CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
.:. E~ta fuerza realiza un trabajo; 10 eual haee .:. cambiar la energfa cinetica del bloque.
La impulsion de la fuerza "F" modifieo la .:. eantidad de movimiento de la bala. ::: I =~p
ITI = mlV Vol f
260
x
10-3
-
= m ~400 - 600/
.:. En el grafteo F - x : .:.
m=1,3xlO-3kg
.. (m
= 1:3 g
1
Rpta (II)
:~:
Clave: D·:·
.:.
PROBLEMA 35·
Sem. CEPRE UNI :::
Un bloque de 6 kg es desplazado horizontalmente sobre un piso liso horizontal mediante una fuerza tambien horizontal que varia con "x", seglin se ilustra en la grafica. Determine la cantidad de movimiento (en N-s) en la posicion x= 12 m, si el bloque parti6 desde x=O con una velocidad de 2i m/s.
:;: .; ...'. .:. :;: ..::.. .:. Tramo AB
.:. .:. -----
M:K =W%s
F(N)
10
-------------i
EKB
-
EKA = area neta
21mV,f2 -21mVo2 =A1
-A2 +A3
.:.
.:. ~ x 6 x Vf2 .:. 2
.:.
A)
5,/6 i
B)
- ~
2
x 6 x 22 = 3 x 2 - 4 x 7 + 6 x 10
,/6i 10,/6 i
.:. La cantidad de movimiento en x= 12 se eal:;: cula par : Pf=mVf' .:. EI bloque es desplazada desde x=O hasta .:. -1 P-fx= 12 mediante una fuerza variable. .:. .:. 3 D) 10 i
E)
-6!J° ~
P=mV P=mV Rpta.
.:. Clave: E :~:
P = 10x65 kgxm/s :.' (P=650
,N3
Rpta. Clave:
PROBLEMA
E
36,
La velocidad media de una particula (m=10 kg) en 10 s de movimiento es igual a su velocidad instantanea. Calcular la magnitud de su cantidad de movimiento en el 5to segundo. Si se desplaz6 130 m en los 2 segundos iniciales, en forma rectilfnea. A) 550 N-s B) 560 N-s
:~: La argolla de la figura se ,suelta desde A y .:. .:. .:. cae debido a su peso de 5N a 10 largo del :~:aro verticalliso. Calcule la cantidad de mo-
C) 250 N-s
.:.
D) 350 N-s
.:. vimiento en B. :~: ? .:.
2
(g = 10 m/s
)
y A
.:.
E) 650 N-s
.:.
RESOLUCION
.:.
.:.
Si la velocidad media entre dos puntos es .: .... igual a la velocidad instantanea, entonces .:. se trata de un M.R.U. :~:A)
B) 2i N-s D) -2i N-s
.:. .:. C) :~: E)
(-V2 )N-s
:~:RESOWCION :~:Evaluemos la velocidad en B : La rapidez constante con la cual se mueve .: .:.. es :
?
v=i=
130 =65 t
V
= 65
2 m/s 1_
Luego : :~: En el 5to segundo tiene la misma veloci- .:. . dad, por 10 tanto : , :~:
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
Como no hay rozamiento; por conservacion de la energfa mecanica :
mg
.:. RESOLUCION
EMA
= EMB
:~:En el movimiento parab6lico realizado des.:. componemos la velocidad inicial.
EpA
= EKB
.:.
.:.
.:. Por teorfa, la rapidez de salida es la misma .:. con la que llega.
(2R) =.! x mV~ 2
VB =.J4xlOxO,1 VB
= 2 m/s ~
La cantidad de movimiento en "B" sera :
Rpta.
.:. Clave: C :~:
PROBLEMA 38
Sem. CEPREUNI .:.
.:. Nos piden el impulso desde A hasta B. Un proyectil de 1 kg se lanza con una rapi- .:. dez de 5 m/s formando un angulo de 53°. :~: T = AP Calcule el impulso de la fuerza gravitatoria :~: desde que el proyectil aIcanza su altura .:. maxima hasta que Begue riuevamente al:~: piso. Oesprecie resistencia del aire (dar res- .:. . .:. puesta en umdades kg· m/s) .:. .•:.
T = m (VB - VA) T =1 (3i -
4] - 3i) m I =-4j kgx-~ s
-
A
.) Luego, su m6dulo sera : .:.
y
-----
:. ~=4k9~]
Rpta. Clave: B
.:.
A) 5 0)2
B)4 E) 1
.:. Una esferita de 1 kg de masa es soltada en .:. el extremo A de una superficie semicilfndrica .:.
~
~
---- J:·UZCANQ ----------------~ lisa de radio R= 1 m, tal como muestra la .:. figura. Determine el impulso (en N-s) sobre ':' la esfera al ir de B hacia C. (g = 10 m/s2) A
1m
"""'A"" ~~.~~::~'-'-' 7°'
....;-...
i i
~>.
B'
J!j
C
:
:~:
'Usando el nivel de referencia "NR2
v
:~:
~
+EpA = EKe + ~
.:.
.:.
.:.
1 2
O+mg h2 =-mVc
.:.
2
+0
V2
A)
2.J7·
B)
3.J7
D)
s.J7
E)
J26
10xO ,6 =~ 2
2J3m/s ~.
Vc =
RESOLUCION
Para calcular el impulso es necesario calcu- ':' '.' lar las velocidades en Bye. .:.
.:.
(N.R: Nivel de referencia)
':' .:.
c ••/~"
VB
*
hI =0,8 m
*
h2 =0,6 m
Por principio de conservaci6n de la energfa ::: mecanica. .;. I) EMA
= EMB
Tomando de referencia "NRI ~
••'://'
····Ii
' ?S;; , ,/.
:'!1iJ.
'.
,/
•
~Ih
.•.
.
"f?' C'
............. "
"
tl
+EpA =EKB + ~ 1 2 O+mghl ='2mVs lOxO,8 VB
=
V~
2 .
= 4 m/s~
V
.:. .:. .:. .:. .:. .:. .:.
l~vl=~(2J3t +4
2
I~vl=4.J7
m/sL
"
--
.. -~ CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
I=m!LlVI
*
I = 1 x 4J7 kg
x
mls
( 1=4J] N-s ]]
.•..•."""""''''''''''..••••..,..,.,..,...,g..
\70=(22 ;-4)mls
= (-400 ; 120)N ilt = 3xlO-3s
- Fmed.
Rpta.
:~:
':'"
m=0,06 kg I ---I-
Clave: C.:.
:~:Calculo de impulso Sem. CEPRE UNI .:. :.
.
Una pelota de tenis de 0,6 N tiene una velo- .:. cidad V = (22i - 41) m/s antes de ser gol- :~: T = (-400 ; 120) x 3 x 10-3 peada por una raqueta, la eual apliea una: [ ]' fuerza F=(-400i+1201)N. Eltiempode :~: :.I=(-1,2;O,36)N-s Rpta. (I) eontaeto es de 3 ms. .;. C 'I I d I .'. a cu 0 eave _ I) (.Que eomponentes "x", "y" tiene el lm- .;. pulso de la fuerza aplicada a la pelota ';' De : I = ilP '.' de tenis? (en N-s). .:.
Ioc id ad
fi
ma
I
.:.
II) (.Que eomponentes naI? (en mls).
tiene la veloeidad fi- .:.
:::Reemplazando sus valores :
A) (1,2; -0,36) ; (2; 10) B) (1,2; -0,36) ; (-2; -10) C) (-1,2; 0,36); (42; 10)
:~ .:. :::
D) (-1,2.; 36) ; ~2;~) E) (-1,2,0,36) , (2,2)
:::
(-1,2;
0,36) = 0,06(\7f -(22 ; - 4)) (-20; 6)= Vf-(22; -4)
.:.
~'.
------(~f= (2; 2) m/s]
.:.
••••••• ••••••• """""" ••••••• ~
Rpta. (II)
Clave: E
.:.
RESOWCION Esbozando el grafico :
~
.:.
.:. EI tubo Iiso mostrado ::: ra-bola de ecuaci6n .:. plano vertical. Una ::: B y sale por A con
tiene la forma de pay = x2, ubic?do en el masa ~'m" ingresa por VA = 3..[5 (i + 21) m/s.
::: Si el impulso recibido es J65 N x s. ::: eule
el valor
::: (g = 10 mls
(en
kg)
de
la
('Calmasa?
2
)
III
VIm)! 0-.: ,:·<_.__.
L
:
1
A) 1 kg
B) 5 kg
D) 0,2 kg
E) 0,5 kg
~ X(m)
.:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:.
I =~p I =m~V T =m(VA -VB) T ='m((3../5 ; 6../5)- (7../5 ; 0)) T = m (-4../5 ; 6../5) I = m~(-4../5)2 + (6../5t 1= mxZ../5 x13 ..[65 = m x 2../5 x.J13
.. (m = 0,5 kg]
Rpta.
Clave: E .:.
si
y
= x2
X
=1
==>
y=l m
.. [h=lm] Ademas:
VA= (3../5 ; 6../5)
mls
VA=~(3../5)2 +(6../5)2 VA
= 15
~
y
m/s~
Par canservacion de la EMs
.:. Una masa de 100 g realiza un movimiento .:. .:. circunferencial con una frecuencia de 4Hz. ::: Conociendo que en t=O s. La masa esta .:. pasando ppr el punta A de la figura en senti::: do antihorario, determine el impulso que ac';' ilia sobre la masa durante los 1/16 s iniciales. '.' .:. ~Que fuerza media ejerce el impulso? ::: Dar respuesta en kg ~ y N, respectivamen.:. te.
EM
= EMA
121 2 . -mV B =-mVA +mgh 2 2 2
2
.
VB = 15 + lOx1 2 2 VB = 7../5 m/s~
(i + 1) ; - 12,8n (i + 1) :~:B) 0~8n(i + 1) ; 12,8n(i + 1)
::: A) -0, 8n
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
C) -0, 41t(i + J) ; -6,41t(i+ D) 0,41t(i+J);
J)
6,41t(i+J)
E) -0,81t(i+ J) ; 12,81t(i+ J) .:.
RESOLUCION .;. . . La partfcula realiza un M.C.U (f=4 Hz); su :~: rapidez lineal se calcula por : .;. .:. .;. PROBLEMA 43
Rpta. (II)
Clave: A
.:.
.;. La posicion de una partfcula de 3 kg que se .;. mueve sobre una recta esta dad a por :
V = 81t m/s ~ Si f=4Hz, entonces
T=~=
%s
:::
X(l)
= (3t2
-
9t + 12) m
Luego : en 1/16 s habra recorrido 1/4 del :~:Calcule la magnitud (en N-s) del impulso arco de circunferencia. .;. que recibe desde que inicia su movimiento y .;. hasta el instante en que haya ejecutado un :;: desplazamiento cera. ~ A) 42 B) 46 C) 50 .:.
~ D) 54
E) 58
:;:RESOWCION .:. .;. Recordando cinematica : .;. Si la ecuacion del movimiento de una parti.:. .;. cula es : 2 X(t) == 3t - 9t + 12 2 x(t) == 12 - 9t + 3t EI cambio de velocidad entre ''/\' y "B" es: .;. :~:Haciendo analogia con : I:N=VB-VA .;. V 1 2 .;. X(t) == Xo + ot + at
L1v==(-vi-VJ) L1V == -81t
.:.
(i+J)
l
Ccilculo del impulso I ==L1P I=
mL1V
I == (10-1)[
-81t(i+J)]
.. (I ~ -O,81t(i
+ j)kg
:
I
2
.GmI!
••...•cu~ Nos piden evaluar el impulso desde que inicia el movimiento (en X= 12 m) hasta cuando vuelve a pasar por el mismo pun to. (Equivalente a decir que su desplazamiento es nulo). Luego : I i1P = I = mi1V O)
•;. F(N)
r = 3 x ( 9i- (-9i)) A
. .
.;. Entonces : .:
"I=m(Vf-V
I =54i kgx-
.;. si F=O => t=4 .;. si t = 10 => F=6 :;: .;. II) Para 10:-:;t < 12 ; F=6 :;: III) Para 12:-:;t < tf .;. .;. El valor de "F" ira disminuyeno desde F=6 ..;.: hasta F=O .
m 5
I = 54kg
x
:. ( 1=54 N-s
m/s
J
Rpta.
.:.
.;. Clave: D·;·
.
.:
.;. Por dato .: Sem. CEPRE UNI .~
'.' Por teorfa, el impulso se determina calcu~obre un bloque acrua una fuerza F (en N) ~: lando el area debajo la curva F - t . :;:
-AI + A2 + A3 + A4 = I
si 0 :-:;t < 10 si 1O:-:;t<12
:;: .;.
4 x4 6 x 6 --2-+-2-+
si 12:-:;t < tf
.;.
variable en el tiemyo "t" (en 5) 5egUn : t- 4 6
F= {
f
Si luego de 12 5 la fuerza Iinealmente hasta anularse, y do que el impulso resultante es determine el valor de "f" (en t=17,0 s.
A)1 0)4
B)2 E)5
.:.
2 6 6 x (tf -12) _ 40 x + 2
Resolviendo:
di5minuye :~ tf = 18 consideran- .;. EI valor de "f" cuando t= 17 5 5e calcula en de 40 N - 5, :;: la recta desde 12::;;t < 18 . N) cuando .;. F(N) :;:
C)3
: ~ .:.
..;•
RESOWCION
;.
Para realizar la grafica F vs t establecemos ~ 105 puntos crftic05 en 105interval os de tiem- :~ po mencionad05. :;: Por semejanza de triangul05:
:. (f = iN )
I) Para 0:-:;t < 10 ; F =J - 4 si t=O
=>
F=-4
.
6 f
6 = 1: . Rpta. Clave: A
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO . CHOQUES
CENTRO DE MASA Tambien conocida como el centro de inercia. EI centro de masa de un sistema de partfculas, nos indica la ubicacion dellugar 0 punto definido respecto de un sistema de coord en adas; donde en forma real 0 hipotetica se situa la masa del sistema, que a su vez esta relacionada con parametros como su posicion, velocidad, aceleracion, etc. Para entender mejor definamos un sistema de partfculas discretas.
La posicion del centro de masa
(7CM)
se definira :
n
2: miri
_ i=1 rCM --n--
Imi
;=1
~celeraci6n del centro de masa
(it
CM)
Suponiendo que cada partfcula presenta cierta aceleraci6n, entonces para el sistema se define :
La cantidad de movimiento del sistema de partfculas, es la misma de la cantidad de movimiento de su centro de masa.
IpCM=p;]1
I~CM=P~brt~t~·+pJJ Si en un sistema aislado de particulas no aciUanfuerzas ex:ternas, entonces se cumple :
It!tM2?c§~1 Si en un sistema aislado de partfculas no actuan fuerzas externas e individuales su VCM
= 0;
entonces se cumple :
Las propiedades anteriores las usaremos con frecuencia, establecida el principio de conservaci6n de la cantidad de movimiento.
CANTIDAD
DE MOVIMIENTO
- IMPULSO - CHOQUES
PROBLElMAS DE AP~leACION PROBLEMA
Sem.
45
CEPRE UNI .:.
tienen su centro de masa ubicado en :
61)
'I as d e masas m1 = 2 k g y .:. :~: I' = (4i + m D os parhcu m2 =3 kg estan en 105 puntos (0;1) y ::: Determinar las masas de las partfculas si la (-1 ; 0) respectivamente,
Hallar la posi- .;. sum a de ambas es 6 kg.
cion del centro de masa. A) (-3/5; 2/5) B) (3/5; C) (3/5; E) (-1/2;
-2/5) 1/2)
:~:A) m1 = 1 kg ; m2 = 5 kg .:. .:. B) m1 = 2 kg ; m2 = 4 kg .:. :~:C) m1 = 2,5 kg ; m2 = 3,5 kg
2/5)
D)(O; 0)
RESOLUCION
:~:D) m1 = 3 kg ; m2 = 3 kg
Datos :
.:. E) m1 = 5 kg ; m2 = 1 kg
.:.
,~ 'Masa
'
c
.:-
'Posicion
2kg , ~kg
.
(0; 1)
:~:RESOWCION
(-1; 0)
:~:De la relacion anterior:
De la relacion : rCM
Reemplazando _ r
-
=
mlrl +m2r2 ml +m2
datos : 2x(0;
1)+3(-1;
2+3
CM -
_ rCM
(4; 6)= ml(2;2)~m2(5;8)
0)
(0; 2)+(-3; =
(24; 36) = (2m1 ; 2ml)+ (5m2; 8m2)
0)
5
- = (3-5; ~2J' reM
(24; 36) = (2m1 ; 5m2; 2ml + 8m2)
y
Cl ave.
.:. o
.:.
Sem.
CEPRE UNI .:.
Dos partfculas ubicadas en :
.:.
:~: .:-
1'1=(2i+21)m
y
1'2=(5i+81)m
:~:
=r
I
.:. . A':' 19ualando componentes
Rpta.
:
2ml+5m2=24 2ml + 8m2 = 36 ------3m2 = 12 ?
m~
= 41
IDI
2mI +Sx4 ml
mt = m2
= 24 =2 ~
2 kg
=4kg
"====~
mIl'! = m(O ; 0) m2r2 = mea ; 0) Sem. CEPRE UNI .;. ...
m3r3 = m(2a Encontrar la posicion del centro de masa :~: m4r4 = m(O del sistema mostrado. Todas las masas son .;. msrs = m(a; identicas. :~: m6r6 = m(2a 2a
a
·
. ------~------~ . ··, ...
= m(O;
C)
D) 2a(i+
; a) 2a)
.:.
.;. Luego: .:.
(i + 1)
B)
a)
m9r9::::::m(2a ; 2a)
_
1) a(i + 1)
; a)
msrs = mea ; 2a)
,,
A) 3a(i+
E) (9a/8)(i+
m7r7
------(>------€1) , .
; 0)
reM =
m(9a ; 9a) t~(a; 9m -
t~
a)
1)
1)
RESOWCION
1~i't1td~JJ
:~:
Podemos notar que la distribucion de las 9 partfculas denota simetria respecto de la bisectriz deXOY; ademas que las masas son identicas.
.; .:.. .;. :~:EI centro de masa del sistema de partfculas .;. que se muestra en la figura, formado por :
Por tanto la ubicacion del centro de masa :~: ml = 2 kg ; m2 = 6 kg ; m3 = 2 kg y el del sistema estara en su centro geometrico, :~:C.M. se encuentra localizado en el punes decir en: (a, a). :~:to (2 ; 2) . .;. ('Cual es la distancia (en em) desde la posi:~:cion de m4 hasta el eje Y? (C.M : centro de :~:masa).
(10+5)x2=ax5+2 4
-----------------------0 ____________ Qm3
m1
::
0_-----2
:
I
, ,•,
::
:
:
..
m.a
a=5,6~
.:.
i
.:. En el grafico inicial podemos notar que la :~:distancia desde la posicion de m4 hasta el .:. eje Y sera :
:
" " "I.,
.:.
..
I
(a=5,6cm)1 ___ =!J
Rpta. Clave: B
A)4cm
B) 5,6 cm
D) 5,4 cm
E) 6m
:~:PROBLEMA 49
RESOWCI0N Datos: masas (m) ml
= 2 kg
1\=(-2;2) rz=(O;O) 1'3=(3;3) r4=(a;4)
mz =6 kg m3
= 2 kg
m4=m
*
Lm
(r)
posicion
*
=10+m
rCM
= (2;
:~:Se tienen 4 partfculas de masas iguales ';' a m. Dispuestas sobre la recta y=2x tal '.' .:. como muestra la figura. Halle la posicion :~:del centro de masa.
2)
De la relacion :
-
_mlrl+mZrZ+m3r3+m4r4 Lm
rCM -
:~:A) (3 1+ 5 .:.
(2; 2)= 2(-2;
2)+6(0;
0)+2(3; 10+m
3)+m(a;
::: C) .:.
-------r-
(1O+m)(2; 2)=(am+2;
Tcomponentes
10 +4m)
:
(1O+m)x2=10+4m 20+ 2m = 1O+4m m=~
B) (2,51+ 2,51)
(21+41)
:~:E) (3 1+ 6
Luego:
Igualando
4)
1)
D) (2,51+51)
1)
.:.RESOWCI0N .:.
:~:IMetodol
I
I
:~:La recta donde estan ubicadas las partfcu.:. las tiene por ecuacion: y=2x .:.
.:. Luego, tabulando .:.
:
CITIIITIIIJ ~
....•
~ II-
C·UZCANO ----------------~
.
.:.:. Hallese la posicion del centro de masa para
.:. el sistema dado, si : :~:
' m1 = 2m2 = m3 = 4m4 = 4ms
.
.:.
Z(m)
.:
_
.:.
(1;2)+(2;4)+(3;6)+(4;8)
.:.
'4
rCM =
- _(10;20J 4
.:. :.
~.
.:.
rCM -
---"--------.,
:. (rCM = (2,5l
.:.
+ 5i)m)
:~:A) (5/61+ 2/3J + 1/3k)m
Rpta.
IMeto~611I·1-..- ...=-
:~:B)
(5/61+2/3J+1/2k)m
El C.M para dos partfculas identicas, se de- :~:C) (2/31 + 51 6J + :~:D) (2/51 + 2/3
fine en un punta equidistante a ambas.
O···············~~~·······_--------O t---d I d-----l
k) m
J + k) m
:~: E) (wi + 8 J + 6k) m .'. •
.:. RESOWCION Como puede notarse el sistema presenta si- .;. Para ubicar la posicion del C.M. del sistemetria. Tomando las masas dos ados es :~:ma, primeramente ubiquemos la posicion faci! de deducir': .:. de cada masa : .:.
m
m
C.M.
m
m
0-------0-------·-------0--- ..·--0
';' los datos : ... De _-----
I--d-+-d/2-+-d/2-f-d ----i
Es decir en la figura esta corresponde a : VIm)
.:. .:. .:. .:. .:.
.:. .:.
.:. .:. :. : :. .:. .:. .:.
....
1
2t3
4
2.5
(rCM =(2,5
;5)1} Rpta.
~==-~ Clave:
.:. D':'
~~~"'".:.
Si
ms =m=>m4 =m m2=2m Masa
(1!',) . 1.
4m
2.
2m
3.
4m
(8m;0;0)
4.
m
(2m;4m;0)
m
(0;0
;0)
(O;0;6m)
_ (10m ; 8m ; 6m) rCM= 12m rCM
=
)'1'\
(10 ; 8 ; 6) 12)'1'\
(5~ 2~ 1~) -i+-j+-k
6 . 3
2
:~:Dos partfculas forman un sistema aislado y .:. se encuentran en las posiciones mostradas :~:en el grafico. Halle la posicion del centro .:. .:. de masa al cabo de 10 s. Considere que las .:. masas son iguales. .:.
m .:.
Clave: B·:·
Una partfcula de 5 kg tiene una velocidad :~: VI = (2i -
31) m/s,
otra partfcula de 3 kg :~:
tiene velocidad V2 = (lOi-51) m/s. En- :~:A) (5,5i+1O,51)m cuentre la velocidad del centro de masa. .:. ~~) '.::'.C') (l1i+2{J')m A) ( 7i-4,25j m/s B) (~~) 5i-4j m/s C)
(3i+5,251) m/s
E) (8i - 3,751)
D) (5i-3,751)
m/s
B)
(5i+101)m
D)
(21i+ll1)m
:~:E) (1O,5i+5,51)m
m Is
:~:RESOWCION ':' Evaluemos primeramente la posicion RESOWCION :;:cada partfcula en t= 10 s. La velocidad del centro de masa del siste- .:. ::.:I Mavil I A I ma de dos partfculas se calcula de : :~:Si : V = 1 m/s -V m1V1 +m2V2 CM = :~: d=lOm~ m1 +m2 .. La posicion de "pt sera : Reemplazando sus datos : TA = i + lOi = lli ~ , V _5x(2;-3)+3(1O;-5) CM -
5+3
VCM= (10 ;-15)+(30
:~: I Mavin ;-15)
8 -(40
VCM =
(VCM = (Si-3,7SJ)
.:.
:~:
m/S)
:::::azm~:n:t:uz_~_
I
.:.
.:.
;-30) 8
B
.:. Si : V=2 m/s ; el) t= 10 s recorre : d = 2 x 10 = 20 m :. Su posicion sera:
TB= 21
1 1_
:~:La posicion del centro de masa sera : :~: mATA+mBTB Clave: D·:· rCM= mA + mB .:.
de
Masa
,
(4; 3) m/s
m2=2 kg
(6; 1) m/s
m3=2 kg
(2; 2) m/s
(rf = ra rl = (-2
+
Vt)
; 0) + (4; 3) x 2
Las pamculas que se muestran en el siste- :~: ma tienenmasa 2 kg y parten en t=O s' de ':' '.' las posiciones mostradas con velocidades : .:. *
rl=(6;6)m~
VI = (4 i+ 3 j) m/s , V2 = (6 1+ j) m/s , :::
1'2 =(12; 2) m~
y
V 3 = (2 1+ 2 j)
:~: *
m/s.
Ve16Cidad
ml=2 kg
1'2 =(0; 0)+(6;
r3 =(4;
0)+(2;
1)x2
2)x2
r3 = (8; 4) m~ Determine la-posicion (en m) del centro de ::: masa del sistema en t=2s. .;. .:. La posicion del centro de masa en el instan.:. .:. te t=2s es ..
_ A) (121+3
r
J)
C) (26/3)1+4
B) (261-4 j
j)
_
D) (16/3)1+4/3j
2(6; 6)+2(12; 2)+2(8; 2+2+2
- ------~-~-~
CM -
rCM:;:
4)
(26; 12) 3
E) (17/3)1 Rpta.
RESOLUCION
Clave: C
Seg(ln el problema : y .:.
.:. Tres partfculas cuyas masas son m, 2m y :;: 3m se mueven en el plano X - Y con velo.:. cidades constantes. En t=O sus posiciones ::: son las indicadas en la figura. Encuentre la .;. velocidad del centro de masa (en m/s).
.:.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
:::'PROBLEMA 55'~
::: Dos esferas se mueven sobre una superficie .:. .:. horizontallisa y en un instante deterrninado .:. estan dispuestas como se muestra en.la fi:~:gura. Hallar los vectores posicion y veJoci.:. dad del centro de masa 3 segundos despues :~:de producido eJ choque. (Considere a /as ';' esferas como un sistema ais/ado) '.' .
X(m)
.:.
Y(m)
.:.
A) (4i+3J) m/s
B) (4i-3J) m/s
C) (8i-6J) m/s
D) (4,8i+3,6J) m/s :~:
.:.
lkg ... 4m/s
,
+2m/s
E) (24i + 18J) mls -4
~._
RESOWCION
3kg
De los datos del problema :
(lli-4,5J)m
; (i-1,5J) m/s
B) (lli+4,5J)m
; (i+l,5J) m/s
:~~;~v:~::~~~i:~: : A)
m2=2m
V2=(7;O)m/s
:~:C) (lli+4,5J)m;
1113=3m
V3= (2; 5) m/s
~:D) (4,5i - 6J)m ; (i + 1,5J) m/s
(l,si-J)
~ velocidad del centro de ~asa se calcu--:~:E) t4,5i-llJ)m a :
VCM = mi VI + m2V2 + m3V3 .
ml + m2 + m3 '
= m(4 ;-3)+2m(7;
'VCM
~
0)+3m(2; m+2m+3m
-
VCM:: (4; 3)+(14; 0)+(6; 15) VCM = (24;
6 18)
; (i+1,5J) m/s
.) RESOWCION :~:Si las dos masas estan dentro de un sistem~ :: aislado, entonces la cantidad de movimien.:. to del sistema (0 de su centro de masa) se 5) ..:. .:. conserva. La velocidad de su centro de :~:masa se mantiene constante y se calcula ~:por: .:. .
:~:
6 .
~
V
.)
.. (VCM = (4~:~)m/S]
m/s
_lx4i+3xZJ 1+3
CM -
Rpta.
:~:
Clave: A :~:
(
~ (Velocidad en
yCM = (i + 1,SJ) m/s~ todo instante) . G~
_ ••
=-~""' Rpta. (II)
__
~
~
C·UZCAIfQ ----------------~ ---~Hofq.En la figura original podemos notar foci/mente que a los dos segundos de iniciado el movimiento las partfculas colisionan; aLin as! instante.
P sist.
= cte
Masa
en todo
Velocidad
ml=4 kg
Vl=(4;
2t) m/s
m2=6m
V2=(2t; -8) m/s
La posicion inicial del centro de masas se :~:La velocidad del centra de masa en cualcalcula par : .:. quier instante sera : .:. .•:. .:. .: .:. .:. .:. .: :.
_ mlrl + m2rZ rCMo ml +mz _lxO+3x(8 rCMo
.
;-4)
. .
1+3
.
.:
.. (fCMo =(6;-3)m]
.:.
V CM= _m_I_V_I_+_m_Z V_z mi +mz
v _ 4 (4 ; 2t) + 6 (2t CM-
V
_
;- 8 )
4+6 (16+12t;
8t-48)
10
CM -
La posicion del C.M. 3 segundos despues .:. En t=.4s sera : de la colision, significa 3+2=S segundos des- :~: V _(16+12x4;8x4-48) pues de iniciado el movimiento. .:. .:. CM10' VCM= (6,4; rCMf=(6 ;-3)+(1;
1,S)xS
Resolviendo : :.
(fCMf
:~: ..
= (Hi + 4~5j).:JJ Rpta
(1)
.
-1,6)
(~CM = (6,4i -1,6j) mlS] Rpta. Clave: D
:~:
Clave: B :;: .:. PROBLEMA
57.
Sem. CEPRE UNI .:.
En el instante (t=O) una partfcula de masa !!II = 4)
E) (1,91 + 2,83)
~
B) (1,81-2,6]) D) (6,41-1,63)
.:. Tres partfculas m 1 = 2 kg, m z = S kg y ':' m3 = S kg se encuentran en movimiento. :;: m3 se encuentra en calda libre y mz tiene :~: z aceleracion de (21 + 43) m/s . Hallese la ::: z .;. aceleracion (en m/s ) de mI, si se sabe que .:. la aceleracion del centro de masa del con::: junto de partfculas es cera. :~:A) 101- S]
B) S1-IS]
.:. C) 101- 6] .:.
D) 151- S]
.:. E) -S[+ 15j .:.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
RESOWCION De los datos del problema :
:~:locidad de (-8i + 20] ) m/ s. Determine la .;. velocidad del centro de masa 2s despues del ';' disparo.
Y(m)
:~:A) (2,8i+2])m/s
B) (-2,8i-2])m/s
:~:C) (1,4i-])m/s
D) (-1,4i+])m/s
:~:E) (-2,8i+16])m/s :~:RESOWCION
.
.:
.;. Seglin la condici6n del problema : .:.
Vt
~. 'fMasa ffil=2
-;0...
kg
ffi2=5 kg
Aaieraci6n
(2; 4) m/s2
I'
----~'~~
-8r
(0 ; -10) m/s2
ffi3=5kg
... t./
·.....~Ojt
??
15~/~~
:;:'\:-----
om,
sf
100m
:~:Datos: m1 = 2 kg
(0; 0)= 2al +5(2;
(0; 0)=2al
+(10;
4)+5(0; 2+5+5
-10)
m2
Ambas partfculas Ilevan la misma aceleracion :
-30)
al=(-5;15) ..
( al
~
A
.;.
= (-51 + 151) m/s2
a=g=-lOj
]
m
-
_:.
52
Rpta. :~:Calculo de la5 velocidade5 de la5 particula5 Clave: E';' en t=25. -
PROBLEMA 58
=3 kg
:~:De:
[-V-f-=-V-O-+-a-t)
Sem. CEPREUNI .:.
Desde 10 alto de una torre de 100 m de al- :~: M-o-'vt-'I-/I-I -I
tura, 5e disparan 5imultaneamente do5 par- :~: tfculas una de 2 kg con una velocidad de .:.
V1 = (5i+15])+
(5i+151 )m/5
V1 = (5i-15]) = (5
y otra de 3 kg con una ve- :~: .:.
(-101)
x
2
;- 5) m/5L
~
~
_pUZCA ••
----------------~
IM6vul21 Vz = (-8i + 201) + (-101)(2) Vz =(-81)=(-8; 0) ITl/s~
= PI + Pz
PCM
.:.
.:. Reemplazando
sus datos :
.:.
La velocidad del centro de masa se calcula :~: por:
~
,......--~=--'""""":=-"'
VCM
= 2(5 ;-5)+3(-8;
.:.
0)
2+3 VCM
= (-14;
______
:~:
.: . PROBLEMA60 .:.
-10)
:~:Una partfcula
5_____
m/S))
:~:raci6n
Sem.CEPRE UNI
de 2 kg tiene una ac;re-
al = (3t i - 3 1) m/sZ y otra parti-
= (-2,81 :-2j) Rpta. :~:cula de 3_kg se Amueve con velocidad -...."""'",...""""="""'''''''''''''''''''''''''~Clave: B·;' constante VZ = (2 i) m/s. Encuentre la ace.:' ..' leraci6n del centro de masa del sistema en ~. . . .:. t=2s PROBLEMA59 Sem.CEPRE UNI.:. . z La cantidad de movimiento del C.M. de dos :;: A) (1,2 i - 0,6 j) m/s :.
( VCM
A
particulas
antes
de
irripactar
A
es .~.B) (2,4 i-I,
2 1) m/sZ
PCM = (5J + 121) N x s. Si despues del cho- :~:C) (4,8 i - 2,4 ]) m/sz que la c~ntidad~ de ~ovimiento
de u~a de :~:D) (2,4 i -0,8])
m/sz
ellases PI=(31+4J) Nxs. Determmela.:. E) (24i-16':)m/sz cantidad de movimiento de la otra. (Consi- .:. ' , J dere al sistema de partfculas como un siste- v';' RESOWCION _ ma aislado). .:. Seg(In leis datos del problema, podemos noA)
(i + 1) N - s
C) (2i+8]) N-s A A) E) ( 5i+8j N -s
B) (3i + 41) N - s
:~:tar que la partfcula de 3 kg se mueve con
D) (5i+12}) N-s
:~:v~!ocidad constante; por tanto su acelera. CIon es nula. .:. .:. Luego: .:.
RESOWCION Teoria: En un sistema ais/ado /a cantidad de movimiento de/ centro de masa se conser-
va. (-p-s-;st-. ----P- -/1-=-P-+-P- -+-...-+-P- -) n C
I
z
Masa
Aceleraci6n
ml=2 kg
a1=(3t ;-3) mlsz
mz=3 kg
az=(O ; 0) mlsz
.:. La aceleraci6n del centro de masa se calcu.:. la: .:.
CANTIDAD DE MOVIMIENJ:0 - IMPULSO - CHOQUES
.:. Ademas del dato : •
-1· V2
.:. .:.
_ 2(3t ;-3)+3xO aCM= . 2+3
:~ .:.
aCM= ~ (3d - 31) m/s
:::
.:.
En t=2s sera:
:: En (l) : .~ ~:
aCM= ~ ( 3 x21- 3) m/s
----------
.. (it = (2,4 i-1,2 j) m/~ CM
=50
("CM = 30 i m/s)
Rpta.
-e-.:-~ .
3kg
Rpta .
Clave: C
.:.
PRO.~ Sem. CEPRE UNI . , En el sistema se muestran dos parhculas . ..~ de 2 kg y 3 kg de masa. 51 I~ velocldad relativa de 1 respecto de 2 es 50i m/s. Determine la velocidad del- centro- de masa -). (VCM asumlendo que VCM= 3V2· ~
i
i V2 = 10 i m/s ~
6V2 - V2
: ~~~~~.
Clave: B ·:·PROBLEMA
2kg ....... ~
= 50
62.
Sem. CEPRE UNI
~: La figura muestra la posicion en t=O s de : dos particulas con masas ml = 1 kg , ~. m2 = 2 kg que se estan moviendo a 10 lar.:. d I . X 5' I .. , d I 't d go e e]e . I a pOSICIOne cen ro e -:-masa en cualquier instante posterior "t" ::: esta dad a por xCM= 0,333 + 0,667 t (m ) : .:. : h a IIar Ia ve I'd OCIa d d e I C .M . y Ia separa; cion inicial (d) de las partfculas (en m/s y .:. "m" respectivamente).
.
~
mt
.:.
A} wi m/s D} 401m/s
B} 20i m/s E} 501m/s
C}
30i m/s
RESOWCION
Segtin los datos del problema :
... ~O ~ ~=2kg
n~.m
m:z=3kg
~. .:.
8
.:. :. .: :.
. . .
I
d
.:. A} 0,667 ; 0,333 ::: C} 0,667 ; 0,5 :~ E} 0,333 ; 0,48
X
•
B} 0,333 ; 0,5 D} 0,667 ; 1,0
:::RESOWCION
::: Las masas m1
y
m2 !levan velocidades VI
.;. y V2·
.EfI
~
--
~
C,UZCAN!I ----------------~
Pew la posicion del centro de masa a medi- .:. Ai (4/9 , 4/9) £ da que pasa el tiempo esta dada por : :~:C) (2/9 ,2/9) £ =?,333+0,667t
xCM
... (I) :~: E) (1/9,1/9)
B) (2/3,2/3)
£
D) (3/2,3/2)£
£
.:. we1 0. N .:. RESO
Es decir : = xCMo
xCM
+ VCM
x
t
... (II) .:.
.:. 19ualando terrninos en (I) y (II); concJuimos: :::
-------
:. (VCM = 0,667
m/S] Rpta ([)
El eM. de una lamina triangular homogenea esta en su baricentro (G).
:~:
Ademas, si : xCM
= a
0,333 m (Posicion
iniciat del·:·
centro de masa)
..::.• En el ~, se cumplen las relaciones de 10s segmentos indicados .
.:.
.:. Ubi cando los C.M. de los triangulos rectan.:. gulos .
.:.
.. (d ""0:5 m)
Rpta. (II) .:.
Clave: C·:·
La lamina cuadrada de lado " £ " y espesor "e" pequeno, esta farmado por dos mitades triangulares iguales A y B. Conociendo que las densidades se relacionan - segun
..•.:. .:. ::: .:.
..
'
PA = 2PB' <.Desde donde se debe suspen- .:.
* r
.:. *
der esta lamina para que quede en posicion .:. horizontal? Y(m)
B
=(4£6' . 4£) 6
.:. ::: Las masas de cada placa esta~ relaciona-
.:. dos par : .:.
.:. :~:
~ ~.
mA _ PAxvolA _ (2PB)xareaxe mB - PB xvolB - (PB)xareaxe
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO . CHOQUES
EI lugar desde donde se de be suspender la .:. Para un bloque cubico : planeha y permaneee en equilibrio, es en Stl ::: v centro de masa (C.M.) luego : .;.
1
5cm
fCM
(¥ ;
= 2mB
1 ..... ,~
¥]+mB(T;
~)
2mB+mB
.> Ubiquemos ahora la posicion del C.M. en ~: los ejes X e Y
Resolviendo :
rCM=(~;~)l
.> .:.
y
Para mayor facilidad,
dividimos el conjunto en tres bloques .
.:. Sem. CEPRE UNI ,.
PROBLEMA 64,
Un nino dispone de bloques eu.bicos de 5 em de arista heehos del mismo material formando la figura que se muestra, sobre el piso horizontal. Deternine la posicion del cen-
:~: ~: Luego :
tro de masa del eonjunto de bloques.
.:. rl - - - , .;.
y
~: .>
.:.
.:. ...... -
.
,
'
_(52' .15)' - -(10' 5)2 ' - -(425' 5)2 ,r2 -
,-
. r3 -
,,-
.;. Las masas senin :
.
.:.
.:.
.
.;
..... ...1
X
I
_ ml
= 6m
; m2
=:=
2m
m3
= 5m
X
A) (14; 18,3; 5) em
(16; 8,3 ; 3) em C) (19; 9,2 ; 2,5) em D) (19; 8,3 ; 2,5) em
B)
E) (19; 18,3; 2,5) em
.:.
.:. r = (247,5;13107,5) =(190' 83) .:. eM '-J.-,J , .....;.....
.:. rx ry .:. .. Finalmente la posicion del centro de masa Podemos observar que 10s ladrillos estan eo- .:. .'. en los ejes X, Y, Z es : loeados en hilera; por tanto la posicion del.;. Rpta. centro 'de masa en la direecion (eje Z) que- ::: .. (reM = (19 ; 8,3 ; 2,5) Clave: D darfa definido en Z = ~ em = 2,5 em . :~:
RESOLUCION
em)
~ II-
~
C,UZCAIfCl ----------------~
CONS,ERVACION EN LA C'ANTIDAD DE MOVIMIENTO Para camprender este principio observemos 10 que ocurre en la siguiente situaci6n a modo de lectura. EI muchacho de la figura tiene una masa de 50 kg, ademas de una "frondosa cabellera". A su costado una joven fuerte y robusta capaz de levantar cargas pesadas de hasta 200 kg.
Es facH deducir que el valor de la fuerza de gravedad del muchacho sera (si g= 10 m/ s2 )
Fg
= SOON
Surge la siguiente interrogante : Si el muchacho fuera tirado de 105 cabellos, mediante LPodria ser levantado? Veamos:
I
@
una fuerza vertical de 600N.
La joven cage de los cabellos al muchacho usando 105 600N que se necesita luego como esta fuerza es mayor que Fg=500 N, entonces :
Ahora el muchacho hace el experimento de jalarse m6dulo de la fuerza. Ocurre que :
Realizado estos experimentos,
105
cabellos usando el mismo
surge la pregunta:
iPorque el muchacho puede ser levantado en un caso y en otro no? Para el analisis de estas interrogantes son relevantes extern as e -internas.
105
conceptos de sistema fisico, fuerzas
-
Ed(torial Cuzcano
.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES
_-_.1~.g
,/
,~/.+..... -.
.. ,-J-\ ,, ,
G
. \.
.. ,
, ~,- ./
f '··'
. sistema ··· . . FN
.
..·---r:~OON ,,/~'-. ,,, ,
,-J-\
..
'\. .,
,
. - .: sistema ···i~ljH.-./
+ mg=500N
Se denomina as! a aquella regIOn que se encierra en forma real 0 hipotetica, sobre un conjunto de partfculas; cuando se realiza cierto analisis respecto de sus interacciones.
Un sistema mecanico es aislado cl.;'ando sobre el conjunto de partfculas, s610 estan actuando fuerzas internas.
En la termodinamica, en un sistema aislado ademas que no hay presencia de fuerzas externas, no hay transferencia de masa ni de energia, del medio exterior al sistema 0 viceversa.
Sistema termodinamico aislado
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPUlSO
qJ Una esferita es impulsada,
- CHOQUES
para moverse en una superficie horizontal Iisa.
AI ser la superficie Iisa no actUan fuerzas en direccion horizontal, luego su velocidad sera constante (principio de inercia)
'Inicro.
'01 Dos
esferitas de masas iguales estan unidas mediante un resorte, el cual inicialmente es comprimido y Iiberado sobre una superficie horizontal Iisa.
~mK
m~
=~;
IDici~, .....
.......
.~ \.... . ., /V=O ,
....".
m
..........
.. /'
._..__ ... (" sistema,
/ ..~..
.....~---.. -+_ , , m" .... ........m ...
V=O\
_._-_....................
/~~\
..
_-.-.------.--.-....-..-~
-- --Fe
Fe
····V··· -
-..•...•.............•....... -_ ........•..
m/
....
....
.)
~
~
__ CUZCAN. ------------------~
U¥Hlf4~ Cuando se conserva su cantidad de movimiento, fa velocidad de su centro de masas permanece constante.
(Relaci6n : Impulso - Cantidad de movimiento) La cantidad de movimiento no se conserva, si actUa una fuerza extern a resultante en el sistema. En este caso el cambio de la cantidad de movimiento esta relacionado con el impulso de la fuerza externa.
Una aplicacion de este principio serfa :
*
Un bloque de masa "m" reposa sobre el piso liso. Se aplica luego una fuerza extema "F", entonces :
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
NOTAS FINALES Analisis en particulas
qUE: se desintegran
:
Como las fuerzas que hacen posible esto son internas, entonces :
*
La trayectoria de su C.M. no cambia.
£::;..... It-
~
J:,UZCAIfQ ----------------~
~lfl8P.~~ Una persona de masa "m" esta parada sobre un tabl6n de masa "M"; esta a su vez reposa en un piso horizontalliso. La persona empieza a caminar avanzando de un extremo a otro. Diga usted si se conserva 0 n6 la cantidad de movimiento y cualley ffsica debe usarse en uno u otro caso si : I)
EI sistema a considerar es 5610 la persona.
II) EI sistema a considerar es 5610 el tab16n. III) Si el sistema a considerar es la persona y el tabl6n.
Si la persona empieza a caminar sobre el tabl6n, es porque implfcitamente existe fricci6n entre 105zapatos de la persona y el tab16n, luego esa fuerza de fricci6n hara que la persona y tabl6n se muevan.
mg~
~ f
t
Nt
______ el: ::::I. N
1
:
h.
tN2. m91·--·..
,/t~'~
,
=t
f-= f ..:..+-\
Nt': •.•....•... ~.. _-_ .... '
Vf
. ! sistema ,f---/
Se puede observar, que existen fuerzas externas tanto en la horizontal Gamo en la vertical, pero en esta ultima las fuezas se anulan.
