Dinamica Estructural Aplicada al Diseno Sismico

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ep Figura 6-5 - Distribución de la curvatura en una viga en voladizo que se lleva a la falla

Supongamos, ahora, una viga en voladizo que tiene una sección similar a la estudiada. A esta viga se le coloca una carga en el extremo libre. En la Figura G-S se presentan las curvaturas correspondientes a la aplicación de una carga tal que se presente en la base del voladizo respectivamente el momento de agrietamiento, el de fluencia y el momento último. Allí puede observarse que cuando se llega al momento último hay una concentración de cambio en curvatura en la base del voladizo. y esto corresponde a un incremento local de la rotación, ep . Generalmente este lugar donde Sl' presenta la

I

concentración de cambio en curvatura se denOminaJj!!LculaciátLvltIstica:)a distancia en la cual se presenta se llama la longitud de plastificáción,-ep. . --- _. - . El caso presentado en la Figura 6-5 corresponde, nuevamente, a un ensayo monotónico, en el cual no hay reversión de las cargas. A continuación se presenta cualitativamente el comportamiento histerético, obtenido de ensayos experimentales, de los principales materiales estructurales: concreto reforzado, acero estructural y mampostería estructural, cuando hay reversión de las cargas aplicadas.

6.2.2 Concreto estructural El concreto reforzado puede decirse que es el matrimonio de dos materiales con propiedades mecánicas totalmente diferentes, como puede comprobarse de la simple observación de la Figura 6-2. Para solicitaciones estáticas, las características de los dos materiales han obligado a respaldar los criterios de diseño con investigaciones experimentales. Para solicitaciones dinámicas, especialmente cuando se esperan respuestas en el rango inelástico, la experimentación adquiere un carácter aún más importante. Todo lo que se conoce actualmente acerca del comportamiento dinámico en el rango inelastico del concreto reforzado se ha obtenido de amplios y costosos programas experimentales.

II

Con el fin de ilustrar el comportamiento histerético de elementos de concreto reforzado; en la Figura 6-6, adaptada de lSozen, 1974], se presenta la respuesta ante cargas alternantes de una viga en voladizo, con refuerzo longitudinal simétrico. La viga se somete a un programa de deformaciones consistente en dos ciclos completos de deflexiones verticales iguales en las dos direcciones. Las deformaciones se logran por medio de fuerzas verticales aplicadas en el extremo libre del voladizo. Se supone que el refuerzo longitudinal de la viga está adecuadamente anclado de tal manera que no haya problemas de adherencia del refuerzo. Igualmente se supone que dispone de sufícíente refuerzo transversal. En la Figura 6-6(a) se muestra la viga, su sección y el programa de deformaciones. En la Figura 6-6(b) se muestra el primer ciclo de respuesta en términos ele id íuerz.a aplicada y del desplazamiento vertical en el extremo libre del voladizo. El primer cuarto de ciclo de respuesta muestra tres etapas bastante bien definidas: AR, Be v GJ La etapa AB representa la respuesta de la viga antes de que ocurra fisuración del concreto en tensión en la parte superior de la sección. La aparición de la primera fisura, usualmente en la base del voladizo, reduce apreciablemente la rigidez de la viga, Esta reducción es mayor al comienzo, cerca a B, y luego va disminuyendo gradualmente en la medida que se acerca al punto C; y es consecuencia de la mayor ftsuracíón, de la aparición de deformaciones en el rango inelástico del concreto, de la reducción de la zona de compresión al subir la localización del eje neutro de la sección, y del resbalamiento del acero de refuerzo debido a la disminución de su adherencia al concreto. La reducción en rigidez puede verse a través de la diferencia entre k g y kcn correspondiendo la primera a la sección no fisurada y la segunda a la sección fisurada, cuando el refuerzo en tensión está llegando al punto de fluencia. En el punto e el acero superior de la viga, el cual está en tensión, fluye llegando a f y ; véase la Figura 6-2(a). En este punto, la viga típicamente tiene una serie de microfisuras de diferente longitud vertical, como muestra la Figura 6-6(c), con su trayectoria dictada por el estado de esfuerzos principales que existen en una viga no fisurada. Hasta este momento la distribución de la curvatura de las secciones de la viga es directamente proporcional al diagrama de momentos, con la excepción de pequeñas desviacíones causadas por la separación finita entre microfisuras. Estas desviaciones son mayores para vigas con muy poco refuerzo longitudinal. A medida que la deformación se aumenta más allá del punto C, hay un aumento importante de la deformación causado por un pequeño aumento de la carga; con un cambio apreciable en la distribución de 123

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curvatura a lo largo de la viga. El aumento en dcflexión se debe principalmente a un aumento en rotación, o concentración de curvatura, en la vecindad del apoyo. El elemento no falla necesariamente en este punto. La deformación que el elemento admite más allá del punto de fluencia se denomina capacidad de deformación inelástica IAbrams, 1991]. Sección

Voladizo cargado en el extremo

Programa de deflexiones

~ D'

E

l'

e

(a)

Final del ciclo 1 Final del ciclo 2 Máxima Deflexión

G'

k,

(f)

(b)

Figura 6-6 - Respuesta histerética de una viga de concreto reforzado en voladizo

En el punto D las fisuras son mayores dentro de una distancia del apoyo igual a la altura del elemento, que en el resto de él, como muestra la Figura G-G(d). Se presenta, generalmente, un descascaramiento del concreto en la fibra extrema en compresión, cerca a la cara del apoyo. El cambio en rigidez es mucho más marcado entre el tramo CD, que en el tramo Be. La rigidez del tramo CD está descrita por medio de k._ Esta pendiente está dictada por la capacidad de endurecimiento por deformación que tenga el acero de refuerzo, la cual se muestra en la Figura 6-2(a). Además influyen en su magnitud: el espesor del recubrimiento en comparación con las dimensiones de la sección confinada por el refuerzo transversal, y la cuantía de este último. La deformación impuesta se invierte arbitrariamente en el punto D. Al ir de D hacia E, disminuyen los esfuerzos en el acero de refuerzo y en el concreto, reduciéndose la carga y la deflexíón. El acero de refuerzo tiende a volver a su posición original. El agrietamiento que se presentó durante la etapa anterior no cierra en su totalidad. La pendiente del tramo DE tiende a reducirse en la medida que la curva se acerca al punto E, de cero carga. En el punto E la viga tiene una deflexión permanente. Las fisuras son visibles, pero tienen un espesor muy pequeño, si es que no se han cerrado totalmente. La variación en la rigidez, está descrita a través de la pendiente k u • En el punto E, de inversión de la carga, la viga es casi tan rígida como en el punto inicial A. Esto se debe a que el concreto en la zona de abajo (ahora tensión) está todavía intacto, aunque haya fisuras de la zona de arriba (antes tensión) sin cerrar en su totalidad. Por esta razón, la curva procede hacia el punto F con una pendiente

124

aproximadamente igual a la inicial (pendiente del tramo AH). En F se produce la fisuración por tensión de la parte inferior de la víga. En los ciclos de carga subsiguientes, esta parte de la respuesta histerética es diferente, como puede verse en la Figura 6-6(0 correspondiente al segundo ciclo de carga y donde el primer ciclo se ha dibujado punteado.

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La forma de la curva entre los puntos F y G depende de una interacción compleja entre las propiedades esfuerzo-deformación del acero de refuerzo, la cuantía de refuerzo longitudinal, y la distribución y ancho de las fisuras existentes. Generalmente la curva procede hacia G con una pendiente que se va reduciendo gradualmente. No obstante, diferentes combinaciones de las variables mencionadas pueden producir cambios locales en la pendiente de la curva entre F y G. Por ejemplo, si las fisuras de la parte superior de la viga no se han cerrado totalmente en el momento que el acero de refuerzo superior fluye en compresión, puede producirse un cambio brusco de la pendiente, acompañado por una rigidización cuando las fisuras efectivamente se cierren. Aparecen fisuras causadas por tensión en la parte inferior de la viga (zona de compresión durante la parte inicial del ciclo carga), obteniéndose un comportamiento análogo al de CD. Las deflexiones son producidas por los esfuerzos de compresión en el concreto y de tensión en el acero de la zona de tensión; así como por resbalamiento del refuerzo debido a la disminución de su adherencia con el concreto. Acercándose al punto G, el acero en tensión fluye con el consecuente aumento en la detlexión. El punto de fluencia no se presenta de una manera tan definida como en C. Esto se debe a que el refuerzo de tensión puede haber fluido en compresión en el ciclo anterior, antes de que ocurriera la inversión en la dirección de la carga; presentándose un efecto de Bauschinger. La tendencia general en esta zona está descrita a través de la pendiente k., En el punto G el patrón de fisuración es similar al de D, solo que ahora se presenta en la parte inferior de la viga, como muestra la Figura 6-6(g). En el punto G ocurre una nueva inversión arbitraria en el sentido de las deformaciones. La porción GH es similar a DE. En H hay nuevamente una deformación permanente, similar a la del punto E; pero ahora en la dirección inversa. La magnitud de esta deformación depende de la degradación de la rigidez que haya ocurrido anteriormente (Abrams, 1991]. En la medida que la carga aumenta a partir de H hacia D', se pasa por el punto 1, el cual marca el fin del primer ciclo. A partir de H se presenta un pequeño aumento de la rigidez causado por las fisuras que se cierran en la nueva zona de compresión. A diferencia del tramo FG, este comportamiento se extiende más allá del punto de cero deflexíón, Las fisuras existentes no se han cerrado totalmente en el punto de cero deflexíón: Esto se debe a que algunas fisuras se abren antes de que las anteriores se cierren. Pueden existir fisuras abiertas en ambas caras del elemento..-\1 presentarse deflexíón más allá del punto de cero carga, se aumenta la rigidez debido a que las fisuras en la zona de compresión se cierran totalmente. En muchos casos los esfuerzos de compresión en esta etapa son resistidos casi en su totalidad por el refuerzo de la zona en compresión. El segundo ciclo se muestra en la Figura 6-6(f), donde el primer ciclo se ha dibujado como referencia, por medio de una línea punteada. Entre I y D' el miembro resiste la carga con una respuesta que manifiesta mucho menor rigidez que la observada durante el ciclo de carga inicial. Esto se debe: a un ablandamiento del acero de refuerzo causado por haberlo deformado cíclicamente en tensión y en compresión; a una degradación del módulo de elasticidad original del concreto; y a un deterioro del mismo concreto con menor adherencia del refuerzo. En este caso la fluencia del acero de refuerzo no es una característica sobresaliente, debido al ablandamiento del acero. La porción D'E' del nuevo ciclo es muy similar a la porción GH del primer ciclo, debido a que la viga se descarga bajo condiciones similares. Idealmente, un número moderado de ciclos con los mismos límites de deflexíón no debe producir un cambio en el tipo de respuesta; produciéndose ciclos de hístercsis subsiguientes con las mismas características del segundo ciclo ISozen, ] 9741.

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I Figura 6-7 - Rigidez durante los ciclos de histéresis de elementos de concreto reforzado

Cuando se presentan nuevos ciclos de carga con deflexiones mayores que las impuestas anteriormente, como se muestra en la Figura 6-7, adaptada de [RiddelI y Newmark, 1979]; se presenta una degradación de la rigidez, la cual se manifiesta con un corrimiento del punto D hacia la derecha y del punto G hacia la izquierda. La deflexión a la cual se presenta el aumento de la rigidez en H'D' o en E'G', aumenta progresivamente de ciclo en ciclo debido a la acumulación de deformación inelástica en el refuerzo y al resbalamiento del refuerzo en compresión. La pendiente general de la curva carga-deflexíón, representada por la línea que une los dos extremos del ciclo, DG; se reduce en la medida que ocurren más ciclos de carga. En la Figura 6-7, además, se resumen las rigideces asociadas a diferentes etapas de los ciclos de hístéresis, donde: kg k., k,

k, k,

rigidez con la sección no fisurada, antes de que se presente cualquier solicitación rigidez con la sección fisurada, y evaluada al nivel de fluencia del acero en tensión pendiente, expresada en términos de rigidez, del incremento en resistencia producido por el acero de refuerzo longitudinal sometido a deformaciones en la zona de endurecimiento por deformación pendiente, expresada en términos de rigidez, de la curva que se obtiene cuando el elemento se descarga después de que el acero de tensión ha fluido pendiente, expresada en términos de rigidez, de la curva que se observa cuando el elemento se carga en el sentido contrario al de un ciclo de carga que acaba de terminar. También se conoce como rigidez de recarga, o de nueva carga.

Es importante anotar que el comportamiento descrito corresponde al de un elemento que disipa energía por flexión. Para lograr este comportamiento debe garantizarse que el elemento no falle por esfuerzos cortantes o por ausencia de un refuerzo transversal de confinamiento adecuado, Figura 6-8(a) adaptada de [Wight y Sozen, 1973]; ni el refuerzo longitudinal falle por adherencia, Figura 6-8(b), adaptada de [Higashi y Takeda, 19721. Allí se muestran los efectos de degradación de la resistencia y de degradación de la rigidez, respectivamente. 126

Degradación de la rigidez

Fuerza

Fuerza

(a)

(b)

Figura 6-8 - Falla por falta de refuerzo transversal adecuado y falla por adherencia del refuerzo longitudinal

Dentro de los factores que influyen en la forma de los ciclos de hísteresís de elementos de concreto reforzado ISozen, 1974] y [Abrams, 1991], se cuentan los siguientes: • • • • • • • • •

cuantía de refuerzo longitudinal y las propiedades esfuerzo-deformación del acero de refuerzo, carga axial sobre el elemento, nivel de fisuracion en función de la distribución y espesor de las grietas, eficacia de la adherencia entre el refuerzo y el concreto, distribución del refuerzo en la sección (generalmente ~(simétrica en \igas), esfuerzos cortantes y cantidad de refuerzo transversal, distorsiones generales y locales de los nudos de los extremos del elemento, forma de la sección del elemento (viga T diferente a viga rectangular), y estabilidad lateral de las barras de refuerzo.

En algunos tipos de elementos de concreto reforzado, a pesar de que se presentan ci,,:iOS de histeresís estables, la cantidad de energía que se disipa puede verse afectada por el estranqulamiento (pinching, en inglés), que se presenta en los ciclos de histercsís debido a que no se cierran las fisuras de los ciclos de carga anteriores; llegándose él tener una fisura abierta que pasa por toda la sección del elemento. Esto produce un alargamiento del elemento, el cual ha sido observado experimentalmente [Fenwick y Davidson, 19951. La rigidez en la zona de reversión de la carga (tramos EG y HD en las Figuras 6-6 y 6-7), se limita a la que aporta el refuerzo longitudinal, sin contribución del concreto. El cortante que necesariamente acompaña el momento aplicado, es resistido en la base del elemento tan solo por efecto de espigo del acero longitudinal; y en algunos casos se presenta resbalamiento en la base del elemento, lo cual contribuye a que se presente el estrangulamiento. La energía disipada y el estrangulamiento de los cíclos de hísreresís se muestran en la Figura 6-9, adaptada de [Rertero y Popov, 1977[.

127

Fuerza

Fuerza

Estrangulamiento "'"

Deflexión

Energía disipada en el tercer ciclo

Energía disipada en el primer ciclo

Figura 6-9 - Energía disipada y estrangulamiento de los ciclos de histéresis.

6.2.3 Acero estructural El comportamiento histerético de elementos de acero laminados en caliente es mucho más simple que el de concreto reforzado, dado que se trata de elementos hechos de un solo material. Las bondades del comportamiento del acero como material se trasladan a los elementos construidos con él. No obstante, todos los problemas asociados con estabilidad local de las alas y el alma, estabilidad general del elemento, alabeo, fractura frágil, etc.; se agravan dado que el elemento va a trabajar en el rango inelástico. Los problemas de comportamiento histerético del acero estructural se relacionan principalmente con la necesidad de proveer secciones estables en el rango inelástico, lo que se denomina secciones compactas; y la forma como se realicen las conexiones entre elementos, especialmente cuando se requiere que éstas sean resistentes a momentos. Viga 8 WF 48 Ensayada

I Fuerza CIClO 11/"47

I

Ciclo N° 36 CieloN°27 Ciclo N" 10

I

Ciclo N° 1 (;lelo N" 2

(e) Conexión pernada (atornillada)

(b) Conexión soldada

Figura 6-10 - Respuesta hisferética de vigas de acero estructural en voladizo

En la Figura 6-10, basada en [Popov y Bertero, 19731. se ilustra cualitativamente el comportamiento histerético de una viga en voladizo de acero estructural. En la Figura 6-10(a) se muestra la viga ensayada y la columna de apoyo, de mayor sección, la cual tiene atíezadores soldados para evitar distorsiones y falla dentro del panel de la conexión. En la Figura 6-10(b), se muestra la respuesta de la viga cuando su conexión a la columna de apoyo es soldada; al no haber problemas en la junta; los ciclos de 128

hísteresís son totalmente estables, aún después de un número muy alto de ellos. En la Figura 6-10(c) se muestra el ensayo de una conexión pernada. Las porciones relativamente planas de los ciclos de histeresis están relacionadas con resbalamiento de los conectores. La rigidización posterior está asociada con el asiento sobre los tornillos. En la Figura 6-11 se muestra cualitativamente la respuesta histerética de una columna de acero sometida a fuerza axial constante, ya una fuerza horizontal alternante.

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H

I

Figura 6-11 - Respuesta histerética de una columna de acero estructural sometida a fuerza axial y horizontal

Debido al temblor de Northridge, Caliiornia, USA, suburbio de la ciudad de Los Angeles, ocurrido el 17 de Enero de 199-4, (SAC [oint Venture, 1995J; se presentaron daños graves en más de 100 edificios de acero cuyo sistema estructural consistía <'Jl pórticos soldados resistentes a momento, sin diagonales de arríostramiento, Los daños estuvieron concentrados en las conexiones de viga con columna. SI" pre3e: itaron problemas en edificios de un piso hasta de 26 pisos; incluyendo dl":.:e que estaban en construcción, hasta edificios con más de 30 años de construidos, Hubo daños graves en lugares donde las aceleraciones registradas localmente fueron relattvamente moderadas. Los edífícíos que estaban localízados en las zonas que fueran afectadas por las mayores aceleraciones, tuvieron daños muy graves, cercanos al colapso. Lo indicado en (SAC Ioint Venture, 1995], que se transcribe a continuación, habla por sí solo: "Los pórticos resistentes a momentos de acero soldado se utilizan ampliamente en todos los Estados Unidos y en el resto del mundo, especialmente en edificios en altura. Con anterioridad al temblor de Northridqe.este tipo de construcción era considerado uno de los mejores sistemas estructurales sismo resistentes; debido a que existían muy pocos casos de daños graves a este tipo de estructuras en sismos ocurridos anteriormente, y no existe evidencia de que se hayan producido colapsos de este tipo de edificios construidas de acuerdo con la práctica actual dentro de los Estados Unidos. No obstante, el daño grave generalizado dentro de este tipo de estructuras, ocurrido a raíz del temblor de Northridqe; exige que esta premisa se revise". En la Figura 6-12(a), basada en (SAC joint Venture, 1995], se muestran algunos de los problemas que fueron detectados en vigas y columnas, en las cercanías de la conexión. En la Figura 6-12(b) se muestran algunos de los problemas que fueron detectados dentro del panel de las conexiones. Estos hechos condujeron a cambios de emergencia en los requisitos de acero estructural de los códigos de construcción, los cuales limitaron el uso de este tipo de 12fJ

estructuras mientras se realizan amplias investigaciones experimentales que permitan establecer los criterios de diseño y construcción que deben emplearse para evitarles. Estas investigaciones todavía están en curso. Por esta razón, deben esperarse próximamente cambios importantes en la normativa de este tipo de estructuras.

~ ~

pandeo ala viga

pandeo alma viga

desgarramiento ala columna fractura ala columna fractura laminar ala columna

fractura alma viga fractura ala fuera zona soldadura ' - - - - - pandeo ala columna

fluencia ala viga

' - - - - - pandeo alma columna fractura zona soldadura (a)

fractura soldaduras atiezador

~

fractura atiezador pandeo alma columna fluencia y deforma:;ión dúctil alma columna fractura alma columna pandeo del stiezedo«

(b)

Figura 6-12 - Tipo de problemas en la zona del nudo en estructuras de acero

El tipo de problemas detectados se limitó a estructuras aporticadas resistentes a momentos. En las estructuras de acero cuyo sistema de resistencia sísmica consistía en pórticos arriostrados con diagonales, no se manifestaron problemas y su comportamiento fue satisfactorio. En la Figura 6-13, adaptada de [Wakabayashi, 1986], se muestran los ciclos de hi stéresís típicos de un elemento de diagonal en acero; obtenidos de cargar cíclicamente un elemento de acero estructural a diferentes amplitudes de deformación. Como puede verse, se forma una articulación plástica debido al pandeo en compresión y a la elongación inelástica que sucede a la fluencia del material. En la medida que el elemento tenga una relación de esbeltez menor, la capacidad de disipación de energía se vuelve menor. Para el caso de estructuras compuesta de acero y concreto, deben distinguirse dos casos: aquellas estructuras en las cuales un perfil de acero estructural se rodea de concreto; y un segundo caso en el cual se coloca concreto por dentro de una sección tubular. En el primer caso, de acero rodeado de concreto, hay evidencia de buen 1:30

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comportamiento ante solicitaciones sísmicas, dado que por muchos años este tipo de solución se utilizó como protección para incendio. La observación acerca de problemas con las conexiones es aquí también válida. Para el segundo caso de concreto rodeado de acero, existe muy poca información experimental, y no es extrapolable la información de otros tipos de construcción. El comportamiento sísmico de este tipo de estructuras debe manejarse con cuidado; hasta tanto no se realicen programas experimentales que perrnitan fijar criterios de diseño adecuados. Fuerza axial

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Desplazamiento axial

ctcio sr zo Ciclo N·15

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C/CION'2 ---------- C/c/o N· 1

Figura 6-13 - Ciclos de histéresis para un elemento de diagonal de arriostramiento de acero

Respecto al comportamiento de elementos de celosía utilizados dentro de estructuras resistentes a momentos, debe tenerse especial CUidado, pues hay evidencia ap muy mal comportamiento sísmico. Durante el sismo de México de 1985 se presentó el colapso de un edificio de 21 pisos, cuyas vigas eran elementos en celosía, construidas con án):ulos, y ángulos soldados para conformar secciones tubulares; y las columnas secciones tubulares construidas con platina soldada en las aristas de la sección, con algunos atiezadores internos. El informe [ASeE, 1987), pone en duda que las especificaciones de acero estructural de la AISC sean aplicables a este tipo de estructuras. Esta situación no ha cambiado con las nuevas especifrcaciones [AISC, 1994]. No sobra insistir sobre tres aspectos que conforman la mayor fuente de problemas desde el punto de vista del comportamiento sísmico del acero estructural: (a) el uso de estructuras aporticadas resistentes a momentos, con conexiones soldadas; (b) el uso de estructuras construidas con perfiles ensamblados utilizando platina soldada, debido a estas soldaduras y a que los perfiles resultantes no conformen secciones compactas; y (e), el uso de elementos en celosía dentro de estructuras que conformen pórticos resistentes a momentos. 6.2.4 Mampostería estructural

Dentro del contexto de lo que se presenta a continuación, la mampostería estructural hace referencia a mampostería reforzada; ya sea por medio de barras de acero de refuerzo colocadas dentro de celdas que posteriormente se inyectan con mortero, o dentro del mortero de pega, como es el caso de la mamposteria de bLoque de perforación vertical; o bien dentro de elementos de concreto reforzado de sección pequeña, que rodean el muro, como puede ser el caso de la mampostería confinada. Se hace referencia, cualitativamente, al comportamiento histeretico de muros de mampostería de bloque de perforación vertical y de mampostería confinada.

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Al igual que el concreto reforzado, la mampostería estructural es un sistema constructivo que combina materiales de diferentes características mecánicas, solo que en mayor número; pues intervienen: las unidades de mampostería, que a su vez pueden ser de concreto, de arcilla, o de silical; el acero de refuerzo; el mortero de pega; el mortero de inyección; y, aunque no sea un material, la calidad de la mano de obra de ejecución, la cual generalmente tiene una influencia determinante en el comportamiento de la mampostería. Como resultado se tiene una mayor dificultad que en los otros materiales estructurales generales, para poder definir unos patrones de comportamiento inelástico; pero al igual que ellos, este comportamiento tiene que estar sustentado en trabajos investigativos experimentales.

Figura 6-14 - Muros de mampostería de bloque de perforación vertical con diferentes cantidades de refuerzo horizontal

Para efectos ilustrativos, en la Figura 6-1-l, adaptada de [Chen et al., 1978], se muestran parte de los ciclos de histéresis de una serie de ensayos sobre muros de mampostería de bloque de perforación vertical de concreto; sometidos a cargas horizontales; sin carga vertical; con la misma cuantía (0.0017) Y disposición de refuerzo vertical, pero con diferentes cantidades de refuerzo horizontal. El muro de la Figura 6-14(a), no tiene refuerzo horizontal; el muro de la Figura 6-14(b), tiene una cuantía de refuerzo horizontal de 0.008; y el muro de la Figura 6-14(c), tiene una cuantía de 0.0034, La escala relativa de las tres gráficas es la misma. La forma de los ciclos de histeresís, es muy similar a los ciclos correspondientes a concreto reforzado, respecto a la degradación de la rigidez e inclusive a la presentación de estrangulamiento en ellos. La presencia de refuerzo horizontal permite niveles de deformación mucho más altos sin mayor degradación de la resistencia del muro, pero a niveles de deformación altos, se presenta degradación de la resistencia de todas maneras. Indicando que a la larga la falla por esfuerzos cortantes domina el comportamiento del material. La relación de esbeltez del muro afecta enormemente el modo de falla prevaleciente, llevándolo a fallas iniciales por esfuerzos cortantes para muros bajos y largos; y a fallas iniciales por flexión en muros esbeltos, altos y de longitud relativamente menor. Aquí nuevamente hay similitud con lo que ocurre en muros de concreto reforzado. Este último aspecto es de fundamental importancia, dado que cuando hay aberturas en los muros, debido a vanos de puertas o ventanas, se presentan elementos dentro del muro, con relaciones de esbeltez diferentes y con la consecuente variación en los mecanismos de falla y disipación de energía. Dentro de los múltiples aspectos que afectan la forma de la respuesta histerética [Paulay y Priestley, 19921, se cuentan especialmente: la presencia de carga axial; las cuantías de refuerzo, tanto vertical como horizontal, las características mecánicas del acero de refuerzo; la relación de esbeltez del muro; la resistencia de la mampostería en conjunto, obtenida por medio de prismas; y la distribución del refuerzo vertical dentro de la sección del muro.

En el caso de mampostería confinada, se han ensayado numerosos muros, especialmente en latinoamérica [ACI, 1994]. los ensayos en general se han realizado por medio de marcos de prueba, como el mostrado en la Figura 6-15 [UA, 19941.

Gato

cetda

de carga

Marco de pruebas

/

//

FigUla 6-15 - Marco de ensayo para muros de mampostería

En la Figura G-]6 [Carda y Yamin, 1994] se muestran los resultados de un muro de mampostería de bloque de arcilla de perforación horizontal, confinado por elementos de concreto reforzado de sección pequeñaAllí pueden observarse los efectos de una falla por esfuerzos cortantes en un ensayo de pocos ciclos, no controlado por deformación. Fuerza

Deformación

Figura 6-16 - Muro de mampostería confinada fallando

a estuerzos cortantes

La presencia y ausencia de carga axial en un ensayo con deformación controlada, para muros similares de mampostería confinada de ladrillo macizo de arcilla, se muestra en la Figura 6-17 [Yamín y Garcia, 1993]. En el caso (a) no hay carga vertical. y el caso (b) hay una carga vertical alta, para un muro de este tipo (170 kN). F,.erza (kN)

-20

Fuerza (kN) ~

300

lD

15

20

Deformación (mm) carga axial = O kN

~20

-'5

10

carga axial = 170 kN

(a) (b) Figura 6-17 - Muro de mampostería confinada con diferentes cargas axiales

L

15

20

Deformación (mm)

flllll1UCli eSlTUCl lU tU ltl"t

1\.

u.

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_

La mampostería simple o mampostería no reforzada, en la cual no se coloca acero de refuerzo, o las cuantías utilizadas son muy pequeñas; tiene un modo de falla totalmente frágil ante solicitaciones sísmicas, como lo han venido demostrando los sismos desde tiempo inmemorial: [ACl, 1994], [Coburn y Spence, 1992], [EERI, 1994], [Cae y Shah, 19841 y [Sarria, 1995a]. Este tipo de mampostería es considerado en la actualidad una de las mayores fuentes de vulnerabilidad y peligrosidad sísmica, y está prácticamente prohibida en todas las regiones sísmicas del mundo.

>.3 Modelos matemáticos de histéresis ).3.1 Generalidades

La gran conclusión que se deriva de la Sección anterior, es que el comportamiento inelástico de elementos estructurales construidos con diferentes materiales es complejo y sensitivo a un gran número de variables. En general, dentro del alcance de toda investigacíón experimental, se formula un modelo matemático que permita describir, lo más fielmente posible, el fenómeno investigado. Por está razón el número de modelos matemáticos de hisreresis ha aumentado al ritmo de la creciente investigación en el tema. Muchos de ellos son derivaciones y refinamientos de modelos anteriores. Un aspecto que debe tenerse en cuenta es el aumento de capacidad numérica que se ha logrado en las últimas tres décadas, gracias al computador digital. Por esta razón, modelos matemáticos que fueron grandes avances hace algunas décadas; hoy se juzgan simplistas. Pero al mismo tiempo se debe ser cuidadoso de no caer en la falacia de pretender obtener mayor precisión que la que permiten los datos o suposiciones iniciales. En el resto de la presente Sección se describen detalladamente tres modelos de histéresis: el elastoplástico, el de Rarnberg-Osgood, y a un modelo de rigidez degradante; los cuales se muestran en la Figura 6-18. El modelo elastoplástico se incluyó principalmente por razones didácticas, debido a su simplicidad; la cual se presta, inclusive, para soluciones realizadas manualmente. Se conoce desde hace "arias décadas, que el modelo de Ramberg-Osgood se presta para la descripción de la histéresis de muchos de los tipos de elementos de acero estructural, [Jennings, 19631 y [Sozen, 19741. El modelo de rigidez degradante sirve para describir muchos de los casos de concreto reforzado y mampostería estructural. Fuerza

Fuerza

-

Fuerza

(a)

(b)

(e)

Elasto-plástieo

Ramberg-Osgood

Rigidez degradante

Figura 6-18 - Modelos de histéresis

Como se dijo anteriormente, no existe en la actualidad un modelo de histeresís único que describa adecuadamente para todos los materiales estructurales las peculiaridades encontradas en los resultados experimentales. Por lo tanto lo presentado aquí no pretende ser más que una introducción al tema. No obstante quien desee hacer un seguimiento histórico y estudiar en detalle los modelos de histéresis existentes en la actualidad, puede consultar las siguientes referencias: [Newmark, 19591. [jennings,

6. .

1963], [Clough y }ohnson, 1966], [Takeda, Sozen y Níelsen, 1970], [Sozen, 1974], [Riddell y Newmark, 1979], iSaiidi y Sozen, 1979,1981], [Saatcioglu, 1991], [ACI, 1991bj,

entre otras.

6.3.2 Elastoplástico El modelo más simple para describir la histéresis de curvas fuerza-desplazamiento es el modelo elastoplástico mostrado en la Figura 6-19. El modelo elastoplástico tiene una descripción matemática relativamente simple y su implementación dentro de algunos de los métodos de solución contra el tiempo presentados en el Capítulo 3 es relativamente sencilla. Basta reemplazar el término ku de las ecuaciones de equilibrio dinámico por la fuerza que efectivamente lleva el resorte, la cual ya no depende directamente de la deformación u del sistema, dado que se presentan deformaciones inelásticas.

1

u

_

..

1J;~<~~:~i~kJ

Figura 6-19 - Curva fuerza-deformación para un material elastoplástico

Dentro del modelo elastoplástico el material se comporta como un material totalmente elástico, con rigidez k, hasta que llega al nivel de la fuerza de fluencía JF;¡, a de este punto hay deformación sin que se presente un aumento en la fvc;,,;:;. TJr 'el se invierte el movimiento, el material nuevamente reacciona como un material iotalmenre elástico hasta que se llega a la fuerza de fluencia en el lado opuesto, ·1" c

La acumulación de energía de deformación corresponde al área bajo la curva de carga, Figura 6-20(a). Cuando hay descarga la energía de deformación que el sistema transfiere a energía cinética corresponde al área bajo la cun-a de descarga, Figura 6(b). La diferencia entre las dos áreas corresponde a energía disipada por el sistema y que se comierte en calor, ruido u otros tipos de energía. FA I i Fy+-i---,...-----,¡

F

1

1.Iy (a) ciclo de carga

Uu

u

lIy

Uu

u

(e) energía disipada

Figura 6-20 - Disipación de energía en un sistema elastoplástico

En la aplicación del modelo elastoplástico por medio de un método numérico, existen dos aspectos en los cuales debe tenerse especial cuidado: la determinación del instante en que se presenta la plastificación y la determinación del momento en que ocurre una reversión en la carga, iniciándose la descarga. En el caso de la plastíficacíón, dado que

""!Iioo.

_

Duvunica

eSI,r!LClllrfll UjJlIUIUtt tt. '''
o ••

_

este punto puede presentarse entre dos puntos de evaluación en el tiempo, hay necesidad de reducir el incremento de tiempo ~t, de tal manera que se determine el instante en el tiempo en que ocurre la plastificación de la manera más precisa posible. El segundo caso, correspondiente al inicio de la descarga, el cual también debe corresponder a un punto de evaluación en el tiempo. Dado que el punto de descarga corresponde siempre a un punto de cero velocidad, una vez se detecta un cambio en el signo de velocidad, se debe iniciar, también, una reducción del incremento de tiempo ~t hasta que se encuentre el punto con una tolerancia en velocidad adecuada. El no tomar estas precauciones conduce a una acumulación de errores que lleva a respuestas erradas o imprecisas.

FtI

Fy~I-----~ I

Error en le energia disipada al

no detectar oportunamente el inicio de la descarga

u

Figura 6-21 - Diferencia en la energía disipada causada por la no detección oportuna de los cambios en las relaciones fuerza desplazamiento

En la Figura 6-L 1 se ilustra, desde el punto de vista de la energía disipada, el error en que se incurre al localizarse en un nivel de fuerza algo mayor, para el primer caso; o en un punto de mayor desplazamiento, por no detectar oportunamente el cambio en velocidad, para el segundo caso. La solución del problema se realiza utilizando la metodología presentada en la Sección 3.6, por medio de la formulación incremental del método de la aceleración lineal. Cuando el método se quiere implementar dentro de un programa de computador, la manera más sencilla de obtener en cada incremento de tiempo la fuerza en el resorte apropiada consiste en generar un sistema de ejes de coordenadas auxiliares cuyo origen se coloca en el punto donde se inicia una descarga.

u

x

Figura 6-22 - Ejes de coordenadas auxiliares para manejar cada ciclo de descarga en el modelo elastoplástico

En la Figura (-)-22 se presentan los ejes de coordenadas auxiliares que se utilizan para determinar la fuerza en el resorte. Una vez se detecta el inicio de la descarga a través de un cambio en el signo de la velocidad, los valores de la fuerza y la deformación en ese punto de denominan Ym y Xm respectivamente, y allí se coloca el origen de un sistema de coordenadas, en el cual se describen las coordenadas del punto A de

laG

fluencía, como Ya Y x". De esta manera se dispone de la información para poder calcular la fuerza real en el resorte. Este sistema de coordenadas es fijo hasta que se presenta un nuevo cambio de signo en la velocidad, anunciando un ciclo de descarga. Estudiemos ahora, la respuesta elasto-plásríca de sistemas de un grado de libertad sometidos a una excitación dinámica en su base. Para el efecto utilizamos el sistema mostrado en la Figura 6-23. El sistema consiste en una masa soportada por un elemento estructural cuyas relaciones fuerza-deformación son conocidas, y además tiene un amortiguador viscoso. La variable Xo describe los movimientos de la base de la estructura, y la variable x describe la posición de la masa con respecto a la base de la estructura.

I

1 I

En la Sección 2.5 se encontró la ecuación diferencial de equilibrio, ecuación (2-71), que rige la respuesta dinámica de sistemas linealmente elásticos ante una excitación en su base. Por comodidad, a continuación, se transcribe la ecuación (2-71); llamándola (6-2). (6-2)

mü + en + ku= -mxo

En esta ecuación u = x - X o , u = x- ;';0 ,y Ü o == x- xo ' La aceleración que tiene el terreno corresponde a xo ' o sea que un acelerograma estaría representado por esta variable. La constante rn corresponde a la masa; e a la constante del amortiguador; y el producto ku debe convertirse en la función Fr(x), la cual está descrita por las relaciones fuerzadeformación del elemento estructural, en este caso las del modelo elastoplástico.

t---t--:x

amortiguador

elemento estructural

(a)

~ (b)

Figura 6-23 - Sistema de un grado de libertad sometido a un acelerograma en su base

Con el fin de mostrar los resultados que se obtienen utilizando un modelo elastoplástico, se somete a los primeros -t segundos del acelerograma de El Centro el sistema dinámico mostrado en la Figura 6-23, el cual tiene un período de vibración T, igual a 1 segundo; y en este caso sin amortiguamiento. Se prescribe que el nivel de fluencia del elemento estructural de soporte es de 20% del peso del sistema. O sea: F, = 0.2 mg =0.2W, siendo W el peso del sistema, igual a mg. El sistema tiene resistencia simétrica, por lo tanto para el lado negativo de la resistencia se tiene el mismo valor: -F, = 0.2 rng = 0.2W. De acuerdo con el Capítulo 2, el período de vibración está definido como: T

= 21t =21t ¡;; ro

VI;

y la rigidez es, entonces:

Dado que se tiene un período T de un segundo, y suponiendo una masa unitaria de ID = 1 kg, la rigidez inicial del sistema es k:::: 4'¿ :::: 39.5 N/m. El valor de la fuerza de fluencia del sistema es: F, :::: 0.2 ID g :::: 0.2 . 1 ·9.8:::: 1.96 N (W es por lo tanto 9.8 N). El valor de la deflexión de fluencia Uy, tal como se define en la Figura 6-19; es entonces, igual a: U y :::: Fy 1k :::: 1.961 39.5 :::: 0.050 m :::: 50 mm. La respuesta se obtiene utilizando el método incremental de aceleración lineal presentado en la Sección 3.6, el cual está implementado en el programa R~SDlN, como se explicará en la Sección 6.5. Acelerograma de El Centro, 1940

DA 0.2

(g)

Ciclos de histéresis

0.0

,....,..~¿-f\-l---+-+Ql-I--~7H-'~

Tiempo (s)

Fuerza (1/ W)

-0.2

-DA

0.2

(a)

e

d

Desplazamiento 100

e

50

(mm)

O +--=-'F---~\-t-J'-----'\---\-~\-I-- Tiempo (s) 50 ' -100

1

-100

50

100

Desplazamiento (mm)

(b) e b

Fuerza

DA 0.2

-50

a

d e

(d)

(11 W) 0.0 -¡.......=-4--....>.L\+/-h-+--+-1- Tiempo (s) ·0.2 -0.4

Figura 6-24 - Respuesta de un sistema elastoplástico con T = 1 s y F y = O.20W al ace;erograma de El Centro

En la Figura 6-24 se presenta la respuesta de los 4 primeros segundos. En (a) está el aceler ograma, con las aceleraciones expresadas como fracción de g; en (b) se muestran los desplazamientos relativos u, que tiene el sistema, en mm; en (e) la historia de las fuerzas, expresadas como fracción del peso del sistema, W; y en (d) los ciclos de histéresis en términos de fuerza-desplazamiento. En todas estas gráficas están marcados los puntos donde hubo cambios en la relación fuerza desplazamiento del elemento estructural. Vale la pena resaltar que nunca se excede la fuerza de fluencia, hecho concordante con el modelo elastoplástico de histéresis. Los puntos de inicio de descarga están localizados siempre en un valor máximo del desplazamiento, el cual corresponde siempre a un punto de velocidad cero, dado que la velocidad es la derivada contra el tiempo del desplazamiento. También debe notarse que el punto de primera fluencia, en este caso en la dirección negativa, punto b; efectivamente ocurrió un desplazamiento de 50 mm, como se muestra en 6-24(b) y (d). En la Figura 6-2::; se muestra la respuesta hasta los 15 segundos del temblor de El Centro de 1940 (el acelerograrna tiene una duración de 53 s y se muestra completo en la Figura 4-10). En la misma Figura (-)-25 se dibujó la respuesta de un sistema con Fy :::: 0.4 IDg:::: 0.4W, y la del sistema elástico correspondiente. 188

En 6-25(a) se muestran los ciclos de histeresis del sistema con F, = O.2W, y en (b) los del sistema con F, = O.4W; en (e) se muestra la respuesta en desplazamiento de los tres sistemas; en (d) la historia de las fuerzas en el elemento estructural; y en (e) las localizaciones en donde hubo fluencía para los dos sistemas inelásticos. Ciclos de histéresis Fuerza (11 W)

Fuerza (11 W)

0.5

Fy = 0.2 W

-150

0.5

0.4

Fy = 0.4 W

0.3

0.4

0.3

-lOO

-ISO

-lOO

·0.3 -0.4

(a)

-0.4

-0.5

250 200

T t

(b)

-0.5

Elástico

Desplazamiento

150 100

50

(mm)

O +-~~""""'~--Ilc+1llf--1r+:1L.....jI"+A'----!,.--+¡""'-'r~\-+Nt-+t---\-tF'\-ic+-''f---tI-\-~-iI-\,..ff--+l-''-1L-<

·50 t

I

-lOO

t

:: t 1 -250

l.°f

Elástico

Fuerza

0.8

0.6

~t

(1/ W) 0.0 -0.2

r.

!\ ...

O.4t

~

+--J--~t-l---1M-11--\-+J-\-+JI--~¡..q..c4C~---IA.~~.cv:-~-II4..J,..i-.:~ . . \ ~l\V 1.1.

11, í ' 5

V

-0.4

Tiempo (s)

-0.6

(d)

-0.8 -1.0

0.4

T

F y= O.4W

Fluencia

tF y=O.2W 0.2

0+----f---+--..----.......----+---4-----+--...I+-.--+----+----<----IL-,.--~_,_+_____< 9

10

11

14

15

-0.2

(e)

Tiempo (s)

-0.4

Figure 6-25 - Respuesta efesistemas e,'asioplásticos con T

189

= 1 s, al acelerograma de Ei Centro

nómica es! ructural aplicada (1/ diseño

SISI1lIC()

.3.3 Modelo de Ramberq-Osqood Un modelo de hisreresís que se ajusta a las curvas fuerza-deformación de varios materiales, fue desarrollado por W. Ramberg y \V. R. Osgood en 1943 [Ramberg y Osqood, 1943]. El modelo está descrito por la siguiente ecuación:

(6-3)

:, t

Rigidez curve esqueleto

Rigidez Origina/1

.6--/

FlF y

/-6,

-4-

1.L

~~_-w

I i

I

"}'

I

Rigidez en el punto de fluencia Curva esqueleto

I

/1

I

u

!~

Uy

"1

J

deformación permanente

Figura 6-26(b) - Definición de las rigideces dentro del modelo de Ramberg-Osgood

Figura 6-26(a) - Definición de F y Y u y dentro del modelo de RaMberg-Osgood

La definición de F, y Uy. está basada en la medición del limite proporcional en el ensayo de un material inelástico por el método del corrimiento, como se muestra en la Figura 6-26(a). El parámetro a define la rigidez de la curva esqueleto, k Cfl véase la Figura G-26(b); y está relacionada de la siguiente manera con la rigidez original k g ; como se muestra en la Figura 6-7: k

-

cr -

( +a1)

-- k

1

F Fy

(6-4)

g

o.= 0.8

0.=0 t

o.=I 1.0 I

2 Figura 6-27 - Influencia del valor del parámetro a

El exponente r, en conjunto con a, define la rigidez en el punto de fluencia, k., de la siguiente manera: 140

(6-5)

y (6-6)

r=8

r=2 a=O.O

a=O.2

r

a=O.O

=16 a=O.O

1.5,-----,-----¡_-¡---.,-_,---, a=O.8 a=O.2 a=OA a=O.8

a=1.6 1.0 +---+----,H--A--AI-7"-Jr
a=O.2 a=OA a=O.8

a=1.2

a=2.0 I.Ot-I~~~~~4a=1.6

1.0 .J---t-1~~~~F' a=1.2 I a=1.6

a=2.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0

I

~---I----'--I----J-_¡_--1

0.0

0.5

u/u y

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

ulu y

Figura 6-28 - Influencia del valor del exponente r en el modelo de Ramberg-Osgood

En las Figuras 6-27 y 6-28 se muestra la influencia de los parámetros ex y r en la forma de la curva de histéresis. En la medida que r se vuelve mayor, la forma de la curva se hace similar a la de un modelo elastoplástico; al cual es igual, teóricamente, cuando r =oo. La solución del problema se realiza de una manera análoga a la del modelo elastoplástico, utilizando la formulación incremental del método de la aceleración lineal de la Sección 3.6. Al implementar el modelo dentro de un programa de computador, para describir en cada incremento de tiempo la fuerza en el .resorte apropiada, hay necesidad de generar un sistema de ejes de coordenadas auxiliares cuyo' origen se coloca en el punto donde se inicia una descarga. F~

y

Ya u

punto donde se ; ' !"=---;;------,;;>¡ inicia :a descarga

x

Figura 6-29 - Ejes de coordenadas auxiliares para manejar cada ciclo de d13scarga en el modelo de Ramberg-Osgood

En la Figura 6-29 se presentan los ejes de coordenadas auxiliares que se utilizan para determinar la fuerza en el resorte. Una vez se detecta el inicio de la descarga a través de un cambio en el signo de la velocidad, los valores de la fuerza y la deformación en ese punto de denominan Ym y X m respectivamente, y allí se coloca el origen de un sistema de coordenadas, en el cual se describen las coordenadas del punto A de

1

141

lJill(¡¡Il/c(/ eSlrltClIlHII

IlJlIIUH'U ' " 'lO'"

" " "._. __

fluencia, como Ya Y Xa. De esta manera se dispone de la información para poder calcular la fuerza real en el resorte. Este sistema de coordenadas es fijo hasta que se presenta un nuevo cambio de signo en la velocidad, anunciando un ciclo de descarga. Allí se indica la rigidez original elástica del sistema, k g; la rigidez de la curva esqueleto, k cr ; Y la rigidez en el punto de fluencia, ks. Esta última corresponde generalmente, al aumento en resistencia generado por endurecimiento por deformación del materiaL Fs importante anotar que el modelo coloca como rigidez en la descarga una rigidez igual a k g , por lo tanto para niveles pequeños de fuerza la rigidez es igual a la del sistema elástico originaL Utilizando el mismo sistema que se empleó para describir el modelo elastoplástico, o sea un sistema con un período de vibración T, de 1 segundo, y sin amortiguamiento viscoso. En la Sección 6.3.2 se mostró que la rigidez de un sistema con período T, es: k = 4 -¡¿ m rr 2 • Tomando m = 1 kg, entonces k g =4 -¡¿ = 39.48 N/m. Para efectos de la aplicación del modelo de Ramberg-Osgood, tomamos un sistema con una fuerza de fluencia igual al 20% del peso de la masa del sistema: F, = 0.2 ro g =0.2 ·1·9.8 =1.96 N (W es por lo tanto 9.8 N). El valor de la de flexión de fluencia Uy, tal como se define en la Figura 6-26; es entonces, igual a Uy =Fy / k =1.96/39.5 = 0.050 m = SO mm. Definimos que la rigidez de la curva esqueleto es igual al 75% de la rigidez inicial, o sea: kcr =0.75 k g , lo cual implica que 1/ (1+eL) =0.75 Y eL = 0.333. La rigidez en el punto de fluencia la definimos como el 15% de la rigidez inicial, por lo tanto: k., =0.15 kg , Y = 0.15, Y r = (1 / e) (1Iy - 1) = 17.017. En la Figura 6-30 se muestran los primeros -l segundos de la respuesta de este sistema al acelerograma de El Centro. 0.40j

Acelerograma de El Centro, 1940

I 0.20\ i

(g) 0.00

i:!""'V'\----+l"-+---\o,jI-\-l-f;\HI<-:-tl-'\tr<

-0.201

tiempo (s)

e

Ciclos de histéresis

i -0.40 1

100

(a)

Fuerza (1/ W) 0.3

Desplazamiento e

e

0.2

50

(mm) O","",=~~-\-7.t--t-"""----\-4tiempo (s)

-100

-50

g

-100 0.4

50

100

Desplazamiento (mm)

Fuerza

0.2

(11 W) O"'"""=A-::--=-~f--\---;.-I--\--<4 tiempo (s) -0.2 -0.4

Figura 6-30 - Respuesta de un sistema con T = 1 s y F y = O.2W con un modelo dE Ramberg-Osgood a los primeros 4 s del temblor de El Centro

142

En la Figura 6-31 se muestra la respuesta hasta los 15 segundos del temblor de El Centro de 19~O (el acelerograma tiene una duración de 53 s y se muestra completo en la Figura -l-Ll ), En la misma Figura 6-31 se dibujó la respuesta de un sistema con F y = 0.4 mg = 0.4W, y la del sistema elástico correspondiente. En 6-32(a) se muestran los ciclos de histéresis del sistema con F, = 0.2W, y en 6-32(b) los del sistema con Fy = 0.4W. Desplazamiento

250 Elástico

200

-----,~.

Fy=O.4W 150

F y=O.2W 100

50 (mm)

tiempo O-+-...-l'-"'-\+t-+H/l-Hf----1JK-+-J'~-1'I-'~~HA__lf'J'~jL\\H_II_'W__H_!I'H__\__\f__j

(s)

-50 O -100

-150! -200

-250

Figura 6-31 - Respuesta de un sistema con T= 1 s con un modelo de Ramberg-Osgood a los primeros 15 s del temblor de El Centro

Fuerza (11 W)

Fuerza (11 W) 0.4

F y = 0.2 W

T

0.4

Fy

0.3

= 0.4 W

0.3

>----+----+-/---.....Jf¡I-;(fI-#--+---+-.--.....-j ·100

-1;'9

50

100

¡"50

Jrkspl:¡,¡tamlenw (mm)

-0.3

-0.3 -0.4

-0.4

(a)

(b)

Figura 6-32 - Ciclos de histéresis de la respuesta mostrada en la Figura 6-31 6-2~ y 6-31 puede observarse que no existen grandes diferencias en las respuestas obtenidas, expresadas en términos de desplazamiento, entre el modelo elastoplásrico y el modelo de Ramberg-Osgood. Esto es de esperarse dado que la diferencia en la energía disipada en un modelo y el otro está dada por la forma como se llega a la fluencia, la cual en el modelo de Ramberg-Osgood es más gradual. Esta es una de las razones de la popularidad del modelo elastoplástico, pues se obtienen resultados relativamente iguales con mucho menos esfuerzo numérico. Estos dos modelos no pueden simular degradación de rigidez ni de resistencia, por lo tanto su aplicación en estructuras de concreto reforzado está limitada a elementos que no tienen ninguna de las dos. En la siguiente Sección se presentan modelos que pueden simular la degradación de la rigidez, pero con mucho más trabajo numérico.

,-\1 comparar las Figuras

6.3.4 Modelos con deqradacion de la riqidez

Con base en ensayos experimentales realizados en mesas vibratorias, fue posible plantear y luego verificar modelos de histéresis que se ajustaran de una manera mejor a lo que se observaba experimentalmente. El primer modelo que logró describir de una

14:-3

manera adecuada, dentro de una precisión aceptable, la respuesta de estructuras de concreto reforzado con características de degradación de la rigidez fue el modelo de Takeda [Takeda, Sozen y Nitsen, 1970]. En este modelo la respuesta se describe por medio de segmentos rectos. La parte matemática del modelo es algo compleja dada la gran cantidad de posibilidades de rigidez durante la recarga y la descarga del elemento. Posteriormente se han realizado numerosos estudios donde se han evaluado las bondades de diferentes modelos, muchos de los cuales permiten realizar simplificaciones importantes que reducen el trabajo numérico. Algunos de estos estudios se presentan en las siguientes referencias: [Otani y Sozen, 1972], [Riddell y Newmark, 19791. [Saiídi y Sozen, 19791, [Abrams, 19851. [Abrams, 19911, y [Saatciog/u, 1991]. Ha sido tradicional manejar los modelos de hísteresís por medio de una descripción consistente en segmentos rectos, que se encuentran en el punto donde ocurre un cambio abrupto en la curvatura. Estos cambios de curvatura conducen dentro del algoritmo de respuesta dinámica a la necesidad de introducir reducciones en el incremento de tiempo, tales como la descrita en la Sección 3.(). Fl X ma x

e

y

ks 7 /

Xab

U

Yl punta donde se / inicia la descarga

uy

x

"m

Figura 6-33 - Descripción del modelo de histéresis con degradación de la rigidez

Con base en lo presentado por Abrams [Abrams, 19851, es posible implementar un modelo en el cual la formé'. del ciclo de histérests se define por medio de segmentos cúbicos y lineales. Se emplean cuatro segmentos para describir un ciclo de carga Que se inicia como descarga del ciclo anterior, tal como se utilizó en la descripción de los modelos elastoplástico y de Ramberg-Osgood. Estos segmentos, de acuerdo con las rigideces definidas en la Figura 6-7, se presentan en la Figura 6-33 y describen lo siguiente: a) descarga lineal, con una rigidez k, b) estrangulamiento causado por la inversión de la fuei za, con una rigidez igual a la rigidez de recarga o de nueva carga, k, c) rigidización gradual debida a que se cierran las fisuras, seguida por una degradación a niveles altos de carga d) resistencia en fluencía, con una rigidez igual a k sLa curva cúbica describe el segmento el, La curvatura se hace más pronunciada en la medida que la separación entre los puntos B y C se hace mayor. Esto reflej a adecuadamente el fenómeno físico, en un elemento de concreto reforzado, causado por el hecho de que las fisuras se cierran a niveles bajos de carga; y al efecto de Bauschinger en el acero de refuerzo a niveles de carga mayores. En el caso de un elemento en que se presente deterioro de la adherencia, cuando se inicia el ciclo de descarga, las fisuras se tienden a cerrar y las barras de refuerzo tienden a volver a su posición original, lo cual produce una reducción importante en la

144

I

t I

rigidez. Cuando las fisuras están totalmente cerradas, y el refuerzo ha desarrollado un anclaje adecuado para la nueva dirección de la fuerza, se aprecia un aumento en la rigidez. Inicialmente la rigidez entre los puntos A y B es la equivalente a una sección compuesta únicamente por el refuerzo, correspondiente a k., Esto se simula en el modelo utilizando una rigidez ~k.. con el parámetro ~ = 1. En la medida que se aumenta la amplitud de los ciclos y la adherencia se deteriora el valor de ~kr se disminuye en función de la máxima deformación obtenida en la misma dirección de carga en un ciclo previo, xmax . A un valor prescrito de la deformación A.Uy, el cual es función de la deformación de fluencia, UY' se supone que toda la adherencia ha desaparecido y la rigidez Bk, se convierte en cero, utilizando ~ = O. El parámetro A. toma valores entre 4 y 10, dependiendo del tipo de elemento. La deformación en el inicio de la rigidización,
o

L-

--'=-.....

_~_

o Figura 6-34 - Idealización del efecto de deterioro de la aciherencia del acero de refuerzo

I

En elementos de concreto reforzado donde no se presente un deterioro apreciable de la adherencia, como ocurre en muros estructurales solicitados prírnordíalmente el: flexión y cuyo refuerzo esté adecuadamente anclado, la rigidez entre A y B no tiene la degradación descrita anteriormente y debe modelarse utilizando la misma rigidez del ciclo de descarga k g , o un valor algo menor para describir algún efecto de cerrado de las fisuras. En caso de que se prescriba una rigidez ~kr mayor que la rigidez promedio entre A y C, el modelo elimina el segmento AB del modelo. En este caso, el modelo de histéresis resultante se asemeja al modelo de Rarnberg-Osgood. La dimensión F, corresponde a la resistencia al inicio de la fluencia, como se obtendría de la curva primaria de carga, por ejemplo del diagrama momento-curvatura de la sección. Así mismo la pendiente k, está relacionada con el efecto de endurecimiento por deformación en el acero de refuerzo. Debido a que durante la respuesta a un movimiento sísmico se presentan varias reversiones de dirección dentro del mismo ciclo de carga, el algoritmo toma en cuenta estas descargas dentro de cualquier tramo de la curva. Se supone comportamiento lineal si se presenta descarga antes de que se presente un cambio en el signo de la fuerza, Figura 6-35(a). De igual manera, si se presenta recarga después de que haya cambiado el signo de la fuerza, pero sin que se presente un cambio de signo de la deformación, el modelo supone un ciclo de recarga sin aplicar degradación de la rigidez debida a la disminución de la adherencia, Figura 6. 35(b).

14.'5

F

F

X max

punto donde se

Inicia la descarga

X ma x

Antes de que cambie el signo de la fuerza

Antes de que cambie el signo de la deflexión

(a)

(b)

Figura 6-35 - Procedimiento para manejar reversiones en la recarga

El procedimiento para detectar los cambio de velocidad dentro del algoritmo puede ser el mismo descrito en la Sección 3.6. Utilizando el mismo sistema que se empleó para describir los modelos elastoplástico y de Ramberg-Osgood, o sea un sistema con un período de vibración T. de 1 segundo, y sin amortiguamiento viscoso: se puede encontrar la respuesta ante el mismo acelerograma de El Centro, pero empleando el modelo de rigidez degradante descrito anteriormente. Al igual que para los dos modelos de histéresis anteriores, la rigidez del sistema con período T, es: k = 4 .,¿ m rt', y tomando m = 1 kg, entonces la rigidez es k =4"¿ = 39.48 N/m. Se toma, de igual manera, un sistema con una fuerza de fluencía igual al 20% del peso de la masa del sistema: F, =0.2 m g =0.2 . 1 ·9.8 =1.96 N. Se supone, para efectos de esta presentación, que la rigidez del sistema con período dí' 1 s, corresponde a la rigidez fisurada, k cr . 0.4

Aeelerograma de El Centro, 1940

(g)

e

o

tiempo (s)

Ciclos de histéresis

-0.2 -0.4 150

Fuerza (1 / W)

1

o,¡

(a)

100

d

0.1

50

(mm) O

tiempo (s) -150

-50

-100

100 150 Desplazamiento (mm)

-100 -150 0.4

d

0.2

Desplazamiento

(b)

1

g

0.2

-0.3

(d)

(lIW) O

tiempo (s)

-0.2 -0.4

(e) Figura 6-36 - Respuesta de un sistema con T= 1 s y F y = O.2W con un modelo de rigidez degradante a los primeros 4 s del temblor de El Centro

]4fj

I

It

I

d

0.2

I

I

La rigidez de descarga, se supone igual a la rigidez fisurada, por lo tanto k, = k.or. La rigidez en el punto de fluencia, k., la definimos como el 15% de la rigidez inicial, por lo tanto: k, =0.15 kcr . La rigidez de recarga, k" se define como el 40% de la rigidez fisurada, entonces: k, = 0.40 kcr • El número de ciclos de deformación inelástica que se requieren para que se degrade totalmente la adherencia del refuerzo se fija en 8, por lo tanto A = 8. En la Figura 6-36 se muestran los primeros 4 segundos de la respuesta de este sistema a! acelerograma de El Centro. En la Figura 6-37 se muestra la respuesta hasta los 15 segundos del temblor de El Centro de 1940. En la misma figura se dibujó la respuesta de un sistema con F, =0.4 mg =0.4W, y la del sistema elástico correspondiente. En la Figura 6-38(a) se muestran los ciclos de histeresís del sistema con Fy = 0.2W, yen (b) los del sistema con F, = O.4W. Desplazamiento 250f 200 150

I

100

t

Elástico

I

I

50 (mm)

O

+-

AM~l-+l-l--\--\H-l-1\--N+-\lJH-\,ft-.4~HP\--1o\..,¿.¡¿+~~+,.;bU\+_Il_~__tV_I:..t\\i

-504-

::tt

-200 -250

_L

Figura 6-37 - Respuesta de un sistema con T= 1 s con UII modelo de rigidez degradante a los primeros 15 s del temblor de El Centro

Fuerza (1/ W)

Fuerza (1/ W)

-; I

Fy=O.2W

Fy=O.4 W

50

-200

100

150

200

-200

50

Desplazamiento (mm) -0.3

-0.3

-0.4

-0.4

-0.5

too

150

200

Desplazamiento (mm)

-0.5

(a)

(b)

Figura 6-38 - Ciclos de histéresis de la respuesta mostrada en la Figura 6-37

--\1 comparar la respuesta del sistema histeretico de rigidez degradante, con la obtenida para los modelos elastoplástico y de Ramberg-Osgood, puede observarse que hay diferencias importantes entre estos dos y el modelo que toma en cuenta el estrangulamiento de los ciclos de histeresís y la degradación de la rigidez. Esto se debe a que el último modelo hísterétíco presentado disipa menos energía que los otros dos. Las dos diferencias más importantes son: mayores desplazamientos en el caso del modelo histeretíco con degradación de la rigidez, para los dos casos de resistencia a la fluencia; y variación en el período de la respuesta, pues en el caso del modelo con degradación de la rigidez el período de vibración se hace mayor en la

147

Dinámica estructural apuccuui

UI

"J..... "

({I:>l'/IV ..

medida que se presenta más degradación. Este último efecto es más notorio para el sistema con menor resistencia a la fluencia.

6.4 Conceptos de ductilidad, tenacidad y capacidad de disipación de energía En este momento es conveniente introducir algunos términos asociados con la respuesta inelástica de elementos estructurales, los cuales se emplean posteriormente para definir y calificar diferentes patrones de ccmportamiento. Iniciamos con el concepto de ductilidad. Si tenemos un sistema elastoplástíco, en la Figura 6-39, se muestra la carga y posterior descarga del sistema. El sistema responde elásticamente al inicio de la carga, hasta que llega a la fuerza de fluencia, Fy . En este sitio hay un desplazamiento asociado, Uy, el cual se puede obtener de U y = F y I k. Si el sistema se sigue cargando, la respuesta es totalmente plástica. En el punto de desplazamiento Um se descarga el sistema. Esta descarga en el sistema elastoplástico ocurre en una línea que tiene la misma pendiente, k, de la curva de carga original.

falla

,..-----r------/

1\ i

Uy

Uro

uu

desplazamiento

Figura 6-39 - Curva fuerza-desplazamiento material e/astoplástico

La ductilidad de desplazamiento que alcanza el sistema se puede definir como: (6-7) Esta ductilidad se denomina ductilidad solicitada, o demanda de ductilidad; pues corresponde a la máxima ductilidad que se le solicita al sistema. La capacidad de ductilidad. corresponde a la máxima ductilidad que se le puede exigir al sistema, y se determina con la misma ecuación (6-7), pero empleando u.. Cuando se tiene una respuesta hísteretíca elastoplástica, como la mostrada en la Figura 6--10, la ductilidad solicitada en el sentido positivo se determina utilizando:

11

r-

+

+

Um =--¡-, donde u"y uy

F+

(6-8)

=_Y-

k

y el sentido negativo: (6-9)

148

I

Desplazamiento

Figura 6-40 - Ductilidad dentro de los ciclos de histéresis, material elastoplástico

Esta definición de ductilidad sólo es estrictamente exacta para un material elastoplástico. Cuando el material responde de una manera diferente al sistema el isroplástico, el concepto es extensible; pero debe manejarse con algo de cautela, pues muchas veces el desplazamiento de fluencia no está tan claramente definido..Algunas veces, cuando se trata de sistemas que responden de una manera diferente al sistema elastoplastico, el mismo parámetro se denomina coeficiente de daño, y se utiliza el mismo símbolo, ¡.t, para denominarlo. Siempre debe indicarse el parámetro que se utilizó para determinar la ductilidad, pues el no hacerlo puede conducir él interpretaciones erradas. Cuando la ductilidad se determina en el diagrama esfuerzo-deformación de un material, la ductilidad se denomina ductilidad de deformación. Cuando la ductilidad se 'mide utilizando curvatura, como puede ser el caso en un diagrama M-~, Figura 6--!, se denomina ductilidad de curvatura. Si se utiliza la rotación, e, sobre la elástica, como es el caso de la-iutaciÓ~-que-ocurre una articulación plástica (veanse la Tabla 6-1 y la Figura 6-5) se denomina ductílídaiL.tfe......l1lliJc.ián,,-SLse utiliza la deflexíón, o desplazamiento Ó, como muestra la Fígura 6-5; se denomina ductilidad de desf!lazamientQ.: Los diferentes valores de ductilidad no son directamente co~bles. En general en elementos de concreto reforzado, las ductilidades de deformación, ¡.t,< medidas en el material en una fibra de la sección tienen valores mucho mayores que las ductilidades de curvatura, J.4; las cuales a su vez son mayores que las ductilidades de rotación, f..4¡; las cuales por último son, a su vez, mayores que las ductilidades de desplazamiento, ¡.Lo; él pesar de que describan el mismo fenómeno. Las siguientes definiciones dadas en la norma ATS 100-97 [AIS, 19971 y en las nuevas normas sismo resistentes colombianas NSR-98 [AI~~ 1998], resumen lo anterior:

-en

Ductilidad - Capacidad que tiene un material estructural de resistir, sin fallar, deformaciones que lleven al material estructural más allá del límite elástico, o límite donde las deformaciones son linealmente proporcionales al esfuerzo o fuerza aplicada. (Véase capacidad de disipación de energía, pues muchas veces estos términos son confundidos.) Dependiendo del parámetro que describe las deformaciones, la ductilidad puede hacer referencia, entre otras, a: (a) ductilidad de curvatura - cuando la ductilidad se mide con respecto a la curvatura de la sección del elemento estructural. La curvatura se define como el cociente entre el momento flector aplicado y la rigidez de la sección, (b) ductilidad de rotación - cuando la ductilidad se mide con respecto a la rotación que tiene un sector longltudinal del elemento estructural. La rotación se define como la pendiente de la línea elástica del elemento medida con respecto a la posición original del eje longitudinal del elemento, (e) ductilidad de desplazamiento - cuando la ductilidad se mide con respecto al desplazamiento o deflexión que tiene el elemento estructural. El desplazamiento se mide con respecto a la posición original del eje longitudinal del elemento, y

149

(d) ductilidad de deformación - cuando la ductilidad se mide con respecto a la deformación unitaria de una fibra paralela al eje neutro de la sección.

El término tenacidad, (toughness en inglés) fue definido en la Sección 6.2.1, para un material, como el área bajo la curva esfuerzo-deformación de cualquier material que se lleva hasta la falla, y es una medida de la capacidad del material para absorber energía por unidad de volumen. Este concepto ha sido extendido en la ingeniería sísmica a los elementos estructurales. donde se define como la capacidad de resistir una seríe de oscilaciones en eL rango inelástico de respuesta sín que se presente una disminución crítica de su resístencia. En muchas situaciones se prefiere al término ductilidad, dado que no se presta a equívocos. Para efectos de ilustrar la posibilidad de que se presenten interpretaciones erradas con el término ductilidad, en la Figura 6-41 se muestra la respuesta de dos elementos estructurales, que se llevan monotónicamente a la falla por flexión. Los dos sistemas tienen la misma resistencia a la fluencia, M", y tienen la misma capacidad de ductilidad de rotación, que se ha fijado arbitrariamente para esta presentación en ¡.li¡ = 6. El sistema A, tiene una rigidez cuatro veces mayor que la rigidez del sistema B.

Figura 6-41 - Elementos con la misma ductilidad ¡.li¡

=6 Y kA =4kB

Es evidente a partir de la figura que aunque los dos sistemas tienen la misma ductilidad, su tenacidad, expresada en un sentido estricto como el área bajo la curva, es mucho mayor para el elemento B. Debe, por lo tanto, tratarse con cuidado el termino ductilidad, pues muchas veces el comportamiento de dos elementos con la misma ductilidad ante cargas similares, es totalmente diferente. -\hora se explicará qué se entiende por capacidad de disipación de energía. Supongamos que tenemos dos sistemas dinámicos compuestos por elementos estructurales que tienen la misma rigidez; uno de ellos es totalmente elástico, y el otro tiene posibilidad de responder inelásticamente. Al someterlos a una excitación dinámica, como puede ser el registro acelerográfíco de El Centro de 1940; se obtienen respuestas en desplazamiento, cuyo desplazamiento máximo es diferente si al sistema inelástico se le exigió más allá del límite elástico. En la Figura 6-42 se muestran dentro de un diagrama de fuerza-desplazamiento, los dos sistemas. El valor de De corresponde al nivel máximo de desplazamiento a que llega el sistema elástico. A este nivel de desplazamiento le corresponde un nivel de fuerza en el elemento, F•. Puede decirse que este nivel de fuerza es el nivel de resistencia mínimo que se requiere del sistema para que éste responda en el rango elástico, ante la solicitación dada.

ISO

. s;

Fuerza

Fe

inelástico

Um

Desplazamiento

Figura 6-42 - Definición de la capacidad de disipación de energía

Ahora definimos el coeficiente de reducción de resistencia, Ro, por medio de: (6-10)

De la ecuación anterior, puede verse que: (6-11)

y

(6-12) Con base en lo anterior puede decirse que la capacidad de disipación de enerqia de un sistema inelástico de un grado de libertad, corresponde a la capacidad que tiene el sistema para reducir la fuerza solicitada de un valor que tendría el sistema si permaneciera elástico, Fe, a un valor de fluencia, F y • Esta capacidad de dísípecíón de energía se mide por medio del coeficiente de reducción de resistencia, Rv. Se ha utilizado el subíndice o para enfatizar que se trata de un coeficiente de reducción de resistencia para sistemas de un grado de libertad. Este coeficiente está asociado con el coeficiente de reducción de resistencia R que emplean los códigos de diseño sísmico, pero para sistemas de varios grados de libertad. Por ejemplo, para los sistemas utilizados en la presentación de los sistemas inelásticos de la Sección anterior, se emplearon sistemas con F:. = 0.20W y F, = 0.40 W. El sistema elástico, tal como se indicó allí, tenía una rigidez k = 39.-178 N/m, un período T = 1 s, y una masa m = 1 kg. La respuesta máxima elástica que tiene un sistema con un período de un segundo al acelerograma de El Centro es de 205 mm o 0.205 m, como lo muestran las Figuras 6-2-l, 6-:)0 y 6-36. Para el caso con. r, = 0.20W = íl).20+9.8 = 1.96 N, uJ = FyIk = 1.96/39.478 = 0.050 m. Entonces, Ro = uJu j = 0.205/0.050 = 4.1. Para el caso con F y = 0.40W = 0.40+9.8 = 3.92 N, u, = FyIk = 3.92/39.478 = 0.099 m, y, Ro = uJUy = 0.205/0.099 = 2.07.

Las siguientes definiciones dadas en la norma AIS 100-97 [A/S, 1997] Y en las nuevas normas sismo resistentes colombianas NSR-98 lA/S, 1998], resumen lo anterior y enfatizan el hecho de que R, sin subíndice, hace referencia a sistemas de varios grados de libertad: Capacidad de disipación de energía - Es la capacidad que tiene un sistema estructural, un elemento estructural, o una sección de un elemento estructural, de trabajar dentro del rango inelástico de respuesta sin perder su resistencia, Se cuantifica

151

.JIIlUIIUC«(

l--':." . )l, l(ll t I U \ U

uf"

'L.

_

por medio de la energía de deformación que el sistema, elemento o sección es capaz de disipar en ciclos histeréticos consecutivos. Cuando hace referencia al sistema de resistencia sísmica de la edificación como un todo, se define por medio del coeficiente de capacidad de disipación de energía R. El grado de capacidad de disipación de energía se clasifica como especial (DES), moderado (DMO) y mínimo (DM~.

Coeficiente de capacidad de disipación de energía, R - Coeficiente que se prescribe para cada sistema estructural de resistencia sísmica, cuyo valor depende del tipo de sistema estructural y de las características de capacidad de disipación de energía propias del material estructural que se utiliza en el sistema. Es una medida de la capacidad de disipación de energía general del sistema de resistencia sísmica cuando los movimientos sísmicos hacen que responda inelásticamente.

6.5 Respuesta elástica equivalente a inetástica Gulkan y Sozen, [Gulkan y Sozen, 19741 y lShibata y Sozen, 1976], demostraron experimentalmente, que la respuesta de un sistema de concreto reforzado de un solo grado de libertad, cuando se ve sometido a excursiones en el rango inelásrico puede ser aproximada por medio del análisis elástico de un sistema substituto, lineal y elástico, con rigidez reducida y amortiguamiento substituto. La rigidez a flexión del elemento del sistema de un grado de libertad en la estructura substituto se relaciona con la rigidez del elemento real de la siguiente manera:

(El) = (El), s

(6-13)

11

Donde (EI)s es la rigidez a flexión del elemento de la estructura substituto, (EI)r es la rigidez a flexión del elemento en la estructura real y 11 es un factor de daño aceptable para el elemento de concreto reforzado.

J

M a o Mb

(EI)g

/ 0= M a x L

~I. Ma(~Mb

$e(;ción_ No-Fisurada

/ /

I

L/2

/ /

U2

Figura 6-43 - Elemento en flexión

(1

/

~~ I~-'"

6~.JEI)r6fL

r

r

/' /'

Sección Fisurada

/'

/'

'1

/'

./"""-- Estructura Substituto

/'

~EI) ~= (EI)r ~ "r, ~ L /' /'

1

/'

Figura 6-44 - Diagrama Momento-Rotación

De acuerdo con lo presentado en las Figuras 6-43 y 6-44, donde se ve un elemento sometido a flexión, debido a una carga horizontal aplicada sobre la estructura, el valor (EI)r corresponde aproximadamente a la pendiente de una línea en un diagrama momento-rotación, M-O, que va del origen al punto de fluencia. La interpretación física del factor de daño 11 para una situación particular como puede ser una viga moderadamente reforzada sometida a flexión, con momentos en sus extremos como muestra la Figura 6-44, se representa estudiando la relación entre los momentos en los extremos y el giro en ellos. En la Figura 6-44 la línea continua representa la relación entre los momentos aplicados M, y el giro e, en el extremo causado por la deformación a flexión dentro de la luz de la viga. El valor de (EI)r se 152

calcula utilizando la sección totalmente fisurada (relaciones esfuerzo-deformación lineales y sin resistencia a la tensión del concreto). La relación M-e basada en (EI)r corresponde aproximadamente a la línea recta dibujada del origen al punto de fluencia de la sección bajo la condición de que tenga refuerzo simétrico y el acero de refuerzo disponga de una zona de fluencia definida. El factor de daño impone una rigidez menor, a través de la ecuación (6-13), e implica que hay una rotación inelástica aproximadamente igual a Iley en el extremo de la viga, siempre y cuando la rigidez a flexión promedio de la viga dentro de la luz cambie como lo indica el diagrama M-O. Al respecto es importante anotar que el factor de daño Il es comparable, pero no es exactamente igual a la ductilidad obtenida como el cociente entre el giro máximo y el giro al nivel de fluencia. Sólo para sistemas elastoplásticos la ductilidad es exactamente igual al factor de daño. Debe hacerse énfasis sobre el hecho de que un factor de daño corresponde a una ductilidad mayor si ésta se calcula con base en curvatura, por medio de un diagrama M-. El amortiguamiento substituto, relación:

~,

depende del factor de daño, por medio de la siguiente

(6-1~)

El coeficiente /;. es una aproximación a la disipación de energía que ocurre durante la respuesta hísterénca de un elemento de concreto reforzado sometido <'1 un sismo. Por lo tanto la respuesta no lineal histerética de un sistema que alcanza un factor de daño ~ es "quivalente a la respuesta lineal calculada utilizando un coefícienre de amortiguamiento igual a /;.. A modo de ejemplo del tipo de respuesta que se obtiene bajo este procedimiento del sistema substituto equivalente, en la Fígui a 6-~5 se muestra la respuesta en términos de desplazamiento relativo entre la masa y el terreno, para un sistema que se somete a los primeros quince segundos del acelerograma de El Centro. Allí se presentan la respuesta de un sistema elástico con período T de 1 s y amortiguamiento de 2% del crítico, y la de un sistema substituto con un coeficíenre de daño, ~t, de 6. 200 100

u (mm)

-100 -200

Figura 6-45 - Respuesta en desplazamiento para un sistema elástico y un sistema substituto con Il 6, al temblor de El Centro

=

Puede demostrase fácilmente que el período de vibración del sistema substituto, Ts , se obtiene en función del período de la estructura real, T.. así: Ts = T, . ~ = T; . 2A5 = 2.45 s

Aplicando la ecuación

(6-1~),

obtenemos el amortiguamiento substituto así:

I;s = 0.2{1-

~} + 0.02 = 0.138

En la Figura 6-46 se muestra la fuerza que se ejerce en el elemento estructural del sistema. 0.8 »> elástico

0.6 0.4

fuerza (11W)

0.2

tiempo (s)

o

15

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8

.i

Figura 6-46 - Respuesta en términos de la fuerza ejercida en el elemento estructural para un sistema elástico y un sistema substituto con ~ = 6, al temblor de El Centro

Si se desea extender este concepto de la estructura substituto a la respuesta de diferentes sistemas estructurales a un temblor real, esto se puede llevar a cabo utilizando el espectro de respuesta del sismo. El efecto en el espectro de la respuesta inelástica, se obtiene entrando al espectro con el período correspondiente a la rigidez substituto, ecuación (6-13), y leyendo la ordenada espectral correspondiente al amortiguamiento substituto dado en la ecuación (6-14).

6.6 Efecto de la respuesta inelástica en el espectro Qué ocurre con el espectro cuando el sistema no es elástico y el elemento estructural tiene la posibilidad de cambiar de rigidez durante la respuesta es una pregunta importante dado que los sistemas estructurales utilizados en general emplean materiales que son capaces de responder en el rango inelástico. A continuación se presenta la teoría clásica para sistemas elastoplásricos, y posteriormente las diferencias cuando se trata de sistemas inelásticos con otras características diferentes al elastoplástico.

6.6.1 Sistemas elastoplústicos Newmark, en las referencias [Newmark y Hall, 1972], [Newmark, Blume y Kapur, 1973], y [Newmark y Hall, 1982], describe la respuesta en el rango inelástico para sistemas elastoplástícos con base en un sistema de un grado de libertad sometido a excitación en su base, como el mostrado en la Figura 6-47. Al querer dibujar en papel tripartita el espectro obtenido, se tiene la dificultad de que al salir el sistema del rango elástico, las relaciones que permiten dibujar el espectro en este papel, ecuación (5-11), dejan de ser válidas. Debido a esto, debe decidirse si el espectro muestra las aceleraciones, o fuerzas, a que se ve sometido el sistema, caso en el cual los desplazamientos leídos en este espectro corresponden a la porción elástica de la deformación; o si el espectro muestra las deformaciones totales, y en este último caso las aceleraciones que se leen en el espectro no corresponden a las aceleraciones verdaderas a que se ve sometida la masa del sistema.

154

I

I

o

o

---r---X

--

...

~-_

...

Figura 6-47 - Si:,ema sometido a excitación en su base

En la Figura 6-48 se muestra el espectro de aceleraciones del temblor de El Centro para diferentes valores de ductilidad alcanzada por sistemas elastoplástícos. El espectro se calculó para un coeficiente de amortiguamiento de 2% del crítico. Las deformaciones mostradas en este gráfico corresponden únicamente a la componente elástica de la deformación y no es la deformación total, la cual es la suma de la parte elástica más la porción ínelástíca,

I

Los "al ores de aceleración son los correctos. Los valores de velocidad leídos no corresponden a las velocidades verdaderas. La figura se dibujó para ductilidades, Il, de 1, 1.25, 1.S, 2, 3, S Y 10. Este espectro se denomina espectro de aceleraciones máximas.

10

/

3

0.5

'fí

1/ /T,

0.1

0.04

/ s.>, JI>< t\

X /K v/ ~ k0 ~~

2

0,2

0,5

5

'IJ. V 1/

~

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2

",

-. ''''

1

Período, T (s)

0.2

0,1

Figura 6-48 - Espectro de aceleraciones máximas para sistemas elastoplásticos, ~ = 2%, Temblor de El Centro

Si se grafica el espectro colocando las deformaciones totales; conformadas por la componente elástica más la componente ínelástica; se obtiene el espectro mostrado en la Figura 6-49. Este espectro se conoce con el nombre de espectro de desplazamientos totales. Debe tenerse en cuenta que los desplazamientos que se leen en el espectro de la Figura 6-49, son los desplazamientos totales verdaderos, mientras que tanto las velocidades como las aceleraciones que se Icen en este espectro no son las verdaderas. En los dos espectros de las Figuras 6-48 y 6-49, el correspondiente a ductilidad Il = 1, es el espectro elástico y por lo tanto es igual en ambos gráficos.

155

inámica estructural apticada 01 diseño

SIS111lCU

5

10

3 2

I

I

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I

I

11

I I i

i

II

D.1

Ii

I~:

!"-

i I! i

10

0.5

Período, T (s) Figura 6-49 - Espectro de desplazamientos totales para sistemas elastoplásticos,

~

= 2'}1o, Temblor de El Centro

Del estudio de gráficos similares a los dos anteriores, para numerosos temblores, Newmark y Hall obtuvieron las siguientes conclusiones: (a) Para períodos altos los desplazamientos totales máxírnos para cualquier demanda de ductilidad j..l son prácticamente los mismos. (b) Para períodos cortos la máxima aceleración es la misma para cualquier demanda de ductilidad p, lo cual quiere decir que las fuerzas ejercidas por los resortes son las mismas. (e) E,1 el ranga de períodos intermedios la energía que absorbe el sistema elástico y el inelástico es la misma. Las zonas son las mismas que se definieron en la Sección 5.5. Los valores del período de vibración que limitan estas tres zonas varían para cada acelerograma en particular. Este aspecto será discutido con mayor detalle en las Secciones 6.6.2 y 6.7. Según Newmark, es posible encontrar la relación entre el espectro elástico y el inelástico. Partiendo de que se dispone de un espectro elástico (j..l = 1), el cual para cualquier período T, tiene como valores De, Ve Y A; donde se ha colocado el subíndice e para enfatizar que se trata de valores del espectro elástico; y se quiere relacionar con un espectro inelástico donde para el mismo período se tienen unos valores máximos Dm , Vm y A m en cada una de las regiones del espectro (sensitiva al desplazamiento, a lo velocidad y a la aceleración respectivamente) donde se ha colocado el subíndice m para indicar que se trata de valores provenientes del espectro inelástico, la relación entre los dos se puede obtener de la siguiente manera:

Espectro de desplazamientos totales Para el espectro de desplazamientos totales, en la zona de períodos altos, de acuerdo con la conclusión (a), el desplazamiento ínelástico es igual al elástico: (6-1 S)

156

II I

I

Para el rango de períodos intermedios, partiendo de que la conclusión (e) es válida; la energía en el sistema elástico es igual a la energía en el sistema inelástico. Por lo tanto: (6-16) La energía cinética máxima en el sistema elástico, de acuerdo con la ecuación (I -8); es igual a: (6-17) y para el sistema inelástico esta energía es igual a la energía de deformación acumulada

en el resorte, la cual corresponde al área bajo la curva de fuerza-deformación presentada en la Figura 6-50. (6-18) fuerza

FY~

I

Fy=ku y

I I u desplazamiento

Figura 6-50 - Cálculo de la energía de deformación en el resorte inelástico

por lo tanto al reemplazar (6-17) y (G-18) en la ecuación (6-1G) se obtiene:

1

I

(6-19) y reordenando:

(G-20) Utilizando Fy = k u y y k/rn = ro 2 (6-20) se convierte en: (6-21) y (6-22)

pero (6-23) que al ser reemplazada en (6-22), produce:

157

ve = ro D11m ~2~ -

(6-24)

1

y de sp ej ando el valor para el es pec tro de d esplaz amientos totales se obtiene: (6-2 5)

Dad o qu e V..IID=Dm , entonces para el sis te m a inelástico, en la zona de períodos intermedios, el espe ctro 0 '2 .des plazarnientos totales es igual al espectro elástico multip licad o por 11/~2~ - 1 . Para la zona de períodos cortos, de acuerdo con la conclusión (b): (6-26)

y en térmi nos de fuerza: u

D

(6-2 7)

mA =u .k=--.!!.k=-1!!..k ~

e

~

11

por lo tanto, al re or de nar los términos de (6-27): (6 -28)

Esta última ec uación tiene en su lado derecho una acele ración. Esto quier e decir qu e en el es pectro de despl azamien to s to rales la zona de aceleraci ones cons ta ntes, local íz.ada en la fra nja de períodos cortos es tá definida por: (6-29) log s, ,+.... ¡

'-----------------------------::)-~

Figura 6-51 -

Espec~ro

inelástico de desplazamientos totales

158

log T

Se ha utilizado el símbolo Aro para enfatizar que esta aceleración no es la verdadera. Entonces el espectro donde es posible leer los desplazamientos totales queda de la forma mostrada en la Figura 6-51. Los desplazamientos que se leen allí corresponden a la suma del desplazamiento elástico y el inelástico. La aceleración que se lee allí no es la verdadera, ésta se obtiene dividiendo la aceleración leída del espectro por ~.

Espectro de aceleraciones máximas Ahora, para determinar el efecto de la respuesta inelástica elastoplástica en el espectro de aceleraciones máximas, se utiliza un procedimiento similar. Para períodos cortos se tiene: (6-30) Para el rango de períodos intermedio la energía en el sistema elástico es igual a la energía en el sistema inelástico, por :0 tanto: (G-3l)

De la ecuación (6-22) se tiene: Ve = ro uy~2~ -1

(6-32)

mAro = ku y

(G-33)

pero

por lo tanto,

que al ser reemplazada en (6-32), produce: A ~V = -'!L 2~-1 e

(6·35)

(O

Esta última ecuación es equivalente a: =

V

ro

Ve

(6-36)

~2~-1

Esto quiere decir que para el sistema inelástico el espectro de aceleraciones máximas en la zona de períodos intermedios es igual al espectro elástico multiplicado por 1/ ~2~ -1 . Para la zona de períodos largos: (6-37) y en términos de fuerza:

159

IDA

m

u D =ku =k-!!..=k-l!!... ¡.L

y

(6-38)

¡.L

por lo tanto: =

A

2

ro D e

m

(6-39)

¡.L

Esto quiere decir que en el espectro de aceleraciones máximas la zona de desplazamientos constantes, localizada en la franja de períodos largos está definida por:

D=~ ID ¡.L

(6-40)

Se ha utilizado el símbolo Dro para enfatizar que este desplazamiento no es el desplazamiento total. Simplemente corresponde a la componente elástica del desplazamiento total. log s,

V. -

Ve

--;===

m- ~2¡.L-l

A nI= A e

inelástico

/

~--------------------------J~-

log T

Figura 6-52 - Espectro inf'/ástico de aceleraciones máximas

Entonces, el espectro donde es posible leer las aceleraciones máximas queda de la forma mostrada en la Figura 6-52. Las aceleraciones que se leen allí corresponden a las aceleraciones verdaderas a que se ve sometido el sistema inelástíco y los desplazamientos que se leen en este espectro corresponden a la componente elástica del desplazamiento, o sea sólo hasta U y • Por lo tanto para obtener de este espectro los desplazamientos totales hay que multiplicar el desplazamiento leído por ¡.L.

6.6.2 Sistemas con rigidez degradante El trabajo realizado por Riddell y Newrnark, presentado en la referencia [Riddell y Newmark, 1979\, amplió la encontrado solamente para sistemas elastoplásticos en los trabajos de Newmark y Hall, a sistemas bilineales y a sistemas con rigidez degradante. Esta metodología, nuevamente se sustenta en que "El método está basado en la aproximación de que los efectos no lineales pueden tenerse en cuenta gracias a un análisis linealmente elástico de la estructura utilizando coeficientes de diseño determinados de un espectro inelástico para sistemas de un grado de libertad."

160

En él se estudian los efectos combinados del amortiguamiento y el efecto inelástíco. Las conclusiones del estudio fueron posteriormente reestudiadas en trabajos como el de Elghadamsi y Mohraz [Mohraz y Elghadamsi, 1989], que fundamentalmente las validan. Tabla 6-2 - Registros empleados por Riddell y Newmark Registro El CentroEW Olimoia N86°E Golden Gate, S800E Cholame, N85°E Castaie, N21°E Paeoima, S16°E Lima, Perú, N82°W sanüaoo, Chile, N100W Manaqua, Nícaraqua, EW San Juan, Aroentína, EW

Fecha Mav 18/40 Abr 13/49 Mar 22157 Jun 27/66 Feb 9171 Feb 9171 Mav 31170 Jul8171 Die 23172 Nov 23177

Profun. (km)

M,

16

6.3 7.1 5.3 5.6 6.6 6.6 7.75 7.5 6.2 7.4

? 9 5-10 Oa 13 Oa 13 56 58 5 101

Ate

V te

D te

vu«;

(g)

(mis)

(m)

(mI!Jg]

Vt~

0.214 0.280 0.105 0.434 0.316 1.171 0.107 0.159 0.383 0.193

0.369 0.171 0.046 0.255 0.172 1.132 0.047 0.232 0.403 0.206

0.201 0.094 0.012 0.069 0.051 0.419 0.035 0.129 0.216 0.064

1.727 0.610 0.432 0.584 0.533 0.965 0.432 1.473 1.041 1.067

3.1 8.8 5.6 4.5 5.3 3.8

AteD te.

16.4 3.7 5.0 2.8

Desde el punto de vista general se observaron los siguientes aspectos: (a) La respuesta de sistemas con períodos de vibración muy largos es independiente del tipo de relación fuerza-deformación del elemento estructural. (b) Se observan diferencias para sistemas con períodos cortos menores de 0.1 s, pero estas diferencias son despreciables para demandas de ductilidad menores de 5, e insustanciales para demandas de ductilidad mayores. "

(e) Para períodos intermedios, la respuesta de sístc.nas bilineales con demandas de ductilidad menores e iguales a 2 son prácticamente iguales a la de sistemas elastoplásticos con demandas de ductilidad similares. Para demandas de ductilidad mayores; la respuesta máxima de sistemas bilineales es, en general, más pequeña que la de sistemas elastoplásticos. (d) Para todos los períodos considerados, las ordenadas espectrales de sistemas elastoplásticos son, en promedio, mayores que las ordenadas espectrales de sistemas con rigidez degradante.

I

(e) Los espectros de sistemas con rigidez degradante no tienen los picos y variaciones abruptas que se presentan en los sistemas elastoplásticos. Se encontró que los sistemas con rigidez degradante eran los más eficientes con respecto a la capacidad de disipación de energía. Además, se pudo observar que los sistemas con rigidez degradante eran mucho más eficientes en su recuperación después de una excursión inelástica. Esto último se traduce en que las deformacíones permanentes de los sistemas con rigidez degradante fueron siempre menores que las de sistemas elastoplásticos y bilineales. Es razonable suponer que el comportamiento de sistemas degradantes está dominado por los efectos de ablandamíento producido por la degradación de rigidez, más que por el efecto de resistencia adicional causada por el endurecimiento por deformación del material. Los sistemas con rigidez degradante empleados no incluyeron sistemas con degradación de la resistencia, ni ablandamiento de la rigidez de descarga; lo cual debe tenerse en cuenta al interpretar las conclusiones del estudio. Además, es importante tener en cuenta que existen numerosas situaciones en las cuales no es posible predecir la respuesta de un sistema en particular a un acelerograma dado. En muchos casos sistemas con el mismo tipo de relaciones fuerza-deformación, el mismo nivel de amortiguamiento, y sometidos al mismo acelerograma, se comportan en formas totalmente diferentes, dependiendo de los valores particulares de la fuerza de fluencia. 161

;II(¡/HIC(I eSrnlClllnll UjJU< ",uu ......." "" "''-''' __

Una conclusión muy importante del estudio realizado, es la aseveración de que en la gran mayoría de los casos, los resultados obtenidos para sistemas con relaciones fuerza-deformación elastoplástica, consistentemente conducen a valores conservadores de la máxima respuesta, lo cual valida el empleo de este tipo de modelos en un gran número de aplicaciones. El estudio de Riddell y Newmark introdujo el concepto de coeficientes de deamplifícacián in elástica, cl\t> los cuales permiten reducir las ordenadas espectrales elásticas a valores asociados con un nivel de demanda de ductilidad dado, para cada una de las zonas del espectro sensitivas a la aceleración, a la velocidad o al desplazamiento. Estos coeficientes se estudiaron estadísticamente para los acelerogramas empleados. Se obtuvieron valores medios y valores en la media más una desviación estándar. El inverso del coeficiente de deamplificación corresponde a un coeficiente de disipación de energía. En este caso se denominan oRa, R, Y R,¡, según correspondan a la zona del espectro sensitiva a aceleración, a velocidad, o a desplazamiento, respectivamente. Estos coeficientes son sensitivos, además, al nivel de amortiguamiento empleado, a las condiciones locales del suelo en el sitio donde se obtuvo el registro, y al período de vibración del sistema. Además se encontró que los períodos de vibración que dividen las zonas del espectro en regiones de aceleración, velocidad ji desplazamiento aproximadamente constantes, varían para los diferentes niveles de ductilidad. Zona de Desplazamiento Aproxim. Constante

+

u= 10 13

-1---~......r='--+-

12 -1---......".,===-+---' 11

10 -1------11----+-

+------:;-;;---+11= 10 8a~~~~

9

=5

7 -1--tt-----t6 -1--±-----t11=5

5-1-----:1....- - -...11 = 10

Zona de Aceleración Aproxim. Constante

+

11 = 5

11 = 3 11=2 11 = 1.5 elástico

o

2

3

~

4

5

Período T, (s) Figura 6-53 - Coeficientes de reducción de resistencia para sistemas con degradación de rigidez. ~ = 5%

En la Figura 6-53 se muestran los coeficientes de reducción de resistencia, para sistemas con rigidez degradante y para un coeficiente de amortiguamiento crítico de 5%. Las zonas sombradas corresponden a los valores donde se encuentran los períodos de vibración de la transición entre las diferentes zonas del espectro. Debe notarse que los valores de los períodos de transición se hacen más cortos en la medida que la demanda de ductilidad es mayor. Además puede verse que la reducción de resistencia ]62

que se debe emplear para lograr una demanda de ductilidad dada varía entre zonas del espectro y especialmente para sistemas con períodos de vibración muy cortos en la zona de sensibilidad a las aceleraciones. 4

v

3

~ j.l= l(

/;V

j.l=5

j.l=3

/

~

I

t ¡

o

~ ~-

j.l=15 u-l

""e

I

I o

j.lF2

,,/

0.05

0.1

0.15

0.2

'¡istico

0.25

0.3

0.35

0.4

Período T (s) Figura 6-54 - Coeficientes de reducción de resistencia para sistemas con degradación de rigidez, zona de períodos cortos de amplificación de aceleración. ~

=5%

En la Figura G-S"! se amplía la escala de la zona sensitiva a aceleraciones. Es muy importante notar que la reducción de resistencia que se puede lograr para todas las demandas de ductilidad tiende a la unidad en la medida que el período tiende a cero. El sistema sufre la aceleración máxima del terreno, independientemente dé los desplazamientos relativos, y por ende de la ductilidad. Esto quiere decir que en los sistemas inelásticos con periodos cortos, no es posible ejercer la ductilid"td y las reducciones que se realicen a la resistencia, pondrían en peligro la estabilidad del sistema, pues no se produciría una demanda de ductilidad compatible con la reducción de resistencia. Como consecuencia, muy importante de este fenómeno, las estructuras muy rígidas deben diseñarse para las fuerzas que se derivan de aplicar la máxima aceleración del terreno, Ate, a la masa de la estructura. logSv

\

/

-------------i»o~

log T

Figura 6-55 - Espectro inetestico de aceleraciones máximas para rigidez degradante

1(;8 .._._.

. "-1. . .

_

El empleo de estos coeficientes de reducción de resistencia, dentro de un espectro de aceleraciones máximas se muestra en la Figura 6-55. No sobra insistir que los desplazamientos que se leen en el espectro ínelástíco, corresponden únicamente a la componente elástica del desplazamiento, por lo tanto para obtener el desplazamiento total hay necesidad de multiplicar el desplazamiento leído del espectro de aceleraciones máximas, por el factor de ductilidad, ~.

.7 Principio de las deformaciones iguales De la discusión anterior sobre la respuesta de sistemas ínelásticos, basada en los trabajos de Newmark, es evidente que en la zona del espectro sensitiva a los desplazamientos, o sea la zona de períodos largos, los desplazamientos totales que se obtienen en la respuesta ínelástica, son aproximadamente iguales a los que tendría un sistema elástico con la misma rigidez y sometido al mismo acelerograma, En la Figura 6-56, se indica esta característica, la cual se ha denominado tradícionalmente como el principio de las deformaciones iguales [Park y Paulay, 1975], [Paulay y Priestley, 1992]. Fuerzaf-

Fe

--

resp.uesta elástica

Desplazamiento uy

u ID=u e

Figura 6-56 - Principio de las deformaciones iguales

Este aspecto tiene implicaciones muy importantes en diseño sísmico, dado que una de las verificaciones que deben realizarse consiste en comprobar que las deformaciones de la estructura no sean excesivas, y dado que la estructura en general se sale del rango elástico de respuesta ante la ocurrencia de los movírníentos sísmicos de diseño, estas deformaciones se deben estimar en el rango in elástico de la manera más precisa posible. Por otro lado si el daño, a elementos estructurales y no estructurales, está asociado con las deformaciones inelásticas que se tengan, la rigidez inicial del sistema y su degradación son parámetros muy importantes en el buen comportamiento de la estructura {Qi y Moehle, 1991]. El problema de estimar las deformaciones en el rango inelástico se vuelve especialmente complejo cuando se tiene degradación de la rigidez, pues el periodo de vibración del sistema cambia durante la respuesta de la estructura a la excitación sísmica. En los trabajos de Shimazaki y Sozen [Shimazaki y Sozen, 1985], [Shimazaki, 1988] y {Shimazaki y Sozen, 1993], utilizando un enfoque diferente al de Newmark, consistente en el estudio de un gran número de casos de respuesta del sistema inelástico en términos de energía y de desplazamiento, se encontró que cuando el período de la estructura era mayor que un valor característico T g del acelerograma, la energía que entraba al sistema era constante o disminuía, independientemente de la resistencia del sistema, F y • Además se encontró, que cuando el período del sistema era mayor que el período característico, T > T g , independientemente de la resistencia del sistema F y ; el desplazamiento máximo inelástico Um, tendería a ser igual al del espectro elástico de desplazamientos, confirmando el principio de desplazamientos iguales. 164

Shimazaki y Sozen explican cualitativamente este fenómeno indicando que la energía que entra al sistema se mantiene constante cuando el sistema tiene un período de vibración inicial mayor que T g , pues la degradación de la rigidez alarga este período y entonces no se presenta un aumento en la energía que entra al sistema y no la hay suficiente para producir un aumento de la deformación inelástica. Por otro lado, si el sistema tiene un período de vibración T < T g , un aumento en el período del sistema causado por la degradación de rigidez, conduce a un aumento de la energía que entra al sistema y entonces se presenta una deformación inelástica máxima mayor que la máxima elástica.

I

Otro aspecto muy importante encontrado en estos estudios consistió en identificar que bajo ciertas condiciones del período de la estructura y su resísrencía en la base, para períodos iniciales del sistema T < T g , también las deformaciones inelásticas se mantenían iguales o menores que las elásticas. La condición anterior fue formulada por Shimazaki y Sozen de la siguiente manera para sistemas estructurales cuya respuesta histerética es similar a la de elementos de concreto reforzado:

I

(6-41)

RD:::;1.0

es válida sí: RR+RT~

(G-42)

1.0

donde:

(Relación de desplazamientos)

(6-43)

(Relación de resistencias)

(Relación de períodos)

I

(G-45)

En las relaciones anteriores, T es el período inicial del sistema calculado utilizando secciones no fisuradas, T g es el período característico del acelerograma, Fy es la resistencia a la fluencia del sistema y Fe es la respuesta elástica, en términos de fuerza en el elemento estructural, que se obtendría del espectro de desplazamientos con un amortiguamiento ~ = 2%, para un período de víbracíon efectivo (Ter = T • ..,J2), calculado utilizando unas secciones fisuradas con una rigidez igual a la mitad de la de las secciones no fisuradas. Aunque las expresiones anteriores son una gran ayuda en la determinación de los desplazamientos inelásticos, su aplicación es limitada pues no cubre estructuras con períodos cortos o cuya resistencia F, sea baja. Esta situación fue estudiada posteriormente por Qi y Moehle [Qi y Moehle, 19911, quienes encontraron que en la respuesta inelástíca, para periodos del sistema, T, menores que T g , en esa región del espectro era aplicable la siguiente relación entre desplazamientos elásticos, Ue, y desplazamientos inelásticos, 11m: u m

= u e . (~)1.6" T

(6-46)

J:

donde: 165

'IJlLlllUCU

(:'~';( I ({Ll UI I I I

ul'" ( ' - . H U \ . "

\.H

........."

•

_.~

F

(6-47)

T\=-_Ym A¿

y F, es la resistencia a la fluencia del elemento estructural del sistema, m es su masa, y Ate es la aceleración máxima del terreno del registro acelerográfico. Posteriormente Lepage [Lepage, 1996], demostró que era posible aplicar un procedimiento general que es válido en todos los casos, aun cuando no se cumple la ecuación (6-42). Este procedimiento está sustentado en investígaciones analíticas, experimentales y en la respuesta de estructuras instrumentadas ante sismos reales. De acuerdo con esta investigación el máximo desplazamiento ínelástíco para estructuras con rigidez degradante se puede determinar por medio de: u ro

= Fa ·o.·g·T ~.T 2 (21t)

(G-48)

ef

la cual es válida si se cumple la siguiente relación: (6-49) En las ecuaciones anteriores: 11m

Fa

g a.

Tg Ter

C, RT

máximo desplazamiento obtenido en la respuesta coeficiente de amplificación de la aceleración en un espectro de aceleraciones (un valor de 3.75 es representativo para sistemas con un coeficiente de amortiguamiento, ~, de 2% del crítico) aceleración de la gravedad máxima aceleración del terreno del acelerograma, expresada como una fracción de la gravedad (a. =Arefg) período característico del movimiento sísmico, puede definirse como el período en el cual termina la región de aceleraciones constantes período efectivo de vibración de la estructura, el cual puede calcularse como el período de la estructura con secciones fisuradas con una rigidez igual a la mitad de la rigidez de las secciones no fisuradas (Ter =T .>12) coeficiente de resistencia en la base (C, =F/W) relación de periodos (RT =TerIT g)

De esta manera es posible encontrar el desplazamiento máximo para cualquier sistema inelástico con rigidez degradante, con base siempre en un análisis elástico. La validación de las relaciones anteriores se realizó [Lepage, 1996] empleando procedimientos analíticos para sistemas de uno y varios grados de libertad, elásticos e ínelásncos, utilizando movímientos sísmicos con diferentes períodos característicos, como se muestra en la Tabla 6-3, y diferentes características inelásticas, incluyendo relaciones de resistencia, RR, con valores que variaron entre el 6% y el 100%. Los resultados analíticos fueron confrontados con ensayos experimentales realizados previamente en mesa vibratoria, los cuales incluyeron 22 ensayos diferentes de sistemas de un grado de libertad cuya respuesta estaba dentro de la zona de aceleraciones aproximadamente constantes (períodos cortos). La media de las relaciones entre los desplazamientos medidos experimentalmente y los estimados analíticamente utilizando el procedimiento fueron de 0.72 con una desviación estándar deO.n. lf;(i

I

Tabla 6-3 - Registros empleados por Lepage

Sismo

Fecha \

1

Feb 09,1971 Ene01,1994 Mar 03,1985 Ma 18,1940 Ene 17,1995 Ju121,1952 Abr 13,1949 Jun 12, 1978 Ju121,1952 Ma 16,1968

Compon.

Registro Castaic Tarzana L1olleo El Centro Kobe Taft Seattle Sendai Santa Barbara Hachinohe

N21E NS N10E NS NS N21E S02W NS S48E EW

Ate

Duración

Tg

(g)

(s)

(s)

0.32 0.99 0.71 0.35 0.83 0.16 0.07 0.26 0.13 0.19

30 30 75 45 30 45 65 40 60 35

0.35 0.44 0.50 0.55 0.70 0.72 0.89 0.95 1.03 1.14

Para verificar la aplicabilidad de la metodología a sistemas de varios grados de libertad, se realizaron estudios analíticos de estructuras con diferentes alturas y características, sometidas a movímientos sísmicos de diferentes intensidades y contenidos frecuenciales, para un total de 120 casos. Además se utilizaron los resultados experimentales de 87 ensayos de estructuras a escala en mesa vibratoria, con alturas entre 3 y 10 pisos, representativas de diferentes sistemas estructurales, incluyendo pórticos, pórticos combinados con muros, muros acoplados, pórticos donde las vigas plastifican primero que las columnas, y pórticos donde las columnas plastifican primero que las vigas. Para estos casos la media de las relaciones entre los desplazamientos medidos experimentalmente y los estimados analíticamente utilizando el procedimiento fueron d~ 0.80 con una desviación estándar de 0.13. Por último la metodología fue confrontada con las mediciones obtenidas en un edificio de 9 pisos localizado en la ciudad de Los Angeles, California, USA, del cual se tienen registros durante los sismos de San Fernando de 1971, de Whittier de 1987 y de Northrídge de 1994. Con respecto a la obtención del valor de Tg , Shimazaki y Sozen, y Lepage, utilizan un procedimiento algo diferente al empleado por Oí y Moehle, pero ambos conducen a resultados similares. Ambos procedimientos están basados en el empleo de espectros de energía. El espectro de energía está relacionado con la máxima energía que le introduce al sistema el sismo, expresada como una velocidad equivalente, dada por:

v eq

=

J2'E

E

(6- 50)

m

donde EE está dada por la Ecuación (2-95), que se reproduce aquí por conveniencia: t

EE =

-mf Xo ' u-dt

(6-51 )

o

La energía debida a la excitación, EE, es igual al valor maximo de la suma, evaluada hasta un tiempo t, de la energía cinética, de la energía disipada y de la energía de deformación. La velocidad equivalente, Veq , corresponde a la máxima velocidad que puede tener el sistema si no se disipara energía a través del amortiguamiento VISCOSO. Shimazaki y Sozen obtuvieron T g al dibujar un espectro de la energía suministrada por el sismo en papel tripartita, y tomando el valor máximo, como muestra la. Figura 6-57. Qi Y Moehle lo obtuvieron también de un espectro de energía, pero tomándolo como el primer pico significativo del espectro de respuesta de energía, como muestra la Figura 6-58. Como puede verse los dos procedimientos conducen prácticamente a los mismos "al ores. En arribos gráficos mostrados los espectros de energía se obtuvieron con un amortiguamiento S= 10%. 167

lin/nnica estructural apliccuic: (11 diseño

SíSlIllCO

10

r"r

-1

r--

h"-...... y a. . ,

F

/

"'. <,

~.

'U·

V./ Energía

JE/m

1/

0.1

/

/

(mis) /

/

V 0.01

<" /'

0.001 0.1

0.01

10

Período T, (s)

T g - Shimazaki-Sozen, y Lepage

Figura 6-57(a) - Obtención de 10

/

~ /,'l

A .//-

Energía

JE/m

,,..

'l l/

V

/

Aiex ctllfiM

b(. <,

<;

V

0.1

(mis)

V

!:V

~

V

0.01

)/

0.001 0.01

10

0.1

Período T, (s) Figura 6-57(b) - Obtención de

Tg - Shimazar-i-Sozen, y Lepage

168

6,-----~-------,--------.----,------.----~

s-J--------J...-----+----I----!--I---\c---+-------j

4+---------;1------+-----+---+---1-----+---+-----'

Energía

JE/m 3 -I----l----+---~,,___I_-_+_---+---_.j (mis) 2+----+---1~7"'-__,f__'I!_-----f,L----'l.._----+--------j

0.5

1.5

1.0

2.0

2.5

3.0

Período T, (s)

Figura 6-58(a) - Obtención de Tg - Qi Y Moehle

3

2.5

2

,--------,-,--::-----;---.----~------.----------,---~.

+--

-----+--------+---+\------+-----+--+_.- . _-

+---+--+-++-~...--+---+----+-'---~

Energía

.[E/m

1.5

+---+H-----'-f---\-.;-4---..-.:>f.<-----+----+_

(mis)

0.5 -J---!JL..f--+--,-/----I----+-----f----.....¡===--=_'

0+""=----+----+-----+----+-----+---0.0

0.5

1.5

1.0

2.0

Período T, (s)

Figura 6-58(b) - Obtención de T g - Qi Y Moehle

I 1(-}9

..._.__ ....--oIlI!.....

~

2.5

3.0

lJíll(OlllCU eSI.n({CUIHU UF"ll"'" '" ''''''''~

.,0."00··.

rroqrama de computador RE5DIN para la obtención de la respuesta dinámica elástica e inelástica Dentro del disquete que se suministra con el libro se incluye el programa de computador RESDlN, el cual permite encontrar la respuesta en el tiempo de sistemas dinámicos de un grado de libertad, en los cuales su elemento de resistencia puede tener características elásticas e inelásticas. El modelo está formulado para sistemas consistentes en una masa, un amortiguador viscoso y un elemento de resistencia, o resorte, los cuales se pueden someter, ya sea a unas condiciones iniciales de desplazamiento, o velocidad, o ambas, a una fuerza variante en el tiempo para estudios de excitación armónica, o a un acelerograma para excitación en la base. El programa está escrito en lenguaje QuickBasic -l.5 de Miscrosofr y utiliza la metodología presentada anteriormente. El programa emplea unidades de distancia en metros y de tiempo en segundos, pues utiliza como valor de la aceleración de la gravedad g = 9.80 m/s", La unidad de masa debe ser el kg. . Propiedades del sistema dinámico de un grado de libertad

El sistema dinámico se describe por medio de sus propiedades de masa, rigidez y amortiguamiento. Esta descripción puede hacerse por medio de la definición de los parámetros de masa m, en kg dado que se emplea el sistema SI, de rigidez k en N/m, y el amortiguamiento e en Nvs/m, Alternativamente el programa permite definir el sistema por medio de su período de vibración T (= 21t~m/k ) en s y el coeficiente de amortiguamiento crítico ~ =d(2mro) (donde ro = ~k/m). Estas definiciones son válidas tanto para el sistema elástico como para el inelástico. Propiedades de inelasticidad

Con el fin de poder definir internamente el manejo de los ciclos de histéresis, el programa opera con tres modelos de inelasticidad: elasroplástíco, de Ramberg-Osgood y de rigidez degradante. En todos los casos los modelos pueden ser simétricos o asíménícos. Modelo Elastoptústico

En el caso de! modelo elastoplástico la rigidez tanto para los ciclos de carga como de descarga es la misma del sistema elástico k. El punto en el cual se inicia la plastíficacíón (F y ) , se define en términos del peso (W = m g) del sistema y se indica por medio de la fracción del peso a que corresponde la fuerza de plastificación. En la literatura esta fuerza se denomina el corte basal resistente del sistema. El programa acepta valores diferentes para las direcciones positiva (+F y ) y negativa (-Fy) del movimiento. En caso simétrico los dos valores son iguales. Modelo de Ramber-Osqood

En el modelo de Ramberg-Osgood el programa requiere los siguientes datos: (a) el valor del corte basal resistente del sistema F y , expresado como una fracción de su peso W. (b) la rigidez de la curva esqueleto, k cn tal como se indica la Figura 6-26. Esta rigidez se expresa como una fracción de la rigidez inicial del sistema, k., la cual corresponde a la rigidez del sistema en respuesta elástica con la cual se calculó el período de vibración T. Generalmente esta rigidez corresponde a la rigidez fisurada del sistema km como la indica la Figura ()-29. 170

(e) la rigidez en fluencia ks , tal como la indica la Figura 6-29. Esta rigidez se expresa, también, como una fracción de la rigidez inicial del sistema, k, y depende de la capacidad de endurecimiento por deformación del acero de refuerzo longitudinal. Si el acero tuviere una curva esfuerzo-deformación totalmente elasto-plástíca, el valor de k, sería cero. Con los datos anteriores el programa determina los valores de los parámetros 'Y y r, con lo cual define el modelo de Ramberg-Osgood, Modelo con rigidez degradante

I

En el modelo histeretico con degradación de rigidez hay necesidad de definir los siguientes parámetros, tanto para la respuesta en el sentido positivo como para el negativo: (a) el valor del corte basal resistente del sistema F y , expresado como una fracción de su peso w. (b) la rigidez en descarga k u , tal como se indica la Figura 6-7. Esta rigidez se expresa como una fracción de la rigidez inicial del sistema, k., la cual corresponde a la rigidez del sistema en respuesta elástica con la cual se calculó el periodo de vibración T. Generalmente esta rigidez corresponde a la rigidez fisurada del sistema k cn como la indica la Figura 6-7. (e) la rigidez en recarga kn tal como se indica en la Figura 6-7. Esta rigidez se expresa como una fracción de la rigidez inicial del sistema, k. Corresponde a la fase inicial de un ciclo de nueva carga y su valor depende de la cantidad de fisuras abiertas en un ciclo anterior que haya necesidad de cerrar en el nuevo ciclo de carga. En muchos casos se calcula como la rigidez de la sección compuesta por la armadura longitudinal sola, sin tener en cuenta el concreto. (d) la rigidez en fluencia k., tal come la indica la Figura 6-7. Esta rigidez se expresa, también, como una fracción de la rigidez inicial del sistema, k, y depende de la capacidad de endurecimiento por deformación del acero de refuerzo longítudínal. Si el acero tuviere una cuna esfuerzo-deformación totalmente elasto-plásríca, el valor de k, sería cero. Debe tenerse en cuenta que los aceros requeridas por ((Jdigos de diseño sismo resistente deben tener una zona de endurecimiento por úeú';¡Jló.\.ión, pues en general se exige que la resistencia última real sea más de 1.25 veces la resistencia a la fluencia real. (Norma ASTM A706 V NTC 2289 4 a revisión), y (e) el valor del parámetro A, indicado en la Figura G-34, el cual describe el número de excursiones en el rango de fluencia para que desaparezca la adherencia del acero de refuerzo. Con los datos anteriores el programa formula un modelo de histéresis que incluye características de degradación de la rigidez y de la adherencia del refuerzo con el concreto. Condiciones iniciales

El programa acepta casos de condiciones iniciales, ya sean de desplazamiento, en m, o de velocidad, en mis; o ambos. Vibración forzada

Es pesible dar una excitación armomca con frecuencia Q y amplitud en fuerza, dada como una fracción del peso vv. Se pueden dar formas sinusoidales, triangulares o de escalones a la excitación.

171

Aceleración en la base El registro de las aceleraciones que se imponen en la base del sistema, o acelerograma, puede definirse en el programa de cuatro maneras diferentes: (a) por medio de una aceleración expresada en intervalos de tiempo constantes. La aceleración se expresa como una fracción de la aceleración de la gravedad g. (b) por medio de una aceleración expresada en intervalos de tiempo variables. La aceleración también se expresa como fracción de la aceleración de la gravedad g. (c) leyendo cualquier archivo acelerográfico que esté en ASCn, y (d) por medio de registros de aceleración de temblores reales. El disquete del programa contiene los acelerogramas reales presentados en la Tabla 6--1. Tabla 6-4 - Acelerogramas utilizados en el programa RESDIN No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ~1 12 13 14

Temblor Imperial Valley, CA San Fernando, CA San Fernando, CA San Fernando, CA Parkfield, CA Kern County, CA Parkfield, CA Miyagi-Ken-Oki, Japón Tokachi-Oki, Japón Ciudad de México Chile Loma Prieta, CA Loma Prieta, CA Loma Prieta, CA

Fecha May 18/40 Feb9n1 Feb 9171 Feb 9fl1 Jun 27/66 Jul21/52 Jun 27/66 Jun 12178 May 16/68 Sep 19/85 Mar 3/85 Oct 17/89 Oct 17/89 Oct 17/89

Registro El Centro Pacoima Darn Castaic Old Ridge Rd 3710 Wilshire Blvd. 10° piso Temblor Santa Barbara Courthouse Cholame, Shandon Miyagi Hachinohe Harbar SCT1- Secretaría de Transp. Viña del Mar Santa Cruz-UCSC Lick Lab. Capitola Fire Station Corralitos - Eureka Canyon

Direc. N-S S16°E N21°E N900E S25°W S48°E N85°E N-S E-W E-W N-S N-S N-S N-S

A",

0.35 g 1.17 g 0.32 g 0.35 g 0.35 g 0.13 g 0.43g 0.26g 0.19 g 0.17g 0.36 g O.44g 0.47 g 0.G3g

El programa permite utilizar parte del acelerograma indicando el tiempo maximo. El acelerograma se puede escalar dando una aceleración máxima diferente a la original, con lo cual todos los demás puntos se amplifican o reducen en la misma proporción. Además es posible variar la escala del tiempo, comprimiéndolo o extendiéndolo, lo cual se emplea algunas veces para simular condiciones de suelo blando.

Respuesta del sistema El programa utiliza en la solución de la respuesta dinámica en el tiempo el método Beta de Newmark, descrito anteriormente. La respuesta se presenta gráficamente en la medida que se va obteniendo la solución. Se presenta el acelerograma utilizado Ko ' como fracción de g, la respuesta en términos de desplazamiento relativo entre la base y la masa, u, en m; la velocidad relativa entre la masa y la base ti, en mis, y la aceleración I absoluta de la masa (ü + Ko ), corno fracción de g. Además, el programa conserva los datos de la respuesta, lo cual permite graficar posteriormente la historia de la fuerza sobre el resorte, consultar la respuesta para un tiempo específico, o sus máxírnos en el tiempo y grabados en un archivo que puede ser leído después por medio de una hoja electrónica, como Excel o Lotus. El programa puede calcular el intercambio de energía durante la respuesta y presentar gráficos de la energía en cada instante y de la energía acumulada también en cada instante.

172

I

1 i

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Capitulo 7

FACULT/J.íl BE '{Wil)WG~.' to[ lJl '()N!:~'I;;j'I()N

CENTRO Dí: rJOCUi;:ltNl':A.~;mN _~'7U-'~~1!:"J!'!:t;¡,WI::l;'::;~::"'7~i>J.W"

Movin.ientos sísJnicos de diseño

7.1 Introducción Para el diseño sísmico de una estructura se utiliza lo que se denominan movimientos sísmicos de diseño, los cuales se definen a través de un espectro suavizado de diseño, o bien mediante familias de aceleroqramas. Los picos que ocurren en el espectro de respuesta son característicos de cada temblor en particular, por lo tanto no tiene sentido en un espectro de diseño tener grandes variaciones dentro de un rango pequeño de períodos, más bien se utilizan tendencias generales en rangos de períodos. Por esta razón su forma es suavizada y de ahí su denominación.

I

Dado que es imposible estimar en detalle las características de los movímíentos sísmicos que se presentan en el futuro, al menos en el estado del conocimiento actual, la gran mayoría de los métodos para definir un espectro de diseño se sustentan en el estudio estadístico de espectros de respuesta de registros acelerográfícos que tienen algunas características en común. El hecho de que compongan de líneas suavizadas o rectas, inclusive, se justifica debido a las dificultades que se tiene al estimar los períodos de vibración de estructuras que van, con seguridad, a responder en el rango ínelásríco, durante un sismo fuerte. Por otro lado hay gran influencia de los efectos de campo cercano, tales como el tipo de fuente sismogénica, la forma en que se propaga la ruptura, las características de los materiales que se encuentran en la trayectoria de las ondas sísmicas y las condiciones locales del suelo [Mohraz y Elqhadamsi, 1989]. Existen diferentes métodos para estimar el espectro de diseño dado que se conocen ciertas características de los mov imientos sísmicos esperados en el sitio. En general cuando se habla de un espectro de diseño éste se define en suelo duro o roca y por lo tanto no incluye el efecto que puede tener la estratigrafía del suelo en el lugar. En aquellos casos en que hay depósitos profundos de suelos blandos, en general se realiza un estudio de amplificación de onda, por medio del cual es posible incluir estos parámetros totalmente locales en el espectro de diseño. Dado que en general los espectros de diseño se obtienen del estudio estadístico de registros que por su naturaleza propia no pueden ser iguales, esto conduce a que se tengan que normalizar de alguna manera, para lo cual existen diferentes procedimientos, dentro de los que se destacan la normalización con respecto a una intensidad espectral y la normalización con respecto a algunos de los parámetros máximos del terreno, ya sea aceleración, velocidad o desplazamiento: Ate, Vte o Dte. A continuación se presentan, en el orden hístórico de su desarrollo, algunos de los métodos más utilizados para definir el espectro de diseño en roca. Posteriormente se tratan las familias de acelerograrnas, los efectos de amplificación de onda causados por el suelo subyacente y otros factores que influyen en la selección y utilización de los diferentes tipos de movimientos sísmicos de diseño.

.2 Espectros elásticos de diseño .2.1 Espectros promedio de Housner

Tal vez el primer espectro de diseño, dentro del sentido actual, fue desarrollado por Housner a comienzos de la década de 1950 [Housner, 1952], [Housner, 1959] y [Housner y Hudson,1961]. Housner desarrolló el concepto del espectro promedio, el cual fue el antecesor del espectro suavizado, Es importante hacer la advertencia de que el espectro promedio de Housner se desarrolló para una situación tectónica específica, como es el estado de California en Estados Unidos, por esta razón su aplicación a otras . situaciones debe ajustarse cuidadosamente, en principio utilizando registros locales. Tabla 7-1 - Registros empleados por Housner para obtener los espectros promedio Registro El Centro May 18/40 El Centro Die 30/34 Olympia Abr 13/49 Taft Jul21/52

Comp. NS EW NS EW S800W S100E N21°E S69°E

A..

Vte

S1(O)

SI(0.2)

(g)

(mis)

(mis)

(mis)

(mis)

~

0.31 0.22 0.26 0.18 0.30 0.19 0.18 0.16

0.325 0.315 0.250 0.206 0.223 0.171 0.158 0.196

0.320

0.823

0.297

1.15

0.228

0.579

0.197

1.16

0.197

0.579

0.197

1.00

0.1n

0.488

0.166

1.07

Vte

81(0.2)

Los espectros se desarrollaron utilizando los registros acelerográficos que se listan en la Tabla 7-1. En el trabajo estadístico se emplearon las dos componentes horizontales de los registros, todos los cuales tienen magnitudes mayores de 6.5.

I

1.5

r-..

(/ <, 1.0

i'--

s.

/1 /

o

--

......... f--

1//;::~ ~

o

0.5

<; =0%

I~

I 0.5

I

1~

~

I 2%

5%

11' ·,oot. ¡...-~

20%

~

40%

I

15

20

2.5

3.0

Período T (s)

Figura 7-1 - Espectro promedio de velocidades de Housner (escala arbitraria)

Con el fin de poder tener en cuenta los efectos de distancia a la falla y de la magnitud de los sismos, Housner normalizó los registros utilizando un parámetro definido para el estudio, al que denominó intensidad espectral. La intensidad espectral es la integral de área bajo el espectro de velocidades, dentro de los dos límites anotados, como lo indica la ecuación (7-1). Los límites de integración, T min = 0.1 s V Tmax = 2.5 s, los definió para lo que él consideró era el rango normal de los períodos de vibración de la mayoría de las edificaciones.

174

2.5s

81(1;) =

f s, (T, 1;)dT

(7-1)

T=O.ls

En la Tabla 7-1 se dan los valores de intensidad espectral para ~ = 0% Y ~ = 20%. Para obtener los espectros promedio, Housner primero los normalizó para que tuvieran el mismo valor de 81(0). Esto es equivalente a normalizarlos para que tengan la misma velocidad máxima del terreno, V te. Una vez normalizados se calcularon los promedios de los valores para cada período y para los diferentes valores de amortiguamiento. Luego se dibujaron líneas suaves uniendo los puntos obtenidos para cada nivel de amortiguamiento para obtener el espectro promedio de velocidades mostrado en la Figura 7-1. 0.7

0.5

s, (mis)

V

i

/

0.3

~-O%

i

.u·. _

ff

i-: O

!

..........

I

I

/í <,

0.2

o

1'<-:=

.7-4Skm del epicen ro

/

0.4

0.1

I

,-......

0.6

I

I

"··U

.>
~=O%

1DSkmd I epicentro

1.0

0.5

1.5

2.5

2.0

3.0

Período T (s)

Figura 7-2 - Influencia de la magnitud y la distancia en el espectro de velocidades

En los espectros promedio, para valores del periodo de vibración, entre 1 s y 3 s el espectro se mantiene constante para diferentes niveles de amortiguamiento. El valor del período para el cual se presenta el valor máximo es aproximadamente 0.5 s. La distancia a que se registra el sismo influye en la localización de este valor máximo.

O

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

S.O

Período T (s)

Figura 7-3 - Espectro promedio de aceleraciones de Housner (escala arbitraria)

En la Figura 7-2 se presentan tres espectros calculados para 1; = 0%.; para dos sismos, uno de ellos con magnitud 7.7 Y el otro con magnitud 5.3. Para el evento con magnitud grande se muestra el espectro de su registro a -45 y a lOS km del epicentro. Para el evento pequeño el registro se obtuvo a 12 km del epicentro. Allí puede verse que la cercania a la falla que causa el evento, acentúa el contenido de ondas con períodos 175

r JI1H.111UCU (~,.·jl·llU·1 {ti tU HIn

H..llt.ll(.u

._

cortos de vibración. La velocidad de la onda de cortante en el sitio también influye en la localización del pico, para velocidades altas, correspondientes a suelos duros, éste se corre hacia la izquierda, y para suelos blandos, con velocidades de la onda de cortante bajas, el pico se corre hacia la derecha. La Figura 7-3 muestra el espectro promedio de aceleraciones. Allí puede verse que para períodos cortos el espectro de aceleraciones tiende a la aceleración máxima del terreno, A",. Este espectro fue derivado utilizando la relación S, =(21tI T) S; Para efectos de su utilización Housner [Housner, 197Gb] advierte que los espectros promedio de velocidades y ar:..leraciones estaban basados en los cuatro registros norteamericanos más fuertes de que se disponía en ese entonces, y que eran consistentes con ellos, pero su forma no era consistente con movimíentos sísmicos registrados en ciudad de México, y en Lima, Perú. Así mismo, no los consideraba apropiados para sismos de magnitud pequeña. 7.2.2 Método de Newmark-Hall

A mediados de la década de 1960, Newrnark y Hall iniciaron una serie de investigaciones sobre las formas espectrales, principalmente para ser empleadas en el diseño de plantas nucleares. Con base en estos estudios, recomendaron que era posible describir el espectro por medio de líneas rectas dibujadas en un papel tripartita (véase la Sección 5.-l), En las referencias [Newmark y Hall, 1969, 1972 Y 1982] se presenta la metodología para construir un espectro de diseño, que se presenta a continuación. E método se basa en el supuesto de que sea posible estimar independientemente, por medio de procedimientos como los presentados en la Sección 4.9, la máxima aceleración horizontal del terreno, A",. la máxima velocidad horizontal del terreno, V"" Y el máximo desplazamiento horizontal del terreno, D"" para el temblor de diseño. Con base en el estudio de numerosos temblores los autores encontraron que dentro de las tres zonas del espectro en las cuales la aceleración es aproximadamente constante, la velocidad es aproximadamente constante y el desplazamiento es aproximadamente constante, era posible definir coeficientes de amplificación que permiten dibujar un espectro normalizado. En la Tabla 7-2 se presentan los coeficientes de amplificación para varios valores del coeficiente de amortiguamiento, los cuales corresponden a dos niveles diferentes de probabilidad de que las ordenadas del espectro de diseño no sean excedidas cuando se presente un evento que tenga los mismos movimientos máximos del terreno. Tábla 7-2 - Coeficientes espectrales de amplificación para respuesta horizontal elástica

Amortig. ~

Media más una desviación estándar (84.1%)

Media (50%)

(%)


UV

UD

UA

Uv

UD

0.5 1 2 3 S 7 10 20

s.io

3.84 3.38 2.92 2.64 2.30 2.08 1.84 137

3.04 2.73 2.42 2.24 2.01 1.85 1.69 1.38

3.68 3.21 2.74 2.4G 2.12 1.89 1.64 1.17

2.59 2.31 2.03 1.86 1.65 1.51 1.37 1.08

z.oi

4.38 3.66 3.24 2.71 2.36 1.99 1.26

1.82 1.63 1.j2 1.39 1.29 1.20 i.oi

Los valores dados en la Tabla 7-2, se pueden expresar en forma de ecuación así: para un nivel de probabilidad del 84.1% (media más una desviación estándar) de que no sean excedidas las ordenadas espectrales: ex A

= 4.38 -l.041n(~ %)

(7-2)

17()

a v = 3.38 - O.67In(~ %) a n = 2.73- O.45In(~%)

(7-3) (7-4)

Para un nivel de probabilidad del 50% (media) de que no sean excedidas las ordenadas espectrales: 3.21-0.68In(~%)

(7-S)

a v = 2.31- O.41ln(~%) a n = 1.82- O.27In(~%)

(7-G)

a

A

=

(7-7)

El espectro se construye como se muestra esquemáticamente en la Figura 7-4. En papel espectral logarítmico tripartita se dibujan las líneas correspondientes a los máximos valores del terreno: máxima aceleración, Ate,' máxima velocidad, Vte, y máximo desplazamiento, D te , de los movimientos sísmicos de diseño. Estos valores provienen en general de un estudio de amenaza sísmica, como el presentado en la Sección 4-9 1Garcia et al., 1984 y 1996].

I

El procedimiento de definición del espectro es el siguiente: para un valor del coeficiente de amortiguamiento, ~, dado se buscan en la Tabla 7-2 los valores de los coeficientes de amplificación correspondientes a la zona del espectro con aceleración aproximadamente constante, aA, con velocidad aproximadamente constante, av, y con desplazamiento aproximadamente constante, an, para el nivel de probabilidad deseado. Luego se trazan líneas paralelas a las correspondientes a los valores máximos de los mm imientos del terreno con los valores amplificados, o sea multiplicando el valor de movtrníento máximo del terreno por el coeficiente a apropiado. En la zona de períodos cortos, a un valor de frecuencia de aproxímadar.iente 8 Hz (período de 0.125 s) se inicia la transición hacia la aceleración del terreno, a la cual se debe llegar a un valor de frecuencia del orden de 33Hz (período igual a 0.03 s) y a partir de este punto hacia la izquierda la aceleración espectral cs igual a la del terreno.

Velocidad (mis) movimientos máximos I del terreno I Aceleración I

(g)

I

T=O.03 S T=O.125 S f=33 Hz f=8 Hz

Periodo T (s)

Figura 7-4 - Procedimiento esquemático para la obtención del espectro elástico de Newmark-Hall

Para efectos de seleccionar el valor del coeficiente de amortíguarníento crítico para el cual se debe construír el espectro, Newmark y Hall recomiendan los valores que se muestran en la Tabla 7-3. .

._----_

...

...

~

Cuando no se dispone sino del 'alar de la aceleración rnaxima del terreno, Ate, hay necesidad de estimar los valores de Vte y Dte. Para el efecto pueden emplearse las relaciones Vt./Ate, DufAte y AteDt.l(V te )2, presentadas en la Sección -1-.8.3. En INewmark y

177

_----------------_

..

Hall, 1982), se indica que en ausencia de una mejor información puede utilizarse Vtr!Ate m/ts g) para aluvión firme y 0.91 m/Is g) para roca. Además para que el

= 1.22

espectro cubra una franja adecuada de períodos, allí también se recomienda que AteDt./(Vte)2 se tome como 6.0.

Es importante tener en cuenta que los cocientes Vt./Ate y AteDtr!(Vte )2 tienen relación directa con la forma del espectro IRiddell y Newmark, 1979]. El cociente Vt./Ate determina la localización del espectro en la escala de períodos de vibración. Una reducción de este cociente mueve la zona de amplificación de la velocidad hacia la izquierda. El cociente AteDtr!(Vte)l es una medida de qué tan plano, o puntudo es el espectro. Valores grandes de este cociente corresponden a espectros aplanados, mientras que valores' pequeños corresponden a zonas de amplificación de velocidad angostas, las cuales se manifiestan en espectros de banda angosta. Otras recomendaciones dadas por Newmark y Hall tienen que ver con ajustes debidos a las condiciones geológicas del lugar. Aunque en este campo se han presentado enormes avances, con posterioridad a la aparición del método, como se verá en la Sección 7.6; no dejan de ser lineamientos generales que permiten interpretar la metodología para condiciones diferentes a la de la obtención de un espectro en roca. Newmark y Hall recomiendan que el espectro se multiplique por las siguientes constantes de proporcionalidad: (a) para roca competente, 0.67, (b) roca meteorizada o blanda, o suelos sedimentarios firmesIaluvión), 1.0, (c) suelos sedimentarios blandos, 1.5. Respecto a la construcción de un espectro de aceleraciones verticales, indican que pueden emplearse 2/3 de las ordenadas espectrales para lugares donde los movímíenros de la falla son transcurrentes horizontales, e iguales a la horizontal cuando los movimientos de la falla puedan tener componentes verticales grandes. Tabla 7-3 - Coeficientes de amortiguamiento recomendados por Newmark-HaU, para diferentes materiales estructurales y estados de esfuerzos Nivel de esfuerzo 1. B!3.jo, menor aue p.1 limite proporcional, esfuerzos menores que O.5fv 2. Nivel de esfuerzos de trabajo, menores que O.Sf,

3. Justo al nivel de fluencia

4. Más allá del nivel de fluencia; con deformación permanente, mayor que la deformación unitaria del punto de fluencia 5. Para todos los rangos (Vs = velocidad de la onda de cortante)

Tipo y condición de la estructura a. tuberfas vitales b. acero, concreto reforzado o preesíorzado, madera, sin aqrietamiento, sin deslizamiento en las juntas a. tuberías vitales b. acero soldado, concreto preesforzado, concreto reforzado con cuantías altas (fisuración muy menar) c. concreto reforzado con bastante fisuración d. acero estructural pernado o remachado, estructuras de madera con uniones clavadas o atornilladas 11. tuberías vitales b. acero soldado, concreto preesforzado (sin pérdida total del preesfuerzo) c. concreto reforzado y concreto preesforzado d. acero estructural pernado o remachado, estructuras de madera con uniones atornilladas e. estructuras de madera con uniones clavadas a. tuberías b. acero soldado c. concreto reforzado y preesforzado d. acero pernado o remachado v estructuras de madera Balanceo de toda la estructura: a. sobre roca

tv, > 1800

mIs)

b. suelo firme (Vs > 600 mIs) c. suelo blando (v s < 600 mIs)

178

Amortig. 0.5%

~

0.5a 1 % 0.5 a 1 % 2% 3a5% 5a7% 2% 5% 7 a 10% 10 a 15 % 15 a20 % 5% 7a 10% 10 a 15 % 20% 2a5% 5a7% 7 a 10%

I

Ejemplo 7-1

se desea

o~ltevLer eL espectro de disePLo. para sistevvLas con liVL cogicieltte de m'l'wrtig/.tVLmiento crítico. ~, deL 5%. en 1m Lagar en eL CltuL se ILa estilnado qlte Lu mrixivna aceLeración deL terreno (Ate) rJLUU Los 111.OvÍlnie/1.los sísvnicos de disePLo es de 0.3g. La vlt~Ílna veLocidad del terreno (Vte) es de 0.20 vn/s 1j eL mriximo despLuzamiel1.to deL terreno (DIe) es de 0.30·m. Se desea 11Jt nível de prokla~JiLidad de 11,0 exceder Las ordenadas esnecnutes deL 84.1 %.

Elt La Figara 7-5 se ILal1. dilJlijado en et r1apeL tripartita Los l1tovimientos Inrixivnos deL terre11,0. pura di~Jlijar eL espectro de disePLo en La zona de aceLeracimte~; constuates el valor de Sa se O~Jtl.elte de mltLtipLicur 0.3 g x 2.71 = 0.81 g. Para La zona de veLocidades coastaates eL valor de S, se olJtie/te de )lw,LtipLicar 0.2 mis x 2.30 = 0.46 mis !:j para La Zm1.&1 de despLuzmnieltLos constantes eL valor de Sd se obttene de mlútirlLicur 0.3 in x 2.01 = 0.60 m. Elt La zona de rwríodos cortos eL espectro de disei'W se ivLicia con La aceLeraciól1. deL terreno Iw.sta 11Jt período de 0.03 s (freCltencílA. de 33 HZ) lj IA.LLí cmnienzu LIA. tmmidó/1. a LIA. zona de aceLemcimtes COltstm'Ltes con La CltaL evnpata a Itn t'Jeríodo de 0.125 s (freClte/teia de 8 Hz). 10

5

0.5 Velocidad (mis)

0.1

0.05 0.01

0'005~". 0.0 1 0.01

I

0.03 S

0.05

0.5

0.125 s

5

10

50

Periodo T (s)

Figura 7-5 - Ejemplo 7-1 - Espectro elástico de diseño de Newmark-Hall para Ate = 0.3 g, V te

= 0.2 mis y D¿ = 0.3 m para amortiguamiento, ~, de

5% y probabilidad de 84.1%

•

7.2.3 Método de Newmurk-Blume-Kapur

A comienzos de la década de 1970, la Comisión de Energía Atómica de Estados Unidos, contrató una serie de estudios para la definición de espectros de diseño sísmico de plantas nucleares. Como resultado de estos estudios, en la referencia [Newmark, Blume y Kapur, 1973] se presentó una metodología para obtención de espectros elásticos de diseño. El estudio inicial se realizó independientemente por parte de ]. A. Blume y N. 1\1. Newmark. En esta fase se emplearon -12 y 33 acelerograrnas respectivamente. La forma del espectro en ambos casos fue determinada estadísticamente utilizando 17.9

distribuciones log-normales, Con base en estos estudios preliminares se desarrolló como definitiva la metodología que se presenta a continuación. Los espectros se definieron para tres niveles de probabilidad de no excedencia en sus ordenadas: media (50%), media más una desviación estándar (8-+'1%) y medía más dos desviaciones estándar (97.7%). El estudio definió cuatro períodos de control: el período A, que define el punto a partir de la cual se inicia la amplificación de la aceleración con respecto a la aceleración máxima del terreno, Ate, se fijo en T = 0.03 s (f = 33 Hz); el período B, marca el final de la transición entre la aceleración del terreno, Ale, y el valor amplificado de la aceleración, fue fijado en T = 0.11 s (f = 9 Hz); el período C marca el punto de transición entre la zona de amplificación de la aceleración y la de amplificación de la velocidad, fue fijado en T = 0.4 s (f = 2.5 Hz); por último, el período D define el punto de transición entre la zona de amplificación de velocidades y la zona de amplificación de desplazamientos, y fue fijado en T = -LO s (f = 0.25 Hz). Para cada uno de los períodos A, B Y C se fijaron coeficientes de amplificación que afectan la aceleración máxima del terreno, Ale, y que dependen del coeficiente de amortiguamiento crítico. Para el período de control D, se prescribe un coeficiente de amplificación de desplazamiento, también en función del amortiguamiento, el cual afecta el desplazamiento máximo del terreno, D te. El desplazamiento máximo del terreno, Die, se estima en función de la aceleración máxima del terreno, Ale, por medio de la siguiente relación: (7-8) En la Figura 7-6 se muestran los coeficientes de amplificación para cada uno de los períodos de control, en función del coeficiente de amortiguamiento crítico, ~, a que se desee producir el espectro. Los coeficientes de amplificación definen un espectro cuyas ordenadas espectrales tienen una probabilidad de no ser excedidas del 8-1.1% (media más una desviacíón estándar). Todos amplifican con respecto a la aceleración máxima del terreno, Ale, excepto el correspondiente al período de control D, que amplifica con respecto al desplazamiento máximo del terreno, Die' 10 \

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5

6

7

a.,coeficiente de amplificación Figura 7-6 - Coeficientes de amplificación para los períodos de control A, a, C y D

Las ecuaciones que describen estos coeficientes de amplificación, para un nivel de probabilidad del 8-1.1% (media más una desviación estándar), son las siguientes, las cuales son validas para valores del amortiguamiento menores o iguales al 10%:

ISO

f

I

aTA

= 1.0

T A = 0.03 S

(7-9) (7-10)

a TB =

4.25 -1.0210(1; %)

TB=O.lls

aTe =

5.1- 1.22410(~%)

Te

=

0.4

a Tn = 2.85- 0.510(1;%)

TD

=

4

S

(7-11)

(7-12)

S

El espectro se construye dibujando, primero, en papel espectral tripartita las líneas correspondientes a la aceleración máxima del terreno, Ate, Y al desplazamiento máximo del terreno, Die, de los movimientos sísmicos de diseño. Estos valores provienen en general de un estudio de amenaza sísmica, como el presentado en la Sección 4-9 [Carcía et al., 1984 y 1996]. Luego, para un valor del coeficiente de amortiguamiento, ~, dado se buscan en la Figura 7-6 los valores de los coeficientes de amplificación correspondientes a los períodos de control A, B, e y D. Luego en cada uno de estos períodos de control se colocan punto al valor amplificado de la aceleración, excepto para el período D, donde se amplifica el desplazamiento. A partir del período D el espectro presenta un desplazamiento constante. Luego se unen estos puntos amplificados y las líneas que se obtienen definen el espectro. Los autores hacen la salvedad de que para lugares donde haya una gran preponderancia a amplificaciones para las componentes del terreno con períodos mayores de O.S s, los espectros deben ajustarse apropiadamente. Este caso se presenta generalmente con situaciones donde haya suelos blandos. Para el espectro vertical sugieren tomar 2/3 del espectro de efectos horizontales, hasta el período de control C. En este punto el espectro vertical debe prolongarse hacia la derecha hasta que toque la línea del espectro de efectos horizontales que une los períodos de control e y D, Y a partir de este punto los dos espectros son iguales.

Ejemplo 7-2 Se ctesevL okltE'ner eL espectro cte ctiseí1ü pGW~ LeA.s f1tiSVVLeA.S coVLcticiOf1eS cteL ejemrJI.o 71 rJero alwra por eL l1tétocta ete Newmark BL'tf1-te !j KarJlu. Los ¡Jar~l1-tetros relevantes son: ~ 5%, ti Ale = 0.3g. o-

EL valor cte Los ctespLlAZavltieVLtos m6lximos cteL terreno. Die = 0.91 . 0.3 = 0.273 m. Para IHt eA.f11OrtigtieA.lltievLto ctel 5%. Los valores cte Los coejicie/ttes cte ampLifimciólt. Leíctos cte LeA. Figlua 7-6 son.

aTA

= 1.0,

a TB

= 2.Ó,

aTe

= 3.t. !j

a Tn

= 2.0.

Por Lo tanto LeA.s orcteVLeA.ctas espectrates evt ceA.cta 1.0(,/10 cte Los rJerío(;Los cte control son: Períocto A - S,

=

1.0· O.3g

=

O.3g

Períacto B- Sa = 2.6' 0.3g = 0.78g Períocto

e-sa = J.1·0.3g = O.93g

Períocto O - Sd = 2.0·0.273 m = 0.55 m E/t La FigareA. 7-7 se heA.n ctikJl-ijacto en el peA.pel tripartitu Los vl·tovil1tiefttos m6lxivVLos cteL terreno. Ate !j D te. Laega se LocaLizarOft Los p,.u1Jas correspOltC'LieVLtes lA. cacta ¡-LItO cte íos rJeríoctos ete control. lj por t'tLtil11O se lutieroVL estos rJlHttos para okltelter el espectro.

181

10

5

lento 0.5

Velocidad

0.1

(mis)

0.05

II

0.01

II

0.005

0.001 0.01

I 0.05 A

o.~

B

10 5

e

10

50

Periodo T (s)

Figura 7-7 - Ejemplo 7-2 - Espectro elástico de diseño de Newmark-Blume-Kapur para Ale = 0.3 S con amortiguamiento,

1;, de 5% y probabilidad de no excedencia de 84.1%

•

7.2.4 Método de Shtbata-Sozen

En la referencia Shibata y Sozen (Shibata y Sozen, 1976] presentan una metodología para el diseño de estructuras de concreto reforzado ante acciones sísmicas. A pesar que los autores indican que el propósito de la metodología no es presentar un espectro de diseño, dentro de la investigaclón que condujo a la validación del método se utilizaron tres tipos de espectro que fueron calculados de los siguientes temblores normalizados para una aceleración máxima del terreno Ate de 0.5 g: Tabla 7-4· Acelerogramas utilizados para plantear el espectro de Shibata-Sozen No. 1 2 3 4 5 6 7 8

Acelerograma

Ate(g)

El Centro, CA, 1940, Comoonente NS El Centro, CA, 1940, Componente EV'1 Taft, CA, 1952, Componente N21°E Taft, CA, 1952, Componente S69°E Managua, Nicaragua, 1972, Comp. EW ManaQua, Nicaraqua, 1972, Comp. NS San Fernando, CA, 1971,8344 Orlon, Comp. NS San Fernando CA, 1971, Castaic, corno. N21°E

0.31 0.22 0.18 0.16 0.38 0.38 0.26 0.32

Los autores encontraron que los seis primeros registros se pueden describir por medio de un mismo espectro, mientras que los otros dos requieren descripciones diferentes. Además se supone que la aceleración de diseño, leída del espectro de aceleraciones, para cualquier coeficiente de amortiguamiento crítico S, puede relacionarse con el valor del espectro de respuesta para un coeficiente de amortiguamiento crítico de 2% (1; = 0.(2), utilizando:

182

(7-13)

La compatibilidad del espectro suavizado de diseño con los espectros que le sirvieron de base es mejor para coeficientes de amortiguamiento crítico ~ de 10% que para ~ de 2% debido a que valores dentro del rango cercano a 10% son típicos para estructuras de concreto reforzado para las cuales se dispuso la metodología. En la Figura 7-8 se muestra el espectro suavizado de diseño para ~ de 2%. Este espectro es compatibl ~ con movimientos sísmicos del tipo de los seis primeros de la tabla anterior. El espectro consta de tres zonas: para períodos cortos el espectro es directamente proporcional a la aceleración máxima del terreno, luego viene una zona de amplificación constante, y por último hay una zona en que la amplificación es proporcional al inverso del período. ,.\1 igualar los valores de amplificación de las zonas contiguas, se determina que la zona de amplificación constante está entre períodos de 0.15 y 0.4 s.

s, (g)

1

25 Ate T

t

Para

3.75 Ate

~

=2%

i

I

I I 0.15 s

O.

s

Período T (s)

Figura 7-8 - Espectro elástico suavizado de diseño de 5hibata-Sozen para amortiguamiento, ¡;, de 2%

Ejemp!o 7-3 Se deseU obteller eL espectro de disóio pum Lus I1"Lislnus cOItciicioVLes de Los ejempLos 7-1 IJ 7-2 pero uhom por eL I'1tétodo de shil''JULu-Sozen Los r¡urcil1tetros retevaates SOlt:~, = 5%, IJ Al, = 0,3g. Príl'1tero se o~ltieJten Lu constante cte prorJOrciOltClLLictuct pum 14,/t UfltOrtígltUlnieltto~,

Por Lo tunto Lus orde/tudus deL esuectro pum 1m umortigltcuniento ~ 72.7% cte Lus deL espectro COlt~ = 2%.

~

=

5%:

5% SO/t eqf.üvuLelttes uL

EIt Lu FigItm 7-9 se hu di!:Jl4jetcto eL espectro petYl/t lUtOS fltOvimielttos deL terreno con Ate = 0.3 g IJ pum ~ = 2%, IJ ~ = 5%,

188

1.2

n

1.0

~\

0.8

Sa (g)

\\

0.6

\~

."<

0.4

__

\.

~=2%

E. = 5%

~~ r-...

0.2

~

I

0.0 0.0

2.0

1.0

--

I

5.0

4.0

3.0

Período T (s) Figura 7-9 - Ejemplo 7-3 - Espectro elástico suavizado de diseño de Shibata-Sozen para Ate = 0.3g, 1;=2% Y 1;=5 %

•

7.2.5 Comparación de resultados

En la Figura 7-10 se comparan los espectros obtenidos en los ejemplos 7-1 a 7-3. 10

5

0.5

Velocidad

0.1

(mis) 0.05

0.01

0.005

0.001 0.01

0.05

0.1

0.5

5

10

50

Período T (s)

Figura 7-10 - Espectro elástico de diseño por diferentes métodos, Ate = 0.3 g, V"

y D¿ = 0.3 m para amortiguamiento, 1;, de 5% y probabilidad de 84.1%

184

=0.2 mis

Al dibujar en escala aritmética el espectro de aceleraciones de diseño de los tres ejemplo, se obtiene la Figura 7-11. 10 9

I

8

\

I '.\

7

\

6

s.

\v /

I I

5

(m/s')

r:

\)/ / '\ /'

4 I

.)

3

Newm rk-Blun e-Kapu -

en

Newma k-Hall

~

/ I <,

<,

2

:>nI ara-:>o

<,

-

-~

-- - -- - ---

~~

o 0,0

0.5

1,5

1.0

2.5

2.0

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

Período T (s) Figura 7-11 - Espectro elástico de diseño de aceleraciones por diferentes métodos, Ate

= 0.3 g,

V,. = 0.2 mis y D,. = 0.3 m para amortiguamiento, S, de 5% y probabilidad de 84.1%

Como puede verse, se ob.ienen diferencias importantes en algunas zonas del espectro, especialmente en el obtenido por el método de Newmark-Blume-Kapur, con respecto a los otros dos. La razón que pesa en mayor forma en estas diferencias está con el período de control C del método de Newrnark-Blurne-Kapur, la cual aumenta la forma espectral especialmente en la zona de amplificación de velocidades. 2,5 . - - - - - - , - - - - - - - - , - - - - r - - - , - - - - - - , - - - ,

2.0

-j-----jfh--t----t----j----+---t------j

1.5

s, (g)

1.0.'if-P--

0.5 iJ---+-~mlJil.:=

0.0

-1----\----1-----+----+----+-----1 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Periodo T (s)

Figura 7-12 - Espectros de diseño correspondientes a los parámetros Gel registro de Corra/itos

.-'\ continuación se muestran las diferencias que se obtienen entre el espectro de respuesta de un registro real, y el de diseño evaluado utilizando los parámetros máximos del terreno correspondientes al acelerograma real. Para el efecto se utilizan la componente NS del registro de Corralitos, del temblor de Loma Prieta del 17 de Octubre 185

JIll(lllftl(.(

C~"'(lll\.I.1.l.fll.l ll.l.H

~

~~

~.

~~_

de 1989, Y la componente N21E del registro de Castaic Old Ridge, del temblor de San Fernando del 9 de Febrero de 1971. Para el registro de Corralitos, los parámetros máximos del terreno fueron; Ate = 0.629 g, Vte = 0.552 mis y Dte = 0.120 m. Los métodos de obtención del espectro de diseño se aplicaron tal como se explicó en los ejemplos anteriores, utilizando solo la aceleración máxima del terreno para el caso de Shibata-Sozen y Newmark-Blume-Kapur, y los tres parámetros máximos del terreno para el método de Newmark-Hall. En este último caso se obtuvieron los espectros para la media (59%), y la media más una desviación estándar (S-l.l%). En la Figura 7-12 se muestra en escala aritmética los espectros de aceleraciones, tanto de respuesta como de diseño; y en la Figura 7-13, pl espectro de velocidades en escala lag-lag, lo cual corresponde a un papel tripartita.

r--t-t-rttHt\---t-tiHiitt----:::-r-r1c'tiTffi'k-Btume-Ka pur Shibata-Sozen

Sv (mis)

0.1

O. o1

'--'-,f'--l---'-.J...L.u..u_-'----'---'-L.-LJ.-ll.L_--'--'----'-'--U..LD

10

0.1

0.01

Período T (s)

Figura 7-13 - Espectros de diseño correspondientes a los parámetros del registro de Corralitos

Para el registro de Castaic, los parámetros máximos del terreno fueron; Ate = 0.316 g, Vte 0.1 T¿ m/» y Dte = 0.051 m. Se aplicó la misma metodología que se empleó en el caso del registro de Corralitos. En la Figura 7-14 se muestra en escala aritmética los espectros de aceleraciones, tanto de respuesta como de diseño; y en la Figura 7-15, el espectro de velocidades en escala log-log.

=

1.0 , . - - - - , - , , - , . - - - - , . - - - - , . - - - - , . - - - - , . - - - - - ¡ 0.9

+--+-!H'+---+---+---+---+----j

0.8

0.7

0.6 S. 0.5 (g) 0.4 +if----'tI-

0.31V---j-'

0.2 +ll---f----" 0.1

0.5

1.0

1.5

2.J

2.5

3.0

Período T (s)

Figura 7-14 - Espectros de diseño correspondientes a los parámetros del registro de Castaic

186

7.

1;=5%

Sv (mis)

__l1li11

ShlbBta-Sozon

'-+-++-1+1+1" ".- Newmark-BJume-Kspur

O.l~mBmII ~ Newmtlrk~all(B4.1%) +H1f----+-+-+-1+H++-_ --+-++-1-+++1

0.01 0.01

Newmark-Hall (50%)

10 Perfodo T (s)

Figura 7-15 - Espectros de diseño correspondientes a los parámetros del registro de Castaic

Vale la pena resaltar, que para los dos casos, el espectro de respuesta está prácticamente cubierto en su totalidad por los espectros de diseño. El que más se ajusta a los valores del espectro, excepto en los picos de máxima aceleración, es el espectro de diseño obtenido por el método de Newmark-Hall, para la media (50%). Estudios posteriores al de Newmark-Blume-Kapur, realizados por Macfiuire [MacGuíre, 1974], indican que en vez del coeficiente 0.01 a utilizar en la obtención de D¿ con base en Ate, debe utilizarse 0.665. Este cambio hace que el método de Ncwrnark-Blume-Kapur produzca resultados muy similares al de Newmark-Hall, en el rango de períodos altos. En el mismo trabajo, Macfiuíre define una manera de obtener la- ordenadas del espectro, independientemente para cada rango de períodos de vibración, con base en la distancia a la fuente sismogénica. Este procedimiento, a diferencia de los estudios típicos de amenaza sísmica, permite llegar al espectro, sin necesidad de definir la aceleración máxima del terreno como un paso intermedio. Aunque es un procedimiento que podría tener ciertas ventajas, no se tiene experiencia con su aplicación.

7.3 Espectros inelásticos de diseño 7.3.1 Introducción En la Sección 6.6 se discutió el efecto de la respuesta inelástica en las formas espectrales de sismos registrados en roca o suelo duro, y se explicó por qué, dependiendo del parámetro que se desee, se pueden encontrar espectros en donde se describen las aceleraciones máximas del sistema inelástico y se puede leer la componente elástica del desplazamiento, y espectros donde se pueden leer los desplazamientos totales del sistema, incluyendo la parte elástica e ínelástíca. Además se describió el tipo de disminución (dearnplíñcacíón) de la respuesta en términos de aceleración y el aumento en la respuesta en términos de desplazamiento, dependiendo de la zona del espectro donde se encuentre el sistema. Además se profundizó en la diferencia en la respuesta para sistemas cuya rigidez permanece constante durante la respuesta inelástica, como la que se obtiene en sistemas elastoplástícos, y la de sistemas con rigidez degradante. Con base en las observaciones descritas allí, es posible, entonces, afectar un espectro elástico de diseño, para obtener un espectro inelástico de diseño. Dado que hay diferencia para sistemas con rigidez inelástica constante y sistemas con rigidez in elástica degradante, la presentación sigue los mismos lineamientos, aunque se mantiene el orden histórico y se denorninan con el nombre de los autores que ._.

~

-..01IIII. . .

187

.

.

desarrollaron la metodología. No obstante, existen otras maneras diferentes, pero en alguna medida soportadas sobre los mismos principios, para plantear y obtener un espectro inelástico que se deriva de un espectro elástico de diseño. Las personas interesadas en el tema, pueden consultar los trabajos de [MacGuíre, 1974], [Mohraz, 19761. [Mohraz y E/ghadamsí, 1989], [Laí y Biggs, 1980], y otros. Muy seguramente en la medida que se disponga de mejores metodologías numéricas e información experimental, es presumible que harán aparición métodos de evaluación de la respuesta inelástica de elementos estructurales, y estructuras en su totalidad. .3.2 Método de Newmark-Hall

Si se dispone de un espectro elástico de diseño, de acuerdo con lo presentado en la , Sección 6.6.1, se puede obtener el espectro elastoplástico de diseño aplicando los coeficientes de reducción y de amplificación presentados ailí. En esto se basa la metodología de Newmark-Hall [Newmark y Hall, 1972] {Newmark y Hall, 19821. para obtener un espectro de diseño elastoplástico.El procedimiento consiste en afectar el espectro elástico de diseño, obtenido como se explicó en la Sección 7.2.2 y dibujado en papel tripartita, por medio de una demanda la ductilidad prefijada, 11, como se muestra en la Figura 7-16. Allí se ha marcado por medio de las líneas A.,AVD, el espectro elástico de diseño para un coeficiente de amortiguamiento dado. Los puntos donde se intersectan las líneas rectas del espectro elástico permanecen constantes al trazar los espectros inelásticos. log S v

desplazamientos inelásticos totales

',o'

~/' A

elástico

/,

j~~--v-;---~"

A"o/ / /

/

I

v

ti' ,

~

I

...

i\'~ ~

\

A

\

/

aceleraciones inelásticas

D " \ "

D' "

/

" 101; "1'

Figura 7-16 - Espectro inelástico

La línea punteada A.,A 'V'D' muestra el espectro melástico de aceleraciones máximas, y la línea punteada A:A"VD el de desplazamientos totales. Los dos espectros inelásticos difieren en un valor constante igual a 11, pero A yA' difieren en ~21l-1 . Los coeficientes a aplicar se resumen en la Tabla 7-5 Tabla 7-5 - Relaciones del espectro de diseño elastoplástico al espectro de diseño elástico, para diferentes regiones del espectro

Zona del espectro

Elastoplástico + Elástico Aceleraciones Desplazamientos Totales

Fuerza o aceleración

Energía o velocidad

Desplazamiento

_ A"_

A'

11

A -

J21l- 1

D"

V"

D

V

-=-=1

188

1

Ejemplo 7-4 Se deseu ObrevLcr eL eS/1cctro iVLeLástico de diseño pum IHtU dcmuvLdu de dw:tiLidud Ji = 6, pum Lus ¡niS11tUS co¡tdicio;tes Cjlie se eln/1LeurovL en et E~e/nrJLo 7-1 pum siste/nus con /UL coeJLcievLte de u/nortig/iumieltto crítico, ~, deL 5%, en/m Lngur en eL m,uL se luA. estilnudo Cj/H:' Lu vnáxil'ltu uceLemció/t deL terreno (Ate) pum Los /lwvivnie/ttos sís/nicos de diseño es de 0.3~j, Lu máxivvLu veLocidud deL terreno (Vle) es de 0.20 mis 0 eL vnáxivJw despLuzuvniento deL terre/w (Dte) es de 0.30 m. Se deseu IUt vLiveL de probutliLidad de 84.1 % de qtte VLO se excedan Las ordenudus espectraLes. Pri/nero se detle ohtener eL espectro eLástico de diseño, Lo CliaL se hizo en eL ejewLpLo 7-1. ALLí. se encontró ql~,e: aA Ate = 2.71 Ate = 0.810 av V te = J..30 V te = 0.46 mis aD D te = 2.01 D te = 0.60 In

AILOm se mLm.Lu Lu q.feetuci{m /1or eL gecto ilteLástico: A" 1l==6

=:}

_0

==6

=:}

A lID'

- == - == 0.167

Il

=:}

-

6

D

V'

== -

V

1 1 -===== - - == 0.302 21l- 1 3.317

A'

J

6

Il == - - == 1.81 J21l3.317 1

== 0.167

=:} -

== 0.302

A~==0.30·6==1.80

DI = 0.60·0.167 = 0.10

=:}

m

Ij

VI = 0.4·6·0.167 =0.077 mis

=:}

Al = 0.302.0.810 = 0.24·50

A

A"

-

== 1.81

A" = 0.810' 1.81 = 1.4 70

=:}

A

10~

lente O.S

de Velocidad

0.1

(m/s) 0.05

0.01

0.005

0.007

0.01

I 0.03 s

0.05

0.1,

0.125 s

so

10

0.5

Período T (s)

Figura 7-17 - Ejemplo 7-4 - Espectro inelástico de diseño para f.l = 6, sistemas elastoplásticos, método de Newmark-Hall,

lB!} ~--------------------_ _---..

~=5 %

•

ICt,t-"t·t'-'l~·

,- ..,,~II."

11..11. ....,... ' .. \. ..... <0.. . . . . .1'

...

~·~·~~~~~

~

__

~_

-

_

3.3 Procedimiento de Riddell y Newmark

Con base en los resultados de la investigación sobre respuesta de sistemas elastoplásticos y de rigidez degradante presentado en la Sección 6.6.2, Riddell y Newmark [Riddell y Newmark, 1979J proponen una metodología para definir un espectro ínelástíco: para una demanda de ductilidad dada, u, Por lo tanto, en el estudio se definieron coeficiente de deamplificación ínelástíca, $¡.t, para sistemas inelásticos elastoplásrícos, bilineales y de rigidez degradante. Debe recordarse (Sección 6.6.2), que estos coeficientes de deamplificación corresponden al inverso de los coeficientes de reducción de resistencia Ra , R, Y R,¡, correspondientes a las zonas del espectro donde respectivamente la aceleración, o la velocidad, o el desplazamiento son aproximadamente constantes. Se encontró. que estos coeficientes eran prácticamente independientes del nivel de probabilidad de excedencia de las ordenadas espectrales del espectro elástico, por lo tanto son aplicables, en teoría, a cualquier espectro elástico. Para sistemas elastoplásticos se desarrollaron las siguientes expresiones para los coeficientes de reducción de resistencia, para valores de 1; entre 2% y ] 0%, Y valores de J.l entre 1.5 y ]0: para la región de desplazamiento aproximadamente constante, (7-14)

para la región de velocidad a..roxímadamente constante, (7-15)

donde: (7-16)

qv = 2.7 (1; % )-0.4

(7 -t 7)

(7-18)

y para la región de aceleración aproximadamente constante, (7-19)

donde: (7-20) qa = 3.0 (1; %) -0.3

(7-21)

(7-22)

Para sistemas con rigidez degradante no se desarrollaron expresiones como las anteriores, pero en la Tabla 7-G se presentan los valores obtenidos, para diferentes

190

t

I

-valores de demanda de ductilidad, lJ-, y para un coeficiente de amortiguamiento crítico ~ 5%. No obstante RiddelJ y Newmark demostraron que para los casos estudiados, la respuesta elastoplástica era conservadora al compararla con la respuesta para rigidez degradante, por lo tanto se pueden utilizar los valores para sistemas elastoplásticos en la gran mayoría de los casos prácticos.

=

Tabla 7-6 - Valores de

R a, R v, y R,¡ para sistemas con rigidez degradante y ~ =5% Región espectral

Ductilidad

1.0 1.5 2.0 3.0 5.0 10.0

I i

!

Aceleración

Velocidad

Ra

Rv

Desplazamiento

R,¡

1.00 1.49 1.85 2.28 2.86 3.75

1.00 1.65 2.32 3.44 5.08 8.33

1.00 1.68

2.38 3.73 6.62 14.3

El procedimiento sugerido por Riddell y Newmark es el siguiente. Partiendo de un espectro elástico, como puede ser el de Newmark-Hall, en la zona de períodos cortos, menores de 0.03 s se sugiere tomarla igual a Ate' En caso de que se deseen hacer ajustes en esta zona, puede consultarse lo indicado al respecto en la Sección 6.6.2. En la zona central del espectro, entre períodos del orden de 0.125 s y lOs se tiene amplificación de la aceleración, luego de la velocidad y por último del desplazamiento. En la zona cercana a períodos del orden de 0.125 s, se tiene amplificación de la aceleración. Allí se toma la aceleración del espectro elástico y se divide por el R, correspondiente a la demanda de ductilidad lJ-, deseada. En la zona central se reduce la velocidad del espectro elástico, dividiéndola por Rv ; Y en la Zulla anterior al período de 10 s se tiene amplificación del desplazamiento, allí se divide el desplazamiento del espectro elástico por R,¡. Las intersecciones entre estas líneas definen el espectro en la zona central. En la zona de períodos largos, más de 33 s, se obtiene dividíendo la ordenada de desplazamiento del espectro elástico por el valor de la demanda de ductilidad ¡J,. Una vez se tiene dibujada esta zona se procede a dibujar las zonas de transición. La de períodos cortos se dibuja entre los períodos de 0.03 s y 0.125 s, y la de períodos largos, entre 10 s y 33 s.

'EjemPlO 7-5 Se ¡;{,esea oatener el espectro inelristico ¡;{,l" ¡;{'iseFw IttitilGl.lt¡;{,O el proce¡;{,in'LÍenlo ¡;{,e Ri¡;{,¡;{,l"ll 0 NewmCMk rara sistemas COVI, rigi¡;{,el ¡;{,egra¡;{,ante. para (tita ¡;{,ef'ltGl.lt¡;{,a ¡;{,e ¡;{"Ktili¡;{,ad lJ- = 5. Ij rJara las mismas con¡;{,iciOl1Cs qliC se elnplearon en el ejemplo 7-1 ",ara sistemas C(Ht 11.1'1, coeJicLevl,te de Gl.Inortigl1.awüevtto crítico. ~, ¡;{,el 5%. ett 1m l/1.gcu en el Cl1.al se hIA- estimadü Cjlte la mlixintu aceleraciótt ¡;{,eL terreno (Ate) rara los f'ltOvimíe/ttos sísmícos de ¡;{,íseFto es ¡;{,e O.3g. lu mlixima velocidad del terreno (Vte) es ¡;{,e 0.20 mis Ij el ,nlixímo ¡;{,esplazamiettto ¡;{,el terreno (Dte) es ¡;{,e 0.30 m. Se ¡;{,esea 11.It ltiveL de prob0LuiLidad del 84.1% de q11.e no se excedalt las ordena¡;{,as espectrales. En el ejemrlo 7-1 se outltvierO/t los siglüelttes valores para lus oretefta¡;{,as ¡;{,el espectro elristico en las zonas ¡;{,e amplificación ¡;{,e aceteración, velocL¡;{,a¡;{, Ij ¡;{,esplazamie/tto. res pectivalne ate: A = 2.71 Ate = 0.81g. V = 2.30 Vte = 0.46 mis. 0 D = 2.01 D¿ = 0.60 m

Los valores ¡;{,e los coeJicievLtes ¡;{,e re¡;{,11.cción ¡;{,e resistencia. cmnputibles con lu ¡;{,ema~u etc etactilieta¡;{, lJ- = 5. se ()~)tieltelt ete la Tubla 7-6. colno: R, = 2.86. R, = 5.08 Ij R,¡ = 6.62. Nllicaft¡;{,O estos corJ¡,cientes se obtirftl"n:

191

Dinámica est ructural apliccul« (1/ diseño SiSllllCO

A m = AIRa = 0.81/2.86 = 0.283 g V m = V IR v = 0.46 / 5.08 = 0.091 vvtls Dm = DI R, = 0.60 / 6.62 = 0.091 m. PiA-YrA. l1erí.odos miA-lJores de 33

s. D m = D/fl = 0.60 / 5 = 0.12 vVI.

10

5

0.5

Velocidad (mis)

0.1

0.05

0.01

0.005

0.01

I

0.05

0.03 s

0.5

0.125

e

5

10

50

Período T (s)

Figura 7-18 - Ejemplo 7-5 - Espectro inelástico de diseño para !1

=5,

sistl'lmas elastoplásticos, método de Riddel/ y Newmark, S=5%

•

7.3.4 Procedimiento de Shibata-Sozen Con base en las investigaciones de Shibata y Sozen [Shibata y Sozen, 1976] como se indicó en la Sección 6.S, es posible dibujar un espectro inelástico de aceleraciones. Se toma como base un espectro elástico como se indicó en la Sección 7.2.4. Luego se dibuja un espectro de aceleraciones no lineal que tome en cuenta el comportamiento histeretico del sistema de concreto reforzado utilizando un amortiguamiento substituto utilizando la ecuación (6-14). El procedimiento es el siguiente: se define UIl nivel de amortiguamiento substituto correspondiente al coeficiente de daño seleccionado, ¡.t, por medio de la ecuación (6-14), la cual se reproduce aquí por comodidad como la ecuación (7-23).

(7-23)

La reducción en el espectro, con respecto al espectro elástico dibujado para un amortiguamiento de 2% del critico, debida a este amortiguamiento substituto se puede calcular utilizando la ecuación (7-13), la cual se reproduce aquí por comodidad como la ecuación (7-24):

----------------------------------------8

s, (T,~) = s, (T,~ = 0.02). 6+100~

(7-24)

El espectro que describe corresponde al espectro inelástico deseado. Debe tenerse en cuenta que para entrar al espectro se debe emplear la rigidez substituto definida por la ecuación (6-13), que se reproduce aquí como (7-25):

= (EI)r

(Ei) s

(7-25)

J..l

Ejemplo 7-6 Se desea ohtener eL esrJectro üteLásüro de ¡;tiseftO IttiLizavLdo eL rJrocectirniento iJ'LfLástico de s/dbata-SozevL pUYI/L iuta ucE'Lemción ,núxiJ'na deL tennto. Ate = O.4g (3 nn coeficiente de v/.ufío. J..l = 4 (3 tUt coejí.ciertte ue ul11Clrtig/twnieVLlo crítico. ~ = 2%. Prir1'Lfro se dikJl1ju et espectro eLástico uc slUbuta-Sozen ¡Juru ~ = 2%. EVL La ZOVLa de ¡1críodos cortos. r11eVWreS de 0.15 s este espectro está regido ¡Jor (véase La Sección 7.2.4):

Pam períDGtos entre 0.15 s (3 0.4 s. está regirlo rJor:

(3

rJa ru ¡Jerí.odos rltal:Jores de 0.4 s: (~=2%)=

S a

I

1.5A 0.6 __ te = - g

T

T

EL esjiectro ü1R.Lástico se oht.ierte arJLirwtdo el IM11.o:'ligH.afnienlo sttbstittuo (}J espectro dá\¡ico. wnortig/~.amiertto slttlsLititto pam J..l = 4 es:

EL

1;, = 0.+ (3

~} + 0.02 =o.z{1- }.}+0.02 = 0.12

este Uf1iDrtigttlM1üeVLlo stüJstílJÜO irnrJLiw. IUtU reuncciór1. ert eL espectro eLástico COVL ~

=

2%

de.

En La Figt1.ra 7-19 se l11.ttestraft tanto eL esnectro eLtistico COl1iD eL ine!ásüco. No sokJYU iVLsistir (;jIte para er1.tmr a este eS¡Jectro debe lttiLizcMse et ¡Jerí.ouo v/.e vikJYaciór1. correspcwLdievl.te a La rigidez sltklStitl1.tO. En este caso tuta rigiuez rev/.IH.:iv/.a aL 25% (1/J..l = 1/4=0.25) v/.e Lu rigiuez origirtaL eLtistica. Dav/.o (;jl1.e et períov/.o escá rlfj'iJüuo por:

T=21t~ 1.98

Dinámica estructural opticaaa

(ti (lI.'W/llJ o •..,,, ... ,,

el YJerío¡;(o SIÜJStltI1JO, con eL qlte se ev\,lm aL espectro il'],('Ltistico es:

uor Lo tanto en el espectro ü'],('Ltistico de S/üimta- Sozev\, se ddJe el'lt/"lLear eL período de vibmclóv\' de La estrltctlua s¡üJstittito, q/te pam 1m Jactar de daCio, l-! = 4, corresjionzte aL dobLe deL YJeríodo etc vibmciólt de La estntct/tm eLtistica origil%ü, 1.60

1.40

1,20

r-\

¡

\

L 1

1\,/ \

\ 1.00

Sa

0,80

(g)

rrr>;

0.60

0.40

I I

elástico 1;=2%

-. -, ~ <, ~

0.20

I inelástico

----~=4

t---

0.00 0.0

0,5

1,5

1.0

2.0

2.5

3.0

?eríodo T (s) Figura 7-19 - Ejemplo 7-6 - Espectro inelástico de diseño de Shibata-Sozen para Ate de O.4g y para un factor de daño ~ = 4.

•

7.4 Efecto en la forma del espectro de la magnitud, distancia, duración y tipo de suelo en el sitio Como se ha vísro en la presentación anterior, la forma espectral de diseño se ha derivado del estudio de acelerogramas reales obtenidos durante sismos fuertes. No obstante, en el momento que el espectro hace tránsito de un espectro de respuesta a un espectro de diseño, obviamente surgen las dudas de cómo manejar, en el de diseño, variables que por el hecho de tratarse de acelerogramas van incluidas dentro de elles, e inhiben su estudio como una variable independiente. Dentro de estas variables se cuentan, entre otras, la magnitud del sismo, la distancia a la falla que lo causa, su duración, y tal vez, la que puede llevar a diferencias mayores entre lo que se estima y la realidad: el efecto de las condiciones locales del suelo en el sitio de interés. A continuación se tratan, de una manera resumida, los efectos de estas variables. 7.4.1 Efecto de la magnitud y la distancia a la falla

La magnitud es una medida de la energía que libera súbitamente la corteza terrestre en el momento en que se presenta el sismo, como se indicó en la Sección 4.5.2. La forma como se libera esta energía es compleja y lo poco que se conoce en la actualidad se agrupa dentro de los que se llama efectos de campo cercano. En la medida que han ocurrido sismos fuertes en zonas urbanas con densidad importante de instrumentación, como han sido los sismos de Northridge en enero de ] 994 Y de Kobe en enero de 1995, se ha incrementado el conocimiento sobre estos efectos de campo 1!)4

cercano, de una manera notoria. La influencia, entonces, de la cantidad de energía que se libera, y la distancia de un observador a este punto de liberación, juegan un papel muy importante dentro de los aspectos que se deben tener en cuenta al plantear un espectro de diseño. Indudablemente, en la misma metodología de formulación del espectro de diseño se toman en cuenta estos efectos dado que los movimientos máximos del terreno, Ate, Vto y Dto, se estiman para un .sítío en particular, teniendo en cuenta la distancia y la magnitud, a través de los efectos de atenuación que se describen por medio de las ecuaciones de atenuación presentadas en la Sección 4.8.5. Desafortunadamente, estas ecuaciones no describen la variación en el contenido frecuencial de las ondas del sismo, ni el efecto que ésta tiene en la forma del espectro, sino de una manera indirecta por medio del efecto de cada uno de los parámetros máximos del terreno en su correspondiente zona de influencia en el espectro. En la Figura 7-2, tomada de [Housner, 19591 se evidencia, que la forma del espectro de velocidades de un sismo varía de una manera importante con la distancia, no solo en su amplitud, sino en el efecto en los diferentes períodos de vibración. Allí puede verse que el pico para el registro cercano se presenta para un período similar a 0.7 s, mientras que en el registro lejano este pico ha desaparecido y pueden leerse en el espectro valores mayores para períodos más largos. Este fenómeno no es algo particular de las ondas sísmicas, pues se presenta en todo proceso ondulatorio. Toda persona que haya tenido un vecino molesto que oye música con un volumen alto, con seguridad ha sentido con mucha mayor intensidad las notas bajas (frecuencias bajas = período altos) de la música que las notas altas (frecuencias altas = períodos bajos). La razón detrás de estos dos fenómenos es la misma: la atenuación de una onda que tenga algún amortiguamiento es proporcional al número de ciclos que ocurran entre dos puntos de observación; dado que la onda de frecuencia alta tiene un mayor número de ciclos, sufre proporcionalmente una mayor atenuación. Para ilustrar este punto, en la Figura 7·20 se muestra una señal, que está compuesta por la superposición de 12 ondas sinusoidales de igual amplitud y con periodos que van desde 0.25 s hasta 3.00 s en incrementos discretos de 0.25 s. El medio en que se transmiten tiene un amortiguamiento í-.)% del crítico. Los registros se tomaron en la fuente, el segundo a una distan, C¡.(' las ondas tardaron 9 segundos en llegar allí, y el tercero en un lugar donde transcurríeron 36 segundos para que llegaran.

Amplitud arbitraria

i{

-0.8n

Amplitud arbitraria

15

10

20

25

30

(s)

ijNH~~ -0.8

O

Amplitud arbitraria

5

--L

----'--

5

10

:ijt*-J -0.8

O

5

---'---_ _

15

-1

1-15

10

20

25

30

~ -11

20

25

30

(s)

(s)

Figura 7-20 - Superposición de ondas sinusoidales de igual amplitud con períodos de 0.25 s hasta 3.00 s a intervalos de 0.25 s, La primera se mide al inicio, la segunda a los 9 s y la última a los 36 s,

195

En la Figura 7-21(a) se muestra el espectro de Fourier de los tres registros, y en la Figura 7-2l(b) el espectro de aceleraciones inducidas por la señal. ¡ini lo

7.4

0.0

0.5

10

1.5

2.0

2.5

3D

0.5 3.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Periodo T (s)

Período T (s)

Figura 7-21 (a) - Espectro de Fourier

Figura 7-21 (b) - Espectro de Aceleraciones

De este ejemplo muy simplista pueden describirse algunas características que son comunes entre diferentes fenómenos ondulatorios. La primera indica que a pesar de que la energía en la fuente esté uniformemente distribuida entre las distintas componentes, como indica el espectro de Fourier, el amortiguamiento hace que en las señales registradas después de que las ondas han viajado por algún tiempo los períodos cortos han perdido preponderancia dentro de la señal. En el espectro de aceleraciones puede verse que no sólo la amplitud disminuye en general, sino que además proporcionalmente se presenta mayor disminución en las ondas de período corto. En el caso de las ondas sísmicas se presenta una situación similar, mucho más compleja dada la distribución de la energía dentro de la gama de períodos de vibración, y las reflexiones » refracciones que afectan el tren ondulatorio en la medida que se transmite dentro de la corteza terrestre. Desde el punto de vista cualitativo, la magnitud, que es una medida de la energía que se libera en la fuente, afecta directamente la amplitud de las ondas sísmicas, por lo tanto a mayor magnitud en la fuente se presentan proporcionalmente mayores aceleraciones. En la medida que las ondas sísmicas viajan, los registros que se obtienen van a presentar en sus espectros un decrecimiento en la región de períodos cortos, lo cual se manifiesta en un corrimiento del pico del espectro hacia la derecha, o sea hacia la zona de períodos largos. Mirado desde el punto de vista de las tres regiones del espectro, puede decirse que, en la medida que el registro se obtenga a mayor distancia, la zona de mayores valores dentro del espectro pasa de la zona con aceleraciones aproximadamente constantes, a la región con velocidades aproximadamente constantes y posteriormente a la zona con desplazamientos aproximadamente constantes. 7.4.2 Etecto de la duración del sismo

Desde hace tiempo se sabe que dos movímíentos sísmicos con espectros símilares pero duraciones diferentes, causan diferentes niveles de daño a las edificaciones, siendo menor el daño para los movimientos sísmicos de menor duración. Especialmente, hay muchos casos en los cuales movimientos sísmicos de corta duración, aún con aceleraciones muy altas, causan muy poco daño. Esto indica que el espectro no necesariamente describe todos los parámetros relevantes del movimiento sísmico. Entre mayor sea el período de vibración de la estructura, se necesita una mayor duración para llegar a la máxima respuesta. Esto se manifiesta en el hecho de que entre más grande sea la duración del acelerograma, mayor es la probabilidad de que contenga ondas de períodos intermedios y" largos. En la actualidad no existe una manera establecida para definir el efecto de la duración del sismo dentro del espectro de 196

diseño, más allá de correcciones totalmente cualitativas que se deben manejar con el mayor criterio. En general lo anterior indica que en caso de duda al respecto, debe en alguna medida incrementarse el grado de conservatismo en la zona de períodos largos del espectro. En la referencia [Peng et al., 1989] se discuten los efectos de la duración del sismo en los espectros de diseño, y su relación con los otros parámetros de construcción del espectro. 7.4.3 Efecto de las condiciones qeotécnicas locales

A pesar de que desde tiempos de los romanos se sabía que el daño producido por los sismos se incrementaba en 'as zonas de suelos blandos y pantanosos, sólo hasta tiempos relativamente recientes la importancia de los efectos locales ha adquirido la trascendencia que amerita. La primera gran evídencia interpretada científicamente de que las características locales habían jugado un papel muy importante en la concentración de daño observada, se tuvo con el temblor de Caracas en 1967. Posteriormente, puede afirmarse, que prácticamente no ha habido un sismo fuerte en el cual deje de presentarse algún tipo de manifestación al respecto. Tal vez la mayor evidencia de la importancia, y gravedad, de este fenómeno se presentó con el sismo de Ciudad de México de 1985, en el cual se evídenció una correlación directa entre el daño observado y las características del suelo en el lugar. La Figura 7-22 muestra esquemáticamente la problemática asociada con el fenómeno. En el sitio A, cercano a la falla que causa el sismo, se obtienen un registro en roca que tiene un alto contenido de períodos cortos, y altas aceleraciones en esa franja del espectro. Las ondas viajan por la corteza terrestre, donde sufren reflexiones y refracciones. A alguna distancia, sitio E, la amplitud de las ondas se ha atenuado, lo cual se manifiesta en una reducción de las aceleraciones, y el contenido frecuencial del sismo ha variado, pues se ha perdido parte de las ondas, especialmente en la zona de períodos cortos del espectro. Al viajar las ondas a través de suelos blandos y profundos, desde el sitio E hasta la superficie, C. las ondas se amplifican, especialmente en la zona de períodos largos.

11\

¡...I'-

,.,/1 , r--.....

o

'"'-

2 3 4 Período, T (5)

5

c~

02345 Período, T (5)

Figura 7-22 - Efecto de las condiciones geotécnicas locales

Los avances que han ocurrido, y están ocurriendo permanentemente, acerca de los criterios que deben emplearse para tener en cuenta estos efectos dentro de un espectro de diseño, indican que con un tratamiento cuidadoso de las diferentes variables que

-------------

197 --~----~---

intervienen es posible, hoy en día, definir las regiones del espectro que se ven afectadas y el orden de magnitud de estas afectaciones. Con base en los estudios elaborados bajo la dirección de H. B. Seed, presentados en las referencias [Seed, Ugas y Lysmer, 1976] Y [Seed y Idriss, 1982], de los cuales hace parte la Figura 7-23 fue posible identificar la influencia que tiene en el espectro el tipo de suelo subyacente. En este caso se muestra el efecto en la forma espectral de diferentes tipos de suelo. 3

Arcillas blandas a medianas con arenas Suelos no cohesivos profundos Suelos duros

2

Sa Ate

1 Amortiguamiento 5%

o 00

0.5

1.5

1.0

2.0

2.5

Período, T (seg)

Figura 7-23 - Espectro promedio de aceleraciones para diferentes condiciones de suelo

La Figura 7-23 muestra que para períodos mayores que aproximadamente 0...1-0.5 s, las ordenadas espectrales para los registros obtenidos en roca son substancialmente menores que aquellas registradas en suelos con estratificaciones que contienen arcillas blandas y de dureza media, o depósitos aluviales profundos de suelos no cohesivos. Las curvas mostradas corresponden a espectros normalizados a la aceleración máxima del terreno y promediados estadísticamente en cada ordenada espectral. En el caso de suelos compuestos por arcillas de dureza medianil a blanda se utilizaron 15 registros, de los suelos no cohesivos en estratos profundos se utilizaron 30 registros, de suelos duros 31 registros y en roca 28 registros. Procedimiento del ATC-3

Con base en lo anterior SE' establecieron unas recomendaciones generales para incluir la ampliñcacíón del suelo en el sitio, dentro del espectro de diseño, las cuales fueron plasmadas en el ATC-3 [ATe, 1978]. Los cuatro tipos de suelo del estudio original se redujeron a tres tipos de la manera siguiente: Perfil Tipo SI - Corresponde a roca de cualquier clase, cristalina o lutítica, con una velocidad de la onda de cortante mayor de 750 mis, o sitios de suelos rígidos, donde hay menos de 60 metros de depósitos estables de arcillas duras, arenas o gravas. En este tipo de suelo no se consideró ninguna modificación al espectro de diseño, por lo tanto el coeficiente de amplificación por efectos del suelo se propuso como S = 1.0. Perfil Tipo S2 - Corresponde a perfiles donde entre la roca y la superficie hay depósitos profundos de suelos no cohesivos o arcillas duras, donde hay más de 60 metros de depósitos estables de arcillas duras, arenas o gravas. En este tipo de suelo se propuso un coeficiente de amplíficación por efectos del suelo en el sitio, S = 1.2. Este coeficiente sólo se aplica en la zona del espectro con períodos mayores de aproximadamente 0.5 s.

198

Perfil Tipo S3 - Entre la roca y la superficie hay más de 10 metros de arcillas de dureza mediana a blanda, con o sin estratos intercalados de arena u otros suelos no cohesivos, En este tipo de suelo se propuso un coeficiente de amplificación por efectos del suelo en el sitio S = 1.5. Este coeficiente sólo se aplica en la zona del espectro con periodos mayores de aproximadamente 0.5 s. Procedimiento del Uniform Building Code hasta la versión de 1994 (UBC-94)

1

iI

I

I

I

Posteriormente, a finales de la década de 1980, con base en los estudios realizados después de la ocurrencia del sismo de México de 1985, se propuso una reorganización de los tipos de suelo. con un tipo adicional, S4, para depósitos de suelo blando. Esta clasificación aparecio con la versión de 1988 del URe [fCBO, 1988], siendo ajustada en la versión de 1991 del UBe debido a las experiencias obtenidas con el temblor de Loma Prieta de 1989, cambiando los perfiles S3 y S4, y fue modificada nuevamente en la versión de 199-l: del UBC, con variaciones en los perfiles SI(b), S2 y S3' La versión del UBe de 1997 IICBO, 1997J se desvía del procedimiento explicado aquí; no obstante, debido él que todavía se emplea en muchas normas de diseño sismo resistente se incluye su descripción aquí. La clasificación de tipos de perfil de suelo está basada en que el coeficiente de sitio S, debe determinarse con base en información geotecníca apropiadamente obtenida. En aquellos lugares donde no se conocen las propiedades del suelo con suficiente detalle para determinar el tipo de suelo, debe emplearse un perfil de suelo tipo S3. No debe suponerse un perfil de suelo S4, a menos que la reglamentación de la ciudad indique un perfil de estas características puede existir en el lugar, o la información geotécnica lo establezca así. La clasificación de suelos del UBe-9-l: es la siguiente: Perfil Tipo SI - Es un perfil donde se presenta: (a) Roca o material rocoso caracterizados por una velocidad de la ondeo de cortante mayor de 760 mis, o por otro método de clasificación, o (b) Presencia de espesores de suelo menores de 60 m que contienen suelos medianamente densos a densos, o medianamente rígidos a rígidos. A este tipo de perfil de suelo se le da un coeficiente de amplificación por efectos del suelo en el sitio S = 1.0. ' Perfil Tipo S2 - Es un perfil en que predominan los suelos medianamente rígidos a rígidos, o medianamente densos a densos, con un espesor mayor a 60 m. En este tipo de perfil se da un coeficiente de amplificación por efectos del suelo en el sitio S = 1.2. Perfil Tipo S3 - Es un perfil que contiene más de 6 m de arcillas blandas a medianamente rígidas, pero no más de 12 m de arcillas blandas. En este tipo de perfil se da un coeficiente de amplificación por efectos del suelo en el sitio S = 1.5. Perfil Tipo S4 - Es un perfil que contiene más de 12 m de arcillas blandas caracterizadas por una velocidad de la onda de cortante menor de 150 mis. En este tipo de perfil se debe emplear un coeficiente de amplificación por efectos del suelo en el sitio S = 2,0. Esta tipología, y sus correspondientes coeficientes de amplificación por efectos de sitio, fue adoptada por varios códigos de diseño sismo resistente, iniciando con la versión de 1988 del Uniform Building Code I fCBO, 1988], e inclusive con algunas variaciones en las nuevas normas sísmicas colombianas, NSR -98 IAIS, 1998].

199

Diiuunica estrucCIlHII

UPUCUUll , .. , ... "

••

~

_

Procedimiento del NEHRP-94, del UBC-97 y alterno de N5R-98

Gracias a los numerosos registros que se obtuvieron durante el sismo de Loma Prieta de Octubre de 1989, fue posible re evaluar los efectos de sitio a la luz de información acelerográfica real. Esta información sumada a la de otros sismos, inclusive evaluaciones más profundas sobre el sismo de México de 1985, llevaron, alrededor del año 1992, a que se propusiera una clasificación mucho más detallada, y a su vez basada en información más fidedigna [Borcherdt, 1994], I Whitman, 1992]. Esta clasificación fue plasmada en la versión de 1994 de las recomendaciones de NEHRP [FEMA, 1994bl Y fue adoptada por el UBC-97 IICBO, 1997] y por las nuevas normas sísmicas colombianas, N5R-98 [AIS, 1998], como procedimiento alterno. A gran diferencia de todas las anteriores, estas nuevas recomendaciones dan coeficientes de amplificación para la zona de períodos cortos del espectro, además de las recomendaciones para períodos largos. El espectro en roca está definido en función de dos parámetros, A, Y Av, los cuales provienen del ATC 3, como se explica más adelante, en la Sección 7.7.2. El procedimiento prescribe dos factores de amplificación del espectro por efectos de sitio, Fa Y Fv, los cuales afectan la zona del espectro definida por Aa Y Av, respectivamente. En principio la metodología es aplicable a períodos de vibración que estén dentro del rango de 0.2 a 3.0 s. Explícitamente se indica que no debe utilizarse para períodos en entre O y 0.2 s. El método define los cinco tipos de perfil de suelo presentados en la Tabla 7-7. Los parámetros utilizados en la clasificación son los correspondientes a los 30 m superiores del perfil. Aquellos perfiles que tengan estratos claramente díferenciables deben subdividirse, asignándoles un subíndice i que va desde 1 en la superficie, hasta n en la parte inferior de los 30 m superiores del perfil. Los parámetros se definen así: Para la velocidad de la onda de cortante en el perfil: n

I,d¡ V =-.i=.!......s n d

(7-26)

I,._i ;=1 V si

donde: Vsi

di

velocidad de la onda de cortante del suelo del estrato í, en mis espesor del estrato í, localizado dentro de los 30 m superiores del perfil

n

I,. di

30 m siempre

i=1

Para el número medio de golpes del ensayo de penetración estándar:

(7-27)

donde: Ni

número de golpes por píe obtenidos en ei ensayo de penetración estándar, realizado in situ de acuerdo con la norma A5TM D1586-84, sin hacerle corrección alguna. El valor de Ni a emplear para obtener el valor medio, no debe exceder 100.

En los estratos de suelos no cohesivos localizados en los 30 m superiores del perfil debe emplearse, la siguiente relación, la cual se aplica únicamente a los ID estratos de suelos no cohesivos: 20()

I

I

I I

-.

~n:v~~:,!~~ 1¡,iI)J~i~M, ~E!II(if~¡¡MJ~,-'-"-

fAtliL¡~:lliE a,~~~~~ fii}~A ~v!¡~:rJi.;¡tJ,ím

CENTRO DE OOCIMJ!~NtA~¡~~M"! wer"'7VE&'

..

. .

(7-28)

T',pa"'2'~ryi~;~L~~v~~l

donde: es la suma de los espesores de los ID estratos de suelos no cohesivos localizados dentro de los 30 m superiores del perfil.

ds

Para la resistencia al corte obtenida del ensayo no drenado en los estratos de suelos cohesivos localizados en los 30 m superiores del perfil debe emplearse, la siguiente relación, la cual se aplica únicamente a los k estratos de suelos cohesívos: d s = -c u k d.

I I•

(7-29)

I,_L ;=1 su;

donde: de Sui

es la suma de los espesores de los k estratos de suelos cohesivos localizados dentro de los 30 m superiores del perfil. es la resistencia al corte no drenado en kPa del estrato i, la cual no debe exceder 250 kPA (2.5 kgf'/cm") para realizar el promedio ponderado. Esta resistencia se mide cumpliendo la norma ASTrvl D 2166-91 o la norma ASTI\l D2850-87.

Además se emplea el Indice de Plasticidad (IP), el cual se obtienen cumpliendo la norma AST1\! D-I:3 18-93, Y el contenido de humedad en porcentaje, w, el cual se determina por medio de la norma ASTM D2216-92. El procedimiento para defihir el perfil es el siguiente: l. Deben primero verificarse las categorías de suelo tipo F. Si el suelo cae dentro de la clasificación de suelo tipo F, debe realizarse una clasificación en el sitio, por parte de un ingeniero geotecnista.

I

2. Debe verificarse la existencia de un espesor total de estratos de arcilla blanda, La arcilla blanda se define como aquella que tiene una resistencia JI corte no drenado menor de 25 kPa (0.25 kgf'/crn"), un contenido de humedad, w, mayor de140%, y un índice de plasticidad, IP, mayor de 20. Si hay un espesor total de 3 m o más de estratos de arcilla que cumplan estas condiciones el perfil se clasifica como tipo E. 3. Utilizando uno de los tres criterios:

vs ' N, o

Su' se clasifica el perfil. En caso de que

se utilice el criterio basado en Su y el criterio Nch indica otro perfil, en ese caso se debe utilizar el perfil de suelos más blandos, por ejemplo asignando un perfil tipo E en vez de tipo D. En la Tabla 7-8 se resumen los tres criterios para clasiñcar suelos tipo C, D o E. Los tres criterios se aplican así: (a) Vs en los 30 m superiores del perfil, (b) N en los 30 m superiores del perfil, o (e) N ch para los estratos de suelos existentes en los 30 m superiores que se clasifican como no cohesivos cuando IP < 20, o el promedio ponderado Su en los estratos de' suelos cohesivos existentes en los 30 m superiores del perfil, que tienen IP > 20.

201

Diruunica esr rucr U/"(1/

U p " l Ultl • • I t

...

~~ . . ~ ~'"""'- ._

Tabla 7-7 Clasificación de los perfiles de suelo (NEHRP-94, UBC-97 y procedimiento alterno de NSR-98) Tipo de perfil

Definición

Descripción Perfil de roca competente

A

Perfil de roca de cualquier espesor

B

Perfiles de suelos muy densos o roca blanda, de cualquier espesor que cumpla con el criterio de velocidad de la onda de cortante Perfiles de suelos muy densos o roca blanda, de cualquier espesor que cumpla con cualquiera de Josdos criterios Perfiles de suelos rigidos de cualquier espesor que cumpla con el criterio de velocidad de la onda de cortante, o perfiles de suelos rígidos de cualquier espesor que cumpla cualquiera de las dos condiciones

e

I D

Vs

> 1500 mIs

1500 rn/s »

Vs

> 760 mIs

760 rn/s»

Vs

> 360 mIs

-

N >50, o Su> 100 kPa (z1 kgf/cm 2 )

360 m/s »

Vs

> 180 mIs

50> N >15,0 100 kPa (=1 kgf/cm 2 ) > Su> 50 kPa (zO.5 kgf/cm 2 )

Perfil de cualquier espesor que cumpla el criterio de velocidad de la onda de cortante. o

180 mis>

E

Vs

IP>20 perfil que contiene un espesor total mayor de 3m de arcillas blandas

H

W~40%

25 kPA (zO.25 kgf/cm 2 ) > Su

Los suelos tipo F requieren una evaluación realizada explícitamente en el sitio por un ingeniero geotecnista. Se contemplan las siguientes subclases.

F1 - Suelos vulnerables a la falla o colapso causado por la excitación sísmica, tales como: suelos licuablas, arcillas sensitivas, suelos dlspersrvos o débilmente cementados. etc.

F

F 2 - Turba y arcillas org3.nicas y muy orgánicas (H > 3 m para turba o arcillas orgánicas y muy orgánicas).

F 3 - Arcillas de muy alta plasticidad (H > 7.5 m con Indice de Plasticidad IP > 75) F 4 - Perfiles de gran espesor de arcillas de rigidez mediana a blanda (H > 36 m)

Tabla 7-8 - Criterios para clasificar suelos dentro de los tipos C, D o E (NEHRP-94, UBC-97 y procedimiento ettomo de las NSR-98) Tipo de perfil

-V

e D E

N o N ch

Su

entre 360 y 760 mIs

mayor que 50

mayor que 100 kPa (= 1 kgf/cm 2 )

entre 180 y 360 mis

entre 15 y 50

entre 100 Y 50 kPa (0.5 a 1 kgf/cm 2 )

menor de 180 mis

menor de 15

menor de 50 kPa (zO.5 kgf/cm 2 )

s

En la Tabla 7-9 se dan los valores de del coeficiente Fa que amplifica las ordenadas del espectro en roca para tener en cuenta los efectos de sitio en el rango de períodos cortos del orden de 0.3 5, como muestra la Figura 7-24. Tabla 7-9 - Valores del coeficiente Fa, para la zona de periodos cortos del espectro (NEHRP-94) Tipo de perfil A

Intensidad de los movimientos sísmicos Aa SO.1 0.8

I I

Aa = 0.2 0.8

I I :JO:J

Aa = 0.3 0.8

I I

Aa=OA 0.8

I 1

Aa ~0.5 0.8

I

'j¡'¡úl1uca eS1TllClltHll ({PIl~U"" u, u ..,. .. " ...

OJ • • • • •

"

-....... ~

~

Sue pTipoE --7f

i

:--............

I

...............

I I

~

Suel p TipoD

II

noo c

1-----/

!

Suelo TipoS

l----7'

i

Suelo Tipo A

i---/'

Suele

I I

,

I I

------

-........

r--....

I

I

I

I

0.05

0.10

I

0.00

i

~

~ ........

L-! 0.15

\

0.20

0.25

0.30

0.35

DAD

0045

0.50

Av Figura 7-25 - Coeficiente de amplificación F. del suelo para la zona de períodos intermedios del espectro (NEHRP-94)

Estos valores son mayores que los que se han tenido tradicionalmente en los códigos sísmicos. Es evidente, al hacer un seguimiento histórico de los valores contenidos en los códigos, que éstos han venido en aumento en la medida que han ocurrido sismos que han resaltado condiciones locales no sospechadas, o amplificaciones de onda que excedieron las expectativas más conservadoras que se tenian. Indudablemente este refinamiento de las recomendaciones para tomar en cuenta los efectos de sitio he sido, también, consecuencia de un avance importante en las metodologías analíticas y experimentales empleadas.

7.5 Estudios de amplificación de onda En muchos casos, para obras importante'> de infraestructura, edificios altos, y otros casos, se desea tener una idea muy detallada de los posibles efectos de amplificación que puedan presentarse en el sitio para el sismo de diseño. En estos casos se realiza un estudio de amplificación de onda. Este tipo de estudios hace parte, también, de los estudios de mícrozoniñcacíón, donde se agrupan en microzonas sectores de una población donde los efectos de amplificación estimados son similares. El proceso de propagación del tren ondulatorio generado por el sismo, a través de los estratos de suelo, es complejo y para efectos de la presentación solo se mencionarán los aspectos más importantes. Quien desee profundizar en el tema debe dirigirse a publicaciones especializadas sobre el tema tales como [Seed, Ugas y Lysmer, 1976], [Seed y lddris, 19821. [Zeevaert, 1983], [Dobry y Vu ce tic, 1987], [Whitman, 1992], [Sarria, 1995b] entre otras. El tren ondulatorio se propaga en dirección vertical con una velocidad igual a la velocidad de la onda de cortante, V S (ASCE, 1985]. La velocidad de la onda de cortante se obtiene de la relación:

204

B

1.0

1.0

1.0

1.0

1.0

e

1.2

1.2

1.1

1.0

1.0

D E F

1.6

1.4

1.2

1.1

1.1

2.5

1.7

1.2

0.9

nota

nota

nota

nota

nota

nota

.. tnvestiqacion

..

geotecnlca para el lugar especifico y debe llevarse a cabo un

nota: debe realizarse una análisis de arnpüñcaclón de onda.

3.5

3.0

II I

II

I

2.5

, 2.0

Fa

Suelo TiooE

I~~ !

I

1.5

I

I

I

-

~

Suelo TipoD- 1----/--'

I

i

I

i

! --.::IIiIo

i

--

I

V

I

I

I

!

0.30

0.35

i

0.5

,

I 1

I

0.20

0.25

0.0 0.00

I

i

I

Suelo TipoB- l----7' Suelo jTipoA -

I

I

.r-,

I

!------J'f

Suelo TipoC 1.0

i

~! ! I I

,

!

¡

0.05

0.10

0.15

0.40

0.45

0.50

Figura 7-24 - Coeficiente de amplificación Fa del suelo para la zona de períodos cortos del espectro (NEHRP-94)

En la Tabla 7-10 se dan los valores de del coeficiente F, que amplifica las ordenadas del espectro en roca nara tener en cuenta los efectos de sitio en el rango de períodos intermedios del orden de 1 s. Estos coeficientes se presentan también en la Figura 7-25. Tabla 7-10 - Valores del coeficiente FVJ para la zona de periodos largos del espectro (INEHRP-S4) Tipo de perfil

Intensidad de los movimientos sísmicos

Av ~0.1

Av = 0.2

Av = 0.3

Av = 0.4

A v <: 0.5

A B

0.8

0.8

0.8

0.8

0.8

1.0

1.0

1.0

1.0

1.0

e

1.7

1.6

1.5

1.4

l.3

D

2.<1

2.0

1.8

1.6

1.5

E

3.5

3.2

2.8

2.4

nota

F

nota

nota

nota

nota

nota

nota: debe realizarse una investigación geotécnica para el lugar específico y debe llevarse a cabo un análisis de amplificación de onda.

208

~------------------------------------------

= r§

v s

Vp

&i~~~;}f::'" "",..". ~~"

(7-30)

._""J~.,,~

donde G es el módulo dinámico de cortante y p es-la densidad de masa del suelo. Dado el rango relativamente pequeño de variación de la densidad de masa de los suelos conduce a que la variable que más afecta el valor de la velocidad de la onda de cortante sea el módulo dinámico de cortante G. Sin embargo, el valor de G depende del nivel de deformación, pues la relación entre esfuerzos cortantes, 't, y deformación angular, y, del suelo no es lineal, como muestra la Figura 7-26(b). Además cuando el suelo se somete a esfuerzos de cortante cíclicos, se presenta un fenómeno histerético muy similar a los presentados en el Capítulo 6. Además haciendo referencia a lo presentado allí, puede observarse que un modelo de Ramberg-Osgood describe bastante bien el proceso hísterético.

y

y

/ 1:

G=y

/ ./

(a)

(b)

(e)

Definición de G

Relación er:úerzo-deformaeión

Ciclos de histéresis

Figura 7-26 - Deformación del suelo ante esfuerzos cortantes

El amortiguamiento que se produce durante la respuesta dinámica del asociado, lo mismo que para otros materiales, con el área dentro de los hístéresis.

está de

uUJS

El módulo secante a valores bajos de deformación, G max , corresponde al valor del módulo de cortante que define la velocidad de la onda de cortante "'s. dado que las mediciones que se hacen de esta velocidad en el sitio por métodos geofísicos, siempre corresponden al rango de deformaciones pequeñas. Cuando el suelo se deforma en cortante más allá de este rango de deformaciones pequeñas, se presenta el fenómeno de histeresis, entrando en juego el módulo de cortante G para este nivel de deformación, y. La energía que se disipa por ciclo M, por unidad de volumen, puede relacionarse con un coeficiente de amortiguamiento 15COSO A, por medio de la relación: (7-31)

Por medio de ensayos de laboratorio es posible establecer relaciones entre G/G ma x Y el nivel de deformación, y, y entre el coeficiente de amortiguamiento, A, y el nivel de deformación, y, como se muestra esquemáticamente en las Figuras 7-27 y 7-28.

205

,/(¡mica estructural apucaaa

(/1

(I1~!c'IIU ~I"''''''V

1.0

......... r-,

0.8

G G max

0.6

r-..... ..............

<,

"\. <,

'\

~

~

\

.....-: ~\

'\

~

1nealidac

\

004

\

\

'

~

\

\ \ \..\ \.

0.2

'-........

0.0 0.0001

0.001

0.1

0.01

~

Y (%) Figura 7-27 - Relación entre módulos

/

(%)

/

16

tinee! ~ad

J

:11

T' ::::--...

12

~/j

/

/1

/ 1/

8

// ~ ./

/

4

o

11

I

I

Ji JII

/

20 ').

/1_'

I

24

rl

i

¡

I I

i

e:---

0.0001

0.001

0.01

0.1

y(%) Figura 7-28 - Amortiguamiento

En las figuras anteriores, los suelos que manifiestan más linealidad están a la derecha y los localizados hacia la izquierda corresponden a los suelos que manifiestan mayor nolinealidad. En el caso de las relaciones entre los módulos, Figura 7-27, entre más lineal, más largo es el rango de deformaciones en el cual el módulo de cortante es igual al módulo inicial. En el caso del amortíguamíento, entre más lineal sea el suelo, presenta menos amortiguamiento, y el rango en el cual éste es bajo se extiende hacia deformaciones mayores. Si se supone que el suelo no tiene amortiguamiento, y que el módulo de cortante G, no se desvía mucho del módulo secante inicial, Gmax , es posible resolver el problema ondulatorio, y determinar el valor del período de vibración fundamental y todos sus armónicos, por medio de la siguiente ecuación: T= l

4H

(7-32)

(2i-l)vs

Donde H es el espesor de suelo en el estrato. Por lo tanto, para el período fundamental del perfil, con i = 1, T, = 4H1vs ' Ahora, en el caso de que se tengan varios estratos con diferentes espesores y valores de la velocidad de la onda de cortante, es posible determinar el período de vibración fundamental del estrato, por medio de:

206

I

--------------------------------------,-----------(7-33)

A pesar de que estas fórmulas tienen la limitación de que son aplicables sólo cuando las deformaciones impuestas por el sismo no inducen deformaciones grandes, permiten realizar aproximaciones útiles a falta de una mejor información. Debe tenerse en cuenta que los períodos estimados por medio de estas ecuaciones son consistentemente menores que los que habría con deformaciones grandes. Tabla 7-11 - Valores típicos de la velocidad de la onda de cortante en mis adaptada de [Dowrick, 1987] Material

I

3-20 m 60-120 60-120 60-120 60-120 60-120 80-100 50-80 100-150 100-150 110-150 100-150 130-200 140-180 90-150 160-220 160-220 170-220 180-220 190-220 190-220 200-220 220-260 220-260 220-260 240-260 ?t30-280

Arena suelta, saturada Arena de origen aluvial Arcilla Limo Limo arcilloso Suelo de pantano Zonas recientemente recuoeradas por desecación Arcilla arenosa Gravilla suelta Arena fina, saturada Arena media, uniformemente gradada Arcillolita del terciario húmeda Arcilla y arena Tierra veoetai Arena densa Arena media sa': -ada Arena acillosa Grava con cantos rodados Arcilla saturada Arena fina limo arcillosa Arena arcillosa con gravas Arena media in situ Marga Arcilla desecada Terraolén de arcilla compactada Loess secos Arcilla amasada, severamente comoactada Grava aruesa comoacta Grava media Arenisca cuarzosa Siena atlántico, fango Areniscas duras (Mesozoico) Hielo, glaciares Arena tobácea Concreto Lutitas (Mesozoico) Granito (intacto) Caliza COI11 pacta Pizarra arcillosa (Paleozóico)

420-480 -

-

Profundidad del depósito 21-50 m 100-160 200-250 240-280 100-130 250-280 300-350

>50m 125-180 300-350 -

600-650

-

-

140-180

-

-

-

200-220 -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

220-280

-

-

-

-

-

-

-

I

320-380 330-400

-

-

780 1000-1500 1200 1600 20UO 2200 2350 2700 3350 3600

-

-

-

-

-

-

-

-

La siguiente pregunta es la cantidad de amplificación que se presentaría. Al respecto existen relaciones aproximadas como las propuestas por Dobry [Dobry y Vucetic, 1987], otras provienen de valores empíricos provenientes del temblor de Loma Prieta [Borcherdt, 19941, y han sido aplicadas por algunos autores, por ejemplo al caso de Bogotá [Espinosa, 1995]. Pero en general en los estudios de amplificación de onda se prefiere la utilización de modelos matemáticos implementados en el computador. De estos modelos existen tridimensionales, de gran complejidad en su aplicación [Sarria, 1995bl y unidimensionales, como el que emplea el programa de computador SHA~E lSchnabe/, Lysmer y Seed, 19721. El programa permite, dado un acelerograma en roca, --..iiiI. . .

~

.. _ _._ _

207 ~

determinar el acelerograma modificado que se obtendría en superficie. Utilizando los espectros de respuesta de los dos acelerogramas, es posible definir coeficientes de amplificación para cada período dentro del espectro. No sobra insistir, como es normal en el uso de cualquier programa de computador, en el cuidado y criterio en la definición de los valores a emplear, especialmente en aquellos datos sobre la relación de módulos de cortante y el amortiguamiento apropiado para cada nivel de deformación.

.6 Familias de aceleroqramas En algunos casos, especialmente cuando se trata de evaluación de la respuesta en el rango inelástico, no basta con definir los movímíenros sísmicos de diseño por medio de un espectro de diseño. En los estudios de amplificación de onda por medio de modelos matemáticos en el computador, en general hay necesidad de trabajar con acelerogramas. Por esta razón cada día es más común el empleo de acelerogramas en la evaluación de efectos de sitio, y en la validación del diseño de estructura'> importantes, especialmente si se desea estudiar la respuesta en el rango inelástico. Dentro de los tipos de acelerogramas que se emplean, se encuentran: (a) acelerogramas de sismos reales escalados a alguno de los parámetros relevantes, (b) acelerogramas derivados de acelerogramas en roca filtrados a través de un perfil de suelo por medio de un estudio de amplificación de onda, (c) acelerogramas artificiales o sintéticos. Cada una de estas metodologías es aplicable en algunos casos particulares y no necesariamente son apropiadas para otros casos, por esta razón cada una tiene sus defensores y sus enemigos. La discusión de las bondades y desventajas del uso de acelerogramas provenientes del filtrado el' estudios de amplificación de onda y de acelerogramas sintéticos, se sale del alcance de lo que se puede discutir en una presentación introductoria. Por esta razón el lector interesado debe referirse a publicaciones especializadas. La introducción al tema está tratada en [Sarria, 1995a] y en [Clough y Penzien, 19931. Debe hacerse una advertencia respecto al empleo de acelerogramas, no importa su origen, la cual tiene que ver con las particularidades propias de un registro. El uso de un solo acelerograma en el diseño entraña el peligro de que el registro en particular no resalte lo que se desea estudiar durante el diseño. Por esta razón se habla de [amilias de aceleroqramas, pues el diseño debe fundamentarse en un número plural de ellos. Cuando se emplean acelerogr amas de sismos reales, en general se desea que se aproximen lo más posible al acelerograma que se espera en el lugar respecto a la magnitud del sismo, la distancia epicentral, la profundidad focal, el mecanismo focal, y el perfil de suelo. Dado que muchas veces no es posible identificar adecuadamente todos estos parámetros para el sismo de diseño, y además, en aquellos casos en los cuales se conocen, no siempre es posible encontrar acelerogramas que cumplan todas las condiciones deseadas. Por esta razón hay necesidad de realizar algunas manipulaciones del registro original con el fin de ajustarlo a lo que se desea. Dentro de los parámetros que comúnmente se afectan para producir una familia de acelerogramas de diseño están:

Aceleración - Consiste en cambiar la escala de aceleraciones de tal manera que el valor de aceleración pico, o de un conjunto de las mayores aceleraciones se acerque a un valor prefijado. Esta es tal vez la más común de las afectaciones que se realizan a los acelerogramas, pues en general de los estudios de amenaza sísmica se obtiene un valor de la aceleración máxima del terreno, Ale, y este valor se emplea, en vez del valor original de Ale del acelerograma. Este procedimiento conduce a una ampliación, o 208

I

I

reducción, de las ordenadas del espectro de aceleraciones en la misma proporción en que se modifique Ate, o sea que es consistente con emplear un espectro de un sismo real, pero reducido o ampliado a un valor diferente de la aceleración máxima del terreno.

I

I

I

Velocidad - Consiste en cambiar la escala ajustando el acelerograrna a un valor prefijado de la velocidad máxima del terreno, Vte . Para lograr esto se amplia o reduce la escala de aceleraciones en la misma proporción que se requiera entre las velocidades máximas del terreno. Este procedimiento se emplea cuando se desea estudiar estructuras cuyos períodos de vibración están en el rango de amplificación de la velocidad en el espectro. A modo de ejemplo, supongamos que se desea un acelerograrna con la tipología de El Centro, pero para una velocidad máxima del terreno Vte , igual a 0.5 mis. El registro original tiene un valor de Vte igual a 0.33~ mis. El cociente entre los dos valores es aproximadamente 1.5. Por lo tanto el acelerograma debe emplearse con una aceleración máxima del terreno 1.5 veces mayor. Dado que el valor de Ate en el registro original es de O.3-:l:2g, debe utilizarse en el acelerograma modificado un valor de 0.3~2 g . 1.5 = 0.513g. Repeticum parcial - Cuando se están estudiando estructuras de período largo, y el

acelerograma de que se dispone es demasiado corto para excitar la respuesta de estos períodos largos a su valor máximo, simplemente se agrega parte o todo el acelerograma nuevamente al final del primero. Esta técnica se utiliza también cuando, en estructuras que responden en el rango inelástico, se desea estudiar el efecto sobre la estructura de nuevos sismos y se quiere permitir la acumulación de daño, para que el segundo evento encuentre la estructura con la reducción de rigidez que dejo el primer sismo. Una variante de esta metodología es dejar una zona con aceleraciones muy bajas entre registro y registro. Compresión y expansión - En aquellos casos en los cuales no se dispone de un

acelerograma que tenga un contenido importante de energía en el rango de frecuencias que se desea estudiar, el acelerograma se puede comprimir o expandir, lo cual consiste en modificar el intervalo de digitalización, introduciendo un valor que alargue o acorte los períodos predominantes del registro. Esta técnica se utiliza algunas veces para simular efectos de amplificación de onda por el suelo, pues al comprimir o expandir la escala de tiempo se varía la escala de periodos en el espectro, en la misma proporción en que se cambie el intervalo de digitalización. A modo de ejemplo, supongamos que se desea un registro similar al de ciudad de México de 1985, pero con el pico del espectro de aceleraciones en un período de 1.5 s, en vez del valor de 2.1 s del registro original. El intervalo de digitalización del acelerograma original es de 0.02 s, Por lo tanto cebe utilizarse el acelerograrna con un intervalo de digitalización igual a 0.02·1.5 / 2.1 = 0.01~ s. Ordenada espectral prefijada - Cuando se quiere que el espectro tenga un valor prefijado en una de sus ordenadas espectrales, se varía Ate del registro en la misma proporción en que se quiere variar la ordenada espectral, pues el espectro es totalmente proporcional al valor de la aceleración máxima del terreno.

En resumen, los criterios a emplear al definir familias de acelerogramas a utilizar con procedimientos de análisis dinámico consistentes en evaluaciones cronológicas, obtenidas integrando paso a paso la ecuación de movimiento, debe tratarse de cumplir los siguientes criterios respecto los acelerogramas que se utilicen: (a) deben utilizarse, para efectos de diseño, la respuesta ante un rrurumo de tres acelerograrnas diferentes, todos ellos representativos de los movimientos esperados del terreno, pero que cumplan la mayor gama de frecuencias y amplificaciones posible.

209

(b) los espectros de respuesta de los acelerogramas empleados no pueden tener individualmente ordenadas espectrales, para cualquier período de vibración, menores que un porcentaje prefijado, del orden del 60 al 80% de las ordenadas espectrales de los movímíentos esperado del terreno definidos a través de un espectro de diseño. (e) La envolvente de los espectros de respuesta de los acelerogramas empleados no debe variar, hacia arriba o hacia abajo, en más de un porcentaje prefijado, del orden del 25 al 30% con respecto a las ordenadas del espectro de diseño.

.7 Espectros d: diseño de las normas de diseño sísmico En la presente Sección se hace referencia al desarrollo histórico del espectro de diseño que se incluye en las normas de diseño sismo resistente. Además se presentan las formas del espectro de diseño de algunas normas modernas y se discuten sus fundamentos a la luz de lo presentado anteriormente.

'.7.1 Desarrollo histórico del espectro en las normas sísmicas Los primeros requisitos de diseño sísmico obligaban a tratar el sismo como una fuerza horizontal análoga al viento. La ciudad de San Francisco fue reconstruida después del terremoto de 1906 utilizando como fuerzas de diseño para el sismo una presión de viento igual a 1.') kPa (1--16 kgf'/rn", ó 30 libras por pie cuadrado), A finales de la década de 1920 se iniciaron los primeros códigos sísmicos propiamente dichos. En ellos se introdujo el concepto de coeficiente sísmico, el cual corresponde a la fracción del peso de la estructura que debe utilizarse como fuerza horizontal sísmica de diseño.

En la versión de 1::)27 del Uniform Building Code (UBC). el cual todavía es el código más utilizado en la costa oeste de los Estados Unidos, se prescnbía un coeficiente sísmico, C, que variaba entre el 7.5 y el 10%. El Código de la ciudad de Los Angeles exigía en 1933 un C de 8%. En 19--13 el Código de esta misma ciudad introdujo el primer coeficiente sísmico que involucraba de alguna manera un espectro de diseño. La fórmula para evaluación del coeficiente en ese Código era la siguiente: C=

0.60 N+4.S

(7-3--1)

Donde N era el número de pisos de la estructura. Este número estaba restringido a un máximo de 13 pisos. Restricción que existió en otras ciudades importantes localizadas en zonas sísmicas como es la ciudad de Tokio, en la cual la restricción de altura se mantuvo hasta la década de 1960. Este desarrollo de los códigos sísmicos en norteameríca fue tomado a mediados de la década de 1950 por la Asociación de Ingenieros Estructurales de California (SE~OC), la cual publicó en 1959 unas disposiciones para diseño sísmico que involucraban el concepto de período de víbración del edificio. La ecuación para el cálculo del coeficiente sísmico dada por este código, la cual corresponde realmente un espectro simplificado de diseño: (7-35) Donde T correspondía al período fundamental del edificio y se indicaba que para edificios aporticados el período fundamental, en segundos, era un décimo del número de pisos. La fuerza horizontal de diseño en la base de la estructura, V, debida al sismo se determinaba como: 210

~---------------~-~------..,..-..,..--..,..-------------'---

(7-36)

V=KCW

Allí K dependía del tipo de estructura y los requisitos de detallado y despiece, en el caso de concreto reforzado, que se siguieran y W correspondía al peso de carga muerta de la estructura y su contenido. Estas fuerzas sísmicas de diseño estaban prescritas al nivel de esfuerzos de trabajo, por lo tanto para ser utilizadas con procedimientos de diseño por el método de la resistencia, o rotura, debía usarse un factor de carga que en esa época se fijó en lA para concreto reforzado. La ecuación para el cálculo del coeficiente sísmico, ecuación (7-36), se mantuvo en las versiones de SEAOC y UBC hasta finales de la década de 1980. No obstante la ecuación para el cálculo del corte basal fue modificada en la versión de 197-l de SEAOC y de 1976 de UBC a la siguiente forma: (7-37)

V =ZIKCSW

donde se incluyeron los siguientes términos nuevos: Z es un coeficiente de zona sísmica que toma en cuenta el nivel de amenaza sísmica del sitio, 1 es un coeficiente de importancia que obliga a fuerzas de diseño sísmico mayores para estructuras indispensables para La recuperación de la ciudad con posterioridad a la ocurrencia de un temblor y S es un coeficiente de sitio que toma en cuenta la posibilidad de amplificación de los efectos sísmicos debido a la presencia de suelos blandos en los estratos subyacentes en el sitio. En 1978 se publicó [ATC, 1978J por parte del Applíed Technology Council (ATC) un código sísmico modelo al que denominó ATe3, el cual puede decirse que corresponde a la primera normativa sismo resistente verdaderamente moderna, pues involucró los grandes avances en ingeniería sísmica que han ocurrido con posterioridad a la Segunda Guerra Mundial. El ATC-3 es la base de los requisitos sísmicos de las normas sismo resistentes colombianas, y lo fue especialmente de su primera versión, Código Colombiano de Construcciones Sismo Resistentes CCCSR-8-l, [MOPT, 1984J. En 1985 la SEAOC involucró gran parte del ATC-3, con algunas modificaciones en su versión [SEAOC, 1985J de ese año y el UBC en su versión de 1988 [JCBO, 1988] hizo lo mismo. Dentro del medio norteamericano El ATe-3 fue adoptado por el programa NEHi\P (National Earthquake Hazards Reduction Program) del Building Safery Council como los requisitos recomendados [FEMA, 1986J para diseño sísmico en Estados Unidos, programa dentro del cual se han realizado revísiones periódicas al documento [FEMA, 1991,1994hl. Recientemente, todas las entidades que desarrollan los códigos modelos dentro de los Estados Unidos se unieron en una sola institución denominada International Code Council para producir un código modelo único el cual se denominará International Building Code - IBC, cuya primera versión aparecerá en el año 2000, para la cual ya existe un borrador (ICC, 1997]. El borrador existente es un compromiso entre los requisitos que contiene el NEHRP-9-l [FEMA, 1994b] Yel UBC-97 (ICBO, 1997]. A continuación se hace una descripción de la forma de los espectros de diseño del ATC-3, siguiendo con las versiones más modernas de algunas de las normas de diseño sismo resistente mencionadas, incluyendo las nuevas normas sismo resistentes colombianas NSR-98, el Reglamento de la Ciudad de México el cual trata de una manera especial el efecto de suelo blando, el cual tiene interés por tener la ciudad de Bogotá una situación similar, y el Eurocode 8. 7.7.2 Forma del espectro del A TC-3

211

unámica estructural aplicada a/ diseno SISI1lICU

En el ATC-3 [ATe, 1978J al desarrollar las disposiciones de diseño se utilizaron dos parámetros para caracterizar la intensidad del movimiento de diseño del terreno. Estos parámetros se denominan Aceleración Pico Efectiva (APE), A¿ Y la Velocidad Pico Efectiva (VPE), que expresada en términos de la aceleración se denomina Av. Por definición estos parámetros se prescriben de tal manera que tengan una probabilidad de sólo 10% de ser excedidos en un lapso de 50 años. Para entender mejor el significado de APE y VPE, éstos deben considerarse como factores de normalización en la obtención de espectros suavizados de respuesta elástica para movimientos de terreno de duración normal. Al dibujar el espectro de respuesta de un sismo fuerte en papel logarítmico tripartita, en el cual es posible describir simultáneamente los espectros de aceleraciones, de velocidades y de desplazamientos como se explicó en la Sección 5.4, se puede observar que en algunos rangos de período, la aceleración espectral,. o la velocidad espectral varían muy poco. En general, para espectros de sismos registrados en roca, en el rango de períodos entre 0.1 y 0.5 segundos, la aceleración espectral permanece casi constante. Igualmente para el rango entre 0.5 y 2.S segundos la velocidad permanece constante. 10

1

Sv

i '/

0.1

r

rJ

""8,.

I

i 0.01

I 0.1

0.5

10

Período T (s) Figura 7-29 - Representación de cómo se obtienen APE y VPE de un espectro de respuesta con 1; = 5%

Basado en lo anterior, la APE se define en el ATC-3 proporcional a las ordenadas del espectro para períodos en el rango entre 0.1 y 0.5 s, mientras que la VPE se define proporcional a las ordenadas del espectro para un período aproximadamente de un segundo. La constante de proporcionalidad para un espectro con cinco por ciento de amortiguamiento, ~ = 5%, se fijó en un valor de 2.5 en ambos casos, constante que proviene del estudio estadístico de espectros de respuesta, especialmente los trabajos de Newmark y Hall. Entonces: S APE=_3 2.5

(7-38)

VPE=~

(7-39)

y 2.5

Para un mmimiento específico y real del terreno la ArE y VPE se pueden estimar así: se dibuja en papel logarítmico tripartita el espectro de respuesta para un amortiguamiento 212

del 5% para el movimiento real y se trazan líneas rectas entre las ordenadas correspondientes a los períodos mencionados anteriormente donde estas ordenadas permanecen casi constantes. Estas rectas corresponden a una regresión lineal y están trazadas en una media más una des,iación estándar de los puntos. El valor leído de aceleración y de velocidad en estas líneas rectas se divide por 2.5 para obtener la APE y VPE respectívamente. La APE y VPE así obtenidas se relacionan con la aceleración pico del terreno, Ate, Y la velocidad pico del terreno, Vto, pero no son necesariamente las mismas, ni incluso proporcionales a la aceleración y velocidad pico pues involucran aspectos adicionales, como se describe a continuación.

I

Cuando existen frecuencias muy altas en el movimiento del terreno la APE puede ser bastante menor que la aceleración pico. Esto es consistente con el hecho de que recortar el pico más grande de un acelerograma tiene poco efecto en el espectro de respuesta, excepto para períodos más cortos' que aquellos que corresponden a estructuras normales. Además las cimentaciones rígidas tienden a evitar el paso de los períodos extremadamente cortos del movimiento de campo abierto. Por otra parte la \PE generalmente será mayor que la velocidad pico a distancias considerables de un temblor de gran intensidad. Con la distancia los movímíentos aumentan de duración y se vuelven más periódicos. Estos factores tienden a producir aumentos proporcionalmente mayores en esa parte del espectro de respuesta representado por VPE. Si un temblor es de muy corta o muy larga duración es necesario corregir APE y VPE para que sean más representativos del evento. Hay evidencia que demuestra que movimientos sísmicos que tienen diferente duración pero espectros de respuesta semejantes causan daños diferentes, siendo menor el daño en el de menor duración. En cualquier lugar el diseño puede estar regido ya sea por APE o por VPE. Sin embargo, es conveniente conocer ambos valores. Para efectos de determinar las fuerzas a que se debe someter la estructura para efectos de diseño APE y VPE se reemplazan por A, Y Av respectivamente, donde ambos están expresados como un porcentaje de la aceleración de la gravedad. Para convertir VPE en Av se utiliza la siguiente tabla: Tabla 7-12 - Relación entre VPE y Av

Velocidad Picu Efectiva VPE (rn/s)

( )

0.30ll 0.150 0.075 O.03S

OAO 0.20 0.10 (JOS

De acuerdo con la tabla anterior puede fijarse la siguiente conversión: VPE 0.75

A =-v

Donde Av se expresa como fracción de la gravedad y Vi'E esta expresada en mis. Las ecuaciones que definen el espectro se obtienen de la siguiente manera: para la zona de amplificación de aceleraciones el espectro está definido como 2.5 veces la APE, por lo tanto el espectro de aceleraciones como fracción, de g es: (7 -41)

Para la zona de amplificación de velocidades el espectro está definido como 2.:3 veces la VPE, por lo tanto: S,

= 2.5VPE

Dinrunic«

eSlrllCllCnll

UjJIIClIUl{ " . " " "

o . v " . " .• _._

cohesivos que van desde blandos hasta medianamente rígidos, caracterizados por valores de V s inferiores a 200 mis en los 20 m superiores. Tabla 7-27 - Valores de los parámetros que definen el espectro elástico Clase de perfil de suelo

S

A

1.0 1.0 0.9

B

e

130 2.5 2.5 2.5

k1 1.0 1.0 1.0

k2 2.0 2.0 2.0

TB

Te

TD

(s)

(s) OAO

(s)

0.10 0.15 0.20

3.0 3.0 3.0

0.60 0.80

>

o Periodo T, (s)

Figura 7-40 - Espectro elástico del Eurocódigo 8

Cuando el perfil de suelo incluye estratos superficiales de origen aluvial con espesores que varían entre 5 y 20 m, localizados sobre materiales más rígidos como los del perfil clase A, puede utilizarse la forma del espectro para perfiles clase B, utilizando un valor de S igual a 1 A, a menos que se realice un estudio especial. El valor del coeficiente de corrección para el amortiguamíento, se puede determinar por medio de: T\ =

~ 2+~ 7 2: 0.7

(7-68)

donde ~ es el valor del coeficiente de amortiguamiento viscoso de la estructura expresado en porcentaje. El valor del desplazamiento máximo del terreno, d g , se puede determinar por medio de la siguiente expresión: (7-69)

El Eurocódigo 8 trae un espectro de diseño reducido por efectos de respuesta en el rango inelástico, al que denomina espectro de diseño para análisis lineal. El espectro se reduce por medio de un coeficiente de comportamiento q. B coeficiente de comportamiento q corresponde al cociente entre las fuerzas sísmicas que la estructura experimentaría si su respuesta fuera totalmente elástica, con un coeficiente de amortiguamiento de 5% del crítico, y las fuerzas sísmicas minimas de diseño, cuando éste se realiza utilizando un modelo matemático elástico. Este espectro de diseño está definido de la siguiente manera: Para O~ T ~ TB

280

úll1ica eslructural HpllClIlIU u,

lt

""u."

.'<.- •.•• ~"

valores de los parámetros Na Y N v. El UBC-97 establece que la localización y tipo de las fuentes sismogénicas para ser empleadas debe sustentarse en información geotécnica y geológica aprobada, por ejemplo datos del USGS (United States Geological Survey) o del CDMG (California Division of Mines and Geology). Tabla 7-24 - Tipos de fuentes sismogénicas del UBC-97

Definición de la fuente sismo énica Magnitud de Tasa de actividad SR Momento M w (aun/año) máxima

Tipo de fuente sismogénica

Descripción de la fuente sismogénica

A

Fallas que son capaces de producir eventos de magnitud grande y que tienen una tasa alta de activídad sísmica

M;:: 7.0

SR;:: 5

B

fallas diferentes a las de tipo A o e

M;:: 7.0 M< 7.0 M;:: 6.5

SR< 5 SR> 2 SR< 2

e

Fallas que no son capaces de producir sismos de magnitud grande y que tienen una tasa de actividad relativamente bala

M< 6.5

SR~2

Los dos criterios de magnitud de momento sísmico, M w , Y de tasa de actividad, SR, deben cumplirse simultáneamente para efectos de determinar el tipo de fuente sismogénica. La magnitud de momento sísmico, Mw , está definida en la Sección -1.52. Además se indica en el UBC-97 que las fuentes sismogenicas de subducción deben evaluarse en cada caso con base en criterios apropiados. Tab!1 7-25 - Coeficiente de campo cerceno Na del UBC-97

Distancia más corta a la fuente sísmoaeníca conocida km ;:: ~2km 5km 1.5 1.2 1.3 LO 1.0 1.0

Tipo de fuente sismogénica A B

e

10 km l.U

lO 1.0

Tabla 7-26 - Coeficiente de campo cercano N, del UBC-97

Tipo de fuente sismogénica A

<2km 2.0

B

1.6

e

lO

Distancia más corta a la fuente sísmozéníca conocida km 10 k 111 Jkm 1.2 1.6 1.0 1.2 l.0 1.0

I I

> l.) km

I

lO

:

1.0

l.0

Se permite interpolar entre los valores dados en las Tablas 7-25 y 7-26. La distancia más corta a la fuente sismogénica debe ser la mínima distancia entre el lugar de interés y el área correspondiente a la proyección del plano de la fuente en un plano horizontal localizado al nivel de la superficie del terreno. No hay necesidad de incluir dentro del plano de la fuente partes de él localizadas a profundidades mayores de 10 km. Deben tomarse los valores de los coeficientes de campo cercano mayores, de los calculados para todas las fuentes sismogenícas que puedan afectar el lugar de interés. 7.7.S Forma del espectro del Eurocodiqo-B

Dentro del grupo de Códigos producidos por el Comité Europeo de Normalización (CEN), el Eurocódigo 8 corresponde a los requisitos sísmicos ICEN, 19941. Dentro de 228

I

donde tanto S, como VPE están en mis. Ahora utilizando la relación dada en la ecuación (5-11) obtenemos:

s = roSv = ro2.5VPE a

g

g

convirtiendo la frecuencia ro en período T y aplicando la ecuación (7-40):

s = 21t 2.5· 0.75 Av = 1.2 Av a

T

g

(7-44)

T

Este espectro está definido entonces para un coeficiente de amortiguamiento, ~, de 5% del crítico. El comentario del ATC-3 indica que si se quiere obtener el espectro para S de 2% las ecuaciones dadas, (7-41) Y (7-44), deben multiplicarse por 1.25; Igualmente indica que el espectro de aceleraciones verticales puede obtenerse con una precisión aceptable multiplicando las ordenadas del espectro por un factor de 0.67. El espectro definido por el ATC-3 es además afectado por las siguientes causas: Con base en los estudios de Seed, discutidos en la Sección 7.4.3 se fijaron los tres tipos de suelo presentados alli. Para cada uno de estos tipos de perfil de suelo se propuso un coeficiente de amplificación por efecto del suelo, S, dado a continuación: Tabla 7-13 - Coeficiente de sitio del ATC-3

Tipo de Perfil de suelo S

S,

I

1.0

I

S2 1.2

I

S"

I

L,

Además se incluyó un coeficiente de modificación de respuesta, R, el cual tiene en cuenta tanto el amortiguamiento del sistema estructural como su ductilidad cuando la estructura trabaja más allá del límite elástico y llega cerca a su resistencia última. Por lo tanto para un sistema estructural conformado por un material con poco amortiguamiento y frágil, con poca capacidad de resistir deformaciones más allá del límite elástico, el valor del coeficiente de modificación de respuesta sería muy cercano él. la unidad. En el otro extremo un sistema estructural con amortiguamiento alto y conformado por un material con gran ductilidad sería capaz de resistir deformaciones muy superiores al límite elástico, por lo tanto se justificaría el uso de un coeficiente de modificación de respuesta alto. En el ATC-3 los valores de R van desde 1.25 para sistemas compuestos por muros de carga de mampostería no reforzada hasta un máximo de 8 para pórticos dúctiles especiales de acero y sistemas duales compuestos por pórticos y muros de cortante de concreto reforzado, los cuales deben cumplir requisitos especiales que van más allá de lo que prescriben normalmente las normas que rigen el diseño de cada material estructural en zonas no sísmicas. Además con ei fin de dar un mayor grado de conservatismo en el diseño de edificios altos con períodos de vibración largos, se introdujo un exponente de 2/3 al período de vibración en la ecuación (7-44) al convertirla de espectro de aceleraciones a coeficiente sísmico. Entonces, el coeficiente sísmico tal como lo prescribe el ATC-3 está dado por la siguiente ecuación: (7-45) Cuando se trata de perfiles de suelos tipo S3 y Aa es mayor o igual a 0.30 el factor 2.5 que multiplica a Aa en la ecuación (7-45) se convierte en 2.0. El coeficiente sísmico es 214

I

corresponde entonces a un espectro inelástíco de aceleraciones expresadas como una fracción de la aceleración de la gravedad, g, y definido al nivel de resistencia. El ATC-3 incluye mapas de Aa Y Av con valores de 0.00, 0.05, 0.10, 0.15, 0.20, 0.30 Y0.40, para las diferentes regiones de los Estados Unidos. Estos espectros tienen entonces la forma mostrada en la Figura 7-30. 3.0

2.5

2.0

.es

1.5

1.0

0.5

0.0 0.0

0.5

1.5

1.0

2.0

2.5

3.0

Perfodo T, (s)

Figura 7-30 - Coeficiente sísmico normalizado del A TC-3 ;Jara Aa

=Av =R =1.0

Es evidente que el espectro del ATC-3 es un espectro inelástico de aceleraciones máximas dentro de la teoría de Newmark-Hall. Las ordenadas espectrales del espectro elástico corresponden a un nivel de probabilidad de la media más una desviación estándar (véase la Tabla 7-2) para un coeficiente de amortiguamiento de 5% del crítico. La introducción del efecto inelástico se logra a través del coeficiente de modificación de respuesta R el cual en alguna medida corresponde a la capacidad de disipación de energía de la estructura como un todo, por lo tanto no corresponde a una ductilidad en el sentido estricto que se aplica a sistemas elastoplásticos, como se explicó en la Sección 6.4. Es importante hacer notar que el espectro del ATC-3 se mantiene constante en la zona de períodos cortos, en vez de tender a la aceleración del terreno como ocurre en un espectro de respuesta o aún en los espectros de diseño conformados de acuerdo con la teoría de Newmark-Hall. Existen dos razones para adoptar esta política. La primera tiene que ver con el hecho de que los sistemas estructurales al verse sometidos a los efectos del sismo y responder en el rango inelástico sufren un descenso en su rigidez, con un correspondiente alargamiento de su período de vibración. Por lo tanto es de esperarse que durante un temblor fuerte el período se desplace hacia la derecha en el espectro. Para estructuras rígidas, de períodos cortos, si el diseño se hiciera para aceleraciones cercanas a las del terreno es muy probable que al alargarse el período se vieran sometidas a aceleraciones mayores y esta es una de las razones para mantener el espectro constante en la zona de períodos cortos. La segunda razón tiene que ver con la posibilidad de ejercer la ductilidad a. niveles bajos del período. En la Figura 6-48 es evidente que en la zona de períodos cortos, para sistema'> elastoplásticos la diferencia entre el espectro inelástico de aceleraciones máximas y el espectro elástico corresponde a un factor variable que va desde 1 para períodos muy cortos, hasta ~2¡.¡. -1 en la zona de amplificación de aceleración y solo cuando se llega a la zona de amplificación de velocidad la diferencia con el espectro elástico está regida por ¡.¡.. Esto implicaría tener que definir un coeficiente de modificación de respuesta, R, variable. Desde el punto de vista práctico se prefirió por 215

náinica esérucl ural

apliccu/a

(H (/I:;ellu

"""'/t" v

estas dos razones dejar el espectro constante e igual al valor máximo en la zona de períodos cortos, y en consecuencia, el ATC-3 se prefirió dejar el valor de R constante. .7.3 Forma del espectro de las nuevas normas sísmicas colombianas

Los requisitos de las primeras normas sismo resistentes colombianas, el Código Colombiano de Construcciones Sismo Resistentes (CCCSR-84 - Decreto 1400 de 1984) [MOPT, 1984], provienen de una adaptación del ATC-3 [ATC, 1978] realizada en la Norma AIS 100-81 de la Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica [AIS, 1981, 1983, 19971. Para la elaboración de la Norma AIS 100-81 se contó con el aporte de algunos de los expertos norteamericanos que desarrollaron el ATC-3, permitiendo variarlo para atender de una manera adecuada algunos parámetros de índole local, propios del país. El CCCSR-8-1: fue adoptado por el Gobierno Colombiano en 198-1:, con posterioridad a la ocurrencia del sismo de Popayán de Marzo 31 de 1983 Y como consecuencia de él. En 1993 se inició la discusión para una actualización del CCCSR-8-1:. .-\ raíz de esto la Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica, desarrolló a través de su Comité J 00, una nueva versión de la norma, ahora denominada AIS 100-97 [AIS, 19971. Esta versión corresponde al contenido técnico de las nuevas normas sismo resistentes colombianas, NSR-98 [AIS, 1998], las cuales comprenden los requisitos de la Ley -lOO de 1997 y del Decreto 33 de 1998. En las NSR-98 los movinuentos sísmicos de diseño están definidos en función únicamente del parámetro A, el cual tienen una probabilidad de ser excedido de solo 10% en un lapso de 50 años. En la nueva versión de la norma, se suprimió el parámetro Av, que contenia el A TC-3 Y el CCCSR-84. La razón de esto fue la conciencia de que en el país no se dispone de información sismológica, tectónica, ni de registros acelerográficos de movimíentos fuertes que permitan distinguir entre los dos parámetros. El Código divide el país en tres zonas de amenaza sísmica, las cuales son función del valor de Aa. En la Figura 4-25 se presentó el mapa de valores de Aa, yen la Figura 4-24 las zonas de amenaza sísmica. Estos valores fueron definidos por medio del estudio de la referencia [Carda et al., 1996]. Las zonas de amenaza sísmica tienen las siguientes definiciones: Zona de Amenaza Sismica Baja - Es aquella zona donde A, es menor o igual a 0.10. Zona de Amenaza Sísmica Intermedia - Es aquella zona donde Aa es mayor de 0.10, sin exceder 0.20. Zona de Amenaza Sísmica Alta - Es aquella zona donde Aa es mayor que 0.20. La definíción del espectro elástico de diseño de NSR-98, para un coeficiente de amortiguamiento de 5% del crítico, es la siguiente:

s

= 1.2A aSI a

(7-4G)

T

Para períodos de vibración menores de Te, calculado de acuerdo con la ecuación (7-47), el valor de s. puede limitarse al obtenido de la ecuación (7-48). (7-47)

Te =0.48 S y

(7-48)

Para períodos de vibración mayores que T L , calculados de acuerdo con la ecuación (7-49), el valor de Sa no puede ser menor que el dado por la ecuación (7-50). (7-49) y

216

I

II

s

= Aa 1 a

(7-50)

2

¡Sa=2.SAa 1

S. (g)

Nota: Este espectro está definido para

,1,1 ,

,

,

I

,

un coeficiente de amortiguamiento igual al 5 por ciento del crítico

1 1 1

I I

'

' ! ,\ I

1 I

Para análisis dinámico, .soto modos diferentes al fundamental en cada dirección principal en planta

II

,

I

To =0.3s

Te

TI.

Tc = 0.48 S

TL=2.4S

T(s)

Figura 7-31 - Espectro elástico de diseño, normas sismicas colombianas N5R-98

Cuando se utilice el análisis dinámico de sistemas de varios grados de libertad, para períodos de vibración diferentes del fundamental, en la dirección en estudio, menores que To (T; = 0.3 s), el espectro de diseño puede obtenerse de la ecuación (7-51). (7-51)

I

Por definición S, es la máxima aceleración horízontal, expresada como porcentaje de la gravedad, a que se ve sometido un sistema de un grado de libertad con un período de vibración T cuando se ve expuesto a los movimientos sísmicos de diseño. Este espectro está definido al nivel de resistencia. El coeficiente de Importancia 1 se define en función del uso de la edificación, la cual debe clasificarse dentro de uno de los siguientes grupos de uso: Grupo de Uso IV - Edificaciones Indispensables - Este grupo comprende aquellas ediñcacíones que deben funcionar durante y después del sismo y que son indispensables después de un temblor para atender la emergencia y preservar la salud y la seguridad de las personas y que además su operación no puede ser trasladada rápidamente a otra edificación. Este grupo debe incluir hospitales, clínicas, centros ele salud, centrales telefónicas y de telecomunicación. Grupo de Uso III - Edificaciones de atención a la comunidad - Este grupo comprende aquellas edificaciones que son indispensables después de un temblor para atender la emergencia y preservar la salud y la seguridad de las personas, exceptuando las del Grupo IV. Este grupo debe incluir estaciones de bomberos, estaciones de policía, garajes de vehículos de emergencia, etc. Grupo de Uso 11 - Estructuras de ocupación especial - Incluye cualquier edificación donde pueden reunirse más de 200 personas en un mismo salón, graderías al aire libre donde pueda haber más de 2000 personas a la vez, escuelas, universidades, almacenes con más de 500 m- por piso, edificaciones donde residan o trabajen más de 3000 personas, y todas aquellas edificaciones en donde sus ocupantes estén restringidos en su movimiento o donde pueda presentarse pánico general. Grupo de Uso 1 - Estructuras de ocupación normal - Todas las otras edificaciones no cubiertas por los grupos anteriores. 217

El coeficiente de importancia, J, toma los valores siguientes, según el Grupo de Uso: Tabla 7-14 - Coeficiente de importancia en las NSR-98

I

IV l.3

I I

Gruno ele Uso n III I 1.2 I 1.1

I I

I 1.0

NSR-98 requiere que los efectos locales de respuesta sísmica deben evaluarse con base en los perfiles de suelo que se muestran en la Figura 7-32, permitiéndose el empleo de un procedimiento alterno, derivado de los requisitos del NEHRP-94, como se presentó en la Sección 7.4.3. Además las NSR-98 permiten el empleo de espectros provenientes de estudios de micro zonificación, los cuales existen en la actualidad para las ciudades de Popayán [Ingeominas y Comunidad Económica Europea, 1992] y Bogotá [Ingeominas y Universidad de los Andes, 1997], y están en desarrollo en otras ciudades. . Perfil 51 - 5 = 1.0

SUPERFICIE

Material rocoso con velocidad de la onda de cortante (Vs)

mayorde 750 mis

Perfil 52 - S = 1.2

SUPERFICIE

Perfil 53 - 5 = 1.5

SUPERFICIE

Perfil 54 - 5 = 2.0

SUPERFICIE

218

I

Figura 7-32 - Tipos de perfil de suelo y coeficiente de sitio N5R-98 lA15, 1998J Tabla 7-15 - Coeficiente de sitio en las N5R-98

Tipo de Perfil de suelo SI i.o

S

I I

S2 1.2

I I

S, l.5

I

S.

I

2.0

En la Figura 7-33 se muestran los espectros elásticos de diseño para las principales ciudades del país. 1.0

0.9

/cúcuta" ~ocoa, Neiva, Pasto, Quib ó, Víllavicen io, Aa = 0.30

0.8

I

0.7

ji'- /Armeni¡; Bucaraman ~a, Cali, Man zales, Pereir: , PopayánA =0.25

,

jX0.

0.6

s,

~ \//

0.5

B09

/

~tá D. C., FIOrncia, Ibagu , Medellín, TL nja, Yopal, A'iJ =0.20

Arauca, Morjtería, Riohac a, Sta Marta Sincelejo, A =0.15

\'A~

(g) 004

/

Barra:quitla, ceru gena, SanA drés, San Jos é del Guaviare, Valledupar, Aa

~~K .:" ,~~ ~

0.3

~ t:::-===;2: ..::::::::::..:

0.2

---

0.1 0.0

0.0

0.5

....

1.0

-

1.5

icía, Mitú, pt ~ Carreño, pt ~ Inírida, Aa

=0.10

=0.05

-

2.0

2.5

3.0

Período, T (s) Figura 7-33 - Espectros elásticos de diseño de las principales ciudades colombianas, para S,," La re

"" 1.0

En las N5R-98 el espectro inelástico se obtiene dividiendo las ordenadas espectro elástico por el coeficiente de reducción de resistencia R = n~. 4>a y % corresponde a coeficientes menores que la unidad, que representan el grado de irregularidad en altura y en planta, respectivamente, que tiene la edificación. El coeflciente de modificación de respuesta básico, Ro, está basado en los mismos principios que en el ATC-3. En las NSR-~)8 va desde un valor de 1.0 para estructuras de mampostería no reforzada hasta un máximo de 8.0 para sistemas duales. Las N5R 98 definen además un espectro que se debe emplear en la verificación de edilicaciones indispensables del Grupo de uso IV. Este espectro corresponde a unos movimientos sísmicos que se han denominado del umbral de daño. La aceleración máxima del terreno de estos movimientos sísmicos de denomina Ad , y se muestran en le mapa de la Figura 4-24. 7.7.4 Formas espectrales de la microzanittcacián sísmica de Bogotá

El Ingeominas y la Universidad de los Andes entre 1994 y 1997 realizaron una serie de estudios tendientes a determinar las características de la respuesta sísmica local dentro del casco urbano de la ciudad de Bogotá [Ingeominas y Universidad de Jos Andes, 19971. Los estudios comprendieron investigaciones en tectónica, neotectónica y sísmología. El objetivo principal fue identificar y caracterizar la actividad reciente de las principales fallas geológicas situadas dentro de un radio de 200 km alrededor de la ciudad, establecer los sismos asociados a ellas y determinar mediante técnicas de probabilísticas, los sismos máximos que pueden afectar la ciudad. Se formuló un modelo sismotectónico preliminar para la región, se actualizó el catálogo de eventos

21D

sísmicos históricos e instrumentales de la región, se realizó un análisis probabilístico de la aceleración horizontal máxima para la ciudad, y se definieron acelerogramas de diseño para los tres sistemas de fallas activas más importantes. Los sistemas de fallas que pueden afectar la ciudad se muestran en la Figura 4-7.

-Zona 1 Zona 2

Zona5B Zona5A

N

O 11 Zona 1 - Cerros ~

o

2

4 G 8 Escala

1Dkm

Zona 2 - Piedemonte

11 Zona ~~ - Lacustre A Zona 4 - Lacustre B Zona 5A - Terrazas y Conos Zona 58 - Terrazas y Conos Potencialmente Licuables Figura 7-34 - Mapa de zonificación sísmica de Bogotá

Dentro de estas fallas, las más importante'> son: la falla frontal de la Cordillera Oriental, las fallas del río Magdalena, y numerosas fallas locales. Aunque la zona de Subducción de la costa del Océano Pacífico se encuentra a más de 300 km de la ciudad, la zona de Benioff que se presenta tiene capacidad de producir sismos que pueden afectar la ciudad. El valor esperado de la aceleración máxima en roca obtenido en el estudio coincide con el valor de 0.20g obtenido en el estudio de amenaza sísmica realizado para las nuevas normas sismo resistentes, NSR-98. Se realizaron estudios de geología, hídrogeología, geofísica y geotécnia en la zona urbana de la ciudad, necesarios para determinar la geometría, la caracterización geomecánica y la respuesta dinámica del subsuelo, constituido por un depósito 220

cuaternario de origen lacustre cuyo espesor total puede alcanzar en algunos lugares hasta 500 m de profundidad. La investigación geofísica comprendió sondeos eléctricos verticales, reflexión y refracción sísmica, gravírnetría, microtrepidaciones, y ensayos tipo "down hole". La exploración geotécnica directa comprendió más de 2500 m de sondeos repartidos en 38 perforaciones que llegaron en algunos casos hasta 250 m de profundidad. Se realizaron ensayos de laboratorio sobre las muestras para determinar las propiedades índice, de resistencia y deformabilidad bajo cargas estáticas, y de propiedades dinámicas en ensayos triaxiales cíclicos y del tipo "bender element",

I

La respuesta sísmica del subsuelo se estableció a partir de modelos unidimensionales de propagación de onda de cortante y modelos bidimensionales dinámicos de elementos finitos. Se identificaron cinco zonas de comportamiento homogéneo frente a varias familias de acelerogramas, lo cual permitió determinar un espectro típico para cada zona. En la Figura 7-3-1 se muestra la zonificación obtenida, yen la Figura 7-35 las formas espectrales suavizadas correspondientes a cada zona.

I

0.8 -,-----,---,-----,---,-----,---¡------,-----¡------,----,

0.7 +-t---+--+--\------j;,.L--+---+--t----j---t----j-------j Zona 3 - Lacustre A

Sa

0.6

+-Ie--fto--~-----\---+---+---I\----j---t----j-------j

0.5

+I:IH-J---Hr--+....lo¡:-+....;;-+---+~¡_j--_+_-_+-__I

0.4

-tII--I--Jy.--'¡"'--llr--'¡"'~"*--~-+-I-'~-t-­

0.2

-fI---t---¡----¡---t--+---==""""=---j-----"~-"'!i~~~

(g)

0.1 i - - - + - - i - - - + - - i - - - - t - - - - j - - - - - t - - - - j - - - - t _

0.0 +---+--+---+--+---+--+---+--+---+------j 0.0 0.5 3.5 4.0 5.0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.5

T (s) Figura 7-35 - Espectros de diseño para las zonas sísmicas de Bogotá

7.7.5 Forma del espectro del Código de Ciudad de México de 1993

Las formas del espectro del Código de Ciudad de México corresponden a una manera de atender un problema totalmente local de amplificación de onda causada por los estratos profundos de arcillas blandas que conforman el suelo del valle donde está localizada la ciudad. Este problema fue identificado por los investigadores locales hace varias décadas y fue plasmado en el reglamento desde ese entonces. La última versión existente antes de la ocurrencia del sismo de septiembre de 1985 [UNAM, 1986b] fue modificada a raíz del sismo por medio de unas normas de emergencia [UNAM, 1986a] que hoy en día se encuentran incorporadas al reglamento vigente [DFM, 1993].

221

Para efectos de determinar el espectro la ciudad está dividida en cuatro zonas que se definen de la siguiente manera:

Zona 1 - Colinas - Roca o suelos rígidos depositados fuera del antiguo lago, con posibilidad de existencia de lentes de arenas sueltas o arcilla relativamente blandas. Zona II - Transición -- Arenas y arenas limosas con espesores de menos de 20 m e intercaladas con estratos de arcillas de deposición lacustre de espesores que varían entre unos centímetros y varios metros. Zona III - Lacustre - Estratos de arcillas de deposición lacustre altamente compresibles, localizados entre estratos de arenas limosas y arcillosas, puede haber depósitos de arcilla hasta de 50 m y el espesor de los estratos de arenas puede variar desde unos centímetros hasta varios metros. El espectro elástico se define por medio de las siguientes ecuaciones: Para T menor que T a :

s, =

( 3T)¡

e

1+ T

(7-52)

a

Para T entre 'r, Y 'r, : (7-53)

Para T mayor de T b

:

(7 -5-1)

Los valores apropiados para cada zona de suelo son los siguientes: Tabla 7-16 - Coeficientes pa:-a el espectro de' Código ée Ciudad dE' México

ZONA

e

Ta

Tb

1 II III

0.16 0.32 (J-l

0.2 tU OC;

0.6

15 3.9

r i/2 2/3 1

El Código exige para edificaciones indispensables que el espectro se incremente en un 50%. Otra diferencia importante con respecto a otros códigos es que en el cálculo de la masa de la estructura se exige incluir una parte importante de la carga viva,

222

0.5v

DA5

~

DA

'V

(g)

0.25

I I

'"<, ~J1

fl

<,

I

0.2v 0.1 5

<,

0.1 v

<,

,

J

Sa

r-,

V

0.35 0.3'v

Zonal

-

~

-......

I¿onal

/ .....

~ !

0.05

Zonal

I

i

2.0

2,5

------

-

I

0.0'v

0.0

0.5

1.0

1.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

Período T (s) Figura 7-36 - Espectros elásticos de diseño del Código de Ciudad de México

Para obtener el espectro inelástico de diseño al igual que en los otros códigos, se hace una reducción por ductilidad, utilizando un factor de ductilidad, Q, totalmente equivalente al R del ATC-3 y de AIS 100-97 y NSR-98. En este caso hay dos diferencias importantes: la primera tiene que ver con los valores admisibles para Q los cuales eran muy similares a los del ATC-3 y delAlf 100-97 y NSR-98, pero que a partir del sismo de 1985 fueron reducidos substancialmente. En la actualidad los valores van desde 1.5 para mampostería confinada o reforzada y un máximo de 4.0 para estructuras dúctiles de concreto reforzado o acero. Para el caso de losas de reticular celulado, donde la losa hace el papel de viga el valor de Q permitido es de 3. El otro aspecto importante tiene que ver con el hecho de que dado que el pico del espectro está muy corrido hacia la derecha y el espectro tiende al valor de la aceleración máxima del terreno para períodos cortos, hay necesidad de hacer una corrección en el "alar de Q en esta zona del espectro. Esta corrección se realiza utilizando un valor de Q' para dív idir el espectro elástico y obtener el espectro inelástico de diseño. El valor de Q' se obtiene así: Para períodos T mayores que Ta : (7- 55)

Q'=Q

Para períodos T menores que T a :

Q'=l+(Q-l)~ Ta

(7-56)

7.7.5 Forma del espectro del NEHRP-94

Los requisitos contenidos en las recomendaciones del National Earthquake Hazard Reduction Program - NEHRP, son en general actualizaciones del ATC-3. Su primera versión, aparecida en 1986 IFEMA, 1986] recogía el texto del ATC-3 casi en SI] totalidad y sin mayores variaciones. Luego fueron actualizados en 1991 [rEMA, 1991] y posteriormente en 1994.

La versión de 1994 lFEMA, 1994b] trae variaciones importantes con respecto a las versiones anteriores, especialmente en el espectro y particularmente en la forma como se toman en cuenta los efectos de sitio. En la Sección 7.-!.3 se explicó en detalle la manera como se toman en cuenta, dentro del NEHRP-94, los efectos de sitio y los coeficientes de amplificación que se deben emplear para los diferentes tipos de perfil. En la forma del espectro se mantiene la del ATC-3, pero la manera como se llega a él es algo diferente. El espectro está definido de la siguiente manera: (7-57) Los valores de Ca Y C, se obtienen al realizar los siguientes productos:

I

(7-58)

(7-59) donde los valores de Fa Y F, son los que se presentaron en las Tablas 7-9 y 7-10 respectivamente, aunque la norma no los usa directamente, pues sólo emplea los coeficientes Ca Y C; e incluye Fa Y F, simplemente como una guía. La norma trae tablas para los valores de los parámetros Ca Y C v, así: Tabla 7-17 - Valores del coeficiente Ca Perfil de Suelo

Aa <0.05

Aa = 0.05

A a = 0.10

Aa =0.20

Aa = 0.30

Aa = 0.40

A B C D

Aa Aa Aa Aa Aa

0.04

0.08

0.16

0.24

0.32

E

0.05

0.10

0.20

0.30

0.40

0.06

0.12

0.24

0.33

0.40

008

0.16

0.28

0.36

0.44

0.13

0.25

0.34

u.313

0.36

Av = 0.30

Av = 0.40

--

Tabla 7-18 - Valores dp/ coeficiente C, Perfil de Suelo

Av <0.05

Av = 0.05

Av = 0.10

Av = 0.20

A

Av Av Av Av Av

0.04

0.08

0.16

0.24

0.32

0.05

0.10

0.20

0.30

0.40

0.09

0.17

0.32

0.45

0.56

0.12

0.24

0.40

0.54

0.64

0.18

0.35

0.64

0.84

0.96

B

C D E

A continuación se presentan los espectros que se obtienen para valores de Aa = Av = 0.10,0.20 Y 0.30.

224

0.7 , - - - - - , - - - - - - , - - - - - - - , - - - - - - , - - - - - , - - - - ,

0.6 +----~r_--+----+---+----+---_I

0.5

+_---+-~..____+----r_---+---_+---__I

0.4

+----+....---\"""':----+----+----\-----1

0.3

+----+.__-~..r----+=-_.;;::-+---_+---_I

Sa (g)

0.2 +---..-'''i----~_:----t-='''--=+----\----'=''-l

Suelo Tipo A

J

t-----+------+----j-----+------+------i

0.0

0.0

II

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Período T (s)

Figura 7-37 - Espectro de aceleraciones Aa = Av = 0.10, NEHRP-94

I

I

0.90

.------,----,---~r_---,-------,----,

0.80

+----+-----'\-J-------jf----+----+----i

0.70 +----+~----+~~---cf----+----+----i 0.60 +----....¡.,-~--+-----"""-----+-----+---

s, 0.50 (g) 0.40 +_-.......~d_----"o,d-0.30

~'o;;:_-7'P""""'-'-"""-_'q_---_t="'""""'"'~_I

+_---~c_""o--+_--~.....::_--""";_=---_+_---__I

0.20 r_----+-----""....,¡.::--""_;;;;d-=='-==t-----='T"-_==:J 0.10

L----t----L-=:=t=::::;t;;;;;;;;;:i::==d

0.00 +-------!-----+-------+----+-------!------I 0.0

0.5

1.0

1.5

Período T (s)

Figura 7-38 - Espectro_ de aceleraciones Aa

2.0

2.5

3.0

=Av = 0.20, NEHRP-94

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6

Sa

(g) 0.5 0.4

0.3 0.2 0.1 0.0 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Período T (s)

Figura 7-39 - Espectro de eceterectones Aa = Av = 0.30, NEHRP-94

225

----------------

- - - - - - ._---~----

7.7.7 Forma del espectro del Uniform Building Code (UBC-97)

El Uniform Building Code en su versión de 1997 [ICBO, 1997] adoptó los requisitos del NEHRP-94 con algunas variaciones. La manera de plantear el espectro es similar a la de versiones anteriores definiendo primero el cortante de diseño en la base, V, en función del peso de la edificación W, lo cual conduce al siguiente espectro elástico implícito, expresado como fracción de la aceleración de la gravedad: C" 1 S a =--::;;2.5 Ca 1

(7-60)

T

El valor de S, debe cumplir la siguiente relación: (7 -61)

Además, en las zonas de amenaza sísmica N 4, el valor del espectro debe cumplir. (7-62)

El cortante de diseño en la base V se obtiene por medio de la siguiente expresión:

V=~W

(7-63)

R

A diferencia de las versiones anteriores del UBe, en el UBC-97 las fuerzas sísmicas están prescritas al nivel de resistencia, como en las normas sísmicas colombianas. R es un coeficiente de modificación de respuesta con valores similares a los del ATC-3, que en este caso van desde un valor minimo de 2.8 hasta un máximo de 8.5. El territorio de los Estados Unidos está dividido en las siguientes zonas de amenaza sísmica, a cada una de ellas se le asigna un valor del parámetro Z, como se define a continuación:

1

TaNa 7-19 - Coefic:p.nte de zonificación sísmica del UBC-97

1 es un coeficiente de importancia que depende del tipo de ocupación que tenga la edificación de la siguiente manera: Tabla 7-20 - Coeficiente de importancia del UBC·97

Tipo de Ocupación

1

1. Instalaciones Indispensables

1.25

11. Instalaciones peligrosas IlI. Estructuras de ocupación especial 1\ Estructuras de ocupación normal

l.OO

125 l.UO

Los efectos de amplificación de la onda sísmica se toman en cuenta por medio de un procedimiento totalmente análogo al del NEHRP-94, presentado en la Sección 7.4.3. Además, el UBC-97 introduce para las zonas de amenaza sísmica N 4, unos coeficientes especiales dictados por la presencia de fallas activas en las cercanías de la edificación. Esta es la primera vez que se lleva este tipo de requisitos a una norma de diseño sismo resistente. Los coeficientes correspondientes a estos dos efectos son los siguientes: 22(;

I

Tabla 7-21 - Tipos de perfil de suelo del UBC-97

I ;¡

I

I

Propiedades promedio del suelo en los 30 m suneríores del nerfíl Ensayo de penetración estándar. N Velocidad de la Resistencia al onda de cortante no (o Nchpara cortante. V s drenado. Su estratos de en kl'a en m/s suelos no cohesivos) en golpes/pié

Tipo de perfil de suelo

Nombre del tipo de perfil de suelo. Descripción genérica

SA SR Se So SE Sf

Roca competente

> 1500

-

-

Roca

760 - 1500

-

-

Suelo muy denso. o roca blanda

360 - 760

> 50

> 100

Perfil de suelo duro

180 - 360

] 5 - 50

SO - 100

Perfil de suelo blando

< 180

< 15

< 50

Perfil ele suelo que requiere una evaluación especial en el sitio

Los valores de los promedios ponderados de vs ' N, Nch y Su se calculan de la misma forma que en el NEHRP-9-1:, tal como se indico en la Sección 7.4.3. Tabla 7-22 - Coeficiente Ca del UBC-97 -

Tipo de perfil de suelo

SA SB Se SO SE

1

SF

Coeficiente sismico de zona, Z Z = 0.20

Z = 0.30

Z~OAO

0.12

0.16

0.2-1

0.32 Na

0.15

0.20

0.30

OAO Na

0.09

0.18

0.2-1

0.33

OAU Na

U.12

0.22

0.28

0.36

0.-1-1 Na

0.19

0.30

0.3-1

0.36

ü.3G N d

Z = 0.075

Z = 0.1 5

0.06 0.08

1

Debe realizarse una investigación geotécnica en el sitio y un análisis dinámico de respuesta para las propiedades dinámicas del suelo encontradas

Tabla 7-23 - Coeficiente C, del UBC-97

Tipo de perfil de suelo

SA SB Se So SE SF

Coeficiente sísmico de zona, Z Z = 0.075

Z = 0.15

Z = 0.20

Z = 0.30

Z = ClAO

0.06

0.12

o.ie

0.2-1

0.32

0.08

0.15

0.20

0.30

OAO~v

0.13

0.25

0.32

OA5

0.56 N v

0.18

0.32

OAO

0.5-1

0.6-1 N v

0.26

0.50

0.64

0.84

0.96 N v

x,

Debe realizarse una investigación geotécníca en el sitio y un análisis dinámico de respuesta para las propiedades dinámicas del suelo encontradas

Para efectos de tener en cuenta los efectos de campo cercano en la proximidad de fuentes sismogenicas activas en las zonas de amenaza sísmica N -1:, primero estas se clasifican dentro de tres tipos, A, B o C, y dependiendo de la cercanía a ellas, se fijan

227

úll1ica eslructural

HIJIICUIIU

u,

ltl'K " "

.'<.- •.•• ~"

valores de los parámetros Na Y x.. El UBC-97 establece que la localización y tipo de las fuentes sismogenicas para ser empleadas debe sustentarse en información geotécnica y geológica aprobada, por ejemplo datos del USGS (United States Geological Survey) o del CDMG (California Dívision of Mines and Geology). Tabla 7-24 - Tipos de fuentes sismogénicas del UBC-97

Definición de la fuente sismo énica Magnitud de Tasa de actividad SR Momento Mw (..nm/año)_ máxima

Tipo de fuente sismogénica

Descripción de la fuente sismogénica

A

Fallas que son capaces de producir eventos de magnitud grande y que tienen una tasa alta de actividad sisrnica

M;:: 7.0

SR;:: S

B

Fallas diferentes a las de tipo A o e

M;:: z.o M < z.o M;:: 6.5

SR< S SR> 2 SR< 2

e

Fallas que no son capaces de producir sismos de magnitud grande y que tienen una tasa de actividad relativamente bala

M< 6.5

SR52

Los dos criterios de magnitud de momento sísmico, M w , Y de tasa de actividad, SR, deben cumplirse simultáneamente para efectos de determinar el tipo de fuente sismogénica. La magnitud de momento sísmico, M w , está definida en la Sección -1.52. Además se indica en el UBC-97 que las fuentes sismogénicas de subducción deben evaluarse en cada caso con base en criterios apropiados. Tab!1 7-25 - Coeficiente de campo cerceno Na del UBC-97

Tipo de fuente sismogénica A

B

e

Distancia más corta a la fuente sísmoaéníca conocida km ;:: 52km 5km 1.5 1.2 1.3 LO 1.0 1.0

10 km l.U

1.0 1.0

Tabla 7-26 - Coeficiente de campo cercano N, del UBC-97

Tipo de fuente sismogénica A B

e

Distancia más corta a la fuente sísmozeníca conocida km <2km 2.0 1.6 1.0

10 k 111 1.2

I

1.6

I

1.0

1.2

1.0

1.0

l.0

: I

1.0 1.0

5km

> l.) km

Se permite interpolar entre los valores dados en las Tablas 7-25 y 7-26. La distancia más corta a la fuente sismogénica debe ser la mínima distancia entre el lugar de interés y el área correspondiente a la proyección del plano de la fuente en un plano horizontal localizado al nivel de la superficie del terreno. No hay necesidad de incluir dentro del plano de la fuente partes de él localizadas a profundidades mayores de 10 km. Deben tomarse los valores de los coeficientes de campo cercano mayores, de los calculados para todas las fuentes sismogénicas que puedan afectar el lugar de interés. 7.7.S Forma del espectro del Eurocodiqo-B

Dentro del grupo de Códigos producidos por el Comité Europeo de Normalización (CEN), el Eurocódigo 8 corresponde a los requisitos sísmicos ICEN, 19941. Dentro de

228

este Código se plantea el espectro elástico para un período de retorno de 475 años de la siguiente manera: Para O:S:: T:S:: TB S e (T)

= ag' S . [ 1+ ~ . (TI . ~ o - 1)]

(7-64)

(7-65)

S e (T) = a g . S . TI'1 • Po A

I

r ]kl T

• ~

L

(7-66)

T

(7-67)

donde: Se(T)

T

s TI

1

ordenada del espectro elástico período de vibración de un sistema lineal de un grado de libertad aceleración del terreno de diseño, para el período de retorno de referencia coeficiente de amplificación de la aceleración espectral para un amortiguamiento de 5% del crítico límites de la zona de aceleraciones espectrales constantes valor del período que define el comienzo del rango de desplazamientos constantes del espectro exponentes que afectan la forma del espectro para períodos de vibración mayores que Te Y T n respectivamente. parámetro del suelo coeficiente de corrección del amortiguamiento, con un valor de referencia TI = 1 para un coeficiente de amortiguamiento de 5% del crítico

Los tipos de estratigrafía del suelo se clasífícan de la siguiente manera: Perfil Clase A - Es un perfil que tiene las siguientes propiedades: (a) roca u otra formación geológica caracterizada por una velocidad de la onda de cortante, V S , mayor o igual a 800 mis, incluyendo máximo 5 m de material menos competente en la superficie, o (b) Perfiles rígidos conformados por arenas, gravas o arcillas sobreconsolídadas de un espesor de varias decenas de metros, caracterizados por un incremento gradual de las propiedades mecánicas con la profundidad y por valores de V s al menos de 400 mis a una profundidad de 10 m. Perfil Clase B - Depósitos profundos de arenas medianamente densas, gravas o arcillas de rigidez mediana, con una profundidad de va desde varias decenas de metros hasta muchas centenas de metros, caracterizadas por valores de Vs de al menos 200 mis a una profundidad de la m, y que aumentas a valores de al menos 350 mis a una profundidad de 50 m. Perfil Clase e - Es un perfil que tiene las siguientes propiedades: (a) depósitos de suelos no cohesivos sueltos, con e sin algunos estratos de suelos cohesivos blandos caracterizados por valores de la velocidad de la onda de cortante, VSI menor de 200 mis en los 20 m superiores, o (b) Depósitos que contienen predominantemente suelos

-------------

229 ~

Dinánuc«

eSlnlC1ICnll

UjJIIClIUU " . " " "

o . v " . " .• _._

cohesivos que van desde blandos hasta medianamente rígidos, caracterizados por valores de Vs inferiores a 200 mis en los 20 m superiores. Tabla 7-27 - Valores de los parámetros que definen el espectro elástico Clase de perfil de suelo

S

A B

1.0 1.0 0.9

e

~o 2.5 2.5 2.5

k1

k2

1.0 1.0 1.0

2.0 2.0 2.0

TB

Te

TD

(s)

(s)

(s)

0.10 0.15 0.20

0040

3.0 3.0 3.0

0.60 0.80

I )

o Período T, (s)

Figura 7-40 - Espectro elástico del Eurocódigo 8

Cuando el perfil de suelo incluye estratos superficiales de origen aluvial con espesores que varían entre 5 y 20 m, localizados sobre materiales más rígidos como los del perfil clase A, puede utilizarse la forma del espectro para perfiles clase B, utilizando un valor de S igual a lA, a menos que se realice un estudio especial. El valor del coeficiente de corrección para el amortiguamíento, se puede determinar por medio de: T\

=~

7

2+~

(7-68)

2: 0.7

donde ~ es el valor del coeficiente de amortiguamiento viscoso de la estructura expresado en porcentaje. El valor del desplazamiento máximo del terreno, d g , se puede determinar por medio de la siguiente expresión: (7-69)

El Eurocódigo 8 trae un espectro de diseño reducido por efectos de respuesta en el rango inelástico, al que denomina espectro de diseño para análisis lineal. El espectro se reduce por medio de un coeficiente de comportamiento q. El coeficiente de comportamiento q corresponde al cociente entre las fuerzas sísmicas que la estructura experimentaría si su respuesta fuera totalmente elástica, con un coeficiente de amortiguamiento de 5% del crítico, y las fuerzas sísmicas mínimas de diseño, cuando éste se realiza utilizando un modelo matemático elástico. Este espectro de diseño está definido de la siguiente manera: Para O~ T ~ TB

280

II

s, (T) = a . S·

[1

+

~ -( ~; -1)]

(7 -70)

---..,

Para TB :=:; T:=:;; Te Sd(T)=

'--'~.~' VNIVEASIOA~~!¡CI(lNt!1. n~ INGENIEflIA

a.s.~

fACULTAP PE 1tC~j)lOGiA ~E I.A CON5TNUCIO~

q

(7-71)

CENTRO DE OOCUíf.ENTA.CION

Para Te :=:; T :=:; Tn

~

[T

S (T) = a . S . ----!!... ~]k

q

d

Para TD:=:;;T

d1

~ 0.20·

T

a

[T ]k [T I"

(7-72)

d1

/3 T: Sd(T)=a'S'qº-'

.;

~0.20·a

(7-73)

donde: Sd(T)

a

ordenada del espectro de diseño como fracción de la aceleración de la gravedad coeficiente de aceleración, igual al cociente entre la aceleración del terreno de diseño, a g, y la aceleración de gravedad, g (a = ag/g) coeficiente de comportamiento exponentes que afectan la forma del espectro para períodos de vibración mayores que Te YT D respectivamente. Tabla 7-28 - Valores de

k d 1 y k d2

Clase de suelo

k d1

k d2

A

213

5/3

B

213

5/3

C

213

5/3

7,8 Comentarios sobre la selección de los movimientos sísmicos de diseño Es evidente de la presentación realizada a través del Capítulo que existen numerosas maneras de enfocar la definición de los movimientos sísmicos de diseño, y que dentro del proceso intervienen numerosos aspectos, estudiados, a su vez, por diferentes disciplinas de la ciencia y la ingeniería. Es por lo tanto de vital importancia que el objetivo de definir unos movimientos sísmicos de diseño, en el sentido amplio general de producir una respuesta adecuada de la edificación ante la excitación sísmica, no se pierda de vista. El criterio y experiencia en el tema de todos y cada uno de los profesionales que participen en la selección y justificación de los movimíentos sísmicos de diseño, es un aspecto sin el cual es imposible obtener resultados adecuados.

281

L.J"I!.lIltf( l·( ..__.~l' U.,

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Velocidad (mis)

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0.001 0.01

0.05

0.1

0.5

Período T (s)

Figura 7-41 - Papel tripartita espectral

5

10

50

SECCION-H

SISTEMAS DINAMICOS DE VAlnOS GBllDOS DE LIBERTAD • S

Introducci/m al análisis matricial de estructuras • 9 Análisis matricial avanzado y elementos finitos • 10 Ecuaciones de equilibrio "',¡n,ir,,,i;,-o • 11 Idealización dinámica de la estructura • 12 Formulación del análisis modal • 13 Métodos numéricos en el análisis modal • 14 .A.nálisis modal cronoloqico • 15 Análisis modal espectral

--------------_ _ - - ..

-

Capitulo S

Introducción al análisis matricial de estructuras

I

I

8.1 Definiciones 8.1.1 Introducción

Con el fin de plantear un lenguaje propio para manejar sistemas dinámicos de varios grados de libertad se ha incluido el presente capítulo introductorio al análisis matricial de estructuras. Este tema está cubierto en excelentes textos de análisis estructural a los cuales se remite al lector que quiera profundizar sobre él. Dentro de los textos que pueden consultarse, se recomiendan los siguientes: [Cook, Malkus y Plesha, 1989], [Gerstle, 1974] , [Ghalí y Neville, 1989], [Harrison.1973], [Holzer, 19851, iLaursen, 1978], [Livesley, 1964], [McGuire y Gallagher, 1979], [Norris, Wilbur y Otku, 19761. [Prezemienniecki, 1968], ISack, 1984 y 1989], [Schoidek, 1980], [Schueller, 1990), [Sttaford-Smith, 1991[, i'Taranath, 1988], [Timoshenko y Young, 19651. [Uribe, 1991], [Vanderbilt, 1974], y [Weaver y Gere, 1990J. El análisis matricial de estructuras no es nuevo a la ingeniería estructural, sus primeros desarrollos tuvieron lugar durante el siglo pasado pero realmente su aplicación práctica ocurrió con la aparición del computador digital, a partir de finales de la década de 19 SO. Hace algunos años se consideró novedoso, pero dado la popularidad que adquirieron algunos programas de computador que utilizaban esta metodología, tales como STRESS [Fenves et at., 1964] y ~TRUDL [Logcher, ei at., 1968]; su utilización se convirtió en rutinaria, y puede afirmarse que hoy en día prácticamente no se realiza un análisis estructural sin emplearla, no con estos programas, pero sí con sus descendientes directos. Este aspecto refuerza el énfasis de que el ingeniero debe conocer sus fundamentos del análisis matricial, y especialmente sus limitaciones. Se ha resistido aquí la tentación de denominar el presente capítulo "Análisis por el Método de Elementos Finitos", del cual el análisis matricial es un subconjunto. El desarrollo del método de los elementos finitos se inició en la década de 1960 y cada día ocurren mayores avances en él, no obstante en su aplicación en casos prácticos del día a día en ingeniería estructural, muy pocas veces se puede ejercer el criterio que deben aplicar los ingenieros en todas las labores que adelanten, pues se confunde muchas veces el comportamiento de la estructura propiamente dicha con el comportamiento que describe el modelo matemático de ella, llevando al ingeniero a tomar decisiones erradas que muchas veces se habrían podido evitar utilizando sentido común. En el Capítulo siguiente se presentan los fundamentos del método de los elementos finitos y sus aplicaciones prácticas en el análisis de estructuras de edificaciones. Para facilitar el uso del análisis matricial en casos de ejemplos y ejercicios que exceden lo que es posible realizar manualmente, se recomienda el uso del programa de computador CAL91 [Wilson, 79911 el cual fue desarrollado por el profesor E. L. Wilson de la Universidad de California en Berkelcy, para la enseñanza del análisis matricial y la dinámica estructural. 286

uunic« estructural aplicada al diseño sísmico 1.2 Alqebra lineal Matriz - Es una tabla o arreglo rectangular de cantidades numencas o expresiones

matemáticas que se pueden representar por medio de un solo símbolo. Por lo tanto:

[A] m,n =

a 11

a 12

a 13

a 21

a 22

a 23

a 31

a 32

.. , ...

alo a 20

...

a 33

: amI

a m2

(8-1)

a 30 ;

a m3

...

amo

Esto significa que se ha escogido [A] como el símbolo para representar el arreglo o tabla de ID por n elementos donde aij es el elemento localizado en la fila i y en la columna j. Los subíndices ID y n en [A]m,n indican que la matriz [A] tiene ID filas y n columnas. En general los subíndices de tamaño se omiten y el hecho de que el nombre aparezca entre corchetes rectangulares indica que se trata de una matriz. Matriz cuadrada - Es una matriz donde

ID

= n.

Matriz diagonal - Es una matriz cuadrada donde los términos que estén fuera de la

diagonal son cero: O

hu

O

b 22 O

O

O

...

O

O

...

ti

b 33

.,.

O

:

:

O

O

O

(8-2)

: '"

b mo

Matriz unitaria - Es una matriz diagonal donde todos los términos de la diagonal son

iguales

2.

la unidad. Se describe como [ 1 ] o matriz identidad. 1 O O .oo O O 1 O oo. O

[1] 0,0

= O O 1 :

... O

(8-3)

;

O O O

... 1

Matriz simétrica - Es una matriz donde aij

:..= aji'

Matriz nula - Es una matriz donde todo los términos son cero. Vector - Es una matriz donde ID o n son uno. El hecho de que el nombre del vector aparezca entre corchetes, {A}, indica que es un vector.

(8--0

I

8 • Introducción al análisis matricial de estruct II

Determinante - Es una tabla o arreglo cuadrado de elementos o expresiones. El hecho de que el nombre aparezca entre líneas verticales, IAI, indica que se trata de un determinante. La diferencia fundamental entre un determinante y una matriz es que el determinante al expandirlo tiene un valor numérico, mientras que las matrices no pueden ser reducidas a un valor único. Cuando una matriz [A] es cuadrada se puede hablar de su determinante como IAI.

I

I

I I

aH

a l2

a 13

a 14

a 21

a 22

a 23

a 24

a 31

a 32

a 33

a 34

a 41

a 42

a 43

a 44

(S-5)

El menor de un elemento, aij. de un determinante IAI de tamaño n es el determinante de tamaño n-l obtenido al tachar la fila i y la columna j del determinante original. El cofactor de un elemento, aij, de un determinante IAI de tamaño n es el determinante de tamaño n-I obtenido al tachar la fila i y la columna J del determinante original, multiplicado por el término (_l)i+j .

8.1.3 Operaciones con matrices Suma - Se realiza sumando los términos correspondientes en cada matriz, entonces: (S-G)

implica que: (8-7)

por lo tanto es evidente que para poder realizar una suma entre matrices tienen que ser del mismo orden m por n. Por ejemplo:

1

I

[B]=[mJ

[Cl=[;~]

[B] y [C]

~S-8)

entonces para

Resta - Se realiza restando los términos correspondientes en cada matriz, entonces: [A]

= [B] • [C]

(S-lO)

implica que: (8-11 )

por lo tanto es evidente, también, que para poder realizar una resta entre matrices [A], [B] Y [C] tienen que ser del mismo orden m por n.

Transposición - La transpuesta de [A] es [A]T donde T indica que se transpuso [A]. Entonces para cualquier i y j:

--------------------------

hruunica estructural aplicada al diseño sísmico

(8-12)

a!. =a·· 1,.) .1,1

por ejemplo:

[A]"

=[~]

. . =lmJ

(8-13)

[AK,

Multiplicación de matrices - El producto de [A] por [B] es [C] donde:

x [B] o,p [c]m,p = [A]m,o..

(8-14)

donde cada termino de [C] está dado por: n

e, . = "'(a. k.J

1, k "

I,J

(8-1 S)

b k d.)

k=l

I

El número de columnas n en [A]m,n debe ser igual al número de filas en [B]n,p. Por ejemplo

[C]2,3 = [A]2,3 [B]3,3

[H*JxlHffiJ

=

=[1, 1- 3· 2 + 5 . 3

1· 7 - 3· 5 + 5· 1 1· 2 - 3· 3 + 5 . O] 2·1+J·2+0·3 2·7+1·5+0·1 2·2+1·3+0·0

=[~] 4 1191 7 En el caso anterior se dice que [Al premultiplica a [B] y que [B] postmultipíica a [Al

I

El producto de la matriz [A] por el escalar k es una nueva matriz [B] donde cada término de [B] es el término correspondiente de [A] multiplicado por k

Multiplicación de una matriz por un escalar

Inversion - La división como tal no está definida como una de las operaciones de álgebra lineal. Pero una alternativa, cuando se trata de matrices cuadradas, es multiplicar por el inverso. Si denominamos el inverso de una matriz [A] como [Ar 1 entonces planteando el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:

[A][x] = [c]

(8-16)

Para obtener [x] podemos premultiplicar la ecuación (8-16) por [Ar 1 obteniendo: (8-17)

288

I

R • Introduccion al análisis motricial de estructuras

que se

COll\ ierte

en: (8-18)

Por lo tanto la solución de un sistema de ecuaciones simultáneas se obtiene multiplicando la inversa de la matriz de coeficientes de las incógnitas por la matriz de términos libres. Existen numerosos métodos de inversión de matrices, cuya descripción se sale del alcance de esta breve introducción al álgebra lineal. La persona interesada en el tema puede remitirse a numerosas referencias, dentro de las cuales se cuentan: [Akivis y Goldberq, 1972], [Bathe y Wilson, 1976], [Bathe, 1982, 19961, [Bradley, 1975], [Carnaham, Luther, y Wilkes, 19691, [Crandall, 1956], [Deif, 1982], rFaddeeva, 1959], [Froberg, 1965], [Hammiong, 1962], [Hildebrand, 1965 y 1974], [james, Srnith, y Waldorf, 1985], [jensen y Rowland, 1975], [jennings y McKeown, 1992], [Kreyszig, 19931, [Marcus y Mine, 1972], [Mostrow y Sampson, 1965], [Nicholson, 19861, [Shílov, 19771, [Strang, 1988], y otros. Cuando una determinante caso especial que la matriz

matriz no tiene inverso se dice que es singular. Que el valor del de la matriz sea cero es prueba de que la matriz es singular. Existe un en el cual la transpuesta de la matriz es su inversa, en este caso se dice es ortogonal. Para una matriz ortogonal: (8-19)

Partición de matrices - Consiste en dividir la matriz en submatríces para asi poderlas tratar como elementos independientes en operaciones de álgebra lineal. Para poder realizar operaciones con submatrices debe tenerse cuidado que éstas sean conforrnales, o sea que tengan dimensiones compatibles. Se procede de la siguiente manera:

[A][B]=[C]

(8-20)

Particionando [A] Y [B] así:

[Á][li] = [Al

~ A2][~~]

= ([A¡)[Bd) + ([A 2][B 2 ])

(8- 2l)

= [C l]+[C2 ] =

[c]

Por ejemplo:

'\

1-1] )

2:39

Iinárnica estruct ural aplicada al diseño sismico

Leyes y propiedades: Ley conmutativa - La suma de matrices es conmutativa, pero no la resta: [B] + [e] = [e] + [B]

(8-22)

[D] • [E] "# [E] - [D]

(8-23)

y

y la multiplicación de matrices tampoco lo es: [B] [e]

'* [e] [B]

(8-24)

Ley asociativa - La ley asociativa es valida tanto para suma o resta como para multiplicación:

[A]+([B]+[e]) = ([ A]+[B])+[e]

(8-25)

[A] ([B] [e]) = ((A] (B]) (e]

(8-26)

Ley distributiva - La ley distributiva es valida:

[A] ([B]+ [e]) =[A][B]+ [A][e]

(8-27)

Las siguientes propiedades de las operaciones entre matrices son útiles: (8-28)

(8-29)

(8-30)

(8- 31 )

En las dos últimas expresiones debe notarse que el orden de las matrices cambia en el lado derecho,

8.1.4 Propiedades y operaciones con vectores Para efecto de algunas de las deducciones que se presentan es conveniente presentar algunas propiedades de los vectores y los espacios vectoriales. Un punto en el espacio es un objeto geométrico, que al existir un sistema de coordenadas espacial, se puede describir por medio de sus coordenadas. Un vector es un segmento dirigido de línea el cual tiene un punto inicial y un punto final. Si

240

I

8 • Introducción al análisis matricial de estructuras

disponemos de un sistema de coordenadas cuyos ejes son mutuamente perpendiculares esto se conoce como un sistema de coordenadas cartesiano. Si tenemos un vector {a} obtenido de dirigir un segmento de línea del punto inicial p al punto final q, y las coordenadas, en el espacio de p son (Xp, Yp, zp) y las de q son (Xq, Yq, Zq), entonces las componentes de {a} con respecto al sistema de coordenadas cartesiano son: (8-32)

Por definición la longitud del vector {a} se representa como lal y corresponde a la distancia entre p y q, la cual se obtiene por medio 'del teorema de Pitágoras como: (8-33)

El producto punto de dos vectores se define como: (8- 3-1)

donde 'Y es el ángulo entre los dos vectores medido cuando sus dos puntos iniciales coinciden. De aquí se deriva la propiedad de que dos vectores son perpendiculares u ortogonales si su producto punto es cero. El producto cruz de dos vectores se define como:

(8-3 S)

y el vector {e} es un vector perpendicular al plano que conforman los vectores {a] y [b} Y

sigue la regla de la mano derecha con respecto al orden de la operación, o sea que al colocar la parte inferior de la mano derecha sobre el plano que conforman los dos vectores y girar la mano del primero al segundo, la dirección positiva de {e} es la que tiene el dedo pulgar. Además la magnitud del vector {e} es igual al área del paralelogramo que conforman los vectores {a} y {b} al ser utilizados como lados adyacentes del paralelogramo.

8.2 Sistemas de coordenadas y su transformación Para efectos del análisis matricial, se definen dos sistemas de dirección positiva de las fuerzas y de los desplazamientos de la estructura. Estos sistemas los denominaremos sistema de coordenadas local cuando se trata de fuerzas y deformaciones referidas con respecto a los ejes propios del elemento y sistema de coordenadas global cuando están referidas a ejes de la estructura como un conjunto. En las presentes notas se utilizarán letras minúsculas para referirse a propiedades expresadas en el sistema local y letras t-.IAYUSCUL-\S para referirse él propiedades expresadas en el sistema GLOBAL. Para entender mejor estos conceptos supongamos el pórtico mostrado en la Figura 8-lo Este pórtico esta sometido a unas fuerzas externas. Si realizamos un análisis de la estructura, por cualquier método convencional, encontraremos los desplazamíentos de

241

tinámica estructural aplicada al diseño sísmico

los nudos de la estructura y las fuerzas internas en los elementos. Si hacemos cuerpo libre de los elementos, encontramos que cada uno de ellos tiene en sus extremos unas fuerzas axiales, unas fuerzas cortantes y unos momentos flectores. Estas fuerzas deben estar, y están, en equilibrio con las fuerzas externas que obran sobre el elemento. De igual manera si hacemos cuerpo libre de los nudos de la estructura encontraremos que también están en equilibrio y que las fuerzas que les llegan son iguales, pero se signo opuesto a las de los extremos de los elementos.

~

0~~

~

r

-
~

~

~

~

Figura 8-1 - Fuerzas externas y fuerzas internas en una estructura

Es evidente que para poder comprobar el equilibrio de los nudos debemos transformar las fuerzas que les llegan de los elementos en sus componentes horizontales y verticales (con los momentos no se presenta este problema pues están referidos al mismo eje perpendicular al plano del pórtico tanto en los elementos como en los nudos) para poderlas sumar. En este caso las fuerzas, tal como se expresan en los extremos de los elementos, están en cada uno de ellos en un sistema de coordenadas propio, que es el sistema local. En los nudos hemos utilizado un sistema de coordenadas que es el mismo en todos los nudos y este sistema corresponde al sistema global de coordenadas. fy

! sistema local

~\y

(e)

(a)

(d) Figura 8-2 - Sistemas de coordenadas local y globtil

En la figura 8-2(a) se muestra uno de los elementos de la estructura con su sistema local de coordenadas y sus fuerzas en los extremos expresadas en este sistema. En la Figura 8-2(b) se muestra el mismo elemento con el sistema global de coordenadas y sus fuerzas en los extremos expresadas en el sistema global. En la Figura 8-2(c) se muestra el nudo del centro de la estructura cuando le llegan las fuerzas en el sistema local de

242

8 • introducción al análisis riatriciaí de estructuras

cada elemento y en la Figura 8-2(d) el mismo nudo con las fuerzas llegando en el sistema global. Es evidente que el equilibrio del nudo se puede comprobar de una manera sistemática cuando las fuerzas están expresadas en el sistema global. Por otro lado el diseñador en general requiere que las fuerzas en los elementos estén expresadas en términos de fuerzas axiales, fuerzas cortantes, momentos torsores y momentos flectores, y todas ellas están definidas en el sistema local. Debe quedar claro además que no se trata de sistemas de coordenadas en un sentido estricto, pues realmente lo que nos indican es la dirección positiva de las fuerzas y deformaciones dentro de los elementos o en toda la estructura. Aunque en la discusión anterior se utilizó un pórtico plano como ejemplo, lo presentado es válido también para estructuras tridimensionales. La presentación inicial se realizará para pórticos planos y posteriormente se in u oducírán los otros tipos de estructuras no planares. En resumen es evidente que es necesario disponer de una manera de transformar de un sistema de coordenadas al otro de una forma sistemática. En la Figura 8-3 se muestra un elemento de pórtico plano con los dos sistemas de coordenadas y su relación entre ellos. y

~

z ~ sistema local

~

y

sistema global

z~~

- ; t : -X'

---- ----

::)

----

X'

Figura 8-3 - Elemento de pórtico plano en coordensdas locales

Los dos sistemas de coordenadas, local y global, son sistemas de mano derecha. El sistema local siempre se define con el eje x a lo largo del eje longitudinal del elemento, En el elemento se han denominado sus extremos como a y b (véase la Figura 8-3). El sentido positivo del eje x local es el sentido que se tiene al ir del nudo a al nudo D, por esta razón se ha marcado una flecha en el centro del elemento que apunta en esa dirección. Posteriormente se verá que esta es la única definición que se necesita para describir el sistema local en estructuras planares. El eje y local siempre tiene su sentido positivo hacia la izquierda al ir en la dirección positiva de x. El eje z local se obtiene con la regla de la mano derecha y es perpendicular al plano que conforman x y y. El eje z es positivo saliendo del plano del papel hacia el observador. En el sistema global el ~je X puede tener cualquier orientación en el plano del papel, pero lo usual es que sea horizontal. Los ejes Y y Z globales se definen a partir del eje X de la misma manera que sus homólogos locales. El ángulo ex (véase la Figura 8-3) se define como el ángulo que se describe al ir del eje x local al eje X global, y es positivo en esa dirección. sistem~

sistema local

global

;fysen ex fycosex

fxcos ex Figura 8-4 - Transformación de local a global

Tenemos las fuerzas f r, Y r, en el sistema local mostrado en la Figura 8--1:. Utilizando el ángulo ex podernos encontrar las componentes de las tres fuerzas sobre los ejes del sistema global, las cuales también se muestran en la figura. Por lo tanto: Xl

248

-----------------

Jillámica estructural aplicada al diseño sísmico

+ f y sen a -fx sena + f y cosa f x cosa

(8-36)

si definimos:

(8-37)

y buscamos una matriz [A] tal que: ".

{F}=[A]{f}

(8-38)

de las expresiones en (8-36) podemos ver que:

~

l}

(8-39)

por lo tanto cos a

[1.,]= ~na [

sena

(8-40)

cosa

o

Además podemos probar que la matriz [A] tiene la propiedad de que es ortogonal, o sea que su transpuesta es su inversa: (8-41 )

Esto quiere decir que si premultiplicamos ambos lados de la ecuación (8-38) por [A]T obtenemos: (8-42) entonces: (8-43)

o

sea que por medio de la matriz [A] podemos transformar las fuerzas que se encuentran en el sistema local a fuerzas en el sistema global, ecuación (8-38), e igualmente por medio de la matriz [A]T podemos transformar las fuerzas del sistema global al sistema local, ecuación (8-43).

244

I

('j •

1IIfrO(lIlCC/O/l (ti U1UlIIS/S l/1ll/.r1CHI/

(1('

escruccuru»

Ejemplo 8-1 TeV1ef1tOS eL eLenteVl,to ete IUt rJórtico pLl/l.vw f1tOstmclo en LI/l. FiglUCíL 8-5, con LI/l.SjI1.erZI/l.S etl/l.etl/l.S ef't SItS extremos a 0 b. !:1 qlterenws trDUtsjonnar Las jlterlas en s/tS extremos eteL sistelnl/l. LocaL f1tOStTI/l.etO u Itl1, sistcvHa gLobl/l.L q/1.C nene SIl. eje X lLOrizmttaL

3m y

N~t~GIObal

II

II

Figura 8-5 - Ejemplo 8-1 - Elemento con sus fuerzas en coordenadas locales

Los vectores (;ir JI1,CrLI/l.S íocates eIt Los extre mos a !:1 b son:

EL Úftlj¡ÜO a se oüuene deL arcoscno de 3/5 0 es 36.870. EL áltg/üo es negativo rJl1.es Ylor dgivLiciólt a vu ete LOCl/l.L u gLobl/l.L. Por Lo ta/tto: cos a= 4/5 = 0.8 L! "en a = -3/5 = -{).6 0 La ml/l.triz [A.] es: 0.8 -0.6 0] 0.8

°

[A.] = 0.6 [

° °

1

Ll/l.sJIH:'rlaS eVL coorvLe/tl/l.vLl/l.s gLobaLes cteL extremo a eteL cLemeltto son:

I

{Fa} = [A. ]{fa} =

[

°

0.8 -0.6 0] { SO ] {-20] 0.6 0.8 100 = 110

°

O

1

o LasJ/1.erll/l.s en coorvLeltl/l.vLas gLo~JaLes

500

500

vLeL extremo b vLcL eLCI1'U'ltto

SOl1.:

J 20kN

Figura 8-6 - Ejemplo 8-1 - Fuerzas del elemento en coordenadas globales

111

245

Dináinicu estrud ural aptlcadu al diseño sísmico

B.3 Matriz de rigidez de un elemento de pórtico plano Primero determinaremos la matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales y posteriormente la transformaremos del sistema de coordenadas local a global. Para establecer las relaciones entre las fuerzas en los extremos el el elemento y los desplazamientos también en sus extremos utilizaremos la ecuación de pendientedeformación, la cual indica que para un elemento en estado de deformación, los momentos en los extremos que mantienen esta deformación están dados por las siguientes ecuaciones:

. (8-4-1)

II i

I Donde: M, momento en el extremo a del elemento. Positivo en el sentido contra horario. M, momento en el extremo b del elemento. Positivo en el sentido contra horario. E módulo de elasticidad del material del elemento. 1 momento de inercia de la sección del elemento. L luz del elemento. ea giro del extremo a del elemento. Positivo en el sentido contra horario. eb giro del extremo b del elemento. Positivo en el sentido contra horario.