BAB 3 RELASI REKRUSIF 3.4 DERANGEMEN (PENGACAKAN) 3.5 SISTEM RELASI REKRUSIF 3.6 RELASI REKRUSIF MELIBATKAN KONVOLUSI MATA KULIAH MATEMATIKA DISKRIT DOSEN: Prof. DR. USMAN MULBAR
Oleh Kelompok 5: 1. NIKA NIKA FETRI FETRIA A TRIS TRISNA NAW WATI . RA!M RA!MA ATULLA ULLA! ! ARS ARS" "AD
PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR PENDIDIKAN PENDIDI KAN MATEMATIKA MATEMATIKA 205
A. DERANGEMENT (PENGACAKAN)
Der#$%eme$& #'#l#h perm(&#)* o+,ek-o+,ek '*m#$# &*'#k #'# o+,ek /#$% me$emp#&* &emp#& #)l*$/#. 0o$&oh : 12 #&#( 21 #'#l#h Der#$%eme$& '#r* 12 #k#$ &e&#p* 12 +(k#$ Der#$%eme$& '#r* 12 )e+#+ '#l#m 12 eleme$& 2 me$emp#&* po)*)*$/# )em(l# 3po)*)* ke 24. Be%*&( ,(%# 21 +(k#$ 'er#$%eme$& '#r* 12 )e+#+ eleme$ me$emp#&* po)*)*$/# )em(l#. M('#h '*)el*'*k* +#h# h#$/# &er'#p#& 6 'er#$%eme$& '#r* 17 /#*&( 1 '#$ 1. A'# +er#p# 'er#$%eme$& '#r* 1258 Se9#r# (m(m k*&# &er&#r*k 'e$%#$ perm#)#l#h#$ +er*k(&: Misalkan Dn menyatakan banyaknya derangement dari n elemen. Berapakah Dn? U$&(k me$,##+ per&#$/##$ *$* per&#m#-&#m# #k#$ '*9#r* h(+($%#$ rekr()*f ($&(k D$ '#$ )el#$,(&$/# k*&# #k#$ )ele)#*k#$ h(+($%#$ rekr()*f &er)e+(& 'e$%#$ f($%)* pem+#$%k*& ek)po$e$)*#l. S*f#&-)*f#& Der#$%eme$& : D$ 3$ - 14 3D$ - 1 ; D$ - 4 ($&(k $ < • D$ $D$-1 ; 3-14$ ($&(k $ < 1 • 1. Rel#)* Rekr()*f U$&(k D$ K#re$# h#$/# #'# )#&( perm(&#)* &#$p# eleme$& m#k# D = 1. U$&(k $ 1 D 1 = )e+#+ &*'#k #'# perm(&#)* 'e$%#$ )#&( eleme$ '*m#$# eleme$ *&( &*'#k me$emp#&* &emp#&$/# )em(l#. U$&(k $ '*peroleh D 1 )e+#+ h#$/# #'# )#&( perm(&#)* '(# eleme$ '* m#$# )e&*#p eleme$ &*'#k me$emp#&* &emp#&$/# )em(l# 31 #'#l#h )#&()#&($/# Der#$%eme$& '#r* 14. U$&(k $ < k*&# peroleh rel#)* rekr()*f D$ )e+#%#* +er*k(& : *. P#$'#$% )e+(#h eleme$ )e+#r#$% '#r* $ eleme$ /#$% #'#. T#$p# me$%h*l#$%k#$ ke(m(m#$ m*)#l eleme$ *&( #'#l#h eleme$ $ 3eleme$ 'e$%#$ l#+el $4. K#re$# eleme$ $ &*'#k +oleh me$emp#&* po)*)* ke $7 m#k# &er'#p#& $-1 kem($%k*$#$ po)*)* '#r* eleme$ *$* /#*&( m($%k*$ p#'# po)*)* ke-1 #&#( **.
ke- #&#( ke-... ke-3$-14. T#$p# me$%h*l#$%k#$ ke(m(m#$ m*)#l elelme$ $ *$* me$emp#&* po)*)* ke 1. Sek#r#$% #'# '(# kem($%k*$#$ po)*)* '#r* eleme$ 1. Eleme$ 1 m($%k*$ me$emp#&* po)*)* ke $ #&#( m($%k*$ &*'#k.
K!"#" . E$%&%' &%'%&!* +"*"* ,% '
Eleme$ $. . . ... . 1 Po)*)* ke 12 ... $-1 $ Sek#r#$% k*&# memp($/#* $- eleme$ /#*&( eleme$: ... $-1 /#$% h#r() )e,#,#r )e'*m*k*#$ )eh*$%%# )e&*#p eleme$ *$* &*'#k +oleh me$emp#&* &emp#&$/# )em(l# : #r&*$/#
eleme$ * &*'#k +oleh p#'# po)*)* ke * ($&(k > * > $-1. I$* +*)# '*l#k(k#$ 'e$%#$ D $- 9#r#. K!"#" 2. E$%&%' *-!, &%'%&!* +"*"* ,% ' Eleme$ $. . . ... . 3&'k 14 Po)*)* ke 12 ... $-1 $ D#l#m k#)() *$* k*&# memp($/#* $-1 eleme$ /#*&( eleme$-eleme$ 1 ... $-1 /#$% h#r() '*,#,#r )e'*m*k*#$ )eh*$%%# eleme$ 1 &*'#k p#'# po)*)* ke-$ eleme$ &*'#k +er#p# p#'# po)*)* ke- eleme$ &*'#k p#'# po)*)* ke- '#$ )e&er()$/# eleme$ $-1 &*'#k p#'# po)*)* ke-3$-14. I$* '#p#& '*l#k(k#$ 'e$%#$ D $-1 0#r#. ?#'* +#$/#$/# 'er#$%eme$& '#r* $ eleme$ '*m#$# $ eleme$ me$emp#&* po)*)* ke 1 #'#l#h D $- ; D$-1. Tel#h '*)e+(& p#'# +#%*#$ 3*4 +#h# #'# $-1 kem($%k*$#$ po)*)* '#r* eleme$ $. Seh*$%%# ($&(k $ < '*peroleh h(+($%#$ D$ 3$-143 D $-1 ; D$- 4 Per)#m##$ *$* '*&(l*) )e+#%#* +er*k(& D$ $D $-1 - D$-1 . ; 3$-14 D $- Ek*@#le$ 'e$%#$ D$ - $D$ - 3D$-1 - 3$-143D$-4 3A.14 M*)#lk#$ #$ D$ - D$-1 m#k# 3A.14. me$,#'* #$ - #$-1 3$ < 4 K#re$# #1 D1 D= =-1 -1 M#k# # -#1 1 # -# -1 ... $ #$ -314 $ <1 De$%#$ 'em*k*#$ rel#)* rekr()*f ($&(k D $ #'#l#h )e+#%#* +er*k(& D= 17 D$ $D$ ; 3-14$ $ < 1. . Me$9#r* Form(l# U$&(k D$ D*#&#) &el#h '*&($,(kk#$ +#h# ($&(k $ < 1 +erl#k( h(+($%#$ D$ $D$ ; 3-14$ 3A.4 K*&# #k#$ )ele)#*k#$ rel#)* rekr()*f *$* 'e$%#$ f($%)* pem+#$%k*& ek)po$e$)*#l. U$&(k *&( k*&# m*)#lk#$ ∞
n
x P ( x )= D n n! n=0
∑ n
K#l*k#$ ke'(# r(#) '#r* 3A.4 'e$%#$
x n!
'#$ '*#m+*l )*%m#$/#C ($&(k $ < 1
'*peroleh. ∞
n
∞
n
∞
n
x x n x D n = n Dn−1 + (−1 ) ( A .3 ) n! n ! n ! n=1 n= 1 n =1
∑
∑
∑
R(#) k*r* '#r* 3A.4 '#p#& '*&(l*) )e+#%#* +er*k(&:
∞
∞
n
n
0
x x x = D n − D0 Dn n! n=0 n! 0! n=1
∑
∑
P34 1 S(k( per&#m# r(#) k#$#$ 3.2.4 #'#l#h ∞ ∞ n n− 1 x x nD n−1 =× D n−1 = xP ( x ) (n −1) ! n! n=1 n= 1
∑
∑
S(k( ke'(# r(#) k#$#$ per)#m##$ 3.2.4 #'#l#h : ∞
(−1 ) ∑ =
n
n 1
∞
n
(− x ) x = n ! n= 0 n ! n
∑
−1=e− x −1
Seh*$%%# 3.2.4 '#p#& '*&(l*) )e+#%#* +#er*k(&: P34 1 P34 ; e - 1 Ek(*@#le$ 'e$%#$ − x
e
P34
1
− x
K#re$# − x
e
∞
=∑ n =0
(− x )n n!
= dan
∞
1 1
− x
=∑ x n n= 0
M#k# x
n
∞
¿ ∑ = n
0
∞
P ( x )=(
(− x )
∑ = n
n
n
n!
0
)¿
(−1 ) k
∑ =
k!
k 0
(¿) x n ( rumus konvolusi ) ∞
¿∑ ¿ n= 0
n
(−1 )k
∑ = k
k!
0
n
x n ! (¿) n! ∞
¿∑ ¿ n= 0
De$%#$ 'em*k*#$ n
D n=n !
∑ = k
0
(−1 )k k!
{
¿ n ! 1−
1 1!
+
1 2!
−
1 3!
+ … + ( −1 ) n
1
n!
}
, n ≥ 0.
0ATATAN: K#l#( k*&# 9o+# me$/ele)#*k#$ rel#)* rekr()*f ($&(k D $ *$* 'e$%#$ f($%)* pem+#$%k*& +*#)# m#k# k*&# #k#$ &er+e$&(r 'e$%#$ per)#m##$ 'efere$)*#l /#$% &*'#k m('#h ($&(k '*pe9#hk#$ B. SISTEM RELASI REKRUSIF
A'#k#l#$/# )(#&( perm#)#l#h#$ '#p#& '*mo'elk#$ ke '#l#m +e$&(k )*)&em rekr()*f. S*)&em rekr()*f mel*+#&k#$ p#l*$% )e'*k*& '(# rekr()*f /#$% )#l*$% &erk#*& )#&( )#m# l#*$$/#. Se+#%#* *l()&r#)* *k(&* (r#*#$ +er*k(&. M*)#l #$ me$/#&#k#$ +#$/#k$/# +#r*)#$ $-#$%k# /#$% mem(#& =C )e+#$/#k %e$#p '#$ 1C )e+#$/#k %e$#p7 + $ me$/#&#k#$ +#$/#k$/# +#r*)#$ +*$#*r $-#$%k# /#$% mem(#& =C )e+#$/#k %e$#p '#$ 1C )e+#$/#k %#$,*l7 9 $ #'#l#h +#$/#k$/# +#r*)#$ +*$#*r $-#$%k# /#$% mem(#& =C )e+#$/#k %#$,*l '#$ 1C )e+#$/#k %e$#p7 '#$ ' $ #'#l#h +#$/#k$/# +#r*)#$ +*$#*r $-#$%k# /#$% mem(#& =C )e+#$/#k %#$,*l '#$ 1C )e+#$/#k %#$,*l. K#re$# )e&*#p +#r*)#$ +*$#*r $-#$%k# /#$% mem(#& =C )e+#$/#k %e$#p '#$ 1C )e+#$/#k %e$#p '#p#& '*peroleh '#r* )e+(#h +#r*)#$ +*$#*r 3$-14-#$%k# /#$% mem(#& C=C )e+#$/#k %e$#p '#$ 1C )e+#$/#k %#$,*l '#$ 1C )e+#$/#k %#$,*l 'e$%#$ me$#m+#hme$/*)*pk#$ )e+(#h '*%*& 1C7 #&#( )e+#$/#k %#$,*l '#$ 1C )e+#$/#k %e$#p 'e$%#$ me$#m+#hme$/*)*pk#$ )e+(#h '*%*& =C m#k# '*peroleh h(+($%#$ )e+#%#* +er*k(&: #$ +$-1 ; 9$-1 $ < 1 Be%*&( p(l# )e&*#p +#r*)#$ +*$#*r $-#$%k# /#$% mem(#& =C )e+#$/#k %e$#p '#$ 1C )e$/#k %#$,*l '#p#& '*peroleh '#r*: )e+(#h +#r*)#$ +*$#*r 3$-14 #$%k# /#$% mem(#& =C )e+#$/#k %e$#p '#$1C )e+#$/#k %e$#p 'e$%#$ me$/*)*pk#$ )e+(#h '*%*& 1C7 #&#( )e+(#h +#r*)#$ +*$#*r 3$-14-#$%k# /#$% mem(#& =C )e+#$/#k %#$,*l '#$ 1C )e+#$/#k %#$,*l 'e$%#$ me$/*)*pk#$ )e+(#h '*%*& =C. Seh*$%%# '*eperoleh h(+($%#$ )e+#%#* +er*k(& +$ #$-1 ; '$-1 $ < 1 De$%#$ #r%(me$ /#$% )er(p# '#p#& '*&($,(kk#$ +#h# ($&(k 9 $ '#$ '$ ($&(k $ < 1 +er&(r(&-&(r(& +erl#k( h(+($%#$ )e+#%#* +er*k(& 9$ #$-1 ; '$-1 '#$ '$ +$-1 ; 9$-1 ?el#) +#h# #= 1 '#$ + = 9= '= =. ?#'* rel#)* rekr()*f ($&(k # $ +$ 9$ '#$ '$ '*+er*k#$ oleh )*)&em rekr()*f +er*k(& #$ +$-1 ; 9$-1 $ < 1 +$ #$-1 ; '$-1 $ < 1
9$ #$-1 ; '$-1 $ < 1 '$ +$-1 ; 9$-1 $ < 1 De$%#$ ko$'*)* ##l # = 1 + = 9= '= = Sel#$,(&$/# '*%($#k#$ f($%)* pem+#$%k*& ($&(k me$/ele)#*k#$ )*)&em rekr()*f &er)e+(&. M*)#lk#$ A34 B34 034 '#$ D34 +er&(r(&-&(r(& #'#l#h f($%)* pem+#$%k*& +*#)# #$ +$ 9$ '#$ '$. D*peroleh A34 #= ; #1 ; # ; ... #= ; 3+= ; 9=4 ; 3+1 ; 914 ; ... #= ; 3+= ; +1 ; + ; ...4 ; 39 = ; 91 ; 9 ;...4 1 ; B34 ; 0347 B34 += ; +1 ; + ; ... += ; 3#= ; '=4 ; 3#1 ; '14 ; ... = ; 3# = ; #1 ; # ; ...4 ; 3' = ;'1 ; ' ;...4 A34 ; D347 034 9= ; 91 ; 9 ; ... 9= ; 3#= ; '=4 ; 3#1 ; '14 ; ... = ; 3# = ; #1 ; # ; ...4 ; 3' = ;'1 ; ' ;...4 A34 ; D347 D34 '= ; '1 ; ' ; ... '= ; 3+= ; 9=4 ; 3+1 ; 914 ; ... = ; 3+ = ; +1 ; + ; ...4 ; 39 = ;91 ; 9 ;...4 B34 ; 0347 De$%#$ 'em*k*#$ k*&# peroleh )*)&em per)#m##$ '#l#m A34 B34 034 '#$ D34 )eper&* +er*k(&: A34 1;B34 ; 034 B34 A34 ; D34 034 A34 ; D34 D34 B34 ; 034 M('#h '*9#r* +#h# pe$/ele)#*#$ )*)&em *$* #'#l#h 2 1−2 x , A34 1 −4 x 2 x
B34
1
−4 x
2
x
034
1
−4 x 2 x
D34
1
2
,
,
2
−4 x
2
,
Sel#$,(&$/# k*&# r* koef*)*e$ $ '#l#m A34 B34 034 '#$ D34. K#re$# 2
2
−2 x 1 2 x ,= , = A34 1 −4 x 1 −(2 x ) 1 −(2 x ) 1
2
2
2
1 2
¿
1
∞
1
+ 2 x
∞
1
−1
1 2
+
1
+ 2 x
− x (
∞
1
1
2 1
+ 2 x
+
2
− 2 x
1
)
∞
1
( 2 x ) + ∑ (−2 x ) − ∑ (2 x ) ∑ (−2 x ) + 2 ∑ 2 = 2 = 2 = = k
k
k
k
0
¿
k
0
∞
1
k
k
k
0
∞
1
0
∞
1
∑ (−2 ) x + 2 ∑= ( 2) x + 2 ∑= (2 ) x 2 = k
k
k
k
k
0
k
k
k
0
k + 1
0
−
∞
1
+ 2 x ∑ 2 = k
k
k
3-4
$-1
1
0
M#k# #= 1 '#$ ($&(k $ < 1 '*peroleh 1
#$
1 $
3-4 ;
2
2
1 $
3 4 ;
2
1
-
2
3-4$- ; .$- 3-4$- $- 3-4$- ; $- #&#(
{
2
#$
, j ikan =0 , jikan genap dan n ≥ 2 , jikan ganjil
1 n−1
0
Sel#$,(&$/# k#re$# 1
B ( x )=
x 1
− 4 x
2
=
1
4
− 2 x
1
−
4 1
+ 2 x
∞
( 2 x ) −¿ ∑ (−2 x )n n
n=0 ∞
¿ ∑ = n 0
¿
1
¿ ¿ 4
Perh#&*k#$ +#h# 034 B34 )eh*$%%# ,el#) 9 $ +$. Akh*r$/#
D ( x )=
2 x 1
2
− 4 x
2
=
{
−1 2 1
+ 2 x
1
+
2 1
−2 x
}
34$-1
¿ x
¿
{
❑
1
❑
1
∑ (2 x ) − 2 ∑= (−2 x ) 2 = n
n 0
∞
1
∑ 2 x 2 = n
n
n
n 0
n +1
−
0
}
∞
1
(−2 ) x + ∑ 2 = n
n
n
1
0
De$%#$ 'em*k*#$ 1
d n= . 2
n−1
2
1
− (−2 )n−
1
2
¿
{
2
n −1
0
; n > danngenap n ganjil ataun =0
C. RELASI REKRUSIF MELIBATKAN KONVOLUSI
Be+er#p# perm#)#l#h#$ '#l#m kom+*$#&or*k# '#p#& '*mo'elk#$ ke '#l#m +e$&(k rekr()*f /#$% mel*+#&k#$ ko$@ol()*7 )eper&* +er*k(& *$*. M*)#lk#$ '*+er* )e+#r*) $ +*l#$%#$ 1 ... $. K*&# per*$&#hk#$ komp(&er ($&(k me$9#r* h#)*l k#l*$/#. Ter'#p#& +#$/#k 9#r# ($&(k me$'#p#&k#$ h#)*l k#l* &er)e+(&. M*)#l$/# ($&(k $ 7 per&#m#-&#m# m($%k*$ komp(&er me$%#l*k#$ 1 '#$ kem('*#$ me$%#l*k#$ h#)*l k#l* *$* 'e$%#$ 7 #&#( m($%k*$ '#$ '*k#l*k#$ &erle+*h '#h(l( kem('*#$ h#)*l k#l* *$* '*k#l*k#$ 'e$%#$ 1. K*&# +*)# +e'#k#$ ke'(# 9#r# *$* 'e$%#$ me$/*)*pk#$ &#$'# k(r($% /#$% )e)(#* '* '#l#m 'ere&#$ +*l#$%#$ +*l#$%#$ 1 )eh*$%%# 9#r# per&#m# '#$ ke'(# +er&(r(&-&(r(& '#p#& '*&(l*) )e+#%#* +er*k(&: 33144 '#$ G31344. D#l#m h#l *$* komp(&er &*'#k '#p#& me$%#l*k#$ 1 '#$ . De$%#$ k#&# l#*$ komp(&er h#$/# m#mp( me$%oper#)*k#$ '(# +*l#$%#$ /#$% le&#k$/# +er'ek#&#$ )e&*#p k#l* pe$%oper#)*#$. De$%#$ 'em*k*#$ ($&(k 2 &er'#p#& 5 9#r# /#$% +er+e'# )eper&* +er*k(&: 333 14424 33134424 33134244 31332444 33143244. Se'#$%k#$ ($&(k $ &er'#p#& )#&( 9#r# )#,# /#*&( 314. K#l#( '*+er* +#r*)#$ $ +*l#$%#$ per&#$/##$ /#$% m($9(l #'#l#h )e+#%#* +er*k(&: 'e$%#$ +er#p# 9#r# +er+e'# '#r* +#r*)#$ $ +*l#$%#$ &er)e+(&8 M*)#l K $ me$/#&#k#$ +#$/#k 9#r# ($&(k me$'#p#&k#$ h#)*l k#l* 3'e$%#$ #&(r#$ '* #&#)4 '#$ +#r*)#$ $ +*l#$%#$. ?el#) +#h# K 1 17 K 17 K '#$ '#p#& '*peroleh 'e$%#$ 9#r# +er*k(&:
Perh#&*k#$ perk#l*#$ &er#kh*rC /#$% '*l#k(k#$ ($&(k me$e$&(k#$ h#)*l k#l* '#r* $ +*l#$%#$ $ +*l#$%#$ 1 ... $. I$* mel*+#&k#$ h#)*l k#l* '#r* '(# )(+perk#l*#$ 1 ... r '#$ r;1 r; ... $ : '*m#$# 1 > r > $-1 : /#*&( 331 ... r 43r;1 ... $44 D*)*$* k*&# 'ef*$*)*k#$ ($&(k r 1 33143 ... $44 ≡ 31 3 ... $44 D#$ ($&(k r $-1 ≡ 33 ... 4 4 1 $-1 $
331 ... $-143$44
K#re$# #'# K r 9#r# ($&(k me$'#p#&k#$ h#)*l k#l* '#r* )(+ perk#l*#$ 1 ... r '#$ K $-r 9#r# ($&(k me$'#p#&k#$ h#)*l k#l* )(+perk#l*#$ r-1 ... $ )er&# 1 > r > $-1 m#k# n −1
n=
− untukn≥ 2 ( .1 ) ∑ = r
n r
r 1
K#l#( k*&# 'ef*$*)*k#$ K = = m#k# 30.14 me$,#'* n
n=
− untukn≥ 2. ( .2 ) ∑ = r
r
n r
0
Sel#$,(&$/# k*&# )ele)#*k#$ rekr()*f 30.4 'e$%#$ f($%)* pem+#$%k*&. U$&(k *&( ∞
x ∑ =
P ( x )=
m*)#lk#$
n
. K#l*k#$ ke'(# r(#) 30.4 'e$%#$
n
r
0
)*%m#$/#C ($&(k $ < '*peroleh ∞
∞
[
n
x = ∑ ∑ − ∑ = = = n
n
n 2
n 2
r
r
n
0
r
]
n
x ( .3 )
∞
per"atikan#a"$a
∞
∑= x =∑= x − x − n
n
n
n
n
n
2
1
0
0
¿ P ( x )− x ∞
dan
[
n
− ∑ ∑ = = n 2
r
r
0
n r
]
∞
n
x
=∑
n= 0
[
n
− ∑ = r
r 0
n r
]
n
x
¿ { P ( x ) }
2
Seh*$%%# 30.4 me$,#'*:
x
n
'#$ '*#m+*l
[
P ( x )− x = P ( x )
]
2
[ P ( x ) ] − P ( x )+ x = 0 2
⟺
P ( x )=
⟺
1 % √ 1
− 4 x
2
( .4 )
√ 1−4 x .
Sel#$,(&$/# k*&# ek)p#$)* +e$&(k
( 1− 4 x ) √ 1−4 x =¿ ¿ ¿ D#r* &eorem# B*$om*#l Um(m '*peroleh U$&(k $ < 1 '*'#p#&.
()
( )( ) (
1 1
1 2
2 2
n
(− 4 ) =
−1
1
2
¿
¿
¿
(
1.1 .3.5 … .. 2 n
¿−
¿−
2
(− )( − ) ( − 3
…
2
2n 2
n!
(
1.1 .3.5 … .. 2 n
−3 ) n !
n!n!
1
2
1 2
−n + 1
n!2
2
1
) (− )
−3 )(−1 )n−
n
(−1 ) n−
−3
1
n
− 3 ) 1.2.3 … .. ( n− 1) n 2.2.2 … .2.2 ( n−1 ) ! ( n −1 ) ! n . n
(
−3 ) 2.4 .6 … .. (2 n−2 ) ( n − 1 ) ! ( n −1 ) !
2 1.3.5 … .. 2 n
n
n
(−1 )n 2n 2n
n
(
n
2 2
1
2
1.3 .5 … .. 2 n
) (− ) 1
n!
n
1
−2 …
n
n
n
2 2
¿−
( −3 ) ( 2 n − 2 ) ( n −1 ) ! ( n −1 ) !
2 1.2.3.4.5.6 … .. 2 n
n
( 2 n −2 ) ! − = 2 n ( n − 1 ) ! ( n −1 ) ! n
(
¿− 2
−2 n −1
2n
)
Seh*$%%# ∞
√ 1−4 x =1+
∑= n
1
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