DIFERENCIALES
() EJEMPLO:
Usando diferenciales calcular aproximadamente
√
La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial diferencial de la variable independiente .
APROXIMACIONES
El diferencial de la función es tan aproximadamente igual al incremento de la función como se desee.
ERROR RELATIVO
Cuando una cantidad
se próxima mediante la cantidad
define el error relativo al valor :
PORCENTAJE DE ERROR
Se trata de presentar en porcentaje el error presentado es decir:
%
con un error
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- ¿Cuál debe ser el grosor de una esfera hueca con radio exterior 10 pies si se quiere que esta esfera en el agua se hunda solo la mitad. La densidad del material es 465lb/pie 3 y la del agua 62lb/pie 3? SOLUCION
̇ ̇ ⁄
Por equilibrio:
= Volumen del material
2.-Un tubo de hierro de 10 pies de largo tiene un diámetro exterior de 4 pulgadas y de espesor 0,25 pulgada. Emplee una diferencial para aproximar el peso del tubo. Si el hierro pesa 450lb/pie 3. Rpta.-
⁄ ̇ ̇ =diferencia de volúmenes
Como 1 pie 3 pesa 450 lb, entonces 0,218pie 3 pesa 98,1 lb. 3.-Halle el valor aproximado de sen31° usando diferenciales. Rpta.-
̇ ̇
4.-Una caja de metal en la forma de un cubo va a tener un volumen interior de 64 pulgadas cúbicas. Las seis caras se van a construir de metal de 0,25 pulgada de espesor. Si el costo del metal que se va va a usar es de 8 soles por pulgada cúbica, usar diferenciales para encontrar el costo aproximado del metal que se va a usar en la manufactura de la caja. Rpta.-
3
̇ ̇ 3
Como 1 pulg cuesta 8 soles, entonces 12pulg cuesta 96 soles.
5.-Usando diferenciales hallar el porcentaje en que aumenta el volumen de una esfera si su área aumenta en (1/3)% Rpta.-
̇ ̇ % % % % y
6.-¿Con qué precisión debe medirse el diámetro de un círculo para que el área resulte con un error menor del uno por ciento? Rpta.-
̇ ̇
7.-La fórmula para el periodo péndulo simple es T=2π T=2π quiere que el péndulo de un reloj gana 2 minutos por día. la inexactitud. Rpta.-
(tiempo en segundos para completar una oscilación completa) de un 2 , donde L es la longitud del péndulo en pies y g=32,16pies/seg . Se cierto reloj haga una oscilación completa cada 2 segundos, pero el Hallar el cambio aproximado en la longitud del péndulo para corregir
Pero:
√ √ √ ̇ ̇ √
8.-Usando diferencial, hallar aproximadamente el peso de un casquete hemisférico de espesor de 1/8 de pulgada y radio interior de 4 pies, sabiendo que un pie cúbico del material pesa 480 libras. Rpta.-
̇ ̇
Se sabe que: -12 pulgadas=1pie 3 -1pie =480 lb Entonces:
Por una regla de tres llegamos que el volumen pedido pesa: 502,64 libras
9.-El principio de Arquímedes dice que un cuerpo que flota desaloja un volumen de líquido de peso igual al del cuerpo. Supóngase que una pelota hueca de 10cm de diámetro se hunde hasta una profundidad de 2cm en el agua (un gramo por cc) Supóngase que ahora se introducen 5 gramos de plomo al interior de la pelota. ¿Hasta qué profundidad se hundirá ahora? NOTA: Si la esfera se sumerge hasta una profundidad H≤ H ≤2r, el volumen de la porción sumergida es: 2 (3r-h)
10.- La longitud de una varilla de metal como función de la temperatura está dada por: (1+α αt) 0(1+ Donde L0 es la longitud inicial de la varilla y t es la temperatura. Suponiendo que las 3 dimensiones dependen de la temperatura, del mismo modo, hallar una fórmula para el volumen de una barra rectangular de metal en función de la temperatura. Hallar la diferencial del volumen, también como un caso particular si el volumen de la barra aumenta en 0,1% cuando la temperatura cambia de 100° a 120°. Hallar el valor aproximado de α. Rpta.-
̇ ̇
11.-Encuentre f(0,02) aproximadamente si:
Rpta.-
12.-El periodo de un péndulo simple de L pies de longitud es seg. Suponga que “g” es 2 la aceleración debido a la gravedad en la superficie cuyo valor es 32 pies/seg . Si el péndulo es el de un reloj que está sincronizado cuando L=4 pies ¿Cuánto se adelantará en 24 horas si la longitud del péndulo se reduce a 3,97 pies? Rpta.-
13.-Utilizando diferenciales calcular el valor aproximado de:
√ √
“100” radicales
Rpta.-
“100 radicales”
̇ ̇
14.-Usando diferenciales, hallar el valor aproximado de la expresión:
√ √
Y aproximar el porcentaje de error cometido.
15.-El ángulo comprendido entre los lados iguales de un triángulo isósceles miden 0,53 ± 0,005 radianes. Los dos lados iguales miden 151 cm exactos de longitud. Calcule la longitud del tercer lado con una estimación del error. Rpta.Ley de cosenos
̇ ̇
16.-Suponiendo que el ecuador es un círculo cuyo radio aproximado es de 4000 millas ¿En cuánto excedería al ecuador un círculo coplanar concéntrico si cada punto de este se encuentra 2 pies fuera del ecuador? Use diferenciales.. diferenciales Rpta.-
Obs: -1milla=5280 pies
̇ ⏟ ̇
17.-Deducir una fórmula de aproximación usando diferenciales para calcular donde b es pequeño comparado con . 18.-Dos 18.Dos lados de un triángulo miden “a” y “2a” y el ángulo comprendido entre ellos 60° ¿Cuál es el error porcentual cometido en la medida del tercer lado, si en la medida del ángulo dado hay un error de ±0,9°?
||
√
Rpta.-
̇ ̇ %
19.-La medida de la resistencia eléctrica de un alambre es proporcional a la medida de su longitud e inversamente proporcional al cuadrado de la medida de su diámetro. Supóngase que la resistencia de un alambre de longitud dada, se calcula a partir de la medida del diámetro, con un posible error del 2%. Encontrar el posible error porcentual en el valor calculado de la resistencia.
Rpta.-
Donde K es una constante
̇ ̇ %%
20.-Se confecciono una caja de lados verticales y base cuadrada de modo tal que la altura sea exactamente igual al doble de la longitud de la base. Si la longitud de la base es 3,5 pulgadas con un error posible de ±0,3 pulgada ¿Cuál es el error posible en el volumen de la caja? Rpta.-
̇ ̇ %
21.-La altura de un cono recto circular es el doble del radio de la base. Al medirse se encontró encontró que la altura es de 12 pulgadas con un posible error de 0,005 pulgadas. Hallar el error aproximado en el cálculo del volumen del cono. Hallar el error relativo y porcentual. porcentual. Rpta.H=2R
̇ ̇ %%
Error relativo error porcentual
22.-El radio ecuatorial de la tierra es aproximadamente 3960 millas. Supóngase que se enrolla de manera justa un cable alrededor de la tierra, por el ecuador. ¿Aproximadamente cuánto aumenta la longitud del cable si se levanta en todos los puntos sobre postes a 10 pies de altura? Rpta.Sabemos que R=3960 millas
̇ ̇
23.-La medida de la resistencia eléctrica de un alambre es proporcional a la medida de su longitud e inversamente proporcional al cuadrado de la medida de su diámetro. Suponga que la resistencia de un alambre de longitud dada se calcula apartir de la medida del diámetro con un posible error del 2%. Encontrar el posible error porcentual en el valor calculado de la resistencia.
% % Solución:
Piden: