0.70.
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Puesto que p es la probabilidad del estado de la naturaleza S1 y (1-p) es la probabilidad del estado de la naturaleza S2, tenemos ahora la información del análisis de sensibilidad que nos indica la manera en que los cambios en las probabilidades del estado de la naturaleza afectan a la alternativa de decisión recomendada.
En un principio la administración estimo la probabilidad de una elevada aceptación P(s1) = 0.8. Como resultado se recomendó la alternativa de decisión d3, una vez hecho el análisis de sensibilidad, podemos decirle a la administración de ABC que siempre que p>0.70, la alternativa de decisión d3 se mantiene como optima.
2.5. VALOR ESPERADO DE LA INFORMACION PERFECTA El VEIP es un indicador del valor máximo que convendría pagar por conseguir información adicional antes de actuar, es decir refleja el aumento en la utilidad esperada a partir de contar con un mecanismo de predicción perfecto
VEIP = | VEcIP – VEsIP | •
Si se pudiera contar con un predictor perfecto, se podría seleccionar por anticipado el curso óptimo de acción correspondiente a cada evento
•
Ponderando la utilidad correspondiente a cada curso de acción óptimo por la probabilidad de ocurrencia de cada evento se obtiene el valor esperado con información perfecta (VEcIP).
•
El VEIP puede considerarse como una medida general del impacto económico de la incertidumbre en el problema de decisión.
•
El VEIP también da una medida de las oportunidades perdidas. Si el VEIP es grande, es una señal para que quien toma la decisión busque otra alternativa que no se haya considerado hasta el momento
Supongamos que ABC tiene la oportunidad de llevar a cabo un estudio de mercado para evaluar el interés de los compradores de condominio en el proyecto y proporcionar información útil a la administración para mejorar los juicios de probabilidades y estados de la naturaleza
Para determinar el valor potencial de esta información, el estudio puede proporcionar información perfecta acerca de los estados de la naturaleza, es
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decir suponemos que ABC puede determinar con certeza el estado de la naturaleza que va a ocurrir.
Para utilizar esta información perfecta desarrollaron una estrategia de decisión que ABC deberá seguir una vez que sepa cual es el estado de la naturaleza que va a ocurrir. Una estrategia de decisión es una regla de decisión que define la alternativa que ha de seleccionarse una vez que la nueva información este disponible. Observe que si ABC supiera con certeza que ocurriría el estado de naturaleza: S1, la mejor alternativa es d3, con un pago de $20 millones o S2, la mejor alternativa es d1, con un pago de $7 millones
¿Cuál es el valor esperado de esta estrategia de decisión (VEIP)?. Con base en las estimaciones originales (probabilidades a priori), existe una probabilidad de 0.8 para el estado de la naturaleza S1, en este caso la estrategia de decisión es d3, y hay una probabilidad de 0.2 para el estado de la naturaleza S2, en este caso la estrategia de decisión es d1. Por lo que el valor esperado con información perfecta es VEcIP = 0.8($20) + 0.2($7) = $17.4 millones
En manera general el
VEcIP P(Si)(estrategia de decision de Si)
Recordemos que el Valor esperado sin utilizar la información perfecta (VEsIP) dio como resultado $14.2 millones, entonces la diferencia entre el VEcIP y el VEsIP es el valor esperado de la información perfecta VEIP = 17.4 – 14.2 = $3.2 millones
En otras palabras, $3.2 millones representa el valor esperado adicional que es posible obtener si se tuviera disponible la información perfecta sobre los estados de la naturaleza. Dado de VEIP es $3.2, ABC debe considerar la investigación de mercados como una forma para obtener más información sobre los estados de la naturaleza.
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2.6. ANALISIS DE DECISION CON INFORMACION MUESTRAL Generalmente quienes toman las decisiones empiezan con estimaciones de probabilidad preliminares (a priori), sin embargo para la mejor decisión posible, el tomador de decisiones o administrador pudiera desear tener información adicional sobre los estados de la naturaleza Esta nueva información se puede utilizar para revisar o actualizar las probabilidades previas (a priori), a través de un procedimiento de revisión bayesiano de manera que la decisión final se base en estimaciones de probabilidades mas precisas y actualizadas para los estados de la naturaleza (probabilidades posteriores)
Generalmente la información adicional se obtiene a través de investigación de mercado, pruebas de productos, muestreo de materias primas, etc. A esta nueva información se le denomina información muestral
Suponga que ABC lleva a cabo un estudio de investigación para evaluar la aceptación del mercado y el interés de los compradores en la adquisición de los condominios. Los resultados del estudio de investigación de ABC son. F = Informe favorable de investigación de mercado (es decir las personas entrevistadas muestran interés en adquirir un condominio) U = Informe no favorable (es decir, las personas entrevistadas no muestran interés en adquirir un condominio)
Para llevar a cabo el análisis necesitamos las probabilidades condicionales para todos los resultados de la muestra dados todos los estados de la naturaleza, esto es P(F / S1); P(F / S2); P(U / S1); P(U / S2). Para el problema de ABC tenemos las siguientes estimaciones para las probabilidades condicionales Estado de la
Investigación de mercados
naturaleza
F: Favorable
V: No Favorable
Elevada aceptación
P(F/S1) = 0.90
P(V/S1) = 0.10
Baja aceptación
P(F/S2) = 0.25
P(V/S2) = 0.75
Utilizamos el análisis de árbol de decisiones para determinar la estrategia óptima de decisión para ABC.
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Estudio de mercado
Decisión
Pequeño (d1)
Favorable (F)
2
Medio (d2)
Grande (d3)
Estado de la Naturaleza Elevado (S1) P(S1 / F)
8
Bajo (S2) P(S2 / F)
7
4
Elevado (S1) P(S1 / F)
5
Bajo (S2) P(S2 / F)
No Favorable (V)
3
Medio (d2)
20
Bajo (S2) P(S2 / F)
-9
6
7
Elevado (S1) P(S1 / V)
8
Bajo (S2) P(S2 / V)
7
Elevado (S1) P(S1 / V)
8
Bajo (S2) P(S2 / V) Elevado (S1)
Grande (d3)
5
Elevado (S1) P(S1 / F)
1 Pequeño (d1)
14
P(S1 / V)
9
Bajo (S2) P(S2 / V)
14 5 20 -9
Observe que de izquierda a derecha, el árbol muestra el orden natural o lógico que ocurrida en el proceso de toma de decisiones. Primero ABC, tendrá los resultados de investigación de mercados (F o U), a continuación se tomara una decisión (d1, d2 o d3); finalmente ocurrirá el estado de la naturaleza (S1 o S2).
La decisión y el estado de la naturaleza se combinan para proporcionar la utilidad o pago final. La selección de la mejor rama de decisión equivale a tomar la mejor decisión.
Para desarrollar una estrategia de decisión utilizando el árbol de decisión, necesitamos las probabilidades de la información muestral P(F) y P(U), y además las probabilidades del estado de la naturaleza P(S1 / F); P(S2 / F); P(S1 / U); P(S2 / U), utilizando el procedimiento de revisión bayesiano para calcular las probabilidades condicionales Utilizando el procedimiento tabular del método de bayes para revisar o actualizar las probabilidades previas con base en la información muestral es:
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Probabilidades con base en un informe favorable de investigación de mercados Estado de la naturaleza Sj S1 S2
Probabilidades Previas P(Sj) 0.8 0.2
Probabilidades Condicionales P(F / Sj) 0.90 0.25 P(F) =
Probabilidades Conjuntas P(F Sj) 0.72 0.05 0.77
Probabilidades Posteriores P(Sj / F) 0.9351 0.0649
Probabilidades con base en un informe No favorable de investigación de mercados
Estado de la naturaleza Sj S1 S2
Probabilidades Previas P(Sj) 0.8 0.2
Probabilidades Condicionales P(U / Sj) 0.10 0.75 P(U) =
Probabilidades Conjuntas P(U Sj) 0.08 0.15 0.23
Probabilidades Posteriores P(Sj / U) 0.3478 0.6522
Una vez que hemos calculado las probabilidades actualizadas (con la información muestral) podemos utilizar el enfoque de valor esperado para determinar la estrategia óptima de decisión, para esto trabajamos hacia atrás por el árbol de decisión: Pequeño (d1)
Favorable (F)
P(F) = 0.77
2
Medio (d2)
Grande (d3)
4
VE(d1) = 0.9351(8) + 0.0649(7) = 7.935
5
VE(d2) = 0.9351(14) + 0.0649(5) = 13.416
6
VE(d3) = 0.9351(20) + 0.0649(-9) = 18.118
7
VE(d1) = 0.3478(8) + 0.6522(7) = 7.348
8
VE(d2) = 0.3478(14) + 0.6522(5) = 8.130
9
VE(d3) = 0.3478(20) + 0.6522(-9) = 1.086
1 Pequeño (d1)
No Favorable (V)
3
Medio (d2)
P(V) = 0.23
Grande (d3)
-
2do. Como el administrador quiere maximizar la utilidad esperada, se debe escoger la rama que maximiza cada nodo de decisión: o
La decisión optima del nodo 2 es d3 con un VE de 18.118
o
La decisión optima del nodo 3 es d2 con un VE de 8.130
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-
3ero. Continuamos trabajando hacia atrás para determinar el VE(nodo 1), este nodo tiene 2 ramas con probabilidades que corresponden a los resultados de la información muestral F y U. Debemos utilizar estas probabilidades para calcular el VE(nodo 1) o
VE(nodo 1) = (0.77)VE(nodo 2) + (0.23)VE(nodo 3) = 0.77($18.118) + 0.23($8.130) = $15.82
El VE(nodo 1) = $15.82 es el valor esperado de la estrategia optima de decisión si ABC lleva a cabo el estudio de investigación de mercado y utiliza la información para determinar el tamaño recomendado del complejo de condominios. Note que ABC aun no ha determinado la decisión del tamaño del complejo. Para determinar una decisión ABC necesitara saber los resultados de la investigación de mercados:
Si la investigación de mercado
Entonces construir
es favorable (F)
Complejo grande de condominios (d3)
no es favorable (U)
Complejo mediano de condominios (d3)
En vista que el VE(con información muestral) es $15.82 millones y el valor esperado sin información muestral (VEsIM) es $14.2 millones, el valor esperado de la información muestral (VEIM) = 15.82 – 14.2 = $1.62 millones. En otras palabras $1.62 millones es el incremento en valor esperado que se basa en la información muestral.
En forma general, el valor esperado de la información muestral es: VEIM = | VecIM – VEsIM | Donde: VecIM = Valor esperado con información muestral VEsIM = Valor esperado sin información muestral En caso de problemas de minimización, el VEcIM ≤ VEsIM
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2.7. EJERCICIOS PROPUESTOS 2 1. Se tiene la siguiente tabla o matriz de pagos Estado de la naturaleza
Evento Acción
E1:
E2:
E3:
Guerra
Paz
Depresión
A1: Valores especulativos
20
1
-6
A2: Bonos de alto grado
9
8
0
A3: Bonos
4
4
4
a. Construya un árbol de decisión b. Aplique todos los criterios de selección no probabilísticos: Optimista, conservador y de arrepentimiento mínimas. Que enfoque prefiere usted.
2. La siguiente tabla o matriz de pagos muestra las utilidades para un problema de análisis de decisión con 2 decisiones y 3 estados de la naturaleza Alternativa
Estado de la naturaleza
de decisión
S1
S2
S3
d1
250
100
25
d2
100
100
75
a. Construya un árbol de decisión para este problema b. Cual es la decisión recomendada utilizando los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento mínimas? c. Suponga que quien toma la decisión ha obtenido las siguientes estimaciones preliminares P(S1) = 0.65, P(S2) = 0.15 y P(S3) = 0.20. Utilice el enfoque del valor esperado para determinar la solución óptima. d. Cual seria la estrategia optima si tuviera disponible información perfecta e. Cual es el valor esperado de la información perfecta
3. Suponga que quien debe tomar la decisión frente a 4 alternativas de decisión y 4 estados de la naturaleza desarrolla la siguiente matriz de pagos de utilidades Alternativa
Estado de la naturaleza
de decisión
S1
S2
S3
S4
d1
14
9
10
5
d2
11
10
8
7
d3
9
10
10
11
d4
8
10
11
13
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a) Haga un árbol de decisión b) Cual es la decisión recomendada utilizando los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento mínimax c) Suponga que la matriz de pagos nos da Costos en vez de pagos en utilidades. ¿Cuál es la decisión recomendada utilizando los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento mínimas? d) Suponga que quien toma la decisión ha obtenido las siguientes estimaciones preliminares P(S1) = 0.5, P(S2) = 0.2, P(S3) = 0.20, p(S4) = 0.1. Utilice el enfoque del valor esperado para determinar la solución óptima. e) Ahora suponga que las entradas que aparecen en la matriz de pagos son costos, utilice el enfoque del valor esperado para determinar la solución óptima. f)
Cual es la estrategia optima si se tuviera disponible información perfecta
g) Cual es el valor esperado de la información perfecta, y cual es la decisión recomendada
4. La decisión de Southland Corporation de producir una nueva línea de productos recreativos ha resultado en la necesidad de construir una planta pequeña o una grande. La selección del tamaño de la planta depende de la forma en que reaccione el mercado la nueva línea de productos. A fin de conducir un análisis, la administración ha decidido considerar la demanda posible a largo plazo como baja, media, alta. La siguiente tabla o matriz de pagos muestra la utilidad proyectada en millones de dolare. Alternativa de decisión
Demanda a largo plazo Baja
Media
Alta
Planta pequeña
150
200
200
Planta grande
50
200
500
a) Construya un árbol de decisión para este problema b) Recomiende una decisión con base en lo enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento mínimax
5. Investment Advisors, Inc. Considera 3 estrategias de inversión. Las utilidades de dichas estrategias depende de lo que ocurra con la tasa de interés bancario a lo largo de los siguientes 3 meses. Los resultados (miles de dólares) aparece en la tabla siguiente
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Alternativas
Estado de la naturaleza
de decisión
Reducción
Sin cambio
Aumento
Estrategia d1
50
70
40
Estrategia d2
55
35
80
Estrategia d3
15
60
70
¿Qué estrategia de inversión recomendaría con base en los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento mínimax?
6. Una empresa esta considerando 3 opciones para administrar su operación de procesamiento de datos. El costo de la operación depende de la demanda futura. El costo anual de cada alternativa de decisión y de estado de la naturaleza en miles de dólares es como sigue: Alternativa de decisión
Estado de la naturaleza (demanda) S1: Elevada
S2: Media
S3: Baja
Personal Propio, d1
650
650
600
Proveedor (outsourcing), d2
900
600
300
Combinación (ambas), d3
800
650
500
Si las probabilidades de la demanda son P(S1) = 0.2, P(S2) = 0.5, P(S3) = 0.3. ¿Qué alternativa de decisión minimizara el costo esperado de la operación. ¿Cuál será el costo anual esperado asociado con dicha recomendación?
7. La siguiente matriz de pagos de utilidades para un problema de decisión con 2 estados de la naturaleza y 2 alternativas de decisión Alternativa de
Estado de la naturaleza
decisión
S1
S2
d1
10
1
d2
4
3
a) Haga un árbol de decisión b) Cual es la decisión recomendada utilizando los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento mínimax c) Utilice el análisis de sensibilidad grafico para determinar la probabilidad del estado de la naturaleza s1, para el cual cada una de las alternativas de decisión tenga el valor esperado más elevado. d) Suponga que las probabilidades iniciales son P(S1)=0.77 y P(S2)=0.23. Calcule el Valor Esperado e) Cual es el valor esperado de la información perfecta,
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8. La siguiente matriz de pagos muestra la utilidad para un problema de decisión Alternativa de Estado de la naturaleza decisión S1 S2 d1 80 50 d2 65 85 d3 30 100 Utilice el análisis de sensibilidad grafico para determinar la probabilidad del estado de la naturaleza s1, para el cual cada una de las alternativas de decisión tenga el valor esperado más elevado.
9. La empresa Datum esta instalando sus oficinas centrales en Lima y esta pensando en tres oficinas. Las proyecciones de utilidad mostradas (en miles de dólares) en cada localización se basaron tanto en el estado natural de demanda baja y altas. Alternativa de decisión
Estado de la naturaleza Demanda alta
Demanda baja
Localización A
200
-20
Localización B
120
10
Localización C
100
60
Suponga que p corresponde a la probabilidad del estado de la naturaleza de demanda alta. a. ¿Qué es lo que el análisis de sensibilidad grafico le indica a la administración de las preferencias de localización?. b. Podrá alguna de las localizaciones ser eliminada. Porque? c. Después de una revisión adicional, la administración estimo un probabilidad de una demanda alta de 0.65. Con base en los resultados anteriores. ¿Qué localización deberá seleccionarse?. ¿Cuál es el valor esperado asociado con dicha decisión?
10. Suponga que se le plantea una situación con 3 estados posible de la naturaleza S1, S2 y S3. las probabilidades previas son P(S1) = 0.2, P(S2) = 0.5 y P(S3) = 0.3. Con información muestral I, P(I / S1) = 0.1, P(I / S2) = 0.05, P(I / S3) = 0.2. calcule las probabilidades realizadas o posteriores P(Si / I).
11. Hace 6 meses, Sr. Walter pago 25 mil dólares por una opción para la adquisición de un terreno que esta pensando en desarrollar. Otro inversionista ha ofrecido adquirir la opción de Walter en 275 mil dólares. Si Walter no acepta la oferta de este inversionista, adquirirá la propiedad, limpiara el terreno y lo preparará para su edificación. El cree que una vez hecho esto podrá venderlo a algún constructor.
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Sin embargo, el éxito de la inversión dependerá de cómo este el mercado de bienes raíces en el momento que venda la propiedad. Si el mercado de bienes raíces esta baja, Walter cree que perderá 1.5 millones de dólares. Si el mercado de bienes raíces se eleva Walter estima una utilidad de 4 millones de dólares. Debido a otros compromisos, Walter no cree factible que pueda conservar el terreno una vez desarrollado, por lo que la única alternativa actual es: vender la opción o desarrollar el terreno. Suponga que la probabilidad de que el mercado de bienes raíces este a la baja, al nivel actual, o a la alza sean 0.6; 0.3 y 0.1 respectivamente a. ¿Qué decisión deberá tomar Walter, utilizando el procedimiento del valor esperado? b. Suponga que las probabilidades de que el mercado de bienes raíces sea la baja, al nivel actual o a la alza son 0.5; 0.3 y 0.2, respectivamente. ¿Qué decisión debería tomar Walter con base en el enfoque de valor esperado?. ¿Qué pasaría si las probabilidades fueran 0.4, 0.4 y 0.2?. ¿Qué sugieren los resultados en relación con la inversión propuesta? c. Suponga que después de consideraciones adicionales Walter llega a la conclusión de que 0.1 es una buena estimación de la probabilidad de que el mercado de bienes raíces este a la alza. Sin embargo, no es capaz de llegar a ninguna conclusión definida en relación con las probabilidades de los demás estados de la naturaleza. ¿Cuál deberá ser la probabilidad de que el mercado este a la baja para que el enfoque de valor esperado recomendase que vendiera su opción en 275 mil dólares?.
12. La siguiente tabla o matriz de pagos de utilidades para un problema de decisión con 2 estados de la naturaleza y 3 alternativas de decisión, tiene las probabilidades previas S1 y S2 como P(S1) = 0.8 y P(S2) = 0.2 Alternativa de
Estado de la naturaleza
decisión
S1
S2
d1
15
10
d2
10
12
d3
8
20
a) Recomiende una decisión con base en lo enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento mínimax b) Utilice el enfoque de valor esperado para determinar la decisión óptima.
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c) Utilice el análisis de sensibilidad grafico para determinar los valores de la probabilidad del estado de la naturaleza S1 para el cual cada una de las alternativas de decisión tiene el valor esperado más grande. d) Encuentre el VEIP (VE información perfecta) e) Suponga que se obtiene información muestral, con P(I / S1) = 0.2 y P(I / S2) = 0.75. determine las probabilidades posteriores P(S1 / I) y P(S2 / I). Recomiende una alternativa de decisión con base en estas nuevas probabilidades
13. Un inversionista en bienes raíces tiene la oportunidad de adquirir un terreno que actualmente tiene uso residencial. Si el siguiente año el consejo municipal aprueba una solicitud de rezonificar la propiedad como comercial, el inversionista podrá rentar el terreno a una gran empresa que desea abrir una tienda sobre la propiedad. Sin embargo, si no se aprueba el cambio en la clasificación del terreno, el inversionista tendrá que vender la propiedad con perdida. Las utilidades (en miles de dólares) aparece en la siguiente tabla o matriz de pagos Alternativas de decisión d1: Adquisición d2: No adquisición
Estado de la Naturaleza (Rezonificación) Aprobada
Desaprobada
600
-200
0
0
a) Si la probabilidad de que se aprueba la Rezonificación es de 0.5. ¿Qué decisión se recomienda?. Cual es la utilidad esperada? b) El inversionista conservara el derecho de adquirir el terreno en cualquier momento mientras aprende mas sobre la posible resistencia presentada por los residentes del área. Las probabilidades históricas de esta resistencia por parte de los residentes del área para cada uno de los estados de la naturaleza son como sigue: H: Elevada Resistencia
L: Baja Resistencia
S1: Rezonificación aprobada
0.2
0.8
S2: Rezonificación no aprobada
0.9
0.1
¿Cuál es la estrategia optima de decisión, si el inversionista aprende mas sobre la resistencia de los residentes del área antes de tomar la decisión de adquisición?
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14. Condominium SA, recientemente adquirió terrenos y esta intentando determinar el tamaño del proyecto de condominio que debe construir. Esta considerando 3 tamaños (pequeño, medio, grande). Simultáneamente una económica incierta hace difícil juzgar la demanda de los nuevos condominios. Con 3 niveles de demanda, la administración de Condominium ha preparado la siguiente matriz de pagos de utilidades (en miles de dólares) Alternativas de decisión
Estado de la Naturaleza S1: Baja
S2: Media
S3: Alta
d1: Pequeña
400
400
400
d2: Mediana
100
600
600
d3: Grande
-300
300
900
a) Construya un árbol de decisión para este problema b) Si no sabe nada sobre las probabilidades de la demanda. ¿Cuáles son las decisiones recomendadas utilizando los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento mínimax. c) Si P(baja) = 0.20, P(media) = 0.35, P(alta) = 0.45. ¿Cuál es la decisión recomendada utilizando el valor esperado? d) Cual es el valor esperado de la información perfecta
Suponga que Condominium hace una encuesta para ayudar a evaluar la demanda del nuevo proyecto de condominio. La encuesta informa sobre 3 indicadores de demanda: débil (W), promedio (A), fuerte (S). Las probabilidades condicionales se encuentran aquí: W : Debil
A: Promedio
S: Fuerte
P(W / S1) = 0.6
P(A / S1) =0.3
P(S / S1) = 0.1
P(W / S2) = 0.4
P(A / S2) =0.4
P(S / S2) = 0.2
P(W / S3) = 0.1
P(A / S3) =0.4
P(S / S3) = 0.5
e) Cual es la estrategia optima de Condominium f)
Cual es el valor de la información de la encuesta
g) Cual es el VEIP
15. Panamericana Televisión esta pensando en producir un programa piloto para una serie de comedia para una importante cadena televisiva. La cadena puede rechazar tanto el piloto como la serie, también puede adquirir el programa con duración de 1 o 2 años. Panamericana puede decidir producir dicho piloto o transferirlo por $100,000 los derechos de la serie a un competidor. Las utilidades
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de Panamericana se resumen en la siguiente tabla de pago de utilidades (en miles de dólares) Alternativa de decisión
Estado de la Naturaleza S1: Rechazo
S2: 1 año
S3: 2 años
Producir Piloto
-100
50
150
Vender al competidor
100
100
100
a) Si las estimaciones de probabilidades para los estados de la naturaleza son P(rechazo)=0.2; P(1 año) = 0.3 y P(2 años) = 0.5. ¿Qué deberá hacer la empresa? b) Cual es el máximo que debería estar dispuesto Panamericana a pagar para obtener información confidencial sobre los planes de la cadena de TV?
Por $2,500 dólares de honorarios de asesoria, una empresa de consultaría revisara los planes de la serie de comedia y dará la posibilidad general de una reacción favorable (F) o desfavorable (D) por parte de la cadena. ¿Cuál debería ser la estrategia de decisión de Panamericana?. Suponga que Panamericana cree que las probabilidades condicionales siguientes son juicios realistas sobre la precisión de la evaluación de dicha empresa consultora. P(F / S1) = 0.3
P(D / S1) = 0.7
P(F / S2) = 0.6
P(D / S2) = 0.4
P(F / S3) = 0.9
P(D / S3) = 0.1
c) Muestre el árbol de decisión para este problema d) ¿Cuál es la estrategia de decisión recomendada y el valor esperado, suponiendo que se obtiene la información de la agencia? (VEIP) e) ¿Cuál es el VEIM?. Vale la información de la agencia por los $2,500?. ¿Cuánto seria el máximo que debería estar dispuesto a pagar con la información? 16. Martin’s Service Station esta considerando invertir en una barredora de nieve para el servicio pesado. Martín ha analizado la situación cuidadosamente y cree que si hay mucha nieve, seria una inversión redituable. Martín probablemente podría obtener una pequeña utilidad si la nieve es moderada, pero perdería dinero si la nieve es ligera. Específicamente, Martín pronostica una utilidad de $7,000 si las nevadas son severas, $2,000 si son moderadas y una perdida de $9,000 si las nevadas son ligeras. Con base al pronostico a largo plazo de la oficina meteorológica. Martín estima que P(Nevada severa) = 0.4; P(nevada Moderada) = 0.3 y P(nevada ligera) = 0.3
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a. Prepare un árbol de decisión para el problema de Martín b. ¿Cuál es el valor esperado de cada nodo de la naturaleza? c. ¿El enfoque de valor esperado recomendaría a Martín una barredora de nieve?
Suponga que Martín puede adquirir una cuchilla para colocarla en su camión de servicio que también puede usarse para barrer accesos y estacionamientos. Este camión debe también estar disponible para ayudar a encender automóviles, por lo que si escoge una alternativa. Martín no será capaz de generar tantos ingresos barriendo nieve, pero su perdida será menor en caso de que las nevadas sean ligeras. Con esta alternativa. Martín pronostica una utilidad de $3,500 si la nevada es severa, de $1,000 si es moderada y una perdida de $1,500 si la nevada es ligera. d. Prepare un nuevo árbol de decisión mostrando las 3 alternativas e. ¿Cuál es la decisión optima utilizando el enfoque del valor esperado f.
Cual es el valor esperado de la información perfecta (VEIP)
Suponga que Martin decide esperar para poder revisar el patrón de temperatura de mediados de Septiembre, antes de tomar una decisión final. Las estimaciones de las probabilidades asociadas con un Septiembre extraordinariamente frio (U) son: P(U/S1) = 0.30
P(U/S2) = 0.20
P(U/S3) = 0.05
g. Si Martin Observa un Septiembre extraordinariamente frio. Cual es la decisión recomendada? h. Si Martin no encuentra un Septiembre extraordinariamente frio. ¿Cuál es la decisión recomendada?
17. Gorman Manufacturing debe decidir si ha de comprar un componente de un proveedor o fabricar en su planta de Milan. Si la demanda es elevada Gorman podrá fabricar lucrativamente el componente. Sin embargo si la demanda es baja, el costo unitario de manufactura de Gorman seria elevado debido a la baja utilización del equipo. La tabla siguiente muestra la utilidad proyectada (en miles de dólares) para la decisión de fabricar o comprar de Gorman. Alternativa de decisión
Demanda S1: Baja
S2: Media
S3: Alta
Fabricar el componente, d1
-20
40
100
Comprar el componente, d2
10
45
70
47
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Las probabilidades de los estados de la naturaleza son P(baja) = 0.35, P(media) 0 0.35 y P(elevada) = 0.30. a. Utilice un árbol de decisión para recomendar una decisión b. Utilice el VEIP para determinar si Gorman debe intentar obtener una mejor estimación de la demanda
Un estudio de prueba de mercado de la demanda potencial del producto se espera un informe sobre una situación favorable (F) o no favorable (NF). Las probabilidades condicionales son: P(F / S1) = 0.10
P(NF / S1) = 0.90
P(F / S2) = 0.40
P(NF / S2) = 0.60
P(F / S3) = 0.60
P(NF / S3) = 0.40
c. Cual es la probabilidad de que el informe de investigación de mercados sea Favorable d. Cual es la estrategia optima de decisión de Gorman e. Cual es el valor esperado de la información de la investigación de mercados
18. Ken Brown es dueño principal de Brown Oíl, después de renunciar a su empleo docente en la Universidad, Dan ha tenido la capacidad de aumentar su salario anual por un factor superior a 100. En este momento debido a la competencia Ken se ve forzado a considera la compra de mas equipo para Brown Oíl. Sus alternativas se muestran en la siguiente tabla: Equipo
Mercado
Mercado
Favorable $
Desfavorable $
Sub 100
300,000
-200,000
Oiler J
250,000
-100,000
Texan
75,000
-18,000
a) Hacer un árbol de decisiones b) Escoger la mejor decisión según los enfoques optimista, conservador y arrepentimiento máximo. Y cuál es la mejor alternativa c) Cuál es el criterio de una decisión de realismo (Criterio de Hurwicz). α = 0.4 d) Cuál es la decisión de igualdad de probabilidades
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19. The Lubricant es una revista cara dentro de la industria petrolera a los que muchas compañías se suscriben (entre ellos Ken Brown). En su última edición, la revista describió la manera en que la demanda de los productos petroleros será extremadamente elevada. Se supone que el consumidor estadounidense continuara utilizando productos petroleros, incluso si el precio de estos productos se duplicara. De hecho uno de los artículos de la revista declara que las posibilidades de un mercado favorable para los productos petroleros son del 70%, mientras que la posibilidad de un mercado desfavorable es de solo 30%. Ken quiere utilizar estas probabilidades para determinar la mejor de las decisiones. a. Hacer el árbol de decisión b. Qué decisión tomara usando las probabilidades? c. Cuál es la cantidad máxima que deberá pagar por obtener información perfecta del mercado de petróleos d. Ken cree que la cifra de $300,000 para el Sub 100 con un mercado favorable es demasiado alta. ¿Hasta qué monto tendría que cambiar esta cifra para que Ken cambiase la decisión que tomo en la parte (a). e. Hacer un análisis de sensibilidad
20. Mickey Lawson está considerando invertir dinero que heredo. La siguiente tabla de ganancia presenta las utilidades que tendría durante el año siguiente según cada una de las tres alternativas de inversión. Estado de la Naturaleza Alternativa Decisión
Buena Economía
Mala Economía
P(S1) = 0.5
P(S2) = 0.5
Mercado de valores
80,000
-20,000
Bonos
30,000
20,000
Certificado de deposito
23,000
23,000
a) Escoger la mejor decisión según los enfoques optimista, conservador y arrepentimiento máximo b) Qué decisión tomara usando las probabilidades? c) Cuál es la cantidad máxima que deberá pagar por un pronóstico perfecto de economía? d) Cuál será el rango de probabilidades para una buena Economía para cada alternativa de decisión (Análisis de sensibilidad) e) Cuál será la perdida de oportunidad que se enfrenta Mickey Lawson y que decisión minimizara la perdida de oportunidad esperada (POE)
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21. Allen Young siempre ha estado orgulloso de sus estrategias de inversión personal y ha tenido éxito durante los últimos años. Invierte principalmente en el mercado de valores. Sin embargo durante los últimos mes. Allen ha comenzado a preocuparse pues duda de que el mercado de valores sea una buena inversión. En algunos casos sería mejor que tuviese su dinero en el banco en lugar de arriesgarlo en el mercado de valores. Durante el año próximo, debe decidir si invierte $10,000 en el mercado de valores o certificado de depósitos (CD) con una tasa de interés de 9%. Si el mercado es bueno Allen cree que podría obtener 14% de rendimiento sobre su dinero. Con un mercado imparcial espera obtener un 8% de rendimiento. Si el mercado es malo lo más probable es que no obtenga rendimiento alguno (es decir del 0%). El estima que la probabilidad de un buen mercado es de 0.4, la de un mercado mediano es de 0.4 y de un mercado malo es 0.2. Por supuesto el desea maximizar sus rendimientos promedio a largo plazo. a. Desarrolle la matriz de pagos y el árbol de decisión b. Utilice los enfoques optimista, conservador y arrepentimiento minimax y en cada enfoque escoger la mejor alternativa c. Utilice el criterio de realismo (Criterio de Hurwics) con alfa = 0.56 para tomar la mejor decisión. d. Cuál es la mejor decisión usando las probabilidades e. Si él tuviera información confidencial sobre los estados del mercado, hasta cuanto podría maximizar sus rendimientos
22. Today´s Electronics se especializa en la manufactura de componentes electrónicos modernos. También fabrica equipo que produce componentes. Phyllis Weinberger, quien es responsable de asesorar al presidente de la empresa acerca del equipo de manufactura electrónica, ha desarrollado la siguiente tabla acerca de una instalación propuesta: Matriz de Utilidades ($) Mcdo Fuerte
Mcdo Mediano
Mcdo pobre
Instalación grande
550,000
110,000
-310,000
Instalación mediana
300,000
129,000
-100,000
Instalación pequeña
200,000
100,000
-32,000
Ninguna instalación
0
0
0
a. Utilice los enfoques optimista, conservador y arrepentimiento minimax y en cada enfoque escoger la mejor alternativa
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b. Utilice el criterio de realismo (Criterio de Hurwicz) con alfa = 0.7 para tomar la mejor decisión. c. Cuál es la decisión según el criterio de igualdad de probabilidades d. Desarrolle una tabla de pérdida de oportunidad
23. Brilliant color es un pequeño proveedor de químicos y equipo que se emplea en algunas tiendas fotográficas para procesar los rollos de 35 milímetros. Un producto que suministra esta compañía es el BC-6. Jhon Kubick, presidente de Brilliant Color, normalmente almacena 11, 12 o 13 cajas de BC-6 a la semana. Por cada caja que vende, él obtiene una utilidad de $35. Como en el caso de muchos otros químicos fotográficos, el BC-6 tiene una vida útil muy corta, de manera que si una caja no se ha vendido para el fin de semana, Jhon debe desecharla. Ya que cada caja le cuesta $56, él pierde esa cantidad por cada caja que no se haya vendido para el fin de semana. Existe una probabilidad de 0.35 de vender 12 cajas y una probabilidad de 0.2 de vender 13 cajas. a. Construya una tabla de decisión para este problema. Incluya en ella todos los valores condicionales y probabilidades en dicha tabla. b. ¿Cuál es el curso de acción que recomienda? c. Si Jhon puede desarrollar el BC-6 con un ingrediente que lo estabilice para que ya no tenga que ser desechado, ¿cómo cambiaría la recomendación que acaba de hacer?
24. Farm Grown Inc. produce cajas para productos alimenticios perecederos. Cada caja, que contiene un surtido de vegetales y de otros productos agrícolas, tiene un costo de $5 y se vende por $15. Si no hubiera cajas vendidas al final del día, éstas se venden a una gran compañía procesadora de alimentos. La probabilidad de que la demanda diaria sea de 100 cajas es de 0.3, la probabilidad de que sea de 200 cajas es de 0.4, y la de que sea de 300 cajas es de 0.3. Farm Grown tiene la política de satisfacer siempre las demandas del cliente. Si su propio suministro para las cajas es menor que la demanda, compra los vegetales necesarios a otro competidor. El costo estimado de hacer esta operación es de $16 por caja. a. Dibuje una tabla de decisión para este problema. b. Cuál es la decisión según el criterio de igualdad de probabilidades c. Cuál es el criterio de decisión de realismo (Use alfa=0.6) d. ¿Qué recomienda usted?
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25. A pesar de que las estaciones de gasolina independientes han pasado por una época difícil, Susan Solomon piensa abrir su propia estación de servicio. Su problema es decidir de qué tamaño debería ser. Los rendimientos anuales dependerán tanto del tamaño de su estación como el número de factores de marketing relacionados con la industria petrolera y la demanda de gasolina. Después de un análisis cuidadoso, Susan desarrolló la siguiente tabla: TAMAÑO
MERCADO
MERCADO
MERCADO
DE LA
BUENO
MEDIANO
POBRE
ESTACIÓN
($)
($)
($)
Pequeña
50,000
20,000
-10,000
Mediana
80,000
30,000
-20,000
Grande
100,000
30,000
-40,000
Muy grande
300,000
25,000
-160,000
a. Utilice los enfoques optimista, conservador y arrepentimiento minimax y en cada enfoque escoger la mejor alternativa b. Cuál es la decisión con el criterio de igualdad de probabilidades c. Cuál es el criterio de decisión de realismo (Use alfa=0.8)
26. Un grupo de profesionales de la medicina está considerando la construcción de una clínica privada. Si la demanda médica es elevada (por ejemplo, hay mercado favorable para la clínica), los médicos deberán obtener una utilidad neta de $100,000. Si el mercado no fuera favorable, perderían $40,000. Desde luego, no tienen que llevarlo a cabo, en cuyo caso no existe costo alguno. a. Construya un árbol de decisión para este problema b. Cuál será la mejor decisión según los enfoque optimista, conservador y arrepentimiento maximo c. Cuál es el criterio de decisión de realismo (Use alfa=0.7) d. En ausencia de cualquier dato de mercado, lo mejor que pueden pensar los médicos es que hay una posibilidad de 50-50 de que la clínica tenga éxito. ¿Qué deberían hacer los profesionales de la medicina? e. Haga un análisis de sensibilidad sobre los valores de las probabilidades f.
Cuanto estaría dispuesto a pagar por conocer información perfecta
Los médicos del problema anterior han sido contactados por una empresa de marketing que les ofrece llevar a cabo un estudio de mercado por una tarifa de
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$5000. Los investigadores de mercado afirman que su experiencia les permite utilizar el teorema de Bayes para hacer los siguientes planteamientos de probabilidad:
Probabilidad de mercado favorable con un estudio favorable = 0.82
Probabilidad de mercado desfavorable con un estudio favorable = 0.18
Probabilidad de mercado favorable con un estudio desfavorable = 0.11
Probabilidad de mercado desfavorable con un estudio desfavorable = 0.89
Probabilidad de un estudio de investigación favorable = 0.55
Probabilidad de un estudio de investigación desfavorable = 0.45
g. Desarrolle un nuevo árbol de decisión para los profesionales de la medicina en donde se reflejen las opciones que ahora se han abierto con el estudio de mercado. h. Utilice la metodología Valor Esperado para recomendar una estrategia. i.
¿Cuál es el valor esperado de la información de muestreo? ¿Cuánto estarían dispuestos a pagar los médicos por el estudio de mercado?
27. Jerry Smith piensa abrir una tienda de bicicletas en su pueblo natal. Él disfruta pasear en su propia bicicleta en recorridos de 50 millas con sus amigos, pero cree que un pequeño negocio podría iniciarse únicamente si existe una buena oportunidad de obtener utilidades. Él podría abrir una tienda pequeña, una grande o ninguna. Debido a que deberá arrendar por cinco años el edificio que piensa utilizar, quiere estar seguro de que tomará una buena decisión. Además, quiere contratar a su antiguo profesor de marketing para llevar a cabo un estudio de investigación de mercado. Si se lleva a cabo el estudio, los resultados podrían ser favorables o desfavorables. Si Jerry ha realizado un análisis sobre la utilidad de la tienda de bicicletas. Si construyera una tienda grande, sus utilidades serian de $60,000 en caso de que el mercado sea favorable; pero perderá $40,000 si el mercado resulta desfavorable. La tienda pequeña le dará un rendimiento de $30,000 en un mercado favorable y una pérdida de $10,000 en un mercado desfavorable. a. Cuál será la mejor decisión según los enfoque optimista, conservador y arrepentimiento máximo b. Cuál es el criterio de decisión de realismo (Use alfa=0.7) c. Haga un análisis de sensibilidad sobre los valores de las probabilidades d. Cuanto estaría dispuesto a pagar por conocer información perfecta
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Jerry cree que hay una posibilidad de 50-50 de que el mercado sea favorable. Su antiguo profesor de marketing le cobraba $5000 por la investigación de mercado. Se estima que hay una probabilidad de 0.6 de que la encuesta sea favorable. Más aun una probabilidad de 0.9 de que el mercado sea favorable en caso de un resultado favorable del estudio. Sin embargo, el profesor de marketing le ha advertido que tan solo hay una probabilidad de 0.12 de que haya un mercado favorable si los resultados de la investigación de marketing no fueran favorables. El está confundido, y usted también!!!! e. Debería realizar la investigación de mercados f.
Sin embargo Jerry no está seguro de que la probabilidad de 0.6 que resulte del estudio de investigación de mercado favorable sea correcta. ¿Qué tan sensible es su decisión a este valor de probabilidad?. ¿Qué tanto puede desviarse esta probabilidad sin provocar que cambie su decisión?
28. Peter Martin ayudara a su hermano a abrir una tienda de comida. Inicialmente, Peter cree que hay una posición de 50 – 50 de que la tienda de comida de su hermano sea un éxito .El está considerando realizar un estudio de mercado .Con base en datos históricos, existe una probabilidad de 0.8 de que la investigación de marketing resulte favorable en el caso de una tienda exitosa de comida. Incluso, hay una probabilidad de 0.7 de que la investigación de marketing sea desfavorable en caso de una tienda de comida que no tenga éxito. a. si la investigación de mercado es favorable, ¿cuál es la probabilidad revisada de Peter respecto de una tienda exitosa de comida para su hermano? b. Si la investigación de marketing resulta ser desfavorable, ¿Cuál es su probabilidad revisada de una tienda de exitosa de comida para esta persona? c. Si la probabilidad inicial de una tienda exitosa de comida que es de 0.6 (en lugar que 0.5) encuentra la probabilidad de los incisos a y b
29. Durante los últimos 5 años Mark Martinko ha sido un jugador de reaquetball de primera categoría y una de sus metas más importantes es poseeré y operar una instalación de este deporte. Desafortunadamente, Mark cree que la probabilidad de tener una instalación exitosa de raquetball es únicamente de 30%. Su abogado le ha recomendado que contrate a un grupo local de investigación de marketing para que lleve a cabo una encuesta a cerca del éxito o fracaso de una instalación de raquetball. Hay una probabilidad de 0.8 de que la investigación sea favorable en caso de que haya una instalación exitosa de raquetball. Además hay una
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probabilidad de 0.7 de que la investigación sea desfavorable en caso de que la instalación no tenga éxito. Calcule las probabilidades revisadas de una instalación exitosa de raquetball en los casos de una encuesta favorable y desfavorable.
30. Un asesor financiero ha recomendado dos posibilidades de inversión: Fondo A y Fondo B. el rendimiento que se logrará con cada uno depende de que la economía sea buena, justa o mala. Se ha elaborado una tabla de pagos para ilustrar la situación: ESTADO DE LA NATURALEZA INVERSION ECONOMIA ECONOMIA ECONOMIA BUENA JUSTA MALA Fondo A $10,000 $2,000 -$5,000 Fondo B $6,000 $4,000 0 Probabilidad 0.2 0.3 0.5 a. Dibuje un árbol de decisión para representar esta situación. b. Lleve a cabo los cálculos necesarios para determinar cuál de las dos sociedades de inversión es la mejor: ¿Cuál escogería para maximizar el valor esperado?
31. Jim Sellers piensa producir un nuevo tipo de rasuradora eléctrica para hombres. Si el mercado fuera favorable, obtendría rendimientos por $100,000; pero si el mercado de esta nueva rasuradora fuera desfavorable, perdería $60,000. Ya que Ron Bush es un buen amigo de Jim, éste considera la posibilidad de contratar los servicios de Bush Marketing Research para reunir información adicional sobre el mercado de la rasuradora. Ron ha sugerido a JIm realizar un estudio piloto o una encuesta para evaluar el mercado. La encuesta consistiría en un cuestionario sofisticado administrado a un mercado de prueba y costaría
$ 5,000. Otra
alternativa es realizar un estudio piloto, el cual conllevaría la producción de un número limitado de rasuradoras nuevas y tratar de venderlas en dos ciudades típicas de Estados Unidos. El estudio piloto es más preciso pero también más caro: costaría $ 20,000. Ron Bush ha sugerido a Jim que realice la encuesta o el estudio piloto antes de tomar una decisión acerca de producir o no la rasuradora. Pero Jim no está seguro de si vale la pena llevar a cabo la encuesta o el estudio piloto debido a su costo. El estima que la probabilidad de un mercado exitoso sin llevar a cabo una encuesta o un estudio piloto es de 0.5. Incluso la probabilidad de un resultado de encuesta favorable, si se da un mercado exitoso para las rasuradoras, es de 0.7, y
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la probabilidad de un resultado de encuesta favorable en un mercado desfavorable para las rasuradoras es de 0.2. Además la probabilidad de un estudio piloto desfavorable en un mercado desfavorable es de 0.9, y la probabilidad de un resultado del estudio piloto no exitoso en un mercado favorable para las rasuradoras es de 0.2. a. Dibuje un árbol de decisión para este problema sin considerar los valores de probabilidad. b. Calcule las probabilidades revisadas necesarias para completar la decisión y coloque estos valores en el árbol de decisión. c. ¿Cuál es la mejor decisión para Jim? Utilice los valores esperados como criterios de decisión.
32. Existen dos estados de la naturaleza para cada situación en particular: una buena economía y una mala economía .Un estudio económico puede llevarse a cabo para obtener más información acerca de todo lo que ocurrirá el año siguiente. El estudio puede pronosticar una buena o mala economía. Actualmente existe 60% de posibilidades de que la economía sea buena y 40% de posibilidades de que no lo sea. En el pasado, cuando la economía era buena, el estudio económico predijo que sería buena un 80% del tiempo. (El otro 20% del tiempo la predicción fue errónea).En el pasado cuando la economía era mala, el estudio económico predijo que sería mala un 90% del tiempo ( El otro 10% del tiempo la predicción fue errónea.) d. Utilice el teorema de bayes parta determinar lo siguiente: P( buena economía/ predicción de una buena economía) P( mala economía/ predicción de una buena economía) P( buena economía / predicción de una mala economía) e. Suponga que la probabilidad inicial (previa) de una buena economía sea de 70%(en lugar de 60%) y que la probabilidad de una mala economía sea de 30%( en lugar de 40%).Encuentre las probabilidades a posteriori de la parte a con base en estos nuevos valores.
33. Coren Chemical, Inc. Desarrolla químicos industriales que emplean otros fabricantes para producir químicos fotográficos conservantes y lubricantes. Uno de sus productos, k-1000, es utilizado por diversas compañías fotográficas para elaborar una sustancia que se utiliza en el proceso de revelado de fotografía. Para producir el K-1000 de manera eficaz, Coren Chemical utiliza una metodología de
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lote, en el que se producen cierto número de galones en una sola corrida. Este procedimiento reduce los costos de instalación y ayuda a Coren Chemical a producir K-1000 a un precio competitivo. Desafortunadamente, el K-1000 tiene una vida útil muy corta, de aproximadamente un mes.
Coren Chemical produce K-1000 en lotes de 500, 1000, 1500 y 2000 galones. Por medio de datos históricos, David Coren pudo determinar que la probabilidad de vender 500 galones de K-1000 es de 0.2 las probabilidades de vender 1000, 1500 y 2000 galones son de 0.3, 0.4 y 0.1 respectivamente. El dilema que ahora enfrenta David es cuantos galones de K-1000 deberá producir el siguiente lote. El galón de K-1000 tiene un precio de $20. El costo de manufactura es de $12 cada galón, y los costos por manejo y almacenamiento se estiman en $1 por cada galón. En el pasado David había considerado que los costos publicitarios del K-1000 ascendían a $3 por galón. Más aun David ha garantizado a sus proveedores que siempre va a existir un suministro adecuado de K-1000. Si David no contara con la cantidad suficiente deberá comprar un químico similar a uno de sus competidores a un precio de$25 por galón. David vende sus químicos a $20 el galón de manera que la escasez del producto significa una pérdida de $5 por cada galón en la compra de un químico más caro. a. Desarrolle un árbol de decisión para resolver este problema. b. Determine el valor esperado de una información perfecta.
34. Jamis corporation está involucrada en el manejo de desechos. Durante los últimos 10 años se ha convertido en una de las compañías más grandes en este sector en el medio oeste de Estados Unidos, pues opera principalmente en Wisconsin, Illinois y Michigan. El presidente de la empresa, Bob Jamis, considera la posibilidad de establecer una `planta para el tratamiento de desechos de Mississippi. A partir de su experiencia anterior, Bob cree que una planta pequeña en la parte norte de Mississippi podría dejar $500000 de utilidades sin importar el mercado de la planta. El éxito de una instalación para el tratamiento de desechos de tamaño mediano dependería del mercado. Con una demanda baja, la empresa debería esperar un rendimiento de $ 200000. Una demanda mediana dejaría un rendimiento de $700000, según sus estimaciones, mientras que una planta grande generaría un rendimiento de $800000. A pesar de que una instalación más grande implica un mayor riesgo, el rendimiento potencial es también mucho mayo. Si hubiera una demanda alta para el tratamiento de los desechos en Mississippi, una
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planta grande dejaría utilidades por 1 millón de dólares. Con mediana demanda, una instalación grande producirá rendimientos de tan solo $400000. Bob estima que la planta grande provocara una perdida si la demanda para el tratamiento de los desechos fuera baja. En este caso, estima que la empresa perdería aproximadamente $200000. Luego de considerar las condiciones económicas de la parte superior del estado de Mississippi y con base en su experiencia en el campo, Bob estima que la probabilidad de una demanda baja para el servicio que las plantas de tratamiento ofrecen es de 0.15. la probabilidad de que la demanda sea mediana es de 0.40 y la probabilidad de una demanda elevada de instalaciones para el tratamiento de los desechos es de 0.45.
35. Debido a lo elevado de la inversión potencial y de la posibilidad de perdidas, Bob ha decidido contratar a un equipo de investigación de mercado con sede en Jackson Mississippi. Este equipo debe llevar a cabo una encuesta para conocer mejor la probabilidad de una demanda baja, mediana o elevada para una planta de tratamiento de desechos. El costo de la encuesta es de $50000. Para ayudar a Bob a determinar si procede con la encuesta, la empresa de investigación de mercado le ha proporcionado la siguiente información: P(resultados de la encuesta / resultados posibles)
Resultado posible demanda baja demanda mediana demanda
Resultados de la encuesta Resultados Resultados Resultados bajos medianos de elevados de la encuesta la encuesta de la encuesta 0.7 0.2 0.1 0.4 0.5 0.1 0.1 0.3 0.6
Como puede observar, la encuesta podría ahorrar tres resultados posibles.los resultados bajos significan que es probable quela demanda sea baja. De la misma manera, los resultados medianos o elevados significan una demanda mediana o elevada, respectivamente. ¿Qué debe hacer Bob?
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3. PRONOSTICOS Un aspecto esencial en la administración de cualquier empresa es la planeación. De hecho, el éxito a largo plazo de una organización esta íntimamente relacionada con la capacidad de anticipar el futuro y desarrollar estrategias apropiadas. Que es lo que debemos hacer para preparar los pronósticos trimestrales del volumen de ventas?. Primero desearemos revisar los datos reales de ventas del producto, al estudiar los datos históricos de la empresa podemos desarrollar una mejor comprensión del patrón de ventas del pasado, lo que nos lleva a mejores predicciones de las ventas futuras del producto. Los datos de ventas históricos forman una serie de tiempo. 3.1. Una serie de tiempo Es un conjunto de observaciones respecto a una variable, medidas en puntos sucesivos en el tiempo a lo largo de periodos sucesivos de tiempo. Los métodos de elaboración de pronósticos se pueden clasificar en cuantitativos o cualitativos.
Métodos de pronóstico
Cuantitativo
Casual Análisis de regresión
Suavización
Series de Tiempo
Proyección de tendencias
Promedios móviles Prom. móviles ponderados Suavización Exponencial
Cualitativo
Método Delphi
Juicio Experto
Proyección de tendencias ajustadas por influencias estacionales
Los métodos de pronóstico cuantitativos pueden utilizarse cuando: a) Hay disponible información de la variable que se esta pronosticando b) Se puede cuantificar la información
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c) Es una hipótesis razonable que el patrón de comportamiento ocurrido en el pasado continuará en el futuro.
En estos casos se puede desarrollar un pronóstico utilizando un método con base en series de tiempo o en un método casual
Si los datos históricos están limitados a valores históricos de la variable que estamos intentando pronosticar, el procedimiento se conoce como método de serie de tiempo. El objetivo del método de serie de tiempo es descubrir en los datos históricos un patrón y después extraexpolar dicho patrón hacia el futuro.
Los métodos de pronósticos causales se basan en la hipótesis de que la variable que estamos intentando pronosticar exhibe una relación causa – efecto con una o mas variables para esto usamos el análisis de regresión como método de pronostico causal Generalmente los métodos cualitativos involucran el juicio experto para el desarrollo de pronósticos. Por ejemplo un panel de expertos pudiera desarrollar un pronóstico por consenso de la tasa prima de una año a la fecha
3.2. COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPO El patrón o comportamiento de los datos en una serie de tiempo esta formado por cuatro componentes separados.
o
La tendencia
o
El cíclico
o
El estacional y
o
El irregular
COMPONENTE DE TENDENCIA Generalmente los datos de una serie de tiempo exhiben fluctuaciones aleatorias, a lo largo de un periodo de tiempo pueden mostrar desplazamiento hacia los valores mas elevados o mas reducidos. El desplazamiento gradual de la serie de tiempo se conoce como tendencia, este desplazamiento es por lo general el resultado de factores a largo plazo como modificaciones en la población, características demográficas, la tecnología, la preferencia del consumidor.
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Por Ejemplo: un fabricante de equipos fotográficos, puede observar mes a mes una variación sustancial en el numero de cámaras digitales vendidas, aunque las ventas reales mensuales pueden variar sustancialmente, este crecimiento gradual de las ventas muestra una tendencia hacia arriba de la serie de tiempo
Ventas mensuales
Año
COMPONENTE CICLICO: Todos los valores futuros de la serie de tiempo no caen exactamente sobre la línea de tendencia. De hecho, las series de tiempo a veces muestran secuencias alternas de puntos encima y debajo de la línea de tendencia. Cualquier secuencia recurrente de puntos encima y debajo de la línea de tendencia que dure más de uno se puede atribuir al componente cíclico.
COMPONENTE ESTACIONAL Mucha serie de tiempo muestra un patrón regular en periodos dentro de un solo año. Por ejemplo, un fabricante de helados espera una alta actividad en verano y una baja estacionalidad en invierno.
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COMPONENTE IRREGULAR El componente irregular es el factor residual, es decir “todo lo que sobra” El componente irregular es causado por factores a corto plazo no previstos y no recurrentes que afectan la serie de tiempo
3.3. METODOS DE SUAVISACION EN EL PRONÓSTICO Existen 3 métodos para elaborar un pronóstico: a)
Los promedios móviles
b)
Los promedios móviles ponderados y
c)
La suavización exponencial
El objetivo de cada uno de los métodos es suavizar las fluctuaciones aleatorias causadas por el componente irregular de la serie de tiempo. Los métodos de suavización son de fácil uso y generalmente alcanzan un elevado nivel de exactitud en los pronósticos a corto plazo para el siguiente periodo.
3.3.1 PROMEDIOS MOVILES El método de promedios móviles utiliza como pronostico para el siguiente periodo, el promedio de los n valores de datos mas recientes de la serie de tiempo.
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El término móvil indica que conforme se tiene disponible una nueva observación de la serie de tiempo, se reemplaza la observación mas antigua de la ecuación por el nuevo valor y se calcula una nueva media. Por Ejemplo: El número de galones de gasolina vendidos por un distribuidor de gasolina en las últimas semanas son: (venta en miles de galones) Semana
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ventas
17
21
19
23
18
16
20
18
22
20
15
22
Para utilizar los promedios móviles para pronosticar las ventas de gasolina, primero seleccionamos el número de valores a incluir en el promedio móvil. Por ejemplo, calculamos los pronósticos utilizando un promedio móvil de 3 semanas.
EXACTITUD DEL PRONÓSTICO. Una consideración importante al seleccionar un método de pronostico es la exactitud del mismo. Evidentemente, deseamos que los errores de pronostico sean los mas pequeños. En la serie de tiempo de las ventas de gasolina usamos el Error^2 para calcular el promedio de la suma de los errores al cuadrado (MSE, en ingles)
Este promedio de la suma de los errores al cuadrado se conoce como error cuadrático medio (MSE por sus siglas en ingles). El MSE es una medida de uso frecuente de exactitud en métodos de pronóstico MSE = Error^2 / n = 92 / 9 = 10.22
Sem
Ventas
Promedio móvil
Error
Error^2
1
17
2
21
3
19
4
23
(17+21+19)/3 = 19
23 – 19 = 4
16
5
18
(21+19+23)/3 = 21
18 – 21 = -3
9
6
16
(19+23+18)/3 = 20
16 – 20 = -4
16
7
20
(23+18+16)/3 = 19
20 – 19 = 1
1
8
18
(18+16+20)/3 = 18
18 – 18 = 0
0
9
22
18
22 – 18 = 4
16
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Dr. Higinio Wong Aitken
10
20
20
20 – 20 = 0
0
11
15
20
15 – 20 = -5
25
12
22
19
22 – 19 = 3
9
Totales 0
92
Para una serie de tiempo en particular, promedios móviles de diferente longitud (n-valores mas recientes) afectaran la precisión o exactitud del pronostico. Un procedimiento posible para escoger el número de valores a incluir es utilizar el método de ensayo y error para identificar la longitud que minimice el MSE. Debemos pronosticar el valor siguiente de la serie de tiempo utilizando el número de valores que minimicen el MSE para la serie de tiempo histórica
3.3.2
PROMEDIO MOVILES PONDERADOS En el método de promedio móviles, cada observación recibe la misma ponderación, una variante conocida como promedio móviles ponderados, implica seleccionar diferentes ponderaciones para cada valor de datos para luego obtener el promedio ponderado de los n valores mas recientes.
En la mayoría de los casos la observación mas reciente recibirá una mayor ponderación, reduciéndose la ponderación a los datos mas antiguos. Por ejemplo: podemos utilizar la serie de tiempo de las ventas de gasolina para demostrar el calculo del promedio movil ponderado de 3 semanas, recibiendo la observación mas reciente una ponderación del triple de valor que la mas antigua y la siguiente observación una doble ponderación que la mas antigua.
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Promedio móvil ponderado (4ta Sem) = 3/6 (19) + 2/6 (21) + 1/6 (17) = 19.33 Note que en el PMP, la suma de las ponderaciones es igual a 1
Sem Ventas PMP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
17 21 19 23 18 16 20 18 22 20 15 22
Error
Error^2
Promedio Moviles Ponderados 27 24
19.33 21.33 19.83 17.83 18.33 18.33 20.33 20.33 17.83
3.67 -3.33 -3.83 2.17 -0.33 3.67 -0.33 -5.33 4.17
13.44 11.11 14.69 4.69 0.11 13.44 0.11 28.44 17.36
MSE
11.49
21 18 15 12 9 6 3 0 Sem
1
2
3
4
5 Ventas
6
7
8
9
PMP
EXACTITUD DEL PRONÓSTICO: Para determinar si una combinación en particular de un numero de valores y ponderaciones nos da un pronostico mas exacto que cualquier otra combinación, debemos seguir usando el MSE como medida de exactitud del pronostico
3.3.3 SUAVISACION EXPONENCIAL La suavización exponencial se trata de un caso especial del método de promedios móviles ponderados, en el cual se seleccionan solo un valor de ponderación es decir los pesos o ponderaciones para los demás valores se calculan de manera automática, haciéndose mas y mas pequeños conforme las observaciones se van alejando hacia el pasado. El modelo básico de suavización exponencial es:
Ft 1 Yt (1 ) Ft Donde: Ft+1 = pronostico de la serie de tiempo para el periodo de t+1 Yt = Valor real de la serie de tiempo en el periodo t Ft = pronostico en la serie de tiempo para el periodo t
= constante de suavización (0 1)
65
10
11
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Para iniciar los cálculos hacemos que F1 sea igual al valor real de la serie de tiempo en el periodo 1, es decir F1 = Y1, Por lo que el pronóstico para el periodo 2 es:
F2 Y1 (1 ) Ft F2 Y1 (1 )Y1 F2 Y1 Y1 Y1 F2 Y1 El pronostico para el periodo 3 es:
F3 Y2 (1 ) F2 Y2 (1 )Y1
En general, cualquier pronostico Ft+1, es un promedio ponderado de todos los valores anteriores de la serie de tiempo.
Para ilustrar el procedimiento de suavización exponencial hacia la elaboración de pronósticos, considere el Ejemplo de la serie de tiempo de ventas de gasolina anteriormente vista, Calculemos ahora los valores con una constante 0.2 Sem Ventas (Yt)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
17 21 19 23 18 16 20 18 22 20 15 22
Suav. Exp (Ft)
Error Error^2 (Yt - Ft) SUAVISACION EXPONENCIAL (ALFA=0.2)
17.00 17.80 18.04 19.03 18.83 18.26 18.61 18.49 19.19 19.35 18.48
4.00 1.20 4.96 -1.03 -2.83 1.74 -0.61 3.51 0.81 -4.35 3.52 MSE
16.00
25
1.44 24.60 1.07
20
7.98 3.03 0.37
15
12.34 0.66 18.94 12.38
10 Sem 1
98.80
2
3
4
5
Ventas (Yt)
6
7
8
9
Suav. Exp (Ft)
¿Podemos utilizar esta información para generar un pronóstico de ventas para la semana 13, antes de que el valor real sea conocido? Utilizando el modelo de suavización exponencial tenemos
F13 (0.2)Y12 (0.8) F12 (0.2) * 22 (0.8) *18.48 19.18 El pronostico estimado para la semana 13 es 19.18 galones de gasolina, con este pronostico, la empresa puede hacer planes y decisiones de manera corresponderte. La exactitud del pronóstico no se conocerá hasta el final de la semana 13
66
10
11
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EXACTITUD DEL PRONÓSTICO En los cálculos de suavización exponencial utilizamos una constante de suavización de 0.2 . Cualquier valor entre 0 y 1 es aceptable, algunos valores dará un mejor pronostico que otros. Se puede comprender mejor la selección de un buen valor para
al escribir el modelo básico de suavización exponencial como sigue:
Ft 1 Yt (1 ) Ft Yt Ft Ft Ft (Yt Ft ) Pronostico del Periodo t
Error del pronóstico del periodo t
El nuevo pronostico Ft+1 es igual al pronostico anterior Ft mas un ajuste, que es igual al multiplicado por el error del pronostico mas reciente Yt – Ft. Esto es, el pronóstico del periodo t+1 se obtiene ajustando el pronóstico del periodo t con una fracción del error del pronóstico
3.4. PRONOSTICOS DE LA PROYECCION DE TENDENCIAS Las series de tiempo que muestran un incremento o decremento a lo largo del tiempo no son estables, por lo que no puede aplicarse los métodos de suavización anteriormente descritos (promedio móvil, promedio móvil ponderado y suavización exponencial) Considere la serie de tiempo de las ventas de bicicletas de un fabricante
Ventas (miles) Yt 21.6 22.9 25.5 21.9 23.9 27.5 31.5 29.7 28.6 31.4
SERIE DE TIEMPO DE VENTAS DE BICICLETAS 35
VENTAS (MILES)
Año t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
32 29 26 23 20 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AÑO
Utilizaremos los datos de la venta de bicicletas para mostrar los cálculos implicados en la creación de un análisis de regresión para identificar una
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tendencia lineal. Para una tendencia lineal el volumen de ventas estimado expresado como una función de tiempo es: T1 = bo + b1t Donde: T1 = valor de tendencia de las ventas de bicicletas en el periodo t bo = intersección con la línea de tendencia b1 = pendiente de la línea de tendencia
b1
Las formulaciones para calcular b1 y bo son:
tYt t
2
t Yt
n t 2 n
bo Y b1t Donde: Yt = valor real de la serie de tiempo en el periodo t n = numero de periodos
Y = valor promedio de la serie de tiempo esto es Y Yt n
t = valor promedio de t, esto es t t n Año t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55
Ventas (miles) Yt tYt t^2 21.6 21.6 1 22.9 45.8 4 25.5 76.5 9 21.9 87.6 16 23.9 119.5 25 27.5 165 36 31.5 220.5 49 29.7 237.6 64 28.6 257.4 81 31.4 314 100 264.5 1545.5 385
Por lo tanto
t 55 / 10 5.5 Y 264.5 / 10 26.45 b1
1545.5 55264.5 / 10 1.10 2 385 55 / 10
bo 26.45 1.105.5 20.4
Tt = 20.4 + 1.1t
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Es la ecuación del componente de tendencia de la serie de las ventas de las bicicletas. La pendiente de b1 = 1.1 indica que la empresa ha experimentado un crecimiento promedio de ventas de 1,100 unidades por año.
Podemos utilizar esta
SERIE DE TIEMPO DE VENTAS DE BICICLETAS
ecuación para proyectar la
futuro de tiempo, por Ejemplo: T11 = 20.4 + 1.1(11) = 32.5 Por lo que el componente de tendencia da como
VENTAS (MILES)
tendencia a un periodo
resultado un pronóstico de ventas de 32,500 bicicletas para el año siguiente
3.5.
34 32
y = 1.1x + 20.4
30 28 26 24 22 20 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AÑO
PRONOSTICO EN LOS COMPONENTES DE TENDENCIA Y ESTACIONAL En el capitulo anterior, hemos mostrado como pronosticar los valores de una serie de tiempo que tiene un componente de tendencia. Ahora vamos a ampliar el análisis al mostrar como pronosticar los valores de una serie de tiempo que tenga a la vez componentes de tendencia y estacional
Tanto en los negocios como en la economía hay muchas situaciones que requieren de comparaciones periodo a periodo. Por ejemplo: -
Nos interesa saber si el desempleo ha subido 2% en comparación con el mes pasado.
-
Que la producción de acero ha subido 5% en comparación del mes pasado
-
Que la producción de energía eléctrica ha reducido 3% con respecto al mes pasado.
Debemos ser cuidadosos al usar esta información, porque siempre que este presente una influencia estacional, estas comparaciones no son muy significativas. Por ejemplo:
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El hecho de que el consumo de energía eléctrica se haya reducido 3% de agosto a septiembre quizás solo refleja el hecho de que se esta disminuyendo el consumo del aire acondicionado por el cambio de estación y no debido a una reducción a largo plazo en el uso de la energía eléctrica. De hecho, después de ajustar en función del efecto estacional, posiblemente pudiéramos descubrir que el uso de energía eléctrica ha aumentado.
La eliminación del efecto estacional en una serie de tiempo, se conoce como desestacionalización de la serie de tiempo. Después de hacer la desestacionalización, las comparaciones periodo a periodo resultan más significativas y pueden ayudar a identificar si existe alguna tendencia.
El enfoque que tomaremos en esta sección es apropiado para aquellas situaciones donde solo estén presentes efectos estaciónales o en situaciones donde estén presentes a la vez componentes estaciónales y de tendencia.
El Primer paso es calcular los índices estaciónales y utilizarlos para desestacionar los datos, después si en los datos desestacionalizados existe una aparente tendencia, utilizaremos una análisis de regresión de los datos desetacionalizados para estimar la tendencia.
3.5.1. EL MODELO MULTIPLICATIVO Además de un componente de tendencia (T) y una componente estacional (S), suponemos que la serie de tiempo también tiene un componente irregular (I). El componente irregular incluye aquellos efectos aleatorios que no pueden explicarse por la tendencia, ni por el componente estacional e irregular.
Suponemos que el valor real de la serie de tiempo (Yt), puede describirse como un modelo multiplicativo de la serie de tiempo. Yt = Tt x St x It
En este modelo T, es la tendencia (medidas en unidades de lo que se esta pronosticando). Sin embargo, los componentes S e I se miden en términos relativos.
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CALCULOS DE LOS INDICES ESTACIONALES La tabla siguiente de datos muestra las ventas trimestrales de televisores (miles de unidades) de un fabricante a lo largo de 4 años
Año Trim Ventas
2
3
4
SERIE DE TIEMPO DE VENTAS TRIMESTRALES DE TELEVISORES
1
4,8
2
4,1
3
6,0
4
6,5
1
5,8
2
5,2
3
6,8
4
7,4
1
6,0
2
5,6
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
3
7,5
Año / Trimestre
4
7,8
1
6,3
2
5,9
3
8,0
4
8,4
Ventas trimestrales de TV
1
10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0
La figura muestra que en el segundo trimestre de cada año las ventas pasan por un mínimo seguidas por niveles mas elevados de ventas en los trimestres 3 y 4. Por lo que conocemos que para ventas de Televisores existe un patrón estacional. Primero identificamos la influencia estacional de cada trimestre, al calcular el promedio móvil, para aislar los componentes estacional e irregular S o I Dado que estamos trabajando con series trimestrales, utilizaremos los 4 valores de datos en cada promedio móvil. El cálculo del promedio móvil es el siguiente:
4.8 4.1 6.0 6.5 21.4 5.35 Primer promedio móvil = 4 4 Segundo promedio móvil =
4.1 6.0 6.5 5.8 22.4 5.6 4 4
Observe que el promedio móvil nos da las ventas trimestrales promedio a lo largo de un año
El valor de 5.35 del primer promedio móvil representa un volumen de ventas trimestrales promedio (incluyendo todas las estaciones) correspondiente al año 1
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Como 5.35 es el promedio anual se tiene que escribir con el trimestre “de en medio” del grupo de promedio móvil (entre el trimestre 2 y 3). Observe que es difícil identificar el trimestre “de en medio”, con 4 trimestres
Recordemos que la razón para el calculo de los promedios móviles es aislar los componentes estacional (S) E irregular (I) combinados. Sin embargo los promedios móviles calculados no corresponden directamente a los trimestres originales de la serie de tiempo. Prom Prom. Año Trim Ventas Móvil de Móvil 4 trim Centrado 1 1 4.8 2 4,1 5,35 3 6 5,475 5,6 4 6,5 5,738 5,875 2 1 5,8 5,975 6,075 2 5,2 6,188 6,3 3 6,8 6,325 6,35 4 7,4 6,4 6,45 3 1 6 6,538 6,625 2 5,6 6,675 6,725 3 7,5 6,763 6,8 4 7,8 6,838 6,875 4 1 6,3 6,938 7 2 5,9 7,075 7,15 3 8 4 8,4
Valor estacional e irregular
1,096 1,133 0,971 0,840 1,075 1,156 0,918 0,839 1,109 1,141 0,908 0,834
Observemos los tercer trimestre de los años uno, dos y tres muestran valores de 1.096, 1.075 y 1.109 respectivamente, que en todo caso el componente estacional irregular estaría por encima del promedio dentro del tercer trimestre. Las fluctuaciones a lo largo de los 3 años pueden atribuirse al componente irregular, con lo que obtenernos una estimación de la influencia estacional del tercer trimestre:
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Este valor de 1.09 es el índice estacional correspondiente al tercer trimestre. En la tabla siguiente resumimos los cálculos para los índices estacionales de la serie de tiempo para las ventas de televisores. Valores del
Indice
componente estacional
estacional
Trimestre
e irregular (St It)
(St)
1
0,971 - 0,918 - 0,908
0,93
(0,971+0,918+0,908)/3
2
0,840 - 0,839 - 0,834
0,84
(0,84+0,839+0,834)/3
3
1,096 - 1,075 - 1,109
1,09
(1,096+1,075+1,109)/3
4
1,133 - 1,156 - 1,141
1,14
(1,133+1,156+1,141)/3
El mejor trimestre de ventas es el cuarto, con un promedio de ventas del 14% por encima del valor promedio trimestral. El peor trimestre de ventas es el segundo con un promedio de ventas del -16% por debajo del promedio trimestral
3.5.2 DESESTACIONALIZACION DE LA SERIE DE TIEMPO La finalidad de determinar los índices estacionales es eliminar los efectos estacionales de una serie de tiempo. Este proceso se conoce como desestacionalización de la serie de tiempo, utilizando la notación del modelo multiplicativo tenemos: Yt = Tt x St x It Al dividir cada observación de la serie de tiempo por el índice estacional correspondiente, eliminamos el efecto de desnacionalización de la serie de tiempo. En la tabla siguiente se resume la serie de tiempo desestacionalizada de las ventas de Televisores
Año
Trim
1
1 2 3
Indice Ventas Ventas Estacional Desestacionalizadas (Y) (S) (Y/S = TI) 4,8 4,1 6
0,93 0,84 1,09
5,16 4,88 5,50
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Dr. Higinio Wong Aitken
2
3
4
4
6,5
1 2 3
5,8 5,2 6,8
4
7,4
1 2 3
6 5,6 7,5
4
7,8
1 2 3
6,3 5,9 8
4
8,4
1,14 0,93 0,84 1,09 1,14 0,93 0,84 1,09 1,14 0,93 0,84 1,09 1,14
5,70 6,24 6,19 6,24 6,49 6,45 6,67 6,88 6,84 6,77 7,02 7,34 7,37
3.5.3 USO DE LA SERIE DE TIEMPO DESETACIONALIZADA PARA IDENTIFICAR LA TENDENCIA En el ejercicio anterior vemos que a lo largo de los 16 trimestres la grafica muestra una tendencia hacia arriba. Para identificar esta tendencia utilizaremos el mismo procedimiento descrito anteriormente, pero en este caso los datos utilizados son valores de ventas desestacionalizados. Por lo que el volumen de ventas estimado expresado en función del tiempo es:
Donde: Tt = Valor de tendencia para las ventas de televisores en el periodo t bo = intercepto de la línea de tendencia b1 = pendiente de la línea de tendencia
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y Trim
Ventas
t
desestac. Yt
1
t2
tYt
5,16
1
5,16
2
4,88
4
9,76
3
5,50
9
16,50
4
5,70
16
22,80
5
6,24
25
31,20
6
6,19
36
37,14
7
6,24
49
43,68
8
6,49
64
51,92
9
6,45
81
58,05
10
6,67
100
66,70
11
6,88
121
75,68
12
6,84
144
82,08
13
6,77
169
88,01
14
7,02
196
98,28
15
7,34
225
110,10
16
7,37
256
117,92
101,74
1496
914,98
Totales 136
Por lo tanto: Tt = 5.101 + 0.148t Es la ecuación de tendencia lineal de la serie de tiempo
Trim t
El componente de tendencia nos
Ventas
17
5,101 + 0,148(17) =
7,617
18
5,101 + 0,148(18) =
7,765
los meses siguientes de T17,
19
5,101 + 0,148(19) =
7,913
T18, T19 y T20
20
5,101 + 0,148(20) =
8,061
da un pronóstico de ventas para
3.5.4. AJUSTES ESTACIONALES El último paso para el desarrollo de un pronóstico, cuando están presentes componentes de tendencia como los estacionales, es utilizar el índice estacional para ajustar la proyección de tendencia.
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Dr. Higinio Wong Aitken
Del ejemplo de TV, el índice estacional del primer trimestre del año 5 es 0.93, entonces
Pronostico trimestral = Pronostico de tendencia * índice estacional Año 5
Índice
Pronostico
Trim t
Ventas
1
7,617
0,93
7,084
2
7,765
0,84
6,523
3
7,913
1,09
8,625
4
8,061
1,14
9,190
estacional Trimestral
3.6. USO DEL ANALISIS DE REGRESION EN PRONOSTICOS El análisis de regresión es una técnica estadística que muestra como se relaciona las variables independientes o predictoras con una variable dependiente o de respuesta.
En el análisis de regresión donde se relaciona una variable dependiente y una independiente mediante una línea recta se conoce como una regresión lineal simple
Y = f(x)
En el análisis de regresión donde se relacionan dos o más variables independientes con una variable dependiente se conoce como análisis de regresión múltiple.
Y = f(x1, x2, …., xn)
Cuando utilizamos el análisis de regresión para relacionar la variable que deseamos pronosticar con otras variables que se supone influyen o explican dicha variable, se convierte en un método de pronósticos causal.
3.6.1. ANALISIS DE REGRESION CUANDO NO HAY DATOS DE UNA SERIE DE TIEMPO DISPONIBLES. El análisis de regresión también se puede utilizar para pronosticar cuando no haya disponibles datos de una serie de tiempo.
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Dr. Higinio Wong Aitken
Ejemplo: Una cadena de restaurantes italiano “Armand” que opera en 5 estados. Las ubicaciones con mayor éxito están cerca a las universidades. Antes de abrir un nuevo restaurante, la administración requiere un pronóstico de ingreso por ventas anuales.
Este tipo de estimación se utiliza en la planeación de la capacidad del restaurante, en la toma de decisiones iníciales sobre el personal y para decidir si un ingreso potencial justifica el costo por operación.
En una nueva localización no hay datos históricos de ventas disponibles, por lo que Armand no puede utilizar los datos de una serie de tiempo para desarrollar el pronóstico.
La demanda cree que los ingresos de ventas anuales están relacionados con la población de estudiantes de la universidad vecina. Empíricamente, la administración supone que los restaurantes localizados cerca a las universidades grandes generan mas ingresos que los localizados cerca a las universidades pequeñas. Si se puede utilizar la población de la universidad para predecir los ingresos del nuevo restaurante.
Para evaluar la relación entre ventas anuales (Y) y población de estudiantes (X), Armand reunió información de una muestra de 10 restaurantes localizados cerca de universidades.
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Dr. Higinio Wong Aitken DATOS DE VENTAS ANUALES DE POBLACION DE ESTUDIANTES CORRESPONDIENTE A 10 RESTAURANTES (EN MILES)
Y: Ventas
X: Población
Rest
anuales
de estudiantes
1
58
2
2
105
6
3
88
8
4
118
8
5
117
12
6
137
16
7
157
20
8
169
20
9
149
22
10
202
26
¿QUÉ CONCLUSIONES PRELIMINARES PODEMOS EXTRAER DEL DIAGRAMA DE DISPERSIÓN? Aparentemente pequeños volúmenes de ventas están asociados con bajas poblaciones de estudiantes, mientras que volúmenes elevados de ventas están asociados con poblaciones de estudiantes más grandes. También, aparentemente la relación entre ambas variables se puede aproximar mediante una línea recta de la forma Donde: Y = valor estimado de la variable independiente (ingreso por ventas) bo = Intercepto de la ecuación estimada b1 = pendiente de la ecuación estimada X = valor de la variable independiente (población de estudiantes)
Donde: Xi = valor de la variable independiente de orden i Yi = valor de la variable dependiente de orden i
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Dr. Higinio Wong Aitken
X = valor medio de la variable independiente Y = valor medio de la variable dependiente n = numero total de observaciones
X: Poblac Y: Ventas
de
Rest (i)
anuales
estudiantes
Xi^2
XiYi
1
58
2
4
116
2
105
6
36
630
3
88
8
64
704
4
118
8
64
944
5
117
12
144
1404
6
137
16
256
2192
7
157
20
400
3140
8
169
20
400
3380
9
149
22
484
3278
10
202
26
676
5252
Totales
1.300
140
2.528
21.040
Por lo que la ecuación de regresión estimada es: Ŷ = 60 + 5x La pendiente de la ecuación estimada (b1 = 5) es positiva, lo que implica que conforme se incrementa la población de estudiantes, aumentara las ventas anuales.
3.7. PROCEDIMIENTOS CUALITATIVOS PARA PRONOSTICOS En lo anterior hemos analizados varios tipos de modelos de pronósticos cuantitativos, donde se requiere los datos históricos de la variable de interés, por lo que no pueden aplicarse el pronostico cuando no hay datos, incluso obteniendo los datos, un cambio drástico en las condiciones del entorno puede hacer dudoso el pronostico. Por ejemplo: 79
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un programa de racionamiento de gasolina, impuesto por el gobierno, pudiera cuestionar la validez de un pronóstico de ventas basados en datos históricos. Entre este y otros casos, las técnicas de pronósticos cualitativos ofrecen una alternativa
METODO DELPHI Es la técnica de uso más común, esta técnica intenta desarrollar pronósticos mediante un “consenso de grupo”. En su aplicación normal a los miembros de un panel de expertos, todos físicamente separados uno de otros y que no se conocen, se les solicitan que respondan una serie de cuestionarios. Las respuestas del primer cuestionario se tabulan y se usa para preparar un segundo cuestionario, que contiene información y opiniones de todo el grupo.
A continuación se les pide a cada involucrado que reconsidere o corrija su respuesta anterior a la luz de la información proporcionada por el grupo de expertos. Este proceso dura hasta que el coordinador cree que se ha llegado a cierto grado de consenso. El objetivo del método Delphi no es producir como resultado una sola respuesta, sino mas bien obtener un abanico de opiniones, en las cuales coincidan la mayoría de expertos.
JUICIO EXPERTO A veces los pronósticos cualitativos, se basan en el juicio de un solo experto o representan un consenso de un grupo de expertos.
FORMULACION DE ESCENARIOS Consiste en plantear un escenario conceptual del futuro en base a un conjutno definido de hipótesis. Diferentes hipótesis llevarán a escenarios distintos, por lo que la tarea del tomador de decisiones es decidir que tan posible es cada escenario y entonces tomar la decisión correspondiente.
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PROBLEMAS PROPUESTOS 3 1. La tasa de interés de los bonos Corporate Triple A para 10 meses consecutivos son: 9.4, 9.6, 9.8, 9.7, 9.8, 10.5, 9.9, 9.7, 9.6 y 9.6 a) Desarrolle promedios móviles de 3 y 4 meses para este tiempo. ¿Qué promedio tendrá los mejores pronósticos?. Expliques b) Cual es el promedio móvil para el mes siguiente
2. Refiérase a los datos de la serie de tiempo de las ventas de gasolina Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Ventas (miles de gasolina) 17 21 19 23 18 16 20 18 22 20 15 22
a) Calcule los promedios móviles de 4 y 5 semanas de la serie de tiempo b) Calcule el MSE (error cuadráticos medio)n para los promedios móviles de 4 semanas. c) Cual podría ser el mejor número de semanas de datos previos a usar en el calculo de promedios móviles. (recuerde que el MSE para promedio móviles de 3 semanas es 10.22)
3. Con los datos del problema 2. a) Calcular un promedio móvil ponderado de 3 semanas para la serie de tiempo, utilice un coeficiente de ponderación de ½ para la observación mas reciente, 1/3 para la segunda mas reciente y 1/6 para la tercera mas reciente. b) Calcule el Error cuadrático medio del promedio móvil ponderado de la parte a
4. Utilice los datos del problema 2, para mostrar los pronósticos de suavización exponencial utilizando alfa=0.1. Utilizando el criterio del error cuadrático medio. ¿Preferiría usted un alfa de 0.1 o 0.2?
5. Para la Hawkin Company, los porcentajes mensuales de todos los embarques recibidos a tiempo en los últimos 12 meses son: 80, 82, 84, 83, 83, 84, 85, 84, 82, 83, 84 y 83.
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a) Compare un pronostico de promedios móviles de 3 meses con un pronósticos de suavización exponencial con alfa=0.2. ¿Cuál da el mejor resultado? b) Cual es el pronóstico para el mes siguiente.
6. Los contratos de construcción en Santiago de Chile, durante un periodo de 12 meses (en millones de dólares) son 240, 350, 230, 260, 280, 320, 220, 310, 240, 310, 240 y 230. a) Compare un pronostico de promedio móviles de 3 meses con un pronostico de suavización exponencial, utilizando alfa=0.2. ¿Cuál da mejor resultado? b) Cual es el pronóstico para el mes siguiente.
7. A menudo se utilizan promedios móviles en un intento de identificar el movimiento del precio de los valores. A continuación aparecen los precios de cierre aproximado mensuales (en $ por acción) para Toys of the Future Mes
Precio
Mes
Precio
Diciembre 1996
40
Junio 1997
34
Enero 1997
38
Julio 1997
37
Febrero 1997
39
Agosto 1997
35
Marzo 1997
41
Septiembre 1997
37
Abril 1997
36
Octubre 1997
40
Mayo 1997
41
Noviembre 1997
41
a) Utilice el promedio móvil de 3 meses para suavizar la serie de tiempo. Pronostique el cierre para diciembre de 1997 b) Utilice el promedio móvil ponderado de 3 meses para suavizar la serie de tiempo. Utilice un coeficiente de ponderación de 0.4 para el periodo mas reciente, 0.4 para el siguiente periodo y 0.2 para el ultimo periodo. Pronostique el precio de cierre para Diciembre de 1997. c) Utilice la suavización exponencial con una constante alfa de 0.35. Pronostique para diciembre de 1997 d) Cual de estos 3 métodos prefiere usted.?
8. Los datos que siguen representan 15 trimestres de utilización de la capacidad de manufactura (en porcentajes) Trimestre/año
Utilización
Trimestre/año
Utilización
1/ 2005
82.5
1 / 2007
78.8
2 / 2005
81.3
2 / 2007
78.7
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3 / 2005
81.3
3 / 2007
78.4
4 / 2005
79.0
4 / 2007
80.0
1 / 2006
76.6
1 / 2008
80.7
2 / 2006
78.0
2 / 2008
80.7
3 / 2006
78.4
3 / 2008
80.8
4 / 2006
78.0
a) Calcule promedios móviles de 3 y 4 trimestres de esta serie de tiempo. ¿Qué promedios móviles es el mejor pronostico para 4 / 2008 b) Utilice constante de suavización alfa = 0.4 y 0.5 para desarrollar el pronostico para el trimestre 4/2008.
9. La siguiente serie de tiempo muestra las ventas de un producto en particular a lo largo de 12 meses. Mes
Ventas
Mes
Ventas
Mes
Ventas
1
105
5
90
9
100
2
135
6
120
10
80
3
120
7
145
11
100
4
105
8
140
12
110
a) Utilice alfa=0.3 para calcular los valores de suavización de la serie de tiempo b) Utilice una constante de suavización de 0.5 para calcular los valores de suavización exponencial.
10. A continuación aparecen las inscripciones (miles) para una universidad estatal durante los 6 últimos años. Año Inscripciones
1
2
3
4
5
6
20.5
20.2
19.5
19.0
19.1
18.8
Desarrolle la ecuación para el componente de tendencia lineal de esta serie de tiempo. Comente sobre lo que esta ocurriendo con las inscripciones de esta institución
11. La venta de automóviles en 10 años son: Año
Venta
Año
Ventas
1
400
6
260
2
390
7
300
3
320
8
320
4
340
9
340
5
270
10
370
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Trace la serie de tiempo y comente sobre la posibilidad de una tendencia lineal. ¿Qué forma de función seria el mejor patrón de tendencia de esta serie de tiempo?
12. El presidente de una pequeña empresa de manufactura esta preocupado debido al continuo crecimiento de los costos de manufactura durante los últimos años. A continuación aparece una serie de tiempo de costos unitarios en dólares del producto líder de esta empresa durante los últimos 8 años. Año
Costo unit
Año
Costo Unit
1
20.00
5
26.60
2
24.50
6
30.00
3
28.20
7
31.00
4
27.50
8
36.00
a) Grafique esta serie de tiempo b) Desarrolle la ecuación para el componente de tendencia lineal de la serie de tiempo. c) Cual es el incremento promedio de costo por año?
13.. Las utilidades por acción (en dólares) de Walgreen Company durante un periodo de 10 años son: 0.73, 0.94, 1.14, 1.33, 1.53, 1.67, 1.68, 2.10 y 2.50 a) Utilice la proyección de tendencia lineal para pronosticar las utilidades por acción del año siguiente. b) ¿Qué le dice a usted este análisis de serie de tiempo.
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4.- MODELOS DE LINEA DE ESPERA El estudio de las líneas de espera, llamado teoría de colas, es una de las técnicas de análisis más antigua y que se utilizan más extensamente. Las líneas de espera son un suceso de todos los días que afectan personas que van de compras al supermercado, a cargar gasolina, al banco, etc La estrategia mas económica para mejorar el servicio de una empresa no siempre es agregar más cajeros o empleados, los negocios necesitan mantener líneas de espera o colas dentro de límites tolerables.
Se han desarrollado modelos para ayudar a los administradores a comprender y tomar mejores decisiones relacionadas con la operación de líneas de espera (colas)
A Principios de siglo XX, A. K. Erland, ingeniero de teléfonos danés, empezó un estudio de congestionamientos y tiempos de espera que ocurrirán al efectuar llamadas telefónicas. Desde entonces la teoría de las líneas de espera se han hecho mucho mas complejas y se ha ampliado su aplicación.
Los modelos de líneas de espera consisten en formulación matemática y relaciones que pueden usarse para determinar las características de operación (medidas de desempeño) de una línea de espera. Algunas características interesantes son: 1. La probabilidad de que no exista ninguna unidad en el sistema 2. El numero promedio de unidades en la línea de espera 3. El numero promedio de unidades en el sistema (el numero de unidades en la línea de espera mas el numero de unidades que se están atendiendo) 4. El tiempo promedio que utiliza una unidad en la línea de espera 5. El tiempo promedio que utiliza una unidad en el sistema (el tiempo de espera mas el de servicio) 6. La probabilidad de que se tenga que esperar para que se le atienda.
4.1. ESTRUCTURA DEL SISTEMA DE LINEA DE ESPERA Los sistemas de servicio generalmente se clasifican en términos del número de canales y el número de fases o de paradas de servicio que deben realizarse. Aquí algunos ejemplos de estructuras de sistemas:
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Sistema de colas Llegadas
Cola
Servidor
Salidas
Sistema de un solo canal y una sola fase
Sistema de colas Llegadas
Servidor Tipo 1
Cola
Servidor Tipo 2
Cola
Salidas
Sistema de un solo canal multifase
Sistema de colas
Servidor
Llegada s
Cola
Servidor Servidor
Salidas Salidas Salidas
Sistema multicanal de una sola fase
Sistema de colas Llegada s
Cola
Servidor 1 Tipo 1
Servidor 1 Tipo 2
Servidor 2 Tipo 1
Servidor 2 Tipo 2
Sistema multicanal, multifase
Carbón Burger esta preocupado pues los métodos que utiliza para atender a los clientes están dando como resultado tiempos excesivos de espera (colas).
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La administración ha pedido que se haga un estudio de línea de espera para ayudar a determinar cual es el mejor procedimiento de reducir los tiempos de espera y mejorar el servicio.
EJEMPLO CARBON BURGER: LINEA DE ESPERA DE UN SOLO CANAL Actualmente en Carbon Burger un empleado toma el pedido del cliente, le cobra el pedido y entonces surte el pedido. Una vez surtido el pedido del primer cliente, el empleado toma el pedido del siguiente cliente que ha estado esperando para que lo atiendan. Esta esto es un ejemplo de una línea de espera de un solo canal.
Sistema Empleado
Llegada de Clientes Toma y surtido de pedidos
Cola de Clientes
El cliente se va después que se le ha atendido el pedido
4.2. DISTRIBUCIÓN DE LAS LLEGADAS El proceso de llegadas para una línea de espera, involucra determinar la distribución de probabilidad del número de llegadas en un periodo dado.
En muchas situaciones de línea de espera, las llegadas ocurren de manera aleatoria e independiente y no es posible predecir cuando llegar una. La distribución de probabilidad de Poisson da una buena descripción del patrón de llegadas
La función de probabilidad de Poisson, define la probabilidad de x llegadas en un
periodo dado de tiempo, según Donde:
P( x)
x e x!
para x = 0, 1, 2, ….
x = números de llegadas en el periodo de tiempo
= promedio o numero medio de llegadas por periodo e = 2.71828
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Ahora, suponga que Carbon Burger ha analizado los datos referentes a la llegada de clientes y ha concluido que la tasa media de llegadas es de 45 clientes por hora. Para un lapso de 1 minuto, la tasa media de llegadas seria 45 / 60 0.75 llegadas por minuto. Por tanto, las probabilidades de 0, 1 y 2 llegadas en un periodo de tiempo de un minuto son:
(0.75) 0 e 0.75 e 0.75 0.4724 0! (0.75)1 e 0.75 P(1) 0.75e 0.75 0.3543 1! (0.75) 2 e 0.75 P(2) 0.1329 2! P(0)
PROBABILIDAD DE POISSON PARA EL NÚMERO DE LLEGADAS EN 1 MIN ( = 0.75) Numero de
Probabilidad
llegadas
Numero de
Probabilidad
llegadas
0
0.4724
3
0.0332
1
0.3543
4
0.0062
2
0.1329
5 o mas
0.0010
La probabilidad de que no ocurra ninguna llegada en un periodo de 1 minuto es de 0.4724, la probabilidad de una llegada y 2 llegadas en un periodo de un minuto es de 0.3543 y 0.1329 respectivamente
Los modelos de líneas de espera utilizan la distribución de probabilidad de Poisson para describir las llegadas de clientes de Carbon Burger. En la práctica, se debe registrar el número real de llegadas por periodo durante varios días o semanas y comparar la distribución de frecuencia del número observado de llegadas con la distribución de probabilidad de Poisson, para determinar si esta ultima nos da una aproximación razonable de la distribución de llegadas.
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4.3. DISTRIBUCION DE LOS TIEMPOS DE SERVICIOS El tiempo de servicio es aquel que pasa un cliente en la instalación de servicio una vez que este se ha iniciado. En el ejemplo de Carbon Burger , el tiempo de servicio se inicia cuando un cliente coloca su pedido y continua hasta que dicho cliente ha recibido su pedido; los tiempos de servicio rara vez son constantes. En Carbon Burger, el tiempo varía considerablemente de un cliente a otro.
Los pedidos pequeños pueden manejarse en cuestión de segundos, pero los más grandes pueden requerir más minutos para procesarse. Los analistas han concluido de que si se puede suponer que los tiempos se servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, existen formulas para obtener información útil sobre la operación de la línea de espera. Si la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio es exponencial, la probabilidad de que el tiempo sea “menor o igual” a un tiempo de duración t, es.
P(tiempo de servicio t) 1 - e - t Donde: μ = Promedio de unidades que pueden atenderse por periodo Suponga que Carbon Burger ha estudiado el proceso de toma y surtido de los pedidos y ha llegado a la conclusión de que el único empleado puede procesar un promedio de 60 pedidos de clientes por hora. Con base en un minuto, la tasa promedio es μ = 60/60 = 1 cliente por minuto.
P(tiempo de servicio 0.5 min) 1 - e -1(0.5) 1 0.6065 0.3935 P(tiempo de servicio 1.0 min) 1 - e -1(1.0) 1 0.3679 0.6321 P(tiempo de servicio 2.0 min) 1 - e -1(2.0) 1 0.1353 08647 Hay una probabilidad de 0.3935 de que se procese un pedido en menos de medio minuto, una probabilidad de 0.6321 de que se procese en menos de 1 minuto y una probabilidad de 0.8647 de que se procese en dos minutos o menos
La distribución de probabilidad de los tiempos, en la práctica se debe reunir datos sobre los tiempos reales de servicios para ver si la distribución de probabilidad exponencial es una aproximación razonable a los tiempos de su aplicación.
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4.4. DISCIPLINA EN LA COLA Al describir un sistema de línea de espera, debemos definir la forma en que las unidades se organizan para el servicio. En el caso de Carbon Burger y en general la mayor parte de las líneas de espera orientadas hacia el servicio de clientes, las unidades se organizan con base en que el primero que llega es el primero que se atiende, Sin embargo algunas situaciones requiere diferentes disciplina de colas. Por ejemplo cuando esperando llegada de un elevador, el último en el elevador es por lo general el primero que completa su servicio
4.5. NOTACION KENDALL D. G. Kendall sugirió una notación para clasificar la amplia diversidad de los diferentes modelos de línea de espera. La notación de Kendall de tres símbolos es como sigue:
A/B/k
Donde: A = indica la distribución de probabilidad de las llegadas B = indica la distribución de probabilidades del tiempo de servicio k = numero de canales
Dependiendo de la letra que aparezca A o B, se puede describir una amplia variedad de líneas de espera. Las letras comúnmente utilizadas son: M = indica una probabilidad de Poisson para las llegadas o una distribución exponencial para el tiempo de servicio D = indica el hecho que las llegadas o el tiempo de servicio es constante o deterministico G = indica que las llegadas o el tiempo de servicio tiene una distribución de probabilidad general, con media y varianza conocidas
4.6. MODELO DE LINEA DE ESPERA DE UN SOLO CANAL, CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIAL (M/M/1) Este modelo solo debe usarse cuando se cumple las siguientes condiciones 1. La línea de espera tiene un solo canal 2. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson 3. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial 4. La disciplina en la cola es primera llegada, primer servicio
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Como estas condiciones se aplican al ejemplo de Carbon Burger, mostraremos como se puede utilizar las formulas para darle a la administración información útil para la toma de decisiones.
CARACTERISTICAS DE OPERACIÓN Las siguientes formulas detalla las características de operación en estado estable de una línea de espera de un sol canal, con llegadas tipo Poisson y tiempos de servicio exponencial, donde:
= Promedio de llegadas por periodo (tasa media de llegadas)
= promedio de servicio en el periodo (tasa media de servicio) 1. Probabilidad de que no existan
Po 1
unidades en el sistema
2. Número promedio de unidades en la línea de espera
2 Lq ( )
L Lq
3. Número promedio de unidades en el sistema 4. Tiempo promedio que utiliza la unidad
Wq
en la línea de espera
Lq
W Wq
5. Tiempo promedio que una unidad ocupa en el sistema
1
6. Probabilidad de que una unidad que llega tiene que esperar el servicio (factor de utilización de la instalación del servicio)
Pw
n
7. Probabilidad de n unidades en el sistema
Pn Po
Los valores de la tasa media de llegadas ( ) y la tasa media de servicios ( ) claramente son componentes de importancia en la determinación de las características de operación.
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Las formulas 1 y 7, son solo aplicables cuando la tasa media del servicio es superior a la tasa media de llegadas , es decir 1 . De no ser así, la línea de espera continuara creciendo sin limite, porque la instalación de servicio no tiene capacidad suficiente para atender las unidades que llegan, por lo que para utilizar las ecuaciones 1 y 7 debemos tener
CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN PARA CARBÓN BURGER En el problema de Carbon Burger, tenemos una tasa media de llegada 0.75 clientes por minuto y una tasa media de servicio μ = 1 cliente por minuto, por lo que , se puede utilizar las ecuaciones 1 y 7 para obtener las características de operación de la línea de espera de un solo canal de Carbon Burger.
Po 1 Lq
0.75 1 0.25 1
2 0.752 2.25 clientes ( ) 1(1 0.75)
L Lq Wq
Pw
Lq
0.75 2.25 3 clientes 1
2.25 3 minutos 0.75
W Wq
1
1 3 4 minutos 1
0.75 0.75 1
Informe para la administración de Carbon Burger sobre los modelos de línea de espera Los clientes esperan un promedio de 3 minutos, antes de empezar a colocar su pedido, lo que parece algo largo para un negocio de servicio rápido. Además, el numero promedio de clientes esperando en la cola es de 2.25 y que el 75% de los clientes que llegan tienen que esperar para que se le de el servicio, son indicadores de algo que debe de hacerse para mejorar la operación de la línea de espera.
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La tabla siguiente muestra una probabilidad de 13.35% de que 7 o mas clientes estén en la cola a la vez. Esta situación indica una probabilidad elevada de que si continua con la misma operación de un solo canal Carbon Burger, experimentara algunas colas largas
Número de
Probabilidad
Clientes 0
0.75 P0 Po 0.25 1
1
0.75 P1 Po 0.25 1
2
0.75 P2 Po 0.25 1
3
0.75 P3 Po 0.25 1
4
0.75 P4 Po 0.25 1
5
0.75 P5 Po 0.25 1
6
0.75 P6 Po 0.25 1
7 a mas
0.75 P7 Po 0.25 1
n
n
0
1
n
2
n
3
n
4
n
5
n
6
n
7
0.2500
0.1875
0.1406
0.1055
0.0791
0.0593
0.0445
0.1335
MEJORA EN LA OPERACIÓN DE LA LÍNEA DE ESPERA Después de revisar las características de operación obtenidas en el modelo actual de la línea de espera, la administración de Carbon Burger concluyo que era deseable hacer mejoras para reducir los tiempos de espera.
Muy a menudo, las mejoras en la operación de la línea de espera se enfocan en mejorar la tasa de servicio. Generalmente, las mejoras de servicio se hacen mediante lo siguiente:
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1. Incrementar la tasa media de servicio μ, mediante algún cambio creativo en el diseño o utilizando nuevas tecnologías 2. Agregar canales de servicio, de manera que se puedan servir más unidades simultáneamente.
Ahora suponga que al considerar la alternativa 1, Carbon Burger decide ocupar a un empleado como surtidor de pedidos, que ayudara a quien toma los pedidos en la caja. El cliente empieza el proceso de servicio colocando su pedido con el empleado tomador de pedidos, este le cobra su pedido al cliente y después el empleado surtidor de pedidos empieza a surtirlo.
Con este diseño Carbon Burger estima que la tasa media de servicio se puede incrementar de la cifra actual de 60 clientes por hora a 75 clientes por hora, por lo que la tasa media de servicios para el nuevo sistema será de 75 / 60 1.25 clientes por minuto. Para 0.75 y 1.25 . CARACTERISTICAS DE OPERACIÓN PARA NUEVO SISTEMA DE CARBON BURGER μ = 1.25 CLIENTES POR MINUTO Probabilidad de ninguna unidad en el sistema
0.400
Numero promedio de unidades en la línea de espera
0.900
Numero promedio de unidades en el sistema
1.500
Tiempo promedio en la línea de espera
1.20 min
Tiempo promedio en el sistema
2.00 min
Probabilidad de que tenga que esperar una unidad de llegada
0.600
Probabilidad de que existan en el sistema 7 o mas unidades
0.028
Esta tabla indica que todas las características de operación han mejorado debido a la nueva tasa mejorada de servicio. El tiempo promedio en el sistema se ha reducido de 4 a 2 minutos
Tal como se mencionó anteriormente, otra opción es proporcionar uno o más canales de servicio adicionales, de manera que más de un cliente puede ser atendido al mismo tiempo (modelo de línea de espera con varios canales)
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4.7. MODELO DE LINEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES (M/M/k)
Una línea de espera multicanal está formada por 2 o más canales de servicio, que se supone idénticos en función de su capacidad de servicio. En el sistema multicanal, las unidades de legada esperan en una sola línea de espera y a continuación pasan al primer canal disponible para ser atendidas.
Un ejemplo de este tipo de línea de espera de una solo fase y multicanal se encuentran actualmente en muchos bancos, se forma una fila en común y el cliente se dirige al primer cajero disponible
La operación de un solo canal de Carbon Burger se puede expandir a un sistema de 2 canales, abriendo un segundo canal.
El sistema multicanal supone que: 1. La línea de espera tenga 2 o más canales 2. Las llegadas siguen una distribución de Poisson 3. Los tiempos de servicio de cada canal sigan una distribución de probabilidad exponencial. 4. La tasa media de servicio μ es la misma para cada uno de los canales, es decir que todos los servidores se desempeñan en el mismo ritmo 5. La disciplina de la cola es primeras llegadas, primeros servicios (FIFO)
LAS CARACTERISTICAS DE OPERACIÓN
= tasa media de llegadas del sistema = tasa media de servicio de cada canal k = numero de canales
1.
Probabilidad de ninguna unidad en el sistema
Po
1
k 1
n 0
k n!
2. Numero promedio de unidades en la línea de espera
k!
k k
k . Lq Po k 1!.k 2 95
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3. Numero promedio de unidades en el sistema
4. Tiempo promedio que ocupa una
L Lq
Wq
unidad en la línea de espera
5. Tiempo promedio que una unidad
Lq
W Wq
ocupa en todo el sistema
6. Probabilidad de que una unidad que llega, tenga que esperar por servicio
1 Pw k!
1
k
k Po k
7. Probabilidad de que existan n unidades en el sistema
n Pn Po n!
Pn
n k!.k ( nk )
Po
Para n ≤ k
Para n > k
Dado que μ es la tasa media de servicio de cada canal, kμ es la media de servicio para todo el sistema multicanal. Como en el caso de un modelo de línea de espera de un solo canal, las formulas para las características de operación de las líneas de espera multicanal solo peden aplicarse en situaciones en las que la tasa media de servicio para el sistema sea superior a la tasa media de llegadas, en otras palabras solo son aplicable si kμ >
CARACTERISTICA DE OPERACIÓN PARA CARBON BURGER. Suponga que la administración desea evaluar la conveniencia de abrir una segunda estación de procesamiento de pedidos, de manera que se pueda atender a 2 clientes simultáneamente
Utilizamos las ecuaciones para el sistema de k = 2 canales. Para una tasa media de llegada 0.75 clientes por minuto y una tasa media de servicio 1 cliente por minuto para cada uno de los canales.
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Po
1
k 1
n 0
k
n!
k!
k k
1 0.4545 0.75 1 0.75 11 2(1) n! 1! 2 0.75 n 0 1
2 k . 0.75 1 .(0.75)(1) Lq Po (0.4545) 0.1227 k 1!.k 2 2 1!.2(1) 0.752
L Lq
Wq
0.75 0.1227 0.8727 Cliente 1
Lq
Cliente
0.1227 0.16 minutos 0.75
1 Pw k!
k
W Wq
k 1 0.75 Po 2! 1 k
2
1
1 0.16 1.16 minutos 1
2(1) (0.4545) 0.2045 2 ( 1 ) 0 . 75
Utilizando las ecuaciones (7), podemos calcular las probabilidades de clientes en el sistema.
Número de Clientes 0 1
Probabilidad
n Pn Po n!
2 3 4
0.4545 0.3409 0.1278
Pn
n k!.k ( nk )
0.0479
Po
5 o mas
0.0180 0.0109
Ahora podemos comparar las características de operación en estado estable del sistema multicanal versus el sistema original de un solo canal 1. El tiempo promedio que utiliza un cliente en el sistema (tiempo de servicio + tiempo de espera) se reduce de W = 4 a W = 1.16 minutos 2. El numero promedio de clientes en la línea de espera se reduce de Lq = 2.25 a 0.1227 clientes 3. El tiempo promedio que utiliza un cliente en la línea de espera se reduce de W = 3 minutos a 0.16 minutos
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4. La probabilidad de que un cliente tenga que esperar su servicio se reduce de Pw = 0.75 a 0.2045
4.8. ANALISIS ECONOMICO DE LAS LINEAS DE ESPERA Frecuentemente las decisiones que implican diseño de líneas de espera se basan en la evaluación subjetiva de sus características de operación, por otra parte también influye el costo de operar el sistema de colas y entonces basar su decisión respecto al diseño del sistema y al costo de la línea de espera
Para desarrollar un modelo de costo total de una línea de espera, empezamos a definir las notaciones que se emplearán Cw = Costo de espera por periodo de cada unidad L = numero promedio de unidades en el sistema Cs = costo de servicio por periodo de cada canal k = número de canales TC = Costo total por periodo
TC = CwL + Csk
Para elaborar un análisis económico de una línea de espera, debemos obtener estimaciones razonables del costo de espera, como el costo del servicio.
El costo de espera generalmente es el más difícil de evaluar, en el Problema de Carbon Burger, el costo de espera, sería el costo por minuto de un cliente que está esperando a que lo atiendan, Si Carbon Burger ignora este costo y permite colas largas, finalmente los clientes se irán a otra parte, por lo que Carbon Burger experimentara perdidas de venta e incurrirá en un costo. Supongamos que Carbon Burger está dispuesto a asignar un costo de $10 por hora al tiempo de espera del cliente
El costo de servicio, por lo general es más fácil de determinar, ya que es un costo relacionado con la operación de cada uno de los canales de servicio. En Carbon Burger, este costo incluirá el sueldo y los beneficios sociales del empleado servidor, asi como cualquier otro costo directo asociado con la operación del canal del servicio. En Carbon Burger, este costo se estima en $7 por hora.
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Para obtener el costo total por hora para un sistema de un solo canal y dos canales, utilizaremos el numero promedio de de unidades en el sistema (L = 3 clientes para un solo canal) y (L = 0.8727 clientes para 2 canales).
Un solo canal (L = 3 clientes)
Dos Canales (L = 0.8727 clientes)
TC = CwL + Csk
TC = CwL + Csk
TC = $10(3) + $7(1) = $37 por
TC = $10(0.8727) + $7(2) = $22.73
hora
por hora
Concluimos con base en los costos proporcionados por Carbon Burger, el sistema de 2 canales ofrece la solución más económica. En la siguiente figura muestra las curvas de los costos en el análisis económico de las líneas de espera.
El costo de servicio aumenta conforme se incrementa el número de canales. Sin embargo el servicio es mejor con más canales, como resultado el tiempo y el costo de esperar se reducen. Evaluando el costo total para varias alternativas de diseño se puede determinar el número de canales que resulte una buena aproximación del diseño de costo total mínimo.
4.9. MODELO DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPO DE SERVICIO ARBITRARIOS (M/G/1)
CARACTERISTICAS DE OPERACIÓN PARA EL MODELO M/G/1 La notación para describir las características de operación del modelo M/G/1 es
Tasa media de llegadas µ = tasa media de servicios
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= tiempo promedio o medio de servicio = desviación estándar del tiempo de servicio
A continuación, aparecen algunas de las características de operación en estado estable del modelo de colas M/G/1.
1. Probabilidad de que no existan unidades en el sistema
2. Numero promedio de unidades en la línea de espera
3. Numero promedio de unidades en el sistema
4. Tiempo promedio que utiliza una unidad en la línea de espera
5. Tiempo promedio que utiliza una unidad en el sistema
6. Probabilidad de que una unidad de llegada tenga que esperar servicio
UN EJEMPLO: Un solo empleado maneja las ventas al menudeo en una tienda, las llegadas de los clientes son aleatorias y la tasa promedio de llegada es de 21 clientes por hora, es decir λ = 21/60 = 0.35 clientes por minuto. Un estudio del proceso del servicio muestra que el tiempo promedio del servicio es de 2 minutos por cliente, con una desviación estándar de σ = 1.2 minutos. El tiempo promedio de 2 minutos por cliente muestra que el empleado tiene un tasa de servicio promedio de µ = ½ = 0.50 clientes por minuto. Las características de operación de este sistema de línea de espera M/G/1 son:
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4.10. MODELO DE CANAL MULTIPLE CON LLEGADAS DE POISSON, TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIO Y SIN LINEA DE ESPERA. (M/G/k) Es una variante de los modelos anteriores, en donde no se les permite la espera. Las unidades (clientes) que llegan buscan servicio en uno de varios canales de servicio. Si todos los canales están ocupados a las unidades que llegan se les niega el acceso al sistema, es decir las llegadas que ocurren cuando el sistema esta lleno quedan bloqueadas y se eliminan del sistema. Estos clientes pueden perderse o intentar regresar posteriormente al sistema El modelo específico se basa en las siguientes hipótesis: 1. El sistema tiene k canales 2. Las llegadas siguen una distribución de Poisson, con una tasa media de llegada λ 3. Los tiempos de servicio de cada canal pueden tener cualquier distribución de probabilidad
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4. La tasa media de servicio µ es la misma en cada canal 5. Las llegadas entran al sistema si hay por lo menos 1 canal disponible. 6. Las llegadas que ocurran cuando todos los canales están ocupados quedaran bloqueados (no ingresaran al sistema)
Cuando G indica una distribución de probabilidad general o no especificada para los tiempos de servicio, el modelo apropiado para esta situación se le conoce como un modelo M/G/k con clientes “bloqueados y eliminados”. La pregunta que se hace en este tipo de situación es ¿Cuántos canales o servidores deben usarse?.
Este modelo es importante para los diseños de sistemas de comunicación telefónica y otros en los que las llegadas son las llamadas y los canales son el número de teléfonos o líneas de comunicación disponibles. En un sistema de este tipo, las llamadas se conmutan automáticamente a un canal abierto. Cuando todos los canales están ocupados, las llamadas adicionales reciben señal de ocupado y se les niega el acceso al sistema.
CARACTERISTICAS DE OPERACIÓN PARA UN MODELO M/G/k CON CLIENTES BLOQUEADOS Y ELIMINADOS. Nos enfrentamos al problema de seleccionar el numero mas adecuado de canales para calcular las probabilidades de que j de los k canales estén ocupados. Estas probabilidades son:
Donde: λ = tasa media de llegadas µ = Tasa media de servicio de cada canal k = numero de canales Pj = Probabilidad de que j de los k canales estén ocupados (j=0,1,2,…..,k)
Otra característica de interés, es el número promedio de canales que están siendo usados.
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Muchas de las características de operación que se vio anteriormente, no se aplican al modelo M/G/k con clientes bloqueados y eliminados. Ya no se toma en consideración, porque la espera en este tipo de sistema no esta permitida Un Ejemplo: Plaza Vea utiliza un sistema de pedidos por teléfono para sus clientes. Suponga que las llamadas al numero de plaza Vea llegan a una tasa promedio de 12 por hora; el tiempo requerido para procesar un pedido telefónico varia considerablemente entre pedidos. Sin embargo se espera que cada operador de Plaza Vea maneje un promedio de 6 llamadas por hora. Actualmente Plaza Vea tiene 3 anexos telefónicos (canales internos), cada uno de ellos manejado por un operador diferente. Las llanadas que se reciben se transfieren automáticamente a alguna de las líneas disponibles (canales abiertos). Cuando todas las líneas están ocupadas, los que llaman oyen una señal de ocupado. Plaza Vea observo que los a los clientes que llaman y se les niegan el acceso, ya no vuelve a llamar, por lo que estas llamadas representan ingresos perdidos para Plaza Vea.
La administración de Plaza Vea, quiere saber cual es el porcentaje de los que llaman y reciben señal de ocupado y se les niega el acceso al sistema. Si el objetivo de la administración es tener capacidad suficiente para manejar el 90% de los pedidos por teléfonos. ¿Cuántas líneas telefónicas y operadores deberán utilizar Plaza Vea?
Calculando la probabilidad de que las 3 líneas disponibles actualmente estén ocupadas y de que gente adicional que llame sea bloqueada es:
Aproximadamente el 21% de las llamadas, es decir una de cada 5, están siendo bloqueadas y 4 de cada 5 (79%) de las llamadas se están atendiendo de manera inmediata con el sistema de 3 líneas
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Ahora, supongamos que Plaza Vea decide ampliar a un sistema de 4 líneas, entonces la probabilidad de que las 4 líneas estén en uso y de que quienes llamen serán bloqueados es:
Solo el 9.52% de los que llaman serán bloqueados, el 90.48% de quienes llamen serán atendidos por un operador, por lo que Plaza Vea debe ampliar su sistema a 4 líneas. El numero promedio de llamadas en el sistema de 4 líneas y por lo tanto el número promedio de líneas y operadores ocupados es:
Aunque un sistema de 2 líneas estarán más ocupadas, es necesario un sistema de 4 líneas para tener capacidad de manejar por lo menos el 90% de los pedidos.
Probabilidad de llamadas bloqueadas para el sistema de 4 líneas de Plaza Vea Numero líneas
0
1
2
3
4
0.1429
0.2857
0.2857
0.1905
0.0952
ocupadas Probabilidad
4.11. MODELOS DE LINEAS DE ESPERA CON POBLACIONES DE SOLICITANTES FINITAS (M/M/1) Los modelos hasta ahora presentados, la población de unidades (clientes) es ilimitada o infinita. En términos técnicos, cuando no se establece un límite en el número de unidades que pudieran solicitar servicio, se dice que el modelo tiene una población infinita, con una tasa media de llegadas λ constante, independiente del número de unidades que estén en el sistema de colas.
En otros casos, el máximo número de unidades (clientes) que pueden solicitar servicio se supone finito. En esta situación la tasa media de llegadas del sistema va cambiando dependiendo del número de unidades en la línea de espera, entonces la población de solicitantes es finita.
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Para considerar el efecto de la población finitas, debe modificarse las formulas de las características de operación, correspondiente a los modelos de colas anteriores. El modelo de población de solicitantes finitos se basa en las siguientes hipótesis: 1. La línea de espera tiene un solo canal 2. La población de unidades que pudiera solicitar el servicio es finito 3. Las llegadas de cada unidad siguen una distribución de Poisson, con una tasa media de llegadas λ. 4. Los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial, con una tasa media de servicio µ. 5. La disciplina de la cola es FIFO.
La tasa media de llegadas del modelo M/M/1, con población de solicitantes finitos se define en función de la frecuencia con que cada unidad llega busca el servicio. La tasa media de llegadas del sistema varia dependiendo del número de unidades presentes en el sistema. En lugar de ajustar en función de la tasa variable de llegadas en el sistema, el modelo de población de solicitantes finita λ indica la tasa media de llegadas correspondiente a cada unidad Aplicaciones: una de las principales aplicaciones del modelo M/M/1 con una población de solicitantes finita se conoce como el problema de reparaciones de maquinas. En este problema un grupo de maquinas se considera como una población finita de “Clientes” que pueden solicitar servicio de mantenimiento. Cada vez que falla una maquina, ocurre una llegada, en sentido de que se inicio una nueva solicitud de reparación. Si otra maquina falla antes de haber terminado el trabajo de reparación de la primera, la segunda maquina empieza a formar una línea de espera
CARACTERISTICAS DE OPERACIÓN PARA EL MODELO M/M/1, CON POBLACION DE SOLICITANTES FINITA.
Las siguientes formulas se utilizan para determinar las características de operación en estado estable para un modelo M/M/1 con poblaciones de solicitantes finitas, donde: λ = tasa media de llegadas de cada unidad µ = tasa media de servicio
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N = tamaño de la población
1. Probabilidad de que no existan unidades en el sistema
2. Numero promedio de unidades en la línea de espera
3. Numero promedio de unidades en el sistema
L = Lq + (1 – Po)
4. Tiempo promedio que ocupa una unidad en la línea de espera
5. Tiempo promedio que una unidad ocupa en el sistema
6. Probabilidad de n unidades en el sistema
Para n=0, 1, 2, …, N
UN EJEMPLO: Kolkmeyer Manufacturing tiene un grupo de 6 máquinas idénticas, cada una trabaja en promedio de 20 horas entre averías, por lo que la tasa media de llegadas o de servicio de reparación de cada máquina individual es de λ = 1/20 = 0.05 máquinas por hora. Con averías de ocurrencia aleatoria se utilizan la distribución de probabilidad de Poisson para describir el número de llegadas de averías de máquinas. Una persona de mantenimiento da el servicio de reparación de un solo canal para las 6 máquinas. Los tiempos de servicio distribuidos de manera exponencial tiene una media de 2 horas por máquina, es decir una tasa media de servicio µ = ½ = 0.5 máquinas por hora.
L = Lq + (1 – Po) = 0.3295 + (1 – 0.4845) = 0.845 maquinas
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Finalmente se puede utilizar la ecuación 6 (Pn) para calcular las probabilidades de que cualquier número de máquinas estén en el sistema en reparación Número de unidades en el sistema
Probabilidad
0
0.5602
1
0.3361
2
0.0840
3
0.0168
4
0.0025
5
0.0003
6
0.0000
EJERCICIOS PROPUESTOS 4 1. Una máquina de servicio tiene una unidad de reserva para sustituirla de inmediato cuando falle. El ”Tiempo a la falla” (tiempo entre fallas) de la maquina (o de su unidad de reserva) es exponencial, y sucede cada 40 minutos en promedio. a. El operador de la maquina dice que esta ¨tiene la costumbre de descomponerse cada noche a eso de las 8:30 P.M. Analizar lo que dice el operador. b. La cantidad promedio de fallas en una semana, suponiendo que el servicio se ofrece 24 horas por dıa y 7 dıas por semana. c. La probabilidad de que haya al menos una falla en un perıodo de 2 horas. d. La probabilidad de que la proxima falla no suceda en menos de 3 horas. e. Si no ha sucedido falla en 3 horas despues de la ultima falla, ¿cual es la probabilidad de que el tiempo entre fallas sea de 4 horas cuando mucho?. 2. El tiempo entre llegadas en una dependencia del Banco Mercan es exponencial con valor medio de 0.05 hora. La oficina abre a las 8:00 A.M. a. Escriba la distribución exponencial que describa el tiempo entre llegadas. b. Determine la probabilidad de que no lleguen clientes a la oficina hasta las 8:15A.M.
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c. Son las 8:35 A.M. El ultimo cliente entro a las 8:26. ¿Cual es la probabilidad de que el siguiente cliente llegue antes de las 8:38 A.M.? ¿Y de que no llegue hasta las 8:40?. d. ¿Cual es la cantidad promedio de clientes que llegan entre las 8:10 y las 8:45A.M.? 3. Se demandan unidades de un artículo en una tienda cuyas existencias están limitadas a 80 unidades, de acuerdo con una distribución de Poisson con media 5 u. por día. Determinar: a) La probabilidad de que se retiren 10 artículos durante los primeros 2 días. b) La probabilidad de que no quede ningún artículo al final de 4 días. c) El número promedio de artículos retirados en 4 días. 4. En una clínica se reciben una media de 40 accidentados por día. El tiempo medio de servicio es una hora. Hallar la probabilidad de que haya más de 2 enfermos en cola, en función de que la clínica tenga 2 o 3 médico. ¿Qué ocurriría si sólo tuviera uno? 5. Suponga que el tiempo entre descomposturas de una maquina es exponencial, con promedio de 6 horas. Si la maquina ha trabajado sin fallar durante las últimas tres horas, ¿cual es la probabilidad de que continúe sin fallar durante la próxima hora? ¿De que se descomponga durante la siguiente 0.5 hora?. 6. El tiempo entre llegadas a una sala de juego en la sociedad de alumnos es exponencial, con una media de 10 minutos. a. ¿Cuál es la frecuencia de llegadas por hora? b. ¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen alumnos a esa sala durante los 15 minutos siguientes?. c. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un alumno visite la sala de juegos durante los próximos 20 minutos? 7. El tiempo entre llegadas a un restaurante es exponencial con media 5 mn. El restaurante abre al público a las 11:00. Determinar: a) La probabilidad de tener 10 clientes en el restaurante a las 11:12 dado que hubo 8 a las 11:05. b) La probabilidad de que llegue el siguiente cliente entre las 11:28 y las 11:33 dado que el último cliente llegó a las 11:25. 8. El gerente de un nuevo restaurante de comida rápida desea cuantificar el proceso de llegadas de clientes, estimando la fracción del intervalo de tiempo entre llegadas que sea a) menor que 2 minutos, b) entre 2 y 3 minutos y c)mas de 3 minutos. Las llegadas en restaurantes parecidos tienen una frecuencia de 35 clientes por hora. El tiempo entre llegadas tiene distribución exponencial. 9. Ana y Pedro, dos empleados de un restaurante de comida rápida, juegan lo siguiente mientras esperan la llegada de clientes. Pedro le paga $2 a Ana si el próximo cliente no llega en menos de 1 minuto; en caso contrario, Ana le paga a Pedro $2.
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Calcule la recompensa promedio de Pedro en un período de 8 horas. El tiempo entre llegadas es exponencial, con una media de 1.5 minutos. 10. En un ambulatorio se reciben una media de tres pacientes por hora, siguiendo una distribución de Poisson. El único médico que está en el ambulatorio atiende una media de 6 pacientes por hora. Los tiempos de atención siguen una distribución exponencial. La pregunta que se plantea el gestor es si vale la pena contratar a un nuevo médico o no (considerando que éste realizará el mismo número de pacientes). 11. La llegada de enfermeras a una farmacia del hospital Todosalud puede describirse a través de una distribución de Poisson. Los tiempos de servicio utilizan una distribución exponencial. La tasa de llegada es de 45 enfermeras por hora, mientras que cada farmacéutico puede atender a 50 enfermeras por hora. El coste de cada enfermera es de 15 euros por hora, mientras que cada farmacéutico gana 10 euros por hora. Encontrar el número óptimo de farmacéuticos a contratar. RPTA
12. Un centro de atención primaria tiene que administrar la vacuna de poliomelitis a los niños de un barrio. El centro está organizado de forma que los padres van llegando con los niños, formando una cola y siendo atendidos 40 por hora, con una distribución exponencial, por cualquiera de las enfermeras que están de servicio. Este servicio de vacunación se ofrece una vez a la semana, y en este día las llegadas se realizan con una tasa igual a 40 niños por hora. El director del centro sabe que la mayoría de los padres vienen durante sus horas de trabajo y por ello quiere limitar el tiempo total de administración de la vacuna a 15 minutos (incluyendo la espera). ¿Cuántas enfermeras tendrá que utilizar el gerente? RPTA = 6
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13. Willow bank opera una ventanilla de cajero para automovilistas que permite a los clientes efectuar transacciones sin tener que salir del auto. En las mañanas las llegadas a la ventanilla ocurren de manera aleatoria, con una tasa media de llegada de 24 clientes por hora, es decir 0.4 clientes por minuto. a. Cuál es el numero medio de clientes que llegaran en un periodo de 5 minutos b. Usando la distribución de Poisson, calcule las probabilidades de que lleguen exactamente 0, 1, 2, 3 clientes en un periodo de 5 minutos 14. En el sistema de línea de espera de Willow Bank (Ejercicio 1) suponga que los tiempos de servicio para el cajero sigue una distribución exponencial con una tasa media de servicio de 36 clientes por hora, es decir 0.6 clientes por minuto. Determine las siguientes características de operación del sistema de colas. a. La probabilidad de que no haya ningún cliente en el sistema b. El número promedio de clientes esperando en la cola c. El número promedio de clientes en el sistema d. El tiempo promedio que ocupa un cliente esperando cola e. El tiempo promedio que ocupa un cliente en el sistema f. La probabilidad de que clientes llegan tenga que esperar el servicio. g. Encuentra las probabilidades que estén 0, 1, 2 y 3 clientes en el sistema
15. La mesa de consultas de una biblioteca universitaria recibe solicitudes de ayuda. Según una distribución de Poisson, con una tasa media de 10 solicitudes por hora para describir el patrón de llegadas y que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial con una tasa media de servicio de 12 solicitudes por hora. a. Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna solicitud en el sist b. Cuál es el número promedio de solicitudes que están esperando servicio? c. Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos, antes de que se inicie el servicio? d. Cuál es el tiempo promedio en la mesa de consultas en minutos (tiempo de espera + tiempo de servicio) e. Cuál es la probabilidad de que una nueva llegada (solicitud) tenga que esperar servicio? 16. Los camiones que utilizan un andén de carga de un solo canal llegan según una distribución de Poisson. El tiempo requerido para cargar y descargar sigue una distribución exponencial. La tasa media de llegadas es de 12 camiones diarios y la tasa media de servicio es de 18 camiones diarios. a. Cuál es la probabilidad de que no haya camiones en el sistema? b. Cuál es el número promedio de camiones esperando servicio? c. Cuál es el tiempo promedio que espera un camión a que se inicie el servicio de carga y descarga? d. Cuál es la probabilidad de que una nueva llegada tenga que esperar?
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17. En Rosatel, los nuevos pedidos que procesa un solo oficinista de embarque tiene una tasa media de llegadas y de servicio de 6 y 8 diarios, respectivamente. Suponga que las llegadas siguen una distribución de Poisson y que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. a. Cuál es el número promedio de pedidos en el sistema b. Cuál es el tiempo promedio que tarda una orden esperando, antes que el oficinista esté disponible para iniciar el servicio? c. Cuál es el tiempo promedio que un pedido ocupa en el sistema? 18. Trosper Tire Company ha decidido contratar a un nuevo mecánico para mejorar todos los cambios de llantas que ordenan los juegos nuevos de llantas. Dos mecánicos han solicitado trabajo. Uno de ellos tiene poca experiencia, puede contratarse por $14/hora y darle servicio a un promedio de 3 clientes en ese lapso. El otro tiene varios años de experiencia y puede darle servicio a un promedio de 4 clientes/hora, pero se le tendrá que pagar $20/hora. Suponga que los clientes llegan al taller a una tasa de 2 clientes por hora. a. Calcule las características de la línea de espera de cada mecánico, suponiendo llegadas de poisson y tiempo de servicio exponenciales. b. Si la empresa asigna un costo de espera por cliente de $30 por hora. En cuál de los dos mecánicos hay un costo menor de operación?. 19. Agan Interior proporciona a sus clientes asistencia de decoración domestica y de oficinas. En operación normal llegan un promedio de 2.5 clientes todas las horas. Un asesor de diseño esta disponible para responder las preguntas de los clientes. El asesor promedia 10 minutos para cada cliente. a. Calcule las características de operación de línea de espera de los clientes b. Las metas de servicio indica que un cliente que llega no debe esperar la atención más de 5 minutos en promedio. Se esta cumpliendo esta meta?. De lo contrario que acción recomendaría usted? c. Si el asesor puede reducir el tiempo promedio que utiliza por cliente hasta 8 minutos. Cual es la tasa media de servicio. Se cumplirá la meta de servicio? 20. “Mi Mercado” es un pequeño supermercado local, con solo una caja de salida. Suponga que los compradores llegan al carril de salida de acuerdo a una distribución de Poisson con una tasa media de llegadas de 15 clientes por hora. Los tiempos de servicio de la caja siguen una distribución exponencial con una tasa media de servicio de 20 clientes por hora. a. Calcule las características de operación de esta línea de espera b. Si la meta de servicio es limitar el tiempo de espera en cola a no más de 5 minutos. Que recomendación haría usted en relación con el sistema actual de la caja (considere estas dos alternativas( i. Contratar a una segunda persona para empacar las compras en tanto que el cajero está cobrando al cliente. Con esta operación mejorada en un solo canal la tasa media de servicio puede incrementarse a 30 clientes por hora
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ii. Contratar a una segunda persona para operar una segunda caja de salida. La operación con 2 canales tendría una tasa media de servicio de 20 clientes por hora para cada uno de los canales 21. Keuka Park actualmente tiene una ventanilla de cajero automotriz. Las llegadas siguen una distribución de poisson con una tasa media de 10 automóviles por hora. Los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial con una tasa media de servicio de 12 automóviles por hora. a. Cuál es la probabilidad de que no haya ningún cliente en el sistema? b. Si usted llega en un automóvil a la instalación. Cuantos automóviles esperaría usted ver esperando el servicio c. Cuál es la probabilidad de que por lo menos un automóvil este esperando atención? d. Cuál es el tiempo promedio en la línea de espera aguardando servicio e. Para mejorar el servicio el administrador desea investigar el efecto de poner una segunda ventanilla. Suponga para cada ventanilla una tasa media de llegada de 10 automóviles por hora y una tasa media de servicio de 12 automóviles por hora. Qué efecto tendría aumentar la segunda ventanilla al sistema? 22. City Beverage Drive Thru esta pensando en un sistema de servicio de 2 canales. Los automóviles llegan de acuerdo a una distribución de poisson, con y una tasa media de llegada de 6 automóviles por hora. Los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial con una tasa media de servicio de 10 automóviles por hora para cada uno de los canales. a. Cuál es la probabilidad de que no haya automóvil en el sistema b. Cuál es el número promedio de automóviles esperando servicio c. Cuál es el tiempo promedio esperando servicio d. Cuál es el tiempo promedio en el sistema e. Cuál es la probabilidad de que una llega tenga que esperar para que le den servicio? 23. Considere una línea de espera de 2 canales con llegadas Poisson y tiempo de servicio exponencial. La tasa media de llegada de 2 canales es de 14 unidades por hora y la tasa media de servicio es de 10 unidades por hora en cada uno de los canales a. Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna unidad en el sistema b. Cuál es el número promedio de unidades en el sistema c. Cuál es el tiempo promedio que una unidad esperará para que le den servicio d. Cuál es el tiempo promedio que una unidad estará en el sistema? e. Cuál es la probabilidad de que se tenga que esperar para que se le de servicio? Suponga que se ha ampliado el sistema a una operación con 3 canales f. Calcule las características de operación de este sistema de línea de espera
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g. Si la meta de servicio es tener capacidad suficiente para que no mas de 25% de los clientes tengan que esperar atención. Se preferirá el sistema de 2 o 3 canales? 24. 15-.El servicio de lavado de automóviles tiene un sólo carril y el siguiente automóvil no puede entrar al lavado hasta que el anterior este terminado por completo. En promedio pueden atenderse 10 automóviles por hora según una distribución exponencial, mientras que las llegadas se producen según una ley de Poisson de media 8 por hora. Defínase un modelo adecuado y determínese: a. P(servicio de automóviles esté ocioso) b. Número medio de automóviles esperando para ser lavados. c. Tiempo medio de espera para un cliente. d. Considerar ahora que el servicio de lavado tiene capacidad para 6 coches, incluyendo el que se está lavando.
25. una sucursal de Caja de Madrid cuenta con cuatro cajeros. Ha averiguado que las distribuciones del tiempo de servicio son exponenciales con un promedio de tiempo de servicio de 6 minutos por cliente. Se sabe que los clientes llegan durante las 8 horas que está abierta la oficina, según una distribución de Poisson con un promedio de 30 clientes por hora. ¿Cuántas horas por semana dedica el empleado al desempeño de su trabajo? ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado tenga que esperar a un cliente? Calcular el número de empleados desocupados en cualquier momento dado.
26. Una franquicia de comidas rápidas está considerando operar una operación en ventanilla para automóviles de servicio de alimentos. Suponga que las llegas de los clientes siguen una distribución de poisson, con una tasa media de llegadas de 24 automóviles por hora y que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. Se están considerando las siguientes 3 alternativas: Una operación de una sola ventanilla, donde un empleado surte el pedido y recibe el dinero del cliente. El tiempo promedio de servicio de esta alternativa es de 2 minutos. Una operación de una sola ventanilla, donde un empleado surte el pedido, mientras que otro empleado cobra al cliente. El tiempo promedio de servicio de esta alternativa es de 1.5 minutos Una operación de 2 ventanillas de servicio con 2 empleados El tiempo promedio de servicio de cada ventanilla es de 2 minutos para cada canal. Responda las siguientes preguntas para cada tipo de operación y recomiende un diseño para la franquicia de comida rápida a) Cuál es la probabilidad de que no haya ningún cliente en el sistema b) Cuál es el número promedio de automóviles esperando servicio c) Cuál es el tiempo promedio que espera un automóvil en la cola d) Cuál es el tiempo promedio en el sistema
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e) Cuál es el número promedio de automóviles en el sistema f) Cuál es la probabilidad de que un automóvil tenga que esperar servicio? 27. El banco de la nación piensa abrir una ventanilla de servicio en automóvil. La gerencia estima que los clientes llegan a una tasa de 15 clientes por hora. El cajero que está en la ventanilla puede atender clientes a una tasa de uno cada 3 minutos. Suponiendo que las llegadas son de poisson y que el servicio es exponencial. Encuentre: a. La utilización del cajero b. El número promedio en cola c. El Numero promedio en el sistema d. El tiempo promedio de espera en cola e. El tiempo promedio de espera en el sistema Por la disponibilidad limitada del espacio y el deseo de proporcionar un buen servicio, el gerente del banco quiere asegurar con un 95% de certeza que los clientes no tengan que esperar y sean atendidos inmediatamente. Para ello tiene 2 opciones: conseguir que el empleado de la ventanilla trabaje más rápido o poner más empleados conservando la misma tasa de servicios. Evaluar las 2 posibilidades 28. Una agencia de una sociedad financiera tiene tres promotoras para atender a los clientes que vienen a abrir una nueva participación o a renovar una. Las promotoras son igualmente eficientes y el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con media de 3,5 minutos. En promedio cada hora llegan 12 clientes que vienen a abrir una nueva participación y 25 clientes que vienen a renovar una. Ambas llegadas se realizan de acuerdo a una distribución de Poisson. 29. El gerente desea antes que todo satisfacer a los clientes que abren una nueva participación por lo que estima que una hora de su tiempo vale $18 mientras que sólo evalúa en $7 la hora de un cliente que renové. Por otro lado el tiempo ocioso de una promotora representa una pérdida para la agencia y se cotiza $12 la hora. El gerente considera 3 alternativas: a. asignar una promotora exclusivamente a abrir participaciones y dos promotoras para renovar participaciones b. asignar dos promotoras para abrir participaciones y una promotora para renovar participaciones c. Utilizar las tres promotoras indiferentemente para abrir y renovar participaciones. ¿Cuál decisión debe tomar el gerente? [ un día igual a 8 horas ] 30. Una compañía arrendadora de automóviles, opera su propia instalación de lavado y limpieza de automóviles para prepararlos para su renta. Los automóviles llegan a la instalación de limpieza en forma aleatoria a una tasa de 7 por día. La compañía arrendadora ha determinado que los automóviles pueden limpiarse a un ritmo de 2n por día, donde n es el número de personas que trabajan en un automóvil. Por ejemplo, si se encuentran 6 personas trabajando la tasa de lavado es de 12 automóviles por día. Se ha
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determinado que este procedimiento de lavado se ajusta a la distribución exponencial negativa. La compañía les paga a sus trabajadores $800 por día y ha determinado que el costo por un automóvil que no esté disponible para rentarlo es de $2500 por día, además el costo por trabajador ocioso es de $50 la hora. Un día de trabajo es equivalente a 8 horas. Calcule en número de trabajadores que deben contratarse en la instalación de lavado, para que produzca el menor costo por día y hallar ese costo. 31. La central telefónica de un hotel está operada manualmente por una empleada que da servicio tanto a las llamadas que llegan desde afuera como a las que provienen del hotel. Ambas llamadas se distribuyen de acuerdo a una distribución de Poisson con tasa media de 20 y 16 llamadas por hora respectivamente. La empleada en promedio puede manejar 60 llamadas por hora y la distribución del tiempo necesario para atender a las llamadas es exponencial. Determinar: a. El tiempo promedio durante el cual la empleada está desocupada. b. El número promedio de llamadas esperando servicio. c. El tiempo promedio total de espera en cola de las llamadas desde el hotel. La gerencia está considerando instalar un equipo que manejaría automáticamente las llamadas locales provenientes del hotel lo que reduciría a 8 llamadas por hora la tasa promedio de llamadas provenientes del hotel que llegan a la central. El costo de alquiler de este equipo es de $240 mensuales (1 mes = 200 horas hábiles). El costo promedio por hora y por persona que espera obtener su llamada desde el hotel es de $9. ¿Debe la gerencia instalar el equipo? En vez de instalar el equipo de discado directo se considera la alternativa de emplear una segunda centralista. Ambos empleadas son igualmente eficientes. d. Determinar el tiempo promedio durante el cual ambas empleadas están desocupadas, una sola está trabajando y ambas están trabajando. Determinar la longitud promedio de la cola así como el tiempo promedio total de espera en cola de las llamadas desde el hotel. Si el costo de cada empleada es de $60 por día y el costo promedio por hora y por persona que espera obtener su llamada desde el hotel es de $9. ¿Será conveniente contratar la segunda empleada?
32. Una refinería distribuye sus productos mediante camiones que se cargan en el terminal de carga. Se usan camiones de la compañía y camiones de distribuidores independientes. La tasa media de llegada (para todos los camiones) es de 6 por hora a una distribución de Poisson. En el terminal de carga pueden llenar 8 camiones por hora y la distribución del tiempo necesario para el llenado es exponencial. El 30% de todos los camiones son independientes, se trabaja 8 horas al día.
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a. Determinar el tiempo total estimado que los camiones independientes esperan por día b. Determinar si se debe activar otro terminal al lado con la misma eficiencia, sabiendo que el costo mensual por terminal es de $4,500 y el costo por no disponer de un camión de la empresa es de $800 la hora y de los independientes es de $900 la hora. c. El tiempo promedio durante el cual ambos terminales están desocupados, uno solo esta activo y ambos están trabajando. 33. En la agencia de Terrazas del Ávila del Banco Futuro S.A.I.C.A. se realizan 3 operaciones distintas: apertura de cuentas, pago de cheques y cobro de tarjetas de crédito. Los operarios que prestan el servicio son igualmente eficientes y el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con media de 3 minutos. Cada hora llegan al banco 15 personas a cobrar cheques y 8 personas a pagar tarjetas de crédito. Cada 100 minutos llega al banco ocho personas para abrir una cuenta. De las siguientes 4 opciones, ¿cuál optimiza el manejo de los servicios? a. 3 colas. una distinta para cada servicio. Un sólo cajero (operador) en cada cola. b. 2 colas. Una cola para apertura de cuentas con un operador y otra para pago de cheques y cobro de tarjetas con dos operadores. c. 2 colas. una cola para apertura de cuentas con un operador y otra para pago de cheques y cobro de tarjetas con 3 operadores. d. Una sola cola y seis operadores. Cada operador ejecuta indistintamente cualquier operación. 34. El tiempo del cliente se valora en S/.100 la hora (para el banco) y el tiempo de un operador cuesta S/. 300 la hora. Por otro lado el tiempo ocioso de un operario representa una pérdida para el banco y se cotiza en S/. 40 el día laborable. [un día laborable es igual a ocho horas] Haga un breve análisis de eficiencia (basada en el criterio de minimizar el tiempo "perdido" del cliente) vs. Costos (para el banco). 35. Un banco presta 3 servicios: A, B y C. La sucursal X del banco posee 3 cajas diferentes cada una con un sólo cajero y a cada una de las cajas le corresponde una cola. En cada caja se presta un servicio diferente. La tasa de servicio es la misma para cada caja. Llegan por hora 10, 15 y 20 clientes solicitando los servicios A, B y C respectivamente. La sucursal W coloca a todos los clientes en una cola única y posee varias cajas (1 operador por caja) en cada una de las cuales se realizan indistintamente las operaciones A, B y C. La eficiencia de un operador es de 20 transacciones por hora. a. Calcule el número mínimo de cajas que debe tener la sucursal W para que el sistema funcione. b. ¿A cuánto debería ser la eficiencia de los operadores en la sucursal X para que los costos totales en las dos sucursales sea lo mismo?. Sabiendo que el costo por el tiempo que una persona permanece en el banco es de $5/h para los clientes que van a solicitar los servicios A ó B y de $8/h
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para los clientes que van a solicitar el servicio C. Por otro lado el tiempo ocioso de un cajero representa una pérdida para el banco de $7/h.
36. Una agencia de una sociedad financiera tiene dos promotoras para atender a los clientes que vienen a abrir una nueva participación o a renovar una. Las promotoras son igualmente eficientes y el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con media de 3 minutos. En promedio cada hora llegan 10 clientes que vienen a abrir una nueva participación y 18 clientes que vienen a renovar una. Ambas llegadas se realizan de acuerdo a una distribución de Poisson. El gerente desea antes que todo satisfacer a los clientes que abren una nueva participación por lo que estima que una hora de su tiempo vale $20 mientras que sólo evalúa en $9 la hora de un cliente que renueve. Por otro lado el tiempo ocioso de una promotora representa una pérdida para la agencia y se cotiza $15 la hora. El gerente considera 2 alternativas: 1. asignar una promotora exclusivamente para abrir participaciones y otra promotora para renovar participaciones 2. utilizar las dos promotoras para que trabajen juntas, en este caso su eficiencia conjunta es de dos minutos atendiendo indiferentemente para abrir y renovar participaciones. ¿Cuál decisión debe tomar el gerente? [ un día igual a 8 horas ]
37. Una compañía alimenticia distribuye sus productos por carretera. Los camiones se cargan por medio de un equipo automatizado con un tiempo de servicio exponencial negativo de 5 minutos. El equipo automatizado requiere la presencia de un operador. La compañía, actualmente, sólo utiliza uno de sus cinco muelles de carga y existen quejas por los retrasos. El salario por hora de un operador es de $2,10, y el costo de espera es de $0.02 dólares por minuto para cada camión de la compañía y de $0.06 por minuto para cada camión de los transportistas independientes. Durante el pasado mes los camiones estuvieron llegando aleatoriamente, con una tasa media de 10 por hora. El 40% de los camiones son de la compañía. ¿Que recomendaciones se deberían hacer? El mismo problema pero con un costo ocioso por operario que es de 10 centavos por minuto 38. Llegan camiones a un muelle de carga, en forma aleatoria, con una tasa media de 8 por hora, con un tiempo de servicio exponencial negativo de 2n minutos por camión, donde n representa el numero de operarios que trabajan en conjunto en el muelle. El costo por operario es de 1$ la hora, el costo ocioso por operario es de 2 centavos de dólar por minuto y el costo de espera es de 6 centavos de dólar por minuto para cada camión. ¿Es aconsejable disponer de un segundo muelle de carga que contenga la misma cantidad de operarios que en el muelle principal?
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39. El gerente de un supermercado debe decidir a quién contratar de dos cajeras: María, que trabaja despacio y puede ser empleada por C1 = 3 $/hora; o Alicia que trabaja más rápido y cuesta C2 > C1. Ambas dan servicio exponencial a una tasa de 20 clientes/hora para María y 30 clientes/hora para Alicia. La llegada de clientes a la caja es Poisson con media 10 clientes/hora. El gerente estima que en promedio, el tiempo de cada cliente vale $0,02/minuto y debe ser tomado en cuenta en el modelo. a. Encuentre el costo esperado/hora que se incurre al contratar a María. b. ¿Cuánto estaría usted dispuesto a pagarle a Alicia? 40. El Banco “ Mi Ahorro “ está estudiando dos configuraciones para sus ventanillas de autobanco. El Plan 1 tendría tres ventanillas separadas cada uno con su línea. El Plan 2 tendría un carril que lleva a la entrada de la terna de ventanillas; el cliente iría en este caso a la primera que se desocupara. Se espera una llegada promedio de 70 clientes por hora con distribución Poisson. El tiempo de servicio varia exponencialmente con un promedio de dos minutos por cliente. El Banco estima que el costo por cliente será de 8$ por estar en el banco 15 minutos. El costo ocioso se estima en 18$/hora. ¿Qué plan debe adoptar el banco, para minimizar el costo esperado? 41. Una agencia de una sociedad financiera tiene cuatro promotoras para atender a los clientes que vienen a abrir una nueva participación del tipo A ó del tipo B, o renovar una del tipo A ó del tipo B. Las promotoras son igualmente eficientes y el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con media de 2,8 minutos. En promedio cada hora llegan 12 clientes que vienen a abrir una nueva participación del tipo A, 18 clientes que vienen a abrir una nueva participación del tipo B, 18 clientes que vienen a renovar una participación del tipo A, y 23 clientes que vienen a renovar una participación del tipo B. Las cuatro llegadas se realizan de acuerdo a una distribución de Poisson. El gerente desea antes que todo satisfacer a los clientes que abren una nueva participación por lo que estima que una hora de su tiempo vale 20 $ para los del tipo A y 18 $ para los del tipo B, mientras que sólo evalúa en 10 $ la hora de un cliente que renové, sea A ó B. Por otro lado el tiempo ocioso de una promotora representa una pérdida para la agencia y se cotiza 15 $ la hora. El gerente considera 2 alternativas: a. asignar dos promotoras para abrir ó renovar participaciones del tipo A y las otras dos promotoras para abrir ó renovar participaciones del tipo B. b. asignar dos promotoras para abrir participaciones del tipo A ó B y las otras dos promotoras para renovar participaciones del tipo A ó B. ¿Cuál decisión debe tomar el gerente? [ un día igual a 8 horas ]
42. El supermercado ORNELA actualmente tiene tres cajas de cobro. La compañía desea mejorar su servicio ya sea contratando dos nuevos cajeros ó mediante la instalación de un equipo de código de barras en las cajas ya existentes. Datos históricos indican que los clientes llegan de acuerdo con un proceso de Poisson a la rapidez de 60 por hora y que la cantidad de tiempo que un cajero necesita para atender a un cliente sigue una distribución
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exponencial con una rapidez promedio de 25 clientes por hora. Los asesores estiman que modernizar los cajeros con un equipo de código de barra aumentaría la eficiencia en 30%. El departamento de contabilidad sugiere que el costo de un cliente en espera debería ser evaluado en $30 por hora, que el costo por hora de un cajero es de $10 y el costo ocioso es de $5 por hora Determinar si la compañía debe contratar a dos cajeros más o si debe instalar un equipo de lectura de código de barras en las cajas existentes. Considere ahora una cola en cada cajero. ¿Cuál es una tasa de servicio apropiada de los cajeros para igualar el tiempo esperado en el sistema del modelo óptimo anterior? 43. Una compañía arrendadora de automóviles, opera su propia instalación de lavado y limpieza de automóviles para prepararlos para su renta. También le hace servicio a otras empresas de renta de automóviles Los automóviles llegan a la instalación de limpieza en forma aleatoria a una tasa de 20 por día. La compañía arrendadora ha determinado que los automóviles pueden limpiarse a un ritmo de 2n por día, donde n es el número de personas que trabajan en un automóvil. Por ejemplo, si se encuentran 6 personas trabajando la tasa de lavado es de 12 automóviles por día. Se ha determinado que este procedimiento de lavado se ajusta a la distribución exponencial negativa. La compañía les paga a sus trabajadores 18$ por día y ha determinado que el costo por un automóvil que no esté disponible para rentarlo es de 120$ por día si pertenecen a la empresa y 90$ por día si pertenecen a las otras empresas, además el costo por trabajador ocioso es de 5$ la hora. Un día de trabajo es equivalente a 8 horas. El 45% de los automóviles que entran al autolavado son de las otras compañías Calcule en número de trabajadores que deben contratarse en la instalación de lavado, para que produzca el menor costo por día y hallar ese costo.
44. Una agencia de una sociedad financiera tiene tres promotoras para atender a los clientes que vienen a abrir una nueva participación o a renovar una. Las promotoras son igualmente eficientes y el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con media de 3,5 minutos. En promedio cada hora llegan 12 clientes que vienen a abrir una nueva participación y 25 clientes que vienen a renovar una. Ambas llegadas se realizan de acuerdo a una distribución de Poisson. El gerente desea antes que todo satisfacer a los clientes que abren una nueva participación por lo que estima que una hora de su tiempo vale 18 $ mientras que sólo evalúa en 7 $ la hora de un cliente que renové. Por otro lado el tiempo ocioso de una promotora representa una pérdida para la agencia y se cotiza 12 $ la hora. El gerente considera 3 alternativas: a. asignar una promotora exclusivamente a abrir participaciones y dos promotoras para renovar participaciones b. asignar dos promotoras para abrir participaciones y una promotora para renovar participaciones c. utilizar las tres promotoras indiferentemente para abrir y renovar participaciones.
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¿Cuál decisión debe tomar el gerente?
[ un día igual a 8 horas ]
45. La central telefónica de un hotel está operada manualmente por una empleada que da servicio tanto a las llamadas que llegan desde afuera como a las que provienen del hotel. Ambas llamadas se distribuyen de acuerdo a una distribución de Poisson con tasa media de 20 y 16 llamadas por hora respectivamente. La empleada en promedio puede manejar 60 llamadas por hora y la distribución del tiempo necesario para atender a las llamadas es exponencial. Determinar: a) El tiempo promedio durante el cual la empleada está desocupada. b) El número promedio de llamadas esperando servicio. c) El tiempo promedio total de espera en cola de las llamadas desde el hotel. La gerencia esta considerando instalar un equipo que manejaría automáticamente las llamadas locales provenientes del hotel lo que reduciría a 8 llamadas por hora la tasa promedio de llamadas provenientes del hotel que llegan a la central. El costo de alquiler de este equipo es de 240 $ mensuales ( 1 mes= 200 horas hábiles). El costo promedio por hora y por persona que espera obtener su llamada desde el hotel es de 9 $. ¿Debe la gerencia instalar el equipo? En vez de instalar el equipo de discado directo se considera la alternativa de emplear una segunda centralista. Ambos empleadas son igualmente eficientes. d) Determinar el tiempo promedio durante el cual ambas empleadas están desocupadas, una sola esta trabajando y ambas están trabajando. Determinar la longitud promedio de la cola así como el tiempo promedio total de espera en cola de las llamadas desde el hotel. Si el costo de cada empleada es de 60 $ por día y el costo promedio por hora y por persona que espera obtener su llamada desde el hotel es de 9 $. ¿Será conveniente contratar la segunda empleada? 46. En un centro de Computación hay n computadoras para correr programas en cobol y en foltran, los programas llegan de acuerdo a una distribución de Poisson con una tasa media de 22 y 16 programas cada 30 minutos respectivamente. Cada computadora en promedio puede correr 30 programas por hora a una distribución exponencial. Si el tiempo de trabajo es de 10 horas al día, y el costo por computadora es de 250 Bs./h y además el costo en que se incurre por programa foltran que no se haya corrido es de 5 Bs./min y el de cobol es de 7 Bs./min. Hallar: a. El número de computadoras necesarias para que funcione con el sistema de un solo canal. b. Determinar el tiempo promedio durante el cual las computadoras están desocupadas, una solo esta trabajando, una sola esta desocupada y todas trabajando. Estimar el costo diario para el sistema.
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47. Una refinería distribuye sus productos mediante camiones que se cargan en el terminal de carga. Se usan camiones de la compañía y camiones de distribuidores independientes. La tasa media de llegada (para todos los camiones) es de 6 por hora a una distribución de Poisson. En el terminal de carga pueden llenar 8 camiones por hora y la distribución del tiempo necesario para el llenado es exponencial. El 30% de todos los camiones son independientes, se trabaja 8 horas al día. a. Determinar el tiempo total estimado que los camiones independientes esperan por día b. Determinar si se debe activar otro terminal al lado con la misma eficiencia, sabiendo que el costo mensual por terminal es de 4.500 Bs. y el costo por no disponer de un camión de la empresa es de 800 Bs. la hora y de los independientes es de 900 Bs. la hora. c. El tiempo promedio durante el cual ambos terminales están desocupados, uno solo esta activo y ambos están trabajando. 48. En la agencia de Terrazas del Ávila del Banco Futuro S.A.I.C.A. se realizan 3 operaciones distintas: apertura de cuentas, pago de cheques y cobro de tarjetas de crédito. Los operarios que prestan el servicio son igualmente eficientes y el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con media de 3 minutos. Cada hora llegan al banco 15 personas a cobrar cheques y 8 personas a pagar tarjetas de crédito. Cada 100 minutos llega al banco ocho personas para abrir una cuenta. De las siguientes 4 opciones, ¿cuál optimiza el manejo de los servicios? a. 3 colas. una distinta para cada servicio. Un sólo cajero (operador) en cada cola. b. 2 colas. Una cola para apertura de cuentas con un operador y otra para pago de cheques y cobro de tarjetas con dos operadores. c. 2 colas. una cola para apertura de cuentas con un operador y otra para pago de cheques y cobro de tarjetas con 3 operadores. d. Una sola cola y seis operadores. Cada operador ejecuta indistintamente cualquier operación. 49. El tiempo del cliente se valora en 100 bolívares la hora (para el banco) y el tiempo de un operador cuesta 300 bolívares la hora. Por otro lado el tiempo ocioso de un operario representa una pérdida para el banco y se cotiza en 40 bolívares el día laborable. [un día laborable es igual a ocho horas] Haga un breve análisis de eficiencia (basada en el criterio de minimizar el tiempo "perdido" del cliente) vs. costos (para el banco). 50. Una agencia de una sociedad financiera tiene dos promotoras para atender a los clientes que vienen a abrir una nueva participación o a renovar una. Las promotoras son igualmente eficientes y el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con media de 3 minutos. En promedio cada hora llegan 10 clientes que vienen a abrir una nueva participación y 18 clientes que vienen a renovar una. Ambas llegadas se realizan de acuerdo a una distribución de Poisson.
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El gerente desea antes que todo satisfacer a los clientes que abren una nueva participación por lo que estima que una hora de su tiempo vale 20 $ mientras que sólo evalúa en 9 $ la hora de un cliente que renueve. Por otro lado el tiempo ocioso de una promotora representa una pérdida para la agencia y se cotiza 15 $ la hora. El gerente considera 2 alternativas: a. Asignar una promotora exclusivamente para abrir participaciones y otra promotora para renovar participaciones b. Utilizar las dos promotoras para que trabajen juntas, en este caso su eficiencia conjunta es de dos minutos atendiendo indiferentemente para abrir y renovar participaciones. ¿Cuál decisión debe tomar el gerente? [ un día igual a 8 horas ] 51. El Banco “ Mi Ahorro “ está estudiando dos configuraciones para sus ventanillas de autobanco. El Plan 1 tendría tres ventanillas separadas cada uno con su línea. El Plan 2 tendría un carril que lleva a la entrada de la terna de ventanillas; el cliente iría en este caso a la primera que se desocupara. Se espera una llegada promedio de 70 clientes por hora con distribución Poisson. El tiempo de servicio varia exponencialmente con un promedio de dos minutos por cliente. El Banco estima que el costo por cliente será de 8$ por estar en el banco 15 minutos. El costo ocioso se estima en 18$/hora. ¿Qué plan debe adoptar el banco, para minimizar el costo esperado? 52. Una agencia de una sociedad financiera tiene cuatro promotoras para atender a los clientes que vienen a abrir una nueva participación del tipo A ó del tipo B, o renovar una del tipo A ó del tipo B. Las promotoras son igualmente eficientes y el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con media de 2,8 minutos. En promedio cada hora llegan 12 clientes que vienen a abrir una nueva participación del tipo A, 18 clientes que vienen a abrir una nueva participación del tipo B, 18 clientes que vienen a renovar una participación del tipo A, y 23 clientes que vienen a renovar una participación del tipo B. Las cuatro llegadas se realizan de acuerdo a una distribución de Poisson. El gerente desea antes que todo satisfacer a los clientes que abren una nueva participación por lo que estima que una hora de su tiempo vale 20 $ para los del tipo A y 18 $ para los del tipo B, mientras que sólo evalúa en 10 $ la hora de un cliente que renové, sea A ó B. Por otro lado el tiempo ocioso de una promotora representa una pérdida para la agencia y se cotiza 15 $ la hora. El gerente considera 2 alternativas: a. asignar dos promotoras para abrir ó renovar participaciones del tipo A y las otras dos promotoras para abrir ó renovar participaciones del tipo B. b. asignar dos promotoras para abrir participaciones del tipo A ó B y las otras dos promotoras para renovar participaciones del tipo A ó B. ¿Cuál decisión debe tomar el gerente? [ un día igual a 8 horas ] 53.
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RPTA 7
5.
INVENTARIOS
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Juan Casas trabaja en la ferretería de su hermano y está a cargo de las compras, ha determinado que la demanda anual de tornillos llega a 100,000 unidades. Ella estima que cada vez que coloca un pedido, a la empresa le cuenta $10. Este costo incluye su sueldo, el costo de los formularios que se utilizan para colocar pedido y otros trámites. Además, calcula que el costo de mantener un tornillo en el inventario por periodo de un año es de 0.5 centavos. Considere que la demanda es constante a lo largo del todo el año. a. Cuantos tornillos debería solicitar Juan Casas en un solo pedido si desea minimizar el costo total de inventario. b. Cuantos pedidos al año debería colocar?, Cual es el costo anual de realizar el pedido c. Cuál será el inventario promedio?, ¿Cuál es el costo anual de mantenimiento de inventario?
Los pedidos de tornillo tardan 8 dias hábiles en llagar una vez realizado. Juan ha observado que la ferretería de su hermano vende 500 tornillos por dia. Debido a que la demanda es bastante constante, Juan cree que puede evitar los faltantes si lo pide en el momento adecuado. ¿Cuál es el punto de reposición?
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2. Ken ha estado en el negocio maderero durante casi toda su vida. El mayor competidor de Ken es Pacific Woods. Gracias a sus años de experiencia, él sabe que el costo de realizar un pedido por cada orden de madera contrachapada es de $25 y que el costo de mantenimiento es el 25% del costo unitario. Tanto Ken como Pacific Woods reciben la madera contrachapada en cargas que tienen un costo de $100 cada uno. Incluso ambos tienen al mismo proveedor de madera contrachapada y Ken pido averiguar que su competidor hace pedidos por 4000 cargas cada vez. Tambien sabe que 4000 cargas son la EPQ de Pacific Woods. ¿Cuál es la demanda anual en cargas de madera contrachapada de Pacific Woods?
3. Una tienda de maquinarias utiliza 2500 abrazaderas en un año, cantidad constante en este periodo. Las abrazaderas se compran a un proveedor a un costo de $15 cada una y el tiempo de entrega es de 2 días. El costo de mantenimiento de inventario por abrazadera es de $1.50 (o el 10% de la unidad) mientras que el costo de realizar el pedido es de $18.75. Hay 250 días laborales al año. a) Cual es EOQ b) Con esa EOQ, cual es el inventario promedio c) Cuál es el costo anual de mantenimiento del inventario d) Al minimizar los costos ¿Cuántos pedidos deberán hacerse por año? e) Cuál es el tiempo entre pedidos f)
Cuál es el punto de reposición
4. Suponga que ASA Alimentos (refrescos Kanu) tine una demanda anual constante de 3600 cajas. Una caja de refresco le cuesta a ASA Alimentos S/. 3. Los costos de pedido son de S/. 20 por pedido y los costos de mantenimiento de inventario son del 25% del valor del inventario. ASA Alimentos tiene 250 dias laborables por año y el tiempo de entrega es de 5 dias. Identifique los aspectos siguientes de la politica de inventario: a) Cantidad Economica a pedir
c) tiempo del ciclo
b) Punto de pedido o reorden
d) Costo anual total
5. Rent a car adquiere repuestos directamente de la fábrica, la demanda de este repuesto es constante con una demanda de 1000 componente mensuales (12,000 componentes anuales). Suponga que los costos de pedido son de S/. 25 por pedido y el costo unitario de mantenimiento es de S/.2.50 por componente y los costos anuales de mantenimiento son del 20% del valor del inventario. Rent a car tiene 250 días
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laborables por año y el plazo de entrega es de 5 días. responda las siguientes preguntas: a) Cual es la cantidad de pedido
c) Cual es el tiempo de ciclo
b) Cual es el punto de pedido o reorden
d) Cuales son los costos totales anuales de posición y de pedido
6. Crees Electronic manufactura componentes que se usan en la industria automotriz. Un proveedor de Crees le suministra una pieza que tiene una demanda de 5000 unidades, el costo de pedido es de $80 por pedido y el costo de mantenimiento es del 25%. a) Si el costo de la pieza es de $20 por unidad. ¿Cuál es la cantidad económica de pedido? b) Suponga 250 días de operación al año. Si el plazo de entrega de un pedido es de 12 días. Cual será el punto de pedido? c) Si el plazo de entrega de la pieza es de 7 semanas (35 días) ¿Cuál será el punto de reorden o de pedido?
7. Suponga que una línea de producción opera de tal forma que fuese posible aplicar el modelo del lote económico de inventario. Dado D=6400 unidades por año, Co=$100 y Ch=$2 por unidad. Calcule el tamaño del lote de producción de costo mínimo para cada una de las siguientes tasas de producción. a) 8000 unidades por año
c) 32,000 unidades por año
b) 10,000 unidades por año
d) 100,000 unidades por año
8. Juan Benítes trabaja en la ferretería de su hermano y está a cargo de las compras, ha determinado que la demanda anual de tornillos de 6” llega a 100,000 unidades. El estima que cada vez que coloca un pedido a la empresa le cuesta S/. 10. Este costo incluye su sueldo, el costo de los formularios que utiliza para colocar el pedido y otros trámites. Además calcula que el costo por mantener un tornillo en inventario en un periodo de un año es de 9 centavos. Considere que la demanda es contante a lo largo de todo el año. a) ¿Cuántos tornillos de 6” debería solicitar Juan Benítes en un solo pedido, si desea minimizar el costo total del inventario?. b) ¿Cuántos pedidos al año debería colocar?. ¿Cuál sería el costo anual de realizar el pedido? c) ¿Cuál sería el inventario promedio?. ¿Cuál sería el costo anual de mantenimiento de inventario?
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9. Bárbara es agente de compras de “Válvulas Industriales SA”. Una de las válvulas más populares es la del tipo Western, que tiene una demanda anual de 4000 unidades. El costo de cada válvula es de $90, mientras que el costo de mantenimiento del inventario se estima en 10% del costo de cada válvula. Bárbara ha realizado un estudio acerca de los costos involucrados cuando se coloca un pedido de cualquiera de las válvulas y ha concluido de que el costo promedio de realizar un pedido es de $25. a) Cuál es el EOQ b) Cuál es el inventario promedio. c) ¿Cuál es el costo anual de mantenimiento del inventario? d) Cuantos pedidos se colocarían al año e) Cuál es el costo anual por realizar un pedido?
10. Suponga que es apropiado el programa de descuentos por cantidad. Si la demanda anual es de 120 unidades, los costos de pedido son S/.20 por pedido y la tasa de costo de mantenimiento anual es del 25%. ¿Qué cantidad recomendaría usted?
Tamaño del pedido 0 a 49 50 a 99 100 a mas
Descuento (%) 0 5 10
Costo unitario S/. 30.00 28.50 27.00
11. Aplique el modelo EOQ al siguiente descuento por cantidad en la cual la demanda D=500 unidades anuales, Co = $40 y la tasa de costo de mantenimiento es del 20%. ¿Qué cantidad a pedir recomendaría usted?
12. Zapaterías ECCO tiene un modelo de zapato de vestir para hombres, se vende a una tasa constante aproximada de 500 pares de zapatos cada 3 meses (2000 anuales). La política de adquisición es de pedir 500 pares cada vez que coloca un pedido. a ECCO le cuesta S/. 30 colocar un pedido. la tasa de costo de mantenimiento anual es del 20%. Con la cantidad a pedir de 500 Ecco obtiene los zapatos al costo unitario más bajo posible de S/. 28 por par. Otros descuentos ofrecidos por el fabricantes son: Clase dcto Tamaño del pedido Precio por par 1 0 a 99 S/. 36.00 2 100 a 199 32.00 3 200 a 299 30.00 4 300 a mas 28.00 ¿Cuál es la cantidad a pedir de minimice los costos para los zapatos?, ¿Cuáles son los ahorros anuales de su política de inventarios en comparación con la política utilizado actualmente por ECCO?
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13. Tiendas Olini es una tienda de zapatos, la demanda anual de una sandalia popular es de 500 pares y el gerente tiene la costumbre de hacer pedidos de 100 pares. El estima que el costo por realizar el pedido es de $10 por pedido. El costo del par de sandalias es de $5. Para que la política del gerente sea la correcta. ¿Cuál debería ser el costo de mantenimiento de inventario como un porcentaje del costo unitario?. Si el costo de mantenimiento fuera de 10% del costo, ¿Cuál sería la cantidad optima de pedido?
14. Una gasolinera vende 4000 litros de gasolina al mes. Por rellenar los tanques de la gasolinera, cobra $50.7. El coste anual de almacenamiento de un litro es de $0.3. a) ¿Cuántos litros de gasolina se deben pedir? b) ¿Cuántos pedidos se hacen por año? c) ¿Cuánto tiempo pasa entre dos pedidos? d) Si el tiempo de entrega es de L=2 semanas, cual es el punto de reorden? (Suponer 1 semana=1/52 año, mes=4 semanas)
15. La tienda de maquinaria de Ross White utiliza 2500 abrazaderas en un año, cantidad relativamente constante en ese periodo. Las abrazaderas se compras a un proveedor ubicado a 100 Km de distancia a un costo de $15 cada una, y el tiempo de entrega es de 2 días. El costo de mantenimiento de inventario por abrazadera es de$1.50 (o 10% del costo unitario) mientras que el costo de realizar el pedido es de $18.75. Hay 250 días laborales al año. a) Cuál es el EOQ b) Con esa EOQ cuál es el inventario promedio c) Cuál es el costo anual de mantenimiento d) Al minimizar los costos, cuantos pedidos deberán hacerse por año e) Cuál será el costo anual de pedidos
16. Cada año North Manufacturing tiene una demanda de 1000 bombas. El costo de una bamba es de $50. A la empresa le cuesta $40 colocar el pedido y el costo de mantenimiento es igual al 25% del costo de la unidad. Si las bombas se expiden en cantidades de 200 unidades, North Manufactuing puede obtener 3% de descuento sobre el costo de las bombas. ¿Deberá la empresa hacer un pedido de 200 unidades y obtener el descuento del 3$?
17. Georgia Products ofrece el siguiente programa de descuento para sus hojas de madera contrachapadas de 4x8 pies cada una
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Pedido Costo Unitario ($) 9 láminas o menos 18.00 10 a 50 laminas 17.50 Más de 50 laminas 17.25 Home Company compra maderas contrachapadas a Georgia Products. Elcosto de Home Company por realizar el pedido es de $45. El costo de mantenimiento de inventario es del 20% y la demanda anual es de 100 hojas. ¿Cuál es su recomendación? Rpta: Cantidad de pedido = 51
Costo Total = $1901.22
18. De un artículo, cuyo precio de compra es de $100 para cantidades menores de 1.000 unidades y $92.5 para cantidades superiores. Se necesitan 2400 unidades por año. Calcular el pedido óptimo sabiendo que el coste de lanzamiento de cada pedido es de $3.500 y que los gastos de almacenaje pueden considerarse al 0.6% del precio de compra unitario.
19. El precio de compra de un artículo es de $1000 por unidad, para cantidades menores de 500, y de $925 para cantidades entre 500 y 4000. Para cantidades superiores a 4000, el precio de compra es de $850. El coste de lanzamiento de cada pedido es de $35000. Con un coste de almacenamiento igual a un 0.06% el precio de compra unitario, y una demanda de 24.000 unidades al año, calcular el pedido y el coste óptimos. 20. Una tienda de televisores vende un promedio de 100 televisores mensuales. El coste de tener un televisor almacenado durante un año se estima en 4 u.m. debido a la pérdida de actualidad. A la tienda le cuesta 120 u.m. hacer un pedido. El precio de los televisores varía según la cantidad pedida: De 1 a 10, 10 u.m.; de 11-40, 9 u.m.; de 41-100, 7 u.m.; más de 100, 5.5 u.m. Calcular el número de televisores que debe pedir la tienda.
21. Una empresa que comercializa agujas hipodérmicas indoloras en los hospitales, desea reducir sus costos de inventario mediante la determinación del número de agujas hipodérmicas que debe obtener en cada orden. La demanda anual es de 1,000,000 unidades; el costo de preparación o de ordenar es de $10,000 por orden; y el costo de manejo por unidad de año es de $25,000. Utilizando estos datos, calcule el número óptimo de unidades por orden (Q*), el número de órdenes (N), el tiempo transcurrido (T), y el coso total anual del inventario. Utilizar un año calendario de 360 días. Determinar:
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a) El tamaño del pedido que optimizará el inventario. b) Número de pedidos por año. c) Número de días entre cada pedido. d) Coso total anual del inventario.
22. Suponga que usted está revisando la decisión del tamaño del lote para una empresa que tiene una capacidad de producción de 8.000 unidades por año, una demanda de 2.000 unidades por año, con costo de producción de $300.000 por unidad y un costo de posesión de $1.600 por unidad por año y fabricando lotes de producción de 500 unidades cada 3 meses. El tiempo de entrega es de 20 días y la empresa trabaja durante 360 días en el año (suponga que cada mes tiene 30 días). ¿Recomendaría usted cambiar el tamaño del lote de producción actual? Explique y justifique claramente su respuesta.
23. Cierto restaurante para su uso de venta de bebidas, enfrenta una demanda de 120 vasos diarios, y opera 360 días al año. Los vasos tienen un Costo de 40 ($/docena). Para enviar una orden de pedido, el restaurante tiene que pagar 2.000 ($/orden). El mantener inventario le significa un costo de orden del 50% debido a muchas pérdidas producidas por sus empleados, que diariamente quiebran muchos vasos. ¿Evalúe la política de inventarios si se hacen pedidos una vez al mes?
24. Cummins S.A., compra directamente al proveedor un componente que usa en la manufactura de generadores para automóviles. La operación de producción del generador de Cummins, que trabaja a una tasa constante, requerirá 1 000 componentes por mes a lo largo del año (12 000 unidades anuales). Suponga que los costos de ordenar son $2 500 000 por pedido, el costo unitario es $250 000 por componente y los costos de mantener anuales son 20% del valor del inventario. Cummins tiene 250 días hábiles anuales y un tiempo de entrega de 5 días. a. ¿Cuál es el Lote Económico a Ordenar para este componente? b. ¿Cuál es el punto de reordenación? c. ¿Cuál es el tiempo de ciclo? d. ¿Cuáles son los costos totales anuales de mantener y de ordenar asociados con el LEO recomendados?
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6.
PROGRAMACION LINEAL
Muchas personas clasifican el desarrollo de la Programación Lineal (PL) entre los avances científicos más importantes del siglo XX. En la actualidad es una herramienta común que ha ahorrado miles o millones de dólares a muchas compañías y negocios,
LA PROGRAMACIÓN LINEAL trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada entre todas las opciones de solución. Aunque la asignación de recursos limitados entre las actividades competitivas de la mejor manera posible es la aplicación más frecuente, la PL tiene muchas otras posibilidades.
El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. La palabra programación se refiere a planeación. La PL es una técnica determinista, es decir, no incluye probabilidades, en cambio utiliza un modelo matemático para describir el problema.
Aquellos que manejan y controlan sistemas de hombres y equipos se enfrentan al constante problema de mejorar (optimizar) el rendimiento del sistema. El problema puede ser reducir el costo de operación y a la vez mantener un nivel aceptable de servicio, proporcionar un mayor nivel de servicio sin aumentar los costos, o "mejorar" un aspecto de la calidad del producto sin reducir la calidad de otros aspectos.
Un modelo puede considerarse como una entidad que captura la esencia de la realidad sin la presencia de la misma. Una fotografía es un modelo de la realidad ilustrada en la imagen, el modelo captura algún aspecto de la realidad que intenta representar. Un modelo matemático es un sistema de ecuaciones o desigualdades que representa determinados aspectos del sistema físico representado en el modelo.
A fin de definir las condiciones que nos conducirán a la solución del problema, el analista primero debe identificar un criterio (función objetivo) que maximice o minimice el sistema. Este criterio a menudo se denomina medida del rendimiento o medida de efectividad. En aplicaciones empresariales, la medida de efectividad generalmente son los costos o las utilidades.
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6.1. ESTRUCTURA DE UN MODELO DE PROG. LINEAL a. Variables: Representan la información para la toma de decisiones Sus valores o resultados son determinadas por el modelo. Las variables pueden ser:
Variables de decisión: Aquellas que nos indican la acción o alternativa que debemos seguir para conseguir un determinado objetivo
Variables auxiliares: Sirven de apoyo para los cálculos de las variables de decisión, tales como variables de inventarios, holgura, desviación, etc.
b. Parámetros: Es toda información conocida a priori e invariable para el horizonte de planeación del modelo. Deben estar expresados en alguna unidad de medición o métrica. Estos parámetros pueden ser
Coeficiente de la función Objetivo (Cj): Son factores que corresponden por cada variable de decisión. Tales como: utilidades, precios de venta, costos, ponderaciones, etc. Expresados de manera unitaria por producto o actividad
Coeficiente tecnológico (Aij): Son factores que corresponden por cada variable de decisión y restricción. Tales como ratio de consumo o demanda de producto o actividad sobre un recurso.
Coeficiente de recurso (bj): Son factores que corresponden por cada restricción. Tales como disponibilidad de un recurso limitado. Las cuales pueden ser recursos materiales, financieros o recursos humanos. También puede expresar una condición o cuota a cumplir.
c. Función Objetivo: Es una expresión de variables que representa el objetivo que se desea alcanzar y expresa la cuantificación de la efectividad en una unidad de medida. Puede ser de dos maneras: 1. Maximizar (Max): En un problema se podría requerir, aumentar lo mas posible: las utilidades o los ingresos por ventas, efectividad de políticas alternativas, volumen, probabilidad de éxito. 2. Minimizar (Min): En un problema se desearía reducir lo mas posible: costos, mermas, desviaciones sobre una condición o restricción, el tiempo de finalización de un trabajo, riesgo, etc.
d. Restricciones: Son relaciones entre las variables y parámetros que se representan por desigualdades o ecuaciones, resulta debido a limitaciones de
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recursos. Las restricciones están expresadas en una unidad homogénea a ambos lados de la ecuación o desigualdad.
El siguiente modelo formula un modelo matemático para un problema general de asignación de recursos a actividades.
Si existiese la condición de que a lo menos una de las variables debiera ser entera, entonces el modelo sería de Programación Lineal Entera. Cualquiera discrepancia respecto de la linealidad en la Función objetivo y/o en las restricciones del problema conduciría a un modelo de Programación No Lineal.
UN PROBLEMA SIMPLE DE MAXIMIZACION RMC es una empresa que produce diversos productos químicos. En un proceso de producción en particular, se utilizan 3 materias primas para elaborar 2 productos: Un aditivo para combustible y una base disolvente
El aditivo para combustible se vende a empresas petroleras y se utiliza en la producción de gasolina y otros combustibles relacionados. La base disolvente se vende a empresas químicas y se utiliza para la fabricación de productos de limpieza. Para formar el aditivo y la base disolvente se mezclan las 3 materias primas Producto
M. Prima 1
M. Prima 2
M. Prima 3
Aditivo para combustible
2/5
0
3/5
Base disolvente
1/2
1/5
3/10
20 ton
5 ton
21 ton
Cantidad disponible para producción
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En esta tabla muestra que 1 tonelada de aditivo para combustible es una mezcla de 2/5 ton de Materia prima 1 y 3/5 ton de materia prima 3
Debido a deterioro y la naturaleza del proceso de producción, cualquier materia prima que no se utilice para la producción actual resulta inútil y debe desecharse. El departamento de control de calidad ha analizado las cifras de producción, asignando todos los costos correspondientes, llegando a establecer una contribución a la utilidad de $40 para cada tonelada de aditivo para combustible y $30 por cada tonelada de base disolvente producido.
El problema de RMC es determinar cuantas toneladas de cada producto deberá producir para maximizar la contribución total a la utilidad. Esto es ¿Cuántas toneladas de aditivo y cuantas toneladas de base disolvente deberá producir para el periodo actual de producción?
MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL PARA RMC a) Función Objetivo El objetivo de RMC es maximizar la contribución total a la utilidad. Podemos escribir este objetivo como: (Variables de decisión) Si se producen x1 toneladas de aditivo para combustible la empresa gana $40X1 Si se producen x2 toneladas de base disolvente la empresa gana $30X2, Identificamos la producción total (Z), como la utilidad total de la empresa como: Contribución total a la utilidad = Z = 40X1 + 30X2
(Función Objetivo)
RMC debe determinar los valores de las variables X1 y X2 que den el valor mas elevado posible de Z
b) Restricciones
El total de materia prima 1 para producir x1 toneladas de aditivo para combustible y x2 toneladas de base disolvente debe ser menor o igual a la cantidad de toneladas disponible de materia prima 1 que tiene RMC, es decir 2/5 X1 + ½ X2 ≤ 20
(Disponibilidad de Materia Prima 1)
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El total de materia prima 2 para producir x1 toneladas de aditivo para combustible y x2 toneladas de base disolvente debe ser menor o igual a la cantidad de toneladas disponible de materia prima 2 que tiene RMC, es decir 0X1 + 1/5X2 ≤ 5
El total de materia prima 3 para producir x1 toneladas de aditivo para combustible y x2 toneladas de base disolvente debe ser menor o igual a la cantidad de toneladas disponible de materia prima 3 que tiene RMC, es decir 3/5 X1 + 3/10 X2 ≤ 21
Para evitar que RMC no produzca un numero negativo de toneladas de aditivo o base disolvente, deberán agregarse 2 restricciones llamadas restricciones X1, X2 ≥0
de no negatividad
La formulación matemática del problema de RMC, ahora esta completo, y queda que esta forma: Maximizar Z = 40 X1 + 30 X2 Sujeto a 2/5 X1 + ½ X2 ≤ 20
Materia Prima 1
1/5 X2 ≤ 5
Materia Prima 2
3/5 X1 + 3/10 X2 ≤ 21
Materia Prima 3
X1, X2 ≥ 0
Ahora nuestra tarea es encontrar la mezcla de productos (es decir, las combinaciones de X1 y X2) que satisfaga todas las restricciones y al mismo tiempo, nos de un valor máximo de la función objetivo.
6.2. SOLUCION GRAFICA DE PROGRAMACION LINEAL 1. Se grafica el conjunto factible. 2. Se encuentran las coordenadas de todas las esquinas de la región factible. 3. Se evalúa la función objetivo Z en cada esquina. 4. Se halla el vértice que proporcione el máximo (mínimo) de la función objetivo. Si sólo existe un vértice con esta propiedad, entonces constituye una solución única del problema. Si la función objetivo se maximiza (minimiza) en dos esquinas adyacentes de S, entonces existe una infinidad de soluciones óptimas dadas por los puntos del segmento de recta determinado por estos dos vértices.
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SOLUCION GRAFICA DEL PROBLEMA DE RMC Paso 1: Hacemos el plano cartesiano de X1 (eje vertical) y X2 (eje horizontal) Paso 2: Graficamos las restricciones Restricción 1
Restricción 2
Restricción 3
2/5 X1 + ½ X2 ≤ 20
1/5 X2 ≤ 5
3/5 X1 + 3/10 X2 ≤ 21
Si X1=0, tenemos
Si X1=0, tenemos
½ X2 ≤ 20 X2 ≤ 40 (0,40) Si X2 = 0, tenemos
3/10 X2 ≤ 21 X2 ≤ 70 (0,70) Si X2=0, tenemos
X2 ≤ 25
2/5 X1 ≤ 20 X1 ≤ 50 (50,0)
3/5 X1 ≤ 21 X1 ≤ 35 (35,0)
Restriccion 1 (materia Prima1) 45 40 35
Restriccion 3 (materia Prima 3)
Restriccion 2 (materia Prima 2) 80 0, 70 70
30
0, 40
0, 25
30, 25
25
30 25 20 15
60
20
50
15
40 30
10
10 5 0
20
5
50, 0
10
0 0
10
20
30
40
50
60
35, 0
0 0
10
20
30
40
0
10
20
30
40
50
80 70vez que tenemos la región factible, encontramos los puntos extremos de la región Una
factible. Estos puntos es la intersección de las restricciones en la que cruza la línea. 60 Ejemplo: 50
Si Restricción 1 = restricción 3 nos da los puntos X1=25, X2 = 20 Si 40 Restricción 1 = restricción 2 nos da los puntos X1=18.75, X2 = 25 30
(18.75,25)
(0,25)
(25,20)
20 10
(35,0)
0 0
10
20
30
40
50
Una vez teniendo los puntos extremos de la región factible, se prueba ingresando X1 y X2 en la función objetivo y tomamos el valor mas alto posible X1
X2
FO : Z = 40X1 + 30X2
0
25
Z = 750
18.75
25
Z = 1500
25
20
Z = 1600
35
0
Z = 1400
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6.3. VARIABLES DE HOLGURA (SLACK en ingles) Además de la solución optima (X1 y X2 óptimos) y su contribución a la utilidad asociada (Z), la administración de RMC, deseara tener información sobre las necesidades de producción de las 3 materias primas. Podemos obtener esta información reemplazando en las restricciones del programa líneas las variables de solución óptima x1=25, x2=20
Restricción
Toneladas requeridas para Toneladas
Toneladas no
x1 = 25 y x2 = 20
utilizadas
disponibles
Mat. Prima1
2/5(25) + ½(20) = 20
20
20 - 20 = 0
Mat. Prima2
0(25) + 1/5(20) = 4
5
5-4=1
Mat. Prima3
3/5(25) + 3/10(20) = 21
21
21 - 21 = 0
Variable de Holgura
Por lo que la solución completa le indica a la administración que la producción de 25 toneladas de aditivo para combustible y de 20 toneladas de base disolvente requerirá de toda la materia prima disponible 1 y 3, pero solamente cuatro de las 5 toneladas de la materia prima 2. La tonelada sin utilizar de la materia prima se llama holgura.
En Programación Lineal, cualquier capacidad sin utilizar y ociosa para una restricción menor o igual (≤) se llama holgura asociada con la restricción. Al modelo de PL a menudo se agregan variables conocidas como variables de holgura, para representar la capacidad ociosa. Esta capacidad sin utilizar no hace
≤
ninguna contribución a la utilizad, por lo que las variables de holgura tienen coeficiente igual a cero.
De manera general, las variables de holgura representan la diferencia entre el lado derecho y el lado izquierdo de una restricción menor o igual (≤) Modelo PL
Forma Estándar
Max. Z = 40X1 + 30X2
Max. Z = 40X1 + 30X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3
Sujeto a
Sujeto a
2/5 X1 + ½ X2 ≤ 20 1/5 X2 ≤ 5 3/5 X1 + 3/10 X2 ≤ 21 X1, X2 ≥ 0
2/5 X1 + ½ X2 + S1 1/5 X2
= 20 + S2
3/5 X1 + 3/10 X2
=5 + S3 = 21
X1, X2, S1, S2, S3 ≥ 0
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80 70
40
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60 50
En el método grafico se puede apreciar la holgura
40
30
(0,25) 30
(18.75,25)
(18.75,25)
(0,25)
(25,20)
20 10
(25,20)
(35,0)
20
0 0
10
20
30
40
50
Al determinar la solución óptima, vemos que la restriccion1 y la restriccion3, limitan o
10
restringen la región factible hasta ese momento.
(35,0)
0
UN PROBLEMA SIMPLE DE MINIMIZACION
0
10
20
30
Innis Investments administra fondos de empresas y clientes pudientes. La estrategia de innovación se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un cliente nuevo a Innis se le ha autorizado invertir hasta 1.2 millones $ en dos fondos de inversión: un fondo de acciones que cuestan $50 cada unidad y con una tasa de rendimiento anual de 10%; cada unidad y un fondo de mercado de dinero que cuesta $100, con una tasa de rendimiento anual del 4%. El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobre la inversión de por lo menos $60,000. De acuerdo con el sistema de medición del riesgo de Innis, cada unidad adquirida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo de 8, y cada unidad adquirida en el fondo de mercado dinero tiene un índice de riesgo de 3
El índice de riesgo mas elevado asociado con el fondo de acciones indica que simplemente que se trata de la inversión mas riesgosa. El cliente de Innis también ha especificado que se invierta por lo menos $300,000 en el fondo de de mercado de dinero. ¿Cuántas unidades de cada uno de los fondos deberá adquirir Innis para el cliente, si el objetivo es minimizar el índice de riesgo total para esta cartera?
SOLUCION Para encontrar la mejor asignación de fondos entre acciones y mercado de dinero, formularemos el problema como un modelo lineal. Primero definamos las variables: X1 = Numero de unidades adquiridas en el fondo de acciones X2 = Numero de unidades adquiridas en el fondo de mercado de dinero
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40
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FUNCIÓN OBJETIVO La función objetivo que minimice el riesgo total para la cartera será: Min 8X1 + 3X2
RESTRICCIONES 1. Innis solo puede invertir hasta 1’200,000 dólares, dado que cada unidad de fondo cuesta $50 y cada unidad de fondo de mercado cuesta $100. tenemos 50X1 + 100X2 ≤ 1’200,000 2. La inversión debe tener un ingreso anual de por lo menor $60,000. como cada unidad adquirida del fondo de acciones tendrá una utilidad de 10%($50) = $5, similarmente cada unidad adquirida del fondo de mercado de dinero tendrá una utilidad de 4%($100) = $4, entonces la utilidad total es de : 5X1 + 4X2 ≥ $60,000 3. El requisito en que por lo menor invierta $300,000 en el fondo de mercado de dinero a $100 cada unidad, entonces deberán adquirir 3000 unidades en el X2 ≥ 3000
fondo del mercado de dinero
Después de agregar las restricciones de no negatividad, encontramos el modelo completo de programación lineal para el problema de Innis Investment Min Z = 8X1 + 3X2 Sujeto a 50X1 + 100X2 ≤ 1’200,000
Fondos disponibles
5 X1 +
Ingreso anual
4 X2 ≥ 60,000 X2 ≥ 3000
Unidades mínimas mercado de dinero
X1, X2 ≥ 0 16000 15000
50x1 + 100x2 = 1200,000 (/-10) 5x1 + 4x2 = 60,000
14000
12000
12000
10000
50 X1 +
1+ 5X
Xb
-5X1 – 10X2 = 120,000 5X1 + 4X2 = 60,000
Pto optimo (4000,10000)
8000
2= 40X
6000
10 0X 2=
000 60,
4000
6X2 = 60,000 X2 = 10,000 X1 = 4,000 12 00 ,00 0
3000
3000
2000
0
0 0
5000
10000
15000
20000
0 25000
30000
Xa Tpo de contruccion
Tpo de pintura
Mdo dinero
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6.4. VARIABLES EXCEDENTES (SURPLUS en ingles) Un análisis completo de la solución óptima para el problema de Innis Investments muestra un índice de riesgo total para la cartera óptima es de: 8x1 + 3x2 = 8(4000) + 3(10,000) = 62,000 Restricción 1: 50x1 + 100x2 = 50(4000) + 100(10,000) = 1’200,000 ≤ 1’200,000 Restricción
2:
5x1
+
4x2
=
5(4000)
+
4(10,000)
=
60,000
≥
60,000
Restricción 3: x2 ≥ 3000 10,000 ≥ 3000
Observe como la adquisición de 10,000 unidades en el fondo de mercado excede en 7000 unidades el requisito mínimo de 3000 unidades (restricción 3)
En Programación lineal cualquier cantidad en exceso (excedente) correspondiente a una restricción ≥ se le conoce como excedente Recuerde que:
Con una restricción ≤ se puede agregar una variable de holgura en el lado izquierdo de la restricción para convertirla en una igualdad.
En una restricción ≥ se puede agregar una variable excedente en el lado izquierdo de la restricción para convertirla en una igualdad.
Igual que las variables de holgura, en la función objetivo a las variables excedentes se les da un coeficiente de cero, ya que no tienen ningún efecto sobre su valor. Después de incluir la variable de holgura en el modelo se convierte en:
Modelo PL
Forma Estándar
Min. Z = 8X1 + 3X2
Min. Z = 8X1 + 3X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3
Sujeto a
Sujeto a
50 X1 + 100 X2 ≤ 1’200,000 5 X1 +
4 X2 ≥ 60,000 X2 ≥ 3000 X1, X2 ≥ 0
50 X1 + 100 X2 + S1 5 X1 +
4 X2
= 1’200,000 – S2
X2
= 60,000 – S3 = 3000
X1, X2, S1, S2, S3 ≥ 0
En la solución óptima X1 = 4000 y X2 = 10,000, los valores de las variables de holgura y excedente son:
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Restricción Fondos Disponibles
Variable
Valor de la variables
Holgura
S1 = 0
Ingreso anual
Excedente
S2 = 0
Unidades mínimas mercado dinero
Excedente
S3 = 7000
Observe que el problema de RMC todas las restricciones eran del tipo ≤, y que en el Innis Investments son una combinación de ≤ o ≥.
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6.5. ANALISIS DE SENSIBILIDAD EN PL El análisis de sensibilidad es una de las partes más importantes en la programación lineal, sobretodo para la toma de decisiones; pues permite determinar cuando una solución sigue siendo óptima, dados algunos cambios ya sea en el entorno del problema, en la empresa o en los datos del problema mismo.
Este análisis consiste en determinar que tan sensible es la respuesta óptima al cambio de algunos datos como las ganancias o costos unitarios (coeficientes de la función objetivo) o la disponibilidad de los recursos (términos independientes de las restricciones).
La variación en estos datos del problema se analizará individualmente, es decir, se analiza la sensibilidad de la solución debido a la modificación de un dato a la vez, asumiendo que todos los demás permanecen sin alteración alguna.
Esto es importante porque estamos hablando de que la sensibilidad es estática y no dinámica, pues solo contempla el cambio de un dato a la vez y no el de varios. El análisis de sensibilidad es el estudio de la forma de en que los cambios en los coeficientes de un programa lineal afectan a la solución optima
El Objetivo Principal del Análisis de Sensibilidad es establecer un intervalo de números reales en el cual el dato que se analiza puede estar contenido, de tal manera que la solución sigue siendo óptimo siempre que el dato pertenezca a dicho intervalo.
Dado que el análisis de sensibilidad se ocupa de la manera en que los cambios citados afectan a la solución optima, el análisis solo se inicia cuando se ha obtenido la solución óptima del problema original. Por esta razón el análisis de sensibilidad se le conoce como análisis de postoptimilidad.
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6.6. EJERCICIOS PROPUESTOS 6 1.- Para el programa lineal Max. 4X1 + 1X2 Sujeto a 10X1 + 2X2 ≤ 30 3X1 + 2X2 ≤ 12 2X1 + 2X2 ≤ 10 X1, X2 ≥ 0 a) Escriba el problema en forma estándar b) Resuelva el problema con el método grafico Rpta. X1 = 2.572 y X2 = 2.143;
2.- Para el programa lineal Max. 3X1 + 4X2 Sujeto a -1X1 + 2X2 ≤ 8 1X1 + 2X2 ≤ 12 2X1 + 1X2 ≤ 16 X1, X2 ≥ 0 a) Escriba el problema en forma estándar b) Resuelva el problema con el método grafico
3.- Considere el programa lineal siguiente Min 3X1 + 4X2 Sujeto a 1X1 + 3X2 ≥ 6 1X1 + 1X2 ≥ 4 X1, X2 ≥ 0 Identifique la región factible y encuentre la solución óptima Rpta: X1 = 3; X2 = 1 Z=13
4.- Considere el programa lineal Min X1 + 2X2 Sujeto a X1 + 4X2 ≤ 21 2X1 + X2 ≥ 7 3X1 + 1.5X2 ≤ 21 -2X1 + 6X2 ≥ 0 a) Encuentre la solución óptima y el valor de la función objetivo b) Determine la cantidad de holgura o excedente de cada una de las restricciones.
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c) Suponga que la función objetivo se modifica a Max 5X1 + 2X2. Encuentre la solución optima del valor de la función objetivo Rpta: X1 = 3, X2 = 1 Z = 5
5.- Para el programa lineal Min. 6X1 + 4X2 Sujeto a
2X1 + 1X2 ≥ 12 1X1 + 1X2 ≥ 10 1X2 ≤ 4 X1, X2 ≥ 0
a) Resuelva el problema usando el método grafico b) Cuáles son los valores de las variables de holgura y de excedente Rpta. X1 = 6; X2 = 4
Z = 52
6.- Considere el siguiente problema lineal Max. 1X1 + 1X2 Sujeto a
5X1 + 3X2 ≤ 15 3X1 + 5X2 ≤ 15 X1, X2 ≥ 0
Encuentre la solución óptima Rpta (X1 = 1.88; X2 = 1.88; Z = 3.75)
7.- Considere el programa lineal Max. 2X1 + 3X2 Sujeto a
1X1 + 1X2 ≤ 10 2X1 + 1X2 ≥ 4 1X1 + 3X2 ≤ 24 2X1 + 1X2 ≤ 16 X1, X2 ≥ 0
Resuelva el programa utilizando la solución grafica
8. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 ptas. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 pesetas por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir
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de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? RPTA
50 de A y 100 de B
9. En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen 450 pesetas y las halógenas 600 pesetas. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende en toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá produccir para obtener la máxima facturación? RPTA
200 normales y 300 halógenas
10. Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos pero no menos de 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avión A la empresa gana 300000 ptas. y 200000 por cada viaje del B. ¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias? ¿Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo?
RPTA
La máxima ganancia se obtiene con
120 viajes del avión A y 80 del avión B y es de 52 millones de pesetas. El mínimo consumo se obtiene con 30 viajes de cada avión y es 48000 litros
11. Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos fabricas. En la fabrica A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario. En la fabrica B se invierten tres días operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 mil soles y por cada automóvil 2 mil soles, ¿cuántas unidades de cada uno se deben producir para maximizar las ganancias? RPTA
66 automóviles y 24 camiones
12. Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27’5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 de mantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0’5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es 20 y por una docena de tipo
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Q es 30. Halla, utilizando las técnicas de programación lineal, el número de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo. RPTA
5 docenas de pasteles del tipo P y 22. 5 docenas de pasteles del tipo Q
13. Una empresa fabrica dos tipos de rotuladores, de la clase A a 200 ptas. la unidad y de la clase B a 150 ptas. En la producción diaria se sabe que el número de rotuladores de la clase B no supera en 1000 unidades a los de la A; además, entre las dos clases no superan las 3000 unidades y la de la clase B no bajan de 1000 unidades por día. Hallar el costo máximo y mínimo de la producción diaria. RPTA
La solución óptima mínima es producir 1000 rotuladores de clase B y
ninguno de la clase A, siendo el costo mínimo diario de 150000 pesetas. La solución óptima máxima es producir 2000 rotuladores de la clase A y 1000 de la clase B, siendo el costo máximo de 550000 pesetas
14. Una compañía fabrica dos modelos de sombrero: Bae y Viz. La fabricación de los sombreros se realiza en las secciones de moldeado, pintura y montaje. La fabricación de cada modelo Bae requiere 2 horas de moldeado, 3 de pintura y una de montaje. La fabricación del modelo Viz requiere tres horas de moldeado, 2 de pintura y una de montaje. Las secciones de moldeado y pintura disponen, cada una, de un máximo de 1.500 horas cada mes, y la de montaje de 600.Si el modelo Bae se vende a 10.000 pesetas y el modelo Viz a 12.000 pesetas, ¿qué cantidad de sombreros de cada tipo ha de fabricar para maximizar el beneficio mensual? RPTA 300 sombreros del tipo Bae y 300 sombreros del tipo Viz
15. Cada mes una empresa puede gastar. Como máximo, 1.000.000 ptas. en salarios y 1.800.000 ptas. en energía (electricidad y gasoil). La empresa sólo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 80 ptas. y 50 ptas. por cada unidad de B. El coste salarial y energético que acarrea la elaboración de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente tabla:
A
B
Coste salarial,
200
100
Coste energético
100
300
Se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo. RPTA
2400 unidades del producto A y 5200 del producto B
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16. Una persona tiene 500.000 pesetas para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo con un interés anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un interés anual del 7%. Decide invertir como máximo 300.000 pesetas en A y como mínimo 100.000 pesetas en B, e invertir en A por lo menos tanto como en B. ¿Cómo deberá invertir sus 500.000 pesetas para maximizar sus intereses anuales?.
RPTA 300000 pesetas en acciones del tipo A y
200000 pesetas en acciones del tipo B
17. Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades. Halla el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 800 ptas. y cada unidad de vinagre de 200 ptas.
RPTA 3 unidades de vino
y 2 de vinagre
18. Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostino, 5 cajas de nécoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta 210.000 ptas., mientras que los del mayorista B cuestan 300.000 pesetas cada uno. ¿Cuántos contenedores debe pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mínimas con el menor coste posible? RPTA. 3 contenedores al mayorista A y 2 al mayorista B
19. Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son 8, 12, 9 unidades respectivamente. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima mezclando los productos A y B cuyos contenidos por kilogramo son los que se indican en la siguiente tabla: Proteínas
Hidratos
Grasas
Costo (kg)
Producto A
2
6
1
600
Producto B
1
1
3
400
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¿Cuántos kilogramos de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mínimo?
RPTA
3 kg del producto A y 2 kg del
producto B
20. Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades de potasio (K), fósforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete. Marca K
P
N
Precio
A
4
6
1
15
B
1
10
6
24
¿En qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mínimo precio un abono que contenga 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N? RPTA:
Se minimiza el precio con 1/2 de A y 2 de B
21. Dos mataderos, P y Q, se encargan de suministrar la carne consumida semanalmente en tres ciudades, R, S y T: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. El matadero P produce cada semana 26 toneladas de carne, y el Q, 30. Sabiendo que los costes de transporte, por tonelada de carne, desde cada matadero de a cada ciudad, son los reflejados en la siguiente tabla: R
S
T
P
1
3
1
Q
2
1
1
Determinar cuál es la distribución de transporte que supone un coste mínimo. RPTA
R
S
T
P
20
0
6
Q
0
22
8
22. Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El coste del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro: Almacén
Mercado 1
Mercado 2
Mercado 3
A
10
15
20
B
15
10
10
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Planificar el transporte para que el coste sea mínimo RPTA
M1
M2
M3
A
8
2
0
B
0
6
9
23. Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La primera contiene un 15% de extracto de jazmín, un 20% de alcohol y el resto es agua y la segunda lleva un 30% de extracto de jazmín, un 15% de alcohol y el resto es agua. Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol. Cada día se pueden producir como máximo 150 litros de la colonia B. El precio de venta por litro de la colonia A es de 500 pesetas y el de la colonia B es 2.000 pesetas. Hallar los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea máximo. RPTA 100 lts colonia del tipo A y 150 lts colonia del tipo B
24. Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero sólo de 9 conductores para ese día. Dada la diferente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 8000 ptas. y el de cada uno de los pequeños, 6000 ptas. ¿Cuántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible?
RPTA Hay que alquilar 5
autobuses de 40 plazas y 4 de 50 plazas. El precio es de 62000 pesetas
25. La casa X fabrica helados A y B, hasta un máximo diario de 1000 kg. La fabricación de un kg de A cuesta 180 ptas. , y uno de B, 150. Calcule cuántos kg de A y B deben fabricarse, sabendo que la casa dispone de 270000 ptas/día y que un kg de A deja un margen igual al 90% del que deja uno de B.RPTA 1000 kg del helado tipo B y nada de tipo A
26. A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones:
No de be tomar más de 150 g de la mezcla ni menos de 50 g.
La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B.
No debe incluir más de 100 g de A
Si 100g de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 calorías y 100 g de B contienen 20 mg de vitaminas y 150 calorías:
a. ¿Cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado más rico en vitaminas?
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b. ¿Y el más pobre en calorías? RPTA
a) 100 g de A y 50 g de B b) 25 g de A y 25 g de B
27. A una persona le tocan 10 millones de dolares en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y, por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual sea máximo?.
28. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 pesos por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 pesos por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? 29. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio. 30. Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.
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31. La fábrica Gepetto S.A., construye soldados y trenes de madera. El precio de venta al público de un soldado es de 2700 pesos y el de un tren 2100 pesos. Gepetto estima que fabricar un soldado supone un gasto de 1000 pesos de materias primas y de 1400 pesos de costes laborales. Fabricar un tren exige 900 pesos de materias primas y 1000 pesos de costes laborales. La construcción de ambos tipos de juguetes requiere un trabajo previo de carpintería y un proceso final de acabado (pintura, revisión de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.). Para fabricar un soldado se necesita 1 hora de carpintería y 2 horas de proceso final de acabado. Un tren necesita 1 hora de carpintería y 1 hora para el proceso de acabado. Gepetto no tiene problemas de abastecimiento de materias primas, pero sólo puede contar semanalmente con un máximo de 80 horas de carpintería y un máximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del marcado, Gepetto fabrica, como máximo, 40 soldados a la semana. No ocurre así con los trenes, para los que no hay ningún tipo de restricción en cuanto al número de unidades fabricadas. Obtén el número de soldados y de trenes que semanalmente deberá fabricar la empresa para maximizar sus beneficios.
32. Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas (de cortar, coser y teñir) se emplean en la producción. Fabricar una chaqueta representa emplear la máquina de cortar una hora, la de coser tres horas y la de teñir una hora; fabricar unos pantalones representa usar la máquina de cortar una hora, la de coser una hora y la de teñir ninguna. La máquina de teñir se puede usara durante tres horas, la de coser doce y la de cortar 7. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y de cinco por cada pantalón. ¿Cómo emplearíamos las máquinas para conseguir el beneficio máximo?
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7. PROGRAMACION LINEAL Formulación, Solución por computadoras e Interpretación Recientemente ha habido una gran cantidad de software que pueden resolver programas lineales, en este libro solamente usaremos el Solver (Excel) y el WinQSB que se explicaran mas delante de este libro
Veamos ahora unos conceptos básicos de los paquetes de cómputo El precio sombra (shadow price): Es la tasa de cambio en la función objetivo (Z) como resultado de un cambio de una unidad en la restricción. Es, por tanto, el precio adicional máximo que estamos dispuestos a pagar por el incremento del recurso. El precio sombra de una variable de decisión activa es nulo. La holgura (o el exceso) es la diferencia entre el uso del recurso y el límite o cota de la restricción. Por ejemplo si en uno de los talleres se usan 240 horas-hombre de mano de obra y hay una disponibilidad de 280, la restricción que expresa la mano de obra en ese taller tendrá una holgura de 40 horas-hombre.
Rango de optimalidad - Indica los rangos de intervalo entre los cuales, la función objetivo, o las cotas de las restricciones, pueden ser alteradas sin afectar la solucion óptima. Se los debe considerar "indicativos" pero no "probados con certeza".
Solución del problema de RMC utilizando el WinQSB Ahora recordemos el problema de RMC Max. Z = 40X1 + 30X2 Sujeto a 2/5 X1 + ½ X2 ≤ 20
Materia Prima 1
1/5 X2 ≤ 5
Materia Prima 2
3/5 X1 + 3/10 X2 ≤ 21
Materia Prima 3
a) Ingreso de datos Problem Title: Ingresar el titulo del problema Number of Variables: ingresar el número de variables de decisiones X1, X2 Number of Constraints: Nro. de restricciones
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Dr. Higinio Wong Aitken Objetive Criterion: Si la función objetivo es maximizar o minimizar Data Entry Format: Formato de ingreso de datos a) Speadsheet Matriz: Matriz de hoja de cálculo b) Normal Model: Forma de modelo matemático
Ingreso de datos con el formato de hoja de calculo (Spreadsheet Matriz Form)
b) Solución del problema Ir al menú Solver and Analyze Solver the problem
Variables de decisión
Restricciones
Veamos algunas columnas Solution Value:
Son los valores de las variables de decisión X1 = 25 y X2 = 20
Unit cost or Profit:
Es el costo por unidad de cada variable de decisión, generalmente son los coeficientes de la función objetivo
Total Contribution:
Es la contribución total por variable de decisión, esta dado por: Total contribution = Solution Value * Unit Cost
La suma de las contribuciones parciales da la contribución total (Z) Basic Status:
Indica si las variables de decisión son básicas o no básicas
Reduced Cost:
Indica cuanto del coeficiente de la función objetivo para cada variable deberá mejorar antes de que sea posible que la variable llegue a un valor positivo en la solución óptima. Para un problema de maximización mejorar significa aumentar y en un problema de minimización mejorar significa disminuir. Si la variable de decisión ya es solución optima, su costo reducido será cero
Allowable Min y Max: Indica el rango de optimalidad (análisis de sensibilidad) para los coeficientes de X1 y X2.
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Dr. Higinio Wong Aitken Left Hand Side:
Es el valor del lado derecho de cada restricción sustituyendo X1 y X2 por los valores óptimos
Right Hand Side:
Es el lado izquierdo de cada restricción, generalmente esta dado en la restricción
Snack or Surplus:
Indica el valor de la variable de holgura/exceso de cada restricción
Shadow Price:
Es la tasa de cambio de Z en una unidad de la restricción, se
(Precio Sombra)
concluye que mas toneladas de M. prima 1 (restriccion1) incrementaría Z en $33.33 y esto es valido para incrementos de hasta 21.5 ton. y reducciones de hasta 14 ton.
c) Grafica del problema
Solución del problema de RMC utilizando el Solver de Excel Recordemos el problema de RMC Max. Z = 40X1 + 30X2 Sujeto a
2/5 X1 + ½ X2 ≤ 20 1/5 X2 ≤ 5 3/5 X1 + 3/10 X2 ≤ 21
Materia Prima 1 Materia Prima 2 Materia Prima 3
X1, X2 ≥ 0
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Dr. Higinio Wong Aitken
a) Ingreso de Datos A
B
C
D
E
F
2 X2: base X1: Aditivo combustible
3 4
Datos del problema
Materia Prima1
5
Materia Prima2
6
Materia Prima3
disolvente Disponibilidad
=2/5
=1/2
20
=1/5
5
=3/5
=3/10
21
7 Cantidad Utilizada MP
8
Disponibilidad
9
Materia Prima1
=+(D4*$D$13)+(E4*$E$13)
<=
20
10
Materia Prima2
=+(D5*$D$13)+(E5*$E$13)
<=
5
11
Materia Prima3
=+(D6*$D$13)+(E6*$E$13)
<=
21
12 13 14
Cantidad Optima
Cantidad a pedir Costo unitario $ Utilidad total
15
40
30
=+D13*D14
=+E14*E13
=+D15+E15
b) Solución del problema Menú Herramientas Solver La Celda Objetivo: es la celda que se desea maximizar o minimizar (viene dado por la función objetivo) Valor de la Celda Objetivo: Especifica si se desea maximizar o minimizar la celda objetivo, o bien definirla con un valor especifico. Cambiando las Celdas: Son las celdas que pueden ajustarse hasta que satisfaga las restricciones y la función objetivo (son los valores óptimos) Sujeto a las siguientes restricciones: Muestra las restricciones actuales del problema
c) Una vez dada la solución, el cuadro queda como sigue: A
B
C
D
E
F
2 X2: base X1: Aditivo comb
3 4
Datos del problema
Materia Prima1
5
Materia Prima2
6
Materia Prima3
0.4
0.6
disolvente Disponibilidad 0.5
20
0.2
5
0.3
21
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Dr. Higinio Wong Aitken 7 Cantidad Utilizada MP
8
Disponibilidad
9
Materia Prima1
20
<=
20
10
Materia Prima2
4
<=
5
11
Materia Prima3
21
<=
21
Cantidad a pedir
25
20
Costo unitario $
$40.00
$30.00
$ 1,000.00
$ 600.00
12 13 14
Cantidad Optima
Utilidad total
15
$ 1,600.00
EL PROBLEMA DE ELECTRONIC COMUNICATIONS Electronic Comunications fabrica radios portátiles que puede utilizarse en comunicaciones de 2 vías. El nuevo producto de la empresa, que tiene un rango de hasta 25 millas, es adecuado para una diversidad de usos comerciales y personales. Los canales de distribución del nuevo radio son: 1. Distribuidores de equipo marino 2. Distribuidores de equipo de oficinas 3. Cadena nacionales de tiendas al menudeo 4. Pedidos por correo
Debido a diferentes costos de distribución y promociónales, la redituabilidad del producto cambiara según el canal de distribución. Además, el costo de publicidad y el esfuerzo de ventas personales requerido también variara de acuerdo con los canales de distribución. La tabla siguiente resume la contribución a la utilidad, el costo de publicidad y los datos de esfuerzo de ventas:
Canal distribución
Utilidades por
Costo publicidad
Esfuerzo de FFVV
unidad vendida
por unidad vendida
por unidad vendida
Distrib. Marinos
$90
$10
2 horas
Distrib. de oficinas
$84
$8
3 horas
Tiendas al menudeo
$70
$9
3 horas
Pedidos por correo
$60
$15
Ninguna
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La empresa ha formulado un presupuesto de publicidad de $5000, y esta disponible un máximo de 1800 horas de fuerza de ventas para asignar. La administración también ha decidido producir 600 unidades durante el periodo de producción actual. Finalmente, un contrato vigente con la cadena nacional de tiendas al menudeo requiere que por lo menos se distribuyan 150 unidades a través de este canal de distribución. Electronic Communications ahora se enfrenta al problema de establecer una estrategia de distribución para los radios, que maximice la redituabilidad general de la producción de estos radios. Deben tomarse decisiones en relación con cuantas unidades deben asignarse a cada uno de los cuatros canales de distribución, así como asignar el presupuesto de publicidad y el esfuerzo de fuerza de ventas a cada uno de los canales de distribución.
FORMULACION DEL PROBLEMA DE ELECTRONIC COMMUNICATIONS Función objetivo:
Maximizar la utilidad
Restricciones Restriccion1: Gastos de publicidad ≤ Presupuesto ($5000) Restricción2: Tiempo de ventas utilizado ≤ Tiempo disponible (1800 h) Restricción3: Radios producidos = Requerimiento de la administración Restriccion4: Distribución al menudeo ≥ Requisito por contrato
Ahora que el problema esta claro, definamos las variables de decisión que el administrador debe tomar. Sea: X1 = numero de unidades producidas para el canal de distribución de equipos marino X2 = numero de unidades producidas para el canal de distribución de equipos oficina X3 = numero de unidades producidas para el canal de distribución de las cadenas nacionales al menudeo X4 = numero de unidades producidas para el canal de distribución de pedidos por correo Ahora escribiremos la función objetivo utilizando la tabla para la maximización de la contribución a la utilidad total Max. 90X1 + 84X2 + 70X3 + 60X4 Restricciones 1) 10X1 + 8X2 + 9X3 + 15X4 ≤ 5000 (El presupuesto limita el gasto en publicidad) 2) 2X1 + 3X2 + 3X3 ≤ 1800 (El limite de tiempo de ventas esta limitado por 1800h)
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3) X1 + X2 + X3 + X4 = 600 (la decisión de la administración de producir 600 unidades durante el tiempo de producción) 4) 1X3 ≥ 150
(según el contrato con tiendas al menudeo, debe ser distribuidas 150 unidades o mas)
SOLUCION POR COMPUTADORA Utilizando el Win QSB tenemos los siguientes resultados con 4 variables (X1, X2, X3, X4) y 4 restricciones Los valores óptimos de las variables de decisión esta dado por X1 = 25, X2 = 425, X3 = 150 y X4 = 0 (la empresa no debe utilizar el canal por correos) La función objetivo nos dará una utilidad máxima de $48,450 Recordemos que los costos reducidos indican cuanto tendrá que mejorar cada coeficiente de la función objetivo (en este caso contribución a la utilidad), antes de que la variable de decisión correspondiente pueda asumir un valor positivo en la solución óptima
Veamos que los 3 primeros costos reducidos son cero, porque las variables de decisión correspondiente (x1, X2, X3) ya tienen valores positivo en la solución optima. Sin embargo el costo reducido -45 para la variable X4 nos indica que la utilidad de los nuevos radios distribuidos por correo tendría que incrementar su utilidad por unidad vendida a por lo menos $60 + $45 = $105 por unidad, antes de que resultara redituable el uso del canal de distribución de pedidos por correo Ahora veamos las variables de holgura o excedente y los precios sombras Restricción
Tipo
Holgura o
Precio
excedente sombra 1
Presupuesto de Publicidad
≤
0
3
2
Disponibilidad Fuerza venta
≤
25
0
3
Nivel de producción
=
0
60
4
Requisito tienda al menudeo
≥
0
-17
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Rango de Optimalidad (Análisis de Sensibilidad)
1 2 3 4
Decision Variable X1 X2 X3 X4
Allowable Allowable Min. c(j) Max. c(j) 84 M 50 90 -M 87 -M 105
1 2 3 4
Constraint C1 C2 C3 C4
Allowable Min. RHS 4,950.00 1,775.00 515 0
Allowable Max. RHS 5,850.00 M 603.5714 200
La restricción 1 de presupuesto de publicidad tiene una holgura de 0, indicando que se ha utilizado la totalidad de presupuesto de $5000. El precio sombra correspondiente de 3 nos indica que un dólar adicional que se le agregue al presupuesto de publicidad mejorara la función objetivo (incremento en utilidad) en $3. El rango del presupuesto de optimalidad (de 4950 a 5850) muestra que incrementar el presupuesto de publicidad es apropiada hasta $5850
La holgura de 25 horas en la restricción 2, muestra que hay 25 horas del tiempo de fuerza de ventas no son utilizadas (tiempo ocioso)
El precio sombra de 60 en la restricción 3, muestra que si la empresa reconsiderase El nivel de producción para los radios, el valor de la función objetivo, es decir la utilidad mejoría a una tasa de $60 por unidad producida.
El precio sombra negativo de -17, indica que al incrementar el compromiso con las tiendas al menudeo de 150 a 151 unidades, la utilidad disminuiría en $17. En este caso una disminución en la cantidad pactada con las tiendas al menudeo (de 150 a 149) mejoraría la utilidad de la empresa a una tasa de $17 por unidad. Observe que el rango de optimalidad asociado con X4 (-M a $105) corrobora esta información anterior de los precios sombras, en ambos casos, la utilidad por unidad tendría que aumentar a $105 para que el canal de distribución por correo pudiera aparecer en la solución optima con un valor positivo. Las asignaciones del presupuesto de publicidad (restriccion1) es: 10X1 + 8X2 + 9X3 + 15X4 ≤ 5000
Ahora remplazamos X1, X2, X3, X4 por sus valores óptimos Presupuesto publicidad canal de distribución equipos marinos X1 :
10(25) = $250
Presupuesto publicidad canal de distribución equipos oficina X2 :
8(425) = $3400
Presupuesto publicidad canal de distribución tiendas al menudeo X3: 9(150) = $1350 Presupuesto publicidad canal de distribución pedidos por correo X4:
15(0) = $0
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EJERCICIOS PROPUESTOS 7 1.- Kelson Sporting fabrica dos modelos de guantes de béisbol; uno normal y una de catcher. La empresa tiene disponible 900 horas de tiempo de producción en su departamento de corte y costura. 300 horas disponibles en su departamento terminado y 100 horas disponibles en su departamento de empaque y embarque. Los requerimientos de tiempo de producción y la contribución a la utilidad (ganancia) de cada uno de los productos son: Tiempo de producción (horas) Modelo
Corte y
Terminado
costura Guante normal
Empaque y
Utilidad por guante
embarque
1
½
1/8
$5
Manopla de Catcher
3/2
1/3
1/4
$8
Disponibilidad horas
900
300
100
Suponga que la empresa esta interesada en maximizar la contribución total a la utilidad. a) ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema? b) Encuentre la solución óptima utilizando el método grafico c) Encuentre la solución óptima. Cuantos guantes de cada modelo deberá fabricar Kelson d) Cual es la contribución total a la utilidad e) Cuantas horas de tiempo de producción están programadas en cada departamento f) Cual es el tiempo libre en cada departamento Rpta: X1 = 500.15; X2 = 149.93
Z = 3,700.15
2.- El propietario de Parrilladas Ramiro’s, desearía determinar cual es la mejor forma de adquirir un presupuesto mensual de publicidad de $1,000 entre periódicos y la radio. La administración ha decidido que por lo menos el 25% del presupuesto debe utilizarse en cada uno de estos tipos (periódico y radio), y que el monto de dinero gastado en publicidad en periódicos debe ser por lo menos el doble de lo que se gaste en radio. Un asesor de mercadotecnia ha desarrollado un índice de exposición del auditorio por dólar de publicidad en una escala del 0 al 100, donde valores mas elevados del índice indican mayores exposiciones al auditorio. Si el valor del índice para publicidad en los periódicos locales es de 50, y para un anuncio de radio es de 80. ¿Cómo debería asignar la administración el
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presupuesto de publicidad, a fin de maximizar el valor de exposición total en el auditorio? a. Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para determinar la manera en que la administración debe asignar el presupuesto de publicidad a fin de maximizar el valor de la exposición del auditorio. b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de la solución grafica.
3. Greentree proporciona alimentos por una noche para mascotas. Una característica particular en Greentree es la calidad del cuidado que reciben las mascotas. La comida para perros se elabora mezclando 2 alimentos de marca para perros a fin de obtener lo que Greentree llama “dieta para perros bien balanceada”. Los datos para las 2 comidas para perros son las siguientes: Comida para perros
Costo/onza
Proteínas
Grasa
Bark Bits
$0.06
0.30
0.15
Canien Chow
$0.05
0.20
0.30
Si Greentree desea asegurarse que los perros reciben por lo menos 5 onzas de proteínas y como mínimo 3 onzas de grasas cada día. ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo de los 2 alimentos para perros? Rpta: 15 onzas de Bark Bits y 2.5 onzas de Canien Chow; Z= 1.025
4.- Supersport quiere determinar la cantidad idónea de balones de fútbol americano: All-pro (X1); Collage (X2) y High School (X3) a producir a fin de maximizar las utilidades. Las restricciones incluyen limitaciones de capacidad de producción (tiempo disponible en minutos) en cada uno de los 3 departamentos (corte y teñido, costura e inspección y empaque); así como una restricción que requiere la producción de por lo menos 1000 balones de fútbol americano All-Pro. El modelo de programación lineal de Supersport es como sigue: Max. 3X1 + 5X2 + 4X3 Sujeto a 12X1 + 10X2 + 8X3 ≤ 18,000
Corte y teñido
15X1 + 15X2 + 12X3 ≤ 18,000
Costura
3X1 + 4X2 + 2X3 ≤ 9,000
Inspeccion y empaque
1X1
≥ 1,000
Modelos All-Pro
X1, X2, X3 ≥ 0
a) Cuantos balones de fútbol americano de cada tipo deberá producir Supersport para maximizar la contribución total
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b) Que restricciones tiene recursos limitantes c) Interprete la holgura o el excedente de cada restricción
5.- Relax and Enjoy Lake Corp. Esta desarrollando una comunidad habitacional a la orilla de un lago de propiedad privada. El mercado principal para los terrenos y casas a la orilla del lago que esperan vender incluye a todas las familias con ingresos altos y medios dentro de la comunidad. Relax and Enjoy Lake Corp. Ha contratado a una agencia de publicidad para diseñar la campaña publicitaria.
La evaluación de la calidad se mide en función de una unidad de calidad de exposición. Después de considerar posibles medios y el marcado a cubrir, la empresa de publicidad ha recomendado que la publicidad se limite a cinco medios. DTV = Numero de veces en que se utiliza la TV diurna ETN = Numero de veces en que se utiliza la TV nocturna DN = Numero de veces en que se utiliza el periódico cotidiano SN = Numero de veces en que se utiliza el periódico dominical R
= Numero de veces en que se utiliza la radio
Medios de Publicidad
1. TV diurna (1 min)
Numero de clientes potenciales alcanzados 1000
2. TV vespertina (30 seg)
Costo por anuncios
$1500
Numero máximo tiempo disp. por mes 15
Unidades calidad de exposición 65
2000
$3000
10
90
3. Periódico diario (1 pag)
1500
$400
25
40
4. Periódico dominical
2500
$1000
4
60
5. Radio (30 seg)
300
$100
30
20
Relax and Enjoy Lake Corp. Autorizo un presupuesto de publicidad de $30,000 para la campaña, además Relax and Enjoy Lake impuso las siguientes restricciones sobre la forma en que la empresa de publicidad puede asignar estos fondos; debe utilizar por lo menos 10 comerciales de TV, se debe alcanzar por lo menos 50,000 clientes potenciales y no puede gastarse mas de $18,000 en anuncios de TV. a) ¿Qué plan de selección de medios deberá recomendarse?, es decir La decisión a tomar es cuantas veces utilizar cada uno de los medios. b) Cual es el numero máximo de unidades de calidad de exposición? c) Cual es el numero total de clientes alcanzados?
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Func. Objetivo
Max 65DTV + 90ETV + 40DN + 60SN + 20R
Sujeto a DTV ETV DN SN R
≤
15
≤
10
≤
25
≤
4
≤
30 ≤
30,000
ETV
≥
10
1500DTV + 3000ETV
≤
18,000
1500DTV + 3000ETV + 400DN + 1000SN + 100R DTV +
1000DTV + 2000ETV + 1500DN + 2500SN + 300R DTV, ETV, DN, SN, R
RPTA:
≥
≥
50,000
0
a) DTV=10, ETV=0, DN=25, SN=2, R=30 b) 2370 c) Restricción clientes alcanzados = 61,500
7. La administración de Hartman Company esta intentando determinar la cantidad a producir de cada uno de los productos en el siguiente periodo de planeación. La información que sigue corresponde a la disponibilidad de la mano de obra, el uso de la mano de obra y la redituabilidad del producto Departamento A
Producto (hora/unidad) 1 2 1.00 0.35
Horas de mano de obra disponible 100
B
0.30
0.20
36
C
0.20
0.50
50
Contribución a la utilidad
$30.00
$15.00
a) Desarrolle un modelo de programación lineal del problema de Hartman Company. Resuelva el modelo para encontrar los volúmenes óptimos de producción de los productos 1 y 2 b) Suponga que en alguno de los departamentos se puede programar un tiempo extra ¿En que departamento recomendaría usted dicha programación?. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar usted por hora de tiempo extra en cada uno de los departamentos? RPTA
a) X1 = 77.89, X2= 63.16
Z = 3284.21
b) Dpto A $15.79; Dpto B $47.37
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6. La unión de crédito de los empleados de State University esta planeando la asignación de los fondos para el próximo año. La unión de crédito efectúa cuatro tipos de préstamos a sus miembros y además para estabilizar el ingreso, invierte en valores libres de riesgo. Las diversas inversiones productoras de ingreso, junto con sus tasas de rendimiento anual son: Tipo de préstamo / inversión
Tasa de rendimiento anual (%)
Préstamo por automóvil
8
Préstamo para muebles
10
Otros prestamos con garantía
11
Prestamos quirografarios
12
Valores libres de riesgo
9
Durante el siguiente año la unión de crédito tendrá $2’000,000 disponibles para invertir. Las leyes estatales y las políticas de la unión de crédito imponen las siguientes restricciones en la composición de préstamos e inversiones -
Los valore libre de riesgo no pueden exceder el 30% de los fondos totales disponibles para inversión
-
Los prestamos quirografarios no pueden exceder el 10% de los fondos invertidos en todos los prestamos (automotriz, inmobiliarios, otros con garantías y quirografarios).
-
Los prestamos para mobiliarios mas los quirografarios no pueden exceder los prestamos automotrices
-
Otros prestamos garantizados mas los quirografarios ni pueden exceder los fondos invertidos en valores libres de riesgo
Como deberán asignarse los $2’000,000 para cada una de estas alternativas de prestamos y de inversión, a fin de maximizar el rendimiento total anual? ¿Cuáles es el rendimiento total anual proyectado? RPTA X1=0 ; X2=1’600,000 ; X3=0 ; X4=200,000 ; X5= 200,000
Z = 202,000
7. G. Kunz and Sons fabrican dos productos que se utilizan en la industria de la maquinaria pesada. Ambos productos requieren operaciones de manufactura en dos departamentos. A continuación aparecerá las cifras de los tiempos de producción (en horas) y de la contribución a la utilidad de ambos. Para el próximo periodo de producción, Kuns tiene un total de 900 horas de manos de obra disponible que se pueden asignar a cualquier de los dos departamentos.
Encuentre el plan de producción y la asignación de la manos de obra (horas asignadas a cada departamento) que maximice la contribución a la utilidad total
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Producto
Utilidad por unidad
Horas de mano de obra Depart A Depart B
1
$25
6
12
2
$20
8
10
RPTA a) plan de producción X1=50, X2=0 Horas asignadas a cada Dpto Dpto A = (6*50)+(8*0)=300 horas Horas asignadas a cada Dpto Dpto B = (12*50)+(10*0)=600 horas
8.- Lurix Electronic manufactura dos productos que se pueden producir en dos líneas distintas de producción. Ambos productos tienen costo de producción más bajo cuando se producen en la más moderna de las dos líneas. Sin embargo, la línea de producción más moderna no tiene capacidad para manejar la producción total. Como resultado, parte de la producción debe efectuarse en la línea de producción más antigua. Los datos siguientes muestran los requerimientos totales de producción, la capacidad de las líneas de producción y los costos de producción Costo de producción / Utilidad Producto
Línea Moderna
Línea antigua
Req. Mínimo de producción
1
$3.00
$5.00
500 unid
2
$2.50
$4.00
700 unid
Capac línea
800
600
Formule un modelo de programación lineal que pueda utilizarse para tomar la decisión de asignación de la producción. Cual es la decisión recomendada y cual es el costo total RPTA:
Línea moderna
Línea Antigua
Prod1
500
0
Prod2
300
400
9.- Edgard Manufacturing Company adquiere dos componentes de tres proveedores distintos. Los proveedores tienen una capacidad limitada y ninguno de ellos puede cumplir con la totalidad de las necesidades de la empresa, además de que cobran precios diferentes por los componentes. Los precios de los componentes por unidad son los sgtes Componente
Prov1
Prov2
Prov3
1
$12
$13
$14
2
$10
$11
$10
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Cada proveedor tiene capacidad limitada respecto al total de componentes que puede suministrar. Sin embargo, siempre que Edgar emita pedidos suficiente adelanto, cada proveedor puede dedicar su capacidad al componente 1 o 2 o ambos, siempre y cuando el total de unidades pedidas quede dentro de su capacidad. La capacidad de los proveedores es la siguiente
Componente Capacidad
Prov1
Prov2
Prov3
600
1000
800
Si el plan de producción de Edwards para el siguiente periodo incluye 1000 unidades del componente 1 y 800 unidades del componente 2, ¿Cuántas unidades de cada componente deberán pedirse a cada uno de los proveedores?. ¿Cuál seria el costo total de adquisición de componentes? RPTA: Componente Prov1 Prov2 1 600 400 2 0 0
Prov3 0 800
10.- Golf Company palos de grafito vara varios fabricantes de palos de golf. Dos instalaciones de fabricación de Golf company (una en San Diego y otra en Tampa) tiene la capacidad para producir palos en diversos grados de rigidez, desde los normales, hasta modelos extrarigidos. Golf Company acaba de recibir un contrato para la producción de 200,000 palos normales y 75,000 rígidos. Dado que ambas plantas actualmente están produciendo palos de golf para cumplir con ordenes anteriores, ninguna de las plantas tiene capacidad suficiente, por si misma para llenar el nuevo pedido. La planta de San Diego puede producir hasta un total de 120,000 palos y la de Tampa hasta un total de 180,000 palos de golf. Debido a deferencias en equipamiento en cada una de las plantas y de distintos costos de mano de obra, los costos de producción unitarios son distintos como se muestra a continuación Costo de San Diego
Costo de Tampa
Palo Normal
$ 5.25
$ 4.95
Palo Rígido
$ 5.45
$ 5.70
Formule un modelo de programación lineal para determinar la manera en que Golf Company deberá programar la producción de este nuevo pedido para minimizar el costo total de producción.
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11.- Frecuencia Latina periódicamente patrocina seminarios y programas de servicio público. Actualmente, están en marcha planes promociónales para el programa de este año. Las alternativas de publicidad incluyen TV, Radio y periódicos. Las estimaciones de auditorio, costo y limitaciones de utilización de medios son:
Restricción
Televisión
Radio
Periódico
Auditorio por anuncio
100,000
18,000
40,000
Costo por anuncio
$2,000
$300
$600
Uso máximo de los medios
10
20
10
Para asegurar un uso balanceado de los medios de publicidad, los anuncios en radio no deben exceder el 50% del número total de anuncios autorizados. Además, la televisión deberá representar por lo menos 10% del número total de anuncios autorizados. a) Si el presupuesto promocional esta limitado a $18,200. ¿Cuántos mensajes comerciales deberán ser emitidos en cada medio para maximizar el contacto total con el auditorio? ¿Cuál es la asignación del presupuesto entre los 3 medios y cual será el auditorio alcanzado?. b) En cuanto se incrementara el contacto con el auditorio, si se asignan $100 adicionales al presupuesto promocional Rpta: TV = 4; R = 14; P = 10
Z = 18,200
12.- Ajax Fuels esta desarrollando un nuevo aditivo para combustible para avión. El aditivo es una combinación de 3 ingredientes (A, B, C). Para un rendimiento adecuado, la cantidad total de aditivo (A + B + C) debe ser por lo menos 10 onzas por galón de combustible. La mezcla de los 3 ingredientes es critica: por lo menos se debe utilizar una onza del ingrediente A por cada onza del B. la cantidad del ingrediente C debe ser mayor que la mitad del A. Si los costos por onza de los ingredientes A, B, C son $0.10; $0.03 y $0.09, respectivamente, encuentre la mezcla de costo mínimo de A, B y C por cada galón de combustible para avión Rpta: X1 = 4; X2 = 4; X3 = 2
Z = 0.70
13.- Centro Papelero del Norte (CPN) produce rollos de papel para uso de maquinas sumadoras, calculadoras de escritorio y cajas registradoras. Los rollos se producen en anchos de 1.5; 2.5; 3.5 pulgadas. El proceso de producción entrega únicamente rollos de 200 pies de ancho por 10 pulgadas. La empresa debe por lo tanto cortar
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los rollos al tamaño final del producto deseado. Las 7 alternativas de corte y el volumen de desperdicio generado por cada una son como sigue: Alternativas de corte
Numero de Rollos
Desperdicio (pulg)
1.5 pulg
2.5 pulg
3.5 pulg
1
6
0
0
1
2
0
4
0
0
3
2
0
2
0
4
0
1
2
0.5
5
1
3
0
1
6
1
2
1
0
7
4
0
1
0.5
Las necesidades mínimas para los tres productos son Ancho del rollo (pulg) Unidades
1.5
2.5
3.5
1000
2000
4000
a) Si la empresa desea minimizar el numero de rollos ¿Cuántos rollos se procesaran en cada alternativa de corte?¿Cuantos rollos se requieren y cual es el desperdicio total (pulgadas)? b) Si la empresa desea minimizar el desperdicio generado, ¿Cuántas unidades deberán ser procesadas en cada alternativa de corte?¿Cuantos rollos se requieren y cual es el desperdicio total? RPTA
a) X1=0 ; X2=125 ; X3=500 ; X4=1500 ; X5=X6=X7 = 0
Desperdício = 750
b) X2=500 ; X3=2000; X1=X4=X5=X6=X7=0 Desperdício = 2500 rollos sin desperdício
14.- Williams Calculators Company manufactura dos tipos de calculadoras la TW100 y la TW200. El proceso de ensamble requiere 3 personas. Los tiempos de ensamble son como sigue: Ensamblador
Calculadora
Mano de obra máxima
TW100
TW200
disponible
1
4 min
3 min
8 horas/dia
2
2 min
4 min
8 horas/dia
3
3.5 min
3 min
8 horas/dia
Si la empresa obtiene una utilidad de $2.5 por cada uno de los TW100 y de $3.50 por cada uno de los TW200. ¿Cuántas calculadoras deberán producirse por día?. ¿Cuánto tiempo se le asignara a cada ensamblador por día?
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Rpta: TW100 = 48; TW200 = 96
Z = 456
Ensamblador 1 = 480; Ensamblador 2 = 480; Ensamblador 3 = 456
15.- Winkler Furniture fabrica dos tipos de vitrinas: un modelo francés y un modelo moderno, cada vitrina producida debe pasar por tres departamentos: carpintería, pintura y acabados según la tabla siguiente: Estilo Vitrina
Carpintería
Pintura
Acabado
Utilidad neta
Horas/Vitrina
Horas/Vitrina
Horas/Vitrina
Francés
3
1.5
0.75
28
Moderno
2
1
0.75
25
Capacidad Dpto
360
200
125
La compañía firmo un contrato con un distribuidor de México para producir un mínimo de 300 vitrinas de cada modelo por semana (o 60 por dia). El director desea determina una mezcla de productor para maximizar su ingreso diario
16.- El famoso restaurante Fok Tou está abierto las 24 horas Del día. Los meseros trabajan en turnos de 8 horas consecutivas. La tabla siguiente muestra el número mínimo de trabajadores necesarios durante los 6 turnos diarios. El problema Del administrador de Fok Tou es determinar cuántos meseros deberán reportarse AL trabajo al inicio de cada período para minimizar el personal total requerido Periodo
Horario
Requerimiento mínimo de meseros
1
3 AM – 7 AM
3
2
7 AM – 11 AM
12
3
11 AM – 3 PM
16
4
3 PM – 7 PM
9
5
7 PM – 11 PM
11
6
11 PM – 3 AM
4
17.- Un establo tiene caballos que los usa para jalar carruajes de turistas. El propietario del establo reconoce la necesidad de diseñar una dieta nutricional para los caballos. Al mismo tiempo quiere mantener al minimimo el costo diario total de alimentación. Las mezclas de los alimentos disponibles para la dieta de caballos son un producto de avena, un grano enriquecido y un producto mineral de 5 ingredientes requeridos
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diariamente para mantener saludable al caballo. La tabla siguiente muestra esos requerimientos: MEZCLA DE ALIMENTOS Requerimiento
Producto de
Granos
Prod.
Requerim.
dietético
Avena (unid/lb)
Enriquecidos
Minerales
Mínimos
(unid/lb)
(unid/lb)
diarios
A
2
3
1
6
B
0.5
1
0.5
2
C
3
5
6
9
D
1
1.5
2
8
E
0.5
0.5
1.5
5
Costo/lb
$0.09
$0.14
$0.17
El propietario del caballo sabe que un caballo sobrealimentado es un trabajador perezoso. Por consiguiente determina que 6 lb de alimentos por día son lo máximo que cualquier caballo necesita para funcionar apropiadamente. Formule este problema de mezcla diaria óptima de los tres alimentos.
18. Maestro Home Center fabrica 2 tipos de vitrinas: un modelo francés y un modelo moderno danés. Cada vitrina producida debe pasar por 3 departamentos: carpintería, pintura y acabado. La tabla siguiente contiene toda la información de los tiempos de producción de cada vitrina
Horas/Vitrina Tipo de Vitrina
Ingreso neto x vitrina (S/.)
Carpintería
pintura
Acabado
Francés
3
3.5
3/4
28
Danés moderno
2
1
3/4
25
360
200
125
Capacidad (horas)
La compañía firmo un contrato con un distribuidotr para producir un minimo de 300 vitrinas de cada modelo por semana (o 60 por dia). Maestro Home Center quiere determinar la mezcla de productos para maximizar su ingreso diario.
19.
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8. APLICACIONES DE PROGRAMACION LINEAL En la practica la programación lineal ha demostrador ser uno de los mas exitosos procedimientos cuantitativos administrativos para la toma de decisiones. Se sabe de numerosas aplicaciones en la industria química, de aerolíneas, del acero, del papel, del petróleo y otras. Los problemas que se han estudiado son diversos e incluyen: -
Programación de la producción
-
Selección de medios, Planeación financiera
-
Inversiones de capital
-
Transporte
-
Localización de plantas
-
Mezclas de productos
-
Personal
-
Composición de mezclas y muchos otros.
8.1.- EN LA MERCADOTECNIA: Selección de medios La programación lineal en la selección de medios están diseñadas ayudar a asignar un presupuesto fijo de publicidad a diversos medios. Los medios potenciales incluyen periódicos, revistas, radio, TV, emails
En estas aplicaciones el objetivo es maximizar el: alcance, frecuencia y calidad de la exposición. Las restricciones pueden ser: Políticas de la empresa, requisitos contractuales y disponibilidad de medios
En el siguiente ejemplo ilustramos como puede formularse un problema de selección de medios y resolverse utilizando la programación lineal.
Relax and Enjoy esta desarrollando una comunidad habitacional a la orilla de un lago. Relax and Enjoy ha contratado a la agencia BP&J para diseñar la campaña de publicidad.
Después de considerar posibles medios y el mercado a cubrir, BJ&J ha recomendado que la publicidad del primer mes se limite a 5 medios. Al final del mes BP&J reevaluara sus estrategias con base al primer mes.
La evaluación de la calidad se mide en función de una unidad de calidad de exposición (una medida relativa de una anuncio en cada medio)
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Relax and Enjoy autorizo a BP&J un presupuesto de publicidad de $30,000 para la campaña del primer mes- Además impuso las siguientes restricciones sobre la forma en que BP&J puede asignar estos fondos: - Debe utilizar por lo menos 10 comerciales de TV - Se debe alcanzar por lo menos 50,000 clientes potenciales y - No puede gastarse mas de $18,000 en anuncios de TV
BP&J ha reunido los siguientes datos: Medios de Publicidad
Nro
Costo x Nro máximo de
clientes
anuncio tiempo disponib calidad de
alcanzados
Unidades de
por mes
exposición
1.- TV diurna (1 min)
1000
$1500
15
65
2.- TV vespertina (30 seg.)
2000
$3000
10
90
3.- Periódico diario
1500
$400
25
40
4.- Revista dominical (1/2 pag) 2500
$1000
4
60
5.- Radio noticias (30 seg)
$100
30
20
(pag. Completa)
300
¿Que plan de selección de medios deberá recomendarse?. La decisión a tomar es cuantas veces se debe utilizar cada uno de los medios.
Empezamos definiendo las variables de decisión: DTV = Numero de veces en que se utiliza la TV diurna ETV = Numero de veces en que se utiliza la TV nocturna DN = Numero de veces en que se utiliza la periódico cotidiano SN = Numero de veces en que se utiliza la periódico dominical R
= Numero de veces en que se utiliza la radio
En la tabla encontramos que la TV nocturna (ETV) esta clasificada en 90 unidades de exposición, el periódico diario (DN) en 40; el dominical (SN) en 60 y la radio (R) en 20. Con el objetivo de maximizar las unidades totales de calidad de exposición para el plan general de selección de medios, la función objetivo se convierte en: Calidad de exposición: Max. 65 DTV + 90 ETV + 40 DN + 60 SN + 20 R Ahora formulamos las restricciones para el modelo a partir de la información dada
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La solución por computadora utilizando WinQSB de este modelo con 5 variables de decisión y 9 restricciones es.
La solución optima de este modelo, requiere que se distribuyan 10 veces en TV diurna; 25 veces el periódico diario; 2 veces en el periódico dominical y 30 veces en radio. El número máximo de unidades de calidad de exposición es 2370 y el número total de clientes alcanzados es de 61,500 clientes
Nótese que la restricción presupuestal (restricción C6) tiene un precio dual de 0.060, esto es un incremento de un dólar en el presupuesto de publicidad llevara a un incremento de 0.06 unidades de calidad de exposición El precio dual de -25 (restricción C7), indica que una reducción en el número de comerciales de TV aumentara la calidad de exposición en el plan de publicidad
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El plan de publicidad para Relax and Enjoy queda de la siguiente manera: Medios
Frecuencia
Presupuesto
Televisión diurna
10
$15,000
Periódico Diario
25
$10,000
Periódico dominical
2
$2,000
Radio
30
$3,000 Total $30,000
Clientes totales alcanzados =
61,500
Unidades de calidad de exposición = 2,370
8.2.- EN INVESTIGACION DE MERCADOS: Una organización lleva a cabo la investigación de mercados para aprender lo relacionado con las características de los consumidores, sus actitudes y preferencias Los servicios ofrecidos por las empresas de investigación de mercados incluyen el diseño del estudio, encuestas del mercado, análisis de datos, informe y recomendaciones para el cliente
En la fase de diseño de la investigación pueden establecerse metas o cuotas para el número y tipo de personas que deben encuestarse de manera que se satisfagan las necesidades del cliente a un costo mínimo
La empresa Datum SA, se especializa en la evaluación de la relación de los consumidores a nuevos productos, servicios y campañas publicitarias. Un cliente ha solicitado la ayuda a Datum para saber cual es la reacción de los consumidores ante un producto domestico recién introducido al mercado. En reuniones con el cliente Datum estuvo de acuerdo en efectuar entrevistas personales en el día y en la noche a hogares con niños y hogares sin niños. De manera específica el cliente exigía que se realizaran 1000 entrevistas bajo las siguientes guías de acción: 1. Se entrevistaran por lo menos 400 hogares con niños. 2. Se entrevistaran por lo menos 400 hogares sin niños 3. El numero total de hogares entrevistados por la noche debe ser por lo menos tan elevado como el de los entrevistados durante el día 4. Por lo menos 40% de las entrevistas en hogares con niños deberán hacerse durante la noche
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5. Por lo menos 60% de las entrevistas en hogares sin niños deberán hacerse durante la noche
Dado que las entrevistas en hogares con niños
Costo de la entrevista
ocupan más tiempo del entrevistador, y debido a que
Hogar
Dia
los entrevistadores de la noche cobran más que los
Con niños
$20
$25
diurnos, el costo varía según el tipo de entrevista.
Sin niños
$18
$20
Noche
Cual es el plan de entrevistas, tipo de hogar y hora del día que satisface los requisitos del contrato a un costo de entrevistas total mínimo? Al formular el modelo de programación lineal utilizamos la siguiente notación para las variables de decisión. DC = Numero de entrevistas diurnas en hogares con niños EC = Numero de entrevistas nocturnas en hogares con niños DNC = Numero de entrevistas diurnas en hogares sin niños ENC = Numero de entrevistas nocturnas en hogares sin niños Función Objetivo: como queremos minimizar el costo total de entrevistas tenemos Restricciones
DC + EC + DNC + ENC = 1000
Requiere un total de 1000 entrevistas
DC + EC = 400
Se entrevistaran por lo menos 400 hogares con niños (R1)
DNC + ENC = 400
Se entrevistaran por lo menos 400 hogares sin niños (R2) Por lo menos tantas entrevistas
EC + ENC = DC + DNC EC + ENC - DC - DNC = 0 Nocturnas como diurnas (R3) EC = 40%(DC + EC) o -0.4 DC + 0.6 EC = 0
Por lo menos 40% de entrevistas en hogares con niños durante la noche Por lo menos 60% de entrevistas en
ENC = 40%(DNC+ENC) o -0.6 DNC + 0.4 ENC = 0 hogares sin niños durante la noche
Cuando agregamos el requisito de no negatividad, el modelo de programación lineal con 4 variables y 6 restricciones se convierte en: Min.
20 DC + 25 EC + 18 DNC + 20 ENC
sa
DC +
EC + DNC +
DC +
EC DNC +
-DC +
EC – DNC +
-0.4 DC + 0.6 EC
ENC = 1000
Entrevistas Totales
≥ 400
Hogares con niños
ENC ≥ 400
Hogares sin niños
ENC ≥ 0
Entrevistas nocturnas
≥0
-0.6 DNC + 0.4 ENC ≥ 0
Hogares en la noche con niños Hogares en la noche sin niños
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Numero de entrevistas
La solución muestra que el costo mínimo de $20,320 ocurre con el siguiente programa de entrevistas
Hogar
Diurno
Nocturno
Totales
Con niños
240
160
400
Sin niños
240
360
600
Totales
480
520
1000
Entonces se programaran 480 entrevistas durante el día y 520 durante la noche. Los hogares con niños serán cubiertos mediante 400 entrevistas y los hogares sin niños serán cubiertos mediante 600 entrevistas
La información del análisis de sensibilidad muestra que un precio sombra de 19,200 (restricción 1), es decir que la función objetivo mejorara (el costo total de la entrevista disminuirá) en 19.20 dólares, si la cantidad de entrevistas se incremente de 1000 a 1001, por lo que $19.20 es el costo incremental de obtención de entrevistas adicionales. También es el ahorro que conseguirá al reducir el número de entrevistas de 1000 a 999.
La variable excedente de la restricción 3 muestra que se entrevistaran a 200 hogares sin niños más de los requeridos, de la misma forma la variable excedente de la restricción 4, muestra que el numero de entrevistas nocturnas excede el numero de entrevistas diurnas en 40
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El precio sombra de 5 para la restricción 5, indica que si durante la noche ha de entrevistarse un hogar adicional (con niños) al requisito mínimo, el costo total de las entrevistas disminuirán en 5 dólares
El precio sombra de 2 para la restricción 6, indica que si entrevistara un hogar adicional (sin niños) durante la noche, los costos disminuirán en 2 dólares
8.3.- APLICACIÓN EN LAS FINANZAS: Selección de cartera La programación lineal se ha aplicado en las finanzas, en problemas que involucran - Presupuesto de capital, - Decisiones de fabricar o comprar - Asignación de activos - Selección de carteras - Planeación financiera y mucho mas
Los problemas de selección de cartera indican situaciones en las que el administrador financiero debe seleccionar inversiones especificas, por ejemplo acciones, bonos entre una diversidad de alternativas de inversión. Los administradores de fondos, uniones de créditos, aseguradoras y bancos frecuentemente se encuentran ante este tipo de problemas
Por lo general la función objetivo para estos problemas de selección de cartera es la maximización del rendimiento esperado o la minimización de un riesgo. Comúnmente las restricciones toman la forma de limitaciones del tipo de inversiones permisibles, las leyes estatales, la política de empresa, el riesgo máximo permisible, etc.
Welte Mutual Funds (New York) acaba de obtener $100,000 convirtiendo bonos industriales en efectivo, y ahora esta buscando nuevas oportunidades de inversión para estos fondos. Con base en las inversiones actuales el analista principal financiero de la empresa recomienda que las inversiones se efectuen en la industria petrolera, en la industria del acero o en bonos del gobierno. Específicamente, el analista ha identificado cuatro oportunidades de inversión y ha proyectado sus tasas de rendimiento anual.
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Inversión
Tasa rendimiento proyectado (%)
Atlantic Oil
7.3 %
Pacific Oil
10.3 %
Midwest Steel
6.4 %
Huber Steel
7.5 %
Bonos del gobierno
4.5 %
La administración de Welte ha impuesto las siguientes guías de inversión: 2. Ninguna de estas industrias (petroleras o acero) debe recibir mas de $50,000 3. Los bonos del gobierno deben ser por lo menos 25% de las inversiones de la industria del acero 4. En la inversión en Pacific Oil (alto riesgo) no puede ser mayor de 60% de la inversión total de la industria petrolera Que recomendación de cartera (inversiones y montos) deberá darse para los $100,000 disponibles? Dado el objetivo de maximizar el rendimiento proyectado sujeto a las restricciones impuestas Supongamos que A = Dólares invertidos en Atlantic Oil P = Dólares invertidos en Pacific Oil M = Dólares invertidos en Migwest Oil H = Dólares invertidos en Huber Steel G = Dólares invertidos en bonos del gobierno Función Objetivo: utilizando las tasas de rendimiento proyectadas queremos maximizar el rendimiento total de la cartera: Max. 0.073 A + 0.103 P + 0.064 M + 0.075 H + 0.045 G
Restricciones: A + P + M + H + G = 100,000 A+P
≤ 50,000
M+H
≤ 50,000
inversión de $100,000 disponibles Restricción a que ni la industria petrolera ni la del acero deben recibir más de $50,000
G ≥ 0.25(M + H) es decir -0.25M – 0.25H + G ≥ 0 Máximo de los bonos del gobierno P ≤ 0.60(A + P) es decir -0.6 A + 0.4 P ≤ 0 Restricción de Pacific Oil ≤ 60% Petróleo
El problema se resolvió utilizando WinQSB; el resultado aparece en la siguiente figura.
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La solución optima indica que la inversión debe estar diversificada excepto para Midwest Steel. El rendimiento anual proyectado es de $8000, es decir un rendimiento general de 8%
El precio sombra para C3 es cero, la razón es que el máximo de la industria de acero no es un recurso limitante, los incrementos en el limite de $50,000 de la industria del acero no mejorara el valor de la función objetivo. La variable de holgura para esta restricción (C3) muestra que la inversión actual de la industria de acero queda $10,000 por debajo de su limite de $50,000
El precio sombra de 0.069 para C1, muestra que la función objetivo se puede incrementar en 0.069, si se puede tener disponible un dólar mas para inversión en cartera
El precio sombra de -0.024 para C4, este resultado indica que al aumentar del lado derecho de la restricción en una unidad la función objetivo se reduzca en 0.024, es decir también si Welte invierte un dólar adicional al bono de gobierno el rendimiento total se reducirá en $0.024
8.4. APLICACIÓN DE ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION: Decisión de Fabricar o Comprar Janders Company vende varios productos para oficina y de ingeniería. Actualmente Janders esta preparando la introducción de 2 nuevas calculadoras: una para el mercado de oficinas llamada Financial y otra para el mercado de ingeniería llamada Technican. Cada calculadora tiene 3 componentes: una base, un cartucho electrónico y una caratula o parte superior. En ambas calculadora utiliza las misma base, pero los cartuchos y las caratulas son diferentes. La empresa puede fabricar todos los
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componentes o puede adquirirlos a un proveedor externo. Los costos de manufactura y los precios de adquisición de los componentes son: COSTOS DE MANUFACTURA Y PRECIOS DE ADQUISICION PARA JANDERS Costo por unidad Componente
Manufactura (tiempo normal)
Adquisición
Base
$0.50
$0.60
Cartucho Financial
3.75
4.00
Cartucho Technican
3.30
3.90
Caratula Financial
0.60
0.65
Caratula Technican
0.75
0.78
TIEMPO EN MINUTOS DE MANUFACTURA POR UNIDAD DE LOS COMPONENTES DE LAS CALCULADORAS DE JANDERS COMPONENTE
TIEMPO MANUFACTURA
BASE
1.0
CARTUCHO FINANCIAL
3.0
CARTUCHO TECHNICAN
2.5
CARATULA FINANCIAL
1.0
CARATULA TECHNICAN
1.5
Janders cree que serán necesarios 3000 calculadoras Financial y 2000 Technican. Sin embargo, la capacidad de producción esta limitada. La empresa cuenta con 200 horas de tiempo normal de fabricación y 50 horas de tiempo extra que pueden usarse en la fabricación de calculadoras. El tiempo extra implica un sobrecosto a un costo adicional de $9 por hora. El problema de Jander es determinar cuantas unidades de cada componente manufacturar y cuantas adquirir. Definimos las variables de decisión como sigue: BM = numero de bases fabricadas BP = numero de bases adquiridas FCM = numero de cartuchos Financial fabricados FCP = numero de cartuchos Financial adquiridos TCM = numero de cartuchos Technican fabricados TCP = numero de cartuchos Technican adquiridos FTM = numero de caratulas Financial fabricados
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FTP = numero de caratulas Financial adquiridos TTM = numero de caratulas Technican fabricados TTP = numero de caratulas Technican adquiridos
Es necesaria una variable de decisión adicional para determinar las horas de tiempo extra que se debe programar: OT = numero de horas de tiempo extra a programar La función objetivo es minimizar el costo total, incluyendo los costos de manufactura de adquisición y de tiempo extra. Utilizando los datos de costos unitarios y la tasa del costo por tiempo extra de $9 por hora, escribimos la función objetivo:
Min Costo Total = 0.5 BM + 0.6 BP + 3.75 FCM + 4 FCP + 3.37 TCM + 3.9 TCP + 0.6 FTM + 0.65 FTP + 0.75 TTM + 0.78 TTP + 9 OT.
Las 5 primeras restricciones definen la cantidad que se debe obtener de cada componente para satisfacer la demanda de 3000 calculadoras Financial y 2000 Technican. Se necesita un total de 5000 bases y el volumen de los otros 2 componentes dependen de la demanda de cada calculadora en particular. BM + BP = 5000
Bases
FCM + FCP = 3000 Cartuchos Financial TCM + TCP = 2000 Cartuchos Technican FTM + FTP = 3000 Caratulas Financial TTM + TTP = 2000
Caratulas Technican
Se necesitan 2 restricciones para garantizar que no exceda la capacidad de producción en tiempo normal y extra. OT ≤ 50
capacidad total de tiempo extra
Tiempo total de manufactura ≤ Capacidad total de producción (incluyendo tiempo normal y tiempo extra)
En la segunda restricción, el tiempo total de manufactura se expresa en minutos, por lo que convertiremos las 200 horas de capacidad de tiempo normal en 60(200) = 12000 minutos, y como el tiempo extra es desconocido lo escribiremos como 60*OT minutos Por lo que la segunda restricción queda de esta forma: BM + 3 FCM + 2.5 TCM + FTM + 1.5 TTM ≤ 12,000 + 60 OT
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BM + 3 FCM + 2.5 TCM + FTM + 1.5 TTM – 60 OT ≤ 12,000
El modelo completo del problema de fabricar o comprar de Janders, incluyendo todas las variables de decisión mayores o igual a cero es:
Min Costo Total = 0.5 BM + 0.6 BP + 3.75 FCM + 4 FCP + 3.37 TCM + 3.9 TCP + 0.6 FTM + 0.65 FTP + 0.75 TTM + 0.78 TTP + 9 OT. Sujeto a BM + BP
= 5000
Bases
FCM + FCP
= 3000
Cartuchos Financial
TCM + TCP
= 2000
Cartuchos Technican
FTM + FTP
= 3000
Caratulas Financial
TTM + TTP
= 2000
Caratulas Technican
≤ 50
Horas de tiempo extra
OT
BM + 3 FCM + 2.5 TCM + FTM + 1.5 TTM – 60 OT ≤ 12,000
cap de prod.
La solución usando el WinQSB de este problema es: La solución optima indica que deben fabricarse la totalidad de 5000 bases (BM), 667 cartuchos Financial Manager (FCM) y 2000 cartuchos Technician (TCM). Los restantes 2333 cartuchos Financial Manager (FCP), todas las carátulas Financial Manager (FTP) y toas las carátulas Technician (TTP) deberán ser adquiridas. No es necesario tiempo extra de manufactura y el costo total asociado con el plan optimo de fabricar o adquirir es de $24,443.33
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El análisis de sensibilidad nos da alguna información adicional sobre la capacidad de tiempo extra no utilizada •
La columna de costos reducidos muestra que el sobrecosto de tiempo extra (OT) tendría que disminuir en $4 la hora, antes de que pudiera considerarse producción en tiempo extra. Esto es, si el sobrecosto por tiempo extra es $9 $4 = $5 o menos. Janders pudiera desear reemplazar parte de los componentes adquiridos por componentes fabricados en tiempo extra
•
El precio dual para la restricción por capacidad de producción (C7) es 0.083. Este precio indica que una hora adicional de capacidad de manufactura vale $0.083 por minuto, es decir ($0.083)(60 min) = $5/hora.
•
El rango de factibilidad de C7 muestra que esta conclusión es valida hasta que el total del tiempo ordinario se eleve a 19,000 minutos, es decir 316.7 horas
La interpretación correcta del precio dual por capacidad de manufactura (C7) es que una hora adicional de capacidad de producción vale $0.083*60 = $5 por hora por encima del costo horario actual por tiempo ordinario, por lo que si el costo normal u ordinario es de $18 por hora, Janders debería estar deseoso de pagar hasta $18+5=$23 la hora, para conseguir capacidad adicional de mano de obra
8.5. APLICACIÓN EN ASIGNACION DE FUERZA DE TRABAJO Los problemas de asignación de fuerza de trabajo ocurren con frecuencia cuando los gerentes de producción deben tomar decisiones que involucren requerimientos del personal para un periodo de planeación dado. Las asignaciones de la fuerza de trabajo a menudo tiene algo de flexibilidad y por lo menos parte del personal puede asignarse a mas de un departamento o centro de trabajo. Este es el caso cuando esta persona puede desempeñar 2 o mas puestos.
En la aplicación que sigue mostramos como utilizar la programación lineal para determinar no solo cual es la mezcla optima del producto, sino también es la asignación óptima de la fuerza de trabajo.
La empresa de manufactura ABC, fabrica dos productos con contribuciones a la utilidad por unidad de $10 y $9 respectivamente. En la tabla siguiente aparecen las necesidades de mano de obra por unidad producida y las horas totales de mano de obra disponible por personal asignado a cada uno de los 4 departamentos.
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Suponiendo que el número de horas disponible en cada departamento es fijo, podemos formular el problema de ABC como un programa lineal estándar de mezcla de productos, con las siguientes variables de decisión: P1 = Unidades del producto 1 P2 = Unidades del producto 2 Horas de mano de obra por unidad y horas disponibles para ABC Departamento
Producto 1
Producto 2
Horas disponibles
1
0.65
0.95
6500
2
0.45
0.85
6000
3
1.00
0.70
7000
4
0.15
0.30
1400
El programa lineal es: Max 10P1 + 9P2 Sujeto a 0.65 P1 + 0.95 P2 ≥ 6500 0.45 P1 + 0.85 P2 ≥ 6000 1.00 P1 + 0.70 P2 ≥ 7000 0.15 P1 + 0.30 P2 ≥ 1400 P1, P2 ≥ 0 La solución óptima al modelo es:
El resultado indica que se necesitan 5744 unidades del producto 1, 1795 unidades del producto 2 y se obtiene una utilidad de $73,590. Con esta solución optima, los departamentos 3 y 4 están operando a plena capacidad y los departamentos 1 y 2 tiene una holgura de 1151 y 1890 horas respectivamente
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9. PROBLEMAS DE TRANSPORTE, ASIGNACION Y TRANSBORDO Los problemas de transporte, asignación y trasbordo corresponden a una clase especial de problemas de programación lineal conocida como problemas de flujo de red El Problema de Transporte corresponde a un tipo particular de un problema de programación Lineal. Si bien este tipo de problema puede ser resuelto por el Método Simplex, existe un algoritmo simplificado especial para resolverlo.
9.1. PROBLEMAS DE TRANSPORTE El problema de transporte frecuentemente se presenta al planear la distribución de bienes y servicios desde varias localizaciones de suministro (origen) hacia varias ubicaciones de la demanda (destino). La cantidad de los bienes disponibles en cada localización de suministro (origen) es limitada y la cantidad de los bienes necesarios en cada localización de demanda (destino) es conocida. Por lo general, en un problema de transporte el objetivo es minimizar el costo de embarcar los bienes desde los orígenes hacia los destinos. El modelo general de programación lineal de un problema de transportes con “m” orígenes y “n” destinos es como sigue: m
n
Min. CijXij i 1 j 1
Sujeto a n
Xij Suministro i
i = 1, 2, …., m
j1 m
Xij Demanda j
j = 1, 2, …., n
i 1
Xij 0 Para todas las i y j Donde i = Índice de los orígenes, i = 1, 2, …, m j = Índice para los destinos, j = 1, 2, …, n Xij = Numero de unidades embarcadas desde el origen i hasta el destino j Cij = Costo unitario de embarcar del origen i al destino j
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Ejemplo Foster Generators tiene plantas en Cleveland (Ohio), Bedford (Indiana), York (Pensilvania), la capacidad de producción para el siguiente periodo de plantación para un tipo especifico de generador es como sigue Origen Planta
Capacidad de producción (unidades)
1
Cleveland
5,000
2
Bedford
6,000
3
York
2,500
TOTAL
13,500
La empresa distribuye sus generadores a través de 4 centros regionales de distribución localizados en Boston, Chicago, San Luís y Lexington; el pronóstico de la demanda de los centros de distribución es como sigue: Origen 1
Centro de distribución Boston
Pronostico demanda (unidades) 6,000
2
Chicago
4,000
3
San Luis
2,000
4
Lexington
1,500
TOTAL
13,500
Los costos unitarios de los orígenes hacia los destinos se dan en la siguiente tabla: COSTO UNITARIO DE TRANSPORTE (FOSTER) Origen
Boston Chicago
San Luís Lexington
Cleveland
3
2
7
6
Bedford
7
5
2
3
New York
2
5
4
5
La administración desearía determinar cuanto de su producción deberá embarcase desde cada una de las plantas hasta cada uno de los centros de distribución. La figura siguiente muestra de manera grafica las 12 rutas de distribución que la Empresa Foster Generators puede utilizar.
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Dr. Higinio Wong Aitken Centro Distribución (Destino) Plantas (Origen)
Costo transporte Unitario
1 Boston
6000
Esta grafica se conoce como red. Los círculos son los nodos y las líneas que los conectan son los arcos. La
3
5000
1 Cleveland
oferta o suministro se
2
escribe al lado de cada nado
7 6 7
6000
2 Bedford
2 Chicago
4000
de origen y la demanda se escribe al lado de cada nodo
5
de destino.
2 3 2
2500
3 York
5 4
3 San Luis
2000
Los bienes embarcados desde los orígenes hacia los destinos representan el flujo
5 4 Lexington
1500
en la red (flechas).
Para el problema de de Foster el objetivo es determinar las rutas a usar y la cantidad a embarcar en cada una de ellas y que den el mínimo costo de transporte total
a) Solución del problema de Foster usando programación Lineal Para resolver el problema de transportes se puede utilizar un modelo de programación lineal, para esto usaremos variables de decisión con doble subíndices (Xij) indicando el numero de unidades que se embarcan del origen i hacia el destino j La función objetivo es minimizar el costo total de transporte de Foster Generators, para esto se debe sumar los costos de transporte de cada planta (origen) Unidades embarcadas desde Cleveland = 3X11 + 2X12 + 7X13 + 6X14 Unidades embarcadas desde Bedford = 7X21 + 5X22 + 2X23 + 3X24 Unidades embarcadas desde York = 2X31 + 5X32 + 4X33 + 5X34 La suma de estas expresiones nos da la función objetivo que nos muestra el costo total de transporte de Foster Generators Restricciones de capacidad: Cada uno de los orígenes tiene un suministro limitado Suministro de Cleveland
X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 5000
Suministro de Bedford
X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 5000
Suministro de York
X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 5000
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Restricciones de Demanda: Cada centro de distribución tiene una demanda específica para satisfacer las demandas de los destinos Demanda de Boston
X11 + X21 + X31 = 6000
Demanda de Chicago
X12 + X22 + X33 = 4000
Demanda de San Luís
X13 + X23 + X33 = 2000
Demanda de Lexington
X14 + X24 + X34 = 1500
Combinando la función objetivo y las restricciones en un modelo, obtenemos un problema de programación lineal con 12 variables y 7 restricciones del problema de transportes de Foster Generation Min 3X11 + 2X12 + 7X13 + 6X14 + 7X21 + 5X22 + 2X23 + 3X24 + 2X31 + 5X32 + 4X33 + 5X34 Sujeto a X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 5000 X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 5000 X31 + X32 + X33 + X34 X11
+ X21 X12
+ X31 + X22
X13
= 6000 + X32
+ X23 X14
≤ 5000
= 4000 + X33
+ X24
= 2000 + X34
= 1500
Resolviendo el problema de Foster Generators utilizando WinQSB.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Decision Solution Unit Cost or Total Reduced Variable Value Profit C(j) Contribution Cost X11 3,500.00 3 10,500.00 0 X12 1,500.00 2 3,000.00 0 X13 0 7 0 8 X14 0 6 0 6 X21 0 7 0 1 X22 2,500.00 5 12,500.00 0 X23 2,000.00 2 4,000.00 0 X24 1,500.00 3 4,500.00 0 X31 2,500.00 2 5,000.00 0 X32 0 5 0 4 X33 0 4 0 6 X34 0 5 0 6 Objective Function (Min.) =
La solución muestra que costo total de transporte es de $39,500. Los valores de las variables de decisión muestran los valores óptimos a embarcar en cada ruta. Ejemplo X11 = 3,500 deberán embarcarse 3,500 unidades de Cleveland hacia Boston
39,500.00
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1 2 3 4 5 6
Solution for Foster Generators: Minimization (Transportation Problem) From To Shipment Unit Cost Total Cost Reduced Cost Cleveland Boston 3500 3 10500 0 Cleveland Chicago 1500 2 3000 0 Bedford Chicago 2500 5 12500 0 Bedford San Luis 2000 2 4000 0 Bedford Lexington 1500 3 4500 0 York Boston 2500 2 5000 0 Total Objective Function Value = 39500
SOLUCION POR EXCEL DEL PROBLEMA DE TRANSPORTES DE FOSTER GENERATORS Primero deberá escribirse en la hoja de cálculo los datos de los costos de transporte, la capacidad de las plantas (centro de origen) y la demanda de los centros de distribución (destino)
Segundo deberán identificarse las celdas donde se almacenan los valores de las variables de decisión Xij (numero de unidades embarcadas desde cada origen y el numero de unidades recibidas en cada destino.
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Ahora estamos listos para utilizar el Solver y obtener la solución optima al problema. Seleccione el menú Herramientas Solver (Resolver)
La solución óptima de este problema es
189
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VARIANTES AL PROBLEMA DE TRANSPORTES El problema de Foster Generators muestra el uso del modelo de transportes básico, las variantes al problema de transporte básico pueden implicar una o más de las siguientes situaciones: 2. Oferta o suministro total no es igual a la demanda total 3. maximización de la función objetivo 4. rutas con capacidad limitada 5. rutas no aceptables
Con ligeras modificaciones en el modelo de programación lineal estas situaciones se pueden tomar en cuenta fácilmente 1. OFERTA O SUMINISTRO TOTAL NO ES IGUAL A LA DEMANDA TOTAL
Si el suministro total es mayor a la demanda total, no es necesaria ninguna modificación al problema de PL. aparecerá en la solución un suministro excedente (como holgura). La holgura de cualquier origen en particular se puede interpretar como suministro u oferta sin utilizar, es decir una cantidad que no se ha embarcado desde el origen
Si el suministro total es inferior a la demanda total, el modelo de PL no tendrá solución factible. En este caso modificamos la representación en la red agregando un origen ficticio, con un suministro igual a la diferencia entre la demanda total y la oferta total y un costo unitario igual a cero. Al agregar un origen ficticio y un arco que salga del origen ficticio a cada destino el modelo de PL tendrá una solución factible. Al obtener la solución optima, aquellos destinos que muestren embarques recibidos del origen ficticio serán los que experimenten carencias o demandas insatisfechas.
2. MAXIMIZACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO En algunos problemas de transportes, el objetivo es encontrar una solución que maximice la utilidad o los ingresos, estos valores de utilidad o ingresos deben estar reflejados en la función objetivo. Simplemente resolvemos un programa de PL de maximización en vez de uno de minimización. Este cambio no afecta a las restricciones.
190
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3. RUTAS CON CAPACIDAD LIMITADA La formulación del problema de transportes también puede tomar en consideración capacidades o cantidades mínimas para una o mas rutas. Por ejemplo: suponga que en el problema de Foster, la ruta York – Boston (origen 3 al destino 1) tiene una capacidad de 1000 unidades (transporte pequeño). Solamente se agrega la siguiente restricción por capacidad
X31 ≤ 1000
De manera similar se puede definir montos mínimos. Por ejemplo
X22 ≥ 2000,
esto garantiza un pedido para entregar de por lo menos 2000 unidades desde Bedford a Chicago
4. Rutas no aceptables A veces no pueda ser posible establecer una ruta desde cualquier origen hasta cualquier destino. A fin de manejar esta situación simplemente hacemos desaparecer el arco correspondiente de la red y eliminamos la variable correspondiente a la formulación del problema de la PL. Por ejemplo si la ruta Cleveland – San Luis (origen 1 a destino 3) fuera no utilizable, se eliminaría el arco que va de Cleveland a San Luis y X13 podría eliminarse de la formulación de PL. La solución de este problema con 11 variables y 7 restricciones nos dará la solución óptima garantizando que la ruta Claveland – San Luis no se utilizaría.
9.2. PROBLEMAS DE ASIGNACION Los problemas típicos de asignación implican asignar tareas a maquinarias, agentes a trabajos especiales, personal de ventas a territorios, contratos a licitantes, etc. Una característica que distingue a los problemas de asignación es que un agente se le asigna a una y solamente una tarea
Específicamente buscamos el conjunto de asignaciones que optimizarán un objetivo dado como minimizar el costo, minimizar el tiempo o maximizar la utilidad
El problema de asignación es un caso especial de problema de transporte, en que todos los valores de oferta y demanda son iguales a 1, y la cantidad que se embarca en cada uno de los arcos es 0 o 1 El problema general de asignación involucra a “m” agentes a “n” tareas. Si hacemos que Xij = 1 o 0 dependiendo si el agente i es asignado o no a la tarea j, y si Cij indica
191
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el costo de asignar el agente i a la tarea j, podemos escribir el modelo general de asignación de la forma: m
n
CijXij
Min.
i 1 J 1
Sujeto a n
Xij 1
i = 1, 2, …, m
Agentes
Xij 1
i = 1, 2, …, m
Agentes
Xij ≥ 0
para todas las i y j
j 1 m
i 1
Ejemplo Fowle Marketing Co. acaba de recibir solicitudes de investigación de mercado de 3 clientes nuevos. La empresa se enfrenta a la tarea de asignar un líder o jefe del proyecto (agente) a cada cliente (tarea). Fowle cuenta con 3 ejecutivos que están disponibles, sin embargo se da cuenta de que el tiempo requerido para terminar cada uno de los estudios dependerá de la experiencia y capacidad del líder de proyecto. Los proyectos tienen aproximadamente la misma prioridad y la administración de Fowle desea asignar líderes de proyecto para minimizar el número total de días necesarios para completar los 3 proyectos. Si se debe asignar a un líder a un solo cliente. ¿Qué asignaciones deberán efectuarse?
Para resolver esto, la administración de Fowle primero deberá considerar tolas las posibles asignaciones líder del proyecto – cliente y a continuación estimar los tiempos de terminación del proyecto correspondiente. La siguiente tabla muestra las alternativas y los tiempos estimados de terminación
Líder proyecto
Cliente 1
2
3
1 Terry
10
15
9
2. Carle
9
18
5
3. McClymond
6
14
3
Tiempo estimado (días) de terminación del proyecto
192
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Lideres del Proyecto (nodos de origen)
Tiempo de terminación en días
1 Terry
1
Clientes (nodos de destino)
representación en red del Cliente 1
10 15
1
los modelos de red en un
9
1
problema de asignación de Fowle. Note la similitud entre
9
2 Carle
La siguiente figura muestra la
problema de asignación y en
18 5
Cliente 2
1
Cliente 3
1
un problema de transporte.
6 14
1
3 McClymond
Oferta
3
Asignaciones posibles (arcos)
Demanda
Dado que el problema de asignación es un caso especial del problema de transporte, se puede desarrollar una formulación de programación lineal.
Sea Xij
1 si el del líder del proyecto i se le asigna al cliente j 0 de no ser ese el caso
Donde i = 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3
La suma de los tiempos de terminación de los 3 líderes de proyecto nos dará los días totales mínimo necesarios para terminar las 3 asignaciones, la función objetivo es: Días requeridos para la asignación de Terry = 10X11 + 15X12 + 9X13 Días requeridos para la asignación de Carle = 9X21 + 18X22 + 5X23 Días requeridos para la asignación de McClymond) = 6X31 + 14X32 + 3X33 Las restricciones para el problema de asignación reflejan las condiciones de que cada líder del proyecto solo puede ser asignado como máximo a un cliente y que cada cliente solo puede tener como máximo un líder de proyecto asignado. Estas restricciones se escriben como sigue: X11 + X12 + X13 ≤ 1
Asignación de Terry
X21 + X22 + X23 ≤ 1
Asignación de Carle
X31 + X32 + X33 ≤ 1
Asignación de McClymond
X11 + X21 + X31 = 1
Cliente 1
193
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X12 + X22 + X32 = 1
Cliente 2
X13 + X23 + X33 = 1
Cliente 3
Combinando la función objetivo y las restricciones en un modelo de PL con 9 variables y 6 restricciones queda así: Min. 10X11 + 15X12 + 9X13 + 9X21 + 18X22 + 5X23 + 6X31 + 14X32 + 3X33 Sujeto a ≤1
X11 + X12 + X13
≤1
X21 + X22 + X23
≤1
X31 + X32 + X33 X11
+ X21 X12
+ X31 + X22
X13
=1 + X32
+ X23
=1 + X33
=1
Xij ≥ 0 para i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3
La solución por computadora usando WinQSB. Según este modelo Ferry es asignado al cliente 2, Carle es asignado al cliente 3 y McClymonds es asignado al cliente 1. El tiempo total de terminación requerido es de 26 días
Líder
Cliente asignado
Días
Terry
Cliente 2
15
Carle
Cliente 3
5
McClymond
Cliente 1
6
Total
26
194
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VARIANTES AL PROBLEMA DE PROBLEMAS DE ASIGNACION Debido a que el problema de asignación se puede considerar como un caso especial del problema de transportes, las variantes que pueden ocurrir en un problema de asignación son paralelas a las correspondientes en los problemas de transportes 1. Numero total de agentes (suministros) distinto al numero total de tareas (demanda) 2. maximización de la función objetivo 3. asignaciones no aceptables 1. NUMERO TOTAL DE AGENTES DISTINTO AL NÚMERO TOTAL DE TAREAS
Si el número de agentes excede al de tareas, en el modelo de PL los agentes adicionales simplemente se quedan sin asignación.
Si el número de tareas excede al de agentes, el modelo de PL no tendrá una solución factible. En este caso agregamos los suficientes agentes ficticios para igualar el número de agentes y de tareas, con coeficiente en la función objetivo de cero. Por ejemplo en el problema de Fowle pudiéramos haber tenido 5 clientes (tareas) y solo 3 líderes (agentes). Al agregar 2 líderes ficticios podemos crear un nuevo problema de asignación ahora con igual cantidad de líderes y clientes.
2. MAXIMIZACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Si en vez de tiempo o de costo las alternativas de asignación se evalúan en función de ingresos o de utilidades, se puede resolver la PL como una maximización en vez de minimización
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3. ASIGNACIONES NO ACEPTABLES Si una o más de las asignaciones no son aceptables, se puede eliminar la variable de decisión en la formulación del PL. Esta situación pudiera ocurrir si uno de los agentes no tuviera la experiencia necesaria para una o más de las tareas
9.3. EL PROBLEMA DE TRASBORDO
El problema de trasbordo es una extensión al problema de transporte, en el cual se agrega nodos intermedios conocidos como “nodos de trasbordo”, para tomar en consideraciones localizaciones como por ejemplo: almacenes
La oferta o suministro disponible en cada origen es limitada y en cada destino la demanda es conocida
El objetivo del problema de trasbordo es determinar cuantas unidades deberán embarcarse en cada uno de los arcos de la red, de manera que todas las demandas – destino se satisfagan al costo de transporte mínimo posible
El modelo de programación lineal general del problema de trasbordo es:
Min
CijXij
todoslos arcos
Sujeto a
Xij
Xij Suministro i
arcos de salida
arcos de entrada
arcos de salida
arcos de entrada
Xij
Xij 0
Xij Xij Demanda j
arcos de entrada
Nodos de Origen i Nodos de Trasbordo Nodo de destino j
arcos de salida
Donde Xij = numero de unidades embarcadas del nodo i al nodo j Cij = Costo unitario de embarque del nodo i al nodo j
Por Ejemplo: Ryan Electronic es una empresa con instalaciones de producción en Denver y en Atlanta. Los componentes de producción en cualquiera de estas instalaciones pueden ser embarcadas a cualquiera de los almacenes de la empresa que están localizadas en Kansas City y en Lousiville. De los almacenes regionales la empresa suministra a los detallistas al menudeo en Detroit, Miami, Dallas y nueva Orleáns.
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Almacén Planta
Kansas City
Louisville
Denver
2
3
Atlanta
3
1
Distribución al detalle Almacén
Detroit
Miami
Dallas
Nueva Orleáns
Kansas City
2
6
3
6
Louisville
4
4
6
5
Las características claves del problema aparecen en el modelo de red siguiente
Representación en red del problema de trasbordo de Ryan Electrics Distribuidores al menudeo (nodo destino) Plantas (nodo origen)
600
1 Denver
Almacenes (nodo de trasbordo) 2
3 Kansas City
2
6 3
3
6
4 2 Atlanta
1
200
6 Miami
150
7 Dallas
350
8 Nueva Orleans
300
4
3
400
5 Detroit
6
4 Louisville
5
Suministros Rutas de distribución (arcos)
Demandas
Igual que el problema de transporte y de asignación, podemos formular un modelo de Programación Lineal de trasbordo a partir de la representación en red. Supongamos que Xij denota el número de unidades embarcadas del nodo i hacia el nodo j. Dado que el suministro de la planta de Denver es de 600 unidades, las cantidades embarcadas desde la planta de Denver debe de ser menor que o igual a 600 X13 + X14 ≤ 600 Similarmente, para la planta de Atlanta tenemos
X23 + X24 ≤ 400
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Consideremos ahora como expresar las restricciones que corresponden a los 2 nodos de trasbordo.
Para el nodo 3 (almacén de Kansas City), debemos garantizar que el numero de unidades que se embarquen sea igual al numero de unidades que se hayan recibido en el almacén, es decir Unidades embarcadas hacia dentro del nodo3 X13 + X23
Obtenemos
Almacén de Kansas City (Nodo 3)
Unidades embarcadas hacia fuera del nodo 3 X35 + X36 + X37 + X38
X35 + X36 + X37 + X38 = X13 + X23 - X13 - X23 + X35 + X36 + X37 + X38 = 0
De manera similar para el nodo 4 es: X45 + X46 + X47 + X48 = X14 + X24 - X14 - X24 + X45 + X46 + X47 + X48 = 0
Para desarrollar las restricciones asociadas con los nodos destino, reconocemos que cada nodo, la cantidad embarcada al destino debe ser igual a la demanda. Ejemplo X35 + X45 = 200
satisfacer la demanda de 200 unidades en el nodo 5
X36 + X46 = 150
satisfacer la demanda de 200 unidades en el nodo 6
X37 + X47 = 350
satisfacer la demanda de 200 unidades en el nodo 7
X38 + X48 = 300
satisfacer la demanda de 200 unidades en el nodo 8
La función objetivo refleja el costo total de embarque en las 12 rutas de embarque. Combinando la función objetivo y las restricciones nos lleva al modelo de PL con 12 variables y 8 restricciones del problema de trasbordo de Ryan Electronics Min. 2X13 + 3X14 + 3X23 + 1X24 + 2X35 + 6X36 + 3X37 + 6X38 + 4X45 + 4X46 + 6X47 + 5X48 Sujeto a ≤ 600
X13 + X14
≤ 400
X23 + X24 -X13
- X23 - X14
+ X35 + X36 + X37 + X38 - X24 X35
=0
Restricciones de los nodos de trasbordo
+ X45 + X46 + X47 + X48
=0
+ X45
= 200
X36
+ X46 X37
= 150 + X47
X38
= 350 + X48
Restricciones de los nodos de origen
= 300
Xij ≥ 0 para todas las i y j
198
Restricciones de los nodos de destino
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Para obtener la solución óptima se utilizo el WinQSB y se muestra a continuación Tal como se menciono al principio, los arcos del problema de trasbordo pueden conectar cualquier par de nodos. En un problema de trasbordo son posibles todos estos patrones de embarques. Solo seguiremos requiriendo una restricción por nodo, pero la restricción deberá incluir una variable para cada uno de los arcos que entren o salgan del nodo.
Nodos de Origen (Embarques de salida) - (embarques de entrada) ≤ suministro de origen Nodos de destino: (Embarques de entrada) - (embarques de salida) = demanda Nodos de Trasbordo:
(Embarques de salida) = (embarques de salida)
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VARIANTES DEL PROBLEMA Igual que en los problemas de transporte y de asignación, se pueden formular problemas de trasbordo con varias variantes, incluyendo: 1. Suministro total no igual a la demanda total 2. Maximización de la función objetivo 3. Rutas con capacidad limitada 4. Rutas no aceptables Las modificaciones al modelo de PL requeridas para aceptar estas variantes son idénticas al de problema de transportes
9.4. EJERCICIOS PROPUESTOS 9 1. Una empresa importa bienes de 2 puertos: Filadelfia y Nueva Orleáns. Los embarques de un producto se efectúan a clientes en Atlanta, Dallas, Columbus y Boston. Para el siguiente periodo de planeación, los suministros en cada puerto, la demanda de los clientes y los costos de embarques por caja desde cada puerto a cada uno de los clientes son como sigue: Clientes
Suministro
Atlanta
Dallas
Columbus
Boston
del puerto
Filadelfia
2
6
6
2
5000
Nueva Orleans
1
2
5
7
3000
1400
3200
2000
1400
Puerto
Demanda
Desarrolle una representación en red del sistema de distribución y obtenga los valores óptimos de distribución
2. La compañía Muebles Ejecutivos decidió expandir la capacidad de producción en su fábrica de Des Moines y reducirla en la demás fábricas. DE / A
Albuquerque
Boston
Cleveland
Capacidades de Fabrica
Des Moines
5
4
3
300
Evansville
8
4
3
150
Fort
9
7
4
250
Requerimiento
200
200
300
de almacenes
200
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3. Considere la representación en red siguiente de un problema de transportes: los suministros, demandas y costos de transportes por unidad aparece en la red Huaraz
25
Chiclayo
15
Puno
10
14
30
9
Trujillo
7 8 10
20
Lima
5
Suministros
Demanda
a) Desarrolle un modelo de programación lineal para este problema b) Resuelva el problema lineal para determinar la solución optima
4. Un producto es manufacturado en 3 plantas y embarcado a 3 almacenes (los costos de transporte por unidad aparecen en la tabla siguiente) Planta
Almacén W2 W3 16 24
Capacidad de la planta 300
Planta1
W1 20
Planta2
10
10
8
500
Planta3
12
18
10
100
Demanda de cada almacén
200
400
300
a) Muestre una representación en red del problema b) Desarrolle un modelo de programación lineal para minimización de costo de transporte c) Resuelva el problema y determine la solución a costo mínimo Rpta: b) X12= 300; X21= 100; X22= 100; X23= 300; X31= 100; Costo = $10,400
5. Tri-Country suministra gas natural a clientes en 3 distritos. La empresa adquiere el gas natural a 2 empresas: Southern Gas y Northwest gas. Los pronósticos de demanda son: Hamilton 400 unidades; Butler 200 unidades; Clermon 300 unidades. Se han suscrito contratos de suministro de las cantidades siguientes Southern Gas 500 unidades y Northwest Gas 400 unidsades. El costo de distribución para cada uno de los distritos varía en función de la ubicación de los
201
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proveedores. El costo de distribución por unidad (en miles de dólares) es como sigue: Desde
A Hamilton
A Butler
A Clermont
Southern Gas
10
20
15
Nortwest Gas
12
15
18
a) Desarrolle la representación en red de este problema b) Desarrolle el modelo de PL que se puede utilizar para determinar cual es el plan que minimizara los costos totales de distribución 6. Arnoff Enterprise manufactura CPU’s para una línea de computadoras. Los CPU se fabrican en Seatle, Columbus, New Cork y se embarcan a almacenes en Pittsburg, Mobile, Denver, los Ángeles, Washington para su distribución posterior. La tabla que sigue muestra el numero de CPU disponible en cada planta, el numero de CPU requeridos por cada almacén y los costos de embarque (dólares por unidad) Planta
Pittsburg
Mobile
Denver Los Ángeles
Washington CPU disk
Seatle
10
20
5
9
10
9000
Columbus
2
10
8
30
6
4000
New York
1
20
7
10
4
8000
CPU
3000
5000
4000
6000
3000
21,000
requeridos
a) Desarrolle una representación grafica en red de este problema b) Determine la cantidad que deberá embarcase desde cada una de las plantas a cada uno de los almacene para minimizar el costo total de embarque Rpta: b) Seatle – Denver = 4000
Seatle – Los Ángeles = 5000
Columbus – mobile = 4000
New York – Pittsburg = 3000
New York – Mobile = 1000
New York – Los Ángeles = 1000
New York – Washington = 3000 Costo = $150,000
7. Klein Chemicals produce un materia especial con base en petróleo, que actualmente es muy escaso. 4 de los clientes de Klein ya han colocado pedidos que en conjunto exceden la capacidad combinada de las 2 plantas de Klein. La administración de Klein se enfrenta al problema de decidir cuantas unidades deberá suministrar a cada uno de los clientes. Dado que los 4 clientes son de distintas ramas industriales, Klein ha definido la siguiente utilidad por unidad para cada alternativa planta – cliente
202
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Planta
Cliente1
Cliente2
Cliente3
Cliente4
Capacidad de planta (unid.)
Clifton Spring
$ 32
$ 34
$ 32
$ 40
5000
Danville
$ 34
$ 30
$ 28
$ 38
3000
Pedidos distrib
2000
5000
3000
2000
a) Cuantas unidades deberá producir cada una de las plantas para cada uno de los clientes, para maximizar las utilidades?. b) ¿Qué demandas de cliente no serán cumplidas?. c) Muestre un modelo de red Rpta: a) Clifton – Cliente2 = 4000; Clifton – Cliente4 = 1000; Danville – Cliente1 = 2000; Danville – Cliente2 = 1000 b) El cliente 2 tien un déficit de 1000; no se satisface la demanda del cliente3
8. Ace Manufacturing tiene pedidos de 3 productos similares; Hay disponibles 3 maquinas para las operaciones de manufactura; las 3 maquinas pueden producir todos los productos a la misma velocidad de producción. Sin embargo, debido a distintos porcentajes de defectuosos en cada producto y cada máquina, el costo unitario de los productos varía dependiendo de la maquina utilizada. La capacidad de maquinas para la semana siguiente, así como los costos unitarios son los siguientes: Maquina
Prod A
Prod B
Prod C
Capacidad (unid)
1
$1
$ 1.20
$ 0.90
1500
2
$ 1.30
$ 1.40
$ 1.20
1500
3
$ 1.10
$1
$ 1.20
1000
Pedido (unid)
2000
500
1200
Utilice el modelo de transporte para desarrollar el programa de producción a costo mínimo de productos y maquinas Rpta: 1 – A = 300; 1 – C = 1200; 2 – A = 1200; 3 – A = 500; 3 – B = 500
9. Scott and Associattes es una empresa de contabilidad que tiene 3 nuevos clientes. Se asignaran jefes de proyectos a estos 3 nuevos clientes. Con base en los antecedentes y experiencia las varias asignaciones líder – cliente difieren en función a los tiempos de terminación estimados (en dias) Lider
Cliente1
Cliente2
Cliente3
Jackson
10
16
32
Ellis
14
22
40
203
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Smith
22
24
34
a) Desarrolle una representación grafica en red de este problema b) Cuál es el tiempo total requerido? Rpta: b) Jackson – cliente2; Ellis – Cliente1; Smith – Cliente3; Tiempo total de terminación = 64 días
10. Wilson Distributors está abriendo 2 nuevos territorios de ventas en nuevos territorios de venta. Se están tomando en consideración 3 vendedores para promoverlos al puesto de gerente regional de ventas en los nuevos territorios. La administración ha estimado ventas anuales totales (en miles de dólares) para cada vender a cada territorio de ventas Gerente Regional
Región de Ventas Noroeste
Sudoeste
1
$ 100
$ 95
2
$ 85
$ 80
3
$ 90
$ 75
a) Desarrolle una representación grafica del problema b) Obtenga la solución optima a este problema Rpta: b) 1 – Sudoste; 3 – Noroeste
11. El sistema de distribución de Herman Company esta formado por 3 plantas, 2 almacenes y 4 clientes. La capacidad de las plantas y los costos de embarque en dólares desde cada una de las plantas a cada uno de los almacenes son: Planta
Almacen1
Almacen2
Capacidad
1
4
7
450
2
8
5
600
3
5
6
380
La demanda de clientes y los costos unitarios de embarque en dólares de cada uno de los almacenes a cada uno de los clientes son Almacén
Cliente1
Cliente2
Cliente3
Cliente4
1
6
4
8
4
2
3
6
7
7
Demanda
300
300
300
400
a) Desarrolle una representación grafica en red para este problema b) Resuelva el problema determinando el plan optimo de embarque
204
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12. Paper Mils tiene fábrica de papel en Augusta (Maine) y en Tupper (New York). Las instalaciones de almacenaje están en Albany (New York) y Portsmouth. Los distribuidores están en Boston, New York y Filadelfia. Los costos unitarios de transporte en dólares para embarques de las 2 plantas hacia los 2 almacenes y de los 2 almacenes hacia los 3 distribuidores son: Capacidad planta Planta
(unidades)
Albany
Portsmouth
Augusta
$7
$5
300
Tupper
$3
$4
100
Distribuidor Almacén
Boston
New York
Filadelfia
Albano
8
5
7
Portsmouth
5
6
10
Demanda (unidades)
150
100
150
a) Dibuje la representación grafica en red de este problema b) Determine el programa de embarque a costo mínimo Rpta: Augusta 1; Tupper 2; Albano 3; Portsmouth 4; Boston 5; New York 6; Filadelfia 7
13. Saussy Lumber Co. Envía pisos de pino a 3 tiendas de materiales de construcción. Determine el mejor programa de transportes con los datos de la tabla
Pineville OAK Ridge Mapletown Demanda de tienda
Tienda 1
Tienda 2
Tienda 3
3 4 3 30
3 2 2 30
2 3 3 35
Capacidad de Fabrica 25 40 30
14. Una empresa dedicada a la distribución de aceite de oliva debe enviar 30 toneladas a Madrid, 40 a Barcelona, 20 a Valencia y 10 a Bilbao. Esta empresa suministra en Badajoz, Cáceres y Jaén, cuyas disponibilidades son de 35, 25 y 20 toneladas, respectivamente. Los costes en euros de envío de una tonelada de los lugares de promoción a los destinos son:
Badajoz
Madrid
Barcelona
Valencia
Bilbao
10
15
20
9
205
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Cáceres
6
7
10
15
Jaén
15
20
25
30
Por cada tonelada no recibida en los puntos de destino, la empresa tiene unas pérdidas de 5, 8, 6 y 4 nuevos soles respectivamente. La empresa desea minimizar el costo total de la distribución de la mercadería. ¿Cómo podría hacerse la distribución optima?
15. Tres empresas suministran ordenadores a cuatro detallistas. La cantidad de demanda semanal de los cuatro detallistas es de 150, 150, 400 y 100 ordenadores, respectivamente. La oferta de las tres empresas está dictada por la mano de obra regular disponible y se calcula en 250, 300 y 250 unidades a la semana. El costo en euros del transporte por unidad viene detallado en la siguiente tabla Detallistas 1
2
3
4
Proveedores 1
10
20
30
20
2
20
40
10
20
3
10
30
50
30
Determinar el costo mínimo del programa de envió.
16. Una empresa de camiones envía camiones cargados de grano desde tres silos a cuatro molinos. La oferta (en camiones cargados) y la demanda (también en camiones cargados), junto con los costes de transporte por carga de camión en las diferentes rutas se resumen en el modelo de transporte siguiente. Los costos de transporte por unidad, cij , son en cientos de euros. Molinos 1 Silos
2
3
4
1
10
2
20
11
15
2
12
7
9
20
25
3
4
14
16
18
10
5
15
15
15
Determinar el costo mínimo del programa de envío entre los silos y los molinos.
17. Un fabricante de chips tiene que planificar la producción para los próximos tres meses de tres diferentes chips (A,B,C). Los costes de producción por chip son de A, 6
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céntimos en los primeros meses y de 9 céntimos en el tercero; de B, 8 los dos primeros y 11 el ´último mes; y de C, 6 céntimos los dos primeros meses y 8 el ´ultimo. El departamento de marketing ha llevado a cabo un estudio estimado que la demanda en los tres meses ser ´a de 300, 400 y 500 unidades, respectivamente. La fábrica puede producir 400 unidades de cada tipo de chip. ¿Cómo se puede optimizar la distribución de la fabricación de los chips en estos tres meses?
18. Un fabricante de automóviles puede comprar neumáticos a 3 proveedores y su objetivo es minimizar el costo total de la compra. Los proveedores disponen, en miles de unidades, de 6, 2 y 2 respectivamente. El fabricante necesita neumáticos en 3 plantas de producción que requieren en miles de unidades, 5 y 3 y 2 respectivamente. El precio en cientos de $ por cada unidad entregada en cada planta es como sigue. Localidad 1 Proveedor
2
3
1
1
8
9
2
4
2
5
3
2
3
1
1. Describir el problema como un problema de programación lineal. 2. Encuentra la solución óptima
19. Una empresa de componentes informáticos puede comprar discos duros a tres proveedores y su objetivo es minimizar el coste total de la compra. Los proveedores disponen de 1000, 3000 y 1000 discos respectivamente. La empresa necesita los discos en tres cadenas de montaje sitas en tres localidades distintas. Dichas cadenas requieren 1500, 1000 y 2500 discos respectivamente. Los precios en cientos de euros por cada disco entregado a cada cadena son como siguen: Cadena
Proveedor
1
2
3
1
4
7
2
2
3
5
2
3
9
11
10
Se pide: 1. Describir el problema como un problema de programación lineal 2. Calcular la solución óptima.
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10. PROGRAMACION DE PROYECTOS: PERT / CPM En muchas situaciones, los administradores son responsables de planear, programar y controlar proyectos compuestos de numerosas tareas o trabajos independientes que efectúan diversos departamentos o individuos A menudo estos complejos son tan grandes o complejos que el administrador realmente no puede recordar toda la información correspondiente al plan, programa y avance del proyecto La técnica de evaluación y revisión de programas (PERT por sus siglas en ingles) y el método de camino crítico (CPM por sus siglas en ingles) se han utilizado para planear, programar y controlar una amplia diversidad de proyectos como: 1. Investigación y desarrollo de nuevos productos y procesos 2. Construcción de plantas, edificios y carreteras 3. Mantenimiento de equipos grandes y complejos 4. Diseño e instalación de sistemas nuevos 5. Planeación y localización de proyectos
En proyectos de este tipo los administradores deben programar y coordinar los diversos trabajos o actividades de tal manera que el proyecto se concluya a tiempo. Un factor que complica estas tareas es la interdependencia de las actividades. Por ejemplo: algunas actividades dependen de la terminación de otras antes de que pueda iniciarse la segunda actividad.
Los proyectos pueden llegar a involucrar miles de actividades, por lo que los administradores de proyectos buscan procedimientos que ayuden a responder preguntas como las siguientes: 1. ¿Cuál es el tiempo total para terminar el proyecto? 2. ¿Cuáles son las fechas programadas de inicio y de terminación de cada una de las actividades? 3. ¿Qué actividades son críticas y deben terminarse exactamente? 4. ¿Cuánto tiempo se puede retardar las actividades “no criticas” antes de incrementar el tiempo de terminación del proyecto?
Aunque PERT y CPM tienen el mismo propósito general, las técnicas se desarrollaron de manera independiente.
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PERT fue desarrollado a fines de los años 50 para el proyecto de misiles Polaris. Muchas actividades asociadas a este proyecto jamás se habían intentado anteriormente por lo que PERT se desarrollo para manejar tiempos inciertos de actividades CPM en cambio se desarrollo para proyectos industriales, los que generalmente se conocían los tiempos de actividad. CPM reducía los tiempos de actividad mediante el aporte o el incremento de más trabajadores o recursos generalmente a un costo aumentado, por lo que una característica distintiva de CPM es que identificaba los pro y los contras entre el tiempo y el costo para las diversas actividades del proyecto.
Como se indicó antes, la principal diferencia entre PERT y CPM es la manera en que se realizan los estimados de tiempo. PERT supone que el tiempo para realizar cada una de las actividades es una variable aleatoria descrita por una distribución de probabilidad. CPM infiere que los tiempos de las actividades se conocen en forma determinísticas y se pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados.
10.1. PROGRAMACION DE PROYECTOS CON TIEMPOS DE ACTIVIDAD CONOCIDOS: CPM El propietario de Western Hills Shopping Center esta planeando modernizar y expandir el complejo actual del centro comercial de 32 negocios. Se espera que el proyecto dé espacio para 8 o 10 nuevos negocios, con financiamiento privado.
El primer paso en el proceso de programación PERT/CPM es desarrollar una lista de las actividades que conforman el proyecto. La siguiente tabla muestra la lista de actividades al proyecto de expansión de Western Hills Shopping Center Activ.
Descripción de la actividad
Predecesor inmediato
A B C D E F G H I
Preparar dibujos arquitectónicos Identificar nuevos clientes potenciales Desarrollar prospecto para los clientes Seleccionar contratista Preparar las licencias de construcción Obtener aprobación de las licencias Llevar a cabo la construcción Finalizar los contratos con los arrendatarios Entrada de los arrendatarios
------A A A E D, F B, C G, H Total
Duración de la actividad (semanas) 5 6 4 3 1 4 14 12 2 51 semanas
209
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El predecesor inmediato identifica las actividades que deben haberse terminado inmediatamente antes que el inicio de esta actividad siguiente. Las actividades A y B no tienen predecesores inmediatos por lo que puede iniciarse simultáneamente al iniciarse el proyecto. Pudiera pensarse que el tiempo total requerido para terminar el proyecto es 51 semanas, pero a menudo 2 actividades se pueden programar se manera simultanea, reduciendo así el tiempo de terminación del proyecto. Utilizando el WinQSB se puede construir una representación grafica del proyecto (red del proyecto)
Inicio WinQSB PERT_CPM
Menu Format Switch to graphic model
Observe que la parte superior del círculo indica el tiempo de la actividad Para determinar el tiempo de terminación del proyecto, tenemos que analizar la red e identificar lo que se conoce como el camino critico de la red.
Para resolver el problema hacemos lo siguiente Menu Solver and Analyze Solver critical Path Menu Results Graphics Activity Analisys
210
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Donde: Fecha más temprana de inicio
5
9
Fecha más temprana de terminación
12
Fecha más tardía de terminación
C Fecha más tardía de inicio
8
Fecha más temprano de un evento: Es el tiempo (estimado) en el que ocurrirá el evento, si las actividades que lo preceden comienzan lo más pronto posible. Se calcula hacia adelante y la iniciación se etiqueta con cero Fecha más tardía de un evento: Es el último momento (estimado) en el que podría ocurrir un evento, sin retrasar la duración total del proyecto. La revisión de la red se realiza hacia atrás. Holgura para un evento: Se define como la diferencia entre el tiempo más tardío y su tiempo más temprano. Holgura para una actividad
Fecha más más temprana - Fecha tardía de de terminación terminación La holgura para una actividad indica cuánto retraso puede tolerarse para llegar a esa actividad sin retrasar la terminación del proyecto
=
Una ruta crítica en un proyecto es una ruta a través de la red tal que todas sus actividades tienen holgura cero.
RESPUESTA DEL MODELO CPM
211
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1. Cuanto tiempo tomara finalizar el proyecto? Rpta: El proyecto se puede terminar en 26 semanas, si cada una de las actividades se termina según el programa 2. Cuales son las fechas programadas de inicio y fin de cada actividad? Rpta: El programa de actividades muestra las fechas mas tempranas y tardías de inicio y finalización de cada actividad 3. Que actividades son criticas y deben terminarse a tiempo? Rpta: Las actividades criticas son A, E, F, G, I 4. Cuanto se puede retrazar las actividades no criticas? Rpta: en la tabla muestra la holgura asociada con cada una de las actividades
10.2. PROGRAMACION DE PROYECTOS CON TIEMPOS INCIERTOS DE ACTIVIDADES: PERT Aquí abordaremos detalles de la programación de proyectos para un problema que involucra investigación y desarrollo de nuevos productos. Dado que muchas de las actividades de este proyecto nunca se han intentado, el administrador del proyecto desea tomar en consideración la incertidumbre en los tiempos de las actividades. Ahora demostraremos como se pueden programar proyectos con tiempos inciertos de actividad. EL PROYECTO DE DAUGHERTY PORTA – VAC Daugherty Company ha manufacturado sistemas industriales de aspiradoras durante muchos años. Recientemente la empresa esta considerando la manufactura de una aspiradora inalámbrica. El nuevo producto conocido como Porta – Vac, podría contribuir a la expansión de la empresa en el mercado domestico. La administración espera que se pueda fabricar a un costo razonable y que el hecho que sea portátil e inalambrico lo haran muy atractivo, por lo que la empresa desea estudiar la posibilidad de manufacturar el Porta – Vac. Para realizar este estudio, se debe obtener información de los grupos de investigación y desarrollo, de prueba de productos de manufactura, estimación de costos y de investigación de mercados de la empresa. En el análisis que sigue, mostraremos un diagrama de actividades para este proyecto. De nuevo el primer paso en el proceso de programación del proyecto es identificar todas las actividades que lo conforman y a continuación determinar los predecesores inmediatos de cada una de las actividades
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LISTA DE ACTIVIDADES PARA EL PROYECTO PORTA-VAC Actividad
Descripción
Predecesor inmediato
A
Desarrollar diseño del producto
----
B
Planeación de la investigación de mercado
----
C
Ingeniería de manufactura
A
D
Construir modelo prototipo
A
E
Preparar folletos de mercadeo
A
F
Estimaciones de costos
C
G
Efectuar pruebas preliminares del producto
D
H
Finalizar investigación de mercado
B, E
I
Informe de precios y de pronostico
H
J
Preparar informe final
F, G, I
TIEMPOS INCIERTOS DE ACTIVIDAD Una vez desarrollada una red del proyecto necesitamos información del tiempo requerido para finalizar cada una de las actividades. Mucho de los tiempos de la actividad son inciertos y se describe mejor mediante un rango de valores posibles en lugar de un estimado específico. En estos casos los tiempos de actividad se tratan como variables aleatorias con distribución de probabilidad asociada.
Es necesario que tengamos 3 estimaciones de tiempo para cada una de las actividades
Tiempo Optimista (a)= tiempo mínimo de actividad si todo avanza de manera ideal
Tiempo mas probable (m) = tiempo de actividad mas probable bajo condiciones normales
Tiempo Pesimista (b) = tiempo máximo de actividad si se encuentra con retardos significativos
La siguiente tabla muestra las estimación de los tiempos optimista, pesimista y mas probable para las actividades de Porta – Vac
213
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Actividad
Optimista (a)
Mas probable (m)
Pesimista (b)
A
4
5
12
B
1
1.5
5
C
2
3
4
D
3
4
11
E
2
3
4
F
1.5
2
2.5
G
1.5
3
4.5
H
2.5
3.5
7.5
I
1.5
2
2.5
J
1
2
3
El tiempo promedio o esperado (t) para cada actividad es como sigue:
t
a 4m b 6
Con tiempos inciertos de actividad podemos utilizar una varianza para describir una dispersión o variación en los valores de tiempo de actividad que esta dada por:
ba 2 6
2
Las ecuaciones del tiempo promedio y de la varianza se basan en la hipótesis de que la distribución del tiempo de actividad se puede describir como una distribución de probabilidad beta. Actividad
Tiempo esperado (semanas)
Varianza
A
(4 + (4*5) + 12) / 6 = 6
1.78
B
(1 + (4*1.5) + 5) / 6 = 2
0.44
C
(2 + (4*3) + 4) / 6 = 3
0.11
D
(3 + (4*4) + 11) / 6 = 5
1.78
E
(2 + (4*3) + 4) / 6 = 3
0.11
F
(1.5 + (4*2) + 2.5) / 6 = 2
0.03
G
(1.5 + (4*3) + 4.5) / 6 = 3
0.25
H
(2.5 + (4*3.5) + 7.5) / 6 = 4
0.69
I
(1.5 + (4*2) + 2.5) / 6 = 2
0.03
J
(1 + (4*2) + 3) / 6 = 2
0.11
Total
32
214
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Una vez que tengamos la red de proyectos y los tiempos esperados de actividad estamos listo para determinar el camino critico y determinar el tiempo esperado requerido para la terminación del proyecto. En el cálculo del camino crítico trataremos los tiempos esperado de actividad como un tiempo de longitud fija (esta representado por el tiempo esperado). Como resultado de esto, podemos utilizar el procedimiento de camino crítico CPM. Una vez determinadas las actividades criticas y el tiempo esperado para la culminación del proyecto analizaremos el efecto de la variabilidad en los tiempos de las actividades.
10.3. VARIABILIDAD EN EL TIEMPO DE TERMINACION DEL PROYECTO Ahora sabemos que el camino critico es A – E – H – I – J con un tiempo total de culminación del proyecto en 17 semanas. E(T) = E(A) + E(E) + E(H) + E(I) + E(J) = 6 + 3 + 4 + 2 + 2 = 17 semanas
Sin embargo las variaciones en las actividades críticas también pueden causar variaciones en el tiempo de terminación del proyecto. Por lo general las variaciones de las actividades “no criticas” no tienen efecto en el tiempo de terminación del proyecto debido a las holguras asociadas. Sin embargo, si una actividad “no critica” se retrasa lo suficiente para consumir todo su tiempo de holgura, se convierte en parte de un nuevo camino crítico y puede afectar el tiempo de culminación del proyecto.
215
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La variabilidad que lleva a un tiempo total mas largo de lo esperado para las actividades criticas siempre aumentara el tiempo de finalización del proyecto, y por la misma razón la variabilidad que resulte en tiempos críticos mas cortos producirán un tiempo de culminación del proyecto mas breve de los esperado, a menos de que otras actividades se conviertan entonces en criticas.
Utilicemos ahora la varianza de las actividades críticas para determinar la varianza del tiempo de culminación del proyecto. Var(T) = Var(A) + Var(E) + Var(H) + Var(I) + Var(J) Var(T) = 1.78 + 0.11 + 0.69 + 0.03 + 0.11 = 2.72
Var (t ) 2.72 1.65 Suponiendo que la distribución del tiempo del proyecto T sea normal en forma de campana. Con esta distribución podemos calcular la probabilidad de cumplir con una fecha de finalización especificada para el proyecto. Por ejemplo suponga que la administración ha asignado 20 semanas para el proyecto Porta-Vac. ¿Cuál es la probabilidad de que se cumpla con este vencimiento de 20 semanas?. Utilizando la distribución de probabilidad Normal tenemos:
z
X
20 17 1.82 1.65
Utilizando Z = 1.82 encontramos que la probabilidad de que el proyecto cumpla con el vencimiento de 20 semanas es 0.9656. Entonces, aunque la variabilidad del tiempo de las actividades pueden causar que el tiempo de terminación exceda de 17 semanas. Hay una excelente probabilidad de que el proyecto se termine antes del vencimiento de 20 semanas Normal Distribution 0.24
Mean,Std. dev. 17,1.82
density
0.2 0.16 0.12
P(T ≤ 20)
0.08 0.04 0 9
11
13
15
17
19
21
23
25
x 20
216
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10.4. EJERCICIOS PROPUESTOS 10 1.- Considere la siguiente red de proyecto y sus tiempos de actividad (en semanas) Actividad
A
B
C
D
E
F
G
H
Predecesor ----
----
A
A
B
D
D, E
F
Duración
3
7
6
7
3
10
8
5
a) Identifique el camino critico b) Cuanto tiempo se necesitara para terminar el proyecto
2.- Un proyecto que implica la instalación de un sistema de cómputo esta formado por 8 actividades. La tabla enlista los predecesores y los tiempos de cada actividad en semanas. Actividad A B C D E F G H a) Dibuje una red de proyecto
Predecesor ------A B, C D E B, C F, G
Tiempo 3 6 2 5 4 3 9 3
b) Cuales son las actividades criticas c) Cual es el tiempo de terminación esperado del proyecto
3.- El Colonial State Collage esta considerando construir un complejo atlético multiuso en el campus, que tendría un nuevo gimnasio para juegos intercolegiales de básquetbol. Las siguientes actividades deberán realizarse antes de que la construcción pueda iniciar.
Actividad Descripción A Topografía del lugar B Desarrollar diseño inicial C Aprobación del consejo D Seleccionar arquitectos E Establecer Presupuesto F Terminar diseño G Obtener financiamiento H Contratar constructor a) Dibuje una red del proyecto
Predecesor ------A, B C C D, E E F, G
Tiempo (semanas) 6 8 12 4 6 15 12 8
b) Identifique el camino critico c) Desarrolle el programa de actividades del proyecto
217
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4.- Hamilton Company Park esta planeando desarrollar un nuevo parque y área recreacional en un terreno de 100 acres recién adquirido. Las actividades de desarrollo del proyecto incluyen la limpieza de las áreas de juegos y días de campo, la construcción de carreteras, de un albergue, y así sucesivamente. La tabla se está utilizando en la planeación, programación y control de este proyecto. Actividad
A
B
C
D
E
F
G
H
I
----
----
A
A
B, C
B, C
F
D, E
G, H
Tiempo 9 6 6 (semanas) a) Dibuje una red del proyecto
3
0
3
2
6
3
Predecesor
b) Cual es el camino critico de este proyecto
5.- Las siguientes estimaciones de tiempo de actividad (en días) están disponibles para un pequeño proyecto Actividad Optimista Más probable Pesimista A 4 5.0 6 B 8 9.0 10 C 7 7.5 11 D 7 9.0 10 E 6 7.0 9 F 5 6.0 7 a) Calcule los tiempos de terminación esperado de las actividades y la varianza de cada una de ellas b) Un analista determino que el camino critico está formado por las actividades B – C calcule el tiempo de terminación esperado así como la varianza
6.- Suponga que las estimaciones del tiempo y de actividades (en días) para el proyecto de construcción de una alberca en el patio trasero está constituida por 9 actividades. Las actividades y sus predecesores son los que aparecen en la siguiente tabla. Actividad A B C D E F G H I
Predecesor ------A, B A, B B C D D, F E, G, H
Optimista 3 2 5 7 2 1 5 6 3
Más probable 5 4 6 9 4 2 8 8 4
Pesimista 6 6 7 10 6 3 10 10 5
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a) Desarrolle una grafica de la red del proyecto b) Cuáles son las actividades criticas c) Cuál es el tiempo esperado para terminar el proyecto d) Cuál es la probabilidad de que se pueda terminar el proyecto en 25 días o menos
7.- Doug Casey esta a cargo de planear y coordinar el programa de capacitación del personal de administración de ventas para su empresa. Doug ha enlistado la siguiente información de actividades para este proyecto Activ.
Descripción
Predec
Optimista
Mas
Pesimista
probable A
Planear tema
B
Obtener conferencistas
C
Ubicaciones de reuniones
D
Seleccionar ubicaciones
E
planes de viajes conferencistas
F
Revisión final con los conferencistas
G
Preparar y enviar folleto por correo
H
Hacer reservaciones
I
Manejar detalles último minuto
----
1.5
2.0
2.5
A
2.0
2.5
6.0
----
1.0
2.0
3.0
C
1.5
2.0
2.5
B, D
0.5
1.0
1.5
E
1.0
2.0
3.0
B, D
3.0
3.5
7.0
G
3.0
4.0
5.0
F, H
1.5
2.0
2.5
a) Dibuje una red del proyecto b) Cuáles son las actividades críticas y cuál es el tiempo de finalización esperado del proyecto c) Si Doug desea tener una probabilidad del 99% de terminar el proyecto a tiempo, ¿Con que anticipación antes de la fecha programada de la reunión deberá empezar a trabajar sobre el proyecto?
8. La Compañía constructora PREFAB ha identificado nueve actividades que tiene lugar durante la construcción de una casa. Las cuales se enumeran a continuación ID
TAREA
PREDEC
1
EREGIR LA ESTRUCTURA
2
HACER LOS CIMIENTOS
3
PONER LAS VIGAS TECHO
1
2
4
REVESTIR EL TECHO
3
3
5
CABLEADO ELECTRICO
1
4
2
TN 5 3
219
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6
TABLAS PAREDES EXTERIORES
7
4
7
COLOCAR LAS VENTANAS
1
2
8
TABLAS PAREDES INTERIORES
4,6,8
2
9
PINTURA EXT. E INT.
5,7
3
A. Dibuje la red del proyecto B. Calcule las fechas Inicio Temprano e Inicio Tardío de cada actividad. C. Identifique el Camino Crítico. 9. La Compañía constructora PREFAB ha identificado nueve actividades que tiene lugar durante la construcción de una casa. Las cuales se enumeran a continuación ID TAREA PREDEC TN 1 Preparación Manuscrito (autor) 30 2 Diseño de materiales promocionales 1 6 3 Producción de mat promocionales 2,7 4 4 Corrección del manuscrito 1 5 5 Corrección de galeras y revisión 4 10 6 Producción del libro final 7,5 8 7 Obtención de Permisos legales y Derechos 1 14 8 Capacitación en ventas 3,6 2 A. Dibuje la red del proyecto B. Calcule las fechas Temprano y Tardío C. Identifique el Camino Crítico.
220