A. Definisi Metode Numerik Seringkali kita menjumpai suatu model matematis yang berbentuk persamaan baik dalam bentuk linier ataupun non-linier, sistem persamaan linier ataupun non-linier, differensial, integral maupun persamaan differensial biasa. Kemudian, untuk mencari penyelesaian dari model matematis tersebut dapat dilakukan secara analitis atau bukan analitis. Pada penyelesaian secara analitis, permasalahan matematika diselesaikan menggunakan teori atau metode dan analisa matematika yang ada sehingga hasil yang diperoleh adalah penyelesaian eksak. Sedangkan untuk penyelesaian bukan secara analitis, penyelesaian dari permasalahan matematika diperoleh dengan menggunakan metode pendekatan yang dikembangkan untuk menyelesaikan permasalahan matematika sehingga penyelesaian yang diperoleh adalah penyelesaian pendekatan. Metode pendekatan inilah yang yang kemudian dikenal sebagai metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan matematika yang sulit diperoleh penyelesaian eksaknya.
B. Bilangan Pendekatan dan Angka yang Berarti Pada operasi aritmatika yang dikenal, misalnya operasi pembagian, pembagian, kadang kala dihasilkan bilangan desimal tak hingga seperti
atau . Dalam perhitungan
pendekatan, bilangan-bilangan dibedakan antara bilangan yang eksak dan bilangan yang menyatakan nilai pendekatan. Bilangan seperti,
,
, , dan e
adalah bilangan bilangan eksak. Bilangan-bilangan Bilangan-bilangan 0,3334, 0,1429, 0,1429, 3.1416, dan 2.7183
adalah bilangan pendekatan dari , , , dan e. Angka yang berarti adalah angka
yang dapat digunakan dengan pasti atau dari digit 1, 2, 3, . . ., 9 dan 0 juga merupakan angka yang berarti kecuali jika 0 digunakan untuk menentukan letak titik desimal atau untuk mengisi tempat-tempat dari digit yang tidak diketahui atau dibuang.
C. Kesalahan Terdapat beberapa jenis error (kesalahan) yang biasa terjadi dalam
perhitungan numerik, yaitu absolute error, relative error, Round-off error, truncation error dan propogated error. Berikut ini penjelasan dari masing-masing keasalahan tersebut: 1. Absolute atau Relative Error Kesalahan mutlak dari suatu bilangan adalah nilai mutlak dari selisih antara nilai sebenarnya dengan suatu nilai pendekatan pada nilai sebenarnya.
Kesalahan relative adalah perbandingan antara kesalahan mutlak dengan nilai sebenarnya.
Sedangkan untuk persentase kesalahan adalah besarnya relative error dikalikan dengan 100%. 2. Round-off Error (Error Pembulatan) Error pembulatan adalah error yang terjadi akibat pembulatan suatu bilangan sampai pada beberapa digit tertentu. Misalkan sebuah kalkulator hanya mampu menampilkan bilangan sampai 10 angka di belakang koma. Untuk bilangan 1.534769123198, akan dibulatkan menjadi 1.5347691232 dan error yang didapat : Ea = 0.000000000002. 3. Truncation Error (Error Pemotongan) Truncation error merupakan error yang terjadi karena pemotongan dari
suatu deret tak hingga menjadi deret berhingga. Pendekatan yang sering dipakai pada penyelesaian numerik adalah deret Taylor. 4. Propagated Error (Error Penambatan) Propagated error merupakan error yang terjadi pada suatu algoritma yang agak rumit karena adanya operasi matematik. Misalnya penjumlahan dua
bilangan positif, sebelum dilakukan penjumlahan kita rubah bilangan menjadi bilangan floatingpoint dengan cara pemenggalan atau pembulatan.
pada saat kita melakukan operasi matematika.
jumlah bilangan floating-point
jumlah hasil pemenggalan atau pembulatan
Error absolute dari nilai eksak :
Error perambatan sebagai akibat konversi k e bilangan floating-point:
Dan akibat pembulatan muncul round-off error:
D. PERSAMAAN TAK LINIER
Solusi numerik dari persamaan
, dimana f(x) merupakan
persamaan tak linier dan dapat didifferensialkan sebanyak mungkin. Untuk dapat menentukan akar dari persamaan merupakan akar dari
. Sehingga, apabila ada t yang
, maka pasti
. Metode-metode yang dapat
digunakan adalah sebagai berikut: 1. Metode Biseksi Metode biseksi merupakan metode yang digunakan untuk menentukani akar-akar persamaan tak linier
melalui proses iterasi dengan
persamaan.
Nilai tengah dari internal tertutup
.
Maka terdapat 3 kemungkinan yang akan terjadi:
a.
, maka akar terletak antara
dan
b.
, maka akar terletak antara
dan
c. Jika
adalah akar dari dan jika yang terjadi (1),
maka
maka:
Misal:
dan
dan didapat
yang merupakan nilai tengah didapatkan
. Dan begitu seterusnya sampai
yang terkecil ( akurasi yang diinginkan ).
2. Metode Regula Falsi Metode Regula Falsi merupakan metode alternatif yang cukup efektif dibandingkan metode biseksi. Pada metode biseksi, menentukan nilai dengan melihat tanda dari
dan
dari pada
, yaitu dengan persamaan :
hanya
dan bukan dari hubungan
kedekatan. Regula falsi mempunyai cara tersendiri untuk memilih dekat ke
lebih
dan
Andaikan
a) Jika
dan
dan diberikan
,
berlainan tanda, maka ada tiga kemungkinan:
c) Jika
maka akar terletak antara
dan
maka
b) Jika
adalah akar.
dan
maka akar terletak antara
Proses ini berlanjut sampai diperoleh
yang terkecil.
3. Metode secant Metode regula falsi dapat dimodifikasi dalam beberapa cara dan yang paling populer adalah metode secant. Dan persamaan:
Pada metode secant tak perlu dicheck apakah
atau
seperti metode biseksi atau regula falsi. Proses ini
dilanjutkan sampai
4. Metode newton-Raphson Metode Newton-Raphson adalah suatu proses untuk mendapatkan akar dari persamaan f(x) =0, bila diberikan titik yang cukup dekat dengan akar yang diinginkan, dengan menggunakan persamaan:
Proses ini dilanjutkan sampai nilai
mendekati nilai nol atau
mendekati toleransi yang diinginkan. 5. Metode iterasi Metode iterasi (iterasi titik tetap) adalah metode yang digunakan untuk
menyelesaikan persamaan
dengan mengubah bentuk persamaan
menjadi
metode iterasi
. Persamaan tak linier
dapat diselesaikan dengan
jika dipenuhi syarat
dimana x0 adalah titik yang ditentukan pada saat akan melakukan iterasi. Proses iterasi ini dilakukan secara berulang dengan
E. INTERPOLASI 1. Interpolasi Polinomial Metode interpolasi yang sering digunakan adalah interpolasi polinomial. Persamaan polinomial adalah persamaan aljabar yang hanya mengandung jumlah dari variabel x berpangkat bilangan bulat (integer). Bentuk umum persamaan polinomial order n adalah: 2
f ( x) = a0 + a1 x + a2 x + « + an x
n
dengan a0, a1, a2, «, an adalah parameter yang akan dicari berdasarkan titik data, n adalah derajat (order) dari persamaan polinomial, dan x adalah variabel bebas. Untuk (n + 1) titik data, hanya terdapat satu atau kurang polinomial order n yang melalui semua titik. Di dalam operasi interpolasi ditentukan suatu persamaan polinomial order n yang melalui (n + 1) titik data, yang kemudian digunakan untuk menentukan suatu nilai diantara titik data tersebut. Pada polinomial berderajat satu, diperoleh bentuk interpolasi linier yang sudah banyak dikenal. Interpolasi linier memberikan hasil yang kurang teliti, sedang interpolasi polinomial dengan derajat lebih besar dari satu yang merupakan fungsi tidak linier memberikan hasil yang lebih baik. a. Interpolasi Linear Menentukan titik-titik antara dua buah titik dengan menggunakan pendekatan fungsi garis lurus.
Persamaan garis lurus yang melalui dua titik dan Sehingga diperoleh kemiringan garis lurus a dalah sebagai berikut:
.
Dan diperoleh persamaan dari interpolasi linear:
Atau jika ditulis dalam bentuk umum enjadi:
b. Interpolasi kuadratis Untuk mengurangi kesalahan yang terjadi, maka perkiraan dilakukan dengan menggunakan garis lengkung yang menghubungkan titik-titik data. Apabila terdapat tiga titik data, maka perkiraan dapat dilakukan dengan polinomial order dua. Untuk maksud tersebut persamaan polinomial order dua dapat ditulis dalam bentuk: f 2( x) = b0 + b1( x ± x0) + b2 ( x ± x0)( x ± x1 )
(6.3)
meskipun tampaknya persamaan (6.3) berbeda dengan persamaan (6.1), tetapi sebenarnya kedua persamaan adalah sama. Hal ini dapat ditunjukkan dengan mengalikan suku-suku persamaan (6.3) sehingga menjadi: f 2( x) = b0 + b1 x ± b1 x0 + b2 x2 + b2 x0 x1 ± b2 x x0 ± b2 x x1 atau 2
f 2( x) = a0 + a1 x + a2 x dengan
a0 = b0 ± b1 x0 + b2 x0 x1 a1 = b1 ± b2 x0 ± b2 x1 a2 = b2 terlihat bahwa persamaan (6.3) sama d engan persamaan (6.1). Selanjutnya
untuk
keperluan
interpolasi,
persamaan
polinomial
ditulisdalam bentuk persamaan (6.3). Berdasarkan titik data yang ada kemdian
dihitung koefisien b0, b1, dan b2. Berikut ini diberikan prosedur untuk menentukan nilai dari koefisien-koefisien tersebut. Koefisien b0 dapat dihitung dari persamaan (6.3), dengan memasukan
nilai
.
f ( x0 ) = bo + b1 ( xo ± x0 ) + b2 ( x0 ± x0) ( x0 ± x1 ) bo = f ( x0)
(6.4)
bila persamaan (6.4) disubstitusikan ke dalam persamaan (6.3), kemudian dimasukkan ke dalam nilai
.,
maka akan diperoleh koefisien
b1 : f ( x1 ) = f ( x0) + b1( x1 ± x0) + b2 ( x1 ± x0)( x1 ± x1) b1 =
f ( x1 ) f ( x0 )
(6.5)
x1 x0
bila persamaan (6.4) dan persamaan (6.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (6.3) dan nilai
f ( x2 ) = f ( x0) +
., maka akan diperoleh koefisien b 2:
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
b2( x2 ± x0 )( x2 ± x1 )
( x2 ± x0) + b2( x2 ± x0)( x2 ± x1)
= f ( x2) ± f ( x0 ) ±
= f ( x2) ± f ( x0 ) ±
= f ( x2) ± f ( x1 ) ±
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0 f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
[( x2 ± x1) + ( xx0 )]
( x2 ± x1 ) ± f ( x1)+ f ( x0 )
( x2 ± x1 )
atau f ( x2 ) f ( x1 ) b2 =
x1 x0
( x2 x1 )
( x2 x0 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) f ( x1 )
b2 =
f ( x1 ) f ( x0 )
x2 x1
f ( x1 ) f ( x0 )
x2 x0
x1 x0
(6.6)
Dengan memperhatikan persamaan (6.3), persamaan (6.4), persamaan (6.5) dan persamaan (6.6) terlihat bahwa dua suku pertama dari persamaan (6.3) adalah ekivalen dengan interpolasi linier dari titik x0 ke x1 seperti yang diberikan oleh persamaan (6.2). Sedangkan suku terakhir, b2( x ± x0 )( x ± x1) merupakan tambahan karena digunakannya kurve order 2. Koefisien b1 dan b2 dari interpolasi polinomial order 2 persamaan (6.5) dan persamaan (6.6) adalah mirip dengan bentuk beda hingga untuk turunan pertama dan kedua, dengan demikian penyelesaian interpolasi polinomial dapat dilakukan dengan menggunakan bentuk beda hingga. 2. Interpolasi Polinomial Newton Bentuk umum polinomial order n adalah: f n( x) = bo + b1( x ± x0) + « + bn( x ± x0)( x ± x1 ) ... ( x ± xn ± 1 ) (6.7) Seperti yang dilakukan interpolasi linier dan kuadrat, titik-titik data dapat dilakukan dengan evaluasi koefisien b0, b1, ..., bn. Untuk
polinomial
order n, diperlukan (n + 1) titik data x0, x1, x2, ..., xn. Dengan menggunakan titik-titik data tersebut, maka persamaan berikut digunakan untuk mengevaluasi koefisien b0, b1, ..., bn. b0 = f ( x0)
(6.8)
b1 = f [ x1, x0] (6.9) b2 = f [ x2, x1, x0]
(6.10)
/
bn = f [ xn, xn ± 1, ..., x2, x1, x0]
(6.11)
Dengan definisi fungsi berkurung ( [«.]) adalah pembagian beda hingga. Misalnya, pembagian beda hingga pertama adalah: f [ xi, x j ] =
f ( xi ) f ( x j ) xi x j
Pembagian beda hingga kedua adalah:
(6.12)
f [ xi, x j , xk ] =
f [ xi , x j ] f [ x j , xk ]
(6.13)
xi xk
Pembagian beda hingga ke n adalah: f [ xn, xn ± 1, ..., x2, x1, x0] =
f [ xn , xn 1 , ..., x1 ] f [ xn 1 , xn
2
, ..., x0 )
xn x0
(6.14)
Bentuk pembagian beda hingga tersebut dapat digunakan untuk mengevaluasi koefisien-koefisien dalam persamaan (6.8) sampai persamaan (6.11) yang kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (6.7) untuk mendapatkan interpolasi polinomial order n. f n( x) = f ( x0 ) + f [ x1, x0]( x ± x0 ) + f [ x2, x1, x0]( x ± x0)( x ± x1) + « + f [ xn, xn ± 1 , ..., x2, x1, x0]( x ± x0)( x ± x1) « ( x ± xn ± 1 ) (6.15) Persamaan (6.12) sampai persamaan (6.14) adalah berurutan, artinya pembagian beda yang lebih tinggi terdiri dari pembagian beda hingga yang lebih rendah, secara skematis bentuk yang berurutan tersebut ditunjukkan dalam Tabel 6.1. Tabel 6.1 langkah skematis pembagian beda hingga
3.
Interpolasi Polinomial Lagrange Interpolasi polinomial Lagrange hampir sama dengan polinomial
Newton, tetapi tidak menggunakan bentuk pembagian beda hingga. Interpolasi polinomial Lagrange dapat diturunkan dari persamaan Newton. Bentuk polinomial Newton order satu: f 1( x) = f ( x0 ) + ( x ± x0) f [ x1, x0]
(6.16)
Pembagian beda hingga yang ada dalam persamaan diatas mempunyai bentuk: f ( x1 )
f [ x1, x0] =
f [ x1, x0] =
f ( x0 )
x1 x 0 f ( x1 ) x1 x 0
f ( x 0 ) x 0
(6.17)
x1
Substitusi persamaan (6.17) ke dalam persamaan (6.16) memberikan: f 1( x) = f ( x0 ) +
x x0 x1 x0
f ( x1) +
x x0 x0 x1
f ( x0)
Dengan mengelompokkan suku-suku di ruas kanan maka persamaan diatas menjadi:
« x x1 f 1( x) = ¬ 0 - x0 x1
x x0 »
x x
0 f ( x1) ¼ f ( x0) + x0 x1 ½ x1 x0
atau f 1( x) =
x x1 x0 x1
f ( x0) +
x x0 x1 x0
f ( x1)
(6.18)
Persamaan (6.18) dikenal dengan interpolasi polinomial Lagrange order satu. Dengan prosedur diatas, untuk interpolasi order dua akan didapat: f 1( x) =
x x1 x x2 x0 x1 x0 x2
f ( x0 ) +
x x0
x x0 x x1 x2 f ( x1) + f ( x2) (6.19) x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1 x
Bentuk umum interpolasi polinomial Lagrange order n adalah: n
f n( x) = § Li ( x) f ( xi ) i
!
(6.20)
0
dengan n
Li ( x) = j 0 j i ! !
x x j xi x j
(6.21)
Simbol 4 merupakan perkalian. Dengan menggunakan persamaan (6.20) dan persamaan (6.21) dapat dihitung interpolasi Lagrange order yang lebih tinggi, misalnya untuk interpolasi Lagrange order 3, persamaan tersebut adalah:
3
f 3( x) = § Li ( x) f ( xi ) = L0( x) f ( x0) + L1( x) f ( x1) + L2( x) f ( x2) + L3( x) f ( x3) i
!
0
x x1 x x2 x x3 L0( x) = ( )( )( ) x0 x1 x0 x2 x0 x3 x x0 x x2 x x3 L1( x) = ( )( )( ) x1 x0 x1 x2 x1 x3 x x0 x x1 x x3 L2( x) = ( )( )( ) x2 x0 x2 x1 x2 x3 x x0 x x1 x x2 L3( x) = ( )( )( ) x3 x0 x3 x1 x3 x2 Sehingga bentuk interpolasi polinomial Lagrange order 3 adalah: x x1 x x2 x x3 f 3( x) = ( )( )( ) f ( x0 ) + x0 x1 x0 x2 x0 x3
x x0 x x2 x x3 ( )( )( ) f ( x1 ) + x1 x0 x1 x2 x1 x3
x x0 x x1 x x3 x x0 x x1 x x2 ( )( )( ) f ( x2) + ( )( )( ) f ( x3 ) x2 x0 x2 x1 x2 x3 x3 x0 x3 x1 x3 x2 (6.22)
Soal-soal: 1. Sebuah pabrik roti memproduksi tiga jenis roti yaitu jenis 1,2 dan 3. Pada pembuatan ketiga jenis roti ini diperlukan tepung gandum, gula, dan ragi. Keperluan tersebut dirinci dalam tabel berikut ini: Jenis roti/bahan baku
Tepung gandum
Tepung terigu
Ragi
Jenis 1
1 kg
2 kg
1 gr
Jenis 2
0,5 kg
1 kg
1 gr
Jenis 3
2 kg
1 kg
2 gr
kapasitas
110 kg
85 kg
145 gr
Hitunglah Berapa jumlah roti jenis 1,2 dan 3 yang dapat dibuat? 2. Sebuah industri pakaian memproduksi 3 jenis pakaian. Pakaian jenis 1 memerlukan 1 m kain polos, 1 m kain berwarna dan 1 jam mesin bekerja. Pakaian jenis 2 memerlukan 2 m kain polos, 1 m kaian berwarna dan 3 jam mesin bekerja. Pakaian jenis 3 memerlukan 3 m kain polos, 3 m kain berwarna dan 1 jam mesin bekerja. T entukan jumlah pakaian yang dapat dibuat per minggu jika tersedia 35 m kain polos, 55m kain berwarna dan mesin hanya dapat bekerja selama 95 jam dalam waktu s eminggu?