DIFRAKSI KRISTAL DAN KISI KRISTAL
4. Penurunan Rumus Amplitudo Hamburan a) Analisis Fourier Sebagian besar sifat kristal dapat dihubungkan dengan komponen Fourier dari kerapatan elektron. Aspek tiga dimensi pada kecenderungan waktu tertentu tidak menyebabkan berbagai kesulitan dengan matematikanya, tapi pertama kita mengingat fungsi n (x) dengan periode a pada satu dimensi. Kita kembangkan n (x) dalam deret Fourier sinus dan kosinus :
Dimana p adalah bilangan bulat positif, Cp dan Sp adalah konstanta real, disebut koefisien ekspansi Fourier. Faktor
2п 𝑎
dalam uraian akan meyakinkan bahwa n (x) memiliki periode a :
Kita dapat menyatakan bahwa
2п𝑝 𝑎
sebuah titik pada kisi balik atau ruang Fourier pada
kristal. Titik kisi balik memberitahukan kita bahwa diizikan terminologi dalam deret Fourier. Terminologi diizinkan jika konsisten dengan kecenderungan waktu tertentu dari kristal, seperti gambar berikut, titik lain dalam ruang balik tidak diizinkan dalam ekspansi Fourier pada fungsi periodik.Ini adalah waktu yang tepat untuk menuliskan deret dengan rapi dari :
Koefisien np merupakan bilangan kompleks. Untuk memastikan bahwa n (x) adalah fungsi nyata, kita memerlukan n-p = np.
Kemudian jumlah dari terminologi p dan –p adalah real. Dengan φ =
2п𝑝𝑥/𝑎 maka
jumlahnya adalah :
yang mana dalam jumlah untuk fungsi real,
Re {np} dan Im {np} menunjukkan bagian real dan imajiner dari np. Ekspansi dari Analisis Fourier untuk fungsi periodik dalam tiga dimensi tidak rumit. Kita temukan kumpulan dari vektor G
adalah sama dibawah seluruh translasi kisi T yang meninggalkan kristal yang sama. b) Vektor kisi balik Setiap struktur kristal mempunyai 2 kisi, yaitu kisi kristal dan kisi resipok. Jika kristal disinari dengan sinar-x, maka akan dihasilkan pola difraksi yang merupakan peta kisi resipok kristal tersebut. Dengan kata lain bila sinar-x mengenai kristal sebagai kisi nyata, maka dihasilkan pola difraksi yang berbentuk kisi resipok. Sel satuan suatu kristal dibangun oleh vektor-vektor basis a1, a2, dan a3. Kisi dalam ruang (real/nyata) tiga dimensi tersebut disebut kisi langsung (direct lattice). Sebaliknya dapat didefenisikan kisi balik (resipocal-lattice) yang dibangun oleh vektor-vektor basis dalam ruang balik b1, b2, dan b3 menurut hubungan :
b1 2
a2 x a3 a1 . a2 x a3
b2 2
a3 x a1 a1 . a2 x a3
b 3 2
a1 x a 2 a1 . a 2 x a 3
Relasi antara vektor basis balik dengan vektor basis kisi dapat dilihat pada gambar dibawah.
Gambar 1. Hubungan vektor basis balik dengan vektor basis kisi
Vektor b1 adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibuat oleh vektor a2 dan a3. Vektor b2 adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibuat oleh vector a1 dan a3. Vektor b3 adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibuat oleh vector a1 dan a2. Vektor dalam kisi resipok Ghkl (semacam vektor translasi T dalam kisi langsung) dinyatakan sebagai berikut. ko : vektor gelombang datang k : vektor gelombang hambur Ghkl : vektor normal bidang dhkl =
2 Ghkl
c) Kondisi Difraksi Didefinisikan vektor hamburan k sedemikian rupa k + k = k’. Ini merupakan ukuran dari perubahan vektor gelombang terhambur. Bila yang terjadi adalah hamburan yang bersifat elastis, maka tidak ada perubahan besar vektor gelombang sehingga
k k ' 2
Gambar 2. Kondisi difraksi
Perubahan vektor k dalam k adalah tegak lurus terhadap bidang (hkl). Arahnya adalah searah dengan arah G(hkl) atau vektor satuan n. Maka diperoleh hubungan k k ' k 2 Sin k nˆ
4 Sin G hkl G hkl
Dapat ditunjukkan bahwa jarak antar bidang d(hkl) berkaitan dengan besar G(hkl) dalam bentuk
d hkl
2 G hkl
Sehingga dapat diungkapkan bahwa 2 d ( hkl ) Sin k G ( hkl )
Jika hukum Bragg terpenuhi maka,
k G hkl Dengan demikian relasi antara vektor gelombang awal dan akhir refleksi Bragg dari gelombang – partikel dapat ditulis sebagai k
2
k'
2
k ' G hkl k
Jika kuantitas 2 k. G G 2 0 sehingga kondisi difraksi dapat ditulis sebagai
2 k. G G 2 0 Ini adalah ungkapan bagi kondisi yang diperlukan untuk terjadinya difraksi. Dapat dibuktikan bahwa
a1 . k 2 h ; a2 . k 2 k ;
a3 . k 2 l
Persamaan ini adalah persamaan Laue, yang mana digunakan dalam pembicaraan simetri dan struktur kristal.
5. Analisis Fourier dari Basis Resultan gelombang difraksi oleh keseluruhan atom dalam unit sel (satu satuan sel) dinyatakan dalam faktor struktur. Bila kondisi difraksi terpenuhi amplitudo terhambur bagi kristal terdiri dari N sel adalah diungkapkan sebagai FC=N.SG Dimana kuantitas SG disebut dengan faktor struktur yang didefinisikan sebagai :
r j x j a1 y j a 2 z j a3 Dan fj = faktor atomik. Kemudian, bagi refleksi yang dilabel dengan h, k, l, : Sehingga faktor struktur S :
G. r j 2 hx j ky j lz j
S G hkl f j exp i 2 hx j ky j lz j j
Amplitudo terhambur sebagai penjumlahan yang bentuk eksponensial : F hkl
f e j
i j
f Cos f i Sin f A f B
j
Dalam difraksi intensitas adalah terkait dengan amplitude, yaitu besar absolut |F|: 2
F f j A j f j B j j j
2
A Cos 2 (hx ky lz ) ; B Sin 2 (hx ky lz ) 2
F f j cos 2 hx j ky j lz j f j sin 2 hx j ky j lz j j j
2
6. Daerah Brillouin Brillouin memberi pernyataan dari kondisi difraksi yang paling banyak digunakan dalam fisika keadaan padat, yang berarti dalam deskripsi teori pita energi elektron dan dari eksitasi elementer jenis lain.
Gambar 3. Konstruksi daerah Brillouin pertama untuk sebuah kisi miring dalam dua dimensi. Kita pertama kali menarik sejumlah vektor dari O ke titik terdekat dalam kisi resiprokal. Berikutnya kita membangun garis tegak lurus dengan vektor ini pada titik tengah. daerah terkecil tertutup adalah daerah Brillouin pertama.
Gambar 4. Kristal dan kisi timbal balik dalam satu dimensi. Dasar vektor dalam kisi resiprokal adalah b, dengan panjang yang sama untuk yang terpendek vektor kisi resiprokal dari asal yang b dan b. Bisectors tegak lurus vektor ini membentuk batas-batas daerah Brillouin pertama. Batas-batas berada di k.
Sel sentral dalam kisi resiprokal adalah penting khusus dalam teori padatan, dan kita menyebutnya daerah Brillouin pertama. Daerah Brillouin pertama adalah volume terkecil seluruhnya tertutup oleh pesawat yang bisectors tegak lurus dari timbal balik kisi vektor ditarik dari asal. Daerah Brillouin pertama kisi miring dalam dua dimensi dibangun pada Gambar 3 dan dari linear dalam satu dimensi pada Gambar 4. Zona batas-batas dari kisi linear di k = ± π/a, di mana a adalah sumbu primitif kisi kristal. Secara historis, daerah Brillouin bukan bagian dari bahasa analisis difraksi x-ray dari struktur kristal, tapi daerah adalah bagian penting dari analisis struktur energi-band elektronik kristal. a) SC b) BCC c) FC
