DISEÑO DE BLOQUES COMPLETO AL AZAR 1.- ¿En ¿En qué sit situac uaciones iones se aplic aplica el diseño en bloques bloques completos completos al azar? azar? ¿En que difieren difieren los fac factor tores es de de tratamiento tratamiento y de bloque? Cuando se quieren comparar ciertos tratamientos o estudiar el efecto de un factor, es deseable que las posibles diferencias se deban principalmente al factor de interés y a no a otros otros factores factores que no se consideran consideran en el estudio. Cuan Cuando do esto no ocurre y exist existen en otros otros factores que no se controlan controlan o nulif nulifican a la hora de hacer hacer la comparación paración,, las las conclusiones conclusiones podrí podrían an ser afectadas sensiblemente. El diseño en blo bloques ques complet completos os al azar azar se aplica cuando el efecto de un tratamiento a comparar depende de otros factores que pueden influir en el resultado de experimento y que deben de tomarse en cuenta para anular anular su posible efecto y evitar sesgo sesgo al compa comparar rar los fac facto tores res de interés. Para evitar este sesgo sesgo se deben incluir incluir estos estos factores factores adici adicionales onales en la experi experim mentación entación y probarlos probarlos con cada uno de los factores de interés de manera tal que puedan presentarse todas las combinacio combinaciones nes posibl posible e entre ambos para obtener resul resultados tados en la com comparación paración que sean sean validos, esta forma de nulificar su efecto se llama bloqueo. La diferencia diferencia entr entre e los fac factor tores es de de tratamiento tratamiento y los de bloque radica en que que estos estos últimos últimos no se incluyen en el experi experim mento de manera manera explí explícit cita a por que interese nterese anali analizar zar su ef efecto, sino como un medio para estudiar de manera adecua adecuada da y ef eficaz al al factor factor de interés para no sesgar la comparación. Estos entran al estudio con un nivel de importancia secund secundaria aria con respec respecto to al fac factor tor de interés y la inclusión de estos es es un un medio no un un fin fin para lograr la comparación.
2.- ¿Qué diferencia hay entre un DBCA y los diseños en cuadro latino? El diseño de bloque completo al azar se controla un factor de bloque y uno de tratamiento más el error aleatorio y cuadro latino dos factores de bloque y uno de tratamiento por lo que se tienen cuatro fuentes de variabilidad, incluyendo el termino error, que pueden afectar la respuesta observada.
3.-De acue acuerdo rdo con el modelo estadístico para un diseño en bloques, ¿Por ¿Por qué a través de este este diseño se reduce reduce el el error aleatori aleatorio? o? Porque Porque en el diseño en bloques bloques se analiza analiza bloque bloque a blo bloque que y se toman en cuenta todos los factores posibles que puedan afectar de manera significativa a nuestro experimento.
4. A continuación se muestra parte del ANOVA para un diseño en bloques que tiene tres tratamientos y cinco bloques con una sola repetición por tratamiento-bloque. Fuente de S. De G. De C. Medio Razón F Valor-p variación cuadrados libertad TRATAMIENTO 600 2 300 4.8 BLOQUE 850 4 212.5 3.4 ERROR 500 8 62.5 TOTAL 1950 14 a) Agregar en esta tabla los grados de libertad, el cuadrado medio y la razón F para cada uno de las fuentes de variación. b) Interprete en forma práctica, para cada caso, lo que está estimando el cuadrado medio: - El cuadrado medio interpreta una división de cada suma de cuadrados entre sus respectivos grados de libertad. c) Escriba el modelo estadístico y las hipótesis pertinentes. Modelo Estadístico: Yij= + i + j +
ij
Hipótesis H0: HA:
1 = 2= 3
b =0
0 para algún bloque j
d) Apóyese en las tablas de la distribución f para aceptar o rechazar las hipótesis. Para efecto tratamiento se rechaza la hipótesis nula (4.8 >4.459) Para efecto del bloque se acepta la hipótesis nula (3.4 <3.838) Esto quiere decir que el factor tratamiento tiene efecto significativo en la respuesta del experimento y el efecto del bloque no es significativo. e) Con apoyo de un software obtenga el valor-P para cada caso. Interprete sus resultados. Valor- P para tratamiento: 0.003 <0.05 (Se rechaza H 0) Valor- P para bloque: 0.1014 >0.05 (No se rechaza H0) 5. Realice el problema anterior, pero ahora suponga que no se bloqueó ¿se hubiesen obtenido las mismas conclusiones? Argumente. - Las conclusiones serian idénticas, ya que el resultado del bloque no tiene un efecto significativo en la respuesta y sin bloque, toda la variación se iría al término error.
6. Aunque en el análisis de varianza para un diseño en bloques completos al azar también se puede probar la hipótesis sobre si hay diferencia entre los bloques, se dice que esta hipótesis se debe ver con ciertas reservas. Explique por qué. La hipótesis que se plantea: H0: 1 = 2 = 3 = b =0 HA: 0 para algún bloque j Esta no es una prueba F exacta, sino aproximada, debido a la restricción de aleatorización (sólo se aleatoriza dentro del bloque). En la práctica se recomienda su interpretación porque es evidencia a favor o en contra de que valió la penael esfuerzo de controlar el factor de bloque. Si resulta significativa implica que el factor de bloques tiene influencia sobre la variable de respuesta, y debe ser tomado en cuenta para mejorar la calidad de ésta. Pero, si no se rechaza yse acepta que los bloques son iguales en respuesta media, entonces se tiene el argumento a favor de no controlar este factor en futuros experimentos sobre esta misma respuesta, además de que su influencia en la calidad de la respuesta no es significativa. La restricción de aleatorización se debe al hecho de que no se aleatoriza el orden de las corridas experimentales en relación a los bloques. El experimento supone que sólo se aleatoriza el orden de las corridas dentro de cada bloque, lo cual evita sesgos en la comparación de los tratamientos, pero no los impide en la comparación de los bloques. 7. Explique por qué se utiliza el adjetivo azar en el nombre del diseño en bloques completos al azar. Primeramente la palabra completo en el nombre del diseño se debe a que en cada bloque se prueban todos los tratamientos, o sea, los bloques están completos. La aleatorización se hace dentro de cada bloque; por lo tanto, no se realiza de manera total como en el diseño completamente al azar. El hecho de que existan bloques hace que no sea práctico o que incluso sea imposible aleatorizar en su totalidad. 8.- Una compañía farmacéutica realizo un experimento para estudiar los tiempos promedios (en días) necesarios para que una persona se recupere de los efectos y complicaciones que siguen a un resfriado común. En este experimento se hizo una comparación de distintas dosis diarias de vitamina C. para hacer el experimento se contacto a un número determinado de personas, que en cuanto les daba el resfriado empezaban a recibir algún tipo de dosis. Si la edad de las personas es una posible fuente de variabilidad, explique con detalle como aplicaría la idea de bloqueo para controlar tal fuente de variabilidad. Si fuera un número grande de personas se podrían acomodar en subgrupos o en rangos para distribuir las diferentes edades se probarían las distintas dosis en las diferentes edades.
9.-A continuación se muestran los datos para un diseño en bloques al azar.
Bloques 1
2
3
4
total por tratamiento
3 7 4
4 9 6
2 3 3
6 10 7
Y1 =15 Y2 =29 Y3 =20
Y 1=14
Y 2=19
Y 3=8
Y 1=23
Total global=64
Tratamiento A B C Total por bloque=
a) Completes las sumas totales que se piden en la tabla anterior b) Calcule las sumas de cuadrados correspondientes SC TRAT, SCB, SC T Y SCE.
SC TRAT=
-
SCB=
-
=42
SC T = SCE=72.66 -
-
=72.66
42 =5.5
c) Obtenga la tabla de análisis de varianza y anote las principales conclusiones. Fuente de variación Tratamientos Bloques Error total
GL
SC
MC
F
P
2 3 6 11
25.1667 42.0000 5.50 72.6667
12.5833 14 0.9167
13.73 15.27
0.006 0.003
De acuerdo al ANOVA anterior se observa que para los tratamientos se obtuvo un valor-p =0.006 <0.05, por lo que se rechaza la hipótesis nula de que las media de los tratamientos son iguales entre si, en cuanto al factor de bloques se puede concluir que su valor-p =0.003 <0.05, lo que nos dice que existen diferencias entre estos.
d) Obtenga la diferencia mínima significativa (LSD) para comparar tratamientos en este diseño en bloques. LSD=
LSD= LSD=2.44
Diferencia poblacional
=1.65
Diferencia muestral
Decision
|-3.5|>1.65
significativa
|-1.25| <1.65
No significativa
| 2.25|>1.65
significativa
Por lo que se concluye que el tratamiento A es diferente del B y el B del C.
11.- En una empresa lechera se tienen varios silos para almacenar leche (cisternas de 60,000 L). Un aspecto crítico para que se conserve la leche es la temperatura de almacenamiento. Se sospecha que en algunos silos hay problemas, por ello, durante cinco días se decide registrar la temperatura a cierta hora critica. Obviamente la temperatura de un día a otro es una fuente de variabilidad que podría impactar la variabilidad total.
Silo A B C D E
Lunes 4.0 5.0 4.5 2.5 4.0
Martes 4.0 6.0 4.0 4.0 4.0
Día Miércoles 5.0 2.0 3.5 6.5 3.5
Jueves 0.5 4.0 2.0 4.5 2.0
Viernes 3.0 4.0 3.0 4.0 4.0
a) En este problema, ¿Cuál es el factor de tratamiento y cual el factor de bloque? El factor de tratamiento son los silos y el factor de bloque los días.
b) Suponga un DBCA, formule las hipótesis adecuadas y el modelo estadístico Modelo estadístico: Yij =
1
j
ij;
Donde Yij en la medición que corresponde al tratamiento i y al bloque de j, es la media global poblacional, 1 es el efecto debido al tratamiento i, es el efecto debido al bloque j y ij en el error aleatorio. Hipótesis: H0: HA:
1= 2 1
3
k
j
Que también se puede expresar como: H0: HA
1= 2
3
k =0
1
En cualquiera de estas hipótesis la afirmación a probar es que la respuesta media poblacional lograda con cada tratamiento es la misma para los k tratamientos y . 1 c) ¿Hay diferencia entre los silos? Fuente de variabilidad Tratamientos Bloques Error Total
Sumade cuadrados 4.46 9.76 25.84 40.06
Grados de libertad 4 4 16 24
Cuadrado Medio 1.115 2.44 1.615
F0
Valor-P
0.69 1.51
0.246 0.609
Aquí podemos observar que el valor-p de los silos es mayor que el valor de significancia, es decir, que el valor-p de los silos es 0.246 y el nivel de significancia es 0.05 y por lo tanto es mayor, lo que significa que estadísticamente son iguales. d) ¿La temperatura de un día a otro es diferente? Por medio del problema anterior podemos observar que la temperatura es igual porque el valor-p de los bloques es 0.609 y el nivel de significancia es 0.05 así que se muestra que el valor-p del bloque es mayor que la significancia y por lo tanto las temperaturas son iguales.
e) Revise residuos, ¿hay algún problema evidente?
En el recuadro de la grafica de probabilidad normal nos muestra que el supuesto de normalidad se cumple porque los residuos o puntos estas más o menos cerca de la línea recta. Por mientras que en el recuadro vs ajuste también se cumple el supuesto de varianza porque los residuos se ubican aleatoriamente dentro de una banda horizontal.
12.- Se diseño un experimento para estudiar el rendimiento de cuatro detergentes. Las cargas de lavado, distribuidas en tres modelos de lavadoras: Detergente A B C D
Lavadora 1 45 47 50 42
Lavadora2 43 44 49 37
a) Señale el nombre del diseño experimental utilizado. Diseño por bloques b) Formule la hipótesis que se quiere probar en este problema.
Lavadora3 51 52 57 49
c) Realice el análisis estadístico más apropiado para estos datos y obtenga conclusiones. Detergente A B C D
Lavadora 1 45 47 50 42 Y1:184
Lavadora2 43 44 49 37
Lavadora3 51 52 57 49
Y1:139 Y2:143 Y3:156 Y4:128
Y2:173
Y3:209
566
k =4 b=3 N=12 Fuente de variabilidad Método lavadora Error Total SC T=452 +472
Suma de cuadrados 133.67 170.17 7.82 311.66 2
Grado de libertad Cuadro medio
F0
3 2 6 11
34.26 65.45
44.55 85.08 1.36
=27008-5662 / 12 =311.66
SC Trat =1392 +1432 +1562 +1282 / 3 -5662 / 12 =133.67 SCB =1842 +1732 +2092 / 4 - 5662 / 12 =170.17 SCE =311.66 133.67 170.17 =7.82 El valor-p que arroja minitab nos dice que se rechazan ambas H0, por lo tanto las medias de los diferentes tratamientos son significativamente diferentes de la media poblacional y, para el factor de bloqueo quiere decir que influye en la respuesta del experimento. 13.- Con respecto al problema anterior:
a) Conteste los tres incisos del problema anterior sin tomar en cuenta el efecto de las lavadoras y obtenga conclusiones. 1. Completamente al azar.
3. A 45 43 51 139
B 47 44 52 143
C 50 49 57 156
D 42 37 49 128
T =566
Suma de cuadrados
Grado de libertad
Cuadro medio
F0
44.5 38.95
0.75
Fuente de variabilidad método 133.66 3 lavadora 311.66 8 error 178 11 SC Trat =1392 +1432 +1562 +1282 /3 - 5662 /12 =133.66 SC T =452 +472 +502
2
- 5662 / 12 =311.66
SCE =133.66 311.66 =178
b) ¿Hay diferencias en las conclusiones anteriores y las del problema anterior? Explique su respuesta. Si hay diferencias, debido a que en las conclusiones anteriores las medias de los diferentes tratamientos son diferentes de la media poblacional, y en este caso del diseño completamente al azar, se acepta la H0 que las medias de los tratamientos son iguales a la media poblacional. c) ¿Con cuales conclusiones se queda? Explique su respuesta. Con las primeras que se obtuvieron en el diseño de bloques completo al azar porque el factor de bloqueo que consideramos tiene influencia en la respuesta. 14. Una de las variables críticas en el proceso de ensamble del brazo lector de un disco duro es el ángulo que este forma con el cuerpo principal de la cabeza lectora. Se corre un experimento con el objetivo de comparar dos equipos que miden dicho ángulo en dichos radianes. Se decide utilizar como factor de bloque a los operadores de los equipos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla: Equipo 1 1 operador
2 3
1.328, 1.113, 1.269, 1.093, 1.440, 1.150,
Equipo 1 2 Total
2
0.985, 1.316, 1.057, 1.144, 1.268, 1.091, 0.984, 1.087, 1.079, 1.389, 1.190, 1.247,
1.553, 1,144, 1.195, 1.482, 1,611, 1.617,
1 1.2677 1.0410 2.3087
1.310 1.386 1.380 1.442 1.445 1.574
1.273, 0.789, 1.036, 0.201, 1.454, 1.018,
0.985, 0.671, 0.783, 0.900, 1.063, 1.050,
Operador 2 1.2291 0.9862 2.2153
Y1 =3.871; Y2=3.3274; Y.. =7.1984
1.134, 0.554, 1.108, 0.916, 1.219, 0.997,
1.412, 1.386, 1.129, 1.434, 1.602, 1.538,
0.917 1.289 1.132 1.223 1.583 1.478
3 1.3742 1.3002 2.6744
SC=(1.26772 +1.0412 +1.22912 +0.98622 +1.37422 +1.30022) =8.75296722 SCT=8.75296722 SC TRAT =
=0.116807 -
=0.04925
SCB =
-
=0.058872
SCE =0.116807 - 0.04925 - 0.058872=0.008684
F. V. EQUIPO OPERADOR ERROR TOTAL
S. C. 0.04925 0.058872 0.008684 0.116807
G. L. 1 2 2 5
C. M. 0.04925 0.029436 0.004342
F. 11.34 6.78
Congruente con valores MINITAB: Modelo lineal general: Respuesta vs. Equip o, Operador Fact or Equi po Oper ador
Ti po fijo fi j o
Ni vel es 2 3
Val or es 1, 2 1, 2, 3
Anál i si s de var i anza par a Respuest a, ut i l i zando SC aj ust ada par a pr uebas Fuent e Equi po Oper ador Er r or Tot al
GL 1 2 2 5
SC sec. 0. 049250 0. 058872 0. 008684 0. 116807
SC aj ust . 0. 049250 0. 058872 0. 008684
MC aj ust . 0. 049250 0. 029436 0. 004342
F 11. 34 6. 78
P 0. 078 0. 129
a) Plantee el modelo y las hipótesis más adecuadas al problema. Modelo Estadístico: Yij= i + j + ij Hipótesis Para tratamiento
H0: HA:
=
= i j
Para bloque
H0: 1 = 2 = 3 = b =0 HA: 0 para algún bloque j
P 0.078 0.129
b) ¿Existen diferencias entre los equipos? Argumente estadísticamente. No existen diferencias ya que el valor p en tratamiento equipo es de 0.078 (mayor que 0.05 de ) por lo tanto se acepta la Ho, los dos equipos son estadísticamente iguales. c) ¿Existen diferencias entre los operadores? No existen diferencias entre el factor de bloque operadores, valor-p 0.129 >0.05, son estadísticamente iguales. d) Dibuje los diagramas de cajas simultáneos y las gráficas de medias para ambos factores, después interprételas.
Otra prueba para comprobar la hipótesis nula es con estas gráficas, se puede apreciar el traslape en ambas, lo cual induce a decir que, en efecto, no hay diferencia significativa. e) Verifique los supuestos de normalidad e igualdad de varianza entre tratamientos, así como la posible presencia de puntos aberrantes.
La normalidad en los datos es uniforme y la varianza es constante, la calidad del ajuste es satisfactorio porque no hay puntos aberrantes, además los coeficientes de determinación: R- cuad. = 92. 57%
R- cuad. ( aj ust ado) = 81. 41%
10. Se hace un estudio sobre la efectividad de tres marcas de atomizador para matar moscas. Para ello, cada producto se aplica a un grupo de 100 moscas, y se cuenta el número de moscas muertas expresado en porcentajes. Se hicieron seis replicas, pero en días diferentes; por ello, se sospecha que puede haber algún efecto importante debido a esta fuente de variación. Los datos obtenidos se muestran a continuación:
Número de replica (día) Marca de atomizador 1 2 3
1
2
3
4
5
6
72 55 64
65 59 74
67 68 61
75 70 58
62 53 51
73 50 69
SC T=722+552+642+652+592+742+672+682+612+752+702+582+622+532+512+732+502+692 -11462/18= =74054 72962=1092 SC TRAT=4142+3552+3772/6 - 72962= =296.333 SCB =1912+1982+1962+2032+1662+1922 / 3 - 72962= =281.333 SCE=SC T SC TRAT SCB= 1092- 296.333 281.333= =514.3337
FUENTE DE VARIABILIDAD METODOS OPERADORES ERROR TOTAL
SUMA DE CUADRADOS 296.33 281.33 514.3337 1092
GRADOS DE LIBERTAD 2 5 10 17
CUADRADO MEDIO 148.1665 56.266 51.433337
F0 2.880 1.0939
a) Suponiendo un DBCA, formule las hipótesis adecuadas y el modelo estadístico. 1. H0: 1 2 t HA: Al menos el efecto de un bloque es diferente de los demás. 2. H0: 1 2= t HA: Al menos el efecto de un tratamiento es diferente de los demás.
VALOR-P
b) ¿Existe diferencia entre la efectividad promedio de los atomizadores? No c) ¿Hay algún atomizador mejor? Argumente su respuesta. Por muy poca significancia es mejor el numero 1, pero este no varia en la efectividad para con los otros 2 atomizadores. d) ¿Hay diferencias significativas en los resultados de diferentes días en que se realizo el experimento? Argumente su respuesta. No, ya que cada atomizador tuvo un porcentaje de moscas muertas muy parecido entre los seis días q se utilizaron las replicas.
20.-cuando se comparan varios fertilizantes o diferentes variedades de cierto cultivo, es típico que se deba considerar el gradiente de fertilidad del suelo (factor columna) o los efectos residuales de cultivos previos (factor renglón). Considerando estos factores de bloque, Gómez y Gómez (1984) plantean un experimento en cuadro latino para comparar, en cuanto al rendimiento en toneladas por hectárea, tres variedades de maíz híbrido (A, B, C) y una variedad control (C). Para ello se utiliza, un campo agrícola cuadrado de 16 hectáreas, dividido en parcelas de una hectárea. Los datos de rendimiento obtenido se muestran en una tabla a continuación:
Ren/ Col
1
2
3
4
1
1.640 (B)
1.210 (D)
1.425 (C)
1.345 (A)
2
1.475 (C)
1.185 (A)
1.400 (D)
1.290 (B)
3
1.670 (A)
0.710 (C)
1.665 (B)
1.180 (D)
4
1.565 (D)
1.290 (B)
1.655 (A)
0.660 (C)
Tabla ANOVA
Fuente de variación
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrado medio
F0
Valor -p
Tratamientos
0.82734
3
0.27578
12.77
0.005
Renglón
0.03015
3
0.01005
0.47
0.717
Columna
0.042684
3
0.14228
6.59
0.025
Error
0.12958
6
0.02160
Total
1.41392
15
a) ¿Existen diferencias entre los rendimientos de las diferentes variedades de maíz? Debido a que le Valor-p es menos que la significancia observada para el modelo 0.025<0.05 se afirma que si existen diferencias entre los tratamientos. b) ¿Cuál de los factores de bloque tuvo efecto? El gradiente de fertilidad del suelo. c) ¿Se habrían detectado las mismas diferencias entre los tratamientos con un diseño completamente al azar? No, porque en este tipo de diseño en cuadro latino se controlan dos factores de bloqueo y se tienen cuatro fuentes de variabilidad para el modelo que pueden afectar la respuesta observada. d) ¿Y con un diseño en bloque completos al azar? No, ya que no contempla la posibilidad de comparar más de 1 factor.
