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Capítulo 40
Introducción a la física cuántica
proporcional a la intensidad. El haz incidente estaba constituido por rayos X monocromáticos de longitud de onda l0 ϭ 0.071 nm. Las gráficas experimentales de intensidad en función de la longitud de onda observadas obser vadas por Compton para cuatro ángulos de dispersión (correspondientes (correspo ndientes a u en la figura 40.13) aparecen en la figura 40.15. Las gráficas para los tres ángulos distintos de cero muestran dos picos, uno en l0 y el otro en lЈ Ͼ l0. El pico desplazado en lЈ está causado por la dispersión de los rayos X de los electrones libres, y Compton anticipó que dependería del ángulo de dispersión como sigue: Ecuación de desplazamiento Compton
ᮣ
Longitud de onda Compton
ᮣ
l
¿
h 1 1 m e c
l0
cos u 2 2
(40.11)
donde m e es la masa del electrón. Esta expresión se conoce como ecuación de desplazamiento Compton, y al factor h/m e ec c se se le conoce como longitud de onda Compton del electrón, el cual tiene un valor actualmente aceptado de lC
h m e e c
0.002 43 nm
El pico sin corrimiento en l0 de la figura 40.15 se genera por rayos X que son dispersados por causa de los electrones fuertemente unidos a los átomos blanco. Este pico sin corrimiento también está previsto por la ecuación 40.11 si la masa del electrón es reemplazada por la masa de un átomo de carbono, que es aproximadamente 23 000 veces la masa del electrón. Debido a eso, existe un corrimiento corrimien to de la longitud de onda debido a la dispersión a causa de un electrón unido a un átomo, pero es de una magnitud tan reducida que en el experimento de Compton no fue detectada. Las mediciones de Compton coincidieron extraordinariamente bien con las predicciones de la ecuación 40.11. Es justo decir que estos resultados ¡fueron los primeros que realmente convencieron a muchos físicos de la validez fundamental de la teoría cuántica! Pregunta rápida 40.5 Observe que para cualquier ángulo u de dispersión determinado, la ecuación 40.11 da el mismo valor para el corrimiento de Compton en cualquier longitud de onda. Teniendo presente lo anterior, ¿para cuál de los siguientes tipos de radiación es máximo el corrimiento fraccionario en la longitud de onda en un ángulo determinado de dispersión? a) Las ondas de radio, b) las microondas, c) la luz visible o d) los rayos X. d a d i s n e t n I
u ϭ 0Њ
Haz primario
d a d i s n e t n I
u ϭ
45Њ l
l0 lЈ d a d i s n e t n I
uϭ
l0 d a d t i s n e t n I
uϭ
l0
Es posible deducir la ecuación de corrimiento de Compton si supone que el fotón se comporta como una partícula y entra en colisión elástica con un electrón inicialmente en reposo, como se puede observar en la figura 40.13. El fotón es tratado como una partícula con una energía E energía E ϭ hƒ ϭ hc /l y una energía en reposo reposo igual a cero. cero. Se aplica un modelo de sistema aislado al fotón y al electrón. En el proceso de dispersión, la totalidad de la energía y la cantidad de movimiento lineal del sistema deben conservarse. Si aplica el principio de conservación de la energía a este proceso obtiene
l
l0
90Њ
135Њ
lЈ
l
Intensidad de rayos X desviados en función de la longitud de onda para la dispersión Compton en u ϭ 0Њ, 45Њ, 90Њ y 135Њ. Figura 40.15
hc
hc
l0
l
¿
K e e
siendo hc /l0 la energía del fotón incidente, hc /lЈ la energía del fotón disperso y K e la energía cinética del electrón con retroceso. Porque el electrón retrocede con una rapidez comparable a la rapidez de la luz, es necesario que use la expresión relativista K e ϭ (g Ϫ 1)m 1) m e e c 2 (ecuación 39.23). Por tanto,
l
lЈ
Deducción de la ecuación de desplazamiento Compton
donde g
1> 1 1
hc
hc
l0
l
¿
1 g g
1 2 m e c 2
(40.12)
1u 2> c 2 2 y y u u es es la rapidez del electrón.
A continuación, a esta colisión se le aplica la ley de la conservación de la cantidad de movimiento, observando que sus componentes en x x yy en y en y de de la cantidad de movimiento se conservan cada una de forma independiente. La ecuación 39.28 muestra que la cantidad de movimiento del fotón tiene una magnitud p magnitud p ϭ E /c , y se sabe por la ecuación 40.5 que E ϭ hƒ . Por lo tanto, p tanto, p ϭ hƒ /c . Si en esta expresión reemplaza lƒ ƒ por por c c (ecuación (ecuación 16.12)
Sección 40.4
Fotones y ondas electromagnéticas
1167
obtiene p ϭ h /l. Porque la expresión relativista para la cantidad de movimiento del electrón en retroceso es igual a p e ϭ g me v (ecuación 39.19), obtiene las siguientes expresiones para las componentes en x y en y de la cantidad de movimiento lineal, donde los ángulos son los descritos en la figura 40.13: componente en x : componente en y :
h
h
l0
l¿
0
h l¿
cos u
g m e u cos f
(40.13)
sen u
g m e u sen f
(40.14)
Al eliminar v y f de las ecuaciones 40.12 a 40.14, obtiene una sola expresión que relaciona las tres variables restantes (lЈ, l0 y u ). Después de un poco de álgebra (véase el problema 59) obtiene la ecuación (40.11).
EJEMPLO 40.4
Dispersión Compton a 45°
De un bloque de material se dispersan rayos X con longitud de onda l0 ϭ 0.200 000 nm. Los rayos X dispersados se observan en un ángulo de 45.0° con el haz incidente. Calcule su longitud de onda.
SOLUCIÓN Conceptualizar Imagine el proceso de la figura 40.13, con el fotón dispersado a 45° de su dirección original. Categorizar El resultado se evalúa con una ecuación desarrollada en esta sección, así que este ejemplo se clasifica como un problema de sustitución. 1 2 l ¿
Resuelva la ecuación 40.11 para la longitud de onda de los rayos X dispersados: Sustituya valores numéricos:
l¿
0.200 000
10
9
0.200 000
10
9
m m
l0
h 1 1
1 6.626 1 9.11
7.10
cos u 2 m e c
10 10
J # s 2 1 1
cos 45.0° 2
kg 2 1 3.00
108 m> s 2
34
10
31 13
m
0.200 710 nm
¿Qué pasaría si? ¿Y si el detector se mueve de modo que los rayos X dispersados se detectan a un ángulo mayor de 45°? ¿La longitud de onda de los rayos X dispersados aumenta o disminuye conforme aumenta el ángulo u ?
Respuesta En la ecuación 1), si el ángulo u aumenta, cos u disminuye. En consecuencia, el factor (1 Ϫ cos u ) aumenta. Por lo tanto, la longitud de onda dispersada aumenta. También se podía aplicar un argumento energético para lograr este mismo resultado. Conforme el ángulo de dispersión aumenta, más energía se transfiere del fotón incidente al electrón. Como resultado, la energía del fotón dispersado disminuye con ángulo de dispersión creciente. Porque E ϭ hf , la frecuencia del fotón dispersado disminuye, y porque l ϭ c / f , la longitud de onda aumenta.
40.4
Fotones y ondas electromagnéticas
Fenómenos como el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton representan una evidencia a prueba de fuego de que cuando la luz (y otras formas de radiación electromagnética) interactúa con la materia, se comporta como si estuviera compuesta de partículas con una energía hƒ y con una cantidad de movimiento h /l. ¿Cómo es posible considerar la luz como un fotón (en otras palabras como una partícula) cuando sabe que se trata de una onda? Por otra parte, la luz se describe en términos de fotones con cierta energía y cantidad de movimiento. También, por otra parte, la luz y otras ondas electromagnéticas exhiben efectos de interferencia y de difracción, que son entendibles sólo mediante una interpretación ondulatoria.