DASAR TRIGONOMETRI Jika kita membahas masalah trigonometri pastilah tidak akan terlepas dari yang namanya Sudut. Untuk itu alangkah baiknya sebelum belajar lebih dalam mengenai trigonometri, kita
terlebih dahulu mengetahui apa itu sudut. Sudut didefinisikan sebagai rotasi sinar garis misalkan OB yang diputar dengan pusat O sampai pada suatu kedudukan tertentu sehingga terbentuk sebuah sinar garis OB yaitu OC. Dengan ilustrasi sebagai berikut. C
α O
B
Gambar.1 Sinar Garis OB
Sudut seringkali dinamakan dengan berbagai cara seperti 1. Dinamakan dari dari proses terbentuknya terbentuknya sinar garis seperti pada gambar gambar 1, sudutnya sudutnya diberi nama sudut AOB atau BOA 2. Bisa juga hanya menggunakan titik sudutnya. Misalnya Sudut O, Sudut A dan sebagainya 3. Sering juga dipakai menggunakan menggunakan abjad yunani seperti α, β, Berdasarkan pengetahuan tentang sudut diatas maka munculah konsep segitiga didalam perbandingan trigonometri. Kenapa segitiga? Perhatikan kembali kembali gambar 1. Dapat kita lihat beberapa beberapa hal sebagai sebagai berikut 1. Garis AB merupakan hasil proyeksi atau bayangan dari garis AC 2. Proyeksi titik A adalah titik A dan Proyeksi titik C adalah titik B 3. Apabila masing masing titik proyeksi dihubungkan maka akan terbentuk sebuah bangun segitiga siku - siku. Atas dasar itulah pada sejarah trigonometri penemu dan pengembangnya banyak sekali menggunakan menggunakan prinsip segitiga siku-siku pada trigonometri. tri gonometri. Contoh untuk mengetahui sudut pandang pengelihatan seseorang terhadap puncak sebuah bangunan.menggunakan bangunan.menggunakan segitiga
Dasar Trigonometri
Hal. 1
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SEGITIGA SIKU - SIKU B
C
A Gambar 1.1 Segitiga siku-siku ABC
Diketahui segitiga ABC di atas merupakan segtiga siku siku dimana garis AC tegak lurus terhadap garis CB. Dengan definisi sebagai berikut :
∠ = ∠ = ∠ dimisalkan sebagai sudut AC = b = sisi samping sudut CB = a = sisi depan sidut Sedangkan AB = c = sisi miring atau disebut Hipotenusa Nah setelah anda mengetahui beberapa definisi tersebut maka dapat saya tuliskan secara ringkas perbandingan trigonometri Sin =
=
Cos =
=
Tan =
=
=
Untuk sudut kebalikannya adalah sebagai berikut : Cosec = Sec =
= ∝
= ∝
Cotan =
= ∝
Dasar Trigonometri
Hal. 2
0
0
0
0
0
PERBANDINGAN SUDUT SUDUT ISTIMEWA 0 , 30 , 45 , 60 , 90
Gambar 2. Segitiga sama sisi dan persegi
0
0
0
Untuk mengetahui perbandingan dari sudut istimewa 30 , 45 , 60 . Perhatikanlah gambar 2. Mengapa harus gambar 2 ? hal ini dilakukan untuk mempermudah proses penemuan sudut istimewa tersebut. menggunakan pengetahuan kita yang telah ada mengenai bangun datar khususnya bangun datar pada gambar 2. 1. Untuk segitiga sama sisi, pada pokok bahasan bangun datar kita telah mengetahui 0 bahwa sudut-sudut segitiga sama sisi adalah sama yaitu 60 karena jumlah sudut 0 sebuah segitiga adalah 180 . 2. Sehingga apabila kita perhatikan segitiga CAD atau segitiga CBD. Dapat kita urai seperti gambar 3 dibawah ini. C 0
30
0
60 D
B Gambar 2.1
= 30 4. Panjang DB = a , BC = 2a , panjang CD dengan mengunakan teorema phytagoras (2) − = 3 = 3 kita peroleh CD = − = (2)
3. Diperoleh ∠ = 60
∠ = 90 ∠ =
5. Sesuai dengan yang kita pelajari sebelumnya maka
Dasar Trigonometri
Hal. 3
0
Sin 60 = 0
Cos 60 = 0
Tan 60 =
= = 3
Sin 30 =
= =
Cos 30 =
= = 3
Tan 60 =
0
0
0
= =
= = 3
= = 3
0
6. Untuk sudut 45 perhatikanlah persegi pada gambar 2. Kita ketahui bahwa jumlah 0 sudut dalam sebuah persegi adalah 360 . 0 7. Maka masing masing sudut nya adalah 90 . 8. Apabila kita tarik garis diagonal pada persegi tersebut maka akan terbentuk dua buah segitiga siku siku yang masing masung sudutnya adalah seperti pada gambar berikut ini. R
P
Q Gambar 2.2
∠ = 90 , ∠ = = 45 ,∠ = 45 + = 10. PQ = 2a, QR = 2a, dengan phytagoras kita peroleh = (2) + (2) = 2 2 2 9. Dengan rincian
11. Maka diperoleh 0 = = = Sin 45 = 2 0 = = = Cos 45 = 2 0 = = =1 Tan 45 =
0
0
Untuk sudut 0 dan 90 kita akan menggunakan konsep dasar/ Konsep pengertian sudut. Seperti yang kita ketahui bahwa sudut merupakan berkas sinar yang terbentuk dari suatu rotasi garis. Perhatikan kembali gambar 1, gambar tersebut berkas sinarnya membentuk sudut α. Nah, sekarang kita akan merotasi suatu garis AB hingga membentuk beras sinar dengan 0 0 sudut 0 dan 90 .
Dasar Trigonometri
Hal. 4
Untuk lebih memahami perhatikan ilustrasi dibawah ini. 1
B
α A
B Gambar 3.
Gambar 3 diatas, adalah suatu rotasi garis AB dengan sudut 1
dengan hasil rotasi atau 1
proyektum adalah AB (A di proyeksikan ke A, B diproyeksikan ke B ). Terbentuk segitiga 1
siku – siku ABB . 0
0
Dengan ilustrasi yang sama dapat kita gunakan untuk sudutnya 0 dan 90 .
Gambar 3.1 ilustrasi untuk sudut 900
1
1
Dari gambar 3.1 diketahui bahwa AB = p, BB = p , AB = 0 sehingga diperoleh = =1 0 = =0 Cos 90 = 0
Sin 90 =
Tan 90 = 0
Sudut 0
= = ~
0
Gambar 3.2 ilustrasi untuk sudut 00 I I Dari gambar 3.2 diketahui bahwa AB = p, AB = p, BB = 0 sehingga diperoleh
Dasar Trigonometri
Hal. 5
= =0 0 = =1 Cos 0 = 0
Sin 0 =
Tan 0 = 0
= = 0
Sehingga dari perolehan di atas dapat kita ringkas Perbandingan sudut – sudut istimewa seperti berikut ini : No 1 2
3
Sudut 0 0
SIN 0
COS 1
TAN 0
½
1 3 2
0
1 2 2
1 2 2
1
0
1 3 2
½
3
1
0
~
0
30
45
4
60
5
90
0
1 3 3
SUDUT PADA KUADRAN ( SUDUT PADA AREA Cartesius 2 Dimensi)
Kuadran sebuah sudut adalah Area atau posisi suatu sudut pada diagram Cartesius 2 Dimensi. Untuk lebih jelas perhatikan gambar 4 dibawah ini :
Gambar 4. Kuadran Suatu Sudut
Dasar Trigonometri
Hal. 6
Dari gambar 4. Dapat kita kit a jabarkan posisi suatu sudut secara rinci. Perhatikan gambar 4.1
Gambar 4.1 rincian kuadran
Dari gambar 4.1 diperoleh bahwa : Dengan menggunakan menggunakan konsep perbandingan trigonometri segitiga siku – siku yang telah kita pelajari sebelumnya, diperoleh, Pada Kuadran II, Sin =
Cos =
Tan =
0
0
0
Pada Kuadran I
=
Sin =
=
=
Cos =
=
=
Tan =
=
Pada Kuadran III, Sin =
Cos =
Tan =
0
0
0
0
0
0
Pada Kuadran IV
=
Sin =
=
=
Cos =
=
=
Tan =
=
0
0
0
Dasar Trigonometri
Hal. 7
Oleh karena itu didapat suatu fakta bahwa 1. 2. 3. 4.
Pada kuadran I, nilai sudut semuanya positif Pada kuadran ke II nilai sudut yang positif hanya Sin Pada kuadran ke III nilai sudut yang positif hanya Tan Pada kuadran ke IV nilai sudut yang positif hanya Cos
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI
Sudut berelasi adalah hubungan yang terdapat pada dua buah sudut. Contohnya, dua buah sudut yang saling berpelurus atau saling berpenyiku. Apa itu saling berpelurus atau saling berpenyiku. Perhatikan gambar dan penjelasan dibawah ini. Gambar 5. Ilustrasi dua buah sudut saling berpelurus
Gambar 5. Disamping merupakan ilustrasi dua buah
sudut yang dikatakan saling berpelurus. Dimana sudut 180 apabila + = 180
dan
dikatakan saling berpelurus
Bagaimana pula dengan dua buah sudut yang dikatakan sudut yang saling berpenyiku? Utnuk lebih jelas mari kita perhatikan ilustrasi dibawah ini.
Gambar 6. Ilustrasi dua buah sudut saling berpenyiku
Gambar 6. Diatas merupakan ilustrasi dua buah sudut yang dikatakan saling berpenyiku. Dimana sudut dan dikatakan saling berpelurus apabila + = 90
Secara umum dapat diilustrasikan sebagai berikut :
Dasar Trigonometri
Hal. 8
Hubungan atau relasi dua buah sudut pada Kuadrannya
Perhatikan kembali gambar 4.1, jika kita lukiskan kembali mengaitkannya dengan relasi 2 buah sudut akan kita dapatkan ilustrasi masing – masing sebagai berikut : 1.
Pada gambar di atas perhatikan dua buah segitiga POA dan POB. Pada segitiga masing masing memiliki dua buah sudut yang saling berpenyiku yakni ∠ dan ∠. Menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku siku kita peroleh bahwa : A. Pada segitiga POB diperoleh 0 = Sin = 0 = Cos = 0 = Tan = B. Pada segitiga POA diperoleh = = Sin (90 − ) = = = Cos (90 − )= = = Tan (90 − )= C. Dari A dan B diperoleh hubungan sudut berikut :
dengan 90 − adalah sebagai
Dasar Trigonometri
Hal. 9
2. Dengan cara yang yang sama untuk kuadran II, III dan IV akan kita peroleh hubungan sebagai berikut. A. Kuadran II
Dengan hubungan sudutnya sebagai berikut
B. Kuadran III
Dasar Trigonometri
Hal. 10
Dengan hubungan sudutnya sebagai berikut
C. Kuadran IV
Dengan hubungan kedua sudutnya sebagai berikut :
Dasar Trigonometri
Hal. 11