Diseño Cuadrados Greco-Latino
Considere un cuadrado Latino p p , cuyos tratamientos son denominados con letras mayúsculas : A, B, C, ... ; a este cuadrado Latino se sobrepone un segundo cuadrado latino p p , cuyos tratamiento se designan por letras griegas,: , , , , de tal manera que estos cuadrados latinos sean ortogonales. A este diseño se le llama cuadrado greco-latino. greco-latino . Propiedad: Se dice que dos cuadrados latinos son ortogonales ortogonales si al sobreponerse poseen la propiedad de cada letra griega aparece una sola vez con cada letra latina.
Un ejemplo de la distribución de tratamiento en un Diseño cuadrado greco-latino 4 4 :
1
A
Columna 2 3 B C
2
B
A
D
C
3
C
D
A
B
4
D
C
B
A
Fila
1
4 D
El diseño cuadrado greco-latino puede utilizarse para controlar sistemáticamente para tres fuentes extrañas de variabilidad. En otras palabras, se usa para hacer un análisis análisis por bloques en tres direcciones. El diseño permite analizar cuatro factores (reglón, columna, letra griega y letra latina) cada uno con p p niveles, usando solamente p 2 ensayos (o unidades). Los cuadrados greco-latinos existen para toda p 3 excepto si p 6 . Modelo estadístico
El modelo estadístico de un diseño cuadrado Greco-latino está dado por:
Y i j
k l
i
j
k
l
i j k l
, para i, j, k , l 1, 2,
,p
donde:
Y i j
k l
es la observación obtenida de la unidad al cual se le aplicó el tratamiento j correspondiente a la letra latina, correspondiente al nivel k del factor de la letra griega, y que pertenece al reglón i y a la columna l .
= es el efecto de la media general. i
= es el efecto del reglón i . = es el efecto del tratamiento j correspondiente a la letra latina.
j
k l
= es el efecto del nivel k del factor correspondiente a la letra griega.
= es el efecto de la columna l .
= es el error correspondiente a la unidad del reglón i y de la columna l que
i j k l
recibió el tratamiento j de la letra latina, en el nivel k del factor correspondiente a la letra griega. Hipótesis Modelo I
H 0 :
1
H 1 :
j
0
p
2
0 , para al menos un j , tal que j 1, 2,
,p
Equivalentemente, en término de media
H 0 :
1
2
H 1 : , Al menos dos
p j
son diferentes
En este caso se asume que los errores
i j k l son
variables aleatorias independientes
no observables que se distribuyen normalmente con media cero y variancia común p
p i
p
j 1
y
p
j
i 1
2
k k 1
l 1
l
0
Modelo II
Hipótesis
H 0 :
2
0
H 1 :
2
0
En este caso se asume que
j
son variables aleatorias independientes distribuidas
normalmente con media cero y variancia
2
, y que los errores
i j k l son
variables
aleatorias independientes no observables que se distribuyen normalmente con media cero y variancia común 2
El Análisis de variancia es muy similar al de un cuadrado latino, a continuación se presenta el cuadro de ANVA Fuente de Variación Tratamiento de letra Latina
Suma de Cuadrados Y 2 j
p
SCTrat
Y
p
SCG
2
Reglones SCR
Columnas
Y2
p
SCC
p
p
Y 2
2
Yi j
k l
i 1 l 1
Se rechaza H 0 a un nivel de significación
F 1
,GLTrat,GLE
CMC
2
p 3
p
SCTot
p 1
Y 2
l
p Por diferencia
Total
CMR
p2
l 1
Error
p 1
Y 2
p
i 1
CMG
p2
Yi 2
p
p 1
2
p
k 1
CMTrat
p2
Y
k
CM
p 1
Y 2
p
j 1
Factor letra Griega
GL
p 1
CME
SCTrat p 1
SCG p 1 SCR p 1 SCC p 1
SCE p 3
p 1
p2 1
p 2
, si F c
CMTrat CME
es mayor que
.
Ejemplo: Supóngase que en un experimento se desea comparar 5 fórmulas para la dinamita sobre la fuerza explosiva observada. Cada fórmula se prepara usando un lote suficientemente grande para que sólo se haga 5 mezclas. Más aun las mezclas las preparan varios operadores, pudiendo existir una diferencia sustancial en la habilidad y experiencia entre ellos. Además, existe otro factor adicional que afecta en la elaboración de la dinamita, línea de montaje. Teniendo en cuenta estos factores, se realizó un experimento bajo el diseño Cuadrados Greco-Latino, con 5 fórmulas (A, B, C, D y E), 5 lotes de materias primas (1, 2, 3, 4 y 5), 5 operadores (1, 2, 3, 4 y 5) y 5 líneas de montajes ( , , , , ) . los resultados codificados de la fuerza explosiva se muestra a continuación:
Lote de Materia Prima 1
2
1
A
2
B
3 4
C D
5
E
Y
Fórmula Y j
1
1
A 18
B -24
C D
5
13
E
1
D E A
E
6
A
1
B
A
5
B
3
18
C -13
6
5 1
B 8 C 7 D
-18
l
Operadores 3 4
D 24
5
-4
-14
1 E
1
2
A
11
9
2
B
4
5
C
3 3
2
C
5
Y i
4
D
5
6
9
7 10= Y
E 5
Línea de montaje
Y
10
k
-6
-3
-4
13
El modelo estadístico de un diseño cuadrado Greco-latino está dado por:
Y i j
i
k l
j
l
k
i j k l
, para i, j, k , l 1, 2,
,5
donde:
Y i j
es la fuerza explosiva obtenida con la fórmula j designada con la letra latina,
k l
correspondiente a la línea de montaje k designada con la letra griega correspondiente, y que pertenece al lote i y realizada por el operador l . = es el efecto de la media general. i
= es el efecto del lote i . = es el efecto de la fórmula j correspondiente a la letra latina.
j
k l
= es el efecto de la línea de montaje k del factor correspondiente a la letra griega.
= es el efecto del operador l . = es el error correspondiente a la unidad del lote i y del operador l que se
i j k l
realizó con la fórmula j de la letra latina y con la línea de montaje k correspondiente a la letra griega. Y 2 j
p
SCTrat
SCG k 1
Y2 p
k
1
p2
p
j 1
p
Y 2
Y 2 p
5
10 2
2
18
6
2
2
24
3 5
2
2
13
4
2
2
24
13
2
2
5
2
2
10
25
62
102 25
330
Yi 2
p
SCR
p
i 1
Y
p
SCC
Y 2 p
2
p
18
p 2 SCG
i 1 l 1
SCtrat
Fuente de Variación
j
H 0 :
2
F c
3
2
7
2
CMTrat CME CMTrat
2
10
2
18
( 1)
2
68
25 4
2
5
2
9
2
2
10
25
( 5)
2
6
2
150
2
10
676 25 SCR SCC 676 330 62 68 150 GL 4 4 4 4 8 24
0 , para al menos un j , tal que j 1, 2,
1
2
CM
Fc
82.5 15.5 17 37.5 8.25
10
66
0
5
,5
5
H 1 : Al menos dos Fc
2
Suma de Cuadrados 330 62 68 150 66 676
Fórmula Línea de Montaje Lote de Materia Operadores Error Total
H 1 :
2
5
Y
Y
1
5
2
SCTot
H 0 :
2
p2
p
SCTot
9
5
Y
2 i j k l
SCE
2
2
2
l
p
l 1
14
j
son diferentes
~ F 4,8 | H 0 es cierta 82.5
10 CME 8.25 Pvalue=1-pf(10,4,8) 0.003343621 Se rechaza H 0 . Luego, se encontrado una fuerte evidencia estadística para afirmar que
al menos una fórmula produce efecto diferente dinamita. > dina<-read.table("dinamita.txt",header=T) > dina exploc formula linea lote oper 1 -1 a alfa 1 1 2 -5 b gama 1 2 3 -6 c epsi 1 3 4 -1 d beta 1 4 5 -1 e delta 1 5 6 -8 b beta 2 1 7 -1 c delta 2 2 8 5 d alfa 2 3 9 2 e gama 2 4 10 11 a epsi 2 5 11 -7 c gama 3 1
sobre la fuerza
explosiva de la
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
13 1 2 -4 1 6 1 -2 -3 -3 5 -5 4 6
d epsi e beta a delta b alfa d delta e alfa a gama b epsi c beta e epsi a beta b delta c alfa d gama
3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5
2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
fuerza<-as.vector(dina[,1]) form<-dina[,2] lin<-dina[,3] lot<-as.factor(dina[,4]) ope<-as.factor(dina[,5]) mode<-lm(fuerza~form+lin+lot+ope) anva<-aov(mode)
> summary(anva) form lin lot ope Residuals
Df 4 4 4 4 8
Sum Sq 330.00 62.00 68.00 150.00 66.00
> par(mfrow=c(2,2)) > plot(mode)
Mean Sq 82.50 15.50 17.00 37.50 8.25
F value 10.0000 1.8788 2.0606 4.5455
Pr(>F) 0.003344 ** 0.207641 0.178311 0.032930 *
4
Residuals vs Fitted
s l a u d i s e r d e z i d r a d n a t S
24
s l a u d i s e R
2 0 2 15 21
4 -
-5
s l a u d i s e r d e z i d r a d n a t S
5 . 1
0
5
Normal Q-Q 2
24
1 0 1 2 -
10
15
21
-2
-1
0
1
2
Fitted values
Theoretical Quantiles
Scale-Location
Constant Leverage: Residuals vs Factor Levels
s l a u d i s e r
24 21 15
0 . 1
d e z i d r a d n a t S
5 . 0 0 . 0
-5
0
5
2
24
1 0 1 2 -
15
form :
10
b
Fitted values
c
21
e
a
d
Factor Level Combinations
> > ri<-rstandard(mode) > shapiro.test(ri) Shapiro-Wilk normality test data: ri W = 0.9797, p-value = 0.8786
library(car) > ncvTest(mode) Non-constant Variance Score Test Variance formula: ~ fitted.values Chisquare = 0.6764395 Df = 1
p = 0.4108155
TUKEY > TukeyHSD(anva, "form", ordered = TRUE) Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level factor levels have been ordered Fit: aov(formula = mode)
$form diff c-b 2.2 e-b 5.8 a-b 8.4 d-b 9.6 e-c 3.6 a-c 6.2 d-c 7.4 a-e 2.6 d-e 3.8 d-a 1.2
lwr -4.07586497 -0.47586497 2.12413503 3.32413503 -2.67586497 -0.07586497 1.12413503 -3.67586497 -2.47586497 -5.07586497
upr 8.475865 12.075865 14.675865 15.875865 9.875865 12.475865 13.675865 8.875865 10.075865 7.475865
p adj 0.7462701 0.0714956 0.0107829 0.0048412 0.3525524 0.0529245 0.0218416 0.6270350 0.3087315 0.9596565
> tapply(fuerza,form,mean) a b c d e
3.6 -4.8 -2.6 4.8 1.0 Prueba de DUNNETT Asumiendo que la fórmula
“a” es
el tratamiento testigo
> library(multcomp) > compdunett<-glht(anva,linfct=mcp(form="Dunnett")) > summary(compdunett) Simultaneous Tests for General Linear Hypotheses Multiple Comparisons of Means: Dunnett Contrasts
Fit: aov(formula = mode) Linear Hypotheses: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) b - a == 0 -8.400 1.817 -4.624 0.00537 ** c - a == 0 -6.200 1.817 -3.413 0.02863 * d - a == 0 1.200 1.817 0.661 0.90528 e - a == 0 -2.600 1.817 -1.431 0.46096 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 (Adjusted p values reported -- single-step method)
> tapply(fuerza,form,mean) a b c d e 3.6 -4.8 -2.6 4.8 1.0 >
