = 0 0 . λ g 11,3 Z 0 λc Acest J C max apare la marginea pereţilor orizontali şi are direcţia transversală. Numeric, J C max = 2 A m . 2.12 Să se determine puterea maximă transmisibilă, în cazul adaptării, printr-un ghid metalic cu dielectric aerul, având secţiunea transversală dreptunghiulară cu dimensiunile a = 2 cm, b = 1 cm , la frecvenţa f = 10 GHz Se cunoaşte intensitatea câmpului electric de străpungere a aerului, E str = 30 kV cm . Se admite un coeficient de siguranţă C = 0,25. Cât devine puterea maximă transmisibilă dacă terminaţia ghidului se modifică astfel încât pe ghid apare un raport de undă staţionară σ = 2 ? Rezolvare: La frecvenţa dată, în ghid se poate propaga numai modul dominant: 53

Ghiduri uniforme

( f c )H

10

c

=

(λc )H

=

10

c0 2a ε r

=

3 ⋅ 10 8 = 7,5 ⋅ 10 9 Hz = 7,5 GHz < f . 2 ⋅ 0,02

Pentru modurile imediat următoare acestui mod fundamental, rezultă:

( f c )H

20

= ( f c )H 01 =

2

c0 c 3 ⋅ 108 ⎛1⎞ = 0 = = ⎜ ⎟ = 0,02 2b ε r a εr ⎝b⎠

c0 2 εr

= 15 ⋅ 10 9 Hz = 15 GHz > f (deoarece a = 2b ). În cazul modului H 10 , puterea transmisă în undă directă este dată de expresia: 2

2

⎛f ⎞ P= ab 1 − ⎜⎜ c ⎟⎟ , 4Z 0 ⎝ f ⎠ deci puterea maximă transmisibilă pe ghidul de undă dreptunghiular cu dielectric aer, terminat adaptat, este: E max

2

Pmax tr. adaptare

2 Estr ⎛f ⎞ = ab 1 − ⎜⎜ c ⎟⎟ = 4Z 0 ⎝ f ⎠

(3 ⋅10 )

6 2

2

⎛ 7,5 ⎞ 6 ⋅ 0,02 ⋅ 0,01 1 − ⎜ ⎟ ≈ 0,79 ⋅ 10 W = 0,79 MW 4 ⋅ 120π ⎝ 10 ⎠ Rezultatul obţinut reprezintă de fapt limita teoretică referitoare la posibilităţile ghidului. În practică, puterea maximă transmisibilă este întotdeauna mai mică decât această valoare teoretică, deoarece orice ghid real are tot felul de neregularităţi ale pereţilor, iar aceste neregularităţi – în special muchiile ascuţite – provoacă apariţia unor concentrări locale ale câmpului electric, provocând astfel apariţia străpungerii mult mai repede decât era de aşteptat. Pentru a se ţine seama de acest aspect, expresia teoretică precedentă poate fi corectată în practică prin adăugarea unui coeficient subunitar, a cărui valoare este determinată de calitatea prelucrării suprafeţelor pereţilor ghidului: =

2

2 Estr ⎛f ⎞ Pmax tr. adaptare = C ab 1 − ⎜⎜ c ⎟⎟ ≈ 0,25 ⋅ 0,79 ≈ 0,2 MW 4Z 0 ⎝ f ⎠ Dacă ghidul nu este terminat adaptat, atunci în ghid există simultan atât o undă directă cât şi o undă inversă, situaţie în care puterea transmisă pe ghid este dată de diferenţa dintre puterea transportată de unda directă şi puterea transportată de unda inversă:

P = Pd − Pi =

Ed

2

− Ei

4Z 0

2

2

⎛f ⎞ ab 1 − ⎜⎜ c ⎟⎟ . ⎝ f ⎠

Dar:

Ed

2

− Ei

2

= ( E d + Ei

)( Ed

Obţinem: 2

Pmax tr.

54

2

− Ei ) = E max ⋅ E min =

2

E max

σ

.

Pmax tr. adaptare 0,2 ⎛f ⎞ ab 1 − ⎜⎜ c ⎟⎟ = = = 0,1 MW . = 4 Z 0σ 2 σ ⎝ f ⎠ E max


Puterea maximă transmisibilă unei sarcini oarecare printr-un ghid este deci de σ ori mai mică decât puterea maximă transmisibilă unei sarcini adaptate, prin acelaşi ghid. 2.13 Într-un ghid metalic de secţiune dreptunghiulară se propagă o undă H 10 , transmiţând o putere limită de 1 MW, la frecvenţa f = 4 GHz . Cât este puterea limită care se va putea transmite cu acest ghid la frecvenţa f ′ = 3 GHz ? Frecvenţa critică a ghidului considerat este ( f c ) H = 2,5 GHz. 10

Rezolvare: Puterea maximă transmisibilă în cazul undei H 10 într-un ghid dreptunghiular (vezi problema 2.12) depinde de frecvenţă conform relaţiei:

Pmax tr. ( f ) = k 1 − ( f c f ) , 2

unde k este o constantă. Deci: Pmax tr. ( f ′) Pmax tr. ( f )

=

1 − ( f c f ′) 1 − ( fc f )

1 − (2,5 3)

=

2

1 − (2,5 4 )

2

=

0,55 = 0,7 . 0,78

Rezultă: Pmax tr. ( f ′) = 0,7 Pmax tr. ( f ) = 0,7 MW . Se constată scăderea pronunţată a puterii maxime transmisibile la apropierea de frecvenţa critică. 2.14 Care este intensitatea maximă a câmpului electric într-un ghid metalic de secţiune dreptunghiulară, dacă prin acest ghid se transmite unei sarcini, la frecvenţa f = 10 GHz, o putere P = 1 kW în condiţiile unui raport de undă staţionară σ = 1,5 ? Ghidul are dimensiunile transversale a = 2 cm, b = 1 cm, dielectric aerul şi prezintă pierderi neglijabile. Rezolvare: Singurul mod care se poate propaga prin ghidul respectiv la frecvenţa dată este modul dominant, H 10 . Într-adevăr:

(λc )H

10

( f c )H

10

= 2a = 4 cm ,

=

c0

(λc )H

10

( f c )H

01

= ( f c )H

20

εr =

=

c0 2a ε r

c0 a εr

=

=

3 ⋅ 108 = 7,5 ⋅ 10 9 Hz = 7,5 GHz < f , 0,04

3 ⋅ 10 8 = 15 ⋅ 10 9 Hz = 15 GHz > f 0,02

(deoarece a = 2b ). Puterea transportată are expresia: P = Pd − Pi =

Ed

2

⋅ ab

4( Z u ) H

10

2

−

E i ⋅ ab

4( Z u ) H

10

=

ab 4(Z u ) H

(E

2 d

− Ei

2

).

10

55

Ghiduri uniforme

Câmpul electric are intensitatea maximă în acele plane transversale în care unda directă şi unda inversă sunt în fază, E max = E d + Ei . Dar:

Ed

2

− Ei

2

= ( E d + Ei ) ⋅ ( E d − Ei ) =

2

E max

σ

.

de unde, înlocuind în expresia puterii, se obţine relaţia dintre puterea transmisă şi valoarea maximă a câmpului electric din ghid sub forma: 2

2

E max ⋅ ab

2

⎛f ⎞ = ab 1 − ⎜⎜ c ⎟⎟ . P= 4 (Z u ) H σ 4 Z 0 σ ⎝ f ⎠ 10 Cu datele problemei, rezultă în final valoarea intensităţii maxime a câmpului electric: E max

4σPZ 0

E max =

ab 1 − ( f c f )

2

=

4 ⋅ 1,5 ⋅ 10 3 ⋅ 377 0,02 ⋅ 0,01 ⋅ 1 − (7,5 10 )

2

= 13 ⋅ 10 4 V m .

2.15 Să se determine puterea transmisă printr-un ghid de undă fără pierderi, cu dielectric aerul, de secţiune circulară cu raza a = 5 cm , la frecvenţa f = 2 GHz, pentru modul H 11 , în cazul adaptării, ştiind că intensitatea câmpului magnetic axial are valoarea H 0 = 10 A m . Rezolvare: Unda H 11 are două componente electrice transversale. Pentru calculul puterii transmise se preferă exprimarea acestora în funcţie de componenta axială, unică. Pentru modurile de tip H , folosind relaţia: ( Zu )H 2 P= H T da ∫ Σ T 2 şi exprimând H T prin componenta axială H z , se obţine:

P=

(Z u ) H β 2 ⋅ 4

∫Σ

2

∇ T H z da .

T 2 k În ghidurile metalice fără pierderi numărul de undă k este legat de componenta axială Φ = E z sau H z prin relaţia

2

∫Σ ∇ T Φ da . k2 = 2 Φ d a ∫Σ T

T

Deci, pentru un mod H , Z λ2 2 P = d ⋅ c ∫ H z da . 2 λ0 λg ΣT În cazul undei H 11 în ghidul circular, componenta axială H z are expresia: H z = H 0 J 1 (kρ ) cos ϕ , ′ a . Se obţine: unde k = ρ11 56


P=

Z 0 H 02 λ2c ⋅ λ0 λ g 2

2π

2 ∫ cos ϕdϕ ⋅

ϕ =0

a

∫ J1 (kρ ) ⋅ ρdρ . 2

ρ =0

Ultima integrală este o integrală de tip Lommel, [3], deci se poate scrie: a 1 ⎛ 2 n2 ⎞ 2 2 ⎟ ⋅ J n (ka ), ⎜a − ( ) J k ρ ρ d ρ ⋅ = ∫ n 2 ⎟ ⎜ 2 k ⎠ ⎝ ρ =0 ′ . pentru ak = ρ mn Se obţine: ⎡ Z H 2 λ2 1 ⎤ 2 ′ )a 2 . P = 0 0 ⋅ c π ⎢1 − J ( ρ11 2⎥ 1 λ0 λ g ⎢⎣ (ρ11 4 ′ ) ⎥⎦ Cu datele problemei rezultă: λ0 = c0 f = 3 ⋅ 108 2 ⋅ 10 9 = 0,15 m = 15 cm , (λc )H11 = 2πa = 2π ⋅ 0,05 ≈ 17,1 cm , ′ ρ11 1,84

(

(λ g )H

11

P=

=

)

λ0 1 − (λ 0 λc )

2

=

15 1 − (15 17 )

2

= 31,8 cm ,

⎡ 120π ⋅ 10 2 17,12 1 ⎤ ⋅ ⋅ π ⋅ ⎢1 − ⋅ 0,58 2 ⋅ 25 ⋅ 10 −4 = 1,4 ⋅ 10 3 W = 1,4 kW . 2⎥ 4 15 ⋅ 31,8 ⎣ 1,84 ⎦

2.16 Să se calculeze puterea maximă transmisibilă pentru modul E10 , printr-un ghid metalic de secţiune circulară având raza a = 3 cm , la frecvenţa f = 5 GHz . Ghidul are ca dielectric aerul ( Estr = 30 kV cm ) şi este terminat pe o sarcină adaptată. Se va admite un coeficient de siguranţă C = 0,25. Rezolvare: Se calculează frecvenţa critică corespunzătoare modului de propagare E10 :

c0 3 ⋅ 108 ( f c )E10 = ⋅ 2,4 = 3,82 ⋅ 10 9 Hz = 3,82 GHz < f . ρ10 = 2πa 2π ⋅ 0,03 Se verifică astfel propagarea modului E10 . La acest mod, componentele câmpului electric au expresiile: E z = E 0 J 0 (kρ ) , Eρ = j

λc E0 J 1 (kρ ) , λg

Eϕ = 0 , unde k = ρ10 a , iar λc = 2π k = 2πa ρ10 . În consecinţă, puterea transmisă are expresia: 1 P= 2 ( Zu )E

∫

ΣT

ET

2

1 da = 2 ( Zu )E

∫

ΣT

Eρ

2

E02 da = 2 ( Zu )E

⎛ λc ⎜⎜ ⎝ λg

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

2π

a

0

0

2 ∫ dϕ ∫ J 1 ( k ρ ) ρ d ρ

57

Ghiduri uniforme

Dar, pentru ka = ρ mn , a

2 ∫ J n (kρ )ρdρ = 0

a2 2 J n′ (ka ) (integrală Lommel, [3]), 2

astfel încât puterea transmisă poate fi scrisă sub forma: 2

2 ⎛ λc ⎞ ⎜ ⎟ 2π a J 1′ 2 ( ρ10 ) . ⎜ λg ⎟ 2 ⎝ ⎠ Câmpul electric, având două componente defazate cu π 2 radiani, are o polarizare eliptică. Intensitatea maximă va fi egală cu cea mai mare dintre semiaxele elipsei: ⎧⎪ ⎫⎪ λ λ ⎪⎧ ⎪⎫ E max = max ⎨ E 0 J 0 (kρ ); c E 0 J1 (kρ )⎬ = E0 max ⎨J 0 (0 ); c J1 ( ρ10 )⎬ . λg λg ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ Se calculează, pe rând: • lungimea de undă critică, a modului E10 : (λc )E10 = 2πa = 2π ⋅ 0,03 = 0,0785 m = 7,85 cm ; ρ10 2,4 • lungimea de undă în spaţiul liber, la frecvenţa dată: c 3 ⋅ 10 8 λ0 = 0 = = 0,06 m = 6 cm ; f 5 ⋅ 10 9 • lungimea de undă din ghid pentru modul E10 :

E 02 P= 2( Z u ) E

(λ g )E

10

=

λ0 1 − (λ 0 λ c )

2

=

6 1 − (6 7,85)

2

= 9,3 cm .

Deci, în cazul datelor problemei, E max este: ⎧ 7,85 ⎫ ⋅ 0,58⎬ = E 0 , E max = E 0 max ⎨1; ⎩ 9,3 ⎭ adică puterea transmisă este legată de câmpul electric maxim prin relaţia: 2

⎛ λc ⎞ ⎜ ⎟ πa 2 J1′ 2 (2,4 ) . ⎜ λg ⎟ ⎝ ⎠ Deci puterea maximă transmisibilă are, pentru acest mod, expresia: 2 E max P= 2(Z u ) E

2

2 ⎛ λc ⎞ Estr 2 2 ⎟ ⎜ ′ πa J1 (2,4) = C Pmax tr. ⎜ λg ⎟ 2 Z 0 1 − ( f c f )2 ⎝ ⎠ Pentru calculul valorii J 1′ (2,4) se poate folosi relaţia cunoscută: J (x ) J 1′ ( x ) = J 0 ( x ) − 1 . x Se obţine: 2 Estr =C 2( Z u ) E

( 3 ⋅10 )

6 2

Pmax tr. = 0, 25 ⋅

58

2 ⋅120π 1 − ( 3,8 5 )

2

2

⎛ λc ⎜ ⎜ λg ⎝

2

⎞ ⎟ πa 2 J 1′ 2 (2,4) ⎟ ⎠

2 ⎛ 7,85 ⎞ 2 ⋅⎜ ⋅ π ⋅ ( 3 ⋅10 −2 ) ⋅ ( −0, 22 ) ≅ 0, 44 MW . ⎟ ⎝ 9,3 ⎠


2.17 Să se calculeze constanta de atenuare în cazul unui ghid metalic cu pereţi perfect conductori având secţiunea dreptunghiulară cu dimensiunile a = 2 cm, b = 1 cm , la frecvenţa f = 8 GHz . Ghidul este umplut cu un dielectric având permitivitatea

relativă ε r = 2 şi tangenta unghiului de pierderi tg (δ ) = 2,25 ⋅ 10 −4. Rezolvare: În cazul pereţilor perfect conductori, constanta de atenuare este determinată doar de pierderile în dielectric: σ d Zd αd ≅ . 2 2 1 − ( fc f )

Folosind datele problemei, se calculează: • frecvenţa critică corespunzătoare modului dominant: 8 ( f c )H10 = c0 = 3 ⋅ 10 = 5,3 ⋅ 10 9 Hz = 5,3 GHz < f ; 2a ε r 2 ⋅ 0,02 2 •

lungimea de undă critică corespunzătoare modului H 10 :

(λc )H

10

= 2a = 4 cm ;

•

impedanţa dielectricului: Z 120π Zd = 0 = = 267 Ω . εr 2 Din relaţia tgδ =

σd ωε

se deduce conductivitatea dielectricului (considerat omogen), 1 ⋅ 2 ⋅ 2,25 ⋅ 10 − 4 = 2 ⋅ 10 − 4 S m . σ d = 2πfε 0 ε r tgδ = 2π ⋅ 8 ⋅ 10 9 ⋅ 9 36π ⋅ 10 Se obţine astfel o constantă de atenuare: 2 ⋅ 10 −4 ⋅ 267 α= = 0,0356 Np m , 2 2 1 − (5,3 8)

α [dB m ] = α [Np m ] ⋅ 8,7 = 0,31 .

2.18 Să se calculeze constanta de atenuare a unui ghid metalic cu dielectric aerul, având secţiunea dreptunghiulară de dimensiuni a = 4 cm, b = 2 cm , la frecvenţa

f = 5 GHz . Pereţii ghidului sunt din cupru, σ m = 5 ⋅ 10 7 S m . Rezolvare: Pierderile în aer fiind foarte mici, constanta de atenuare va fi determinată de pierderile în metal: 2

Rm ∫ H t dl , αm = ⋅ Γ 2 (Z u ) H ∫ H T d a ΣT

59

Ghiduri uniforme

unde Rm = Re{Z m } reprezintă rezistenţa de undă în metal (adică partea reală a impedanţei de undă în metal), Σ T este secţiunea transversală a ghidului, Γ conturul ei, H T câmpul magnetic transversal, H t câmpul magnetic tangenţial la pereţii ghidului. La frecvenţa f se poate propaga doar modul fundamental:

( f c )H

3 ⋅ 10 8 = = = 0,375 ⋅ 1010 Hz = 3,75 GHz < f ; 2a ε r 2 ⋅ 0,04

( f c )H

= ( f c )H =

c0

10

c0

c0

=

=

3 ⋅ 10 8 = 0,75 ⋅ 1010 Hz = 7,5 GHz > f . 0,04

2b ε r a ε r Lungimea de undă în ghid, pe modul fundamental, are valoarea: λ0 c0 f 3 ⋅ 10 8 λg H = = = = 0,09 m = 9 cm . 10 2 2 2 9 1 − ( fc f ) 1 − ( fc f ) 5 ⋅ 10 1 − (3,75 5) 20

01

( )

În cazul modului H 10 , componentele câmpului magnetic au expresiile: H z = H 0 cos Hx = j

π

a

x,

λc π H 0 sin x , λg a

Hy = 0. Cu aceste expresii , se pot calcula integralele care determină constanta α m :

∫Σ

2

T

H T da = ∫

ΣT

2

b

a

0

0

2

H x da = ∫ dy ∫ H x dx =

⎛λ = b⋅⎜ c ⎜ λg ⎝

2

⎞ ⎟ H0 ⎟ ⎠

2⎛

2

⎞ ab ⎟ ⎟ 2 ⎠ a b ⎡ ⎛ λ2 ⎞ ⎤ 2 2 2 2 2 a⎜ c ∫Γ H t dl = 2∫ H x + H z y =0 dx + 2∫ H z x=0 dy = 2 H 0 ⎢⎢ 2 ⎜1 + λ2 ⎟⎟ + b⎥⎥ . g ⎠ 0 0 ⎣ ⎝ ⎦ Se obţine astfel expresia constantei de atenuare datorată pierderilor în pereţii ghidului, pentru modul H 10 :

(

2

2⎛π ⎞ ∫ sin ⎜⎝ a x ⎟⎠ dx = H 0 0 a

)

2

⎛λ ⎞ 2b 1+ ⎜ c ⎟ + ⎟ ⎜ λ a R (α m )H10 = m ⋅ 1 ⋅ ⎝ g ⎠ 2 . (Z u )H10 b ⎛ λc ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ λg ⎟ ⎝ ⎠ Rezistenţa în metal are expresia: 1 Rm = ,

δ mσ m

unde

60

⎜ λc ⎜ λg ⎝


2

1 = 10 −6 m = 1μm −7 7 ωμσ m πfμ 0 μ r σ m π ⋅ 5 ⋅ 10 ⋅ 4π ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 10 reprezintă adâncimea de pătrundere în metal. Se obţine astfel: 1 Rm = − 6 = 0,02 Ω , 10 ⋅ 5 ⋅ 10 7 Z0 120π (Z u )H10 = = = 570 Ω , 1 − ( f c f )2 1 − (3,75 5)2

δm =

1

=

=

9

2 0,02 1 1 + (8 9) + 1 ⋅ ⋅ = 0,006 Np m , 570 0,02 (8 9)2 α m [dB m ] = α m [Np m ] ⋅ 8,7 = 0,053 . Observaţie: În realitate constanta de atenuare α m este întotdeauna mai mare datorită neuniformităţilor de prelucrare a suprafeţelor interioare ale ghidului (vezi şi ordinul de mărime al adâncimii de pătrundere δ m ).

αm =

2.19 Să se calculeze frecvenţa la care constanta de atenuare a modului H 10 întrun ghid metalic de secţiune dreptunghiulară, având ca dielectric aerul, este minimă, precum şi valoarea aceste constante minime de atenuare. Ghidul are dimensiunile secţiunii transversale a = 2 cm, b = 1cm , iar pereţii sunt din cupru cu conductivitatea

σ m = 5 ⋅ 10 7 S m . Rezolvare: Constanta de atenuare a ghidului, α , este o sumă între constanta de atenuare datorată pierderilor în pereţii metalici imperfect conductori, α m , şi constanta de atenuare corespunzătoare dielectricului imperfect, α d :

α = αm +αd .

Pierderile în aer fiind neglijabile (α d ≈ 0 ) , se poate considera că pierderile în ghid sunt cauzate numai de pereţii metalici imperfect conductori:

Rm 1 1 + ( λc λg ) + 2b a . α ≅ αm = ⋅ ⋅ 2 ( Zu )H b (λ λ ) 2

c

10

g

Frecvenţa critică corespunzătoare modului dominant de propagare are valoarea: 8 c ( f c )H10 = 0 = 3 ⋅ 10 = 0,75 ⋅ 1010 Hz = 7,5 GHz . 2a 0,04 Pentru a urmări variaţia cu frecvenţa a constantei α m , se notează:

η = f f c . Se obţine astfel: Rm =

1

δ mσ m

1

=

σm

2

=

ωμ πf μ = = k1 η , σm 2σ m

ωμσ m

unde

61

Ghiduri uniforme

πf c μ π ⋅ 7,5 ⋅ 10 9 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 = = 24,33 ⋅ 10 −3 Ω = 24,33 mΩ , 7 σm 5 ⋅ 10

k1 = precum şi

(Z u ) H

10

=

Z0 1 − ( fc f )

2

η

= Z0

η 2 −1

,

unde Z 0 = 120π ≅ 377 Ω . De asemenea, 2

⎛f ⎞ λc λ c λ0 1 f = ⋅ = 1 − ⎜⎜ c ⎟⎟ = η 1 − 2 = η 2 − 1 . λ g λ0 λ g fc η ⎝ f ⎠ Înlocuind 2b a = 1 se obţine:

α=

k1 η 2 + 1 , Z0 η η2 −1

unde k1 Z 0 = 24,33 ⋅ 10 −3 377 = 6,45 ⋅ 10 −5 . Frecvenţa la care atenuarea este minimă rezultă din condiţia dα = 0, dη sau, echivalent, dα2 = 0. dη Efectuând calculele, se obţine condiţia:

( )

(

) (

)

(

)( 2

)

η η 2 − 1 ⋅ 2 η 2 + 1 ⋅ 2η − η 2 + 1 η 2 − 1 + η ⋅ 2η = 0 , de unde

η 4 − 6η 2 + 1 = 0 deci

η opt = 2,4 .

Prin urmare atenuarea este minimă la f = 2,4 f c adică la f = 18 GHz. Rezultă: α min = α ⋅ 2,4 = 2k1 Z 0 şi, numeric, k1 24,33 ⋅ 10 −3 α min = 2 ⋅ = 2⋅ = 1,29 ⋅ 10 − 4 Np m , 377 Z0

α min [dB m ] = α min [Np m ] ⋅ 8,7 = 1,12 ⋅ 10 −3 .

Observaţie: În realitate acest minim de atenuare nu este practic utilizabil deoarece el se află dincolo de limita superioară a benzii normale de lucru a ghidului dreptunghiular. 2.20 Să se calculeze constanta de atenuare a unui ghid coaxial având dimensiunile R = 5 mm, r = 3 mm. Ghidul este din cupru, σ Cu = 5 ⋅ 10 7 S m şi are

62


drept dielectric polietilena având permitivitatea electrică relativă

εr = 2

şi

−4

conductivitatea σ d = 10 S m . Frecvenţa de lucru este f = 1 GHz . Cât devine constanta de atenuare a aceluiaşi ghid la frecvenţa f1 = 10 GHz ?

Rezolvare: Pentru modul fundamental (TEM) în ghidul coaxial componentele câmpului (în coordonate cilindrice) au expresiile: r E ρ = E0 ,

ρ

unde E 0 = E ρ (r ) este valoarea maximă a intensităţii câmpului electric care apare la suprafaţa conductorului interior, ρ = r ; r Hϕ = H 0 ,

ρ

unde H 0 = H ϕ (r ) reprezintă valoarea maximă a intensităţii câmpului magnetic care există la suprafaţa conductorului interior, ρ = r . Pe de altă parte, la orice undă TEM raportul între intensitatea câmpului electric şi magnetic este constanta Z d :

E0 = Zd . H0 Deoarece pierderile se produc atât în metal cât şi în dielectric, se poate scrie: α = αd +αm , unde 1 2

1 2

αd = σ d Zd = σ d

Z0

εr

=

1 377 ⋅ 10 − 4 ⋅ = 13,32 ⋅ 10 −3 Np m , 2 2 2π

2

R αm = m 2Z d

∫Γ H t dl = Rm 2 ∫Σ H T da 2Z d T

∫ 0

Hϕ

2

ρ =r

rdϕ +

2π

2

∫ H ϕ ρ = R Rd ϕ 0

2π

R

0

r

∫ dϕ ∫ H ϕ

2

ρdρ

1 1 + Rm r R . = R 2Z d ln r

Cu datele numerice ale problemei, se obţine: 2 1 1 = = = δ = 9 ωμσ Cu πfμ 0σ Cu π ⋅ 10 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 5 ⋅ 10 7 ,

= 2,25 ⋅ 10 −6 m = 2,25 μm 1 1 1 Rm = = = ≈ 8,88 ⋅ 10 −3 Ω = 8,88 mΩ , 7 −6 112,5 δσ Cu 2,25 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 10 Z 377 Zd = 0 = = 266 Ω , εr 2 10 3 10 3 + 112,5 5 = 17,44 ⋅ 10 −3 Np m . αm = ⋅ 3 2 ⋅ 266 ln (5 3) −1

63

Ghiduri uniforme

Rezultă:

α = α m + α d = 17,44 ⋅ 10 −3 + 13,32 ⋅ 10 −3 = 30,76 ⋅ 10 −3 Np m , α [dB m ] = α [Np m ] ⋅ 8,7 = 0,26 . Admiţând că σ d nu variază cu frecvenţa, la frecvenţa f1 se modifică doar adâncimea de pătrundere:

δ m1 =

2

ω1 μσ Cu

=

1

πf1 μ 0σ Cu

=

1 = π ⋅ 10 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 5 ⋅ 10 7 , 10

= 7 ⋅ 10 −7 m = 0,7 μm 1 1 Rm1 = = = 0,0285 Ω = 28,5 mΩ . −6 δ m1σ Cu 0,7 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 10 7 La frecvenţa f1 , constanta de atenuare în metal devine:

α m1 =

−3

28,5 ⋅ 10 2 ⋅ 266

10 3 10 3 + 3 5 = 56 ⋅ 10 −3 Np m , ln (5 3)

deci

α1 = α m1 + α d = 56 ⋅ 10 −3 + 13,3 ⋅ 10 −3 = 69,3 ⋅ 10 −3 Np m , α1 [dB m] = α1 [Np m ] ⋅ 8,7 = 0,6 . Observaţie: Se poate observa că la ghidul coaxial atenuarea creşte monoton cu frecvenţa. Acesta este unul din motivele pentru care utilizarea ghidurilor coaxiale este limitată în mod normal la frecvenţe mai joase de câţiva gigaherţi [2]. 2.21 Să se determine raza r a conductorului interior al unui ghid coaxial astfel încât constanta lui de atenuare să aibă o valoare minimă. Ghidul este alcătuit din două conductoare din acelaşi metal ( σ m = 2 ⋅ 10 7 S m ) separate prin aer. Raza conductorului exterior este R = 1 cm. Cât este impedanţa caracteristică a acestui ghid ? Dar constanta lui de atenuare la frecvenţa f = 1 GHz ? Rezolvare: Pierderile în dielectric fiind neglijabile, rezultă (vezi problema 2.20): R 1 1 + 1+ R R 1 r . α= m r R = m 2 Z d ln (R r ) 2 Z d R ln (R r ) Notând x = R r , raza r pentru care atenuarea este minimă se obţine din condiţia: dα m =0 d (R r ) adică dα m =0 dx de unde rezultă

64


′ ⎛1+ x ⎞ ⎜ ⎟ =0 ⎝ ln x ⎠ adică ln x −

1 (1 + x ) = 0 x

deci 1 . x Soluţia aproximativă (numerică sau grafică) a acestei ecuaţii este: x ≅ 3, 6 de unde r = R 3,6 = 10 3,6 = 2,77 mm . Impedanţa caracteristică a ghidului coaxial are valoarea: Z Z0 R R 120π Z c = d ln = ln = ln 3, 6 ≅ 77 Ω . r 2π r 2π ε r 2π ln x = 1 +

Se calculează: • adâncimea de pătrundere la frecvenţa de lucru 2 1 1 = = = δ = 9 ωμσ m πf μ 0 μ r σ m π ⋅ 10 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 2 ⋅ 10 7 ; = 35 ⋅ 10 −7 m = 3,5 μm • rezistenţa de undă în metal 1 1 1 Rm = = = ≅ 0, 014 Ω ; 7 −6 δσ m 3,5 ⋅10 ⋅ 2 ⋅10 70 Pentru R r = 3,6 constanta de atenuare ia valoarea: 1 1 1 + 3,6 ⋅ ⋅ = 6,8 ⋅ 10 −3 Np m , α= 70 ⋅ 2 ⋅ 120π 0,01 ln 3,6 α [dB m ] = α [Np m ] ⋅ 8,7 = 0,059 . 2.22 Să se determine impedanţa caracteristică a unui ghid coaxial având raza conductorului exterior R dată, care permite transmiterea unei puteri maxime într-o sarcină adaptată. Se consideră drept dielectric aerul. Rezolvare: În ghidul coaxial, componentele câmpului electromagnetic au expresiile: r E ρ (ρ ) = E0 ,

ρ

H ϕ (ρ ) = H 0

r

ρ

, cu E 0 H 0 = Z d ,

unde E 0 şi H 0 reprezintă valoarea maximă a intensităţii câmpului electric, respectiv magnetic, valori atinse pe suprafaţa conductorului interior iar Z d dielectricului.

impedanţa

65

Ghiduri uniforme

Dacă ghidul coaxial este fără pierderi, puterea transmisă sarcinii adaptate are expresia: P=

U

2

. 2Z c În relaţia precedentă U reprezintă tensiunea dintre conductoarele ghidului coaxial: B R R r dρ R U = ∫ Edl = ∫ E0 dρ = E0 r ∫ = E0 r ln , ρ ρ r A r r unde A şi B sunt puncte situate pe suprafaţa conductorului interior, respectiv exterior, în aceeaşi secţiune transversală. Impedanţa caracteristică a unui ghid coaxial este (vezi problema 2.21): Z R R 60 ln . Z c = d ln = 2π r r εr Rezultă pentru puterea transmisă expresia: R E 02 r 2 ln 2 E 02 r 2 ε r 1 R r P= ⋅ = ln . R 60 2 120 r ln r εr Dar E 0 nu poate depăşi valoarea corespunzătoare străpungerii dielectricului. E 0 şi R fiind date, puterea devine maximă atunci când d ⎛ 2 R⎞ ⎜ r ln ⎟ = 0 dr ⎝ r⎠ de unde se obţine R 1 ln = r 2 sau R = e r deci R r= . e În acest caz, impedanţa caracteristică a ghidului are valoarea Z c = 60 ln e = 30 Ω . Observaţie: Deoarece la cablul coaxial dimensiunile transversale nu sunt direct impuse de frecvenţa de lucru, alegerea acestor dimensiuni poate avea în vedere o optimizare a anumitor proprietăţi ale cablului. Astfel, conform problemelor 2.21 şi 2.22, rezultă că o atenuare minimă se obţine cu o valoare a impedanţei caracteristice a cablului coaxial cu aer de Z c ≈ 77 Ω, în timp ce o putere transmisibilă maximă se obţine cu o impedanţă caracteristică a cablului folosit (cu dielectric aer) de Z c = 30 Ω. În aceste condiţii valoarea uzuală Z c = 50 Ω reprezintă de fapt un compromis acceptabil. Valoarea de 75 Ω este totuşi recomandată aplicaţiilor în care semnalele sunt foarte mici, cum ar fi cablurile de la antenele de recepţie TV, iar valori ale lui Z c mai mici de 50 Ω apar uneori în aplicaţiile de mare putere cum ar fi alimentarea unor antene de emisie etc. 66


2.23 Să se determine impedanţa caracteristică a ghidului coaxial care permite aplicarea unei tensiuni maxime spre o sarcină adaptată. Raza conductorului interior R este dată şi se consideră drept dielectric aerul iar. Rezolvare: Procedând similar ca la problema (2.22) se obţine o expresie a tensiunii dintre conductoarele componente ale ghidului coaxial, R U = E 0 r ln , r unde E 0 este valoarea maximă a intensităţii câmpului electric. Considerând E 0 şi R

constante ( E 0 nu poate depăşi valoarea corespunzătoare străpungerii dielectricului) tensiunea admisibilă este maximă dacă d ⎛ R⎞ ⎜ r ln ⎟ = 0 , dr ⎝ r⎠ de unde rezultă R r⎛ R⎞ ln + r ⎜ − 2 ⎟ = 0 r R⎝ r ⎠ adică R ln = 1 r sau R =e r deci R r= . e În acest caz impedanţa caracteristică a cablului are valoarea: Z0 R 120π ln = ln e = 60 Ω . Zc = 2π r 2π ε r 2.24 Să se calculeze constanta de atenuare şi factorul de calitate propriu al unei linii microstrip realizate pe un substrat dielectric de grosime d = 1 mm având permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) ε r = 4 şi conductivitatea

σ d = 5 ⋅ 10 −4 S m , cu depunerile din cupru, σ Cu = 5 ⋅ 10 7 S m , la frecvenţa f = 10 GHz . Rezolvare: Deoarece există pierderi atât în dielectric cât şi în metal, α = αd +αm . Constanta de atenuare produsă de dielectricul imperfect este σ Z αd = d d 2 iar constanta de atenuare în metal are expresia

67

Ghiduri uniforme

R αm = m 2Z d

∫ Ht

2

∫

2

dl

Γ

H T da

.

ΣT

În cazul liniei microstrip, neglijând efectele de margine se poate admite că H = H 0e x , deci H t = H 0 = constant , pe domeniul situat sub depunerea metalică. Se obţine: 2 Rm 2 D H 0 R αm = = m . 2 2 Z d Dd H 0 Zd d Folosind datele problemei, se calculează: • adâncimea de pătrundere, δ m

δm =

2

ωμσ Cu

=

1

πfμ 0σ Cu

=

1 = π ⋅ 10 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 5 ⋅ 10 7 ; 10

= 7 ⋅ 10 −7 m = 0,7 μm • rezistenţa de undă în metal, Rm : 1 1 1 Rm = = = Ω; δ mσ Cu 0,7 ⋅ 10 −6 ⋅ 5 ⋅ 10 7 35 • impedanţa dielectricului, Z d : Z 120π Zd = 0 = = 188 Ω . 4 εr Rezultă: 5 ⋅ 10 −4 ⋅ 188 αd = = 0,047 Np m , 2 1 αm = = 0,152 Np m , 35 ⋅ 188 ⋅ 10 −3 α = 0, 047 + 0,152 ≅ 0, 2 Np m , α [dB m ] = α [Np m] ⋅ 8,7 = 1,74 . Factorul de calitate propriu (intrinsec) al liniei este dat de relaţia: π πf ε r π ⋅ 1010 ⋅ 4 = = = 1047 . Q0 = αλ αc0 0,2 ⋅ 3 ⋅ 10 8 Observaţie: Linia microstrip este o linie deschisă, la care pe lângă pierderile în metal şi în dielectric trebuie luate în consideraţie şi pierderile prin radiaţie: α = α d + α m + α rad . Pierderile prin radiaţie – care au fost neglijate în problemă – nu pot avea o expresie simplă deoarece ele depind nu numai de geometria secţiunii transversale a liniei, ci şi de lungimea şi forma ei (dreaptă sau curbată etc.). Drept regulă generală, aceste pierderi sunt proporţionale cu pătratul frecvenţei.

68


2.25 Cât este constanta de atenuare a modului H 01 într-un ghid metalic de secţiune circulară, de rază r = 5 cm, la frecvenţa f 2 = 10 GHz, dacă la frecvenţa f1 = 4 GHz constanta de atenuare este 0,01dB m ? Rezolvare: Constanta de atenuare a modului H 01 într-un ghid circular are expresia [1]: π δc 1 1 Np m , α H 01 ≅ α m = =K a λc η η 2 − 1 η η 2 −1 not

unde δ c este adâncimea de pătrundere la frecvenţa critică f c iar η = f f c . Rezultă: 1 , α ( f1 ) = K η1 η12 − 1 1 , α( f2 ) = K η 2 η 22 − 1 de unde se obţine:

α ( f 2 ) = α ( f1 )

η1 η2

η12 − 1 η 22 − 1

= α ( f1 )

f1 f2

f12 − f c2 f 22 − f c2

.

Frecvenţa critică corespunzătoare modului H 01 în ghidul circular este:

( f c )H

01

Se obţine deci:

=

c0 3 ⋅ 10 8 ′ = ρ 01 ⋅ 3.83 = 0,366 ⋅ 1010 Hz = 3,66 GHz . −2 2πr 2π ⋅ 5 ⋅ 10

α ( f 2 ) = 0,01 ⋅

4 2 − 3,66 2 4 ⋅ = 0,001 dB m = 1 dB Km . 10 10 2 − 3,66 2

2.26 Să se determine lungimea de undă în ghidul dielectric placă infinită, de grosime d = 2 cm şi având ε r = 4 , la frecvenţa f = 4 GHz. La ce distanţă de placă câmpul scade de 100 de ori faţă de valoarea lui de la suprafaţa plăcii? Rezolvare: Modurile care se pot propaga printr-un ghid placă dielectrică sunt cele care au frecvenţa prag f p mai mică decât frecvenţa de lucru f [1]:

( f p )n = (n − 1)c0

. 2d ε r − 1 Cu datele problemei, avem: 3 ⋅ 10 8 fp 2 = fp = = 0,433 ⋅ 1010 Hz = 4,33 GHz > f . 2 ⋅ 0,02 3 În concluzie, se pot propaga numai modurile H 1 şi E1 . Numărul de undă în dielectric, k1 , se obţine din ecuaţiile:

( )

69

Ghiduri uniforme

u

ctg u =

pentru modul H 1 ,

2

R − u2

respectiv ctg u =

1

u

pentru modul E1 , R2 − u2 unde s-au folosit notaţiile: d u = k1 , 2 d d R = ω (ε − ε 0 )μ = π ε r −1 . 2 λ0 Înlocuind cu datele numerice, se obţine: c 3 ⋅ 10 8 λ0 = 0 = = 0,075 m = 7,5 cm , f 4 ⋅ 10 9 2 R =π 3 = 0,46π . 7,5 Soluţiile aproximative (obţinute grafic sau numeric) sunt: u H = 0,285π , u E = 0,385π . Numerele de undă k 2 = jK 2 din mediul ambiant plăcii se obţin din relaţia:

εr

u2 + q2 = R2, not d unde q = K 2 . Rezultă: 2 q H = R 2 − u H2 = π 0,46 2 − 0,285 2 = 0,36π , respectiv q E = R 2 − u E2 = π 0,46 2 − 0,385 2 = 0,25π . Constanta de defazare are expresia:

β = ω ε 0 μ0 ε r − deci

λ=

Se obţine:

λ H1 =

λ0 λ2 u 2 ε r − 02 2 d π

şi

70

λ20 u H2 2 2 d π

ω 2ε 0 μ 0

=

ω c0

εr −

k12 c02

ω2

=

2π

λ0

εr −

.

λ0 εr −

k12

7,5

= 4−

7,5 ⋅ 0,285 π 4π 2 2

2

2

= 4,44 cm

k12 λ20 4π 2


λ E1 =

λ0

7,5

= 0,0542 m = 5,42 cm . 7,5 2 ⋅ 0,385 2 π 2 4− 4π 2 În exteriorul plăcii, câmpul descreşte proporţional cu exp(− K 2 x ). Distanţa la care câmpul scade de 100 de ori rezultă din: e − K 2δ = 100 −1

λ2 u 2 ε r − 02 E2 d π

=

y b 2

1

ε2 = ε0

ε 1 = ε 0ε r −a 2

O

a 2

x

Figura 2.27.1

deci

δ =

1 d 2,3 ln 100 = ⋅ 4,6 = d. K2 2q q

Se obţine: 2,3 2,3 d= ⋅ 2 = 4,1 cm , qH 0,36π 2,3 2,3 = d= ⋅ 2 = 5,8 cm . qE 0,25π

δ H1 = δ E1

2.27 Să se determine cea mai joasă frecvenţă critică a unui ghid metalic de secţiune dreptunghiulară, al cărui interior este umplut pe jumătate cu un dielectric fără pierderi, având permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) ε r = 4. Ghidul are dimensiunile transversale a = 2b = 3 cm. Rezolvare: Într-un sistem de referinţă cartezian, componentele axiale E z şi H z satisfac ecuaţiile: - în mediul 1: ∂ 2φ ∂ 2φ + 2 + k12φ = 0 , 2 ∂x ∂y

unde k12 = γ 2 + ω 2ε 1 μ 0 ; - în mediul 2: ∂ 2φ ∂ 2φ + 2 + k 22φ = 0, 2 ∂x ∂y

71

Ghiduri uniforme

unde k 22 = γ 2 + ω 2 ε 2 μ 0 , cu condiţii de anulare (pentru E z ) respectiv extrem (pentru H z ) pe pereţii metalici perfect conductori şi cu condiţii de continuitate la suprafaţa de separaţie x = 0. Cu sistemul de referinţă din figura 2.27.1, folosind metoda separării variabilelor se obţin următoarele soluţii care satisfac ecuaţiile lui Maxwell precum şi condiţiile pe pereţii perfect conductori: nπ a⎞ ⎛ E z1 = E 01 sin k x1 ⎜ x + ⎟ sin 1 y , 2⎠ b ⎝ nπ a⎞ ⎛ E z 2 = E 02 sin k x 2 ⎜ x − ⎟ sin 2 y , 2⎠ b ⎝ nπ a⎞ ⎛ H z1 = H 01 cos k x1 ⎜ x + ⎟ cos 1 y , 2⎠ b ⎝ nπ a⎞ ⎛ H z 2 = H 02 cos k x 2 ⎜ x − ⎟ cos 2 y , 2⎠ b ⎝ 2

2

⎛nπ ⎞ ⎛n π ⎞ unde = + ⎜ 1 ⎟ , respectiv k 22 = k x22 + ⎜ 2 ⎟ , n1 şi n2 fiind numere întregi. ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠ Rămâne ca acestor soluţii să li se impună continuitatea componentelor câmpului la x = 0. 1. Continuitatea componentelor longitudinale la x = 0 : (a) E z1 = E z 2 x =0, ∀y de unde n1 = n 2 şi E 01 sin p = − E02 sin q , k12

k x21

(b) H z1 = H z 2

x = 0, ∀y

de unde n1 = n 2 şi H 01 cos p = H 02 cos q ,

not

not a a , q = k x2 . 2 2 Se obţine astfel condiţia: a2 2 a2 2 a2 2 p2 − q2 = k x1 − k x22 = k1 − k 22 = ω μ (ε 1 − ε 2 ) = R 2 , 4 4 4 not a cu R = ω μ (ε 1 − ε 2 ). 2 Deci soluţiile care satisfac şi cerinţa (1.) au forma: a⎞ nπ ⎛ E z1 = E01 sin k x1 ⎜ x + ⎟ sin y 2⎠ b ⎝ a⎞ nπ ⎛ E z 2 = E 02 sin k x 2 ⎜ x − ⎟ sin y 2⎠ b ⎝ a⎞ nπ ⎛ H z1 = H 01 cos k x1 ⎜ x + ⎟ cos y 2⎠ b ⎝ a⎞ nπ ⎛ H z 2 = H 02 cos k x 2 ⎜ x − ⎟ cos y 2⎠ b ⎝ 2. Continuitatea componentelor transversale la x = 0 : (a) E y1 = E y 2 ,

unde p = k x1

(

(b) H y1 = H y 2 , 72

)

(

)

(1)


(c) ε 1 E x1 = ε 2 E x 2 , (d) H x1 = H x 2 . Exprimând componentele transversale prin componentele longitudinale E z , H z , relaţia (a) devine: −

γ ∂E z1

+

jωμ ∂H z1 k12 ∂x

=−

γ ∂E z 2

+

jωμ ∂H z 2 k 22 ∂x

. ∂y x =0 ∂y x =0 x =0 x =0 Se obţine de aici: 1 ⎛ nπ 1 ⎛ nπ ⎞ ⎞ γ E 01 + jωμk x1 H 01 ⎟ sin p = − 2 ⎜ γ E 02 + jωμk x 2 H 02 ⎟ sin q . 2 ⎜ k1 ⎝ b k2 ⎝ b ⎠ ⎠ Analog, din (b) rezultă: 1 ⎛ nπ 1 ⎛ nπ ⎞ ⎞ γ H 01 − jωε 1k x1 E 01 ⎟ cos p = 2 ⎜ γ H 02 − jωε 2 k x 2 E 02 ⎟ cos q . 2 ⎜ k1 ⎝ b k2 ⎝ b ⎠ ⎠ Observaţie: De fapt, în formularea continuităţii câmpului la o suprafaţă de separaţie, este întotdeauna suficientă impunerea continuităţii componentelor tangenţiale ale E şi H. Din (c) şi (d) ţinând seama de (1) se obţin aceleaşi condiţii ca şi din (a) şi (b). Rezumând, la o frecvenţă dată ω soluţiile problemei au forma (1) şi satisfac condiţiile: p2 − q2 = R2 , E 01 sin p = − E 02 sin q , k12

k 22

H 01 cos p = H 02 cos q ,

⎤ ⎤ ⎡ ⎡ p2 +η 2 q2 +η2 η 1 − ⎥ ⎥ ⎢ ⎢η 1 − ϕ12 ϕ 22 ⎥ ⎥ ⎢ 1 −1 ⎢ E 01 + pH 01 ⎥ sin p = 2 E02 + pH 02 ⎥ sin q 2 2 ⎢ 2 ⎢ Z d1 Zd2 p +η ⎢ q +η ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ ⎤ ⎡ 1 p2 +η2 η Z 1 H pE ⎢ − − 01 01 ⎥ cos p = d1 ϕ12 p 2 + η 2 ⎢⎣ ⎥⎦ , 2 2 ⎤ ⎡ 1 q +η H 02 − pE 02 ⎥ cos q = 2 ⎢ηZ d 2 1 − 2 q + η ⎢⎣ ϕ 22 ⎥⎦ not not nπ a a a , ϕ1 = ω ε 1 μ şi ϕ 2 = ω ε2μ . unde η = 2 2 b 2 Frecvenţa critică este frecvenţa la care γ = 0 , deci la frecvenţa critică k12 = ϕ12 , respectiv k 22 = ϕ 22 , iar relaţiile de mai sus iau o formă mai simplă: Se obţine astfel sistemul: p2 − q2 = R2 , E 01 sin p = − E 02 sin q , H 01 cos p = H 02 cos q ,

73

Ghiduri uniforme

pH 01 sin p

ε1

=−

qH 02 sin q

ε2

,

pE 01 cos p = qE 02 cos q . Eliminând aici E 01 , E02 , H 01 , H 02 între ultimele patru ecuaţii, se obţine: q tg q ⎧ p tg p =− ⎪⎪ ε ε2 ⎨ 1p q ⎪ =− ⎪⎩ tg p tg q de unde rezultă relaţia ⎛ ε ⎞ ε tg p = − 1 ⋅ tg⎜⎜ 1 p ⎟⎟ , ε2 ⎝ ε2 ⎠ sau tg Kp = − K tg p , unde s-a notat K =

(2)

ε1 . ε2

Rezolvând această ecuaţie transcendentă, din soluţiile ei, p c , se obţin frecvenţele critice ale diferitelor moduri de propagare posibile în ghidul considerat: k ω c = 1c ,

ε1μ

unde

k1c = pc2 + η 2 . Primele soluţii pozitive ale ecuaţiei (2), determinate numeric sau grafic, sunt: ( pc )1 = 0 , ( pc )2 = 0,955 , ( pc )3 = 2,186 etc... Cele mai joase frecvenţe critice corespund celor mai mici soluţii ale ecuaţiei şi celor mai mici valori ale numărului natural n. ⎧n = 0 imposibil (ar corespunde unei unde TEM) ( pc )1 = 0 ⎪⎨ n = 1 k1c = πa 2b = π ⇒ ⎪ M ⎩ ⇒ k1c = 0,955 ⎧n = 0 ⎪ ( pc )2 = 0,955 ⎨ n = 1 ⇒ k1c = π 2 + 0,955 2 ⎪ M ⎩ n = 0 ⇒ k1c = 2,186 ( pc )3 = 2,186 ⎧⎨ M ⎩ Se constată că cea mai joasă frecvenţă critică corespunde combinaţiei ( p c = 0,955; n = 0 ). Acesta este modul H 10 (având E z = 0 ) şi are frecvenţa critică:

( f c )H

10

74

=

k1c 2π ε 1 μ 0

≈ 3,04 ⋅ 10 9 Hz = 3,04 GHz .


Următorul mod este dat de perechea ( p c = 2,186; n = 0 ). Acesta este un mod H 20 , care are frecvenţa critică: ( f c )H 20 ≈ 3,04 ⋅ 2,186 = 6,96 ⋅ 10 9 Hz = 6,96 GHz . 0,955 Observaţie:1. În general, modurile care se propagă prin ghidul considerat au, atât E z ≠ 0 cât şi H z ≠ 0 , deci sunt moduri HE sau EH. Singura excepţie o constituie modurile cu n = 0 , care sunt de tip H. 2. Ca şi la ghidul dielectric, numerele de undă k x1 , k x 2 deci aspectul câmpului, depinde de frecvenţă. 3. Frecvenţele critice ale modurilor superioare H n 0 nu sunt multipli întregi ai frecvenţei critice a modului dominant H 10 . Metoda 2. Frecvenţele critice corespunzătoare modurilor H n,0 pot fi calculate mai simplu folosind metoda “rezonanţei transversale”. Această metodă se bazează pe faptul că la frecvenţa critică cele două unde parţiale care compun modul H n,0 au direcţii de propagare normale la pereţii ghidului, iar câmpul este o undă staţionară transversală. Frecvenţele la care se produce această “rezonanţă transversală” pot fi se obţinute considerându-se linii de transmisiune echivalente celor două domenii din secţiunea transversală a ghidului (figura 2.27.2) şi calculând frecvenţele de rezonanţă ale acestui circuit echivalent: a 2

a 2

ε1

ε2 Figura 2.27.2

jZ c1 tg β1

a a + jZ c 2 tg β 2 = 0 . 2 2

Dar:

Z c1 ε2 = , Z c2 ε1

β1 = β 0 ε 1 , β2 = ε2 . Se regăseşte astfel, direct, ecuaţia (2): tg Kp = −K tg p ale cărei soluţii p c conduc la valorile frecvenţelor critice.

75

Ghiduri uniforme

2.28 Să se calculeze grosimea maximă pe care o poate avea o placă de dielectric având permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) ε r = 5 pentru ca să asigure o transmisiune unimodală la frecvenţa f = 20 GHz. Rezolvare: Într-un ghid placă dielectrică, frecvenţele prag ale modurilor care se propagă sunt date de relaţia: (n − 1)c0 fp n = 2d (ε r − 1) unde n este numărul de ordine al modului (E sau H), iar d este grosimea plăcii de dielectric. Cea mai joasă frecvenţă prag (nenulă) se obţine pentru n = 2 : c0 . fp 2 = 2d (ε r − 1) Condiţia este ca această frecvenţă prag să fie mai mare decât frecvenţa de lucru: fp 2 > f .

( )

( )

( )

De aici rezultă: d<

c0

2f

(ε r − 1)

adică d<

3 ⋅ 10 8

76

⋅

1

= 0,0375 m = 3,75 cm . 2 ⋅ 2 ⋅ 10 4 Observaţie: În aceste condiţii se pot propaga totuşi două moduri: H 1 şi E1 , ambele având aceeaşi frecvenţă prag, f p = 0 . Transmisia poate deveni unimodală dacă sistemul de excitaţie evită apariţia uneia dintre aceste două unde. 10


3 REZONATOARE ELECTROMAGNETICE PENTRU MICROUNDE

3.1 O cavitate paralelipipedică cu aer oscilează pe modul E111 la frecvenţa f1 = 17,5 GHz, pe modul E112 la frecvenţa f 2 = 19,5 GHz şi pe modul E121 la frecvenţa f 3 = 31,3 GHz. Să se determine dimensiunile cavităţii. Ce permitivitate electrică relativă ε r trebuie să aibă un dielectric care ar umple complet cavitatea, pentru ca f1 să scadă la f1′ = 10 GHz ? Rezolvare: Pentru cavităţi paralelipipedice frecvenţele de rezonanţă sunt date de relaţia: 2

2

2

c ⎛m⎞ ⎛n⎞ ⎛ p⎞ f m,n,p = 0 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ , 2 ⎝ a ⎠ ⎝b⎠ ⎝ c ⎠ unde a, b, c sunt dimensiunile cavităţii iar m, n, p reprezintă setul de numere întregi formând indicele modului de oscilaţie. Deci: c 1 1 1 f1 = f111 = 0 + 2 + 2 , 2 2 a b c c 1 1 4 f 2 = f112 = 0 + 2 + 2 , 2 2 a b c c 1 4 1 f 3 = f121 = 0 + 2 + 2 . 2 2 a b c Din aceste ecuaţii rezultă: c 3 3 ⋅ 10 8 3 c= 0 = = 0,03 m = 3 cm , 9 2 9 2 2 f 22 − f12 2 19,5 ⋅ 10 − 17,5 ⋅ 10

(

b=

c0 2

f 32

3 3 ⋅ 10 = 2 2 − f1

) (

8

)

3

(31,3 ⋅10 ) − (17,5 ⋅10 ) 9 2

9 2

= 0,01 m = 1 cm ,

77

Rezonatoare electromagnetice pentru microunde

4 f12 ⎛ 1 1 1 ⎞ = −⎜ 2 + 2 ⎟, 2 2 a c0 c ⎠ ⎝b adică

a = 2 cm . Introducând în cavitate un dielectric, frecvenţele de rezonanţă devin: 2

′ f m,n,p

2

2

c0 c ⎛m⎞ ⎛n⎞ ⎛p⎞ = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 2 ⎝ a ⎠ ⎝b⎠ ⎝c⎠ 2 εr

2 2 2 f m,n,p ⎛m⎞ ⎛n⎞ ⎛p⎞ . ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = εr ⎝ a ⎠ ⎝b⎠ ⎝c⎠

Rezultă: ⎛ f m,n,p εr = ⎜ ⎜ f m,n,p ⎝ ′

2

2 ⎞ ⎟ = ⎛⎜ 17,5 ⎞⎟ = 3,06 . ⎟ ⎝ 10 ⎠ ⎠

3.2 O cavitate paralelipipedică rezonează la temperatura t = 20 o C pe frecvenţa f = 5 GHz. Care va fi frecvenţa aceluiaşi mod de oscilaţie la temperatura t ′ = 50 o C ? Cavitatea are pereţi din cupru, α cu = 1,7 ⋅ 10 −6 K −1 .

Rezolvare: Frecvenţele de rezonanţă ale cavităţii paralelipipedice sunt date de relaţia: 2

2

2

c ⎛m⎞ ⎛n⎞ ⎛ p⎞ f m,n , p = 0 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ . 2 ⎝ a ⎠ ⎝b⎠ ⎝ c ⎠ În urma dilataţiei termice, dimensiunile cavităţii devin: a ′ = a (1 + α cu Δt ) , b ′ = b(1 + α cu Δt ) , c ′ = c(1 + α cu Δt ) , unde α cu este coeficientul de dilataţie termică al cuprului. Rezultă: f m′ ,n, p

2 2 2 f m,n , p c0 ⎛ m ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ p ⎞ = ≈ f m,n, p (1 − α cu Δt ) . ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 2 ⎝ a ′ ⎠ ⎝ b′ ⎠ ⎝ c ′ ⎠ 1 + α cu Δt

Se obţine: f m′ ,n, p = 5 ⋅ 10 9 1 − 1,7 ⋅ 10 −6 ⋅ 293 = 4,9975 ⋅ 10 9 Hz = 4,9975 GHz .

(

)

3.3 Să se calculeze frecvenţa de rezonanţă a modului TEM 2 într-o cavitate coaxială având dimensiunile r = 1 cm, R = 3 cm, l = 10 cm, umplută cu un dielectric fără pierderi având permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) ε r = 2. Rezolvare: Deoarece la modurile de propagare TEM λ g = λ şi nu depinde de dimensiunile transversale, modurile de oscilaţie TEM n în cavitatea coaxială au frecvenţele de rezonanţă date de relaţia (vezi metoda reflexiilor în studiul rezonatoarelor):

78


c c =n 0 . 2l 2l ε r Înlocuind, se obţine: 3 ⋅ 10 8 f TEM 2 = 2 ⋅ = 21,2 ⋅ 10 8 Hz = 2,12 GHz . 2 ⋅ 0,1 2

( f 0 )n

=n

3.4 O cavitate cilindrică cu aer are dimensiunile a = 3 cm, l = 5 cm. Să se calculeze primele trei frecvenţe de rezonanţă ale acestei cavităţi. Rezolvare: Frecvenţele de rezonanţă ale diverselor moduri de oscilaţie rezultă din relaţia: l = p⋅

λg

, 2 unde p este un număr natural şi p ≠ 0 pentru moduri H . Se obţine: 2

⎛ pc ⎞ f c2 + ⎜ ⎟ . ⎝ 2l ⎠ Frecvenţa de rezonanţă creşte cu indicele p . Frecvenţele critice cele mai scăzute în ghidul metalic de secţiune circulară corespund, în ordine, modurilor H 11 , E10 , H 12 , E11 şi H 10 (moduri degenerate) etc. Se calculează, pe rând: 8 ρ′ ( f c )H11 = c0 11 = 3 ⋅ 10 ⋅ 1,84 = 29,3 ⋅ 108 Hz = 2,93 GHz , 2πa 2π ⋅ 0,03 f0 =

( f c )E

=

c0 ρ10 3 ⋅ 10 8 ⋅ 2,4 = 38,2 ⋅ 10 8 Hz = 3,82 GHz , = 2πa 2π ⋅ 0,03

( f c )H

=

′ c0 ρ12 3 ⋅ 10 8 ⋅ 3,05 = 48,5 ⋅ 10 8 Hz = 4,85 GHz , = 2πa 2π ⋅ 0,03

( f c )H

= ( f c )E11 =

10

12

10

c0 ρ11 3 ⋅ 10 8 ⋅ 3,83 = 61 ⋅ 10 8 Hz = 6,1 GHz , = 2πa 2π ⋅ 0,03

c0 3 ⋅ 10 8 c = 30 ⋅ 10 8 Hz = 3 GHz . = = 2l 2l ε r 2 ⋅ 0,05 Rezultă apoi: f E1, 0 , 0 = ( f c )E = 3,82 GHz , 10

f E1,1, 0 = ( f c )E = 6,1 GHz , 11

f E1, 0 ,1 =

(f ) (f )

f H1, 2,1 =

( f c )H

f H1,1,1 =

2 c H11

+ (c 2l )2 = 2,93 2 + 3 2 = 4,19 GHz ,

2 c E10

+ (c 2l ) = 3,82 2 + 3 2 = 4,86 GHz ,

12

2

+ (c 2l )2 = 4,85 2 + 32 = 5,7 GHz ,

şi aşa mai departe.

79


Deci modurile acestei cavităţi care au cele mai joase frecvenţe de rezonanţă sunt, în ordine: E1,0,0 , H 1,1,1 , E1,0,1 .

3.5 O cavitate paralelipipedică cu pereţi perfect conductori, având dimensiunile a = 5 cm, b = 4 cm, c = 6 cm şi ca dielectric aerul, oscilează pe modul H 1,0,1 . Ştiind că intensitatea maximă a câmpului electric din cavitate este E 0 = 10 3 V m , să se determine valorile maxime ale densităţilor de curent de deplasare şi de curent superficial de conducţie.

Rezolvare: Cu ajutorul metodei reflexiilor, plecând de la modul

H10 în ghidul

dreptunghiular pentru modul H 1,0,1 se obţine structura câmpului în cavitate:

H z = −2 jH 0 cos

π a

x sin

π c

z,

H x = 2j

λc π π H 0 sin x cos z , a c λg

E y = −2

λc π π H 0 (Z u ) H sin x sin z , a c λg

unde λc = 2a, λ g = 2c.

(Z u ) H

=

Zd 1 − (λ 0 λc )2

λg = Zd = Zd λ0

a2 + c2 . a

Frecvenţa de rezonanţă a modului H 1,0,1 este: c0 1 1 3 ⋅ 10 8 1 1 + = + = 39 ⋅ 10 8 Hz = 3,9 GHz . −4 −4 2 2 2 a 2 25 ⋅ 10 36 ⋅ 10 c Densitatea de curent de deplasare este dată de relaţia J d = jωε E , deci are aceeaşi distribuţie ca şi E, valoarea maximă fiind în axul central al cavităţii, f1, 0,1 =

paralel cu ( Oy ) : 1 ⋅103 = 217 A m 2 . 36π ⋅109 Densitatea de curent superficial este J s = n × H, deci curenţii sunt verticali pe pereţii laterali şi “radiali” pe pereţii orizontali, completând astfel liniile închise ale curentului total J = J d + J s . Dar H = H xe x + H z e z , adică

( J d )max = ω0ε 0 E0 = 2π ⋅ 3, 9 ⋅109 ⋅

H =

80

2

2

Hx + Hz .


Deoarece între H z şi H x există un defazaj de 90 o , maximul rezultantei, corespunzând semiaxei mari a elipsei descrise de H , coincide cu maximul celei mai mari componente. Acest maxim se produce pe axele a două dintre feţele laterale; fie la x = 0 sau a; z = c 2 , fie la x = a 2 ; z = 0 sau c şi are valoarea: H max = 2 H 0 max {1; a c} . Cu datele numerice ale problemei, a c < 1 deci H max = J s

max

E0 c a 103 6 5 = 2H 0 = ⋅ = ⋅ ⋅ = 2, 03 A m . 2 2 Z0 a a + c 120π 5 25 + 36

3.6 Într-o cavitate paralelipipedică cu dimensiunile a = 3 cm, b = 1,5 cm, c = 4 cm se introduce prin peretele y = 0 o mică tijă metalică cilindrică, cu diametrul d = 2 mm , care pătrunde în interiorul cavităţii pe o lungime l = 3 mm. Tija este paralelă cu axa (Oy ) şi este introdusă prin centrul peretelui respectiv. Să se calculeze variaţia frecvenţei de rezonanţă a modului de oscilaţie H 1,0,1 cauzată de introducerea tijei. Rezolvare: În lipsa tijei, frecvenţa de oscilaţie a modului H 1,0,1 este:

c0 1 1 3 ⋅ 10 8 1 1 + = + = 62,5 ⋅ 10 8 Hz = 6,25 GHz . −4 −4 2 2 2 a 2 9 ⋅ 10 16 ⋅ 10 c Datorită introducerii tijei (perturbaţie mică), se produce o variaţie de frecvenţă conform relaţiei [2]: Δf ΔWM − ΔWE , ≈ f0 WM + W E unde WM şi WE sunt energiile magnetică, respectiv electrică din întregul rezonator, iar ΔWM şi ΔWE sunt energiile care existau în volumul ΔV şi care au dispărut din cavitate în urma micşorării volumului ei. Se observă că variaţia frecvenţei de rezonanţă produsă în urma micii reduceri a volumului cavităţii poate fi pozitivă, negativă sau chiar nulă, în funcţie de raportul dintre densităţile de energie magnetică şi electrică din locul unde se produce perturbaţia [2]. O aplicaţie curentă a acestor concluzii este utilizarea unor şuruburi la realizarea acordului fin al cavităţilor rezonante, soluţie practicată la reglajul filtrelor de microunde. Pentru a calcula mărimile implicate în relaţia precedentă se folosesc expresiile componentelor câmpului pentru modul H 1,0,1 în cavitatea dreptunghiulară: f1, 0,1 =

H z = −2 jH 0 cos

π a

x sin

π c

z,

a π π H x = 2 j H 0 sin x cos z , c a c

81


a π π π π E y = −2 H 0 (Z u ) H sin x sin z = E 0 sin x sin z . c a c a c Se obţine:

W E + WM = 2WE = 2 ∫

εE 4

V

=

ε0

∫∫∫V E0

2

2

sin 2

dV =

πx

a 2 În axul cavităţii, paralel la (Oy ) sunt:

πz

ε0

abc c 2 4 ( x0 = a 2 , z 0 = c 2), componentele câmpului

sin 2

dxdydz =

E 02

H z ( x0 , z 0 ) = 0 ,

H x ( x0 , z 0 ) = 0 ,

E y ( x0 , z 0 ) = E0 . Prin urmare: Δ WM ≅ 0 , Δ WE ≅

ε E 2 π d 2l 1 ε 0 E02 V= 0 0 2 2 4 4

şi deci rezultă:

Δf ≅ − f 0

π d 2l 2abc

= −6, 25 ⋅109 ⋅

π ⋅ 4 ⋅10−6 ⋅ 3 ⋅10−3 2 ⋅ 0, 03 ⋅ 0, 015 ⋅ 0, 04

= −6,54 MHz .

3.7 Într-o cavitate paralelipipedică cu dimensiunile a = 4 cm, b = 2 cm, c = 5 cm, prin centrul peretelui x = 0 se introduce o tijă metalică cilindrică de diametru d = 1 mm, paralelă cu axa (Ox ). Tija pătrunde în interiorul cavităţii pe o lungime l = 1 cm. Să se calculeze variaţie frecvenţei de rezonanţă a modului H 1,0,1 în cavitate, în urma introducerii tijei. Rezolvare: Frecvenţa modului H 1,0,1 fără tijă este:

c0 1 1 3 ⋅ 10 8 1 1 + = + = 48 ⋅ 10 8 Hz = 4,8 GHz . −4 −4 2 2 2 a 2 c 16 ⋅ 10 25 ⋅ 10 Variaţia de frecvenţă provocată de introducerea tijei este: Δf ΔWM − ΔWE . = f0 WM + W E Pentru a calcula această modificare de frecvenţă se folosesc expresiile câmpului în cavitate: f1, 0,1 =

H z = −2 jH 0 cos

π

a

x sin

π

c

z,

a π π H x = 2 j H 0 sin x cos z , c a c E y = −2 82

a2 + c2 π π H 0 Z d sin x sin z . c a c


În axul de simetrie al cavităţii în lungul căreia este introdusă tija ( y = b 2 , z = c 2) expresiile componentelor sunt: H z = 2 jH 0 cos

π

x,

a

Hx = 0 , a2 + c2 π E y = −2 H 0 Z d sin x . c a Se calculează ΔWM , ΔWE corespunzătoare volumului V al tijei:

μ0

ΔWM =

4

= ΔWE =

∫H

2

dV =

μ0 4

ΔV

l

2

∫ Hz

Sdx =

0

μ0 4

S

⋅ 4 ⋅ H 02

2

πx a

dx =

μ 0πd 2 H 0 ⎛ l

a l⎞ sin 2π ⎟ ⎜ + a⎠ ⎝ 2 4π

4

ε0 4

∫E

2

dV =

ΔV

(

ε0 4

l

∫ Ey

2

Sdx =

0

)⎜

μ 0πd 2 H 02 a 2 + c 2 ⎛ l 2

WE + WM = 2WE = 2 ∫ =

∫ cos 0

ε0 4

S

(

V

εE 4

2

dV = 2

)

(

4 H 02 Z d2 a 2 + c 2

a l⎞ sin 2π ⎟ a⎠ 4c ⎝ 2 4π Se calculează apoi energia totală din cavitate: =

l

c

2

)

l

∫ sin

2

πx a

0

dx =

−

(

ε 0 4 H 02 Z d2 a 2 + c 2 4

c

2

)

ab c

∫ ∫ ∫ sin 000

2

π a

x sin 2

π c

zdxdydz =

μ 0 H 02 a 2 + c 2 ab

2c Înlocuind, se obţine:

⎡ a 2 + 2c 2 d 2c l la ⎤ Δf π π sin 2 2 = − ⎥= ⎢ f 0 8b a 2 + c 2 ⎣ c 2 a c2 ⎦ ⎡16 ⋅ 10 − 4 + 25 ⋅ 10 −4 10 −2 ⋅ 0,04 ⎤ 1 10 −6 ⋅ 0,05 sin 2π − 2π = ⎥ ⎢ 4 25 ⋅ 10 − 4 ⎦ 8 ⋅ 0,02 16 ⋅ 10 − 4 + 25 ⋅ 10 −4 ⎣ 25 ⋅ 10 −4 Rezultă: Δf = 1,13 ⋅ 10 − 4 f0 şi deci Δf = 1,13 ⋅ 10 −4 ⋅ f 0 = 1,13 ⋅ 10 −4 ⋅ 4,8 ⋅ 10 9 ≈ 542,4 ⋅ 10 3 Hz = 0,54 MHz .

(

)

(

)

3.8 Într-o cavitate paralelipipedică de dimensiuni a = 4 cm, b = 2 cm, c = 6 cm se introduce o probă dintr-o ferită şi se urmăreşte modificarea frecvenţei de rezonanţă a modului de oscilaţie H 1, 0,1 . Proba are forma unei sfere de rază r = 1,5 mm şi poate fi

deplasată pe peretele inferior ( y = 0) al cavităţii. Când proba este în centru, se constată o modificare a frecvenţei rezonatorului cu Δf1 = −7,95 MHz. Când proba este adusă lângă mijlocul laturii mari a peretelui inferior,

83


se constată o variaţie a frecvenţei Δf 2 = −16,5 MHz , faţă de frecvenţa cavităţii fără probă. Să se determine permitivitatea electrică şi permeabilitatea magnetică relativă (ε r , μ r ) ale feritei din care a fost făcută proba. Rezolvare: Se poate arăta că dacă o sferă dielectrică este plasată într-un câmp electrostatic uniform, E1 , câmpul produs în interiorul sferei este: E 3 E2 = E1 = 1 , εr + 2 ε ra unde ε r este permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) a dielectricului iar ε ra = (ε r + 2) 3 este permitivitatea electrică aparentă. Relaţia poate fi folosită dacă sfera este foarte mică şi este plasată într-o regiune de câmp electric omogen. Similar, pentru câmpul magnetic dintr-o sferă se poate scrie: H 3 H2 = H1 = 1 . μr + 2 μ ra Frecvenţa modului de oscilaţie H 1,0,1 în cavitatea neperturbată este:

c0 1 1 3 ⋅ 10 8 1 1 + = = 45 ⋅ 10 8 Hz = 4,5 GHz . + −4 −4 2 2 2 a 2 c 16 ⋅ 10 36 ⋅ 10 Variaţia de frecvenţă datorată introducerii probei este dată de relaţia: ΔWM − ΔWE V (μ − 1)wM + (ε ra − 1)wE Δf ≈− ≈ − 1 ra , f0 WM + W E V 2w0 unde wM , wE sunt densităţile de energie locale din locul unde a fost introdusă proba, w0 este densitatea de energie (electrică sau magnetică) medie din cavitate, iar V1 şi V sunt volumul probei, respectiv volumul cavităţii. Pentru modul considerat, componentele câmpului din cavitate, au expresiile: f1, 0,1 =

H z = −2 jH 0 cos

π

a

x sin

π

c

z,

a π π H x = 2 j H 0 sin x cos z , c a c a2 + c2 π π H 0 Z d sin x sin z . c a c Energia electrică medie din cavitate, w0 , este: E y = −2

2

2 2 ε0 1 μ 0 H 02 a 2 + c 2 1 ε0 E 2 2 a +c w0 = ∫ dV = 4H 0 Z d . = VV 4 4 4 4 c2 c2 În prima poziţie a probei, câmpul este: Hz = Hx = 0,

E y = −2 H 0 Z d prin urmare:

84

a2 + c2 , c


V Δf1 =− 1 f0 V Rezultă de aici:

ε0

a2 + c2 2V 4 c2 = 1 (ε ra − 1) . 2 2 2 V μ0 H 0 a + c 2 c2

(ε ra − 1)

4 H 02 Z d2

1 Δf1 V ⋅ =2 2 f 0 V1

ε ra = 1 − ⋅ deci

εr = 4 .

În cea de a doua poziţie, ( x = 0, z = c 2 ), câmpul este: H z = − j2 H 0 , H x = Ey = 0 . Se obţine:

μ

(μ − 1) 0 4 H 02 Δf1 V1 ra 2V1 c2 4 ( ) =− = − − μ 1 , ra f0 V μ 0 H 02 a 2 + c 2 V a2 + c2 2 c2 de unde rezultă 1 Δf 2 V a 2 + c 2 μ ra = 1 − =4 2 f 0 V1 c 2 adică μ r = 10 . 3.9 La ce distanţă de capătul unui rezonator coaxial, având dimensiunile r = 1 cm, R = 3 cm, l = 10 cm , se poate introduce un şurub de metal care să pătrundă puţin în interiorul cavităţii şi totuşi să nu modifice frecvenţa de rezonanţă a modului de oscilaţie TEM 1 ? Rezolvare: Deoarece se urmăreşte să se obţină o variaţie nulă a frecvenţei, Δf ΔWM − ΔWE ≈ = 0, f0 WM + W E şurubul trebuie introdus într-un plan transversal în care densitatea de energie electrică şi magnetică sunt egale între ele. Pentru rezonatorul coaxial oscilând pe modul TEM 1 , componentele câmpului sunt (conform metodei reflexiilor): r π E ρ = − j2 E0 sin z , ρ l r π H ϕ = 2 H 0 cos z , ρ l unde E 0 = Z d H 0 .

85


În apropierea peretelui exterior ( ρ = R ) , densităţile de energie au expresiile:

μ0

wM =

4

ε0

H

2

μ0

=

4

ε0

2

r⎞ 2 π z, ⎟ cos l ⎝R⎠

⎛ 4 H 02 ⎜

2

r⎞ 2 π wE = E = z. ⎟ sin 4 4 l ⎝R⎠ Condiţia wE = wM se reduce la egalitatea cos 2

π

l de unde rezultă

π l

z0 =

2

z = sin 2

π l

⎛ 4 E02 ⎜

z

π 4

adică z 0 = l 4 = 2,5 cm. 3.10 Să se calculeze factorul de calitate al unei cavităţi cilindrice oscilând pe modul E1,1,1 ştiind că pereţii sunt dintr-un metal perfect conductor, iar dielectricul are

permitivitatea electrică relativă ε r = 4 şi conductivitatea σ = 10 −4 S m . Cavitatea are raza a = 5 cm şi lungimea l = 7 cm. Rezolvare: Frecvenţa de rezonanţă a modului E1,1,1 în cavitatea cilindrică este: 2

2

c 1 ⎛ ρ11 ⎞ ⎛c⎞ f E21,1 + ⎜ ⎟ = 0 + 2 = 21 ⋅ 10 8 Hz = 2,1 GHz . ⎜ ⎟ 1,1,1 l 2 ε r ⎝ πa ⎠ ⎝ 2l ⎠ Deoarece pierderile cavităţii sunt numai în dielectric, factorul de calitate pentru orice mod de oscilaţie este dat de relaţia ω ε 2π ( f 0 )E1,1,1 ε 0 ε r Q0 = Qd = 0 = .

( f 0 )E

=

σd

σd

Înlocuind datele problemei, se obţine: 1 2π ⋅ 2,1 ⋅ 10 9 ⋅ ⋅4 9 36 ⋅ 10 π Q0 = ≈ 4666 . 10 − 4 3.11 Să se calculeze factorul de calitate al unei cavităţi paralelipipedice din cupru, σ Cu = 5 ⋅ 10 7 S m , având dimensiunile a = 2 cm, b = 1 cm, c = 2,5 cm, oscilând

pe modul H 1,0,1 , dacă rezonatorul conţine un dielectric fără pierderi cu permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) ε r = 2. Rezolvare: Factorul de calitate propriu al unei cavităţi care are dielectric ideal dar ai cărei pereţi nu sunt perfect conductori este:

86

Microunde – Culegere de probleme 2

∫V H dV , Q0 = Q m = δ m H t 2 da ∫Σ 2

unde δ m este adâncimea de pătrundere a câmpului în pereţii metalici, Σ reprezintă suprafaţa pereţilor, iar H t este câmpul magnetic tangenţial la această suprafaţă. În cazul modului de oscilaţie H 1,0,1 din cavitatea paralelipipedică, ţinând seama de faptul că H x0 λ c = c = , H z0 λg a pentru integrala de la numărător se obţine expresia:

(

)

abc ⎛ a 2 ⎞ ⎜1 + ⎟. ∫V V 4 ⎜⎝ c 2 ⎟⎠ Calculul integralei de la numitor poate fi efectuat considerându-se separat integralele pe fiecare perete al rezonatorului paralelipipedic: 2

H dV = ∫ H z

∫Σ H t

2

b

c

da = 2 ∫ dy ∫

2

2

+ H x dV = H z 0

2 H z x = 0 dz

0

0

b c

2

(

+ 2∫ ∫ H x

2

+ Hz

2

)

y =0

00

b

c

0

0

dxdz + 2 ∫ dy ∫ H x

2 dx z =0

=

ac ⎛ a 2 ⎞ ab a 2 ⎤ 2 ⎡ bc = 2 H z 0 ⎢ + ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ + ⎥ 4 ⎝ c ⎠ 2 c 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 Înlocuind aceste rezultate în expresia factorului de calitate, rezultă: a2 1+ 2 1 c Q = Qm = . 2 δm 2 1 a ⎛1 2⎞ + + ⎜ + ⎟ a b c2 ⎝ b c ⎠ Cu datele problemei, se calculează frecvenţa modului de oscilaţie H 1,0,1 : f1, 0,1 =

c0 2 εr

1 a

2

+

1 c

2

=

3 ⋅ 10 8 2 2

1 4 ⋅ 10

−4

+

1 6,25 ⋅ 10

−4

= 68 ⋅ 10 8 Hz = 6,8 GHz .

Adâncimea de pătrundere δ m are valoarea:

δm =

2

ωμσ m

=

1

πfμ 0σ m

=

1

π ⋅ 6,8 ⋅ 10 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 5 ⋅ 10 7 9

= 0,86 μm .

Rezultă:

1 + (2 2,5)2 1 ⋅ Q= = 6050 . 2 0,86 ⋅ 10 −6 2 1 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 + +⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ 0,02 0,01 ⎝ 2,5 ⎠ ⎝ 0,01 0,025 ⎠

3.12 Să se calculeze factorul de calitate al unei cavităţi paralelipipedice de dimensiuni a = 3 cm, b = 1,5 cm, c = 5 cm, oscilând pe modul H 1,0,1 , ştiind că

dielectricul din interiorul cavităţii are permitivitatea electrică relativă ε r = 4 şi conductivitatea σ d = 2 ⋅ 10 −5 S m . Cavitatea este din cupru, σ Cu = 5 ⋅ 10 7 S m . 87


Rezolvare: Deoarece există pierderi atât în metal cât şi în dielectric, factorul de calitate al rezonatorului se calculează cu formula 1 1 1 = + , Q0 Qm Qd unde

Qd =

ω 0ε σd

iar 2

⎛a⎞ 1+ ⎜ ⎟ 1 ⎝c⎠ , (vezi problema precedentă). ⋅ Qm = δ m 2 1 ⎛ a ⎞2 ⎛ 1 2 ⎞ + +⎜ ⎟ ⎜ + ⎟ a b ⎝c⎠ ⎝b c⎠ Cu datele problemei, se calculează frecvenţa de rezonanţă a modului de oscilaţie considerat: c 1 1 3 ⋅ 10 8 1 1 f1, 0,1 = 0 + = + = 29,1 ⋅ 10 8 Hz = 2,91 GHz . 2 2 2 2 0,05 c 2 εr a 2 4 0,03 La această frecvenţă, adâncimea de pătrundere în cupru este 2 1 1 = = = 1,31μm . δm = ωμσ Cu πfμ 0σ Cu π ⋅ 2,91 ⋅ 10 9 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 5 ⋅ 10 7 Rezultă: 2

⎛ 3⎞ 1+ ⎜ ⎟ 1 ⎝5⎠ Qm = = 6045 , ⋅ −6 2 1,31 ⋅ 10 2 1 2 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1 + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0,03 0,015 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 0,015 0,05 ⎠ 1 2π ⋅ 2,91 ⋅ 10 9 ⋅ ⋅4 9 36 ⋅ 10 π Qd = = 32333 2 ⋅ 10 −5 şi deci

Q0 =

Qm Qd 6045 ⋅ 32333 = = 5092 . Qm + Qd 6045 + 32333

3.13 Să se calculeze factorul de calitate al unui rezonator coaxial realizat dintr-o porţiune de ghid coaxial, de lungime l = 10 cm, terminată în scurtcircuit la ambele capete care rezonează pe frecvenţa fundamentală f 0 = 2 GHz . Constanta de atenuare a

ghidului la frecvenţa f 0 este α = 0,05 dB m , iar discurile terminale de scurtcircuit sunt din alamă, σ = 4 ⋅ 10 7 S m . Rezolvare: Pierderile din rezonator pot fi grupate astfel:

88


Pp = Ppm + Ppd + Ppsc , unde Ppm este puterea pierdută în conductoarele cilindrice, Ppd puterea pierdută în dielectric iar Ppsc reprezintă puterea pierdută în cele două discuri de scurcircuitare.

Figura 3.13.1 Liniile câmpului pentru modul de oscilaţie TEM1 în rezonatorul coaxial

Rezultă: 1 1 1 = + , Q0 Q0c Qsc unde Q0c este factorul de calitate intrinsec al cablului (înglobând pierderile Ppm şi Ppd ) iar Qsc este factorul de calitate al scurtcircuitelor, definit cu relaţia: W 2 Qsc = ω 0 = Ppsc δ m

2

∫V H dV . 2 ∫Σ H t da sc

În rezonatorul coaxial oscilând pe modul fundamental ( TEM 1 ), câmpul electromagnetic are o singură componentă: π r H ϕ = H 0 cos z , l ρ deci l R 1 2π π H 02 r 2 ∫ dϕ ∫ cos 2 zdz ∫ 2 ρdρ r ρ 0 0 l 2 Qsc = . R 1 δm 2 2 2π 2 H 0 r ∫ dϕ ∫ 2 ρ dρ 0

r

ρ

Factorul de calitate intrinsec al cablului este: Q0c =

π π = . αλ 2αl

Deoarece, cu datele problemei, 0,05 α = 0,05 dB m = Np m = 5,75 ⋅ 10 −3 Np m , 8,7 iar 2 2 = = 178 ⋅ 10 −8 m = 1,78 μm , δm = 9 −7 7 ω 0 μ 0σ 2π ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ 4π ⋅ 10 ⋅ 4 ⋅ 10 rezultă Q0c =

π

2 ⋅ 5,75 ⋅ 10 −3 ⋅ 0,1

= 2732 ,

89


Qsc =

l 0,1 = = 28090 , 2δ 2 ⋅ 1,78 ⋅ 10 −6

deci, în final,

Q0 =

Q0c Qsc 2732 ⋅ 28090 = = 2490 . Q0c + Qsc 2732 + 28090

3.14 O cavitate rezonantă pe un anumit mod are frecvenţa de rezonanţă f 0 = 10 GHz şi este cuplată la un ghid coaxial de acces având impedanţa caracteristică

Z C = 50 Ω. Să se calculeze factorul de calitate propriu Q0 al cavităţii cunoscând factorul lui de calitate în sarcină, Qs = 1000 , şi indicele de cuplaj al cavităţii cu linia de acces, β = 2. Să se determine o schemă echivalentă pentru rezonator. Rezolvare: Factorul de calitate propriu Q0 este legat de factorul de calitate în sarcină Qs prin relaţia [1]: Q0 = (1 + β )Qs = (1 + 2 ) ⋅ 1000 = 3000 . Schema echivalentă a cavităţii depinde de planul considerat pe linia de acces. Alegând un plan în care la dezacord (departe de frecvenţa de rezonanţă f 0 ) există un minim al distribuţiei de tensiune, se obţine o schemă echivalentă de tip derivaţie.

ZC

L0

R0

C0

Pentru această schemă, R β= 0 , ZC R R Q0 = 0 = − 0 . XL XC Rezultă astfel elementele schemei echivalente: R0 = βZ C = 2 ⋅ 50 = 100 Ω ,

R0 100 = = 0,033 Ω , Q0 3000 = − X L = −0,033 Ω .

XL = XC

3.15 Un rezonator este alcătuit dintr-o linie bifilară, având ca dielectric aerul, terminată în scurtcircuit la capete. Să se determine schema echivalentă a acestui rezonator, valabilă în jurul frecvenţei de rezonanţă f 0 = 1,5 GHz a modului de oscilaţie fundamental ( TEM 1 ), dacă cuplajul cu rezonatorul se face serie, la o distanţă d = 2 cm de unul din capete.

90


Linia are capacitatea lineică C L = 67 pF m şi o constantă de atenuare, la frecvenţa f 0 , de valoare α = 3 dB m . l −d

d

Z1

Z2

Zi

Zi

Rezolvare: Schema echivalentă în cazul cuplajului considerat este o schemă de rezonator serie, având elementele: Z C αl Re′ = , cos 2 (πd l ) LL l Le′ = , 2 cos 2 (πd l ) 1 C e′ = 2 . ω 0 Le′

Cu datele problemei, se calculează, pe rând: • impedanţa caracteristică a liniei: 1 1 ZC = = = 50 Ω ; c0 C L 3 ⋅ 10 8 ⋅ 67 ⋅ 10 −12 • inductanţa lineică: LL = Z C2 C L = 50 2 ⋅ 67 ⋅ 10 −12 = 167,5 ⋅ 10 −9 H m = 167,5 nH m . Pe de altă parte, 3 α = 3 dB m = Np m = 0,345 Np m , 8,7 iar lungimea rezonatorului este: c λ 3 ⋅ 10 8 l= = 0 = = 0,1 m 2 2 f 0 2 ⋅ 1,5 ⋅ 10 9 astfel încât se obţine: 50 ⋅ 0,345 ⋅ 0,1 Re′ = = 2,63 Ω , cos 2 (π ⋅ 2 10 )

167,5 ⋅ 10 −9 ⋅ 0,1 = 12,79 ⋅ 10 −9 H = 12,79 nH , 2 cos 2 (π ⋅ 2 10 ) 1 C e′ = = 0,88 ⋅ 10 −12 F = 0,88 pF . 2 4π 2 ⋅ 1,5 ⋅ 10 9 ⋅ 12,79 ⋅ 10 −9 Le′ =

(

)

91


Observaţie: Se ştie că pentru un rezonator serie (fără priză) elementele schemei echivalente au expresiile: Re = Z Cαl = Re′ cos 2 (πd l ) , 1 Le = LL l = Le′ cos 2 (πd l ) , 2 C e′ 1 Ce = 2 = . ω 0 Le cos 2 (πd l ) Ce

Re

n :1

Le

Se observă că schema echivalentă a rezonatorului cu priză se deosebeşte de schema echivalentă a rezonatorului serie (fără priză) prin prezenţa unui transformator ideal având raportul de transformare: 1 . n= cos(πd l ) 3.16 Un rezonator este realizat dintr-un tronson de ghid coaxial de lungime l = 15 cm, terminat la un capăt în scurtcircuit, iar la celălalt capăt având un condensator cu capacitatea C = 5 pF. Linia din care a fost realizat tronsonul are impedanţa caracteristică Z C = 50 Ω, constanta de atenuare α = 0,05 dB m iar permitivitatea

electrică relativă a dielectricului din interior este ε r = 2. Să se calculeze cea mai joasă frecvenţă de rezonanţă a acestui rezonator. Să se determine factorul de calitate propriu al rezonatorului, considerând o capacitate terminală ideală (fără pierderi) şi admiţând pierderi nule în conductoarele cablului. Să se alcătuiască schema echivalentă a rezonatorului dacă cuplajul se face paralel, la o distanţă d = 4 cm de capătul liniei terminat pe condensator. l

a

b

a′

b′

d O

92

z


Rezolvare: Expresiile tensiunii şi curentului în lungul liniei terminate în scurtcircuit la z = 0 sunt de forma: U = U 0 sin βz , I = I 0 cos βz ,

unde U 0 şi I 0 sunt legate prin relaţia: U0

= ZC . I0 Frecvenţele de rezonanţă rezultă din condiţia generală de rezonanţă, W E = WM , unde l ⎤ ⎡l C 1 1 1 W E = ∫ C L U 2 ( z ) dz + C U 2 (l ) = C L U 02 ⎢ ∫ sin 2 βzdz + sin 2 βl ⎥ , 40 4 4 CL ⎥⎦ ⎢⎣ 0 respectiv l

WM

l

1 1 = ∫ LL I 2 ( z ) dz = LL I 02 ∫ cos 2 βzdz . 40 4 0

Din egalarea energiilor rezultă: 1 sin 2 βl C 1 sin 2 βl sin 2 βl = + − + , 2 4β 2 4β CL adică C l 1 tg βl = L ⋅ . C βl Ecuaţia poate fi rezolvată numeric sau grafic:

În cazul problemei considerate, se calculează:

CL =

εr 1 2 = = = 94,2 ⋅ 10 −12 F m = 94,2 pF m , 8 c d Z C c0 Z C 3 ⋅ 10 ⋅ 50

de unde

lC L 0,15 ⋅ 94,2 ⋅10 −12 ≈ 2,83 . = C 5 ⋅10 −12 Înlocuind, se obţine prima soluţie 93


β 01l ≈ 1,18 şi deci f 01 =

c0

3 ⋅ 10 8

β 01l =

⋅ 1,18 ≈ 266 ⋅ 10 6 Hz = 266 MHz .

2π ε r l 2π 2 ⋅ 0,15 Observaţie: Celelalte frecvenţe de rezonanţă nu sunt multipli ai acestei valori ! Factorul de calitate propriu se obţine din relaţia: W W W Q0 = ω0 = ω0 ≅ ω0 , Pp Pp m + Ppd + Ppc Ppd unde au fost notate cu Ppm , Ppd , Ppc puterile pierdute în metal, respectiv în dielectric şi în capacitatea terminală. Pentru calculul factorului de calitate se exprimă, pe rând: l

W = W E + WM = 2W M

1 = 2 I 02 LL ∫ cos 2 ( β 01 z )dz , 4 0

l

Ppd

l

1 1 = G L ∫ U 2 ( z )dz = U 02 G L ∫ sin 2 (β 01 z )dz , 2 2 0 0

Ppm = 0 , Ppc = 0 ,

şi deci: l

Q0 = ω 0

LL

2 ∫ cos (β 01 z )dz

0 2 Z C GL l

2 ∫ sin (β 01 z )dz 0

l

= ω0

CL GL

2 ∫ cos (β 01 z )dz 0 l

2 ∫ sin (β 01 z )dz 0

l

=

π 2YC λ GL

2 ∫ cos (β 01 z )dz 0 l

2 ∫ sin (β 01 z )dz 0

Constanta de atenuare a unei linii TEM cu pierderi mici are expresia [4]: R G α = αm + αd = L + L . 2 Z C 2YC Dacă pierderile în metal sunt neglijabile, RL ≈ 0 şi deci G α≈ L . 2YC Înlocuind, se obţine pentru factorul de calitate: 1 sin (2 β 01l ) + π 0 π 2 4β = = 1274 . Q0 = αλ l 2 αλ 1 sin (2 β 01l ) − ∫ sin (β 01 z )dz 2 4β l

2 ∫ cos (β 01 z )dz

0

La bornele capacităţii (cuplaj paralel) apare un circuit rezonant derivaţie, având frecvenţa de rezonanţă f 01 şi factorul de calitate Q0 .

94


Le

Re

Ce

Capacitatea echivalentă se obţine din egalarea energiilor electrice din rezonator şi din schema echivalentă: ⎤ ⎡l C 1 1 C e U 02 sin 2 (β 01l ) = C L U 02 ⎢ ∫ sin 2 (β 01 z )dz + sin 2 (β 01l )⎥ , 4 4 CL ⎥⎦ ⎢⎣ 0 de unde rezultă: l

Ce = C + C L

2 ∫ sin (β 01 z )dz 0

sin ( β 01l ) 2

=C+

CLl 2

1−

λ 1 sin 2 β 01l l 4π = 10,8 pF . sin 2 β 01l

Se obţine: Le =

1

ω 02 C e

=

1 4π f C e 2

2

=

(

1

4π 2 ⋅ 266 ⋅ 10 6

)

2

⋅ 10,8 ⋅ 10 −12

= 33 nH ,

Re = Q0ω 0 Le = 1274 ⋅ 2π ⋅ 266 ⋅ 10 6 ⋅ 33 ⋅ 10 −9 = 70 ⋅ 10 3 Ω = 70 kΩ . Cunoscând schema echivalentă la bornele capacităţii (bb ′) se obţine imediat schema echivalentă la bornele de acces (aa ′) prin adăugarea unui transformator ideal, cu raportul de transformare: U 0 sin β 01 (l − d ) U 1 = = 0,82 N = aa′ = 1,21 U bb′ U 0 sin β 01l Schema echivalentă obţinută este prezentată în figura de mai jos. 1:1, 21

Ce 33nH

70 kΩ 10,8 pF

3.17 Se consideră un rezonator Fabry – Perot, alcătuit din două plăci metalice conductoare, paralele, foarte mari faţă de lungimea de undă (teoretic infinite). Să se determine factorul de calitate al acestui rezonator, dacă dielectricul este aer, iar pereţii au conductivitatea σ = 5 ⋅ 10 7 S m . Frecvenţa de lucru este de 300 GHz, iar distanţa dintre plăci este de 10 cm. Rezolvare: Pentru un astfel de rezonator, factorul de calitate se calculează din energia înmagazinată şi din puterea pierdută corespunzătoare unităţii de arie transversală. Câmpul din rezonator este o undă staţionară, rezultată din reflexiile unei unde plane care se propagă normal pe pereţi.

95


Se obţine:

Q0 =

2

δm

∫H

2

dV

V

∫ Ht

2

da

=

2

a 1 a ⋅ ⋅ = δ m 2 2 2δ m

Σ

în care adâncimea de pătrundere are valoarea: 2 1 = = 13 ⋅ 10 −8 m = 0,13 μm . δm = 11 ωμ 0σ π ⋅ 3 ⋅ 10 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 5 ⋅ 10 7 Rezultă: 0,1 Q0 = = 384615 . 2 ⋅ 0,13 ⋅10 −6 Observaţie: Deoarece 2a 2af 0 2 ⋅ 0,1 ⋅ 3 ⋅1011 p= = = = 200 , c0 λ0 3 ⋅108 modul de oscilaţie din rezonator poate fi numit TEM 200 .

3.18 O cavitate prezintă o rezonanţă la f r = 7 GHz , iar pe ghidul de acces la această frecvenţă se constată un raport de undă staţionară σ r = 2. Modificând frecvenţa în jurul acestei valori, se obţine o curbă σ = σ ( f ) care poate fi aproximată de expresia analitică σ ≈ σ 0 + k ( f − f r ) , unde k = 4 ⋅ 10 −13 s 2 . Să se determine factorul de calitate propriu al cavităţii. 2

Rezolvare: Curba σ = σ ( f ) permite determinarea factorului de calitate în sarcină Qs cu relaţia [1]: f Qs = r , B3dB unde B3dB este banda de frecvenţe cuprinsă între limitele determinate de o anumită valoare σ 1 2 a raportului de undă staţionară. Dacă σ creşte nemărginit atunci când frecvenţa se îndepărtează de f r , atunci σ 1 2 este dat de relaţia:

σ1 2 ≈

σ r + 1 + σ r2 + 1 σ r + 1 − σ r2 + 1

= 6,85 .

Acestei valori limită îi corespunde un dezacord: σ1 2 − σ r 6,85 − 2 = 3,48 MHz . f − fr = = k 4 ⋅ 10 −13 Deci: Qs = 1000 . Factorul de calitate propriu Q0 este legat de Qs prin relaţia:

Q0 = (1 + β )Qs ,

96


în care β este indicele de cuplaj,

⎧1 σ , la o cavitate subcuplată β =⎨ r ⎩σ r , la o cavitate supracuplată Pentru a calcula Q0 trebuie cunoscut tipul de cuplaj (subcuplat sau supracuplat). În funcţie de aceasta se obţin următoarele valori posibile ale lui Q0 :

Q01 = (1 + 1 σ r )Qs = 1500 , dacă β < 1 ,

Q02 = (1 + σ r )Qs = 3000 , dacă β > 1. Caracterul sub – sau supracuplat nu rezultă din datele problemei, dar poate fi dedus experimental [1].

97


4 NOŢIUNI DE TEORIA CIRCUITELOR LINIARE DE MICROUNDE

4.1 Să se calculeze elementele schemei echivalente în T a unei porţiuni de ghid uniform, fără pierderi, de lungime l. Rezolvare: Ghidul fiind fără pierderi, schema lui echivalentă în T va fi compusă din trei reactanţe, ca în figură, unde Z11 = Z i1 I =0 2

Z 22 = Z i 2

I1 =0

Z12 = Z 21 =

U2 I1

. I 2 =0

l

Z0

Z11 − Z12

Z 22 − Z12 Z12

l

Reactanţele Z11 şi Z 22 se obţin imediat:

Z11 = Z 22 = Z i

Z s =∞

= − jZ 0 ctg βl

Pentru calculul reactanţei Z 12 pot fi folosite expresiile undelor (directă şi inversă) de tensiune, la o linie fără pierderi:

U 1 = U 0+ + U 0−

U 2 = U ( z ) z =l = U 0+ e − jβl + U 0− e jβl

În acelaşi mod se pot exprima şi curenţii I1 şi I 2 :

98

Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde

I1

I2 U 0+

U1

U2

U 0−

l

O

(

)

1 U 0+ − U 0− Z0 1 I 2 = I ( z ) z =l = U 0+ e − jβl − U 0− e jβl Z0 Pentru I 2 = 0 rezultă: I1 =

z

(

)

U 0− = U 0+ e − j2 βl deci

Z 21 =

U2 I1

= I 2 =0

2U 0+ e − jβl

(

1 + U 0 1 − e − j2 βl Z0

)

1 . sin βl

= − jZ 0

Se obţine apoi:

⎛ 1 ⎞ βl Z11 − Z12 = Z 22 − Z12 = jZ 0 ⎜⎜ − ctg βl ⎟⎟ = jZ 0 tg 2 ⎝ sin βl ⎠ Schema echivalentă a tronsonului de ghid este reprezentată în figura de mai jos. j Z 0 tg

βl 2

j Z 0 tg

βl 2

− j Z 0 sin β l

4.2 Să se calculeze matricea de repartiţie S corespunzătoare diportului cu schema din figură. Valorile impedanţelor componente sunt normate la impedanţa caracteristică a liniilor de acces, Z C1 = Z C 2 = Z 0 . Să se verifice apoi proprietăţile matricei S pentru joncţiuni reciproce, fără pierderi. j2

j

−j

99


Rezolvare: Termenii S 11 şi S 22 se obţin imediat, ei reprezentând coeficienţi de reflexie la câte una dintre porţi, atunci când cealaltă este terminată adaptat: S11 = Γ1 Z = Z , 2

0

S 22 = Γ2 Z = Z . 1

0

j2

j

−j

1

zin1

Se calculează, pe rând:

S11 =

Z in1 − Z 0 Z in1 + Z 0

Z 2 =Z0

Z in1 −1 Z0 = Z in1 +1 Z0 Z

=

z in1 − 1 z in1 + 1 z

. 2 =1

2 = Z0

Impedanţa de intrare normată, la poarta 1, cu poarta 2 terminată adaptat, are valoarea: (− j)(1 + j) + j2 = 1 + j z in1 z =1 = [(1 + j) || (− j)] + j2 = 2 1 astfel încât se obţine: (1 + j) − 1 = 1 + j2 . S11 = (1 + j) + 1 5 Analog, se poate scrie: Z in 2 −1 Z in 2 − Z 0 z −1 Z0 , S 22 = = = in 2 Z in 2 Z in 2 + Z 0 Z = Z z in 2 + 1 z =1 +1 1 0 1 Z0 Z =Z 1

0

unde z in 2 reprezintă impedanţa normată de intrare la poarta 2 cu poarta 1 terminată adaptat. j2

1

j

−j zin 2

Cu datele din enunţ 100


z in 2

z1 =1

= j + [(1 + j2 ) (− j)] = j +

(1 + j2)(− j) = 1 − j 1+ j

2

şi deci

1− j −1 1+ j 1 + j2 2 S 22 = . =− =− 1− j 3− j 5 +1 2 Pentru calculul lui S 21 , care este coeficientul de transfer (de transmisie) de la poarta 1 la poarta 2, se poate folosi relaţia Z C1 b U (1 + S11 )U 2 S 21 = 2 = = (1 + S11 ) 2 , a1 a =0 ZC2 U1 Z =Z U1 Z =Z 2

2

0

2

0

în care U 1 reprezintă tensiunea de la poarta 1 iar U 2 tensiunea de la poarta 2, conform figurii de mai jos. j2 U1

Se obţine: U2 U1

= Z2 =Z0

U2 U ⋅ U U1

j

−j

U

= z2 =1

U2

1

(1 + j) (− j) 1 1 1− j 1+ j ⋅ = ⋅ =− 1 + j [(1 + j) (− j)] + j2 1 + j 1 + j 2

şi deci: 2 + j4 ⎛ 1 + j2 ⎞⎛ 1 + j ⎞ . S 21 = ⎜1 + ⎟⎜ − ⎟=− 5 ⎠⎝ 2 ⎠ 5 ⎝ Analog, se poate scrie: ZC2 b U (1 + S 22 ) U 1 S12 = 1 = = (1 + S 22 ) 1 a 2 a =0 Z C1 U 2 Z =Z U2 1

1

0

j2 U1

1

Se obţine: U1 U2

= Z1 = Z 0

U1 U ⋅ U U2

= z1 =1

U

. Z1 = Z 0

j

−j

U2

1 (1 + j2) || (− j) = 1 − j2 ⋅ 1 − j3 = − j ⋅ 1 + j2 [(1 + j2 ) || (− j)] + j 5 1− j

şi deci

101


2 + j4 ⎛ 1 + j2 ⎞ . S12 = ⎜1 − ⎟(− j) = − 5 ⎠ 5 ⎝ Rezultă astfel matricea S a diportului considerat: 2 + j4 ⎤ ⎡ 1 + j2 − ⎡ S11 S12 ⎤ ⎢ 5 5 ⎥. [S ] = ⎢ =⎢ ⎥ ⎥ ⎣ S 21 S 22 ⎦ ⎢− 2 + j4 − 1 + j2 ⎥ 5 5 ⎦ ⎣ Verificări: 1. S12 = S 21 (diport reciproc); 1 + j2 1 2 + j4 2 2. S11 = S 22 = = < 1 ; S12 = S 21 = − = < 1 (diport pasiv); 5 5 5 5 1 4 4 1 2 2 2 2 3.1 S11 + S12 = + = 1; S 21 + S 22 = + = 1 ; 5 5 5 5 ∗ ∗ 3.2 S11 S 21 + S12 S 22 = 0 adică ϕ + ϕ 22 π arctg 2 + arctg 2 π ϕ12 = 11 ± = ± = ϕ 21 (diport reciproc, pasiv şi 2 2 2 2 nedisipativ); 4. S11 ≠ S 22 (diport nesimetric).

4.3 Să se calculeze matricea de repartiţie în raport cu impedanţa de referinţă Z 0 , pentru diportul cu schema din figură. Tronsoanele de linie de transmisiune din circuit sunt fără pierderi. l1 = λ 4

Z0

l2 = λ 8

j Z0

Z0

T1 ( Z0 )

T2

( Z0 )

Rezolvare: Se calculează întâi matricea S ′ a diportului subţire reprezentat de reactanţa derivaţie, iar apoi se aplică teorema schimbării planelor de referinţă.

102

U1′ j Z 0

U 2′

T1′ ( Z0 )

T2′

( Z0 )


j −1 Z i1 − Z 0 z i1 − 1 − 1 + j2 1+ j ′ = Γ1′ Z ′ = Z = S11 = = . = 2 0 j Z i1 + Z 0 Z ′ = Z z i1 + 1 z′ =1 5 +1 2 0 2 1+ j ′ = S 22 ′ iar Circuitul considerat fiind un diport subţire, S11 − 1 + j2 4 + j2 ′ = S12 ′ = 1 + S11 ′ = 1+ S 21 = . 5 5 Readucând planele de referinţă T1′ şi T2′ în poziţiile iniţiale, T1 , respectiv T2 , se obţine:

′ e − j2 βl1 = S11 ′ e − jπ = − S11 ′ = S11 = S11 ′ e S 22 = S 22

− j2 βl2

1 − j2 , 5

π

′ e = S 22

−j

2

′ = = − jS 22 3π 4

2+ j , 5

2 (1 + j3) . 5 Deci matricea repartiţie corespunzătoare circuitului considerat este: ⎡ 1 − j2 ⎤ 2 ( ) − + 1 j 3 ⎢ ⎥ S S 5 5 [S ] = ⎡⎢ 11 12 ⎤⎥ = ⎢ ⎥. 2+ j ⎥ ⎣ S 21 S 22 ⎦ ⎢− 2 (1 + j3) ⎢⎣ 5 ⎥⎦ 5

′ e S12 = S 21 = S 21

− jβ (l1 +l2 )

′ e = S 21

−j

=−

4.4 Să se calculeze matricea de repartiţie corespunzătoare diportului din figură, la o frecvenţă la care lungimea de undă este λ = 40 cm ştiind că lungimile tronsoanelor de linie sunt l1 = 10 cm, l 2 = 15 cm, iar raportul de transformare al transformatorului ideal este N = 2 .

l1

N :1

l2 Z0

Z0

T1 ( Z0 )

T2 Z ( 0)

Rezolvare: Se calculează întâi matricea de repartiţie S ′ a transformatorului ideal: Z ′ − Z0 N 2Z − Z0 N 2 −1 ′ = i1 , S11 = = 2 0 Z i′1 + Z 0 Z = Z N Z0 + Z0 N 2 + 1 2

′ = S 22

Z i′2 − Z 0 Z i′2 + Z 0

0

= Z1 = Z 0

Z0 N 2 − Z0 1 − N 2 . = Z0 N 2 + Z0 1 + N 2

Deoarece la transformatorul ideal

103


U 2′ 1 = U1′ N rezultă:

⎛ N 2 −1⎞ 1 2N ⎟⋅ = 2 ′ . = S12 = ⎜⎜1 + 2 ⎟ N + + 1 1 N N ⎝ ⎠ Z2 =Z0 Utilizând teorema schimbării planelor de referinţă, se obţine apoi matricea de repartiţie a diportului complet: ′ = (1 + S11 ′ )⋅ S 21

U 2′ U1′

l

N 2 − 1 − j4π λ1 ′ e = 2 , e S11 = S11 N +1 l 1 − N 2 − j4π λ2 − j2β l2 ′ S 22 = S 22 e = e , 1+ N 2 2 N − j 2λπ ( l1 +l2 ) − jβ ( l1 + l2 ) ′ e = 2 . S12 = S 21 = S 21 e N +1 Folosind datele problemei, se obţine: − j2 βl1

10

S11 =

3 2 2 − 1 − j4π 40 3 − jπ = = − , e e 5 5 22 + 1 3π

S 22

1 − 22 −j 2 3 = = −j , e 2 5 1+ 2 2π

5π

2 ⋅ 2 − j 40 (10+15 ) 4 − j 4 4⎛ 5π 5π ⎞ 2 2 e S12 = 2 = e = ⎜ cos − jsin (− 1 + j) . ⎟= 5 5⎝ 4 4 ⎠ 5 2 +1 Observaţie: Se pot verifica şi aici proprietăţile matricei de repartiţie corespunzătoare diporţilor reciproci, pasivi şi nedisipativi. Matricea nu are S11 = S 22 deoarece diportul nu este simetric (având tronsoane cu lungimi diferite la cele două porţi). 4.5 Să se calculeze elementele matricei de repartiţie corespunzătoare unei reactanţe paralel X = 200 Ω , dacă linia de intrare are impedanţa caracteristică Z C1 = 50 Ω iar linia de ieşire are impedanţa caracteristică Z C 2 = 100 Ω.

ZC 2

jX

Z C1

T1 ( Z C1 )

T2 Z ( C2 )

Rezolvare: Folosind drept impedanţă de normare la poarta 1 impedanţa Z C1 iar la poarta 2 impedanţa Z C 2 , se obţine:

S11 = Γ1 Z

104

2 = ZC 2

=

Z in1 − Z C1 Z in1 + Z C1

, Z 2 = ZC 2


unde

jX ⋅ Z C 2 j200 ⋅ 100 = = (80 + j40) Ω jX + Z C 2 j200 + 100 reprezintă impedanţa de intrare la poarta 1 calculată cu poarta 2 terminată adaptat, Z 2 = ZC 2 . Z in1 = jX || Z C2 =

U1 j X

U2

T1 ( Z C1 )

Z2

T2

( ZC 2 )

Rezultă:

j40(1 − j2 ) − 50 11 + j8 = . j40(1 − j2 ) + 50 37 Analog, se obţine: Z − ZC2 , S 22 = Γ2 Z = Z = in 2 1 C1 Z in 2 + Z C 2 Z = Z

S11 =

1

C1

unde

jX ⋅ Z C 1 j200 ⋅ 50 ⎛ 800 200 ⎞ = =⎜ +j ⎟Ω jX + Z C1 j200 + 50 ⎝ 17 17 ⎠ este impedanţa de intrare la poarta 2 cu poarta 1 terminată adaptat, Z1 = Z C1 . Z in 2 = jX || Z C1 =

jX

Z1

T1 ( Z C1 )

Zin 2

T2 Z ( C2 )

Rezultă: j200 (1 − j4) − 100 − 13 + j4 17 S 22 = = . j200 37 (1 − j4) + 100 17 Pentru S 21 , coeficientul de transfer de la poarta 1 la poarta 2, se obţine:

S 21 = S12 =

Z C1 U ⋅ (1 + S11 ) ⋅ 2 ZC2 U1

= Z 2 = ZC 2

50 ⎛ 11 + j8 ⎞ 4 2 (6 + j) . ⋅ ⎜1 + ⎟ ⋅1 = 100 ⎝ 37 ⎠ 37

105


Observaţie: Se pot verifica proprietăţile matricelor de repartiţie corespunzătoare diporţilor reciproci, fără pierderi, subţiri. Matricea nu are S11 = S 22 deoarece diportul nu poate fi considerat simetric (având impedanţe de normare diferite la cele două porţi). 4.6 Să se determine matricea de repartiţie a unui tronson de linie de lungime l , având impedanţa caracteristică Z C , conectat între o linie de intrare având impedanţa caracteristică Z C1 şi o linie de ieşire având impedanţa caracteristică Z C 2 . Cele trei linii de transmisiune sunt fără pierderi. l

Z C1

U1

U2

ZC

ZC 2

T2 ( Z 02 )

T1

( Z 01 )

Rezolvare: Parametrii de repartiţie ai liniei se pot determina cu uşurinţă în cazul în care normarea la cele două porţi s-ar face cu impedanţe egale cu impedanţa caracteristică a acestei linii, Z 01 = Z 02 = Z C ∈ ℜ . Într-adevăr, urmărind figura, pentru impedanţe de normare egale cu Z C , se scrie:

S11 = S 21 =

Z in1 − Z 01 Z in1 + Z 01

= Z 2 = Z 02

Z in1 − Z C Z in1 + Z C

Z 01 U ⋅ (1 + S11 ) ⋅ 2 Z 02 U1

= Z 2 = Z 02

= Z 2 = ZC

ZC − ZC = 0 = S 22 , ZC + ZC

ZC ⋅ 1 ⋅ e − jβl = e − jβl = S12 ZC

şi deci matricea repartiţie calculată în raport cu impedanţa de normare Z C , S ( ZC ) , este:

⎡ S11 S12 ⎤ ⎡ 0 e − jβl ⎤ S (ZC ) = ⎢ ⎥. ⎥ = ⎢ − jβl 0 ⎦ ⎣ S 21 S 22 ⎦ ⎣e Matricea S ′ corespunzătoare enunţului problemei poate fi obţinută din matricea S determinată mai sus, cu ajutorul formulelor de schimbare a impedanţei de normare. ′ = Z C1 , Z 02 ′ = Z C 2 , sunt şi ele reale, pot fi Întrucât noile impedanţe de normare, Z 01 utilizate formulele simplificate, valabile pentru diporţi: S − Γ2 Δ − Γ1 (1 − Γ2 S 22 ) ′ = 11 , S11 D ′ = S12 ′ = S 21

106

(

)(

),

)(

),

S12 1 − Γ12 1 − Γ22

(

D

S 21 1 − Γ12 1 − Γ22 D


′ = S 22 unde Γk =

S 22 − Γ1Δ − Γ2 (1 − Γ1 S11 ) , D

Z 0′k − Z 0 k Z Ck − Z C , = Z 0′k + Z 0 k Z Ck + Z C

k ∈ {1, 2}

Δ = det[S ] = S11 S 22 − S12 S 21 = − e − j2 βl ,

D = 1 − S 22 Γ2 − Γ1 (S11 − Γ2 Δ ) = 1 + Γ1Γ2 Δ = 1 − Γ1Γ2 e − j2 βl . Rezultă: Γ e − j2 βl − Γ1 ′ = 2 S11 , 1 − Γ1Γ2 e − j2 βl

′ = S 21 ′ = S12 ′ = S 22

(1 − Γ )(1 − Γ ) ,

e − jβl

2 1

2 2

1 − Γ1Γ2 e − j2 βl

Γ1 e − j2 βl − Γ2

. 1 − Γ1Γ2 e − j2 βl Deşi, în principiu, problema a fost rezolvată, relaţiile de mai sus pot fi puse şi sub o altă formă, calculând Γ2 e − j2 βl − Γ1 = Γ2 e − jβl − Γ1 e jβl e − jβl =

(

)

= 2[(Γ2 − Γ1 ) cos βl − j(Γ2 + Γ1 ) sin βl ]e − jβl

(

)

1 − Γ1Γ2 e − j2 βl = e jβl − Γ1Γ2 e − jβl e − jβl =

= 2[(1 − Γ1Γ2 ) cos βl + j(1 + Γ1Γ2 ) sin βl ]e − jβl

Γ1 e − j2 βl − Γ2 = 2[(Γ1 − Γ2 ) cos βl − j (Γ1 + Γ2 ) sin βl ]e − jβl . Expresiile parametrilor de repartiţie devin: Γ − Γ1 − j(Γ2 + Γ1 ) tg βl ′ = 2 , S11 1 − Γ1Γ2 + j(1 + Γ1Γ2 ) tg βl

(

)(

)

1 − Γ12 1 − Γ22 1 ′ = S 21 ′ = ⋅ S12 , 2 (1 − Γ1Γ2 ) cos βl + j(1 + Γ1Γ2 ) sin βl Γ − Γ2 − j(Γ1 + Γ2 ) tg βl ′ = 1 . S 22 1 − Γ1Γ2 + j(1 + Γ1Γ2 ) tg βl Dacă se înlocuiesc Γ1 şi Γ2 , se calculează: 2 Z C ( Z C 2 − Z C1 ) Z − Z C Z C1 − Z C , Γ2 − Γ1 = C 2 − = Z C 2 + Z C Z C1 + Z C (Z C1 + Z C )(Z C 2 + Z C )

(

)

(

)

2 Z C1 Z C 2 − Z C2 , (Z C1 + Z C )(Z C 2 + Z C ) 2 Z C ( Z C1 + Z C 2 ) 1 − Γ1Γ2 = , (Z C1 + Z C )(Z C 2 + Z C ) Γ2 + Γ1 =

1 + Γ1Γ2 =

2 Z C1 Z C 2 + Z C2 , (Z C1 + Z C )(Z C 2 + Z C ) 107


(1 − Γ )(1 − Γ ) = 2 1

şi rezultă:

′ = S11

2 2

(Z C 1 + Z C ) 2 ( Z C 2 + Z C ) 2

( ) + j(Z

) , )tg βl

Z C (Z C 2 − Z C1 ) + j Z C2 − Z C1 Z C 2 tg βl

Z C ( Z C 2 + Z C1

′ = S 21 ′ = S12 ′ = S 22

16 Z C1 Z C 2 Z C2

2 C

+ Z C1 Z C 2

2 Z C Z C1 Z C 2

Z C (Z C1 + Z C 2 ) cos βl + j(Z C1 + Z C )(Z C 2 + Z C ) sin βl

( ) + j(Z

,

) . )tg βl

Z C (Z C1 − Z C 2 ) + j Z C2 − Z C1 Z C 2 tg βl

Z C ( Z C1 + Z C 2

2 C

+ Z C1 Z C 2

4.7 Să se exprime parametrii matricei de repartiţie corespunzătoare unui diport reciproc, subţire şi fără pierderi, în funcţie de: a) modulul coeficientului de reflexie la intrare, când ieşirea este terminată adaptat; b) faza coeficientului de reflexie la intrare, când ieşirea este terminată adaptat; c) susceptanţa normată paralel, corespunzătoare diportului. Rezolvare: Considerând matricea repartiţie S de forma S12 ⎤ ⎡S S = ⎢ 11 ⎥ ⎣ S 21 S 22 ⎦ pentru diporţii liniari, reciproci, pasivi şi nedisipativi, având impedanţe de normare identice la cele două porţi, pot fi scrise următoarele relaţii: 2

2

= 1,

2

2

= 1,

S11 + S12 S 21 + S 22

∗ ∗ S11 S 21 + S12 S 22 = 0. Dacă se ţine seama de faptul că diportul este reciproc (S12 = S 21 ) , din primele două relaţii rezultă: S11 = S 22 ,

2

S12 = S 21 = 1 − S11 , iar din ultima relaţie se obţine ϕ + ϕ 22 π ϕ12 = 11 ± = ϕ 21 . 2 2 Dacă diportul este subţire atunci tensiunile de la cele două porţi sunt întotdeauna egale între ele, U 1 = U 2 , ceea ce conduce la relaţia: S 21 = 1 + S11 . Similar, S12 = 1 + S 22 , prin urmare S11 = S 22 . Sumarizând, în cazul tipului de diport considerat există următoarele relaţii:

108

Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde 2

S11 + S 21

2

=1

(1)

S 21 = 1 + S11 (2) (3) S11 = S 22 (4) S12 = S 21 care permit determinarea tuturor parametrilor S în funcţie de o singură mărime reală. Egalând modulele şi argumentele relaţiei (2) şi folosind relaţia (1), se obţine: 1 − S11

2

=

ϕ 21 = arctg

(1 + S11 cos ϕ11 )2 + S11 2 sin 2 ϕ11 , S11 sin ϕ11

1 + S11 cos ϕ11

,

de unde rezultă S11 = − cos ϕ11 ,

ϕ12 = ϕ11 ±

π

. 2 a) Alegând drept parametru independent S11 , se obţin expresiile: j arccos (− S11 ) S11 = S 22 = S11 e , 2

S12 = S 21 = ± j 1 − S11 e

j arccos (− S11

)

.

b) Alegând drept parametru independent ϕ11 , rezultă expresiile: S11 = S 22 = − cos ϕ11 ⋅ e jϕ11 , S12 = S 21 = − j sin ϕ11 ⋅ e jϕ11 . c) Deoarece tipul de diport considerat poate fi reprezentat printr-o simplă reactanţă paralel, notând cu b valoarea susceptanţei normate respective rezultă: S11 = Γ1 Y

2 =Y0

Y − Yin1 = 0 Y0 + Yin1

Y2 =Y0

b(b + j2 ) − jb = = = 2 + jb 4 + b2

b

4 + b2

e

2⎞ ⎛ j⎜ π + arctg ⎟ b⎠ ⎝

= S 22 ,

precum şi

S 21

jb 2(2 − jb ) = 1− = = 2 + jb 4 + b2

2 4 + b2

e

− j arctg

2 b

= S12 .

4.8 Care trebuie să fie distanţa dintre două bobine ideale, conectate în paralel pe o linie de transmisiune având impedanţa caracteristică Z C = 300 Ω , pentru ca diportul astfel format să prezinte o atenuare de inserţie nulă la frecvenţa f = 100 MHz ? Cele două bobine, identice, au inductanţa L = 1μH iar linia, ideală, are ca dielectric aerul. Rezolvare: Condiţia de transmisiune totală (de atenuare nulă) este S 21 = 1 , sau, echivalent, S11 = 0 deoarece diportul este nedisipativ.

109


l

ZC

jB

jB

T1 ( Z0 )

T2

( Z0 )

Parametrul S11 reprezintă coeficientul de reflexie la poarta 1 când poarta 2 este terminată adaptat, adică Y − Yin1 1 − y in1 S11 = Γ1 Y =Y = C = 2 C YC + Yin1 Y =Y 1 + yin1 y =1 2

C

2

astfel încât condiţia S11 = 0 este echivalentă cu y in1

y2 =1

=1

(1)

Admitanţa de intrare în linia de lungime l terminată pe admitanţa normată jb în paralel cu conductanţa normată unitate ( y 2 = 1) are expresia: y + j tg βl 1 + jb + j tg βl yin′ 1 = s = 1 + jy s tg βl 1 + j(1 + jb ) tg βl astfel încât admitanţa normată de intrare în circuitul considerat, cu poarta 2 terminată adaptat ( y 2 = 1) este: 1 + j(b + tg βl ) . yin1 y =1 = jb + 2 (1 − b tg βl ) + j tg βl Condiţia (1) devine: jb − jb 2 tg βl − b tg βl + 1 + jb + j tg βl = 1 − b tg βl + j tg βl adică j2b − jb 2 tg βl = 0 de unde (soluţia b = 0 nu corespunde) rezultă: 2 tg βl = , b deci 2 βl = arctg + kπ , unde k ∈ Z b respectiv 2 λ λ l= arctg + k , k ∈ N . b 2π 2 Înlocuind datele numerice ale problemei, rezultă: X = ω 0 L = 2πf 0 L = 2π ⋅ 10 8 ⋅ 10 −6 = 628,3 Ω , 628,3 X = = 2,09 , x= 300 ZC

110


b=

B 1 = − = −0, 477 , YC x

c0 3 ⋅ 10 8 = = 3m . f 10 8 Se obţine: k =1 3 2 ⎞ 3 ⎛ l= arctg⎜ − ⎟ + k = −0,638 + k ⋅ 1,5 = 0,861 m . 2π 2 ⎝ 0,477 ⎠ Observaţie:1. S-a considerat pentru k valoarea care conduce la o lungime l pozitivă dar minimă. 2. Determinarea parametrului S11 se poate face şi prin alte metode. De exemplu, se consideră o undă incidentă şi se urmăresc reflexiile repetate, succesive pe diporţii subţiri reprezentaţi de cele două inductanţe. Un alt procedeu constă în determinarea matricei de repartiţie a întregului circuitului prin combinarea matricelor de repartiţie ale diporţilor componenţi, corespunzători inductanţelor şi liniei, diporţi conectaţi în lanţ (în cascadă). O astfel de metodă este prezentată în cele ce urmează. Circuitul considerat este descompus într-o cascadă de 3 diporţi elementari, primul şi ultimul reprezentând susceptanţa derivaţie iar diportul central – tronsonul de linie fără pierderi (figura 4.8.2).

λ=

a1

a0

[S ]2

[S ]1 b0

a2

b1

a3

[S ]3 b2

b3

Figura 4.8.2

Determinarea termenilor S11 sau S 21 poate fi realizată dacă se cunosc matricile S corespunzătoare diporţilor din figura de mai sus. Pentru susceptanţa derivaţie, coeficientul de reflexie la poarta 1, cu poarta 2 terminată adaptat este not 1 − y i1 1 − (1 + jb ) − jb S11 = = = = S 22 = Γ , (1) 1 + yi1 y =1 1 + (1 + jb ) 2 + jb 2

unde y i1 este admitanţa normată de intrare la poarta 1 iar Γ semnifică coeficientul de reflexie al susceptanţei normate b . Coeficientul de transmisie S 21 are valoarea (2) S 21 = 1 + S11 = 1 + Γ = S12 . Observaţie: În relaţiile (1) şi (2) s-a făcut apel la proprietăţile diportului subţire reprezentat de către susceptanţa derivaţie. Rezultă astfel matricile S corespunzătoare diporţilor terminali, identici: Γ 1 + Γ⎤ . [S ]1 = [S ]3 = ⎡⎢ Γ ⎥⎦ ⎣1 + Γ 111


Pentru tronsonul de linie de transmisiune, termenul S11 are valoarea:

S11 =

Z i1 − Z 0 Z i1 + Z 0

= Z2 =Z0

Z0 − Z0 = 0 = S 22 , Z0 + Z0

(3)

unde Z i1 reprezintă impedanţa de intrare la poarta 1 a tronsonului iar Z 0 este impedanţa de normare la ambele porţi, egală cu impedanţa caracteristică a liniei. În cazul analizat, coeficientul de transmisie S 21 are expresia:

S 21 =

U2 U1

, Z 2 = Z0

unde U1 reprezintă tensiunea la intrarea liniei iar U 2 tensiunea la sarcină. Legătura dintre cei doi termeni este dată de distribuţia tensiunii în lungul liniei considerate: U 1 = U 2 cos βl + jZ 0 I 2 sin βl , în care, exprimând curentul prin sarcină în funcţie de tensiunea la sarcină, U U I2 = 2 = 2 , ZS Z0 se obţine: U 1 = U 2 cos βl + jU 2 sin βl = U 2 e jβl = U 2 e jϕ şi deci S 21 = e − jϕ = S12 , (4) astfel încât matricea S corespunzătoare tronsonului de linie este − jϕ ⎤ ⎡ [S ]2 = ⎢ −0jϕ e ⎥ . 0 ⎦ ⎣e Având astfel calculate matricile S ale diporţilor constituenţi, matricea repartiţie care descrie proprietăţile circuitului studiat poate fi determinată folosind, de pildă, metoda grafului de fluenţă [6]. Ţinând cont de convenţia folosită pentru desenarea undelor generalizate de putere, rezultă graful asociat structurii analizate, prezentat în figura 4.8.3.

a0

1

a0

1+ Γ

Γ

a1

e − jϕ

Γ

1+ Γ

Γ 1+ Γ b2

b1

a3

Γ

e − jϕ

1+ Γ b0

a2

1 b3

b3

Figura 4.8.3

Din definiţia coeficientului de reflexie S11 al circuitului considerat, particularizată conform notaţiilor din figura 4.8.2 şi folosind regula lui Mason, [6], se obţine:

112


S11

b = 0 a0

=

∑ Pk Δ k k

Δ

b3 = 0

,

unde:

k reprezintă numărul căilor între nodurile a0 şi b0 (vezi figura 4.8.3); Pk este transmitanţa unei căi, între nodurile a0 şi b0 ; Δ reprezintă determinantul grafului; Δ k se obţine din Δ în care nu se iau în considerare termenii ce conţin bucle cu cel puţin un nod comun cu calea “ k ”. Din graf, rezultă: Δ = 1 − Γ 2 e − j2ϕ , k = 2, P1 = Γ , Δ 1 = 1 − Γ 2 e − j2ϕ ,

P2 = Γ(1 + Γ )2 e − j2ϕ , Δ2 = 1

şi deci

(

[

)

]

Γ 1 − Γ 2 e − j2ϕ + Γ(1 + Γ )2 e − j2ϕ Γ 1 + (1 + 2Γ ) e − j2ϕ = = S 22 . 1 − Γ 2 e − j2ϕ 1 − Γ 2 e − j2ϕ Coeficientul de transfer S 21 are expresia: S11 =

S 21 =

a3 a0

. b3 = 0

Conform regulii lui Mason, se calculează: k = 1,

P1 = (1 + Γ )2 e − jϕ , Δ1 = 1

şi deci

S 21 =

(1 + Γ )2 e − jϕ

= S12 . 1 − Γ 2 e − j 2ϕ Rezultă în final matricea repartiţie corespunzătoare circuitului din problemă: ⎡ Γ 1 + (1 + 2Γ ) e − j2ϕ (1 + Γ )2 e − jϕ ⎤ ⎢ ⎥ 2 − j2ϕ 2 − j2ϕ − Γ − Γ 1 e 1 e ⎢ ⎥. [S ] = 2 Γ 1 + (1 + 2Γ ) e − j2ϕ ⎥ ⎢ (1 + Γ ) e − jϕ ⎢ ⎥ 1 − Γ 2 e − j2ϕ ⎣ 1 − Γ 2 e − j2ϕ ⎦ Condiţia de atenuare nulă, S11 = 0 , conduce la:

[

]

[

[

]

[

]

]

Γ 1 + (1 + 2Γ ) e − j2ϕ = 0, 1 − Γ 2 e − j2ϕ

adică

Γ 1 + (1 + 2Γ ) e − j2ϕ = 0 şi întrucât soluţia Γ = 0 nu convine (implică b = 0 , fals!), rezultă: 113


1 + (1 + 2Γ ) e − j2ϕ = 0 , sau e − j2ϕ = adică

−1 = 1 + 2Γ

b2 − 4 −1 4b = 2 −j 2 = −0,892 + j0,451 = e j2, 673 rad − jb b +4 b +4 1+ 2 2 + jb

ϕ = βl = −1,3365

şi deci l=

k =1 λ (− 1,3365) + k λ = 3 (− 1,3365) + k 3 = 0,861 m . 2π 2 2π 2

Observaţie: De asemenea, la fel ca la metoda precedentă, s-a considerat pentru k valoarea care conduce la o lungime l pozitivă dar minimă. 4.9 Să se arate că puterea disponibilă a unui generator

PdG =

(

aG

2

2 1 − ΓG

2

)

nu depinde de impedanţa de normare Z 0 utilizată la definirea variabilelor de repartiţie. Rezolvare: Considerând cazul general al unei impedanţe de normare Z 0 complexe, unda de putere emergentă dintr-un generator, în absenţa oricărei unde incidente, este: E Re{Z 0 } aG = Z G + Z 0∗ iar coeficientul de reflexie generalizat al generatorului se scrie Z − Z0 ΓG = G . Z G + Z 0∗ Înlocuind în expresia puterii disponibile, se obţine:

E ⋅ Re {Z 0 } 2

PdG =

Z G + Z 0∗

2

⋅

E Re {Z 0 } 2

1 ⎛ Z − Z0 2 ⎜1 − G ⎜ Z G + Z 0∗ ⎝

2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

=

(

2

2 Z G + Z 0∗ − Z G − Z 0

2

)

=

2

=

E ⋅ R0 2 2 2 2 2 ⎡( RG + R0 ) + ( X G − X 0 ) − ( RG − R0 ) − ( X G − X 0 ) ⎤ ⎣ ⎦ 2

2

=

E ⋅ R0 E = = 2 ⋅ 4 ⋅ RG R0 8RG S-a regăsit astfel o relaţie cunoscută, care exprimă puterea disponibilă a unui generator, evident independentă de impedanţa de normare Z 0 considerată.

114


4.10 Să se determine schema echivalentă în T (cu elemente normate) corespunzătoare unui diport reciproc şi fără pierderi conectat între linii de acces identice, fără pierderi, dacă se cunosc: 1 S11 = ; 5 ϕ11 = π − arctg 2 ; ϕ 22 = − arctg 2 . Rezolvare: Se calculează mai întâi toate elementele matricei de repartiţie, folosind proprietăţile diporţilor reciproci şi fără pierderi: 1 2 2 S12 = S 21 = 1 − S11 = 1 − = , 5 5 1 S 22 = S11 = , 5 ϕ + ϕ 22 π π − 2 arctg 2 π ± = ± . ϕ12 = ϕ 21 = 11 2 2 2 2 Rezultă: ϕ12 = ϕ 21 = − arctg 2 sau ϕ12 = ϕ 21 = π − arctg 2 . În primul caz matricea S corespunzătoare diportului considerat este: 1 ⎡− 1 + j2 2 − j4⎤ S= ⎢ . 5 ⎣ 2 − j4 1 − j2 ⎥⎦ De aici se calculează matricea impedanţă normată, z, cu ajutorul relaţiei: z = (1 − S )−1 ⋅ (1 + S ) . Pentru aceasta, se calculează, pe rând: 2 ⎡ 2 + j 1 - j2⎤ 1+ S = ⎢ , 5 ⎣1 - j2 3 - j ⎥⎦

2 ⎡ 3 − j - 1 + j2⎤ , 5 ⎢⎣- 1 + j2 2 + j ⎥⎦ ⎡ 2 + j 1 - j2⎤ (1 − S )−1 = 1 ⎢ . 2(2 + j) ⎣1 - j2 3 - j ⎥⎦ Se obţine: ⎡ 0 − j⎤ z=⎢ ⎥. ⎣− j − j⎦ 1− S =

Schema echivalentă în T, reprezentată în figura 4.10 a, rezultă din relaţiile: jx1 = z11 − z12 , jx2 = z 22 − z12 , jx3 = z12 115


j x2

j x1

j x3 Figura 4.10 a.

adică, înlocuind cu valorile problemei: jx1 = j , jx 2 = 0 , j x3 = − j . Se obţine deci schema echivalentă din figura (4.10 b). −j

j

−j

− j2

j

Similar, considerînd ϕ12 = ϕ 21 = π − arctg 2 , se obţine o a doua schemă echivalentă, reprezentată în figura (4.10 c).

4.11 Să se calculeze parametrul S 21 pentru diportul rezultat prin conectarea în lanţ (în cascadă) a doi diporţi identici, având matricele de repartiţie: 2 + j4 2 − j ⎤ [S ] = 1 ⎡⎢ , 5 ⎣ 2 − j 2 + j4⎥⎦ în raport cu impedanţa de referinţă Z 0 . Rezolvare: Se utilizează schema din figura de mai jos.

b1

b1′′

a1

T1

T1′′

a1′′

[S ′] b1′

T1′

a1′

a′2′

T2′′

b2′′

[S ′′] a2′

T2′

b2′

a2

T2

b2

Comportarea diportului poate fi descrisă convenabil în cazul conectării în lanţ cu ajutorul matricei de transfer T, definită prin relaţiile:

116


a1 = T11b2 + T12 a2 (2) (3) b1 = T21b2 + T22 a2 care se pot scrie şi compact, sub formă matriceală, astfel: ⎡ a1 ⎤ ⎡ b2 ⎤ ⎢b ⎥ = T ⎢a ⎥ . ⎣ 1⎦ ⎣ 2⎦ Considerând că cei doi diporţi conectaţi în cascadă au matricele de transfer T′ , respectiv T′′ şi observând pe baza schemei din figură că a1 = a1′ , b1 = b1′ , a 2′ = b1′′ , b2′ = a1′′ , a2′′ = a2 , b2′′ = b2 , se obţine succesiv: ⎡ a1 ⎤ ⎡ a1′ ⎤ ⎡ b2′ ⎤ ⎡ a1′′⎤ ⎡ b2′′ ⎤ ⎡ b2 ⎤ ′ ′ ′ ′′ ′ ′′ = = = = = T T T T T T ⎢ b ⎥ ⎢ b′ ⎥ ⎢ a′ ⎥ ⎢ b′′⎥ ⎢ a′′ ⎥ ⎢a ⎥ . ⎣ 1⎦ ⎣ 1⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ 1⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ Comparând acest rezultat cu expresia scrisă pentru diportul echivalent, având matricea de transfer T , ⎡ a1 ⎤ ⎡ b2 ⎤ ⎢b ⎥ = T ⎢a ⎥ , ⎣ 1⎦ ⎣ 2⎦ se obţine (4) T = T′ T′′ . În cazul problemei se cunosc şi se cer termeni ai matricelor de repartiţie. Este necesar să se folosească relaţiile de legătură dintre parametrii de repartiţie şi cei de transfer. Deoarece trebuie aflat parametrul S 21 , se va exprima acest parametru în funcţie de parametrii de transfer. În acest scop se explicitează b2 din relaţia (2): T 1 b2 = a1 − 12 a2 T11 T11 şi se compară cu cea de a doua ecuaţie din cele care caracterizează diportul cu ajutorul parametrilor de repartiţie: b1 = S11a1 + S12 a 2 (5) (6) b2 = S 21 a1 + S 22 a 2 Rezultă: 1 . S 21 = T11 Termenul T11 al matricei de transfer a diportului rezultat prin conectarea în lanţ a celor doi diporţi daţi se obţine din relaţia (4): ′′ . (7) T11 = T11′ T11′′ − T12′ T21 Pentru a-l calcula este necesar să se cunoască formulele de trecere de la parametrii S la parametrii T11 , T12 şi T21 . Acestea se determină rezolvând în raport cu necunoscutele a1 şi b1 sistemul format din ecuaţiile (5) şi (6): S 1 a1 = b2 − 22 a 2 , S 21 S 21 S det S a2 b1 = 11 b2 − S 21 S 21 şi făcând identificarea cu relaţiile (2) şi (3). Astfel, rezultă: 117


1 , S 21 S T12 = − 22 , S 21 S T21 = 11 . S 21 Utilizând aceste expresii, relaţia (7) devine: ′ S11 ′′ 1 − S 22 T11 = , ′ S 21 ′′ S 21 de unde se poate determina parametrul cerut în problemă, ′ S 21 ′′ S 21 1 = , S 21 = ′ S11 ′′ T11 1 − S 22 sau, numeric,

T11 =

2

⎛ 2 − j⎞ ⎟ ⎜ 7 − j4 5 ⎠ ⎝ . = S 21 = 2 65 ⎛ 2 + j4 ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠ O altă metodă de rezolvare constă în determinarea termenului S 21 pe baza grafului de fluenţă asociat circuitului din problemă. Se reprezintă, în prealabil, cei doi diporţi conectaţi în cascadă şi se desenează în dreptul planelor lor de referinţă undele generalizate de putere (figura 4.11.2). a2

a1

a3

[S ]

[S ] b1

b2

b3

Figura 4.11.2

Corespunzător, graful de fluenţă are forma din figura 4.11.3. 1

a1

a1 S11

S 21

a2

S 22

b1

S12

S 21

S 22

S11

b2

S12

Figura 4.11.3

118

a3

b3

b3 1


Parametrii repartiţie care apar în figură reprezintă termenii matricei S a celor doi diporţi identici: S12 ⎤ 1 ⎡2 + j4 2 − j ⎤ ⎡S S = ⎢ 11 ⎥= ⎢ ⎥. ⎣ S 21 S 22 ⎦ 5 ⎣ 2 − j 2 + j4⎦ Coeficientul de transfer al circuitului, conform notaţiilor din figura 4.11.2, este dat de expresia: a S 21 = 3 a1 b =0 3

şi poate fi determinat folosind regula lui Mason aplicată grafului din figura 4.11.3 (vezi şi problema 4.8). Cu datele problemei, se calculează: 2

37 − j16 ⎛ 2 + j4 ⎞ , Δ = 1 − S11S 22 = 1 − ⎜ ⎟ = 25 ⎝ 5 ⎠ k = 1, 2

3 − j4 ⎛ 2 − j⎞ 2 P1 = S 21 , =⎜ ⎟ = 25 ⎝ 5 ⎠ Δ1 = 1 şi se obţine 3 − j4 25 = 7 − j4 . S 21 = 37 − j16 65 25

4.13 Să se calculeze reactanţa normată paralel reprezentată printr-un diport subţire, fără pierderi, dacă pe linia de acces s-a măsurat un raport de undă staţionară σ = 4 atunci când diportul era terminat pe o sarcină adaptată.

σ =4

jb

yS = 1

yin

Rezolvare: Un diport subţire şi fără pierderi poate fi reprezentat printr-o susceptanţă derivaţie a cărei valoare normată este notată cu b .Dacă diportul este terminat pe o sarcină adaptată, atunci: yin = 1+ jb , deci coeficientul de reflexie de la intrarea lui este: 1 − y in 1 − (1 + jb ) − jb b(1 + j2 ) Γ = S11 = = = =− , 1 + y in 1 + (1 + jb ) 2 + jb 4 + b2 astfel încât raportul de undă staţionară pe linia de acces are expresia: 119


b

2 b +4 = b +4 + b . b 1− Γ b2 + 4 − b 1− b2 + 4 Din această relaţie rezultă:

σ=

1+ Γ

1+

=

2

1 σ +1 b2 + 4 = = ⇒ Γ σ −1 b adică b =

(σ + 1)2 (σ − 1)2

b2 + 4 = , b2

σ −1 σ

sau

σ 1 . = b σ −1 Folosind datele problemei, rezultă că este vorba de o reactanţă normată având modulul: 4 x = ≈ 0,67 . 4 −1 Reactanţa poate fi de natură inductivă sau capacitivă. x =

4.14 Să se determine matricea de repartiţie a unui diport reciproc, pasiv, fără pierderi, simetric, ştiind că faza coeficientului de reflexie la intrare, Γ1 , este ϕ1g = 60 o atunci când diportul este terminat în gol, respectiv ϕ1sc = −30 o atunci când diportul este terminat în scurtcircuit.

a1 b1 Γ1

DIPORT

a2 b2

ZS

Γs

Rezolvare: Coeficientul de reflexie la intrare în poarta 1 a unui diport reciproc are expresia: 2 S12 S 21ΓS S12 ΓS b1 Γ1 = = S11 + = S11 + , a1 1 − S 22 ΓS 1 − S 22 ΓS unde

a2 b2 este coeficientul de reflexie al sarcinii de la poarta 2 a diportului. Deci: S2 Γ1g = Γ1 Γ =1 = S11 + 12 , S 1 − S 22 ΓS =

120

Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde 2 S12 . S = −1 1 + S 22 Ţinând cont şi de condiţia de simetrie, (S11 = S 22 ) , din aceste relaţii se obţine: Γ1g − S11 1 + S11 =− , Γ1sc − S11 1 − S11 de unde se poate calcula coeficientul de reflexie S11 , Γ1sc + Γ1g S11 = S 22 = . 2 + Γ1g − Γ1sc

Γ1sc = Γ1 Γ

= S11 −

Deoarece diportul este fără pierderi, Γ1g = Γ1sc = 1 deci rezultă e jϕ1sc + e

S11 = S 22 =

jϕ1 g

, jϕ 2 + e 1 g − e jϕ1sc iar apoi parametrii S12 = S 21 se obţin cu ajutorul relaţiilor existente între termenii matricei de repartiţie a unui diport reciproc şi fără pierderi. Cu datele din problemă, rezultă: π π 1 3 3 1 j −j +j + −j 6 3 e +e 2 2 2 , S11 = S 22 = = 2 π π j j 1 3 3 1 − +j 2+e 3 −e 6 2+ + j 2 2 2 2 adică o

S11 = S 22 = 0,664 e − j0, 435 rad = 0,664 e − j24,9 . Ceilalţi termeni se obţin imediat:

S 21 = 1 − S11

ϕ 21 = ϕ11 ±

2

= 1 − 0,664 2 = 0,748 ,

π

= −0,435 ± 1,57 rad . 2 Alegând în relaţia precedentă semnul +, rezultă: o

S12 = S 21 = 0,748 e j1,135 rad = 0,748 e j65 astfel încât, în final, se poate scrie matricea S corespunzătoare diportului considerat: o o ⎡ S11 S12 ⎤ ⎡0,664 e − j24,9 0,748 e j65 ⎤ [S ] = ⎢ o ⎥ . ⎥=⎢ j65o 0,664 e − j24,9 ⎦⎥ ⎣ S 21 S 22 ⎦ ⎣⎢ 0,748 e

4.15 Într-un cablu coaxial cu aer spaţiul dintre cele două conductoare se umple, pe o lungime d = 5 cm , cu un material dielectric fără pierderi. Discontinuitatea astfel formată este măsurată, la frecvenţa f = 1 GHz , prin metoda deplasării minimelor obţinându-se la curba experimentală în punctul de inflexiune o pantă a tangentei de valoare tg α = 2 . Să se deducă din această măsurătoare permitivitatea electrică relativă a dielectricului folosit.

121


y0

x0

N :1

Rezolvare: Schema echivalentă a unei porţiuni de ghid incluzând partea cu dielectric este reprezentată în figura 4.15.1, unde, conform metodei de măsură menţionate [5]: N = tg α = 2 . Pe de altă parte, înlocuind placa printr-un tronson de linie de lungime d , având o altă impedanţă caracteristică, se obţine o a doua schemă, prezentată în figura 4.15.2. d

Z 0′

Z0

Z0

Pentru ca cele două scheme să fie echivalente, este necesar (şi suficient) ca, în cazul ieşirii terminate adaptat, pe linia de intrare să existe acelaşi raport de undă staţionară, adică modulul coeficientului de reflexie să fie acelaşi. Se calculează: N 2 −1 Γ1 = 2 , N +1 Z + jZ 0′ tg βd Z 0′ 0 − Z0 j Z 0′ 2 − Z 02 tg βd Z in − Z 0 Z 0′ + jZ 0 tg βd = = Γ2 = = 2 2 Z 0 + jZ 0′ tg βd Z in + Z 0 ′ ′ 2 Z Z j Z Z tg d + + β 0 0 0 0 Z 0′ + Z0 Z 0′ + jZ 0 tg βd

(

(Z

=

2 0

)

(

)

)

− Z 0′ 2 tg βd

(

)

4 Z 02 Z 0′ 2 + Z 02 + Z 0′ 2 tg 2 βd Constanta de defazare β poate fi exprimată în funcţie de constanta de defazare în spaţiul liber, β 0 ,

β = ω εμ = ε r β 0 , iar impedanţa caracteristică Z 0′ este Z 0′ =

Z0

εr

.

Înlocuind, se obţine relaţia

122


N 2 −1 N 2 +1

⎛ 1 ⎜⎜1 − ⎝ εr

=

(

⎞ ⎟⎟ tg β 0 d ε r ⎠ 2

)

(

)

⎛ 1 ⎞ 4 + ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⋅ tg 2 β 0 d ε r εr ⎝ εr ⎠ din care apoi poate fi determinată constanta dielectrică ε r . Utilizând datele numerice ale problemei, se obţine: c 3 ⋅ 10 8 λ0 = 0 = = 30 cm , f 10 9 2π 2π π β0d = d= ⋅5 = , λ0 30 3 1

tg α − 1 2 − 1 1 = = . N + 1 tg α + 1 2 + 1 3 Permitivitatea electrică relativă, ε r , rezultă deci din ecuaţia N 2 −1 2

1 = 3

=

(ε r − 1) tg⎛⎜ π ε r ⎞⎟ ⎝3

⎠

. π ⎛ ⎞ 4ε r + (ε r + 1) tg 2 ⎜ εr ⎟ ⎝3 ⎠ Relaţia precedentă poate fi adusă şi la forma εr ⎛π ⎞ εr ⎟ = tg 2 ⎜ , ε r > 1. ⎝3 ⎠ (ε r − 2)(2ε r − 1) Prin rezolvarea numerică sau grafică se obţin soluţiile: ε r1 ≈ 2 , ε r 2 ≈ 7,3 , ε r 3 ≈ 10,5 , K deci răspunsul nu este univoc. În consecinţă, metoda de măsurare a ε r bazată pe această idee poate fi aplicată numai dacă este apriori cunoscută o valoare aproximativă a constantei dielectrice. 2

4.16 Se consideră triportul reciproc, pasiv şi nedisipativ având schema cu elemente normate reprezentată în figura de mai jos. Impedanţele de normare la porţi sunt egale cu impedanţa caracteristică, aceeaşi pentru cele trei linii fără pierderi, iar transformatoarele sunt ideale. Să se calculeze parametrii S11 , S 22 şi S 33 ai triportului.

λ8

j

n :1

1: n

T1

λ 4

T2 3λ 8

T3

123


Rezolvare: Se pleacă de la triportul din figura de mai jos, pentru care se calculează impedanţele de intrare la fiecare poartă în condiţiile în care celelalte porţi sunt terminate adaptat: j

n :1

T1′

1: n

T2′

T3′

(

)

1 ⎛ ⎞ = n 2 ⎜ j + 2 + 1⎟ = 1 + n 2 + jn 2 = z in′ 2 z ′ = z′ =1 in1 in 3 ⎝ n ⎠ 2 ′ 3 z′ = z′ =1 = 2 + j zin in1 in 2 n Se determină parametrii de repartiţie S ii′ , i ∈ {1, 2, 3} ai acestui triport:

′1 z in

′ 2 = zin ′ 3 =1 zin

′ = S11

( (

) )

z in′ 1 − 1 n 2 + jn 2 1 + n 2 + jn 2 − 1 n2 +1 + j 2 = = = n , 4 2 z in′ 1 + 1 z′ = z′ =1 1 + n 2 + jn 2 + 1 2 + n 2 + jn 2 n + 2 n + 2 2 3

(

)

′ = S11 ′ , S 22 ⎛ 2 ⎞ ⎜ 2 + j⎟ − 1 zin′ 3 − 1 2 − n 2 + jn 2 2 − n 4 + j2n 2 n ⎠ ′ = = = S33 =⎝ zin′ 3 + 1 z′ = z′ =1 ⎛ 2 ⎞ 2 + n 2 + jn 2 n 4 + 2 n 2 + 2 1 2 ⎜ 2 + j⎟ + 1 ⎠ ⎝n Dacă se deplasează convenabil planele de referinţă, ale triportului din figura de mai sus se obţine circuitul din problemă. Parametrii săi de repartiţie sunt: ′ e S11 = S11

− j2 βl1

′ e S 22 = S 22 ′ e S 33 = S 33

− j2 β

− j2 β

′ e = S11

− j2

λ 4 3λ 8

′ e = S 22

2π λ λ 8

− j2

′ e = S 33

π

′ e = S11

2π λ λ 4

− j2

−j

2

′ = = − jS11

′ e − jπ = − S 22 ′ =− = S 22

2π 3λ λ 8

′ e = S 33

−j

3π 2

(

)

n 2 − jn 2 n 2 + 1 n 4 + 2n 2 + 2

′ = = jS 33

(

)

n 2 n 2 + 1 + jn 2 n 4 + 2n 2 + 2

(

− 2n 2 + j 2 − n 4 n 4 + 2n 2 + 2

)

4.17 Pentru măsurarea unei joncţiuni triport reciproce, pasive, fără pierderi, cu plan de simetrie, (porţile 1 şi 2 fiind simetrice) s-a conectat la poarta 3 un scurtcircuit deplasabil. S-a constatat că transmisia de putere între porţile 1 şi 2 este întreruptă atunci când pistonul de scurtcircuit se află la o distanţă z1 = 1 cm de poarta 3, iar atunci când pistonul este la distanţa z 2 = 1,625 cm de aceeaşi poartă puterea este transmisă în întregime (fără reflexii). În această a doua situaţie, defazajul între porţile 1 şi 2 este de π radiani. Terminând adaptat porţile 2 şi 3, s-a măsurat pe ghidul de intrare un raport de undă staţionară σ = 2.

124


Ştiind că toate ghidurile de acces sunt identice şi că lungimea de undă în aceste ghiduri este λ g = 5 cm , să se determine schema echivalentă (normată) a triportului.

Rezolvare: Orice triport pasiv reciproc şi nedisipativ admite schema echivalentă cu elemente normate reprezentată în figura de mai jos. l1

jx

n1 :1

l2

1: n2

T1

T2

l3

T3 Condiţia de întrerupere a transmisiei de putere între porţile 1 şi 2 se poate scrie sub forma: tg β (l3 + z1 ) → ∞ , deci 2π (l3 + z1 ) = π , λg 2 de unde rezultă

λg

5 − 1 = 0,25 cm . 4 4 Pentru joncţiunile cu plan de simetrie (n1 = n2 = n ) , transmisia integrală a puterii între porţile 1 şi 2 este condiţionată de relaţia: tg β (l3 + z 2 ) + x = 0 , de unde rezultă: 2π x = − tg β (l3 + z 2 ) = − tg (l3 + z 2 ) = − tg 2π (0,25 + 1,625) = 1 . 5 λg l3 =

− z1 =

Conectând la porţile 2 şi 3 sarcini adaptate, impedanţa de intrare normată văzută la poarta 1 este: 1 ⎛ ⎞ z in1 = n 2 ⎜1 + 2 + jx ⎟ = 1 + n 2 + jn 2 x . ⎝ n ⎠ astfel încât coeficientul de reflexie are expresia z − 1 1 + n 2 + jn 2 x − 1 n 2 + jn 2 x Γ1 = in1 = = z in1 + 1 1 + n 2 + jn 2 x + 1 2 + n 2 + jn 2 x

(

[( [(

=

) )

)

] ]

(

2 n 2 (1 + j) 2 1+ n + j n = n 4 + 2n 2 + 2 2 + n 2 + jn 2

(

)

)

125


Modulul coeficientului de reflexie este legat de raportul de undă staţionară, prin relaţia: Γ1 =

σ −1 2 −1 1 = = . σ +1 2 +1 3

Egalând modulele, se obţine: 1 n2 2 = , 2 n 4 + 4n 2 + 4 3 de unde rezultă n1 = n2 = n = 0,8 . Mai trebuie determinate lungimile l1 = l 2 = l . În cazul transmisiei integrale de putere, defazajul dintre porţile 1 şi 2 are expresia simplă 2π Δϕ = βl1 + βl 2 = 2 βl = 2 l

λg

şi, întrucât Δϕ = π radiani rezultă l = l1 = l 2 =

λg 4

=

5 = 1,25 cm. 4

4.18 Să se arate că joncţiunea cu 4 porţi, în dublu T, simetrică, poate fi folosită ca punte de microunde, adică alimentând-o la poarta 3 (sau 4) şi conectând un detector adaptat la poarta 4 (respectiv 3), acesta va indica o putere nulă dacă şi numai dacă impedanţele conectate la porţile 1 şi 2 sunt egale între ele. Rezolvare: Matricea de repartiţie a joncţiunii dublu T simetrice are forma: ⎡ S11 S12 S13 S14 ⎤ ⎢S S11 S13 − S14 ⎥⎥ 12 ⎢ S= ⎢ S13 S13 S 33 0 ⎥ ⎢ ⎥ S 44 ⎦ ⎣ S14 − S14 0 Se consideră un generator aplicat la poarta 3 şi un detector adaptat montat la poarta 4 (a 4 = 0) . Se notează Γ1 , respectiv Γ2 , coeficienţii de reflexie ai sarcinilor conectate la porţile 1, respectiv 2. Se scriu relaţiile: a Γ1 = 1 ⇒ a1 = Γ1b1 (1) b1 a Γ2 = 2 ⇒ a 2 = Γ2 b2 (1’) b2 Prima, a doua şi a patra ecuaţie a sistemului b = S ⋅ a au expresiile: b1 = S11 a1 + S12 a 2 + S13 a3 , (2)

b2 = S12 a1 + S11a 2 + S13 a3 , b4 = S14 a1 − S14 a 2 .

126

(3) (4)


Dacă se scad relaţiile (2) şi (3) şi se ţine seama de egalităţile (1) şi (1’), se obţine:

a1 a 2 − = (S11 − S12 )(a1 − a 2 ) . Γ1 Γ2 De aici rezultă imediat faptul că Γ1 = Γ2 ⇔ a1 = a 2 . Pe de altă parte, egalitatea Γ1 = Γ2 se poate scrie sub forma z1 − 1 z 2 − 1 = , z1 + 1 z 2 + 1 ceea ce înseamnă că Γ1 = Γ2 ⇔ z1 = z 2 , unde z1 şi z 2 sunt impedanţele normate de la porţile 1 şi 2. Pe de altă parte, din relaţia (4) rezultă că b4 = 0 ⇔ a1 = a 2 . În consecinţă, din echivalenţele (5), (6) şi (7) se obţine, concluzia: b4 = 0 ⇔ z1 = z 2 .

(5)

(6)

(7)

127

0.11

70

(+ jX /Z o

45

50

0.9

55

1.0

1.8 2.0

65

0.5

0. 06 0. 44

14 0

0.0 5

4

0.

8

25

0.4

20

75 CO MP ON EN T

0.4 5

50

2

3.0

0.6

0.2

0.3

4.0

15

1.0

20

0.2

10

8

0.

LE ANG

0.25 0.26 0.24 0.27 0.23 0.25 0.24 0.26 0.23 0.27 E F LE CTION COE F F ICIE NT IN DE G R E OF R E ES ANGL ANS MIS S ION COE F F ICIE NT IN DE OF TR GR E E S

IND UCT IVE RE

5.0

0.6

10

0.1

0.4

20

50

20

10

5.0

4.0

3.0

2.0

1.8

1.6

1.4

1.2

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)

50

0.1

0.2

50

0.2

20

0.4

1.0

C US ES TIV C DU IN

2.0

1.8 1.4

0.13

TR S. RF S. A A W. L. W. TT N P L L EN SM EA O O . .C . C K SS [ SS C [dB O O (C dB O ] EF EF O ] EF F, F, NS F E P T. or P) I

0.0 8

44

0

6 .0

-70

4 -1

0

0.0

3

2

0.4

9 1

0.4

0.4

0.39

0.38

¥ 40 30 1

10 20

1 0.9

1 0.0 ORIGIN

5

0.8 0.9 0.1

3

15 2

0.7

4

0.6 0.8 0.2

10

3

4

0.5

0.4

0.7 0.3

2.5

5

8 6

0.3 0.6 0.4

2

7

6 8

0.2 0.5 0.5

1.8

9

5

10 0.1

0.4 0.6

1.6

0.3 0.7

1.4

4 12

3 14

0.05 0.2 0.8

1.2 1.1 1 2 20

1

15

TOWARD LOAD —> 10 7 5

1 1 30 ¥ 0

0.1

0.01

0 0

1.1

0.1

0 1

0.99

0.9

CENTER 1

1.1

4

1.1

1.2

1.3 1.4

0.2

0.4

0.6

1.2

1.3 0.95

1.4

0.8

1.5

0.9

2

<— TOWARD GENERATOR 2 1

3 1.6 1

1.8 1.5

2 2

1.6 1.7 1.8 1.9 2 0.8

0.7

3

4

3

4

5

2.5 0.6

0.5

10

5 3

0.4

¥

10 15 ¥ 4

0.3

20

6 0.2

5

10 ¥ 0.1

N SM

20

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

A

0.12

0.37

0.0 7 30

-1

0.4

0

-12

0.0

-110

0.1

0.11 -100

-90

0.36

0

TR

1.0 5

0.14 -80

0.35

0.9

1.2

0.15

-4

4

0

-4

0

-70

6

0.3

0.7

-35

0.1

-5

3

5

R ,O o) /Z jX

1.6

-60 -30

0.8

0.3

7

-55

0.1

(-

0.6

2

AC TA NC E

-60

0.3

CAP AC ITIV ER E

0.2

CO M PO NE NT

0 -65 .5

1

0. 3

0.

0.4

19

0.

8 0.1 0 -5 -25

-75

0.6

-20 3.0

5

0.3

0

0.4

0.8

4 0.0 0 -15 -80

-15

E

1.0 4.0

0.4

5.0

9

0.2

0.2

4

0.

-4

R BS B] , P r I SW d S [d FF E o S E , O O FF .L .C E N FL CO RT R L. RF

¥ 100 40

0.28

1 -30

0.2

0.3

0.22

0.2

-20

o) jB /Y E (NC A PT

8

0.

-10

0.48

10

0.6

RADIALLY SCALED PARAMETERS

0

0.22

1.0

0.28

AC TA NC E

0.8

1

9 0.2 30

15 0

0.1

0.3

0.2

80

30

0.2

0.1

6

7

3

0.3

0.0 —> WAVE LE 0.49 NGTHS TOW AR D 0.0 0.49 AD <— O GE N L D R WA ERA O T 0.48 S ± 180 TO TH 0.47 G 17 N R— 0 70 -1 LE E V > 0.47 A W 0.0 160 0 <— 6 4 1 -90 90 0.4 85 -85 6

) /Yo (+jB

0.1

0.3

60

40

R O ),

35

31 0.

VE TI CI PA A C

SC SU

E NC TA EP

4

19 0.

3 0.4 0 13

6

0.3

1.6

7

0.0

0.1

70

40 1.4

0 12

0.15 0.35

80

0.7

2

0.4

0.6 60

.08

0

110

1

0.4

0.14 0.36

90

0.8

0

0.37

0.39 100

0.4

.09

0.13

0.38

1.2

0.1

0.12

Culegere Microunde

Recommend Documents