f(x) f(
T)
f(x), f(x).
21t),
adal adalah ah
41t),
TC/n TC/n
n.
333
f(x)
f(x)
fIx)
(b)
(a)
Misalkan f(x) f(x),
(c)
2L) f(x) f(x)
entu entu
eh ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... (10-1) (10-1)
adalah
l' -1
-L
f(x)
f(x)
n -
...... ......... ...... ...... ...... ..... .. (10-2) (10-2)
nrtx
Jika f(x)
apat apat dite dite tuka tuka 2L
nzx ) c s -
) s
...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... (10-3) (10-3)
nsx
-L O. -L
f(x)
-L
2L rata-rata f(x)
334
at
ri
en
ekiv ekival alen en
dx Perh Perhati atika kanl nlah ah
f(x)
i m
Teorema
10·1.
(1) f(x)
(-L (-L
f(x) (3) f(x) (2)
). (-
).
(a) f(x), f(x
0)
0)
f(x
dari f(x)
f(x f(x+
Syarat (1),
bahw
kekontinua
f(x)
f(x)
at
f(x)
dinamakan ganjil jika fe-x)
Suat eX e-
fu gs f(x)
dinamakan genap jika fe-x)
genap.
-f(x). f(x).
3x 4x
penjelasan
tu
la
ep ru
0,
ja
auan
an em
ia
rseb
an
nxx
f(x)
......................... (4)
0,
IDENTITA
f(x)
PARSEVAL
(x
~1
....................... (5)
(a
f(x)
at
ic
f(x)
t.
10.6 PENDIFFERENSIALA DE ET FOUR ER
DA
PENGINTEGRALAN
nta
f(x) f(u)
asalkan f(x)
336
du
e,
iO cos
e-iO cos
-V-I
f(x)
cneinnIL
f(x)
2L
da
selanjutny
dengan
f(
............................. (10-6)
-L
f(x)
f(x)
........................ (10-7)
e-innILdx
........................... (10-8)
(7) di anti
f(x)
0)
0)
A3B3 mana
A,i
B,T
BJ
fungsi A(x) dx
dx
m(x)n(x)
...........................
(10-9)
......................... (10-10)
......................... (10-11)
337
.................. (10-12
ab
................ (10-13)
~mn'
::/!
n.
f(x)
dala
sekelom-
.................... (10-14)
f(x)
.......................... (10-15 )d
(a)
338
f(x)
0
Periode
10
)or
f(x)
e ro d e _
- - - ' J S - - ~ ~ - - ~ l ~ s - - - _ : . : - - - - - - - ~ r ~ ~ · L o ~- ~_ r~ -T -h r- ~- _~ -I _~ -- - ~ ~ - - ~ b - - - - - X
od ny 0, gi da (ditunjukkan dengaa ga da ba di di di in (ditunjukaan dengan gari terputus-putus). Perhatikanla bahw f(x) tida dide ketakkontinuan f(x). ~1t
(b) f(x)
1t
Periode
21t
f(x)
_ P e ro d e _
f(x)
kontin (c) f(x)
di
ana- an 01
0~x<2 2~x<4 4~x<6
Periode
f(x)
_ P e n o d e _
-4
-2
339
Perhatikanla Garnba 1G-4, f(x)
idefinisikan
atuk
kontinu,
di 10.2. Buktikanlah
-L
knx
sin
knx
krtx -L
-L
s -
-L
t-
10.3. Buktikanlah -L
-L
(b)
IL
n -
n -
n -
s -
1/
1/
{cos
s -
s -
n -
n n, ki
s -
-L
n -
L
puny n -
(1 + c s -
L
(1
n -
1/2
340
s -
B)}. Kemudian berdasar
-L
n -
s -
lOA.
si
-
dx
sm
n -
2n1tx L
n c
pada
f(x)
ne
nzx
f(x)
f(x)
(a
al an
nnx
nrtx
oo
f(x)
(1)
rmtx
memperoleh s -
f(x)
mnx
{a
mrtx
s -
-L
s -
......................... (2)
x +
-L
s -
n -
Lj Jadi (b
-L
ik
rmtx
f(x)
{an
rnnx
mnx
(1
oo
f(x)
-L
n -
x + b
-L
=bL 341
0.
raikanla
f(x)
21t,
f(x)
f(x)
.
,:
./
.'
........•......
.............. 4n
Peri od
4",
...............
..............
6K
-2n
2L 2L
f(x)
n n
0,
21
1t
21
s -
1t
(2x)
-)
dx
f21t
nrtx
2L
f(x)
1t
1 {
Maka Jt..x) .=
121t
(2)
= -
41t2
:;t:
vc
0=1
(-
21t. Di
41t
nx), 21t,
-41t
41t2
dati
0=1
41t2
sehingga
0=1
JANGKAUAN
0
(a) f(x)
Periode
21t
f(x)
--~----~------~----~----~------~-----x -3
-6
l2
1t
COS
1t
21t
Periode
21t
f(xl
-~--~\--~----~~-+--~---~--7,--~---X -I
3x .....
..
345
(c) f(x)
10
j(x)
mempu-
0, ju
in f(x)
la
nzx
f(x)
nnx
n1tx --dx
.........................(1)
n -
-L
f(-u)
n1tU
f(u)
memperoleh
n1tU) - -
f(-u)
............................. (2)
f(u)
f(-u)
sin
f(x)
f(x)
sx
f(x)
mtx
n-
Andaikan f(x)
Maka
s-
n- b
f(-x)
Jika f(x)
mtx
n-
f(x)
genap, maka f(-x)
Karena it
f(x).
. n
da juga
n=l
mpun ai suku suku sinus.
ungs ganjil tida 10.1 Jika f(x)
f(x)
n=l
ng tida
nrtx
pa nu ka suku suku osinus at
empuny
ge
kk nl
nnx
f(x)
nrtx
f(x)
ur suku konstan)
nrtx
nrtx
s -
Lf(x)
dx
is lk nrtx
karena
-nnu
s-
f(-u)
enurut de inis
ungs genap, f(-u)
J(u)
10.11. Uraikanla f(x)
zu
f(x)
1t dala
nrtu
f(u)
f(u). zx
cos--dx
Jadi J(x)
nrtx
cos--dx
suat dere Fourie cosinus.
un si ge ni f(x) sehingga menjadi ng ba ua ini, f(x) kita definisika pada selang yang panjangnya 2 1 t . Ambillah periodenya 2 1 t ,
kita
empero eh
21t, sehingga
1t.
f(x)
s-
f(x)
nrtx
1t
1t n-
1t
i1to
1t
+c sn
1)1t
sn
z)
1t(n
1)
=.1,
a, 11t
0,
M~
1t
1t
_ _ ~ 10.12. Uraikanlah f(x) cosinus, a) fi
x, fu
1t
0=2
- 1 dala
co 6x + .
eparuh angkauan (a dere sinus, (b) deret ad
kadang-kadan dinamakan perluasa ganjil untu f(x).
en 4,
2.
!(x)
----~--~~--~--~--~--~~--~----x -2
nrtx
f(x)
-4
s -
sehingga
1t
-4
f(x)
-4
n1tx)}
n1t
nrtx
0=1
f(x)
4,
f(x).
2.
!(x)
-6
-4
f(x)
-2
nrtx
2 -4 2n
x c
2
n1tx)} s -
0,
dx
2. ns
Maka f(x) 1tX
31tx s -
1t
+ .
52
2, dinyatakan
x,
f(x)
f(x)
), ukti anla
(-L
kesarnaa
f(x)
ar eval (a
Jika f(x)
--
dengan f(x)
-L
ao
{f(x Pd
co
f(x)dx
an
-L
f(x)
nzx cos~x
-L
f(x)
nnx sin~x}
.........................1)
-L
350
f(x)
cos~x
zx
La,
-L
f(x)
nrtx
sin~x
Lb.,
-L
f(x)
dx
(1)
dengan
ar eval berlaku
Ke amaa
10.12(b).
--+.... 2,
2,
-0
dx
)2dx
~
:I 0,
n~2
(2)2
16
n=
1
) +
14
_ +
14
--n4~
. )
4
4
4
2
-,
.)1. n=
(a
L-'"
rY
f(x),
(-
dan f(x)
).
80.)1. nat
berses aian Kita
...............(1)
en an f(x). empu ya
f~{f(x)'-
351
-L
-L
S2i~ dx
-L
{f(x)
...................... (4)
kita
em er le ......................... (5)
M~oo, (a
_ 0 _ ,
b\)
-L
{f(x)
dx
......................... (6
0=1
ik ta
rl
it
am )s
untuk M~, ek ti
t S
=' (_I)n-1 (b)
352
rs
ll
).
.1 (1
x2
s2
1t
1t
22
s 3
- -
os ini _1
f(x)
dx
_1_
(_1)n-1
ti ak
1t
-1-i
erla u.
222
- -- 1t
-----dt
1/
)t
__
19t
sin(M 1t
1/
_1_
lI
lI
{sin(n
maka
Jumlahkan dari sin lI
(sin
sin I/zt)
(sin 19t)
(M
lI
{sin (M
I/zt
sin t)
lI t}
lIz,
dari dari
nl~
f(x)
f(x)
f(x) n=
(a
b2
O.
n~
__
7t
f(x)
sin (M+I/Z)X dx
Diketahui: dx
0.19 deng
dx
f(x)
f(x) f(x)
7t
sin I/zx dan f(x)
dx
cos I/zx yang
ada.
f(x)
21
SM(x)
354
unjukk nlah bahw
1t
f(
'9 II
an COS nx
f(u) 1t
_1
f(u)
1t
f(u)
1t
f(u)
1t
Juga, 1t
f(u)du
0=1
21t
f(u)
du
x) du
f(u)
n=l
1t
fX-x 1t
n=
l.
1t
SM(X)
':'Jt
1t
f(u)
f(
du
2'
x)
sin (M
l'z}t
sin 1 / 2 t
dt
21t, 21t,
1t
f(x
0)
(f(t
0»)
x)
1/2t
f(t 1t
x)
f(x
sm 1 / 2 t
sin (M
1 / 2 ) t dt
sin (M
1 / 2 ) t dt
355
SM(X)
sin (M
f(
1t
sin (M
It
f(
1t
1/2)t
0)
f( f( 0) - -
sin (M -----dt
0)
sin (M 1t
1/2)t
10.23. Jika f(x)
dan f'(x)
(-
f( 0) -- ---f(
x)
kontin
dt
f(
1t
................................... (2)
M-)..
f(x)
1/2)t
bu ti anla
ah
0)
0)
1t
karena
agia
Juga, li
HO+
f( x) --------
f(
0)
hm
f(
x)
f(
0)
t-)(H.
f( lim-------
x)
f(
0)
t-)Q
f'(x)
kanan f(x) f(
x)
0)
~ t f(
x)
356
0) l/2t
pada
M-)..
1t.
)-
f(
0)
f(
0) M-)..
0)
(x
0)
, s
zx
n"
aka,
-L
Juga,
(ff.
dx
L,
-L
m1tx)2
dx
1,
(\f-f
(1)2 dx
Ja 1tx
1tX
21tx
...JLcos
21tx ...J
co T . . .
(a,b). f(x) f(x)
f(x)
n(x)dx
cnn(x)
.........................(1)
........................ (2)
f(x).
Seka357
ra aren peroleb
fu gsi-fu gs
{~n(x)}
m=n
rt
...................... (3)
~m(x) dx
f(x)
ii f(x) ~n(x)
10.26.
(a)
f(x)
Periode 10
(c) f(x)
10.27.
(d) f(x)
10.30. (a Uraika la 1t;
le ak
{ 2 x-64
(a Uraikanlah f(x) (b Bagaimanakah mendefinisikan f(x) f(x)
1t,
di
f(x)
.Periode
-3
10.26., la
Uraikanlah f(x)
358
-4
f(x)
1t
1t
1t
10.29
et
in
f(x)
Uraikanlah f(x)
s2
s4x
I2
22
(b)
10.33.
s6
53
un kanlah Soal 10.3 untu
enun ukka bahw
(-1) (b)
(_1)0(c
n=1
-..J2
Tunjukkanlah bahwa
53
128
FOURIER
2_
x_
x)
- -
2(
n 2x -
n2
n3
n3
--
- .
359
x,
+. 52
X4 (a)
0=1
n'
'If>
(b)
90
945
ah
16
10.40. 0=1
ah
0=1
2•
<10,
ta
as konstanta.
kemudian fungsinya.
10.44.
im
(a)
f(x)
10.45. Misalkan f(x)
360
= . 960
[f(X)2
SM(x)]2 dx
b-a
f(x)
[f(x)]2
dx
(b)
f(x)
cn
dx
ni um bila an f(x)
361
da terhadap fungsi kepadatan e-" (b) Tentukanlah himpuna ortonormalnya
(0, to.50.
Be ikanla sebuah afsira vektor untu ungsi-fungsi su tu ungs kepada an ta ungs be bobot.
1-
sin--
n=l
1-
sn
:::t
X2
) 20 -
40
n -
sx
s nx -
6 c s n
n2x
n=l
,± ,±
, 0 (b) tidak ada titik ketakkontinuannya. ±3;
10.53. X2
n=l
4n
0.
I(x)
n=
16 X2
362
(b) 1(0)
oa 10
X2
ng or onorma terh da
1) n=