Deformación de barras curvas Las deformaciones de una pieza curva se calculan c alculan corrientemente por el teorema de Castigliano. Los casos sencillos son aquellos en que las dimensiones de la sección recta de la barra son pequeños comparados, con el radio de curvatura de su línea media (dimensiones de la sección transversales son pequeñas). La energía de deformación por flexión vale
Donde la integración se extiende a la longitud total s de la pieza. La flecha del punto de aplicación de cualquier carga P, que actúa sobre la barra, en la dirección de la carga es:
Como ejemplo, estudiaremos el caso de una pieza curva de sección uniforme, cuya línea media sea un cuadrante (figura 57). El extremo A está empotrado y la tangente en él vertical y el otro extremo está solicitado por la carga vertical P. vertical P. El momento flector en una sección general m-n es Al = P.R cos Φ. Sustituyendo en la ecuación (83), el corrimiento vertical del punto B punto B será
Si se quiete conocer el corrimiento horizontal del punto B. se introduce la carga ficticia Q representada de trazos en la figura. Entonces
El
corrimiento horizontal es
En la expresión de M debió hacerse Q = 0, .Y se obtuvo, finalmente.
Ani ll o delgado : Anillo circular delgado sometido a la acción de dos fuerzas P iguales y opuestas, actuando en los extremos del diámetro vertical (fíg. 58). Debido a la simetría basta considerar el cuadrante del anillo de la figura 58, Y puede deducirse que en la
sección m-n la, fuerza P extensora vale y no existe fuerza cortante. El valor del momento Mo en esta sección es una, magnitud hiperestática que puede encontrarse mediante primer teorema de Castigliano. Por simetría, el desplazamiento correspondiente a Mo nulo, luego:
Donde U es la energía de deformación correspondiente. El momento flector vale
:
Sustituyendo estos valores en la expresión (83) de la energía potencial y utilizando la ecuación (a) Tendremos
Sustituyendo en la ecuación (b),
El momento flector para cualquier sección del anillo puede calcularse por esta expresión
El signo menos indica que el momento flector en los puntos de aplicación de las fuerzas P tiende a aumentar la curvatura, mientras que el momento Mo de la sección m-n tiende a disminuir la curvatura del anillo. La forma del anillo después de la flexión es la indicada de trazos en la figura. El incremento del diámetro vertical del anillo s e obtiene aplicando el teorema de Castíglíano. La energía de deformación almacenada en la totalidad del anillo es
donde M viene dado por la ecuación (c) , luego:
Para calcular el acortamiento del diámetro horizontal en el anillo de la figura 58, se introducen las dos fuerzas ficticias Q, iguales y opuestas, aplicadas en los extremos del diámetro horizontal. Calculando el valor de
Se encuentra que el acortamiento de dicho diámetro e.
: cuando las dimensiones de la sección recta de una pieza curva no son Ani ll o gru eso pequeñas comparadas con el radio de su línea media, es necesario tener en cuenta no solamente la, energía de deformación por flexión, sino también la debida a las fuerzas longitudinales y cortantes. El giro angular entre dos secciones a dyacentes (figura 59) vale, en este caso (ecuación 65)
Y la energía de deformación elemental debida a la flexión es
La fuerza longitudinal produce un alargamiento del elemento comprendido entre dos secciones adyacentes en la dirección de la línea media de la barra igual a el ángulo
en
su aplicación es
y aumenta,
(ecuación 68), El trabajo suministrado por las fuerzas N durante Durante la aplicación de las fuerzas N, los pares M realizan un
trabajo negativo Por consiguiente, la energía total almacenada por el elemento durante la aplicación de las fuerzas N es
La energía de deformación correspondiente es
Sumando (d), (e) y U e integrando a lo largo de la pieza, se tiene para la energía de deformación total de la barra la expresión siguiente:
Volvamos ahora al problema representado por la figura 57 Y consideremos la expresión completa de la energía de deformación (ecuación 88). Tomando como positivos los sentidos indicados en la figura 59, se obtiene
Donde R es el radio de la línea media. Sustituyendo en 11),ecuación (88) y aplicando el teorema de Castigliano, el corrimiento vertical del punto B será
Si la sección de la barra es un rectángulo de anchura b y altura, h, empleando para e el valor aproximado (71) y tomando
La fatiga máxima de extensión acontece en el intradós y en las secciones perpendiculares al eje de la llana; su valor viene dado por la fórmula
Donde P es la fuerza extensora total transmitida por la barra, α es un factor numérico
dependiente de la relación r.
