Demostraciones. ¿Qué es una demostración?
Hipótesis.
Conclusión.
Métodos Deductivos de demostración. Según el sistema aristotélico,el método deductivo es un proceso que parte de un conocimiento general, y arriba a uno particular. La aplicación del método deductivo nos lleva a un conocimiento con grado de certeza absoluta, y esta cimentado en proposiciones llamadas SILOGISMOS SILOGISMOS..
He aquí un ejemplo: bellas ” , (Este es el conocimiento general) “Todos las venezolanas son bellas” “Marta Colomina es venezolana” venezolana ”
luego: bella ” “Marta Colomina es bella”
Se puede observar que partiendo de dos premisas, una de las cuales es una hipótesis general se llega a una conclusión particular. particular. También es de hacer notar que en este ejemplo las premisas pueden ser verdaderas o pueden ser falsas, y por consiguientee la conclusión puede ser igualmente verdadera o falsa. consiguient
En la lógica formal y sobre todo en el universo matemático, el proceso deductivo tiene un significado un poco diferente, pues esta basado en AXIOMAS,, o proposicio AXIOMAS proposiciones nes que son verdaderas por definición. definición .
Por ejemplo, un axioma es: “EL TODO ES MAYOR QUE LA PARTE” PARTE” , otro axioma es “DOS COSAS IGUALES A UNA TERCERA SON IGUALES ENTRE SI”. SI” . El primer axioma define el concepto de MAYOR , y el segundo el concepto de IGUAL.. IGUAL El método deductivo nos permite partir de un conjunto de hipótesis y llegar a una conclusión, pudiendo ser esta inclusive que el conjunto de hipótesis sea invalido. Generalmente, en matemáticas, la deducción es un proceso concatenado del tipo "si A entonces B, si B entonces C, si C entonces D..." hasta llegar a una conclusión.
Al conjunto de HIPOTESIS + DEMOSTRACION + CONCLUSI ÖN se denomina TEOREMA .
La práctica de los razonamientos deductivos en el proceso de desarrollo del pensamiento lógico matemático es muy importante. Constituye una herramienta fundamental para el trabajo en la matemática y otras ciencias..
Demostración por el método directo. Si tomamos una frase lógica condicional sencilla del tipo: P⇒Q
Que podemos analizar como “ si se cumple P entonces se cumple Q” , esto lo hacemos de forma natural sin complicarnos en hacer análisis mas intensivos o mas extensivos pues lo hacemos de una forma innata. Si decimos: “El cielo esta encapotado, va a llover” estamos realizando una asociación asociación de causa y efecto. En la cual “el cielo esta encapotado” es la causa y el efecto lógico es que, “va a llover”. Desde el punto de vista de la lógica esta relación es irrevocable. irrevocable. Así mismo en una relación matemática se puede verificaresta sencilla sencilla relación en la cual si se cumple la premisa P entonces se puede decir que se cumplira la consecuencia Q. A este proceso formal se le denomina “demostración “demostración mediante el método directo” directo” es innecesario decir que si no se cumple o verifica P entoces su consecuencia consecuencia tampoco se verificará. P
¬
Q
⇒ ¬
Supóngase que P ⇒ Q es una tautología, tautología, en donde P y Q pueden ser proposiciones proposicion es compuestas, en las que intervenga intervengan n cualquier número de variables propositivas, se dice que q se desprende lógicamente de p. p.
Supóngase una implicación de la forma.
(P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧...∧ Pn) ⇒ Q Es una tautología. Entonces está implicación implicación es verdadera v erdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componentes. componentes. En este caso, se dice que q se desprende lógicamente lógicamen te de P1,P2,......,Pn P1,P2,......,Pn.. Se escribe. El camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el método directo. directo . Significa que sí se sabe que P1 es verdadera, P2 es verdadera,...... y Pn también es verdadera, entonces se sabe que Q es verdadera. La mayoría de los teoremas matemáticos cumplen con esta estructura básica:
(P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧...∧ Pn) ⇒ Q Donde las Pi condiciones son llamadas hipótesis o premisas, y Q es la conclusión. “Demostrar un teorema” teorema” es demostrar que la condicional es una tautología. tautología . Ojo, no se pide demostrar que la conclusión es verdadera, lo que se quiere es demostrar que Q es verdadera siempre y cuando todas las Pi condiciones son verdaderas. En conclusión podemos decir que: Cualquier demostración, sea de enunciados o matemática debe: a. Comenz Comenzar ar con con las las hipó hipótes tesis. is. b. Debe seguir seguir con con las tautologías y reglas reglas de inferencias necesarias para... c. Lleg Llegar ar a la con concl clus usió ión. n.
A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto de las tautologías como de las reglas de inferencia. Sean p: Trabajo.
q: Ahorro. r: Compraré una casa. s: Podré guardar el automóvil en mi casa.
Analizar el siguiente argumento argumento:: "Si trabajo y ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro".
El enunciado anterior se puede representar como:
p ∧ q ⇒ r;
y
r ⇒ s; entonces
s' ⇒ q'
Equivale también a probar el siguiente teorema:
[(p ∧ q) ⇒ r] ∧ [r ⇒ s]; [s' ⇒ q']
Como se trata de probar un teorema de la forma general:
p1 ∧ p2 ∧......∧ pn entonces q
Se aplica el procedimie procedimiento nto general para demostración de enunciados válidos. A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.
1.2.-
(p ∧ q) ⇒ r r
⇒
s
Hipótesis Hipótesis
3.-
p⇒q
Silogismo Hipotéti Hipotético co
4.5.-
q ⇒ r q⇒s
Silogismo Hipotético
6.-
¬
s ⇒ ¬q
Conclusión.
