Deret Bowen menggambarkan proses pembentukan mineral pada saat pendinginan magma dimana ketika magma mendingin, magma tersebut mengalami reaksi yang spesifik. Dan dalam hal ini suhu merupaka…Full description
matematika untuk kimiaFull description
Full description
Deret Pangkat. Tinjau fungsi an = cn (x)n dengan cn = f(n) suatu barisan bilangan tetap. Defenisi : Deret tak hingga variabel. ~
(x = variabel a dan c bilangan tetap, disebut deret pangkat). Contoh deret pangkat : ~
a)
∑ n
=1
( − x ) 2
~
n
b)
n
∑ n
( −1)
n
+1
⋅
x
n
n
=1
( −1) ⋅ x 2 c) ∑ ( 2n )! =1 ~
n
n
n
Selang Konvergensi Deret Pangkat. Untuk menentukan menentukan selang selang (batas (batas konvergensi) konvergensi) deret pangkat biasanya biasanya menggunakan uji nisbah dengan deretnya konvergen. Contoh : Tentukan selang konvergensi deret : ~
a)
∑ n
( − x )
=1
Solusi :
2
~
n
b)
n
∑ n
(− )
( −1)
n
=
lim lim n
→~
2
a
n
a
+1
+1
⋅ x
( −1) ⋅ x 2 c) ∑ ( 2n ) ! =1 ~
n
n
=1
n
n
x
a
n
;
n
lim = lim n
→~
n
atau –2 < x < 2
x
2
=
an
x
2
<1
(− )
1
n+
x
+1
=
2
1
n+
n
n
Untuk : x = -2, bentuk deret : 1+1+1+........................., deret ukur dengan r = 1, maka deret divergen. Untuk : x = 2, bentuk deret : 1 – 1 + 1 – 1 + 1 - .................... deret bolak-balik; karena a
maka deret divergen.
= an
1
n+
Sehingga selang konvergensi deret : -2 < x < 2. ~
b)
∑ n
( −1)
+1
x
n
an =
;
n
=1
a
lim n
n
→~
n
a
+1
= = lim →~ + 1 n
x
n
n
x
<1
( −1)
n
+1
x
n
a n +1 =
;
n
-1 < x
atau
x n
n
+1
+1
<1
n
untuk x = -1 : bentuk deret :
−1 − 1 − 1 − 1 − - 1 2
3
4
n
deret harmonik deret divergen.
( −1) 1 1 1 Untuk x = 1, deret berbentuk : 1 − + − +.......... .......... .... + 2 3 4 n
n
+1
( deret bolak - balik konvergen bersyarat) maka batas konvergensinya : -1 < x ≤ 1.
( −1) x 2 c) ∑ ( 2n ) ! n
lim n
→~
x
2
a n +1 an
⋅
0
n
= lim = →~ n
0
=
an =
;
x
2
lim n
→~
x
2n
( 2n ) !
; a n +1 =
1
( 2n + 2 ) ( 2n +1)
x
2 n +1
2 ( n +`1) !
=
x
2
⋅ 0 = 0 <1
artinya berlaku untuk semua harga x atau deret konvergen untuk semua
harga x. Jadi batas konvergensinya : -~ < x < ~.
Pendifferensialan dan Pengintegralan Deret Pangkat (derei kuasa).
Teorema. Andaikan S(x) adalah jumlah sebuah deret kuasa pada sebuah selang I, sehingga ∞
S( x)
=
∑
an x
n
= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +....
n =0
maka apabila x ada di dalam I, berlakulah ∞
(i ).
∞
∑
=
S ' ( x)
D x (a n x
n
)=
n =0
∞
∫ 0
nx
n −1
n =1
x
( ii ).
∑n.a
=
S ( t )dt
∑∫ =
n
∞
x
0
0
= a0x +
an t
n
dt
=
∑
n =0
1 2
a1 x
2
+
1 3
an
n
a2x
x
n +1
+1
3
+...
Contoh: 1). Gunakan teorema di atas untuk deret geometri 1 1−x
=1+x +x
2
+x
3
+ .... ; − 1 < x < 1
untuk memeroleh rumus-rumus jumlah dua deret baru. Penyelesaian: Apabila didfferensialkan suku-demi suku, akan diperoleh 1
(1 − x)
2
= 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + .... ; − 1 < x < 1
Sedangkan pengintegralan suku demi suku menghasilkan x
∫ 0
1 1
−t
dt
=
x
∫
1 dt
+
0
x
∫
t dt
+
0
x
∫
t
2
dt
0
+ ...
Jadi diperoleh: − ln (1 − x) = x +
x
2
+
2
x
3
+ . ..; −1 < x < 1
3
Apabila x diganti dengan –x dan mengalikan ruas kiri dan kanan dengan –1, kita peroleh ln (1 + x) = x −
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+.. .; −1 < x < 1
2). Tentukan deret kuasa yang menggambarkan tan-1 x. Penyelesaian: tan −1
x
=
x
∫ 0
1 1
+t2
dt
.
1 1 −x
Apabila dalam deret geometri untuk diperoleh 1 1 −t
=1 −t
2
2
+t
4
−t
6
; x diganti dengan -t2 maka
+ .... ; − 1 < t < 1
Sehingga tan −1 x =
x
∫ (
1 −t
2
0
=x −
x
3
3
+
x
+ t 4 − t 6 +....) 5
−
5
x
dt
7
+ . . . ; −1 < x < 1
7
=1 +x +
S (x)
x
2
2!
+
x
3
3!
+
x
4
4!
+...
3). Tentukan rumus untuk jumlah deret Penyelesaian: Deret tersebut konvergen untuk semua x. Apabila ruas kiri dan kanan didifferensialkan suku demi suku, maka diperoleh: S ' ( x)
x
=1 +x +
2
2!
x
+
3
3!
+
x
4
4!
+...
Jadi S’(x) = S(x) untuk semua x. Selanjutnya S(0) = 1. Persamaan differensial ini mempunyai jawaban tunggal yaitu S(x) = ex. Jadi e
x
2
3
4
2!
3!
4!
= 1 + x + x + x + x +. . . −
x
2
4). Tentukan deret kuasa untuk . Penyelesaian: Apabila dalam deret kuasa ex, dilakukan pergantian x dengan e
e
–x2 maka didapat
x
2
= 1 − x +
x
4
2!
−
x
6
3!
+
x
8
4!
−. . .
Di samping itu pemberhentian Bupati Sarolangun juga bertentangan dengan Pasal 28D ayat (1) UUD 1945 yang secara tekstual berbunyi sebagai berikut: Setiap orang berhak atas pengakuan, jaminan, perlindungan, dan kepastian hukurn yang adil serta sama di hadapan hukum, artinya Negara memberikan jaminan perlindungan dan persarnaan hukurn kepada semua warga negaranya tanpa pengecualian (asas legalitas).