Dinamica Estructural Apuntes de Clase

Dinámica de Estructuras Apuntes de Clase

Rubén Boroschek REVISION 0.2 Septiembre 2015

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

1

En el desarrollo de gráficas de estos apuntes contribuyeron inicialmente: Daniela Burgos M. Luís Miranda Cesar Urra Los Alumnos del CI42G y CI72A Universidad de Chile A estas alturas ya está todo bastante modificado. Pero su apoyo se agradece siempre.

Estas son las notas del Curso de Dinámica de Estructuras que dicto en el Departamento de Ingeniería Civil de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad de Chile. Es un curso de pregrado obligatorio. Es dictado en aproximadamente 45 horas presenciales. El curso se complementa con tareas semanales de tipo computacional en el cual el alumno prácticamente debe programar y verificar toda la teoría enseñada. Adicionalmente se desarrollan dos proyectos experimentales en el cual el alumno debe primero crear un sistema de un grado de libertad y ensayalo bajo condiciones iniciales, forzadas y arbitrarias bajo dos condiciones de disipación de energía. El segundo laboratorio corresponde a un sistema de varios grados de libertad al cual se le deben identificar sus propiedades. En todo curso los alumnos además van a terreno a medir estructuras reales.

NOTA:

El texto está en condición preliminar. Si bien he tratado de eliminar los errores tipográficos, siempre se descubren nuevos. Por tanto úsese con cuidado. El texto en amarillo no lo he revisado El texto en azul no requiere ser leído para la comprensión del problema

Si desea indicar un error u omisión por favor mandar correo a [email protected]


2

INDICE 1.

REFERENCIAS..................................................................................................................................................7

2.

FORMULARIO BASE.......................................................................................................................................8

3.

INTRODUCCIÓN ..............................................................................................................................................9

4.

3.1.

¿POR QUÉ DINÁMICA ESTRUCTURAL? ..........................................................................................................9

3.2.

DEMANDAS - ACCIONES................................................................................................................................9

3.2.1.

Condiciones Iniciales ..........................................................................................................................9

3.2.2.

Demanda Periódicas .........................................................................................................................10

3.2.3.

Pulsos e Impacto ...............................................................................................................................10

3.2.4.

Demanda Arbitraria ..........................................................................................................................11

3.3.

¿CÓMO MODELAR ESTRUCTURAS? ..............................................................................................................11

3.4.

EQUILIBRIO .................................................................................................................................................11

SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE LIBERTAD ..........................................................................12 4.1.

SISTEMAS DE UN GDL SIN AMORTIGUAMIENTO ...........................................................................12

4.2.

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO .............................................................................13

4.3.

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE OSCILACIÓN LIBRE ...........................................................................14

4.4.

PESO EN LA ECUACION DE MOVIMIENTO .......................................................................................17

4.5.

ENERGÍA ..................................................................................................................................................19

4.6.

SISTEMAS DE UN GDL CON AMORTIGUAMIENTO .........................................................................20

4.7.

SOLUCIÓN HOMOGÉNEA DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO...................................................21

4.8.

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE OSCILACIÓN LIBRE ...........................................................................25

4.9.

EL AMORTIGUAMIENTO ......................................................................................................................26

4.10.

DECAIMIENTO LOGARITMICO ...........................................................................................................27

4.11.

ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO ...............................................................................29

4.12.

EXITACIÓN ARMONICA C=0................................................................................................................30

4.13.

EXITACIÓN ARMONICA C ARBITRARIO ...........................................................................................31

4.13.1.

Factor de Amplificación Máximo ......................................................................................................33

4.13.2.

Análisis de la Amplificación Dinámica .............................................................................................34

4.13.3.

Ancho de Banda del Factor de Amplificación...................................................................................34

4.14.

5.

EXITACION ARMONICA REGIMEN PERMANENTE .........................................................................36

4.14.1.

Casos Básicos sensores .....................................................................................................................36

4.14.2.

Sensor de Aceleración: Acelerómetro ...............................................................................................39

4.14.3.

Sensor de Desplazamiento Inercial ...................................................................................................41

4.15.

AISLAMIENTO DE VIBRACIONES.......................................................................................................42

4.16.

RESPUESTA EN RESONANCIA.............................................................................................................44

4.17.

ENERGÍA DISIPADA...............................................................................................................................48

SOLUCION NUMERICA DE LA ECUACION DE 1 GDL .........................................................................50 DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

3

5.1.

METODO DE NIGAM Y JENNINGS .................................................................................................................50

5.2.

MÉTODO DE WILSON ..................................................................................................................................52

5.3.

MÉTODO DE NEWMARK ..............................................................................................................................53

6.

ENSAYOS EXPERIMENTALES ...................................................................................................................56 6.1.

CONDICIONES INICIALES O PULL BACK: .....................................................................................................56

6.2.

VIBRACIÓN FORZADA: ................................................................................................................................59

6.3.

EXCITACIÓN AMBIENTAL............................................................................................................................61

7.

ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE LA FRECUENICA..................................................................................62 7.1.

8.

SERIE DE FOURIER ......................................................................................................................................62

RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN OSCILADOR DE 1GDL...........................................................63 8.1.

CASO SERIE DE FOURIER BASE ....................................................................................................................63

8.2.

RELACIÓN DE COEFICIENTES DE SERIE DE FOURIER ARMÓNICOS Y EXPONENCIAL COMPLEJO. ...................63

8.3.

REPRESENTACIÓN COMPLEJA DE LA SERIE DE FOUIER................................................................................64

8.4.

PAR DE TRANSFORMADA DE FOURIER ........................................................................................................64

8.5.

RESPUESTA UTILIZANDO LA TRANSFORMADA DE FOURIER.........................................................................64

9.

PULSO ...............................................................................................................................................................66 9.1.

PULSO RECTANGULAR ................................................................................................................................67

9.1.1.

Fase I: Respuesta Máxima Bajo Aplicación de la Carga..................................................................68

9.1.2.

Fase II: Respuesta Máxima Bajo Aplicación Nula............................................................................68

9.1.3.

Espectro de Respuesta al Impulso .....................................................................................................69

9.2.

PULSO SENOSOIDAL ....................................................................................................................................71

9.3.

PULSO ASCENDENTE ...................................................................................................................................72

9.4.

COMPARACIÓN PULSOS ..............................................................................................................................73

10.

IMPACTO.....................................................................................................................................................74

11.

CARGA ARBITRARIA EN EL TIEMPO.................................................................................................75

12.

ESPECTRO Y PSEUDO ESPECTROS DE RESPUESTA ......................................................................77

12.1.

CONCEPTOS BÁSICOS DE SISMICIDAD Y ONDAS. ..........................................................................................77

12.2.

RESPUESTA SÍSMICA DE 1 GDL ..................................................................................................................84

12.3.

ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS..........................................................................85

12.4.

ESPECTRO DE VELOCIDADES RELATIVAS ......................................................................................87

12.5.

ESPECTRO DE ACELERACIONES ABSOLUTAS ................................................................................89

12.6.

ESPECTRO DE DISEÑO EN CHILE .................................................................................................................90

12.7.

PSEUDO ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION .........................97

12.8.

ESPECTRO TRIPARTITA ............................................................................................................................99

12.9.

OTRAS VARIABLES DE RESPUESTA SISMICA ...............................................................................101

12.9.1.

Integral de Housner.........................................................................................................................101

12.9.2.

Relación entre Energía y Espectro de Fourier................................................................................103

12.9.3.

Intensidad de Arias..........................................................................................................................105 DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

4

13.

MÉTODO DE RAYLEIGH.......................................................................................................................107

13.1.

BALANCE DE ENERGÍA ..............................................................................................................................107

13.2.

COORDENADAS GENERALIZADAS .............................................................................................................110

14.

SISTEMA DE N GDL ...............................................................................................................................111 14.1.1.

Fuerza Elástica................................................................................................................................111

14.1.2.

Fuerza Inercial ................................................................................................................................112

14.1.3.

Disipación .......................................................................................................................................112

14.2.

RELACIONES BÁSICAS: RIGIDEZ, FLEXIBILIDAD Y TRABAJO ....................................................................112

14.2.1.

Condensación Estática ....................................................................................................................112

14.2.2.

Trabajo y Energía de Deformación.................................................................................................113

14.2.3.

Ley de Betti......................................................................................................................................113

14.2.4.

Ecuación de Equilibrio Dinámico ...................................................................................................114

14.3.

FORMULACION DE VALORES PROPIOS CON FLEXIBILIDAD ........................................................................116

14.4.

PROPIEDADES DE ORTOGONALIDAD DE MODOS .........................................................................................116

14.4.1.

Condiciones Adicionales de Ortogonalidad....................................................................................117

14.5.

NORMALIZACIÓN MODAL .........................................................................................................................118

14.6.

COORDENADAS MODALES .........................................................................................................................119

14.7.

¿CÓMO RESOLVEMOS? ..............................................................................................................................120

14.8.

¿COMO CALCULAMOS LA MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO?......................................................................123

14.8.1.

Amortiguamiento Proporcional de Rayleigh...................................................................................124

14.8.2.

Amortiguamiento Proporcional de Caughy.....................................................................................125

14.8.3.

Amortiguamiento Proporcional de Penzien – Wilson .....................................................................126

15.

RESPUESTA SISMICA PARA UN SISTEMA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD..................128

15.1.

CASO SÍSMICO SOLUCIÓN EN EL TIEMPO ..................................................................................................128

15.1.1.

Cortante Basal.................................................................................................................................129

15.1.2.

Aceleración de Piso.........................................................................................................................130

15.1.3.

Desplazamiento de Entrepiso ..........................................................................................................131

15.2.

RESPUESTA ESPECTRAL ............................................................................................................................131

15.2.1.

Combinación Modal ........................................................................................................................132

16.

VECTOR DE INFLUENCIA ....................................................................................................................136

17.

TORSIÓN....................................................................................................................................................137

18.

SISTEMAS CONTINUOS.........................................................................................................................140 18.1.1.

Viga simplemente apoyada..............................................................................................................142

18.1.2.

Viga Cantiléver................................................................................................................................143

18.1.3.

Ortogonalidad .................................................................................................................................144

18.1.4.

Deformación por Corte (distorsión angular) ..................................................................................146

19.

ANEXO A....................................................................................................................................................148

20.

FRICCION..................................................................................................................................................149 DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

5

20.1.

MOVIMIENTO SIN RESORTE .......................................................................................................................151

20.2.

ENERGÍA DISIPADA EN REGIMEN PERMANENTE .........................................................................................151

20.3.

INESTABILIDAD .........................................................................................................................................151

21.

MÉTODO DE ACELERACIÓN PROMEDIO .......................................................................................151


6

1. REFERENCIAS Este libro ha sido escrito a lo largo de mis años como profesor de Dinámica de Estructuras en la Universidad de Chile. Está basado en las enseñanzas de mis profesor, Ray Clough (UC Berkeley), Joseph Penzien (UC Berkeley), William G. Godden (UC Berkeley), Jorge Gutiérrez (U de Costa Rica) y Rosendo Pujol (U de Costa Rica) y por su puesto en lo excelentes textos de estos profesores y los de Anil Chopra (UC Berkeley) y John Biggs (MIT).

Clough, R. y Penzien, J. “Dynamics of Structures”. McGraw – Hill. Segunda Edición, 1993.

Chopra, A. “Dynamics of Structures”. Prentice Hall. Tercera Edición, 2006.


7

2. FORMULARIO BASE 1 GDL Equilibrio

Dinámico

mv t   cv  t   kv  t   p  t 

Amort Crítico

N GDL

k m

Frecuencia Angular:  

 M v(t )  C v(t )   K v(t )  P(t ) Rayleigh : C   aM   bK 

ccrítico  2 km  2m

Razón Amort Crítico:   c 

c 2m

cc

Frec. Angular amortiguada;

n

v(t )   yi (t ) i  i 1

 K   i2  M  i   0   2  ,  

D   1   2

Respuesta a Condición Inicial:  v  v    v(t )  e  t  0 0  sin D t   v0 cos D t      D  Respuesta permanente Forzada:  P0 sin(t )  mv  t   cv  t   kv  t    P0 cos(t )  i ( t )  P0e

Obtenemos los parámetros modales

M i  i   M i  T

T

i   M v(0) Mi

 f E (t )   i2  M i  yi (t )   M   i2 i  yi (t )

v(t )   yi (t ) i  v(t )   yi (t ) i  v(t )   yi (t ) i  Respuesta Sísmica: Factor de Participación Li

m  z  t   c z  t   k  z  t   p  t 

yi  t  

N

m   m  x    x   dx   M n  xn    I 0 n in ( x ) ' 0

L

N

n 1

0

L

L

N

k   k  x    x   dx   EI ( x)   dx   kn   xn  

2

0

2

n 1

0

L

N

0

n 1

 i2 Li  Vi (t )   M ii 

FE (t )    M i  

Cortante Basal

Q(t )  

Aceleración de Piso:

2

2

T

Fuerza Elástica

n 1

c   c  x    x   dx   cn   xn   2

2

 i   M r

Li V (  i , i , vg ) M i i

Donde en general



i = 1…n

Respuesta

Coordenadas Generalizadas

2

Mi

 yi (t )  2i  i y i (t )   yi (t )  Pi (t ) / M i

1 P ( ) exp(   (t   )) sen( D (t   )) d m D 0

n i

i   M v(0) T

yi (0) 

2 i

t

2

i = 1…n

T

yi (0) 

Factor de Amplificación Dinámica 1 D 1 2 2 2     2      1       2               Decremento Logarítmico:   ln  vi vi  N  2 N Integral de Duhamel:

N

 i2 M i

Encontramos las condiciones iniciales para cada forma modal.

Permanente

L

=1…n K i

i

Pi (t )  i   P (t ) 

sin(t   ) P  v(t )  e t  A sin Dt   B cos Dt    0 D cos(t   )    k  i (t  ) Transiente e    

v (t ) 

* Y 2  k m*

vi  i 

L2i iVi (t ) Mi

v (t )      Y  t  T

2 i

i

i

Li S d (  i , Ti ) Mi

p  (t )   p  x, t   x  dx   p  xn    xn 


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3. INTRODUCCIÓN 3.1. ¿POR QUÉ DINÁMICA ESTRUCTURAL? Este es un libro sobre dinámica estructural y no de análisis estructural. En general uno debe tratar de evitar clasificar los problemas como de naturaleza dinámica por el solo hecho de que exista una variación de la amplitud o posición de las acciones. Lo principal en la asignación del calificativo dinámico radica en que las acciones aplicadas sobre una estructura y las acciones internas producen una resultante que no es nulo o despreciable.

 F (t )  mv(t )  0 En la práctica todas las acciones sobre una estructura sufren variaciones espaciales o temporales pero no es necesario en estos casos considerar el problema dinámico si la resultante (o como nos referiremos en adelante las fuerzas inerciales) son despreciables. 3.2. DEMANDAS - ACCIONES La respuesta de estructuras se puede evaluar con mayor facilidad si clasificamos las acciones por sus características de amplitud, duración, periodicidad. Las cargas pueden ser estáticas o dinámicas; las cargas dinámicas dependen del tiempo, de la posición y de su magnitud. La respuesta de una estructura, a su vez, puede ser estática o dinámica, si es dinámica actuarán en la estructura fuerzas de inercia, pudiendo estar presentes además fuerzas disipativas. 3.2.1.Condiciones Iniciales La estructura no está sometida a acciones externas, pero presenta condiciones iniciales de desplazamiento ( v0 ) o velocidad ( v0 ). Esta respuesta inicial puede ser ocasionada por un acto externo que ya no es considerado o por una nueva fijación de tiempo de referencia de análisis de la estructura. En todo caso se considera que la estructura no está sometida a acciones externas durante su respuesta. En la figura se muestra ejemplo de situaciones en las cuales se ha generado la condición inicial de desplazamiento mediante el tiro de la estructura y la liberación rápida y otro caso en el cual se genera una velocidad inicial a partir de un impacto.

Figura 3.1 Condiciones Iniciales: Desplazamiento y velocidad (Impacto).


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Figura 3.2 Ensayo de Impacto (salto grupal) sobre pasarela 3.2.2.Demanda Periódicas Se definen como demanda periódicas a aquellas que presentan una repetición en el tiempo con un período característico, Tp ,

f  t   f  t  Tp  . Estas pueden ser simples, en la cual aparece una sola

frecuencia de excitación o complejas donde es suman un conjunto de señales simples.

Figura 3.3 Excitación periódica. Maquinarias y otros.

Figura 3.4 Excitación periódica. 3.2.3.Pulsos e Impacto Los pulsos son acciones de corta duración. Los impactos son pulsos de muy corta duración. Como veremos los impactos generan velocidades importantes en la estructura pero no desplazamientos.

Figura 3.5. Impacto: Acción de corta duración. DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

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3.2.4.Demanda Arbitraria La acción arbitraria o general no obedece a ningún patrón regular. Un ejemplo son los terremotos.

Figura 3.6 Respuesta a acción arbitraria. 3.3. ¿CÓMO MODELAR ESTRUCTURAS? 1. Por medio de discretización utilizando elementos uniaxiales. 2. Mediante ecuaciones diferenciales como la siguiente:

 2 v  x, t    2 v  x, t  2   P  x, t   EI  x  m x 2  x 2  t 2 3. Por medio de elementos finitos. 4. Usando coordenadas generalizadas, donde se establece una función de desplazamiento del tipo

v  x, t      x   t  3.4. EQUILIBRIO Para determina el estado de equilibrio de una estructura se pueden utilizar los siguientes métodos: 1. Métodos de Energía 2. Suma de Fuerzas:

 Fxt  ,  Fy t  ,  Fz t   Mx t  ,  Myt  ,  Mz t  .

3. Trabajo Virtual.


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4. SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE LIBERTAD 4.1. SISTEMAS DE UN GDL SIN AMORTIGUAMIENTO Algunos ejemplos de sistemas de un GDL son los siguientes:

(a)

(b)

(c)

Figura 4.1 Ejemplos de sistema de 1GDL. Para el caso de la figura (a) podemos plantear el equilibrio utilizando un diagrama de cuerpo libre

Por la 2ª ley de Newton se tiene:

 FE (t )  P (t )  mv(t ) Dónde: FE (t )

 kv(t )

es la fuerza lineal elástica

Isaac Newton 25 diciembre 1642- 20 Marzo 1726/7 Inglaterra. Fue un físico, matemático, astrónomo, alquimista y teólogo que realizo grandes aportes. Los más destacados que nos tocan en este curso de dinámica de estructura es su libro de Principios Matemáticos de Filosofía Natural de 1687 donde establece los conceptos básicos de la mecánica clásica. Y por supuesto el desarrollo del cálculo infinitesimal.

En ocasiones es conveniente visualizar la resultante de las acciones como una fuerza que va en (t ) . Esto se ha dirección opuesta al movimiento. A esta fuerza se le denomina de inercia, FI (t )  mv denominado Principio de d’Alembert

Jean-Baptiste le Rond d'Alembert, Francés, 16 Noviembre 1717 - 29 de Octubre 1793. Matemático, mecánico, físico, filosofo, músico teórico. Su nombre proviene del santo patrón de la iglesia donde fue dejado por su madre días después de nacer dado que era un hijo ilegitimo. Gracias al apoyo financiero de su padre que lo encontró posteriormente, pudo estudiar aunque nunca fue reconocido. D’Alambert aportó mucho conceptos nuevos, entre los cuales el principio que utilizamos acá es fundamental en la aplicación y compresión del problema dinámico. Otros aportes es el criterio de convergencia de series, la aplicación de principio de trabajos virtuales a problemas dinámicos. (Modificado de Wikipedia, 2015).

De esta manera la ecuación de equilibrio se presenta

FI (t )  FE (t )  P (t )  mv(t )  kv(t )  P(t ) DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

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La ecuación describe el movimiento de un sistema de 1GDL sin amortiguamiento en forma general. Esta ecuación se puede obtener, también, aplicando el Principio de Trabajos Virtuales, como se muestra a continuación:

Para un sistema en equilibrio se debe cumplir que el trabajo virtual es nulo

W  0 Para el sistema mostrado evaluamos el trabajo multiplicando las fuerzas por un desplazamiento virtual  v . (Notar que no depende del tiempo)

 W  P (t ) v  FE (t ) v  FI (t ) v  0 De donde después de despejar el desplazamiento virtual obtenemos la ecuación de equilibrio.

 FI (t )  FE (t )  P (t ) 4.2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO En casos lineales y elásticos la fuerza elástica es proporcional al desplazamiento.

FE (t )  kv (t ) Reemplazando esta representación obtenemos la ecuación de equilibrio dinámico de un sistema de un grado de liberta sin amortiguamiento.

mv(t )  kv(t )  P(t ) La solución a esta ecuación diferencial tiene dos partes

v (t )  v h (t )  v p (t ) , donde v h (t )

es la solución homogénea y

v p (t )

es la solución particular.

Solución homogénea Para obtener la solución homogénea hacemos nula la excitación externa

mv(t )  kv (t )  0 La ecuación tiene dos soluciones. Utilizando funciones trigonométricas sencillas

vh (t )  A sin(Ct )  B cos( Dt ) Dónde:

v1 (t )  A sin(Ct ) v2 (t )  B cos( Dt )

Remplazando

v1 (t )

 mAC 2 sin(Ct )  kA sin(Ct )  0  A   mC 2  k   0  C 

k m


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Del mismo modo con

v 2 (t ) :

 mBD 2 cos( Dt )  kB cos( Dt )  0





 B  mD 2  k  0  D 

Entonces, C

k m

 D   ,donde  

k m

[rad/seg] se le denomina frecuencia angular natural del

sistema.

Finalmente la solución homogénea del sistema está dada por:

v h (t )  A sin(t )  B cos(t ) 4.3. ANÁLISIS DE SISTEMAS DE OSCILACIÓN LIBRE Para un sistema con

P(t )  0

se tiene que la solución particular es nula, v p (t )

tiene como condiciones iniciales v (0)

 v0

y

 0.

Si este sistema

v(0)  v 0 , se obtiene:

v (0)  A sin( 0)  B cos( 0)  v 0  B  v 0

v(t )  A cos(t )  B sin(t )

v(0)  A cos(0)  B sin(0)  v 0  A 

v 0 

Luego, la solución está dada por:

v (t ) 

v0 sin( t )  v0 cos( t ) 

Al ver un sistema de este tipo vibrar se observa la suma de las proyecciones de los vectores sobre el eje real.

Figura 4.2

v (t ) 

v0 sin( t )  v0 cos( t ) 

Del gráfico anterior se tiene a partir de la suma vectorial y observando que los vectores están a 90 grados, que: DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

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 v    v  0   

2

2 0

 v    arctg  0    v0 

Luego el desplazamiento se puede escribir como:

v(t )   cos(t   )

Figura 4.3 Desplazamiento versus tiempo.

f 

1 T

Las condiciones iniciales generan el desfase aparente del armónico.


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Figura 4.4 Desfase asociado a condiciones iniciales.

En resumen, para el sistema en análisis se tiene: Desplazamiento:

v(t )   cos(t   )

Velocidad:

v(t )    sin(t   )

Aceleración:

v(t )    2 cos(t   )   2 v (t )

Al graficar los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración se desprende que para un desplazamiento máximo la velocidad debe ser nula, mientras que para máxima velocidad el desplazamiento debe ser cero.

Figura 4.5 Comparación en el tiempo de fase para desplazamiento, velocidad y aceleración. Sin amortiguamiento y bajo condiciones iniciales.

Figura 4.6. Vectores de respuesta. DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

16

4.4. PESO EN LA ECUACION DE MOVIMIENTO En general el peso se debe incorporar en la ecuación de movimiento, sin embargo su efecto en la respuesta dinámica desaparece si la energía elástica ya considera el efecto de deformación estática por el peso. Un ejemplo sencillo demuestra porque se cancela el efecto del peso en esto casos. Ejemplo 1: Caso de consideración del peso.

Figura 4.7 Ejemplo de sistema de 1GDL. Al realizar el equilibrio el sistema mostrado en la figura:

x(t )  v(t )  est x (t )  v(t ) x(t )  v(t ) El DCL del cuerpo es:

Donde:

FE  kx(t )  kv(t )  k  est FI  mx(t )

Luego:

 F  0  kv(t )  k 

est

y

k  est  W

 mv(t )  W

 kv(t )  mv(t )  0 En este caso el peso no se cancela en su efecto dinámico. Ejemplo 2:


17

Figura 4.8 Ejemplo de sistema de 1GDL. En

este

caso

v(t )  b (t )

Figura 4.9 Diagrama de cuerpo libre. y

las

ecuaciones

de

movimiento

a

obtener

son,

m*' (t )  k *'  (t )  P*' (t ) m * v(t )  k * v (t )  P * (t )

Donde m*, k* y P*(t) son formas generalizadas de la masa, la elasticidad y la solicitación del sistema. DCL Entonces:

M

A

b a a  0  FE (t )b  FIx (t )  FIy (t )  M 0 (t )  P (t ) 2 2 2

Además:

v(t ) 2 a v(t ) a FIy (t )   ab(t )   ab   a 2v(t ) 2 b 2 2 2 (t )  a  a  b   ab 2 2 v  M 0 (t )  I 0 (t )   a  b  b  12  v(t ) 12 FE (t )  kv(t ) FIx (t )   ab

a b a2 a 2  b2    P(t )  bkv(t )  m v (t )  m v (t )  m v(t ) 2 4 4b 12b

a 2 2 2 b a a  b2  m*  m     12b   4 4b k *  kb P *(t )  P(t )

m * v(t )  k * v (t )  P * (t ) Es importante notar que el peso no se requiere considerar ya que el resorte ya resistía el peso y la deformación ya considera la deformación inicial estática. DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

18

Ejemplo 3: Péndulo. Ejemplo 4: Estructura Civil Clásica 4.5. ENERGÍA

(t )  kv(t )  0 , si se integra esta Para un sistema en oscilación libre la ecuación de movimiento es mv ecuación en función del desplazamiento, v , es decir se calcula el trabajo realizado por las fuerzas, se tiene:  dv  FI (t )  FE (t )  0

  mv(t )dv   kv(t ) dv  0 Resolviendo las integrales: El trabajo de las fuerzas elásticas es igual a la energía elástica del sistema entre dos tiempos t

2 1 2  kv(t )dv  2 k v(t ) ti

El trabajo realizado por la fuerza de inercia es la energía cinética del sistema:

d 2 v dt 1 2 t2   mv ( t ) dv  m dv  m v   dt 2 dt 2 t1 La energía del sistema es constante y su cambio entre dos tiempo nulo



1 1 2 t2 2 t2 m v  t   k v  t   E  0 ti ti 2 2

Luego:

1 1 2 2 mv  t   kv  t   Ec 2 2    

Energía _ cinética

Figura 4.10 Gráfico energía versus desplazamiento

Energía _ elastica

Entonces la energía del sistema, E c ,es constante. En la figura siguiente grafica el desplazamiento del sistema contra la energía elástica. Esta forma una parábola la diferencia con la energía total es precisamente la energía cinética. El desplazamiento oscila entre los valores máximos

   ,   . El tiempo que se demora en realizar un

ciclo completo de vibración se puede demostrar que es precisamente el período del sistema.


19

4.6. SISTEMAS DE UN GDL CON AMORTIGUAMIENTO En nuestro mundo es muy difícil encontrar sistema sin disipación de energía. Por esto ampliamos nuestro desarrollo para considerar de manera simple este mecanismo. Los sistemas con amortiguamiento son aquellos donde actúan fuerzas disipativas.

Figura 4.11 Sistemas de un GDL amortiguado.

Las fuerzas disipativas,

FD , se pueden deber a diferentes factores y presentar distintos modelos.

Al graficar la fuerza disipativa en función del desplazamiento del sistema se obtienen diferentes figuras:

Figura 4.12 Histéresis de disipación. En general los ingenieros estructurales utilizamos para representar mecanismos de disipación base un modelo lineal del tipo viscoso. Si bien esto es un modelo muy básico ha sido adecuado para representar el comportamiento de nuestras estructuras incluso cuando bordean su límite lineal. En estructuras DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

20

expuestas a sismos, este modelo es una aproximación que debe utilizarse con cuidado. En particular cuando hay daño importante o cuando se utilizan dispositivos mecánicos de disipación de energía, como disipadores viscosos lineales o no lineales, disipación friccional o plastificación de metales, es conveniente utilizar modelos matemáticos más complejos, aunque esto obligue a un análisis no lineal de la estructura. En este curso trabajaremos esencialmente con sistemas lineales por tanto este es el desarrollo siguiente. Equilibrio Dinámico DCL:

De donde:

 F  0  F t   F t   F t   Pt  I

D

E

Y como:

FI (t )  mv(t ) : Fuerza de inercia FD (t )  cv(t ) : Fuerza disipativas FE (t )  kv(t ) : Fuerza elástica

 mv t   cv  t   kv  t   P  t  Si en un sistema se consideran la fuerza elástica y la fuerza disipativas juntas, como en el sistema del ejemplo, se dice que el sistema es viscoelástico. 4.7. SOLUCIÓN HOMOGÉNEA DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Para determinar la solución homogénea se tiene:

mv t   cv  t   kv  t   0 Nuevamente tenemos dos soluciones

v (t )  A sin(t )  B cos(t ) Sin embargo debido a la presencia de derivadas pares e impares la solución de complejiza innecesariamente. En este caso es mejor trabajar con una solución en el espacio de números complejos que es una representación más compacta del mismo problema. Dada la identidad de Euler

e  i  cos    i sin   Podemos plantear la solución de la siguiente manera

v (t )  Ge st v(t )  Gse st v(t )  Gs 2e st Remplazando estos valores en la ecuación de movimiento


21

mGs 2e st  cGsest  kGest  0 ms 2  cs  k  0

: Esta ecuación es llamada característica

Dado que es una ecuación cuadrática su solución es

s

c  c 2  4km 2m

Reordenando

c  c  k s     2m  2m  m 2

c  c  s    1 2m  2m  2

Es muy conveniente realizar una definición de una variable adimensional llamada razón de amortiguamiento crítico



c c  cc 2m

El amortiguamiento critico se define como

cc  2m  2 km Lo que permite reducir el problema a

s       2  1 De donde las características de la vibración de un sistema están dadas por:

c  cc : Sobre amortiguado c  cc Critico c  cc : Subamortiguado Estudiaremos estos tres casos

Caso 1 Amortiguamiento Crítico En este caso

c  ccrítico  2 km  2m Y por tanto la solución tiene una raíz base

s

c   2m

Luego construimos dos soluciones DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

22

t v(t)  Ge  G2tet  v(t)  G1  G2t  et 1

X

=

Dado esta característica vemos que para

c  cc

el sistema no vibra.

Figura 4.13 Respuesta bajo amortiguamiento crítico. Varias velocidades iniciales. Caso 2 Sub Amortiguado:

c  ccrítico Desarrollando la ecuación anterior:

s       2  1

s     i  1   2   D

Frecuencia angular amortiguada es

D   1   2

s     iD


23

v(t )  G1e   iD t  G2e   iD t

v (t )  e  t  G1eiDt  G2e  iDt  Se sabe que utilizando la identidad de Euler

1  i  i e  e  e  cos   i sin  2  1 e i  cos   i sin  sin    e i  e  i  2i cos  

i

Entonces para los términos:

d (t )  G1eiD t  G2 e  iD t reconociendo

G1  G1R  iG1I

G2  G2 R  iG2 I

ordenado

d (t )   G1R  G2 R  cos D t   G1I  G2 I  sen(D t )   i  G1I  G2 I  cos D t   G1R  G2 R  sinD t  Pero d (t ) es real por tanto

G1I  G2 I  GI y G1R  G2 R  GR Es decir son un par conjugado G1  G2*

G1  GR  iGI y G2  GR  iGI Entonces:

d (t )  G1eiD t  G2 e  iD t

d (t )   GR  iGI  eiDt   GR  iGI  e iDt Pero  GR

 iGI  eiDt  Ge 

i D t  

y

 GR  iGI  ei t  Gei t  

Es decir son dos vectores de magnitud

D

D

G rotando con ángulo   D t   pero en direcciones

contrarias por tanto se cancela la parte compleja y se suman las proyecciones en el eje real:

d (t )  2G cos Dt     AsenDt  B cos Dt Donde A  2GR y

B  2GI

De donde se obtiene la respuesta al caso amortiguado sin excitación externa.

v (t )  e  t  A sin   D t   B cos   D t   La figura siguiente presenta este decaimiento para una frecuencia de vibra de 1 Hz y una razón de amortiguamiento critico de 5%.


24

Figura 4.14 Decaimiento libre. 4.8. ANÁLISIS DE SISTEMAS DE OSCILACIÓN LIBRE Para un sistema con

P(t )  0

y con condiciones iniciales

v ( 0)  v 0

y

v(0)  v 0

se tiene que el

desplazamiento está dado por:

 v  v    v(t )  e  t  0 0 sin  t  v cos  t      D 0 D     D  Lo que es equivalente a:

v(t )   e t cos(Dt   ) 2

 v   v0  2   0   v0   D  Donde:  v   v0    arctg  0   D v0 


25



: Amplitud máxima.

Envolvente e   t

Periodo TD 

2 D

Figura 4.15 Decaimiento para distintos valores de amortiguamiento. 4.9. EL AMORTIGUAMIENTO El valor de la razón de amortiguamiento varía según el tipo de material, como se ve en la siguiente lista. Sin daño

 Acero / Hormigon  0, 01  0.03  Albañilería  0, 03  0, 05 En el límite de daño (fluencia)

 Acero / Hormigon  0, 03  0.10  Albañilería  0, 05  0,15 Al desarrollar la ecuación que define la frecuencia angular amortiguada se tiene:

 D2  D  2 2 D   1       1   2    1     2

2

Algunos valores para  según esta última ecuación se muestran en la tabla adjunta. Valores para 



0,01

D T   TD 0,9999

0,05

0,9987

0,10

0,9950

0,20

0,9798

0,40

0,9165

Figura 4.16 Variación de la razón de periodo amortiguado y no amortiguado en función de la razón de amortiguamiento crítico.

Es decir el amortiguamiento no afecta en términos prácticos el período. De esta manera en ingeniería estructura cuando en general y en casi todas las normas de análisis y diseño no se distingue entre periodo sin amortiguamiento o amortiguado. DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

26

4.10. DECAIMIENTO LOGARITMICO De la respuesta a condiciones iniciales se conoce la envolvente de respuesta y con ella se puede determinar la razón de amortiguamiento,  :

vi   e  ti y vi  m   e  t

i N

 v ln  i  vi  N  1 

2

entonces

vi  e TD N vi  m

sacando el logaritmo

 2 N   TD N   2  1   

ln  vi vi  N  2 N



aproximando



ln  vi vi  N  2 N

pendiente 

Figura 4.17 Cálculo de amortiguamiento: I) Deteccion de la envolvente, II) Identificacion de cruces por cero y extremos. III ) Grafico de amplitud maxima y número del maximo. Caso Particular reducción de la mitad de la respuesta.


27



ln  vi vi  N  2 N

Cuando vi  N

 vi 2

 v  1 ln  i    2 N  vi 2  ln  2  N 2 Número de Ciclos para obtener un 50% de reducción de amplitud inicial



N

ln  2  2

0,01

11,03

0,05

2,2

0,10

1,1

Figura 4.18 Número de Ciclos completos para alcanzar un decaimiento respecto de un valor inicial de referencia. Las líneas corresponden a porcentajes de reducción de amplitud inicial. DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

28

Figura 4.19 Decaimiento logarítmico de dos frecuencias cercanas. Ambas con distinto amortiguamiento.

Figura 4.20 Decaimiento logarítmico de tres frecuencias cercanas. Todas con distinto amortiguamiento.

4.11. ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO La ecuación de movimiento de un sistema de 1GDL con amortiguamiento es:

mv t   cv  t   kv  t   f  t  Para la solución homogénea se tiene:

mv1 (t )  cv1 (t )  kv1 (t )  0 v(0)  v0 v(0)  v0

(1)

Para la solución particular:

mv2 (t )  cv2 (t )  kv2 (t )  f (t ) v (0)  0 v(0)  0

(2)

Sumando ambas soluciones:

(1)  (2)  m  v1 (t )  v2 (t )   c  v1 (t )  v2 (t )   k  v1 (t )  v2 (t )   0  f (t ) v0  0  v 0 v0  0  v 0

vt   v1 t   v 2 t   mv  t   cv  t   kv  t   Ci f  t  v  t   Ci v  t  DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

29

n

 mv t   cv  t   kv  t    Ci fi  t  i 1

v  t    Ci vi  t  4.12. EXITACIÓN ARMONICA C=0 Ecuación de equilibrio dinámico:

mv t   cv  t   kv  t   p  t  p(t )  P0 sin(t ) c  0 Resolviendo:

 mv t   kv  t   P0 sin(t )  vh (t )  A sin(t )  B cos(t )  v p (t )  G sin(t )  vp (t )  G 2 sin(t ) Remplazando la solución particular:

 sin( t )  G 2 m  Gk   P0 sin( t ) G

P0 P0    2m   2  k 1  k 1  2   k     

Luego, el desplazamiento total está dado por:

    P0  1  sin(t ) v(t )  A sin(t )  B cos(t )  k    2   1         Si:

v ( 0)  v 0  0 v(0)  v 0  0

    P 1  sin( t )   sin(t )   v(t )  0  2   k      1           Donde:

P0 : estático (  est ) k

1   1    

2

: Factor de amplificación dinámico (FAD).


30

Figura 4.21 Respuesta a forzante armónica con amortiguamiento nulo. No se elimina el transiente. Es periódica. Cuando

  1 se alcanza la resonancia del sistema, es decir, el FAD se vuelve infinito. 

Figure 4.22 Factor de Amplificación Dinámica.

4.13. EXITACIÓN ARMONICA C ARBITRARIO Entonces, si se tiene:

mv t   cv  t   kv  t  

P0 sin(t )  i t  P0e  P0 cos(t )   P0 sin(t )  i P0 cos(t ) 

P c k v  t   v  t   0 eit m m m P  v t   2v  t    2v  t   0 eit m  v t  


31

La solución particular es:

v p (t )  Geit  v p (t )  Gi eit  vp (t )  G 2eit Al remplazar en la ecuación de movimiento:

 Gei t   2  2  i   2   G

Si

P0 1 2 m     2    1     2  i      

 

 

v p (t ) 

P0 it e m

, entonces:

P0 1 eit 2 k 1    2  i 

 v p (t ) 

P0 1 eit i k Ae

con :

1      2  2 2

A

2

 2     tan 1  2   1   Figura 4.23 Representación de número complejo.

Entonces:

v p (t ) 

D

P0 it   De k

1  A

1

1      2  2 2

2

Con este resultado se tiene:

P0 D cos   t    k P p (t )  P0 sin  t   v p (t )  0 D sin  t    k p (t )  P0 cos   t   v p (t ) 

En resumen:


32

 P0 sin(t )  mv  t   cv  t   kv  t    P0 cos(t )  P ei ( t )  0 El desplazamiento es:

sin(t   ) P0  v(t )  e t   B cos D t    D cos(t   )  A sin D    k  i (t  ) Transiente e      t

Permanente

Figura 4.24 Respuesta bajo excitación armónica a partir de condiciones iniciales nulas. Notar el gran efecto inicial transiente y su decaimiento para pasar a un régimen permanente controlado por la frecuencia de excitación.

4.13.1. Factor de Amplificación Máximo

D

1 2 2 2      1       2              

2 2 D  1   2    2    

1

1

2

2

2 dD 1  2 Derivando  1   2    2     d 2 

3

2

 2 1     2   2  2  2   0 2

 4 1   2   8 2  0 una posible solución es   0





Eliminando esta solución:   1  2   0 De donde:    1  2  Por tanto

  1  2 2 

2

2

2

Máximo existe solo si

1  2 2  0  

1   1 2 2

El valor del máximo es:


33

Dmax 



1

 



1  4  4  4  2 1  2  2    

Dmax 

1 2 1  

2



1

 2



 

1

 4  2  4  4 

1

2  2 1  1  2   2 1  2 2   

2

2

1

 2

1 2 1   2

1 2

4.13.2. Análisis de la Amplificación Dinámica Factor de amplificación dinámico de desplazamiento. Ojo que no es lo mismo para el caso de velocidad y aceleración.

D

Dmax    1  2  2  1

1

1      2  2 2

 Dmax 

2

1 2 1  

2



1 2

Figura 4.25 Factor de amplificación dinámica y ángulo de desfase para distinto amortiguamiento y razón de frecuencia. 4.13.3. Ancho de Banda del Factor de Amplificación Dado el factor de amplificación:

D

1 1   2 2   2 2   

1

2

Y su máximo aproximado. Buscamos las frecuencias para un factor del máximo.

1 1 1 Dmax  2 2 2 Igualando: DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

34

1

1



1      2   2 2 2

2

1      2  2 2

2

2



2



1 8 2

 8 2

1  2 2   4  4  2 2  8 2  4   2  4  2  2   1  8 2   0 Buscamos las raíces:

2 

4  2  2 

 4

2

 2   4 1  8 2  2

2

 1  2 2 

1 16 4  16 2  4  4  32 2  2  16 4  16 2 4  2  1

 2  1  2  2  2  1   2 si   1 Eliminamos radical y:

 12  1  2  2 2  22  1  2  2 2 Pero



1  2  2 2  1     2 1  2  2 2

1    2

0.01

0.9898

0.9899

0.05

0.9460

0.9475

0.10

0.8832

0.8900

Simplificamos

 1  1    2 y   2  1    2  1   2  1     2  1     2  2  de donde:



 2   1 f 2  f1 f  f2 y dado que es muy simétrica f  1 entonces  2 2f 2



f 2  f1 Podemos obtener la razón de amortiguamiento del ancho de banda. f 2  f1 DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

35

4.14. EXITACION ARMONICA REGIMEN PERMANENTE Analizando

mv t   cv  t   kv  t   p (t ) , con p (t )  P0 sin( t )

P0 D sin( t   ) k P v p (t )  0 D cos( t   ) k P vp (t )   0 D 2 sin( t   ) k v p (t ) 

 mv t   cv  t   kv  t   P0 sin(t )  FI (t )  FD (t )  FE (t )  p(t )  FI (t )  FD (t )  FE (t )  p(t )  0 Figura 4.26 Vectores de respuesta dinámica Todos los vectores giran con velocidad

 t

Figura 4.27 Para ángulo arbitrario y para  

Como

 2

 2     tan 1     1  Se produce resonancia. 2   1   4.14.1. Casos Básicos sensores

El sensor se puede representar como un sistema de un grado de libertad amortiguado. Analizaremos el caso de que este sensor esta adosado a una superficie que vibra bajo excitación armónica.


36

Figura 4.28 Esquema simplificado de un sensor mecánico. En el sistema mostrado en la figura la estructura tiene una ecuación de movimiento del tipo:

mv t   cv  t   kv  t   p0 sin(t ) Analizamos preliminarmente el caso de respuesta permanente. Luego se generaliza para condición transientes y permanente y carga arbitraria. La solución permanente es:

 vP (t ) 

P0 D sin  t    k


37

JAMES DEWEY and PERRY BYERLY The early history of seismometry (to 1900) Bulletin of the Seismological Society of America, Feb 1969; 59: 183 - 227

James Forbes Seismometer 1844The screws(E) acting on the support (D) are used to help set the pendulum in an upright position

Horizontal pendulum seismograph, as invented by English seismologist John Milne in 1880.

Wood Anderson 1927

Figura 4.29 Sensores de movimiento.


38

4.14.2. Sensor de Aceleración: Acelerómetro

Figura 4.30 Acelerómetros y acelerógrafos. Si se tiene una aceleración aplicada a la estructura del tipo

vg (t )  vgo sin  t  :

mvT  t   cv  t   kv  t   0 m  v  t   vg  t    cv  t   kv  t   0 m  v  t   vg  t    cv  t   kv  t   0

mv  t   cv  t   kv  t   mvg  t  v  t   2 v  t    2v  t   vg  t  Si

 es muy grande entonces  2v  t    vg  t  en el caso contrario debe resolverse la ecuación

anterior utilizando diferencias finitas u otras herramientas, como el trabajo en el espacio de la frecuencia. Sin embargo es fácil simplificar el problema para el caso de excitación armónica.


39

Si

vg (t )  vgo sin  t 

mv t   cv  t   kv  t   mvgo sin t  v(t ) 

mvgo k

D sin t     vgo

D sin t    2

Requerimos que la observación sea proporcional a la aceleración. En el caso básico que la amplitud máxima de respuesta de desplazamiento sea proporcional a la aceleración.

 v(t )  vg 0 Esto es la base de un acelerómetro. Para que funcione, requerimos que la dependencia del Factor de Amplificación Dinámica (D) sea mínima o inexistente. Esto ocurre bajo dos condiciones: a) Sistema con amortiguamiento arbitrario y

  0.2

b) O sistemas con razón de amortiguamiento  En ambos casos y  debe ser muy grande, es decir ( k se requiere un lector muy sensible.

o,

 0,6  0,7 .

 m ). Esto es difícil de realizar y finalmente

En la Figura 4.31 se observa el efecto de la frecuencia y el amortiguamiento del sensor en la reproducción fiel de la aceleración. En estas figuras se grafica el desplazamiento de la masa del sensor contra la aceleración de excitación. Para el caso de amortiguamiento 0.7 y frecuencias altas se obtiene una reproducción casi perfecta. Esto son los valores que utilizan acelerómetros comerciales orientados a ingeniería sísmica.


40

Figura 4.31 Respuesta de sensor de aceleración bajo excitación arbitraria de aceleración. Notar el ajuste de amplitud y fase. Las diferencias están asociadas a la banda de frecuencias y amortiguamiento del sensor.

4.14.3. Sensor de Desplazamiento Inercial Cuando deseamos medir el desplazamiento del terreno se tiene la misma estructura anterior:

mv t   cv  t   kv  t   p0 sin(t )  vP (t ) 

P0 D sin  t    k

En este caso se tiene el desplazamiento de la carcasa como incógnita y se deriva dos veces para obtener su aceleración en función de la amplitud de desplazamiento de la carcasa:

vg (t )  vgo sin t   vg (t )  vgo 2 sin t  La aceleración total sobre la masa del sensor y la respuesta es:

m  vg 0 2 

D sin t    k  v(t )  vg 0 2 D sin      v(t )  


41

Figura 4.32Factor de amplificación dinámica de modificado por la razón cuadrática de frecuencias de excitación y natural de un sistema de un grado de libertad.

Para que el resultado obtenido sea independiente de la relación que la rigidez ( m

 2  D , la masa debe ser mucho mayor

 k ) y   1.5 para   0,6  0,7 .

Un resultado similar se utiliza en medidores de velocidad inerciales, sismómetros o geófonos.

Figura 4.33 Sensor medición directa de desplazamiento

4.15.

AISLAMIENTO DE VIBRACIONES Si se tiene la estructura mostrada en la figura, con

P(t )  P0 sin t  ,

la solución particular

está dada por:


42

vP (t ) 

P0 D sin  t    k

Entonces, las fuerzas son:

FE (t )  kv p (t )  P0 D sin t    P0 2 k P0 D cos t     D cos t    k  k  FD (t )  2 P0 D cos t     FD (t )  c

Como

FE y FD

 FR 

están a 90 grados la fuerza resultante, FR , es:

FD  FE 2

2

2      Po D 1   2        

1

2

  2      1   2       Po   2 2 2         1   2               

1

2

La Transmisibilidad de fuerzas es:

  2     1   2   FR    TR    Po      2  2    2    1        2        

1

2

Se puede demostrar que la TR es idéntica para razones de aceleración y desplazamiento absolutos.


43

Figura 4.34 Función de Transmisibilidad. 4.16. RESPUESTA EN RESONANCIA

Figura 4.35 Caso básico. Dado:

v(t )  e  t  A sin D t   B cos D t    En resonancia 

  

P0 D sin t    k

 2


44

yD



1

1      2  2 2

 2

1 2

Si las condiciones iniciales son nulas:

v ( 0)  v 0  0 v(0)  v 0  0 Entonces:

A

P0 1 k 2 1  2

v(t ) 

B

P0 1 k 2

de donde

  1 P0     t     e sin  t  cos  t  cos  t         D D  1  2  2  k      vest

  1 Si:

  d  

Luego:

v(t ) 1  t   e  1 cos(t ) vest 2 Figura 4.36 Envolvente sistema amortiguado.


45

Entonces la envolvente de la función está dada por

1  e    t

Figure 4.37 Respuesta resonante para un desplazamiento normalizado. Normalización 1 / 2  . T  0.5  s  , v0  0 , v0  0 . Si se analiza la envolvente es posible estimar la tasa de crecimiento para un tiempo dado amplitud es

A  e  t  e

2  t T

t  nT la

 e 2 n .

Figura 4.38 Taza de crecimiento de la respuesta resonante. A menor amortiguamiento más tiempo para alcanzar respuesta máxima. DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

46

Si una estructura no tiene amortiguamiento, 

0

utilizando la regla de L’Hospital’s:

  1 P0     t   sin D t   cos D t    cos  t    e  1  2   v(t ) 2 k     vest    1      t   sin D t   cos D t    cos  t   t  ...   e  1  2   v(t ) 2     lim   0 v 1 est  1   3 1 ....e    t  sin D t    1   2  2 sin D t     1  2  2   Al evaluar   0 encontramos el límite

v(t ) 1   sin(t )  t cos(t )  vest 2

Figura 4.39 Respuesta resonante para distintos valores de amortiguamiento. Notar que la amplitud y el tiempo para alcanzar la máxima amplitud es sensible al valor de la razón de amortiguamiento


47

4.17. ENERGÍA DISIPADA Para calcular la energía disipada en un sistema se integra la ecuación de movimiento del sistema en función del desplazamiento entre dos instantes de tiempo dados, de la siguiente manera: v  t2 

  F (t )  F I

v  t1 

D

(t )  FE (t )  dv  0 v t



2 1 1 2 t2 2 t2  m v(t )  k v(t )   FD (t )dv  0 t1 t1 2  2    v  t1 

EK

EV

Desarrollando la última integral se tiene: v  t2 



v  t1 

FD (t )dv   cv

dv dt   cv 2 dt dt

Finalmente se tiene que: t2

EK  EV    cv 2  t  dt

t1  Energía _ disipada

En resonancia se tiene que Si

 

, entonces

Pt   FD t  .

P (t )  P0 sin( t ) , entonces:

v t  

P0 1 sin t    k 2

Pero como se está en resonancia:

 v t  



 2

P0 1 cos t  k 2

Luego: 2

P 1  2  P0 sin(t )    0 cos t    r  t   k 2  2

Entonces, la energía disipada corresponde al área de la elipse que se forma al graficar en función de

FD (t )

v(t ) , como se muestra en la figura


48

Figura 4.40 Trabajo realizado por las fuerzas disipativas. Entonces:

Aelipse   ab  ED   P (t )  P0  2 FD  cvmax  c   A  elipse  c  P 1  ED   P0 0  k 2      E c D2  Notar que c depende de la frecuencia Como



c c  cc 2m

 . Esto es característico de sistemas viscoelásticos.

se tiene:

ED c para      cc 2 m 2 Con EV 



1 kv (t ) 2 2

ED E  D 2 2 k  4 EV

Notar que en la derivación anterior se incluye la existencia de una masa. DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

49

5. SOLUCION NUMERICA DE LA ECUACION DE 1 GDL Existe una gran variedad de métodos para la solución numérica de la ecuación de equilibrio dinámico. Esto tienen distintas ventajas y desventajas asociadas esencialmente a: 1. Estabilidad 2. Precisión: Efecto en la amplitud, variación de períodos, tamaño del paso del tiempo requerido. 3. Rapidez 4. Amortiguamiento artificial de modos

5.1. METODO DE NIGAM Y JENNINGS Este método es muy rápido y eficiente. Fue desarrollado por Nigam y Jennings.

Nigam, Jennings, “Calculation of response spectra from strong motion earthquake records”, Bulleting of Seismological Society of America. Vol 59, No 2, pp 909-922, Abril 1969. Navim C. Nigam (-2001)

Paul C. Jennings

Este método modela la excitación como segmentos lineales y luego encuentra la solución exacta para esta condición de excitación.


50


51

5.2. MÉTODO DE WILSON Esta es una variación del método de Nigam y Jennings en la cual se asume una variación cubica de la excitación y encuentra luego una solución exacta para este supuesto.


52

5.3. MÉTODO DE NEWMARK

La familia de métodos de Newmark a la cual pertenece el de aceleración constante y aceleración lineal se desarrollan a partir de modelar la respuesta como una función conocida entre dos pasos consecutivos de tiempo. Lo presentamos de la siguiente manera.

(t ) entre los instantes de tiempo ti y ti+1= ti +∆t. Se realiza el Considérese la variación de la aceleración v cambio de variable 

 t  ti de tal forma que para t = ti el valor de  sea cero y para t  ti 1 ,  valga ∆t.

Supóngase a continuación que el valor del vector de aceleración de respuesta en un instante    t se expresa como: Si definimos la variable

  t  ti y para ti  t  ti 1 y una función de variación f ( ) en el intervalo

v( )  vi  f ( )  (vi 1  vi ) De tal manera que la función

f ( ) sea cero para   0 y 1 para 

 t .

La velocidad v( ) se obtiene integrando la aceleración 

v ( )  vi   v( ) d  0





0

0

 vi   vi d   ( vi 1  vi ) f ( )d 

 vi  vi  ( vi 1  vi )  f ( )d 0

Si definimos

g ( ) 





0

Tenemos

f ( )d

v( )  vi  vi  (vi 1  vi ) g ( )

Y para    t

v( t )  vi  vi  t  (vi 1  vi )  g (t ) Dado que

g(t) debe ser una constante multiplicada por

t

Definimos g(t )  t De donde

vi 1  vi  vi  t  (vi 1  vi )    t DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

53

vi 1  vi   (1   ) vi  vi 1   t Para los desplazamientos se integra

v ( )  vi  vi  vi

 2  ( vi 1  vi )  g ( )d 0 2

De igual forma definimos h ( ) 

v ( )  vi  vi  vi





0

g ( )d 

2  ( vi 1  vi ) h ( ) 2

Para    t

v (  t )  vi  vi  t  vi Pero

h(t)

t 2  ( vi 1  vi ) h (  t ) 2

debe ser una constante multiplicada por

 t 2 para que la ecuación sea consistente, luego:

h(t )  t 2  Finalmente vi 1  vi  vi  t  vi

t 2  ( vi 1  vi )  t 2  2

 1   vi 1  vi  vi t      vi   vi 1  t 2   2  i1 Despejando v vi 1 

 1  1  vi 1  vi  vi t     1 vi 2 t   2 

Reemplazando

vi1

vi 1  vi   (1   ) vi  vi 1   t

  1  1    vi 1  vi  (1   )vi   2 vi 1  vi  vi t     1 vi    t   2     t         vi 1  vi 1  vi   1   vi  1   tvi t     2 


54

Dependiendo de los valores  y



se obtiene la estabilidad y amortiguamiento ficticio de la integración.

El sistema es estable si

t 1 1  Ti  2   2 El sistema es incondicionalmente estable si:

 

1 y 2

11       42  El valor de  define el amortiguamiento, siendo mayor para mayor el valor de  . Esto no siempre es conveniente por tanto típicamente se considera un valor que elimina el amortiguamiento. Esto es   0.5 y   0.25 , que es el caso de aceleración constante. El caso de aceleración lineal no es incondicionalmente estable y requiere de pasos pequeños de integración. Para aceleración lineal es estable para:

t  0.551T Siempre se debe procurar mantener un paso de tiempo pequeño para obtener respuesta más precisas. En particular se utiliza la relación:

t 

T , pero yo recomiendo 10 DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

55

t 

T 20

El amortiguamiento entregado por  afecta todos los modos. Existe una variación del método que permite solo amortiguar artificialmente solo los modos de frecuencias altas, lo que podría ser útil en algunos problemas no lineales. Este método es desarrollado por Hilber, Hughes y Taylor.

6. ENSAYOS EXPERIMENTALES Se dispone de un gran número de opciones para realizar ensayos sobre estructuras. Entre las técnicas más utilizadas están: ensayo por condiciones iniciales o Pull Back, ensayo por vibración forzada y ensayo por excitación ambiental. La aplicación de uno u otro ensayo depende entre otros de: 1. Las condiciones de la estructura o sistema. 2. El uso de la estructura. 3. La disponibilidad de equipos excitación y registro. 4. Los plazos de realización del ensayo. 5. La precisión que se quiera obtener en los datos. 6. El costo del ensayo. A continuación se describen en forma general las técnicas más comunes para la realización de ensayos. En el texto de Dinámica Estructural Avanzada se pueden encontrar con mayores detalles las técnicas utilizadas para la ubicación de la instrumentación de excitación y medición, las características técnicas del equipo de registros y los procedimientos más comunes de determinación de propiedades dinámicas. 6.1. CONDICIONES INICIALES O PULL BACK: Aplicando condiciones iniciales de velocidad o desplazamiento se obtiene un régimen de oscilación libre ( f (t )  0 ). Al graficar la respuesta del sistema en términos del desplazamiento, velocidad, aceleración,

 

fuerza u otro, se puede determinar el período (T) y la razón de amortiguamiento  . Si el desplazamiento y velocidad inicial es conocido en conjunto con la fuerza que los produce es posible determinar también constantes de rigidez, la masa y el amortiguamiento de la estructura. Si el sistema es de varios grados de libertad es relativamente difícil conocer las matrices básicas de masa, rigidez y amortiguamiento. Generalmente lo que se obtienen son los las propiedades modales de la estructura.

Figura 6.1 Condiciones Iniciales: Desplazamiento y velocidad (Impacto).


56

Figura 6.2 Sistema de tiro para provocar desplazamiento inicial en Muelle de ventanas.

Figura 6.3 Respuesta ante liberación abrupta en muelle de ventanas. A) Registro de aceleración. B) Espectrograma de la respuesta.

Figura 6.4 Definición de Espectrograma.

Figura 6.5 Ejemplo de espectrograma en un funciona armónica con frecuencia con variación lineal.


57

Figura 6.6 Ejemplo de aplicación del método de decremento logarítmico en estructuras de varios grados de liberad con frecuencias características bien separadas. A. Separación utilizando filtros de las distintas bandas predominantes. B) Señal filtrada. C) Selección de máximos absolutos. D) Grafica de máximos absolutos e identificación de amortiguamiento medio.

Figura 6.7 Impacto por salto en pasarela peatonal. Respuesta y ajuste a varias frecuencias mediante técnicas de optimización.


58

Figura 6.8 Aplicación de impactos mediante el golpe de una pala mecánica. Respuesta ante el impacto. 6.2. VIBRACIÓN FORZADA: En este ensayo se instala una máquina en la estructura que genera una vibración con frecuencia y fuerza conocida. Normalmente este equipo de excitación se compone de dos masas excéntricas que rotan en dirección contraria. Alternativamente se utilizan gatos hidráulicos que mueven en forma unidireccional masas variables en la estructura. La máquina se hace oscilar a frecuencias conocidas y se determina el desplazamiento máximo. Posteriormente se grafica la respuesta máxima en función de la frecuencia de excitación. La grafica es posteriormente normalizada por el valor de frecuencia en el máximo. La grafica resultante es utilizada para determinar la frecuencia de la estructura y la razón de amortiguamiento utilizando el método de ancho de banda. Para el caso de excitación fuerzas excéntricas, el valor de la fuerza aplicada depende de la maza 2 excéntrica, su distancia al eje de rotación y la frecuencia de excitación ( p (t )  2 me e ).

Figura 6.9 Excitación forzada. Arreglo básico.


59

Diseñada por Dino Morelli, Thomas Caughey desarrollo sistema eléctrico.

Figura 6.10 Hudson, Donald E. (1961) A New vibration exciter for dynamic tests of full scale structures. Technical Report: CaltechEERL: 1961. EERL. 1961.001. California Institute of Technology. Keightley, W. O. (1964) A Dynamic investigation of Bouquet Canyon Dam. Technical Report: Caltech EERL: 1964. EERL. 1964.002. California Institute of Technology


60

Figura 6.11 Utilización de masa excéntrica en viaducto Cypress EEUU, 1989. 6.3. EXCITACIÓN AMBIENTAL Este ensayo es el más económico y consiste en colocar una serie de censores en la estructura de modo que registren los desplazamientos obtenidos gracias a la excitación ambiental a la que está expuesta la estructura diariamente (viento, transito, microtemblores, uso, otros). De los datos obtenidos se identifican por medio de métodos estadísticos los parámetros modales fundamentales de la estructura. Los métodos más conocidos son la Descomposición en el Dominio de la Frecuencia y la Identificación del Subespacio Estocástico en el dominio del Tiempo. Una descripción de estos métodos se encuentra en el texto de Dinámica Avanzada de Estructuras.

Figura 6.12 Ensayo con excitación ambiental.


61

7. ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE LA FRECUENICA 7.1. SERIE DE FOURIER Jean-Baptiste-Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 en Auxerre - 16 de mayo de 1830 en París), matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. Cualquier excitación periódica, P (t ) , puede ser transformada en una sumatoria de funciones trigonométricas básicas de acuerdo a los conceptos de Serie de Fourier:

  2 nt    2 nt  P (t )  a0   an cos    bn sen    T  n 1  T  n 1  p   p 

Donde:

1 a0  Tp

Tp

 P(t )dt ; a n  0

2 Tp

 2nt  2 0 P(t ) cos T p dt ; bn  T p  

Tp

Tp

 2nt  dt  T  p 

 P(t )sen 0

T p Es el período de la función P (t ) Definimos las siguientes variables

1 

2   y n  n Tp

Ejemplo: Dada la función rampa de la Figura. Su composición se presenta en las Figuras para 7 y 201 coeficientes (dinaFourieCoef.m).

Figura 7.1 Aproximación de Serie de Fourier para distinto numero de coeficientes.

Figura 7.2 Detalle de aproximación de serie de Fourier con 7 coeficientes.


62

Figura 7.3 Detalle de aproximación de serie de Fourier con 201 coeficientes.

8. RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN OSCILADOR DE 1GDL 8.1. CASO SERIE DE FOURIER BASE   2 n    2 n  mv(t )  cv(t )  kv(t )  p (t ) con p (t )  a0   an cos  t    bn sin  t  T  n 1  T  n 1  p   p 

             1   a0      2 2 2 n 1    n    n    1 v (t )    1       2        k          2 2    2  n a  b  1   n    sen  t   a  1   n    b 2  n  cos  t    n   n     n  n    n n                         

 n  n  y 8.2. RELACIÓN DE COEFICIENTES DE SERIE DE FOURIER ARMÓNICOS Y EXPONENCIAL COMPLEJO.   2 n    2 n  p (t )  a0   an cos  t    bn sin  t  T  n 1  T  n 1  p   p 

cos( x) 

1 ix  ix 1 (e  e ) sin( x)   i (eix  e  ix ) 2 2 

 1 int 1  in t e  e  i bn  eint  ie  int     2 2 n 1 n 1   1 1 p (t )  a0   eint  an  ibn    e  int  an  ibn  2 n 1 2 n 1

p (t )  a0   an

Si c n 

1 1  an  ibn  c*n   an  ibn  y con co  ao 2 2 DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

63





p (t )  c0   cn eint   cn*e  int  n 1

n 1



ce

n 

in t

n

8.3. REPRESENTACIÓN COMPLEJA DE LA SERIE DE FOUIER

(t )  cv(t )  kv (t )  cn e A partir de la ecuación de equilibrio mv

in t

v p (t )  Gn eint ; v p (t )  in  Gn eint  ; vp (t )  n 2  Gn eint 

Solución

Remplazando en la ecuación de equilibrio

Gn (  mn 2  cin  k )  cn

Gn  cn

Gn 

1 (k  mn 2  icn )

cn 1 entonces Gn  cn H (n ) 2 k        1   n   i  n  2    n   n  

H (n ) 

 1  1 n   con  n  2 k  1   n  2 ni  

Finalmente la respuesta permanente es:

v p (t )  cn H (n )eint

La solución a una excitación periódica arbitraria

p (t ) 



ce

n 

Como

in t

n

v(t ) 



 c H ( )e

n 

n

in t

n

8.4. PAR DE TRANSFORMADA DE FOURIER

Tp   n  

cn  c ( )

Para extender a señales no periódicas, se hace tender el límite de T p



8.5. RESPUESTA UTILIZANDO LA TRANSFORMADA DE FOURIER A partir del par de Transformada de Fourier

p(t ) 

1 2



 c( ) exp(it )d





c( ) 

 P(t ) exp(it )dt



Encontramos la respuesta continua:


64

v(t ) 

1 2



 H ( )c( ) exp(it )d



Otros parámetros de respuesta pueden obtenerse de la propiedad de derivada en el espacio de la frecuencia Dado una excitación:

 p(t )  P( f )

    1 1  FRF: H ( )   k    2   1     2i           Dado que la derivada en el espacio de la frecuencia

 d n v(t )  n    i  v(t ) n   dt 





v(t )  1  P( ) H ( ) v(t )  1 i P( ) H ( ) v(t )  1  i  P( ) H ( ) 2

Debido a la forma en que se entrega el espectro de Fourier para índices positivos solamente es necesario desdoblar las frecuencias y la respuesta al impulso en el espacio de frecuencia. (respfre.m) % senal en el espacio de la frecuencia vw=fft(vg); %%Definicion de simetria de FRF if ~any(any(imag(vg)~=0)), % if vg is not complex if rem(nvg,2), % nfft odd select = (1:(nvg+1)/2)'; else select = (1:nvg/2+1)'; %% par end else select = (1:nvg)'; %% complejo end f = (select - 1)*Fs/nvg; % Funcion de Respuesta en Frecuencia Single Sided FRF=zeros(nvg,1); fratio=f/fo; unos=ones(length(f),1); % Para señal compleja. FRF(select)=(unos/k)./(unos(fratio).^2+(j*2*beta).*(fratio)); %% Correccion para doble sidedspectra %Si no es necesario corregir para el otro lado if ~any(any(imag(vg)~=0)), % if x is not complex DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

65

% correcion de frecuencia f=[f ; zeros(nvg-length(f),1)]; if rem(nvg,2), % nfft odd FRF(select(end)+1:end)=conj(FRF(((nvg+1)/2):-1:2)); % Simetriacompleta f(select(end)+1:end)=-f(((nvg+1)/2):-1:2); % Notarsignonegativo else FRF(select(end)+1:end)=conj(FRF(nvg/2:-1:2)); %% par no se consider punto central f(select(end)+1:end)=-f((nvg/2):-1:2); end end d=real(ifft(FRF.*vw)); v=real(ifft((j*f*2*pi).*FRF.*vw)); a=real(ifft((j*f*2*pi).^2.*FRF.*vw));

9. PULSO Un pulso es una acción que está acotada en el tiempo y se puede tratar en forma aproximada separando en dos posibles fases la respuesta de la estructura:

Figura 9.1La Fase 1 bajo la presencia de una acción externa y la fase II bajo oscilación libre con condiciones iniciales. Dinapulso.m.


66

Figura 9.2 La respuesta varía de acuerdo a la relación entre duración del pulso y periodo del sistema. Es conveniente estudiar el comportamiento ante algunos pulsos básicos. Se desarrolla el caso de pulso rectangular. En general la respuesta máxima no está influida por el amortiguamiento en forma significativa. Los desarrollos se realizan sin amortiguamiento y luego se comparan con respuestas amortiguadas. 9.1. PULSO RECTANGULAR

Figura 9.3 Respuesta a Impulso Rectangular. Dinapulsorec.m. DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

67

9.1.1.Fase I: Respuesta Máxima Bajo Aplicación de la Carga

si t  td m v(t )  k v(t )  p (t )  p0 Solución

v p (t )  G  G 

p0 k

v (t )   A sen t  B cos t  

si v  0   0 v 0  0  B 

p0 k

  0   0 p0 k

B

p0 k

v(t )    A cos t  B sen t   0 entonces A  0 Final solución: v (t ) 

p0 1  cos t  k

El valor máximo es:

vmax 

p0 p 1  cos t   2 0 y ocurre para td T  1/ 2 dado que   2 T k k

Figura 9.4 Respuesta a impulso rectangular. Varias duraciones. 9.1.2.Fase II: Respuesta Máxima Bajo Aplicación Nula

si t  td DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

68

m v(t )  k v (t )  p (t )  0 Por tanto la solución es oscilación libre

v(t  td )  A cos   t  td   B sen  t  td  t '  t  td Condición inicial para oscilación libre

v  t '  0   v  td  

p0 1  cos td  k

v  t '  0   v  td  

po  sen td k

Sabemos que:

v (t  td )  v (t '  0) cos   t  td  

v(t '  0) sen  t  td  

 v(0)  P0  A  B  v  0       k 2

vmax

2

2



p0 sen 2td 1  2 cos td  cos 2 td   2 k 2



p0 k

2 1  cos td  

vmax  2

1  cos td 

2

 2 sen 2td  2

p0 t   2  2  cos 2 d  k T 

p0 t t 1 sen d para d  k T T 2

9.1.3.Espectro de Respuesta al Impulso Sea

D

vmax P0 k

Espectro (envolvente de todas las respuestas)


69

Figura 9.5 Se presenta la respuesta para todas las razones de duración período y distinto amortiguamiento. Dinapulsosen.


70

9.2. PULSO SENOSOIDAL

Figura 9.6 Respuesta impulso semi seno.

Figura 9.7 Se presenta la respuesta para varias duraciones.


71

Figura 9.8 Se presenta la respuesta para todas las razones de duración período y distinto amortiguamiento. 9.3. PULSO ASCENDENTE

Figura 9.9 Respuesta a impulso triangular.


72

9.4. COMPARACIÓN PULSOS

Figura 9.10 Compara pulsos de igual amplitud y duración. dinaPulsoCompara.m. Si no hay cruces por cero

 Dmax  2

Figura 9.11 Compara pulsos de igual área bajo el pulso. (Normalizada para el caso de rectangular). DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

73

Ejemplo: Suponga una excitación tipo Seno de duración un segundo

P0  1000; td  1 k  4; m  1

td 1 4   0.333  D  1.2 T 2 1 P vmax  0 D Qmax  kvmax  P0 D k

Figura 9.12 Respuesta de oscilador a impulso.

10. IMPACTO En impacto se dice que el t es tan pequeño que el amortiguador y el resorte no alcanzan a ser excitados. Por tanto el impacto es una acción muy corta en el cual los desplazamientos durante la aplicación de la carga se pueden despreciar. Si

td 1  se cumplen las simplificaciones asociadas a las ecuaciones de impacto T 4

mv(t )  cv(t )  kv(t )  P (t ) Y c  0

v(t ) 

0 P (t ) k  v (t ) v (t )  0 m m td

v(t )   v(t )dt   0

P (t ) dt m

Movimiento libre:

v (t )  v0 cos(t ) 

vo sen(t ) 

v(td ) sen(t  td )  t  1 d vII (t  td )    P(t )dt  sen( (t  td )) m  0  vII (t  td ) 

Ejemplo


74

P0  50 td  0.1 T  1.2

 P (t )dt 3td 0.3   1/ 4 T 1.2

vmax 

1 *10 m

11. CARGA ARBITRARIA EN EL TIEMPO La respuesta de UN impacto unitario se escribe como:

v ( t  td ) 

1 md

 td    ( t td ) sen (d (t  td ))   P (t )dt  e 0 

Figura 11.1 Respuesta impulso. Para varios impactos


75

Figura 11.2 Secuencia de impulsos.

v(t ) 

1 m D

 P( )t exp(  (t   )) sen(

D

(t   ))

En el caso de una secuencia infinita de impactos

mv (t )  cv(t )  kv(t )  P (t ) v (t ) 

1 m D

t

 P( ) exp(  (t   )) sen(

D

(t   )) d  Integral de Duhamel

0

t

v (t )   P ( ) h(t   ) d 

Integral de Convolución

0

h( ) 

1 exp(  ) sen( D )  mD

Respuesta impulso unitario

La convolución implica tres pasos fundamentales:

Figura 11.3 Dinaconvu.m Función original.

Figura 11.4 Desdoblamiento.


76

Figura 11.5 Desplazamiento.

Figura 11.6 Convolución.

12. ESPECTRO Y PSEUDO ESPECTROS DE RESPUESTA 12.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE SISMICIDAD Y ONDAS.

Figura 12.1 Distribución de sismos en el planeta en un periodo de un año.


77

Figura 12.2 Generación e interacción de placas de la corteza terrestre.

Figura 12.3 Placas tectónicas principales

Figura 12.4 Topografía digital de américa. Los bordes de placa quedan identificados.


78

Figura 12.5 Ondas de cuerpo

Figura 12.6 Ondas superficiales.

Figura 12.7 Esquema básico de un registrador sísmico inercial.

Figura 12.8 Sistema real de registro.


79

Figura 12.9 Distribución de sismos en Chile en un siglo.


80

Figura 12.10 Características de Aceleración Distintos Sismos


81

Figura 12.11 Registro epicentral obtenido en roca. Terremoto de Tocopilla del 14 de Noviembre del 2007.


82

Figura 12.12 Registro epicentral obtenido en suelo Ciudad de Concepción. Terremoto del 27 de Febrero de 2010.


83

Figura 12.13 Integración Componente Horizontal. Registro epicentral obtenido en suelo Ciudad de Concepción. Terremoto del 27 de Febrero de 2010. 12.2. RESPUESTA SÍSMICA DE 1 GDL

FI (t )  FD (t )  FE (t )  0 mvT (t )  cv(t )  kv (t )  0

vT (t )  vg (t )  v(t ) mv(t )  cv(t )  kv (t )  mvg (t )  Pe (t ) La respuesta a esta excitación es la integral de Duhamel t

v (t ) 

1 Pe ( ) exp(   (t   )) sen (D (t   ))d mD 0

1 v (t )  mvg ( ) exp(   (t   ))sen (d (t   ))d md 0 t

1 vg ( ) exp(   (t   ))sen (d (t   ))d D 0 t

v (t ) 


84

Maurice Biot (1905 - 1985) desarrolló el concepto de espectro de respuesta en su tesis doctoral de 1932. Es importante notar que indicó, que si bien este se generaba para base fija, esto era generalmente conservador debido a posibles flexibilidades del medio de soporte. 12.3. ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS

1 vg ( ) exp(   (t   ))sen (d (t   ))d d 0 t

v (t ) 

Sd (T ,  )  max v (t )

 vg (t ) T   Nota: Si

T0  0  La estructura es infinitamente rígida

 El desplazamiento relativo suelo oscilador es nulo Si

T0    La estructura es muy flexible. El desplazamiento relativo oscilador base es igual al

desplazamiento de la base T

   Sd  v g max


85

Figura 12.14 Espectro de Respuesta de Desplazamiento.


86

Figura 12.15 Espectro de Respuesta de Desplazamiento. 12.4. ESPECTRO DE VELOCIDADES RELATIVAS Sabemos:

1 v (t )  vg ( ) exp(   (t   ))sen(d (t   ))d d 0 t

Recordando que: b (t )

 (t ) 

 G(t , )d

a (t )

d (t ) dG (t , ) db da   d  G (t , b(t ))  G (t , a(t )) dt dt dt dt a (t ) b (t )

0 vg ( ) exp(   (t   )) sen( D (t   ))d  ...  D 0 t

v(t ) 


87

 D vg ( ) exp(   (t   ) cos( D (t   )) d  ...  D 0 t



dt d0  vg (t ) exp    (t  t )  sen(d (t  t ))  vg (0) exp(  (t  0)) sen(d (t  0))    dt dt  0

 v(t ) 



0

t

1  2

 v ( ) exp( (t   )) sen( (t   ))d g

d

0

t

  vg ( ) exp(   (t   )) cos(d (t   ))d 0

Se define: S v (T ,  )  max v(t )

T  0  k    Sv  0 T    k  0  Sv  vg max

Figura 12.16 Espectro de Respuesta de Velocidad.


88

12.5. ESPECTRO DE ACELERACIONES ABSOLUTAS

vT  vg (t )  v(t ) La importancia de determinar la aceleración absoluta máxima del sistema radica en que depende de las fuerzas inerciales en el sistema

v(t ) 

dv(t ) dt

g (t ) para obtener Luego sumar v

vT (t )

A partir de la ecuación de movimiento (conocidas v (t ) y v (t ) )

mvT (t )  cv(t )  kv(t )  0  vT (t )  Conocido

c k v(t )  v(t ) m m

vT (t ) por cualquier método

Sa (T ,  )  max vT (t )

T  0  k    Sa  PGA T    Sa  0


89

Figura 12.17 Espectro de Respuesta de Aceleración Absoluta. 12.6. ESPECTRO DE DISEÑO EN CHILE El espectro de respuesta para uso en diseño en Chile tiene un desarrollo muy particular. Se presenta un resumen y las principales características. La forma del espectro fue propuesta por el Ing. Arturo Arias Suarez. Esta fue encontrada utilizando los registros existentes en Chile para distintas condiciones de suelo. Esto ocurre en los finales de los años 80. En ese entonces se clasifican en cuatro tipos de suelo. Suelo I. Roca o Suelo muy firme Suelo II. Suelo Firme Suelo III. Suelo Medio Suelo IV. Blando Con los registros clasificados en cada tipo de suelo, se normaliza con respecto a la aceleración máxima y luego se obtiene un promedio de los registro. Finalmente se ajusta una función a este promedio. En las figuras siguientes se presenta el procedimiento.


90

Figura 12.18 Espectro de Respuesta de Aceleración Absoluta para Varios Sismo Chilenos comparado con la Norma Nacional NCh433 Of 96.

Figura 12.19 Espectro de Respuesta de Aceleración Absoluta Normalizados a PGA=1, para Varios Sismo Chilenos comparado con la Norma Nacional NCh433 Of 96


91

Con esta información se construye los cuatro espectros normativos normalizados. Este espectro posteriormente es ajustado para cada zona sísmica, por el factor de importancia y por el factor de reducción R.

Sa (T ) 

Ao I R

T  1  4.5  n   T0   3  Tn  1    T0 

P

Figura 12.20 Forma del Espectro de Diseño NCh433 of 96.

Zona 3: Ao=0.4

Figura 12.21 Zonas Sísmicas Nacionales

Zona 2: Ao=0.3 Zona 1: Ao=0.2


92

Estos espectros fueron modificados por el DS 61 del 2 de Noviembre del 2011. En este decreto se modifica la clasificación de suelo y la forma espectral quedando de la siguiente manera. Clasificación Geotécnica

Forma Espectral

T  1  4.5  n   T0   3  Tn  1    T0 

P

Espectro DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

93

Sa 

ISA0 R*

Figura 12.22 Espectro de Diseño Zona 3. Factor de Importancia 1. R=1. Factor de Importancia De acuerdo el uso se define un factor de escalamiento


94


95


96

Factor de Modificación de la Respuesta

R*  1 

T* 0.10To 

T* R0

Figura 12.23 Factor de Modificación de la Respuesta. 12.7. PSEUDO ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION Se define como:

Sd (T ,  )  Sd (T ,  ) Para la velocidad podemos simplificar la expresión tomando en cuenta el bajo valor del amortiguamiento y suponiendo que es caótica:


97

 v(t ) 



t

 vg ( ) exp(   (t   )) sen(d (t   ))d 1  2 0   0

t

  vg ( ) exp(   (t   )) cos(d (t   ))d  0 t

  vg ( ) exp(   (t   )) sen(d (t   ))d 0

Y por tanto PSv (T ,  )   Sd (T ,  ) En forma similar y considerando

vT (t ) 

c k v(t )  v(t ) m m

PSa (T ,  )   2 Sd (T ,  ) y por tanto

PSa (T ,  )   PSv(T ,  ) Los pseudo espectros presentan un buen comportamiento en general excepto para periodos grandes y mayores amortiguamientos.

Figura 12.24 Comparación Espectro y Pseudo Espectro de Aceleración DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

98

Figura 12.25 Comparación Espectro y Pseudo Espectro de Aceleración 12.8. ESPECTRO TRIPARTITA Resume los contenidos de los pseudoespectros de desplazamientos y aceleración Dado que:

PS d 

T PS v  log( PS d )  log(T )  log(2 )  log( PS v ) 2

Entonces

PS a 

2 PS v  log( PS a )   log(T )  log(2 )  log( PS v ) T


99

Figura 12.26 Gráfico Tripartita. Ejemplo:

Tn  1 sec PSv (Tn,  )  2 cm

s

Entonces

log( PS d (Tn ,  ))  log(1)  log(2 )  log(2 )  PS d (Tn ,  )  1 cm log( PS a (Tn ,  ))  log(2 )  log(Tn )  log( PSv (Tn ,  ))

log( PSa )  2 log(2 )  PSa (Tn ,  )  (2 ) 2


100

Figura 12.27 Representación Unificada en Grafico Tripartita. 12.9. OTRAS VARIABLES DE RESPUESTA SISMICA 12.9.1. Integral de Housner George W. Housner (December 9, 1910 (Saginaw, Michigan) - November 10, 2008 (Pasadena, California)) Housner, George (1989) Interview with George W. Housner. Oral History Project, California Institute of Technology Archives, Pasadena, California.

2.5

Integral de Housner 

SI 

1  PSv(T ,   0.20)dT 2.4 0.1

La banda de períodos utilizada es la más frecuente en edificios. Muy sensible al amortiguamiento utilizado por tanto se recomienda utilizar 20% de razón de amortiguamiento crítico. Al usar Sv no considera comportamiento inelástico de estructuras.


101

Figura 12.28 Bandas Definidas en el PseudoEspectro de Velocidad. (dinaHousner.m)


102

Figura 12.29 Concepción 2010. Dirección Predominante SI. 12.9.2. Relación entre Energía y Espectro de Fourier t

1 v (t )  vg ( ) exp(   (t   )) sen( D (t   )) d  D 0 Si   0 t

v (t ) 

1 vg ( ) sen( (t   )) d  0

La energía Total de 1 GDL: E (t ) 

1 2 1 kv (t )  mv 2 (t ) 2 2 2

t  1 t  1 1  k   vg ( ) sen( (t   ))d   m   vg ( ) cos( (t   ))d  2  0  2 0  2



2

t  t  E (t ) * 2 2    v (  ) sen (  ( t   )) d      vg ( ) cos( (t   ))d  2  g m  0  0 

2


103

Si desarrollamos sen ( t   ) y cos( t   )

sen(t   )  sen t  cos    sen   cos t  cos(t   )  cos t  cos    sen t  sen   Por tanto

cos 2 (t   )  sen 2 (t   )  cos 2 (t ) cos 2 ( )  2 cos t  cos   sen t  sen    ... ...  sen 2 t  sen 2    sen t  cos 2    2sen t  cos   sen   cos t   sen 2   cos 2 t   2

 cos 2 ( ) 2  sen 2 ( ) 1/ 2

2 2 t  t   2 E (t )      vg ( ) cos( )     vg ( ) sen( )   m  0  0  

La Transformada de Fourier de la aceleración

vg (t ) 





 v (t ) exp(it )dt   v (t ) exp(it )dt g

g



0

exp(it )  cos(t )  isen(t ) 



0

0

 vg (t )   vg (t ) cos(t ) dt i  vg (t ) sen(t ) dt 2 2       vg (t )    vg (t ) cos(t )dt     vg (t ) sen(t )dt    0  0  

1/ 2

Lo anterior indica que la Transformada de Fourier es una medida de Energía al final del sismo. Máximos en el Espectro de Fourier son indicadores que gran energía se ha introducido al sistema.


104

Figura 12.30 Registro de Concepción 2010. Espectro de Fourier y Espectro de Respuesta para amortiguamiento nulo. dinafftSv.m Normalmente la energía máxima no ocurre al final del sismo por tanto la transformada de Fourier es siempre menor a Sv. Sin embargo es muy importante dado que el amortiguamiento es nulo que el espectro de respuesta se calcule con un gran número de ceros para incluir la respuesta libre después de terminado el registro. Notar que la velocidad máxima del sistema se puede estimar a partir de la evolución dela energía.

E (tmax )  Emax por tanto se puede estimar la velocidad máxima posible como

1 2 Emax  mvmax 2 2 Emax vmax  m 12.9.3. Intensidad de Arias

 IA  vg2 (t )dt  2g 0 t

(falta desarrollar esta ecuación) DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

105

 ai (t )a j (t )dt 2 g 0 t

IAij 

 IA11 IAij   IA21   IA31

IA11 IA22 IA32

IA11  IA23   IA33 

Escala de medida de energía

Figura 12.31 Kobe EQ Intensidad de Arias (Arturo Arias Prof. Univ. de Chile). Rotated Record IA (trace)= 1569.23 I=

vect =

543.4058 -228.3716

2.1706

-228.3716 839.0633 -15.5247 2.1706 -15.5247 186.7571

vals =

0.0118

0.8785 -0.4776

0.0279

0.4771

0.8784

0.9995 -0.0236 -0.0189

186.3495

0

0 419.3228 0

0 0

0 963.5540

traza = 1.5692e+003


106

13. MÉTODO DE RAYLEIGH 13.1. BALANCE DE ENERGÍA

Figura 13.1 Sistemas de un GDL amortiguado.

v(t )  z0 sen(t ) v(t )  z0 cos(t ) E. cinética Ek (t ) 

1 1 mv(t ) 2 E. potencial E p (t )  kv 2 (t ) 2 2

E p (t )  Ek (t )  E  cte

E p max  E Ek max  E 

debe cumplirse pues el máximo de una se encuentra cuando la otra es cero.

1 1 1 2 2 2 k v  m v  m 2 v 2 2 2

A partir de la energía obtenemos la frecuencia   2 

k m

Este método parte de establecer para una estructura la forma de vibrar  (x) , luego

v( x, t )   ( x) y (t )   ( x) z0 sen(t )

2

l   2v  1 1 2 Ek (t )   m( x) x  2 ( x, t )    m( x)  ( x) z0 cos(t )   x 2 20 t  0 l

l

Ek 

1 2 2 z0    ( x ) 2 m( x ) x 2 0

Falta calcular la energía potencia:


107

Ep 

1 2 k 2

Ep 

1 1 1 M   ( k  )  k  2 2 2 2 l

1 E p   M ( x, t ) ( x, t ) x 2 0

M ( x, t )  EI ( x )

 2v ( x, t )  x2 2

l   2v  1 E p   EI ( x )  2 ( x, t )   x 20  x 

Remplazando el  (x) : l

 Ep 

1 2 EI ( x) z02 sen 2 (t )  ''( x )   x  20 l

1 2 EI ( x) z02  ''( x)   x  20

 Ep 

Ek  E p l

 EI ( x)  ''( x)

2

  2

x 

0

l

 m( x)  ( x)

2

x

k* m*

0

Ejemplo: viga simplemente apoyada. Construimos  como una parábola talque cumpla las condiciones de borde en los apoyos 2  x  x  x x  ( x)    1     2  L  L  L L 2   ''( x)   2  cte L 120 EI 2  mL4 EI ( x)  M  cte



No puede ser.

Veamos  como una sinusoide.


108

 ( x)  sen(

x ) L

  x  ''( x)    sen   L  L  2

 2  97.4

EI mL4

La frecuencia menos es la que más se acerca a la forma de vibrar real.

k1  375 k 2  192

Nos damos un

1   

1   como primer modo.  0 .9 

Energía Cinética

Ek 

1 1 2 mi vi   mi 2 vi  2 2

2

1 2 z0  mi i   2 2 1 50.5 2 2  z0 2  50*0.92   10*12   z0  *1000 2 2 

Energía Potencial.

 Ev  

2 1 k piso i  vi  vi 1     2

1 2 2 z0  k piso i i  i 1  2 1 2 2  z02 3750 1  0.9   1920  0.9   *1000   2 1  z021592.7 *103 2 

Luego

2 

1592.7  31.54 50.5

  5.6 rad/seg (para el primer modo)


109

13.2. COORDENADAS GENERALIZADAS

Generamos la ecuación de equilibrio dinámico a partir de una forma de vibrar mediante Desplazamientos Virtuales  v Ecuación de trabajo:

 W  F (t ) v  FD (t ) v  FE (t ) v  P (t ) v  0 L

N

N

0

n 1

n 1

L

L

N

0

0

n 1

  m  x  z  t    x   vdx   M n  z  t    xn   v   I 0 n  z  t     xn   v  ...   EI  x  z  t  ( x ) vdx   k  x  z  t   x  dx v   k n  xn  z  t   ... L

N

L

0

n 1

0

  c  x  z  t   x   vdx   cn  xn  z  t   v   p  x, t   vdx  0 Agrupando por variable de movimiento: N N L    z  t    m  x   x    x   zdx   M n  xn    xn   z   I 0 n   xn     xn   z   ... n 1 n 1 0 

L N L   z  t    EI  x  ( x) ( x) zdx   k  x   x    x  dx z   kn  xn    xn   z   ... n 1 0 0 

L N  L  2  z  t     c( x )  x  dx z   cn  xn    xn   z     p( x, t )  x   zdx n 1 0  0 

Así

m  z  t   c z  t   k  z  t   p  t  Donde en general L

N

N

m   m  x    x   dx   M n  xn    I 0 n in ( x ) ' 0

2

n i

2

2

n 1


110

L

N

c   c  x    x   dx   cn   xn   2

2

n 1

0

L

L

N

k    k  x    x   dx   EI ( x )   dx   k n   xn   2

0

2

2

n 1

0

L

N

0

n 1

p (t )   p  x, t   x  dx   p  xn    xn  

Y

2 

k* m* 14. SISTEMA DE N GDL

Siempre trabajamos con los GDL dinámicos. Si tenemos exceso de estáticos, debemos condensar hasta tener solo los dinámicos. Para NGD, se tiene que en el equilibrio de fuerzas:

 f I (t ) nx1   f D (t )nx1   f E (t )nx1  P(t ) Donde las fuerzas elásticas, de inercia y disipación, se definen como:

 f E (t )nx1   K nxn v(t )nx1  f I (t )   M nxn v(t )nx1  f D (t )nx1  C nxn v(t ) nxn 14.1.1. Fuerza Elástica Uno de los primeros pasos para resolver esto, es el cálculo de la matriz de rigidez, identificar los grados de libertad del sistema la matriz de masa, para esta última debemos poner preferentemente los GDL en el centro de masa. Ejemplo:

 EA   L  K    0   0 

0 12 EI L3 6 EI 12 EI R  L2 L3

   6 EI 12 EI R   2 3  L L  6 EIR 4 EI  12 EIR 6 EI     R  2  2 L2 L L    L 0

Figura 14.1 Ejemplo de matriz de rigidez. Para K33: si giro 1, se tiene


111

14.1.2. Fuerza Inercial

 m0  M    0  0

0 0  I 0 

0 m0 0

Cuando escogemos GDL en el centro de masa, la matriz es diagonal, lo que facilita enormemente los cálculos. 14.1.3. Disipación

 f D (t )nx1  C nxn v(t ) nx1 En general no calculamos C dado que normalmente el disipador no existe. 14.2. RELACIONES BÁSICAS: RIGIDEZ, FLEXIBILIDAD Y TRABAJO 14.2.1. Condensación Estática

 K v(t )  FE (t )  K 00    K10 

 K 01  v0 (t )   F0 (t )   K11  v1 (t )   F1 (t )  0

 K10 v0 (t )   K11 v1 (t )  F1 (t )  0 v1 (t )    K11   K10 v0 (t ) 1

 K 00 v0 (t )   K 01  K11   K10 v0 (t )  F0 (t ) 1

 K

   K01  K11   K10 v0 (t )  F0 (t ) 1

00

 I    v0 (t ) v(t )  T v0 (t )   1    K11   K10 

K~   T 

T nxn

K nxn T nxn

T  , no depende del tiempo, entonces: DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

112

v(t )  T v0 (t ) v(t )  T v0 (t ) v(t )  T v0 (t )

C~   T  C T  T

T  M   T   M T 

14.2.2. Trabajo y Energía de Deformación Matriz de flexibilidad

v1  f11 p1  f12 p2 ... f1n pn

v   F P Rigidez

P   K v

Energía de deformación. (V)

V

1 N 1 T Pi  vi   P v  2 i 2

Utilizando flexibilidad

V

1 T  P  F  P 2

De manera alternativa utilizando matriz de rigidez

V

1 1 T T  P v  v  K v 2 2

Como la energía de deformación es positiva

v   K v  0 T

 P  F  P  0 T

Por tanto para v y P arbitrario [K], [F] son positiva definidas no singulares o invertibles. Entonces

v   F P P   K v 1 1  K  P   K   K v 1  K  P  v  K   F  1

14.2.3. Ley de Betti Tenemos dos sistemas de cargas 1 y 2 sobre un cuerpo DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

113

Trabajo de Carga 1 a través de desplazamientos 1. W11 

1 T  P1 v11 2

Luego se aplica carga 2 lo que genera un trabajo adicional de: W22  W12  El trabajo total es: WTotal  W11  W22  W12 

1 T T  P2  v22    P1 v12  2

1 1 T T T  P1 v11   P2  v22    P1 v12  2 2

Si aplicamos en orden inverso: Carga 2: W22 

1 T  P2  v22  2

Trabajo Adicional W11  W21 

1 T T  P1 v11   P2  v21 2

Trabajo Total: WTotal  W11  W22  W21 

1 1 T T T  P2  v2    P1 v11   P2  v21 2 2

Debido a que la energía de deformación es independiente de la aplicación a la carga

 P1 v12    P2  v21 T

T

“El trabajo hecho por un grupo de fuerzas debido a las deformaciones de un segundo grupo de fuerza es igual al trabajo hecho por el segundo grupo de fuerza debido a las deformaciones del primer grupo” 14.2.4. Ecuación de Equilibrio Dinámico Luego la ecuación característica de equilibrio, para un sistema de NGD es:

 M v(t )  C v(t )   K v(t )  P(t ) Solución a la ecuación: Primero resolvemos para [C] = 0 Problema homogéneo:

 M v(t )   K v(t )  0 Donde su solución es conocida:

y (t )  y0 sen (t )

v(t )nx1  nx1 y (t )   y0 sen(t )

v(t )   2  y0 sen(t ) Si remplazo la solución.

 M v(t )   K v(t )  0  2  M  y0 sen(t )   K  y0 sen(t )  0  K nxn   2  M nxn   nx1  0nx1 DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

114

det  K    2  M   0 De esta ecuación se obtiene  i (Valores propios.), los que representan las frecuencias de cada modo. Problemas de valores propios n soluciones. n frecuencias. n valores propios. Ejemplo 1

1 0   2 2  K      0 2  2 4   0.7071  0.7071        0.5000  0.5000 0   0.5858  2    0 3.4142  

M   

polcaract =

[1

-4

2]

Figura 14.2 Polinomio característico 2 DOF. Ejemplo 2 DOF: 5

M Piso  2 K Piso  3   0.05

Polinomio característico:

1.00, 13.50,63.00, 118.13,75.94, 7.59   0.4221 0.3879 0.3223 0.2305 0.1201  0.3879 0.1201 0.2305 0.4221 0.3223       0.3223 0.2305 0.3879 0.1201 0.4221     0.2305 .04221 0.1201 0.3223 0.3879  0.1201 0.3223 0.4221 0.3879 0.2305 

 2   0.1215 1.0354 2.5731 4.2462 5.5238


115

Figura 14.3 Polinomio característico 20 DOF 14.3. FORMULACION DE VALORES PROPIOS CON FLEXIBILIDAD

 K    2  M     0

 K   K    2  M    0 1

  2  I    F  M     0  nxn   1    2  I    F  M     0 No es un problema simétrico por tanto es más difícil de resolver y converge a los valores mayores. 14.4. PROPIEDADES DE ORTOGONALIDAD DE MODOS

 K   i2  M  i   0

i 2  M i    K i  Multiplicando por

 

T

j

i 2  j   M i    j   K i        (1) T

T

1 x1

1 x1

Consideremos la ecuación para el modo j

 2j  M  j    K  j  =>  j

2

// pre-multiplicando por i 

T

T T i   M  j   i   K  j  2


116

Restando (2) – (1)

 2j i   M  j   i2 i   M  j   0. T



2 j

 i2  i   M  j   0 T

j =>  i

si i =>

T

 j.

i   M  j   0 T

i   M  j   T

Ortogonalidad de modos respecto a la matriz de masa [M].

Mi  i  j 0i  j

mi Masa modal

En forma similar para la matriz de rigidez

i   K  j    2j i   M  j   0 si i  T

T

j

En general

i   K  j   T

Ki  i  j

k i Rigidez modal

0i  j

 K  j    f j 

Dado esta propiedad si consideremos las fuerzas asociadas a un modo como Entonces debido a la ortogonalidad el trabajo de esas fuerzas es nulo: =>

i   f j   0 T

En resumen

i   M  j   T

i   K  j   T

Mi  i  j 0i  j Ki  i  j 0i  j

mi Masa modal

k i Rigidez modal

14.4.1. Condiciones Adicionales de Ortogonalidad Considerando

 K n   n2  M n  y con m  n

Si premultiplicamos por m 

T

 K  M 

1

m   K  M   K n   n2 m   K  M   M n   0 T

1

1

T

m   K  M   K n   0 que es otra regla de ortogonalidad T

1

Adicionalmente si premultiplicamos por m 

T

 K  M   K  M  1

1

m   K  M   K  M   K n   n2 m   K  M   K n  y dado la regla anterior T

1

1

T

1


117

m   K  M   K  M  n   0 1

T

1

 

Otra familia es utilizar la matriz de flexibilidad: K Considerando

1

 F 

 K n   n2  M n  , con m  n y premultiplicando por

1 T  M  F  2  m  n

n2 1 T T  M F K    M  F  M n          n m 2 2  m  n n De donde:

1 T T  M n   m   M  F  M n  de donde se genera la ortogonalidad 2  m  n

m   M  F  M n   0 T

Ahora si premultiplicamos

 K n   n2  M n  por

1 T  M  F  M  F  2  m  n

n2 1 T T  M  F  M  F  K n   2 m   M  F  M  F  M n  2  m  n n De donde:

1 T T  M  F  M n   m   M  F  M  F  M n  y se genera la ortogonalidad 2  m  n

m   M  F  M  F  M n   0 T

Estas dos familias de propiedades ortogonales se pueden presentar mediante

m   M   M   K  n   0 1

T

b

  b  

b0

m   M n   0

b 1

m   K n   0

b2

m   M  M   K  M   K n   0 1 T m   K  M   K n   0

b  2

T

T

T

1

1

m   M   K   M   K   M  n  T

1

1

m   M  F  M  F  M n   0 T

Estas reglas de ortogonalidad permitirán generar luego matrices de

C  proporcionales.

14.5. NORMALIZACIÓN MODAL Dado las características de diagonalidad de la matriz de masa:


118

n

i   M i   M i   m j ji2 T

j 1

Si normalizamos los modos talque:

 'i  

i  n

m  j

j 1

=>  'i 

2 ji

 M  'i   1   'i    'i   K  'i 

=> i  'i  M 2

=> i   'i 

T

2

T

T

 K  'i 

T

14.6. COORDENADAS MODALES

La respuesta de una estructura de puede ver como una combinación de todas sus formas de vibrar. n

v(t )   yi (t ) i  i 1

v(t )  y1 (t ) 1  ....  yi (t ) i   ... i   M v(t )  i   M  y1 (t ) 1  ....  i   M  yi (t ) i   ... T

T

T

Donde por ortogonalidad todos los términos son = 0, menos i 

T

i   M v(t )  M i yi (t ) T

 M  yi (t ) i 

//Mi masa modal

Luego

   M v(t ) y (t )  i T

i

Mi


119

14.7. ¿CÓMO RESOLVEMOS?

Figura 14.4 Sistemas equivalentes de 1 GDL. n

v(t )   yi (t ) i  i 1

v1 (t )    v2 (t )   1 y1 (t )  2  y2 (t )  3 y3 (t )  v (t )   3  Encontrar

 M v(t )  C v(t )   K v(t )  P(t ) Platear problemas de valores propios sin amortiguamiento (la aproximación es muy buena)

 K   i2  M  i   0 Encontrar todas las formas modales

  ,   2

Obtenemos los parámetros modales

M i  i   M i  T

Pi (t )  i  P (t ) T

K i  i2 M i

i = 1…n

Encontramos las condiciones iniciales para cada forma modal.

   M v(0) y (0)  i T

i

Mi

i   M v(0) T

yi (0) 

;

Mi

Entonces se resuelve de la siguiente manera:

 M v(t )  C v(t )   K v(t )  P(t ) 







 j 1







 j 1



 M   y j (t )  j   C   y j (t )  j    K   y j (t )  j   P(t ) n

 j 1

n

n




120

i 

T

Premultiplicando por







 j 1







 j 1







 j 1









i   M   y j (t )  j   C   y j (t )  j    K   y j (t )  j   P(t ) T

n

n

n

Y reconociendo los valores nulos debido a las propiedades de ortogonalidad, extendidas a la matriz de amortiguamiento:

i   M i  yi (t )  i  C i  yi (t )  i   K i  yi (t )  i  T

T

T

Por ahora asumimos que conocemos  i

T

i =1…n y que i 

T

Pi (t )

C i   Ci

Tenemos finalmente

M i  yi (t )  Ci y i (t )  K i yi (t )  Pi (t ) o

 yi (t )  2i  i y i (t )  i2 yi (t )  Pi (t ) / M i Encontramos las solución:

i = 1…n

 yi (t ) , yi (t ) , yi (t ) y la respuesta final del sistema.

v(t )   yi (t ) i  v(t )   yi (t ) i  v(t )   yi (t ) i  Las fuerzas elásticas

 f E (t )   K v(t )    f Ei (t )    K i  yi (t ) Dado el problema de valores propios

 K   i2  M  i   0

 K i   i2  M i   f E (t )   i2  M i  yi (t )   M   i2 i  yi (t ) El cortante total dado por las suma de las fuerzas en cada dirección

Q (t )  1

T

 f E (t )   i2 1  M i  yi (t )   i2 Li yi (t ) T

Donde se define e factor de participación modal como

Li  1  M i  T


121

Figura 14.5 Contribución modal a respuesta total de un GDL. (dinaRespSismoNGDLModal

NGDL=5; m=100 k=12183)


122

Figura 14.6 Efecto del amortiguamiento en el cálculo del corte basal. Tres formas de calcular. (dinaRespSismoNGDLModal

NGDL=5; m=100 k=12183)

14.8. ¿COMO CALCULAMOS LA MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO? Tenemos que desacoplar el problema (usando la ortogonalidad de las formas modales)

 M v(t )  C v(t )   K v(t )  P(t ) 







 j 1







 j 1



 M   y j (t )  j   C   y j (t )  j    K   y j (t )  j   P(t ) n

 j 1

n

n



  Premultiplicando por i

T







 j 1







 j 1







 j 1









i   M   y j (t )  j   C   y j (t )  j    K   y j (t )  j   P(t ) T

n



n



n

i   M i  yi (t )  i  C   y j (t )  j   i   K i  yi (t )  i  T

T

n

 j 1

C 

T



T

Pi (t )

no es una matriz necesariamente diagonal ya que no participa en el problema de valores propios.

Se puede construir una matriz proporcional de varias maneras. DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

123

14.8.1. Amortiguamiento Proporcional de Rayleigh John William Strutt, tercer Barón de Rayleigh. (n. Essex, 12 de noviembre de 1842 - m. Witham, Essex, 30 de junio de 1919) fue un físico y profesor universitario británico galardonado con el Premio Nobel de Física en 1904. Strutt descubrió la existencia de los gases inertes principalmente el Argón y el Radón. Las primeras investigaciones de Rayleigh son en matemáticas específicamente óptica y sistemas vibratorios. Posteriormente cubrió casi todo el mundo de la física: sonido, ondas, visión del color, electrodinámica, hidrodinámica, viscosidad, etc. “Lord Rayleigh, Theory of Sound. (Dover Publications, New York, 1945), Vol. I.” Decimos que [C] es combinación lineal de [M] y [K].

C   aM   bK 

  C      a  M   b  K   T

j

T

i

j

i

aM i  bK i  Ci  i  j 0i  j 

  C     T

j

i

Ci  aM i  bKi Cci  2M ii i 

1 Ci 2 M ii

i 

Ci aM i  bK i 1 b   a  i Cci 2 M i 2i 2

Si asumo dos  i con los

i obtengo las constantes a y b

La matriz de Rayleigh tiene las mismas propiedades de ortogonalidad de [M] y [K], es decir:

i 

 1 1  a  i b  2  i 

1   i  1  i      j  2  1   j

 i   a   b j    


124

Figure 14.7 Amortiguamiento de Rayleigh. Control utilizando dos modos. Dinaraleyghdamp.m

14.8.2. Amortiguamiento Proporcional de Caughy T.K. Caughey, 1927 – 2004Profesor de Caltech. Classical normal modes in damped linear dynamic systems, J. Appl. Mech. 27 (1960) 269-271.Ver http://oralhistories.library.caltech.edu/142/01/OH_Caughey.pdf

C    Cb   M  ab M 1 K 

b

i 

1 2i

a  b

2b i

b

Para ajustar con b entero: 2   b  0,1 3   b  1,0,1 4   b  2,1,0,1 o  1,0,1,2 Para el caso de dos valores de amortiguamiento obtenemos el caso de Rayleigh: DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

125

1 

1 1  a0  a112  ab12b   21 b 0,1 21

2 

1  a0  a122  22 14.8.3. Amortiguamiento Proporcional de Penzien – Wilson

Joseph Penzien

Edward Wilson

http://www.eeri.org/site/images/projects/oralhistory/penzien.pdf

http://www.edwilson.org/

Si conozco todos los  i puedo entrar un

C  proporcional

Luego:

0  211M 1 0     .... 0   C     0     0 0 2 nn M n  T

Luego, se puede calcular [C] como:

C    

T

 

1

  

1

Pero:

 M i       M    T

Considerando que

M i  M i   I  1

 M i      M      I  1

T

  Post multiplicando por

1

 M i 1   T  M      1   I   1  

 M i     M     1

1

T

En forma similar

 M i  M i 

1

 I 

  T  Pre multiplicando por  

1


126

    M    M i 

1

T

 M    M i 

1

 I 

T       

1

Por tanto

C    M   M i      M i     M  1

1

T

Pero

  2ii 1 1  M i    M i    Mi  

   por tanto   

   N  2  ii  C    M    i   Mi i 1     

      T   M   i      



N

C    M     i 1

2ii T  i i    M  Mi 

Para aquellos vectores que no se coloque amortiguamiento tendrán valor cero en la solución del problema. Adicionalmente podemos utilizar una combinación de Rayleigh y Wilson – Penzien. Siguiendo la recomendación de Clough y Penzien. Sumamos ambos efectos. Se define el último modo al cual se le asigna un amortiguamiento c ,  c y se estable Rayleigh:

C   ac  K  de donde y ac  i 

2c el amortiguamiento para cualquier otra frecuencia es c

  1 1  2  aci   c  i   c  i  2 2  c   c 

Para las frecuencias bajo

c se debe modificar su valor

  i  i   c  i   c  Finalmente



c

C   ac  K    M     i 1

2ii T  i i    M  Mi 


127

15. RESPUESTA SISMICA PARA UN SISTEMA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

v  T

nx1

 vnx1  rnx1 vg (t )1x1

1 r  1 1 

Figura 15.1 Ejemplo de Matriz de Influencia r.

 M vT (t )  C v(t )   K v(t )  0  M v(t )  r vg (t )  C v(t )   K v (t )  0

 M v(t )  C v(t )   K v(t )    M r vg (t )  Pefectivo (t )  K   i2  M  i   0

i   M i  yi (t )  i  C i  yi (t )  i   K i  yi (t )   i   M r vg  t  T

T

T

M i  yi (t )  Ci yi (t )  K i yi (t )   Li vg (t )

T

i =1…n

M i C i K i : Masa, Disipación y Rigidez modal Li : Factor de participación modal 15.1. CASO SÍSMICO SOLUCIÓN EN EL TIEMPO

1 yi  t   M iDi

yi  t  

yi  t  

t

p

i _ eff

( )e  ii ( t  ) sen (Di (t   ))d

0

1 Li vg ( )e  ii ( t  ) sen (Di (t   ))d  M iDi 0 t

t  Li   ii ( t  )  sen(Di (t   ))d    vg ( )e M iDi  0    Vi ( t ) V ( t , i ,i ,vg )

yi  t  

Li V (  i , i , vg ) M ii

La desplazamientos totales son la suma de los modales


128

v(t )  i  yi (t )  i 

Li Vi (t ) M ii

FE (t )   K v(t )   K i  FE (t )    M i 

i2 Li Vi (t ) M ii

FE (t )   M i 

i Li Vi (t ) Mi

Li Vi (t ) M ii

La ventaja de esto, es que [M] es típicamente diagonal y [K] no. Ejemplo

Si

m  m1  m2  m3 y k  k1  k2  k3 encontrar matriz de masa, rigidez, formas modales y factor de

participación. Repetir caso aislado asumiendo

k1  0.05k

15.1.1. Cortante Basal

Q (t )  1 FE (t ) T

 1

T

Lii

  M   M

 Q (t )  

i

Vi (t )

i

L2i iVi (t ) Mi

L2i Se llama masa modal efectiva Mi Una propiedad importante asociada a la masa modal efectiva es:


129

n

M total   i 1

L2i T  1  M 1 La norma exige un 90 o 95% Mi

Demostración Si definimos un vector unitario en forma modal

1   vi    Y  Cada coeficiente es:

   M v  M  i T

yi

Mi

yi  i   M 1  Li que es el factor de participación modal. T

i

L  Li por tanto 1      i  Mi  Mi 

 yi 

La masa total de la estructura es:

L  T T M T   diag  M   1  M 1  1  M     i   Mi   L  N L2 M T   L1........Ln   i    i  M i  i 1 M i 15.1.2. Aceleración de Piso

 M vT (t )  C v(t )   K v(t )  0 Reordenando

  M vT (t )  C v(t )   K v (t ) Además

 K i   i2  M i  1   M   K i   i2 i  Si

v(t )  i  yi (t )

  M vT (t )   C i  y i  t     K i  yi (t ) Usando amortiguamiento Rayleigh e identidad de valores propios:

  M vT (t )    a  M i  y i  t   b  K i  y i  t     i2  M i  yi  t  1 M  Premultiplicando por

 vT  t     a i  y i  t   i2b i  y i  t     i2 i  yi  t  Pero DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

130

Ci  aM i  bK i  aM i   2bM i Ci   a  i2b  M i



Ci

Mi

 a  i2b  2i i

Remplazando

2    y  t       y  t  v (t )   T

i

i

i

i

2 i

i

i

i 10

v (t )      y  t  T

2 i

i

i

En caso espectral el máximo valor modal es i

2

 Li   Li   Sdi  i    Sai . Luego se aplica la  Mi   Mi 

i  

combinación correspondiente. 15.1.3. Desplazamiento de Entrepiso

v(t )  i  yi (t ) v j  v j ( t )  v j 1 ( t )    j ,i   j 1,i  yi ( t ) 15.2. RESPUESTA ESPECTRAL

Figura 15.2 Espectros de Respuesta El Centro 1940. dinaRespSismoNGLDEspectr.m DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

131

Utilizando la respuesta modal J N

J N

i 1

i 1

v(t )   vi (t )   i  yi (t ) Respuesta Modal Máxima

yi  t   yi 

Li V (  i , i , vg ) M ii

Li Sd (  i , Ti ) Mi

Desplazamiento Modal Máximo

vi  i 

Li S d (  i , Ti ) Mi

Fuerza Modal Máxima

Li i2 Li Vi (t )   M i  Vi (t ) FEi (t )  [ K ]vi (t )  [ K ]i  M ii M ii Para el valor máximo

 F    M   L  SM(  , T ) i

Ei

2 i d

i

i

i

i

 F    M   Ei

i

Li PS a (  i , Ti ) Mi

Desplazamiento Modal Máximo de Entrepiso Edificio de Corte

v j ,i  v j ,i (t )  v j 1,i (t )   j ,i   j 1,i  yi (t ) Para un edificio de corte. Esta expresión debe variarse para cada caso.

v j ,i   j ,i   j 1,i 

Li Sd (  i , Ti ) Mi

15.2.1. Combinación Modal ABS

R  R

 Conservador, pues sabemos que sumando todos los máximos, nunca se va a tener

i

respuestas mayores SRSS: Importante esto es válido para situaciones de duraciones importantes, no impulsivas y no monofrecuenciales

 R    R

i



1 2 2

NCH433 OF 72


132

 R

NCH 1972

1    Ri  2 

  Ri

1 2 2

  

CQC N

N

 

R 

j 1 i 1

ij

Ri R j CQC

Donde: Según Der Kiureghian (1981)

ij 

1  r  2

8 i  j  i  r  j  r 2



3

 

2



 4 i  j r 1  r 2  4  i2   j2 r 2

con r



Ti Tj

Para amortiguamientos iguales:

ij 

8 2 1  r  r

1  r  2

2

3

2

 4  2 r 1  r 

2

En la norma Chilena NCh433 que es lo misma anterior dividida por (1  r )

ij 

8 2 r 3/ 2 (1  r )(1  r ) 2  4 2 r (1  r )

Rosemblueth y Elorduy (~1969) propuso una solución intuitiva similar.


133

Figura 15.3 Norma Chilena NCh433 y original. Ejemplo EQ: El Centro; NGDL= 5 M=

m=100; k=12183; beta=0.05;

K=

100

C=

0

0

0

0

12183

-12183

0 100

0

0

0

-12183

24366

0

0 100

0

0

0

-12183

24366

0

0

0 100

0

0

0

-12183

0

0

0

0 100

0

0

w=

T=

0

0

0

94.6621 -55.1846 -12.2270 -4.8649 -1.8935

0

0

-55.1846 137.6197 -47.8225 -9.2556 -2.9714

-12183

0

-12.2270 -47.8225 140.5910 -45.9290 -7.3622

-12183

0

24366 -12183 -12183

24366

-4.8649 -9.2556 -45.9290 142.4845 -42.9576 -1.8935 -2.9714 -7.3622 -42.9576 149.8467

phi =

3.1416

2.0000

0.0597

0.0549

0.0456 -0.0326

0.0170 -0.0326

0.0170

9.1704

0.6852

0.0549

14.4563

0.4346

0.0456 -0.0326 -0.0549 -0.0170

18.5709

0.3383

0.0326 -0.0597

0.0170 -0.0456 -0.0549

21.1811

0.2966

0.0170 -0.0456

0.0597

SaTn = 0.1787

Yn = 20.9706

Ln = 20.9706

0.0597 -0.0456

0.0549

0.0597

0.0326

Mn = 1.0000


134

0.6502

-6.6022

-6.6022

1.0000

0.6914

3.4796

3.4796

1.0000

0.6439

1.9377

1.9377

1.0000

0.7043

0.8853

0.8853

1.0000

Figura 15.4 Compara respuesta espectral y tiempo historia.


135

16. VECTOR DE INFLUENCIA Para la siguiente estructura, se tiene:

v  T

nx1

 vnx1  rnx1 vg (t )1x1

1 r  1 1 

hn    r  h   1

m1  m2 0  m1  0

M   

 FI (t )    M vT (t )   M v(t )  r vg (t ) 1  r  0  m1  m2 0  m1  0

M   

 FI (t )    M vT (t )   M v(t )  r vg (t ) h  r  L

 m1  m1  M    m2   1 0  r 1 0

0 h  1 L   0 h  1 0 

     m2  vgx (t )  vg (t )  vgy (t )    (t )   g 


136

17. TORSIÓN

0 m m  ab  M    0 mr 2 1 2 2 I0  m a  b  0 0 12



1  v  0  0   

0  v  0  1   

0  v  1  0   

k11   k ix *1



k 22   k xi y i2  k yi xi2  k

k 31  0

k 21   k xi y i    k xi  K     k xi yi  0 



 k xi yi k 22  k yi xi

0 0  m



k 33   k yi

k 23   k yi xi

0    k yi xi   k yi 

k x   k xi

k y   k yi



k   k xi y i2  k yi xi2  k



k x e y   k xi y i k y e x   k yi xi

Excentricidad del centro de masa

ex 

1 ky

k

x

yi i


137

ey 

1 kx

k

xi

 kx K    e y k x  0 

yi  ey kx k ex k y

0   ex k y  k y 

Ejemplo:

1 0 M   0 r 2 0 0

k1  1

k  0

r

I0 m

k 31  0

k 22

a a a a k 21  k  k  k  k 2 2 2 2 ak 2

 a2 3 ka 2  k 4   ak

5 3  1500  K   k 5 4   0 10 

  

kx  k y  k  1 m 1 a  10

k3  1

k2  1

k11  3k

  3k  K    ak 2 0  

0 0 1

k 33  3k 2 2 2 a a a        ka 2  k    ka 2  k    ka 2  k   k 23   ka 2 2 2 k13  0

 0    ak   3k   

0  1 0   100 10  k  1 M   0  0 6 0   3 

0  0 1


138

3.8  0.45 0.89 0.21     T  3.6      0.03 0 0.87  1.3   0.9 0.45 0.43 Excentricidad

ex 

1 ky

k

yi

xi  

ak 10  3k 3

a 1 10 e y   k xi y i   2   kx 3k 6 k

 10 10  CR    ,   . 6   3 Si tenemos una acción arbitraria:

 M v(t )  C v(t )   K v(t )  P(t )

 K   i2  M  i   0 En caso de movimiento en la base:

vg1 (t )    P(t )   M  r  vg 2 (t )    vg 3 (t ) 


139

18. SISTEMAS CONTINUOS Se tiene el siguiente estado de cargas:

Figura 18.1 Equilibrio de un elemento en flexión. Luego, con un diagrama de cuerpo libre se identifican las fuerzas que intervienen en el sistema, trabajando siempre, sobre el eje neutro Haciendo sumatoria de fuerzas verticales:

F

0

y

 V ( x, t )  p ( x, t )dx  V ( x, t ) 

V ( x, t ) dx  f I ( x, t )dx x

Despejando se obtiene

 p ( x, t ) 

V  f I ( x, t )  (1) x

f I ( x, t )  m( x )

Pero, se sabe

 2 v ( x, t ) t 2

Luego haciendo sumatoria sobre los momentos a los que está sometido el cuerpo:

M

0

0

 M ( x, t )  p ( x, t ) dx

dx dx V ( x, t ) M ( x, t )  f I ( x, t )dx  V ( x, t )dx  dxdx  M ( x, t )  dx  0 2 2 x x

Con lo que se obtiene



M ( x, t )  V ( x, t )   2  x

Sabemos además (ecuación de la elástica)

M ( x, t )  EI ( x)

 2 v ( x, t )   3 x 2

Sustituyendo en (3) y (2) en (1)


140

 2 v  x, t   2   2 v  x, t   m( x )  2  EI ( x)   p ( x, t ) t 2 x  x 2  Caso básico m ( x )  m EI ( x, t )  EI :

 2 v  x, t   4  x, t  m  EI  p ( x, t ) t 2 x 4 Solución homogénea

m

 2 v  x, t   4 v  x, t   EI 0 t 2 x 4

Solución del tipo: v ( x, t )   ( x ) y (t )

my(t ) ( x)  EI IV ( x) y(t )  0. m  y (t )  IV ( x)    a 4  cte EI y (t )  ( x) De lo anterior se obtienen 2 ecuaciones, una en función del tiempo, la otra función del espacio. y (t ) y

 (x ) respectivamente

 y (t )  a 4

EI y (t )  0  Solución del tipo y (t )  Asen(t )  B cos(t ) m

 IV ( x)  a 4 ( x)  0  Solución del tipo  ( x)  Ae xb Ab4e xb  a 4 Ae xb  0

b

4

 a 4   0  b4  a 4  b  a, a, ia, ia

 ( x)  A1e ax  A2 e  ax  A3 e iax  A4 e iax

 ( x)  A1e ax  A2 e ax  A3 cos(ax)  isen(ax)  A4 cos(ax)  isen(ax)  ( x)  A1e ax  A2 e  ax  B3 sen(ax)  B4 cos(ax)  ( x)  B1senh(ax)  B2 cosh(ax)  B3 sen(ax)  B4 cos(ax) e x  e x 2 x e  e x sinh( x)  2 cosh( x) 


141

18.1.1. Viga simplemente apoyada. Condiciones de borde en x = 0:

v (0, t )  0  y (t ) (0)  0 M (0, t )  0  EIy (t ) ' ' (0)  0

 (0)  B1 * 0  B2 * 1  B4 * 1  B3 * 0  0  B2  B4  0

(1)

 ' ' (0)  B1 a 2 * 0  B2 a 2  B4 a 2  B3 a 2 * 0  0  B2  B4  0

(2)

Condición de borde en x = L.

v ( L, t )  0  y (t ) ( L )  0 M ( L, t )  0  EI ' ' ( L )  0

 ( L)  B1 senh(aL)  B3 sen(aL)  0 (3)  ' ' ( L )  B1 a 2 senh ( aL )  B3 a 2 sen ( aL )  0 (4)

 2 B1senh( aL)  0  B1  0  B3  0    B3 sen( aL)  0   n   aL  n  a  L   n   ( x )  B3 sen  x  L 

2 

a 4 EI n 4 4 EI n 2 2  4  2 m L m L

EI m

Tenemos infinitos modos, como corresponde a una viga en un sistema continuo. Los primeros 3 serian:

x 1 ( x )  Bsen    L 

1 

2 L2

EI m

  2 x  2 ( x )  Bsen   2  4 L2  L 

EI m

  3 x  3 ( x )  Bsen   3  9 L2  L 

EI m

2

2


142

18.1.2. Viga Cantiléver En x = 0, el desplazamiento y el giro es nulo

v(0, t )  0   (0)  0  B2  B4  0 v(0, t )  0   '(0)  0  B1   B3 En el extremo libre: momento nulo

M ( L, t )  0  EI ''( L)  0 B3 sen(aL)  B4  cos(aL)  cosh(aL)   0 Corte nulo:

V ( L, t )  0  EI '''( L)  0 B  cos(aL)  cosh(aL)   B   sen(aL)  senh(aL)   0 Rescribiendo:

 sen(aL)  senh(aL) cos(aL)  cosh(aL)   B3  0  cos(aL)  cosh(aL)  sen(aL)  senh(aL)  B   0   4    Desarrollando se encuentra

 1  cosh( aL) cos( aL)  0 Reordenando

cos(aL)  

1 cosh(aL) Ceros de Ecuación

a1 L  1.8751 a2 L  4.6941 a3 L  7.8548 a4 L  10.996

Figura 18.2 Ceros de la ecuación de voladizo. Dinacantilev.m Dado que la exponencial converge rápidamente a cero los otros ceros se pueden aproximar a partir de cos( aL )  0 : Para n>4 a n L  ( 2n  1)

 2


143

  cosh(an L)  cos(an L) n ( x)  B3 cosh(an x)  cos(an x)   senh(an x)  sen(an x  senh(an L)  sen(an L)  

1 ( x )

2 ( x)

3 ( x )

4 ( x)

18.1.3. Ortogonalidad Sea una viga cuya deformada tenga la siguiente forma:

vi ( x, t )  yi (t )i ( x)  yi sen(i t )i ( x) f I ( x, t )  m( x)i2 yi sen(i t )i ( x)

vi ( x, t )  yii ( x) f I ( x, t )  yii2 m( x)i ( x) v j ( x , t )  y j j ( x ) fi ( x, t )  y j 2j m( x) j ( x) L

L

 f ( x, t )v (t , x)dx   f i

0

j

j

( x, t )vi ( x, t )dx

(Betti)

0


144

L

L

2 2  m( x) yii i ( x) j ( x) y j dx   m( x) y j j  j ( x) yii ( x)dx 0

0

L

(i2   2j )  m( x)i ( x) j ( x)dx  0 0

Ortogonalidad de Masa

Mi  i  j

 m( x)i ( x) j ( x)dx   m( x)

2 i

( x ) dx  M i

0i  j

Para

i   j

Masa Modal

Ortogonalidad de Rigidez

m( x) Pero

 2 v  x, t   2  2  EI ( x )v ''( x, t )   0 t 2 x

vi  i ( x) yi (t )

  2 ''   ( x ) m ( x ) y ( t )  ( x )  EI ( x ) y ( t )  ( x )   j i i i i   dx  0 2  x    yi (t )  m( x)i ( x) j ( x)dx  yi (t )   j ( x) L

  j ( x) 0

El

dx

2  EI ( x)i'' ( x)  dx  0 x 2

0  i  j 2 EI ( x )  ''( x ) dx     2 i x 2 i M i  Ki  i  j

va a lo largo del eje neutro. Integrando, por partes

   j ( x)  EI ( x)i' ( x)     j'  EI ( x)i'' ( x)  dx  0 x x 0 L

 j ( x)Q( x)   j' ( x)  EI ( x)i'' ( x)     j'' ( x) EI ( x)i'' dx  0 L

L

0

0

Esto indica que cuando las condiciones de borde trabajan la Ortogonalidad es más compleja. Para apoyos que no trabajan:

0  i  j '' '' EI ( x )  ( x )  ( x ) dx   2 j i  i M i  Ki  i  j Con estas condiciones de Ortogonalidad podemos desacoplar la solución:

m( x )

 2 v  x, t   2   2 v  x, t    EI ( x )    p ( x, t ) t 2 x 2   x2  

v ( x , t )    i ( x ) y i (t ) i 1


145

Luego la respuesta final real, se puede expresar como una suma de todas las respuestas asociadas a cada modo. Para condiciones iniciales 

v ( x, 0)   i ( x ) yi (0) i 1

 m( x) ( x)v( x, 0)dx   m( x) ( x)    ( x) y (0)  dx  m( x) ( x)v( x, 0)dx  y (0)  m( x) ( x)dx j

j

j

y j (0) 

j

i

i

2 j

 m( x) ( x)v( x, 0)dx  m( x) ( x)dx j

2 j

 2   ( x ) m ( x )  ( x ) y ( t ) dx   ( x )   i i  j  j  x2 EI ( x)   yi (t )i ''( x) 



 y j (t )  m ( x ) j2 ( x ) dx  y j (t )   2j M j   p *j (t )

 dx   p( x, t ) ( x)dx 

j

 y j (t ) M j   2j M j y j (t )  p*j (t ) j  1...

M j  y j (t )  2 j j M j y j (t )   2j M j y j (t )  p*j (t ) y j (0) 

 m( x) ( x)v( x, 0)x j

Mj

FI ( x, t )  m( x)vT ( x, t ) Caso Sísmico

 m( x)  v( x, t )  r ( x)vg (t ) 

pef ( x, t )  m( x)r ( x)vg (t )

r ( x )  1

18.1.4. Deformación por Corte (distorsión angular)


146

Luego haciendo un diagrama de fuerzas, se tiene:

Con lo que se puede plantear las siguientes ecuaciones:

 2 v  x, t  V  x, t  V ( x , t )  m( x )    p ( x, t ) FI ( x, t ) dx  V ( x, t )  V ( x, t )  dx  p ( x, t ) dx  0 t x x  ( x, t )  G ( x) ( x, t )

v  x, t  V ( x, t )  G ( x) ˆA( x) x V  x, t    ˆ v  x, t     GA( x)  x x  x 

 2v  x, t    ˆ v  x, t   m   GA( x)   p ( x, t ) t 2 x  x  mv( x, t )  GAˆ ( x)v ''( x, t )  p ( x, t )

v( x, t )    ( x) y (t )

 m   m   ( x)  Asen  ax   B cos  ax  ˆ ˆ  GA   GA 


147

19. ANEXO A Respuesta a Impulso Sinusoidal Fase I

c 0

P(t )  P0 sen(t ) 

v0  0, v 0  0     1  sen(t ) v(t )  ( Asen(t )  B cos(t ))     2   1             P 1   sen( t )   sen(t )  v(t )  0   2   k        1             P 1   cos( t )   cos(t )  v(t )  0  k    2   1         v(t )  0

//Para obtener el máximo

 cos(t )   cos(t ) t  t  2 n  2 n  t  t  2  t t

2 /  

t 

2   1 

(Ya que

t1   )

Para forzar que el máximo esté en la Fase I


148



T 1 T 2 2 T  t1  2t1   t 1  1 T 2       P0  1  sen  2 vmax  2 k      1    1           

    

Para que ocurra Fase II

t1 1 T

vmax

 v   v0   o   

2

2

Donde las condiciones iniciales son las del término de la Fase I

 v0  v(t1 )

v0  v(t1 ) vmax 

P0 k

    cos    2     1     2

2

20. FRICCION Ecuación de Equilibrio Dinámico sin Amortiguamiento Viscoso:

mv t   sign  v(t )   N  kv  t   p  t  Para vibración libre

p t   0

Se resuelve por partes dependiendo del signo de la velocidad v (t )  0

mv t    N  kv(t )  0 mv t   kv(t )   N Para movimiento libre homogénea base Solución particular

vk  t   Asen t   B cost 

v p (t )  G y por tanto vp (t )  0


149

G

N k

v (t )  Asen t   Bcos t  

N k

Para condiciones iniciales vo , vo

vo  B 

N N  B  vo  k k

vo  A Solución final para caso uno:

v t  

vo N  N  sen  t    vo   cos  t    k  k 

Segundo caso: vo

0

mv t    N  kv(t )  0 mv t   kv  t     N v t  

vo N  sen  t    vo   k 

  N   cos t       k 

Evaluamos decaimiento libre a partir de un desplazamiento inicial no nulo y En este caso controla la ecuación con vo

v t  

vo N  sen   t    vo   k 



v t T

2



  /   vo 

vo  0

 0 para 0  t  T / 2

  N  cos  t      k

  El desplazamiento final de este segmento es: 

N    N cos     k   k

N v (T )  vo  2 2 k En forma recursiva podemos encontrar la envolvente de decaimiento. Si en medio ciclo decae

F N N En T decae 4 Decay (T )  2  4 D  4 k 2 k k k Angulo de la pendiente: tan   4

N N 4  mg g 4  4 Tk 2 k 2 k 2

¿Cuándo se detiene?

kv (t )   N y vk  0 por tanto

mv  0

este desplazamiento es vk 

N k


150

20.1. MOVIMIENTO SIN RESORTE Cuando no hay resorte y con una velocidad inicial

v0 la distancia máxima recorrida se obtiene del

balance de la energía cinética inicial y el trabajo de la fuerza disipada:

1 2 mv0   Nd 2 1 mv02 1 v02 d  2  mg 2  g

W

20.2. ENERGÍA DISIPADA EN REGIMEN PERMANENTE

E p  4 N  vmax 20.3. INESTABILIDAD Si estamos en resonancia puede ser inestable:

FD  Wentrada 21. MÉTODO DE ACELERACIÓN PROMEDIO

vave 

vn 1  vn 2

(1)

n 1  vn Si llamamos v

 vn

ave  vn  Entonces v

vn 2

(2)

La velocidad se obtiene integrando

vn 1  vn  vn

(3)

El incremento de velocidad vn está dado por

vn  vave t y utilizando (2)

vn  vn t 

vn t 2

(4)

El desplazamiento se obtiene integrando nuevamente

vn 1  vn  vn

(5)

El cambio de desplazamiento en el paso es:

vn 

vn 1  vn t 2

(6)

Remplazando (3) en (6)

vn 

 vn  vn  vn  t  v t  1 v t 2

n

2

n

(7)


151

Usando (4)

vn  vn t 

1 1 vn t 2   vn t 2  2 4

(8)

n1 en términos de  n , vn , vn despejamos Para obtener v vn 

4  1  vn  vn t   vn t 2   2  t  2 

vn 

4 4 vn  vn  2vn 2 t t

Dado que

vn de (8)

(9)

vn 1  vn  vn

n 1 Entonces v



4 4 vn  vn  vn  vn 1  f  vn 1 , vn , vn  2  t v v t 

n1

n



n t  Remplazando (9) en (4) vn  v Reduciendo: vn 

(10)

4vn t  4   2vn   2 vn  2  t t 

2 vn  2vn t

Entonces vn1  vn 2 2  vn 1  vn  vn  2vn  vn  vn t t

(11)

vn1  f  vn1 , vn , vn  Sustituyendo (5), (10) y (11) en

mvn 1  cvn 1  kvn 1  Pn 1 4  4   2  m  2 vn  vn  vn   c  vn  vn   kvn 1  Pn 1 t  t   t  2 4  4   4   2   2 m  c  k  vn 1  Pn 1  m  2 vn  vn  vn   c  vn  vn  t t  t   t   t  Si

4 2 K  2 m  c  k constante para todo el proceso, y t t

4  4   2  Pn 1  Pn 1  m  2 vn  vn  vn   c  vn  vn   t  t  t     Entonces:

vn 1  K 1 Pn 1 Finalmente el algoritmo a utilizar es: DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

152

Inicialización:

4 2 K  2 m  c  k t t

v0  m 1  cv0  kv0  For n=0:length(P)

4  4   2  Pn 1  Pn 1  m  2 vn  vn  vn   c  vn  vn  t  t   t  1   b. vn 1  K Pn 1 2 c. vn 1  vn  vn t n 1  m 1  Pn 1  cvn 1  kvn 1  d. v a.

end Método Alternativo Alternativamente para casos no lineales es mejor restar dos pasos consecutivos

mvn 1  cvn 1  k vn 1  Pn 1 En este caso se puede utilizar el valor tangente para cada una de las propiedades de la estructura.

4  4   2  m  2  n  n  2n   c   n  2n   k  n  Pn  t  t  t     2  4   4   2 m  c  k   n  P  m  n  2n   2cn  t  t  t     4 2  4   n  kˆ 1Pˆn con kˆ  2 m  c  k y Pˆn  Pn  m  n  2n   2cn t t  t  Finalmente el procedimiento es el siguiente Dados

n, n ,n ,n , Pn  Pn 1  Pn ; n, c, k

1. Calcular

kˆ

2.

Pˆn

3.

 n  kˆ 1Pˆn

4.

 n 1   n   n

5.

n 

6.

n 1  n  n

2  n  2n t


153

4 4  n  n  2n 2 t t

7.

n 

8.

n 1  n  n o

n 1  m

1

 Pn1  cn1  k n1 


154


155

Dinamica Estructural Apuntes de Clase

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