DIBUJANDO LA CATENARIA EN AutoCAD
Una vez hemos situado los apoyos sobre el Plano Topográfico y hemos definido con ello la traza de la Línea Eléctrica, hemos obtenido el Perfil Longitudinal de dicha traza, hemos colocado sobre el perfil los apoyos, y obte nido el Parámetro de la catenaria para cada vano, se nos plantea el problema de dibujar en AutoCAD el tendido sobre el Perfil Longitudinal. Lo que intentaremos hacer es obtener puntos secuenciales de nuestra catenaria en cuestion, aproximándola a una parábola y uniremos posteriormente todos los puntos obtenidos mediante polilíneas. Evidentemente esto solo tendrá sentido si implementamos la solución del problema mediante un pequeño algoritmo en AutoLISP en AutoLISP . El problema se resuelve como sigue : 1. Tratamiento teórico del problema. :
Para resolver la figura sabemos que : y_a = x2/2P (cuando (cuando x = -x)
=> y_a y_a = (-x)2/2P = x2/2P
y_a = x2/2P y_b = x2/2P (cuando x = L-x) => y_b = (L-x)2/2P = (L2 + x2 – 2Lx)/2P y_b = (L2 + x2 – 2Lx)/2P El desnivel AZ = (y_b – y_a) = (L2 + x2 – 2Lx)/2P - x 2/2P = (L2 – 2Lx)/2P
de donde si
AZ = (L2 – 2Lx)/2P => x = (L/2 - AZP/L)
x = (L/2 - AZP/L)
Si tomamos como origen de coordenadas el punto A (x_a, y_a) entonces las coordenadas del vértice de la parábola parábo la vendrán dadas por : x_v = x_a + (L/2 - AZP/L) y_v = y_a – ((L/2 - AZP/L)2)/2P
Para calcular un punto que pertenezca a la parábola debemos tener en cuenta que las coordenadas del vértice deberían ser (0,0) ( 0,0) ya que según la ecuación de la parábola 2 y=x /2P para x=0 (vértice) => y=0 (ver figura). Como hemos redefinido el origen sobre el punto A , entonces : x_i = (x_a + Ax) => y_i = y_v + (x_i – x_v)2/2P -> x_i lo tomaremos como un punto desplazado un incremento Ax del punto A (x_a, y_a). -> A y_i le debemos sumar y_v, ya que al desplazar el origen y_v no será 0. -> A demás debemos restar de x_i, x_v porque el verdadero valor de x debemos contarlo a partir del vértice (x=0).
Por lo que : x_i – x_v = (x_a + Ax) – (x_a
+ (L/2 - AZP/L)) = (Ax + (L/2 -
AZP/L))
Recordemos que para x=0 tenemos justo este valor (L/2 - AZP/L), (ver figura). De forma que para un punto cualquiera que pertenezca a la parábola se ha de cumplir que : x_i = (x_a + Ax) (*) y_i = y_v + (x_i – x_v)2/2P
(*) Si queremos que el punto esté entre los dos apoyos se ha de cumplir que Ax < L. Bien, ahora debemos tener en cuenta que los datos de part ida que utilizaremos para calcular la catenaria catenar ia los obtendremos de un Perfil Longitudinal sobre el que habremos
colocado los apoyos. Es usual que estos Perfiles est én a escala (normalmente EH 1:2000 y EV 1:500), por lo que definiremos : eh = EH/1000 ev = EV/1000
De forma que si EH = 1:2000, EV = 1:500 => eh = 2 y ev = 0.5. Los únicos datos de partida que necesitaremos para dibujar la catenaria (aproximada a una parábola) serán : (x_a, y_a) , (x_b, y_b) y el parámetro, todos ellos conocidos. Con estos datos obtendremos : L = (x_b – x_a) * eh AZ = (y_b – y_a) * ev
Es importante respetar la nomenclatura de forma que el punto A debe quedar al izquierda del punto B. x_v = (x_a + (L/2 - AZP/L) * (1/eh)) y_v = (y_a – (((L/2 - AZP/L) 2)/2P) * (1/ev))
De la misma forma nos queda que para cualquier punto que pertenezca a la parábola : x_i =
(x_a + Ax * (1/eh))
Para calcular la coordenada y_i, debemos partir de los valores de x_i sin escalas :
x_i’ = (x_a + Ax)
Y necesitamos las coordenadas del vértice también sin escalas : x_vr
= (x_a + (L/2 - AZP/L))
Entonces y_i será (esta vez si aplicamos la escala al valor obtenido) : y_i = (y_v + ((x_i’ – x_vr)2/2P) * (1/ev))
2. Tratamiento práctico del problema.
Después de la explicación teórica, procedemos al “modus operandi” de cómo obtener los puntos secuenciales de una parábola a partir part ir de los valores pinchados sobre el Perfil Longitudinal, en AutoCAD. 1. Obtenemos las coordenadas de los puntos A y B del Perfil Longitudinal, los puntos de amarre del conductor : A = (x_a, y_a) B = (x_b, y_b)
2. Tomamos los valores de las escalas de t rabajo : eh = EH/1000 ev = EV/1000
3. Calculamos L y AZ : L = (x_b – x_a) * eh AZ = (y_b – y_a) * ev
4. Fijamos el Parámetro que deseamos para la catenaria : P = Tense / Carga (Parámetro de la catenaria)
5. Calculamos x_vr e y_v como sigue : x_vr
= (x_a + (L/2 - AZP/L))
y_v
= (y_a – (((L/2 - AZP/L)2)/2P) * (1/ev))
6. Fijamos el número de puntos secuenciales que queremos calcular (a mayor mayor número, mayor precisión) : n = número de puntos secuenciales (cuerdas).
7. Tomaremos AL = L/n.
AL = L/n
8. Comenzaremos la secuencia con i = 1, y : Ax = i * AL
9. Calcularemos y_i como sigue :
x_i’ = x_a + Ax y_i = (y_v + ((x_i’ – x_vr)2/2P) * (1/ev))
10. Y finalmente x_i lo calculamos como : x_i = x_a + Ax * (1/eh)
11. Incrementamos el valor de i en uno y volvemos al paso 8 hasta que i=n : i = i + 1 y volver al paso 8 si i < n (o Ax < L)
12. Con todo esto disponemos disponemos de una tabla de n pa pares res de puntos (x_i, y_i) con los que podremos dibujar la catenaria aproximada a una parábola. parábola. Esta aproximación comete un error menor del 1.00 % con lo que será válida para la mayoría mayoría de los casos. Hay que tener presente que si por alguna razón nos interesan interesan las coordenadas del vértice, éstas no simpre quedarán dentro del vano. Dependiendo Dependiendo del parámetro éstas podrán caer fuera del vano. NOMENCLATURA. : A (x_a, y_a) izquierda.
= Coordenadas del punto situado más a la Pertenecen al amarre del Apoyo A.
B (x_b, y_b) derecha.
= Coordenadas del punto situado más a la Pertenecen al amarre del Apoyo B (ver
figura). P
= Parámetro de la catenaria. Equivale al Tense partido por la carga.
(P=T/C).
Recordemos que la carga será la suma del Peso Propio del conductor más las posibles cargas adicionales a que se vea sometido éste (hielo, viento, etc). AZ (y_b – y_a). L x_v,y_v AutoCAD). x_vr
= Desnivel entre los amarres de los soportes = Longitud plana del vano (x_b – x_a). = Coordenadas del vértice de la parábola (sobre = Coordenada x real del vértice sin escalar. Sin aplicar la escala de deformación del
Perfil. x_i, y_i parábola.
= Coordenadas del punto secuencial (i) de la
x_i’ escalar.
= Coordenada x del punto secuencial sin
eh, ev Perfil Longitudinal).
= Factor de escala horizontal y vertical (del
n
= nº de puntos secuenciales de la parábola. Evidentemente es un número entero.
AL=L/n cálculo de los puntos
= Incremento de longitud unitario para el secuenciales.
Ax
= Incremento de x. También definido como i * AL. Incremento n-secuencial de x para el cálculo
de los puntos secuenciales. i
= n-secuencia.
Rutina en AutoLISP. En el directorio Bonus de TopoLGCAD TopoLGCAD 2.0 encontrará enco ntrará la rutina. rut ina.
Este artículo es libre y se puede distribuir siempre que se cite la fuente original. David Esquinas - 2004 -
