Diktat Biostat

Diktat Statistik Oleh: Dr. Eng. Muhammad Ilhamdi Rusydi Stikes MERCUBAKTIJAYA MERCUBAKTIJAYA

n

 X n   

1

n

Dengan n adalah data ke-1, 2, 3, 4, dst.

Langkah-langkah Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah: a. urutkan data dari yang paling kecil kepada yang paling besar, b. Carilah lokasi nilai tengah berada , N median 

n 1 2

c. Carilah/hitunglah nilai tengah tersebut (Median). Untuk kasus jumlah data yang genap, maka nilai tengah yang posisinya berada diantara dua buah nilai a dan b, dimana b>a, adalah : Median Median  a  0.5(b  a)

adalah nilai yang paling sering muncul.


Data Berat Badan (kg) kelas 2-B Kebidanan MCB Tahun 2015 adalah sbb. Hitunglah rata-rata, median dan modus!. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Data 38 41 43 45 45 46 46 47 47 47 47 47 48 48 48 48 48 49

No 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

Data 49 49 50 50 50 50 50 50 51 52 53 53 53 54 54 54 54 55

n52

 X n

 

n1

52,08

52

Lokasi Median N median 



n 1 2 52  1

2  26.5

Data yang ke 26 adalah 50. Data yang ke 27 adalah 51.

No 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

Data 55 55 56 56 57 57 57 58 58 58 59 60 64 65 69 69


Maka data yang ke 26.5 adalah Median  a  0.5(b  a )

 50  0.5 0.5(51  50)  50.5

Modus Dat a 38 41 43 45 46 47 48 49

Frekuens i 1 1 1 2 2 5 5 3

Dat a 50 51 52 53 54 55 56 57

Frekuens i 6 1 1 3 4 3 2 3

Data dengan frekuensi terbanyak adalah 50.

Dat a 58 59 60 64 65 69

Frekuens i 3 1 1 1 1 2


Cara mengelompokkan data menggunakan aturan sturges:

tunggal

adalah

dengan

k  1  3.3lo .3log n

k adalah jumlah kelas n adalah banyak data i  range / k

i adalah interval kelas range adalah nilai terbesar dikurangi dengan nilai terkecil

Kelompokkanlah data berikut ini dan hitunglah rata-rata, median dan modusnya! Dat a 38 41 43 45 46 47 48 49

Frekuens i 1 1 1 2 2 5 5 3

Dat a 50 51 52 53 54 55 56 57

Frekuens i 6 1 1 3 4 3 2 3

Banyak data = 52, Maka jumlah kelas adalah k  1  3.3lo 3.3log gn

 1  3.3lo 3.3log g 52 6, 7  6,7 7

Jumlah kelas adalah 7 kelas dengan interval

Dat a 58 59 60 64 65 69

Frekuens i 3 1 1 1 1 2

Diktat Statistik Oleh: Dr. Eng. Muhammad Ilhamdi Rusydi Stikes MERCUBAKTIJAYA i  range / k

 (69  38) / 7  4.428 4

Data dikelompokkan dengan menggunakan interval sebesar 4. Berdasarkan hasil tersebut, maka dibuatlah tabel distribusi berkelompok dari data sbb: Kelas 1 2 3 4 5 6 7 8

Kelompok 38 – 41 42 – 45 46 – 49 50 – 53 54 – 57 58 – 61 62 – 65 66 - 69

Frekuensi 2 3 15 11 12 5 2 2

Jumlah kelas pada tabel di atas adalah 8, hal ini disebabkan adanya pembulatan yang dilakukan baik pada jumlah kelas maupun interval yang telah dihitung sebelumnya. Kelas Kelompok Frekuensi (F) 1 2 3 4 5 6 7 8 Total

38 – 41 42 – 45 46 – 49 50 – 53 54 – 57 58 – 61 62 – 65 66 - 69

2 3 15 11 12 5 2 2 52

Nilai Tengah (NT) 39.5 43.5 47.5 51.5 55.5 59.5 63.5 67.5

F*NT

79 130.5 712.5 566.5 666 297.5 127 135 2714

Diktat Statistik Oleh: Dr. Eng. Muhammad Ilhamdi Rusydi Stikes MERCUBAKTIJAYA

data berkelompok adalah m

 Fm * NT m X 

1 m

 F m 1

NT  nilaitengah F  Frekuensi m  nomor kelas

m

 Fm * NT m X 

1 m

 F m 1



2714

52  52,19

Data Berkelompok adalah n  C 2 Median  L1  ( L2  L1 ) fm

L1 adalah batas tepi bawah dari kelas median L2 batas tepi atas dari kelas median n adalah total frekuensi C adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas median f m adalah frekuensi dari kelas median


Kelas Kelompok Frekuensi (F) 1 38 – 41 2 2 42 – 45 3 3 46 – 49 15 4 50 – 53 11 5 54 – 57 12 6 58 – 61 5 7 62 – 65 2 8 66 – 69 2

Frekuensi kumulatif 2 5 20 31 43 48 50 52

Pertama adalah cari kelas median berdasarkan posisi nilai median. N median 



n 2 52

2  26

Dengan jumlah data sebanyak 52 buah, maka posisi median adalah 26. Posisi ini terletak pada kelas ke-4 (50 – 53), maka: L1 = 49.5 L2 = 53.5 n = 52 C = 20 f m = 11 Median  L1 

N median  C fm 52

 49.5  2

 20

11  49,5  2,18

 51,68

( L2  L1 )

(53.5  49.5)


Modus  L1 

d 1 d1  d 2

 L2  L1 

L1 adalah batas tepi bawah dari kelas modus L2 batas tepi atas dari kelas modus d1 adalah perbedaan frekuensi antara kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 adalah perbedaan frekuensi antara kelas modus dengan kelas setelahnya Berdasarkan persamaan tersebut, maka kita dapat menghitung modus data berikut ini. Kelas Kelompok Frekuensi Frekuensi (F) kumulatif 1 38 – 41 2 2 2 42 – 45 3 5 3 46 – 49 15 20 4 50 – 53 11 31 5 54 – 57 12 43 6 58 – 61 5 48 7 62 – 65 2 50 8 66 - 69 2 52 Kelas modus pada data berkelompok di atas ada pada kelas ke-3, kelompok 46 – 49 dengan frekuensi 15, maka L1 = 45,5 L2 = 49,5 d1 = 12 (selalu positif) d2 = 4 (selalu positif)


Modus  L1 

d 1 d1  d 2

 45,5 

12

12  4  45,5  3

 48,5

 L2  L1  (49,5  45, 5)


Adakalanya nilai dari mean, median dan modus tidak dapat menggambarkan situasi real dari sebuah data atau keadaan.

Terdapat dua buah perusahaan dengan data gaji enam orang karyawannya adalah sebagai berikut: Perusahaan A 30000 30000 Tidak ada

Mean Median Modus

Perusahaan B 30000 30000 Tidak ada

Kedua perusahaan tersebut memiliki data nilai terpusat yang sama nilainya. Sedangkan besaran gaji setiap karyawan tersebut adalah: Karya wan 1 Perusah 5000 aan A Perusah 5000 aan B

Karya wan 2 15000

Karya Karya Karya Karya wan 3 wan 4 wan 5 wan 6 25000 35000 45000 55000

5000

5000

55000

55000

55000

Dari data berasan gaji karyawan, terlihat jelas kalau terdapat perbedaan metoda penetapan gaji yang diberikan kedua perusahaan terhadap karyawannya. Untuk mengetahui bagaimana susunan sebuah data, maka perlu kita mempelajari nilai sebaran data tersebut.


Range adalah perbedaan antara nilai tertinggi dan nilai terendah.

Untuk mencari Kuartil, Desil dan Persentil data tunggal, yang harus dilakukan adalah: a. Urutkan data dari yang paling kecil kepada yang paling besar, b. Carilah lokasi nilai Kuartil ( N K )/Desil( N D )/Persentil( N P ) berada , c. Carilah/hitunglah nilai Kuartil/Desil/Persentil tersebut

N K 

k (n  1) 4

NK adalah posisi kuartil ke K (K=1, 2, 3, dan 4) k ada kuartile ke-K n adalah banyak data

N D 

D(n  1) 10

ND adalah posisi Desil ke D (D=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 10) D ada desil ke-D n adalah banyak data

N P 

P(n  1) 100

NP adalah posisi persentil ke P (P=1, 2, 3, P ada desil ke-P n adalah banyak data

…,

100)


Data

Population

Sample

Tunggal

Berkelompok

Tunggal

Berkelompok

Dalam menghitung Varians yang perlu diperhatikan adalah: 1. Apakah data tersebut berasa dari populasi atau sampel? 2. Apakah data tersebut tunggal atau berkelompok? Jika data tersebut adalah data populasi dan tunggal, maka varians adalah n

 ( xi   )2 



2

2

i 1

n

adalah Varians dari populasi xi adalah





data urutan ke-i

adalah rata-rata data tunggal populasi n adalah banyak data

Jika data tersebut adalah data sampel dan tunggal, maka varians adalah

s s

2

2

( xi  x)2   n 1

adalah Varians dari sampel


xi adalah 

data urutan ke-i

Adalah rate-rate data tunggal sampel n adalah banyak data

Standar Deviasi untuk data populasi dan tunggal adalah







2

Standar Deviasi untuk data sampel dan tunggal adalah s 

s2

Contoh Soal 1

Hitunglah Range, Kuartil 2, Desil 5 dan Persentil 50, Varians dan Standar Deviasi dari data berat badan mahasiswa kelas II-B Kebidanan Mercubaktijaya tahun 2015 berikut ini! No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Data 38 41 43 45 45 46 46 47 47 47 47 47 48

No 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Data 48 48 48 48 49 49 49 50 50 50 50 50 50

No 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Data 51 52 53 53 53 54 54 54 54 55 55 55 56


No 40 41 42 43 44

Data 56 57 57 57 58

No 45 46 47 48 49

Data 58 58 59 60 64

No 50 51 52

Data 65 69 69

Data di atas adalah data poulasi dan tunggal, sehingga kita harus menggunakan persamaan yang tepat untuk menghitung variabel sebaran data tersebut. Jangkauan data atau range adalah 69-38 = 31 kg

N K 

k (n  1)

4 dengan

K  2, n  52 N 2 

2(52  1)

4  26,5

Data urutan ke 26,5 berada diantara data urutan ke 26 dan 27. Data urutan ke 26 adalah 50 Data urutan ke 27 adalah 51 Sehingga data urutan ke 26.5 adalah K 2  a  0.5(b  a )

 50  0.5(51 50)  50.5

Kuartil ke 2 adalah 50,5. Nilai ini sama dengan nilai median.


N D 

D(n  1)

10 dengan

D  5, n  52 N 2 

5(52  1)

10  26,5

Data urutan ke 26,5 berada diantara data urutan ke 26 dan 27. Data urutan ke 26 adalah 50 Data urutan ke 27 adalah 51 Sehingga data urutan ke 26,5 adalah D5  a  0.5(b  a )

 50  0.5(51  50)  50,5

Desil ke 5 adalah 50,5. Nilai ini sama dengan nilai median.

N P 

P(n  1)

100 dengan

P  50, n  52 N 2 

50(52  1)

100  26,5

Data urutan ke 26,5 berada diantara data urutan ke 26 dan 27. Data urutan ke 26 adalah 50 Data urutan ke 27 adalah 51 Sehingga data urutan ke 26,5 adalah P50  a  0.5(b  a)

 50  0.5(51  50)  50,5

Persentil ke 50 adalah 50,5. Nilai ini sama dengan nilai median.


No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

xi  

( xi   )2

No

Data

xi  

( xi   )2

38 -14,15 41 -11,15 43 -9,15 45 -7,15 45 -7,15 46 -6,15 46 -6,15 47 -5,15 47 -5,15 47 -5,15 47 -5,15 47 -5,15 48 -4,15 48 -4,15 48 -4,15 48 -4,15 48 -4,15 49 -3,15 49 -3,15 49 -3,15 50 -2,15 50 -2,15 50 -2,15 50 -2,15 50 -2,15 50 -2,15 51 -1,15 52 -0,15

200,33 124,41 83,79 51,18 51,18 37,87 37,87 26,56 26,56 26,56 26,56 26,56 17,25 17,25 17,25 17,25 17,25 9,95 9,95 9,95 4,64 4,64 4,64 4,64 4,64 4,64 1,33 0,02

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

53 53 53 54 54 54 54 55 55 55 56 56 57 57 57 58 58 58 59 60 64 65 69 69

0,85 0,85 0,85 1,85 1,85 1,85 1,85 2,85 2,85 2,85 3,85 3,85 4,85 4,85 4,85 5,85 5,85 5,85 6,85 7,85 11,85 12,85 16,85 16,85

0,72 0,72 0,72 3,41 3,41 3,41 3,41 8,10 8,10 8,10 14,79 14,79 23,49 23,49 23,49 34,18 34,18 34,18 46,87 61,56 140,33 165,02 283,79 283,79 2088,77

Data

n

 ( xi   )2 i 1


n

 ( xi   )2 

2

 

i 1

n 2088,77

52  40,17







2

 40,17  6,34

K n  L 

i ( xn  f kum ) f

dengan N K 

K * n 4

K K adalah kuartil ke-K i adalah interval kelas L batas tepi bawah kelas kuartil NK adalah letak kuartil ke-K n adalah banyak data f kum adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil f adalah frekuensi kelas kuartil

Dn  L 

i(Dn  f kum ) f

dengan xn 

D* n 10

Dn adalah Desil ke-n i adalah interval


xn adalah letak Desil D adalah banyak data f kum adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas desil f adalah frekuensi kelas desil

Pn  L 

i ( xn  f kum ) f

dengan xn 

P* n 100

Pn adalah persentil ke-n i adalah interval xn adalah letak persentil P adalah banyak data f kum adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil f adalah frekuensi kelas persentil

Varian dari populasi dan data dikelompokkan adalah n

 fi ( NTi  X )2 



2

i 1

n

 f i i 1



2

adalah varians

f i adalah NT i

frekuensi kelas ke-i

adalah nilai tengah kelas ke-i

X adalah

rata-rata data dikelompokkan

Varian dari sample dan data dikelompokkan adalah


n

 fi ( NTi  X )2 s 2 

s

2

 n    f i   1  i 1 

adalah varians

f i adalah NT i

i 1

frekuensi kelas ke-i

adalah nilai tengah kelas ke-i

X adalah

rata-rata data dikelompokkan





s 

s2



Sumber Gambar :

2


http://www.managedfuturesinvesting.com/managed-futures/news /aisource-news/2015/10/13/what-is-skewness Skewness memperlihatkan distribusi sebuah data. Terdapat tiga macam tipe skewness: Skewness > 0 menandakan bahwa banyak data terletak di kiri grafik sedangkan sedikit data terletak di bagian kanan grafik.. Skewness < 0 menandakan bahwa banyak terletak di kanan grafik sedangkan sedikit data yang terletak di ujung kiri grafik. Skewness = 0 menandakan bahwa data terdistribusi merata ke arah kiri dan kanan dari grafik.

Skewness 

3* (Mean  Modus) St an darDeviasi


Mendeklarasikan Hipotesis H0 dibaca juga dengan null hypothesis atau hipotesis nol. H 0 adalah sebuah statement yang menggambarkan kondisi sebuah populasi ataupun keadaan. H0 ini diasumsikan sebagai pernyataan yang benar. H0 ini akan diuji kebenarannya. H1 adalah pernyataan yang isinya kontradiktif terhadap hipotesis nol. H1 disebutkan juga dengan hipotesis alternative. H1 menyatakan bahwa kondisi dari populasi tersebut lebih sedikit, lebih besar atau tidak sama dengan pernyataan yang diberikan oleh H0. Menetapkan tingkat keyakinan Dalam merancang kriteria keputusan, maka digunakanlah kriteria tingkat keyakinan untuk diuji. Tingkat keyakinan ini bedasarkan pada probabilitas dari sampel jika hipotesis nol bernilai benar.

Melihat nilai Za pada tabel Z Menghitung nilai Z menggunakan persamaan : Membuat keputusan dengan memperhatikan nilai Za dan Z. Mengambil keputusan apakah hipotesis nol betul atau salah berdasarkan perhitungan pengujian statistic.


Pengujian ini untuk mendapatkan perbedaan antara rata-rata sampel dan rata-rata populasi yang diasumsikan.

X sebagai

rata-rata dari sampel acak dari observasi independent yang dilakukan terhadap populasi. 

adalah rata-rata dari populasi yang berupa prakiraan atau

dugaan. 

2

adalah varians dari populasi.

1. Populasi diasumsikan terdistribusi normal. 2. Varians dari populasi diketahui.

H0: tidak ada perbedaan yang siknifikan antara rata-rata sampel yang diambil dengan dugaan rata-rata populasi. H0:

H1 (1)



  0

H1 (2)



  0

H1 (3)



  0





  0


1. Uji dua arah, daerah yang diarsir menunjukkan daerah yang nilainya tidak sama dari nilai kritis. Daerah tersebut menandakan penolakan terhadap H0.



2



 Z

Z

2

2

2

2. Uji daerah kanan, daerah yang diarsir menunjukkan daerah yang nilainya lebih besar dari nilai kritis. Daerah tersebut menandakan penolakan terhadap H0.



Z

3. Uji daerah kiri, daerah yang diarsir menunjukkan daerah yang nilainya lebih kecil dari nilai kritis. Daerah tersebut menandakan penolakan terhadap H0.




 Z

Nilai Kritis 1. Uji dua daerah 2. Uji daerah kanan 3. Uji daerah kiri

Tingkat Keyakinan 1% 5% 10% Z

=2,58

Z

=1,96

Z

=1,64

Z =2,33

Z =

1,645

Z =1,28

Z =-2,33

Z =

-1,645

Z =-1,28


Z-Value

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

0.50000 0.46017 0.42074 0.38209 0.34458 0.30854 0.27425 0.24196 0.21186 0.18406 0.15866 0.13567 0.11507 0.09680 0.08076 0.06681

0.49601 0.45620 0.41683 0.37828 0.34090 0.30503 0.27093 0.23885 0.20897 0.18141 0.15625 0.13350 0.11314 0.09510 0.07927 0.06552

0.49202 0.45224 0.41294 0.37448 0.33724 0.30153 0.26763 0.23576 0.20611 0.17879 0.15386 0.13136 0.11123 0.09342 0.07780 0.06426

0.48803 0.44828 0.40905 0.37070 0.33360 0.29806 0.26435 0.23270 0.20327 0.17619 0.15151 0.12924 0.10935 0.09176 0.07636 0.06301

0.48006 0.44038 0.40129 0.36317 0.32636 0.29116 0.25785 0.22663 0.19766 0.17106 0.14686 0.12507 0.10565 0.08851 0.07353 0.06057

0.47608 0.43644 0.39743 0.35942 0.32276 0.28774 0.25463 0.22363 0.19489 0.16853 0.14457 0.12302 0.10383 0.08691 0.07215 0.05938

0.47210 0.43251 0.39358 0.35569 0.31918 0.28434 0.25143 0.22065 0.19215 0.16602 0.14231 0.12100 0.10204 0.08534 0.07078 0.05821

0.46812 0.42858 0.38974 0.35197 0.31561 0.28096 0.24825 0.21770 0.18943 0.16354 0.14007 0.11900 0.10027 0.08379 0.06944 0.05705

0.46414 0.42465 0.38591 0.34827 0.31207 0.27760 0.24510 0.21476 0.18673 0.16109 0.13786 0.11702 0.09853 0.08226 0.06811 0.05592

1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

0.05480 0.04457 0.03593 0.02872 0.02275 0.01786 0.01390 0.01072 0.00820 0.00621 0.00466 0.00347 0.00256 0.00187 0.00135 0.00097 0.00069 0.00048 0.00034 0.00023 0.00016 0.00011 0.00007 0.00005

0.05370 0.04363 0.03515 0.02807 0.02222 0.01743 0.01355 0.01044 0.00798 0.00604 0.00453 0.00336 0.00248 0.00181 0.00131 0.00094 0.00066 0.00047 0.00032 0.00022 0.00015 0.00010 0.00007 0.00005

0.05262 0.04272 0.03438 0.02743 0.02169 0.01700 0.01321 0.01017 0.00776 0.00587 0.00440 0.00326 0.00240 0.00175 0.00126 0.00090 0.00064 0.00045 0.00031 0.00022 0.00015 0.00010 0.00007 0.00004

0.05155 0.04182 0.03362 0.02680 0.02118 0.01659 0.01287 0.00990 0.00755 0.00570 0.00427 0.00317 0.00233 0.00169 0.00122 0.00087 0.00062 0.00043 0.00030 0.00021 0.00014 0.00010 0.00006 0.00004

0.48405 0.44433 0.40517 0.36693 0.32997 0.29460 0.26109 0.22965 0.20045 0.17361 0.14917 0.12714 0.10749 0.09012 0.07493 0.06178 0.0 5050 0.04093 0.03288 0.02619 0.02068 0.01618 0.01255 0.00964 0.00734 0.00554 0.00415 0.00307 0.00226 0.00164 0.00118 0.00084 0.00060 0.00042 0.00029 0.00020 0.00014 0.00009 0.00006 0.00004

0.04947 0.04006 0.03216 0.02559 0.02018 0.01578 0.01222 0.00939 0.00714 0.00539 0.00402 0.00298 0.00219 0.00159 0.00114 0.00082 0.00058 0.00040 0.00028 0.00019 0.00013 0.00009 0.00006 0.00004

0.04846 0.03920 0.03144 0.02500 0.01970 0.01539 0.01191 0.00914 0.00695 0.00523 0.00391 0.00289 0.00212 0.00154 0.00111 0.00079 0.00056 0.00039 0.00027 0.00019 0.00013 0.00008 0.00006 0.00004

0.04746 0.03836 0.03074 0.02442 0.01923 0.01500 0.01160 0.00889 0.00676 0.00508 0.00379 0.00280 0.00205 0.00149 0.00107 0.00076 0.00054 0.00038 0.00026 0.00018 0.00012 0.00008 0.00005 0.00004

0.04648 0.03754 0.03005 0.02385 0.01876 0.01463 0.01130 0.00866 0.00657 0.00494 0.00368 0.00272 0.00199 0.00144 0.00104 0.00074 0.00052 0.00036 0.00025 0.00017 0.00012 0.00008 0.00005 0.00003

0.04551 0.03673 0.02938 0.02330 0.01831 0.01426 0.01101 0.00842 0.00639 0.00480 0.00357 0.00264 0.00193 0.00139 0.00100 0.00071 0.00050 0.00035 0.00024 0.00017 0.00011 0.00008 0.00005 0.00003

4.0

0.00003

0.00003

0.00003

0.00003

0.00003

0.00003

0.00002

0.00002

0.00002

0.00002

Tabel di atas menunjukkan nilai kritis dari Z untuk

(uji satu




arah) seperti gambar di bawah.



Z

Hal lain yang perlu diperhatikan adalah nilai  perlu dibagi 2 jika dilakukan pengujian dua arah

Z

X   

n

untuk hipotesis alternative adalah H 1 (1) Jika Z  Z maka H0 diterima, jika tidak maka H 1 (1) diterima. 2. Untuk hipotesis alternatif H 1 (2) Jika Z  Z maka H0 diterima, jika tidak maka H 1 (2) diterima. 3. Untuk hipotesis alternative H 1 (3) Jika Z  Z maka H0 diterima, jika tidak maka H 1 (3.) diterima. 



Gaji harian sebuah perusahaan dianggap terdistribusi secara normal. Pengambilan sampel secara acak menunjukkan bahwa rata-rata gaji 50 orang karyawan pada perusahaan tersebut adalah 120. Lakukan pengujian apakah gaji karyawan pada perusahaan tersebut adalah 125 atau tidak dengan standar deviasi sebesar 20 pada tingkat keyakinan 5%.


Untuk mengetahui apakah rata-rata gaji karyawan pada perusahaan tersebut adalah 125 dengan standar deviasi 20. H0: rata-rata gaji karyawan perusahaan adalah 125. H1: rata-rata gaji karyawan tidak sama dengan 125. H0:  =125 H1:   125 Uji dua arah dengan  =0,05 Z =1,96 Uji statistik 

Z

X   

n 120  125 20 50  1,77



Dikarenakan nilai Z hasil observasi Z =1,77 lebih kecil dari pada nilai kritis Z=1,96 pada tingkat keyakinan 5%, maka hipotesis nol dinyatakan benar. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa rata-rata gaji pada perusahaan tersebut adalah 125 dengan tingkat standar deviasi 20.

Sebuah perusahaan lampu memperkirakan bahwa rata-rata lampoon yang mereka produksi dapat bekerja sampai dengan 1450 jam. Mereka sudah mengetahui bahwa standar deviasi dari lampunya tersebut adalah 210 jam. Dari sampel sebanyak 100 buah lampu, mereka menemukan rata-rata lampu dapat bekerja selama 1390 jam. Dengan tingkat keyakinan 1%, apakah perusahaan tersebut harus mengatakan bahwa lampu produksi mereka bekerja kurang dari 1450 jam?


Untuk mengetahui apakah rata-rata daya tahan lampu perusahaan mereka adalah 1450 jam. H0: rata-rata daya tahan lampu adalah 1450 jam. H1: rata-rata daya tahan lampu < 1450 jam. H0:  =1450 H1:   1450  =0,01 Z =-2,33 Uji statistik Z

X   

n 1390  1450  210 100  2,86

Dikarenakan nilai Z hasil observasi Z=-2,86 lebih kecil dari pada nilai kritis Z=-2,33 pada tingkat keyakinan 1%, maka hipotesis nol ditolak. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa rata-rata daya tahan lampu yang dihasilkan perusahaan tersebut kurang dari 1450 jam.

1. Seorang produser film mengetahui bahwa filmnya akan diputar selama rata-rata 100 hari pada setiap kota di Indonesia dengan standar deviasinya adalah 8 hari. Seorang peneliti mengambil 80 teater sebagai sampel dan menemukan bahwa filmnya ditayangkan di pada teater-teater tersebut dengan selama rata-rata 86 hari. Ujilah hipotesa dengan tingkat keyakinan 2%. 2. Hasil observasi dari 50 orang anak sebagai sampel pada suatu


daerah pinggir kota menunjukkan bahwa rata-rata berat anak baru lahir di daerah tersebut adalah 2,85 kg dengan standar deviasinya sebesar 0,3 kg. Dapatkah kita berharap bahwa rata-rata berat badan bayi dilahirkan di kota tersebut lebih dari 3 kg dengan tingkat keyakinan 5%?

Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui tingkat siknifikan perbedaan antara rata-rata sampel dengan membuat asumsi terhadap rata-rata populasi.

Observasi terhadap sampel acak yang rata-rata dan variansnya tidak diketahui. 1. Populasi terdistribusi dengan normal. 2. Varians dari populasi tidak diketahui, sehingga dibuatlah estimasi dari S2 .

H0: tidak ada perbedaan antara rata-rata sampel ( X ) dengan asumsi rata-rata populasi  . Atau ditulis juga dengan H0:  =  0

H1 (1) H1 (2) H1 (3)



  0



  0



  0


t

X   S n n

 Xi X

i 1

n n

2

S 

 i 1

Xi  X



2

n 1

Nilai t statistik berdasarkan distribusi nilai t dengan derajat kebebasan sebesar (n-1).

1. Uji dua arah, daerah yang diarsir menunjukkan daerah yang nilainya tidak sama dari nilai kritis. Daerah tersebut menandakan penolakan terhadap H0.



2



 t  , n  1 2

t  , n  1

2

2

2. Uji daerah kanan, daerah yang diarsir menunjukkan daerah yang nilainya lebih besar dari nilai kritis. Daerah tersebut menandakan penolakan terhadap H0.




t ,n  1

3. Uji daerah kiri, daerah yang diarsir menunjukkan daerah yang nilainya lebih kecil dari nilai kritis. Daerah tersebut menandakan penolakan terhadap H0.



 t ,n  1

c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0.1000 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337

0.0500 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746

0.0250 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120

0.0100 31.821 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 2.583

0.0050 63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921

0.0010 318.309 22.327 10.215 7.173 5.893 5.208 4.785 4.501 4.297 4.144 4.025 3.930 3.852 3.787 3.733 3.686

0.0005 636.619 31.599 12.924 8.610 6.869 5.959 5.408 5.041 4.781 4.587 4.437 4.318 4.221 4.140 4.073 4.015


c 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 100 120

0.1000 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310 1.303 1.299 1.296 1.290 1.289

0.0500 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697 1.684 1.676 1.671 1.660 1.658

0.0250 2.110 2.101 2.093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042 2.021 2.009 2.000 1.984 1.980

0.0100 2.567 2.552 2.539 2.528 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.457 2.423 2.403 2.390 2.364 2.358

0.0050 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750 2.704 2.678 2.660 2.626 2.617

0.0010 3.646 3.610 3.579 3.552 3.527 3.505 3.485 3.467 3.450 3.435 3.421 3.408 3.396 3.385 3.307 3.261 3.232 3.174 3.160

0.0005 3.965 3.922 3.883 3.850 3.819 3.792 3.768 3.745 3.725 3.707 3.690 3.674 3.659 3.646 3.551 3.496 3.460 3.390 3.373

Infinity

1.282

1.645

1.960

2.326

2.576

3.090

3.291

Tabel di atas menunjukkan nilai kritis dari t untuk  (uji satu arah) dan derajat kebebasan yang diberikan (seperti gambar di bawah).



t ,n  1

Yang perlu diperhatikan adalah nilai dilakukan pengujian dua arah



perlu dibagi 2 jika

untuk hipotesis alternative adalah H 1 (1) Jika t  t maka H0 diterima, jika tidak maka H 1 (1) diterima. 


2. Untuk hipotesis alternatif H 1 (2) Jika t  t maka H0 diterima, jika tidak maka H 1 (2) diterima. 3. Untuk hipotesis alternative H1 (3) Jika t  t maka H0 diterima, jika tidak maka H 1 (3.) diterima. 

Sebuah sampel yang terdiri dari 12 mahasiswa di sebuah sekolah memiliki nilai IQ 89, 87, 76, 78, 79, 86, 74, 83, 75, 71, 76, 92. Apakah data ini cukup untuk menyatakan bahwa rata-rata IQ mahasiswa di sekolah tersebut adalah 80 dengan tingkat keyakinan 5%. Untuk menguji apakah rata-rata IQ mahasiswa di sebuah sekolah adalah 80 atau tidak. H0: Rata-rata IQ mahasiswa di sebuah sekolah adalah 80. H1: Rata-rata IQ mahasiswa di sebuah sekolah tidak sama dengan 80. H0: μ=80 H1: μ  80 Tingkat keyakinan =0.05 Nilai Kritis untuk t0,05;11= 2,201 Uji Statistik n

 Xi X



i 1

n 966

12  80,5


n

S  2



 i 1

Xi  X



2

n 1 495

12  1  45

S t



45 X   S n 80,5  80 45

12 0,5  6,71 3,46



0,5 1,94

 0,258

Dikarenakan t  2, 201 , maka hipotesa nol diterima dan hipotesa alternative ditolak. Ini artinya, rata-rata IQ mahasiswa di sekolah tersebut adalah 80. Contoh Soal 4

Rata-rata masa batang besi adalah 22,25 kg. Dua puluh batang besi diambil dan dihitung rata-rata dan standar deviasinya adalah 21,35 dan 2,25. Apakah hasil ini menunjukkan bahwa rata-rata masa batang besi adalah 22,25 kg tingkat keyakinan 5%? Tujuan

Untuk menguji apakah rata-rata masa batang besi adalah 22.25 atau tidak.

H0: Rata-rata masa batang besi adalah 22,25 kg.


H1: Rata-rata masa batang besi tidak sama dengan 22,25 kg. H0: μ=22,25 H1: μ  22,25 Tingkat keyakinan =0.05 Nilai Kritis untuk t0,05;19 = 2,09 Uji Statistik X   S n 21,35  22, 25  2,25 20 0,9  2,25 4,47

t



0,9 0,50

 1,788

Kesimpulan

Pada penujian ini kita menggunakan hipotesa alternatif tipe 1 (uji dua arah). Selama t  t ( t  2, 09 )maka H0 diterima. Sehingga rata-rata masa batang kayu adalah 22,25 kg dengan tingkat keyakinan 5%. Soal Latihan 3. Seorang penjual mengatakan rata-rata penjualan Kerupuk Kulit dalam setiap minggunya adalah 120 bungkus. Sampel dari 10 minggu menunjukkan banyaknya penjualan adalah 112, 124, 110, 114, 108, 114, 115, 118, 125, 126. Buktikanlah apakah perkataan dari si penjual tadi benar atau tidak dengan tingkat keyakinan sebesar 1%. 4. Dari sebuah kebun kelapa diambillah 10 pohon kelapa sebagai sampel. Dari sampel tersebut didapatkan minyak kelapa sebanyak 68, 56, 47, 52, 62, 70, 56, 54, 63, 60. Apakah dapat dikatakan bahwa rata-rata minyak kelapa dari setiap pohon yang ada adalah 65 dengan tingkat keyakinan 2%?


Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui kesamaan antara proporsi dari dua buah populasi, P1 dan P2. Data yang Dibutuhkan

Dari observasi sebanyak n1 terhadap sebuah sampel acak terdapat X1 kejadian yang sedang dipelajari, maka proporsi sampel adalah p1 

X1 n1

. Dari

observasi sebanyak n2 terhadap sebuah sampel acak terdapat X2 kejadian yang sedang dipelajari, maka proporsi sampel adalah p2 

X2 n2

. Nilai

proporsi untuk populasi P1 dan P2 tidak diketahui. Asumsi

Ukuran sample cukup besar (n1, n2  30) sehingga memungkinkan untuk membuat mengubah distribusi normal menjadi binomial. Hipotesis Nol H0: Tidak ada perbedaan yang signifikan antara proporsi dua buah sampel.

H0: P1=P2 Hipotesis Alternatif

H1 (1) H1 (2) H1 (3)

P1  P2 P1  P2 P1  P2

Uji Statistik Z

 p1  p 2    P1  P2  1

P(1  P) 

 n1

P

n1p1  n 2p 2 n1  n 2



1 



n2 


Contoh soal 4

Pengambilan sampel acak dari 300 laki-laki dan 400 perempuan mengenai apakah mereka menyukai makanan pedas di pagi hari. Ternyata didapatkan 160 laki-laki dan 230 perempuan menyukai makanan pedas pada sarapan pagi mereka. Ujilah hipotesis proporsi dari laki-laki dan perempuan yang menyukai makanan pedas di pagi hari dengan tingkat keyakinan 2%. Jawaban Tujuan: Untuk menguji apakah proporsi laki-laki dan perempuan sama atau tidak dalam menyukai makanan pedas pada pagi hari.

H0: Proporsi laki-laki (P1) dan perempuan (P2) sama dalam menyukai makanan pedas di pagi hari. H1: Proporsi laki-laki (P1) dan perempuan (P2) tidak sama dalam menyukai makanan pedas di pagi hari. H0: P1  P2 H1: P1  P2 Tingkat keyakinan () = 0,02, sehingga Z =2,33 (lihat tabel Z pada =0,02/2=0,01) 

Berdasarkan data tersebut, maka n1  300 p1 

160

p 2 

230

300 n 2  400

P



400

 0,53

 0,58

n1p1  n 2p 2 n1  n 2 (300x0,53)  (400x0,58)

 0,56

300  400


Uji Statistik Z

 p1  p 2    P1  P2  1

P(1  P) 



1 

, dengan nilai P1  P2

  n1 n 2   0,53  0,58



1   1   300 400 

0,56x0,44 

 1,32

Kesimpulan

, maka disimpulkan tidak ada perbedaan antara proporsi laki-laki dan perempuan yang menyukai makanan pedas di pagi hari dengan tingkat keyakinan 2%. Dikarenakan

Z  Z

Tujuan: Untuk menguji kesamaan rata-rata dua buah populasi berdasarkan dua sampel acak. Rata-rata sampel acak dua buah sampel adalah X1 dan X 2 . Data yang dibutuhkan

Rata-rata X1 dari sampel acak n1 yang rata-rata populasinya μ1 tidak diketahui. Rata-rata X 2 dari sampel acak n 2 yang rata-rata populasinya μ2 tidak diketahui. Asumsi

1. Populasi terdistribusi dengan normal. 2. Varians dua populasi diketahui dan bernilai sama dengan simbol



2

.

Hipotesa Nol

H0: Rata-rata dari dua buah populasi ada perbedaan antara X1 dan X 2 .

μ1 dan μ2 adalah

sama. Sehingga, tidak


H0: μ1=μ2 Hipotesa alternative

H1 (1) H1 (2) H1 (3)

Z

1

  2

1

  2

1

  2

 X1  X2    1   2  , dengan  

1 1  n1 n 2

1

  2

Contoh Soal 5

Perusahaan A yang memproduksi ban mobil menguji ketahanan 125 ban baru mereka. Ternyata didapatkan bahwa ban mereka baru akan mengalami penurunan kondisi setelah 90 km. Perusahaan B yang memproduksi ban sejenis mengambil 150 sampel mendapatkan ketahanan ban mereka adalah 80 km. Jika standar deviasi daya tahan ban dari kedua perusahaan tersebut adalah 12 km, maka apakah ban perusahaan A lebih baik dari pada ban perusahaan B dengan tingkat keyakinan 5%? Tujuan

Untuk mengetahui apakah daya tahan ban dari kedua perusahaan tersebut sama atau lebih lama. H0: rata-rata ketahanan ban perusahaan A dan B sama. H1: rata-rata ketahanan ban perusahaan A lebih lama dari pada B. H0: μ1=μ2 H1: μ1>μ2 Tingkat keyakinan  = 0,05, sehingga Z =1,645 

Uji Statistik


Z

 X1  X2    1   2  

1 n1



1 n2

 90  80 



1 1  125 150  6,88 12

Kesimpulan

Karena Z  Z , maka H0 ditolak dan H1 diterima. Artinya Ban

perusahaan A lebih baik dari pada ban perusahaan B.

dari pengujian ini adalah untuk mengetahui apakah terdapat perbedaan yang siknifikan akibat pengaruh dari perlakuan yang diberikan.

Terdapat “t” buah perlakuan yang dilakukan berulang-ulang sebanyak “r” kali. Model Linear Pada sebuah observasi didapatkan hubungan: Yij    Ai   ij Yij adalah sebuah observasi dari perlakuan i sebanyak j-kali.  adalah

rata-rata keseluruhan. Ai adalah pengaruh dari perlakuan i  ij adalah kesalahan pengukuran pada setiap percobaan perlakuan. (Semua nilai ini tidak diketahui)


Tujuan dari pengujian ini adalah A1  A2  A3  ....  A i atau tidak ada perbedaan pengaruh setiap perlakuan. Hipotesa Nol

H0: Setiap perlakuan memiliki pengaruh yang sama. H0: A1  A2  A3  ....  Ai Hipotesa alternative

H1: Perlakuan memiliki pengaruh yang berbeda H1: A1  A2  A3  ....  Ai Tingkat Keyakinan dan Daerah Kritis P  F  F ,(t1,n t)   

SST 

t

1

Ti2  CF  r i 1

CF  G 2 / n G

t

r

 Yij i 1 j 1

TSS 

t

r

 yij2  CF i 1 j1


F

SST / (t  1) ESS / (n  t)

Kesimpulan

Jika F  F ,(t1,n t) maka H0 diterima dalam tingkat keyakinan

. Selain dari



pada itu maka H0 ditolak dan H1 diterima. Contoh Terdapat 4 jenis makanan dan 20 ekor anak ayam. Setiap jenis makanan diberikan pada 5 ekor anak ayam. Semua ayam diperlakukan secara sama dalam semua aspek kecuali jenis makanan yang diberikan. Ujilah apakah ke empat jenis makanan terus memberikan pengaruh yang sama pada berat badan anak ayam dengan tingkat keyakinan 5%? A: B: C: D:

55 61 52 169

49 112 97 137

42 30 81 169

21 89 95 85

52 63 82 154

Jawab Tujuan : untuk mengetahui apakah ke empat jenis makanan memberikan pengaruh yang sama terhadap berat badan anak ayam H0: Ke-empat jenis makanan memberikan pengaruh yang sama terhadap berat anak ayam H1: Ke-empat jenis makanan memberikan pengaruh yang tidak sama terhadap berat anak ayam  

0,05

F0,05(3,16)  3, 24

Jumlah perlakukan t=4 Jumlah anak ayam n=20 T1  219 T2  355 T3  407 T4  714 G=1695

Diktat Statistik Oleh: Dr. Eng. Muhammad Ilhamdi Rusydi Stikes MERCUBAKTIJAYA 2

CF=1695 /20=143651,25 2 2 2 TSS = 55 +49 +…+154 -CF=37793,75 2 2 SST=1/5(219 +…+714 )-CF=26234,95 ESS=TSS-SST=11558,80 Anova Table

Sumber variasi

Dof

Sum of squares

Treatments Error Total

3 16 19

26234,95 11558,80 37793,75

Mean sum Squares 8744,98 722,42 -

of

Uji Statistik F



SST / (t  1) ESS / (n  t) 8744,98 722,42

 12,11 Kesimpulan F  F0,05(3,16) maka H0 di tolak, H 1 diterima.

Soal Tinggi dari tanaman dengan menggunakan tiga pupuk yang berbeda X: Y: Z:

1 5 2

2 6 1

2 5

Apakah terdapat perbedaan dari pengaruh pemberian pupuk yang berbeda?


3.7 UJI ANACOVA Tujuan

Untuk mengetahui pengaruh sebuah tindakan terhadap 2 buah variabel yang berbeda.

3.8 Uji Penjumlahan Peringkat Mann-Whitney-Wilcoxon Tujuan

Untuk menguji apakah rata-rata dua buah sampel acak yang diambil dari 2 buah populasi sama atau berbeda berdasarkan penjumlahan peringkat dari sample tersebut. Sumber Data

Sampel acak dari obervasi sebanyak n1 disusun berdasarkan urutan terkecil ke yang besar X1, X2, X3, X4 …Xn1 dari populasi dengan fungsi kerapatan f1(). Sebuah sampel acak sebanyak n2 disusun berdasarkan urutan terkecil ke yang terbesar Y1, Y2, Y3, Y4, …,Yn2 dari populasi dengan fungsi kerapatan f2(). Asumsi

(1) Dua buah sampel tersebut independent. (2). Populasi memiliki frekuensi distribusi yang kontiniu. Nul Hipotesis H0: Populasi-populasi memiliki rata-rata yang sama. Hipotesa Alternatif H1: Populasi-populasi memiliki rata-rata yang berbeda

Tingkat Keyakinan  dan Nilai Kritis R . (Lihat Tabel Wilcoxon-mann-Whitney)


Metoda

1. Kombinasikan dua buah sampel dan susun mereka berdasarkan urutan yang benar. Misalkan kombinasi dari dua sampel tersebut disebut Z. 2. Berikan tanda peringkat pada Z. Jika observasi yang dilakukan bernilai sama, maka rata-rata dari jumlah rank diberikan tanda. 3. Jumlahkan peringkat dari sampel yang kecil dan beri nama R1. 4. Jika kedua sampel memiliki ukuran yang sama, maka R adalah penjumlahan rank yang terkecil. 5. n adalah ukuran sampel bagi sampel yang kecil. 6. N adalah penjumlahan dari dua buah sampel. 7. Hitunglah R(2) = n(N+1)-R(1)

Uji Statistik

R=Min (R1, R2) Kesimpulan

Jika R  R  maka H0 diterima. Contoh Soal

Berat badan 9 orang dewasa dari kota A diambil secara acak, yaitu 50,5 37,5 49,8 56,0 42,0 56,0 50,0 54,0 48,0. Berat badan 10 orang dewasa di kota B diambil juga secara acak, yaitu 57 52 51 44,2 55 62 59 45,2 53,5 44,4. Uji apakah rata-rata berat badan dari orang dewasa di kota A dan kota B sama atau tidak dengan tingkat keyakinan 5%. Jawaban


Uji Kolmogorov-Smirnov untuk membandingkan dua populasi Tujuan

Untuk membandingkan apakah frekuensi distribusi dua buah populasi sama atau berbeda berdasarkan distribusi sampel. Data yang dibutuhkan Xi (i=1, 2, 3, Yi (i=1, 2, 3,

,n) adalah sampel acak dari populasi pertama. ,n) adalah sampel acak dari populasi kedua.

…

…

Hipotesa Nol Ho: distribusi dua populasi identik Hipotesa Alternatif H1: Distribusi dua populasi tidak sama. Tingkat keyakinan Tingkat Keyakinan  dan Nilai Kritis D . (Lihat Tabel Wilcoxon-mann-Whitney)

Diktat Biostat

Recommend Documents