Kelompok 9: Benhard J.H (35139) Akhmad Faizal Khabibi (35266) Kevin Gausultan H. M (35103) Luthfi Rizal Listyandi (35285) Aginta Ramadhanu A. (35387)
Deret Taylor • Deret Taylor adalah representasi
fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik.
• Deret Taylor menyediakan sarana untuk
menetukan nilai fungsi pada suatu titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunannya pada titik yang lain. Sebelum memulai dengan penggunaan deret Taylor untuk menentukan nilai fungsi diingatkan kembali dengan Teorema Taylor.
• Teorema Taylor akan disebut deret
Taylor untuk n mendekati tak berhingga dengan yaitu :
• Dengan
f ( x)
Deret Maclaurin • Pada dasarnya rumus untuk deret maclaurin
sama dengan deret taylor hanya saja Deret maclaurin berpusat pada x0=0 sedangkan deret taylor x0=a . Jadi diawal kita perkirakan x=0 untuk menentukan deret maclaurin.
• Sehingga diperoleh Deret Maclaurin:
f ( x) • Note: Deret Taylor dengan fungsi
x=0 disebut Deret Maclaurin
saat
Menentukan Nilai Pendekatan dengan Metode Taylor • menentukan nilai pendekatan suatu fungsi dengan menggunakan deret Taylor, yaitu dengan memperhatikan satu suku pertama yang disebut dengan pendekatan orde nol, memperhatikan dua suku pertama disebut dengan pendekatan orde pertama dan seterusnya.
• Aproksimasi orde ke nol f ( xi 1 ) ≈ f ( xi ) +
• Aproksimasi orde ke satu f ( xi +1 ) ≈ f ( xi ) + f ′( xi )
∆ x
1!
• Aproksimasi orde ke dua f ( xi +1 ) = f ( xi ) + f ′( xi )
∆ x
1!
′( xi ) + f ′
∆ x
2
2!
Terpotong
• Karena suku-suku pada deret Taylor Taylor tidak t idak berhingga be rhingga
jumlahnya, maka untuk alasan kepraktisan, deret Taylor dipotong sampai suku orde tertentu. (Dr. M. Sarosa, Dipl. Ing. MT)
• Deret Taylor Taylor terpoton t erpotong g adalah deret Taylor Taylor yang dipotong di potong
sampai suku orde ke-n. ke-n. ( x − x 0 ) i ( x − x 0 ) 2 ii ( x − x 0 ) n ( n ) f ( x 0 ) + f ( x 0 ) + ... + f f ( x ) = f ( x 0 ) + ( x 0 ) + R n ( x ) 1! 2! n!
dengan n +1
R
n
=
( x − x ) 0
( n +1)!
( n +1)
f
(c ), dengan
x
0
c
<
x
<
Deret Taylor Terpotong (lanjutan 1)
• Deret Taylor yang terpotong dapat dituliskan :
f ( x ) = P n ( x ) + R n ( x ) dengan n
P ( x) ∑ n
=
( x − x ) 0
n!
n =1
R
n
=
( x − x ) 0
(n + 1)!
n (n)
f ( x ) 0
n +1
f
( n +1)
(c ) , dengan
x
0
<
c < x
*Contoh Soal 1 1. The Taylor Taylor serie series s for for sin sin x at x=0. x=0. Show that the Taylor series for sin x at x=0 converges for all x.
R
2 k +1
=
Since
( x − x 0)
( 2 k +1)!
( 2 k +1)
f
(c )
→0 as k→∞, whatever
the value of x,
R
2 k +1
→0, and the
2 k +1( x )
Maclaurin series for sin x converges to sin for every x. Thus,
Hukum Mean • Jika f dan turunannya adalah kontinu pada [a,b]
dan terdapat
(x), maka
sedikitnya
terdapat c pada (a,b). Sehingga….
• Bila b diganti dengan x
Fungsi Rn( x x ) ditentukan oleh nilai dari turunan pada titik c diantara a dan x untuk nilai n yang diinginkan.
•
Ingat Kembali!!!
•
Ini disebut rumus taylor dengan sisa
•
Rn(x) disebut suku sisa dari deret n (error) untuk f mendekati fungsi f(x) oleh P(n) melebihi interval I. Jika Rn(x) →0 dan n→∞ untuk semua
kita katakan Deret Taylor dari fugsi f(x)
saat x=a konvergen ke f(x) pada interval I. Sehingga…
*Contoh Soal co s x f ( x ) = cos 1. Carilah Carilah deret deret Tayl Taylor or dan dan Taylor Taylor x = 0 polinomialnya dari
saat
Jawab
• Deret Taylornya:
• Taylor Polinomialnya:
Contoh Grafiknnya • Grafik f ( x )
=
cos x
*Contoh Soal Hitunglah nilai pendekatan cos(0,2) cos(0,2) dengan deret Maclaurin sampai orde n=6