DISEÑO COMPLETAMENTE RANDOMIZADO RANDOMIZADO O AL AZAR Este diseño experimental es el más simple de todos los diseños experimentales y útil cuando las unidades experimentales son esencialmente homogéneas; es decir cuando la variación entre ellas es pequeña que al agruparlas en bloques la ganancia en precisión sería insignificante. En este diseño los tratamientos se asignan aleatoriamente a las unidades experimentales sin imponer restricción. Es decir, cada unidad experimental tiene la misma oportunidad o probabilidad de recibir un tratamiento. Esto puede realizarse mediante el uso de números aleatorios. Ejemplo Se desea comparar los rendimientos de tres variedades de un cultivar: A, B y C. Suponga que se cuenta con 15 parcelas(numeradas del 1 al 15) y se decide usar 5 repeticiones por tratamiento. Entonces en la tabla de número aleatorio dada en el libro de Steel y Torrie (tabla A1) se eligió aleatoriamente un punto de partida (puede ser eligiendo un número aleatoria para página, otra para fila y otro para columna) de este punto de partida se elige verticalmente y en forma consecutiva 15 números aleatorios de tres dígitos, luego se rankea estos números asignando el número 1 al menor, el número 2 al siguiente y así sucesivamente hasta llegar asignar el número 15 al mayor de todo. Los 5 primeros números aleatorios da origen a las parcelas (de acuerdo al rango asignado) las parcelas que se le aplicarán el tratamiento A, los 5 siguiente el tratamiento B y los 5 últimos las parcelas que se le aplicarán el tratamiento C. Suponga se obtuvo los siguientes números aleatorios:
Número aleatorio Rango (Tratamiento A) Número aleatorio Rango (Tratamiento B) Número aleatorio Rango (Tratamiento C)
118 1 638 5 687 6
701 8 901 13 938 14
789 9 841 11 377 2
965 15 396 4 392 3
688 7 802 10 848 12
Con el R > runif(15) [1] 0.88531918 0.67671878 0.33055180 0.78807129 0.99752578 0.84816566 [7] 0.72926011 0.74283935 0.28981326 0.88392633 0.60864244 0.99716336 [13] 0.49769922 0.80065374 0.08644736
0.88531918 0.67671878 0.33055180 0.78807129 0.99752578 13 6 3 9 14 0.84816566 0.72926011 0.74283935 0.28981326 0.88392633 11 7 8 2 12 0.60864244 0.99716336 0.49769922 0.80065374 0.08644736 5 15 4 10 1
Tratamiento A Tratamiento B Tratamiento C
Ventajas 1) Este diseño es flexible en cuanto a que el número número de tratamiento y repeticiones sólo está limitado por el número de unidades experimentales. 2) El número de repeticiones puede variar de un tratamiento a otro, aunque generalmente lo ideal es tener el mismo número de repeticiones por cada tratamiento
3) El análisis estadístico es simple, aun cuando se pierde unidades experimentales o tratamientos completos, el diseño se mantiene es decir sigue siendo un diseño completamente al azar 4) El número de grados de libertad para estimar el error experimental es máximo, esto mejora la precisión del experimento, lo cual toma mayor importancia con experimento pequeño (en aquellos cuyos grados grados de libertad para el error es menor a 20). Desventaja Su principal desventaja es su ineficiencia, debido a que el error incluye toda la variación entre las unidades experimentales excepto excepto a la debida a los tratamientos. Diseño completamente Randomizado con una observación por unidad experimental Cuadro de datos: datos : Suponga que se desea comparar t tratamientos. El tratamiento i cuenta con ni repeticiones y de cada unidad experimental se obtiene una observación. Luego, se obtiene el siguiente cuadro de datos: Totales
Tratamiento
Y 1n
Y 1.
Nº de observaciones n1
Y 21 Y 22
Y 2 n2
Y 2.
n2
Y 2.
Y t 2
Y tnt
Y t .
nt
Y t .
1
Y 11
2 t
Y t 1
Y 12
1
Totales
Y..
t
ni
i 1 j 1
Donde: Yi.
ni
Y i.
Y , Y n ij
i.
j 1
, para i 1, 2,
Y ij
t
n
Media
Y 1.
i
Y ..
para i 1, 2,
, t
n.
i 1
Y .. n.
, t
i
Modelo aditivo lineal
Y ij i ij
j 1, 2,
, ni
donde: Y ij = Es la observación o respuesta que se obtiene de la unidad experimental que constituye la j-ésima repetición del tratamiento i . = Es el parámetro común para todos los tratamientos llamado media común. i = Es el parámetro que representa el efecto verdadero del i -ésimo tratamiento.
ij = Es un componente aleatorio que representa el efecto verdadero de la
j -ésima unidad experimental sujeta al tratamiento i, llamado comúnmente error. Para las pruebas de hipótesis se asume que ij es una variable independiente distribuida normalmente con media cero y variancia común 2 (esto es, ij ~ N 0, 2 ). En un diseño experimental de acuerdo con el tipo de efecto que se desea analizar se presenta dos tipos de modelo: Modelo de efectos fijos (modelo I) Ocurre cuando los niveles del factor son especificado o fijado por el investigador. Modelo de efectos aleatorios (Modelo II) Ocurre cuando los niveles del factor son elegidos al azar de una población grande. Análisis de modelos de efectos fijos En un modelo de efectos fijos, los efectos de los tratamientos son definidos como desviaciones con respecto a la media común, de manera tal que: ni
t
0 i
i 1 j 1
Estimación de parámetros: Para realizar la estimación de parámetros se usará el método de los mínimos cuadrados, el cual consiste en encontrar los valores de y i ( i 1, 2, t ) que minimiza la suma de cuadrados de los errores:
Q
ni
t
ni
t
Y 2 ij
ij
i 1 j 1
i
i 1 j 1
Estos valores serán denotados por y i ( i 1, 2, ˆ
2
ˆ
t ).
Aplicando este método se tiene: t n Q 2 Y ij i 0 , i 1 j 1 i
ˆ
ˆ
Q i
ˆ
i
ˆ
ni
2 Y ij i 0 , para i 1, 2, ˆ
i 1
, i ˆ
ˆ
ˆ
Lo cual es equivalente a:
n. ˆ
t
ni
ˆ
i
j 1
i
ni ni i Y i . ˆ
ˆ
Y .. para i 1, 2,
t
t
Al sistema de ecuaciones dado anteriormente se le llama sistema de ecuaciones normales, la cual tiene múltiples soluciones. Para obtener una solución se aplica restricciones: t
n 0 ˆ
i i
i 1
Con esta restricción el sistema se reduce a:
n. Y .. ˆ
ni ni i Y i . ˆ
ˆ
para i 1, 2,
t
Resolviendo se tiene la siguiente solución: Y ..
Y ..
ˆ
i
Y i .
ˆ
ni
n.
Y ..
i Yi Y .. para i 1, 2, ˆ
t
Al valor
Y ij i ˆ
ˆ
Yij Y i. , ˆ
ˆ
para i 1, 2,
t , j 1, 2,
ni
se le llama valor ajustado o predicho de la j -ésima repetición del tratamiento i . De esto se puede obtener los residuos del modelo:
eij Yij Y ij ˆ
eij Yij Y i. ,
para i 1, 2,
t , j 1, 2,
ni
Ejemplo: Con la finalidad de comparar los tiempos (en segundos) promedios de coagulación de animales sometidos a 4 dietas diferentes: A, B, C y D, se realizó un experimento con 24 animales de características similares. Las dietas fueron asignadas aleatoriamente entre los animales. Las muestras fueron tomadas en orden aleatorio. Los datos obtenidos se muestran a continuación.
A 62 60 63 59
Tratamientos B C 63 68 67 66 71 71 64 67 65 68
D 56 62 60 61 63
66
68
64 63 59
Y i .
244 396 408 488
ni
4
6
6
8
Y i .
61
66
68
61
Luego, el modelo aditivo lineal está dado por:
Y ij i ij
para i 1, 2, 3 y 4
j 1, 2,
, ni
n1 4, n2 n3 6 y n4 8 donde: Y ij = Es el tiempo de coagulación que se obtiene del j-ésimo animal que recibió la dieta i. = Es la media del tiempo de coagulación que se obtiene con estos experimentos i = Es el parámetro que representa el efecto verdadero del i -ésima dieta.
ij = Es un componente aleatorio que representa el efecto verdadero del
j -ésimo animal sujeta a la dieta i, llamado comúnmente error. > > > > >
coag<-read.table("coag.txt",T) Tiempo<-coag$Tiempo dieta<-coag$dieta ypi<-tapply(Tiempo,dieta,mean) ypi A B C D 61 66 68 61 > ype<-mean(Tiempo) > ype [1] 64 > efectoi<-ypi-ype Los estimados de los efectos de las dietas ( i ˆ
> efectoi A B C D -3 2 4 -3 > mod<-lm(Tiempo~dieta) > mod Call: lm(formula = Tiempo ~ dieta) Coefficients:
Yi Y .. ) son
(Intercept) 6.100e+01
dietaB 5.000e+00
dietaC 7.000e+00
dietaD -3.333e-15
Los residuos ( eij Yij Y i. ) están dados por: > ei<-residuals(mod) > ei 1 2 3 4 5 1.000000e+00 -1.000000e+00 2.000000e+00 -2.000000e+00 -3.000000e+00 6 7 8 9 10 1.000000e+00 5.000000e+00 -2.000000e+00 -1.000000e+00 1.402687e-16 11 12 13 14 15 1.125131e-16 -2.000000e+00 3.000000e+00 -1.000000e+00 1.125131e-16 16 17 18 19 20 1.125131e-16 -5.000000e+00 1.000000e+00 -1.000000e+00 2.924635e-17 21 22 23 24 2.000000e+00 3.000000e+00 2.000000e+00 -2.000000e+00
Los valores ajustados o predichos ( Yij Y i. ) están dados por: ˆ
> yest<-predict(mod) > yest 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 61 61 61 61 66 66 66 66 66 66 68 68 68 68 68 68 61 61 61 61 61 61 61 61
Análisis de Variancia (Modelo I) En un modelo de efectos fijos, es de interés en probar la siguiente hipótesis:
H 0 : 1 2
t 0 , contra
H a : i 0 , para al menos un i . Si hacemos i i , para i 1, 2,
t
entonces un estimador de i está dado por i Y i. y las hipótesis dados anteriormente puede ˆ
ser expresado como:
H 0 : 1 2
t , contra
H a : al menos dos i son diferentes El procedimiento de prueba adecuado para probar estas hipótesis es el Análisis de Variancia, el cual consiste en descomponer la variabilidad total en sus fuentes. Esto es, t
ni
Y i 1 j 1
donde:
t
t
ni
ij Y.. ni Yi. Y.. Yij Yi. 2
i 1
2
i 1 j 1
2
SCTotal
ni
t
Y
ij
i 1 j 1
SCTrat
t
n Y i
i.
i 1
ni
t
Y.. Y 2
2 ij
i 1 j 1
t
Y.. 2
i 1
Yi.2 ni
Y ..2 n.
Y ..2 n.
= Medida de la variación total
= Medida de la variación que existe entre los tratamientos.
SCE
t
ni
Y
ij
i 1 j 1
ni
t
t
Yi. Y 2
2 ij
i 1 j 1
i 1
Y i.2
= Medida de la variación que existe dentro de ni cada tratamiento.
Se puede observar que:
SCE SCTotal SCTrat Además al término: TC
Y ..2 n.
Cuadrados Medios y sus Valores Esperados: Los cuadrados medios se define como el cociente entre la suma de cuadrados y sus respectivos grados de libertad. Para un DCA se tiene:
CMTrat SCTrat / t 1 CME SCE / n. t Se puede demostrar que para modelo de efectos fijo (modelo I): t
E CMTrat 2
n
2 i i
i 1
t 1
E CME
2
Para modelo de efectos aleatorio (modelo II) n n n r , siendo r
2 i
i
E CMTrat
2
d
2
i
d
t 1
E CME
2
Se puede observar el CME es un estimador insesgado de la variancia común 2 Luego, esto puede ser representado en el siguiente cuadro llamado cuadro de ANVA
Fuente de Suma de Grados de Cuadrados Medios F c Variación Cuadrados Libertad Entre SCTrat t 1 CMTrat SCTrat / t 1 CMTrat Tratamiento CME Dentro de SCE n. t CME SCE / n. t Tratamiento Total SCTotal n. 1 Entonces, bajo la asunción de que los errores son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente con media cero y variancia común y bajo la H 0 se puede demostrar que
F
CMTrat CME
~ F t 1,n. t
Luego para probar H 0 se puede usar esta Estadística de Prueba, se rechaza H 0 si
Fc F 1 ;t 1, n t . .
Coeficiente de Variabilidad: Una medida que permite medir cuan homogéneo el conjunto de unidades experimentales usadas está dado por el coeficiente de variabilidad, el cual se define:
cv
CME Y ..
100
En experimentos agrícolas se considera un coeficiente aceptable si cv 25% . Ejemplo: Con la finalidad de comparar los tiempos (en segundos) promedios de coagulación de animales sometidos a 4 dietas diferentes: A, B, C y D, se realizó un experimento con 24 animales de características similares. Las dietas fueron asignadas aleatoriamente entre los animales. Las muestras fueron tomadas en orden aleatorio. Los datos obtenidos se muestran a continuación.
A 62 60 63 59
Tratamientos B C 63 68 67 66 71 71 64 67 65 68 66 68
D 56 62 60 61 63 64 63 59
Y i .
244 396 408 488
ni
4
6
6
8
Y i .
61
66
68
61
Y..
ni
4
Y 62 60 ij
59 1536 ,
i 1 j 1
TC
Y ..2 n.
ni
Y
2 ij
622 602
592 98644 ,
i 1 j 1
SCTrat
4
1536
98304 ,
24 Y i.2
4
n i 1
SCTotal
2
4
4
Y i.2
n i 1
2 244
i
4
3962 6
4082 6
4882 8
98532
TC 98532 98304 228,
i ni
Y
2 ij
TC 98644 98304 340
i 1 j 1
SCE SCTotal SCTrat 340 228 112
Fuente de Variación Entre Dietas (tratamientos) Dentro de dietas (residual) Total
SC 228 112 340
GL 3 20 23
CM 76 5.6
F 13.57
H p : 1 2 3 4 0 H a : Al menos un i 0
F c
CMTrat CME
76 5.6
13.57
F 0.95,3,20 3.10 , F 0.99,3,20) 4.94 , Se rechaza H 0
Diagnóstico de cumplimiento de Supuestos 1.- Introducción Las suposiciones que se hacen sobre el modelo para realizar estimación por intervalo y pruebas de hipótesis sobre los parámetros son: 1.- modelo aditivo lineal 2.- El término de error tiene media cero. 3.- El término de error tiene variancia constante 2 . 4.- Los errores no están correlacionados. 5.- Los errores se distribuyen normalmente. Las suposiciones 4 y 5 implican que los errores son variables aleatorias independientes. Violaciones de estos supuestos, sobretodo de los supuestos 3, 4 y 5, le resta validez a la prueba de hipótesis realizada en el ANVA y a las pruebas de comparaciones múltiples. En este capítulo, se presenta varios métodos útiles para realizar el diagnóstico y tratamiento de las violaciones de las suposiciones básicas en el análisis de variancia
2.- Definición de Residuos Un residuo se define:
eij Yij Y ij ,
j 1, 2,
ˆ
, ni y i 1,2,
, t
donde:
Y ij es una observación y Y ij el valor ajustado correspondiente. Esto es ˆ
Yij i Y.. Yi. Y.. Yi. ˆ
ˆ
ˆ
Desde que el residuo es una desviación entre el valor observado y el ajustado, entonces es una medida de variabilidad no explicada por el modelo. De esta manera, cualquier violación de las suposiciones del modelo debe ser mostrada por el residual. También puede pensarse que los residuos son valores observado de los errores.
Propiedades de los residuos 1) 2)
La media de los residuos es igual a cero. La variancia promedio aproximada es: ni
t
e CME
i 1 j 1 t
2 ij
SCE t
n t n t i
i 1
i
i 1
3) Los residuos no son independientes. Esta dependencia de los residuos tiene un pequeño t
efecto sobre su uso para investigar la calidad del modelo mientras
ni no sea pequeño. i 1
Residuo Estandarizado Muchas veces es útil trabajar con los residuos estandarizados, los cuales se define:
d ij
eij CMError 1 hi ,i
, j 1, 2,
, ni y i 1, 2,
Siendo el elemento i de la diagonal de la siguiente matriz hat
1n 1 1n 1 X 1n 1 1
1n 1 1
0n 1 1
0n 1
2
0n 1 2
1n 1 2
0n 1 2
t
0n 1
0n 1
1n 1 t
1
H
, t
X XX
-
X donde
XX ,
-
es la inversa generalizada de
XX
t
t
El residuo estandarizado tiene media cero y una variancia aproximadamente igual a la unidad.
Los residuos estandarizados son también útiles para detectar violaciones al supuesto de normalidad. Si los errores están distribuido normalmente, entonces aproximadamente el 68% de los residuales podrían caer entre – 1 y +1, y aproximadamente el 95% podrían caer entre – 2 y +2 desviaciones sustanciales de estos límites indican violación potencial de la suposición de normalidad. Si n es pequeño, se reemplaza los límite 1 y 2 con los correspondiente valores de la distribución de t GLE . El examen de los residuales estandarizados hecho de esta manera es también útil para identificar valores extremos.
Chequeo de supuestos de Normalidad 1) 2)
Para chequear este supuestos se debe realizar el gráfico en papel de probabilidad normal de los residuales estandarizado y tener la observación del párrafo anterior. Realizar la prueba de normalidad de Shapiro Wild, o de Anderson Darling
Chequeo de Homogeneidad de variancia 1)
2)
3)
Gráfico de Caja, este gráfico no sólo permite visualizar si existe homogeneidad de varianza, sino si existe valores extremos. Además permite también realizar una comparación gráfica entre tratamientos. (solo para DCA) Gráfico de los residuales versus los valores ajustados. Aparte de chequear homogeneidad de varianza, permite detectar valores extremos y falta de ajuste del modelo. Todos los residuales debe distribuirse uniformemente en una banda de ancho del mismo ancho Gráfico de los valores ajustados versus la raíz cuadrada de los valores absolutos de los residuales estandarizados: el paquete R proporciona este gráfico más la curva estimada de la regresión Lowes que se obtiene con estos valores. El Lowes no debe tener una tendencia marcada. (dado en la pizarra en clase)
Gráfico de residuos versus valores estimados y ˆ
Este gráfico es útil para detectar varios tipos comunes de modelos inadecuados, y puede ser de las siguientes formas: (dado en la pizarra en clase) Los residuos caen dentro de una banda, el modelo es adecuado 4) Pruebas de Homogeneidad de variancia. Prueba de Bartlett o de Levene (solo para DCA) a) Prueba de Bartlett para homogeneidad de Variancia en DCA
H 0 : 12 22
t 2
H a : Al menos dos i2 son diferentes la estadística de prueba está dado por t a 2 ni t ln CME ni 1 ln Si ~ 2t 1 / H es verdadera C i 1 i 1 2 c
1
t
0
ni
Y
ij
j 1
donde: S i2
Y i .
ni
2
Y ij , siendo Y i
ni 1 t
CME
n 1 S
SCE t
n t
S 2 p
i
2 i
i
i 1 t
n t i
i 1
i 1
j 1
ni
, para i 1, 2,
, t ,
t 1 1 1 y C 1 t 3 t 1 i 1 ni 1 ni 1 i 1
Se rechaza H 0 a un nivel de significación , si c2 21 ,t 1 . Ejemplo: Con los datos de tiempo de Coagulación
A 62 60 63 59
Tratamientos B C 63 68 67 66 71 71 64 67 65 68 66 68
D 56 62 60 61 63 64 63 59
Y i .
244
396
408
488
ni
4
6
6
8
Y i .
61
66
68
61
ni
2 Y ij
14894
26176 27758
29816
j 1
S i2
3.333333
8
2.8
6.857143
H 0 : A2 B2 C2 D2 H a : Al menos dos i2 son diferentes C 1 c2
1 1 1 1 1 1.091799 ( ) 3* 4 1 3 5 5 7 3 5 5 7 1
1
20ln 5.6 3ln 3.333333 5ln 8 5ln 2.8 7ln 6.857143
1.091799 c2 1.667956
20.95,3 7.815 , se acepta H 0 > coag<-read.table("coag.txt",T) > coag Tiempo dieta aleatorizacion 1 62 A 4 2 60 A 15 3 63 A 24 4 59 A 9
5 63 B 12 6 67 B 18 7 71 B 22 8 64 B 17 9 65 B 8 10 66 B 5 11 68 C 2 12 66 C 19 13 71 C 13 14 67 C 7 15 68 C 23 16 68 C 20 17 56 D 1 18 62 D 14 19 60 D 3 20 61 D 6 21 63 D 10 22 64 D 11 23 63 D 16 24 59 D 21 > mod<-lm(Tiempo~dieta,coag) > summary(aov(mod)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) dieta 3 228 76.0 13.57 4.66e-05 *** Residuals 20 112 5.6 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 > par(mfrow=c(2,2)) > plot(mod)
Residuals vs Fitted
6
7
4 s l a u d i s e R
2 0 2 5 17
6 -
61
63
65
s l a u d i s e r d e z i d r a d n a t S
Normal Q-Q 7
2 1 0 1 -
5
2 -
67
17
-2
Fitted values
s l a u d i s e r d e z i d r a d n a t S
5 . 1
7 5
0 . 1 5 . 0 0 . 0
61
63
65
0
1
2
Theoretical Quantiles
Scale-Location 17
-1
67
s l a u d i s e r d e z i d r a d n a t S
Residuals vs Leverage 0.5
7
2 1 0 1 -
5
2 -
Cook's distance 17 0.00
Fitted values
0.10
0.5
0.20
Leverage
> ri<-rstandard(mod) > sort(ri) 17 5 4 12 8 24 2 -2.2587698 -1.3887301 -0.9759001 -0.9258201 -0.9258201 -0.9035079 -0.4879500 14 9 19 10 11 15 16 -0.4629100 -0.4629100 -0.4517540 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 20 18 6 1 21 23 3 0.0000000 0.4517540 0.4629100 0.4879500 0.9035079 0.9035079 0.9759001 22 13 7 1.3552619 1.3887301 2.3145502 > shapiro.test(ri) Shapiro-Wilk normality test data: ri W = 0.9822, p-value = 0.9322 > ad.test(ri) Anderson-Darling normality test data: ri A = 0.2598, p-value = 0.6814 > bartlett.test(Tiempo~dieta,coag) Bartlett test of homogeneity of variances
data: Tiempo by dieta Bartlett's K-squared = 1.668, df = 3, p-value = 0.6441
b) Prueba de Levene para Homogeneidad de Variancia DCA La prueba de Levene es una alternativa a la prueba de Bartlett. Es menos sensitivo que la prueba de Bartlett al incumplimiento del supuesto de normalidad. Si Se tiene una fuerte evidencia que sus datos provienen de una distribución normal o casi normal, entonces la prueba de Bartlett es mejor. Para realizar la prueba de Levene se sigue el siguiente procedimiento:
H 0 : 12 22
t 2
H a : Al menos dos i2 son diferentes Estadístico de prueba Se extraído k muestra aleatoria, la i -ésima muestra es de tamaño ni , en cada muestra se ha observado una característica Y . Luego, el estadístico de prueba de Levene se define: k
W
n k ni Z i Z i 1 k ni
k 1 Z ij Z i
2
2
i 1 j 1
donde Z ij puede ser: 1.- Z ij Yij Y i , siendo Y i es la media de las observaciones obtenida de la muestra i 2.- Z ij Yij Y i , siendo Y i es la mediana de las observaciones obtenida de la muestra i . 3.- Z ij Yij Y i , siendo Y i es la media truncada del 10% de las observaciones obtenida de la muestra i . La media truncada del 10% calcula la media de los datos comprendido entre el 5to percentil y el percentil 95. En (1), (2) y (3) Y ij es la j-ésima observación sobre la variable Y obtenida de la muestra i . La selección de cuál de los Z ij determina la robustez y poder de la prueba de Levine. Por robustez se entiende la habilidad de la prueba de no detectar falsamente variancias desiguales cuando los datos no se distribuyen normalmente y las variancias son iguales. Por poder de prueba se entiende a la habilidad de la prueba detectar variancias desiguales cuando de hecho estas son desiguales. El artículo original de Levene propuso la prueba usando solamente la media. Brown y Forsythe (1974) extendieron la prueba usando la mediana y la media truncada. Ellos mediante estudios realizados con el método de Monte Carlos llegaron a la conclusión de que el uso de la media truncada tiene mejor comportamiento cuando los datos siguen una distribución de Cauchy y la mediana cuando los datos siguen una distribución Chi cuadrado con 4 grados de
libertad (esto es para distribuciones sesgada). En cambio el uso de la media proporciona mejor poder para distribuciones simétricas de cola moderada. Aunque la elección óptima depende de la distribución subyacente, la definición sobre la base de la mediana se recomienda como la opción que ofrece buena robustez frente a muchos tipos de datos no normales, manteniendo una buena potencia. Si usted tiene conocimiento de la distribución subyacente de los datos, esto puede indicar mediante una de las otras opciones. En la prueba de Levene se rechaza la hipótesis que la variancia son iguales si
W F 1 ,k 1, N k
> leveneTest(Tiempo~dieta,coag) Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median) Df F value Pr(>F) group 3 0.6492 0.5926 20
c) Prueba de Score para variancia del error no constante Breusch y Pagan (1979), y Cook y Weisberg (1983) sugiere una prueba de puntaje (score) para la variancia de los errores no constante en un modelo lineal, basado sobre la relación:
var i g 0 1 zi1
p z ip
Aquí los z i son predictores de la variancia del error y la función g de los predictores lineales 0 1 zi1
p z ip no se necesita ser conocido. En aplicaciones típicas son los mismo
predictores del modelo lineal (esto es los x s), o sólo hay un z , el valor ajustado y desde el modelo lineal, en tal caso se realiza una prueba de dependencia de la dispersión con los niveles. Esta prueba ha sido implementada en la librería car del paquete R mediante la función ncvTest para probar la dependencia sobre los niveles. En este caso la hipótesis planteada está dado por: ˆ
H 0 : La variancia del error es constante Contra la alternativa H 1 : La variancia del error no es constante > library(car) > ncvTest(mod) Non-constant Variance Score Test Variance formula: ~ fitted.values Chisquare = 0.1454082 Df = 1
p = 0.7029627
Chequeo de independencia Gráfico de los residuales versus aleatorización o orden de observación. a) Los residuales versus la secuencia en que fueron recolectados o orden de aleatorización:
Figura No 1, autocorrelación positiva
4
2
s e l a u d i s e r
0
2 -
4 -
5
10
15
20
tiempo
Figura No 2, autocorrelación negativa
6
4
2 s e l a u d i s e r
0
2 -
4 -
6 -
5
10 tiempo
15
20
vs. orden (la respuesta es Tiempo) 5.0
2.5 o u d i s e R
0.0
-2.5
-5.0 2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Orden de observación
> mod<-lm(Tiempo~dieta,coag) > ei<-residuals(mod) > data.frame(coag,ei) Tiempo dieta aleatorizacion 1 62 A 4 2 60 A 15 3 63 A 24 4 59 A 9 5 63 B 12 6 67 B 18 7 71 B 22 8 64 B 17 9 65 B 8 10 66 B 5 11 68 C 2 12 66 C 19 13 71 C 13 14 67 C 7 15 68 C 23 16 68 C 20 17 56 D 1 18 62 D 14 19 60 D 3 20 61 D 6 21 63 D 10 22 64 D 11 23 63 D 16 24 59 D 21
ei 1.000000e+00 -1.000000e+00 2.000000e+00 -2.000000e+00 -3.000000e+00 1.000000e+00 5.000000e+00 -2.000000e+00 -1.000000e+00 1.402687e-16 1.125131e-16 -2.000000e+00 3.000000e+00 -1.000000e+00 1.125131e-16 1.125131e-16 -5.000000e+00 1.000000e+00 -1.000000e+00 2.924635e-17 2.000000e+00 3.000000e+00 2.000000e+00 -2.000000e+00
Para construir el siguiente archivo: aleat.txt copiar el conjunto de datos obtenidos con el comando data.frame y pegar en la hoja de trabajo del Minitab desplazar los nombres a una casilla a la derecha e eliminar la columna de numeración de los datos copiar los datos obtenidos en una hoja de excel y ordenar el conjunto de datos de acuerdo a la columna de aleatorización de menor a mayor, luego copiar el conjunto de datos obtenidos en block de notas grave este archivo con
un nobre diferente a coag.txt, por ejemplo aleat.txt. > aleat<-read.table("aleat.txt",T) > aleat Tiempo dieta aleatorizacion ei 1 56 D 1 -5 2 68 C 2 0 3 60 D 3 -1 4 62 A 4 1 5 66 B 5 0 6 61 D 6 0 7 67 C 7 -1 8 65 B 8 -1 9 59 A 9 -2 10 63 D 10 2 11 64 D 11 3 12 63 B 12 -3 13 71 C 13 3 14 62 D 14 1 15 60 A 15 -1 16 63 D 16 2 17 64 B 17 -2 18 67 B 18 1 19 66 C 19 -2 20 68 C 20 0 21 59 D 21 -2 22 71 B 22 5 23 68 C 23 0 24 63 A 24 2 > plot(ei~aleatorizacion,ty="l",aleat)
4
2
1 D I S E R
0
2 -
4 -
5
10
15
aleatorizacion
> > > >
mod1<-lm(Tiempo~dieta,aleat) library(zoo) library(lmtest) dwtest(mod1,alternative="two.sided") Durbin-Watson test
20
data: mod1 DW = 2.3125, p-value = 0.396 alternative hypothesis: true autocorrelation is not 0 > dwtest(mod1,alternative="less") Durbin-Watson test data: mod1 DW = 2.3125, p-value = 0.198 alternative hypothesis: true autocorrelation is less than 0 > dwtest(mod1,alternative="greater") Durbin-Watson test data: mod1 DW = 2.3125, p-value = 0.802 alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
Gráfico de leverage vs residuales estandarizados Permite detectar valores extremos y leverages y corresponde al cuarto gráfico que presenta el comando plot(mod).
Estimación del Número de Réplicas para la prueba de F en el ANVA en un DCA Para probar la H 0 : 1 2
F 0
t 0 se usa la estadística
CMTrat
CME Esta estadística tiene una distribución F central con v1 t 1 y v2 r t 1 grados de libertad si H 0 es verdadera. Dentro de una prueba de hipótesis se puede cometer dos tipos de errores. Error tipo I y error tipo II. Generalmente una prueba de hipótesis el investigador fija la probabilidad de cometer error tipo I (el nivel de significación ) pero no la probabilidad de cometer error tipo II, . La potencia de prueba es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando esta es falsa; esto es 1 P F F1 ,v1 , v2 H 0 es falsa , esta variable F tiene
una distribución F no central con v1 t 1 , v2 r t 1 grados de libertad y parámetro de no centralidad
2 i
r
2
. Los valores de los efectos de los tratamientos y de 2 ,
pueden ser reemplazados por sus estimados basados de un experimento similar o preliminar, así como el valor de la variancia común por el CME. Luego fijando los valores de y , se puede hacer un programa en lenguaje R como él se muestra a continuación: nrepdca<-function(y,trat,t,r1,a,b){trat<-as.factor(trat) y<-as.vector(y) mod<-lm(y~trat) efectos<-coefficients(mod)
trat1<-sum(y[1 :r1])/r1-mean(y) etrat1<-efectos[2 :t]+trat1 etrat<-c(trat1,etrat1) v2p<- mod$df.residual cme<-deviance(mod)/v2p scef<-sum(etrat^2) v1<-t-1 fo<-qf(1-a,v1,v2p) r<-0 pot1<-0 pot<-1-b while(pot1
nrepdca(tiempo,dieta,4,4,0.05,0.1) caract valor 1 replica 3.000000 2 potencia 0.927757
También, se puede utilizar método gráfico basado en el gráfico de la probabilidad de cometer error tipo II, y de una variable
r
2 i
que está en función del parámetro t 2 de no centralidad. Estos gráficos pueden ser encontrados en el apéndice V del libro de Montgomery.
Modelo de efectos aleatorios (Modelo II) Ocurre cuando los niveles del factor son elegidos al azar de una población grande. En este caso se considera el siguiente modelo:
Y ij i ij
para i 1, 2,
j 1, 2,
, t , ni
En este modelo, se asumen que los ij ~ NID 0, 2 , y que los efectos i son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente con media cero y variancia común 2 . Esto es: i ~ NID 0, 2 A 2 y 2 se le conoce con el nombre de componentes de variancias, debido a que la variancia de una observación puede ser expresada como:
var yij 2 2 En este caso el parámetro de interés es la variancia de los efectos 2 . Si 2 0 todos los efectos de los tratamientos son iguales, si 2 0 existe variabilidad entre estos efectos. En este caso, el interés del investigador es probar si existe una variabilidad significativa los efectos de los tratamientos. Esto es
H 0 : 2 0 H 1 : 2 0 Se puede demostrar que bajos estas suposiciones ( ij ~ NID 0, 2 y i ~ NID 0, 2 ), en el cuadro de ANVA se cumple:
n n n r , siendo r
2 i
i
E CMTrat
2
d
2
i
d
t 1
E CME
2
Luego, para probar H 0 : 2 0 contra la alternativa H 1 : 2 0 , se puede usar la siguiente estadística de prueba:
Fc
CMTrat CME
~ F t 1,n
t
H 0 es verdadera
Se rechaza H 0 : 2 0 a un nivel de significación si Fc F 1 ,t 1, n t De los esperados cuadrados medios, se puede observar que los estimadores insesgados de 2 y 2 está dado por 2 CME y 2 ˆ
CMTrat CME
ˆ
r d
respectivamente. Si n1 n2 2
,
nt r , entonces
CMTrat CME
ˆ
r
Ejemplo: Una compañía textil que confecciona un tipo de fibra posee un número muy grande de telares. En la producción de fibra es importante que produzca fibra con resistencia uniforme. Se sospecha, que adicionalmente a la variación usual en la resistencia de las fibras producidas por un telar, existen variaciones en la resistencia de fibras producidas entre los telares. Para investigar esto, se selecciona 5 telares al azar y se realiza 4 determinaciones por cada telar. Este experimento fue conducido bajo un diseño completamente azar. Realice el ANVA y pruebe la hipótesis respectiva.
T1
T2
Telares T3
42 45 43 44
48 47 49 47
50 52 53 51
T4
T5
55 54 53 54
44 45 46 43
> telares<-read.table("telares.txt",T) > modte2<-lm(resist~telares,data=telares) > modte2 Call: lm(formula = resist ~ telares, data = telares) Coefficients: (Intercept) 43.50
telaresb 4.25
telaresc 8.00
telaresd 10.50
telarese 1.00
> summary(aov(modte2)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) telares 4 322.0 80.50 61.14 4.17e-09 *** Residuals 15 19.8 1.32 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
H 0 : 2 0 H a : 2 0 En este caso la prueba resultó altamente significativo ya que
F c
CMTrat CME
61.139 con un P-value=0.000000004175.
Luego los componentes de variancia estimados están dado por:
2 CME 1.32 y 2 ˆ
ˆ
CMTrat CME 80.5 1.32 19.795 r 4
Para ver si esta prueba es válida se debe r ealizar un análisis de residuales > par(mfrow=c(2,2)) > plot(modte2)
Residuals vs Fitted 5 . 1 s l a u d i s e R
2
5 . 0
1
44
d e z i d r a d n a t S
d e z i d r a d n a t S
5 . 0 5 . 1 -
s l a u d i s e r
s l a u d i s e r
2 . 1
9
46
48
50
52
5 . 1
2
5 . 0 5 . 0 5 . 1 -
54
1
9
-2
-1
0
1
2
Fitted values
Theoretical Quantiles
Scale-Location
Constant Leverage: Residuals vs Factor Levels
2 1
s l a u d i s e r d e z i d r a d n a t S
9
8 . 0 4 . 0 0 . 0
44
Normal Q-Q
46
48
50
52
54
Fitted values
5 . 1
2
5 . 0 5 . 0 5 . 1 -
1
9
telares : a
c
e
b
Factor Level Combinations
> ri<-rstandard(modte2) > shapiro.test(ri) Shapiro-Wilk normality test data: ri W = 0.9308, p-value = 0.1601 > library(car) Loading required package: MASS Loading required package: nnet > ncvTest(modte2) Non-constant Variance Score Test Variance formula: ~ fitted.values Chisquare = 0.4140372 Df = 1
d
p = 0.5199275
> summary(aov(modte2)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) telares 4 322.0 80.50 61.14 4.17e-09 *** Residuals 15 19.8 1.32 ---
Signif. codes:
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
> > > >
resistencia<-telares[,1] telar<-telares[,2] ypi<-tapply(resistencia,telar,mean) ypi a b c d e 43.50 47.75 51.50 54.00 44.50 > yp<-mean(resistencia) > efectoest<-ypi-yp > efectoest a b c d e -4.75 -0.50 3.25 5.75 -3.75 > qqnorm(efectoest) > qqline(efectoest)
Normal Q-Q Plot 6 s e l i t n a u Q e l p m a S
4 2 0 2 4 -
-1.0
-0.5
0.0
0.5
Theoretical Quantiles > shapiro.test(efectoest) Shapiro-Wilk normality test data: efectos1 W = 0.9334, p-value = 0.6197
1.0
