UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO DIVISIÓN DE CIENCIAS FORESTALES
USO DE CALC DE OPENOFFICE EN EL ANÁLISIS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES
TESIS PROFESIONAL
QUE COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
LICENCIADO EN ESTADÍSTICA
P R E S E N T A:
CARLOS VERDUZCO RÍOS
Chapingo, Texcoco, Estado de México, Noviembre de 2009
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Esta tesis fue realizada por Carlos Verduzco Ríos, bajo la dirección del Dr. José Artemio Cadena Meneses. Fue revisada y aprobada por el siguiente Comité Revisor y Jurado Examinador, para obtener el título de Licenciado en Estadística.
PRESIDENTE ______________________________________ Nombre y firma
SECRETARIO ______________________________________ Nombre y firma
VOCAL ______________________________________ Nombre y firma
SUPLENTE ______________________________________ Nombre y firma
SUPLENTE ______________________________________ Nombre y firma
Chapingo, Texcoco, Edo. de México, Noviembre de 2009 2
DEDICATORIA A MIS PADRES... Lorenzo y María Concepción Quienes con su apoyo, cariño, consejos y confianza me han otorgado las habilidades y capacidades que me permitirán, el día de mañana, enfrentar la vida con éxito. Eternamente agradecido, pues de ustedes recibí lo más valioso: El Don de la Vida y la mejor herencia: Mi Carrera Profesional. A MIS HERMANOS (AS) Y FAMILIARES... Gracias por el apoyo, consejos y confianza para seguir adelante en mi persona y mis estudios; y no teniendo otra forma de agradecerles, más que esforzándome por alcanzar el éxito, quiero que sientan que el objetivo logrado también es suyo.
AGRADECIMIENTOS A mi alma mater la Universidad Autónoma Chapingo por brindarme la oportunidad de lograr una profesión con valores y ética. Al Jurado calificador: Dr. José Artemio Cadena Meneses, M.C. Alejandro Corona Ambiz, M.C. Ángel Leyva Ovalle, Dr. Hugo Ramírez Maldonado y Lic. MArgarito Soriano Montero , por dedicar un poco de su valioso tiempo en excelentes observaciones y comentarios durante el desarrollo del trabajo. A todos mis amigos (as) de Chapingo, gracias por esos momentos que pasamos juntos.
Sinceramente… Carlos Verduzco Ríos
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CONTENIDO ÍNDICE DE CUADROS………………………………………………………………….vii RESUMEN………………………………………………………………………………...ix SUMMARY………………………………………………………………………………....x 1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................ 1 2. JUSTIFICACIÓN ............................................................................................... 14 3. OBJETIVOS ...................................................................................................... 15 3.1. OBJETIVO GENERAL ................................................................................ 15 3.2. OBJETIVOS PARTICULARES .................................................................... 15 4. ANTECEDENTES ............................................................................................. 15 5. PRUEBAS DE HIPÓTESIS Y CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES ........................................................................................ 17 5.1. PRUEBAS DE HIPÓTESIS ................................................................................. 18 5.1.1. Definiciones básicas............................................................................. 18 5.1.2. Error Tipo I Y Tipo II ............................................................................. 19 5.1.3. Estadística de prueba y valores tabulados ........................................... 21 5.1.4. Distribuciones de probabilidad continuas ............................................. 22 5.1.4.1. Distribución t de Student. ............................................................... 22 5.1.4.2. Distribución F de Snedecor ........................................................... 23 5.2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES ....................................... 24 5.2.1. Definiciones .......................................................................................... 24 5.2.2. Modelo lineal ........................................................................................ 25 5.2.2.1. Conceptos básicos. ....................................................................... 25 5.2.2.2. Error experimental ......................................................................... 26 5.2.2.3. Modelo lineal general..................................................................... 27 5.2.3. Supuestos básicos de los diseños experimentales .............................. 27 5.2.4. Hipótesis a probar ................................................................................ 28 5.2.5. Análisis de varianza ............................................................................. 28 6. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA)................................................. 34 6.1. CARACTERÍSTICAS ......................................................................................... 34 6.2. VENTAJAS ..................................................................................................... 35 6.3. DESVENTAJAS ............................................................................................... 36 6.4. MODELO LINEAL ............................................................................................ 36 6.5. HIPÓTESIS A PROBAR ..................................................................................... 36 6.6. ANÁLISIS DE VARIANZA ................................................................................... 37 4
6.7. REGLA DE DECISIÓN....................................................................................... 37 7. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBMUESTREO ...................... 42 7.1. MODELO LINEAL PARA SUBMUESTREO ............................................................. 42 7.2. HIPÓTESIS A PROBAR ..................................................................................... 43 7.3. ANÁLISIS DE VARIANZA CON SUBMUESTREO. NÚMERO IGUAL DE SUBMUESTRAS. . 43 7.4. REGLA DE DECISIÓN....................................................................................... 45 8. DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR (DBCA) ................................ 50 8.1. CARACTERÍSTICAS ......................................................................................... 50 8.2. VENTAJAS ..................................................................................................... 50 8.3. DESVENTAJAS ............................................................................................... 51 8.4. MODELO LINEAL ............................................................................................ 51 8.5. HIPÓTESIS A PROBAR ..................................................................................... 51 8.6. ANÁLISIS DE VARIANZA ................................................................................... 52 8.7. REGLA DE DECISIÓN....................................................................................... 53 9. COMPARACIONES MÚLTIPLES DE MEDIAS DE TRATAMIENTOS .............. 56 9.1. HIPÓTESIS A PROBAR ..................................................................................... 57 9.2. DIFERENCIA MÍNIMA SIGNIFICATIVA (DMS) ...................................................... 58 9.2.1. Ventajas ............................................................................................... 59 9.2.2. Desventajas ......................................................................................... 59 9.2.3. Regla de decisión ................................................................................. 60 9.3. PRUEBA DE TUKEY ........................................................................................ 66 9.3.1. Regla de decisión ................................................................................. 67 9.4. PRUEBA DE DUNCAN ...................................................................................... 73 9.4.1. Regla de decisión ................................................................................. 75 9.5. PRUEBA DE SCHEFFÉ..................................................................................... 80 9.5.1 Regla de decisión .................................................................................. 81 9.6. PRUEBA DE STUDENT-NEWMAN-KEULS (S-N-K) .............................................. 87 9.6.1. Regla de decisión ................................................................................. 88 10. DISEÑO EN CUADRO LATINO ...................................................................... 94 10.1. CARACTERÍSTICAS ....................................................................................... 94 10.2. MODELO LINEAL .......................................................................................... 95 10.3. CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRO LATINO BÁSICO ............................................. 95 10.4. HIPÓTESIS A PROBAR ................................................................................... 96 10.5. ANÁLISIS DE VARIANZA ................................................................................. 96 10.6. REGLA DE DECISIÓN ..................................................................................... 98 11. DISEÑO FACTORIAL.................................................................................... 102 11.1. CARACTERÍSTICAS ..................................................................................... 102 11.2. NOMENCLATURA ........................................................................................ 103 11.3. TIPOS DE DISEÑOS FACTORIALES ................................................................ 103 11.4. MODELO LINEAL ........................................................................................ 104 5
11.5. ANÁLISIS DE VARIANZA ............................................................................... 108 11.6. DISEÑO FACTORIAL 2K ................................................................................ 109 11.7. DISEÑO FACTORIAL 3K ................................................................................ 120 11.8. DISEÑO FACTORIAL 3K X 2L.......................................................................... 132 12. DISEÑO EN PARCELAS DIVIDIDAS ............................................................ 142 12.1. CARACTERÍSTICAS ..................................................................................... 142 12.2. MODELO LINEAL ........................................................................................ 143 12.3. HIPÓTESIS A PROBAR ................................................................................. 144 12.4. ANÁLISIS DE VARIANZA ............................................................................. 1454 12.5. REGLA DE DECISIÓN ................................................................................... 147 13. CONCLUSIONES .......................................................................................... 151 14. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................. 152 15. APÉNDICE .................................................................................................... 153
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ÍNDICE DE CUADROS Cuadro 1. Cronología de las versiones de OpenOffice ......................................... 14 ei . H0: µ = µ0 Cuadro 2. Análisis de varianza para el modelo Yi vs Ha: µ ≠ µ0………………………………………………………………….31 ei . H0: µ = 0 Cuadro 3. Análisis de varianza para el modelo Yi vs Ha: µ ≠ 0…………………………………………………………………. 32 Cuadro 4. Estructura del análisis de varianza para el diseño completamente al
azar. ..................................................................................................... 36 Cuadro 5. Datos (en lb/pulgada2) del experimento a la tensión. ........................... 37 Cuadro 6. Diseños experimentales más comunes y comparación múltiple de medias .................................................................................................. 38 Cuadro 7. Diseño completamente al azar. ............................................................ 39 Cuadro 8. Análisis de varianza para el diseño completamente al azar. ................ 40 Cuadro 9. Estructura del análisis de varianza para un diseño completamente al azar con submuestreo. Número igual de submuestras. ....................... 43 Cuadro 10. Crecimiento en una semana de tallos de plantas de menta cultivadas en una solución nutritiva. ...................................................................... 45 Cuadro 11. Diseño completamente al azar con submuestreo. .............................. 47 Cuadro 12. Análisis de varianza para el diseño completamente al azar con submuestreo. ..................................................................................................... 48 Cuadro 13. Estructura del análisis de varianza para el diseño en bloques completos al azar. .............................................................................. 51 Cuadro 14. Producción de tomate en toneladas por hectárea con la aplicación de insecticidas .................................................................................... 53 Cuadro 15. Diseño en bloques completos al azar. ................................................ 54 Cuadro 16. Análisis de varianza para el diseño en bloques completos al azar. .... 55 Cuadro 17. Pruebas de comparaciones múltiples de medias ............................... 61 Cuadro 18. Prueba de la Diferencia Mínima Significativa. .................................... 62 Cuadro 19. Prueba de la Diferencia Mínima Significativa con las medias de tratamientos ordenados ...................................................................... 63 Cuadro 20. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de las DMS ......................................................................................... 64 7
Cuadro 21. Prueba de Tukey. ............................................................................... 69 Cuadro 22. Prueba de Tukey con las medias de tratamientos ordenados ............ 70 Cuadro 23. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de Γk ................................................................................................... 70 Cuadro 24. Prueba de Duncan .............................................................................. 76 Cuadro 25. Prueba de Duncan con las medias de tratamientos ordenados ......... 77 Cuadro 26. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de Ck................................................................................................... 78 Cuadro 27. Prueba de Scheffé .............................................................................. 83 Cuadro 28. Prueba de Scheffé con las medias de tratamientos ordenados .......... 84 Cuadro 29. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de ξK ................................................................................................... 84 Cuadro 30. Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K) ....................................... 90 Cuadro 31. Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K) con las medias de tratamientos ordenados ...................................................................... 91 Cuadro 32. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de (S-N-K)K ........................................................................................ 91 Cuadro 33. Cuadro latino básico ........................................................................... 94 Cuadro 34. Estructura del análisis de varianza para un diseño en cuadro latino .. 96 Cuadro 35. Cuadro Latino aleatorizado (en base a las hileras)............................. 98 Cuadro 36. Concentración bacteriana (n° de células / ml (según la escala de Mc Farland 1 x 109)). ..................................................................... 98 Cuadro 37. Diseño en cuadro latino .................................................................... 100 Cuadro 38. Análisis de varianza para el diseño en cuadro latino. ....................... 101 Cuadro 39. Notaciones para el diseño factorial 22. ............................................. 109 Cuadro 40. Método de Yates para el análisis de experimentos factoriales 2 2. .... 109 Cuadro 41. Experimento factorial 23. Rendimientos de Caña en Toneladas por Hectárea. .................................................................................... 111 Cuadro 42. Estructura del análisis de varianza para el diseño factorial 2 3 en bloques completos al azar. .......................................................... 114 Cuadro 43. Tipos de diseños factoriales más comunes ...................................... 116 8
Cuadro 44. Diseño factorial 2k en bloques completos al azar. ............................ 117 Cuadro 45. Análisis de varianza para el diseño factorial 23 en bloques completos al azar. ............................................................................ 118 Cuadro 46. Datos de la pérdida de jarabe (las unidades son centímetros cúbicos-70) ....................................................................................... 122 Cuadro 47. Estructura del análisis de varianza para el diseño factorial 3 3 completamente al azar. ................................................................................... 125 Cuadro 48. Diseño factorial 3k completamente al azar. ....................................... 129 Cuadro 49. Análisis de varianza para el diseño factorial 33 completamente al azar. .............................................................................................. 130 Cuadro 50. Número de gotas por centímetro cuadrado presentes en el papel kromekotes. ............................................................................ 132 Cuadro 51. Estructura del análisis de varianza para el diseño factorial 3 x 22 en bloques completos al azar. ................................................ 135 Cuadro 52. Diseño factorial 3k x 2l en bloques completos al azar ....................... 139 Cuadro 53. Análisis de varianza para el diseño factorial 3 x 22 en bloques completos al azar. ............................................................................ 141 Cuadro 54. Estructura del análisis de varianza para el diseño en parcelas divididas. .......................................................................................... 144 Cuadro 55. Producción de caña en toneladas por hectárea. .............................. 147 Cuadro 56. Diseño en parcelas divididas. ........................................................... 148 Cuadro 57. Análisis de varianza para el diseño en parcelas divididas. ............... 150
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USO DE CALC EXPERIMENTALES
DE
OPENOFFICE
EN
EL
ANÁLISIS
DE
DISEÑOS
RESUMEN Actualmente existen en el mercado muchos paquetes de software que permiten desarrollar un conjunto de aplicaciones para oficina, actividades dentro de la informática, siendo Microsoft Office el más conocido y el que tiene la mayoría del mercado general en el entorno. Sin embargo, otro paquete que está teniendo gran importancia en el mercado, y competencia del anterior, es el paquete de software OpenOffice, que es un software libre muy similar a Office.
Este trabajo se realizó con Calc de OpenOffice, que es una herramienta para trabajar con hojas de cálculo, en la cual se resolvieron ejemplos de diseños experimentales y comparaciones múltiples de medias de tratamientos más comunes tomados de algunos libros clásicos de diseños experimentales. Primero se hizo una revisión de pruebas de hipótesis y conceptos básicos de diseños experimentales que son muy útiles en el desarrollo de este trabajo. Después se desarrollaron los siguientes tipos de diseños experimentales y comparaciones múltiples de medias de uso más común: diseño completamente al azar balanceado y desbalanceado, diseño completamente al azar con submuestreo, diseño en bloques completos al azar, comparaciones múltiples de medias de tratamientos, diseño en cuadro latino, algunos diseños factoriales y el diseño en parcelas divididas.
Los ejemplos fueron resueltos en forma detallada en Calc de OpenOffice en el archivo nombrado “DISEÑOS EXPERIMENTALES” el cual es parte de este trabajo. Calc de OpenOffice es muy fácil de usar y de gran similitud con Excel de Microsoft ® y se puede trabajar con esta herramienta sin gran dificultad.
Palabras clave: Software, tratamiento, prueba de hipótesis, comparación de medias.
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SUMMARY At the moment they exist in the market many software packages that allow developing a group of applications for office, activities inside the computer science, being Microsoft Office the good known one and the one that has most of the general market in our environment. However, another package that is having great importance in the market, and competition of the previous one, is the software package OpenOffice that is free and very similar software to Microsoft Office.
This work was carried out with OpenOffice Calc, that is a tool to work with calculation leaves, in which were solved examples of experimental designs and multiple comparisons of stockings of treatments more common taken of some classic books of experimental designs. First it was made a check of hypothesis tests and basic concepts of experimental designs that will be very useful in the development of this work. Then the following types of experimental designs and multiple comparisons of stockings were developed to be of more common use: design totally at random balanced and desbalanceado, design totally at random with subsampling, design in complete blocks at random, multiple comparisons of stockings of treatments, design in latin square, factorial designs and design in divided parcels.
The examples were solved in form detailed in OpenOffice Calc in the file "EXPERIMENTAL DESIGNS" which is part of this work. Calc of OpenOffice is very easy of using and of great similarity with Microsoft® Excel and one can work with this tool without great difficulty.
Key words: Software, treatment, hypothesis test, comparison of stockings.
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1. INTRODUCCIÓN
OpenOffice es un software de acceso libre y código abierto; es decir, que se puede descargar directamente en Internet de forma gratuita en la siguiente dirección: http://es.openoffice.org/. Otra característica muy importante de este software es el hecho de ser multiplataforma, puede ser instalado y ejecutado en diversas plataformas como Linux (en todas sus distribuciones), Mac OS-X (en versión inglés), Free-BSD, Solaris y Microsoft Windows desde la versión 95.
El paquete contiene las siguientes herramientas:
OpenOffice.org Writer - Herramienta dedicada a la edición de texto también llamado procesador de textos.
OpenOffice.org Calc - Herramienta para trabajar con hojas de cálculo.
OpenOffice.org Impress - Herramienta destinada a crear presentaciones y diapositivas.
OpenOffice.org Draw - Herramienta destinada a crear diagramas, dibujos y gráficos.
OpenOffice.org Math - Herramienta para la representación de fórmulas matemáticas.
En este trabajo se usaron las herramientas para trabajar con hojas de cálculo, Calc de OpenOffice, las cuales fueron útiles en el análisis de los diseños experimentales más comunes.
OpenOffice Calc es una aplicación de hojas de cálculo que se puede usar para calcular, analizar y gestionar datos. Una hoja de cálculo es una tabla donde cada celda puede contener alguno de los siguientes tipos de datos: texto, valores numéricos, fórmulas o referencias a otros archivos.
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También se pueden importar y modificar hojas de cálculo de Microsoft Excel. OpenOffice Calc incorpora funciones estadísticas y financieras, que se pueden utilizar para crear fórmulas que realicen cálculos complejos. En este caso, los cálculos son enfocados a resolver problemas de diseños experimentales.
En la investigación científica, es común que se formulen hipótesis para luego verificarlas o rechazarlas directamente, por sus consecuencias. Tal proceso requiere de la colección de observaciones, a través de un patrón bien definido, el cual constituye el diseño de un experimento.
Se pueden distinguir dos tipos de experimentos en la investigación científica: los experimentos absolutos y los comparativos. El primer tipo de experimentos considera la determinación de un valor específico. Los experimentos comparativos, permiten la comparación de dos o más tratamientos, al medir su efecto sobre una determinada característica de la población. En este trabajo, sólo se trataran diseños comparativos sobre la igualdad de sus tratamientos.
De acuerdo con Cramer (1960), la estadística tiene tres funciones fundamentales en el método científico: descripción, análisis y predicción. Por descripción se entiende, el proceso de reducir una masa de observaciones procedentes de un fenómeno aleatorio, a un conjunto tan pequeño de valores, como sea posible. El análisis de la información, se refiere a ciertas funciones de las observaciones, denominadas estadísticos, que permiten describir en forma compacta a una población, si se cuenta exclusivamente con información a partir de una muestra. Se incluyen también en el análisis, el establecimiento de criterios de prueba de las hipótesis planteadas por el investigador. La tercera función de la estadística en el método científico, es la predicción, la cual es propiamente, el objetivo principal de la aplicación del método científico al estudio de un fenómeno.
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El diseño estadístico de experimentos se refiere al proceso para planear el experimento de tal forma que se recaben los datos adecuados que puedan analizarse con métodos estadísticos para obtener conclusiones válidas y objetivas.
Los tres principios básicos del diseño experimental son la aleatorización, la realización de réplicas y la formación de bloques. Por aleatorización se entiende que tanto la asignación del material experimental como el orden en que se realizarán las corridas o ensayos individuales del experimento se determinan al azar. La realización de réplicas o repetición del experimento básico, permite al experimentador obtener una estimación del error experimental y obtener una estimación precisa sobre el efecto de un factor en el experimento. La formación de bloques es una técnica de diseño que se utiliza para mejorar la precisión de las comparaciones que se hacen entre los factores de interés.
2. JUSTIFICACIÓN
El hecho de trabajar con Calc de OpenOffice, es para dar a conocer este software libre y presentarlo como una opción para el análisis de diseños experimentales, ya que a diferencia de otros paquetes gratuitos, éste es más fácil de usar, y cualquier usuario podría hacer uso de él porque no se necesita tener conocimientos sobre lenguajes de programación; además, Calc de OpenOffice es equivalente a Excel de Microsoft Office, pero a diferencia de éste, OpenOffice es un paquete de cómputo libre, el cual está disponible en Internet de forma gratuita en la dirección mencionada en la Introducción, y se puede hacer uso de este paquete con la intención de hacer frente al dominio en el mercado de Microsoft Office y como universidad pública no depender tanto de este último, proporcionando una alternativa abierta, sin costo y de alta calidad para el análisis de diseños experimentales.
Por lo tanto, es una buena opción hacer uso de esta herramienta para trabajar con hojas de cálculo y mediante funciones o fórmulas realizar cálculos y analizar datos de los diseños experimentales; y que a la vez, este trabajo sirva como apoyo en los cursos de diseños experimentales que se imparten en las diferentes carreras de la Universidad 14
Autónoma Chapingo. Para un mejor uso de estas hojas de cálculo, los usuarios deben tener conocimientos básicos de estadística y diseño de experimentos.
3. OBJETIVOS
3.1. OBJETIVO GENERAL Mostrar el uso de Calc de OpenOffice en el análisis estadístico de los diseños experimentales más comunes. 3.2. OBJETIVOS PARTICULARES Mostrar que Calc de OpenOffice es una alternativa para resolver problemas estadísticos y hacer uso de él en lugar de paquetes equivalentes que no sean libres.
Dar a conocer la forma de usar esta herramienta para trabajar con hojas de cálculo para hacer uso de ella y no depender tanto de un software que no sea libre.
4. ANTECEDENTES
OpenOffice es una suite ofimática de software libre y código abierto, desarrollado en un principio por la compañía alemana StarDivision. El código fue adquirido en 1999 por Sun Microsystems. En agosto de 1999 la versión 5.2 de StarOffice se hizo disponible de forma gratuita. El código fuente de la aplicación está disponible bajo la licencia LGPL“Lesser General Public License" (Licencia Pública General Menor)-, la cual puede aplicar a sus programas también. El Cuadro 1 muestra una cronología de las versiones de OpenOffice Cuadro 1. Cronología de las versiones de OpenOffice Versión Descripción Build 638c
El primer lanzamiento importante 15
Fecha de lanzamiento Octubre de 2001
1.0 1.0.3.1
1 de mayo de 2002 Último lanzamiento de la línea 1.0.x
18 de abril de 2003
1.1
2 de septiembre de 2003
1.1.3
4 de octubre de 2004
1.1.5
Último lanzamiento de la línea 1.1.x
14 de septiembre de 2005
1.1.5secpatch Parches de seguridad (macros)
4 de julio de 2006
2.0
20 de octubre de 2005
Lanzamiento importante
2.0.1
21 de diciembre de 2005
2.0.2
8 de marzo de 2006
2.0.3
29 de junio de 2006
2.0.4
13 de octubre de 2006
2.1
12 de diciembre de 2006
2.2
28 de marzo de 2007
2.2.1
12 de junio de 2007
2.3
17 de septiembre de 2007
2.3.1
Actualización de estabilidad y seguridad 4 de diciembre de 2007
2.4
27 de marzo de 2008
2.4.1
Junio de 2008
3.0.0
Compatibilidad Office 2007
13 de octubre de 2008
3.0.1
Corrector gramatical
27 de enero de 2009
3.1
Varios
7 de mayo de 2009
3.1.1
Varios
31 de agosto de 2009
Con respecto a los diseños experimentales, el trabajo pionero de Fisher en los años 1920 y principios de la década de 1930, quien estuvo a cargo de la estadística y del análisis de datos de la Estación Agrícola Experimental Rothamsted, en Inglaterra. Mostró cómo los métodos estadísticos y en particular el diseño de experimentos podían ayudar a resolver problemas sobre las complejas relaciones que pueden existir entre varias variables. Él fue quien desarrolló y usó por primera vez el análisis de varianza como herramienta fundamental para el análisis estadístico en un diseño experimental.
Las primeras aplicaciones de los métodos del diseño experimental tienen lugar principalmente, en la agricultura, la ciencia forestal y la biología, y como resultado, gran 16
parte de la terminología que hoy se emplea proviene de estos antecedentes. Las aplicaciones industriales del diseño experimental comienzan en la década de 1930, en la industria textil Británica. Después de la Segunda Guerra Mundial, los métodos de diseño experimental se introducen en las industrias químicas y de transformación de Europa y E.U.
Hoy día su aplicación se ha generalizado al mundo industrial, agrícola, forestal, biológico, de las ciencias de la salud, etc.
5. PRUEBAS DE HIPÓTESIS Y CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES
Este trabajo se realizó haciendo uso de Calc de OpenOffice para resolver ejemplos de los diseños experimentales más comunes. Por tanto, primero se comenzó con una descripción general sobre pruebas de hipótesis y de los diseños experimentales.
En los capítulos siguientes se continúo con el desarrollo detallado de cada tipo de diseño experimental, y se resolvió un ejemplo en Calc de OpenOffice. Los ejemplos fueron tomados de libros clásicos de diseños experimentales. Los tipos de diseños experimentales que se abordaron fueron: diseño completamente al azar balaceado y desbalanceado, diseño completamente al azar con submuestreo, diseño en bloques completos al azar, comparaciones múltiples de medias de tratamientos, diseño en cuadro latino, algunos diseños factoriales y el diseño en parcelas divididas.
Durante el análisis de los diferentes diseños experimentales, los ejemplos que se presentan fueron resueltos con Calc de OpenOffice, lo cual es el objetivo de este trabajo. Por tanto, también se proporciona una forma muy detallada de cómo manejar estas hojas de cálculo, para que el lector sea capaz de poder hacer uso de las mismas y que a la vez le sirva como un manual de Calc de OpenOffice para resolver problemas de los diseños experimentales más comunes.
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Debido a que la mayoría de los métodos estadísticos que se exponen en los capítulos siguientes de diseños experimentales, se caracterizan por el contraste de juegos de hipótesis en la solución de problemas específicos, se muestra una breve exposición de las pruebas de hipótesis estadísticas, de las distribuciones de probabilidad asociadas con estas pruebas de hipótesis y de algunos conceptos básicos de diseños experimentales, que fueron necesarios para el desarrollo de este trabajo, tomados de libros de diseños experimentales de los siguientes autores: Castillo (2003), Cochran y Cox (1980), Fisher (1960), Infante y G. (1990), Martínez (1983), Montgomery (2007), Scheffé (1959), y Steel y Torrie (1988).
5.1. Pruebas de hipótesis Se hace uso de las pruebas de hipótesis estadísticas para probar la adecuación de un modelo específico, la igualdad de los resultados de distintos tratamientos en un diseño experimental, el cumplimiento de los supuestos básicos del modelo o diseño experimental elegido, entre otras situaciones comunes. En los capítulos siguientes se usaron las pruebas de hipótesis estadísticas para mostrar la igualdad de los resultados de distintos tratamientos, en un diseño experimental.
5.1.1. Definiciones básicas Hipótesis: Aseveración que se hace acerca de un fenómeno.
Prueba de hipótesis: Método estadístico que se emplea para determinar si una hipótesis es verdadera o falsa.
A continuación se definen los elementos esenciales que deben conformar una prueba de hipótesis.
Hipótesis a probar: Consiste en dos planteamientos que se contraponen: la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. La hipótesis nula es aquella que el investigador está
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dispuesto a sostener como cierta; se representa como H0. La hipótesis alternativa es aquella que se contrapone a la hipótesis nula; se representa por Ha. Estadística de prueba: Es una fórmula estadística que, con base en los datos experimentales, permite obtener un dato (valor calculado) que es comparado contra un valor de tabla (valor tabulado) de la distribución de probabilidad con la que se relaciona la estadística de prueba.
Regla de decisión: Determina la forma en que se deben relacionar el valor calculado y el valor tabulado de la distribución de probabilidad de donde provienen los datos experimentales para rechazar o no la hipótesis nula (H0). Conclusión: Habiendo rechazado o no la hipótesis nula (H0) se deben establecer las conclusiones pertinentes con base en el estudio o experimento que se realiza.
Note que en las definiciones anteriores se utiliza la idea de no rechazar en lugar de la idea de aceptar. Lo anterior se debe al hecho de que las pruebas de hipótesis se realizan suponiendo un componente aleatorio en los datos experimentales y por lo tanto no se tiene la entera seguridad de la certeza o seguridad de la H0, por lo que es más correcto emplear el no rechazo que la total aceptación.
Una prueba de hipótesis permitirá el rechazar o no rechazar la hipótesis nula (H 0). Si se rechaza a H0 implica que ésta es falsa y no se rechaza a Ha. Si no se rechaza a H0 implica que ésta es verdadera y se rechaza a Ha. El enunciado de la hipótesis que no es rechazada servirá de base para dar las conclusiones finales de la prueba de hipótesis.
5.1.2. Error Tipo I Y Tipo II Cualquier estadística de prueba está asociada a una distribución de probabilidad específica, por lo que una prueba de hipótesis está sujeta a errores atribuibles al azar.
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Comúnmente se llegan a presentar dos tipos de errores en las pruebas de hipótesis: Error tipo I y Error Tipo II.
Los errores anteriores se definen de la siguiente forma: Error Tipo I = Rechazar H0 cuando es cierta. Error Tipo II = No rechazar H0 cuando es falsa. Cuando H0 es verdadera y no se rechaza se está tomando la decisión correcta. Cuando H0 es verdadera y se rechaza se está cometiendo un Error Tipo I. Cuando H 0 es falsa y se rechaza se está tomando la decisión correcta. Cuando H 0 es falsa y no se rechaza se está cometiendo un Error Tipo II.
Se desean pruebas de hipótesis en las cuales las probabilidades asociadas a ambos tipos de errores sean mínimas. Bajo un enfoque probabilístico los errores mencionados se expresan como:
P[Error Tipo I] = P[Rechazar H0 cuando es cierta] = α (nivel de significancia de la prueba de hipótesis) P[Error Tipo II] = P[No rechazar H0 cuando es falsa] = β. En términos prácticos, el nivel de de significancia (α) se define como el máximo valor de la probabilidad de Error Tipo I que el experimentador esté dispuesto a aceptar al ejecutar una prueba de hipótesis. Bajo esta definición es deseable que α tome valores lo más pequeños posible. Los valores del α se expresan en decimales y los más comunes en una prueba de hipótesis son 0.1, 0.05, 0.025 y 0.01.
La confiabilidad es un término de uso común en las pruebas de hipótesis y puede ser definida como la probabilidad de que no ocurra un Error Tipo I. Sus valores se expresan en porcentaje.
20
Bajo la definición anterior se puede relacionar al α y a la confiabilidad mediante la fórmula:
P[Error Tipo I] + P[No Error Tipo I] = 1 α + confiabilidad = 1. Una confiabilidad del 90% implica un α = 0.1; una confiabilidad del 95% implica un α = 0.05; una confiabilidad del 97.5% implica un α = 0.025 y una confiabilidad del 99% implica un α = 0.01.
5.1.3. Estadística de prueba y valores tabulados Las pruebas de hipótesis se sustentan en supuestos acerca de la distribución de probabilidad de donde provienen los datos experimentales. En algunas pruebas de hipótesis se supone de inicio que los datos experimentales tienen una distribución Normal [X~N (μ, σ2)], una distribución Poisson [X~P (λ)], etc.
En una prueba de hipótesis, al utilizar la estadística de prueba, es necesario realizar operaciones de suma, resta, división, multiplicación o potenciación sobre los datos experimentales. Al ejecutar tales operaciones se realiza un proceso análogo al de una conversión, por ejemplo, de unidades físicas, es decir, el valor final que se obtiene no presenta la distribución de probabilidad que tienen los datos experimentales sino una distribución de probabilidad diferente. Los mecanismos mediante los cuales es posible transformar una distribución de probabilidad en base a operaciones matemáticas y lógicas son dados por el área de conocimiento denominada Álgebra de Variables Aleatorias.
En gran cantidad de las pruebas de hipótesis de uso generalizado se tienen estadísticas de prueba que generan valores pertenecientes a distribuciones de probabilidad continuas (t de Student, F de Snedecor, etc). El problema principal consiste en que la mayoría de las funciones de probabilidad continuas, al intentar integrarlas, no admiten 21
una solución analítica, por lo que se hace uso de tablas de probabilidades específicas con el fin de poder ejecutar la prueba de hipótesis.
5.1.4. Distribuciones de probabilidad continuas
5.1.4.1. Distribución t de Student. En algunas pruebas de hipótesis, que se expondrán en los capítulos siguientes, se supone que los datos experimentales, o los errores que se generan, tienen una distribución Normal con media μ y varianza σ2 [X~N (μ, σ2)]. Bajo este supuesto, las estadísticas de prueba correspondientes generan valores que tienen una distribución de probabilidad t de Student.
La distribución t de Student es parecida a la distribución Normal Estándar debido a que también es simétrica y tiene una media igual a cero. La principal diferencia se da por el hecho de que la distribución t de Student tiene mayor área de probabilidad en las colas que la distribución Normal Estándar. La función de probabilidad correspondiente no admite una solución analítica, por lo que existe una tabla específica para el cálculo de probabilidades (Tabla I del Apéndice).
En las pruebas de hipótesis se utiliza el cuantil t de Student como el valor tabulado contra el que se compara el valor calculado, y se representa por tα(v), donde α es el nivel de significancia de la prueba de hipótesis y v son los grados de libertad de la distribución t de Student.
Cuantil t de Student: Valor de la distribución t de Student con v grados de libertad tal que la probabilidad de un valor mayor es igual a α.
22
Grados de libertad: Variables independientes con las que se calcula la estadística de prueba menos el número de parámetros que van a ser contrastados en una prueba de hipótesis.
Si se quiere encontrar el cuantil t0.05(7) entonces se debe localizar, en la Tabla I del Apéndice, el valor 7 en la columna marcada como v y desplazarse hacia la derecha hasta la columna de α que presente el valor 0.05, el dato ubicado en dicha columna es el cuantil buscado, en este caso t0.05(7) = 1.9.
5.1.4.2. Distribución F de Snedecor En algunas pruebas de hipótesis, que se expondrán en los capítulos siguientes, se supone que los datos experimentales o los errores que se generan tienen una distribución Normal con media μ y varianza σ2 [X~N (μ, σ2)]. Bajo este supuesto, las estadísticas de prueba correspondientes generan valores que tienen una distribución de probabilidad F de Snedecor.
La distribución F de Snedecor presenta formas variadas, por lo general asimétricas, que dependen de los grados de libertad asociados. Esta distribución de probabilidad tiene la característica de estar asociada con dos tipos de grados de libertad conocidos como grados de libertad del numerador y del denominador. La función de probabilidad correspondiente no admite una solución analítica por lo que existe una tabla específica para el cálculo de probabilidades (Tabla II del Apéndice).
En pruebas de hipótesis se utiliza el cuantil F como el valor tabulado contra el que se comparará el valor calculado, y se representa por Fα(v1, v2), donde α es el nivel de significancia de la prueba de hipótesis, v1 son los grados de libertad del numerador y v2 son los grados de libertad del denominador de la distribución F de Snedecor.
Si se quiere encontrar el cuantil F0.05(8,10) entonces se debe localizar, en la Tabla II del Apéndice, el valor 8 en la columna marcada como grados de libertad v 1, y a partir de 23
ese valor avanzar hacia abajo hasta la fila de los grados de libertad v2 que tiene el valor 10; en este sitio se localizan cuatro valores correspondientes a los cuantiles de la distribución F de Snedecor a un α de 0.1, 0.05, 0.025 y 0.01, respectivamente, entonces se elige el cuantil al α deseado; en este caso F0.05(8,10) = 3.07.
5.2. Conceptos básicos de diseños experimentales
5.2.1. Definiciones Experimento: Procedimiento que permite obtener una observación de algún fenómeno de interés.
Tratamiento: Sustancia, individuo, elemento u objeto cuya acción o efectividad se desea evaluar y comparar.
Unidad Experimental: Área física mínima sobre la cual se aplica un solo tratamiento.
Variable respuesta: Dato o medida que se cuantifica en cada unidad experimental y cuyos valores permiten evaluar la acción o efectividad de los tratamientos y hacer comparaciones entre estos.
Diseño experimental: Conjunto ordenado de normas, procedimientos y cálculos que orientan acerca de la forma en que deben disponerse las unidades experimentales en el campo o laboratorio, la forma en que deben colocarse los tratamientos en las unidades experimentales, la manera en que deban recopilarse y analizarse los datos experimentales, para así obtener información relevante y con un alto grado de confiabilidad basado en los datos arrojados por la variable respuesta. Existe un gran número de diseños experimentales para solucionar problemas específicos, en esta tesis sólo se abordaron por considerarse de uso más común los
24
siguientes diseños experimentales y comparaciones múltiples de medias de tratamientos:
Diseño completamente al azar balanceado y desbalanceado. Diseño completamente al azar con submuestreo. Diseño en bloques completos al azar. Comparaciones de múltiples de medias de tratamientos. o Diferencia Mínima Significativa (DMS). o Prueba de Tukey. o Prueba de Duncan. o Prueba de Scheffé. o Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-W). Diseño en cuadro latino. Diseños factoriales. Diseño en parcelas divididas.
Repeticiones: Número de unidades experimentales en las cuales se aplica un mismo tratamiento. Si un tratamiento específico se aplica en siete unidades experimentales se dice que está repetido siete veces o que hay siete repeticiones del tratamiento.
Testigo: Consiste, por lo general, en una unidad experimental en la cual ninguno de los tratamientos utilizados en el experimento es probado, y cuyo valor obtenido para la variable respuesta permitirá medir la acción o efectividad de los tratamientos.
5.2.2. Modelo lineal
5.2.2.1. Conceptos básicos. Modelo lineal: Es un modelo matemático en donde la relación principal entre los términos que lo componen se da básicamente mediante sumas y restas. 25
Modelo no lineal: Es un modelo matemático en donde la relación principal entre los términos que lo componen se da básicamente mediante multiplicaciones, divisiones y potencias.
Los modelos matemáticos empleados para representar algunos métodos estadísticos (como en los diseños experimentales) son modelos estadísticos de tipo lineal, ya que la relación principal entre los términos que lo componen se da mediante sumas y restas.
5.2.2.2. Error experimental Para unidades experimentales que han recibido el mismo tratamiento, constituye las diferencias que se presentan entre cada uno de los valores obtenidos en la variable respuesta y la media del tratamiento. Estas diferencias son de naturaleza aleatoria y se desconocen las causas que las originan. Es un error estadístico, lo que significa que es un producto de una variación incontrolable y generalmente inevitable.
Normalmente, sólo una pequeña parte del error experimental puede ser atribuido a errores en la medición. Efectos importantes pueden quedar ocultos total o parcialmente por el error experimental y a la inversa, a causa del error experimental el investigador puede equivocarse y creer en la influencia de efectos que no existen.
En el modelo lineal, el error experimental es representado mediante el término de error aleatorio, ya que ambos términos, en el desarrollo de los siguientes temas, serán equivalentes.
Es importante hacer notar que todos los valores que se obtengan para una variable respuesta serán determinados en parte por el término de error aleatorio; no es posible que los datos experimentales se sustraigan del efecto del término de error aleatorio (error experimental). La importancia principal de este término se da cuando se supone un valor tal que determina en mayor medida la magnitud de la variable respuesta, ya que así no será posible detectar diferencias entre tratamientos. Se espera que el valor 26
del término de error deba ser muy semejante para cada uno de los datos de la variable respuesta en el experimento, por lo que se supone que los errores experimentales tienen una distribución Normal con media cero y varianza σ2, y son independientes entre sí, es decir, eij~NI (0, σ2).
5.2.2.3. Modelo lineal general El modelo lineal general para los diseños experimentales puede ser escrito como:
Yij
i
eij
donde Yij
Valor de la variable respueta. Efecto medio general
i
eij
Efectos a considerar en el diseño experiment al. Término del error aleatorio.
Los subíndices para la variable respuesta (Y) y el término del error aleatorio ( e ) dependerán del número de efectos a considerar en el diseño experimental (ω) y del número de repeticiones.
5.2.3. Supuestos básicos de los diseños experimentales Tomando como base lo expuesto en la sección 5.2.2 es posible determinar los supuestos básicos de los diseños experimentales en general:
Existe homogeneidad de varianza entre tratamientos (todos los tratamientos tienen igual varianza). Los errores tienen distribución Normal con media cero y varianza σ2, y son independientes entre sí (no están correlacionados), es decir, eij~NI (0, σ2).
27
5.2.4. Hipótesis a probar Bajo los supuestos mencionados es posible realizar pruebas de hipótesis acerca de los efectos de los términos del modelo lineal en un diseño experimental específico. Con excepción del efecto medio general (μ), los demás términos en un modelo lineal específico reciben la denominación de fuentes de variación. En los diseños experimentales se prueban diferentes pares de hipótesis, dependiendo del número de fuentes de variación a analizar. La hipótesis nula (H0) siempre postula la igualdad entre los diferentes niveles de una fuente de variación, mientras que la hipótesis alternativa (Ha) siempre postula que al menos uno de los niveles de la fuente de variación produce un efecto diferente. Es importante mencionar que, en cualquier diseño experimental, para el término de error aleatorio no se realizan pruebas de hipótesis, sino que se constituye en un elemento básico para probar las hipótesis de las fuentes de variación restantes.
5.2.5. Análisis de varianza En un diseño experimental la técnica estadística que se emplea para contrastar las hipótesis derivadas del modelo lineal es el análisis de varianza. Para un experimento específico el análisis de varianza determina, con un alto grado de confiabilidad, si la diferencia entre los valores que toma la variable respuesta se debe realmente al efecto de alguna de las fuentes de variación involucradas o a efectos aleatorios (determinados por el azar). El análisis de varianza es el estadístico de prueba para el contraste de hipótesis acerca de las fuentes de variación en un diseño experimental.
A manera de ejemplo se muestra el método y la lógica del análisis de varianza en el siguiente modelo lineal generalizado:
28
Yi
ei
donde Yi
Valor de la variable respueta. Efecto medio general
ei
Término del error aleatorio.
El análisis de la varianza descansa fundamentalmente en el estudio de la variabilidad de las observaciones. En este modelo es claro que: ei
Yi
; i 1,2,..., t
Es decir, un error es la diferencia entre una observación y el valor verdadero del parámetro. Ahora se parte de ese error en dos componentes mediante la igualdad trivial: Yi
(Yi
Y ) (Y
)
La igualdad anterior, a pesar de su sencillez, es de extraordinaria importancia en nuestro desarrollo. Una forma de interpretarla es diciendo que un error está compuesto por la desviación de una observación con respecto a la media muestral, sumada con la distancia entre la media muestral y la media poblacional. Además de la igualdad anterior se sigue que: )2
(Yi
[(Yi
Y ) (Y
)] 2
Puesto que la igualdad anterior es cierta para todas y cada una de las observaciones Y i (i=1,2,…,t), podemos escribir: t
t
)2
(Yi i 1
[(Yi
)] 2
Y ) (Y
i 1
y mediante la aplicación de reglas ya conocidas obtenemos la siguiente igualdad: t
t
t
)2
(Yi i 1
(Yi
Y )2
i 1
t
)2
(Y
2
i 1
(Yi
Y ) (Y
t
t
(Yi
Y )2
t (Y
)2
2(Y
)
i 1
(Yi
Y)
i 1
t
t
(Yi i 1
)
i 1
Y )2
t (Y
)2
ya que
(Yi i 1
Por tanto, se ha llegado al siguiente resultado: 29
Y)
0
t
t
)2
(Yi
Y )2
(Yi
i 1
)2
t (Y
i 1
en donde se nota que la partición del error
ei en
dos componentes ha llevado a una
expresión similar que involucra sumas de cuadrados de las desviaciones originalmente desarrolladas. Por esta razón las tres componentes de la ecuación a la que se llegó se les llama Sumas de Cuadrados. Bajo la suposición de que: Y1,…,Yt es una muestra 2
aleatoria de N ( ,
) , dichas sumas de cuadrados tienen distribuciones probabilísticas
muy sencillas de derivar, y pueden usarse para generar un procedimiento para probar hipótesis sobre µ. Con objeto de derivar las distribuciones de las sumas de cuadrados dividimos todos los términos de la ecuación anterior por σ2, obteniendo: t
)2
(Yi
t
Y )2
(Yi
2
2
i 1
)2
t (Y 2
i 1
De la ecuación anterior es fácil obtener las distribuciones correspondientes. En efecto, puesto que cada Yi ~N(µ, σ2), es claro que:
Yi
~N(0, 1) de donde
2
)2
(Yi 2
~
2 (1)
Además, puesto que las Yi son independientes, y usando la propiedad aditiva de la distribución Ji- cuadrada, se obtiene: t
)2
(Yi 2
~
2 (t )
i 1
El segundo resultado se obtiene de nuestras suposiciones, la distribución de la media muestral es N ( ,
2
t (Y
estándar. Esto es: Y por lo tanto:
t ) y, por lo tanto, la media estandarizada tiene distribución Normal
)2
t (Y 2
)
~
~N(0, 1)
2 (1)
A la distribución de la suma de cuadrados restante con la notación usual identificamos a la varianza muestral por S2, tenemos que:
t
2 (t 1)
. Es decir, que:
30
Y )2 2
i 1
distribución es
(Yi
(t 1) S 2 2
y sabemos que su
t
Y )2
(Yi
2
~
2 ( t 1)
i 1
t
)2
(Yi
t
2
i 1 2 (t )
(Yi
Y )2 2
i 1
)2
t (Y 2
2 ( t 1)
A
2 (1)
B
C
Una vez obtenidas las distribuciones de A, B y C, se explica cómo pueden usarse para probar hipótesis sobre µ. En primer lugar, la partición de la variabilidad que se ha hecho sólo permite probar hipótesis de dos colas sobre µ. Es decir, que en lo sucesivo nos referiremos al juego de hipótesis: H0: µ = µ0 en oposición a Ha: µ ≠ µ0, donde µ0 es el valor supuesto del parámetro desconocido. Que no sea posible probar hipótesis de una cola con esta técnica es una consecuencia de haber tomado los cuadrados de las desviaciones. Para derivar una estadística para probar hipótesis sobre µ es natural recurrir a la componente C en la ecuación anterior, puesto que la variable aleatoria C involucra no sólo a Y y a µ, t (Y
)2
2
sino además a la distancia Y
. Sin embargo,
no es una estadística, dado que tanto µ como σ2 son parámetros
desconocidos. En cuanto a µ el problema está resuelto, ya que µ debe tomar el valor de µ0 para fijar el nivel de significancia. Para que la estadística no dependa de σ 2 usaremos la componente B. Dado que B y C son ambas variables aleatorias Jicuadradas, tenemos que:
t (Y
)2
2
(1)
t
(Yi
Y )2
2
(t 1)
)2
t (Y S
2
~ Ft1 1 . De aquí se deduce que,
i 1
si la hipótesis nula µ = µ0 es cierta, la estadística: F0
)2
t (Y S
2
~ Ft1 1 y podemos usar
F0 para probar el juego de hipótesis propuesto. La regla de decisión que nos garantiza una prueba con nivel de significancia α es: “Rechazar H0 si F0
31
Ft1 1 ”
Una vez que se ha dado un avance de lo que vendrá después, retrocedemos un poco para reunir los resultados obtenidos en esta sección. Todo el procedimiento para probar H0: µ = µ0 en oposición a Ha: µ ≠ µ0 mediante la distribución de F se resume usualmente en una tabla conocida como cuadro de análisis de varianza. En el cuadro de análisis de varianza (Cuadro 2), los tres componentes de la ecuación anterior de las distribuciones de A, B y C aparecen sin el divisor σ 2. Esto es porque la estadística F0, al ser la razón de dos de ellas, no depende de σ 2. Además, puesto que la hipótesis nula es H0: µ = µ0, el valor de µ es sustituido por µ0. Como se mencionó antes, los numeradores de los términos de la ecuación anterior de las distribuciones de A, B y t
C se llaman Sumas de Cuadrados. Así, a
(Yi
0
) 2 se le llama Suma de Cuadrados
i 1 t
Total, a t (Y
2 0 ) se le llama Suma de Cuadrados del Error y a
(Yi
Y ) 2 se le llama
i 1
Suma de Cuadrados debida a la Media. En lo sucesivo se identificarán por las avrreviaturas S.C TOTAL, S.C. ERROR y S.C MEDIA ei . H0: µ = µ0 vs Ha: µ ≠ µ0 F0 = F Cuadrado F de tablas calculada Medio ( Ftab ) ( Fcal ) (C.M.) 2 2 t (Y t (Y 0) 0) F (v1, v2 ) 1 S2
Cuadro 2. Análisis de varianza para el modelo Yi Fuente de Variación (F.V.)
Grados de Libertad (G.L.)
Media (µ)
1
Suma de Cuadrados (S.C.) t (Y
0
)2 t
t
Error
(Yi Y )
t-1
(Yi
2
Y )2
i 1
i 1
t 1
S2
t
Total
(Yi
T
0
)2
i 1
Donde:
F (v1 , v2 )
Ftab
Cuantil de la distribuci ón F de Snedecor.
v1
Grados de libertad de .
v2
Grados de libertad del error.
32
Ahora se explica con más detalle el Cuadro 2. En la primera hilera del encabezado aparece “Fuentes de Variación” (F.V.) destaca que el análisis de varianza se basa en una partición de la variabilidad de las observaciones en diferentes fuentes (o factores) de variación. En la segunda columna aparece el nombre de “Grados de Libertad” (G.L.) alude a los parámetros de las distribuciones Ji- cuadrada asociadas con las Sumas de Cuadrados (S.C) en la tercer columna. La siguiente columna muestra los “Cuadrados Medios” (C.M.) que se obtienen dividiendo cada suma de cuadrados por sus grados de libertad, y sólo son un paso intermedio para obtener la estadística F 0 = Fcal en la columna siguiente y en la última columna aparece Ftab. El Cuadro 2 se desarrolló para probar el juego de hipótesis H0: µ = µ0 en oposición a Ha: µ ≠ µ0. Más frecuentemente el cuadro de análisis de varianza se formula como si el propósito fuera probar H0: µ = 0 en oposición a Ha: µ ≠ 0. Esta presentación, que aparentemente es más restringida que la anterior, en realidad no lo es puesto que si tenemos observaciones Y1,…,Yt, que se supone son una muestra aleatoria de N ( ,
2
)
y queremos probar la hipótesis nula H0: µ = µ0, siempre podemos definir variables aleatorias Xi = Yi - µ0 las cuales cuando la hipótesis nula es cierta, tienen distribución N (0,
2
) , por lo que las variables Xi = Yi - µ0 pueden usarse para probar H0: µ = 0,
obteniéndose una prueba equivalente a la anterior. Con las nuevas variables centradas en cero, el cuadro de análisis de varianza es como el que se presenta en el Cuadro 3. ei . H0: µ = 0 vs Ha: µ ≠ 0
Cuadro 3. Análisis de varianza para el modelo Yi F.V. Media (µ)
G.L.
S.C.
1
tX
C.M.
2
tX
F0 = Fcal tX S2
2
t t
Error
(X i
t-1
X )2
(X i i 1
i 1
t 1
t
Total
(Yi
t
0
)2
i 1
Donde: 33
X )2 S2
Ftab
2
F (v1, v2 )
F (v1 , v2 )
Ftab
Cuantil de la distribuci ón F de Snedecor.
v1
Grados de libertad de .
v2
Grados de libertad del error.
El Cuadro 3 es una simplificación trivial del Cuadro 2, sólo que ahora µ 0 = 0. Ahora se mencionan algunos aspectos del Cuadro 3, ya que estos explican por qué esta segunda presentación es la más favorecida. En primer lugar, en las S.C. la partición es más sencilla, ya que S.C.( µ) + S.C. ERROR = S.C. TOTAL dado que, como ya nos es t
familiar:
t
(Xi
X )2
i 1
X i2
tX
2
i 1
En segundo lugar, los nombres de las fuentes de variación. En el Cuadro 2 no es muy clara la razón para este nombre, pero en el Cuadro 3 es evidente, puesto que si H 0 es cierta, debemos esperar valores de X cercanos a cero, de modo que si S.C. (µ) es grande, esto se debe a que µ difiere del valor supuesto por una distancia grande. Razonando similarmente se justifican los nombres de S.C. ERROR y S.C. TOTAL.
6. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA)
6.1. Características Los
diseños
completamente
al
azar
son
empleados
cuando
las
unidades
experimentales son suficientemente homogéneas entre sí, es decir, cuando la variación entre ellas es pequeña. Por lo que el empleo de bloques resulta inapropiado porque no hay heterogeneidad que sea necesario absorber. Éste es el caso en muchos tipos de experimentos de laboratorio, en los que una cantidad de material está completamente mezclado y luego se divide en porciones pequeñas para formar las unidades experimentales, o en experimentos con animales y plantas con condiciones ambientales muy parecidas. Todas las unidades experimentales reúnen prácticamente las mismas características, de modo que el efecto de un tratamiento sobre la variable bajo estudio, 34
es el mismo independientemente de la unidad experimental donde se mida, excepto por variaciones aleatorias, debidas a fuentes de error en la investigación.
Los tratamientos se aplican completamente al azar sobre las unidades experimentales, bajo la condición de que cada unidad experimental deberá tener la misma probabilidad de recibir un tratamiento particular. Todos los tratamientos pueden tener un número igual o diferente de repeticiones. Cuando el número de repeticiones es diferente dentro de cada tratamiento se dice entonces que el diseño es no balanceado; en caso contrario, se dice que el diseño es balanceado. Hay dos ventajas al elegir un diseño balanceado. La primera es que el estimador de prueba es relativamente insensible a las desviaciones pequeñas del supuesto de la igualdad de las varianzas de los t tratamientos cuando los tamaños de las muestras son iguales. Y la segunda ventaja es que la potencia de las pruebas se maximiza cuando las muestras tienen el mismo tamaño.
Los análisis de varianza que se muestran para el diseño completamente al azar en Calc de Open Office, es el mismo para el caso balanceado y para el caso desbalanceado ya que las fórmulas para las sumas de cuadrados abarcan ambos casos.
6.2. Ventajas El diseño completamente al azar es flexible en cuanto a que el número de tratamientos y de repeticiones sólo está limitado por el número de unidades experimentales disponibles. El número de repeticiones puede variar de un tratamiento a otro, aunque generalmente lo ideal sería tener un número igual por tratamiento. El análisis estadístico es simple aun en el caso en que el número de repeticiones difiera con el tratamiento y si los diversos tratamientos están sujetos a varianzas desiguales, lo cual se conoce como la falta de homogeneidad del error experimental. La sencillez del análisis no se pierde si algunas unidades experimentales o tratamientos enteros faltan o se descartan.
35
6.3. Desventajas La principal objeción del diseño completamente al azar es su frecuente ineficiencia. Como la aleatorización no tiene restricciones, el error experimental incluye toda la variación entre las unidades experimentales, excepto la debida a los tratamientos. En muchas situaciones es posible agrupar las unidades experimentales de modo que la variación entre unidades dentro de los grupos sea menor que la variación entre las unidades de diferentes grupos. Ciertos diseños sacan ventaja de tal agrupamiento, excluyen la variación del error experimental entre grupos y aumentan la precisión del experimento.
6.4. Modelo lineal El modelo lineal para los diseños completamente al azar es el siguiente: Yij
eij
i
donde i 1, 2,..., t; j 1, 2,..., ri ; E( ei ) t Número de tratamientos.
ri Yij
0 ; E( ei2 )
2
Número de repeticiones para el i-ésimo tratamiento. Respuesta obtenida en la j-ésima repetición del i-ésimo tratamiento. Efecto medio general.
i
eij
Efecto atribuido al i-ésimo tratamiento. Término de error aleatorio.
6.5. Hipótesis a probar La hipótesis a probar en este tipo de diseños experimentales es la siguiente:
H0 :
1
2
...
t
vs H a : Al menos el efecto de un tratami ento es diferente de los demás. 36
6.6. Análisis de varianza El análisis de varianza para el diseño completamente al azar está dado por el Cuadro 4.
Cuadro 4. Estructura del análisis de varianza para un diseño completamente al azar. F de Fuente de Grados de Suma de Cuadrado F calculada tablas Variación Libertad Cuadrados Medio ( Fcal ) ( Ftab ) (F.V.) (G.L.) (S.C.) (C.M.) SCT C.M . Tratamient os S.C. F (v1, v2 ) Tratamientos t-1 C.M . Error Tratamientos G.L. Tratamient os t
Error
t
S.C. Error
ri 1
S.C. Total
ri
SCE G.L. Error
i 1 t
Total i 1
Donde:
F (v1, v2 )
Ftab
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
v1
Grados de libertad de los tratamien tos.
v2
Grados de libertad del error.
FC
t
Y 2 ..
S.C. Tratamient os
t
i
ri
Yi 2 . r 1 i
FC
i 1
t
ri
Yij2
S .C. Total
FC
S.C. Error
S.C. Total - S.C.Tratam ientos
i 1 j 1
Donde: FC
Factor de corrección.
Y ..
Suma de todas las observaciones en el experimento.
Yi .
Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo tratamiento.
6.7. Regla de decisión La regla de decisión que se utiliza es la siguiente: Se rechaza H 0 si Fcal
F (v1 , v 2 )
Ftab
37
Se ilustra la técnica de un diseño completamente al azar con el ejemplo 6.1, haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para resolver diseños experimentales más comunes.
Ejemplo 6.1 Un ingeniero de desarrollo de productos tiene interés en investigar la resistencia a la tensión de una fibra nueva que se usará para hacer telas de camisas para caballeros (Montgomery, 2007). El ingeniero sabe por experiencia propia que la resistencia a la tensión se afecta por el peso porcentual del algodón utilizado en la mezcla de materiales de la fibra. Además, sospecha que al aumentar el contenido de algodón, se incrementará la resistencia, al menos en un principio. Sabe así mismo que el contenido de algodón deberá variar entre 10 y 40 por ciento para que el producto final tenga otras características de calidad que se desea (como la capacidad de ser sometido a tratamiento de planchado permanente). El ingeniero decide probar ejemplares en cinco niveles del peso porcentual del algodón: 15, 20, 25, 30 y 35 por ciento. También decide probar cinco ejemplares en cada nivel del contenido de algodón.
Se trata de un ejemplo de un experimento con un solo factor con cinco tratamientos y cinco réplicas. Las 25 corridas se deben realizar de manera aleatoria. Suponga que después de hacerse la aleatorización obtenemos el Cuadro 5 de los datos del experimento: Cuadro 5. Datos (en lb/pulgada2) del experimento a la tensión. Peso porcentual del algodón (tratamientos) Observaciones 15 20 25 30 35 1 7 12 14 19 7 2 7 17 18 25 10 3 15 12 18 22 11 4 11 18 19 19 15 5 9 18 19 23 11 Total 49 77 88 108 54 Media 9.8 15.4 17.6 21.6 10.8 Fuente: Montgomery (2007).
38
Determine si el peso porcentual del algodón (tratamientos) en una fibra sintética afecta la resistencia a la tensión. Se desea una confiabilidad del 95%.
Respuesta Para resolver los ejemplos de diseños experimentales y de pruebas múltiples de comparación de medias siempre se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc de Open Office. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6, en el que se hace clic en el tipo de diseño que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se deben introducir los datos del experimento. En este caso se hace clic en diseño completamente al azar.
Cuadro 6. Diseños experimentales más comunes y comparación múltiple de medias DISEÑOS EXPERIMENTALES MÁS COMUNES
SELECCIONE EL TIPO DE DISEÑO QUE DESEA USAR O COMPARACIÓN DE MEDIAS DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA) DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBMUESTREO DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR (DBCA) COMPARACIONES MÚLTIPLES DE MEDIAS DE TRATAMIENTOS DISEÑO EN CUADRO LATINO (DCL) DISEÑOS FACTORIALES (DF) DISEÑO EN PARCELAS DIVIDIDAS (DPD)
39
Después de hacer clic en diseño completamente al azar, aparece el Cuadro 7, en donde se introducen los datos del experimento. El Cuadro 7, sólo da la opción de escribir sobre las celdas donde se deben de introducir los datos del experimento, ya que el resto de las celdas se encuentran protegidas contra escritura. En este ejemplo, se tienen cinco tratamientos con cinco repeticiones cada uno. Para este tipo de diseño se puede introducir hasta 10 tratamientos (columnas) con 15 repeticiones (filas) cada uno.
Una vez introducidos los datos, aparecen en la penúltima fila del Cuadro 7 los totales de tratamiento y en la última fila aparecen las sumas del cuadrado de observaciones de tratamiento, los cuales se necesitan para el análisis de varianza.
A la derecha del Cuadro 7 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja de análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño. Cuadro 7. Diseño completamente al azar. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR Tratamientos Repeticiones
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Tot. de Trat.
7 7 15 11 9
12 17 12 18 18
14 18 18 19 19
19 25 22 19 23
7 10 11 15 11
49
77
88
108
54
0
0
0
0
0
525 1225 1566 2360 616
0
0
0
0
0
Sumas del cuadrado de obs. por trat.
40
6
7
8
9
10
Ir al análisis
Regresar
Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al análisis, genera el Cuadro 8 donde mediante fórmulas
aparecen los valores del número de tratamientos (t), el número de
repeticiones para cada tratamiento (ri), el factor de corrección (FC), así como el análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto a los tratamientos. El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0.05), pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee. Todas las celdas del Cuadro 8, a excepción del valor de alfa, están protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas.
A la derecha de Cuadro 8, aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento.
Para este ejemplo, mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del 95% se rechaza la hipótesis nula (H0) para los tratamientos, debido a que Fcal = 14.76 > Ftab = 2.87, lo que indica que al menos el efecto de un tratamiento es diferente al de los demás.
Cuadro 8. Análisis de varianza para el diseño completamente al azar. ANÁLISIS DE VARIANZA F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab t= 5 Tratamientos 4 475.76 118.94 14.76 2.87 r1 = 5 Error 20 161.20 8.06 r2 = 5 Total 24 636.96 r3 = 5 r4 = 5 r5 = 5 CONCLUSIÓN r6 = Fcal > Ftab. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 r7 = r8 = r9 = r10 = FC = Alfa
5655 0.05 41
Regresar
7. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBMUESTREO
En algunas situaciones experimentales, se pueden tomar varias observaciones dentro de la unidad experimental, la unidad a la cual se aplica el tratamiento. Tales observaciones se hacen en submuestras o unidades de muestreo. Las diferencias entre submuestras dentro de una unidad experimental son diferencias de observación más que diferencias de unidad experimental.
Un diseño experimental es estándar si en cada unidad experimental se toma sólo una observación al azar; diremos que es con submuestreo si se toma más de una observación al azar por unidad experimental.
El submuestreo nos permite, además de estudiar la variabilidad entre unidades experimentales bajo condiciones similares, estimar la variabilidad de observaciones en las unidades experimentales.
7.1. Modelo lineal para submuestreo El modelo lineal para un diseño completamente al azar con submuestreo es el siguiente:
Yijk
i
eij
ijk
donde i 1, 2,..., t;
j 1, 2,..., ri ; k 1,2,..., rij
t Número de tratamientos.
ri
Número de repeticiones para el i-ésimo tratamiento.
rij
Número de observaciones en la j-ésima repetición del i-ésimo tratamiento.
Yijk
Respuesta obtenida en la k-ésima observación de la j-ésima repetición del i-ésimo
tratamiento. Efecto medio general. 42
i
eij ijk
Efecto atribuido al i-ésimo tratamiento. Término de error experimental. Se supone que eij ~ i. i. d. N(0, Término de error observacional. Se supone que
ijk
~ i. i. d. N(0,
2 e) 2
)
Los e y los δ se suponen no correlacionados entre sí, o sea que al tomar un valor particular de δ no se afecta en la probabilidad de tomar un valor particular cualquiera de
e. 7.2. Hipótesis a probar La hipótesis a probar en un diseño completamente al azar con submuestreo es la siguiente:
H0 :
1
2
...
t
vs H a : Al menos el efecto de un tratami ento es diferente de los demás.
Para el análisis de varianza de un diseño completamente al azar con submuestreo se tienen dos casos, para un número igual de submuestras y para un número desigual de submuestras. Cuando las muestras tienen un número desigual de submuestras, en los cálculos, el cuadrado de cualquier total se divide por el número de observaciones en el total. 7.3. Análisis de varianza con submuestreo. Número igual de submuestras. El análisis de varianza para un diseño completamente al azar con submuestreo con igual número de submuestras está dado por el Cuadro 9.
43
Cuadro 9. Estructura del análisis de varianza para un diseño completamente al azar con submuestreo. Número igual de submuestras. F de Fuente de Grados de Suma de F calculada Cuadrado Medio tablas Variación Libertad Cuadrados ( Fcal ) (C.M.) ( Ftab ) (F.V.) (G.L.) (S.C.) S .C. Entre U.E. S.C. Entre Entre U.E. U.E.-1 G.L. Entre U.E. U.E. C.M . Tratamient os F (v1, v2 ) S .C. Tratamientos S.C. Tratamientos t-1 C.M . Error experiment al G.L. Tratamient os Tratamientos t
Error experimental Error de muestreo
t
S.C. Error experimental
S .C. Error experiment al G.L. Error experiment al
ri k
rt
S.C. Error de muestreo
S .C. Error de mustreo G.L. Error de muestreo
ri k
1
S.C. Total
ri i 1 t ,s
i ,k 1 t ,s
Total i ,k 1
Donde:
F (v1 , v2 )
Ftab
Cuantil de la distribución F. (ver Tabla II del Apéndice)
v1
Grados de libertad de los tratamien tos.
v2
Grados de libertad del error experiment al.
FC
Y 2 ... srt
t
ri
S.C. U.E
Yij2 .
i 1 j 1
t
ri
s
FC
rij 2 Yijk
S .C. Total
FC
S.C. Error de muestreo
C
S.C. Error experiment al
S.C. Total - S.C.U.E
i 1 j 1 k 1 t
Yi2.. S .C. Tratamient os
i 1
sr
Donde: FC
Factor de corrección.
s
Número de submuestras por unidad experimental.
r
Número de repeticiones.
Y ...
Suma de todas las observaciones en el experimento. 44
S.C.U.E - S.C. Tratammien tos
Yii .
Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-ésima repetición del i-ésimo
tratamiento.
7.4. Regla de decisión La regla de decisión que se utiliza es la siguiente: Se rechaza H 0 si Fcal
F (v1 , v 2 )
Ftab
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de diseño completamente al azar con submuestreo con el siguiente ejemplo:
Ejemplo 7.1 Considérense los datos del Cuadro 10 sobre crecimiento en una semana de tallos de plantas de menta cultivadas en una solución nutritiva (Steel y Torrie, 1988).
Donde un grupo grande de plantas se asignaron aleatoriamente a unas macetas, cuatro por maceta, la unidad experimental; los tratamientos se asignaron al azar a las macetas, tres macetas por tratamiento. Todas las macetas se aleatorizaron completamente con respecto a su localización durante el tiempo transcurrido bajo luz del día, y cada grupo de macetas se aleatorizó completamente dentro de los niveles (bajo y alto) de temperatura en invernadero durante el período de oscuridad. Las observaciones se hicieron en plantas individuales.
Se desea saber si hay diferencias entre los tratamientos ensayados. Se desea una confiabilidad del 95%.
45
Cuadro 10. Crecimiento en una semana de tallos de plantas de menta cultivadas en una solución nutritiva. Horas de luz diurna Bajas temperaturas nocturnas Altas temperaturas nocturnas Número de 8 12 16 8 12 16 plantas Maceta No. Maceta No. Maceta No. Maceta No. Maceta No. Maceta No. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3.5 2.5 3.0 5.0 3.5 4.5 5.0 5.5 5.5 8.5 6.5 7.0 6.0 6.0 6.5 7.0 6.0 11.0 2 4.0 4.5 3.0 5.5 3.5 4.0 4.5 6.0 4.5 6.0 7.0 7.0 5.5 8.5 6.5 9.0 7.0 7.0 3 3.0 5.5 2.5 4.0 3.0 4.0 5.0 5.0 6.5 9.0 8.0 7.0 3.5 4.5 8.5 8.5 7.0 9.0 4 4.5 5.0 3.0 3.5 4.0 5.0 4.5 5.0 5.5 8.5 6.5 7.0 7.0 7.5 7.5 8.5 7.0 8.0 Totales de 15.0 17.5 11.5 18.0 14.0 17.5 19.0 21.5 22.0 32.0 28.0 28.0 22.0 26.5 29.0 33.0 27.0 35.0 maceta Totales de 44.0 49.5 62.5 88.0 77.5 95.0 tratamiento Medias de 3.7 4.1 5.2 7.3 6.5 7.9 tratamiento Fuente: Steel y Torrie (1988).
46
Respuesta Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc
de
Open
Office.
Al
abrir
el
documento
nombrado
“DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6), en el que se hace clic en el tipo de diseño que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se deben introducir los datos del experimento. En este caso se hace clic en diseño completamente al azar con submuestreo.
Después de hacer clic en diseños completamente al azar con submuestreo en el Cuadro 6, aparece el Cuadro 11, en donde se introducen los datos del experimento. El Cuadro 11 sólo da la opción de escribir sobre las celdas donde se introducen los datos del experimento, ya que el resto de las mismas se encuentran protegidas contra escritura. En este ejemplo, se tienen seis tratamientos con cuatro submuestras y tres repeticiones cada una. Para este tipo de diseño se puede introducir hasta 11 tratamientos con diez submuestras y cinco repeticiones cada una.
Una vez introducidos los datos, aparecen en la antepenúltima fila del Cuadro 11, los totales por unidades experimentales de cada tratamiento, en la penúltima fila aparecen los totales de tratamiento y en la última fila también aparecen las sumas del cuadrado de observaciones por tratamiento, los cuales se necesitan para el análisis de varianza.
A la derecha del Cuadro 11 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja del análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño.
47
Cuadro 11. Diseño completamente al azar con submuestreo. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBMUESTREO Tratamientos 1 Repeticiones Submuestras 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tot. de U.E Tot. de trat. Sumas del cuadrado de obs. por trat.
3.5 4.0 3.0 4.5
2 2.5 4.5 5.5 5.0
2 Repeticiones
3 45 1 3.0 3.0 2.5 3.0
15.0 17.5 11.5 44.0 172.5
5.0 5.5 4.0 3.5
2 3.5 3.5 3.0 4.0
3 Repeticiones
3 45 1 4.5 4.0 4.0 5.0
18.0 14.0 17.5 49.5 210.3
5.0 4.5 5.0 4.5
2 5.5 6.0 5.0 5.0
4 Repeticiones
3 45 1 5.5 4.5 6.5 5.5
19.0 21.5 22.0 62.5 329.8
8.5 6.0 9.0 8.5
2 6.5 7.0 8.0 6.5
5 Repeticiones
3 45 1 7.0 7.0 7.0 7.0
32.0 28.0 28.0 88.0
6.0 5.5 3.5 7.0
2 6.0 8.5 4.5 7.5
3 45 1 6.5 6.5 8.5 7.5
22.0 26.5 29.0 77.5
655.0
525.3
48
6 Repeticiones
7.0 9.0 8.5 8.5
2 6.0 7.0 7.0 7.0
7 8 9 10 Repeticiones Repeticiones Repeticiones Repeticiones
3 45 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11.0 7.0 9.0 8.0
33.0 27.0 35.0 95.0 772.5
Ir al análisis
Regresar
Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al análisis, genera el Cuadro 12 donde aparece el número de tratamientos (t), el número de submuestras (s), el número de repeticiones para cada tratamiento (r), el factor de corrección (FC), así como el análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto a los tratamientos. El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0.05), pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee. Todas las celdas del Cuadro 12, a excepción del valor de alfa, están protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas.
A la derecha del Cuadro 12, aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento.
Para este ejemplo, mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del 95% se rechaza la hipótesis nula (H0) para los tratamientos, debido a que Fcal = 16.69 > Ftab = 3.11, lo que indica que al menos el efecto de un tratamiento es diferente al de los demás. Cuadro 12. Análisis de varianza para el diseño completamente al azar con submuestreo. ANÁLISIS DE VARIANZA F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab t= 6 Entre U.E 17 205.48 Regresar s= 4 Tratamientos 5 179.64 35.93 16.69 3.11 r= 3 Error experimental 12 25.83 2.15 Error de muestreo 54 50.44 0.93 FC = 2409.34 Total 71 255.91 Alfa 0.05 CONCLUSIÓN Fcal > Ftab. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
49
8. DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR (DBCA)
8.1. Características En los diseños de bloques completos todos los tratamientos aparecen representados en cada uno de los bloques, en caso contrario, se trata de la clase de diseños de bloques incompletos.
Los diseños de bloques completos al azar y los diseños en cuadro latino, son los principales tipos de arreglo en bloques completos.
Este diseño puede usarse cuando las unidades experimentales pueden agruparse. Se caracteriza porque todos los tratamientos aparecen representados una vez en cada uno de los bloques. Los tratamientos se asignan al azar sobre las unidades experimentales, sorteando los tratamientos independientemente, en cada bloque.
Las unidades experimentales dentro de cada bloque deben ser homogéneas, excepto por variaciones aleatorias. Dos unidades experimentales de bloques diferentes pueden exhibir heterogeneidad, siendo de hecho el propósito de los bloques, absorber el máximo de heterogeneidad del material experimental.
8.2. Ventajas El diseño en bloques completos al azar tiene muchas ventajas sobre otros diseños. En general, es posible agrupar las unidades experimentales de modo que se logre mayor precisión que con el diseño completamente al azar. No hay restricción en cuanto al número de tratamientos o de bloques. El análisis estadístico de los datos es simple. Si como resultado de un contratiempo, los datos de un bloque completo para ciertos tratamientos son inutilizables, estos datos pueden omitirse sin complicación en el análisis.
50
8.3. Desventajas La principal desventaja en los bloques completos al azar es que cuando la variación entre unidades experimentales dentro de un bloque es grande, resulta un término de error considerable. Esto ocurre frecuentemente cuando el número de tratamientos es grande; así puede no ser posible asegurar grupos de unidades suficientemente uniformes para los bloques. En tales situaciones, se dispone de otros diseños para controlar una mayor proporción de la variación.
8.4. Modelo Lineal El modelo lineal para los diseños en bloques completos al azar es el siguiente:
Yij
i
j
eij
donde i 1, 2,..., b;
j 1, 2,..., t;
E( eij ) 0 ; E( eij2 )
2
Número de bloques.
b
t Número de tratamientos. Yij
Respuesta obtenida en el j-ésimo tratamiento del i-ésimo bloque. Efecto medio general.
i
Efecto atribuido al i-ésimo bloque.
i
Efecto atribuido al j-ésimo tratamiento.
eij
Término de error aleatorio.
8.5. Hipótesis a probar Las hipótesis a probar en este tipo de diseño experimental son sobre los bloques y sobre los tratamientos, que son las siguientes:
1. H 0 :
1
2
...
t
51
vs H a : Al menos el efecto de un bloque es diferente de los demás. 2. H 0 :
1
2
...
t
vs H a : Al menos el efecto de un tratami ento es diferente de los demás.
8.6. Análisis de varianza El análisis de varianza para un diseño en bloques completos al azar está dado por el Cuadro 13:
Cuadro 13. Estructura del análisis de varianza para el diseño en bloques completos al azar. Grados F de Fuente de Suma de Cuadrado F calculada de tablas Variación Cuadrados Medio ( Fcal ) Libertad ( Ftab ) (F.V.) (S.C.) (C.M.) (G.L.) Bloques
b-1
S.C. Bloques
SCB G.L. Bloques
C .M . Bloques C .M . Error
F (v1, v2 )
Tratamientos
t-1
S.C. Tratamientos
SCT G.L. Tratamient os
C.M . Tratamient os C.M . Error
F (v 3 , v 2 )
t
S.C. Error
SCE G.L. Error
ri 1
S.C. Total
t
Error
ri i 1
t
Total i 1
Donde:
F (v1, v2 )
Ftab Blo
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v3 , v2 )
Ftab Trat
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
v1
Grados de libertad de los bloques.
v2
Grados de libertad del error.
v3
Grados de libertad de los tratamien tos.
52
b
t 2
FC
Y j2 .
Yi .
2
Y .. bt
S.C. Bloques
b
i 1
t
FC
S.C. Tratamient os
i 1
b
FC
t
Yij2
S .C. Total
FC
S.C. Error
S.C. Total - S.C. Bloques - S.C.Tratam ientos
i 1 j 1
Donde: FC
Factor de corrección.
Y ..
Suma de todas las observaciones en el experimento.
Yi .
Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo bloque.
Y. j
Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-ésimo tratamiento.
8.7. Regla de decisión La regla de decisión que se utiliza para los tratamientos y los bloques es la siguiente:
Se rechaza H 0 si Fcal
Ftab
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de diseño en bloques completos al azar con el siguiente ejemplo:
Ejemplo 8.1 Se desea probar el efecto de cuatro insecticidas sobre el control de gusano Helithis zea en el cultivo del tomate (Castillo, 2003). El terreno donde se implementó el experimento presentaba un gradiente de fertilidad a tres niveles por lo que se decidió utilizar un diseño en bloques completos al azar para minimizar el efecto negativo de este factor de confusión. Se dividió el terreno en tres bloques de acuerdo a los niveles de fertilidad detectados. La unidad experimental utilizada fue un cuadro de terreno de 10 x 10 metros. La variable respuesta fue la producción de tomate en toneladas por hectárea. Los insecticidas a evaluar
53
fueron: Testigo, Basudin, Class, Dimecrón y Agree. Los resultados obtenidos se muestran en el Cuadro 14:
Cuadro 14. Producción de tomate en toneladas por hectárea con la aplicación de insecticidas BLOQUE I II III Testigo 3.0 4.2 6.3 Basudin 8.0 10.8 9.4 Class 6.0 7.9 10.6 Dimecrón 8.0 12.8 13.3 Agree 6.7 8.3 10.3 Fuente: Castillo (2003). ¿Existe alguna diferencia significativa entre los insecticidas sobre el control de Heliothis zea?. Se desea obtener una respuesta con una confiabilidad del 95%.
Respuesta Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc
de
Open
Office.
Al
abrir
el
documento
nombrado
“DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6), en el que se hace clic en el tipo de diseño que se quiera usar y mediante un hiperenlace nos genera otra hoja donde se deben introducir los datos del experimento. En este caso se hace clic en diseño en bloques completos al azar.
Después de hacer clic en diseño en bloques completos al azar en el Cuadro 6, aparece el Cuadro 15, en donde se introducen los datos del experimento. El Cuadro 15 sólo da la opción de escribir sobre las celdas donde se introducen los datos del experimento, ya que el resto de las mismas se encuentran protegidas contra escritura. En este ejemplo, se tienen cinco tratamientos con tres bloques cada uno. Para este tipo de diseño se puede introducir hasta 15 tratamientos (filas) con 10 bloques (columnas) cada uno.
54
Una vez introducidos los datos, aparecen en la penúltima fila del Cuadro 15, los totales por bloque y en la última fila aparecen las sumas del cuadrado de tratamientos por bloque; en la última columna aparecen los totales por tratamiento, los cuales se necesitan para el análisis de varianza.
A la derecha del Cuadro 15 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja de análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño.
Cuadro 15. Diseño en bloques completos al azar. DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR Bloques Totales por Tratamientos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tratamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3.0 8.0 6.0 10.0 6.7
4.2 10.8 7.9 12.8 8.3
6.3 9.4 10.6 13.3 10.3
13.5 28.2 24.5 36.1 25.3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Ir al análisis
Regresar
Totales por bloque 33.7 44.0 49.9 0 0 0 0 0 0 0 Sumas del cuadrado 253.9 429.4 523.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 de trat. por bloque
Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al análisis, genera el Cuadro 16 donde mediante fórmulas aparecen los valores del número de tratamientos (t), el número de bloques (b), el factor de corrección (FC), así como el análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto a los bloques y a los tratamientos.
55
El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0.05), pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee. Todas las celdas del Cuadro 16, a excepción del valor de alfa, están protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas.
A la derecha del Cuadro 16, aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento.
Para este ejemplo, mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del 95% se rechazan las hipótesis nulas (H0) para los bloques y tratamientos, debido a que Fcal
Blo.
= 17.54 > Ftab
Blo.
= 4.46 y Fcal
Trat.
= 28.78 > Ftab
Trat.
= 3.84,
respectivamente, lo que indica que al menos el efecto de uno de los bloques y uno de los tratamientos es diferente al de los demás, respectivamente.
Cuadro 16. Análisis de varianza para el diseño en bloques completos al azar. ANÁLISIS DE VARIANZA F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab Regresar b= 3 Bloques 2 26.89 13.44 17.54 4.46 t= 5 Tratamientos 4 88.23 22.06 28.78 3.84 Error 8 6.13 0.77 FC = 1085.45 Total 14 121.25 Alfa 0.05 CONCLUSIÓN Fcal Blo > Ftab Blo. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 Fcal Trat > Ftab Trat. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 9. COMPARACIONES MÚLTIPLES DE MEDIAS DE TRATAMIENTOS
Las comparaciones múltiples de medias son útiles para seleccionar él o los tratamientos que sean mejores, según el interés experimental, y se aplican cuando el análisis de varianza declara diferencias significativas. Se denominan pruebas de comparaciones múltiples de medias, porque simultáneamente se comparan varios promedios de los tratamientos. Las pruebas de comparaciones múltiples de
56
medias de uso más común son la Diferencia Mínima Significativa (DMS), Duncan, Tukey, Scheffé y Student-Newman-Keuls (S-N-K).
9.1. Hipótesis a probar
En cualquiera de las pruebas de comparaciones múltiples
de medias
mencionadas, las hipótesis generales a probar son las siguientes: H0 :
i
i´
(El tratamien to i es igual en su efecto al tratamien to i´)
i´
(El tratamien to i tiene un efecto diferente al tratamien to i´)
vs Ha :
i
i 1,2,..., t
i´ 1,2,..., t
i
i´
Las hipótesis de los tratamientos se realizan por pares. Por ejemplo, si se tienen 4 tratamientos entonces se pueden postular t(t-1)/2 pares de hipótesis a probar, es decir se tendrían: t (t 1) 2
(4)(3) 2
6
pares de hipótesis a contrastar, las cuales se muestran a continuación:
I. H 0 :
1
2
vs
Ha :
1
2
II. H 0 :
1
3
vs
Ha :
1
3
III. H 0 :
1
4
vs
Ha :
IV. H 0 :
2
3
vs
Ha :
vs
Ha :
vs
Ha :
V. H 0 : VI. H 0 :
2 3
4 4
1 2 2 3
4 3 4 4
Para ser utilizadas, todas las pruebas de comparaciones múltiples mencionadas requieren de un término conocido como diferencia y cuyo cálculo general se realiza mediante:
57
Dk
Yi
Yj
donde Yi
Media del i - ésimo tratamien to
Yj
Media del i´-ésimo tratamien to
i 1, 2,..., t
i´ 1, 2,..., t
k 1, 2,...,
t(t - 1) 2
i
i´
Siempre se tendrá un número igual de diferencias ( Dk ) y de pares de hipótesis a contrastar, ya que estos dos términos están relacionados de manera amplia. Las Dk se
calculan utilizando las medias de los tratamientos que aparecen en la
hipótesis nula correspondiente. Por ejemplo, para los pares de hipótesis del ejemplo anterior, se tendrán 6 diferencias; la D1 se relaciona con la hipótesis nula en I, la D2 se relaciona con la hipótesis nula en II, la D3 se relaciona con la hipótesis nula en III, etc.
Como la hipótesis nula en I involucra el tratamiento 1 y al tratamiento 2, la D1 involucra también al tratamiento 1 y al tratamiento 2, es decir: D1
Y1 Y2
Como la hipótesis nula en II involucra el tratamiento 1 y al tratamiento 3, la D2 involucra también al tratamiento 1 y al tratamiento 3, es decir: D2
Y1 Y3
Las restantes Dk se calculan mediante el mismo proceso.
9.2. Diferencia Mínima Significativa (DMS)
Es la prueba más sencilla y una de las más empleadas. Es muy común su uso en comparaciones simples de medias; es válida solamente en el caso de una comparación planeada entre dos medias, en un experimento en particular. 58
Esta prueba determina el valor mínimo necesario para considerar diferentes dos tratamientos y lo utiliza para comparar los diferentes pares de medias que se deseen evaluar. Los pares de medias que se comparan son los que han sido planeados antes de ejecutar el experimento. 9.2.1. Ventajas
1. Fácil de realizar 2. Válida cuando se han planeado las comparaciones que se van a hacer previamente a la obtención de los resultados.
9.2.2. Desventajas
1. Puede dar resultados falsamente significativos en un nivel del 0.05 si el experimentador se dedica a hacer comparaciones exclusivamente entre tratamientos de resultados extremos.
2. En el caso de que hubiera que hacer preferentemente comparaciones de resultados extremos, es necesario optar por un nivel de 0.01 en lugar de 0.05, pero si el número de tratamientos es elevado debe reemplazarse la DMS por otra prueba.
3. Debido a este uso incorrecto de la DMS se vacila en su recomendación.
4. El uso incorrecto más común es hacer comparaciones sugeridas por los datos.
Esta prueba presenta dos opciones con base en el número de repeticiones de los tratamientos involucrados en el experimento: igual y diferente número de repeticiones.
59
Igual número de repeticion es
DMS
Diferente número de repeticion es i 1,2,..., t
i´ 1,2,..., t
i
t
(DMS) k i´
2(CME ) r
/ 2 (GLErr )
t
k 1,2,...,
/ 2 (GLErr )
2(CME )( ri
ri´)
ri ri´
t (t 1) 2
donde t
/ 2 (GLErr )
Cuantil t de student con un nivel de significan cia /2 y con los grados de libertad del error. (Ver Tabla I del Apéndice)
CME r
Cuadrado medio del error en el análisis de varianza.
Número de repeticion es.
ri
Número de repeticion es para el i - ésimo tratamien to.
ri´
Número de repeticion es para el i´-ésimo tratamien to.
9.2.3. Regla de decisión
Igual número de repeticion es se rechaza H 0 si D k
DMS
Diferente número de repeticion es se rechaza H 0 si D k
(DMS) k
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de comparaciones múltiples de medias para la prueba de la Diferencia Mínima Significativa (DMS) con el siguiente ejemplo:
Ejemplo 9.1 Para el Ejemplo 6.1 (Montgomery, 2007) de los cinco pesos porcentuales del algodón (diseño completamente al azar), diga cuál de los tratamientos es el más efectivo utilizando la prueba de DMS. Se quiere una confiabilidad del 95%.
Respuesta Se utilizan los totales de tratamiento de los datos originales (Cuadro 5) y la información del análisis de varianza correspondiente (Cuadro 8):
60
Peso porcentual del algodón (tratamientos) 15 20 25 30 35 7 12 14 19 7 7 17 18 25 10 15 12 18 22 11 11 18 19 19 15 9 18 19 23 11 49 77 88 108 54 9.8 15.4 17.6 21.6 10.8
Observaciones 1 2 3 4 5 Total Media
t= r1 =
5 5
r2 = r3 = r4 = r5 = r6 = r7 = r8 = r9 = r10 =
5 5 5 5
FC = Alfa
5655 0.05
α = 0.05
ANÁLISIS DE VARIANZA F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Tratamientos 4 475.76 118.94 14.76 Error 20 161.20 8.06 Total
24
Ftab 2.87
636.96
CONCLUSIÓN Fcal > Ftab. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
r=5
t=5
GLError = 20
CME = 8.06
Como hay 5 tratamientos en el experimento se tienen que obtener 10 diferencias: t (t 1) 2
(5)( 4) 2
D1
Y1 Y2 ,
D7
Y2
10
D2
Y5 , D8
Y1 Y3 ,
Y3 Y4 , D9
D3
Y1 Y4 ,
D4
Y3 Y5 y D10
61
Y1 Y5 ,
Y4 Y5 .
D5
Y2 Y3 ,
D6
Y2 Y4 ,
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc
de
Open
Office.
Al
abrir
el
documento
nombrado
“DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6), en el que se hace clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se debe hacer clic en la prueba deseemos usar.
Después de hacer clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos en el Cuadro 6, genera el Cuadro 17, en donde se hace clic en la prueba que deseemos usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja en la cual se introducen los datos del experimento. En este caso se hace clic en la prueba de la Diferencia Mínima Significativa (DMS).
A la derecha del Cuadro 17 aparece un hiperenlace para regresar hasta el inicio de las hojas de cálculo donde se hizo clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos. Cuadro 17. Pruebas de comparaciones múltiples de medias
PRUEBAS DE COMPARACIONES MÚLTIPLES DE MEDIAS Regresar DIFERENCIA MÍNIMA SIGNIFICATIVA (DMS)
PRUEBA DE TUKEY
PRUEBA DE DUNCAN
PRUEBA DE SCHEFFÉ
PRUEBA DE STUDENT-NEWMAN-KEULS (S-N-K)
62
Después de hacer clic en la prueba de la Diferencia Mínima Significativa (DMS) en el Cuadro 17, genera el Cuadro 18, en donde se introducen el número de tratamientos (t), el número de cada repetición (ri), el valor de alfa, los grados de libertad del error (GLErr), el cuadrado medio del error (CME) y el cuantil de la distribución t de student con el nivel de significancia α/2 y los grados de libertad del error (tα/2(GLErr)) aparecen de forma inmediata. Después se introducen los totales de tratamientos. Las medias de tratamientos y el número de tratamiento ordenado aparecen de forma inmediata.
Para este ejemplo tenemos cinco tratamientos y cinco repeticiones para cada tratamiento. Para esta prueba de comparación múltiple de media se pueden introducir hasta 10 tratamientos.
A la derecha de Cuadro 18, aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.
Cuadro 18. Prueba de la Diferencia Mínima Significativa. DIFERENCIA MÍNIMA SIGNIFICATIVA (DMS) t=
5
r1 = r2 = r3 = r4 = r4 =
5 5 5 5 5
r6 = r7 = r8 = r9 = r10 = Alfa = GLErr = CME =
Trat. Tot. de Trat. Medias de Trat. T1 T2 T3 T4 T5
49.00 77.00 88.00 108.00 54.00
9.80 15.40 17.60 21.60 10.80
T6 T7 T8 T9 T10
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.05 20.00 8.06
tα/2(GLErr) = 2.09
63
Núm. de Trat. ordenado 1 Regresar 2 3 4 5 0 0 0 0 0
Después de introducir los datos del experimento, hay que ordenar las medias de tratamientos de forma ascendente; el ordenamiento se hace incluyendo todas las columnas excepto, la del número de tratamiento ordenado. Este ordenamiento se hace así para que después el cuadro de diferencias de medias se pueda interpretar más fácil.
El ordenamiento de las medias de tratamiento del Cuadro 18, queda como en el Cuadro 19: para este ejemplo se modifica el orden de los últimos cuatro tratamientos originales con respecto a la columna del número de tratamiento ordenado; por lo tanto, el tratamiento ordenado dos corresponde al tratamiento original cinco, el tratamiento ordenado tres corresponde al tratamiento original dos, el tratamiento ordenado cuatro corresponde al tratamiento original tres. El tratamiento ordenado uno coincide con el tratamiento original uno.
Ya que se genera el Cuadro 19, con las medias de tratamientos ordenados en forma ascendente, se puede ver abajo del Cuadro 19, en la misma hoja, el Cuadro 20 con las diferencias de medias (Dk) de los tratamientos ordenados y el ó los valores de la DMS (negrillas). Las celdas del Cuadro 20, encuentran protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificarse.
A la derecha del Cuadro 19, aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.
Cuadro 19. Prueba de la Diferencia Mínima Significativa con las medias de tratamientos ordenados DIFERENCIA MÍNIMA SIGNIFICATIVA (DMS) Medias de Núm. de t= 5 Trat. Tot. de Trat. Trat. Trat. ordenado r1 = 5 T1 49.00 9.80 1 Regresar r5 = 5 T5 54.00 10.80 2 r2 = 5 T2 77.00 15.40 3 r3 = 5 T3 88.00 17.60 4 r4 = 5 T4 108.00 21.60 5
64
r6 = r7 = r8 = r9 = r10 = Alfa = GLErr = CME =
T6 T7 T8 T9 T10 0.05 20.00 8.06
tα/2(GLErr) =
2.09
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0 0 0 0 0
Cuadro 20. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de las DMS Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de las DMS 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 11.8 7.8 5.6 1 0 1 0 0 0 0 0 3.75 3.75 3.75 3.75 0 0 0 0 0 10.8 6.8 4.6 0 2 0 0 0 0 0 3.75 3.75 3.75 0 0 0 0 0 6.2 2.2 0 3 0 0 0 0 0 3.75 3.75 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 3.75 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 9 0 0 10
En el Cuadro 20, se muestran las diferencias de medias (Dk) de los tratamientos ordenados y abajo sus respectivos valores de la DMS, como los tratamientos tienen el mismo número de repeticiones, la DMS es la misma para todas las diferencias de medias, para este ejemplo el valor de la DMS = 3.75. En caso de
65
que se tratara de un diseño con diferentes repeticiones por tratamiento, se tendrán diferentes valores de la DMS. El Cuadro 20 se interpreta de la siguiente manera:
En la columna con el número cinco, el tratamiento ordenado cinco es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno, dos, tres y cuatro, ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de la DMS. En la columna con el número cuatro, el tratamiento ordenado cuatro es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos, ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de la DMS; pero el tratamiento ordenado cuatro y el tratamiento ordenado tres no difieren significativamente, porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de la DMS En la columna con el número tres, el tratamiento ordenado tres es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos, ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de la DMS; En la columna con el número dos, el tratamiento ordenado dos y el tratamiento ordenado uno no difieren significativamente, porque su diferencia de medias (D k) es menor a su respectivo valor de la DMS.
Por lo tanto, el tratamiento ordenado cinco (tratamiento original cuatro) que corresponde al 30% del peso porcentual del algodón es el mejor porque es diferente a los demás tratamientos y tiene su media de tratamiento más alta.
9.3. Prueba de Tukey
Este método es muy similar en la aplicación al de DMS, salvo por el hecho de que en lugar de utilizar las distribuciones de t como base para realizar las comparaciones, se emplea la distribución del rango estandarizado.
66
Esta prueba presenta dos opciones con base en el número de repeticiones de los tratamientos involucrados en el experimento: igual y diferente número de repeticiones.
Igual número de repeticion es
q (v1 , v 2 )
Diferente número de repeticion es i 1, 2,..., t
i´ 1, 2,..., t
i
k
i´
CME r
q (v1 , v 2 ) k 1, 2,...,
CME 1 2 ri
1 ri´
t (t 1) 2
donde q (v1 , v 2 )
Cuantil para la prueba de Tukey con un nivel de significan cia
y con v1 y v 2
los grados de libertad. v1
Número de tratamien tos.
v2
Grados de libertad del error en el análisis de varianza.
CME Cuadrado medio del error en el análisis de varianza r Número de repeticion es. ri
Número de repeticion es para el i - ésimo tratamien to.
ri´
Número de repeticion es para el i´-ésimo tratamien to.
9.3.1. Regla de decisión
Igual número de repeticion es se rechaza H 0 si D k Diferente número de repeticion es se rechaza H 0 si D k
k
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de comparaciones múltiples de medias para la prueba de Tukey con el siguiente ejemplo:
Ejemplo 9.2 Tomando nuevamente los datos del Ejemplo 6.1 (Montgomery, 2007) de los cinco pesos porcentuales del algodón (diseño completamente al azar), diga cuál de los
67
tratamientos es el más efectivo utilizando la prueba de Tukey. Se quiere una confiabilidad del 95%. Respuesta Se utilizan los totales de tratamiento de los datos originales (Cuadro 5) y la información de la tabla de análisis de varianza correspondiente (Cuadro 8):
Observaciones 1 2 3 4 5 Total Media
t= r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = r6 = r7 = r8 = r9 = r10 =
5 5 5 5 5 5
FC = Alfa
5655 0.05
α = 0.05
Peso porcentual del algodón (tratamientos) 15 20 25 30 35 7 12 14 19 7 7 17 18 25 10 15 12 18 22 11 11 18 19 19 15 9 18 19 23 11 49 77 88 108 54 9.8 15.4 17.6 21.6 10.8 ANÁLISIS DE VARIANZA F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Tratamientos 4 475.76 118.94 14.76 Error 20 161.20 8.06 Total 24 636.96
Ftab 2.87
CONCLUSIÓN Fcal > Ftab. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
r=5
v1 = t = 5
v2 = GLError = 20
CME = 8.06
Como hay 5 tratamientos en el experimento se tienen que obtener 10 diferencias:
68
t (t 1) 2
(5)( 4) 2
D1
Y1 Y2 ,
D7
Y2
10 Y1 Y3 ,
D2
Y5 , D8
Y3 Y4 , D9
D3
Y1 Y4 ,
D4
Y3 Y5 y D10
Y1 Y5 ,
D5
Y2 Y3 ,
D6
Y2 Y4 ,
Y4 Y5 .
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc
de
Open
Office.
Al
abrir
el
documento
nombrado
“DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6), en el que se hace clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se debe hacer clic en la prueba deseemos usar.
Después de hacer clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos en el Cuadro 6, genera el Cuadro 17 (mencionado en la sección 9.2), en donde se hace clic en la prueba que deseemos usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja en donde se introducen los datos del experimento. En este caso se hace clic en la prueba de Tukey.
Después de hacer clic en la prueba de Tukey en el Cuadro 17, genera el Cuadro 21, en donde se introducen el número de tratamientos (t = v1), el número de cada repetición (ri), el valor de alfa, los grados de libertad del error (GLErr = v2), el cuadrado medio del error (CME) y el cuantil para la prueba de Tukey con un nivel de significancia α y con v1 y v2 grados de libertad qα(v1, v2). Después se introducen los totales de tratamientos, las medias de tratamientos y el número de tratamiento ordenado aparecen de forma inmediata.
Para este ejemplo tenemos cinco tratamientos y cinco repeticiones para cada tratamiento. Para esta prueba de comparación múltiple de media se puede introducir hasta 10 tratamientos.
69
A la derecha del Cuadro 21 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias. Cuadro 21. Prueba de Tukey. PRUEBA DE TUKEY Trat. Tot. de Trat. Medias de Trat.
Núm. de Trat. ordenado 1 Regresar 2 3 4
t = v1 =
5
r1 = r2 = r3 = r4 =
5 5 5 5
T1 T2 T3 T4
49.00 77.00 88.00 108.00
9.80 15.40 17.60 21.60
r4 = r6 =
5
T5 T6
54.00
10.80 0.00
5 0
0.00 0.00 0.00 0.00
0 0 0 0
r7 = T7 r8 = T8 r9 = T9 r10 = T10 Alfa = 0.05 GLErr = v2 = 20.00 CME = 8.06 qα(v1, v2) =
4.23
Después de introducir los datos del experimento, se tiene que ordenar las medias de tratamientos de forma ascendente; el ordenamiento se hace incluyendo todas las columnas, excepto la del número de tratamiento ordenado. Este ordenamiento se hace así para que después el cuadro de diferencias de medias se pueda interpretar más fácil.
El ordenamiento de las medias de tratamiento del Cuadro 21, queda como en el Cuadro 22: para este ejemplo se modifica el orden de los últimos cuatro tratamientos originales con respecto a la columna del número de tratamiento ordenado; por lo tanto, el tratamiento ordenado dos corresponde al tratamiento original cinco, el tratamiento ordenado tres corresponde al tratamiento original dos, el tratamiento ordenado cuatro corresponde al tratamiento original tres. El tratamiento ordenado uno coincide con el tratamiento original uno.
70
Ya que se genera el Cuadro 22, con las medias de tratamientos ordenadas en forma ascendente se puede ver abajo del Cuadro 22, en la misma hoja, el Cuadro 23 con las diferencias de medias (Dk) de los tratamientos ordenados y el ó los valores de la prueba de Tukey (Γk) (negrillas). Las celdas del Cuadro 23, se encuentran protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificarse.
A la derecha del Cuadro 22 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.
Cuadro 22. Prueba de Tukey con las medias de tratamientos ordenados PRUEBA DE TUKEY Núm. de t = v1 = 5 Trat. Tot. de Trat. Medias de Trat. Trat. ordenado r1 = 5 T1 49.00 9.80 1 Regresar r5 = 5 T5 54.00 10.80 2 r2 = 5 T2 77.00 15.40 3 r3 = 5 T3 88.00 17.60 4 r4 = 5 r6 = r7 = r8 = r9 = r10 = Alfa = 0.05 GLErr = v2 = 20.00 CME = 8.06 qα(v1, v2) =
T4 T6 T7 T8 T9 T10
108.00
21.60 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
5 0 0 0 0 0
4.23
Cuadro 23. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de Γk Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de Γk 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 11.80 7.80 5.60 1.00 0 1 0 0 0 0 0 5.37 5.37 5.37 5.37 0 0 0 0 0 10.80 6.80 4.60 0 2 0 0 0 0 0 5.37 5.37 5.37 3 0 0 0 0 0 6.20 2.20 0
71
4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
5.37 4.00 5.37 0
5.37 0
En el Cuadro 23, se muestran las diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y abajo sus respectivos valores de la prueba de Tukey (Γk), como los tratamientos tienen el mismo número de repeticiones, los valores de la prueba de Tukey (Γk) son los mismos para todas las diferencias de medias, para este ejemplo Γk = 5.37. En caso de que se tratara de un diseño con diferentes repeticiones por tratamiento, se tendrían diferentes valores de la prueba de Tukey (Γk). El Cuadro 23 se interpreta de la siguiente manera:
En la columna con el número cinco, el tratamiento ordenado cinco es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno, dos y tres, ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de Γk; pero el tratamiento ordenado cinco y el tratamiento ordenado cuatro no difieren significativamente, porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de Γk. En la columna con el número cuatro, el tratamiento ordenado cuatro es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos, ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de Γk; pero el tratamiento
72
ordenado cuatro y el tratamiento ordenado tres no difieren significativamente, porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de Γk. En la columna con el número tres, el tratamiento ordenado tres es diferente significativamente al tratamiento ordenados uno, ya que su diferencia de medias (Dk) es mayor a su respectivo valor de Γk; pero el tratamiento ordenado tres y el tratamiento ordenado dos no difieren significativamente, porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de Γk. En la columna con el número dos, el tratamiento ordenado dos y el tratamiento ordenado uno no difieren significativamente, porque su diferencia de medias (D k) es menor a su respectivo valor de Γk. Por lo tanto, el tratamiento ordenado cinco (tratamiento original cuatro) que corresponde al 30% del peso porcentual del algodón es el mejor porque es diferente significativamente a tres tratamientos ordenados (tratamientos uno, dos y tres) y tiene su media de tratamiento más alta.
9.4. Prueba de Duncan
Esta prueba no requiere de una prueba previa de F, o sea que aun sin ser significativa la prueba F puede llevarse a cabo.
Esta prueba presenta dos opciones con base en el número de repeticiones de los tratamientos involucrados en el experimento: igual y diferente número de repeticiones.
73
Igual número de repeticion es
Ck
U (v1 , v 2 )
Diferente número de repeticion es i 1, 2,..., t donde U (v1 , v 2 )
i´ 1, 2,..., t
i
Ck i´
k
CME r
U (v1 , v 2 ) k 1, 2,...,
k
CME 1 2 ri
1 ri´
t (t 1) 2
Cuantil para la prueba de Duncan con un nivel de significan cia
y con
v 1 y v 2 grados de libertad. v1
Distancia acumulada entre las medias de tratamien to involucradas en la D k correspondiente.
v2
Grados de libertad del error en el análisis de varianza.
CME Cuadrado medio del error en el análisis de varianza r Número de repeticion es. ri
Número de repeticion es para el i - ésimo tratamien to.
ri´
Número de repeticion es para el i´-ésimo tratamien to.
Para aplicar la prueba de Duncan primero se ordenan en forma creciente las medias de tratamientos Y(1) , Y(2) ,..., Y(t) , después se prueban las diferencias entre las medias (Dk), empezando con la mayor contra la menor. Si esta diferencia (Dk) es no significativa entonces todas las otras diferencias (Dk) con la media mayor son no significativas. Si la diferencia (Dk) es significativa se calcula de la misma forma anterior, la diferencia (Dk) de la mayor y la segunda menor. Este procedimiento continúa hasta que un par de medias es no significativo o hasta que todas las medias se han comparado con la media mayor. De la misma forma anterior se calculan las diferencias (Dk) para la segunda media mayor. Este proceso se continúa hasta que se han considerado las diferencias (Dk) entre todos los t(t-1)/2 pares de medias posibles más. Para evitar contradicciones, ninguna de las diferencias (Dk) entre un par de medias se considera significativa si las dos medias en cuestión se localizan entre otras dos medias que no difieren significativamente.
74
9.4.1. Regla de decisión
Igual número de repeticion es se rechaza H 0 si D k
Ck
Diferente número de repeticion es se rechaza H 0 si D k
Ck
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de comparaciones múltiples de medias para la prueba de Duncan con el siguiente ejemplo:
Ejemplo 9.3 Tomando nuevamente los datos del Ejemplo 6.1 (Montgomery, 2007) de los cinco pesos porcentuales del algodón (diseño completamente al azar), diga cuál de los tratamientos es el más efectivo utilizando la prueba de Duncan. Se quiere una confiabilidad del 95%.
Respuesta Se utilizan los totales de tratamiento de los datos originales (Cuadro 5) y la información de la tabla de análisis de varianza correspondiente (Cuadro 8):
Observaciones 1 2 3 4 5 Total Media
t= r1 = r2 = r3 =
5 5 5 5
Peso porcentual del algodón (tratamientos) 15 20 25 30 35 7 12 14 19 7 7 17 18 25 10 15 12 18 22 11 11 18 19 19 15 9 18 19 23 11 49 77 88 108 54 9.8 15.4 17.6 21.6 10.8 ANÁLISIS DE VARIANZA F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Tratamientos 4 475.76 118.94 14.76 Error 20 161.20 8.06 Total 24 636.96
75
Ftab 2.87
r4 = r5 = r6 = r7 = r8 = r9 = r10 =
5 5
FC = Alfa
5655 0.05
α = 0.05
CONCLUSIÓN Fcal > Ftab. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
r=5
t=5
v2 = GLError = 20
CME = 8.06
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc
de
Open
Office.
Al
abrir
el
documento
nombrado
“DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6), en el que se hace clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se debe hacer clic en la prueba deseemos usar.
Después de hacer clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos en el Cuadro 5, aparece el Cuadro 17 (mencionado en la sección 9.2), en donde se hace clic en la prueba que deseemos usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja en donde se introducen los datos del experimento. En este caso se hace clic en la prueba de Duncan.
Después de hacer clic en la prueba de Duncan en el Cuadro 17, aparece el Cuadro 24, en donde se introducen el número de tratamientos (t), el número de cada repetición (ri), el valor de alfa, los grados de libertad del error (GLErr = v2), el cuadrado medio del error (CME) y los cuantiles para la prueba de Duncan con un nivel de significancia α y con v1 y v2 grados de libertad Uα(v1, v2); donde v1 es la distancia acumulada entre las medias de tratamiento involucradas en la Dk
76
correspondiente. Después se introducen los totales de tratamientos, las medias de tratamientos y el número de tratamiento ordenado aparecen de forma inmediata.
Para este ejemplo tenemos cinco tratamientos y cinco repeticiones para cada tratamiento. Para esta prueba de comparación múltiple de media se puede introducir hasta 10 tratamientos.
A la derecha del Cuadro 24, aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.
Cuadro 24. Prueba de Duncan PRUEBA DE DUNCAN t=
5
Trat. Tot. de Trat. Medias de Trat.
r1 = r2 = r3 =
5 5 5
T1 T2 T3
49.00 77.00 88.00
9.80 15.40 17.60
r4 = r5 = r6 = r7 = r8 = r9 = r10 = Alfa = GLErr = v2 = CME = Uα(v1, v2) =
5 5
T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
108.00 54.00
21.60 10.80 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.05 20.00 8.06 2.95 3.10 3.18
Núm. de Trat. ordenado 1 Regresar 2 3 4 5 0 0 0 0 0
3.25
Después de introducir los datos del experimento, se tiene que ordenar las medias de tratamientos de forma ascendente; el ordenamiento se hace incluyendo todas las columnas, excepto la del número de tratamiento ordenado. Este ordenamiento se hace así para que después el cuadro de diferencias de medias se pueda interpretar más fácil.
77
El ordenamiento de las medias de tratamiento del Cuadro 24 queda como en el Cuadro 25: para este ejemplo se modifica el orden de los últimos cuatro tratamientos originales con respecto a la columna del número de tratamiento ordenado; por lo tanto, el tratamiento ordenado dos corresponde al tratamiento original cinco, el tratamiento ordenado tres corresponde al tratamiento original dos, el tratamiento ordenado cuatro corresponde al tratamiento original tres. El tratamiento ordenado uno coincide con el tratamiento original uno.
Ya que se tiene el Cuadro 25, con las medias de tratamientos ordenadas en forma ascendente, se puede ver abajo del Cuadro 25, en la misma hoja, el Cuadro 26 con las diferencias de medias (Dk) de los tratamientos ordenados y el ó los valores de la prueba de Duncan (Ck) (negrillas). Las celdas del Cuadro 26, se encuentran protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificarse.
A la derecha del Cuadro 25 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias. Cuadro 25. Prueba de Duncan con las medias de tratamientos ordenados PRUEBA DE DUNCAN Núm. de t= 5 Trat. Tot. de Trat. Medias de Trat. Trat. ordenado r1 = 5 T1 49.00 9.80 1 Regresar r5 = 5 T5 54.00 10.80 2 r2 = 5 T2 77.00 15.40 3 r3 = 5 T3 88.00 17.60 4 r4 = 5 T4 108.00 21.60 5 r6 = r7 = r8 = r9 = r10 = Alfa = GLErr = v2 = CME = Uα(v1, v2) =
T6 T7 T8 T9 T10 0.05 20.00 8.06 2.95 3.10 3.18
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
3.25
78
0 0 0 0 0
Cuadro 26. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de Ck Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de Ck 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 11.8 7.8 5.6 1 0 1 0 0 0 0 0 4.13 4.04 3.94 3.75 0 0 0 0 0 10.8 6.8 4.6 0 2 0 0 0 0 0 4.04 3.94 3.75 0 0 0 0 0 6.2 2.2 0 3 0 0 0 0 0 3.94 3.75 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 3.75 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 9 0 0 10
En el Cuadro 26, se muestran las diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y abajo sus respectivos valores de la prueba de Duncan (Ck). El Cuadro 26 se interpreta de la siguiente manera:
En la columna con el número cinco, el tratamiento ordenado cinco es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno, dos, tres y cuatro, ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de Ck. En la columna con el número cuatro, podemos ver que el tratamiento ordenado cuatro es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos, ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de Ck; pero el tratamiento ordenado cuatro y el tratamiento ordenado tres no difieren
79
significativamente, porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de Ck. En la columna con el número tres, el tratamiento ordenado tres es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos, ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de Ck. En la columna con el número dos, el tratamiento ordenado dos y el tratamiento ordenado uno no difieren significativamente, porque su diferencia de medias (D k) es menor a su respectivo valor de Ck. Por lo tanto, el tratamiento ordenado cinco (tratamiento original cuatro) que corresponde al 30% del peso porcentual del algodón es el mejor porque es diferente significativamente a todos los demás tratamientos y tiene su media de tratamiento más alta.
9.5. Prueba de Scheffé
En algunas situaciones no es fácil conocer las comparaciones que se deben realizar o es posible realizar más de t-1 comparaciones. En los experimentos exploratorios las comparaciones de interés se descubren sólo después de examinar los resultados. El método de Scheffé para probar cualquier contraste es muy general en el sentido de que todas las posibles comparaciones pueden probarse en cuanto a significancia.
Esta prueba presenta dos opciones con base en el número de repeticiones de los tratamientos involucrados en el experimento: igual y diferente número de repeticiones.
80
2(t 1) F (v1 , v 2 ) (CME ) r
Igual número de repeticion es Diferente número de repeticion es i 1, 2,..., t
i´ 1, 2,..., t
i
k
i´
(t 1) F (v1 , v 2 ) (CME )( ri (ri )( ri´ ) k 1, 2,...,
ri´ )
t (t 1) 2
donde F (v1 , v 2 )
Cuantil para la distribución F con un nivel de significan cia
y con
v 1 y v 2 grados de libertad. (Ver Tabla II del Apéndice) v1
t -1
v2
Grados de libertad del error en el análisis de varianza.
CME r
Cuadrado medio del error en el análisis de varianza
Número de repeticion es.
ri
Número de repeticion es para el i - ésimo tratamien to.
ri´
Número de repeticion es para el i´-ésimo tratamien to.
9.5.1 Regla de decisión Igual número de repeticion es se rechaza H 0 si D k Diferente número de repeticion es se rechaza H 0 si D k
k
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de comparaciones múltiples de medias para la prueba de Scheffé con el siguiente ejemplo:
Ejemplo 9.4 Tomando nuevamente los datos del Ejemplo 6.1 (Montgomery, 2007) de los cinco pesos porcentuales del algodón (diseño completamente al azar), diga cuál de los tratamientos es el más efectivo utilizando la prueba de Scheffé. Se quiere una confiabilidad del 95%.
81
Respuesta Se utilizan los totales de tratamiento de los datos originales (Cuadro 5) y la información de la tabla de análisis de varianza correspondiente (Cuadro 8):
Observaciones 1 2 3 4 5 Total Media
t= R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = R7 = R8 = R9 = R10 =
5 5 5 5 5 5
FC = Alfa
5655 0.05
α = 0.05
Peso porcentual del algodón (tratamientos) 15 20 25 30 35 7 12 14 19 7 7 17 18 25 10 15 12 18 22 11 11 18 19 19 15 9 18 19 23 11 49 77 88 108 54 9.8 15.4 17.6 21.6 10.8 ANÁLISIS DE VARIANZA F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Tratamientos 4 475.76 118.94 14.76 Error 20 161.20 8.06 Total 24 636.96
Ftab 2.87
CONCLUSIÓN Fcal > Ftab. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
r=5
v1 = t-1 = 4
v2 = GLError = 20
CME = 8.06
Como hay 5 tratamientos en el experimento se tienen que obtener 10 diferencias: t (t 1) 2
(5)( 4) 2
10
82
D1
Y1 Y2 ,
D7
Y2
Y1 Y3 ,
D2
Y5 , D8
Y3 Y4 , D9
D3
Y1 Y4 ,
D4
Y3 Y5 y D10
Y1 Y5 ,
D5
Y2 Y3 ,
D6
Y2 Y4 ,
Y4 Y5 .
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc
de
Open
Office.
Al
abrir
el
documento
nombrado
“DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6), en el que se hace clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se tiene que hacer clic en la prueba deseemos usar.
Después de hacer clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos en el Cuadro 6, aparece el Cuadro 17 (mencionado en la sección 9.2), en donde se tiene que hacer clic en la prueba que deseemos usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja en donde se introducen los datos del experimento. En este caso se hace clic en la prueba de Scheffé.
Después de hacer clic en la prueba de Scheffé en el Cuadro 17, aparece el Cuadro 27, en donde se introducen el número de tratamientos (t), el número de cada repetición (ri), el valor de alfa, los grados de libertad del error (GLErr = v2), el cuadrado medio del error (CME) y el cuantil para la distribución F con un nivel de significancia α y con v1 y v2 grados de libertad Fα(v1, v2); donde v1 = t-1 aparece de forma inmediata. Después se introducen los totales de tratamientos, las medias de tratamientos y el número de tratamiento ordenado aparece de forma inmediata.
Para este ejemplo tenemos cinco tratamientos y cinco repeticiones para cada tratamiento. Para esta prueba de comparación múltiple de media se puede introducir hasta 10 tratamientos.
A la derecha del Cuadro 27 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.
83
Cuadro 27. Prueba de Scheffé PRUEBA DE SCHEFFÉ t=
5
r1 = r2 = r3 = r4 = r4 = r6 =
5 5 5 5 5
Trat. Tot. de Trat. Medias de Trat. T1 T2 T3 T4 T5 T6
49.00 77.00 88.00 108.00 54.00
9.80 15.40 17.60 21.60 10.80 0.00
r7 = T7 r8 = T8 r9 = T9 r10 = T10 Alfa = 0.05 GLErr = v2 = 20.00 CME = 8.06 Fα(v1, v2) =
0.00 0.00 0.00 0.00
Núm. de Trat. ordenado 1 Regresar 2 3 4 5 0 0 0 0 0
2.71
Después de introducir los datos del experimento, se tiene que de ordenar las medias de tratamientos de forma ascendente; el ordenamiento se hace incluyendo todas las columnas, excepto la del número de tratamiento ordenado. Este ordenamiento se hace así para que después el cuadro de diferencias de medias se pueda interpretar más fácil.
El ordenamiento de las medias de tratamiento del Cuadro 27 queda de la siguiente manera en el Cuadro 28: para este ejemplo se modifica el orden de los últimos cuatro tratamientos originales con respecto a la columna del número de tratamiento ordenado; por lo tanto, el tratamiento ordenado dos corresponde al tratamiento original cinco, el tratamiento ordenado tres corresponde al tratamiento original dos, el tratamiento ordenado cuatro corresponde al tratamiento original tres. El tratamiento ordenado uno coincide con el tratamiento original uno.
Ya que se tiene el Cuadro 28, con las medias de tratamientos ordenadas en forma ascendente se puede ver abajo del Cuadro 28, en la misma hoja, el Cuadro 29 con 84
las diferencias de medias (Dk) de los tratamientos ordenados y el ó los valores de la prueba de Scheffe (ξk) (negrillas). Las celdas del Cuadro 29, se encuentran protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificarse.
A la derecha del Cuadro 28 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.
Cuadro 28. Prueba de Scheffé con las medias de tratamientos ordenados PRUEBA DE SCHEFFÉ Núm. de t= 5 Trat. Tot. de Trat. Medias de Trat. Trat. ordenado r1 = 5 T1 49.00 9.80 1 Regresar r5 = 5 T5 54.00 10.80 2 r2 = 5 T2 77.00 15.40 3 r3 = 5 T3 88.00 17.60 4 r4 = 5 T4 108.00 21.60 5 r6 = T6 0.00 0 r7 = T7 0.00 0 r8 = r9 = r10 = Alfa = GLErr = v2 = CME = Fα(v1, v2) =
T8 T9 T10
0.00 0.00 0.00
0 0 0
0.05 20.00 8.06 2.71
Cuadro 29. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de ξK Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de ξK 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 11.8 7.8 5.6 1 0 1 0 0 0 0 0 6.08 6.08 6.08 6.08 0 0 0 0 0 10.8 6.8 4.6 0 2 0 0 0 0 0 6.08 6.08 6.08 0 0 0 0 0 6.2 2.2 0 3 0 0 0 0 0 6.08 6.08 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 6.08
85
5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0
0
En el Cuadro 29, se muestran las diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y abajo sus respectivos valores de la prueba de Scheffe (ξk), como los tratamientos tienen el mismo número de repeticiones, los valores de la prueba de Scheffe (ξk) son los mismos para todas las diferencias de medias, que para este ejemplo ξk = 6.08. En caso de que se tratara de un diseño con diferentes repeticiones por tratamiento, se tendrían diferentes valores de la prueba de Scheffe (ξk). El Cuadro 29 se interpreta de la siguiente manera: En la columna con el número cinco, el tratamiento ordenado cinco es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno, dos y tres, ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de ξk; pero el tratamiento ordenado cinco y el tratamiento ordenado cuatro no difieren significativamente, porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de ξk. En la columna con el número cuatro, el tratamiento ordenado cuatro es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos, ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de ξk; pero el tratamiento ordenado cuatro y el tratamiento ordenado tres no difieren significativamente, porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de ξk.
86
En la columna con el número tres, el tratamiento ordenado tres no es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos, ya que sus diferencias de medias (Dk) no son mayores a su respectivo valor de ξk. En la columna con el número dos, el tratamiento ordenado dos y el tratamiento ordenado uno no difieren significativamente, porque su diferencia de medias (Dk) es menor a su respectivo valor de ξk. Por lo tanto, el tratamiento ordenado cinco (tratamiento original cuatro) que corresponde al 30% del peso porcentual del algodón es el mejor porque es diferente significativamente a tres tratamientos ordenados (tratamientos uno, dos y tres) y tiene su media de tratamiento más alta.
9.6. Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K)
Cada una de las tres personas mencionadas contribuyó al desarrollo de esta prueba. También llamada prueba de Newman-Keuls, o simplemente método de Keuls. Esta prueba es una modificación de la prueba Tukey.
Esta prueba presenta dos opciones con base en el número de repeticiones de los tratamientos involucrados en el experimento: igual y diferente número de repeticiones.
Igual número de repeticion es
(S
N
Diferente número de repeticion es
K )k
(S - N - K)k
q (v1 , v2 ) k
q (v1 , v2 ) k
t (t 1) 2 Número de repeticion es para el i´-ésimo tratamien to.
i 1, 2,..., t
i´ 1, 2,..., t
i
i´
87
CME r
k 1, 2,...,
CME 1 2 ri v1
1 ri´
2, 3, ..., t
donde q (v1 , v2 ) Cuantil para la prueba de S - N - K con un nivel de significan cia
y con
v1 y v 2 grados de libertad. v2
Grados de libertad del error en el análisis de varianza.
CME
Cuadrado medio del error en el análisis de varianza
r
Número de repeticion es.
ri
Número de repeticion es para el i - ésimo tratamien to.
ri´ Para aplicar la prueba de S-N-K, al igual que en la prueba de Duncan, primero se ordenan en forma creciente las medias de tratamientos Y(1) , Y(2) ,..., Y(t) , después se prueban las diferencias entre las medias (Dk), empezando con la mayor contra la menor. Si esta diferencia (Dk) es no significativa entonces todas las otras diferencias (Dk) con la media mayor son no significativas. Si la diferencia (Dk) es significativa se calcula de la misma forma anterior, la diferencia (Dk) de la mayor y la segunda menor. Este procedimiento continúa hasta que un par de medias es no significativo o hasta que todas las medias se han comparado con la media mayor. De la misma forma anterior se calculan las diferencias (D k) para la segunda media mayor. Este proceso se continúa hasta que se han considerado las diferencias (Dk) entre todos los t(t-1)/2 pares de medias posibles más. 9.6.1. Regla de decisión
Igual número de repeticion es se rechaza H 0 si D k
(S
Diferente número de repeticion es se rechaza H 0 si D k
N (S
K)k N
K)k
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de comparaciones múltiples de medias para la prueba de S-N-K con el siguiente ejemplo:
88
Ejemplo 9.5 Tomando nuevamente los datos del Ejemplo 6.3 (Montgomery, 2007) de los cinco pesos porcentuales del algodón (diseño completamente al azar), diga cuál de los tratamientos es el más efectivo utilizando la prueba de S-N-K. Se quiere una confiabilidad del 95%.
Respuesta Se utilizan los totales de tratamiento de los datos originales (Cuadro 5) y la información de la tabla de análisis de varianza correspondiente (Cuadro 8):
Observaciones 1 2 3 4 5 Total Media
t= r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = r6 = r7 = r8 = r9 = r10 =
5 5 5 5 5 5
FC = Alfa
5655 0.05
Peso porcentual del algodón (tratamientos) 15 20 25 30 35 7 12 14 19 7 7 17 18 25 10 15 12 18 22 11 11 18 19 19 15 9 18 19 23 11 49 77 88 108 54 9.8 15.4 17.6 21.6 10.8 ANÁLISIS DE VARIANZA F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Tratamientos 4 475.76 118.94 14.76 Error 20 161.20 8.06 Total 24 636.96
Ftab 2.87
CONCLUSIÓN Fcal > Ftab. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
89
α = 0.05
r=5
t=5
v1 = 2, 3,…, t
v2 = GLError = 20
CME = 8.06
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc
de
Open
Office.
Al
abrir
el
documento
nombrado
“DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6), en el que se hace clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se tiene que hacer clic en la prueba deseemos usar.
Después de hacer clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos en el Cuadro 6, aparece el Cuadro 17 (mencionado en la sección 9.2), en donde se tiene que hacer clic en la prueba que deseemos usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja en donde debemos de introducir los datos del experimento. En este caso se hace clic en la prueba de S-N-K.
Después de hacer clic en la prueba de S-N-K en el Cuadro 17, aparece el Cuadro 30, en donde se introducen el número de tratamientos (t), el número de cada repetición (ri), el valor de alfa, los grados de libertad del error (GLErr = v2), el cuadrado medio del error (CME) y los cuantiles para la prueba de S-N-K con un nivel de significancia α y con v1 y v2 grados de libertad qα(v1, v2); donde v1 = 2, 3, …, t. Después se introducen los totales de tratamientos, las medias de tratamientos y el número de tratamiento ordenado aparecen de forma inmediata.
Para este ejemplo tenemos cinco tratamientos y cinco repeticiones para cada tratamiento. Para esta prueba de comparación múltiple de media se puede introducir hasta 10 tratamientos.
A la derecha del Cuadro 30 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.
90
Cuadro 30. Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K) PRUEBA DE STUDENT-NEWMAN-KEULS (S-N-K) Núm. de t= 5 Trat. Tot. de Trat. Medias de Trat. Trat. ordenado r1 = 5 T1 49.00 9.80 1 Regresar r2 = 5 T2 77.00 15.40 2 r3 = 5 T3 88.00 17.60 3 r4 = 5 T4 108.00 21.60 4 r5 = 5 T5 54.00 10.80 5 r6 = 5 T6 0.00 6 r7 = r8 = r9 = r10 = Alfa = GLErr = v2 = CME = qα(v1, v2) =
T7 T8 T9 T10 0.05 20.00 8.06 2.95 3.58 3.96
0.00 0.00 0.00 0.00
0 0 0 0
4.23
Después de introducir los datos del experimento, se tiene que ordenar las medias de tratamientos de forma ascendente; el ordenamiento se hace incluyendo todas las columnas, excepto la del número de tratamiento ordenado. Este ordenamiento se hace así para que después el cuadro de diferencias de medias se pueda interpretar más fácil.
El ordenamiento de las medias de tratamiento del Cuadro 30 queda como en el Cuadro 31: para este ejemplo, se modifica el orden de los últimos cuatro tratamientos originales con respecto a la columna del número de tratamiento ordenado; por lo tanto, el tratamiento ordenado dos corresponde al tratamiento original cinco, el tratamiento ordenado tres corresponde al tratamiento original dos, el tratamiento ordenado cuatro corresponde al tratamiento original tres. El tratamiento ordenado uno coincide con el tratamiento original uno.
Ya que se tiene el Cuadro 31, con las medias de tratamientos ordenadas en forma ascendente se puede ver abajo del Cuadro 31, en la misma hoja, el Cuadro 32 con 91
las diferencias de medias (Dk) de los tratamientos ordenados y el ó los valores de la prueba de Student-Newman-Keuls ((S-N-K)K) (negrillas). Las celdas del Cuadro 32 se encuentran protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificarse.
A la derecha del Cuadro 31 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.
Cuadro 31. Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K) con las medias de tratamientos ordenados PRUEBA DE STUDENT-NEWMAN-KEULS (S-N-K) Núm. de t= 5 Trat. Tot. de Trat. Medias de Trat. Trat. ordenado r1 = 5 T1 49.00 9.80 1 Regresar r5 = 5 T5 54.00 10.80 2 r2 = 5 T2 77.00 15.40 3 r3 = 5 T3 88.00 17.60 4 r4 = 5 T4 108.00 21.60 5 r6 = 5 T6 0.00 6 r7 = r8 = r9 = r10 = Alfa = GLErr = v2 = CME = qα(v1, v2) =
T7 T8 T9 T10 0.05 20.00 8.06 2.95 3.58 3.96
0.00 0.00 0.00 0.00
0 0 0 0
4.23
Cuadro 32. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de (S-N-K)K Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de (S-N-K)K 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 11.8 7.8 5.6 1 0 1 0 0 0 0 0 5.37 5.03 4.55 3.75 0 0 0 0 0 10.8 6.8 4.6 0 2 0 0 0 0 0 5.03 4.55 3.75 0 0 0 0 0 6.2 2.2 0 3 0 0 0 0 0 4.55 3.75 4 0 0 0 0 0 4 0 92
5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
3.75 0
En el Cuadro 32, se muestran las diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y abajo sus respectivos valores de la prueba de Student-NewmanKeuls ((S-N-K)K). El Cuadro 32 se interpreta de la siguiente manera: En la columna con el número cinco, el tratamiento ordenado cinco es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno, dos, tres y cuatro, ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de (S-N-K)K. En la columna con el número cuatro, el tratamiento ordenado cuatro es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos, ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de (S-N-K)K; pero el tratamiento ordenado cuatro y el tratamiento ordenado tres no difieren significativamente, porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de (S-N-K)K. En la columna con el número tres, el tratamiento ordenado tres es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos, ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de (S-N-K)K. En la columna con el número dos, el tratamiento ordenado dos y el tratamiento ordenado uno no difieren significativamente, porque su diferencia de medias (D k) es menor a su respectivo valor de (S-N-K)K. 93
Por lo tanto, el tratamiento ordenado cinco (tratamiento original cuatro) que corresponde al 30% del peso porcentual del algodón es el mejor porque es diferente significativamente a todos los demás tratamientos y tiene su media de tratamiento más alta.
10. DISEÑO EN CUADRO LATINO
10.1. Características Este tipo de diseño se utiliza cuando la variabilidad del material experimental ocurre en dos sentidos, es decir, se presentan simultáneamente dos posibles fuentes de variabilidad. Se construye al distribuir los tratamientos en un arreglo de hileras y columnas. Las hileras presentan el efecto de una de las fuentes de variabilidad y las columnas el efecto de la otra fuente de variabilidad. Se tiene igual número de columnas y de hileras. Cada hilera o columna constituye una repetición completa de los tratamientos, es decir un bloque completo. El número de hileras o columnas es igual al número de tratamientos. Un tratamiento cualquiera aparece representado sólo una vez en la misma hilera y en la misma columna. El número total de unidades experimentales a utilizar es t2. La disposición de las hileras o columnas se realiza mediante un mecanismo aleatorio. Cuando el número de tratamientos a probar es grande se vuelve poco práctico la utilización de este diseño.
La principal desventaja del cuadrado latino es que el número de filas, columnas y tratamientos debe ser el mismo. Así, si hay muchos tratamientos, el número de parcelas pronto se hace impracticable. En los cuadrados latinos, como en los bloques al azar, a medida que aumenta el tamaño del bloque, el error experimental por unidad probablemente aumente. Los cuadros latinos pequeños proporcionan pocos grados de libertad para estimar el error experimental, y así debe lograrse una disminución sustancial en el error para compensar el corto número de grados de libertad.
94
10.2. Modelo Lineal
El modelo lineal para los diseños en cuadro latino es el siguiente:
Yijk
Hi
Cj
(ij ) k
eijk
donde i 1, 2,..., t;
j 1, 2,..., t;
k 1, 2,..., t;
2 0 ; E( eijk )
E( eijk )
2
Número de tratamientos.
t
Respuesta obtenida en la j-ésima tratamiento del i-ésimo bloque.
Yijk
Efecto medio general. Hi
Cj (ij) k
eijk
Efecto de la i-ésima hilera. Efecto de la j-ésima columna. Efecto de la k-ésimo tratamiento (siendo una función de i y de j) Término de error aleatorio.
10.3. Construcción de un cuadro latino básico
Para formar un cuadro latino básico se deben tomar en cuenta el número de tratamientos en el experimento. Así, el número de columnas y de hileras será igual al número de tratamientos.
Construiremos el siguiente cuadro latino básico de 4 x 4 (4 tratamientos, 4 hileras y 4 columnas) (ver Cuadro 33). Cuadro 33. Cuadro latino básico 1
2
3
4
1
T1
T2
T3
T4
2
T2
T3
T4
T1
3
T3
T4
T1
T2
4
T4
T1
T2
T3
95
Observe que en el Cuadro 33 la hilera 1 del cuadro latino se forma al disponer los tratamientos en orden de aparición, la hilera 2 se forma al recorrer los tratamientos de la hilera 1 una posición hacia la izquierda, la hilera 3 se forma al recorrer los tratamientos de la hilera 2 una posición hacia la izquierda y la hilera 4 se forma al recorrer los tratamientos de la hilera 3 una posición hacia la izquierda.
El mecanismo anterior es aplicable a un cuadro latino básico de cualquier dimensión y asegura que los tratamientos en el experimento aparecerán una sola vez en cada hilera y una sola vez en cada columna del cuadro latino básico.
10.4. Hipótesis a probar
Las hipótesis a probar en este tipo de diseños experimentales son sobre las hileras, sobre las columnas y sobre los tratamientos, y son las siguientes: 1. H 0 : H1
H2
...
Ht
vs H a : Al menos una H i (hilera) produce un efecto diferente de las demás.
2. H 0 : C1
C2
...
Ct
vs H a : Al menos una C j (columna) produce un efecto diferente de las demás.
3. H 0 : T1
T2
... Tt
vs H a : Al menos un Tk (tratamien to) produce un efecto diferente de las demás. 10.5. Análisis de varianza
El análisis de varianza para el diseño en cuadro latino está dado por el Cuadro 34:
96
Cuadro 34. Estructura del análisis de varianza para un diseño en cuadro latino Grados Fuente de Suma de Cuadrado F calculada de Variación Cuadrados Medio ( Fcal ) Libertad (F.V.) (S.C.) (C.M.) (G.L.) Hileras
t-1
S.C. Hileras
Columnas
t-1
S.C. Columnas
Tratamientos
t-1
S.C. Tratamientos
Error
(t 1)(t 2)
S.C. Error
Total
(t 2 1
S.C. Total
S.C. Hileras G.L. Hileas S.C. Columnas G.L. Columnas S.C. Tratamient os G.L. Tratamient os S.C. Error G.L. Error
C.M . Hileras C.M . Error C.M . Columnas C.M . Error C.M . Tratamient os C.M . Error
F de tablas ( Ftab )
F (v1, v2 )
F (v 3 , v 2 ) F (v 4 , v 2 )
Donde:
F (v1 , v 2 )
Ftab Hil
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v 3 , v 2 )
Ftab Col
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v 4 , v 2 )
Ftab Trat
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
v1
Grados de libertad de las hileras.
v2
Grados de libertad del error.
v3
Grados de libertad de las columnas.
v4
Grados de libertad de los tratamien tos. t
t 2
FC
Y. 2j.
Yi..2
Y ... t2
S.C. Hileras
i 1
FC
t
S.C. Columnas
j 1
t
Y..2k S.C. Tratamient os
S.C. Error
k 1
t
t
FC
t
t
Y(2ij ) k
S .C. Total
FC
i 1 j 1 k 1
S.C. Total - S.C. Hileras - S.C. columnas - S.C.Tratam ientos
Donde: FC
Factor de corrección.
Y ...
Suma de todas las observaciones en el experimento.
Yi ..
Suma de todas las observaciones que pertenecen a la i-ésima hilera.
Y . j. Suma de todas las observaciones que pertenecen a la j-ésima columna.
97
t
FC
Y..k
Suma de todas las observaciones que pertenecen al k-ésimo tratamiento.
10.6. Regla de decisión
La regla de decisión que se utiliza para las hileras, columnas y tratamientos es la siguiente:
Se rechaza H 0 si Fcal
Ftab
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de diseño en cuadro latino con el siguiente ejemplo:
Ejemplo 10.1 Se tiene un experimento en donde un bacteriólogo estudia el efecto del oxígeno sobre el desarrollo de la bacteria Bacillus popilliiae que ejerce un control sobre el escarabajo japonés Popillia japonica produciéndole la enfermedad lechosa de las larvas (Castillo, 2003).
El bacteriólogo desea saber en cuál de las condiciones de oxigenación se da el mejor desarrollo de la bacteria con el fin de reproducirla en forma masiva y liberarla en el campo. El medio donde se reproducirá la bacteria es BK, el cual proviene de cuatro lotes diferentes y es preparado por cuatro diferentes ayudantes de laboratorio. Al parecer hay dos factores de confusión cuyos efectos se deben cancelar: los lotes de BK y los ayudantes de laboratorio, los cuales pueden influir de manera negativa sobre los resultados del experimento. Por esta razón se decidió emplear un diseño en cuadro latino para este experimento.
Las condiciones de oxigenación que se probaron fueron: Supraeróbica (T1), Anaeróbica (T2), Aeróbica (T3) y Semianaeróbica (T4). La unidad experimental consistió en un conjunto de 5 cajas de petri con BK. La variable respuesta fue la
98
concentración bacteriana promedio por unidad experimental. La concentración bacteriana se midió como: n° de células / ml (según la escala de Mc Farland 1 x 109).
A partir de un cuadro latino básico de cuatro tratamientos se aleatorizaron las hileras para asignar los tratamientos a las unidades experimentales. Las hileras representan los efectos de los lotes de BK y las columnas los efectos de los ayudantes de laboratorio. La disposición final de los tratamientos para los lotes de BK y los ayudantes de laboratorio se muestra en el Cuadro 35: Cuadro 35. Cuadro latino aleatorizado (en base a las hileras). Ayudantes de laboratorio
Lotes de BK
1
2
3
4
I
T4
T1
T2
T3
II
T2
T3
T4
T1
III
T3
T4
T1
T2
IV
T1
T2
T3
T4
Se obtuvieron los siguientes valores de concentración bacteriana que se muestran en el Cuadro 36:
Cuadro 36. Concentración bacteriana (n° de células / ml (según la escala de Mc Farland 1 x 109)). Ayudantes de laboratorio
Lotes de BK
1
I
T4 2.0
T1
1.2
T2
1.5
T3
2.2
II
T2 1.4
T3
1.9
T4
1.6
T1
0.9
III
T3 2.0
T4
1.5
T1
1.1
T2
1.7
IV
T1 1.3
T2 1.7
T3
2.4
T4
1.7
2
3
Fuente: Castillo (2003).
99
4
¿Existe diferencias entre las cuatro condiciones de oxigenación en el desarrollo de Bacillus popilliae?. Se desea una respuesta con una confiabilidad del 95%
Respuesta Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc
de
Open
Office.
Al
abrir
el
documento
nombrado
“DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6), en el que se hace clic en el tipo de diseño que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se deben introducir los datos del experimento. En este caso se hace clic en diseño en cuadro latino.
Después de hacer clic en diseño en cuadro latino en el Cuadro 6, aparece el Cuadro 37, en donde se introducen los datos del experimento. El Cuadro 37 sólo da la opción de escribir sobre las celdas donde se deben de introducir los datos del experimento, ya que el resto de la tabla se encuentra protegida contra escritura. En este ejemplo, se tiene cuatro tratamientos, por lo que el cuadro latino tendrá 4 hileras y 4 columnas. Para este tipo de diseño se puede introducir hasta 10 tratamientos.
Una vez introducidos los datos, aparecen en la última columna del Cuadro 37, los totales por hilera; en la antepenúltima fila se debe de introducir los totales por tratamiento de forma manual, ya que para éstos no se puede introducir una formula porque están en forma aleatoria; en la penúltima fila aparecen los totales por columna y en la última fila aparecen las sumas del cuadrado de observaciones por columna, los cuales se necesitan para el análisis de varianza.
A la derecha del Cuadro 37 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja de análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño.
100
Cuadro 37. Diseño en cuadro latino DISEÑO EN CUADRO LATINO Columnas Hileras 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tot. por trat. Tot. por col. Sumas del cuadrado de obs. por col.
2.0 1.4 2.0 1.3
1.2 1.9 1.5 1.7
1.5 1.6 1.1 2.4
Totales por 9 10
2.2 0.9 1.7 1.7
Ir al análisis
Hilera 6.9 5.8 6.3 7.1
Regresar
4.5 6.3 8.5 6.8 6.7 6.3 6.6 6.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 11.7 10.2 11.8 11.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al análisis, genera el Cuadro 38 donde mediante fórmulas aparecen el número de tratamientos (t), el número de columnas (c), el número de hileras (h), el factor de corrección (FC), así como el análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto a las hileras, columnas y tratamientos. El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0.05), pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee. Todas las celdas del Cuadro 38, a excepción del valor de alfa, están protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas.
A la derecha del Cuadro 38, aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento.
Para este ejemplo, mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del 95% no se rechazan las hipótesis nulas (H0) de las hileras y de las columnas, debido a que Fcal
Hil
= 3.3 ≤ Ftab
Hil
= 4.76 y Fcal 101
Col
= 0.28 ≤ Ftab
Col
= 4.76,
respectivamente, lo que indica que el efecto de las hileras es igual y el efecto de las columnas es igual, respectivamente; mientras que la hipótesis nula (H0) para los tratamientos se rechaza, debido que Fcal
Trat
= 25.6 > Ftab
Trat
= 4.76, lo que
indica que al menos el efecto de un tratamiento es diferente de los demás
Cuadro 38. Análisis de varianza para el diseño en cuadro latino. ANÁLISIS DE VARIANZA F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab t= 4 Hileras 3 0.262 0.09 3.30 4.76 c= 4 Columnas 3 0.022 0.01 0.28 4.76 h= 4 Tratamientos 3 2.032 0.68 25.6 4.76 Error 6 0.159 0.03 FC = 42.58 Total 15 2.47 Alfa 0.05 CONCLUSIÓN Fcal Hil ≤ Ftab Hil. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05 Fcal Col ≤ Ftab Col. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05 Fcal Trat > Ftab Trat. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
Regresar
11. DISEÑO FACTORIAL
El diseño factorial se emplea en la planeación, ejecución y análisis de experimentos que pretendan evaluar el efecto producido por dos o más factores que actúan simultáneamente en un experimento. Un factor es una clase de tratamiento, y en diseños factoriales, todo factor proporciona varios tratamientos. El término nivel se refiere a los diferentes tratamientos dentro de un factor.
11.1. Características
Los diseños factoriales se usan prácticamente en todos los campos de investigación. Son de gran valor en trabajo exploratorio cuando se sabe poco sobre niveles óptimos de los factores, o ni siquiera cuales son importantes.
Este tipo de diseño se utiliza cuando se desea conocer los efectos producidos por dos o más factores controlados que actúan simultáneamente en un experimento. 102
Cada uno de los factores que intervienen en el experimento se estudia a diferentes niveles. Los tratamientos se forman por la combinación de todos los niveles de los diferentes factores que intervienen en el experimento. El número total de tratamientos a evaluar se origina por la multiplicación del número de niveles de los diferentes factores que intervienen en el experimento. El modelo lineal y en análisis de varianza se modifica dependiendo del número de factores que intervienen en el experimento. Es común nombrar a los factores presentes en el experimento con las primeras letras mayúsculas del abecedario (A, B, C, etc.). Es común nombrar a los niveles de los factores presentes en el experimento con las primeras letras minúsculas y con subíndices que dependen del número de niveles de cada factor (a0, a1, a2, a3, b0, b1, c0, c1, c2, etc.). En estos experimentos se toman en cuenta los efectos de todas las posibles interacciones entre los diferentes factores que intervienen.
11.2. Nomenclatura
Para denominar los diferentes tipos de diseños factoriales se utiliza la siguiente nomenclatura base: nk: Factorial con k factores a n niveles (la base representa a los niveles y la potencia representa a los factores).
11.3. Tipos de diseños factoriales
En un diseño factorial los tratamientos se forman por la combinación de todos los niveles de los diferentes factores que intervienen en el experimento. Es posible realizar la disposición de los tratamientos bajo los esquemas de los diseños experimentales completamente al azar, en bloques completos al azar o en un cuadro latino. Por lo tanto, se puede tener un diseño factorial completamente al azar, un diseño factorial en bloques completos al azar o un diseño factorial en cuadro latino. En este capítulo no se trabaja con diseños factoriales en cuadro latino, ya que no son muy prácticos.
103
11.4. Modelo lineal
Anteriormente se mencionó que en los experimentos factoriales no existe un modelo lineal único, el modelo lineal está en función del número de factores que intervienen en el experimento.
Si en un experimento se prueban dos factores bajo un arreglo completamente al azar se tiene entonces el modelo lineal de la siguiente forma:
Yijk
Ai
Bj
( AB ) ij
eijk
donde i
0, 1,..., a;
j 0, 1,..., b;
k
a
Número de niveles del factor A.
b
Número de niveles del factor B.
r
Yijk
0, 1,..., r;
E( eijk )
2 0 ; E( eijk )
2
Número de repeticiones. Respuesta obtenida en la k-ésima repetición del i-ésimo nivel del factor A y el j-ésimo nivel del factor B. Efecto medio general.
Ai
Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A.
Bj
Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B.
( AB)ij
Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el jésimo nivel del factor B.
eijk
Término de error aleatorio.
Si en un experimento se prueban tres factores bajo un arreglo completamente al azar se tiene entonces el modelo lineal de la siguiente forma:
104
Yijkl
Ai
Bj
Ck
( AB) ij
( AC ) ik
( BC ) jk
( ABC ) ijk
eijkl
donde i
0, 1,..., a;
j 0, 1,..., b;
k
0, 1,..., c;
l 1, 2,..., r;
E( eijk )
0 ; E( e 2 )
2
ijk
a
Número de niveles del factor A.
b
Número de niveles del factor B.
c
Número de niveles del factor C.
r
Número de repeticiones. Respuesta obtenida en la l-ésima repetición del i-ésimo nivel del factor A, el
Yijkl
j-ésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C. Efecto medio general. Ai
Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A.
Bj
Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B.
Ck
Efecto atribuido al k-ésimo nivel del factor C.
( AB)ij
Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el jésimo nivel del factor B.
( AC)ik
Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el késimo nivel del factor C.
( BC) jk
Efecto atribuido a la interacción entre el j-ésimo nivel del factor B y el késimo nivel del factor C.
( ABC)ijk
Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A, el jésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C.
eijk
Término de error aleatorio.
Note que en ambos modelos lineales se toman en cuenta los efectos de las interacciones entre los diferentes factores. Para el caso de dos factores sólo se toma en cuenta la interacción doble (AB) entre factores. Para el caso de tres factores se toman en cuenta todas las interacciones dobles (AB, AC, BC) y la interacción triple (ABC) entre factores. Si se tuvieran cuatro factores (A, B, C, D),
105
bajo un arreglo completamente al azar, se tomarán en cuenta las interacciones dobles (AB, AC, AD, BC, BD, CD), las interacciones triples (ABC, ABD, ACD, BCD) y la interacción cuádruple (ABCD) entre factores. Para distribuir los diferentes subíndices en el modelo lineal sólo sería necesario recorrer el subíndice l al factor D, asignar el subíndice m (el subíndice m representará a las repeticiones) al término del error aleatorio y colocar los subíndices para las diferentes interacciones, dependiendo de los factores involucrados en la interacción correspondiente. Para experimentos factoriales con más factores, en un arreglo completamente al azar, se procede a obtener el modelo lineal bajo el esquema anterior.
Para el caso de dos factores en un arreglo de bloques completos al azar el modelo lineal es muy semejante al de un arreglo completamente al azar, solamente se introduce el término que representa el efecto de los bloques (Blo), el cual tiene el subíndice k (asignado a las repeticiones), ya que un bloque es equivalente a una repetición del experimento. El modelo lineal correspondiente es:
Yijk
Blo k
Ai
Bj
( AB ) ij
eijk
donde i
0, 1,..., a;
j 0, 1,..., b;
k 1, 2,..., r;
a
Número de niveles del factor A.
b
Número de niveles del factor B.
r
E( eijk )
2 0 ; E( eijk )
2
Número de bloques (repeticiones). Respuesta obtenida en el i-ésimo nivel del factor A y el j-ésimo nivel del factor
Yijk
B, ubicados en el k-ésimo bloque. Efecto medio general. Blok
Efecto atribuido al k-ésimo bloque.
Ai
Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A.
Bj
Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B.
106
Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el j-
( AB)ij
ésimo nivel del factor B. Término de error aleatorio.
eijk
Para el caso de tres factores en un arreglo de bloques completos al azar el modelo lineal es muy semejante al del arreglo completamente al azar, solamente se introduce el término que representa el efecto de los bloques (Blo), el cual tiene el subíndice l (asignado a las repeticiones), ya que un bloque es equivalente a una repetición del experimento. El modelo lineal correspondiente es el siguiente:
Yijkl
Blol
Ai
Bj
Ck
( AB ) ij
( AC ) ik
( BC ) jk
( ABC ) ijk
eijkl
donde i
0, 1,..., a;
j 0, 1,..., b;
k
0, 1,..., c;
a
Número de niveles del factor A.
b
Número de niveles del factor B.
c
Número de niveles del factor C.
l 1, 2,..., r;
E( eijk )
2 0 ; E( eijk )
2
Número de bloques (repeticiones).
r
Respuesta obtenida en el i-ésimo nivel del factor A, el j-ésimo nivel del factor
Yijkl
B y el k-ésimo nivel del factor C, ubicados en el l-ésimo bloque. Efecto medio general. Efecto atribuido al l-ésimo bloque.
Blol Ai
Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A.
Bj
Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B.
Ck
Efecto atribuido al k-ésimo nivel del factor C.
( AB)ij
Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el jésimo nivel del factor B.
( AC)ik
Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el késimo nivel del factor C.
107
Efecto atribuido a la interacción entre el j-ésimo nivel del factor B y el k-
( BC) jk
ésimo nivel del factor C. ( ABC)ijk
Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A, el jésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C.
eijk
Término de error aleatorio.
11.5. Análisis de varianza
La tabla de análisis de varianza tiene una estructura diferente, dependiendo del número de factores en el experimento. Para poder determinar la estructura de la tabla de análisis de varianza es necesario tomar en cuenta el modelo lineal del experimento que se lleva a cabo.
Tomando en cuenta el siguiente modelo lineal:
Yijk
Ai
Bj
( AB) ij
eijk
Las fuentes de variación del análisis de varianza son: F.V A B AB Error Total
Tomando en cuenta el siguiente modelo lineal:
Yijkl
Blol
Ai
Bj
Ck
( AB) ij
( AC) ik
( BC) jk
Las fuentes de variación del análisis de varianza son: F.V Bloques
108
( ABC) ijk
eijkl
A B AB C AC BC ABC Error Total
En los dos casos anteriores, las fuentes de variación corresponden a los términos del lado derecho del modelo lineal (a excepción de
) agregando el término que
representa al Total. Conociendo el modelo lineal del experimento a desarrollar se deducen, mediante el mecanismo anterior, las fuentes de variación de la tabla del análisis de varianza correspondiente. El cálculo de los grados de libertad y de las sumas de cuadrados también varía dependiendo del experimento factorial desarrollado.
11.6. Diseño factorial 2k
El tipo de diseño más importante de los diseños factoriales es el de k factores, cada uno con sólo dos niveles. Una réplica completa de este diseño requiere 2 x 2 x … x 2 = 2k observaciones y se le llama diseño factorial 2k. El diseño factorial 2k es de particular utilidad en las etapas iniciales del trabajo experimental, cuando probablemente se estén investigando muchos factores. El primer diseño de la serie 2k es el que sólo tiene dos factores, por ejemplo, A y B; cada uno se corre a dos niveles. A este diseño se le llama diseño factorial 2 2. Los niveles de los factores pueden denominarse arbitrariamente “bajo” y “alto”. Por
109
convención, el efecto de un factor se denota con la letra mayúscula latina. Por lo tanto, “A” se refiere al efecto del factor A, “B” al efecto del factor B, y “AB” a la interacción AB. Los niveles bajo y alto de A y B se denotan por “-” y “+” respectivamente o por “0” y “1”. Las cuatro combinaciones de tratamientos para un diseño factorial 2 2 suelen representarse con letras minúsculas, o sea, que el nivel alto de cualquiera de los factores en una combinación de tratamientos se denota por la letra minúscula correspondiente y el nivel bajo de un factor en una combinación de tratamientos se denota por la ausencia de la letra respectiva. Por lo tanto, a representa la combinación de tratamientos con A en el nivel alto y B en el nivel bajo, b representa A en el nivel bajo y B en el nivel alto, ab representan ambos factores en el nivel alto. Por convención, se usa (1) para denotar que ambos factores están en el nivel bajo. En el Cuadro 39 se muestran las diferentes notaciones mencionadas anteriormente para el diseño 2 2. Esta notación se utiliza en todas las series 2k. Cuadro 39. Notaciones para el diseño factorial 22. Corrida A B Tratamiento A 1 (1) 0 2 + A 1 3 + B 0 4 + + ab 1
B 0 0 1 1
Para el análisis de experimentos factoriales 2k utilizaremos el algoritmo de Yates. Yates describe este método para los diseños factoriales 2 k, que consiste en un proceso de sumas y restas como se muestra en el siguiente cuadro para el caso de un diseño factorial 22. Cuadro 40. Método de Yates para el análisis de experimentos factoriales 2 2. Total de Tratamientos 1 2 Efecto (1) +(1)+a +(1)+a+b+ab Total A +b+ab -(1)+a-b+ab A B -(1)+a -(1)-a+b+ab B Ab -b+ab +(1)-a-b+ab AB Fuente: Martínez (1983).
110
Para la característica en estudio se escriben verticalmente los totales de tratamientos, con las letras minúsculas mencionadas anteriormente. Con estos totales se forman dos grupos, componiéndose cada grupo, de dos totales consecutivos. El primer grupo contiene los totales correspondientes a los tratamientos (1) y a; el segundo grupo comprende los totales correspondientes a los tratamientos b y ab. Para generar la columna 1, procediendo por grupos se suman los totales de los dos tratamientos que los componen. Las dos sumas obtenidas constituyen los dos primeros elementos de la propia columna, los cuales se colocan ordenadamente; así por ejemplo, el primer elemento de la columna 1 es la suma de los totales de los tratamientos (1) y a. Los dos elementos restantes de la columna 1 se obtienen por diferencia, restando en cada grupo el total del tratamiento de arriba del de abajo; así por ejemplo, el tercer elemento de la columna 1 será a –(1), diferencia que se ha escrito –(1) +a para conservar el orden estándar de presentar las combinaciones de tratamiento. La columna 2 del cuadro se obtiene de la 1 por un proceso similar al descrito.
Los elementos de la columna 2 son, sucesivamente, el gran total y los efectos totales de A, B Y AB. El algoritmo de yates se puede generalizar para todas las series 2k.
Para pasar de aquí a las estimaciones de las sumas de cuadrados se usa la siguiente fórmula:
SC ( ABC ...)
ABC ... 1
ABC ...
2 0
ABC ...
r 2n
2 0
ABC ... 12
G2
r 2n
1
r 2n
donde G es el gran total
En el caso general, el método se termina de aplicar después de n pasos.
Los métodos de análisis que se han presentado hasta este punto pueden generalizarse para el caso de un diseño factorial 2 k, es decir, un diseño con k factores que tienen dos niveles cada uno. El modelo estadístico par un modelo 2 k
111
incluiría k efectos principales,
k 2
interacciones de dos factores,
k 3
interacciones
de tres factores,…, y una interacción de k factores. Es decir, para un diseño 2k el modelo completo contendría 2k-1 efectos. También se usa aquí la notación introducida anteriormente para las combinaciones de los tratamientos. Por ejemplo, en un diseño 25, abd denota la combinación de tratamientos con los factores A, B y D en el nivel alto y los factores C y E en el nivel bajo. Las combinaciones de tratamientos pueden escribirse en orden estándar introduciendo los factores uno a la vez y combinando sucesivamente cada nuevo factor con los que proceden. Por ejemplo, el orden estándar en un diseño 24 es (1), a, b, ab, c, ac, bc, abc, d, ad, bd, abd, cd, acd, bcd y abcd.
Ejemplo 11.1 Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de diseño factorial 2k con el siguiente ejemplo:
Consideremos parte de los resultados de un experimento cañero de dosis de fertilizantes, (Martínez, 1983) el cual comprendió los 8 tratamientos de un factorial 23, en un diseño en bloques completos al azar. Se obtienen los rendimientos de caña de la plantilla, en toneladas por hectárea en el Cuadro 41: cada uno de los nutrientes mayores: nitrógeno, fósforo y potasio, se ensayó en dos niveles, 0 y 200 kilogramos por hectárea. Cuadro 41. Experimento factorial 23. Rendimientos de Caña en Toneladas por Hectárea. Fertilizantes Bloque Tratamiento Suma N P K I II III IV 1 0 0 0 125.6 98.2 110.6 130.1 464.5= T000 2 200 0 0 112.1 101.5 147.4 135.9 496.9= T100 3 0 200 0 150.8 154.8 175.0 185.0 665.6= T010 4 200 200 0 167.1 185.0 174.4 151.5 678.0= T110 5 0 0 200 121.0 100.6 134.8 134.4 490.8= T001 6 200 0 200 149.2 131.1 118.3 161.3 559.9= T101 7 0 200 200 181.1 174.3 137.0 161.5 653.9= T011 8 200 200 200 145.1 201.0 188.8 201.5 736.4= T111 112
1152.0 = B1
Suma
1146.5 1186.3 1261.2 = B2 = B3 = B4
4764.0 = G
Fuente: Martínez (1983).
¿Existe diferencia entre las combinaciones de nitrógeno, fósforo y potasio? Responda al cuestionamiento anterior con una confiabilidad del 95%.
Respuesta Se tienen tres factores nitrógeno (N), fósforo (P) y potasio (K); para seguir con la notación usual nombraremos a los tres factores anteriores como A, B y C respectivamente; cada uno de los factores anteriores tiene dos niveles (0 y 1). Los tratamientos a probar son:
0 Kg.
0 Kg.
0 Kg.
(a0b0c0)
(1)
200 Kg.
0 Kg.
0 Kg.
(a1b0c0)
(a)
0 Kg.
200 Kg.
0 Kg.
(a0b1c0)
(b)
200 Kg.
200 Kg.
0 Kg.
(a1b1c0)
(ab)
0 Kg.
0 Kg.
200 Kg.
(a0b0c1)
(c)
200 Kg.
0 Kg.
200 Kg.
(a1b0c1)
(ac)
0 Kg.
200 Kg.
200 Kg.
(a0b1c1)
(bc)
200 Kg.
200 Kg.
200 Kg.
(a1b1c1)
(abc)
El modelo lineal correspondiente al factorial en bloques completos al azar es: Yijkl
Blol
Ai
Bj
Ck
( AB ) ij
( AC ) ik
( BC ) jk
( ABC ) ijk
eijkl
donde i
0, 1,..., a;
j 0, 1,..., b;
k
0, 1,..., c;
a
Número de niveles del factor A.
b
Número de niveles del factor B.
c
Número de niveles del factor C.
r
Número de bloques (repeticiones).
113
l 1, 2,..., r;
E( eijk )
2 0 ; E( eijk )
2
Respuesta obtenida en el i-ésimo nivel del factor A, el j-ésimo nivel del factor
Yijkl
B y el k-ésimo nivel del factor C, ubicados en el l-ésimo bloque. Efecto medio general. Efecto atribuido al l-ésimo bloque.
Blol Ai
Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A.
Bj
Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B.
Ck
Efecto atribuido al k-ésimo nivel del factor C.
( AB)ij
Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el jésimo nivel del factor B.
( AC)ik
Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el késimo nivel del factor C.
( BC) jk
Efecto atribuido a la interacción entre el j-ésimo nivel del factor B y el késimo nivel del factor C. Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A, el j-
( ABC)ijk
ésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C. eijk
Término de error aleatorio.
Las hipótesis a probar son: 1. H 0 : a0
a1 vs
H a : a0
a1
2. H 0 : b0
b1 vs
H a : b0
b 1 bi
3. H 0 : Todas las interacciones a i b j tienen el mismo efecto
vs H a : Al menos una interacción ai b j produce un efecto diferente de los demás
4. H 0 : c0
c1 vs
H a : c0
c1
114
5. H 0 : Todas las interaccio nes a i c k tienen el mismo efecto
vs H a : Al menos una interacció n a i c k produce un efecto diferente de los demás
6. H 0 : Todas las interacciones b j ck tienen el mismo efecto
vs H a : Al menos una interacció n b j c k produce un efecto diferente de los demás
7. H 0 : Todas las interaccio nes a i b j c k tienen el mismo efecto
vs H a : Al menos una interacción ai b j c k produce un efecto diferente de los demás
El análisis de varianza correspondiente es el Cuadro 42: Cuadro 42. Estructura del análisis de varianza para el diseño factorial 23 en bloques completos al azar. Fuente F de Grados de Suma de Cuadrado F calculada de tablas Libertad Cuadrados Medio ( Fcal ) Variación ( Ftab ) (G.L.) (S.C.) (C.M.) (F.V.) Bloques
r-1
S.C. Bloques
A
a-1
S.C. A
B
b-1
S.C. B
AB
(a-1)(b-1)
S.C. AB
C
c-1
S.C. C
AC
(a-1)(c-1)
S.C. AC
BC
(b-1)(c-1)
S.C. BC
ABC
(a-1)(b-1)(c-1)
S.C. ABC
115
S.C. Bloques G.L. Bloques
C.M . Bloques C.M . Error
S.C. A G.L. A S.C. B G.L. B S.C. AB G.L. AB S.C. C G.L. C S.C. AC G.L. AC S.C. BC G.L. BC S.C. ABC G.L. ABC
C.M . A C.M . Error C .M . B C .M . Error C.M . BC C.M . Error C .M . C C .M . Error C.M . AC C.M . Error C.M . AB C.M . Error C.M . ABC C.M . Error
F (v1, v2 ) F (v 3 , v 2 )
F (v 4 , v 2 ) F (v 5 , v 2 )
F (v 6 , v 2 ) F (v 7 , v 2 ) F (v 8 , v 2 ) F (v 9 , v 2 )
Error
(abc-1)(r-1)
S.C. Error
Total
abcr-1
S.C. Total
S.C. Error G.L. Error
Donde: F (v1 , v 2 )
Ftab Bloques
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v 3 , v 2 )
Ftab A
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v 4 , v 2 )
Ftab B
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v 5 , v 2 )
Ftab AB
F (v 6 , v 2 )
Ftab C
F (v 7 , v 2 )
Ftab AC
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v 8 , v 2 )
Ftab BC
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v 9 , v 2 )
Ftab ABC
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
v1
Grados de libertad de los bloques.
v2
Grados de libertad del error.
v3
Grados de libertad del factor A.
v4
Grados de libertad del factor B.
v5
Grados de libertad del interacció n AB.
v6
Grados de libertad de la interacció n C.
v7
Grados de libertad de la interacció n AC.
v8
Grados de libertad de la interacció n BC.
v9
Grados de libertad de la interacció n ABC.
La regla de decisión que se utiliza para cualquier factor o interacción es la siguiente:
Se rechaza H 0 si Fcal
Ftab
Para resolver el ejemplo anterior haremos uso de las hojas de cálculo hechas en Calc
de
Open
Office.
Al
abrir
el
documento
nombrado
“DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6), en el que se hace hacer clic en el tipo de diseño que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se debe
116
escoger el tipo de diseño experimental que se va a usar. En este caso se hace clic en diseños factoriales.
Después de hacer clic en diseños factoriales en el Cuadro 6, aparece el Cuadro 43, con hiperenlaces para diferentes tipos de diseños factoriales más comunes en donde se debe seleccionar el tipo de diseño factorial que se va a emplear, ya sea completamente al azar o en bloques completos al azar y genera un formato para ese tipo de diseño para introducir los datos del experimento. Para este ejemplo, se selecciona en diseños factoriales en bloques completos al azar, el diseño factorial 2k.
A la derecha del Cuadro 43 aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño experimental.
Cuadro 43. Tipos de diseños factoriales más comunes TIPOS DE DISEÑOS FACTORIALES MÁS COMUNES DISEÑOS FACTORIALES EN COMPLETAMENTE AL AZAR Diseño factorial 2^k Diseño factorial 3^k Diseño factorial 3^k x 2^l
DISEÑOS FACTORIALES EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR Diseño factorial 2^k Diseño factorial 3^k Diseño factorial 3^k x 2^l
117
Regresar
Después de seleccionar el tipo de diseño factorial 2k, en diseños factoriales en bloques completos al azar en el Cuadro 43, aparece el Cuadro 44, en donde se introducen los datos del ejercicio. El Cuadro 44 sólo da la opción de escribir sobre las celdas donde se deben de introducir los datos del experimento, ya que el resto de las celdas se encuentran protegidas contra escritura. Para este tipo de diseño se puede introducir un máximo de cinco factores y cinco bloques. Para este ejemplo se tienen tres factores con dos niveles cada uno y cuatro boques.
Una vez introducidos los datos, aparecen en las últimas columnas del Cuadro 44, los totales de tratamiento, las sumas del cuadrado de observaciones por tratamiento, el efecto y los totales de efectos. En la última fila aparecen el total por bloques y el total de las sumas del cuadrado de observaciones por tratamiento.
A la derecha del Cuadro 44 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja de análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño factorial. Cuadro 44. Diseño factorial 2k en bloques completos al azar. DISEÑO FACTORIAL 2k EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR Sumas del Totales Bloques Totales de cuadrado de Tratamientos Efecto de obs. por I II III IV V Tratamiento efectos Trat. Gran (1) 125.6 98.2 110.6 130.1 464.5 54577.0 4746 total A 112.1 101.5 147.4 135.9 496.9 63064.2 A 196.4 B Ab C Ac Bc Abc Total
150.8 154.8 175.0 185.0
665.6
111553.7
B
167.1 185.0 174.4 151.5 121.0 100.6 134.8 134.4 149.2 131.1 118.3 161.3 181.1 174.3 137.0 161.5 145.1 201.0 188.8 201.5 1152.0 1146.5 1186.3 1261.2 0.0
678.0 490.8 559.9 653.9 736.4
115515.0 60995.8 79460.4 108029.0 137702.7 730897.7
AB C AC BC ABC
118
721.8
Ir al análisis
-6.6 136.0 106.8 Regresar -42.6 33.4
Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al análisis, en el Cuadro 44, genera al Cuadro 45 donde aparecen el factor A (a), el factor B (b), el factor C (c), el factor D (d) y el factor E (e) con sus respectivos números de niveles; el número de bloques (r), y el factor de corrección (FC), así como el análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto sus factores y a sus interacciones. El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0.05), pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee. Todas las celdas del Cuadro 45, a excepción del valor de alfa, están protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas.
A la derecha del Cuadro 45 aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento.
Para este ejemplo, mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del 95% sólo se rechaza las hipótesis nula (H0) del factor B, lo que indica que existen diferencias entre los niveles de ese factor; mientras que las hipótesis nulas (H 0) para el factor A, el factor C, las interacciones AB, AC, BC y ABC no se rechazan, lo que indica que no existen diferencias entre los niveles de esos factores y de esas interacciones. Cuadro 45. Análisis de varianza para el diseño factorial 23 en bloques completos al azar. ANÁLISIS DE VARIANZA F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab Bloques 3 1046.30 348.77 0.98 3.07 a= 2 A 1 1205.41 1205.41 3.40 4.32 b= 2 B 1 16281.10 16281.10 45.92 4.32 c= 2 AB 1 1.36 1.36 0.004 4.32 Regresar d= 0 C 1 578.00 578.00 1.63 4.32 e= 0 AC 1 356.44 356.44 1.01 4.32 r= 4 BC 1 56.71 56.71 0.16 4.32 ABC 1 34.86 34.86 0.10 4.32 FC = 703891.13 Alfa 0.05 Error 21 7446.43 354.59
119
Total
31
27006.62
CONCLUSIÓN Fcal A ≤ Ftab A. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05 Fcal B > Ftab B. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 Fcal AB ≤ Ftab AB. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05 Fcal C ≤ Ftab C. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05 Fcal AC ≤ Ftab A. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05 Fcal BC ≤ Ftab BC. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05 Fcal ABC ≤ Ftab ABC. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05 11.7. Diseño factorial 3k El diseño factorial 3k es un arreglo factorial de k factores que tienen tres niveles cada uno. Se usan letras mayúsculas para denotar los factores y las interacciones. Se hace referencia a los tres niveles de los factores como bajo, intermedio y alto. Hay varias notaciones diferentes que se usan para representar estos niveles de los factores; una posibilidad es representar los niveles de los factores con los dígitos 0 (bajo), 1 (intermedio) y 2 (alto). Cada combinación de tratamientos del diseño 3k se denota por k dígitos, donde el primer dígito denota el nivel del factor A, el segundo digito indica el nivel del factor B,…, y el dígito k-ésimo indica el nivel del factor k. Por ejemplo, en un diseño 3 2, 00 denota la combinación de tratamientos correspondientes a A y B ambos en el nivel bajo, y 01 denota la combinación de tratamientos correspondiente a A en el nivel bajo y B en el nivel intermedio. El diseño más simple del sistema 3k es el diseño 32, el cual tiene dos factores, cada uno con tres niveles. Las combinaciones de tratamientos de este diseño son 32 = 9, hay 32-1 = 8 grados de libertad entre estas combinaciones de tratamientos y se pueden definir 32-1/3-1 = 4 grupos ortogonales con dos grados de libertad cada uno, que en términos de los efectos factoriales, tales grupos son:
A: efecto principal de A B: efecto principal de B
120
AB: primera componente de la interacción AB AB2: segunda componente de la interacción AB Por lo tanto, AB AB AB 2 Las componentes AB y AB2 de la interacción AB no tienen significado real y por lo general no se incluyen en el análisis de varianza. Por lo tanto, los efectos principales de A y B tienen dos grados de libertad cada uno, y la interacción AB tiene cuatro grados de libertad.
Suponga ahora que hay tres factores (A, B y C) bajo estudio y que cada factor tiene tres niveles dispuestos en un experimento factorial. Se trata de un diseño factorial 33, y la notación de las combinaciones de tratamientos se mencionaron anteriormente en el diseño factorial 32. Las 27 combinaciones de tratamientos tienen 26 grados de libertad y se pueden definir 3 3-1/3-1 = 13 grupos ortogonales con dos grados de libertad cada uno, que en términos de los efectos factoriales, tales grupos son:
A: efecto principal de A. B: efecto principal de B. AB: primera componente de la interacción AB. AB2: segunda componente de la interacción AB. C: efecto principal de C. AC: primera componente de la interacción AC. AC2: segunda componente de la interacción AC. BC: primera componente de la interacción BC. BC2: segunda componente de la interacción BC. ABC: primera componente de la interacción ABC. ABC2: segunda componente de la interacción ABC. AB2C: tercera componente de la interacción ABC. AB2C2: cuarta componente de la interacción ABC. Por lo tanto,
121
AB
AB AB 2
AC
AC AC 2
BC
BC BC 2
ABC
ABC ABC 2 AB 2C AB 2C 2
Como en el diseño 32, estos componentes no tienen significación física. Por lo tanto, los efectos principales de A, B y C tienen dos grados de libertad cada uno; las interacciones AB, AC, BC tienen cuatro grados de libertad y la interacción ABC tiene 8 grados de libertad. Los conceptos utilizados en los diseños 32 y 33 pueden extenderse de inmediato al caso de k factores, cada uno con tres niveles, es decir, a un diseño factorial 3k. Se emplea la notación digital usual para las combinaciones de tratamientos, por lo que 0120 representa una combinación de tratamientos en un diseño 3 4 con A y D en los niveles bajos, B en el nivel intermedio y C en el nivel alto. Hay 3k combinaciones de tratamientos, con 3k-1 grados de libertad entre ellos y se pueden definir 3k-1/3-1 grupos ortogonales con dos grados de libertad cada uno. Estas combinaciones de tratamientos permiten determinar las sumas de cuadrados de k efectos principales, cada uno con dos grados de libertad;
k 2
interacciones de dos factores, cada una con cuatro grados de libertad;…; y una interacción de k factores, con 2k grados de libertad. En general, una interacción de h factores tiene 2h grados de libertad.
Ejemplo 11.2 Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de diseño factorial 3k con el siguiente ejemplo:
Se usa una máquina para llenar contenedores metálicos de cinco galones con jarabe para una bebida gaseosa (Montgomery, 2007). La variable de interés es la cantidad de jarabe perdida debido al espumeo. Se piensa que tres factores 122
influyen en el espumeo: el diseño de la boquilla (A), la velocidad del llenado (B) y la presión de operación (C). Se seleccionaron tres boquillas, tres velocidades de llenado y tres presiones, y se corren dos réplicas de un experimento factorial 3 3. En el Cuadro 46 se muestran los datos codificados.
Cuadro 46. Datos de la pérdida de jarabe (las unidades son centímetros cúbicos70) Tipo de boquilla (A) 1 2 3 Velocidad (en rpm) (B) Presión (en psi) 100 120 140 100 120 140 100 120 140 (C) -35 -45 -40 17 -65 20 -39 -55 15 10 -25 -60 15 24 -58 4 -35 -67 -30 110 -10 80 55 -55 110 90 -28 110 15 75 30 54 120 -44 44 113 -26 135 4 -40 31 -23 -64 -20 -30 -61 54 20 5 -30 36 -5 -62 -31 -55 -52 4 Fuente: Montgomery (2007).
¿Existen diferencias entre las combinaciones del tipo de boquilla (A), la velocidad del llenado (B) y la presión de operación (C)?. Responda a la pregunta anterior con una confiabilidad del 95%.
Respuesta: Se tienen tres factores: el diseño de la boquilla (A), la velocidad del llenado (B) y la presión de operación (C), bajo un experimento factorial 3 3 completamente al azar. Cada uno de los factores A, B y C con tres niveles: 1 (0), 2 (1) y 3 (2); 100 rpm (0), 120 rpm (1) y 140 rpm (2) y 10 psi (0), 15 psi (1) y 20 psi (2), respectivamente. Los tratamientos a probar son:
A
B
C
Tratamiento
1
100 rpm
10 psi
(000)
2
100 rpm
10psi
(100)
3
100 rpm
10 psi
(200)
123
1
120 rpm
10 psi
(010)
2
120 rpm
10psi
(110)
3
120 rpm
10 psi
(210)
1
140 rpm
10 psi
(020)
2
140 rpm
10psi
(120)
3
140 rpm
10 psi
(220)
1
100 rpm
15 psi
(001)
2
100 rpm
15psi
(101)
3
100 rpm
15 psi
(201)
1
120 rpm
15 psi
(011)
2
120 rpm
15psi
(111)
3
120 rpm
15 psi
(211)
1
140 rpm
15 psi
(021)
2
140 rpm
15psi
(121)
3
140 rpm
15 psi
(221)
1
100 rpm
20 psi
(002)
2
100 rpm
20psi
(102)
3
100 rpm
20 psi
(202)
1
120 rpm
20 psi
(012)
2
120 rpm
20psi
(112)
3
120 rpm
20 psi
(212)
1
140 rpm
20 psi
(022)
2
140 rpm
20psi
(122)
3
140 rpm
20 psi
(222)
El modelo lineal correspondiente al factorial completamente al azar es: Yijkl
Ai
Bj
Ck
( AB) ij
( AC ) ik
( BC ) jk
( ABC ) ijk
eijkl
donde i
0, 1,..., a;
j 0, 1,..., b;
k
0, 1,..., c;
l 1, 2,..., r;
E( eijk )
0 ; E( e 2 ) ijk
a
Número de niveles del factor A.
b
Número de niveles del factor B.
124
2
Número de niveles del factor C.
c
Número de repeticiones.
r
Respuesta obtenida en la l-ésima repetición del i-ésimo nivel del factor A, el
Yijkl
j-ésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C. Efecto medio general. Ai
Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A.
Bj
Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B.
Ck
Efecto atribuido al k-ésimo nivel del factor C.
( AB)ij
Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el jésimo nivel del factor B.
( AC)ik
Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el késimo nivel del factor C.
( BC) jk
Efecto atribuido a la interacción entre el j-ésimo nivel del factor B y el késimo nivel del factor C. Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A, el j-
( ABC)ijk
ésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C. eijk
Término de error aleatorio.
Las hipótesis a probar son: 1. H 0 : a 0
a1
a 2 vs
2. H 0 : b0
b1
b2
vs
H a : a0
a1
H a : b0
a2
b1
b2
3. H 0 : Todas las interacciones a i b j tienen el mismo efecto
vs H a : Al menos una interacció n ai b j produce un efecto diferente de los demás
4. H 0 : c0
c1
c2
vs
H a : c0
c1
c2
125
5. H 0 : Todas las interaccio nes a i c k tienen el mismo efecto
vs H a : Al menos una interacció n a i c k produce un efecto diferente de los demás
6. H 0 : Todas las interacciones b j ck tienen el mismo efecto
vs H a : Al menos una interacció n b j c k produce un efecto diferente de los demás
7. H 0 : Todas las interacciones a i b j ck tienen el mismo efecto
vs H a : Al menos una interacció n ai b j ck produce un efecto diferente de los demás El análisis de varianza correspondiente está dado por el Cuadro 47: Cuadro 47. Estructura del análisis de varianza para el diseño factorial 3 3 completamente al azar. Fuente F F de Grados de Suma de Cuadrado de calculada tablas Libertad Cuadrados Medio Variación ( Fcal ) ( Ftab ) (G.L.) (S.C.) (C.M.) (F.V.) A
a-1
S.C. A
B
b-1
S.C. B
AB
(a-1)(b-1)
S.C. AB
C
c-1
S.C. C
AC
(a-1)(c-1)
S.C. AC
BC
(b-1)(c-1)
S.C. BC
ABC
(a-1)(b-1)(c-1)
S.C. ABC
Error
(abc-1)(r-1)
S.C. Error
126
S.C. A G.L. A S.C. B G.L. B S.C. AB G.L. AB S.C. C G.L. C S.C. AC G.L. AC S.C. BC G.L. BC S.C. ABC G.L. ABC S.C. Error G.L. Error
C.M . A C.M . Error C .M . B C .M . Error C.M . BC C.M . Error C .M . C C .M . Error C .M . AC C.M . Error C.M . AB C.M . Error C.M . ABC C.M . Error
F (v1, v2 ) F (v 3 , v 2 )
F (v 4 , v 2 ) F (v 5 , v 2 )
F (v 6 , v 2 ) F (v 7 , v 2 )
F (v 8 , v 2 ) F (v 9 , v 2 )
Total
abcr-1
S.C. Total
Donde: F (v1 , v 2 )
Ftab A
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v 3 , v 2 )
Ftab B
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v 4 , v 2 )
Ftab AB
F (v 5 , v 2 )
Ftab C
F (v 6 , v 2 )
Ftab AC
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v 7 , v 2 )
Ftab BC
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v 8 , v 2 )
Ftab ABC
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
v2
Grados de libertad del error.
v1
Grados de libertad del factor A.
v3
Grados de libertad del factor B.
v4
Grados de libertad de la interacció n AB.
v5
Grados de libertad del factor C.
v6
Grados de libertad de la interacció n AC.
v7
Grados de libertad de la interacció n BC.
v8
Grados de libertad de la interacció n ABC. b
a 2
FC
Y. 2j..
Yi...2
Y .... abcr
S.C. A
i 0
FC
bcr a
c k 0
a
acr
S.C. AB
i 0
j 0
cr
S .C. A S .C.B FC
b
c
c
Y. 2jk.
Yi.2k . S.C. AC
i 0
k 0
br
FC
Yij2.. FC
abr
j 0
b
Y..2k . S.C. C
S.C. B
S .C. A S .C.C FC
S.C. BC
127
j 0
k 0
ar
S .C.B S .C.C
FC
a
b
c 2 Yijk .
S.C. ABC
i 0
j 0
k 0
S .C. A S .C.B S .C.C S .C. AB S .C. AC S .C.BC FC
r a
b
c
r 2 Yijkl
S .C. Total i 0
S .C. Error
j 0
F .C
k 0 l 1
S.C. Total - S .C. A S .C.B S .C.C S .C. AB S .C. AC S .C.BC S .C. ABC
Donde: FC
Factor de corrección.
Y ....
Suma de todas las observaciones en el experimento.
Yi ...
Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor
A. Y . j.. Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-ésimo nivel del factor
B. Y ..k.
Suma de todas las observaciones que pertenecen al k-ésimo nivel del factor
C. Yij .. Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor A
y al j-ésimo nivel del factor B. Yi . k . Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor
A y al k-ésimo nivel del factor C. Y . jk. Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-ésimo nivel del factor
B y al k-ésimo nivel del factor C. Yijk . Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor
A, al j-ésimo nivel del factor B y al k-ésimo nivel del factor C. Y...l Yijkl
Suma de todas las observaciones que pertenecen al l-ésimo bloque. Respuesta para la l-ésima repetición perteneciente al i-ésimo nivel del factor
A, al j-ésimo nivel del factor B y al k-ésimo nivel del factor C.
128
La regla de decisión que se utiliza para cualquier factor o interacción es la siguiente:
Se rechaza H 0 si Fcal
Ftab
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc
de
Open
Office.
Al
abrir
el
documento
nombrado
“DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6), en el que se debe de hacer clic en el tipo de diseño que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se escoge el tipo de diseño experimental que se va a usar. En este caso se hace clic en diseños factoriales.
Después de hacer clic en diseños factoriales en el Cuadro 6, aparece el Cuadro 43, con hiperenlaces para diferentes tipos de diseños factoriales más comunes (mencionado en la sección 11.7) en donde se selecciona el tipo de diseño factorial que se va a emplear, ya sea completamente al azar o en bloques completos al azar y genera un formato para ese tipo de diseño para introducir los datos del experimento. Para este ejemplo, se va a seleccionar en diseños factoriales completamente al azar, el diseño factorial 3k. Después de seleccionar el tipo de diseño factorial 3 k, en diseños factoriales completamente al azar en el cuadro 43, genera el Cuadro 48, en donde se deben introducir los datos del ejercicio. El Cuadro 48 sólo da la opción de escribir sobre las celdas donde se introducen los datos del experimento, ya que el resto de las celdas se encuentran protegidas contra escritura. Para este tipo de diseño se puede introducir un máximo de tres factores y cinco repeticiones. Para este ejemplo se tienen tres factores con tres niveles cada uno y dos repeticiones.
Una vez introducidos los datos, aparecen en las últimas columnas del Cuadro 48, los totales de tratamiento, las sumas del cuadrado de observaciones por tratamiento, y los totales de los niveles de los factores y de las interacciones. En la
129
última fila aparecen el total de las sumas del cuadrado de observaciones por tratamiento y la suma de los totales de los niveles de los factores y de las interacciones . A la derecha del Cuadro 48 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja de análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño factorial. Cuadro 48. Diseño factorial 3k completamente al azar. DISEÑO FACTORIAL 3k COMPLETAMENTE AL AZAR Tot. Sumas del Totales de los niveles de los factores y de las Repeticiones de cuadrado interacciones Tratamientos de obs. por 1 2 3 4 5 Trat. A B AB C AC BC ABC Trat. 000 -35 -25 -60 1850 155 366 134 -459 -190 -93 -60 100
17 24
41
865
-33
-792
188
963
-58
-350
200 010 110 210 020 120 220 001 101 201 011 111 211 021 121 221 002 102 202 012 112 212 022
-39 -35 -45 -60 -65 -58 -55 -67 -40 15 20 4 15 -30 110 75 55 120 90 113 -10 30 -55 -44 -28 -26 80 54 110 44 110 135 4 5 -23 -5 -30 -55 -40 -30 -64 -62 -61 -52 31 36
-74 -105 -123 -122 -25 24 -15 185 175 203 20 -99 -54 134 154 245 9 -28 -85 -70 -126 -113 67
2746 5625 7589 7514 1825 416 1125 17725 17425 20869 1000 4961 1460 9316 14036 30325 41 554 3925 2500 7940 6425 2257
43
591
44 -155 -348 -289 176 127 288
-339
-211 339 230 394 6 -205 -140
-16 563 -133 533 -104 -309 74
130
41
Ir al análisis
-74 -105 -123 Regresar -122 -25 24 -15 185 175 203 20 -99 -54 134 154 245 9 -28 -85 -70 -126 -113 67
122 222 Totales
-20 -31 54 4
-51 58 165
1361 -51 2932 58 174607 26963 1110501 413935 1252971 468703 861925 326183
Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al análisis, genera el Cuadro 49, donde aparecen el factor A (a), el factor B (b) y el factor C (c) con sus respectivos números de niveles; el número de repeticiones (r), y el factor de corrección (FC), así como el análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto sus factores y a sus interacciones. El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0.05), pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee. Todas las celdas del Cuadro 49, a excepción del valor de alfa, están protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas.
A la derecha del Cuadro 49 aparece un hiperenlace que para regresar hasta la hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento.
Para este ejemplo, mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del 95% se rechazan las hipótesis nulas (H0) de los factores B y C y de las interacciones AB, AC y BC lo que indica que existen diferencias entre los niveles de esos factores y entre los niveles de esas interacciones; mientras que las hipótesis nulas (H0) para el factor A, y la interacción ABC no se rechazan lo que indica que existen diferencias entre los niveles de ese factor y entre los niveles de esa interacción. Cuadro 49. Análisis de varianza para el diseño factorial 33 completamente al azar. ANÁLISIS DE VARIANZA F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab Regresar a= 3 A 2 993.78 496.89 1.17 3.35 b= 3 BB 2 61190.33 30595.17 71.74 3.35 c= 3 AB 4 6300.89 1575.22 3.69 2.73 r= 2 C 2 69105.33 34552.67 81.01 3.35 AC 4 7513.89 1878.47 4.40 2.73 FC = 504.17 BC 4 12854.33 3213.58 7.53 2.73
131
Alfa
0.05
ABC Error Total
8 27 53
4628.78 11515.50 174102.83
578.60 426.50
1.36
2.31
CONCLUSIÓN Fcal A ≤ Ftab A. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05 Fcal B > Ftab B. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 Fcal AB > Ftab AB. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 Fcal C > Ftab C. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 Fcal AC > Ftab AC. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 Fcal BC > Ftab BC. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 Fcal ABC ≤ Ftab ABC. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05 11.8. Diseño factorial 3k x 2l
Se han resaltado los diseños factoriales en los que todos los factores tienen el mismo número de niveles. El sistema con dos niveles mencionado anteriormente es de particular utilidad. El sistema de tres niveles también mencionado antes es de utilidad mucho menor debido a que los diseños son relativamente grandes incluso para un número modesto de factores. En ocasiones, en los diseños factoriales con dos niveles existen situaciones en las que es necesario incluir un factor (o algunos factores) que tienen más de dos niveles. La notación para las combinaciones de tratamientos es la notación digital usual.
Ejemplo 11.3 Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de diseño factorial 3k x 2l con el siguiente ejemplo:
La cobertura de un equipo de aplicación manual de herbicidas se define como la superficie máxima en la cual se logra distribuir el herbicida de forma uniforme sobre la maleza al operar el equipo a una velocidad constante (Castillo, 2003).
132
Los factores que determinan en gran medida la cobertura de un equipo aspersor de mochila son la aspersión de presión, el tamaño de boquilla y la velocidad de recorrido al momento de aplicar el herbicida. Un experto en malezas desea probar bajo qué condición de presión, tipo de boquilla y velocidad de recorrido se obtiene una mejor cobertura de herbicida. El herbicida seleccionado para la aplicación fue el Gesaprim. El experto en maleza decidió utilizar boquillas de abanico plano de diferentes tamaños para la aplicación de Gesaprim. Los tamaños de boquillas seleccionados fueron 6150, 6515 y 6520. Las presiones de aspersión utilizadas fueron 25 y 30 libras / pulgada2 y las velocidades de recorrido fueron 2 y 3 metros / segundo.
La unidad experimental consistió en dos hileras con estacas colectoras de kromekotes cada una con 25 metros de largo. El kromekotes es un tipo de papel especial que cambia de coloración al contacto con las gotas de un líquido. La variable respuesta fue el número de gotas por centímetro cuadrado presentes en el papel kromekotes.
El terreno donde se ejecutó el experimento se encuentra en las faldas de un cerro y la forma en que se dispersa el viento no es uniforme sobre todo el terreno. Como el viento es un factor que puede alterar la cobertura de un equipo de aplicación manual, es decir, se constituye de confusión, se decidió la utilización de un factorial en bloques completos al azar con dos bloques. Los resultados del experimento se encuentran en el Cuadro 50:
Cuadro 50. Número de gotas por centímetro cuadrado presentes en el papel kromekotes. PRESIÓN (psi) TAMAÑO 25 30 DE BLOQUE VELOCIDAD (m / seg) VELOCIDAD (m / seg) BOQUILLA 2 3 2 3 I 15 25 25 35 6510 II 25 30 30 35 6515 I 30 40 40 60
133
II I 6520 II Fuente: Castillo (2003).
35 55 50
35 65 60
45 65 75
55 80 85
¿Existe diferencias entre las combinaciones de tamaño de boquilla, presión y velocidad de recorrido? Responda al cuestionamiento anterior con una confiabilidad del 95%
Respuesta Se tienen tres factores: tamaño de boquilla (A), presión (B) y velocidad de recorrido (C), bajo un experimento factorial 3 x 2 2 en bloques completos al azar. El factor A con tres niveles: 6510 (0), 6515 (1) y 6520 (2); el factor B y el factor C cada uno con dos niveles: 25 psi (0) y 30 psi (1) y 2 m / seg (0) y 3 m / seg (1), respectivamente. Los tratamientos a probar son:
A
B
C
Tratamiento
6510 25 psi 2 m / seg
(000)
6515 25 psi
2 m / seg
(100)
6520 25 psi
2 m / seg
(200)
6510 30 psi
2 m / seg
(010)
6515 30 psi
2 m / seg
(110)
6520 30 psi
2 m / seg
(210)
6510 25 psi
3 m / seg
(001)
6515 25 psi
3 m / seg
(101)
6520 25 psi
3 m / seg
(201)
6510 30 psi
3 m / seg
(011)
6515 30 psi
3 m / seg
(111)
6520 30 psi
3 m / seg
(211)
Se tienen un total de 12 tratamientos.
134
El modelo lineal correspondiente al factorial en bloques completos al azar es: Yijkl
Blol
Ai
Bj
Ck
( AB ) ij
( AC ) ik
( BC ) jk
( ABC ) ijk
eijkl
donde i
0, 1,..., a;
j 0,1, ..., b;
k
0, 1,..., c;
a
Número de niveles del factor A.
b
Número de niveles del factor B.
c
Número de niveles del factor C.
l 1, 2,..., r;
E( eijk )
2 0 ; E( eijk )
Número de bloques (repeticiones).
r
Respuesta obtenida en el i-ésimo nivel del factor A, el j-ésimo nivel del factor
Yijkl
B y el k-ésimo nivel del factor C, ubicados en el l-ésimo bloque. Efecto medio general. Efecto atribuido al l-ésimo bloque.
Blol Ai
Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A.
Bj
Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B.
Ck
Efecto atribuido al k-ésimo nivel del factor C.
( AB)ij
Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el jésimo nivel del factor B.
( AC)ik
Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el késimo nivel del factor C.
( BC) jk
Efecto atribuido a la interacción entre el j-ésimo nivel del factor B y el késimo nivel del factor C.
( ABC)ijk
Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A, el jésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C.
eijk
Término de error aleatorio.
Las hipótesis a probar son: 1. H 0 : a0
a1
a2
135
2
vs H a : Al menos un nivl ai produce un efecto diferente de los demás
2. H 0 : b0
b1 vs
H a : b0
b1
5. H 0 : Todas las interacciones a i b j tienen el mismo efecto
vs H a : Al menos una interacció n ai b j produce un efecto diferente de los demás
4. H 0 : c0
c1
vs
H a : c0
c1
5. H 0 : Todas las interacciones a i ck tienen el mismo efecto
vs H a : Al menos una interacció n ai c k produce un efecto diferente de los demás
6. H 0 : Todas las interacciones b jck tienen el mismo efecto
vs H a : Al menos una interacció n b jc k produce un efecto diferente de los demás
7. H 0 : Todas las interacciones a i b jck tienen el mismo efecto
vs H a : Al menos una interacció n ai b j c k produce un efecto diferente de los demás
El análisis de varianza correspondiente está dado por el Cuadro 51: Cuadro 51. Estructura del análisis de varianza para el diseño factorial 3 x 2 2 en bloques completos al azar. F de Fuente Suma de Cuadrado F calculada Grados de tablas de Cuadrados Medio ( Fcal ) Libertad (G.L.) ( Ftab ) Variación (S.C.) (C.M.)
136
(F.V.) Bloques
r-1
S.C. Bloques
A
a-1
S.C. A
B
b-1
S.C. B
AB
(a-1)(b-1)
S.C. AB
C
c-1
S.C. C
AC
(a-1)(c-1)
S.C. AC
BC
(b-1)(c-1)
S.C. BC
ABC
(a-1)(b-1)(c-1)
S.C. ABC
Error
(abc-1)(r-1)
S.C. Error
Total
Abcr-1
S.C. Total
S.C. Bloques G.L. Bloques
C.M . Bloques C.M . Error
S.C. A G.L. A S.C. B G.L. B S.C. AB G.L. AB S.C. C G.L. C S.C. AC G.L. AC S.C. BC G.L. BC S.C. ABC G.L. ABC S.C. Error G.L. Error
C.M . A C.M . Error C .M . B C .M . Error C.M . BC C.M . Error C .M . C C .M . Error C.M . AC C.M . Error C.M . AB C.M . Error C.M . ABC C.M . Error
F (v1, v2 ) F (v 3 , v 2 )
F (v 4 , v 2 ) F (v 5 , v 2 )
F (v 6 , v 2 ) F (v 7 , v 2 )
F (v 8 , v 2 ) F (v 9 , v 2 )
Donde: F (v1 , v 2 )
Ftab Bloques
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v 3 , v 2 )
Ftab A
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v 4 , v 2 )
Ftab B
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v 5 , v 2 )
Ftab AB
F (v 6 , v 2 )
Ftab C
F (v 7 , v 2 )
Ftab AC
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v 8 , v 2 )
Ftab BC
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v 9 , v 2 )
Ftab ABC
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
137
v1
Grados de libertad de los bloques.
v2
Grados de libertad del error.
v3
Grados de libertad del factor A.
v4
Grados de libertad del factor B.
v5
Grados de libertad de la interacció n AB.
v6
Grados de libertad del factor C.
v7
Grados de libertad de la interacció n AC.
v8
Grados de libertad de la interacció n BC.
v9
Grados de libertad de la interacció n ABC. r 2
FC
Y .... abcr
S.C. Bloques
b
abc
FC
i 0
S.C. A
a
b
Yij2..
FC
acr
S.C. C
k 0
abr
FC
i 0
S.C. AB
b
c
i 0
S .C. A S .C.C
br b
S .C. A S .C.B FC
c
Y. 2jk.
k 0
a
j 0
cr
Yi.2k . S.C. AC
FC
bcr
Y..2k .
j 0
a
l 1
Yi...2
c
Y. 2j.. S.C. B
a
Y...2l
FC
S.C. BC
j 0
k 0
ar
S .C.B S .C.C
c 2 Yijk .
S.C. ABC
i 0
j 0
k 0
S .C. A S .C.B S .C.C S .C. AB S .C. AC S .C.BC FC
r a
b
c
r 2 Yijkl
S .C. Total i 0
S .C. Error
j 0
F .C
k 0 l 1
S.C. Total - S .C. A S .C.B S .C.C S .C. AB S .C. AC S .C.BC S .C. ABC
Donde: FC
Factor de corrección.
Y ....
Suma de todas las observaciones en el experimento.
138
FC
Yi ...
Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor
A. Y . j.. Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-ésimo nivel del factor
B. Y ..k.
Suma de todas las observaciones que pertenecen al k-ésimo nivel del factor
C. Yij .. Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor A
y al j-ésimo nivel del factor B. Yi . k . Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor
A y al k-ésimo nivel del factor C. Y . jk. Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-ésimo nivel del factor
B y al k-ésimo nivel del factor C. Yijk . Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor
A, al j-ésimo nivel del factor B y al k-ésimo nivel del factor C. Y...l Yijkl
Suma de todas las observaciones que pertenecen al l-ésimo bloque. Respuesta para la l-ésima repetición perteneciente al i-ésimo nivel del factor
A, al j-ésimo nivel del factor B y al k-ésimo nivel del factor C.
La regla de decisión que se utiliza para cualquier factor o interacción es la siguiente:
Se rechaza H 0 si Fcal
Ftab
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc
de
Open
Office.
Al
abrir
el
documento
nombrado
“DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6), en el que se debe de hacer clic en el tipo de diseño que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se escoge el tipo de diseño experimental que se va a usar. En este caso se hace clic en diseños factoriales.
139
Después de hacer clic en diseños factoriales en el Cuadro 6, aparece el Cuadro 43 con hiperenlaces para diferentes tipos de diseños factoriales más comunes (mencionado en la sección 11.7) en donde se debe seleccionar el tipo de diseño factorial que vamos a emplear, ya sea completamente al azar o en bloques completos al azar y genera un formato para ese tipo de diseño para introducir los datos del experimento. Para este ejemplo, se selecciona en diseños factoriales en bloques completos al azar, el diseño factorial 3k x 2l. Después de seleccionar el tipo de diseño factorial 3k x 2l, en diseños factoriales en bloques completos al azar en el cuadro 43, aparece el Cuadro 52, en donde se introducen los datos del ejercicio. El Cuadro 52 sólo da la opción de escribir sobre las celdas donde se deben de introducir los datos del experimento, ya que el resto de las celdas se encuentran protegidas contra escritura. Para este tipo de diseño se puede introducir un máximo de tres factores y un máximo de 18 tratamientos y cinco bloques. Para este ejemplo se tienen tres factores, uno con tres niveles y dos con dos niveles cada uno para formar en total 12 tratamientos en dos bloques.
Una vez introducidos los datos, aparecen en las últimas columnas del Cuadro 52, los totales de tratamiento, las sumas del cuadrado de observaciones por tratamiento, el efecto y los totales de efectos. En la última fila aparecen el total por bloques y el total de las sumas del cuadrado de observaciones por tratamiento.
A la derecha del Cuadro 52 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja de análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño factorial. Cuadro 52. Diseño factorial 3k x 2l en bloques completos al azar k
l
DISEÑO FACTORIAL 3 x 2 EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR Tratamientos I 000
Sumas del cuadrado II III IV V Trat. de obs. por Trat.
Bloques
15 25
Tot. de
40
850
Totales de los niveles de los factores y de las interacciones A B AB C AC BC ABC 220
140
465
95
490
95
210
40
100
30 35
65
2125
340
630
140
200
55 50
105
5525
535
0
010
25 30
55
110
40 45
210
65 75
605
150
280
65
230
245
0
105
1525
125
125
255
55
85
3625
200
190
350
85
140
9850
305
290
0
140
020
0
0
0
0
120
0
0
0
0
220
0
0
0
0
001
25 30
55
1525
55
101
40 35
75
2825
75
201
65 60
125
7825
125
011
35 35
70
2450
70
111
60 55
115
6625
115
211
80 85
165
13625
165
021
0
0
0
121
0
0
0
221 Totales
0 535 560 0 0 0 1095
0 58375
0 450225 613125 230175 606125 227375 310025 116325
Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al análisis, genera el Cuadro 53, donde aparecen el factor A (a), el factor B (b) y el factor C (c) con sus respectivos números de niveles; el número de bloques (r), y el factor de corrección (FC), así como el análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto sus factores y a sus interacciones. El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0.05), pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee. Todas las celdas del Cuadro 53, a excepción del valor de alfa, están protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas.
A la derecha del Cuadro 53 aparece un hiperenlace que para regresar hasta la hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento.
Para este ejemplo, mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del 95% se rechazan las hipótesis nulas (H0) de los factores A, B y C, lo que indica que existen diferencias entre los niveles de esos factores; mientras que las
141
Ir al análisis
Regresar
hipótesis nulas (H0) para las interacciones AB, AC, BC y ABC no se rechazan, lo que indica que existen diferencias entre los niveles de esas interacciones.
a= b= c= Blo = FC = Alfa
Cuadro 53. Análisis de varianza para el diseño factorial 3 x 2 2 en bloques completos al azar. ANÁLISIS DE VARIANZA F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab Bloques 1 26.04 26.04 1.54 4.84 Regresar 3 A 2 6318.75 3159.38 186.39 3.98 2 B 1 1134.38 1134.38 66.92 4.84 2 AB 2 131.25 65.63 3.87 3.98 2 C 1 551.04 551.04 32.51 4.84 AC 2 14.58 7.29 0.43 3.98 49959.38 BC 1 26.04 26.04 1.54 4.84 0.05 ABC 2 27.08 13.54 0.80 3.98 Error 11 186.46 16.95 Total 23 8415.63 CONCLUSIÓN Fcal A > Ftab A. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 Fcal B > Ftab B. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 Fcal AB ≤ Ftab AB. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05 Fcal C > Ftab C. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 Fcal AC ≤ Ftab AC. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05 Fcal BC ≤ F tab BC. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05 Fcal ABC ≤ F tab ABC. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05 12. DISEÑO EN PARCELAS DIVIDIDAS
En algunos experimentos que involucran dos factores dispuestos en bloques completos al azar, es impráctico, por cuestiones económicas u operacionales, aleatorizar de forma clásica las diferentes combinaciones de los niveles de los factores bajo estudio. Cuando esto sucede, es recomendable utilizar el diseño en parcelas divididas.
12.1. Características
142
Se emplea cuando se prueban dos factores a diferentes niveles en bloques completos al azar y es impráctico aplicar las diferentes combinaciones de los niveles de los factores a las unidades experimentales, ya sea por el tamaño de éstas, por restricciones económicas o por restricciones operativas.
Es necesario utilizar extensiones grandes de terrenos para el ensayo de las combinaciones de los niveles de los factores.
Las extensiones grandes de terreno son conocidas como las parcelas grandes. Cada parcela grande se divide en unidades menores llamadas parcelas chicas. Los niveles de un factor se prueban sobre las parcelas grandes y los niveles del otro factor sobre las parcelas chicas.
Los niveles del factor que se ubica sobre las parcelas grandes son considerados como los tratamientos, mientras que los niveles que se ubica sobre las parcelas chicas son considerados como subtratamientos.
Los efectos de los tratamientos en la parcela grande están completamente confundidos con los efectos de los subtratamientos en la parcela chica, por lo que el modelo lineal y el análisis de varianza sufren algunas modificaciones con respecto a los otros diseños estudiados.
12.2. Modelo lineal
El modelo lineal para el diseño en parcelas divididas es el siguiente: Yijk
i
j
ij
Sk
( S ) jk
eij
donde i 1, 2,..., b;
j 1, 2,..., t;
k 1,2,..., s;
b
Número de bloques.
t
Número de tratamientos.
s
Número de subtratamientos.
143
Yijk
Respuesta obtenida en el j-ésimo tratamiento y el k-ésimo subtratamiento ubicado en el i-ésimo bloque. Efecto medio general.
i
Efecto atribuido al i-ésimo bloque.
i
Efecto atribuido al j-ésimo tratamiento.
ij
Error aleatorio en la parcela grande.
Sk
Efecto del k-ésimo subtratamiento.
(TS) jk
Efecto de la interacción entre el j-ésimo tratamiento y el k-ésimo
subtratamiento. eij
Error aleatorio en la parcela chica.
12.3. Hipótesis a probar
Las hipótesis a probar en este tipo de diseños experimentales son sobre los bloques, sobre los tratamientos, sobre los subtratamientos y sobre las interacciones entre los tratamientos y los subtratamientos, que son las siguientes: 1. H 0 :
1
...
2
b
vs H a : Al menos en uno de los bloques se tiene un efecto diferente de los demás.
2. H 0 : T1
T2
... Tt
vs H a : Al menos en uno de los tratamien tos se tiene un efecto diferente de los demás.
3. H 0 : S1
S2
...
Ss
vs H a : Al menos en uno de los subtratamientos se tiene un efecto diferente de los demás.
4. H 0 : (TS )11
(TS )12
...
(TS )ts
144
vs H a : Al menos en una interacción entre tratamiento y subtratamiento tiene un efectodiferente de los demás. 12.4. Análisis de varianza
El análisis de varianza para el diseño en parcelas divididas está dado por el Cuadro 54: Cuadro 54. Estructura del análisis de varianza para el diseño en parcelas divididas. F de Cuadrado Grados de Suma de F calculada Fuente de tablas Libertad Cuadrados Medio ( Fcal ) Variación (F.V.) ( Ftab ) (G.L.) (S.C.) (C.M.) S .C. Bloques F (v1, v2 ) C.M . Bloques Bloques
b-1
S.C. Bloques
Tratamientos
t-1
Error en Parcela grande Subtotal
Subtratamientos
TS Error en parcela chica Total
G.L. Bloques
C.M . Error PG
S.C. Tratamientos
S .C. Tratamientos G.L. Tratamient os
C.M . Tratamient os C.M . Error PG
(b-1)(t-1)
S.C. Error PG
S .C. Error PG G.L. Error PG
bt-1
S.C. Subtotal
s-1
S.C. Subtratamientos
S .C. Subtratamientos G.L. Subtratami entos
(t-1)(s-1)
S.C. TS
S .C. TS G.L. TS
(b-1)(s-1)t
S.C. Error PCh
S .C. Error PCh G.L. Error PCh
bts-1
S.C. Total
Donde:
145
F (v 3 , v 2 )
C.M . Subtratami entos F (v 4 , v 5 ) C.M . Error PCh
C.M . TS C.M . Error PCh
F
(v 3 , v 2 )
F
(v 3 , v 2 )
F (v 6 , v 5 )
F (v1 , v 2 )
Ftab Blo
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v 3 , v 2 )
Ftab Trat
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
F (v 4 , v 5 )
Ftab Subtr
F (v 6 , v 5 )
Ftab TS
Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice)
v1
Grados de libertad de los bloques.
v2
Grados de libertad del error en parcela grande.
v3
Grados de libertad de los tratamien tos.
v4
Grados de libertad de los subtratamientos.
v5
Grados de libertad del error en parcela chica.
v6
Grados de libertad de la interacció n entre los tratamien tos y subtratamientos.
b
FC
t
Yi..2
Y 2 ... bts
i 1
S.C. Bloques
b
ts
Y. 2j. FC
S.C. Tratamient os
i 1
bs
FC
t
Yij2. S .C. Total
i 1 j 1
- FC
s
S.C. Error PG
S.C. Subtotal - S.C. Bloques - S.C.Tratam ientos
t
s
s
Y. 2jk
Y..2k S.C. Subtratami entos
b
t
k 1
FC
bt
S .C. TS
j 1k 1
b
- S.C. Trataminet os - S.C. Subtratami entos - FC
s 2 Yijk
S .C. Total
FC
S.C. Error PCh
S.C. Total - S.C. Subtotal - S.C.Subtra tamientos - S.C. TS
i 1 j 1k 1
146
Donde Y ... Suma de todas las observaciones en el experiment o. Yi ..
Suma de las observaciones que pertenecen al i - ésimo bloque.
Y. j.
Suma de las observaciones que pertenecen al j - ésimo tratamien to.
Yi j .
Suma de las observaciones que pertenecen al subtotalformado por la interacció n entre el i - ésimo bloque y el j - ésimo tratamien to.
Y .. k
Suma de las observaciones que pertenecen al k - ésimo tratamien to.
Y. j k
Suma de las observaciones que pertenecen a la interacció n entre el j - ésimo
Yijk
tratamien to y el k - ésimo subtratamiento. Valor que se registra para el j - ésimo tratamien to y el k - ésimo subtratamiento en el i - ésimo bloque.
12.5. Regla de decisión
La regla de decisión que se utiliza para el caso de los bloques, tratamientos, subtratamientos y la interacción entre los tratamientos y subtratamientos es la siguiente:
Se rechaza H 0 si Fcal
Ftab
Ejemplo 12.1: Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de diseño en parcelas divididas con el siguiente ejemplo:
En un experimento se probó el efecto combinado de dos factores (láminas de riego e insecticidas) en el control del barrenador del tallo (Diatraea spp.) que ataca al cultivo de caña de azúcar (Castillo, 2003). Se esperaba que las láminas de riego lograran eliminar a las pupas del barrenador del tallo que se depositaban en el suelo, lo que combinado con el control químico redituaría quizás en un mayor rendimiento en la caña de azúcar. Se probaron 3 láminas de riego (10,15, 20 cm), con tres insecticidas sistemáticos (Nuvacron, Monocron y Furadan) y un testigo sin aplicar. 147
La unidad experimental consistió en un cuadro de terreno de 10 x 10 metros y la variable respuesta fue la producción de caña en toneladas por hectárea.
Se detectó un gradiente de fertilidad a 3 niveles, por lo que se decidió utilizar 3 bloques en el experimento.
El factor que es limitante en la implementación del experimento es la lámina de riego, cuyos tres tipos fueron considerados como los tratamientos y se aplicaron sobre las parcelas grandes. Los insecticidas fueron considerados como los subtratamientos y se aplicaron sobre las parcelas chicas. Cada parcela grande estuvo formada por cuatro parcelas chicas y cada bloque estuvo conformado por tres parcelas grandes. Los resultados del experimento se muestran en el Cuadro 55: Cuadro 55. Producción de caña en toneladas por hectárea. Bloques I II III Insecticidas Láminas de riego Láminas de riego Láminas de riego 10 15 20 10 15 20 10 15 20 Nuvacron 60 66 70 50 56 60 40 47 52 Monocron 100 105 110 80 87 90 67 67 70 Furadan 70 80 83 50 54 58 37 38 40 Sin aplicar 21 30 39 18 16 16 15 15 14 Fuente: Castillo (2003)
¿Existen diferencias entre las combinaciones de láminas de riego e insecticidas en la producción de caña de azúcar? Responda a la pregunta anterior con una confiabilidad del 95%.
Respuesta Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc
de
Open
Office.
Al
abrir
el
documento
nombrado
“DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6), en el que se debe de hacer clic en el tipo de diseño
148
que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se introducen los datos del experimento. En este caso se hace clic en diseño en parcelas divididas.
Después de hacer clic en diseño en parcelas divididas el Cuadro 6, aparece el Cuadro 56, en donde se introducen los datos del experimento. El Cuadro 56 sólo da la opción de escribir sobre las celdas donde se deben de introducir los datos del experimento, ya que el resto de las celdas se encuentran protegidas contra escritura. En este ejemplo, hay cuatro tratamientos, por lo que el cuadro latino tendrá 4 hileras y 4 columnas. Para este tipo de diseño se pueden introducir hasta 10 tratamientos.
Una vez introducidos los datos, aparece en la última columna del Cuadro 56, los totales de subtratamiento, en las últimas filas aparecen el subtotal, los totales de bloque, las sumas del cuadrado de observaciones de bloque, los totales de tratamiento y las interacciones entre tratamientos y subtratamientos, los cuales se necesitan para el análisis de varianza.
A la derecha del Cuadro 56 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja de análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño.
Cuadro 56. Diseño en parcelas divididas. DISEÑO EN PARCELAS DIVIDIDAS Bloques I II III IV V Tratamientos Tratamientos Tratamientos Tratamientos Tratamientos tot. de Subtrat.
1
2
3 45 1
2
3 45 1
2
3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 subtrat.
56 87 54 16
60 90 58 16
47 67 38 15
52 70 40 14
1 2 3 4 5
60 66 70 100 105 110 70 80 83 21 30 39
50 80 50 18
Subtot.
251 281 302
198 213 224
40 67 37 15
159 167 176
149
Ir al análisis
501 776 510 Regresar 184
Tot.de blo. 834 Sumas del cuadrado 67032 de obs. de Bloque. Tot. de Trat. 608 661 702 Interacc.
150 169 182
635
502
40921
25450
247 259 270
157 172 181
54 61 69
Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al análisis, en el Cuadro 56, genera el Cuadro 57, donde mediante fórmulas aparecen el numero de bloques (b), el número de tratamientos (t), el número de subtratamientos (s), y el factor de corrección (FC), así como el análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto a los bloques, tratamientos, subtratamientos e interacción tratamiento subtratamiento. El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0.05), pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee. Todas las celdas del Cuadro 57, a excepción del valor de alfa, están protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas.
A la derecha del Cuadro 57 aparece un hiperenlace que para regresar hasta la hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento.
Para este ejemplo, mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del 95% se rechazan las hipótesis nulas (H0) de los bloques, los tratamientos y los subtratamientos, debido a que Fcal Blo. = 116.82 > Ftab Blo. = 6.94, Fcal Trat. = 9.29 > Ftab
Trat.
= 6.94 y Fcal
Subtrat.
= 143.99 > Ftab
Subtrat.
= 3.16, respectivamente, lo que
indica que al menos el efecto de un bloque, un tratamiento y un subtratamiento es diferente al de los demás, respectivamente; mientras que la hipótesis nula (H0) para la interacción tratamiento subtratamiento no se rechaza, debido a que Fcal TS = 0.10 ≤ Ftab
TS
= 2.66, lo que indica que el efecto las interacciones tratamiento
subtratamiento son iguales.
150
Cuadro 57. Análisis de varianza para el diseño en parcelas divididas. B= 3 ANÁLISIS DE VARIANZA T= 3 F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal S= 4 Bloques 2 4653.167 2326.58 116.82 Tratamientos 2 370.167 185.08 9.29 Error en parcela FC = 107912.25 4 79.667 19.92 grande Alfa 0.05 Subtotal 8 5103.000 Subtratamientos 3 19546.97 6515.66 143.99 TS 6 26.278 4.38 0.10 Error en parcela 18 814.50 45.25 chica Total 35 25490.75
Ftab 6.94 6.94
Regresar
3.16 2.66
CONCLUSIÓN Fcal Blo. > Ftab Blo. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 Fcal Trat. > Ftab Trat. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 Fcal Subtrat. > Ftab Subtrat. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 Fcal TS ≤ Ftab TS. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05
13. CONCLUSIONES
Las hojas de cálculo, de Calc de Open Office, son muy fácil de usar debido a su enorme similitud con Excel de Microsoft®, que hace que el usuario tenga una rápida familiarización con esta herramienta para trabajar con hojas de cálculo.
En los diseños experimentales más comunes, el uso de Calc de Open Office como herramienta para trabajar con hojas de cálculo es de gran utilidad, ya que se puede llegar a resolver problemas de tratamientos o comparación de medias de tratamientos en algún tipo de diseño experimental sin tener que recurrir a otros tipos de software que son más complicados de usar o no son libres.
El uso de la herramienta para trabajar con hojas de cálculo, Calc de Open Office, es una alternativa más para utilizar un software que sea gratuito y fácil de usar y no depender tanto de algún software que no sea libre.
151
Con el uso de Calc de Open Office para resolver diseños experimentales más comunes, se llegó a obtener una alternativa más para resolver algunos diseños experimentales mediante las hojas de cálculo generadas en este trabajo.
14. BIBLIOGRAFÍA Castillo, L. (2003). UACH. Introducción a la estadística experimental. Segunda Edición, Chapingo, Méx.: UACH. Departamento de Parasitología Agrícola. 277 p. Cochran, W. y Cox, G. (1980). Diseños experimentales. Sexta reimpresión, Editorial Trillas. 661 p. Cramer, H. (1960). Métodos matemáticos de estadística. Segunda Edición, Editorial Aguilar, Madrid, España. 660 p. Fernández T., J. A. Tutorial de openoffice.org. Mayo de 2004. http://mnm.uib.es/gallir/curspl2005/material/tutorial-ooo/calc.html (29 de septiembre de 2009) Fisher, R. (1960). The Design of experiments. Seventh Edition. Oliver and Boyd, Edinburgh. 248 p. Infante, S. Y Zarate,G. (1990). Métodos estadísticos. Segunda Edición, Editorial trillas, México. 643 p. Martínez, A. (1983). Diseños experimentales. Colegio de Postgraduados, Chapingo, Méx. 483 p. Montgomery, D. (2007). Diseño y análisis de experimentos. Segunda Edición, Limusa-Wiley, México. 686 p. Palma, A. y Sánchez, S. (2004). Proceso de titulación “por tesis” en la División de Ciencias Forestales. U.A.Ch. 91 p. Scheffé, H. (1959). Analysis of variante. John Willey & Sons, Inc. 477 p Steel, R. y Torrie, J. (1988). Bioestadística. Principios y procedimientos. Segunda Edición (primera en español). Editorial McGraw-Hill, Méx. 622 p. http://es.openoffice.org/ (29 de septiembre de 2009) Wikimedia Foundation, Inc. http://es.wikipedia.org/wiki/openoffice.org (29 de septiembre de 2009) 152
15. APÉNDICE Tabla I. Cuantiles para la distribución t de Student. Tabla II. Cuantiles de la distribución F.
Tabla I. Cuantiles para la distribución t de Student. gl = v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100
0.005 63.66 9.92 5.84 4.60 4.03 3.71 3.50 3.36 3.25 3.17 3.11 3.05 3.01 2.98 2.95 2.92 2.90 2.88 2.86 2.85 2.83 2.82 2.81 2.80 2.79 2.78 2.77 2.76 2.76 2.75 2.70 2.68 2.66 2.65 2.64 2.63 2.63
0.01 31.82 6.96 4.54 3.75 3.36 3.14 3.00 2.90 2.82 2.76 2.72 2.68 2.65 2.62 2.60 2.58 2.57 2.55 2.54 2.53 2.52 2.51 2.50 2.49 2.49 2.48 2.47 2.47 2.46 2.46 2.42 2.40 2.39 2.38 2.37 2.37 2.36
Valores de α 0.025 12.71 4.30 3.18 2.78 2.57 2.45 2.36 2.31 2.26 2.23 2.20 2.18 2.16 2.14 2.13 2.12 2.11 2.10 2.09 2.09 2.08 2.07 2.07 2.06 2.06 2.06 2.05 2.05 2.05 2.04 2.02 2.01 2.00 1.99 1.99 1.99 1.98
153
0.05 6.31 2.92 2.35 2.13 2.02 1.94 1.89 1.86 1.83 1.81 1.80 1.78 1.77 1.76 1.75 1.75 1.74 1.73 1.73 1.72 1.72 1.72 1.71 1.71 1.71 1.71 1.70 1.70 1.70 1.70 1.68 1.68 1.67 1.67 1.66 1.66 1.66
0.10 3.08 1.89 1.64 1.53 1.48 1.44 1.41 1.40 1.38 1.37 1.36 1.36 1.35 1.35 1.34 1.34 1.33 1.33 1.33 1.33 1.32 1.32 1.32 1.32 1.32 1.31 1.31 1.31 1.31 1.31 1.30 1.30 1.30 1.29 1.29 1.29 1.29
Tabla II. Cuantiles de la distribución F. v2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01
v1 1 39.86 161.45 647.79 4052.18 8.53 18.51 38.51 98.50 5.54 10.13 17.44 34.12 4.54 7.71 12.22 21.20 4.06 6.61 10.01 16.26 3.78 5.99 8.81 13.75 3.59 5.59 8.07 12.25 3.46 5.32 7.57 11.26 3.36 5.12 7.21 10.56 3.29 4.96 6.94 10.04 3.23 4.84 6.72 9.65
2 49.50 199.50 799.50 4999.50 9.00 19.00 39.00 99.00 5.46 9.55 16.04 30.82 4.32 6.94 10.65 18.00 3.78 5.79 8.43 13.27 3.46 5.14 7.26 10.92 3.26 4.74 6.54 9.55 3.11 4.46 6.06 8.65 3.01 4.26 5.71 8.02 2.92 4.10 5.46 7.56 2.86 3.98 5.26 7.21
3 53.59 215.71 864.16 5403.35 9.16 19.16 39.17 99.17 5.39 9.28 15.44 29.46 4.19 6.59 9.98 16.69 3.62 5.41 7.76 12.06 3.29 4.76 6.60 9.78 3.07 4.35 5.89 8.45 2.92 4.07 5.42 7.59 2.81 3.86 5.08 6.99 2.73 3.71 4.83 6.55 2.66 3.59 4.63 6.22
4 55.83 224.58 899.58 5624.58 9.24 19.25 39.25 99.25 5.34 9.12 15.10 28.71 4.11 6.39 9.60 15.98 3.52 5.19 7.39 11.39 3.18 4.53 6.23 9.15 2.96 4.12 5.52 7.85 2.81 3.84 5.05 7.01 2.69 3.63 4.72 6.42 2.61 3.48 4.47 5.99 2.54 3.36 4.28 5.67
5 57.24 230.16 921.85 5763.65 9.29 19.30 39.30 99.30 5.31 9.01 14.88 28.24 4.05 6.26 9.36 15.52 3.45 5.05 7.15 10.97 3.11 4.39 5.99 8.75 2.88 3.97 5.29 7.46 2.73 3.69 4.82 6.63 2.61 3.48 4.48 6.06 2.52 3.33 4.24 5.64 2.45 3.20 4.04 5.32
154
6 58.20 233.99 937.11 5858.99 9.33 19.33 39.33 99.33 5.28 8.94 14.73 27.91 4.01 6.16 9.20 15.21 3.40 4.95 6.98 10.67 3.05 4.28 5.82 8.47 2.83 3.87 5.12 7.19 2.67 3.58 4.65 6.37 2.55 3.37 4.32 5.80 2.46 3.22 4.07 5.39 2.39 3.09 3.88 5.07
7 58.91 236.77 948.22 5928.36 9.35 19.35 39.36 99.36 5.27 8.89 14.62 27.67 3.98 6.09 9.07 14.98 3.37 4.88 6.85 10.46 3.01 4.21 5.70 8.26 2.78 3.79 4.99 6.99 2.62 3.50 4.53 6.18 2.51 3.29 4.20 5.61 2.41 3.14 3.95 5.20 2.34 3.01 3.76 4.89
8 59.44 238.88 956.66 5981.07 9.37 19.37 39.37 99.37 5.25 8.85 14.54 27.49 3.95 6.04 8.98 14.80 3.34 4.82 6.76 10.29 2.98 4.15 5.60 8.10 2.75 3.73 4.90 6.84 2.59 3.44 4.43 6.03 2.47 3.23 4.10 5.47 2.38 3.07 3.85 5.06 2.30 2.95 3.66 4.74
9 59.86 240.54 963.28 6022.47 9.38 19.38 39.39 99.39 5.24 8.81 14.47 27.35 3.94 6.00 8.90 14.66 3.32 4.77 6.68 10.16 2.96 4.10 5.52 7.98 2.72 3.68 4.82 6.72 2.56 3.39 4.36 5.91 2.44 3.18 4.03 5.35 2.35 3.02 3.78 4.94 2.27 2.90 3.59 4.63
10 60.19 241.88 968.63 6055.85 9.39 19.40 39.40 99.40 5.23 8.79 14.42 27.23 3.92 5.96 8.84 14.55 3.30 4.74 6.62 10.05 2.94 4.06 5.46 7.87 2.70 3.64 4.76 6.62 2.54 3.35 4.30 5.81 2.42 3.14 3.96 5.26 2.32 2.98 3.72 4.85 2.25 2.85 3.53 4.54
Tabla II. Cuantiles de la distribución F (continuación) v2
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α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01
v1 1 3.18 4.75 6.55 9.33 3.14 4.67 6.41 9.07 3.10 4.60 6.30 8.86 3.07 4.54 6.20 8.68 3.05 4.49 6.12 8.53 3.03 4.45 6.04 8.40 3.01 4.41 5.98 8.29 2.99 4.38 5.92 8.18 2.97 4.35 5.87 8.10 2.96 4.32 5.83 8.02 2.95 4.30 5.79 7.95
2 2.81 3.89 5.10 6.93 2.76 3.81 4.97 6.70 2.73 3.74 4.86 6.51 2.70 3.68 4.77 6.36 2.67 3.63 4.69 6.23 2.64 3.59 4.62 6.11 2.62 3.55 4.56 6.01 2.61 3.52 4.51 5.93 2.59 3.49 4.46 5.85 2.57 3.47 4.42 5.78 2.56 3.44 4.38 5.72
3 2.61 3.49 4.47 5.95 2.56 3.41 4.35 5.74 2.52 3.34 4.24 5.56 2.49 3.29 4.15 5.42 2.46 3.24 4.08 5.29 2.44 3.20 4.01 5.18 2.42 3.16 3.95 5.09 2.40 3.13 3.90 5.01 2.38 3.10 3.86 4.94 2.36 3.07 3.82 4.87 2.35 3.05 3.78 4.82
4 2.48 3.26 4.12 5.41 2.43 3.18 4.00 5.21 2.39 3.11 3.89 5.04 2.36 3.06 3.80 4.89 2.33 3.01 3.73 4.77 2.31 2.96 3.66 4.67 2.29 2.93 3.61 4.58 2.27 2.90 3.56 4.50 2.25 2.87 3.51 4.43 2.23 2.84 3.48 4.37 2.22 2.82 3.44 4.31
5 2.39 3.11 3.89 5.06 2.35 3.03 3.77 4.86 2.31 2.96 3.66 4.69 2.27 2.90 3.58 4.56 2.24 2.85 3.50 4.44 2.22 2.81 3.44 4.34 2.20 2.77 3.38 4.25 2.18 2.74 3.33 4.17 2.16 2.71 3.29 4.10 2.14 2.68 3.25 4.04 2.13 2.66 3.22 3.99
155
6 2.33 3.00 3.73 4.82 2.28 2.92 3.60 4.62 2.24 2.85 3.50 4.46 2.21 2.79 3.41 4.32 2.18 2.74 3.34 4.20 2.15 2.70 3.28 4.10 2.13 2.66 3.22 4.01 2.11 2.63 3.17 3.94 2.09 2.60 3.13 3.87 2.08 2.57 3.09 3.81 2.06 2.55 3.05 3.76
7 2.28 2.91 3.61 4.64 2.23 2.83 3.48 4.44 2.19 2.76 3.38 4.28 2.16 2.71 3.29 4.14 2.13 2.66 3.22 4.03 2.10 2.61 3.16 3.93 2.08 2.58 3.10 3.84 2.06 2.54 3.05 3.77 2.04 2.51 3.01 3.70 2.02 2.49 2.97 3.64 2.01 2.46 2.93 3.59
8 2.24 2.85 3.51 4.50 2.20 2.77 3.39 4.30 2.15 2.70 3.29 4.14 2.12 2.64 3.20 4.00 2.09 2.59 3.12 3.89 2.06 2.55 3.06 3.79 2.04 2.51 3.01 3.71 2.02 2.48 2.96 3.63 2.00 2.45 2.91 3.56 1.98 2.42 2.87 3.51 1.97 2.40 2.84 3.45
9 2.21 2.80 3.44 4.39 2.16 2.71 3.31 4.19 2.12 2.65 3.21 4.03 2.09 2.59 3.12 3.89 2.06 2.54 3.05 3.78 2.03 2.49 2.98 3.68 2.00 2.46 2.93 3.60 1.98 2.42 2.88 3.52 1.96 2.39 2.84 3.46 1.95 2.37 2.80 3.40 1.93 2.34 2.76 3.35
10 2.19 2.75 3.37 4.30 2.14 2.67 3.25 4.10 2.10 2.60 3.15 3.94 2.06 2.54 3.06 3.80 2.03 2.49 2.99 3.69 2.00 2.45 2.92 3.59 1.98 2.41 2.87 3.51 1.96 2.38 2.82 3.43 1.94 2.35 2.77 3.37 1.92 2.32 2.73 3.31 1.90 2.30 2.70 3.26
Tabla II. Cuantiles de la distribución F (continuación) v2
23
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α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01
v1 1 2.94 4.28 5.75 7.88 2.93 4.26 5.72 7.82 2.92 4.24 5.69 7.77 2.91 4.23 5.66 7.72 2.90 4.21 5.63 7.68 2.89 4.20 5.61 7.64 2.89 4.18 5.59 7.60 2.88 4.17 5.57 7.56 2.84 4.08 5.42 7.31 2.79 4.00 5.29 7.08 2.75 3.92 5.15 6.85
2 2.55 3.42 4.35 5.66 2.54 3.40 4.32 5.61 2.53 3.39 4.29 5.57 2.52 3.37 4.27 5.53 2.51 3.35 4.24 5.49 2.50 3.34 4.22 5.45 2.50 3.33 4.20 5.42 2.49 3.32 4.18 5.39 2.44 3.23 4.05 5.18 2.39 3.15 3.93 4.98 2.35 3.07 3.80 4.79
3 2.34 3.03 3.75 4.76 2.33 3.01 3.72 4.72 2.32 2.99 3.69 4.68 2.31 2.98 3.67 4.64 2.30 2.96 3.65 4.60 2.29 2.95 3.63 4.57 2.28 2.93 3.61 4.54 2.28 2.92 3.59 4.51 2.23 2.84 3.46 4.31 2.18 2.76 3.34 4.13 2.13 2.68 3.23 3.95
4 2.21 2.80 3.41 4.26 2.19 2.78 3.38 4.22 2.18 2.76 3.35 4.18 2.17 2.74 3.33 4.14 2.17 2.73 3.31 4.11 2.16 2.71 3.29 4.07 2.15 2.70 3.27 4.04 2.14 2.69 3.25 4.02 2.09 2.61 3.13 3.83 2.04 2.53 3.01 3.65 1.99 2.45 2.89 3.48
5 2.11 2.64 3.18 3.94 2.10 2.62 3.15 3.90 2.09 2.60 3.13 3.85 2.08 2.59 3.10 3.82 2.07 2.57 3.08 3.78 2.06 2.56 3.06 3.75 2.06 2.55 3.04 3.73 2.05 2.53 3.03 3.70 2.00 2.45 2.90 3.51 1.95 2.37 2.79 3.34 1.90 2.29 2.67 3.17
156
6 2.05 2.53 3.02 3.71 2.04 2.51 2.99 3.67 2.02 2.49 2.97 3.63 2.01 2.47 2.94 3.59 2.00 2.46 2.92 3.56 2.00 2.45 2.90 3.53 1.99 2.43 2.88 3.50 1.98 2.42 2.87 3.47 1.93 2.34 2.74 3.29 1.87 2.25 2.63 3.12 1.82 2.18 2.52 2.96
7 1.99 2.44 2.90 3.54 1.98 2.42 2.87 3.50 1.97 2.40 2.85 3.46 1.96 2.39 2.82 3.42 1.95 2.37 2.80 3.39 1.94 2.36 2.78 3.36 1.93 2.35 2.76 3.33 1.93 2.33 2.75 3.30 1.87 2.25 2.62 3.12 1.82 2.17 2.51 2.95 1.77 2.09 2.39 2.79
8 1.95 2.37 2.81 3.41 1.94 2.36 2.78 3.36 1.93 2.34 2.75 3.32 1.92 2.32 2.73 3.29 1.91 2.31 2.71 3.26 1.90 2.29 2.69 3.23 1.89 2.28 2.67 3.20 1.88 2.27 2.65 3.17 1.83 2.18 2.53 2.99 1.77 2.10 2.41 2.82 1.72 2.02 2.30 2.66
9 1.92 2.32 2.73 3.30 1.91 2.30 2.70 3.26 1.89 2.28 2.68 3.22 1.88 2.27 2.65 3.18 1.87 2.25 2.63 3.15 1.87 2.24 2.61 3.12 1.86 2.22 2.59 3.09 1.85 2.21 2.57 3.07 1.79 2.12 2.45 2.89 1.74 2.04 2.33 2.72 1.68 1.96 2.22 2.56
10 1.89 2.27 2.67 3.21 1.88 2.25 2.64 3.17 1.87 2.24 2.61 3.13 1.86 2.22 2.59 3.09 1.85 2.20 2.57 3.06 1.84 2.19 2.55 3.03 1.83 2.18 2.53 3.00 1.82 2.16 2.51 2.98 1.76 2.08 2.39 2.80 1.71 1.99 2.27 2.63 1.65 1.91 2.16 2.47
Tabla II. Cuantiles de la distribución F (continuación) v2
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α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01
11 60.47 242.98 973.03 6083.32 9.40 19.40 39.41 99.41 5.22 8.76 14.37 27.13 3.91 5.94 8.79 14.45 3.28 4.70 6.57 9.96 2.92 4.03 5.41 7.79 2.68 3.60 4.71 6.54 2.52 3.31 4.24 5.73 2.40 3.10 3.91 5.18 2.30 2.94 3.66 4.77 2.23 2.82 3.47 4.46
12 60.71 243.91 976.71 6106.32 9.41 19.41 39.41 99.42 5.22 8.74 14.34 27.05 3.90 5.91 8.75 14.37 3.27 4.68 6.52 9.89 2.90 4.00 5.37 7.72 2.67 3.57 4.67 6.47 2.50 3.28 4.20 5.67 2.38 3.07 3.87 5.11 2.28 2.91 3.62 4.71 2.21 2.79 3.43 4.40
15 61.22 245.95 984.87 6157.28 9.42 19.43 39.43 99.43 5.20 8.70 14.25 26.87 3.87 5.86 8.66 14.20 3.24 4.62 6.43 9.72 2.87 3.94 5.27 7.56 2.63 3.51 4.57 6.31 2.46 3.22 4.10 5.52 2.34 3.01 3.77 4.96 2.24 2.85 3.52 4.56 2.17 2.72 3.33 4.25
20 61.74 248.01 993.10 6208.73 9.44 19.45 39.45 99.45 5.18 8.66 14.17 26.69 3.84 5.80 8.56 14.02 3.21 4.56 6.33 9.55 2.84 3.87 5.17 7.40 2.59 3.44 4.47 6.16 2.42 3.15 4.00 5.36 2.30 2.94 3.67 4.81 2.20 2.77 3.42 4.41 2.12 2.65 3.23 4.10
157
v1 24 62.00 249.05 997.25 6234.63 9.45 19.45 39.46 99.46 5.18 8.64 14.12 26.60 3.83 5.77 8.51 13.93 3.19 4.53 6.28 9.47 2.82 3.84 5.12 7.31 2.58 3.41 4.41 6.07 2.40 3.12 3.95 5.28 2.28 2.90 3.61 4.73 2.18 2.74 3.37 4.33 2.10 2.61 3.17 4.02
30 62.26 250.10 1001.41 6260.65 9.46 19.46 39.46 99.47 5.17 8.62 14.08 26.50 3.82 5.75 8.46 13.84 3.17 4.50 6.23 9.38 2.80 3.81 5.07 7.23 2.56 3.38 4.36 5.99 2.38 3.08 3.89 5.20 2.25 2.86 3.56 4.65 2.16 2.70 3.31 4.25 2.08 2.57 3.12 3.94
40 62.53 251.14 1005.60 6286.78 9.47 19.47 39.47 99.47 5.16 8.59 14.04 26.41 3.80 5.72 8.41 13.75 3.16 4.46 6.18 9.29 2.78 3.77 5.01 7.14 2.54 3.34 4.31 5.91 2.36 3.04 3.84 5.12 2.23 2.83 3.51 4.57 2.13 2.66 3.26 4.17 2.05 2.53 3.06 3.86
60 62.79 252.20 1009.80 6313.03 9.47 19.48 39.48 99.48 5.15 8.57 13.99 26.32 3.79 5.69 8.36 13.65 3.14 4.43 6.12 9.20 2.76 3.74 4.96 7.06 2.51 3.30 4.25 5.82 2.34 3.01 3.78 5.03 2.21 2.79 3.45 4.48 2.11 2.62 3.20 4.08 2.03 2.49 3.00 3.78
120 63.06 253.25 1014.02 6339.39 9.48 19.49 39.49 99.49 5.14 8.55 13.95 26.22 3.78 5.66 8.31 13.56 3.12 4.40 6.07 9.11 2.74 3.70 4.90 6.97 2.49 3.27 4.20 5.74 2.32 2.97 3.73 4.95 2.18 2.75 3.39 4.40 2.08 2.58 3.14 4.00 2.00 2.45 2.94 3.69
Tabla II. Cuantiles de la distribución F (continuación) v2
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α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01
11 2.17 2.72 3.32 4.22 2.12 2.63 3.20 4.02 2.07 2.57 3.09 3.86 2.04 2.51 3.01 3.73 2.01 2.46 2.93 3.62 1.98 2.41 2.87 3.52 1.95 2.37 2.81 3.43 1.93 2.34 2.76 3.36 1.91 2.31 2.72 3.29 1.90 2.28 2.68 3.24 1.88 2.26 2.65 3.18
12 2.15 2.69 3.28 4.16 2.10 2.60 3.15 3.96 2.05 2.53 3.05 3.80 2.02 2.48 2.96 3.67 1.99 2.42 2.89 3.55 1.96 2.38 2.82 3.46 1.93 2.34 2.77 3.37 1.91 2.31 2.72 3.30 1.89 2.28 2.68 3.23 1.87 2.25 2.64 3.17 1.86 2.23 2.60 3.12
15 2.10 2.62 3.18 4.01 2.05 2.53 3.05 3.82 2.01 2.46 2.95 3.66 1.97 2.40 2.86 3.52 1.94 2.35 2.79 3.41 1.91 2.31 2.72 3.31 1.89 2.27 2.67 3.23 1.86 2.23 2.62 3.15 1.84 2.20 2.57 3.09 1.83 2.18 2.53 3.03 1.81 2.15 2.50 2.98
20 2.06 2.54 3.07 3.86 2.01 2.46 2.95 3.66 1.96 2.39 2.84 3.51 1.92 2.33 2.76 3.37 1.89 2.28 2.68 3.26 1.86 2.23 2.62 3.16 1.84 2.19 2.56 3.08 1.81 2.16 2.51 3.00 1.79 2.12 2.46 2.94 1.78 2.10 2.42 2.88 1.76 2.07 2.39 2.83
158
v1 24 2.04 2.51 3.02 3.78 1.98 2.42 2.89 3.59 1.94 2.35 2.79 3.43 1.90 2.29 2.70 3.29 1.87 2.24 2.63 3.18 1.84 2.19 2.56 3.08 1.81 2.15 2.50 3.00 1.79 2.11 2.45 2.92 1.77 2.08 2.41 2.86 1.75 2.05 2.37 2.80 1.73 2.03 2.33 2.75
30 2.01 2.47 2.96 3.70 1.96 2.38 2.84 3.51 1.91 2.31 2.73 3.35 1.87 2.25 2.64 3.21 1.84 2.19 2.57 3.10 1.81 2.15 2.50 3.00 1.78 2.11 2.44 2.92 1.76 2.07 2.39 2.84 1.74 2.04 2.35 2.78 1.72 2.01 2.31 2.72 1.70 1.98 2.27 2.67
40 1.99 2.43 2.91 3.62 1.93 2.34 2.78 3.43 1.89 2.27 2.67 3.27 1.85 2.20 2.59 3.13 1.81 2.15 2.51 3.02 1.78 2.10 2.44 2.92 1.75 2.06 2.38 2.84 1.73 2.03 2.33 2.76 1.71 1.99 2.29 2.69 1.69 1.96 2.25 2.64 1.67 1.94 2.21 2.58
60 1.96 2.38 2.85 3.54 1.90 2.30 2.72 3.34 1.86 2.22 2.61 3.18 1.82 2.16 2.52 3.05 1.78 2.11 2.45 2.93 1.75 2.06 2.38 2.83 1.72 2.02 2.32 2.75 1.70 1.98 2.27 2.67 1.68 1.95 2.22 2.61 1.66 1.92 2.18 2.55 1.64 1.89 2.14 2.50
120 1.93 2.34 2.79 3.45 1.88 2.25 2.66 3.25 1.83 2.18 2.55 3.09 1.79 2.11 2.46 2.96 1.75 2.06 2.38 2.84 1.72 2.01 2.32 2.75 1.69 1.97 2.26 2.66 1.67 1.93 2.20 2.58 1.64 1.90 2.16 2.52 1.62 1.87 2.11 2.46 1.60 1.84 2.08 2.40
Tabla II. Cuantiles de la distribución F (continuación) v2
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α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01
11 1.87 2.24 2.62 3.14 1.85 2.22 2.59 3.09 1.84 2.20 2.56 3.06 1.83 2.18 2.54 3.02 1.82 2.17 2.51 2.99 1.81 2.15 2.49 2.96 1.80 2.14 2.48 2.93 1.79 2.13 2.46 2.91 1.74 2.04 2.33 2.73 1.68 1.95 2.22 2.56 1.63 1.87 2.10 2.40
12 1.84 2.20 2.57 3.07 1.83 2.18 2.54 3.03 1.82 2.16 2.51 2.99 1.81 2.15 2.49 2.96 1.80 2.13 2.47 2.93 1.79 2.12 2.45 2.90 1.78 2.10 2.43 2.87 1.77 2.09 2.41 2.84 1.71 2.00 2.29 2.66 1.66 1.92 2.17 2.50 1.60 1.83 2.05 2.34
15 1.80 2.13 2.47 2.93 1.78 2.11 2.44 2.89 1.77 2.09 2.41 2.85 1.76 2.07 2.39 2.81 1.75 2.06 2.36 2.78 1.74 2.04 2.34 2.75 1.73 2.03 2.32 2.73 1.72 2.01 2.31 2.70 1.66 1.92 2.18 2.52 1.60 1.84 2.06 2.35 1.55 1.75 1.94 2.19
20 1.74 2.05 2.36 2.78 1.73 2.03 2.33 2.74 1.72 2.01 2.30 2.70 1.71 1.99 2.28 2.66 1.70 1.97 2.25 2.63 1.69 1.96 2.23 2.60 1.68 1.94 2.21 2.57 1.67 1.93 2.20 2.55 1.61 1.84 2.07 2.37 1.54 1.75 1.94 2.20 1.48 1.66 1.82 2.03
159
v1 24 1.72 2.01 2.30 2.70 1.70 1.98 2.27 2.66 1.69 1.96 2.24 2.62 1.68 1.95 2.22 2.58 1.67 1.93 2.19 2.55 1.66 1.91 2.17 2.52 1.65 1.90 2.15 2.49 1.64 1.89 2.14 2.47 1.57 1.79 2.01 2.29 1.51 1.70 1.88 2.12 1.45 1.61 1.76 1.95
30 1.69 1.96 2.24 2.62 1.67 1.94 2.21 2.58 1.66 1.92 2.18 2.54 1.65 1.90 2.16 2.50 1.64 1.88 2.13 2.47 1.63 1.87 2.11 2.44 1.62 1.85 2.09 2.41 1.61 1.84 2.07 2.39 1.54 1.74 1.94 2.20 1.48 1.65 1.82 2.03 1.41 1.55 1.69 1.86
40 1.66 1.91 2.18 2.54 1.64 1.89 2.15 2.49 1.63 1.87 2.12 2.45 1.61 1.85 2.09 2.42 1.60 1.84 2.07 2.38 1.59 1.82 2.05 2.35 1.58 1.81 2.03 2.33 1.57 1.79 2.01 2.30 1.51 1.69 1.88 2.11 1.44 1.59 1.74 1.94 1.37 1.50 1.61 1.76
60 1.62 1.86 2.11 2.45 1.61 1.84 2.08 2.40 1.59 1.82 2.05 2.36 1.58 1.80 2.03 2.33 1.57 1.79 2.00 2.29 1.56 1.77 1.98 2.26 1.55 1.75 1.96 2.23 1.54 1.74 1.94 2.21 1.47 1.64 1.80 2.02 1.40 1.53 1.67 1.84 1.32 1.43 1.53 1.66
120 1.59 1.81 2.04 2.35 1.57 1.79 2.01 2.31 1.56 1.77 1.98 2.27 1.54 1.75 1.95 2.23 1.53 1.73 1.93 2.20 1.52 1.71 1.91 2.17 1.51 1.70 1.89 2.14 1.50 1.68 1.87 2.11 1.42 1.58 1.72 1.92 1.35 1.47 1.58 1.73 1.26 1.35 1.43 1.53
