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Control 2
DISEÑO DE SISTEMAS DE COTROL E EL ESPACIO DE ESTADO
ITRODUCCIO
UBICACIÓ DE POLOS Para el desarrollo de esta técnica suponemos que todas las variables de estado son medibles y que están disponibles para la realimentación, si el sistema considerado es de estado completamente controlable, los polos del sistema en lazo cerrado se pueden ubicar en cualquier posición deseada mediante una realimentación del estado a través de una matriz de ganancias de la realimentación del estado. La técnica de diseño actual empieza con la determinación de los polos en lazo cerrado deseados a partir de la respuesta transitoria, y/o los requerimientos de la respuesta en frecuencia, tales como la velocidad, el factor de amortiguamiento relativo, o el ancho de banda, al igual que los requerimientos en estado estable.
Supongamos que decidimos que los polos en lazo cerrado deseados estén en
= = = ,
,…,
, seleccionando una matriz de ganancias apropiada para una realimentación del estado
, es
posible obligar al sistema para que tenga los polos en lazo cerrado ce rrado en las posiciones deseadas, esto siempre y cuando el sistema original sea de estado completamente controlable.
Diseño mediante la ubicación de los polos. En el enfoque convencional del diseño de un sistema de control con una sola entrada y una sola
salida, diseñamos un controlador tal que los polos dominantes en lazo cerrado tengan un factor de amortiguamiento relativo deseado y una frecuencia natural no amortiguada
.
El enfoque actual de ubicación de polos especifica todos los polos en lazo cerrado. Sin embargo, hay un costo asociado con ubicar todos los polos en lazo cerrado, porque hacerlo requiere de mediciones exitosas de todas las variables de estado, o bien requiere de la inclusión de un observador de estado en el sistema.
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También existe un requerimiento en la parte del sistema para que los polos en lazo cerrado se ubiquen en posiciones elegidas en forma arbitraria. El requerimiento es que el sistema sea de estado completamente controlable Dado el sistema representado por la e cuación de estado:
= +
(4.1)
Donde: •
•
•
•
vector de estado e stado (vector de dimensión n) señal de control (escalar) matriz de coeficientes constantes matriz de coeficientes c oeficientes constantes
1
Seleccionaremos la señal de control como:
= −
Donde: •
(4.2)
matriz de ganancias de la realimentación del estado
1
La figura Nº 4.1 muestra el sistema definido mediante la ecuación (4.1), se trata de un sistema de control en lazo abierto, porque el estado no se realimenta a la señal de control .
Figura º 4.1 Diagrama de bloques de un sistema lazo abierto
La figura Nº 4.2 es un sistema de control en lazo cerrado, porque el estado se realimenta a la señal de control .
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También existe un requerimiento en la parte del sistema para que los polos en lazo cerrado se ubiquen en posiciones elegidas en forma arbitraria. El requerimiento es que el sistema sea de estado completamente controlable Dado el sistema representado por la e cuación de estado:
= +
(4.1)
Donde: •
•
•
•
vector de estado e stado (vector de dimensión n) señal de control (escalar) matriz de coeficientes constantes matriz de coeficientes c oeficientes constantes
1
Seleccionaremos la señal de control como:
= −
Donde: •
(4.2)
matriz de ganancias de la realimentación del estado
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La figura Nº 4.1 muestra el sistema definido mediante la ecuación (4.1), se trata de un sistema de control en lazo abierto, porque el estado no se realimenta a la señal de control .
Figura º 4.1 Diagrama de bloques de un sistema lazo abierto
La figura Nº 4.2 es un sistema de control en lazo cerrado, porque el estado se realimenta a la señal de control .
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Figura º 4.2 Diagrama de bloques de un sistema con realimentación de estado
A partir de las ecuaciones (4.1) y (4.2):
= + = − = + = ++ − − = − − = − 0 = 0 − 0 ≠ 0 − 0 −
(4.1)
(4.2)
Sustituyendo la señal de control en la ecuación de estado, obtenemos:
(4.3)
Cuya solución está dada por:
Donde
(4.4)
es el estado inicial provocado por perturbaciones externas. La estabilidad y las es
características de respuesta transitoria se determinan mediante los valores característicos de la matriz
. Si se elige la matriz
en forma adecuada, la matriz
matriz asintóticamente estable y para todos los
se convierte en una
es posible hacer que
tienda a
cuando tiende a infinito.
Los valores característicos de la matriz
se denominan polos reguladores. Si éstos se ubican
en el semiplano izquierdo del plano s, entonces
tiende a 0 conforme
tiende a infinito. El
problema de ubicar los polos en lazo cerrado en las posiciones deseadas se denomina problema de ubicación de polos y es posible si y solo si el sistema es de estado completamente controlable.
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La condición necesaria y suficiente para la ubicación arbitraria de los polos es que el sistema sea de estado completamente controlable (Demostrar)
Condición necesaria y suficiente para la ubicación arbitraria de los polos. …
Pasos de diseño para la ubicación de polos Para un sistema que se define mediante la ecuación:
= + = −
(4.1)
La señal de control dada por la ecuación
, , … ,
La matriz de ganancias de realimentación ser
(4.2)
que obliga a los valores característicos de
(valores deseados) se determina mediante los métodos siguientes:
−
a
Método basado en la transformación a la forma canónica controlable Para un sistema dado por la ecuación de estado (4.1) y señal de control (4.2)
Definimos la matriz de transformación:
= = ⋯
Donde: •
= + = −
(4.5)
matriz de controlabilidad
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•
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⋯⋯ 1 01 = 1 ⋯⋮ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 − = + + ⋯+ + = = + = = + = + 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 = 0⋮ 0⋮ 0⋮ ⋯ 10 0− − − ⋯ − = 00⋮ 1 = − = − = − = − = = ⋯ = − Los coeficientes
son del polinomio característico
Definimos un nuevo vector de estados por:
Si el sistema es completamente controlable, es decir la matriz de controlabilidad máximo
; por lo tanto la matriz
(4.6) es de rango
existe y la ecuación de estado (4.1) se modifica a la forma
canónica controlable, remplazando (4.6) en (4.1):
Obtenemos:
Donde:
•
•
(4.7)
Remplazando (4.6) en la señal de control:
Donde: •
Si remplazamos en la señal de control
(4.8)
en la ecuación de estado con transformación (4.7):
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= + = − = − = − − + = 0 = − − + = 0
(4.8)
La ecuación característica para este sistema con transformación (4.8) está dada por:
(4.9)
Para un sistema dado por la ecuación (4.1) con una señal de control (4.2), remplazando la señal de control en la ecuación de estado, obtenemos:
(4.10)
Cuya ecuación característica es
(4.11)
La ecuación característica del sistema con transformación (4.9) equivalente a la ecuación del sistema original (4.11); por lo tanto:
− + = − − = − +
Simplificando y remplazando las matrices correspondientes en la ecuación (4.9), ecuación característica del sistema en la for ma canoníca controlable, obtenemos:
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− + 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 = 0⋮ 0⋮ 0⋮ ⋯ 00 − 0⋮ 0⋮ 0⋮ ⋯ 10 0 0 0 0 ⋯ 1 − − − ⋯ − 0+ 0 ⋯ ⋮1 0 −1 −10 ⋯⋯ 00 00 00 00 ⋯⋯ 00 = 0⋮ 0⋮ 0⋮ ⋯ −10 + 0⋮ 0⋮ 0⋮ ⋯ 00 −1 ⋯ + 0 ⋯ 0 ⋯ 0 −1 ⋯ 0 = 0⋮ 0⋮ 0⋮ ⋯ −10 + + + ⋯ + + = + + + ⋯+ + + + + + −+ ++ = + + + ⋯+ + + + − − … − = + + ⋯+ + + (
)
Obteniendo:
(
)
(4.12)
Esta última ecuación (4.12), viene a ser la ecuación característica del sistema con realimentación de estado, y debe ser igual a la ecuación c aracterística deseada hallada a partir de los polos deseados de lazo cerrado
,
, ,
; la ecuación característica deseada es:
(4.13)
Si comparamos las dos últimas ecuaciones características (4.12) y (4.13) la del sistema con realimentación de estados y la deseada, tenemos:
+ + ++⋯++ + + + + + ⋯+ + (
)=
(4.14)
De la igualdad anterior se puede obtener la equivalencia de los coeficientes de ambas ecuaciones características, las que deben ser iguales:
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+ = + = ⋮ + = + = + = = − = − ⋮ = − = − = − = = ⋯ = = − ⋯ − − ⋯ − = − − − ⋯ −
De donde obtenemos los valore de
:
A partir de las igualdades definidas anteriormente y de los valores de
:
De donde la matriz
(4.15)
queda:
(4.16)
Por lo tanto si el sistema es completamente controlable, todos los valores propios pueden ser
localizados en las localizaciones deseadas, esto con determinación de la matriz de realimentación de estados
.
Un resumen del método de cálculo de la matriz
Paso 1
se puede resumir en los siguientes pasos:
Verifique la condición de controlabilidad para el sistema, mediante la matriz de controlabilidad definida por
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= ⋯
El sistema debe ser completamente controlable, es decir de rango máximo, de esta manera es posible la ubicación deseada de los polos de lazo cerrado.
Paso 2 A partir de la ecuación característica del sistema:
− = + + ⋯+ + , , … , = = = ⋯ ⋯⋯ 1 01 = 1 ⋯⋮ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 Determine los valores de los coeficientes:
Paso 3
Determinar la matriz de transformación
que convierte la ecuación de estado del sistema a la forma
canónica controlable. (Si la ecuación del sistema determinada ya está en la forma canónica controlable entonces
). No es necesario escribir la ecuación de estado en la forma canónica
controlable. Aquí sólo necesitamos encontrar la matriz . La matriz de transformación T se obtiene mediante la ecuación
Donde:
matriz de controlabilidad
•
coeficientes son del polinomio característico
−
Paso 4
Usando los valores característicos deseados (los polos en lazo cerrado deseados), escriba el polinomio característico que se busca:
− − … − = + + ⋯+ +
Determine los valores de:
Paso 5
,
, …,
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= ⋯ = − − ⋯ − − ≤ 3 = + = −
La matriz de ganancias de realimentación del estado
requerida se determina a partir de la
ecuación:
La determinación de la matriz
puede ser simple cuando el orden del sistema es bajo
,
debe considerarse también que si el sistema no es completamente controlable, la matriz
no se
puede determinar.
Formula de Ackermann para la determinación de la matriz de realimentación de estados Considere el sistema definido por (4.1):
La señal de control señal de control dada por
, además se considera que el sistema es
completamente controlable.
La ecuación del sistema cuando se remplaza la señal de control, queda como (4.10):
= − = = − == ⋮ = − = − + = − − … − = + + ⋯+ + = 0
(4.10)
O en forma equivalente:
(4.11)
Donde: •
Si suponemos que los polos de lazo cerrado deseados están en: •
•
•
•
La ecuación característica deseada es:
(4.12)
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Si definimos en base a la ecuación deseada las ecuaciones:
= + + ⋯+ + = + + ⋯+ + = + + ⋯+ + = 0
(4.13)
El teorema de Cayley-Hamilton plantea que tenemos:
=3
(4.14)
satisface su propia ecuación característica, entonces
(4.15)
Para simplificar la derivación de la formula de Ackermann consideramos un sistema para un valor de
; puede obtenerse para otro valor o generalizarse. Consideramos las siguientes identidades:
=1 = − = − = − − = − = − − − = 3 = + + + = 0 = − − − + − − + − + = 0 = + + + − − − − − − = 0 = + + + ≠ 0 = + = + − + −− −− − − −− −− − = 0
Remplazando las identidades anteriores en la ecuación general (4.15), para
:
Obtenemos:
Ordenando la ecuación anterior tenemos:
Considerando la ecuación:
Remplazando esta ecuación en
, obtenemos:
De esta última ecuación se puede obtener:
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= += ++ + + ++ + + + + + = + + + = + = ++ + 0 0 1 + + 0 0 1 = 0 0 1 + = = 0 0 1 = 0 0 1 = 0 0 ⋯ 0 1 ⋯ = 0 0 ⋯ 0 1
Puesto que el sistema es de estado completamente controlable, la inversa de la matriz de controlabilidad existe. Multiplicando ambos miembros de la ecuación de
por la inversa de la
matriz de controlabilidad, obtenemos:
Multiplicando ambos miembros de esta ultima ecuación por la matriz
De donde obtenemos el valor de
, obtenemos
:
Generalizando la obtención de la matriz
, podemos escribir de la forma:
(4.16)
Esta ecuación se conoce como fórmula de Ackermann para la determinación de la matriz de ganancias de realimentación del estado Es importante señalar que la matriz
.
no es única para un sistema determinado, sino que depende
de las ubicaciones de los polos en lazo cerrado deseados (los cuales determinan la velocidad y el amortiguamiento de la respuesta) seleccionados. Observe que la selección de los polos en lazo cerrado deseados, o de la ecuación característica deseada, es un compromiso entre la rapidez de la respuesta del vector de error y la sensibilidad ante perturbaciones y el ruido en la medición.
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Solución de asignación de polos mediante Matlab El determinar la matriz
de realimentación de estados para la asignación de polos mediante el
Matlab se hace a través de los comandos: •
acker
•
place
Para la utilización de estos comandos se debe ejecutar:
Donde: •
•
•
= , , = , ,
= ⋯
matriz del sistema matriz del sistema matriz de polos deseados
La verificación para la matriz
, se puede hacer hallando los valores propios de la matriz
los cuales serán los polos deseados.
Ejemplo Dado un sistema con una señal de control por realimentación de estados definida por la ecuación de estados:
= + 0 1 0 0 = −10 −50 −61 ; = 01
Donde
= −
−
,
, figura N° 4.3,
Los polos de lazo cerrado deseados son: •
•
•
== −2+ 4 −2− 4 = −10
Determinar la matriz de realimentación
:
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Figura ° 4.3 Diagrama de bloques de un sistema con matriz de realimentación
Solución
= 3 = = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 = 01 −10 −50 −61 01 −10 −50 −61 01 = 01 −61 −631
Para el diseño por realimentación de estado, primero comprobamos si el sistema es completamente controlable; a partir de la matriz de controlabilidad
verificamos, para
:
Remplazando los valores de las matrices y determinando si es de rango máximo o si hay 3 filas o columnas linealmente independientes.
De donde podemos concluir que el rango de
es 3, por lo tanto se concluye que el sistema es
completamente controlable. Por lo tanto es posible la colocación arbitraria de los polos
•
Primer método
Para esta metodología utilizamos la ecuación (4.16) para n=3; que define la matriz de realimentación de estados:
= = − − −
= == −2+ 4 −2− 4 = −10
La matriz
, dado que la ecuación de estado está en la forma canónica controlable
De los polos de lazo cerrado deseados: •
•
•
Determinamos la ecuación característica deseada:
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+ 2 + 4 + 2 − 4 +10 = + 14 + 60 +200 = + + + == 1460 = 200 −1 0 1 0 0 0 1 0 − = 00 10 01 − −10 −50 −61 = 01 5 − +61 = + 6 − 5−1− −11 = + 6 + 5 + 1 = + + + == 65 = 1 1 0 0 − − − = = 200− 1 60− 5 14 −6 00 10 01 = 1 99 55 8
Donde los valores de
, corresponden a:
•
•
•
A partir de la ecuación característica del sistema obtenemos los valores de
:
De donde podemos obtener los valores de •
•
•
Si remplazamos los valores de
y de
en la ecuación de
:
Obtenemos:
•
Segundo método
A partir del orden del sistema
= 3
, definmos la matriz de realimentación
=
:
La ecuación característica del sistema deseado, con la matriz de realimentación está definida:
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0 0 0 1 0 0 − + = 00 0 0− −10 −50 −61 + 01 0 0 0 −1 0 −1 0 = 01 5 − +16+ 0 0 0 = 1 +0 5 + +6−1+ == ++66++− +−5 1+ 5++1+ − −=1� +−16+1++5 + + 1 + Tenemos que la ecuación característica deseada (datos del ejemplo) es:
+ 2 + 4 + 2 − 4 + 10 = + 14 + 60 + 200 + 6 + + 5 + + 1 + = + 14 + 60 + 200 == 20060 −−51==55199 = 14 − 6 = 8 = = 1 99 55 8
Igualando las dos ecuaciones características, obtenemos:
De donde obtenemos: •
•
•
La matriz
•
:
Tercer método
El tercer método es utilizando la fórmula de Ackermann que está dada por la ecuación (4.16):
= 0 0 ⋯ 0 1 ⋯ = 3 = 0 0 1 + 2 + 4 + 2 − 4 + 10 = + 14 + 60 + 200
La ecuación de Ackermann para
, queda:
La ecuación característica deseada:
Donde: •
= 14 16
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•
•
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== 20060
Además podemos definir la ecuación:
= + 14 + 60 + 200 = + + + = + 14 + 60 +200 = + 14 +0 601+2000 0 1 0 0 1 0 = −10 −50 −61 + 14−10 −50 −61 + 60−10 −50 −61 1 0 0 199 55 8 +20000 10 01 = −8−7 −43159 1177 = −100 −510 −601 5 6 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 = 01 −10 −50 −61 01 −10 −50 −61 01 = 61 10 00 5 6 1 199 55 8 = 0 0 1 = 0 0 1 61 10 00 −8−7 −43159 1177 = 1 99 55 8
Y obtener la ecuación
La ecuación de
:
, queda:
Donde:
•
El valor de
Por lo tanto el valor de
:
:
Utilizando directamente el comando de Matlab, para el sistema y polos deseados:
= −100 −510 −601 ; = 001
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Polos de lazo cerrado deseados: •
•
•
== −2+ 4 −2− 4 = −10
= −2+ 4 −2 − 4 −10
Aplicando el comando acker y place, obtenemos
%ejemplo clear a=[0 1 0;0 0 1;-1 -5 -6]; b=[0;0;1]; j=[-2+j*4 -2-j*4 -10]; k1=acker(a,b,j) k2=place(a,b,j)
Obteniéndose del Matlab para los dos comandos: k1 = 199
55
8
k2 = 199.0000 55.0000
8.0000
Que son los mismos valores obtenidos anteriormente.
Ejemplo Un sistema tiene la siguiente función de transferencia:
= + 110+ 2 + 3
Se desea que los polos de lazo cerrado estén ubicados: •
= −2 +2 3
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•
•
Control 2
== −2−10− 2 3
Solución
Definimos las variables de estado para la FT dada:
= + 110+ 2 + 3 + 6 + 11 + 6 = 10 + 6 + 11 + 6 = 10 = = = = = = 10 − 6 − 11 − 6 = + = + = 00 10 01 + 00 −6 −11 −6 10 = 1 0 0 + 0 = 3 = =
Si definimos las variables de estado:
Derivando y remplazando, tenemos:
Las ecuaciones de estado serán:
Para el diseño por realimentación de estado, primero comprobamos si el sistema es completamente controlable; a partir de la matriz de controlabilidad
verificamos, para
:
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Remplazando los valores de las matrices y determinando si es de rango máximo o si hay 3 filas o columnas linealmente independientes
0 0 10 0 0 1 0 0 0 1 0 0 = 100 −60 −110 −61 100 −60 −110 −61 100 = 100 10−60 −60250 − = 0 = = 1.0000 6.0000 11.0000 6.0000 1 = 6.0000 2 = 11.0000 3 = 6.0000 = 1 11 6 1 = 1 01 00 = 61 10 00 0 0 10 11 6 1 10 0 0 = = 100 10−60 −60250 61 10 00 = 00 100 100
De donde podemos concluir que el rango de
es 3, por lo tanto se concluye que el sistema es
completamente controlable. Por lo tanto es posible la colocación arbitraria de los polos. Determinamos los coeficientes de la ecuación característica del sistema, es decir
, los
cuales los hallamos con el matlab:
De donde obtenemos:
Que corresponden a los coeficientes del sistema, es decir
Para determinar la matriz de transformación
, definimos la matriz
:
Por lo tanto la matriz de transformación :
Ahora obtenemos la ecuación característica deseada, la cual denotamos como la matriz J (matriz deseada) correspondiente:
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0 0 −2 + 2 3 0 0 = 00 0 0 = 00 −2 −02 3 −100 − =
Los coeficientes de esta matriz
, lo calculamos:
Por lo tanto los coeficientes deseados son
= 1.0000 14.0000 56.0000 160.0000 1 = 14.0000 2 = 56.0000 3 = 160.0000 = − = − − − 10 0 0 = 3 − 3 2 − 2 1 −1 = 160−6 56 − 11 14 − 6 00 100 100 0.1 0 0 = 1 54 45 8 00 0.10 0.10 = 15.4 4.5 0.8 = 15.4 4.5 0.8
Que corresponden a los coeficientes deseados, es decir
Que corresponden a los coeficientes
deseados.
La matriz de realimentación de estado por:
, correspondiente a la ley de control
, esta dada
Para nuestro ejemplo:
Es decir tenemos:
En cálculo de la matriz
de realimentación se muestra a continuación:
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%ejemplo clear a=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6]; b=[0;0;10]; c=[1 0 0]; d=[0]; %Controlabilidad m=[b a*b a*a*b]; rank(m) %coeficientes del sistema p=poly(a); a1=p(2); a2=p(3); a3=p(4); %definimos matriz W w=[a2 a1 1; a1 1 0; 1 0 0]; %matriz de transformación T=MW t=m*w; %matriz deseada u1=-2+i*2*3^0.5; u2=-2-i*2*3^0.5; u3=-10; J=[u1 0 0; 0 u2 0; 0 0 u3]; j=poly(J); %coeficientes deseados j1=j(2); j2=j(3); j3=j(4); %matriz K de realimentación k=[j3-a3 j2-a2 j1-a1]*(inv(t));
Si usamos la fórmula de Ackermann para determinar la matriz de ganancias de realimentación de estado, necesitamos calcular un polinomio característico matricial, a partir de la ecuación característica deseada:
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0 0 −2 + 2 3 0 0 = 00 0 0 = 00 −2 −02 3 −100 − =
Los coeficientes de esta matriz
, lo calculamos:
Por lo tanto los coeficientes deseados son
= 1.0000 14.0000 56.0000 160.0000 = + + + = + + + 0 1 0 = −60 −110 −61 = + 14 + 56 + 160 , 154 45 8 = + 14 + 56 + 160 = −4818 −1566 −384 = 0 0 ⋯ 0 1 ⋯ = 0 0 ⋯ 0 1 = 3 0 0 10 154 45 8 = 0 0 1 = 0 0 1 100 10−60 −60250 −4818 −1566 −384 = 15.4 4.5 0.8
Que corresponden a los coeficientes deseados de la ecuación característica deseada, definimos la ecuación:
Además la ecuación matricial:
En MATLAB
calcula el polinomio matricial
, para el sistema dado por:
Con la ecuación:
El comando
calcula
Y el valor de la matriz de realimentación
Para nuestro ejemplo,
:
se obtiene de la ecuación:
:
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Valor de
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que coincide con el calcula anteriormente. En Matlab el cálculo de la matriz de
realimentación.
%formula de Ackermann clear a=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6]; b=[0;0;10]; c=[1 0 0]; d=[0]; %Controlabilidad m=[b a*b a*a*b]; rank(m) %matriz deseada u1=-2+i*2*3^0.5; u2=-2-i*2*3^0.5; u3=-10; J=[u1 0 0; 0 u2 0; 0 0 u3]; j=poly(J); %calculo de phi(a) phi=polyvalm(poly(J),a) %matriz K de realimentación k=[0 0 1]*inv(m)*phi
Utilizando directamente el comando de Matlab, para el sistema y polos deseados:
= 00 10 01 + 00 −6 −11 −6 10
Polos de lazo cerrado deseados: •
•
•
== −2−2 −+22 33 = −10
= −2+ 2 3 −2 − 2 3 −10 24
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Control 2
Aplicando el comando acker y place, obtenemos
%ejemplo clear a=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6]; b=[0;0;10]; j=[-2+j*2*sqrt(3) -2-j*2*sqrt(3) -10]; k1=acker(a,b,j) k2=place(a,b,j)
Obteniéndose del Matlab para los dos comandos: k1 = 15.4000
4.5000
0.8000
4.5000
0.8000
k2 = 15.4000
Que son los mismos valores obtenidos anteriormente.
Ejemplo Considere el sistema del péndulo invertido de la figura Nº 4.4 en que se pide diseñar un sistema de
= 0 =
control tal que, dadas cualesquiera condiciones iniciales (provocadas por perturbaciones), el péndulo regrese a la posición vertical y el carro regrese a la posición de referencia
rápidamente (por ejemplo, con un tiempo de estabilización de alrededor de 2 seg) con un amortiguamiento razonable (por ejemplo, que los polos dominantes en lazo cerrado tengan
0.5
).
25
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Control 2
Figura º 4.4 Sistema de un péndulo invertido
Además, se requiere que el sistema de control regrese el carro a su posición de referencia al final de
= + − = − = → = = → = = → = = → = = 1 = + − =
cada proceso de control. El sistema responderá exitosamente a cualesquiera perturbaciones en la forma de las condiciones iniciales. (El ángulo deseado
siempre es cero y la posición del carro
deseada siempre está en la posición de referencia. Por tanto, éste es un sistema regulador.) Las ecuaciones diferenciales del sistema dinámico son:
Si definimos las variables de estado y derivando:
De donde obtenemos:
26
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Control 2
= − + 1 0 0 1 0 0 = + 0 0 0 + − 1 − 0 00 00 10 10 = 10 00 01 00
Expresadas las ecuaciones de estado en forma matricial tenemos
Las ecuaciones de estado anteriores son una representación en el espacio de estados del sistema del péndulo invertido. Si tenemos que: •
•
•
•
== 0.21 ==0.9.581 /
Obtenemos:
= 20. 06 01 10 00 00+ −10 −0.04 905 00 00 01 0.05 = 10 00 01 00
Para el sistema de control usaremos el esquema de control mediante la realimentación del estado, cuya ley de control está dada:
= −
El primer paso es verificar si el sistema es de estado completamente controlable, para lo que formamos la matriz de controlabilidad:
27
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Control 2
0 −1 0 −20. 6 010 = = −10.05 0.005 −20.0.409056010 0.400905 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 60 010 0 −10 − = 000 00 00 00 − −0.20.04690501 000 000 001 = −20. 0. 4 905 0 0 = − 20.601 = + + + + == −20.0 601 == 00 = 0.5= = 1,2,3,4 == −2−2 −+22 33 == −10−10 − −= − +4+−16 = + 20+2 −+ 100 3 =+2 +−24s3 +196s+ 10 + 720s+ + 10 1600 = + s + αs + αs+ α == 19624
Dado que el rango de la matriz es , concluimos que el sistema es completamente controlable. Hallamos la ecuación característica para determinar sus coeficientes:
De donde podemos concluir que: •
•
•
•
A continuación debemos seleccionar las ubicaciones de los polos en lazo cerrado deseados. Dado que requerimos un sistema con un tiempo de asentamiento razonablemente pequeño (alrededor de 2 seg.) y un amortiguamiento razonable (equivalente a
en el sistema estándar de segundo
orden), seleccionamos los polos en lazo cerrado deseados en
, donde:
•
•
•
•
Por lo tanto, la ecuación característica deseada es:
De donde podemos obtener los coeficientes de la ecuación característica deseada •
•
28
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•
•
Control 2
== 1600 720
= − − − − = = ⋯ 0 −1 0 −20. 6 010 = = −10.05 0.005 −20.0.409056010 0.400905 ⋯⋯ 1 01 = 1 ⋯⋮ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 − = + + ⋯+ + − = − 20.601 = + + + + 1 0 −20. 6 01 0 1 = 1 01 001 000 = −20.01601 100 001 000
La matriz de ganancias de realimentación del estado la determinamos usando la ecuación:
La matriz T se obtiene mediante la ecuación:
Donde M se obtiene a partir de la ecuación:
Para el ejemplo, la matriz de controlabilidad es:
La matriz
, definida por:
Los elementos
son los coeficientes del polinomio característico del sistema (n=4)
De donde:
29
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Control 2
0 −1 0 −20. 6 010 0 −20. 6 01 0 1 = = 0.−105 0.005 −20.0.409056010 0.400905 −20.01601 100 001 000 0 0 −1 0 = −9.0081 −9.0081 0.005 0.−105 −0. 0 510 0 −0. 1 019 0 = −100 −0.−100510 000 −0.100019 == −20.0 601 == 00 == 19624 == 1600 720 = − − − − −0.0510 0 −0.1019 0 = 1600 − 0 720 − 0 196 +20.601 24 −0 −100 −0.−100510 000 −0.100019 −0. 0 510 0 −0. 1 019 0 = 1600 720 216.601 24 −100 −0.−100510 000 −0.100019 = −298.1504 −60.6972 −163.0989 −73.3945
La matriz inversa de , la detallamos:
La matriz de ganancias de realimentación deseada
se determina, para los coeficientes de la
ecuación característica del sistema y deseados respectivamente: •
•
•
•
•
•
•
•
30
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Control 2
= − = −298.1504 −60.6972 −163.0989 −73.3945 = 298.150460.6972 + 163.0989 + 73.3945
La señal de control se obtiene mediante:
El diagrama de bloques correspondiente a este sitema de control se muestra en la figura Nº. 4.5
Figura º 4.5 Diagrama de bloques del péndulo invertido con control mediante realimentación de estados
Un programa en Matlab para hallar la matriz de realimentación se da a continuación
%ejemplo clear a=[0 1 0 0;20.601 0 0 0;0 0 0 1;-0.4905 0 0 0]; b=[0;-1;0;0.5]; c=[1 0 0 0;0 0 1 0]; d=[0;0]; %Controlabilidad m=[b a*b a*a*b a*a*a*b]; rank(m); %coeficientes del sistema
31
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Control 2
p=poly(a); a1=p(2); a2=p(3); a3=p(4); a4=p(5); %definimos w=[a3 a2 a1 a2 a1 1 a1 1 0 1 0 0
matriz W 1; 0; 0; 0];
%matriz de transformación T=MW t=m*w; it=inv(t); %matriz deseada u1=-2+i*2*3^0.5; u2=-2-i*2*3^0.5; u3=-10; u4=-10; J=[u1 0 0 0; 0 u2 0 0; 0 0 u3 0; 0 0 0 u4]; j=poly(J); %coeficientes deseados j1=j(2); j2=j(3); j3=j(4); j4=j(5); % %matriz K de realimentación k=[j4-a4 j3-a3 j2-a2 j1-a1]*(inv(t));
Para graficar las señales de estado, dada una condición inicial:
00 0.01 0 = 00 = 00
Si el sistema está definido por las ecuaciones de estado y la ley de control de realimentación de estados:
32
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Control 2
= + = = − = + = − = − − 0 = − = − + 0 = − + 0 = = = − + 0 = − + 01 = + = + = = +
Donde remplazando la ley de control en la ecuación de estado, obtenemos:
Tomando la transformada de Laplace para que se dé la condición inicial:
Ordenando:
Tomando la transformada inversa de Laplace:
Si definimos una nueva variable de estado:
Remplazando obtenemos:
Integrando:
Por lo tanto tenemos las ecuaciones de estado definidas por:
Donde: •
•
= − 0 0.1 = 0 = 000 = 000 33
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•
Control 2
= 1
Otra forma es a partir de la salida:
= = = = = + = +
Remplazando la definición de
:
Que vendría a ser la ecuación de estado de salida.
Considerando estos aspectos para la grafica, el programa en matlab para este ejemplo se da a continuación
%ejemplo clear a=[0 1 0 0;20.601 0 0 0;0 0 0 1;-0.4905 0 0 0]; b=[0;-1;0;0.5]; c=[1 0 0 0;0 0 1 0]; d=[0;0]; %matriz K de realimentación k=[-298.1504 -60.6972 -163.0989 -73.3945]; %respuestas %condición inicial y sistema realimentado b0=[0.1;0; 0; 0]; aa=[a-b*k] %graficas [x,z,t]=step(aa,b0,aa,b0) x1=[1 0 0 0]*x' x2=[0 1 0 0]*x' x3=[0 0 1 0]*x' x4=[0 0 0 1]*x' figure(1) subplot(2,1,1) plot(t,x1);grid title('theta'); subplot(2,1,2) plot(t,x2);grid title('variación theta'); figure(2) subplot(2,1,1) plot(t,x3);grid
34
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Control 2
title('x'); subplot(2,1,2) plot(t,x4);grid title('variación de x');
Las graficas de respuestas para las 04 variables de estados se dan en la figura Nº 4.6 y 4.7 theta 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
2
2.5
3
variacion theta 0.5
0
-0.5
-1
0
0.5
1
1.5
Figura º 4.6 Respuesta del desplazamiento y variación del ángulo
35
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Control 2
x 0.15 0.1 0.05 0 -0.05
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
2
2.5
3
variacionde x 1
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
Figura º 4.7 Respuesta del desplazamiento y velocidad del carro
Utilizando directamente el comando de Matlab, para el sistema y polos deseados:
= 20. 06 01 10 00 00+ −10 −0.04 905 00 00 01 0.05
Polos de lazo cerrado deseados: •
•
•
•
== −2−2 −+22 33 == −10−10
= −2+ 2 3 −2− 2 3 −10 −10
Aplicando el comando acker, obtenemos
36
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Control 2
%ejemplo clear a=[0 1 0 0;20.601 0 0 0;0 0 0 1;-0.4905 0 0 0]; b=[0;-1;0;0.5]; j=[-2+j*2*sqrt(3) -2-j*2*sqrt(3) -10 -10]; k1=acker(a,b,j)
Obteniéndose del Matlab para los dos comandos: k1 = -298.1504 -60.6972 -163.0989 -73.3945 Que es el mismo valor obtenido anteriormente.
DISEÑO DE SISTEMAS DE SEGUIMIETO El sistema de tipo 1 tiene un integrador en la trayectoria directa y no exhibirá un error en estado estable en la respuesta escalón; analizaremos el enfoque de ubicación de polos para el diseño de
sistemas de seguimiento para este tipo de sistema. Aquí limitaremos cada uno de nuestros sistemas que tenga una señal de control escalar y una salida escalar .
Sistema de seguimiento de tipo 1 cuando la planta tiene un integrador Si se tiene la planta definida mediante sus ecuaciones de estado:
= + =
Donde: •
•
•
•
•
•
(4.1) (4.17)
vector de estado (n) señal de control (escalar) señal de salida (escalar) matriz constante (nXn) matriz constante (nX1) matriz constante (1Xn)
37
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Control 2
Mediante una elección adecuada de un conjunto de variables de estado, es posible seleccionar la salida igual a una de las variables de estado.
=
La figura Nº 4.8 muestra una configuración general del sistema de seguimiento de tipo 1 cuando la planta tiene un integrador. Aquí suponemos que
, puede ser la salida cualquier variable de
estado. En el análisis actual, suponemos que la entrada de referencia
es una función escalón.
Figura º 4.8 Diagrama de bloques de un sistema de seguimiento tipo 1
En este sistema usamos el esquema de control mediante la realimentación del estado, cuya ley de control es obtenida de la figura Nº 4.8:
= −0 ⋯ ⋮+ − = − + = ⋯ = 0 > 0 = + = + − + = − + = − + = − +
Donde: •
(4.18)
Suponga que la entrada de referencia (función escalón) se aplica a
. Así, para
, la
dinámica del sistema se describe mediante las ecuaciones (4.1) y (4.18). Remplazando la señal de control en la ecuación de estados, obtenemos:
(4.19)
38
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Control 2
∞
Diseñaremos el sistema de seguimiento de tipo 1 de modo que los polos en lazo cerrado se ubiquen
∞ ∞ = − ∞ + ∞ ∞ = = >0 − ∞ = − + − − ∞ − ∞ − ∞ = − − ∞ + − ∞ = − ∞ = − 0 = + − =∞ = − + = − + ∞ = − ∞ + = 0 ∞ = −∞ + = 0 − − ∞ ∞ = − − ∞
en las posiciones deseadas. El sistema diseñado será un sistema asintóticamente estable donde tenderá a un valor constante
y
tenderá a cero.
En estado estable, tenemos que la e cuación de estado (4.19) es denotado:
Considerando que
(4.20)
es una entrada escalón, tenemos
(constante) para
;
y restando las ecuaciones de estado anteriores (4.19) y (4.20), obtenemos:
Remplazando la definición
, la ecuación resultante describe la dinámica del
error:
(4.21)
El diseño del sistema de seguimiento de tipo 1 se convierte aquí en el diseño de un sistema regulador asintóticamente estable tal que
tienda a cero, dada cualquier condición inicial
Si el sistema definido mediante la ecuación (4.1)
, es de estado completamente
controlable; entonces, especificando los valores característicos deseados matriz
, la matriz
.
,
, …,
para la
se determina mediante la técnica de ubicación de polos.
Los valores en estado estable de
y
se encuentran haciendo
, a partir de las
ecuaciones (4.19) y (4.18):
Por lo tanto tenemos:
Dado que todos los valores característicos deseados de plano s, existe la inversa de la matriz
. En consecuencia,
Y
están en el semiplano izquierdo del se determina como:
(4.22)
queda:
39
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∞ = −∞ + = 0
Control 2
(4.23)
Ejemplo Considere el sistema de seguimiento tipo 1, en la que la función de transferencia está definida:
= + 11 + 2
Se desea diseñar un sistema de seguimiento de tipo 1 tal que los polos en lazo cerrado estén en
−2 �2 3 −10 y
. Suponga que la configuración del sistema es igual a la de la figura Nº 4.9 y que
la entrada de referencia es una función escalón unitaria
Figura º 4.9 Diagrama de bloques de un sistema de seguimiento
Solución A partir de la función de transferencia del sistema, podemos representarla de la forma:
+ 3 +2 = = − 3 − 2 = = =
Si definimos las variables de estado:
40
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Control 2
Derivando y remplazando, tenemos:
= = = − 3 − 2 = + = = 00 10 01 + 00 0 −2 −3 1 = 1 0 0 = 3 = −0 ⋯ ⋮+ − = − + = −0 + − = − + + − = − + = = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 = 01 00 −20 −31 01 00 −20 −31 01 = 01 −31 −37
Las ecuaciones de estado serán:
Del diagrama de bloques del sistema de control por realimentación de estados considerando
,
la señal de control se expresa a partir de la ecuación general.
Para el ejemplo:
Donde: •
Examinemos la matriz de controlabilidad para el sistema:
El rango de esta matriz es 3, o sea es de rango máximo, el sistema es completamente controlable y es posible la ubicación arbitraria de polos
41
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Control 2
La ecuación característica del sistema está dada por la ecuación:
−1 0 0 0 0 1 0 − = 00 0 0 − 00 −20 −31 = 00 2 − +13 = + 3 + 2 = + 3 + 2 = 0
De donde podemos obtener los coeficientes de la ecuación característica •
•
•
== 32 = 0 == −2−2 +−22 33 = −10 +2 +2 3 + 2 − 2 3 + 10 = + 14 + 56 + 160 = 0 == 1456 = 160 = − − − 1 0 0 = 160−0 56 − 2 14 − 3 = 1 60 54 11 00 10 01 = 160 54 11 = =
Dado que los valores característicos deseados son: •
•
•
La ecuación característica deseada es la siguiente:
Donde los coeficientes de la ecuación característica deseada son: •
•
•
Para determinar la matriz
de realimentación utilizamos la ecuación:
Remplazando los valores correspondientes:
Se debe anotar que
, dado que la matriz A del sistema, está en la forma canónica
controlable.
Si utilizamos el método de la formula de Ackermann para determinar
, la ecuación
correspondiente es:
42
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Control 2
= 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 = 01 00 −20 −31 01 00 −20 −31 01 = 01 −31 −37 2 3 1 = 31 10 00 = + 14 + 56 + 160 160 54 11 = + 14 + 56 + 160 = 00 −42 138 2175 2 3 1 160 54 11 = 0 0 1 = 0 0 1 31 10 00 00 −42 138 2175 = 160 54 11
La matriz
de controlabilidad es definida:
De donde hallamos
La definición de la ecuación característica deseada es (hallada anteriormente):
Por el teorema de Cayley Hamilton:
Por lo tanto la matriz
, esta dada:
La resolución mediante el Matlab lo damos a continuación:
%ejemplo %datos del sistema clear a=[0 1 0;0 0 1;0 -2 -3]; b=[0;0;1]; c=[1 0 0]; %controlabilidad m=[b a*b a*a*b]; rank(m); %coeficientes del sistema p=poly(a); a1=p(2); a2=p(3); a3=p(4);
43
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Control 2
%definimos matriz W w=[a2 a1 1; a1 1 0; 1 0 0]; % %matriz de transformación T=MW t=m*w; %matriz deseada u1=-2+i*2*3^0.5; u2=-2-i*2*3^0.5; u3=-10; J=[u1 0 0; 0 u2 0; 0 0 u3]; j=poly(J); %coeficientes deseados j1=j(2); j2=j(3); j3=j(4); %matriz K de realimentación k=[j3-a3 j2-a2 j1-a1]*(inv(t)); % %formula de Ackermann i=eye(3); invM=inv(m); phiA=[a*a*a+14*a*a+56*a+160*i]; k=[0 0 1]*invM*phiA;
Utilizando directamente el comando de Matlab, para el sistema y polos deseados:
Polos de lazo cerrado deseados: •
•
•
== −2−2 +−22 33 = −10
= 00 10 01 + 00 0 −2 −3 1
= −2+ 2 3 −2 − 2 3 −10 44
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Control 2
Aplicando el comando acker y place, obtenemos
%ejemplo clear %datos del sistema a=[0 1 0;0 0 1;0 -2 -3]; b=[0;0;1]; c=[1 0 0]; d=[0] %matriz deseada j=[-2+j*2*sqrt(3) -2-j*2*sqrt(3) -10] %calculo matriz K k1=acker(a,b,j) k2=place(a,b,j)
Obteniéndose del Matlab para los dos comandos: k1 = 160.0000 54.0000 11.0000
k2 = 160.0000 54.0000 11.0000 Que es el mismo valor obtenido anteriormente.
Características de respuesta escalón del sistema anterior Muestro sistema está definido por la ecuación de estado y de salida:
= 00 10 01 + 00 0 −2 −3 1 = 1 0 0
Y tiene una matriz de realimentación , dada por:
45
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Control 2
= 1 60 54 11 = −0 + − = − + + − = − + 0 1 0 0 0 = − + = 00 −20 −31 − 01 160 54 11 + 01160 0 1 0 0 0 0 = 00 −20 −31 − 1600 540 110 + 16000 0 1 0 0 = −1600 −560 −141 + 1600 ∞ ∞ = − − ∞ 0 1 0 0 ∞ = ∞∞ = −−1600 −560 −141 1600 −0. 3 500 −0. 0 875 0. 0 063 0 1 0 = 10 01 00 1600 = 00 = 0 ∞ =∞∞ = ∞ = = − + ∞ ∞ = −∞ + = −1 60 54 11 ∞∞+160 = −1 60 54 11 00+ 160 = −160 +160 = 0
Para la ley de control dada por:
La ecuación de estado del sistema queda de la forma:
Los estados en estado estable
Podemos concluir que
entrada escalón. Asimismo,
, se determina como:
, no hay error en estado estacionario ante una
se obtiene de la ecuación:
De donde obtenemos:
Es decir la señal de control en estado estable es igual a cero.
46
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Control 2
El programa en Matlab para la obtención de la salida y de los estados del sistema tipo 1 con realimentación unitaria se da a c ontinuación:
% ejemplo % datos del sistema clear a=[0 1 0;0 0 1;0 -2 -3]; b=[0;0;1]; c=[1 0 0]; d=[0] % controlabilidad m=[b a*b a*a*b]; % formula de Ackermann i=eye(3); invM=inv(m); phiA=[a*a*a+14*a*a+56*a+160*i]; k=[0 0 1]*invM*phiA; % graficas con entrada escalón % sistema X=(A-BK)x+Bk1r aa=[a-b*k]; bb=b*k(1); cc=c; dd=d; [y,x,t]=step(aa,bb,cc,dd); grid; % grafica de la salida del sistema x1 figure (1) plot(t,y); title('Salida del sistema con entrada escalón unitaria') ylabel('amplitude'); xlabel('time') grid figure(2) % grafica de estado x1 x1=[1 0 0]*x' plot(t,x1,'r');hold % grafica de estado x2 x2=[0 1 0]*x' plot(t,x2,'b'); % grafica de estado x3 x3=[0 0 1]*x'
47
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Control 2
plot(t,x3,'g') grid title('grafica de los estados x1, x2 y x3 con entrada escalón') ylabel('amplitude') xlabel('time')
Las graficas obtenidas en Matlab de la respuesta ante la entrada escalón de los estados en la figura Nº 4.10 y 4.11 Salida del sistema con entrada escalon unitaria 1.4
1.2
1
e 0.8 d u t i l p m a 0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5 time
2
2.5
3
Figura º 4.10 Respuesta del sistema con una entrada escalón
48
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Control 2
grafica de los estados x1, x2 y x3 con estrada escalon 8 x1 x2 x3
6
4
e d u t i l p m a
2
0
-2
-4
-6 0
0.5
1
1.5 time
2
2.5
3
Figura º 4.11 Grafica de los tres estados x1, x2 y x3 con una entrada escalón
49
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Control 2
Diseño de un sistema de seguimiento de tipo 1 cuando la planta no tiene integrador. Si la planta no tiene integrador (planta de tipo 0), el principio básico del diseño de un sistema de seguimiento de tipo 1 es insertar un integrador en la trayectoria directa entre el comparador de error y la planta, como se aprecia en la figura Nº 4.12.
Figura º 4.12 Diagrama de bloques básico de un sistema de seguimiento tipo 1 sin integrador
Del diagrama de bloques de la figura Nº 4.12, obtenemos las ecuaciones:
= + = = − + = − = −
Donde:
(4.1) (4.17) (4.24) (4.25)
= variable de estado de la planta (vector de dimensión n) = señal de control (escalar)
= seña1 de salida (escalar)
= salida del integrador (variable de estado del sistema, escalar) = señal de entrada de referencia (función escalón, escalar) = matriz de coeficientes constantes de 1 X n = matriz de coeficientes constantes de n X 1 = matriz de coeficientes constantes de 1 X n
50
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Control 2
Suponiendo que el sistema definido por las ecuaciones anteriores y es completamente controlable, su función de transferencia estará dada por la ecuación:
= −
Para evitar la posibilidad de que el integrador insertado se cancele por un cero de la planta en el origen, suponemos que
no tiene un cero en el origen.
Suponga que la entrada de referencia (función escalón) se aplica en
=0
. En este caso, para
>0
,
la dinámica del sistema se describe mediante una ecuación matricial que es una combinación de las ecuaciones anteriores (4.1) y (4.25), matricialmente:
= + = − = − = − 00+ 0 + 01 = 0 = = − 00 + 0 + 01 = = >0 − = − 00 + 0 + 01 − − 00 − 0 − 01 = − 00 − + 0 − = − 00 + 0 = − 00 + 0
(4.26)
Se diseñara un sistema asintóticamente estable, tal que
∞ ,
constantes, respectivamente. Así, en un estado estable
∞ y
y obtenemos
∞ tienden a valores ∞
Observe que, en estado estable, tenemos: ∞
∞ ∞
∞
Considerando que
∞
∞
es una entrada escalón, tenemos que
(4.27)
∞
(constante) para
. Restando las ecuaciones (4.26) y (4.27), obtenemos: ∞
∞
∞ ∞
∞ ∞
∞
∞
∞
Por lo tanto queda:
(4.28)
51
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Donde: •
•
•
Control 2
−− == − = ∞
∞
∞
Para la salida se hace algo similar, la diferencia entre las dos ecuaciones:
= − + = − + − = − −= − ++ + − = −− − + − = − + = −− = = − 00 + 0 = + = − = = − 00 = 0 = − + 1 ∞
∞
∞
De donde obtenemos: ∞
∞
∞
∞
∞
Por lo tanto:
Si definimos el vector error
(4.29)
:
(4.30)
Las ecuaciones de estado (4.28) y de salida (4.29), halladas quedan expresadas haciendo el remplazo correspondiente de la forma:
(4.31)
(4.32)
Donde: •
•
•
Por lo tanto las e cuaciones que describen la dinámica del sistema regulador de orden
-ésimo
simplificadas son:
52
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= + = −
Control 2
(4.33)
(4.34)
Si el sistema anterior definido por las ecuaciones de estados, es completamente controlable, entonces, especificando la ecuación característica deseada para el sistema, se determina la matriz mediante la técnica de ubicación de polos presentada en secciones anteriores.
= = + = − = −
Los valores en estado estable de estable
,
y
se encuentran del modo siguiente: en estado
∞ , a partir de las ecuaciones del sistema:
(4.1)
(4.25)
Obteniendo para estado estable:
= 0 = + + = 0 = − 00 = − 0 + 0 = − 0 0 = − + → = − + = + = + = − ∞
∞
∞
∞
∞
∞
Expresados matricialmente: matricialmente:
∞ ∞
A partir de esta ecuación obtenemos los valores en estado estable de ∞ ∞
(4.35)
, lo obtenemos de la ecuación del sistema:
∞, obtenmos:
∞
De donde
:
El valor en estado estacionario de
Haciendo
y y
∞
∞
∞ , es: ∞
∞
∞
(4.36)
A partir de las ecuaciones (4.33) y (4.34), repetidas a continuación:
53
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Control 2
= + = − = − − , , … ,
Hacemos el remplazo de la señal de control
en la ecuación de estado del error:
Si los valores característicos deseados de la matriz deseados) se especifican como estado
(4.37) (es decir, los polos en lazo cerrado (es
, entonces la matriz de ganancias de realimentación del
y la constante de ganancia integral
pueden determinarse.
En el diseño actual, es necesario considerar varias matrices
diferentes (que correspondan a varios
conjuntos distintos de valores característicos deseados) y realizar simulaciones en computadora para encontrar aquella que produzca el mejor desempeño general del sistema. A continuación, seleccione seleccione la mejor como la matriz
.
Como ocurre normalmente, no todas las variables de estado se pueden medir en forma directa. En ese caso, necesitamos usar un observador de estado. La figura Nº 4.13 muestra un diagrama de bloques de un sistema de seguimiento seguimiento de tipo tipo 1 con un un observador de estado.
Figura º 4.13 Diagrama de bloques de un sistema de seguimiento tipo 1 sin integrador con observador de estados
Ejemplo Considere el sistema del péndulo invertido de la figura Nº 4.14 en que se desea conservar el péndulo invertido lo más cercano posible a la vertical y aun así controlar la posición del carro, por ejemplo, moverlo súbitamente de un punto a otro. Para controlar la posición del carro es necesario desarrollar un sistema de seguimiento de tipo 1. El sistema del péndulo invertido montado en un carro no tiene un integrador.
54
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Control 2
Figura º 4.14 Sistema de un péndulo invertido
El diagrama de bloques que se utilizara para el diseño del sistema será el de la figura Nº 4.15.
Figura º 4.15 Diagrama de bloques básico de un sistema de seguimiento tipo 1 sin integrador
Solución Las ecuaciones diferenciales del sistema dinámico son:
= + − = − = → = = → =
Definimos las variables de estado y derivando:
55
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De donde obtenemos:
Control 2
= → = = → = = 1 = + − = = − + 1 = +0 10 00 00 + −01 − 0 00 00 10 10 = 0 0 1 0
Expresadas las ecuaciones de estado en forma matricial tenemos
Los valores de las variables: •
•
•
•
== 0.21 ==0.9.581 /
Remplazando en las ecuaciones de estado obtenemos:
= 20. 06 01 10 00 00+ −10 −0.04 905 00 00 01 0.05 = 0 0 1 0 56
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Control 2
Que corresponde a las ecuaciones de estado y de salida del sistema; además si consideramos el diagrama de bloques del sistema de control tenemos las ecuaciones:
= + = = − + = − = − = − 00 + 0 +01 = + = − = − 0 1 0 0 0 20. 6 01 0 0 0 0 0 = − 0 = −0.04 9050 0 00 10 00 0 0 0 1 0 0 = 0 = 0.−105 0 = − = −
Matricialmente:
Considerando lo analizado anteriormente para estos casos, obtenemos la ecuación de estado para el error, ecuaciones (4.33) y (4.34):
De donde podemos expresar:
Donde:
•
•
•
Para determinar la matriz de ganancias de realimentación del estado técnica de ubicación de polos.
necesaria, será mediante la
A continuación obtendremos la ecuación característica para el sistema:
= +
57
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Control 2
Que corresponde:
0 0 0 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 20. 6 01 0 0 0 0 −20.601 0 0 0 − = 00 00 0 0 00 − −0.04 9050 0 00 10 00 = 0.4905 0 0 0 0 −1 00 0 =00 0− 20. 601 =0 − 20.06011 0 = 0 + +0 +0−1 + 0 + =0 == −20.0 601 == 00 = 0
De donde obtenemos los valores de los c oeficientes: •
•
•
•
•
Para obtener una velocidad y un amortiguamiento razonables en la respuesta del sistema diseñado
(por ejemplo, el tiempo de estabilización de aproximadamente 4 - 5 seg. y el sobrepaso máximo de
= = 1,2, 3,4 5 == −1−1 −+3 3 == −5−5 = −5 − − =− +17− + 109s − +335s = ++550s+ 1 + 3500 + 1 −3 + 5 + 5 + 5 15% - 16% en la respuesta escalón del carro), seleccionemos los polos en lazo cerrado deseados en , donde:
•
•
•
•
•
La ecuación característica deseada se c onvierte en:
De donde podemos obtener los coeficientes de la ecuación característica deseada •
•
•
•
== 10917 == 335550
58
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•
= 500
Control 2
El paso siguiente es obtener la matriz de transformación a partir de la ecuación:
= = 5 0 −1 0 −20. 6 010 0 = = −10.05 0.005 −20.0.409056010 0.400905 −424.10.100484012 0 0 0.5 0 0.4905 1 01 00 −20.0601 −20.0601 01 10 = 1 01 00 00 = −20.0601 10 10 00 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − = + + ⋯+ + = 0−1 −10 −20.06010 −20.06010 −424.04012 00 −20.0601 −20.0601 01 10 = 0.05 0.05 0.40905 0.40905 10.10048 −20.0601 10 10 00 00 0 0 0 00.5 0 0 −1 0.40905 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 = 00 −9.80100 −9.80100 0.05 0.05 −9.8100 0 0.5 0 0 0 −0. 0 026 0 −0. 0 052 −0. 1 019 = −0.−100510 −0.000510 −0.100019 −0.100019 000 0 −1 0 0 0 Donde
para
Y la matriz
Donde las
, se obtiene a partir de la ecuación:
, definida por:
son los coeficientes del polinomio característico, halladas anteriormente:
Por lo tanto:
La matriz inversa de , la detallamos:
59
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Control 2
= − − − − − 0 −0.0026 0 −0.0052 −0.1019 = 500− 0 550−0 335− 0 109+ 20.601 17 −0 −0.−100510 −0.000510 −0.100019 −0.100019 000 0 −1 0 0 0 0510 −0.00026 −0.10019 −0.00052 −0.10019 −0. 0 = 500 550 335 129.601 17 −10 −0.00510 00 −0.10019 00 0 −1 0 0 0 = = −157.6336 −35. 3−733 − 56.0652 −36.7466 − 50.9684 = − La matriz de ganancias de realimentación deseada
se determina, para los coeficientes de la
ecuación característica del sistema y deseados respectivamente, mediante la ecuación:
De donde: •
•
= =−50.9684 = −157.6336 − 35.3733 − 56.0652 − 36.7466
Determinación de la matriz de ganancias de realimentación del estado y la ganancia integral con MATLAB. Definimos nuestro sistema con las ecuaciones de estado del eje mplo:
•
•
0 1 0 0 0 = − 00 = −0.20.04690501 000 000 100 000 0 0 0 1 0 0 −1 = 0 = 0.05 0 == −1−1 −+3 3 = −5
Los polos deseados: •
•
•
60
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•
•
Matriz •
Control 2
== −5−5 = − = − dada por:
El programa en Matlab para calcular la matriz
:
%ejemplo clear %datos del sistema a=[0 1 0 0;20.601 0 0 0;0 0 0 1;-0.4905 0 0 0]; b=[0;-1;0;0.5]; c=[0 0 1 0]; d=[0]; %matrices del sistema aumentado a1=[a zeros(4,1);-c 0]; b1=[b;0] %matriz de controlabilidad mc=[b1 a1*b1 a1^2*b1 a1^3*b1 a1^4*b1]; rank(mc) %matriz de polos deseados j=[-1+j*sqrt(3) 0 0 0 0; 0 -1-j*sqrt(3) 0 0 0; 0 0 -5 0 0; 0 0 0 -5 0; 0 0 0 0 -5]; J=poly(j) phi=polyvalm(poly(j),a1) K=[0 0 0 0 1]*inv(mc)*phi
El matlab devuelve el valor de K=
-157.6336 -35.3733 -56.0652 -36.7466 50.9684 Que corresponde a los valores determinados anteriormente.
61
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Control 2
Características de la respuesta escalón unitario del sistema diseñado.
= − 00 + 0 +01 = − + = − 00+ 0− + + 01 = −− 0 + 01 = 0 0 1 0 0 + 0
Las graficas de los estados del sistema lo hacemos a partir de la ecuación de estado, la señal de control con el valor de la matriz
Remplazando:
Obtenemos:
Y la salida está dada:
:
En Matlab tenemos el siguiente programa:
%ejemplo clear %datos del sistema a=[0 1 0 0;20.601 0 0 0;0 0 0 1;-0.4905 0 0 0]; b=[0;-1;0;0.5]; c=[0 0 1 0]; d=[0]; %matriz de realimentación de estado k=[-157.6336 -35.3733 -56.0652 -36.7466] ki=[-50.9684] % matrices del sistema con realimentación y Ki aa=[a-b*k b*ki;-c 0] bb=[0;0;0;0;1] cc=[c 0] %respuesta escalón unitaria [y,x,t]=step(aa,bb,cc,d) %grafica de la salida figure (1) plot(t,y) grid
62
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Control 2
title('salida del sistema con entrada escalón') ylabel('amplitude') xlabel('time') %grafica de los estados figure (2) %estado x1 x1=[1 0 0 0 0]*x' plot(t,x1,'b');hold %estado x2 x2=[0 1 0 0 0]*x' plot(t,x2,'g') %estado x3 x3=[0 0 1 0 0]*x' plot(t,x3,'r') %estado x4 x4=[0 0 0 1 0]*x' plot(t,x4,'b--') %estado x5 x5=[0 0 0 0 1]*x' plot(t,x5,'m') grid title('respuesta de los estados con entrada escalón') ylabel('amplitude') xlabel('time')
Las graficas en matlab de la salida figura Nº 4.16 y de los estados en la figura Nº.4.17
63
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Control 2
salida del sistema con entrada escalon 1.2
1
0.8
e d u t i l p m a
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
1
2
3 time
4
5
6
Figura º 4.16 Salida del sistema con una entrada escalón
64
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Control 2
respuesta de los estados con entrada escalon 1.4 1.2 1 0.8 e d u t i l p m a
x1 x2
0.6
x3 x4
0.4
x5
0.2 0 -0.2 -0.4
0
1
2
3 time
4
5
6
Figura º 4.17 Grafica de los estados del sistema con una entrada escalón
OBSERVADORES DE ESTADO En la práctica no todas las variables de estado están disponibles para su realimentación, entonces, necesitamos estimar las variables de estado que no están disponibles. La estimación de semejantes variables de estado por lo general se denomina observación Un dispositivo (o un programa de computadora) que estima u observa las variables de estado se llama observador.de estado, o, simplemente, observador. Si el observador de estado capta todas las variables de estado del sistema, sin importar si algunas están disponibles para una medición directa, se denomina observador de estado de orden completo.
n
n
Un observador que estima menos de variables de estado, en donde es la dimensión del vector de estado, se denomina observador de estado de orden reducido o, simplemente, observador de orden reducido. Si el observador de estado de orden reducido tiene el orden mínimo posible, se denomina observador de estado de orden mínimo, u observador de orden mínimo. En esta sección analizaremos el observador de estado de orden completo y el observador de estado de orden mínimo
65
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Control 2
Observador de estado Un observador de estado estima las variables de estado con base en las mediciones de las variables de salida y de control. Como veremos más adelante, los Observadores de estado pueden diseñarse si y solo si se satisface la condición de observabilidad Considere el sistema definido por las ecuaciones, así como su diagrama de bloques:
= + =
Figura º 4.18 Diagrama de bloques de un sistema sin re alimentación
Suponga que el estado se aproximará mediante el estado del modelo dinámico que representa al observador de estado. El diagrama de bloques de la figura Nº 4.19 muestra un observador de estado de orden completo.
Figura º 4.19 Diagrama de bloques de un sistema con observadores de estado
66
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Control 2
La ecuación de estados para el observador dado en el DB de la figura Nº 4.19, es:
Donde: •
= + + − = + + −
Matriz de ponderación.
Observador de estado de orden completo Para un sistema definido por sus ecuaciones de estado:
= + = = + + − = + + − = − = =+−− −−−− −= −=− =−− −
Y la ecuación de estimación de estado dada por:
El error entre los estados del sistema y el estado estimado es:
Donde:
= −
vector de error
De donde podemos concluir:
= − − 0 − −
En la ecuación anterior vemos el comportamiento dinámico del vector error, se determina mediante los valores característicos de la matriz
, si la matriz
es estable, el vector de error
convergerá a cero para cualquier vector de error inicial
Además se debe considerar que si el sistema es completamente observable, se demuestra que es posible seleccionar una matriz deseados.
, tal que
tenga valores característicos arbitrariamente
Condición necesaria y suficiente para la observación del estado Para un sistema definido mediante las ecuaciones
67
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Control 2
= + =
Una condición necesaria y suficiente para la determinación de la matriz de ganancias del observador , es que el sistema sea completamente observable.
Diseño de observadores de estado de orden completo Considere el sistema definido mediante
Donde: •
•
•
•
•
•
= + =
vector de estado (n) señal de control (escalar) señal de salida (escalar) matriz constante (nXn) matriz constante (nX1) matriz constante (1Xn)
Suponemos que el sistema es completamente observable. Además suponemos que la configuración del sistema es la misma que la de la figura Nº 4.19. Al diseñar el observador de estado de orden completo, es conveniente transformar las ecuaciones del sistema dadas por las ecuaciones de estado a la forma canónica observable, del modo siguiente: Se define la matriz de transformación:
Donde
= ∗ = ∗ ∗∗ ⋯ ∗∗ ⋯ 0 01 = ⋮ 1 0 0⋮ 1 0 ⋯ 0 0
es la matriz de observabilidad definida por:
La matriz
está definida por:
68
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Donde
Control 2
− = + + + ⋯+ + + = 0 ∗ = = + = = + = = + = + = 0 0 ⋯ 0 − 1 0 ⋯ 0 − = 0⋮ 1 ⋯⋮ 0 −⋮ 0 −0 ⋯ 1 − − = −⋮ − = 0 0 ⋯ 0 1 ,
, …,
, son los coeficientes de la ecuación característica de la ecuación de estado
obtenida del sistema original:
Si suponemos que el sistema es completamente observable, existe la inversa de la matriz
.
Definir un nuevo vector de estado (vector de dimensión ) mediante la ecuación:
Remplazando en las ecuaciones de estado:
Obtenemos:
Pre multiplicando por
Obtenemos las siguientes nuevas ecuaciones d estado en la for ma canónica observable:
Donde:
•
•
•
69
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Control 2
Por lo tanto dada una ecuación de estado y una ecuación de salida, ambas pueden transformarse a la
= =
forma canónica observable si el sistema es completamente observable y si el vector de estado original
se transforma en un nuevo vector de estado
partir de la ecuación entonces
. Nótese que si la matriz
.
mediante la transformación obtenida a
ya está en la forma canónica observable,
Si suponemos un diagrama de bloques como el de la figura Nº 4.20, repetido a continuación
Figura º 4.20 Diagrama de bloques de un sistema con observadores de estado
Cuya ecuación del estimador es:
= + +=−− = + ++ + − = + + −
Si definimos:
= = = − + + = − + + = − + +
Remplazando en la ecuación estimada:
Obtenemos:
Pre multiplicando
, obtenemos:
70
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Control 2
El error o la diferencia entre las ecuaciones:
= + = − + + = − = − = − = = + −− − − − − − − == −− − + − − − = = − − = −
Definiendo como
, además de tener
, obtenemos:
Por lo tanto concluimos que la variación del error es:
= − = − − − = = ∗ ⋯ 1 0 0 ∗ = = ⋮ 1 0 0⋮ ⋮ 1 0 ⋯ 0 0 ⋯ 1 0 0 = ⋮ 1 0 0⋮ ⋮ ⋮ = ⋮ 1 0 ⋯ 0 0
Requerimos que la dinámica de error sea asintóticamente estable y que velocidad suficiente. El procedimiento para determina la matriz
, es seleccionar primero los polos
del observador deseados (los valores característicos de matriz
llegue a cero con una
y a continuación determinar la
, para que produzca los polos deseados del observador.
Remplazando las matrices correspondientes en la ecuación Considerando que
.
, tenemos que:
Entonces:
Donde
, está definido:
71
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•
Control 2
= ⋮
Sabemos por el análisis anterior:
= 0 0 ⋯ 0 1 = − 00 00 ⋯⋯ 00 = ⋮ 0 0 ⋯ 0 1 = ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 − 1 0 ⋯ 0 − = 0⋮ 1 ⋯⋮ 0 −⋮ 0 0 ⋯ 1 − 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 − 0 0 ⋯ 0 1 0 ⋯ 0 − − = 0⋮ 1 ⋯⋮ 0 −⋮ − 0⋮ 0 0⋮ ⋮ 0 00 ⋯0 0⋯ 1− −− 0 0 ⋯ 0 = 10 01 ⋯ 00 −− −− ⋮0 0 ⋯ 0⋮ − ⋮− = −
Por lo tanto la segunda parte de la ecuación
Y la primera parte de la ecuación
, es:
, esta dado por (hallado anteriormente):
Por lo tanto tenemos que:
La ecuación característica de la ecuación:
Esta dada por:
72
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Control 2
0 0 ⋯ 0 − − 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 − − 0 ⋯ 0 0 − − = 0⋮ 0 0⋮ 0⋮ − 0⋮ 1 0⋮ − ⋮− 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 1 − − −1 0 ⋯⋯ 00 ++ = 0⋮ −1 0⋮ +⋮ = 0+ 0 + ⋯−1 + + + + + ⋯+ + + + + + − − … − = + + ⋯+ + + + + + + + + = + + + +⋯+ +⋯+ + + +
Suponga que la ecuación característica deseada para la dinámica del error es:
Y si comparamos las ecuaciones características deseada con la ecuación característica determinada:
Obtenemos la igualdad de coeficientes:
Despejando los valores
Por lo tanto la ecuación
+ = + = ⋮ + = = − = − ⋮ = −
, correspondiente a los elementos de la matriz
:
definida anteriormente, será igual a:
73
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De donde podemos obtener
Control 2
−− = ⋮ = −⋮ − −− = ⋮ = −⋮ − (multiplicando por
):
Enfoque de sustitución directa para obtener la matriz de ganancias del observador de estado
.
=
Al igual que en el caso de la ubicación de los polos, si el sistema es de orden inferior, puede ser más sencilla la sustitución directa de la matriz
dentro del polinomio característico deseado. Por
ejemplo, si es un vector de dimensión 3, escriba la matriz de ganancias del observador
Si se sustituye la matriz deseado:
− − = − − … −
como:
, en el polinomio característico y se iguala con el polinimio característico
Igualando los coeficientes de las potencias iguales de ecuación, determinamos los elementos de
en ambos miembros de esta última
.
Otra manera de determinar de la matriz de ganancias del observador de estado Ackermann.
es usar la fórmula de
Ejemplo Dado el sistema definido por las ecuaciones:
= + = 74
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Dónde. •
•
•
Control 2
= 010 20.06 = 1 = 0 1
Diseñe un observador de estado de orden completo suponiendo que la configuración del sistema es
= −1.8+ 2.4 = −1.8− 2.4
como la que se observa en la figura Nº 4.21. Suponga que los valores característicos deseados de la matriz del observador son:
y
Figura º 4.21 Diagrama de bloques de un sistema con observadores de estado
Solución El diseño del observador de estado se reduce a determinar el valor de la matriz
; para este diseño
determinamos si el sistema es completamente observable o no. Para esto definimos la matriz de observabilidad:
El rango de la matriz
= = 0 1001 120.06 = 01 10
es máximo, o sea 2, por lo tanto el sistema es completamente observable,
por lo tanto es factible el diseño de un observador de estado deseado.
= −− = ∗ −−
Determinaremos la matriz de ganancias del observador
mediante la ecuación:
Los coeficientes del polinomio característico
75
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Control 2
− = 0 0 − 01 20.06 = −1 −20. 6 = − 20.6 = + + = 0 == −20.0 6
Donde: •
•
La ecuación característica deseada es:
Donde: •
•
+ 1.8 + 2.4 + 1.8 + 2.4 = + 3.6 + 9 = + + = 0 == 3.9 6
La matriz:
Donde:
Por lo tanto:
= ∗ = 1 01 = 01 10 ∗ = ∗ ∗∗ = 01 10∗ = 01 10 = ∗ = 01 1001 10 = 10 01 = 10 01 = −− = ∗ −− = 10 0193.+6 20.− 06 = 23.9.66 = = 23.9.66
Remplazando en la ecuación:
Por lo tanto:
Efectos de la adición del observador en un sistema en lazo cerrado.
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Control 2
En el proceso de diseño mediante la ubicación de polos, supusimos que el estado real
estaba
disponible para su realimentación. Sin embargo, en la práctica tal vez no pueda medirse el estado real
, por lo que necesitaremos diseñar un observador y usar el estado observado
realimentación, como se aprecia en la f igura Nº 4.22.
para la
Figura º 4.22 Diagrama de bloques de un sistema de control mediante realimentación del estado observado
Por tanto, el proceso de diseño tiene ahora dos etapas, la primera de las cuales es la determinación de la matriz de ganancias de realimentación
para producir la ecuación característica deseada y la
segunda es la determinación de la matriz de ganancias del observador característica deseada del observador.
, para obtener la ecuación
Considere el sistema de estado completamente controlable y observable definido mediante las ecuaciones
= + = = − = + = − + − = − + − = −
La señal de control está dada por la ecuación:
Remplazando esta señal de control en la ecuación de estado, tenemos
Si denotamos la diferencia entre el estado real y el estimado
, tenemos:
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Control 2
= − + = − = −− 0 − 0+ −− + = 0 − + − + = 0
Además se sabe que la ecuación del error es (hallada anteriormente):
Expresando las dos últimas ecuaciones en forma matricial obtenemos:
La ecuación anterior describe la dinámica del sistema de control mediante la realimentación del estado observado. La ecuación característica para el sistema es
O bien dado por la ecuación:
El diseño mediante la ubicación de los polos y el diseño del observador son independientes uno del otro; se diseñan por separado y se combinan para formar el sistema de control mediante la realimentación del estado observado. Por lo general los polos del observador se seleccionan para que la respuesta del observador sea mucho más rápida que la respuesta del sistema. Una regla práctica es elegir una respuesta del observador al menos 2 o 5 veces más rápida que la respuesta del sistema.
Función de transferencia para el controlador-observador Considerando el sistema dado por:
= + =
Suponga que el sistema es completamente observable, pero que x no está disponible para una medición directa. Suponga que empleamos el control mediante la realimentación del estado observado
= −
La transformada de Laplace de la señal de control
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Control 2
= − = − + + − 0 = − + + 0 = 0 = − − + = − − +
Considerando la figura Nº 4.22. sistema de control mediante la realimentación del estado observado, la ecuación del observador es
La transformada de Laplace de esta ecuación es:
Remplazando la transformada de Laplace de la señal de control, considerando las condiciones iniciales nulas
y ordenando, obtenemos:
De donde obtenemos:
= − − − = − = − − − −
Sustituyendo esta última ecuación en la ecuación de control, obtenemos
Esta ecuación se puede implementar el diagrama de bloques de la figura Nº
muestra la
representación del sistema en diagrama de bloques. Observe que la función de transferencia funciona como controlador para el sistema.
Figura º 4.23 Representación en diagrama de bloques del sistema con un controlador-observador
La función de transferencia del controlador observador está dada por la ecuación:
− = − − −
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