VI. DERET TAYLOR DAN MACLAURIN
Jika Jika kita mempu mempuny nyai ai sebuah fungsi fungsi dengan dengan satu variabe variabel, l, katakanla katakanlah h sin x x atau 2 ln(cos x), x), dapatkan dapatkan fungsi fungsi ini ini digambark digambarkan an sebagai suatu deret pangkat pangkat dari x x atau lebih umum dari ( x − a) a) ?. Atau dengan kata lain, adakah bilangan c0, c, c2, c!, . . . sehingga, sehingga, f ( x) x) " c0 # c( x x − a) # c2( x x − a)2 # c!( x x − a)! . . . pada sebuah selang selang di sekitar x sekitar x " " a ? Apabil Apabilaa penggam penggambara baran n fungsi fungsi semacam semacam itu ada, maka maka menurut menurut teorema teorema tentang tentang pendiferensia pendiferensialan lan deret ($eorema %.2) akan diperoleh diperoleh pendiferensi pendiferensialan alan sebagai berikut, f &( &( x) x) " c # 2c 2c2( x x − a) # !c !c!( x x − a)2 # 'c 'c'( x − a)! . . . f &&( &&( x) x) " 2c 2c2 # c c!( x − a) # 2c 2c'( x x − a)2 # 20c 20c( x x − a)! . . . f &&&( &&&( x) x) " c c! # 2'c 2'c'( x x − a) # 0c 0c( x − a)2 # 20c 20c( x x − a)! . . . . . . Apabila kita subtitusikan x subtitusikan x " " a, maka diperoleh, f (a)
" c0
f’ ( f’ (a) " c f’’ (a) " 2c 2c2 " 2*c 2*c2 f &&&(a &&&(a) " c c! " !*c !*c! . . . +ari hasil subtitusi ini selanutnya kita dapat menghitung cn, yaitu c0 " f (a) c " f &(a &(a) c2 " c! "
f - - ( a ) 2* f - - - (a ) !*
. . . +ari penentuan cn ini, kita dapat menuliskan rumus yang lebih umum, yaitu cn "
f n ( a )
n* Catatan Catatan /upaya rumus untuk cn ini berlaku untuk n " 0, maka kita artikan f 0(a) sebagai f (a) dan 0* " .
DND
0
+ari hasil di atas dapat kita lihat bah1a koefisienkoefisien cn ditentukan oleh f . 3al ini berarti bah1a suatu fungsi f tidak dapat digambarkan oleh dua deret pangkat dari x − a yang berbeda seperti yang dituangkan dalam teorema berikut.
Teorema VI.1 ( Teorema Ketunggalan) Andaikan f memenuhi uraian berikut,
f ( x) " c0 # c( x − a) # c2( x − a)2 # c!( x − a)! . . . untuk semua x dalam selang di sekitar a, maka cn "
f n ( a )
n* Jadi suatu fungsi tidak dapat digambarkan oleh dua deret pangkat dari ( x − a).
4entuk koefisien cn mirip dengan koefisien yang terdapat dalam 5umus $aylor, oleh karena itu deret pangkat dari ( x − a) yang menggambarkan sebuah fungsi ini dinamakan deret Taylor . Apabila a " 0, maka deret dinamakan deret Maclaurin. +engan deret $aylor ini kita bisa mena1ab pertanyaan di a1al bagian ini yaitu apakah sebuah fungsi f dapat digambarkan sebagai deret pangkat dalam x atau ( x − a) seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema VI.2 ( Teorema Taylor ) 6isalkan f adalah sebuah fungsi yang memiliki turunan dari semua tingkat dalam selang (a − r , a − r ). /yarat perlu dan cukup supaya deret $aylor
f (a) # f &(a)( x − a) #
f - - ( a ) 2*
( x − a)2 #
f - - - (a ) !*
( x − a)! # . . .
menggambarkan fungsi f dalam selang tersebut adalah,
lim Rn ( x) = 0
n →∞
dengan Rn( x) adalah suku sisa dalam 5umus taylor, yaitu Rn( x) "
f
( n +)
( c)
( n + )*
( x − a ) n
+
dengan c suatu bilangan dalam selang (a − r , a − r ).
Bukti : 7ntuk membuktikan teorema ini kita hanya perlu mengingat 5umus $aylor, yaitu
f (a) # f &(a)( x − a) #
f - - ( a ) 2*
dengan mengambil lim Rn ( x ) n →∞
DND
( x − a) # 2
=
f - - - (a ) !*
( x − a) # . . . #
0 , maka diperoleh,
!
f
(n)
( c)
n*
( x − a ) n # Rn( x)
f (a) # f &(a)( x − a) #
f - - ( a ) 2*
( x − a)2 #
f - - - (a ) !*
( x − a)! # . . .
8erhatikanlah, apabila a " 0, maka diperoleh deret 6aclaurin, yaitu f (0) # f &(0)( x) #
f - - ( 0) 2 f - - - ( 0) ! x # x # . . . !* 2*
Contoh VI.1 $entukan deret 6aclaurin untuk sin x dan buktikan bah1a deret tersebut menggambarkan sin x untuk semua x.
Jawab :
f ( x) f &( x) f &&( x) f &&&( x) f (')( x) f ()( x) f ()( x) f (9)( x)
" sin x " cos x " −sin x " −cos x " sin x " cos x " −sin x " −cos x . . .
f (0) f &(0) f &&(0) f &&&(0) f (')(0) f ()(0) f ()(0) f (9)(0)
" 0 " " 0 " − " 0 " " 0 " − . . .
+engan memasukan hargaharga turunan ini ke deret 6aclaurin diperoleh,
sin x " x −
x
!
!*
+
x
*
−
x
9
9*
+
. . .
7raian deret ini akan berlaku untuk semua x, asal dapat dibuktikan bah1a
lim Rn ( x ) " lim f n →∞
( n +)
( c) n + x " 0 n →∞ ( n + )*
:leh karena f
( n +)
( x)
=
cos x
≤ atau f
Rn( x) "
f
( n +)
( n +)
( c)
( n + )*
x
(x ) n +
=
sin x
≤
x + ( n + )*
/elain itu, menurut 7i /uku ken diperoleh bah1a lim
n →∞
≤ , maka
n
x
n +
( n + )*
R ( x ) " 0. " 0. Jadi nlim →∞ n
Contoh VI.2 $entukan deret 6aclaurin untuk cos x dan buktikan bah1a deret tersebut menggambarkan cos x untuk semua x. Jawab : f ( x) " cos x f (0) " f &( x) " −sin x f &(0) " 0 DND
2
f &&( x) f &&&( x) f (')( x) f ()( x) f ()( x) f (9)( x)
" −cos x " sin x " cos x " −sin x " −cos x " sin x . . .
" − " 0 " " 0 " − " 0 . . .
f &&(0) f &&&(0) f (')(0) f ()(0) f ()(0) f (9)(0)
+engan memasukan hargaharga ini ke deret 6aclaurin diperoleh, cos x " −
x 2
+
2*
x' '*
−
x *
+
. . .
7raian deret ini akan berlaku untuk semua x, asal dapat dibuktikan bah1a
lim Rn ( x ) " lim f n →∞
( n +)
( c) n + x " 0 n →∞ ( n + )*
:leh karena f
( n +)
( x)
=
cos x
≤ atau f
Rn( x) "
f
( n +)
( n +)
(c )
( n + )*
x
(x ) n +
=
sin x
≤
x ( n + )*
/elain itu, menurut 7i /uku ken diperoleh bah1a lim
≤ , maka
n +
x
n →∞
n +
( n + )*
R ( x ) " 0. " 0. Jadi nlim →∞ n
Contoh VI.3 $entukan deret 6aclaurin untuk f ( x) " cosh x dengan dua cara, dan buktikan bah1a uraian tersebut menggambarkan cosh x untuk semua x.
Jawab : ;ara pertama,
f ( x) f &( x) f &&( x) f &&&( x) f (')( x) f ()( x) f ()( x)
" cosh x " sinh x " cosh x " sinh x " cosh x " sinh x " cosh x
f (0) f &(0) f &&(0) f &&&(0) f (')(0) f ()(0) f ()(0)
" "0 " "0 " "0 "
Jadi dengan memasukan hargaharga ini ke deret 6aclaurin diperoleh, cosh x " +
x 2 2*
+
x' '*
+
x *
+ .
. .
7ntuk membuktikan bah1a uraian ini menggambarkan cosh x untuk semua x, cukup dibuktikan bah1a lim Rn ( x ) n →∞
=
0.
6isalkan B sebuah bilangan sebarang, dan andaikan x
DND
≤ B , maka
!
+ e− x
e x
cosh x "
ex
≤
2
e− x
+
2
2
Rn ( x )
+
2
eB
= e B
2
≤ e B . :leh karena f (n#)( x) adalah cosh x
dengan alan yang sama kita peroleh uga sinh x atau sinh x maka dapat kita simpulkan bah1a
n +
( n −)
( c) x n + ( n + )*
f
≤
eB
≤
ex x ( n + )
→ ∞ atau
4entuk pada ruas terakhir menuu nol apabila n
lim
en x
n →∞
n +
( n + )*
= 0. Akibatnya
lim Rn ( x ) = 0
n →∞
Cara kedua :
+ e− x
e x
$elah kita ketahui bah1a cosh x "
(i)
2
+ari ;ontoh %<. telah kita peroleh bah1a, e x " + x +
x2
+
2*
x! !*
+
x' '*
(ii)
# . . .
dari persamaan (ii) ini dapat ditentukan e− x , yaitu e− x " − x +
x2 2*
−
x! !*
+
x' '*
−
(ii)
. . .
dengan mesubtitusikan persamaan (ii) dan (iii) ke persamaan (i) diperoleh, x
2
cosh x " + x + 2*
x +
!
!*
x +
'
'*
−
. . . # − x
x +
2
2*
x −
!
!*
x +
'
'*
−
. . .
2 " +
x
2
2*
+
x
'
'*
+
x
*
+
. . .
Contoh VI.4 $entukan deret 6aclaurin untuk f ( x) " sinh x dengan dua cara, dan buktikan bah1a uraian tersebut menggambarkan cosh x untuk semua x.
Jawab : ;ara pertama,
f ( x) f &( x) f &&( x) f &&&( x) f (')( x) f ()( x) f ()( x)
" sinh x " cosh x " sinh x " cosh x " sinh x " cosh x " sinh x
f (0) f &(0) f &&(0) f &&&(0) f (')(0) f ()(0) f ()(0)
"0 " "0 " "0 " "
Jadi dari deret 6aclaurin diperoleh,
sinh x " x +
DND
x ! !*
+
x *
+
x9 9*
+ .
. .
'
VI.A. DERET BINOMIAL
+ari 5umus 4inomial diketahui bah1a untuk p bilangan bulat positif berlaku, p p p p ( # x) p " + x + x 2 + x ! + . . . + x p 2 ! p dengan p p( p − )( p − 2) . . . ( p − k + ) " k k * p 8erhatikan bah1a simbol mempunyai arti untuk setiap bilangan riil p, asal saa k bulat k positif. +engan rumus binomial ini kita dapat menyusun teorema berikut.
Teorema VI.3 ( Deret Binomial ) 7ntuk setiap bilangan riil p dan x
< berlaku ,
p p p p ( # x) p " + x + x 2 + x ! + . . . + x p 2 ! p
p dengan seperti yang dibicarakan di atas. k Bukti : Andaikan f ( x) " ( # x) p. Jika kita diferensialkan fungsi ini maka diperoleh, f ( x) " ( # x) p f (0) " p − f’ ( x) " p( # x) f’ (0) " p p − 2 f’’ ( x) " p( p − )( # x) f’’ (0) " p( p − ) p − 2 f’’’ ( x) " p( p − )( p − 2)( # x) f’’’ (0) " p( p − )( p − 2) . . . . . .
+engan memasukan hargaharga diferensial ini ke deret 6aclaurin yaitu, f ( x) " f (0) # f &(0) x # maka diperoleh, ( # x) p " # px #
f - - ( 0) 2 f - - - ( 0) ! x # x # . . . !* 2*
p( p − ) 2 p( p − )( p − 2) ! x # x # . . . !* 2*
=arena, p p = * p ( p − ) p p
=
2*
= 2
p( p − )( p − 2) !* maka persamaan (i) menadi DND
p = !
(i)
p p p ( # x) p " + x + x 2 + x ! + . . . 2 ! Contoh VI.5 $uliskanlah ( − x)−2 sebagai suatu deret 6aclaurin pada selang
− < x < .
Jawab : +engan menggunakan $eorema %<.! (+eret 4inomial) diperoleh,
−2 −2 2 −2 ! x + x + x + 2 !
( # x)−2 " + "#
2
*
x #
. . .
( −2 )( −2 − ) 2 ( −2)( −2 − )( −2 − 2) x # 2* !*
!
x # . . . " − 2 x #
( −2)( −!) 2 ( −2)( −!)( −') ! x # x #. . . 2
" − 2 x # ! x2 − ' x! # . . . /elanutnya ganti x dengan − x, maka diperoleh, ( − x)−2 " # 2 x # ! x2 # ' x! # . . . Contoh VI.6 $ulislah x sebagai suatu deret 6aclaurin dan gunakan hasilnya untuk menghampiri , sampai angka desimal
x " ( + x ) 2 +engan menggunakan deret 4inomial diperoleh,
Jawab :
2 2 2 2 ! 2 ' ( x ) " # x + x + x + x + 2 ! ' 2
"#
2
2
x #
( 2
− )
2*
*
2
2
x #
( 2
. . .
)( 2
2)
!
x #
!*
2 (2
− )( 2 − 2)( 2 − !) x' '*
#. .
. "#
2
x # x −
( 21 )( − 21 )
x #
2
2
6
x! −
!
x #
( 21 )( − 21 )(− 32 )(− 52 ) 24
x' # . . .
x' # . . . > 2> 3asil ini akan kita gunakan untuk menghampiri , sampai angka desimal, yaitu "#
, "
2
x2 #
( 21 )( − 21 )( − 32 )
(
0, " ( 0,) 2 " #
2
(0,)
−
>
(0,) 2 #
# . . . "
DND
0 ,
0,0
000 ,
( 0,000 )
2
>
2>
. . .
≈ ,0'>>
(
(0,)!
−
2>
(0,) '
Contoh VI.7 0,'
3itunglah
∫
+ x ' dx sampai angka desimal.
0
' x " ( x ) 2 '
Jawab :
+ari ;ontoh %<. kita peroleh. (
2
x ) " #
2
x −
>
x2 #
x! −
(
x' # . . . 2>
'
anti x dengan x , diperoleh
( x ' ) 2 " #
2
x' −
x> #
>
x2 −
(
x # . . . 2>
Jadi, 0 ,'
0,'
∫
+ x dx " '
∫ ( + x
0,'
'
2
0
0
) dx " 0
2
x
'
>
x
>
! x − x + x − x9 + " x + 92 20> 29 0
" 0 ,'
( 0 ,' ) 0
( 0 ,') 92
( 0,') ! 20>
x
( 0,') 9 29
2
2>
x
. . . dx
0 ,'
. . .
0
. . .
≈ 0,'002 VI.B. SOAL LATIHAN
$entukanlah deret maclaurin untuk f ( x) dalam /oal sampai tiga suku pertama. 2. f ( x) " x 2 . f ( x) " 2
x
!. f ( x) " e x x
'. f ( x) " x sec x
. f ( x) " e sin x
. f ( x) "
sin x
$entukanlah deret 6aclaurin untuk f ( x) dalam /oal 9 hingga suku x. 9. f ( x) " tan x >. f ( x) " e x sin x . f ( x) " e− x cos x
0. f ( x) " cos x ln( # x)
. f ( x) " e x # x # sin x
2. f ( x) " sin! x
!. f ( x) "
'. f ( x) "
+ x + x 2
. f ( x) " x sec( x2)
− x
cosh x
. f ( x) " ( # x)!@2
$entukanlah deret $aylor dalam ( x − a) hingga suku ( x − a)! pada soal 9 9. e x , a "
>. cos x , a "
n
!
. # x2
− x! , a "
20. $entukanlah empat suku pertama tak nol dalam deret 6aclaurin untuk sin − x.
9
x
−
sin x "
∫ 0
1 1 − t
dt
2
2. 3itunglah dengan teliti sampai empat angka desimal integral berikut. 2
cos( x )dx 0
22. $entukanlah deret $aylor untuk
x
kemudian gunakanlah uraian
x
dalam x − . Petunjuk $ulislah
x
"
( x )B
,
.
2!. ;arilah deret 6aclaurin untuk f ( x) dalam soal di ba1ah ini dengan menggunakan deret yang telah kita kenal. /elanutnya gunakanlah hasilnya untuk menentukan f (')(0). 2 (b) f ( x) " esin x (a) f ( x) " e x + x x
(c) f ( x) "
e
∫ 0
t
2
−1 2
dt
(d) f ( x) "
t
e
cos x
2'. $entukanlah deret 6aclaurin untuk ( − x)−@2 sampai suku yang keenam. 2. 3itunglah integral berikut sampai ! angka desimal. 1 1/ 2 1 − cos x − x 2 e dx dx (a) (b)
∫
∫ 0
0
2. 4utikan bah1a, ln(1 + x ) " 1 + x
x −
(1 + 21 ) x 2
+
(1 +
x
3 1 1 + x − 2 3
)
...
untuk
− < x <
untuk
− < x <
29. 4uktikan bah1a 2
{ln(1 + x )} " x − (1 + 2
1 2
)
2 x 3 3
+ (1 + + 1 2
1 3
)
2 x 4 4
−.
2>. $entukanlah deret 6aclaurin untuk f ( x) " sin x # cos x.
DND
. .
