ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS Materia: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA Deber N. 3: Variables Variables Aleatrias Dis!retas ". Si X es una variable aleatoria con función de distribución acumulativa: si x < 0 0
0.1 0.15 F ( x) = 0.40 0.65 0.85 1
si − 4 ≤ x < 1 si 1 ≤ x < 6 si 6 ≤ x < 9 si 9 ≤ x < 14 si 14 ≤ x < 20 si x ≥ 20
alle: a) !a func funció ión n de de "roba "robabi bili lida dad d de de X # b) !a $s"eran% $s"eran%aa & la 'arian%a rian%a de de X c) d) e) f)
P ( X
>
9)
P ( < X
<
1)
P ( X > X ≥ 12 )
P ( X > 8 X ≥ 4)
*na variabl variablee aleator aleatoria ia X tom toma solo solo los los valo valore ress 4# 6# a # con P ( X = 4) = 0.5 # P ( X = 6) = 0. # #. *na P ( X = a) = p . Si se sabe +ue la es"eran%a de X es i,ual a 8# -alle los valores de a & p 3. !a función de "robabilidad de una variable aleatoria discreta X est dada "or : 0.18 si x = −18 0.09 si x = − 0.15 si x = 4 p ( x) = 0.22 si x = 8 0.20 si x = 1 0.16 si x = 19 "ara otros valores de x 0 alle: a) !a func funció ión nd dee distr distribu ibuci ción ón de de X b) !a "robabil "robabilidad idad del del eve evento nto A : / X sea ma&or o i,ual a & menor +ue 12 P ( X ≥ 4 0 < X < 1) c) d) !a es" es"era eran% n%aa & la vari varian an%a %a de de X $. !a función de "robabilidad de una variable aleatoria discreta X est dada "or :
0.2 0.08 0.1 p ( x ) = 0. 0.15 0.1 alle:
si x = − si x = 0 si x = 2 si x = 5 si x = 8 si x = 12
2
a) !a función de distribución de X b) !a es"eran%a & la varian%a de X P ( −1 < X < 8)# P ( X ≥ X > 1) c) %. *na urna contiene 5 bolas blancas & ne,ras. Si se etraen bolas al mismo tiem"o & X re"resenta: 3$l nmero de bolas blancas3# -alle: a) !a función de "robabilidad & de distribución de X b) !a "robabilidad de +ue al menos 2 bolas sean blancas c) !a "robabilidad de +ue una de las bolas sea ne,ra &. $n cierto laboratorio se ofrecen 4 ti"os de emenes: el "rimero dura 20 minutos & es utili%ado el 45 de las veces el se,undo dura 0 minutos & es utili%ado el 25 de las veces el tercero dura 40 minutos & es utili%ado el 20 de las veces el cuarto dura 60 minutos & es utili%ado el 10 de las veces. 2 $l costo de los emenes est dado "or C ( X ) = 10.000 − X + 2 X (centavos de dólar)# donde X re"resenta el nmero de minutos em"leados en el eamen. a) alle la "robabilidad +ue "or un eamen se deba "a,ar entre 20.000 & 50.000 centavos b) alle el costo es"erado & la varian%a del costo
'. *na urna contiene 8 bolas ne,ras & 6 blancas. Si se van a sacar 4 bolas & la variable aleatoria X es: 37mero de bolas blancas obtenidas3# -alle la función de "robabilidad & la función de distribución de X si: a) Se sacan las 4 bolas con re"osición. b) Se sacan las 4 bolas sin re"osición (. !a "robabilidad de +ue el alumno a"ruebe un eamen es 0.6 & de +ue el alumno lo a"ruebe es 0.8. Si la variable aleatoria X es: 37mero de alumnos +ue a"rueban el eamen entre & 3# -alle: a) !as funciones de "robabilidad & de distribución de X b) !a "robabilidad de +ue al menos un alumno a"ruebe el eamen ). res art;culos # & < estn en el de"artamento de control. !a variable aleatoria X es: 37mero de art;culos declarados vlidos "ara la venta3 !a "robabilidad de +ue sea declarado vlido es 0.6 !a "robabilidad de +ue sea declarado vlido es 0. !a "robabilidad de +ue < sea declarado vlido es 0.5 =
"*. Si la variable X tiene como función de "robabilidad:
x 2 − k si x = 2##4#5#6 p ( x ) = 80 0 "ara otros valores alle: a) $l valor de k b) !a función de distribución de X c)
(
P 2.
<
X
<
5)
P ( X < 5.5 X > ) d) e) !a es"eran%a de X & la varian%a de X
"".
a) !a función de distribución de X : / 7mero de "acientes +ue el m?dico atiende "or d;a b) !a "robabilidad del evento A : /$l m?dico atienda en un d;a m;nimo "acientes & menos de 6 "acientes P ( X ≥ 5 < X < ) c) d) !as utilidades diarias es"eradas e) !a varian%a de X "#. $l laboratorio / uena Salud reali%a 15 emenes 18 de los d;as 20 emenes el 22 de los d;as 25 emenes el 2 de los d;as 0 emenes el 20 de los d;as 5 emenes el 10 de los d;as & 40 emenes el de los d;as .
!a variable X es: 3!a suma de los tres nmeros obtenidos en el intento3 ntes de iniciar el Gue,o# uno de los dos Gu,adores esco,e la o"ción 3 X "ar3 & el otro 3 X im"ar3. a) !a $m"resa le consulta a usted si el Gue,o es le,al es decir# si los dos Gu,adores tienen la misma "robabilidad de ,anar des"u?s de muc-os intentos b) alle el valor es"erado & la desviación estndar de la variable X "%. Se observó +ue el 40 de los ve-;culos +ue "asan determinado "uente son camiones comerciales.
