Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
DERET HITUNG: Deret yang perubahan sukusukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu Contoh : 5,10,15,20,25,30 100,90,80,70,60,50
(pembeda 5) (pembeda -10)
5 ,10 ,15 ,20 ,25 ,30 S1,, S2, S3,S4, S5, S6 S1 = 5 = a S2 = 10 = a + b = a +(2-1)b S3 = 15 = a + 2b = a + (3-1)b Dan seterusnya, sehingga :
Sn = a + (n-1)b a : suku pertama b : pembeda n: indeks suku
Contoh Soal: 1. RIM (Research in Motion ) menghasilkan 300.000 buah Blackberry pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peneingkatan produktivitasnya, RIM mampu menambah produksinya sebanyak 50.000 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa banyak Blackberry yang dihasilkan pada bulan kelima? Dan berapa banyak Blackberry yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?
Jawab: Diketahui:
a= 300.000 b = 50.000 n= 5
S5 = 300. 000 + ( 5 – 1) 50.000 = 500.000 J5
= 5/2 ( 300.000 + 500.000) = 2.000.000
Jadi jumlah produksi BB pada bulan kelima 500.000 buah dan jumlah keseluruhan yang dihasilkan sampai bulan tersebut adalah 2.000.000 buah
2. Besarnya penerimaan PT. Astra International, tbk dari hasil penjualan Toyota Avanza Rp. 720 Milyar pada tahun kelima dan pada tahun ke tujuh berhasil mencatatkan Rp. 980 Milyar dari penjualannya. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut seperti deret hitung,, berapa perkembangan penerimaanya per tahun? Berapa besar penerimaannya pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460 Milyar?
Jawab: Diketahui: Dalam Milyaran:
S7 = 980 S5 = 720
→ a + 6b = 980 → a + 4b = 720
2b = 260 → b = 130 Perkembangan penerimaan per tahun sebesar Rp. 130 Milyar a + 4b = 720 → a = 720 4b = 720 4 (130) = 200 Perkembangan penerimaan tahun pertama sebesar Rp. 200 Milyar –
Sn = a + ( n
–
1 ) b → 460 = 200 + ( n 1 ) 130 460 = 200 + 130 n 130 390 = 130 n n=3 Penerimaan sebesar Rp. 460 Milyar diterima pada tahun ketiga –
–
–
DERET UKUR: Deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu
Contoh : 5,10,15,20,25,30 1000, 500, 250,125
(pengganda = 2) (pengganda = 0, 5)
S1 = 5 = a S2 = 10 = a.p
ap ²ˉ¹
S3 = 20 = a.pp
ap2 = ap ³ˉ¹
Sn = ap n-¹ a : suku pertama p : pengganda n: indeks suku
Model Bunga Majemuk: Model Bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus Investasi. Dengan model ini bisa dihitung pengembalian kredit dimasa kan datang berdasarkan tingkat bunganya. Modal Pokok sebesar P dibungakan secara majemuk dengan suku bunga per tahun setingkat i, maka jumlah akumulatif modal tersebut di masa datang setelah n tahun (Fn) dapat di hitung sebagai berikut:
Setelah 1 tahun : F1 = P + P.i = P (1+i) Setelah 2 tahun : F2 = P (1+i) + P (1+i) = P (1 + i ) 2 Setelah 3 tahun : F3 = P (1 + i )2 + P (1+i)2 i = P (1 + i )3 Dengan demikian, jumlah masa datang dari jumlah sekarang adalah: Fn= P (1 + i )n P = Jumlah sekarang I = tingkat bunga per tahun n = jumlah tahun
Bila menggunakan pembayar per termin, maka rumusnya:
Fn= P (1 +
) mn m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun
Suku (1+i) dan ( 1 + i/m) Dalam dunia bisnis dinamakan “ Faktor Bunga Majemuk” (c o m p o u n d i n g i nt er e st f a ct or ), yaitu suatu bilangan terdiri dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa datang dari suatu jumlah sekarang
Contoh soal: 1. Nadhia meminjam uang di BCA sebanyak Rp. 5 milyar untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah uang yang dikembalikan pada saat pelunasan? Seandainya perhitungan pembayar bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, Berapa jumlah yang harus dikembalikan Nadhia?
Jawab: P = 5.000.000.000 N=3 i = 2 % = 0,02 Fn= P (1 + i ) n F3 = 5.000.000.000 P (1 + 0,02 )3 = 5.000.000.000 (1,061208) = 5.306.040.000 Jadi pada saat pelunasan, setelah 3 tahun Nadhia harus membayar Rp. 5.306.040.000
Jika bunga di perhitungkan tiap semester, m = 2 maka: Fn = (1 + i/m) mn
F3 = 5.000.000.000 (1 + 0,002)³ = 5.000.000.000 (1,06152) = 5.307.600.000 Jadi jumlah yang harus dibayar lebih besar yaitu Rp. 5.307.600.000
2. Tabungan Arumi Bachsin di BNI akan menjadi sebesar Rp. 532.400.000 tiga tahun akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10 % per tahun, berapa tabungan Arumi Bachsin tersebut pada saat sekarang ini?
JAWAB: F = 532.400.000 n =3 I = 10 % = 0,1 P = 1 / (1 + n ) ⁿ . 532.400.000 = 1 / ( 1 + 0,1) ³ . 532.400.000 = Rp. 400.000.000 Jadi Tabungan Arumi Bachsin di BNI sebesar Rp. 400.000.000
Model Pertumbuhan Penduduk
Penerapan Deret Ukur yang paling sering digunakan dalam perekonomian adalah dalam hal penaksiran jumlah penduduk. Sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Secara matematik, hal ini dapat dirumuskan:
Pt = P1 .R
t-1
Dimana ; R = 1 + r P1 = Jumlah pada tahun pertama (basis) Pt = jumlah pada tahun ke-t = presentase pertumbuhan per tahun r t = indeks waktu (tahun)
Contoh Soal: Penduduk Kota Malang pada tahun 2001 berjumlah 1.000.000 orang. Tingkat pertumbuhannya 4 % per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota Malang pada tahun 2016. Jika mulai tahun 2016 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5%, berapa jumlahnya 11 tahun kemudian?
Diketahui; P1 = 1.000.000 r = 0,04 R = 1,04 P tahun 2016 = →P16
= 1.000.000 (1,04)15 = 1.000.000 (1,800943) = 1.800.943 jiwa
P1 = 1.800.943 r = 0,025 R = 1,025 P 11 tahun kemudian →P11 = 1.800.943 (1,025) 10 = 1.800.943 (1,2800843) = 2.305.359 jiwa
Atau dengan memanfaatkan kaidah logaritma P11 Log Log Log Log P11
P11 P11 P11 P11
= = = = = =
1.800.943 (1,025)10 log 1.800.943 (1,025)10 log 1.800.943 + 10 log 1,025 6,255499 + 0,017239 6,362738 2.305.359
