Curiosidades del Infinito Parte I Juan Carlos Ponce Campuzano
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UQ 28 de mayo de 2014
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Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo del «Mal» cuyo limitado imperio es la ética; hablo del infinito. Jorge Luis Borges, Discusión, p. 254
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Índice 1. Introducción
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2. Series infinitas
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2.1. La suma de todos los números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1.1. Usando Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3. Continuará...
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Referencias
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1.
Introducción
Desde hace varios años he estado interesado en el «Infinito» en diferentes contextos. En particular, he tenido la oportunidad de estudiarlo en el contexto de las matemáticas y en el camino, algunas veces sinuoso, me he encontrado con algunos ejemplos que han despertado en mi una pasión obsesiva por el concepto del infinito. La principal razón de esta pasión se debe a las aparentes contradicciones que surgen cuando se combina la idea del infinito con otros elementos dentro del cuerpo de las matemáticas. En este documento expongo algunos de esos ejemplos relacionados con el uso del infinito, los cuales desafían la lógica y el sentido común.
2.
Series infinitas
2.1.
La suma de todos los números naturales
Qué resultado obtendríamos si realizamos la suma de todos los números naturales 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ···
(1)
Por supuesto, nuestra respuesta sería que el valor de la suma es infinito, lo cual concuerda con nuestra experiencia y con las reglas matemáticas que hemos aprendido en la escuela. Entonces podemos afirmar que: La suma de todos los números naturales es infinita. Esto lo podemos escribir de la siguiente forma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ··· = ∞ En términos matemáticos, la expresión (1) se denomina serie infinita, la cual denotaremos por Z. Cuando, en una serie infinita, la sucesión de las sumas parciales converge a un valor, se dice que la serie converge. De lo contrario, se dice que la serie diverge. 7
Definamos Sn como las sumas parciales de la serie anterior. Entonces tenemos que n X n(n + 1) k= Sn = 2 k=1
Como se puede apreciar, Sn crece indefinidamente cuando n tiende a infinito. Dado que la sucesión de las sumas parciales converge a infinito, la serie (1) es divergente y por lo tanto no tiene una suma en el sentido usual. Un razonamiento similar se puede utilizar para mostrar que 1 + 3 + 5 + 7 + ··· = ∞
(2)
En este caso, las sumas parciales son Sn =
n X
(2k − 1) = n2
k=1
Por el momento, regresemos al caso de la suma de todos los naturales. Veamos que sucede cuando realizamos algunas operaciones sencillas a la serie (1): 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · = 1(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · ) = (2 − 1)(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · ) = (2 + 4 + 6 + 8 + · · · ) − (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · ) Simplificando y usando (2), obtenemos 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · = −(1 + 3 + 5 + 7 + · · · ) = −∞ Como podemos apreciar, hemos encontrado que el valor de Z es ahora −∞. ¿Será correcto este resultado? ¿Por qué encontramos dos valores diferentes para Z? ¿Qué significa que sea −∞ ó ∞? Quizá lo más sorprendente de este ejemplo es que podemos encontrar otro valor de Z utilizando otras series y realizando algunas operaciones sencillas. Para ello, consideremos la serie infinita 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ··· 8
Esta serie es divergente, lo cual implica que no posee suma en el sentido usual. Se le suele llamar serie de Grandi, en honor al matemático, filósofo y sacerdote italiano Luigi Guido Grandi (1671-1742). Un método para calcular la suma de la serie de Grandi es tratarla como una serie telescópica y realizar las restas que resultan, esto es: (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 0 + 0 + 0 + · · · = 0. Por otra parte, un procedimiento de agrupamiento distinto al anterior conduce a un resultado aparentemente contradictorio 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1 + 0 + 0 + 0 + · · · = 1. Según la forma en que se ubiquen los paréntesis sobre la serie de Grandi, es posible obtener un «valor» 0 ó 1. Utilizando álgebra se puede obtener un tercer valor. Escribiendo S = 1 − 1 + 1 − 1 + ··· entonces 1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + · · · ) = S De lo cual resulta que S = 12 . Se llega a la misma conclusión si se calcula −S, restando el resultado de S, y resolviendo 2S = 1. Supongamos válido este último resultado, el cual usaremos para realizar algunos cálculos. Definamos S1 como S1 = 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =
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Con base en la expresión (3), podemos mostrar que la serie 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ··· 9
(3)
1 es igual a . Sea 4 S2 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − · · · Multiplicando por 2 y haciendo algunos ajustes obtenemos 2S2 = (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − · · · ) + (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − · · · ) = 1 + (−2 + 3 − 4 + 5 − · · · ) + 1 − 2 + (3 − 4 + 5 − 6 + 7 · · · ) = 0 + (−2 + 3) + (3 − 4) + (−4 + 5) + · · · 1 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − ··· = 2 De lo anterior se sigue que S2 = 41 . Por lo tanto S2 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · · =
1 4
(4)
Finalmente, utilizaremos (3) y (4) para calcular Z. Substrayendo S2 a Z obtenemos lo siguiente Z − S2 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · ) − (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · · ) = (1 − 1) + (2 + 2) + (3 − 3) + (4 + 4) + · · · = 4 + 8 + 12 + · · · = 4(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · ) = 4Z Entonces Z − S2 = 4Z. Al despejar Z y usando la expresión (4) obtenemos Z=
−S2 1 =− 3 12
De esta manera, hemos obtenido que la suma de todos los números naturales es igual a una 1 . Es decir fracción negativa: − 12
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ··· = −
1 12
¿Cuál de los tres resultados aquí obtenidos será el correcto? 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ··· = ∞ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · = −∞ 1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · = − 12
¿Son válidos los procedimientos realizados? ¿Por qué se obtienen diferentes resultados? ¿Qué significa cada uno ellos? Al parecer, como bien dice Borges, el infinito es un concepto que corrompe y desatina nuestras ideas matemáticas. 2.1.1.
Usando Cálculo
A continuación usaremos otro método para obtener nuevamente la identidad 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ··· = −
1 12
Del Cálculo sabemos que se cumple la siguiente identidad 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + · · · =
1 1−x
(5)
1 (1 − x)2
(6)
siempre y cuando −1 < x < 1. Si derivamos (5) obtenemos 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + · · · = la cual se cumple para −1 < x < 1. ¿Qué sucede si consideramos que la expresión (6) se cumple no sólo cuando −1 < x < 1? Por ejemplo, ¿qué sucede si x es igual a −3 ó 7/4? En particular nos interesa calcular la suma de todos los números naturales, por lo cual usaremos el valor x = −1. Al sustituir x = −1 en (6) obtenemos la identidad 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ··· =
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lo cual concuerda con lo que habíamos obtenido en la sección anterior. 11
Ahora, consideremos la función zeta de Riemann (también llamada función zeta de Euler-Riemann) definida como sigue ∞ X 1 1 1 1 1 ζ(s) = = s + s + s + s + ··· s n 1 2 3 4 n=1
(7)
Nota importante: Leonhard Euler introdujo esta función en la primera mitad del siglo XVIII, considerando a la variable s como un número real. Más adelante, Bernhard Riemann extendió √ los valores de s a números complejos, esto es, s es de la forma σ + it donde i = −1 y σ, t son números reales. Actualmente, se sabe que la función ζ converge cuando la parte real de s es mayor que 1, es decir, cuando σ > 1. Si multiplicamos por 2−s a la expresión (7) obtenemos lo siguiente 1 1 1 1 −s −s 2 ζ(s) = 2 + + + + ··· 1s 2s 3s 4s 1 1 1 1 = s + s + s + s + ··· 2 4 6 8 Ahora, realizemos las siguientes operaciones 1 1 1 1 1 1 + + + + + + ··· 1s 2s 3s 4s 5s 6s 1 1 1 1 −2 s + s + s + s + · · · 2 4 6 8 1 1 1 1 1 1 = s − s + s − s + s − s + ··· 1 2 3 4 5 6
ζ(s) − 2 · 2−s ζ(s) =
De esta manera obtenemos la identidad 1 1 1 1 1 1 1 − 2 · 2−s ζ(s) = s − s + s − s + s − s + · · · 1 2 3 4 5 6 Supongamos que s = −1, entonces al sustituir en (8) obtenemos 1 1 1 1 1 −(−1) 1−2·2 ζ(−1) = −1 − −1 + −1 − −1 + −1 − · · · 1 2 3 4 5 1 − 2 · 21 ζ(−1) = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · · −3ζ(−1) = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · · 12
(8)
Pero 1 1 1 1 1 + + + + + ··· 1−1 2−1 3−1 4−1 5−1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ···
ζ(−1) =
Por lo tanto, usando el hecho que la suma del lado derecho es igual a 1/4, tenemos lo siguiente −3 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · ) = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · · 1 = 4 Finalmente, hemos obtenido nuevamente la igualdad 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ··· = −
1 12
Estos resultados no son de mi invención. Han sido estudiados por diversos matemáticos en todo el mundo durante varios siglos. Euler, al rededor de 1730, estudió este tipo de series infinitas y en sus trabajos se puede encontrar evidencia de los obstáculos con los que se puede uno encontrar cuando se trata el concepto del infinito [1]. Aunque Euler obtuvo algunos resultados notablemente paradójicos, él los consideraba de alguna manera razonables. Por ejemplo, en su libro Institutiones calculi differentialis de 1755, Euler da una justificación de que la serie 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ··· es mayor que cualquier número asignable, es decir, infinito. Lo cual corrobora al sustituir x = 1 en la expresión 1 + x + x2 + x3 + · · · =
1 1−x
De lo cual obtenemos lo siguiente 1 + 1 + (1)2 + (1)3 + · · · = 13
1 1 = 1−1 0
(9)
Para Euler 1/0 era totalmente válido y su valor era ∞. Por lo cual concluye que 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ··· = ∞ Usando la misma expresión (9), Euler calcula el valor de diferentes series para valores distintos de x y establece: i. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ∞ ii. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · · = −1 iii. 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + · · · =
1 1−3
iv. 1 + 4 + 16 + 64 + 256 + · · · =
= − 12
1 1−4
= − 13
y así sucesivamente. Lo anterior se puede consultar en [2, p. 75].
3.
Continuará...
Más adelante, agregaré más ejemplos relacionados con el uso del concepto de infinito en matemáticas. También espero agregar más comentarios y una mejor discusión. Por supuesto, también agregaré más referencias que pueden servir en esta casi interminable búsqueda por comprender la idea del infinito.
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Referencias [1] Kline, Morris (1983). Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine 56 (5): 307-314. 15 [2] Euler, L. (2000). Foundations of differential calculus. (Translated from the Latin Institutiones Calculi Differentialis, Chapters 1 to 9, by Leonard Euler, 1755). SpringerVerlag. New York. Inc. 15 [3] Padilla, Tony. (2014). What do we get if we sum all the natural numbers? consultado el 21 de Marzo de 2014. http://www.nottingham.ac.uk/~ppzap4/response.html [4] Hardy, G. H. (1949). Divergent Series, Oxford University Press.
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