Definicion Formal Del Limite

La definición formal de límite En esta sección trataremos de ilustrar gráficamente el concepto de límite y su definición de finición formal. Analiza Analiza la siguiente animación y observa que sucede con los valores f(x) cuando x  se acerca a un número a.

Observa en la animación anterior que cuanto más cerca está  x del número a=1, los valores de la función están más cerca del número  L=2. De manera equivalente, para que los valores de la función estén cada vez más cerca del número  L=2, es necesario que los valores de  x estén suficientemente cerca del número a=1.

Definición formal de Límite: Lim f(x)=L,  x

si para todo >0 tal que |f(x)-L|<

a >0, existe un

cuando |x-a|< .

 Límites que no existen

A continuación damos dos ejemplos de un límite que no existe.

Distinto comportamiento por la izquierda y por la derecha El primer ejemplo se trata de una función discontinua definida por secciones. secciones. Investigaremos el valor de Lim

f(x) cuando x

1. Observa la siguiente animación.

Como viste, cuando x se acerca a 1, los valores de la función NO se acercan a un número. Cuando x se acerca a 1 por la izquierda, f(x) por la derecha, f(x)

2, y cuando x se acerca a 1

3. Por eso decimos que: Lim f(x) NO EXISTE  x

1

Comportamiento no acotado Investigaremos Investigaremos el límite de la función f(x)=1/x 2 con la siguiente animación.

Como habrás observado, conforme x se acerca a cero por ambos lados, los valores de la función crecen sin límite. Por lo tanto los valores de la función no se acercan a ningún número. Entonces, el límite no existe.