Cap1. Obiectul identificarii. Metode de identificarea identificarea sistemelor. Problema centrala a analizei sistemelor o reprezintă studiul evoluţiei în timp a semnalului de ieşire determinat atât de către variaţia semnalului de intrare (si/ sau perturbaţie) cat si de proprietăţile sistemului.
Problema dezvoltata de-a lungul întregului curs, adică problema identiicării poate i privita ca problema inversa analizai sistemului si anume iind cunoscuta evoluţia in timp a semnalului de intrare si respectiv iesirea sa se determina !! care descrie comportarea sistemului.
Definitie: "ade#
$ identiicarea poate i deinita ca determinarea pe baza intrarii si iesirii unui sistem dintr-o calasa determinat de sistemul ata de care sistemul care se incearca este ec#ivalent. %einitita implica consideratii ata de clasa de sistem si ec#ivalenta. &istemul care se analaizeaza se va numi in continuare sistem, proces te#nic, sau proces, iar elementeului claselor de sisteme se vor numi modele. 'c#ivalenta se deineste unctie de un criteriu sau unctie de eroare care e dependent de iesirea a sistemului si respectiv de iesirea m * (,m) (*not, unctie criteriu) %oua modele !+ si ! se spun ca sunt ec#ivalente daca valorile unctiei criteriu este aceeasi pentru ambele modele.
(,m+) * (,m) el mai raspandit criteriu este cel al erorii patratice. %aca e* $ m, atunci T
J (e) =
∫ e
(t ) dt
+
alorile numerice ale parametrilor modelului trebuie determinat astel incat comportarea modelului sa ie cat mai apropiata de comportarea sistemului. 0n masura acestei pro1imitati model-sistem o reprezinta tocmai criteriul de eroare care e1prima cantitativ 2ditanta3 dintre model si proces. %einind spatiul parametric ca iind spatiul parametrilor ϑ0 de determinat modelul e reprezntat de un punct, iar sistemul de un alt punct, criteriul iind constituit de distanta dintre cele doua puncte. Procedeul de determinare a parametrilor e o procedura de minimizare a acestei distante. '1ista mai multe posibilitati de a deini distanta. ea de iesirea bazata pe dierenta iesirii model si iesirii sistem
Je(i ) =
N
∑5 y(i) − y
M
(i )4
i =+
6 $nr punctelor de masura Clasificarea metodelor de identificare 7vem 7v em identiicare partiala si identificare totala , la identiicare partiala structura modelului procesului se considera cunoscuta, ramane problema determinarii determinarii parametrilor lui. 8a identi. totala procesul se cinsidera total necunoscut urmand sa se determine atat structuara cat si parametrii procesul iind de tip 987: 9;<. 0dentiicare ca procedura de determinare a modelului presupune posibilitatea posibilitatea abordarii prin cele cele doua cai cunoscute cunoscute de=a>
1. iden identi tif. f. anal analit itic ica a 2. identif experimentala > deteminarea modelului pe baza unor masuratori ale intrarii si iesirii adica
pe baza unui e1periment. 0n general se merge pe ideea unei identi. mi1te care presupune urmatoarele idei> daca din cunoasterea partiala a unctionarii procesului se poate duspune de o anumita cantitate de cunostinte care sa aciliteze i1area structurii modelului ceea ce mai ramane de acut acut este determinarea valorii numerice ale parametrilor, deci practic problema identi. se reduce la probleam estimarii parametrilor modelului. modelului.
'1. Pesupunand ca se dispune de o secventa de intrare u(t) si secventa de iesire (t), cunoscand relatia T
dintre ele>
y (t ) =
∫ h(t − τ )u (τ )d τ
Problema este ca din datele de intrare si respeciv de iesire masurate pe un interval de timp se doreste determinarea unctiei pondere #(t-τ). ?unctia pondere determinata cu relatia precedenta aduce o serie de inormatii privind comportarea dinamica a procesului respectiv, dar se pune problema> este uncia pondere modelul necesar intr-o problema de reglare optimala@ 0ntrebarea sugereaza aptul ca identiicarea trebuie abordata in totdeauna in raprot cu scopul inal, care ar putea i de a1emplu> analiza comportarii dinamiceA proiectarea unei bucle de reglare calsiceA determinarea unei comenzi optimale obtinute printr-o e1tremizare a unei criterii. ' evident ca in parcurgerea e1emplelor mentionate modelul necesar e altul si alta e precizia ceruta asupra modelului. unoasterii scopului inal 0 se adauga intotdeauna o inormatie apriorica totdeauna disponibila. 0n diversele etape de succesiune ala algoritmului general de identi. pot sa apara cateva intrebari de tipul> +).&e poate aplica un semnal de test sau e necesara observarea in unctionarea normala a procesului@ ).%aca e posibila aplicarea semnalului de test care trebuie sa ie amlitudinea ma1ima a aacestuia pentru a nu perturba procesul si/sau pentru a nu scoate din zona de unctionare liniara@ B).a tip de semnal de test trebuie considerat pentru a se obtine o inormatie cat mai bogata despre proces@ C).Procesul trebuie identi. in bucla inc#isa sau o identi. in bucla desc#isa e suicient@ D).are e clasa de model care trebuie considerat in incercarea de a apro1ima procesul@ &e cauta in totdeauna un compromis simplitate, pecizie E).0n unctie de intrebarile de mai sus si de disponibilatatile #ard-sot care e metoda cea mai indicata@ F).' suicient o varianta de identiicare o-line sau e nevoie de una on-line. Metodele de identificare pot fi clasificate in principiu dupa: + tipul de semnal de intrare clase de modele B indicele de perormata privind apro1imarea procesului de catre model C caracterul calculelor o sau online D 0denti. parametrica sau neparametrica E 0dentiicarea statica unde se urmareste determinarea unui model static adica a unui model de unctionare a sistemului presupus stabil pentru intrarile constante. F 0dentiicare dinamica presupune> deteminarea unui model dinamic adica relatia dintre evolutia in timp a iesirilor si a intrarilor G 0dentiicarea stationara in cazul sistemelor invarianteA identiicare adaptiva la sisteme variante H 0dentiicarea in timp dierit (oline) $ daca prelucrarea datelor se ace in timp deconectat ata de unctionarea normala a procesului. + 0dentiicarea in timp real (online) $ daca timpul este conectat ata de ct. normala Metodele active de identificare > presupun aplicarea unor semnale de test urmarindu-se determinarea unor inormatii, care ara un eort de calcul dierit sa urnizeze modelul cautat. 0n general printr-o metoda activa se determina un model neparametric. &c#ema unei astel de identiicari ar i urmatorul>
B
Pot aparea o serie de probleme legate de generarea si caracterizarea semnalului de test. Iestricitiile cele mai importante sunt legate de> - amplitudine, o identiicare buna solicita putere mare pentru semnalul de test, dar de pe alta parte procesul nu poate i perturbat oricat. - durata, o identiicare buna solicita timpi de e1perimentare lungi, dar apar limitari in ceea ce priveste durata timpului de e1perimentare. Avantaje ale metodelor active: -efortul de calcul este mic, ele permit obtinerea cu usurinta a modelelor neparametrice. Metodele pasive -
utilizeaza variatii aleatoare ale marimilor de intrare si iesire ale procesului in unctionarea lui normale. !etodele pasive nu mai sunt legate de generarea semnalului de test, calculele sunt in general mai comple1e si conduc aproape intotdeauna la un model parametric. dentificare neparametrica 7ceste metode se caracterizeaza prin aptul ca modelele rezultate sunt curbe sau unctii pentru care nu este necesara o parametrizare printr-un sector init dimensional al parametrilor. %intre aceste metode se disting ca iind reprezentative urmatoarele> 1. metode de anali!a tran!itorie pentru care semnalul de test este de tipul treapta sau impuls iar modelul este constituit de inre"istrarea iesirii, adica de aliura raspunsului indicial sau a functiei pondere 2. metode anali!ei de frecventa- intrarea este sinusoidala avand ca re!ultat obtinerea unor caracteristici de frecventa #. metodele de corelatie $utili!ate la filtrarea semnalelor
!etode de analiza tranzitorie ca!ul sistemelor %& 1 T y (t ) + y (t ) y (t )
= ku(t ) → H ( s) =
H ( s )
= L−+K
s
J = k (+ − e
−
k Ts + +
t
τ
)
'(t) $ raspuns indicial. Obs.: 0n igura raspunsului indicial e1perimental se prezinta intr-o orma normata (t)/(t s).
0mplicatia in acest caz este ca dispare imluenta actorului L. (t s)*L, ()*u()*. 0n general actorul de transer L reprezinta raportul dintre valorile stationare a iesirii si respectiv amplitudinea treptei de intrare. k =
y (t s ) − y () u (t s ) − u ()
determinam parametrii L, respectiv M. L se determina direct din ecuatia anterioara iar M
(M)*L(+-e-+)*.EBL*.EB(ts) *N EBO
C
%eci ct de timp al unui element PM + reprezinta timpul pt care raspunsul indicial atinge EBO din valoarea lui stationara *isteme cu timp mort − t +T T 4, t > T m y (t ) = k 5+ − e , t ≤ T m m
H ( s ) =
k Ts + +
e
−T n s
aloarea Mm se determina ca iind intervalul de timpmasurat din momentul aplicarii semnalului de proba pana cand unctia indiciala ramane inerioara unei valori ε calculata in raport cu clasa de precizie a aparatului de masura. dentificarea "rafica din functia pondere '1presia analitica a unctiei pondere pentru sistemele PM + h (t )
−+
= L
K H ( s)J =
k T
e
−
t T
+unctia pondere * raspuns la semnal treapta / transormata inversa a .d.t
Ieprezentarea graica a unctiei pondere este %eterminarea parametrilor L si M se rezolva graic imediat #()*L/M, M reprezinta timpul pentru care unctia pondere a=unge la valoarea .BF din valoarea initiala. a) Ca!ul sistemelor %&2 k k H ( s ) = = T s + ξ Ts + + + + s + ξ s + + - amorti!are, (,1) ω n ω n
ξ
Iaspunsul indicial e reprezentat in acest caz de o amilie de curbe parametrizate dupa . Problema care se pune e determinarea L, ξ, si ωn. ξ se obtine din supraregla=ul &igma. %ependenta dintre sigma si ξ ca procenta= din raspunsul indicial stationar este dat de graice e1perimentale> ω π Pulsatia naturala se poate determina dintr-o relatie de tipul ω n = + − ξ A ω = T p in care M p reprezinta perioada oscilatiilor amortizate sau nu in cadrul raspunsului indicial e1perimental. %eterminarea c.d.recv. pornind de la unctia pondere !etoda de sc#imbare de model> 7pro1imarea raspunsului in recventa printr-o suma inita. Iaspunsul in recventa este deinit prin sectorul comple1 (=ω) care se obtine substituind s*=ω. Practic (=ω) poate i deinit si de ∞
H ( jω )
= ∫ h(τ )e − jωτ d τ (+).
Presupunem ca se dispune de o unctie pondere deduse e1perimental. &e considera secventa reprezentant pentru valorile lui #( τ) pentru valorile discrete 0n acest caz relatia (+) poate i rescrisa
∞
∑ h(i∆t )e
H ( jω ) = ∆t
i =
− jω ( i∆t )
.
'1ponentiala poate i dezvoltata conorm relatiei lui 'uler e − jω i∆t = cos(ω i∆t ) − j sin(ω i∆t ) (B) ∞
∞
i =
i =
∑ h(i∆t ) cos(ω i∆t ) − ∆t ∑ h(i∆t ) sin(ω i∆t ) (C)
H ( jω ) = ∆t
Pentru a se obtine o orma concordanta cu raspunsul in recventa reala perioada de esantionare trebuie sa satisaca teorema de esantionare a lui &#annon. Presupunand ca daca recventa de interes ωQ atunci cea D
mai mare M de esantionare poate sa ie ∆MQ * π/ωQ. 6Q * M/∆MQ*MωQ/π. ; alta posibilitate de a obtine reprezentarea raspunsului in recventa se poate ace> ∞
∑ h(i∆t )
H ( jω ) = ∆t i =
− ω i∆t
7pro1imarea raspunsului in recventa printr-o serie ininita ∞
∑ h(i∆t )e
H ( jω ) = ∆t
− jω ( i∆t )
i =
∞
H ( jω )
= ∆t ∑ h(i∆t )K+ − jω i∆t − i =
(ω i∆t )
+ j
(ω i∆t )
B
B
+ ...J
%ezavanta=ul metodei consta in aptul ca singura zona intr-un spectru care poate i analizata este de =oasa recventa. %eterminarea .d.t din caracteristica de recventa in speta diagramele 9ode &eimpune doar ipoteza stabilitatii & considerat, aceasta ipoteaza iind nunumai teoretica ci si practica in sensul ca practic nu poate i determinat raspunsul in recventa in cazul unui & instabil. 7ceasta procedura inversa a constructiei diagramelor 9ode consta in parcurgerea a doi pasi> +. apro1imarea c.a.p. printr-o succesiune de linii drepte care reprezinta asimptotele la caracteristicile respective, aceste asimptote a pante standard . localizarea recventelor de rangere corespunzator punctelor de intersectie dintre dreptele trasate
+ ... + b+ s + b ,m < n A( s) a n s n + ... + a+ s + a !etoda permite evidentierea polilor sau zerourilor in ( T s + ) ( T s T s + ) + + + ξ ∏ p ∏ r r r H ( s ) = k α s ∏ (T e s + +)∏ (T q s + ξ q T q s + +) H ( s ) =
B ( s)
=
bm s m
origine presupunandu-se cunoscute diagramele 9ode ale sistemelor componente. ap dentificarea sistemelor utili!and metode de corelatie 2.1 dentificarea utili!and semnale periodice.
7vanta=e utilizarea semnalelor proba sau de test periodice ata de cele aperiodice +. & supus identiicarii iind ales in regim de oscilatii ortate permite iltrarea le=era a inluentei zgomotelor interne sau a diverselor perturbatii care se suprapun ca eect peste semnalul util din iesire . Rtilizarea ca semnal de test a unor semnale de medie nula permite utilizarea unor semnale de amplitudine mari comparativ cu cele ale semnalelor neperiodice B. Permit obtinerea directa a raspunsului in recventa raspunsul & la o e1citatie sinusoidala este tot un semnal sinusoidal de acelas recventa ca si intrarea, dar de o alta amplitudine si deazata. Procedeul clasic de determinare a modelului neparametric (c.d.) prin raportarea amplitudinii semnalului din si respectiv u si masurarea deaza=ului dintre ele nu este aplicabil decat in cazul restrictiv al desconsiderarii inluentei zgomotelor. 0n cele mai multe situatii practice insa semnalele din iesire sunt contaminate de zgomote, in continuare coniderandu-se un & liniar, perturbat cu perturbatia considerata aditiva in . y (t )
= Y o (t ) sin5ω k t + ϕ (ω k )4 = U H ( jω k ) sin5ω k t + ϕ (ω k )4 %eci
y (t ) = y k sin5ω k t + ϕ (ω k )4 + z (t )
%in punct de vedere al masuratorilor avem acces doar la iesirea perturbata si nu si cea determinista. Me#nicile de coleratie permit iltrarea eicienta a zgomotelor aditive in iesirea, c#iar si in cazul unor nivele ridicate ale zgomotului. E
1. dentificarea utili!and semnalul monofrecvential.
!at. presupune unui semnal de test orma sinusoidala a carui recventa se modiica continuu in domeniul de interes. "gomotul z(t) se considera necolerat cu semnalul de test. 0n aceste conditii avem posibilitatea de a dezvolta pe (t) in serie ?ourier si a retine undamentala ca singur eect in iesire a intrarii , este preerata utilizarea te#nicilor de corelatie avand in vedere ca ele genereaza bine c#iar si in cazul unor nivele ridicate ale zgomotului. %ezavanta=ul pe care-l conera totusi aceste metode consta in aptul ca pentru eliminarea cat mai eicienta a zgomotelor timpul de colerare trebuie sa ie cat mai mare cea ce mareste durata e1perimentelor. onsiderand unctiile de corelatie dintre intrare si iesire procesului in cazul utilizarii semnalului de test sinusoidal se a=unge la uramtoarele dezvoltari> Ruy () = Ruy () = + T + T
+
T
∫
T + T
u (t ) y (t )d t =
+ T
(u (t ), y (t ))
(u k sin(ω k t ), yk sin5ω k t + ϕ (ω k )4 + z (t ) =
(u k sin(ω k t ), u k H ( jω k ) sin5ω k t + ϕ (ω k )4 + (u k sin(ω k t ), z (t ))
%atorita ipotezei de lucru acute si anume necolerarii semnalului de test cu zgomotul cel de al doilea termen este . = +
T
+ T
u
k
∫
H ( jω k ) sin(ω k t ) sin5ω k t + ϕ (ω k )4dt =
Ruy()
=
u k H ( jω k ) cos ϕ (ω k )
0n mod perect simular se a=unge la Ruy () =
u k
u k
Ie5 H ( jω )4
0m5 H ( jω )4
Iezulta deci ca eectul aplicarii te#nicilor de corelatie este obtinerea dircta a c.d.. in coordonate carteziene neaectate de zgomot. Ielatiile obtiunte stau la baza unctiilor unor aparate dedicate numite si transormatoare a caror sc#ema de principu este urmatoarea &e considera in continuare intercorelatia intre raspunsul total si o singura componenta a intrarii. Ryu k (τ ) + T
n
(
∑ y k =+
k
Ryu k (τ )
=
+ T
( y (t ), u (t + τ ))
(t ), u k (t + τ )) +
=
+ T
+ T
=
+ T
( y u (t ), u k (t + τ ) +
( z (t ).u k (t + τ )) ⇒
0ntercoleratia dintre semnalul comple1 si componenta
( y k (t ), u k (t + τ ))
L a intrarii se reduce in ond la intercoleratia dintre componenta u ai intrarii si componenta corespunzatoare iesirii. '1trapolarea rezultatelor in cazul monorecvential dar si pentru multirecvential puatndu-se scrie in consecinta relatiile> u ok Ie5 H ( jk ω . )4 Ryu k (.) = u. k π Ryu k ( )= 0m5 H ( jk ω . )4 k ω .
F
Iezultatele obtinute permit determinarea c.. simultan pentru mai multe pulsatii utilizat cu o singura inregistrare a iesirii in intervalul de corelare 5,M4, dar mai multe corelatoare.
y (t ) =
∑u
k
H ( j ω k ) sin(ω k t + ϕ (ω k )) + z (t ) Cosideratii practice
7legerea timpului de corelare M presupune realizarea compromisului intre calitatea iltrarii zgomotului ( este cu atat mai buna cu cat M e mai mare) si dezavanta=ele introducerii de un timp de e1perimentare prea mare. ;btinerea unei precizii corespunzatoare in cazul in care zgomotul e puternic ( τ sau τ mare se realizeaza pe seama cresterii lui u , cea ce are inluenta mai mare decat cea realizata pe seama cresterii lui P. Consideratii privind calculul functiilor de corelatie f.d.c. .d.c. in general nu pot i calculate utilizand functia densitate de probabilitate ,
avand in vedere ca aceasta unctie e rareori cunoscuta in practica. 7lternativa practica este de a calcula unctia de corelatia temporala pe un interval de timp init in ipoteza ca procesul este ergodic. &e presupune ca se dispune de o realizare al unui proces sto#astic 1(t) pe un interval de M secunde. 0n acest caz unctia de autocorelare poate i estimata sub o corelatie de orma R x (τ ) =
+ T − τ
T −τ
∫
x (t ) x (t + τ )dt , ≤ τ ≤ T , (+)
timpul de mediere este M-τ deoarece aceasta portiune de timp e singura in care 1(t) si 1(tS τ) sunt disponibile simultan. arianta in practica se utilizeaza varianta discreta a relatiei (+) utilizand valorile esantionate ale valorii 1(t). x (u ) = x (u ) − m x
y (u ) = y (u ) − m y xy ( k ) =
+ N − k
∑ x (u ) y (k + n), ()
Ielatia se calculeaza pentru L*-m,T.-+,,+,Tm. daca τma1*mMe se recomanda o alegere a lui τma1U*6/+, (B). (6 lungimea inregistrarii). orelatia se calculeaza cu R xy ( k ) = xy ( k ) + m x m y sau R xy (k ) = xy (k ) + m x . Pentru situatia in care (B) e indeplinita
xy ( k )
=
+ N
N − k
∑ x(n) y(n + k ) n =+
!etoda . ?.d.c. pot i calculate din unctia de densitate spectrala de putere utilizand teorema Vienerinein utilizarea transormatei ?ourier rapide ??M conduce in general la reducerea calculului . 'tapele> +. &e calculeaza transormata ourier 1(L) a secventei 1(i) unde i,L +-N6-+, unde 0 componenta discreta a
, τ N − + ) a (+ − ∆ N R (τ ) = , − a τ >= ∆ N u
timpului L componenta discreta a pulsatiei. G
. &e calculeaza spectrul brut al secventei * densitatea spectrala de putere ! x (k ) lungimea inregistrarii B. &e calculeaza transormata
?ourier
inversa
pentru
obtinerea
x ( k )
N
unctiei
, unde 6*6QM e de
corelatie
−+
R x (n) = ""T ! x (k )
Consideratii privind calculul corelatiei si convolutiei dintre doua semnale 1 $ convolutia intre doua marimi 1 si . −∞
x (t ) y (τ − t ) dt
+∞
=
∫
R xy (τ )
=
y (t )
+∞
∫
=
H xy (τ )
−∞
h(τ )u (t − τ ) d τ +∞
∫
−∞
x(t ) y (t + τ ) dt
Metode de D utili!and tenici de corelatie in ca!ul semnalelor de test stoastice.
'le conduc la o eliminare eicienta a eectului perturbatiilor si la determinarea in general a curbelor neparametrice in special a unctiei pondere. &emnalele aleatoare de medie nula pot i aplicate prin suprapunere peste marimile curente care actioneaza asupra procesului evitandu-se astel intreruperea di unctiunarea normala a procesului. &tabilirea unei legaturi directe dintre rezultatele oerite si modelul neparametric este posibila numai prin cosiderarea unor anumite proprietati prestabilite pentru semnalele de test si in acest caz analiza in domeniul timp sau recventa va reduce tot la o relatie unica intre 0 si ; dar care din cauza naturii aleatoare a marimilor care intervin va i in mod natural o realtie intre marimile statistice care intervin. a marimi curente cunoscute sunt masuratorile semnalelor aleatoare din 0 si ;. "gomotul este deinit numai prin prisma proprietatilor lui statistice. a ipoteza de lucru generala se considera ca atat u(t) cat si z(t) sunt procese aleatoare stationare, gaussiene si ergodice. 0n plus se admite ca marimile sunt centrate. %aca aceasta ultima consrangere nu e saticacuta initial ea poate i satisacuta prin e1tragerea componentei contunue din semnalul respectiv ∞
y (t )
= ∫ u (t − τ ) h(τ )d τ + z (t )
!arimea de iesire va i deci deasemenea un proces sto#astic stationar si ergodic. ?unctia de intercorelatie dintre 0 si ;>
&e utilizeaza ipoteza de lucru acceptata si anume ca zgomotul din iesire nu este corelat cu semalele de test. 7peAand la propritatile de lunuaritate a integralelor se poate scrie H
T + R uy (τ ) = ∫ h(Θ) lim u (t )u (t + τ − Θ) dt d Θ ∫ T → ∞ T
∞
∞
R uy (τ ) =
∫ R
u
(τ − Θ )h (Θ) d Θ
∞
R uy (t ) =
∫ R
u
(t − τ ) h (τ ) d τ , (B)
Meorema /iener-opf in domeniul timp. 0i aplicam transormata ?ourier si vom avea ! uy ( jω ) = ! u (ω ) H ( jω ), ( C) ecuatia /iener-opf in domeniul recventa. B si C constituie ecuatia Wiener-#op ! y (ω )
=
H ( jω ) ! u (ω ), (D)
relatia B este similara relatiei + in ccare in loc de marimede iesire apare unctia de intercorelatie 0-; ,iar in loc de marime de intrare apare unctia de autocorelatie a intrarii. &imilar, pentru relatia C sin someniul recventei in locul marimilor de iesie apare densitatea intespectrala de putere iar in locul intrarii densitatea spectrala, deci practic se poate spune ca realtia B si C sunt similare ceLir care stabilesc legatura intre marimile de iesire si intrare pentru & liniare. %roblema care se pune e determinarea modelelor neparametrice cunoscand functiile de corelatie respectiv frecventa, exista deci doua posibilitati de abordare
! u (ω ) = +
⇒ ! uy ( jω ) = H ( jω ) ! uy ( jω ) H ( jω )
+. pe baza masuratorilor intrarii si iesirii se determina unctiile de corelatie si se rezolva ecuatia B in sensul determinarii necunoscutei care este unctia pondere #(t) . consta in determinarea unctiilor de densitate spectrala si rezolvarea ecuatiilor obtinandu-se solutia in domeniul recventelor au orma caracteristica de recventa.
Metoda deconvolutiei
0nroduc datele de 0 si ; intr-un loc de calcul pentru calculul I u,I u T r
Rut (τ )
= ∫ h(t ) Ru (τ − t )dt
discretizand cu pas constant si introducand notariile I u(t)*I u(L)
Φuy = ∆Φu H
+
Ruy (k ∆) = ∆
N
∑=
h(i∆) Ru 5k − i)∆4, k = → N relatia
reprezinta de apt un & de nS+ ecuatii cu nS+
i
necunoscute care reprezinta secventa de ponderare. %etaliind relatia pentru L*,6 se a=unge la ecuatia vectoriala matriciala de orma
+ Ruy () + R (+) − uy = a s N .. .. R ( u ) uy + − N Ruy () Ruy (∆) Ru (o) R (∆) . u . = ∆ . R ( N ∆) . u R ( N ∆) uy
Ru (−∆ )
.
Ru ()
.
.
.
Ru ( N − +)∆
.
−
+ N
..
+
..
..
..
..
..
+ N h() + − h(+) N + ..
−
−
N h( N )
+
h( ) h(∆) Ru ((+ − N )∆ ) . . . Ru () h( N ∆) Ru (− N ∆)
Φ uy = ∆Φ u H
+ N −+ Ruy (k ∆) = ∑ u(i∆) y(i + k )∆ N + k =. + N −+ Ru ( k ) = u (i∆) y (i + k )∆, k = . → N − + ∑ N + k =. 0ntervalul de stabilizare pe care se ace corelarea 6 + este N intervalul de stabilizare 6 H = ∆−+ Φ #−+Φ uy , (D)
valoarea ecuatiei matriciale. alculul inversei ui u implica multe lucruri din punct de vedere al calculelor. &olutia practica avand in cedere ca elemtele matricei u reprezinta unctiile de autocorelatie il constituie alegerea ca semnal de intrare a unui semnal care sa aduca simpliicari ormei matricii u. 0tili!area cu semnal de test a !"omotului alb.
r
N +
∑ ∑h
j , e
(u ) Ru j u p ( n − k )
j =+, j ≠ p k = 7ceasta alegere permite evitarea aplicatiilor introduse de necesitatea incersarii matricei u se stie ca pentru zgomotul alb autocorelatia este Ru (t − τ ) = τ nδ (t − τ ) apro1imeaza un impuls dirac.Pentru acest tip de ++
semnal ecuatia Wiener-#op devine> Ruy (τ ) = τ n h(τ ) (E) pentru ca integralele dintr-o unctie a impulsul %irac reprezinta valoarea unctiei in acel punct. *N deci ca in cazul aplizarii zgomotului alb in intrare masura unctiei de intercorelatie 0/; duce la determinarea directa a ortei pondere. τ u , k = i = ⇒ Φ n = τ n i (F) 0n cazul discret autocorelatia , k <> i 0mp> impulsul %irac in discret e de inaltime +, iar in M e de arie +. 0n cazul combinatia dintrre D si F Ru (k − i)
induce ca concluzia ca
h (i )
=
+
τ n
Ruy (i ) (G),
0*,6 in care e considerat unitar. &c#ema de principiu care
permite determinarea unui punct al unctiei pondere discrete este urmatoare ?M are ca eect medierea in timp. 7vem banda ingusta, iesire lui e reprezentata de componenta continua din intrare. 0n cazul in care zgomotul din intrare este un zgomot alb ideal, asupnenta continua a iesirii iltrului va i egala cu unctia pondere evaluate printr-un τ i1at de dispozitivul de interziere.
Φ u −+ =
+ a +
+−
N
+ .. +
+
..
+
..
+
..
..
+
..
..
0n domeniul recventa implicatia utilizarii zgomotului alb conduce la Iu(τ)*δ(τ) 0tili!area ca semnal de test a unui *%A
'1presia analitica a autocorelatiei &P79ului Iel. (+)> 7pro1imarea cu un impuls. 7ria a autocorelatiei e cu atit mai recventa cu cat 6NN este mai mare si ∆Uτ. Iel()> 0n acest ipoteze *N rel(+) este corecta cu apro1imatie suicienta. 0n practica se utilizeaza mai multe periode ale &P79-ului unctia de autocorelatie pastrand periodoXicitatea semnalului. onsiderand in acest ecuatii matriciala () care reprezinta un & de nS+ ecuatii la semnal de test un &P7b si acandconventia de notatie Iu(i∆)*Iu(i), #(i∆)*#(i), ec. !atriciala () se poate descrie. Iel(B)> Minand cont ca avem un &P79 vom avea pe diagonala + scotand ca actorul a , Iu()*a. ∆-reprezinta intervalul elementar &P79 si in acest timp perioada de esnationare. 6-reprezinta perioada &P79 si in acest timp #(i)≈, iN6 unde 6 este timpul de stabilizare. Obs. Iel(B) este adevarata daca perioada &P79-ului e1cendent regimului trans. . . , incontrar putand sa apara una din urmatorului situatie> a)0n cazul in care 6* durata regimului tranzitoriu dar in acelasi timp 6N perioada &P79-ului se a=unge la o complicare a rel. (B) in Φu in sensul ca trebuie tinut cont de aptul ca periodicitatea unctiei de autocorelatie a &P79-ului ai conduce la aparitia a doua sau mai multe unctii de autocorelatie in unctie de τ sau mai multe perioada luate in considerare. b) daca 6 este perioada &P79 dar mai mica decat durata reg. . . . apar erori datorate trunc#ieri ortate utilizanduse din reg. Mranzitoriu doar o portiune coresp. %uratet 6, pierzandu-se elementeAe secventei de pondere. . c) daca 6U durata reg. Mrans. %ar ,mai mare decat perioada &P79 se cumuleaza eectele ambele cazuri. *+/∆QΦu-+Φu (C) +
&e observa ca matricea Φ in acest caz este o matrice nedegenerata adica suma elementelor unei linii este * cu suma elementelor orice linii, calculul inversei acandu-se in acest caz prin evitarea calculului ad=unctei. 7ceste transormari pe iedeisalate cu Q matrici cu niste matrici patrate de acelasi ordin succesiv> M:ML-+ . . M+Φu*0. R yeu p (n) =
u+
∑ k =
N +
r
∑ ∑h
h p ,$ (k ) Ru p (n − k ) +
j , e
j =+, j ≠ p k = r
Y e (i)
=∑ j = +
N +
∑h
je
(u ) Ru j u p ( n − k )
(k )u j (i − k ) + z e (i)
k =
%aca toate transormarile elementare eectuate asupra liniei care aduc matrice negenerata Φu la matricea identitate 0 sunt aplicat in acest succesiune liniii, 0 se va obtine in inal Φu-+* M:ML-+ . . M+0 &uccesiunea generatiilor pentru cazul studiat> +)8a aduna toate liniile la prima linie obtinandu-se pentru iecare element a acestei linii aceasi valoare. RY e u p (u ) =
r
N +
∑∑ h
je
j =+ k =
(u ) Ru j u p (u − k ) + Ru p z p ( n)
)8e imparte prima linie cu valoarea elementelor acestei linii care e in general +-(6-+)/6. B)&e inmulteste prima linie cu +/6 si se aduna la toate cellalte. C)&e impart toate liniile in aara de prima cu +S+/6 dupa care se scade suma celorlalte linii din prima R yeu p (τ )
N +
= ∫ .
h p ,e (t ) Ru p (τ − t )dt +
linie. D)&e a=unge in inal dupa inca o divizoare a pentru matricea din stanga duce la 0, iar la metricea din dreapta*NΦu-+ in urm. orma> ?Ielatile inale la care se a=unge inlocuind e1prersile Φu-+ obtinuta in e1presia ecuatiei matriciale, pentru h( k )
=
+ 5 Ruy ( k ) + a ∆
n −+
∑ R
uy
i =
(i )4A
6 suicient de mare care conduce la posibilitatea negli=arii lui +/6, descrie. L*, n-+ A pentru &P79 (S/-a) + + N −+ h( k ) = 5 Ruy ( k ) − Ruy (i )4A a N N i = .
∑
pentru &P79 (Sa, )A aloarea minima a dispersia estimatiei valorilor secventei de pondere se obtine in cazul valorii ma1ime admisibile cu parametrii ∆, a, 6. alorile acesta parametri sunt limitate insa superior . ;data de respectarea teoremei lui &#annon a pi
=i
N r
esantionarii care aecteaza parametrii ∆, apoi de necesitatea de a perturba prea puternic procesul care implica prea mult parametrul a, apoi implica costului identiicate, apoi a gradului pentru semnalul de test nu se ace insa decat reuniunea conditiei de precizie reeritoare la perturbatie cu cele privind ∂ % , ∂ % = ⇒ ∂a ∂b
caracteristicile procesului pentru iecare caz in parte. 0n concluzie considerandu-se un &P7b (S/-a ) si de lungime 6 alegerea parametrilor lui se ace in principal in elul urm> 6NNa, in acest caz &P79-ul este +B
practic centrat, deci a/6≈, iar unctia de autocorelatie se prezinta sub orma unei succesiune de impulsuri periodice. 6NMr, amplitudinea a trebuie aleasa a. i. sa nu perturbe unctionarea & dar pe de alte parte sa ie totusi suicient de importanta pentru ca ectul secventei sa nu ie inecat in gomot. ∆ UUMmin unde Mmin reprezinta cea mai mica constanta de timp a &. ecomandari practice re!ultate din anali!a influentei fenomenelor ne"lijate
onsiderarea calculului unctieide corelatie presupune implicit ca semnalul este aplicat teoretic la un timp m ∂ % = −∑ ( yi − a − bui ) = ∂a i =+ ⇒ m ∂ % = −∑ ui ( yi − a − bui ) = i =+ ∂b
t*-∞, ceea ce in mod clar nu este cazul in practica. Pentru evitarea acestei aspect in practica se obtine sa se aplice o prima perioada a secventei &P79 ara eectuarea calcului intercorelatiei care se incepe eectiv cu cea dea dorea prioada a secventei. Mermenul Iuz(L) pentru a putea Φ neli=abil ar terbui sa ie calculat pe o durata ininita si nu de-alungul unei perioade, arandu-se in vedere ca zgomotul nu reprezinta o marime periodica. Practica dovedeste ca , duce pentru un nivel ridicat al zgomotului se obtine estimatii bune a unctiei pondere rezultatele putand a i imbunatatite calculuiintercoleratia0/; pentru un numar intreg de perioade. de asemenea in considerarea relatilor precedente s-au negli=at lergirea impulsului negativ calculul primului punct al secventei de pondere estimate #() a carei estimarea unui actor de pondere*+/. D prin metode do corelatie a sistemelor multivariabile
!odele prezenate in cadrul sistemelor &0&; pot i ingeneral e1trapolate si pentru cazul !0!;.
?iecare inrare are inluenta asupra iecarei iesiri. --ig. &istemul asuporta de apt r. m cai de transer deci practic vor trebui determinarea 3b tot atatea unctii pondere. Procedura de 0% este aceeasi ca in cazul &0&;. onsiderand ca see aplica un semnal de test de tip &P79 prin corelatie celor m iesiri cu r intrari va*N un numar de rQm ecuatii V-6 din care se vor putea determina unctiile pondere #i=(t) tot in numar derom. &e lucreaza din nou in ipoteza de liniaritatea, deci este valabil prin apiul neperpositiei, deci unctiile pondere #i= pot i determinate aplicandu-se un &P79 pe iecare intare succesive i calculand intercorelatia ni
m
∑ y i =+
i
= ma + b∑ ni i =+
u'dintre iecare iesire,
respectiv intrare. ; astel de procedura este consumatoare de timp si ipoteaza de stationaritate poate i insa incalcata. %ezavanta=ele timpului de test poate i inlaturate utilizand alternativa 0%. simultan a tuturor unctiilor pondere utilizand metoda testarii cu semnnal sto#astice necorelate aYplicarea concomitent tuturor intrarilor si determinarea unctilor de interconectare corespunzatoare> m
m
m
∑ u y = a∑ u + b∑ u i
i =+
i
i
i =+
i
i =+
pentru interconectare dinter iesirile Ze si interconectare up se a=ungela>
∑ (ui − mn )( yi − m y ) b = ⇒ ∑ (ui − mn ) a = m − bm y n +C
unde #=e(u)- reprezinta unctia pondere dintre intrarile = si iesirile l in sensul igurii reprezentate anterior. 0n ipoteza de lucru considera, potrivit careia perturbatii nu sunt corelate cu marimile de intrare, cel de-al -lea termen poate i negli=at *N rel. precedenta devine> &crie sub orma continua> %reci!ari > 6+ reprez. timpul de stabilizare cel mai lung pentru cunele marimi m in cazul in care acest timpi de stabilizare pentru toate cele rQm canale nu diera apreciabil, se alege o valoare acoperitoare utilizabil in rel. prercedenta. Pentru a se putea aplica rezult. precedente din cazul monovariabil in vedere
+
r
∑ ∫
j =+, j ≠ p
N +
h j ,e (t ) Ru j u p (τ − t ) dt
det. lui #p, e(L) resp. #p, e(t) se impune ca semnalele de intrare sa stisaca urm. conditii> +. ?unctia de autocorelatie Iup(. ) sa ie de tipul impuls %iracA . ?unctia de intercorelatie a intrarii Iu=, up(. )* pentru =UNpA Posibilitatii de generare ale unor astel de intrari 7. Posibilitatea comoda de a obtine intr. necorelate consta in utilizarea unui &P79 de perioada 6 care se intarzie ppentruiecare intr. ui cu un indice pi adica ui(t)*u(t-pi) i*+, rA iar ui(t) reprez. un &P79 de reerinta. 7ceasta intarziere se poate calcula> &e poate demonstra ca daca 6/rN*6+, semnalul de tipul mentionat. !etoda de regresie au ca scop determinarea unei dependenta unctionala de tipul> Z*(u+, . . up). Pe baza unor masurari ara restrictii asupra lui , dar in general se doreste ca sa apartine unei anumite clase. 7leganduse o astel de clasa si minimozand crit. ale eror celor unei patrate se poate a=unge la curbele de regresie. 0n det. e1perimentala ale val. unor mar. sau mai multe masuratori nu vor da niciodata e1act aceste val. , orice de e1act s-ar eectua masuratorile. 0mpartire rezultatului in =urul unor val. medii e datorat perturbatiei masuratorilor si obt. acest rezultat in urma masuratorilor ar i c#iar neireasca. Materialul statistic care urmeaza a i preluat analizei regresiei trebuie sa indeplineste anumite conditii.
+. Pentru un anumit set de val. variatia indeplineste (u+, u, . . ur) un e1periment repetat de ! ori, va da ! val. aleatoare pentru unctia de iesire, val. care trebuie sa ie normal distribuit, astel> . erorile sistematice din cadrul det. lui se considera e1cluseA B. !asuratorile se considera de egale precizie C. ariabilele indep. u+, u, um se masoara cu erori mai mici decat erorea de masura a lui --ig. oe. de regresie se pot determina mai multe metode cum ar i> metoda celor mai mici patrateA met. de gradientA met. apro1im. sto#astice. %ar in cele mai multe situatie nr. de ecuatie de care se dispune eN decat nr. de necunoscute sau nr. masurat lui N nr. de parametrilor sau coeicientilor care trebuie determinata in ec. de regresie. 0n aceste situatii metoda celor mai mici patrate e cea mai des utili!ata 454C&0
&e va studia o legatura corelationala intre marimi u, ale caror valoarea masurate sunt de urmatoare tabel> u> +BD +CD . . . +CE > H, B BD, . . . BG, Pentru a se alege cea mai buna orma a liniei teoretice de regresie se construieste campul de coord. pentru iecare perec#e de val. ui pentru toate cele + masuratori> --ig. %in modul de amplasare a punctelor in planul de corelare(u, ) se poate observa ca dependenta dintre u si se poate apro1ima cu o dreapta care e1prima o rel. de dependenta lineare care poate i e1primata analitic prin corelatie de tipul [*aSbu. Problema care se cere rezolvata e aceea ca din multimea de drepte care se poate trasa, sa se aleaga aceea care coresp. cel mai bine reparatiei punctelor in planul de corelare. +D
Punctele e1primate se vor abate ata de dreapta de apro1imare cu abatere εi*i-[i . !etoda utilizata va i !!P conorm carei se vor studia patratele ale ac. abateri ca suma acestei abateri patratice sa ie minima. &e va cauta un minim pentru adica> *Necuatiile normale ale regresieiA respectiv rezulta unde m*'A 4stimatori. 4stimarea parametrilor parametrilor sistemelor. +ormali!area problemei estimarii parametrilor
7ceasta problema poate i caracterizate de B elem> date %A nodele !A criteriu A 0n acest conte1t, problemele 0%. in general si a estimarii in special consta in determinarea unui model din ! care sa =ustiice cat mai bine coleratia de date % in sensul criteriului ales . oleratia de date % reprezinta secventa de valoare intrare-iesire. Ku(t), (t)J, t*+, 6 generate de un sistem & in conditii e1perimentale '. onditia e1perimentale precizate modul in care se genereaza semnalul de test. 0poteza ca sistemul & care genereaza colectia de date % apartine colectiei ! coresp. puncutlui de vedere ca e1ista un & real caract de param θ, scopul estimarii iind sa descopere acest &. 0n procesul de estimare a param nu e1ista garantii ca modelul cu structura si param alesi reprez cea mai buna alegere. &e poate intimpla ca e1perimentul sa i ost astel proiectat incit sa nu asigure e1tragerea ino corecte din colectia disponibila de date sau clasa de modele sa nu i ost corespunzator aleasa. !odelul determinat trebuie testat,procedurile de testare iind cunoscute sub denumirea de validare a modelului. ;btinerea param considera parcurgerea urm etape(estimarea se des. conorm unei sc#eme bloc de orma)> %eci problema care se cere rezolvata este de a determina o unctie de observatii θ \ = θ \(u (+), u (),..., u ( N ), y (+),..., y ( N )) = θ \ (u T , y T ) care sa reprezinte o apro1imare cit mai buna a lui θ.?unctia θ \ (Q,Q) poarta denumirea de estimator iar val numerica pe care o ia o astel de unctie pt un u respectiv precizat poarta denumirea de estimat sau estimatie. Problema poate i reormulata in elul urmator> sa se det estimatul θ \ al vectorului θ al param procesului pe baza obs masuratorilor eectuate asupra lui u si .%istinctia dintre dieritele tipuri de estimatori se ace in principal dupa cunostintele disponibile apriori. %e e1 aceste cunostinte pot i e1primate prin unctia de densitate de probabilitate. p( θ \ ,M),p( θ \ ,L) care deinesc o amilie de curbe parametrizate dupa lungimea intervalului de estimare M sau ec#ivalent dupa numarul L al intervalurilor de esantionare. -astel putem avea urm situatie> Caracteristicile estimatorilor 0n general insa unctiile densitate de probabilitate care dealtel rerpezinta tipul cel mai complet de cunoastere de care se poate dispune este rareori disponibila si pt cazurile θ \ N utilizarea ei directa devine greoaie.0n general se opereaza cu caracteristici mai usor de interpretat si de operat cum ar i> media de ord 0 sau speranta ' θ \ sau '( θ \ ).!arcarea sau devierea ' θ \ - θ. ovarianta sau media patratica de ord 00>cov θ \ *'K( θ \ -' θ \ )( θ \ -' θ \ )MJ. ;bs> daca unctia P este gaussiana(normala) nu se pierde nici o sol medie sau covarianta,asigurindu-se in vedere ca aceste unctii sunt complet caracterizate prin mediile 0,resp 00. &e observa ca marcarea/devierea reprezinta o masura a inluentei zgomotelor asupra indepartarii val. medii , deci θ articulat va i mai departe sau mai aproape de val reala θ in unctie de realizarea de zgomot din e1perimentul pe baza caruia a ost obtinuta estimatia.Rn estimator este nemarcat sau nedeviat daca marcarea*, daca ' θ \ *θ (∀)6 (+). Pentru rel + satisacuta doar pt un nr. mare de esantioane, doar pt 6 →∞ se vorbeste de estimator asimptotic nedeviat sau nemarcat.;bs> prima ig.(p( θ \ )) coresp unui estimator nemarcat, al ii-lea graic corsp unui caz de estimator marcat dar posibil asimptotic nemarcat. %aca ∃ relatia> ] ] ] cov θ \ *'( θ \ -θ)( θ \ -θ)M≤ '( θ -θ)( θ -θ)M*cov θ () se spune ca θ \ reprez un estimator mai bun a lui θ ] ] decit θ si daca rel este adevarata pt ∀ θ se spune ca θ \ este un estimator de dispersie minima. 0n mod θ \ = θ (B) unde 6- nr de esantioane, unde un iresc apare ca o necesitate minima pt un estimator ca N lim →∞ astel de estimator e cunoscut sub dennnumirea de estimator consistent. Rn astel de estimator nu va i in
+E
mod necesar nemarcat dar va i asimptotic nemarcat.Iel B trebuie privita in sensul unei convergente sto#astice, reiltrare la procese sto#astice. iteva din modurile esentiale de deinire a convergentei sto#astice> onvergenta cu probabil + → .P.+.%aca si numai daca realizarile pt care θ \ nu tinde catre θ au masura . Kp(ω, θ \ →θ)*+J.ω descrie realizarea onvergenta in probabilitate $ se spune ca θ \ converge in probabilitate la θ daca si numai daca pt. ∀ ε> p(^ θ \ − θ ^> ε ) = . . dar arbitrar de mic N lim →∞ onvergenta in sens mediu patratic (smp) se spune ca θ \ converge in smp la θ daca si numai daca lim ' ^ θ \ − θ ^ = .
N →∞
;bs> . si B. sunt concepte globale (se reera la ansamblul realizat) spre deosebire de .P.+. ∃ o rel discreta intre volumul de cunostinte apriorice disponibile si cunostinta cea mai indicata pt estimarea param, astel o enumerare a tipului de estimator unctie de nr de cunostinte apriorice disponibile initial este urm> 'stimatorul !!P>-singura presupunere in ac cos este ca dinamica procesului poate i apro1imata mai bine prin modelul alb. 'stimatorul !arLor (de dispersie minima), pt. care se presupune ca se cunoaste din start matricea de convarianta a zgomotului 'stimatorul erosimilitatii ma1ime care este cunoasterea unctiei densitatii de verosimilitate a procesului sto#astic. 'stimatorul 9aes pt care se presupune cunoscuta unctia densitatii de probabilitate a parametrilor necunoscuti Plecind de la estimatorul 9aes se pot deduce toti ceilalti estimatori ca niste cazuri particulare pe masura ce se considera cunostinte apriorice disponibile mai putine. 0n cazul discret >;peratiile de prelucrare a datelor sunt de cele mai multe ori discrete,utilizindu-se calculatoarele. !odele discrete*mai le1ibile decit cele continue, operarea cu aceste tipuri de modele iind mult mai simpla. !'M;%7 !!P(celor mai mici patrate) a)Pt cazul monovariabil> 6om considera un model discret: y (t ) = −
na
∑
a i y (t − i ) +
i =+
nb
∑ b u (t − j) + z (t ) (1) j
j =+
t = timpu$ dis)ret norma$izat 7(Y ) y(t ) = B(Y )u(t ) + z (t ) na nb Rnde> −i − − j ( ) 7(Y ) + A ( ) = = + = z t z(omot a q B q b q ∑ ∑ i j i= j = -+
-+
-+
+
+
+
Problema care se doreste rezolvata consta in determinarea parametrilor Ka i b =J din masuratori ale marimilor de 0/;. om aborda varianta ;??-806'> det. parametrilor se ace preluind simultan intregul sir de masuratori.0poteze de lucru>na,nb se presupun cunoscute.0n general relatia se considera na*nb*n.%aca na si nb se considera necunoscute se va trata separat.z(t)-zgomotul poate i ocmplet caracterizat de momentele de ord 0,resp 00, prin matricea de medie,respectiv prin matricea de convarianta.%aca zgomotul este _aussian ⇒ nu se pierde inormatia prin restringerea la cele momente. !edia de zgomot*medie din secventa de zgomot, considerate la diverse momente de esantionare 'zM*'5z(+),z(),T,z(6)4 .!atricea de coonvarianta*medie patratica de ord 00>
+F
'zz
T
'z(+) z(+)......... 'z(+) z( N ) ....................................... = R = ........................................ 'z( N ) z(+)........ 'z( N ) z( N ) *
&e vor considera urm ipoteze de lucru asupra zgomotului>-valorile lui z(t) din rel + sunt> mutual independente uniorm distribuite de medie K'z(t)*J si densitatile de probabilitate ale secventei se cons gaussiene. %eci aceste proprietati conduc spre considerarea zgomotului ca iind zgomot 789 %iscret> { 'z (t ) z (t − r ) = , r ≠ A r , t = +, N J (B) ;9&> 0poteza ca densitatea de probabilitate este de tipul _aussian este o ipoteza necesara in determinarea metodei !!P,ea serveste insa la dezvoltarea unor relatii de baza si la introducerea estimatorului de
intrarea u varianta minima."gomotul se considera deasemenea necorelat cu
si K'z(t)u(t-
iesirea determinista ( v r)*J-N corelatiaA cu r = ., N A t = +, N si deci K'z(t)v(t-r)*J cu r = ., N A t = +, N . 0n ipotezele B considerate matricea de covarianta a zgomotului avea orma>
∆0* dispersia recventei z(i) ?orma matricii de convarianta devine mai simpla daca se presupun valori identice ale dispersiei la toate momentele de masura, ceea ce inseamna ca>KI z*∆0J si care corespunde ormei normale a !!P. Iel D indica aptul ca masuratorile sunt eectuate cu aceeasi precizie pt toate momentele de timp considerate.7ceasta ipoteza concorda cu cele mai multe sit practice. %aca nu se poate acorda aceeasi incredere tuturor masuratorilor,dar se poate pondera aceasta incredere se intrebuinteaza 0 cu o matrice V de orma diagonala.0n cazul mai general, adica daca erorile de masura sunt mutual-dependente, aceasta matrice de ponderare V trebuie sa ie de orma general patratica (daca ipotezele B nu sunt satisacute)> ?orma generala> 7(Y -+ ) y (t ) = B (Y -+ )u (t ) + z (t ) . !odelul + poate i rescris intr-o orma de regresie liniara intr-o urmatoare orma consacrata> (+)> y (t ) = −
na
nb
∑ a y (t − i) +∑ b u (t − j ) + z (t ) ⇒ y(t ) = s i =+
⇓ ⇓
i
j =+
T
j
()
(t )θ + z t
⇓ ;bservatia* semnal S zgomot
θ*vectorul parametrilor θM*5bn,an,T,b+,a+4A sM(t)*5u(t-n),-(t-n),T,u(t-+),-(t-+)4 Pt t* +, N , ec E reprezinta un sistem de ec algebric liniar care pot i rescrise intr-o orma compacta vectoriala matriciala>Z*&θS" (F) +G
Y T = [ y(+), y(),..., y( N )] T * = z[ (+), z(),..., z( N )] u(+ − n),− y(+ − n),..., u(),− y() ! = ............................................. u N n y N n u N y N 0n care ( − ),− ( − ),..., ( − +),− ( − +) T s (+) s T () ! = → !atricea obs sau masuratorilor ....... T s ( N ) 7(Y-+)(t)*9(Y-+)u(t)Sz(t) (t)* - ai(t-i)S b =u(t-=)Sz(t)
(ua*u b*n)
&e rescrie nucleul sub orma> (t)*sM(t)θ S z(t) (E) _bs * semnal S zg θ - contine param. de estimat ai modelului (a i si b =) &e poate alege θ de e1.> θM*5bn,an,T,b+,a+4 si de aici ⇒ sM(t)*5u(t-n), -(t-n),T,u(t-+),-(t-+)4 ; orma ec#ivalenta de scriere poate i obtinuta printr-un set de n masuratori> Z*&θ S " (F) (ec. !atriciala a modeluluide regresie) ;9&.> acest mod de a alege param. nu este unucA de e1. restul parametrilor ar putea i ales θM*5a+, T,an,b+, T,bn4 rezultând pt. acest caz o altă ormă a spectrului măsurătorilor> sM(t) * 5-(t-+),T,-(t-n),u(t-+),T,u(t-n)4 !atricea observaţiilor devine în acest caz> &* %in considerente statistice numărul 6 al măsurătorilor trebuie să ie mult mai mare decât 6umărul total al param. de estimat, adică 6NNnA &e observă că rel. dintre datele obţ. din măsurători şi param. este o rel. liniară, ⇒ procedura de estimare va i una liniară. 0ntroducând ca notaţie ε(t)*(t) $ sMθ unde ε(t) este eroarea ec. sau reziduul.A ec.(F) poate i scrisă ca ε*Z $ &θ (+), unde εM*5ε(+)T. ε(6)4 este restul reziduurilor. !etoda c.m.m.p. are deci drept scop determinarea celei mai probabile valori ale lui θ. ?uncţia de cost sau criteriul coresp. ormei (+) poate i deinită ca> (θ)*εI -+εM*(Z-&θ)I -+(Z-&θ)M*^^εI -+/^^ (+) unde ^^ ^^ -N norma euclidiană, I -+ $ matrice de ponderareA 'lementele i, = ale acestei matrici indică gardul de încredere care poate i acordat măsurătorilor. `n uncţie de orma acestei matr. &e disting B tipuri principale ale metodei c.m.m.p. I*0 (0-matr. identitate) -N estimatorul !!P +H
I este deinită I*V (V matrice generală poz. deinită). 'stimatorul de. de o astel de alegere este !!PP -N ponderate I*Iz*'zz M `n acest caz calculele conduc la estimatorul de varianţă minimă sau estimatorul !arLov. orespunzător ormei (E) a ec. regresiei se obţine pt. uncţia de cost orma ec#ivalentă> (θ)* TT ε(t) * TT.. ((t)- sM(t) θ) (+) Iel. (+) este o rel. lucrativă. `n acest caz, modelul multivariabil poate i scris> M(t) * - TT M(t-i)7i S TT. uM(t-=)9 =SzM(t) (+B) 7vem nu intrări şi n iesiri. !odelul de regresie devine în acest caz> M(t) * sM(t)θ S zM(t) (+C) onsiderând rel (+C) de la +T6 adică 6 măsurători, se poate a=unge pentru ec. de regresie la orma vectorial matriceală> Z * &θ S " (+D) ?ormele implicate> +(+)TTTTTT.n(+) M(+) Z* TTTTTTTTTT. * TT dim Z * 6 1 n M +(6)TTTTTT. n(6) (6) %acă se alege sectorul parametrilor de orma θM*59n,7n,TTT..9+,7+4 rezultă matricea măsurătorilor> 56,v4 v * n(n Snu) u aceeaşi obs., alegerea lui θ nu este unică. ?uncţia de cost în acest caz devine> TT I*Iz*'QzQz M (t*+T6) ;9&> !odelul de regresie standard menţionat nu reprezintă unica posibilitate de introducere şi aplicare a metodei !!P. 'a poate i dezvoltată pt. oricare model care descrie dinamica & cum ar i de e1. cţ. Pondere, modelul de stare, ec.Verner-:op, etc. 4stimatorul CMM% off-line (solu7ia metodei CMM%)
'stimaţia vectorului param. se obţine minimizând uncţia de cost care este o uncţie a pătratului erorilor (reziduurilor). eea ce se traduce de apt prin determinarea valorilor param. θ care anulează derivatele parţiale în raport cu param. onsiderând uncţia de cost de tipul celei prezentate în cazul &0&;> Z() A I -+*0 &oluţia ec. (Q) ⇒ 8 (*& 9 *)-1*& () Iel. () deineşte estimatorul !!P o-line şi se presupune în general că matricea &MQ& e o matrice nesingulară, deci e1istă inversa. Iel. de calcul a lui () se bazează pe modelul de regresie (E) onsideraţii> () -rel. de bază cu care vom lucra ?orma () a estimatorului !!P e mai puţin convenabilă calculului numeric decât (B). 0mplementarea (B) necesită memorarea matricei & care are dimens. cosiderabile, având în vedere că ea conţine măsurătorile intr. şi ieş. pt. dierite momente de timp, dar o bună parte din analiza teoretică se ace pe baza rel. () care e mai uşor de manevrat. ;9& > !ăsurătorile intr. resp ieşirii vor i centrate înainte de prelucrarea lor în vederea estimării parametrilor în aară de cazul în care e1istăcertitudinea că media perturbaţiilor care au perturbat ieş. în timpul e1perimentelor a ost nulă. azul !0!; Pt. 7cest caz estimatorul !!P oline conduce la o ormă perect similară cazului &0&;. Presupunând că avem un sist. u n ieş. şi nu intr. estimatorul poate i decuplat în nz estimatori care urnizează val. pt. parametrii a n sir cu o singura iesire si nu intrari. 0n plus matricea care trebuie inversata in cazul celor n estimatori care corespund sist. !0!; e aceeasi ceea ce simpliica mult implementarea.
;9& > %aca s-ar cunoaste anumiti param. &i matricile K7 i,9 =J de e1. &-ar considera teta in conormitate cu anumite inormatii apriorice estimatorul !!P care ar rezulta ar i mai complicat si mai putin eicient de implementat numeric. Consideratii privind estimatorul CMM%
TTTTT. *&M(Z-&θ)* unde Z-&θ -N ε - reziduul sau eroarea ecuatiei. &Mε* e o alta orm de e1primare a conditiei de minimizare a unctiei de cost. 'roarea sau reziduul e ortogonala ata de col. matricei de observatie &e noteaza P*(&M&)-+ $ matricea de coovarianta a zgomot. *&M& $ matrice de inormatie θ*(&M&)-+&MZ*P&MZ 'stimatul vectorului parametrilor e dependent de nr. de masuratori disponibile. %esi sist. e considerat invariant deci cu coeicienti constanti. 7ceata dependenta poate i e1primata prin urmatoarea orma de scriere > θ(t)*5&M(t)&(t)4-+&M(t)Z(t) depinde de nr. de masuratori nu si P *matrici pozitiv deinite si simetrice ata de diagonala principala P(t)*PM(t) A (t)*M(t) A P*-+ Iezultatul e e1ploatat in ormularea algoritmilor de estimare bazati pe te#nicile de actorizare. %einind eroarea estimatorului si notind θ*θ-θ θ*θ-θ*5(&M&)-+&MZ-θ*(&M&)-+&M(&θS")-θ*(&M&)-+&M&θS(&M&)-+&M"-θ*(&M&)-+&M"*P&M"*θ 'roarea e o unctie liniara de perturbatii. onsiderind zgomotul de medie nula > '"(t)* si dispersie σ se pot evidentia urmatoarele proprietati > +) 'stimatorul !!P este un estimator nemarcat. dem.> '(θ-θ)*'(P&M")*P&M'"* ) !atricea de covarianta a estimatorului e data de > cov θ*'(θ-θ)(θ-θ)M*'θθM*'P&M"Q"M&PM*P&M'""M&PM*σP&M&PM*σP '""M*σ0 Iezulta ca P e proportional cu matricea ce covarianta a estimatorului. ?actorul de proportionalitate iind dispersia zgomotului. !atricea P e numita matricea de covarianta a estimatorului Curs11
'stimatorul parametrilor în sensul !!PP (ponderate)
'stimatorul în varianta !!P a ost obţinut în ipoteza unei secvenţe de zg. z(t) de tipul zg. a/b. `n cazul mai general al unei secvenţe de g colorat, minimizarea uncţiei de cost va conduce la estimatorul !!PP> − \ Θ = (& V&) & VZ = Z (+) !atricea V de ponderare e în general o matrice pozitiv deinită. &e poate demonstra că în acest caz matricea de covarianţă a estimatorului este> +
M
M
-!!PP
M \ Θ aM -!!PP = a'""
cov
()
I z
unde I z $ matricea de covarianţă a zgomotului %acă V = I −z + ⇒ estimatorul obţinut este> − \ Θ = (& I& ) & VZ (B) care este cunoscut sub denumirea de estimatorul !arLov sau estimatorul varianţei minime sau estimatorul blue (best liniar unbased estimator) ⇒ B e un estimator liniar nemarcat de matricii de covaianţă. minimă> +
M
M
98R'
cov
\ Θ 98R' =
(&
M
−+
I " &
) ≤ cov
\ Θ ∀ altul
!etode online de estimare. 7lgoritmi recursivi +
7lgoritmii de estimare recursivi sunt deosebit de importanţi în conducerea proceselor în special în cadrul structurii de conducere adaptativă. &e presupune că pe baza a t date se obţine vectorul u V
p r o c Θ bloc e sI .ide _ .
\ \ Θ Θ ntif. estimaţi parametrilor şi o nouă măsurătoare la momentul t S +. Pentru a se obţine + trebuie (estima re întreg şirul celor t S + măsurători şi toată inormaţia şi eortul de calcul legate de obţinerea lui prelucrat param) \ Θ se pierd. Problema care se pune> de ce nu se poate utiliza varianta oline@ Iăspuns> timpul de calcul este mult mai mare decât Me (perioada de eşantionare). !etoda online urnizează un str. %e valori (nu o sg. val. ca la metoda oline). !etoda online permite calculul noului estimator prin utilizarea celui vec#i, ţinând cont de ultimele observaţii ⇒ nu trebuie reţinute toate datele obţ. prin măsurători, cerinţele de memorie şi de calcul iind reduse semniicativ. 7vanta=ele utilizării metodei online> - viteza de calcul - posibilitatea colectării de date până la atingerea unei precizii a parametrilor şi dacă proceselesunt lent variante, variaţiile parametrilor pot i urmărite. 'stimarea param. utilizaţi ca date odată pe &t (matr. măsurată până la momentul t), Θ\ , noile măsurători u(t S +), (t S +), toate iind utilizate pentru determinarea Θ\ + bazat pe toate măsurătorile până la momentul t S +. 6oile măsurători se completează cu noul vector al măsurătorilor> &t Zt & t ++ = M Zt ++ = , unde Zt = [ (+) ( t ) ] ( t + +) s t ++ t
t +
t
t
t +
sM t ++
= [ u ( t + + − 6 ) , ( t + + − 6 ) , ]
not
()
&t = & t
Rn algoritm de estimare capabil să calculeze recursiv noul estimat al param. se numeşte algoritm recursiv de estimare. 7lgoritmul îl vom numi în timp real dacă este recursiv şi dacă are proprietatea de a urmări în timp real variaţiile lente ale param. `n contrast cu alg. oline ambele variante de alg. (cel recursiv şi cel în timp real) le vom numi atunci când nu e nacesară deinirea lor e1actă ca alg. de tip online. Ieducerea volumului de calcul şi cîştigul de timp se ace cu preţul unei precizii mai mici aţă de metodele nerecursive. `n general variantele online sunt apro1imaţiile variantelor oline. ?orma generală a unui alg. online este> \ \ Θ → termen de corecţie> el trebuie să ie uşor de calculat şi va avea şirul de măsurători de la + =Θ +∆ + momentul t S + şi momentele anterioare. t +
t
t +
7lg. online al matricii de covarianţă 'stimaţia !!P oline bazată pe t măsurători de intrare ieşire este> & Z −+ Θ\ t = (& Mt & t ) & Mt Zt & t ++ = M t A Zt ++ = t s ( t + +) t (s-a subliniat dependenţa de numărul t de măsurători disponibile). %in de. matricii de covarianţă se poate scrie $ ţinând cont de (+)
(
)
−+ & Mt ++& t ++
Pt ++ =
M & t = & t s t ++ M s t ++
[
−+
]
M M = & t & t + s t ++ ⋅ s t ++ 9 7 9M
−+
&e aplică 2 lema de inversiune matricială 3>
[7 + 99 ] M
−+
=
(
7 −+ -+
− 7 −+ 9 0 + 9 M 7 −+ 9
)
−+
9 M 7 −+ -+
57 S 9%4-+ * 7 $ 7-+9(-+ S %7-+9)-+%7 atunci PtS+ * Pt $ PtstS+5+ S sMtS+PtstS+4-+sMtS+Pt (B) 'stimaţia bazată pe t S + măsurători va i dată de> Zt −+ M M \ Θ & t ++ Zt ++ = Pt ++ [& Mt s t ++ ] ⋅ t ++ = (s t ++& t ++ ) t ++
Rtilizând relaţia (B) se poate scrie> \ Θ t ++
Pt ++ P s sM P = Pt − t tM++ t ++ t + + s t ++ Pt s t ++
M [& t Zt + s t ++ t ++ ] =
= Pt & Mt Zt + Pt s t ++ t ++ − 7&Mt Zt − 7s t ++ t ++ = Pt s t ++ t ++ + Pt s t ++ t ++s Mt ++Pt s t ++ − Pt s t ++s Mt ++ Pt & Mt Zt \ = Θt + − + + s Mt ++Pt s t ++
−
Pt s t ++& Mt ++ Pt s t ++ t ++ + + s Mt ++ Pt s t ++
M M Pt s t ++ t ++ + s t ++s M t ++Pt s t ++ t ++ − s t ++s t ++ Pt & t Zt \ Θt + − + + sM P s t ++ t t ++
−
s t ++s M t ++ Pt s t ++ t ++ + + sM t ++ Pt s t ++
Θ\ t ++ = Θ\ t +
6otăm
: t ++ εt + +
Pt s t ++ ++
=
s Mt ++Pt s t ++
t ++ − s Mt ++Θ\ t
Pt s t ++ + + s Mt ++ Pt s t ++
\ = t + + − s Mt + +Θ t
(C)
(D) matrice de ampliicare
(E)
(C) devine>
ε Θ\ t ++ = Θ\ t + : t ++ t ++ ∆Θ t ++
(F)
&e des. că estimatul corespunzător la t S + eşantioane este egal cu estimatul anterior Θ\ corectat cu un termen proporţional cu + − s + Θ\ . Pr odusul s + Θ\ poate i considerat ca o predicţie a valorii tS+ obţinute olosind estimatul param. Θ\ şi mulţimea măsurătorilor sMtS+. Predicţia tS+ * s MS+ Θ\ este egală cu valoarea corectă tS+ numai dacă este cunoscut modelul e1act al sistemului cu param. Θ\ = Θ\ + şi dacă zgomotul este absent. `n acest caz valoarea corecţiei este nulă. ⇒ estimatorul !!P online este> t
t
+
M t +
M t +
t
t
t
t
t +
Θ\ t ++ = Θ\ t + : t ++ε t ++ −+ : t ++ =P t s t ++ [+ + s Mt ++Pt s t ++ ] !!P − I M Pt ++ = [+ − : t ++s t ++ ]Pt M \ ε t ++ = t++ − s t ++Θ t B
t
\ Θ t
onsideraţii privind implementarea alg. !!P online. &e presupune că în pasul t se dispune de> , Pt, st. 8a pasul t S + se mai obţin (t S +) şi u(t S +). 7nalizăm trecerea de la t la t S +.
pas +> st → stS+ (Θ * 5bn, an, T , b+, a+4) sMt * 5u(t-n), -(t-n), T , u(t-+), -(t-+)4 sMtS+ * 5u(tS+-n), -(tS+-n), T , u(t), -(t)4 pas > &e sacriică câteva elem. din mem. pentru a se memora o cantitate care e olosită în mai multe locuri gtS+ * PtstS+ pas B> PtS+ * + S sMtS+gtS+ pas C>
: t ++
=
g t ++
β+ pas D> PtS+ * Pt $ : tS+gMtS+ pas E> ε + = + − s + Θ\ pas F> Θ\ + = Θ\ + : + ε + t +
t +
t +
t +
t
M t +
t +
t
t +
0niţializarea algoritmilor de estimare online 7legerea valorilor de iniţializare a algoritmilor online în cazul în care acest algoritm converga la valorile adevărate nu inluenţează în mod asimptotic convergenţa, totuţi o bună alegere a valorilor de iniţializare (adică cât mai aproape de valorile inale) va inluenţa în mod decisiv comportarea trazitorie a algoritmului în primul rând în sensul că viteza de convergenţă este mult sporită. 0niţializarea capătă însă un rol important în cazul e1istenţei mai multor puncte posibile de convergenţă. onsiderând algoritmul !!P menţionat, procesul recurent de estimare trebuie iniţializat cu Θ\ ( . ) respectiv P(). ;bs> P() este ] cu matricea de covarianţă a estimaţiei iniţiale Θ\ ( . ) . `n cazul în care nu se dispune de nici o inormaţie apriorică despre această valoare iniţială, atunci o alegere naturală a estimaţiei iniţiale este \ ( .) Θ * (+) Pentru a e1prima incertitudinea mare a acestei iniţializări P() trebuie să aibă elemente diagonale mari. `n mod recvent se alege P() * γ 0, γ NN (). i în acest caz este necesară realizarea unui compromis între alegeWrea lui γ care trebuie să aibe valori mari pentru estimare corectă dar nu oarte mari pentru a nu se produce instabilitate numerică. &e recomandă o alegere γ * +' (t). &e poate demonstra că rel. (+) respectiv () iniţializează corect algoritmul !!P $ I. Meorema> %acă estimatorul !!P $ I a ost iniţializat cu rel. (+) resp. () atunci pentru un γ → ∞ 6 \ ⇒ Θ 6 = ∑ s t s M t
( )
respectiv
t =+
() ()
−+
⋅ ∑ s ( t ) ( t ) 6
t =+
6 P( 6 ) = ∑ s ( t )s M ( t ) t =+
−+
⇒ estimatorul !!P $ I iniţializat cu rel. (+) şi () va avea valoarea corectă (B)la oricare moment de eşantionare 6 NN + pentru γ → ∞. 7lgoritmi în timp real (variante în timp real pentru algoritmul de estimare online) 7lgoritmii recursivi de tipul celor menţionaţi se utilizează în cazul în care param. de estimat sunt constanţi în timp. `n unele cazuri, însă, param. & supus 0% variabil în timp. 7lgoritmii de estimare în care toate eşantioanele (măsurătorile) ut şi t, t * +...6 sunt egal ponderate, nu se pot adapta la această situaţie. `n acest caz (pentru & lent variant) e necesar să se urmărească ∆ param. pe măsura evoluţiei lor în timp. `n aceste cazuri se ataşează actori de ponderare de valoare minimă celor mai vec#i valori observate (valori cu indicele cel mai mic) cu scopul ca cele mai recente măsurători să inluenţeze cel mai semniicativ C
rezultatele estimării parametrilor, cu alte cuvinte eşantionele mai vec#i să ie deponderate în avoarea celor de daYtă mai recentă, a=ungându $ se astel la un algoritm în timp real. '1istă mai multe variante de obţinere a acestui tip de algoritm pornindu $ se de la algoritmii recursivi descrişi de relaţiile de tipul celor prezentate. el mai natural mod de abordare constă în determionarea estimatorului pri introducerea unui actor de ponderare a erorii sau a reziduurilor în e1presia criteriului de minimizat. `n continuare se va considara problema utilizării în timp real a algoritmului !!P $ I considerat, rezultatele obţinute iind direct aplicabile şi în cazul celorlalte metode online. 7stel, în cazul în care param. & sunt variabile în timp, atunci va i natural ca reziduurile (adică erorile ecuaţiei) la momente îndepărtate de eşantionare când parametrii procesului aveau de aptalte valori, să conteze mai puţin decât reziduurile recente. 'stimatul vectorului parametrilor în cazul versiunii în timp real trebuie determinat ca Θ\ = arg min
t
∑= ρ( =) ε ( =) (C)
= +
ρ(=) $ actorul (uncţia) de ponderare (Θ) $ dit. pătratului reziduurilor `n mod recvent ρ(=) * Πα(i), i * =,T,t
( )
t
t
⇒ Θ = ∑∏ α i ε = ==+ i = =
(D)
unde α(i) este ales în uncţie de aplicaţie. Meoremă> 'stimaţia Θ\ ( t ) calculată pe baza criteriului (D) satisace următoarele relaţii recursive> \ ( t + +) = Θ \ ( t ) + : ( t + +) ε( t + +) Θ M \ ε( t + +) = ( t + +) − s ( t + +) Θ( t ) P ( t ) s( t + +) : ( t + +) = α( t ) + s M ( t + +) P( t ) s( t + +) [ 0 − : ( t + +)s M ( t + +) ] P ( t + +) = P( t ) α( t )
( E)
ε(t S +) $ eroare de predicţie a ieşirii :(t S +) $ matricea de ampliicare &ingura deosebire aţă de varianta !!P $ I e prezenţa acestor actori α(t) care poate i ales în anumite cazuri. Iecomandări> Pentru situaţiile în care param. sunt lent variabili în mod continuu se recomandă o alegere α(t)*α, α 5,+4 (∀) t t
(θ) = ∑ α − ε ( =) (G) → criteriul ponderat al sumei reziduurilor patratice. &e poate demonstra că criteriul = t =
= +
(G) utilizează eectiv
+ +− α
măsurători. elelalte măsurători anterioare sunt deponderate puternic. aloarea lui α
depinde de viteza de variaţie a parametrului &. Pentru α * + se observă că algoritmul (E) este c#iar !!P $ I în care toate eşantionele sunt egal ponderate. Pentru α << + cele mai recente eşantioane capătă o pondere oarte mare în deavoarea celor vec#i a căror pondere scade rapid. 'ste cazul variaţiei mai rapide a parametrilor, memoria estimatorului (E) trebuind să ie redusă pentru a se putea urmări variaţia acestor parametrii. &e impune evident un compromis între viteza mare de adaptabilitate, între noile cerinţe pe de o parte şi pierderea de precizie datorată trunc#ierii pe de altă parte. `n acelaşi timp însă un α prea mic conduce la estimaţii cu luctuaţii importante. `n mod uzual se aleg pentru α valori în intervalul 5,HD ÷ ,HHD4. %acă & este invariant este de aşteptat ca α să ie ales egal cu +. `nsă c#iar şi în aceste cazuri ar i avanta=os să se varieze α ca de e1emplu după următoarea sc#emă D
a) α < +, de e1emplu α * .HH pentru primele câteva zeci de eşantioane, t * +,,T,L + şi apoi b) α * + → t * L +S+,L +S,T ,aceasta deoarece reziduurile lui ε(t) corespund unor estimaţii imprecise ale param. datorată unei alegeri imprecise a lui Θ\ ( . ) . %acă α < + convergenţa nu este asigurată, estimaţiile nu converg, indierent câte măsurători se realizează ele vor continua să luctueze având în vedere că în acest caz se vor prelucra
+ +− α
măsurători.
reştera vitezei de convergenţă se poate obţine considerând o alegere a actorului de 7plicaţii ale metodei !!P 'stimarea parametrilor unei secvenţe de ponderare &e consideră un sistem liniar monovariabil ale cărui intrări şi ieşiri sunt măsurate la momentele t * ..L. Problema este de a determina respectiv estima ordonatele uncţiilor pondere pentru momente discrete de timp
( ) = ∑ u ( t − i ) # ( i ) + z( t ) = n
t
i
0poteza de lucru de care avem nevoie este> L >> m (sistem supradeterminat). "gomotul este o secvenţă de medie nulă şi dispersie σ. &e scrie relaţia care reprezintă modelul considerat pentru diverse momente de eşantionare. t * () * u()#() S u(-+)#(+) S T S u(-m)#(m) S z() T t * L (L) * u(L)#() S T S u(L-m)#(m) S z(L) poate i scris în ormă matricială>
( )
( )
( )
( )
( )
u u −+ = L u L Z
R
u −m #
(
)
( )
( )
(
( )
( )
#
z
z + u L − m # m z L
)
Z * R# S z Z * &Θ S z modelul standard %acă se cunoaşte din start că #() * scoatem prima linie. 'stimarea parametrilor ecuaţiilor cu dierenţe pornind de la uncţiile pondere &e consideră ec. cu di. modelul sist. liniar monovariabil. onsiderând un model clasic 7I!7. 7(Y-+)(t) * 9(Y-+)u(t) S z(t) A a * + (t) * -a+(t-+)-T-an(t-n) S b+u(t-+) S T S bnu(t-n) S z(t) Pentru zgomot aceste ipoteze> &e cere estimarea parametrilor ec. cu di. ştiind că e disponibil din măsurători răspunsul la impuls %irac. u() * +, u(t) * pt. t ≠ , L >> n (t) * #(t) * #t `n general () * #() * a+ #+ + # − # + a z(+) = + ⋅ n + b+ # * &Θ S z z( L ) # L − # L −+ # L −n + z b n # & Θ 'stimarea parametrilor ec. cu di. din secvenţe dacă într. ieşire de orma generală dar nealeatoare E
&e consideră acelaşi model ca şi în cazul precedent însă de această dată secvenţa de intrare este una oarecare . . u. . . + . u+ u . . − + = ⋅ L − u u − L − n L −+ L − n L −+
a+ z(+) a n ⋅ + Z * &Θ S z b+ z( L ) b n
7plicaţie> 'stimarea parametrilor ec. cu di. din uncţii de corelaţie a date> nr. de intrări u şi zgomotul z sunt zgomote albe gaussiene. 'c. cu di. e de orma generală> (t) * - a +(t -+) - T - a n(t-n) S b+u(t-+) S T S bnu(t-n) S z(t) `nmulţim ecuaţia precedentă cu u(t - τ) şi eectuând media în timp ţinând cont de aptul că>
(+)
L
I u
( τ) = L ++ + ∑ u ( t )u ( t − τ)
L
I u
( τ) = L ++ + ∑ u ( t ) ( t − τ )
relaţia (+) devine I u(τ) * - a+I u(τ-+) - T - anI u(τ-n) S b+I u(τ-+) S T S S bnI u(τ-n) S I uz(τ)A I uz(τ) * , L >> n () inând cont că uncţia de autocorelaţie e o uncţie pară I u(τ) * I u(τ), putem scrie ecuaţia ()> τ * ..L a+ I u ( . ) I u (+) = & ⋅ a n b + & = I u ( L ) b n Z Θ
− I u ( −+) − I ( L − +) u
− I u ( − n )
()
I u +
(
)
I u L − +
( )
I u ( L − n ) I u n
&criem modelul sub orma &Θ - Z * e &ă se parcurgă această transpunere de problemă pentru estimarea parametrilor uncţiilor pondere (al secvenţei de ponderare) discretă din uncţia de corelaţie. Problema devine de a estima ordonatele răspunsului la impuls a unui sistem monovariabil pentru momente discrete în care u şi z sunt zgomote albe gaussiene, ergodice, mutual independente. a model se poate alege suma de convoluţie (se multiplică ambii membrii u(L - τ) şi se eectuează media $ se a=unge la o ecuaţie V $ discretă).
F
