Cálculo de la densidad de una rondana. Francisco Páez Larios. Facultad de Ciencias. Universidad Nacional Autónoma de México.
Resumen. Con un tornillo micrométrico, un calibrador tipo vernier y una balanza, se midieron la masa y las dimensiones de una rondana metálica; Al realizar el cociente de estos datos se obtuvo que la densidad de la rondana es de 7.415(0.065)g/cm3 1. Intr Introdu oducc cción ión.. Una propiedad de los sólidos, líquidos y gases, es la medida de compactibilidad de materia, es decir, la densidad. La densidad R de un objeto se define como su masa por unidad de volumen. Si el material es como el hierro o el hielo, su densidad es la misma en todo el material. mater ial.
!
m =
V ec .(1)
Donde P es la densidad, m la masa y V el volumen. En el sistema internacional de unidades (SI),la densidad se expresa en kilogramo por metro cubico (kg/m3). 2. Desarrol Desarrollo lo experimen experimental tal.. Con un tornillo micrométrico de resolución de 1x10-5m, se midió el espesor de una rondana, debido a que ésta podía no ser simétrica este proceso se realizó diez veces. Para obtener el diámetro interior y exterior de la rondana, se usó un calibrador tipo vernier cuya resolución es de 5x10 -5m, para tener en cuenta las variaciones que éstos diámetros pudieran tener, cada uno se midió 10 veces desde distintas posiciones. La masa de la rondana se midió con una balanza de resolución 0.1g. 3. Result Resultados ados.. Las tablas: 1, 2, 3 muestran muestran los lo s resultados de la longitud obtenida ob tenida de el espesor, espesor, diámetro interno y diámetro externo de la rondana respectivamente. La masa de la rondana fue de 5.5(0.1)g Espesor (mm).
Diámetro exterior (cm)
Diámetro interno (cm)
1.5
2.99
1.600
1.49
2.965
1.610
1.51
2.970
1.600
1.5
3.090
1.620
1.5
2.980
1.615
1.5
2.970
1.625
1.49
2.985
1.635
1.49
2.990
1.620
1.49
2.970
1.600
1.51
2.995
1.615
4. Discusión. A partir de la definición y de los dimensiones conocidas, la densidad de la rondana queda dada por la siguiente expresión:
! (s, e, i, m )
m
=
m
=
V
*# e & 2 # i & 2 ) % ( / s " , % ( +$ 2 ' $ 2 ' .
ec .(2)
donde s, e, i, m son el espesor, el diámetro externo, el diámetro interno y la masa de la rondana respectivamente. Al evaluar esta función con la media de los resultados obtenido para cada variable, la densidad de la rondana resulta de 7.415(0.065)g/cm3 5. Calculo de incer tidumbres. En el experimento, en las medidas de el espesor, el diámetro externo y en el interno, se tienen variaciones de tipo estadístico, lo que causa una incertidumbre tipo A, definida como la desviación estándar de la media. Por otra parte tenemos incertidumbre tipo B, generada por la resolución del instrumento de medición. Para tomar en cuenta éstos dos tipos de incertidumbre, se hace huso de la incertidumbre combinada(ec.3), denotada por uc. 2
uc ( x ) =
2
u A ( x ) + u B ( x )
ec .(3)
De esto se sigue que la incertidumbre combinada para el espesor uc(s), diámetro externo uc(e), diámetro interno uc(i) y masa uc(m) sea respectivamente: 2
2
2
2
2
2
uc ( s )
=
u A ( s ) + u B ( s )
u c ( e)
=
u A (e) + u B (e)
uc (i )
=
u A (i ) + u B (i )
uc ( m ) =
2
= 0.01mm = 0.001cmec .(4)
=
=
0.12 mm = 0.012 cmec .(5)
0.06 mm = 0.006 cmec.(6)
2
u A ( m ) + u B ( m ) = 0.1gec .(7)
La densidad de ésta rondana, es una función, que depende de cuatro distintas variables, por ello para el cálculo correcto de su incertidumbre se hizo uso de la ley de propagación de la incertidumbre(ec.8).
u ( f )
=
2
" ! f % 2 ()u c ( xi )*+ , $ ' i 1 # ! xi & ec .(8) n
=
Aplicando esta ley al cálculo de la incertidumbre del experimento resulta:
2
$ $ $ + e ' ' i ' . ' $ $ ' & " & m & # -& ) * & ) 0 s ) ) ) & &% % ,% 2 ( % 2 ( / ( ) ( ) 2 ) + . u ( x )/ 11 && , " x ) ) & ) &% ( *1
2
2
n
!)
u(
=
c
i
i
i
=
ec .(9 )
Desarrollando: *1 ' 2 *1 ' 2 $ $ $ + e 2 2 $ 2 2 ' $ $ +$ e ' $ i ' . ' ' i ' . ' $ ' $ & " & m & # -& ) * & ) 0 s ) ) ) & " & m & # -& ) * & ) 0 e) ) ) % ( % ( 2 / ( ) ) & &% % , 2 & % ,% 2 ( % 2 ( / ( ) & % ) 2 ( ( 2 2 & ) +,u ( s )/. + & u (! ) = ) +,u (e)/. s " & " e ) & ) & ) & ) &% ) & ) ( % ( c
c
*1 ' 2 *1 ' 2 $ $ $ + e 2 2 $ 2 2 ' $ $ +$ e ' $ i ' . ' ' i ' . ' $ ' $ & " & m & # -& ) * & ) 0 e) ) ) & " & m & # -& ) * & ) 0 e) ) ) % ( % ( 2 / ( ) ) & &% % , 2 & &% % ,% 2 ( % 2 ( / ( ) ) 2 ( ( 2 & ) +,u (i ) /. + & + ) +,u ( m )/. " i & " m ) & ) & ) & ) &% ) &% ) ( ( c
c
De aquí se sigue que:
2
u
2
(! ) =
2
2 2 # & e i # & 2 4 # & " s ) %$ %$ 2 ( ' %$ 2 ( ' ( '
2 2
+
2
m uc ( s )
+
2
"
2
s
2
4
# # e & # i & & ) ( ( % 2 ( %$ $ ' %$ 2 ' ' 2
2
2
2
m i u c (i ) 4
# i & & # 2 2 # e & " s ) %$ %$ 2 ( ' %$ 2 ( ' ( ' 2
2
m e u c ( e)
2
uc ( m )
+ "
2
s
2
4
# # e & # i & & ) %$ %$ 2 ( ' %$ 2 ( ' ( ' 2
2
ec .(11)
ec.(10)
Evaluando en la ec.(11) las incertidumbres correspondientes y la media de las variables se tiene que: u
2
(! ) 0.004299
g
2
=
cm
6
" # u (! )
=
0.065
g cm
3
6. Conclusión. Se obtuvo una densidad para la rondana de 7.415(0.065)g/cm 3 , esta incertidumbre representa el 0.87% del valor obtenido por lo que el resultado es aceptable. 7. Bibliografía. • J. Miranda, Evaluación de la Incertidumbre en Datos Experimentales (Instituto de Física, UNAM, México, 2000). • R. Resnick y D. Halliday, Física, volumen I, 3ª edición (compañía editorial continental, México, D.F. 1993). • http://www.uia.mx/campus/publicaciones/fisica/pdf/12Mecanicadefluidos.pdf