DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS ( IVAN MORAN)

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO FACULTAD DE MECÁNICA ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA

Las elevadas presiones que existen en el interior de una turbina de gas y la alta velocidad a la que giran los ejes, convierten a esta máquina en uno de los mayores retos del Diseño en Ingeniería Mecánica.

DFTC – JEGJ – MATG – JLTC – DJCA

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PREFACIO “Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero sin excederse de ello”

Albert Einstein

El presente texto de Diseño de Elementos de Máquinas “I” ha sido diseñado para alumnos que cursan el cuarto año de Ingeniería Mecánica y que ya han tomado los cursos de Física, Mecánica de la Ingeniería, Materiales, Procesos y las Ciencias de Termo-Fluidos. El Diseño de Elemento de Máquinas es uno de los temas fundamentales de cualquier plan de estudios de Ingeniería Mecánica. El conocimiento de las leyes que rigen el comportamiento, así como de las propiedades más importantes, de los distintos componentes mecánicos, bajo la acción de cargas, es indispensable para comprender los principios de funcionamiento de las máquinas, y para poder explicar los fenómenos mediante los cuales se produce el colapso de las mismas. Puesto que las variables en el Diseño son funciones, por lo general, de las dimensiones de los elementos de máquinas, el tema es más complicado que la teoría de Mecánica de Materiales. El propósito de este texto es satisfacer la demanda de un libro de texto que no sólo presente los fundamentos del Diseño en forma breve, concisa y lógica, sino que también incluya la forma más apropiada de resolución de problemas relacionados con los ejes de transmisión, cilindros de presión, sujetadores, columnas, tornillos de potencia y cojinetes. Consideramos que una de las dificultades básicas de los estudiantes en el aprendizaje del Diseño es que no pueden comprender los conceptos más importantes que aparecen en dicho curso, mismos que se derivan de los cursos previos de Mecánica de Materiales. Con este texto, lo que se pretende es de cierta manera ayudar a los estudiantes a vencer estas dificultades, usando un enfoque puramente descriptivo de los fenómenos más comunes que se presentan en los elementos de máquinas mediante resolución de problemas. Aproximadamente la mitad del texto contiene el material informativo que el estudiante debe leer con detenimiento y procurar fijar en su mente. El resto de la obra corresponde a problemas resueltos y propuestos. Con esto último creemos que el alumno no sólo desarrollará una compresión más profunda de los diversos temas tratados, sino que también sentirá la satisfacción de saber que sus conocimientos en esta materia son los adecuados. En el breve capítulo 1 se expone una introducción acerca del fascinante mundo del Diseño. Allí se presenta el concepto de factor y margen de seguridad, así como el de confiabilidad. El capítulo 2 se encuentra destinado a un repaso de los conceptos más fundamentales de la Mecánica de Materiales. En el capítulo 3 se describe muy brevemente la clasificación y las propiedades de los materiales más comúnmente usados en ingeniería. El capítulo 4 trata sobre el esfuerzo y los métodos más utilizados para su respectivo análisis. En el capítulo 5 se estudian las diferentes teorías de falla debido a carga estática. El capítulo 6 describe la falla de los elementos de máquinas producida por el fenómeno conocido como fatiga. Las características más importantes de los elementos de unión son el tema del capítulo 7. En el capítulo 8 se estudian la teoría y las aplicaciones de los muelles helicoidales. El capítulo 9 trata sobre aquellos elementos de máquina que se utilizan, con frecuencia, para transmitir potencia. En el capítulo 10 se abarca el tema relacionado, principalmente, a la selección de cojinetes, mientras que, las características más importantes de las columnas y de los cilindros de presión, son los temas principales de estudio de los capítulos 11 y 12, respectivamente.

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________________________________________________________________________________ Cada capítulo de este texto se inicia con una sección de introducción, la misma que proporciona una guía para los temas que se analizarán en el capítulo. La característica principal de este texto es que en todo su contenido se presentan problemas resueltos después de la teoría y relaciones más importantes, con el objetivo de ilustrar los métodos más usados para resolver problemas genéricos. Al final de cada capítulo y de sus respectivos problemas resueltos, aparece una sección identificada como problemas propuestos, los mismos que condensan los temas principales del capítulo. Esperamos que estos últimos sean de ayuda y muy útiles para que los estudiantes aprendan a resolver problemas del fascinante mundo del Diseño de Máquinas. Las unidades empleadas en el texto son las del Sistema Internacional (SI) y las del sistema (CGS). Las demostraciones de las relaciones más importantes que aparecen a lo largo de todo el texto, se han omitido en su totalidad, por el temor introducir errores, sean los de tipo teórico (que serían los más graves) o los de tipo mecanográfico, que ocurren generalmente, durante la escritura de todas esas relaciones (ecuaciones). A lo largo de todo el texto aparecerá el símbolo de asterisco (*), que según la forma en que aparezca indica ciertas notas que hay que leerlas con mucha atención. A saber, cuando aparezca delante del número de cierta sección, indica que ésta es opcional, es decir, que su estudio, puede ser o no de importancia para el entendimiento del tema del capítulo correspondiente; claro, esto último quedará a criterio del estudiante. Asimismo, cuando aparezca como exponente de cierta palabra dentro de una sección, indica que al pie de la página donde se encuentre esa palabra, se da algo más de información acerca de esa palabra o sobre el tema que se está tratando en esa sección. En algunos casos, también proporciona referencias de libros más avanzados donde se puede obtener mayor información del tema y de las demostraciones más complejas. Se recomienda al estudiante que en estos casos, acuda a tales referencias bibliográficas con el fin de enriquecer sus conocimientos referentes a esos temas de estudio. Finalmente, en lo que corresponde a los problemas propuestos, cuando aparezca delante del número de uno de ellos, indica que el problema tiene un grado de dificultad bastante elevado, o que, en el caso de problemas ya de diseño, estos no tienen una solución única. Algo muy importante que debe ser mencionado es que, de ninguna manera este texto tiene la intención de reemplazar al material bibliográfico tan amplio y avanzado que existe sobre el tema, sino que, como se dijo anteriormente, el propósito de este texto es el de presentar los fundamentos del Diseño en forma breve, concisa y lógica. Asimismo debemos dejar constancia que la información que se encuentra en este texto ha sido fundamentada en la existente en los excelentes libros que se citan a lo largo de todo el texto, y que se indican al final de éste en la bibliografía correspondiente. No obstante, los autores somos los únicos responsables de cualquier deficiencia en el texto y agradeceremos a los lectores que nos hagan llegar las observaciones que tengan sobre el mismo.

D.F.T.C - J.E.G.J - M.A.T.G - J.L.T.C - D.J.C.A

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NOTA PARA EL ESTUDIANTE

Este es un texto sobre los fundamentos del Diseño de Elementos de Máquinas. Los conceptos e ideas que aprenda de él entrarán, muy probablemente, a formar parte de su vida profesional y de su modo de pensar. Cuanto mejor los comprenda tanto más fácil le resultará el resto de su educación superior. En este curso debe estar preparado para abordar numerosos problemas arduos. El aprender los conceptos y las técnicas del Diseño puede ser, a veces, un proceso lento y doloroso. Antes de que entre en esas regiones del Diseño que despiertan su imaginación, usted debe dominar otras menos llamativas pero muy fundamentales, sin las cuales no puede utilizar o comprender el Diseño en forma apropiada. Usted deberá mantener dos objetivos principales al tomar este curso. Primero: familiarizarse completamente con el puñado de conceptos y principios básicos que constituyen la columna vertebral del Diseño. Segundo: desarrollar la habilidad de manejar estas ideas y aplicarlas a situaciones concretas; en otras palabras, la habilidad de pensar y actuar como ingeniero. El primer objetivo lo puede alcanzar principalmente leyendo y releyendo la teoría que se presenta en este texto. Recomendamos principalmente que lea aquellas referencias bibliográficas que se citan, pues ellas enriquecerán la información que usted necesita asimilar. Para ayudarlo a alcanzar el segundo objetivo, hay a lo largo del texto muchos problemas resueltos, los cuales le servirán de ayuda para la comprensión de las ideas más básicas del Diseño. Recomendamos principalmente que lea primero toda la teoría que fuese necesaria y una vez familiarizada con ella, prosiga con los problemas asignados por el profesor. Los problemas propuestos que están al final de cada capítulo tienen un gado variable de dificultad. Oscilan entre lo más simple y lo más complejo. Si el problema que se está tratando no se puede resolver en un tiempo prudencial, póngalo a un lado e inténtelo más tarde, para el caso d aquellos pocos problemas que se resisten a ser resueltos, deberá procurar ayuda (con el profesor o con estudiantes más avanzados). El reto del Diseño no es el de resolver de manera perfecta un problema en particular, sino más bien, usar unas cuantas ideas y conceptos bien fundamentados, que nos permitan dominar todas las técnicas de resolución, para enfrentarnos a problemas más generales. Algo muy importante que debe mencionarse es que en ningún momento se debe tomar a este texto como una fuente de referencia para buscar culpables de los frecuentes errores que se producen durante las pruebas concernientes al curso de Diseño, puesto que, sus calificaciones dependerán tanto de su astucia como de sus conocimientos para analizar los problemas, y que, por sobre todas las cosas, de sus ideas y procedimientos plasmadas en sus pruebas, es, el profesor quién tendrá la última palabra. Finalmente, el aprendizaje del Diseño es un viaje intelectual; este texto le servirá como guía, pero usted debe aportar su dedicación y su perseverancia. Esperamos que su exploración del territorio del Diseño de Elementos de Máquinas en Ingeniería Mecánica sea una experiencia estimulante y gratificante.

Los autores

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_______________________________________________ El aprendizaje no se logra por casualidad; debe buscarse con pasión y atenderse con esmero. Abigail Adams _______________________________________________

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INGENIERÍA MECÁNICA

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN El Diseño de Elementos de Máquinas implica un gran conocimiento de geometría. Por lo tanto, resulta también necesaria la habilidad para hacer gráficos de las diferentes configuraciones que se presenten, así como el dibujo de diagramas de cuerpo libre de las cargas que actúan sobre un componente. El Diseño de Elementos de Máquinas requiere también un conocimiento completo de cursos de ciencias básicas de la ingeniería, tales como: Física, Mecánica de la Ingeniería, Materiales y Procesos y las Ciencias de Termo-Fluidos. El Diseño de Elementos de Máquinas es también la parte medular de otros tipos de estudios profesionales y de diseño incluidos en la carrera de Ingeniería Mecánica. Así pues, un curso de Diseño de Elementos de Máquinas parece ser el método más efectivo para iniciar al estudiante en la práctica de la Ingeniería Mecánica.

1.1 ¿QUÉ ES EL DISEÑO? Diseño es la transformación de conceptos e ideas en maquinaria útil. Una máquina es una combinación de mecanismos y otros componentes que transforma, transmite o emplea energía, carga o movimiento para un propósito específico. Una máquina comprende varios elementos diferentes, diseñados apropiadamente y arreglados para trabajar en conjunto como una unidad. Las decisiones fundamentales concernientes a la carga, la cinemática y a la selección de materiales deben tomarse durante el diseño de una máquina. También es necesario considerar otros factores como resistencia, confiabilidad, deformación, tribología (fricción, desgaste y lubricación), costo y necesidades de espacio. El objetivo es producir una máquina que no sólo sea lo suficientemente resistente para funcionar con eficiencia durante un tiempo razonable, sino que también sea posible de realizar económicamente. Para “dirigir las vastas fuentes de poder de la naturaleza” en el diseño de máquinas, el ingeniero debe reconocer las funciones de los varios elementos de una máquina y los tipos de carga que ellos transmiten. Un elemento de máquina puede funcionar como un transmisor de carga normal, como transmisor de movimiento rotacional, como un absorbente de energía o como un empaque. Algunos transmisores de carga normal son los cojinetes de elementos rodantes, los cojinetes hidrodinámicos y los cojinetes de fricción. Algunos transmisores de movimiento rotacional son los engranes, mecanismos de tracción, de cadena y de banda. Los frenos y los amortiguadores son absorbentes de energía. En contraste con los problemas matemáticos u otros puramente científicos, los problemas de Diseño no tienen una sola respuesta. En efecto, una respuesta que es adecuada (o “buena”) ahora, puede ser muy bien una solución impropia (o “mala”) el día de mañana, si se produjo una evolución de los conocimientos durante un lapso de tiempo transcurrido. Todo problema de Diseño siempre está sujeto a determinadas restricciones para su solución. Un problema de Diseño no es un problema hipotético. Todo diseño tiene un propósito concreto: la obtención de un resultado final al que se llega mediante una acción determinada o por la creación de algo que tiene realidad física.

1.2 DISEÑO DE SISTEMAS MECÁNICOS El diseño mecánico es el diseño de objetos y sistemas de naturaleza mecánica: piezas, estructuras, mecanismos, máquinas y dispositivos e instrumentos diversos. En su mayor parte, el diseño mecánico hace uso de las matemáticas, las ciencias de los materiales y las ciencias mecánicas aplicadas a la Ingeniería. El diseño en Ingeniería Mecánica incluye el diseño mecánico, pero es un estudio de mayor amplitud que abarca todas las disciplinas de la Ingeniería Mecánica, incluso las ciencias térmicas y de los fluidos.

________________________________________________________________________________ DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS I

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INTRODUCCIÓN

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Un sistema mecánico es una unión sinergética de elementos de máquina. Es sinergética porque como diseño representa una idea o concepto mayor que la suma de las partes individuales. El diseño de sistemas mecánicos requiere una flexibilidad considerable y creatividad para obtener buenas soluciones. La creatividad parece ser asistida por familiaridad con los diseños exitosos conocidos, y los sistemas mecánicos con frecuencia son conjuntos de componentes bien diseñados de un número finto de calidades probadas.

1.3 DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS El diseño adecuado de un elemento de máquina usualmente comprende los siguientes pasos:

1. 2. 3. 4.

Selección del tipo adecuado del elemento de máquina desde la consideración de su función. Estimación del tamaño del elemento de máquina que sea probable para ser satisfactorio. Evolución del desempeño del elemento de máquina contra los requisitos a cumplir. Y la modificación del diseño y de las dimensiones hasta que el desempeño esté cerca de cualquier punto óptimo considerado más importante.

Una vez que se selecciona el tipo adecuado de un elemento de máquina para la función que se requiere, se diseña el elemento de máquina específico analizando la cinemática, la carga y el esfuerzo. Estos análisis, junto con una adecuada selección del material, permitirá la evaluación del esfuerzo-deformación unitaria-resistencia en términos de un factor de seguridad. Una pregunta importante en el diseño de un elemento de máquina es si fallará en servicio. La mayoría de las personas, incluyendo a los ingenieros, asocian comúnmente la falla con el rompimiento del elemento de máquina. Aunque el rompimiento es un tipo de falla, el ingeniero de diseño debe tener un entendimiento más amplio de lo que realmente determina si una parte ha fallado. Se considera que un elemento de máquina ha fallado cuando: 1. 2. 3.

Es completamente inoperable. Aún es operable pero es incapaz de desempeñar satisfactoriamente su función programada. Un serio deterioro lo ha hecho inconfiable o inseguro para su uso continuo, requiriendo su desplazamiento del servicio para su reparación o reemplazo inmediato.

La función del ingeniero de diseño es predecir las circunstancias bajo las cuales es probable que ocurra una falla. Estas circunstancias son las relaciones esfuerzo-deformación unitaria-resistencia que involucran a la mayoría de los elementos sólidos y a fenómenos de superficie como la fricción, el desgaste, la lubricación y el deterioro ambiental. Los principios del diseño son universales. Un análisis es igualmente válido sin importar el tamaño, el material y la carga. El análisis de diseño intenta predecir la resistencia o deformación de un elemento de máquina, de manera que pueda soportar las cargas impuestas durante el tiempo que se requiera. Ciertas suposiciones tienen que realizarse acerca de las propiedades de los materiales bajo diferentes tipos de carga (axial, de flexión, de torsión y de cortante transversal, así como de varias combinaciones) y clasificación (estática, sostenida, por impacto o cíclica). Estas restricciones de carga pueden variar a través de las máquinas, pues ellas de relacionan con diferentes elementos de máquina, un factor importante a considerar por el ingeniero de diseño.

1.4 CONSIDERACIONES FUNDAMENTALES DE DISEÑO A veces, la resistencia de un elemento es un asunto muy importante para determinar la configuración geométrica y las dimensiones que tendrá dicho elemento. En tal caso se dice que la resistencia es un factor importante de diseño. La expresión factor de diseño, significa alguna característica o consideración que influye en el diseño de un elemento o, quizá, en todo el sistema. Por lo general se tienen que tomar en cuenta varios de esos factores en un caso de diseño determinado. En ocasiones, alguno de esos factores será crítico y, si se satisfacen sus condiciones, ya no será necesario considerar los demás.


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INTRODUCCIÓN

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Por ejemplo, suelen tenerse en cuenta los factores siguientes:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Resistencia Confiabilidad Condiciones térmicas Corrosión Desgaste Fricción o rozamiento Procesamiento Utilidad Costo Seguridad Peso

12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

Ruido Estilización Forma Tamaño Flexibilidad Control Rigidez Acabado de superficies Lubricación Mantenimiento Volumen

Algunos de estos factores se refieren directamente a las dimensiones, al material, al procesamiento o procesos de fabricación, o bien, a la unión o ensamble de los elementos del sistema. Otros se relacionan con la configuración total del sistema.

1.5 FACTOR Y MARGEN DE SEGURIDAD La resistencia es una propiedad de un material o de un elemento mecánico. La resistencia de un elemento depende de la clase, tratamiento y procesado del material. Conviene recordar que ele esfuerzo es algo que ocurre en una pieza o elemento debido a la aplicación de una fuerza. Por otra parte, la resistencia es una propiedad intrínseca del elemento y depende del material y el proceso particulares que se usaron para fabricar tal elemento. El término factor de seguridad se aplica al factor utilizado para evaluar la condición segura de un elemento. Considérese que un elemento mecánico se somete a algunas acciones que se designarán por F . Se supone que F es un término muy general y que puede representar una fuerza, un momento de flexión o de torsión, una pendiente, una deflexión o alguna clase de deformación o distorsión. Si F aumenta, finalmente llegará a ser tan grande que cualquier pequeño incremento adicional alteraría permanentemente la capacidad del elemento para realizar su función.

El factor de seguridad se puede expresar como:

Si Si

n=

σ permisible σ diseño

n > 1 , el diseño es adecuado. Entre mayor sea n , más seguro será el diseño. n < 1 , el diseño puede ser inadecuado y necesitar de un rediseño.

Cuando el esfuerzo se hace igual a la resistencia, n = 1 , no habrá ya ninguna seguridad en absoluto. Por lo tanto, frecuentemente se usa el término margen de seguridad.

Este margen se define por la ecuación: donde:

ms = n + 1

ms : margen de seguridad (en %) n : factor de seguridad ( > 1)

La mayor utilidad del factor de seguridad se tiene cuando se compara el esfuerzo con la resistencia a fin de evaluar el grado de seguridad. El factor de seguridad se usa para tener en cuenta dos efectos que generalmente no están relacionados: 1.

2.

Cuando han de ser fabricadas muchas piezas a partir de diversa existencias de materiales, ocurrirá una variación en la resistencia de las diferentes piezas por una variedad de razones, como el procesamiento, el trabajo en caliente o frío y la configuración geométrica. Cuando una pieza ha de ser ensamblada, habrá una variación en la carga que experimentará la pieza y, los esfuerzos inducidos por tal acción, sobre lo cual el fabricante y el diseñador no tienen control.

Designaremos como casos a las tres circunstanciasen las cuales se emplea un factor de seguridad en ingeniería. Estos casos dependen de si un factor de seguridad se determina como una sola cantidad, o bien, se establece como un conjunto de componentes.


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INTRODUCCIÓN

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Caso 1. El factor de seguridad se aplica en su totalidad a la resistencia.

σ =

Sy n

τ=

S Sy n

Cuando una pieza ya ha sido diseñada y se conocen su configuración, sus cargas y su resistencia, se calcula el factor de seguridad con objeto de evaluar la condición segura del diseño. Este enfoque se utiliza también cuando en un cierto elemento se ha presentado una serie de fallas o averías, y el diseñador desea saber por qué algunas piezas no funcionan debidamente. Según esto, de la ecuación anterior se despejará el valor de

n.

Caso 2. El factor de seguridad se aplica íntegramente a la carga o los esfuerzos que resultan de esta carga.

F p = nF Ahora

Fp

σ p = nσ

o bien

recibe el nombre de carga permisible (o admisible), y

σp

es también el esfuerzo permisible (o admisible).

Se justifica plenamente llamar también “permisible” al esfuerzo que resulta de una carga “permisible”. Caso 3. Un factor de seguridad global o total puede descomponerse en varios componentes, y se utilizarán factores individuales para la resistencia y para las cargas, o bien, para los esfuerzos producidos por esas cargas. Si hay dos de ellas, por ejemplo, entonces el factor total de seguridad es:

n = n S n1 n2 donde:

nS

tiene en cuenta todas las variaciones o incertidumbres referentes a la resistencia

n1 corresponde a todas las incertidumbres concernientes a la carga 1 n2 corresponde a todas las incertidumbres que conciernen a la carga 2 Cuando se aplica un factor de seguridad, como

nS , a

la resistencia, esto equivale a expresar que en circunstancias

usuales y razonables la resistencia que resulte será siempre menor. Por lo tanto, el valor mínimo de la resistencia se calcula como:

S mín = Cuando se aplica un factor de seguridad como

n1

S nS

a una carga, o al esfuerzo que resulta de la aplicación de dicha

carga, se está experimentando en realidad que la carga o esfuerzo resultantes nunca tendrán un valor mayor. Por último es importante observar que probablemente tanto la resistencia como los esfuerzos en un elemento de máquina variarán de punto a punto en todo el componente.

1.6 CONFIABILIDAD La medida estadística de la probabilidad de que un elemento mecánico no falle cuando esté en servicio se llama confiabilidad. Esta cantidad, R, tiene como medida un número situado en el siguiente intervalo:

0 ≤ R <1

R = 0.90 significa que hay 90% de probabilidades de que la pieza funcione adecuadamente sin fallar. Una confiabilidad de R = 1 no puede obtenerse, puesto que significa que la falla es absolutamente imposible.

Una confiabilidad de


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INTRODUCCIÓN

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CAPÍTULO 2 MECÁNICA DE MATERIALES 2.1 INTRODUCCIÓN Todos los sólidos, en una u otra manera, tienen las propiedades de resistencia y rigidez, o sea que, dentro de ciertos límites son capaces, sin romperse y sin sufrir grandes variaciones en sus dimensiones geométricas, de resistir cargas. La mecánica de materiales es la ciencia que trata de la resistencia y de la rigidez de los elementos de las estructuras. Por los métodos de la mecánica de materiales se realizan los cálculos prácticos y se determinan las dimensiones necesarias, seguras, de las piezas de las máquinas y de distintos tipos de estructuras. Las bases fundamentales de la mecánica de materiales se apoyan sobre los teoremas de la mecánica general, sobre todo de la Estática, sin conocimiento de los cuales el estudio de la mecánica de materiales sería imposible. La diferencia entre la mecánica de materiales y la mecánica teórica consiste en que para la primera lo esencial son las propiedades de los cuerpos deformables, mientras que las leyes del movimiento del sólido interpretado como un cuerpo rígido no solamente pasan a un segundo plano, sino que en muchos casos simplemente carecen de importancia. Al mismo tiempo, teniendo en cuenta que las dos tienen mucho en común, se puede considerar a la primera como una rama de la segunda, llamada Mecánica de los Sólidos Deformables. La mecánica de los cuerpos deformables abarca también a otras asignaturas como la Teoría matemática de la Elasticidad, que estudia de hecho los mismos problemas que la mecánica de materiales. La diferencia esencial entre la mecánica de materiales y la teoría matemática de la elasticidad consiste en la manera de enfocar el problema. La teoría matemática de la elasticidad estudia el comportamiento de los sólidos deformables basándose sobre planteamientos más exactos. Por eso, al resolver los problemas resulta necesario, en muchos casos, recurrir a un modelo matemático más complicado y realizar con frecuencia cálculos voluminosos. Debido a esto, las posibilidades del empleo práctico de los métodos de la teoría de la elasticidad son muy limitadas, a pesar de que ellos analizan los fenómenos de una manera más completa. La mecánica de materiales tiene como fin la elaboración de métodos simples de cálculo, aceptables desde el punto de vista práctico, de los elementos típicos, más frecuentes, de las estructuras. Para ello se emplean diversos procedimientos aproximados. La necesidad de obtener resultados concretos y numéricos al resolver los problemas prácticos, nos obliga en algunos casos, a recurrir en la mecánica de materiales, a hipótesis (suposiciones) simplificadas que deben ser justificadas comparando después los resultados del cálculo con los de los ensayos. Al elaborar los métodos de cálculo aproximados de la mecánica de materiales se emplean también los resultados del análisis exacto realizado por los métodos de la teoría matemática de la elasticidad. Los fines de la mecánica de materiales, en virtud de su carácter aplicado, son más amplios que los de la teoría matemática de la elasticidad. El problema esencial de la mecánica de materiales consiste no solamente en determinar las particularidades interiores de los sólidos, sino, también, en darles una interpretación correcta al juzgar sobre la capacidad de trabajo y utilización práctica de la estructura que se analiza. En la teoría matemática de la elasticidad este último problema no se plantea. Entre las ciencias que estudian los problemas relacionados con los sólidos deformables, surgieron y se desarrollan en los últimos decenios nuevas ramas de la mecánica, que ocupan un lugar intermedio entre la mecánica de materiales y la teoría de la elasticidad, como, por ejemplo, la Teoría Aplicada de la Elasticidad. Aparecen también asignaturas afines como la Teoría de la Plasticidad, Teoría del Escurrimiento Plástico, y otras. Sobre las bases de las leyes fundamentales de la mecánica de materiales han sido creadas nuevas ramas de la ciencia sobre la resistencia de orientación práctica, como la mecánica de las construcciones estructurales y de los aviones, la teoría de la resistencia de las estructuras soldadas y muchas otras.


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MECÁNICA DE MATERIALES

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Los métodos de la mecánica de materiales no permanecen inalterables sino que varían al surgir problemas y exigencias nuevas de la práctica. Al realizar los cálculos, los métodos de la mecánica de materiales se deben emplear de manera creadora y tener en cuenta que el éxito del cálculo práctico radica no tanto en el empleo de un modelo matemático complicado como en la capacidad de penetrar en el fenómeno, sino de encontrar las hipótesis más apropiadas y de llevar el cálculo a resultados numéricos definitivos. Puesto que los elementos de máquinas soportan cargas, de ello se deriva que un análisis de las cargas resulte esencial en el diseño de elementos de máquinas. La selección adecuada de un elemento de máquina es con frecuencia un asunto tan simple como calcular los esfuerzos y deformaciones que se esperan durante el servicio del elemento y, luego, se elige el tamaño adecuado de manera que no se excedan los esfuerzos ni las deformaciones críticos. El primer paso para calcular los esfuerzos de un elemento de máquina es la determinación exacta de la carga.

2.2 SECCIÓN CRÍTICA Para determinar cuando fallará un elemento de máquina, el ingeniero de diseño evalúa el esfuerzo, la deformación unitaria y la resistencia en la sección crítica. La sección crítica, o ubicación en el diseño donde se desarrolla la carga interna más grande y por consiguiente donde es más probable que ocurra la falla, a menudo no se conoce intuitivamente a priori. En general, la sección crítica ocurrirá con frecuencia en puntos geométricos no uniformes, como en el punto donde un eje cambia su diámetro a lo largo de un filete. También, a menudo son críticos los puntos donde se aplica o se transfiere una carga. Finalmente, las áreas donde la geometría (forma) es más crítica representan casos para su análisis.

2.3 CLASIFICACIÓN DE CARGAS Y CONVENCIÓN DE SIGNOS Cualquier carga aplicada se clasifica con respecto al tiempo en las formas siguientes: 1.

Carga estática: La carga se aplica de manera gradual y el equilibrio se alcanza en un tiempo relativamente corto. La estructura no experimenta efectos dinámicos.

2.

Carga sostenida: La carga, como el peso de una estructura, es constante durante un largo período.

3.

Carga de impacto: La carga se aplica rápidamente. Una carga de impacto usualmente se atribuye a una energía impartida a un sistema.

4.

Carga cíclica: La carga puede variar e inclusive invertirse en signo y tiene un período característico respecto al tiempo.

Una carga también se puede clasificar respecto al área sobre la cual se aplica: 1.

Carga concentrada: La carga se aplica en un área mucho menor que la del miembro que se carga. Un ejemplo sería en contacto entre un rodillo y una viga de apoyo en un brazo de soporte mecánico, donde el área de contacto es 100 veces menor que la superficie del rodillo. Para estos casos se puede considerar que la fuerza aplicada actúa en un punto de la superficie.

2.

Carga distribuida: La carga se distribuye a lo largo de toda el área. Un ejemplo sería el peso de la calzada de un puente de concreto de espesor uniforme.

Las cargas además se clasifican respecto a su localización y método de aplicación. También, la dirección coordenada se debe determinar antes de que se pueda establecer el signo de la carga: 1.

Carga normal: La carga pasa a través del centroide de la sección resistente. Las cargas normales pueden ser de tensión o de compresión. La convención de signos es tal que la carga de tensión es positiva, y la de compresión, negativa.

2.

Carga cortante: Una fuerza P (paralela a la sección) se supone colineal con la fuerza cortante transversal V. Una fuerza cortante es positiva si la dirección de la fuerza y la dirección normal son ambas positivas o ambas negativas. Una fuerza cortante es negativa si la dirección de la fuerza y la dirección normal tienen signos diferentes. De esta forma, para establecer si una fuerza cortante es positiva o negativa, se deben designar las coordenadas x e y positivas.

3.

Carga flexionante: La carga se aplica transversalmente al eje longitudinal del elemento. Según sea la dirección de la fuerza aplicada sobre el elemento, como por ejemplo, dirigida hacia abajo, los puntos situados por encima del eje neutro de la sección soportarán esfuerzos de compresión, mientras que los situados por debajo de éste eje, estarán sujetos a esfuerzos de tracción.


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4.

Carga de torsión: Este tipo de carga somete a un elemento a un movimiento de torsión. Aquí se puede aplicar la regla de la mano derecha para determinar su dirección y sentido.

5.

Carga combinada: Resulta de una combinación de dos o más de las cargas que se definieron anteriormente.

2.4 REACCIONES DEL APOYO Las reacciones son fuerzas que desarrollan en el apoyo. Una forma de determinar la reacción del apoyo consiste en imaginar al elemento sujeto como si fuera trasladado o girara en una dirección particular. Si el apoyo se opone a la traslación en una dirección dada, se desarrolla una fuerza sobre el elemento en esa dirección. De la misma forma, si el apoyo previene la rotación, un momento acoplado se aplica al elemento. Por ejemplo, un rodillo previene la traslación sólo en la dirección de contacto, perpendicular a la superficie; de esta forma, el rodillo no puede desarrollar un momento acoplado al elemento en el punto de contacto.

2.5 EQUILIBRIO ESTÁTICO El equilibrio de un cuerpo requiere tanto un balance de las fuerzas, para prevenir que el cuerpo se traslade a lo largo de una trayectoria recta o curva, como un balance de momentos, para prevenir que el cuerpo gire. De acuerdo con la estática se acostumbra presentar estas ecuaciones como:

∑P = 0 ∑M = 0 x

x

∑P = 0 ∑M = 0 y

y

∑P = 0 ∑M = 0 z

z

Con frecuencia, en la práctica de la ingeniería la carga sobre un cuerpo se puede representar como un sistema de fuerzas coplanares. Si éste es el caso, la fuerza se sitúa en el plano x-y y las condiciones de equilibrio para el cuerpo se pueden especificar con sólo tres ecuaciones:

∑P

x

Note que el momento

Mz

=0

∑P

y

=0

∑M

z

=0

es perpendicular al plano que contiene las fuerzas. La aplicación adecuada de las

ecuaciones de equilibrio requiere de la especificación completa de todas las fuerzas conocidas y desconocidas que actúan sobre el cuerpo.

2.6 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE Una máquina completa, cualquier elemento de máquina o cualquier parte de un elemento de máquina se representan como cuerpos libres. Se supone un equilibrio estático en cada nivel. La mejor forma de representar las fuerzas y momentos en las ecuaciones de equilibrio es dibujar un diagrama de cuerpo libre. Para que las ecuaciones de equilibrio sean correctas, los efectos de todas las fuerzas aplicadas y los momentos deben representarse en el diagrama de cuerpo libre. Un diagrama de cuerpo libre es un esquema de una máquina, de un elemento de máquina o de una parte de un elemento de máquina, donde se muestran todas las fuerzas actuantes, como las cargas aplicadas, las fuerzas de gravedad y todas las fuerzas de reacción. Las fuerzas de reacción se proporcionan por el piso, paredes, pernos, rodillos, cables y otros medios. El signo de la reacción se supone inicialmente. Si después del análisis del equilibrio estático el signo de la fuerza de reacción es positivo, la dirección que se supuso inicialmente es correcta; si es negativa, la dirección es opuesta a la que se supuso inicialmente.

2.7 VIGAS APOYADAS Una viga es un elemento estructural diseñado para soportar cargas aplicadas perpendicularmente a su eje longitudinal. En general, las vigas son barras largas y rectas con área de sección transversal constante.


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Con frecuencia, se clasifican de acuerdo con la forma en que se apoyan: 1.

Una viga simplemente apoyada está articulada en un extremo y apoyada sobre un rodillo en el otro.

2.

Una viga en voladizo está empotrada en un extremo y libre en el otro.

3.

Una viga suspendida tiene uno o ambos extremos extendiéndose libremente más allá de su(s) apoyo(s).

2.8 FUERZA Y ESFUERZO 2.8.1 FUERZA Puede considerarse como una causa capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo o de deformarlo. Las fuerzas (también llamadas cargas) se miden por los efectos que producen, es decir, a partir de las deformaciones o cambios de movimiento que producen sobre los objetos. Según su naturaleza, pueden ser estáticas o dinámicas. Las primeras, cuando su punto da aplicación, magnitud y dirección no varían con respecto al tiempo, es decir, se aplican y allí se mantienen; las segundas, se refieren a aquellas que pueden varían sus propiedades con respecto al tiempo o cuando se aplican y se retiran, y otra vez, se aplican y se retiran, y así muchas veces, en cuyo caso se dice que la carga es repetida; éstas son capaces de producir en los elementos un fenómeno físico conocido como fatiga. Las fuerzas más conocidas son aquellas que producen en los elementos tracción (aumentan su longitud) o compresión (disminuyen su longitud).

2.8.2 ESFUERZO Uno de los problemas fundamentales en la ingeniería es la determinación del efecto de una carga sobre una parte. Esta determinación es una parte esencial del proceso de diseño; uno no puede elegir una dimensión o un material sin entender primero la intensidad de la fuerza dentro del componente que se analiza. El esfuerzo es el término que se emplea para definir la intensidad y la dirección de las fuerzas internas que actúan en un punto dado sobre un plano particular. La resistencia, por otro lado, es una propiedad del material.

2.9 CARGA AXIAL. ESFUERZO NORMAL Cuando una carga (fuerza) es aplicada a lo largo del eje de simetría de un elemento, se dice que ésta es una carga axial (llamada también carga normal, pues la sección donde ésta actúa, es perpendicular al eje del elemento).

P

P

Fig. 2-1 Carga axial en un elemento

Para una carga normal sobre un miembro que soporta una carga, en el cual la carga externa se distribuye uniformemente sobre un área de la sección transversal de una parte, la magnitud del esfuerzo normal promedio se puede calcular por medio de la ecuación:

σ prom =

P A

La real distribución de esfuerzos en cualquier sección es estáticamente indeterminada. Para aprender más acerca de esta distribución, es necesario tener en cuenta las deformaciones que resultan de un modo particular de aplicación de las cargas en los extremos de la barra. En la práctica, se supondrá que la distribución de esfuerzos normales de un elemento cargado axialmente es uniforme, excepto en la inmediata vecindad de los puntos de aplicación de las fuerzas. Si embargo debe notarse que el suponer distribución uniforme de esfuerzos en la sección, es decir, cuando se supone que las fuerzas internas están distribuidas uniformemente en la sección, se sigue de Estática elemental que la resultante de las fuerzas internas debe estar aplicada en el centroide de la sección.

Esto significa que una distribución uniforme de esfuerzos es posible únicamente si la línea de acción de las fuerzas concentradas P y P ' (cargas de igual magnitud, sean de tensión o de compresión, aplicadas en los extremos de un elemento) pasa por el centroide de la sección considerada. No obstante, si un elemento de forma irregular se carga axialmente con dos fuerzas excéntricas, la distribución de fuerzas, y la correspondiente distribución de esfuerzos, no puede ser uniforme ni simétrica.


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*2.9.1 DEFORMACIONES DE ELEMENTOS SOMETIDOS A CARGA AXIAL

B

B

L

C

δ

C P

Fig. 2-2 Deformación en un elemento bajo carga axial

Para una barra homogénea de longitud L , sección transversal A y bajo la acción de una carga axial extremo, su deformación puede ser calculada mediante la expresión:

δ=

P

en su

PL AE

Si la barra está cargada en otras partes o si consta de varias secciones, y posiblemente, de varios materiales, debemos dividirla en partes componentes que satisfagan individualmente las condiciones para usar la anterior ecuación.

Ei , la fuerza interna (de tracción o compresión), longitud, área de la sección transversal y módulo de elasticidad que corresponde a parte i , la deformación* total de la barra será: Llamando respectivamente

Pi , Li , Ai

y

n

Pi Li

i =0

i

∑AE

i

*2.9.2 PROBLEMAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS (HIPERESTÁTICOS) En las secciones anteriores pudo utilizarse siempre diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio para hallar las fuerzas internas producidas en diferentes partes de un elemento bajo condiciones de carga conocidas. Hay muchos problemas, sin embargo, donde no es posible determinar las fuerzas internas usando únicamente la estática. En efecto, en la mayor parte de estos problemas las mismas reacciones, que son fuerzas externas, no pueden hallarse simplemente dibujando el diagrama de cuerpo libre del elemento y escribiendo las ecuaciones de equilibrio correspondientes. Éstas deben complementarse con relaciones obtenidas considerando la geometría del problema que incluyan las deformaciones. Coma la estática no es suficiente para determinar las reacciones o las fuerzas internas, los problemas de este tipo se dice que son estáticamente indeterminados.

*2.9.3 PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN CAMBIOS DE TEMPERATURA Todos los elementos considerados hasta aquí permanecían con temperatura constante mientras se les cargaba. Se estudiarán ahora situaciones que involucran cambios de temperatura.

__________ * Sería muy interesante, si es posible, que lea: DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS en el texto “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston, pág. 53, para aprender cómo y por qué se producen éstos desplazamientos, así como la manera de resolver problemas de este tipo.


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AB , de sección constante que descansa libremente sobre una superficie lisa. Si la temperatura de la barra se eleva en ∆T , se observa que la barra se alarga una cantidad δ T que es proporcional al cambio de temperatura ∆T y a la longitud L de la barra.

Imagine una barra homogénea

L A

B

δT

L A

B

Fig. 2-3 Alargamiento de una barra lisa por aumento de temperatura

Se tiene:

donde

α

δ T = α (∆T ) L es una constante carcterística del material, llamada coeficiente de expansión térmica, y cuyas unidades

pueden ser,

(º C ) −1

o

(º F ) −1 .

Supóngase ahora que la misma barra

AB , de longitud L , se coloca entre dos soportes fijos a una distancia L el uno ∆T , la barra no

del otro. En esta condición inicial no hay esfuerzo ni deformación. Si la temperatura se eleva en puede alargarse debido a las restricciones impuestas en los extremos; el alargamiento

δT

no se produce.

Sin embargo, los extremos ejercerán sobre la barra fuerzas iguales y opuestas P y P ' después de que la temperatura se eleva, para evitar que se alargue. Se sigue así que se ha creado en la barra un estado de esfuerzo (sin deformación correspondiente).

L

A

L

B

P'

A

B

δT

P A

B a)

A

δP

B

P A

B

L

b) Fig. 2-4 a) Barra entre dos soportes fijos y bajo un aumento de temperatura, b) Cálculo de la fuerza P

Cuando se intenta el cálculo del esfuerzo normal creado por el cambio de temperatura, se observa que el problema por resolver es estáticamente indeterminado. Por tanto, se debe calcular primero la magnitud soportes partiendo de la condición de que el ligamiento de la barra es cero.

P

de las reacciones de los


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Debido a las condiciones impuestas en los extremos, es obvio que el alargamiento total (producido por el cambio de temperatura y la acción de las reacciones en los extremos) debe ser cero. Se tiene entonces que:

δ = δ T + δ P = α ( ∆T ) L +

PL =0 AE

P = − AEα (∆T )

de lo cual se concluye que:

y que el esfuerzo en la barra debido al cambio de temperatura es:

σ=

P = − Eα (∆T ) A

2.10 CARGA CORTANTE. ESFUERZO CORTANTE Cuando una carga se aplica de forma que ésta sea paralela (o transversal) a una sección, se dice que ésta es una carga cortante.

P A

B

P' Fig. 2-5 Elemento sometidos a fuerzas cortantes

Dividiendo la carga cortante para el área de la sección transversal, se obtiene el esfuerzo cortante medio:

τ prom =

P A

La distribución de los esfuerzos cortantes en la sección no puede suponerse uniforme. El valor real cortante varía desde cero en la superficie del elemento hasta un valor máximo el valor medio

τ máx

τ

del esfuerzo

que puede ser mucho mayor que

τ prom .

Los esfuerzos cortantes ocurren en pernos, pasadores y remaches usados para unir diversos elementos estructurales y componentes de máquinas. Según el número de materiales que sean unidos mediante estos elementos, se puede tener un cortante simple o cortante doble, triple, etc.

F

F'

P'

a)

P

b) Fig. 2-6 a) Cortante simple; b) Cortante doble

2.11 ESFUERZOS DE APLASTAMIENTO EN CONEXIONES Tanto pernos como pasadores y remaches crean esfuerzos en los elementos que conectan, en toda la superficie de aplastamiento o de contacto. Como la distribución de estas fuerzas, y los esfuerzos correspondientes, es muy complicada, en la práctica se usa un valor medio

σ b , llamado esfuerzo de aplastamiento, que se obtiene dividiendo la carga para el área proyectada del

remache (u otro de los elementos antes mencionados) en el material a unir.


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t

d

Fig. 2-7 Superficie de aplastamiento (de contacto)

Sea

d el diámetro de uno de los elementos de unión y t

σb =

el espesor del material a unir, entonces:

P P = A td

2.12 TORSIÓN Los elementos sometidos a torsión se encuentran en muchas situaciones de ingeniería. La aplicación más común la representan los ejes de transmisión que se usan para transferir potencia de un punto a otro, por ejemplo, de una turbina de vapor a un generador eléctrico, o de un motor a una máquina herramienta, o del motor al eje trasero de un automóvil. Estos ejes pueden ser sólidos o huecos. Del mismo modo que en el esfuerzo axial, aquí, la distribución real de los esfuerzos bajo una carga dada es estáticamente indeterminada, es decir, no puede determinarse por los métodos de la Estática. Si embargo, habiendo supuesto que los esfuerzos normales producidos por una carga axial eran uniformemente distribuidos, excepto en la vecindad de cargas concentradas, una hipótesis similar, con respecto a la distribución de esfuerzos cortantes en un eje estático, sería errónea.

2.12.1 TORSIÓN EN SECCIONES CIRCULARES Cualquier vector momento que sea colineal con un eje geométrico de un elemento mecánico se llama vector momento torsionante, debido a que la acción de tal carga hace que el elemento experimente una torcedura con respecto a ese eje. Una barra sometida a tal momento se dice que está en torsión.

L

θ

T

Fig. 2-8 Elemento sometido a torsión

El ángulo de torsión de una barra de sección circular es:

θ=

Tl GJ

donde:

T l G J

= momento torsionante = longitud de la barra = módulo de rigidez = momento polar de inercia del área transversal


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Debe tenerse en cuenta que, dentro de ciertos límites, el ángulo de torsión es proporcional a la longitud del eje y al torque aplicado a éste. En otras palabras, el ángulo de torsión para un eje del mismo material y la misma sección, pero de longitud doble, se duplicará bajo el mismo valor de torque. En este punto debe notarse una propiedad importante que poseen los ejes circulares. Cuando se somete a torsión un eje circular, toda sección transversal permanece plana. En otras palabras, mientras las diferentes secciones transversales a lo largo del eje rotan diferentes cantidades, cada sección lo hace como una losa rígida. La propiedad que se menciona es propia de los ejes circulares, sólidos o huecos; no la tienen miembros de sección no circular. Por ejemplo, cuando una barra de sección cuadrada se somete a torsión, sus diferentes secciones se comban y no permanecen planas. El hecho de que las secciones de un eje circular permanezcan planas se debe a su simetría axial, es decir, su apariencia es igual cuando se lo observa desde una posición fija y se le rota un ángulo arbitrario respecto a su eje. Si todas las secciones del eje, de un extremo a otro, han de permanecer planas, debemos asegurar que los pares sean aplicados de tal manera que los extremos del eje permanezcan planos y sin deformación. Esto puede lograrse aplicando los pares extremos del eje.

T

y

T'

(de igual magnitud y sentido contrario) a placas rígidas sólidamente unidas a los

La ecuación anterior se obtuvo para un eje de sección circular uniforme sometido a torques en sus extremos. Sin embargo, también pueden usarse para un eje de sección variable o para un eje sometido a torque en sitios distintos de los extremos* (véase la figura 2-8). La ecuación para calcular el ángulo de torsión puede usarse únicamente si el eje es homogéneo ( G constante), de sección transversal constante y cargada sólo en sus extremos. Si el eje está cargado de otra manera o si consta de varias porciones con diferentes porciones con diferentes secciones y posiblemente de diferentes materiales lo debemos dividir en sus partes componentes que satisfacen individualmente las condiciones requeridas para la aplicación de ésta ecuación. Supóngase, por ejemplo, un eje compuesto de tres partes diferentes decir, el ángulo que rota al extremo A con respecto al extremo de torsión de cada parte componente.

D

AB , BC , y CD . El ángulo total de torsión, es

D , se obtiene sumando algebraicamente los ángulos

T3 T2

T4

A C B

T1

Fig. 2-9 Eje compuesto de tres partes distintas y sometido a cuatro torques diferentes

Llamando

Ti , Li , J i

y

Gi ,

el torque interno, longitud, momento polar de inercia de la sección y el módulo de

rigidez correspondiente a la parte

i , el ángulo de torsión total del eje se expresa como: n

θ =∑ i=0

El torque interno

Ti Li J i Gi

Ti en cada parte del eje se obtiene haciendo un corte a través de esa parte y dibujando el diagrama

de cuerpo libre de la porción del eje localizada a un lado de la sección. En pocas palabras, lo que se hace es una sumatoria de torques, incluyendo el torque interno de la sección en estudio (véase la figura 2-10 en la página siguiente).

__________ * Véase: ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO en el texto “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston, para una discusión muy completa sobre este caso de solicitaciones.


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TB TA

Ti

Fig. 2-10 Determinación del torque interno Ti

*2.12.2 EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS En la sección anterior se vio aprendió que para determinar los esfuerzos en un eje era necesario calcular primero los torques internos en las diferentes partes del eje. Estos torque s se obtuvieron de la Estática dibujando los diagramas de cuerpo libre de la porción del eje a un lado de la sección y escribiendo que la suma de los torques (incluyendo el torque interno en ésta) era cero. Hay situaciones, sin embargo, en que los torques internos no pueden determinarse por medio de la Estática solamente. En efecto, en tales casos, los torques externos mismos, es decir, los torques ejercidos sobre el eje por los soportes y conexiones no pueden obtenerse del diagrama de cuerpo libre de todo el eje. Las ecuaciones de equilibrio deben ser complementadas por relaciones que incluyan las deformaciones del eje y que se obtengan considerando la geometría del problema. Puesto que la Estática no es suficiente para determinar los torques internos y externos, se dice que tales ejes son estáticamente indeterminados.

2.12.3 ESFUERZOS EN SECCIONES CIRCULARES En el caso de una barra maciza, el esfuerzo cortante vale cero en el centro y es máximo en la superficie. La distribución es proporcional al radio ρ , y es:

τ= Designando por

r

Tρ J

el radio de la superficie exterior, se tiene:

τ=

Tr J

Las hipótesis empleadas en el análisis son: 1.

Sobre la barra actúa un momento de torsión puro y las secciones transversales analizadas están alejadas del punto de aplicación de la carga teniéndose un cambio de diámetro.

2.

Las secciones transversales adyacentes, originalmente planas y paralelas permanecen en este estado después de la torsión; además, toda línea radial permanece recta.

3.

El material cumple con la Ley de Hooke.

En cuanto a la deformación y distribución del esfuerzo cortante, debe considerarse lo siguiente: La deformación cortante en un eje circular varía linealmente con la distancia al centro del eje. De igual manera, el esfuerzo cortante en el eje varía linealmente con la distancia ρ al centro del eje (véase la figura 2-11).

τ máx

τ

τ máx

τ

τ mín r

ρ

r

a)

R

ρ

b)

Fig. 2-11 Distribución del esfuerzo cortante: a) sección circular maciza, b) sección tubular


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El esfuerzo de torsión para secciones circulares macizas está dado por,

τ=

16T πd 3

donde:

T = momento torsor d = diámetro y, para secciones tubulares,

τ=

16Td π (D4 − d 4 )

donde:

T = momento torsor d = diámetro interior D = diámetro exterior Por lo general, necesita determinarse el momento de torsión T a partir de la potencia a transmitir y la velocidad del eje rotatorio. Por conveniencia, a continuación se incluyen las fórmulas correspondientes a los dos sistemas de unidades que se emplean en ingeniería.

P = Tω

Para el Sistema Internacional de unidades (SI): donde:

P T

ω

= potencia

[W]

= momento de torsión = velocidad angular

[N-m] [rad/s]

Pero, puede darse el caso en que se tenga como dato el valor de la frecuencia de rotación angular puede ser calculada mediante la ecuación,

Para el Sistema Inglés Gravitacional:

P=

ω = 2πf

f

, entonces, la velocidad

.

2πTn FV Tn = = (33000)(12) 33000 63000

donde:

P = potencia T = momento de torsión n = velocidad de rotación F = fuerza en la superficie exterior V = velocidad periférica

[HP] [lb-in] [rpm] [lb] [ft/min]

2.12.4 TORSIÓN Y ESFUERZOS EN SECCIONES NO CIRCULARES La determinación de las tensiones en una barra de sección no circular es de por sí un problema bastante complicado que no se puede resolver por los métodos de la Resistencia de Materiales. La causa radica en que, en el caso de una sección no circular, la hipótesis que en el caso de una sección circular permitió simplificar el problema sobre la invariabilidad de las secciones transversales planas, ya no es válida. Las secciones de la barra se alabean y, en consecuencia varía notablemente la distribución de las tensiones en la sección. Así pues, al determinar los ángulos de distorsión, es necesario tener en consideración no solamente el ángulo de giro mutuo de las secciones, sino también la distorsión local, relacionada con el alabeo de las secciones. El problema se complica aún más por el hecho de que en el caso de una sección no circular, las tensiones dependen ya no solamente de una variable

( ρ ) , sino también de las dos ( x

e

y) .

Como ya se ha dicho, determinar los esfuerzos por torsión en elementos de sección no circular no es muy simple; por lo general se aborda por métodos experimentales en los que se aprovecha una analogía con membranas o películas de jabón. No obstante, Timoshenko y MacCullough dan la siguiente fórmula aproximada para el esfuerzo torsional máximo en una barra de sección rectangular:

τ máx =

T  e 3 + 1. 8  2  ae  a


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a y e son el ancho y el espesor de la barra, respectivamente. Estas dos magnitudes no se pueden intercambiar porque e debe ser la dimensión más corta. En el caso de placas delgadas sometidas a torsión, ( e / a ) es En esta ecuación

pequeño y el segundo término puede despreciarse. La ecuación también es aproximadamente válida para perfiles angulares de lados iguales; en estos casos se puede considerar que se trata de dos rectángulos, de los cuales cada uno puede soportar la mitad del momento de torsión. Alternativamente se presenta la relación*:

τ máx =

T α ( ab 2 )

donde:

T a b

α

= momento de torsión = lado mayor del rectángulo = lado menor del rectángulo = depende de la relación ( a / b ); véase la tabla correspondiente

2.13 ESFUERZOS EN VIGAS 2.13.1 TIPOS DE CARGA Sobre una viga pueden actuar fuerzas o pares situados en un plano que contiene a su eje longitudinal. Se supone que las fuerzas actúan perpendicularmente al eje longitudinal, y que el plano que la contiene lo es de simetría de la viga.

2.13.2 EFECTOS DE LAS CARGAS Los efectos de estas fuerzas y pares que actúan en una viga son: (a) producir deformaciones perpendiculares el eje longitudinal de la barra y (b) originar esfuerzos normales y cortantes en cada sección de la viga perpendicular a su eje.

2.13.3 TIPOS DE FLEXIÓN Si se aplican pares a los extremos de la viga y no actúa en ella ninguna fuerza, la flexión se llama flexión pura. La flexión producida por fuerzas que no forman pares se llama flexión ordinaria. Una viga sometida a flexión pura solo tiene esfuerzos normales y no cortantes; en una sometida a flexión ordinaria actúan esfuerzos normales y cortantes en su interior.

2.13.4 NATURALEZA DE LAS VIGAS Es útil suponer que una viga está compuesta por infinitos cables o fibras longitudinales delgadas y cada fibra longitudinal actúa independiente de todas las demás, esto es, que no hay presiones laterales o tensiones cortantes entre ellas. Imagine una viga sobre la cual actúa una carga puntual dirigida hacia abajo; ésta se deformará hacia abajo y las fibras de su parte inferior sufrirán un alargamiento, mientras que las de las parte superior se acortarán. Estas variaciones de longitud de las fibras producen en ellas tensiones: las que se alargan están sometidas a tensones de tracción en la dirección del eje longitudinal de la viga, mientras que las que se acortan tienen tensiones de compresión.

2.13.5 SUPERFICIE NEUTRA Siempre existe una superficie en la viga que contiene fibras que no sufren ni alargamiento ni reducción, por lo que no están sometidas a ninguna tensión de tracción o de compresión. Esta superficie se llama superficie neutra de la viga.

2.13.6 EJE NEUTRO La intersección de la superficie neutra con cualquier sección de la viga perpendicular al eje longitudinal se llama eje neutro. Todas las fibras situadas a un lado del eje neutro están en estado de tracción, mientras que las del lado opuesto están en compresión.

__________ * Véase: TORSIÓN DE BARRAS DE SECCIÓN TRANSVERSAL NO CIRCULAR en el texto “Resistencia de Materiales” de V.I. Feodosiev, para información más detallada del tema y conocer la tabla correspondiente.


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2.13.7 MOMENTO FLECTOR La suma algebraica de los momentos de las fuerzas exteriores a un lado de una sección cualquiera de la viga respecto a un eje que pasa por dicha sección se llama momento flector en la misma.

2.13.8 LOCALIZACIÓN DEL EJE NEUTRO El eje neutro pasa siempre por el centroide de la sección. Por tanto, respecto a un eje que pasa por su centroide.

I

es el momento de inercia de la sección

2.13.9 FUERZA CORTANTE La suma algebraica de todas las fuerzas verticales a un lado de una sección cualquiera de la viga se llama fuerza cortante en esa sección.

2.14 FLEXIÓN PURA En las secciones anteriores se analizaron los esfuerzos y las deformaciones de elementos sometidos a cargas axiales y a momentos de torsión. Ahora se estudiarán los elementos sometidos a pares iguales y opuestos en el mismo plano longitudinal.

M

y

M ' que actúan

Cuando un elemento se encuentra bajo este tipo de solicitación, se dice que está sometido a flexión pura.

M'

M

Fig. 2-12 Elemento sometido a flexión pura

Así, las fuerzas internas en cualquier sección transversal de un elemento sometido a flexión pura son equivalentes a un par. El momento

M

de ese par se conoce como momento flector de la sección.

El reducido número de aplicaciones de ingeniería en donde se presenta flexión pura, no justifica que se le dedique mucho tiempo a su estudio de manera profunda y minuciosa. Sin embargo, los resultados que del estudio de ella se obtengan, pueden aplicarse al análisis de otros tipos de carga, tales como cargas axiales excéntricas y cargas transversales. Una vez más, la distribución de esfuerzos en una sección dada no puede obtenerse usando solamente la Estática, ya que aquella es estáticamente indeterminada y sólo puede obtenerse analizando las deformaciones producidas en el elemento. Imagine que sobre una viga actúa una carga de magnitud

P

dirigida hacia abajo. Un análisis bastante detallado*

demuestra que la única componente del esfuerzo no nula es la componente normal

σ x . Así, en cualquier punto de un

elemento, en flexión pura, se tiene un estado de esfuerzo uniaxial. Bajo estas consideraciones se tiene que, la parte superior del elemento se encuentra a compresión (esfuerzos negativos), mientras que la inferior se encuentra a tensión (esfuerzos positivos). De lo anterior se deduce que debe existir una superficie paralela a las caras superior e inferior del elemento, donde las deformaciones y esfuerzos se anulen. Esta superficie existe y se llama superficie neutra. Esta superficie neutra interseca una sección perpendicular a lo largo de una línea recta llamada eje neutro de la sección.

*2.14.1 DEFORMACIONES

x

Por Resistencia de Materiales sabemos que la deformación longitudinal en la dirección concluye que la deformación longitudinal normal

εx

varía linealmente con la distancia

y

es,

ε x = y / ρ , lo que se

desde la superficie neutra.

__________ * Si desea conocer en detalle este análisis véase: DEFORMACIONES EN UN ELEMENTO SIMÉTRICO SOMETIDO A FLEXIÓN PURA en el texto “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston.


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Esta deformación alcanza su máximo valor cuando

y es

máxima. Llamando

neutra (que corresponde a la superficie superior o inferior del elemento), y se tiene que,

ε máx = c / ρ .

Resolviendo para

ρ

c la

ε máx

distancia máxima a la superficie

el máximo valor de la deformación,

las dos ecuaciones anteriores, se obtiene:

εx =

y ε máx c

2.14.2 ESFUERZO NORMAL Se estudiará el caso en que el momento flector debajo del esfuerzo de fluencia

σy.

M

es tal que los esfuerzos normales en el elemento permanecen por

Esto implica que, para propósitos prácticos, los esfuerzos en el elemento

permanecerán por debajo del límite de proporcionalidad y también del límite elástico. No habrá deformaciones permanentes y se podrá aplicar la ley de Hooke para el esfuerzo uniaxial. Suponiendo que el material es homogéneo, y llamando longitudinal x :

E

a su módulo de elasticidad, se tiene que en la dirección

σ x = Eε x

Multiplicando por

E

la última ecuación que relaciona las deformaciones longitudinales, obtenemos:

y c

σ x = σ máx

Además, puesto que el primer momento de la sección transversal con respecto al eje neutro debe ser cero, se tiene que el eje neutro pasa por el centroide de esta sección. Teniendo en cuenta esto último y el momento de inercia perpendicular al plano del par

M

I

de la sección transversal con respecto al eje centroidal

, se obtiene el esfuerzo normal máximo es:

De manera general, el esfuerzo normal

σx

a cualquier distancia

σx =

y

σ máx =

Mc I

del eje neutro se obtiene mediante la ecuación:

My I

Esta se llama ecuación de flexión elástica, y el correspondiente esfuerzo normal causado por la flexión del elemento se designa con frecuencia como esfuerzo de flexión. Se verifica que para un momento en el sentido de movimiento de las agujas de un reloj, el esfuerzo es de tensión por encima del eje neutro, y de compresión por debajo de éste; para un momento de sentido contrario al de las agujas de un reloj, se tiene lo contrario a lo anteriormente dicho. Este resultado muestra que, en el rango elástico, el esfuerzo normal varía linealmente con la distancia al plano neutro.

Tracción

E.N

Compresión Fig. 2-13 Distribución de esfuerzos normales producidos por flexión

Volviendo a la ecuación que proporciona el esfuerzo de flexión máximo, se nota que la razón I / c depende sólo de la geometría de la sección transversal. Esta relación se denomina módulo elástico de la sección y luego, entonces:

w=

I c

σ máx =

⇒

M w

Como el esfuerzo máximo es inversamente proporcional al módulo elástico, es claro que las vigas deben diseñarse con un w tan grande como sea práctico.


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Sin embargo, en el caso particular de una viga de sección rectangular de dimensiones su altura, algunos valores grandes de la razón

b/h

(b.h) , donde b

es la base y

h

pueden producir inestabilidad en la viga.

2.14.3 CARGA AXIAL EXCÉNTRICA EN UN PLANO DE SIMETRÍA En la sección 2.9 se estudió que, la distribución de esfuerzos en la sección transversal de un elemento sujeto a carga axial puede considerarse uniforme sólo si la línea de acción de las cargas P y P ' (de igual magnitud y de igual sentido u opuesto) pasa por el centroide de la sección. Se dice que dicha carga es céntrica. Ahora se estudiará la distribución de esfuerzos cuando la línea de acción de las fuerzas no pasa por el centroide decir, cuando la carga es excéntrica.

D

C , es

E C

d

P

P'

A

B

Fig. 2-14 Elemento sometido a la acción de una carga axial excéntrica

Las fuerzas internas que actúan en una sección transversal dada pueden representarse por una fuerza el centroide

F aplicada en

C de la sección y un par M ' que actúa en el plano de simetría del elemento. M' F C

d

P A

Fig. 2-15 Sistema fuerza-par para el elemento de la figura 2-14

Las condiciones de equilibrio del cuerpo libre AC requieren que la fuerza momento del par

M

sea igual y opuesto al momento de

hasta la línea de acción

P ' con respecto

a

F sea igual y opuesta a P ' y que el C . Llamando d la distancia desde C

AB de las fuerzas P y P ' , se tiene: F=P

y

M = Pd

Se observa que las fuerzas internas, en la sección, hubieran estado representadas por la misma fuerza y el mismo par

DE del elemento AB se hubiera P ' , y a los pares de flexión M y M ' .

si la porción recta céntricas

P

y

M P

M' P'

C D

separado de

AB

y sometido simultáneamente a las fuerzas

M

→

P

M' C

E

F = P'

D

Fig. 2-16 Fuerzas internas actuantes en la sección C

Así, la distribución de esfuerzos debida a la carga excéntrica original puede obtenerse superponiendo la distribución uniforme del esfuerzo correspondiente a las cargas céntricas pares flectores

M

y

P

y

P'

y la distribución lineal correspondiente a los

M ' . Se escribe:

σ x = ± (σ x ) céntrica ± (σ x ) flexión En esta ecuación, un signo positivo muestra un esfuerzo de tensión y uno negativo, un esfuerzo de compresión.


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Para un punto situado en la parte superior de la sección

C , tenemos:

σx =

P My − A I

El primero de ellos corresponde a un esfuerzo normal de tensión, mientras que el segundo, corresponde a un esfuerzo de compresión por flexión. La relación obtenida muestra que la distribución de esfuerzos en la sección es lineal pero no uniforme.

y

y

σx

C

+

y

σx

C

=

C

σx

Fig. 2-17 Distribución de esfuerzos para un punto ubicado en la parte superior de la sección C

Es de importancia mencionar lo que sucede con la localización del eje neutro en dos situaciones diferentes para la distribución de esfuerzos: 1.

2.

Cuando se tiene un esfuerzo normal de tensión mayor que uno de compresión por flexión, resulta la distribución de esfuerzos mostrada en la figura 2-17. Se nota que no existe un eje neutro en la sección (puesto no existe un valor de esfuerzo igual a cero). Ahora bien, cuando se tiene un esfuerzo de compresión por flexión mayor a uno de tensión normal, la distribución de esfuerzos resulta como se muestra en la figura siguiente. En ésta se observa que ahora existe un eje neutro (el valor de esfuerzo en este eje es cero) pero que no coincide con el eje centroidal de la sección, ya que

σx ≠ 0

para

y=0

(véase la figura 2-18).

y

y

σx C

y

σx C

E.N

σx

C

Fig. 2-18 Distribución de esfuerzos para un punto ubicado en la parte superior de la sección C

Los resultados obtenidos serán válidos sólo hasta el punto que se satisfagan las condiciones de aplicación del Principio de Superposición* y del Principio de Saint Venant**. Esto implica que los esfuerzos no deben exceder el límite de proporcionalidad del material, que las deformaciones por la flexión no deben afectar apreciablemente la distancia d en la figura 2-15 y que la sección transversal donde se calculan los esfuerzos no esté muy próxima a los puntos de aplicación de las cargas. El primero de estos requisitos muestra claramente que el método de superposición no puede aplicarse a deformaciones plásticas.

2.14.4 CASO GENERAL DE CARGA AXIAL EXCÉNTRICA En la sección anterior se analizaron los esfuerzos producidos en un elemento por una carga axial excéntrica aplicada en un plano de simetría del elemento. Se estudiará ahora el caso más general, cuando la carga axial no está aplicada en un plano de simetría.

__________ *, ** Sería muy adecuado que el lector vea: CARGA MULTIAXIAL. LEY GENERALIZADA DE HOOKE y DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES BAJO CARGA AXIAL. PRINCIPIO DE SAINT VENANT, respectivamente, en el texto “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston, para información adicional.


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Considérese un elemento recto AB sujeto a cargas axiales excéntricas iguales y opuestas P y P ' , y sean a y b las distancias de la línea de acción de las fuerzas a los ejes principales centroidales de la sección transversal del elemento.

y My'

y

A

A

B

My

P'

B

P' x

C

Mz

P

b

z

Mz'

P

C

x

a z a)

b)

Fig. 2-19 Elemento sometido a caso general de carga axial excéntrica

La carga excéntrica

My

y

Mz

excéntrica

P

es estáticamente equivalente al sistema que consta de una fuerza céntrica

de momentos

P'

M y = aP

y

equivale a la fuerza céntrica

M z = bP P'

P

y de dos pares

representados en la figura 2-19b. Análogamente, la fuerza

y los pares

My'

y

Mz'.

En virtud del principio de Saint Venant, puede reemplazarse la carga original de la figura 2-19a por la estáticamente equivalente de la figura 2-19b para determinar la distribución de esfuerzos en una sección que dicha sección no esté muy cerca de un extremo del elemento.

C

del elemento, siempre

Además, los esfuerzos debidos a la carga de la figura 2-19b pueden obtenerse superponiendo los esfuerzos correspondientes a la carga axial céntrica

P

y a los pares flectores

My'

y

M z ' , siempre

que las condiciones del

principio de superposición se satisfagan. Para un punto situado en la parte superior de la sección principales centroidales de esta sección. Por tanto:

σx = en donde

y

y

z

C , los vectores pares están dirigidos a lo largo de los ejes

P Mz y M yz − + A Iz Iy

se miden desde los ejes principales centroidales de la sección. La relación obtenida muestra que la

distribución de esfuerzos en la sección es lineal.

2.15 CARGA TRANSVERSAL. FLEXIÓN TRANSVERSAL 2.15.1 CARGA TRANSVERSAL Uno de los ejemplos más comunes de carga transversal ocurre cuando un elemento horizontal, conocido como viga, se somete a cargas verticales. Las cargas pueden ser concentradas o distribuidas o una combinación de las dos.

2.15.2 FLEXIÓN TRANSVERSAL En la sección 2.13.3 se mencionó que este tipo de flexión era producida por fuerzas que no forman pares, y que era capaz de producir esfuerzos normales y cortantes. Los esfuerzos normales se originan por razones muy similares a los producidos por flexión pura, de manera que todas las ecuaciones anteriormente obtenidas pueden ser aplicadas en este caso.


21


ESPOCH


En lo que respecta al esfuerzo cortante, éste puede ser calculado mediante la expresión*:

τ=

VQ bI

donde:

V

: fuerza cortante

[N ]

Q = Ay : momento estático de una sección ubicada sobre el eje neutro [m 3 ] A , área de dicha sección [m 2 ] - y , distancia desde el centroide de A b : ancho de la sección A [m] -

I

: momento de inercia de

A

hasta el eje neutro

con respecto a su centroide

[ m]

[m 4 ]

Para una viga de sección rectangular, la distribución del esfuerzo cortante es una función parabólica. Su valor es cero a lo largo de las partes superior e inferior de la viga, mientras que alcanza su valor máximo en el eje neutro.

τ máx

E.N

Fig. 2-20 Distribución de esfuerzos cortantes producidos por flexión en una viga de sección rectangular

Es necesario aclarar que, aunque

Q

y = 0 , no puede concluirse que τ será máximo a lo largo del b de la sección como de Q . Esto se nota, por ejemplo, en una viga de

es máximo para

eje neutro ya que depende tanto del ancho

sección trapezoidal. ¿Cómo varía el esfuerzo en este caso? Esto último queda a disposición del interesado.

2.16 ESFUERZOS BAJO CARGAS COMBINADAS Hasta aquí se ha aprendido a calcular esfuerzos en elementos sometidos a carga axial céntrica, momentos torsores (torques), momentos flectores y los debidos a carga transversal. Ahora, y como se verá en los respectivos problemas, el conocimiento adquirido puede combinarse para determinar los esfuerzos en elementos de máquinas en condiciones de solicitaciones bastante generales. Considérese, por ejemplo, el elemento flexionado

ABDE , de sección circular, sometido a varias. F5 E B

F1

K

A

F6

F3 F2

D

F4

Fig. 2-21 Elemento sujeto a la acción de cargas combinadas

__________ * Si desea conocer cómo se obtiene esta expresión véase: DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO PROMEDIO en el texto “Mecánica de Materiales” de A. Bedford y K. Liechti.


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Para determinar los esfuerzos producidos en un punto

K

por las cargas dadas, se hará primero un corte en este

punto y se determinará el sistema de fuerza-par, en el centroide

C de

la sección que se requiere para mantener el

equilibrio de la parte ABK *. Este sistema representa las fuerzas internas en la sección y consta, en general, de tres componentes de fuerza y tres vectores pares que se supondrán dirigidos como se ilustra en la figura 2-22.

My B

F1

Vy

Mz

K C

A

Vz

F3

P

T

F2 Fig. 2-22 Sistema que representa las fuerzas internas en una sección C del elemento de la figura 2-21

Se observa que

P es

una fuerza axial céntrica que produce esfuerzos normales en la sección. Los pares

My

y

M z hacen que el elemento se flexione produciendo también esfuerzos normales en dicha sección. El esfuerzo normal σ x en el punto K es la suma de los esfuerzos producidos por la fuerza y los pares. Por otra parte, el par de torsión T y las fuerzas cortantes V y y Vz producen esfuerzos cortantes en la sección. Nuevamente, los resultados obtenidos serán validos sólo hasta el punto en que las condiciones del principio de la superposición y del principio de Saint Venant se cumplan. Esto implica que los esfuerzos implícitos no deben exceder el límite de proporcionalidad del material, que las deformaciones debidas a una de las cargas no deben afectar la determinación de los esfuerzos debidos a las otras, y que la sección usada en el análisis no debe estar muy cercana a los puntos de aplicación de las fuerzas dadas. Es claro, de acuerdo con el primero de estos requisitos, que el método presentado aquí no se aplica a deformaciones plásticas.

*2.17 VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS En las secciones anteriores, el análisis se limitó a vigas estáticamente determinadas. De igual manera, cuando las ecuaciones de la Estática no son suficientes para determinar los valores de las fuerzas actuantes (sean externas o internas) en un elemento, se dice que la viga es estáticamente indeterminada. Sin embargo, recuerde de las primeras secciones que en un problema hiperestático pueden obtenerse las reacciones considerando las deformaciones de la estructura incluida. Debe por tanto, procederse con el cálculo de la pendiente y la deformación a lo largo de la viga. Puesto que un estudio sobre este tema**queda fuerza del propósito de este texto (pues se supone que el lector tiene conocimientos sobre éste por sus cursos de Resistencia de Materiales) lo que se necesitará es, disponer de tablas que muestren toda la información para calcular la pendiente y deformación en una viga bajo cualquier tipo de solicitación.

*2.18 CONCEPTOS ADICIONALES SOBRE SISTEMAS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS Si se pueden determinar los valores de todas las fuerzas exteriores o interiores que actúan sobre un elemento, solamente mediante las que ecuaciones del equilibrio estático, el sistema de fuerzas es estáticamente determinado (isostático). En muchos casos, las fuerzas que actúan sobre un elemento no pueden determinarse solo por las ecuaciones de la Estática, porque hay más fuerzas desconocidas que ecuaciones de equilibrio. En este caso, el sistema de fuerzas es estáticamente indeterminado (hiperestático).

__________ * El sistema fuerza-par en C puede definirse también como un sistema equivalente de las fuerzas que actúan en la porción KDE del elemento. ** Si necesita recordar algunos aspectos sobre este tema véase: VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS en el texto “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston.


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En los sistemas hiperestáticos, la determinación de todas las fuerzas desconocidas o, como se dice, la superación de la hiperestaticidad, resulta posible solamente planteando ecuaciones que completen el número de las ecuaciones de la Estática hasta igualarlo al número de incógnitas. Estas ecuaciones adicionales reflejan las particularidades geométricas de las ligaduras impuestas a los sistemas deformables y, convencionalmente, se denominan ecuaciones de los desplazamientos.

2.19 PROBLEMAS HIPERESTÁTICOS Por lo general, los problemas de Diseño siempre son estáticamente determinados, más, si se presentasen problemas hiperestáticos, sería conveniente que el lector acuda a un excelente texto de Resistencia o Mecánica de Materiales, para obtener información más completa sobre estos temas. Como tal aconsejamos leer el texto “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston.

2.20 DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y DE MOMENTOS FLECTORES El diseño de una viga con base en su resistencia requiere primero que se determinan su esfuerzo cortante y su momento máximo. Una forma de hacerlo es expresando la fuerza cortante transversal V y el momento M como funciones de una posición arbitraria x a lo largo del eje de la viga. Estas funciones de cortante y momento, entonces, se pueden graficar como diagramas de cortante y de momento a partir de los cuales se pueden obtener los valores máximos de

V y M . Sin embargo, encontrar estas funciones puede resultar un proceso demasiado largo y en ocasiones, dependiendo del sistema de cargas, bastante complicado. Un procedimiento un poco más sencillo, consiste en dibujar estos diagramas utilizando el Método de Áreas, el cual se deriva de las relaciones matemáticas siguientes:

−w=

dV dx

y

V=

dM dx

Al integrar la primera de estas dos ecuaciones entre dos posiciones distintas de la viga, por ejemplo entre

xA

y

xB ,

se obtiene: VB

xB

VA

xA

∫ dV = ∫ w * dx = VB − VA

que establece que el cambio en la fuerza cortante desde A hasta B es igual al área del diagrama de carga entre

xA

y

xB .

De manera semejante, MB

xB

MA

xA

∫ dM = ∫ V * dx = M B − M A

Indica que el cambio en el momento flexionante desde A hasta B es igual al área del diagrama de fuerza cortante entre

xA

y

xB .

* 2.21 VALORES MÁXIMOS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR De igual manera, en un problema de Diseño lo que se busca es determinar los máximos esfuerzos que se producen en elementos sometidos a cualquier tipo de solicitación. Sin duda esto es muy importante ya que, al encontrar estos esfuerzos y compararlos con el esfuerzo permisible que posee un material, seremos capaces de determinar cuan seguro es el elemento que hemos diseñado (dimensionado) para su respectiva aplicación. Entonces, por lo anteriormente mencionado, lo que se requiere es determinar los máximos esfuerzos (tanto normales como cortantes) producidos por flexión; luego, en las ecuaciones para los respectivos esfuerzos se deben tomar en consideración: la fuerza cortante máxima y el momento flector máximo, valores que se obtienen de sus respectivos diagramas.

2.22 COMENTARIOS FINALES Un estudio mucho más detallado acerca del esfuerzo, se realizará en el capítulo 4 de este texto. Terminamos de esta manera una revisión rápida a los conceptos fundamentales de la Mecánica de Materiales.


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PROBLEMAS RESUELTOS ESFUERZOS BAJO CARGAS COMBINADAS

PROBLEMA 1 Para el sistema que se muestra a continuación, determine el punto que se encuentra sometido al efecto de varias solicitaciones. (Sugerencia: traslade todas las cargas que actúan en el punto A al punto C). SOLUCIÓN: En Diseño, es muy frecuente el análisis de sistemas semejantes al que se muestra en la figura. Los efectos que producen las cargas en ambos elementos son muy similares y, además dependientes, es decir, resulta que el efecto que se produce en el uno, inevitablemente se producirá en el otro. Sin embargo, un punto de todo el sistema estará siempre sujeto a mayores solicitaciones, ¿por qué?

y z x

Fz (todas ellas A ), así como los distintos efectos que las mismas producen al ser trasladadas a los puntos B y C .

En la figura se muestra que el elemento en el punto

PUNTO

AB está bajo la acción de tres cargas puntuales Fx , Fy

B:

Fx a este punto, el elemento AB sufre la acción de un momento flexionante con respecto al plano xz , cuyo valor está dado por Mxz = Fx * L1 (s.r).

Al llevar

De manera semejante, al trasladar

Fy

BC , de manera que:

Por Estática, Fz se lleva al punto en cuestión al moverla sobre su línea de acción, sin producir ningún tipo de momento (la distancia perpendicular ha este punto es cero).

PUNTO

Myz ahora se ha convertido en un momento torsor con Tyz = Myz (s.r).

Tómese muy en cuenta que el momento flexionante respecto al elemento

AB sufre la acción de un momento yz , y cuyo valor está dado por Myz = Fy * L1 (s.r).

a este punto, el elemento

flexionante, pero ahora con respecto al plano

y

C:

Por Estática, Fx se lleva ha este punto al moverla sobre su línea de acción, sin producir ningún tipo de momento (la distancia perpendicular ha este punto es cero), pero ahora, ésta es capaz de producir un esfuerzo de tensión, es decir, trata de estirar el elemento

BC .


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Al trasladar

Fy

BC sufre la acción de un momento flexionante, ahora con dado por Mxy = Fy * L 2 (s.r), pero además, ésta es capaz de

a este punto, el elemento

xy ,

respecto al plano

y cuyo valor está

producir un esfuerzo de corte.

Finalmente, al llevar

Fz

BC sufre la acción de un momento xz , y cuyo valor está dado por Mxz = Fz * L 2 (s.r).

ha este punto, el elemento

ahora con respecto al plano

Se habrá de notar que, tanto

Llamando

Fz ,

Mxz1

Fx

como

Fz producen momentos flexionantes con respecto al plano xz .

al momento flexionante producido por

Fx

el momento total producido con respecto al plano

BC

ambos momentos tienden a hacer que el elemento

flexionante, pero

Mxz 2 al momento flexionante producido por xz es: Mxz1 + Mxz 2 = Mxz , puesto que

y,

gire en sentido horario.

De manera similar, el momento total producido en el plano

xy

es igual a

Mxy ,

puesto que en este caso

particular, no existe otro momento en este plano que sea causado por una de las otras dos fuerzas presentes.

Finalmente, este punto estará sujeto a la acción de un:

M = ( Mxy ) 2 + ( Mxz ) 2 Tyz = Myz y,

- momento resultante - momento torsor

,

- esfuerzos de tensión y de corte.

OBSERVACIONES:

Como los momentos flexionantes y momentos torsores son vectores libres, se deberán sumar algebraicamente para obtener un momento flexionante o momento torsor total con respecto al plano donde actúan.

Para encontrar el momento resultante, lo que se hace es aplicar el Teorema de Pitágoras con todos los momentos totales actuantes en cada plano.

Para los momentos torsores, únicamente se calcula los momentos torsores totales, más no los resultantes, ya que estos últimos requieren del uso del Teorema de Pitágoras, y estas magnitudes no presentan motivo para su aplicación.

Las siglas (s.r) y (s.c.r) significan, respectivamente, que el elemento gira en sentido de las manecillas del reloj o, que el elemento gira en sentido contrario de las manecillas del reloj. Las primeras suelen considerarse positivas y las segundas negativas, aunque esto puede ser arbitrario.

Finalmente, sería ya necesario en este momento acudir a textos de Resistencia de Materiales* para recordar temas relacionados con esfuerzos.

____________________ * Para una excelente información acerca de estos temas, véase el texto: “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston.


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PROBLEMA 2 Para el elemento que se muestra a continuación, determine el punto que se encuentra sometido al efecto de varias solicitaciones. (Sugerencia: traslade todas las cargas que actúan en el punto A, al punto D).

y L3

x

D

z

C L2

B L1

A Fz

Fx Fy

SOLUCIÓN: Ahora se utilizará un método bastante simple (aunque muy poco conocido) para resolver este tipo de problemas. Este método se basa principalmente en considerar cierta propiedad vectorial de los momentos flectores y momentos torsores*, a saber, considerarlos como vectores libres**. Al realizar este procedimiento, lo que se logra es observar directa y fácilmente los efectos que se producen en el punto más crítico de un elemento. Entonces, los efectos que se producen en el punto

FUERZA

D

son:

Fx :

Momento flexionante con respecto al plano

xy , cuyo valor está dado por Mxy1 = Fx * L1

(s.c.r).


xz , cuyo valor está dado por Mxz1 = Fx * L2

(s.c.r).

Esfuerzo de tensión, al actuar sobre su línea de acción.

FUERZA

Fy : yz , cuyo valor está dado por Tyz1 = Fy * L2

Momento torsor con respecto al plano


Esfuerzo de corte, al actuar sobre su línea de acción.

FUERZA

(s.c.r).

xy , cuyo valor está dado por Mxy 2 = Fy * L3

(s.r).

Fz : yz , cuyo valor está dado por Tyz 2 = Fz * L1

Momento torsor con respecto al plano


Esfuerzo de corte, al actuar sobre su línea de acción.

(s.r).

xz , cuyo valor está dado por Mxz 2 = Fz * L3

(s.r).

____________________ * Ciertamente, debido a la manera como estas magnitudes se originan, los momentos flectores y momentos torsores son cantidades vectoriales. ** Llamados así cuando su punto de aplicación (origen) se traslada a cualquier punto del espacio, sin alterar el efecto de su acción.


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MOMENTOS FLEXIONANTES TOTALES:

Respecto al plano

xy , su valor está dado por Mxy = − Mxy1 + Mxy 2 .

Respecto al plano

xz , su valor está dado por Mxz = − Mxz1 + Mxz 2 .

MOMENTOS TORSORES TOTALES:


Respecto al plano

yz , su valor está dado por Tyz = −Tyz1 + Tyz 2 .

MOMENTO FLEXIONANTE RESULTANTE:

El valor está dado por

M = Mxy 2 + Mxz 2

.

OBSERVACIONES

En ambos problemas se han considerado los esfuerzos axiales (de tensión o compresión) y los esfuerzos tangenciales (de corte), aunque no se han dado las relaciones correspondientes para determinar sus valores.

Es importante, sin duda alguna, mencionar que la flexión y la torsión también producen esfuerzos. La primera de ellas produce un esfuerzo de tipo axial (de tensión o compresión), y la segunda, esfuerzo tangencial o de corte. Las relaciones para todos los tipos de esfuerzos mencionados anteriormente se analizarán en detalle más adelante.

PROBLEMA 3*

H

Para la figura a), halle los esfuerzos normal y cortante en los puntos

BD

de radio material.

c = 20 mm.

y

K

de la sección transversal del elemento

Suponga que todos los esfuerzos permanecen por debajo del límite proporcional del

b = 60mm

My

a = 50mm

D A

H K B

H

D P1 = 15kN

T

K

F

Mz

P2 = 18kN

a)

V

b)

SOLUCIÓN: Momento de Inercia de una sección

a h

C

F

a b Suponga que la fuerza

F

b.h ) como se indica en la figura. La a − a , el cual pasa por el centroide C de la misma.

actúa sobre una sección rectangular (de dimensiones

sección tiende a “rotar” sobre el eje

____________________ * Excepto por algunos cambios e información complementaria, los problemas 3 y 4 han sido tomados del texto “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston, por ser muy completos e ilustrativos.


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Entonces, por Dinámica, sabemos que el momento de inercia con respecto a un eje que para por el centroide de una sección rectangular es:

1 3 bh 12

I aa = Fuerzas internas en la sección HK Primero se reemplaza puntos

H

y

P1

y

P2

por un sistema equivalente aplicado en el centro

C

de la sección que contiene los

K.

Este sistema, que representa las fuerzas internas de la sección, consta de las siguientes fuerzas y pares (véase la figura b):

F

F = P1 = 15kN V = P2 = 18kN momento de P2 con

Una fuerza axial céntrica

2.

Una fuerza cortante

3.

T de torque igual al T = P2 .a = 900 N .m Un par flector M y de magnitud igual al momento

4.

V

igual a

P1

1.

igual a

P2

de magnitud:

de magnitud:

Un par de torsión

P1

de

respecto al eje del elemento:

con respecto al eje vertical que pasa por

C:

M y = P1 .a = 750 N .m 5.

Un par flector pasa por

C:

M z de magnitud igual al momento de P2 M z = P2 .b = 1080 N .m

con respecto al un eje transversal y horizontal que

Propiedades geométricas de la sección

A = πc 2 = 1.257 x10 −3 m 2 ,

Iy = Iz =

πc 4 4

= 125.7 x10 −9 m 4 ,

JG =

πc 4 2

= 251.3 x10 −9 m 4

Esfuerzos en H

M z , producen esfuerzos normales σ x , y que el par de torsión T causa un esfuerzo cortante horizontal τ xz . Por otra parte, el par flector M y no produce esfuerzos normales en H , ya que está en el eje neutro correspondiente y el cortante vertical V no produce cortante en H , puesto que H está en la parte superior de la sección. Se observa que en

H

la fuerza céntrica

F

y el par flector

y

My

τ xz

σx

T = 900N.m

F = 15kN

C

x z

M = 1080N .m V

Determinando el signo de cada esfuerzo se tiene:

σ x = (σ x ) céntrico + (σ x ) flexión = − Re emplazando :

F M z .c − A Iz

τ xz = (τ xz ) torsión =

σ x = −183 .8 MPa

Re emplazando :

Tc JG

τ xz = 71.6 Mpa


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La fuerza


F produce compresión en la sección, por lo tanto, el signo de su respectivo esfuerzo es negativo.

Ahora bien, como el elemento flexiona debido al par flector

M = Mz

en el plano

xy

en (s.c.r), el punto

H*

se

encuentra también sometido a un esfuerzo de compresión, razón por la cual, el signo de su respectivo esfuerzo normal de flexión deberá ser negativo. Nótese que este último punto se encuentra “por debajo” del eje neutro de la sección (eje el par flector

M = Mz.

z ), a través del cual actúa

Esfuerzos en K Se observa que la fuerza céntrica

T

y la fuerza cortante

V

F

y el par flector

M y , producen los esfuerzos normales σ x

causan los esfuerzos cortantes verticales

en

K , y que el par

τ xy .

y

M y = 750 N .m T = 900 N .m

y

τ xy F = 15kN

σx

x

z

Mz V = 18kN

Teniendo en cuenta aspectos muy similares a los descritos para el punto

σx = −

P M yc + A Iy

Q= y

y = 4c / 3π

σ x = 107.4 MPa

Re emplazando :

Para calcular los esfuerzos cortantes debidos ha sección. De la Estática elemental,

H se escribe:

V

, se debe calcular el primer momento

para un semicírculo de radio

A 1  4c  2 y =  πc 2   = c 3 2 2  3π  3 t = 2c

Q

y el ancho

t

de la

c , se tiene:

Re emplazando :

Q = 5.33 x10 −6 m 3

Re emplazando :

t = 0.040m

Se escribe:

(τ xz ) V = +

Notando que

VQ I zt

Re emplazando :

(τ xz )V = 19.1MPa

(τ xy ) torsión = (τ xz ) torsión , se tiene:

τ xy = (τ xy )V − (τ xy ) torsión

Re emplazando :

τ xy = −52.5MPa

____________________ * Sería muy oportuno que el estudiante recordase el capítulo de Esfuerzos Combinados, dado en el curso correspondiente de Sólidos II.


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PROBLEMA 4

A, B y D

Se aplican tres fuerzas a los puntos

de un poste corto de acero, como se muestra en la figura a).

40 x140mm ,

Sabiendo que la sección horizontal del poste es un rectángulo de

halle los esfuerzos normales y

H.

cortantes en

50 kN

y 130 mm

B

y

A

75kN

100 mm

D

30 kN

Mx

G

E

P

Vx

Vz

25mm

G

200 mm

E

H F

z

x

C

z

20 mm

Mz

F

70 mm

H

x

140 mm

40 mm

b)

a) SOLUCIÓN:

Fuerzas internas en la sección EFG Se reemplazan las tres fuerzas aplicadas por un sistema equivalente fuerza-par en el centro rectangular

EFG

Se tiene:

C

de la sección

(véase la parte b) de la figura anterior).

V x = −30kN

P = 50kN

V z = −75kN

M x = (50kN )(0.130m) − (75kN )(0.200m) = −8.5kN .m M z = (30kN )(0.100m) = 3kN .m Se observa que no hay momento de torsión con respecto al eje

y.

Las propiedades geométricas de la sección

rectangular son:

A = (0.040m)(0.140m) = 5.6 x10 −3 m 2 1 I x = (0.040m)(0.140m) 3 = 9.16 x10 −6 m 4 12 1 I z = (0.140m)(0.040m) 3 = 0.747 x10 −6 m 4 12 Esfuerzos normales en H Se nota que los esfuerzos normales

σy

son producidos por la carga céntrica

P

y por los pares flectores

Nuevamente, el signo de cada esfuerzo se determina examinado el esquema del sistema fuerza-par en La fuerza

P

Mx

y

Mz.

C.

ejerce un esfuerzo de tracción y por ello el signo de éste es positivo (véase la figura b).

El elemento flexiona debido al par flector

Mz

en (s.c.r) y, como el punto en cuestión se encuentra “por encima” del

eje neutro de la sección (eje z ), éste se ve sujeto a un estado de tracción, por lo tanto, el signo de su respectivo esfuerzo normal por flexión debe ser positivo.


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Finalmente, el elemento flexiona debido al par flector

Mx

en (s.r) y, como el punto en cuestión se encuentra “por

debajo” del eje neutro de la sección (eje x ), éste se ve sujeto a un estado de compresión, por lo tanto, el signo de su respectivo esfuerzo normal por flexión debe ser negativo. Tomando en consideración la figura siguiente:

a = 0.020 m G b = 0.025 m

H

M x = 8.5kN .m

0.140 m

x

C

M z = 3kN .m

E

z

F

0.040 m

obtenemos:

σy =

P M z a M xb + − A Iz Ix

σ y = 66 MPa

Re emplazando :

Esfuerzos cortantes en H Considérese primero la fuerza cortante borde de la sección. Así

Vx

Vx .

Se advierte que

no produce cortante en

Q=0

H . La fuerza Vz

con respecto al eje sí produce cortante en

z, H

ya que

H está

en el

y se escribe:

Tomando en consideración la figura siguiente:

t = 0.040 m

0.045m

τ yz

A1

H

y1 = 0.0475 m

C

x

0.025m

Vz

z obtenemos:

Q = A1 y1

τ yz =

Vz Q I xt

Re emplazando :

Q = 85.5 x10 −6 m 3

Re emplazando :

τ yz = 17.52 MPa


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DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE ÁREAS PARA OBTENER EL DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Los símbolos

↑ (+ )

y

↓ (−) que se muestran abajo, significan que los valores de las fuerzas cortantes en un punto

de la viga son positivos y deben ubicarse por encima de su eje o que, algunos valores de estas fuerzas son negativos y deben ubicarse por debajo de su eje, respectivamente. Las unidades de las fuerzas cortantes son las mismas que las cargas actuantes De manera general, la ecuación a utilizarse es:

[kg − lb − N ] .

V2 = V1 ± A

donde:

V2 : es el valor de fuerza cortante en un punto posterior a otro elegido como origen de un tramo de la viga. V1 : es el valor de fuerza cortante en un punto elegido como origen de un tramo de la viga. A : es el valor de área que representa el valor de una carga distribuida en forma de carga puntual. - es (+) si la carga distribuida se encuentra dirigida hacia arriba. - es (-) si la carga distribuida se encuentra dirigida hacia abajo. - las áreas se obtienen del sistema original de cargas.

Es importante mencionar que: ♦ ♦

A pesar de que se encuentre ubicada por debajo de la viga, una carga distribuida (y por lo tanto su área), se considera positiva, ya que ésta siempre se encuentra dirigida hacia arriba, y que A pesar de que se encuentre ubicada por encima de la viga, una carga distribuida (y por lo tanto su área), se considera negativa, ya que ésta siempre se encuentra dirigida hacia abajo.

En lo que respecta a las cargas puntuales: ♦ ♦ ♦

A pesar de encontrarse ubicadas por debajo de la viga, se consideran positivas, ya que éstas siempre se encuentran dirigidas hacia arriba, y que A pesar de encontrarse ubicadas por encima de la viga, se considera negativas, ya que éstas siempre se encuentran dirigidas hacia abajo. Son las responsables de que en este diagrama se produzcan discontinuidades en los puntos donde éstas actúan.

En el punto final de la viga, el valor de la fuerza cortante debe ser cero.

DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE ÁREAS PARA OBTENER EL DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR Los símbolos

↑ (+ )

y

↓ (−) que se muestran abajo, significan que los valores de momentos flectores en un punto de

la viga son positivos y deben ubicarse por encima de su eje o que, algunos valores de estos momentos son negativos y deben ubicarse por debajo de su eje, respectivamente. Además, las unidades de los momentos flectores, en este caso, son todas en De manera general, la ecuación a utilizarse es:

[kg .m] .

M 2 = M1 ± A

donde:

M 2 : es el valor de momento flector en un punto posterior a otro elegido como origen de un tramo de la viga. M 1 : es el valor de momento flector en un punto elegido como origen de un tramo de la viga. A : es el valor de área tomada del diagrama de fuerzas cortantes. - es (+) si el área se encuentra por encima del eje de la viga. - es (-) si el área se encuentra por debajo del eje de la viga. Es importante mencionar que: ♦

Los momentos concentrados en (s.r) se consideran positivos y los en (s.c.r), negativos, y que además, éstos son los responsables de que en este diagrama aparezcan discontinuidades en los puntos donde éstos actúan.


33


ESPOCH


PROBLEMA 5 Para el siguiente sistema de cargas actuantes sobre la viga, dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector, utilizando el Método de Áreas.

SOLUCIÓN:

CÁLCULO DE LAS REACCIONES

Transformando la carga distribuida

w

F = w* L

en carga puntual

→

Tomando momentos con respecto al punto

∑M

A

= 0:

F:

F = (800 x5.5)kg ⇒ F = 4400kg

↓

A:

− ( Fx 2.75) − ( Px3) + (Cy * 4) = 0 − (4400 x 2.75) − (1500 x3) + (Cy * 4) = 0

⇒

Cy = 4150kg ↑

Realizando sumatoria de fuerzas en la vertical:

∑F

y

= 0:

Ay − F − P + Cy = 0 Ay − 4400 − 1500 + 4150 = 0

⇒

Ay = 1750kg ↑

CONSIDERACIONES PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE


34


ESPOCH

o


PUNTO

A:

Aquí solamente actúa el valor de la reacción producida por su correspondiente apoyo.

o

PUNTO

B:

Notemos que ahora debemos calcular dos valores de fuerza cortante* para este punto,

VB '

y

VB .

VB ' , toma en cuenta el valor de V A y de la carga distribuida (su área) que llega hasta este punto, mientras que el segundo, V B , toma en consideración V B ' y la discontinuidad producida Esto debe ser así, ya que el primero de ellos,

por la carga puntual aplicada.

o

PUNTO

C:

Del mismo modo y por razones similares al punto anterior, aquí debemos calcular dos valores de fuerza cortante para este punto,

o

VC '

PUNTO

y

VC .

D:

Finalmente, para determinar el valor de la fuerza cortante, se debe tomar en cuenta los valores de

VC

y del área de

la carga distribuida que llega hasta este punto.

Los valores de estas fuerzas cortantes, se muestran en la figura siguiente**.

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE

En

A:

V A = Ay V A = 1750 ↑ ( +)

En

B:

VB ' = V A − A VB ' = 1750 − (800 x3) = 650 ↓ (−) VB = VB '− P VB = −650 − 1500 = 2150 ↓ (−)

En

C:

VC ' = VB − A VC ' = −2150 − (800 x1) = 2950 ↓ ( −) VC = VC '+Cy VC = −2950 + 4150 = 1200 ↑ (+ )

En

D:

VD = VC − A VD = 1200 − (800 x1.5) = 0

Las unidades de las fuerzas cortantes, en este caso, son todas en

[kg ] .

____________________ * Puesto que estos son temas relacionados con Resistencia de Materiales, recomendamos revisar el texto: “Mecánica de Materiales” de los autores F. Beer y R. Johnston. ** ¿Pueden aparecer líneas curvas en estos tipos de diagramas? La respuesta se encuentra en el Capítulo 2 de este texto.


35


ESPOCH


DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR

1750 650 = 3−a a

→

a = 2.1875m

En

A:

MA =0

En

E:

ME = MA + A M E = 0 + (0.5 x 2.1875 x1750) M E = 1914.0625 ↑ (+ )

En

B:

MB = ME − A M B = 1914.0625 − (0.5 x 0.8125 x650) M B = 1650 ↑ ( + )

En

C:

MC = MB − A M C = 1650 − [(0.5 x(1x( 2950 − 2150))) + (1x 2150)] M C = 900 ↓ (− )

En

D:

MD = MC + A M D = −900 + (0.5 x1.5 x1200) = 0 Las unidades de los momentos flectores, en este caso, son todas en

[kg .m] .

Por Resistencia de Materiales sabemos que, el momento flector máximo se produce cuando la fuerza cortante es cero. El diagrama de fuerzas cortantes sugiere que el momento máximo se producirá en punto de momentos flectores), ubicado a una distancia

E (mostrado en el diagrama

a del punto A .

Por Trigonometría (aplicando la función tangente en los triángulos rectángulos comprendidos en el tramo posible encontrar el valor de esta distancia.

AB ),

es

El procedimiento para encontrar los momentos flectores en un determinado punto es muy similar al descrito para fuerzas cortantes. Tómese muy en cuenta lo descrito anteriormente para el signo de las áreas.


36


ESPOCH


PROBLEMA 6 Para el sistema de cargas que actúan sobre la viga, dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector, utilizando el Método de Áreas, siendo los valores de las cargas:

w = 10 N / m

M = 200 N .m

P = 100 N

M 1 = 100 N .m

P1 = 150 N

M 2 = 80 N .m

P2 = 50 N

Dimensiones en metros

SOLUCIÓN:



w

F1 = w * L1 → F2 = w * L2 → Tomando momentos con respecto al punto

∑M

A

= 0:

F1

en cargas puntuales

y

F2 :

F1 = (10 x3) N ⇒ F1 = 30 N F2 = (10 x 2) N ⇒ F2 = 20 N

↓ ↓

A:

M − ( Px 2) − ( F1 x 4.5) − ( P1 x7) − M 1 − ( F2 x9) − ( P2 x10) + M 2 + ( Hy *12) = 0 200 − (100 x 2) − (30 x 4.5) − (150 x7) − 100 − (20 x9) − (50 x10) + 80 + ( Hy * 12) = 0 ⇒ Hy = 157.083 N ↑


∑F

y

= 0:

Ay − P − F1 − P1 − F2 − P2 + Hy = 0 Ay − 100 − 30 − 150 − 20 − 50 + 157.083 = 0

⇒

Ay = 192.917 N

↑


37


ESPOCH


En el problema anterior se hizo una descripción detallada de la manera como construir los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores. En este problema, esto ya no se hará. Algo muy importante que debe volver a mencionarse es que: ♦

Las discontinuidades en el diagrama de fuerzas cortantes las producen las cargas puntuales, mientras que las discontinuidades en el diagrama de momentos flectores las ocasionan los momentos concentrados.


En

A:

V A = Ay = 192.917 ↑ ( + )

En

B:

V B ' = V A = 192.917 ↑ ( + ) V B = V B '− P = 192.917 − 100 = 92.917 ↑ ( + )

En

C:

VC = V B = 92.917 ↑ ( + )

En

D:

V D = VC − A V D = 92.917 − (10 x30) = 62.917 ↑ ( + )

En

E:

V E ' = V D = 62.917 ↑ (+ ) V E = V E '− P1 = 62.917 − 150 = 87.083 ↓ ( −)

En

F:

V F = V E = 87.083 ↓ ( −)

En

G:

VG ' = V F − A VG ' = −87.083 − (10 x 2) = 107.083 ↓ ( −) VG = VG '− P2 VG = −107.083 − 50 = 157.083 ↓ ( −)

En

H:

V H ' = VG = 157.083 ↓ ( −) V H = V H '+ Hy V H = −157.083 + 157.083 = 0 Las unidades de las fuerzas cortantes, en este caso, son todas en

[N ] .


38


ESPOCH



En

A:

M A = M = 200 ↓ ( −)

En

B:

MB = MA + A M B = −200 + (192.917 x 2) = 185.834 ↑ (+ )

En

C:

MC = MB + A M C = 185.834 + (92.917 x1) = 278.751 ↑ (+ )

En

D:

MD = MC + A M D = 278.751 + [(0.5(92.917 − 62.917 ) x3) + (62.917 x3)] = 512.502 ↑ (+ )

En

E:

ME = MD + A M E = 512.502 + (62.917 x1) = 575.419 ↑ (+ )

En

F:

M F '= M E − A M F ' = 575.419 − (87.083 x1) = 488.336 ↑ ( + ) M F = M F '+ M 1 M F = 488.336 + 100 = 588.336 ↑ (+ )

En

G:

MG = MF − A M G = 588.336 − [0.5(107.083 − 87.083) x 2) + (87.083 x 2)] = 394.17 ↑ ( + )

En

H:

M H '= MG − A M H ' = 394.17 − (157.083 x 2) = 80 ↑ ( + ) M H = M H '− M 2 M H = 80 − 80 = 0 Las unidades de los momentos flectores, en este caso, son todas en

[ N .m] .


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ESPOCH


PROBLEMA 7 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga en voladizo AB, utilizando el Método de Áreas.

SOLUCIÓN: CÁLCULO DE LAS REACCIONES


w

en carga puntual

F1 = w * L1 →

F1 :

F1 = (3x8)kips ⇒ F1 = 24kips

Reemplazando la fuerza de 10 kips por un sistema equivalente fuerza-par que actúa en

M = F*L

→

↓ C:

M = (10 x 2)kips − pie ⇒ M = 20kips − pie

⊗


∑F

y

= 0:

Ey − F1 − 10 = 0 Ey − 24 − 10 = 0


∑M

E

= 0:

⇒

Ey = 34kips

↑

E:

− ( F1 x12) − (10 x5) + M + M E = 0 − (24 x12) − (10 x5) + 20 + M E = 0

⇒

M E = 318kips − pie

⊗

Finalmente, el sistema de cargas es:

10

w


40


ESPOCH



En

A:

VA = 0

En

B:

VB = V A − A = − (3 x8) = 24 ↓ (− )

En

C:

VC ' = VB = 24 ↓ ( − ) VC = VC '−10 = −24 − 10 = 34 ↓ ( − )

En

VE ' = VC = 34 ↓ ( − )

E:

VE = VE '+ E y = −34 + 34 = 0 Las unidades de las fuerzas cortantes, en este caso, son todas en

[kips ] .


En

A:

MA =0

En

B:

MB = MA − A M B = −(0.5 x 24 x8) = 96 ↓ ( − )

En

C:

MC '= M B − A M C ' = −96 − ( 24 x3) = 168 ↓ ( − ) M C = M C '+ M M C = −168 + 20 = 148 ↓ ( −)

En

E:

M E '= MC − A M E ' = −148 − (34 x5) = 318 ↓ ( − ) M E = M E '+ M E M E = −318 + 318 = 0

Las unidades de los momentos flectores, en este caso, son todas en

[kips − pie] .

PROBLEMA 8 Se aplican dos fuerzas verticales a la viga de sección mostrada. Halle los máximos esfuerzos de tensión y compresión en la parte

BC

de la viga.

3000lb B

3000lb

4in

C

0.5in

A

D 0.5in 10in

15in

3in

10in

SOLUCIÓN: El estudiante debe ya haberse fijado que se trata de un problema relacionado con flexión pura (pueda que sea conveniente revisar la sección 2.14 para recordar el tema). También, adviértase que el valor máximo de dicha flexión se encuentra en el tramo comprobará del diagrama de momento flector.

BC

de la viga. Esto último se


41


ESPOCH



3000lb

Ay


∑M

A

= 0:

10in

3000lb

15in

Dy

10in

A:

− (3000 x10) − (3000 x 25) + Dy (35) = 0

⇒

Dy = 3000lb

↑


∑F

y

= 0:

Ay − 3000 − 3000 + Dy = 0

Ay = 3000lb

⇒

↑


En

A:

V A = Ay = 3000 ↑ ( + )

En

B:

VB ' = V A = 3000 ↑ ( + ) VB = VB '−3000 = 0

En

C:

VC ' = VB = 0 VC = VC '−3000 = 3000 ↓ ( −)

Unidades :

En

[lb ]

D:

VD ' = VC = 3000 ↓ (− ) VD = VD '+ Dy = 0


En

A:

MA =0

En

B:

MB = MA + A M B = (3000 x10) = 30000 ↑ (+ )

[lb − in ]

Unidades :

En

C:

M C = M B = 30000 ↑ (+ )

En

D:

MD = MC − A M B = 30000 − (3000 x10) = 0

PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LA SECCIÓN Área y centroide de la sección

0. 5 1.75

A = 2 A1 + A2 = [2(1.75 x0.5) + (0.5 x3.5)]in 2

1.75

0. 5

A = 3.5in 2

y1 E.N

∑ ( A. y ) = [2(1.75 x0.5)(3.25) + (0.5 x3.5)(1.75)]in

A y = 2.5in

3

y

y=

y2

3

3.5in 2

x


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Momento de Inercia con respecto al eje x*

  b.h 3  b.h 3  I x = (2 I 1 ) x + ( I 2 ) x = 2 + (b.h. y 2 )  +  3     12   1.75 x0.5 3  0 .5 x 3 .5 3  4 4 I x = 2 + (1.75 x0.5 x3.25 2 )  + in = 25.67in 12 3     Momento de Inercia con respecto al eje neutro

[

]

I E . N = I x − A( y ) 2 = 25.67 − (3.5 x 2.5 2 ) in 4

I E . N = 3.79in 4

⇒

ESFUERZO MÁXIMO DE TENSIÓN Analizando la figura del enunciado del problema, notamos que la flexión producirá esfuerzos de tensión en aquellas fibras que se encuentren ubicadas por debajo del eje neutro. Esto último se debe a que la viga flexiona “hacia abajo”º.

Luego, este esfuerzo está dado por:

Aquí,

M máx

σx =

M máx . y 2 I E.N

es el “mayor” valor de momento que se obtiene del diagrama de momento flector, mientras que,

y2

es

la distancia máxima medida desde el eje neutro a una de las fibras que se encuentran bajo tensión.

Finalmente,

σx =

M máx . y 2 M máx . y = I E.N I E. N

→

σx =

30000lb.in(2.5in) = 19.78kpsi 3.79in 4

ESFUERZO MÁXIMO DE COMPRESIÓN De manera similar, analizando la figura del enunciado del problema, notamos que la flexión producirá esfuerzos de compresión en aquellas fibras que se encuentren ubicadas por encima del eje neutro. Esto último se debe a que la viga flexiona “hacia abajo”. Luego, este esfuerzo está dado por:

Aquí,

M máx

σx = −

M máx . y1 I E.N

es el “mayor” valor de momento que se obtiene del diagrama de momento flector, mientras que,

y1

es

la distancia máxima medida desde el eje neutro a una de las fibras que se encuentran bajo compresión.

Finalmente,

σx = −

M máx . y1 I E.N

→

σx = −

30000lb.in(3.5 − 2.5)in = −7.91kpsi 3.79in 4

__________ * En la ecuación que sigue, y es la distancia desde el centroide de la sección 1 hasta el eje x. º Significa que la deflexión (flecha o deformación lineal) es originada hacia abajo.


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PROBLEMAS PROPUESTOS FLEXIÓN PURA PROBLEMA 9

M

Para la fundición mostrada, halle el máximo par siguientes:

σ adm = 6kpsi

y

σ adm = −15kpsi *.

que puede aplicarse sin exceder los esfuerzos admisibles

5in 0.5in 0.5in

3in

M

0.5in 2in PROBLEMA 10 Sabiendo que para la viga extruida que se muestra, el esfuerzo admisible es 120 Mpa a tensión y 150 Mpa a

M

compresión, halle el máximo par

que puede aplicarse.

150 mm

50 mm

M

125 mm

125 mm

ESFUERZOS BAJO CARGAS COMBINADAS PROBLEMA 11 Se aplican varias fuerzas al ensamblaje de tubería mostrado. Sabiendo que la tubería tiene diámetros interior y exterior de 1.61 y 1.90 pulg., respectivamente, halle los esfuerzos normales y cortantes en los puntos

Hy K.

y 200lb

150lb

H

z

K

10in

4in 150lb 4in 6in

50lb

x

__________ * Puesto que los materiales fundidos soportan mucha más cargas de compresión que de tracción, para determinar el valor del par, considérese sólo el valor del esfuerzo admisible a compresión (el de signo negativo).


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PROBLEMA 12

1000lb

Se aplica una fuerza de

A

en el punto

del elemento de fundición mostrado, sabiendo que el elemento tiene

un diámetro de 1.8 pulg., halle los esfuerzos normal y cortante en el punto elemento*.

H

localizado en la superficie superior del

y

y

E 10in

B 7.5in

120 N

A 260 N

z

30 mm

45mm

a H

140 mm

b c

216 mm

A 40 mm

x

3in 6in

75mm

x

z 90 mm Fig.P.12

Fig.P.13

*PROBLEMA 13

ABD , como se muestra. Sabiendo que la sección transversal del 30 x45mm , halle los esfuerzos normales y cortantes en los tres puntos indicados.

Se aplican dos fuerzas al elemento de maquinaria elemento es de

DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR PROBLEMA 14 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector** para cada viga

8in

8in

50lb B

50lb C

8in

2 kN

50lb D

AE . D

8kN

B

2 kN

C

0.2 m

A E

A

0.2 m

E

4in

8in

8in

0.3m

4in

0.3m

0.3m

0.3m

__________ * Para obtener las respuestas a los problemas 11, 12 y 13, refiérase al texto “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston, en el capítulo correspondiente a CARGA TRANSVERSAL. ** Aunque ahora existen calculadoras avanzadas capaces de dibujar cualquiera de estos diagramas, se recomienda al estudiante que sólo las utilice para verificar que sus conocimientos sobre este tema son los adecuados.


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PROBLEMA 16 Para la viga y carga mostrada, halle: a) el esfuerzo normal máximo en una sección transversal en cortante máximo en una sección transversal justamente a la izquierda de

750lb

900lb

B y, b) el esfuerzo

D. 1.5in

C

B A

9.5in

D

3 ft

4 ft

2 ft

PROBLEMA 17 Para la viga y carga mostrada, halle: a) el esfuerzo normal máximo en una sección transversal en cortante máximo en una sección transversal justamente a la izquierda de

B y, b) el esfuerzo

E.

1.8kN 1.25kN / m

40 mm

1.25kN / m

A

E C

B

240 mm

D

1.2 m

1.2 m 0.6 m

0.6 m

PROBLEMA 18 Si

P = Q = 120lb , halle: a) la distancia a para la cual el máximo valor absoluto del momento flector en la viga sea

lo más pequeño posible y, b) el esfuerzo normal máximo correspondiente debido a la flexión. (Sugerencia: dibuje el diagrama de momento y luego iguale los valores absolutos de los mayores momentos positivo y negativo obtenidos).

20in

20in 0.5in

Q

P B A

D

0.75in

C

a


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*PROBLEMA 19

AB soporta dos cargas concentradas P y Q . El esfuerzo normal debido a la flexión en el borde inferior de la viga es +55 Mpa en C y +37 Mpa en E . a) Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector de la viga, La viga

y b) Determine el esfuerzo normal máximo debido a la flexión que ocurre en la viga.

0 .2 m

0 . 5m

0 . 5m 24 mm

P

Q C

E

A

60 mm

F B

D

0.4m

0.3m

PROBLEMA 20 Halle la carga uniformemente distribuida admisible tensión,

σ adm = −130MPa

a compresión y

τ adm

w para la viga = 60 MPa .

mostrada, sabiendo que

σ adm = +70MPa

a

15mm

w

C

A

60 mm

B 15mm 0.45m

0.15m

40 mm


47


ESPOCH


CAPÍTULO 3 MATERIALES Y SUS PROPIEDADES *3.1 INTRODUCCIÓN Un paso importante en el Diseño lo constituye la elección del material sólido. La capacidad de explotar el potencial y las características de un material es esencial para asegurar que se utilice el mejor material para un elemento de máquina particular. Por lo tanto, conocer las propiedades de los materiales resulta de suma importancia.

*3.2 MATERIALES DÚCTILES Y FRÁGILES *3.2.1 MATERIALES DÚCTILES La ductilidad es la medida del grado de la deformación plástica sostenida al momento de la fractura. Un material dúctil puede sufrir grandes deformaciones unitarias antes de su ruptura. Con frecuencia los diseñadores emplean materiales dúctiles porque éstos absorben choques (o energía) y, si se sobrecargan, presentarán grandes antes de su falla. Asimismo, la concentración de esfuerzos se disipa parcialmente con las deformaciones que se logran mediante el empleo de materiales dúctiles. Una forma de especificar si un material es dúctil es de acuerdo con su porcentaje de alargamiento ( % Al )

 l fr − l o % AL =   lo

  x100% 

l fr

= longitud el espécimen al momento de la fractura

[m]

lo

= longitud del espécimen sin carga

[m]

donde:

Un material dúctil presenta un longitud original del espécimen

% Al

l o es

alto antes de la falla. Considere también que en la ecuación anterior, la

un valor importante, porque una porción significativamente de la deformación

plástica al momento de la fractura está confinada a la región estrecha. Así, la magnitud del

% Al

dependerá de la

l o , mayor será la fracción del alargamiento total a partir de la parte más estrecha y, por consecuencia, mayor el valor del % Al .

longitud del espécimen. Cuanto menor sea

*3.2.2.MATERIALES FRÁGILES Un material frágil presenta poca ( % Al ejemplo de un material frágil cuyo

% Al

< 5% )

o ninguna fluencia antes de la falla. El hierro fundido gris es un

es muy pequeño.

*3.3 CLASIFICACIÓN DE LOS MATERIALES Los materiales de ingeniería se pueden clasificar en cuatro categorías: metales, cerámicas y vidrios, polímeros y elastómeros, y compuestos. Generalmente los miembros de cada clase tienen las características comunes siguientes: 1. 2. 3.

Propiedades similares, como composición química y estructura atómica. Rutas de procesos similares. Aplicaciones similares.

*3.3.1 METALES Los metales constituyen combinaciones de elementos metálicos, con grandes cantidades de electrones no localizados (es decir, electrones no ligados a átomos particulares). Los metales extremadamente buenos conductores de la electricidad y del calor, y no son transparentes a la luz visible; una superficie metálica pulida tiene una apariencia lustrosa. Además, los metales son resistentes y usualmente deformables, lo cual los vuelve materiales de suma importancia en el diseño de máquinas.


48

MATERIALES Y SUS PROPIEDADES

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Los metales se hacen más resistentes por medio de aleaciones y tratamientos mecánicos y térmicos; además de que generalmente son dúctiles. Las aleaciones de alta resistencia, como un resorte de acero, pueden tener ductilidades tan bajas como 2% o un pobre porcentaje de alargamiento de 2%; pero resulta suficiente para asegurar que el material se deformará antes de fallar. Sin embrago, algunas partes fundidas pueden presentar una ductilidad muy baja. Ya que los metales son dúctiles, con frecuencia se usan en circunstancias donde se aplica una carga cíclica, de manera que a menudo fallan por fatiga y son resistentes a la corrosión. Los materiales dúctiles, como el acero, pueden acomodar las concentraciones de los esfuerzos, deformándose en tal forma que redistribuyen la carga más uniformemente; por lo tanto, se usan bajas cargas estáticas dentro de un pequeño margen de su resistencia a la fluencia.

*3.3.2 CERÁMICOS Y VIDRIOS Los cerámicos son compuestos de elementos metálicos y no metálicos, frecuentemente de óxidos, nitruros y carburos. Los vidrios se componen, al igual que las cerámicas, de elementos metálicos y no metálicos; pero los vidrios no tienen una estructura cristalina clara. Tantotas cerámicas como los vidrios suelen ser mejores aislantes contra el paso de la electricidad y de la transmisión del calor, y más resistentes a altas temperaturas y medios ambientes hostiles que los metales y polímeros. Las cerámicas y los vidrios, al igual que los metales, tienen una alta densidad. Sin embargo, en vez de ser dúctiles como éstos (a temperatura ambiente) resultan frágiles. Además, son 15 veces más resistentes a la compresión que a la tensión. Las cerámicas y los vidrios no se pueden deformar y, por tanto, no son tan versátiles para diseñar elementos de máquinas como los metales. A pesar de esto, presentan características atractivas. Son rígidos, duros y resistentes a la abrasión (de aquí que se emplean en cojinetes y para herramientas de corte). Por esto deben considerarse como una clase importante de materiales de ingeniería para su empleo en los elementos de máquinas.

*3.3.3 POLÍMEROS Y ELASTÓMEROS Los polímeros y los elastómeros incluyen materiales plásticos y cauchos. Muchos polímeros son compuestos orgánicos basados químicamente en carbono, hidrógeno y otros elementos no metálicos. Además, tienen grandes estructuras moleculares. Los polímeros se dividen en dos tipos básicos: termoplásticos y termofraguados. En general, los primeros son más dúctiles que los seguidnos y a temperaturas elevadas se suavizan significativamente y se funden. Los termofraguados son más frágiles, no se suavizan tanto como aquéllos y usualmente se descomponen químicamente antes de fundirse. Los termoplásticos son moléculas de cadena grande, cuya resistencia se origina en la interferencia entre cadenas. Los termofraguados se encuentran en una estructura de red, como la de una esponja. Los elastómeros tienen una estructura de red, pero no tan elaborada como la de los termofraguados, de manera que sufren grandes deformaciones con cargas relativamente ligeras. Un elastómero común es una liga de caucho, la cual presenta las características típicas de una gran deformación elástica, pero fractura frágil. Además, las propiedades elásticas de las ligas de caucho son altamente no lineales. Los polímeros y los elastómeros son extremadamente flexibles con grandes deformaciones elásticas. Los polímeros son aproximadamente 5 veces menos densos que los metales; pero tienen una razón de resistencia/peso casi equivalente. Como los polímeros tienen una variación muy lenta de una dimensión o de una característica por la acción del tiempo o del uso (la deformación permanente que depende del tiempo y ocurre por la acción de un esfuerzo) incluso a temperatura ambiente, un elementote máquina de polímero bajo la acción de una carga, con el tiempo, adquiere un fraguado permanente. Las propiedades de los polímeros y de los elastómeros cambian enormemente con las variaciones de la temperatura. Las propiedades mecánicas de los polímeros se especifican con muchos de los mismos parámetros que se emplean para los metales (es decir, módulos de elasticidad y resistencias a la tensión, de impacto y a la fatiga). No obstante, los polímeros varían mucho más en resistencia, rigidez, etc., que los metales. Las razones principales de esta variación son que, aun con los mismos constituyentes químicos, dos polímeros pueden tener diferentes longitudes de cadenas y diferentes números de átomos pueden estar en un estado cristalino respecto de uno en estado amorfo. Además, las características mecánicas de los polímeros, en su mayoría, son su alta sensibilidad a la velocidad de la deformación, la temperatura y la naturaleza química del medio ambiente (la presencia de agua, oxígeno, solventes orgánicos, etc.). Los polímeros son tan resistentes por unidad de peso como los metales. Se forman fácilmente: partes complicadas que realizan varias funciones se moldean a partir de un polímero en una sola operación. Las grandes deformaciones elásticas permiten el diseño de componentes basados en polímeros ajustables a presión, volviendo el ensamble rápido y barato. Los polímeros resisten la corrosión y tienen bajos coeficientes de fricción.

*3.3.4 COMPUESTOS Los materiales compuestos combinan las atractivas propiedades de dos o más clases de materiales al tiempo que evitan las desventajas. Un material compuesto se diseña para presentar una combinación de las mejores características de cada material componente. Por ejemplo, un epoxi reforzado con grafito adquiere la resistencia de las fibras del grafito, mientras protege al grafito de la oxidación. También en epoxi ayuda a soportar los esfuerzos cortantes y proporciona dureza.


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Los tres tipos principales de materiales compuestos son: 1.

Partículas reforzadas: tienen aproximadamente las mismas dimensiones en todas las direcciones en una matriz, como el concreto.

2.

Fibra discontinua reforzada: son fibras de razón longitud-diámetro limitada en una matriz, como la fibra de vidrio.

3.

Fibra continua reforzada: son fibras continuas construidas en una parte en capas, como en las raquetas de tenis de grafito.

Las desventajas de utilizar compuestos en los elementos de máquinas son que elevan considerablemente el precio del componente y que son relativamente difíciles de formar y unir. Los materiales compuestos tienen muchas características diferentes de las otras tres clases de materiales. Los metales, los polímeros y las cerámicas son materiales homogéneos (sus propiedades no son una función de posición en el sólido), isotrópicos (sus propiedades son iguales en todas las direcciones en un punto dado en el sólido) o anisotrópico (sus propiedades son diferentes en todas las direcciones en un punto en el sólido), mientras que los materiales compuestos son ortotrópicos y no homogéneos. Un material ortotrópico tiene propiedades diferentes en tres direcciones mutuamente perpendiculares en un punto en el sólido, pero presenta tres planos mutuamente perpendiculares de simetría del material.

*3.4 RESISTENCIA La resistencia de un elemento de máquina depende de la clase, tratamiento y geometría del espécimen, y también del tipo de carga que el elemento de máquina experimente. Los diferentes tipos de carga que un material experimenta son importantes. El diseño se relaciona con los esfuerzos permisibles, o con el valor reducido de la resistencia. El esfuerzo normal permisible permisible

Tensión: Cortante: Flexión: Soporte:

τ perm

σ perm

y el esfuerzo cortante

para metales ferrosos y no ferrosos con varios tipos de carga se pueden representar como:

0.45S y ≤ σ perm ≤ 0.60 S y

τ perm = 0.40S y 0.60 S y ≤ σ perm ≤ 0.75S y σ perm = 0.90S y

Estas relaciones también se aplican a los polímeros y a las cerámicas si la resistencia a la rotura en la resistencia al rompimiento y a la fractura, respectivamente se sustituyen por la resistencia a la fluencia en las ecuaciones anteriores.

*3.4.1 METALES. Los metales se dividen en aleaciones ferrosas y no ferrosas. Las primeras son aquellas donde el hierro es el componente primario; pero el carbono así como otros elementos de aleación está presente. Las segundas son las que no están basadas en el hierro. La resistencia de los metales está directamente relacionada con la resistencia a la fluencia del material. La resistencia de los metales es esencialmente igual a la compresión que a la tensión.

*3.4.2 POLÍMEROS. Cuando se trata con polímeros la resistencia de interés es la resistencia a la rotura en el rompimiento, en vez de la resistencia a la fluencia para los metales. La otra característica única de los polímeros es que son más resistentes (-20%) a la compresión que a la tensión.

*3.4.3 CERÁMICOS. La resistencia interesante de las cerámicas es a la fractura. Las cerámicas, como son materiales frágiles, resultan mucho más resistentes a la compresión (generalmente 15 veces) que a la tensión. *3.5 RESILIENCIA Y TENACIDAD *3.5.1 RESILIENCIA. Es la capacidad de un material para absorber energía cuando se deforma elásticamente y, luego, después de la descarga, para liberar esta energía. El módulo de resiliencia es la energía de deformación unitaria por unidad e volumen que se requiere para esforzar un material de un estado sin carga al punto de fluencia. Los materiales resilientes tienen altas resistencias a la fluencia y bajos módulos de elasticidad. La resistencia a la fluencia para el acero de alto carbono resulta mayor cuando el módulo de elasticidad es alto. Así, los aceros al alto carbono tienen un módulo de resiliencia alto. Esta propiedad es muy útil en la selección de un material para resortes, pues hace de las aleaciones de acero al alto carbono materiales adecuados para la fabricación de resortes.


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*3.5.2 TENACIDAD. Es la habilidad de un material para absorber energía hasta el punto de fractura. La geometría del espécimen y la manera de la aplicación de la carga son importantes en la determinación de la tenacidad de un material. La tenacidad a la fractura indica la resistencia de un material a la fractura cuando se presenta un agrieta. Para la situación estática, la tenacidad se obtiene de la curva esfuerzo-deformación unitaria hasta el punto de fractura o ruptura. La resiliencia es la energía de deformación por unidad de volumen hasta la resistencia a la fluencia del material; mientras que la tenacidad es la energía por unidad e volumen hasta la ruptura. Para que un material sea duro debe presentar tanto resistencia como ductilidad, y con frecuencia los materiales dúctiles son más tenaces que los materiales frágiles. Aunque el material frágil tiene resistencias a la fluencia y a la rotura más altas, debido a la falta de ductilidad, tiene una tenacidad menor que el material dúctil. Es decir, el área de un material dúctil es considerablemente mayor que el área de un material frágil.


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CAPÌTULO 4 ANÁLISIS DEL ESFUERZO 4.1 INTRODUCCCIÓN Uno de los problemas que se estudiarán en este libro será el de cómo relacionar la resistencia de un elemento con las cargas externas que se le apliquen. Tales cargas externas dan lugar a esfuerzos internos en el elemento. Para evitar todo riesgo en el uso del producto, el ingeniero de diseño debe tener la plena certeza de que esos esfuerzos nunca excederán la resistencia calculada.

4.2 ELEMENTO DE ESFUERZO En la figura se muestra un elemento con el origen del esfuerzo colocado dentro del elemento. A través de cada una de las superficies mutuamente perpendiculares existen tres esfuerzos, que producen un total de nueve componentes de esfuerzo. De los tres esfuerzos que actúan en una superficie dada, el esfuerzo normal se denota por σ y el esfuerzo cortante por τ . Un esfuerzo normal recibirá un subíndice que indica la dirección en la cual actúa el esfuerzo. Para un esfuerzo cortante se requieren dos subíndices. El primero indica el plano del esfuerzo; y el segundo, su dirección.

σz

τ zx

τ zy

τ xz

τ yz

σx

σy τ yx τ xy

Fig. 4-1 Elemento de esfuerzo tridimensional

La convención de signos para el esfuerzo normal distingue al signo positivo para la tensión, y al negativo par la compresión. Un esfuerzo cortante positivo apunta en la dirección positiva del eje coordenado, denotado por el segundo subíndice si actúa sobre una superficie con una normal hacia fuera en la dirección positiva. La convención de signos para el esfuerzo cortante está directamente asociada con las direcciones de las coordenadas. Si tanto la normal de la superficie como el cortante se encuentran en la dirección positiva, o si ambas se encuentran en la dirección negativa, el esfuerzo cortante tiene signo positivo. Cualquier otra combinación de la normal y de la dirección del cortante producirá un esfuerzo cortante negativo. Los esfuerzos de superficie de un elemento tienen las siguientes relaciones: ♦

La normal y los componentes del esfuerzo cortante que actúan en los lados opuestos de un elemento deben ser iguales en magnitud pero opuestos en dirección.

♦

Para el equilibrio de momentos se requiere que los esfuerzos cortantes sean simétricos, lo que implica que los subíndices se puedan invertir en orden, o

τ xy = τ yx

τ xz = τ zx

τ yz = τ zy

de esta manera se reducen a seis los nueve esfuerzos que actúan sobre el elemento: tres esfuerzos normales,

σx, σy,y σz

y, tres esfuerzos cortantes,

τ xy , τ yz

y

τ xz .


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ANÁLISIS DEL ESFUERZO

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4.3 TENSOR DE ESFUERZO En los cursos de ingeniería es común encontrar cantidades escalares: aquellas que tienen un valor numérico. Los vectores, como la fuerza, tienen una magnitud, así como una dirección. El esfuerzo requiere de seis cantidades para su definición; por consiguiente, el esfuerzo es un tensor.

σ x  S = τ xy τ  xz

El tensor de esfuerzo es:

τ xy τ xz   σ y τ yz  τ yz σ z 

el cual es un tensor simétrico. Una propiedad de un tensor simétrico es que allí existe un conjunto ortogonal de ejes 1, 2, y 3 (llamados ejes principales) respecto a los cuales todos los elementos del tensor son cero, excepto para aquellos en la diagonal principal.

4.4 ESFUERZO PLANO Muchos casos de análisis de esfuerzos se pueden simplificar al caso de esfuerzos planos, donde una superficie está comparativamente libre de esfuerzos. De esta manera, la tercera dirección se puede despreciar y todos los esfuerzos sobre el elemento de esfuerzo actúan sobre dos pares de caras en vez de tres. Este estado de esfuerzo bidimensional en algunas ocasiones se llama esfuerzo biaxial o esfuerzo plano.

4.5 TENSIONES COMPUESTAS Hay que tener en cuenta que sobre un elemento, frecuentemente, actúan simultáneamente varias de las solicitaciones conocidas, tales como flexión y torsión, por ejemplo, y hay que determinar el estado de tensiones* en estas condiciones. Como las tensiones normal y cortante son magnitudes vectoriales, hay que tener mucho cuidado al combinar los valores dados por las expresiones para solicitaciones simples.

4.5.1 CASO GENERAL DE TENSIÓN BIDIMENSIONAL En general, si se separa de un cuerpo un elemento plano estará sometido a las tensiones normales como a la tensión cortante

σxy σy,

así

τ xy , como se muestra en la figura siguiente. σy

τ xy

σx

Fig. 4-2 Elemento de esfuerzo plano

4.5.2 CRITERIO DE SIGNOS Para tensiones normales, se considera que las tensiones de tracción son positivas y las de compresión negativas.

_________________ * Véase: TENSIONES COMPUESTAS en el texto “Resistencia de Materiales” de W. Nash para información adicional.


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4.6 TENSIONES EN UN PLANO INCLINADO 4.6.1 TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZO PLANO Supondremos que tanto los esfuerzos normales como los tangenciales ( σ x , σ y y τ xy ) son conocidos por el momento. Supóngase que existe un estado de esfuerzo plano en un punto en el cual

τ xy , asociadas con el elemento de la figura 4-3a. Se pretende ahora determinar las componentes del esfuerzo σ x ' , σ y ' y τ x ' y ' asociadas con el elemento después que ha girado un ángulo θ en (s.c.r) componentes

σx, σy

σ z = τ xz = τ yz = 0 , y definido por las

y

z en función de σ x , σ y , τ xy

(véase la figura 4-3b) con respeto al eje

y

y

θ. y

y'

σy

σ y'

θ τ x'y'

τ xy

σ x'

x'

θ

σx

x

x z' = z

z a)

b)

Fig. 4-3 Transformación de esfuerzo plano

El estudio* de un elemento prismático con caras respectivamente perpendiculares a los ejes obtener las ecuaciones, para cuando éste ha girado un ángulo

σ y , τ xy

y

θ

en (s.c.r) con respeto al eje

x , y y x' , permite z en función de σ x ,

θ.

σ x' = σ y' =

σ x +σ y 2

σ x +σ y 2

τ x' y ' = −

σ x −σ y

+

2

−

σ x −σ y 2

σ x −σ y 2

cos 2θ + τ xy sen 2θ cos 2θ − τ xy sen 2θ

sen 2θ + τ xy cos 2θ

4.6.2 ESFUERZOS NORMALES PRINCIPALES Hay ciertos valores del ángulo normales y cortantes.

θ

que hacen que

σ

sea máximo o mínimo para un conjunto dado de esfuerzos

_________________ * Véase: TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZO PLANO en el texto “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston, si desea conocer la forma en cómo se obtienen las ecuaciones que se describen inmediatamente en este texto.


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Estos valores se llaman esfuerzos normales principales y están dados por:

σ máx = C + R

σ mín = C − R

donde:

σ x + σ y C =  2 

σ x −σ y R =  2 

   

2

  + (τ xy )2 

4.6.3 DIRECCIONES DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES Los ángulos entre el eje

x

y los planos en que tienen lugar las tensiones principales, están dados por la ecuación:

tan 2θ p = Como se ve, tenemos dos valores de

θp

2τ xy (σ x − σ y )

que satisfacen esta ecuación. La tensión máxima tiene lugar en uno de esos

planos, y la mínima en el otro. Los planos definidos por estos ángulos se llaman planos principales. Las tensiones cortantes en los planos en los que se producen los esfuerzos normales máximo y mínimo son siempre nulas, para cualquier valor de esfuerzos normales y cortantes conocidos.

4.6.4 TENSIÓN CORTANTE MÁXIMA Hay ciertos valores del ángulo θ que hacen sea máximo máximo de la tensión cortante está dado por:

τ máx

τ

σ x −σ y =  2 

para un conjunto dado de tensiones conocidas. El valor

2

  + (τ xy )2 = R  

4.6.5 DIRECCIONES DE LA TENSIÓN CORTANTE MÁXIMA

Los ángulos y los planos en los que se producen las tensiones cortantes máximas están dados por la ecuación:

tan 2θ c = −

(σ x − σ y ) 2τ xy

4.6.6 TENSIONES NORMALES EN LOS PLANOS DE MÁXIMA TENSIÓN CORTANTE La tensión normal en cada uno de los planos de máxima tensión cortante (que están separados 90º) está dado por:

σ n' =

σ x +σ y 2

4.7 EL CÍRCULO DE MOHR El círculo de Mohr para un estado triaxial de esfuerzos en un punto fue construido primero por el ingeniero alemán Otto Mohr (1914), quién se dio cuenta que las ecuaciones antes mencionadas definen un círculo en un plano

(σ − τ ) .

Este círculo se usa extensivamente como un método conveniente para visualizar gráficamente el estado de esfuerzos que actúan en planos diferentes, pasando a través de un punto dado. Por supuesto que el círculo de Mohr es mucho más útil para visualizar situaciones de esfuerzos planos. El valor principal del círculo de Mohr es que hace visuales las realidades del estado de esfuerzos para una situación específica.


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En esta representación se llevan las tensiones normales sobre el eje horizontal y las cortantes en el vertical. Se representan a escala las tensiones normales y cortantes conocidas y se traza un círculo por esos puntos, con centro en el eje horizontal.

4.7.1 CRITERIO DE SIGNOS UTILIZADO EN EL CÍRCULO DE MOHR Se considera que las tensiones de tracción son positivas y las de compresión negativas, por lo que las primeras se representarán a la derecha del origen y las segundas hacia la izquierda. Con relación a las tensiones cortantes, diremos que las tensiones cortantes son positivas si tienden a hacer girar el elemento en el sentido de las agujas del reloj, y negativas si en el contrario. Considérese un elemento cuadrado de un material sometido a esfuerzo plano (véase la figura 4-4a) y tenga muy en cuenta los criterios de signos dados anteriormente. Ubíquese el punto Uniendo

X

y

X

de coordenadas

Y mediante

(σ x ,−τ xy ) y

el punto

una línea recta se define el punto

dibuja el círculo de centro en

Y de coordenadas (σ y ,τ xy ) (véase la figura 4-4b). C de intersección de la línea XY con el eje σ y se

C y diámetro XY .

τ (+) σ mín

y

σ máx

σy

Y

a

τ xy O

σ máx

B

θp

O

σx

C

A

2θ p

x X

σ mín (−) a)

b) Fig. 4-4 Representación del Círculo de Mohr

Adviértase en la figura anterior que, si se requiere una rotación

θp

Mohr, una rotación en (s.c.r)

llevará

Ox a Oa

2θ p

en (s.c.r) para llevar

CX

a

CA

en el círculo de

, en la parte a). Se concluye que los sentidos de rotación en

ambas partes de la figura 4-4 son los mismos. Considérese ahora el caso más general, es decir, aquel en el cual un elemento gira cierto ángulo este caso, en (s.r) (véase la figura 4-5).

θ , por ejemplo y en

y

σy

τ

τ xy σx θ

Y'

y'

x

Y

σ y' O

τ x' y '

B

C

A

2θ

σ

X

σ x'

x'

X'

a)

b)

Fig. 4-5 Representación del Círculo de Mohr (caso general plano)


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(σ x ,−τ xy ) y (σ y ,τ xy ) , respectivamente. A partir de CX , en el círculo de Mohr se deberá girar un ángulo igual a 2θ en el mismo sentido que lo hace θ (véase la figura

Como antes, ubíquese los puntos

X

e

Y de

coordenadas

4-5a). Una vez que se ha trazado este ángulo ( 2θ ) se encuentran los puntos

X'

e

Y'

de coordenadas

(σ x ' ,−τ x ' y ' ) y

(σ y ' ,τ x ' y ' ) , respectivamente (véase la figura 4-5b). Se observa que la rotación que hace coincidir el diámetro sentido que la rotación que superpone los ejes

xy

XY con el diámetro X ' Y ' x' y ' , en la figura 4-5a.

en la figura 4-5b, tiene igual

a los ejes

4.7.2 PASOS PARA CONSTRUIR EL CÍRCULO DE MOHR 1.

Calcule el estado de esfuerzos planos para cualquier sistema de coordenadas

xy

de manera que

σx, σy

y

τ xy ,

sean conocidos.

σ x +σ y  ,0  C =  2  

2.

El centro del círculo de Mohr se puede colocar en:

3.

Dos puntos diametralmente opuestos uno de otro sobre el círculo corresponden a los puntos ( σ x , − τ xy ) y ( σ x , τ xy ). Usar el centro y cualquier punto permite que se dibuje el círculo.

4.

El radio del círculo se puede calcular por medio de la ecuación:

5.

Los esfuerzos principales tienen los valores:

6.

El esfuerzo cortante máximo es igual al radio.

7.

σ x −σ y R =  2 

2

  + (τ xy ) 2 

σ 1, 2 = C ± R

Los ejes principales se pueden encontrar calculando el ángulo entre el eje

x

en ele plano del círculo de Mohr y el

punto ( σ x , − τ xy ). Los ejes principales en el plano real han girado la mitad del valor de este ángulo en la misma dirección relativa al eje 8.

x

en el plano real.

Los esfuerzos en una orientación girada un ángulo de

θ

del eje

x

en el plano real se pueden leer trazando un arco

2θ en la misma dirección sobre el círculo de Mohr, desde los puntos de referencia ( σ x , − τ xy ) y ( σ x , τ xy ).

Los nuevos puntos sobre el círculo de Mohr corresponden a los nuevos esfuerzos (con relación al ángulo girado), respectivamente.

Se deben hacer algunos comentarios respecto al diagrama del círculo de Mohr:

x , y los esfuerzos cortantes se grafican a lo largo del eje y

1.

Los esfuerzos normales se grafican a lo largo del eje

2.

El círculo define todos los estados de esfuerzos que son equivalentes.

3.

El estado de esfuerzo biaxial para cualquier dirección se puede escalar directamente del círculo.

4.

Los esfuerzos normales principales (es decir, los valores extremos del esfuerzo normal) se encuentran en las localizaciones donde el círculo intercepta al eje x .

5.

El esfuerzo cortante máximo es igual al radio del círculo.

6.

Una rotación de un estado de esfuerzo de referencia en el punto real de desde los puntos de referencia en el plano del círculo de Mohr.

θ

corresponde a una rotación de

2θ


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*4.8 ESFUERZOS TRIDIMENSIONALES Considerando la situación general que se mostró en la figura 4-1, el elemento de esfuerzo tiene seis caras, lo que implica que existan tres direcciones principales y tres esfuerzos principales

σ1, σ 2

y

σ3.

Se requieren seis

componentes de esfuerzo (tres normales y tres tangenciales) para especificar un estado general de esfuerzo en tres dimensiones, a diferencia de los tres componentes de esfuerzo considerados en el caso biaxial. La determinación de los esfuerzos principales para una situación tridimensional es mucho más difícil. El proceso implica encontrar las tres raíces de la ecuación cúbica:

σ 3 − (σ x + σ y + σ z )σ 2 + (σ xσ y + σ xσ z + σ yσ z − τ xy2 − τ yz2 − τ zx2 )σ − (σ xσ yσ z + 2τ xyτ yzτ zx − σ xτ yz2 − σ yτ zx2 − σ zτ xy2 ) = 0 En la mayoría de las situaciones de diseño muchos de los componentes del esfuerzo son iguales a cero, lo que hace innecesaria una evaluación completa de esta ecuación. Si se conocen la orientación principal de un elemento asociado con un estado de esfuerzo tridimensional, así como losa esfuerzos principales, a esta condición se le llama esfuerzo triaxial. Se puede generar un círculo de Mohr para los estados de esfuerzo triaxial; pero a menudo esto no es necesario. En la mayoría de las circunstancias no es necesario conocer la orientación de los esfuerzos principales; es suficiente conocer sus valores. De esta forma, la ecuación anterior usualmente es todo lo que se necesita. En la figura siguiente se muestra el círculo de Mohr para un campo de esfuerzo triaxial.

τ

σ2 y

σ1 σ3

σ2

σ

σ1

x

σ3 z Fig. 4-6 Círculo de Mohr para un estado de esfuerzo triaxial

Éste consiste en tres círculos, dos de ellos son tangentes externamente y están inscritos dentro del tercer círculo. Los esfuerzos cortantes principales que aparecen en esta figura se determinan a partir de:

τ 1/ 2 =

σ1 −σ 2 2

τ 2/3 =

σ 2 −σ3 2

τ 1/ 3 =

σ1 −σ 3 2

Los esfuerzos normales principales se deben ordenar como se mencionó con anterioridad. Según las últimas ecuaciones, el esfuerzo cortante principal máximo es τ 1 / 3 .

*4.9 ESFUERZOS OCTAÉDRICOS En algunas ocasiones es ventajoso representar los esfuerzos en un elemento de esfuerzo octaédrico, en vez de un elemento cúbico convencional de esfuerzos principales. Cada plano octaédrico* corta a través de una esquina de un elemento principal, de manera que los ocho planos en conjunto forman un octaedro.

_________________ * Véase: ESFUERZOS OCTAÉDRICOS en el texto “Elementos de Máquinas” de B. Hamrock, Bo O. Jacobson y S. R. Schmid, si desea más información.


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Se debe tomar nota de las características siguientes de los esfuerzos en un plano octaédrico: 1.

Los esfuerzos normales idénticos actúan sobre los ocho planos. De esta forma, los esfuerzos normales tienden a comprimir o largar al octaedro pero no lo distorsionan.

2.

Los esfuerzos cortantes idénticos actúan sobre los ocho planos. De esta forma, los esfuerzos cortantes tienden a distorsionar al octaedro sin cambiar su volumen.

El hecho de que los esfuerzos normales y cortantes sean iguales para los ocho planos constituye una herramienta poderosa en el análisis de fallas. El esfuerzo octaédrico normal se expresa en términos de los esfuerzos normales principales o de los esfuerzos en las coordenadas x , y , z , como:

σ oct =

σ1 + σ 2 + σ 3 3

=

σ x +σ y +σ z

1 3

3 2 3

τ oct = [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ]1 / 2 + [τ 12/ 2 + τ 22/ 3 + τ 12/ 3 ]1 / 2 1 3

τ oct = [(σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ xy2 + τ yz2 + τ xz2 )]1 / 2 Note que el esfuerzo cortante octaédrico se puede expresar en términos del esfuerzo de Von Misses como:

τ oct = donde:

σe

2 σe 3

= esfuerzo de Von Misses

Para un estado de esfuerzo uniaxial

(σ 2

= σ 3 = 0 ) y entonces: σ e = σ 1

Para un estado de esfuerzo biaxial

(σ 3

= 0 ) y entonces: σ e = (σ 12 + σ 22 + σ 1σ 2 )1 / 2

Para un estado de esfuerzo triaxial:

 (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2   2  

1/ 2

σe = 


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PROBLEMAS RESUELTOS TRANSFORMACIONES DE ESFUERZOS PROBLEMA 1 Para el estado de esfuerzos dados, halle los esfuerzos normales y cortantes ejercidos sobre una cara inclinada 60º en (s.c.r). (Unidades: kpsi).

12

9

Datos: 60 º

σ x = −6 , σ y = 12 , τ xy = 9

6

y

θ = 60º

CONSIDERACIONES INICIALES 1. El esfuerzo cortante

τ xy

ubicado en la parte derecha del elemento es positivo, pues el vector normal de su

superficie apunta en la dirección positiva del eje x (A+), y porque este esfuerzo se encuentra orientado en la dirección positiva del eje y (V+); luego, por definición de esfuerzo, (V/A) = (+/+) = +. 2. El esfuerzo cortante

τ xy

ubicado en la parte izquierda del elemento también es positivo, pues el vector normal de

su superficie apunta en la dirección negativa del eje x (A-), y porque este esfuerzo se encuentra orientado en la dirección negativa del eje y (V-); luego, por definición de esfuerzo, (V/A) = (-/-) = +. 3. El ángulo

θ

(por Trigonometría Elemental) es positivo, ya que se mide en (s.c.r).

4. Luego de girar el elemento el ángulo

θ

en (s.c.r), se obtendrá un nuevo estado de tensiones normales y cortantes

con respecto a un nuevo sistema de ejes ( x ' y ' ), cuyos valores estarán dados por

σ x' , σ y'

y

τ x'y' .

SOLUCIÓN: Reemplazando valores en las ecuaciones que definen los nuevos estados de tensiones con respecto a los ejes

σ x' = σ y' =

σ x +σ y 2

σ x +σ y

τ x' y ' = −

2

+ −

σ x −σ y 2

σ x −σ y 2

σ x −σ y 2

x' y ' :

cos 2θ + τ xy sen2θ

→

σ x' =

− 6 + 12 − 6 − 12 + cos120º +(9sen120º ) 2 2

cos 2θ − τ xy sen 2θ

→

σ y' =

− 6 + 12 − 6 − 12 − cos 120º −(9 sen120º ) 2 2

→

τ x'y' = −


− 6 − 12 sen120º + (9 cos 120º ) 2

Obtenemos los siguientes valores:

σ x ' = 15.294 , σ y ' = −9.294

y

τ x ' y ' = 3.294

los mismos que indican que en el nuevo sistema coordenado:

σ x ' , esfuerzo de tensión; σ y ' , esfuerzo de compresión; τ x ' y ' , esfuerzo cortante positivo


60


ESPOCH


Graficando los resultados anteriores con respecto al nuevo sistema coordenado

σ y'

y

τ x'y '

x' y ' , resulta:

σ x'

θ x

PROBLEMA 2 Para el estado de esfuerzo dado, calcule: a) la orientación de los planos principales y, b) los esfuerzos principales. (Unidades: Mpa).

30

Datos: 150

σ x = 150 , σ y = 30 , τ xy = −80

80

CONSIDERACIONES INICIALES 1. El esfuerzo cortante

τ xy

ubicado en la parte derecha del elemento es negativo, pues el vector normal de su

superficie apunta en la dirección positiva del eje x (A+), y porque este esfuerzo se encuentra orientado en la dirección negativa del eje y (V-); luego, por definición de esfuerzo, (V/A) = (-/+) = -. 2. El esfuerzo cortante

τ xy

ubicado en la parte izquierda del elemento también es negativo, pues el vector normal de

su superficie apunta en la dirección negativa del eje x (A-), y porque este esfuerzo se encuentra orientado en la dirección positiva del eje y (V+); luego, por definición de esfuerzo, (V/A) = (+/-) = -. SOLUCIÓN: a) Por orientación de los planos principales se entienden aquellos valores de ángulos donde se producen los esfuerzos normales principales (máximo y mínimo).

tan 2θ p =

2τ xy (σ x − σ y )

→

tan 2θ p = o bien,

2( −80) → (150 − 30)

θ p = −26.565º

θ p = 90º −26.565º → θ p = 63.435º

Los ángulos donde se producen los esfuerzos cortantes (máximo y mínimo) son:

tan 2θ c = −

(σ x − σ y ) 2τ xy

→

(150 − 30) 2(−80)

→

θ c = 18.435º

θ c = 90º −26.565º

→

θ c = 71.565º

tan 2θ c = − o bien,


61


ESPOCH


b) Los esfuerzos normales y cortantes principales (máximos y mínimos) se pueden calcular de la manera siguiente:

σ x + σ y C =  2 

   

→

 150 + 30  C =  = 90 2  

→

 150 − 30  2 R=   + (80) = 100 2  

σ x −σ y R =  2 

  + (τ xy )2 

σ máx = C + R

→

σ máx = 90 + 100 = 190

τ máx = R

→

τ máx = 100

2

2

σ mín = C − R

→

τ mín = − R

→

σ mín = 90 − 100 = −10

τ mín = −100

El valor del esfuerzo normal, cuando el esfuerzo cortante es máximo, es:

σ n' =

σ x +σ y 2

→

σ n' =

150 + 30 = 90 2

Graficando los valores de los esfuerzos normales y cortantes máximos y mínimos, resulta:

y

σn'

σ mín

y

σn' θc

θp

x

x

τ máx

σ máx

PROBLEMA 3 Para el estado de esfuerzo dado, halle los esfuerzos normales y cortantes después de girar el elemento mostrado: a) 40º en (s.c.r) y, b) 15º en el (s.r). (Unidades: kpsi).

10

Datos: 8

σ x = −8 , σ y = 10 , τ xy = −5 , θ = 40º b) σ x = −8 , σ y = 10 , τ xy = −5 , θ = −15º a)

5

SOLUCIÓN: En este problema ya no se escribirán las consideraciones para obtener el signo del esfuerzo cortante*, sino más bien se realizará el cálculo de los esfuerzos desconocidos. Sólo si el problema así lo amerite, se escribirá algún detalle que sea de importancia.

_________________ * Una manera más sencilla de obtener el signo para el esfuerzo cortante es la siguiente: aquellos esfuerzos cortantes, perpendiculares al esfuerzo normal

σ x , serán positivos si tienden a hacer girar el elemento en (s.c.r) y negativos, si tienden a hacerlo en sentido contrario (s.r).


62


ESPOCH


a) Reemplazando valores en las ecuaciones que definen los nuevos estados de tensiones con respecto a los ejes

σ x' = σ y' =

σ x +σ y 2

σ x +σ y 2

τ x' y ' = −

+ −

σ x −σ y 2

σ x −σ y 2

σ x −σ y 2

x' y ' :


→

σ x' =

− 8 + 10 − 8 − 10 + cos 80º +(−5sen80º ) 2 2


→

σ y' =

− 8 + 10 − 8 − 10 − cos 80º −( −5sen80º ) 2 2

→

τ x' y' = −


− 8 − 10 sen80º +( −5 cos 80º ) 2

obtenemos los siguientes valores:

σ x ' = −5.487 , σ y ' = 7.487

τ x ' y ' = 7.995

y


σ x ' , esfuerzo de compresión; σ y ' , esfuerzo de tensión; τ x ' y ' , esfuerzo cortante positivo Graficando los resultados anteriores con respecto al nuevo sistema coordenado

σ y'

x' y ' , resulta:

y

τ x'y '

σ x'

θ

x

b) Reemplazando valores en las ecuaciones que definen los nuevos estados de tensiones con respecto a los ejes

σ x' =

σ y' =

σ x +σ y 2

σ x +σ y

τ x' y ' = −

2

+

−

σ x −σ y 2

σ x −σ y 2

σ x −σ y 2

x' y ' :


→

σ x' =

− 8 + 10 − 8 − 10 + cos 80º +(−5sen(−30º )) 2 2


→

σ y' =

− 8 + 10 − 8 − 10 − cos 80º −( −5sen( −30º )) 2 2

→

τ x' y' = −


− 8 − 10 sen80º +( −5 cos(−30º )) 2

obtenemos los siguientes valores:

σ x ' = −4.294 , σ y ' = 6.294

y

τ x ' y ' = 8.83


σ x ' , esfuerzo de compresión; σ y ' , esfuerzo de tensión; τ x ' y ' , esfuerzo cortante positivo


63


ESPOCH


Graficando los resultados anteriores con respecto al nuevo sistema coordenado

x' y ' , resulta:

σ y'

y

x

τ x'y '

θ σ x'

EL CÍRCULO DE MOHR PROBLEMA 4 Resuelva el problema 3 utilizando este procedimiento geométrico.

10

Datos: 8

σ x = −8 , σ y = 10 , τ xy = −5 , θ = 40º b) σ x = −8 , σ y = 10 , τ xy = −5 , θ = −15º a)

5

CONSIDERACIONES INICIALES - Se considera que las tensiones de tracción son positivas y las de compresión negativas, por lo que las primeras se representarán a la derecha del origen y las segundas hacia la izquierda de éste. - Con relación a las tensiones cortantes, diremos que las tensiones cortantes son positivas si tienden a hacer girar el elemento en el sentido de las agujas del reloj, y negativas si en el contrario; por lo tanto, las primeras se ubicarán por encima del origen y las segundas, por debajo de éste. SOLUCIÓN: a) Punto

X (−σ x ,τ xy ) → X (−8,5)

Estos puntos se miden desde el origen

O

Punto

Y (σ y ,−τ xy ) → Y (10,−5) .

(no mostrado en la figura) del sistema coordenado

σ −τ .

(−σ x ,τ xy ) y el punto Y de coordenadas (σ y ,−τ xy ) . Uniendo X Y mediante una línea recta se define el punto C (centro) y se dibuja el círculo de centro en C y diámetro XY .

Ubíquese el punto

Lleve el punto

X

a

X

X'

de coordenadas

girando un ángulo igual a

2θ

e

en (s.c.r).


64


ESPOCH


τ

σ +σ y C =  x 2 

τ máx Y'

  

 − 8 + 10  C =  =1  2 

→

σ x −σ y R =  2 

X

2

  + (τ xy )2 

 − 8 − 10  2 R=   + (5) = 10.296  2  2

A I

D

α 2θ β

E B

C

→

σ

J

tan α =

τ xy XD = DO + OC σ x + C

tan α =

5 8 +1

Y X'

β = 2θ − α cos β =

AC R

→

AC = 6.487

son

→

β = 50.945 º →

σ x ' = 5.487

OB = σ y '

→

σ y ' = 7.487

DX ' τ x ' y ' = AC AC

→

τ x ' y ' = 7.995

tan β =

X'

α = 29.055º

AC = AO + OC = σ x ' + C

OB = OC + CB = C + AC

Como las coordenadas del punto

→

(−σ x ' ,−τ x ' y ' ) es evidente que σ x '

De igual manera, las coordenadas del punto

Y'

son

es un esfuerzo de compresión.

(σ y ' ,τ x ' y ' ) y por lo tanto σ y '

es un esfuerzo de tensión.

Los esfuerzos normales máximo y mínimo están dados por:

OJ = OC + CJ = C + R

→

OJ = σ máx

→

σ máx = 11.296

OI = CI − OC = R − C

→

OI = σ mín

→

σ mín = 9.296

Es claro que los esfuerzos normales máximo y mínimo son de tensión y compresión, respectivamente. Nuevamente, los esfuerzos coordenado

σ −τ .

σ x ' , σ y ' , σ máx

y

σ mín

se miden desde el origen (punto de intersección) del sistema

El esfuerzo cortante máximo está dado por:

τ máx = R

τ máx = 10.296

→

Este último esfuerzo se mide desde el centro del círculo de Mohr. Para graficar el elemento en la orientación dada, debemos tener en cuenta las coordenadas de los puntos Punto

X'

y

Y'.

X ' (−σ x ' ,−τ x ' y ' )

Según éstas, el esfuerzo normal es de compresión y el esfuerzo cortante es negativo, es decir, éste último tiende a hacer girar el elemento en (s.c.r).


65


ESPOCH Punto


Y ' (σ y ' ,τ x ' y ' )

Según éstas, el esfuerzo normal es de tensión y el esfuerzo cortante es positivo, es decir, éste último tiende a hacer girar el elemento en (s.r). Teniendo presente estas últimas consideraciones, el elemento que representa el nuevo estado de tensiones resulta ser:

σ y'

y

τ x'y '

σ x'

θ

x

Para graficar el elemento en la orientación donde se producen los esfuerzos normales máximo y mínimo debemos considerar lo siguiente:

I , donde normal mínimo, debe girarse un ángulo en (s.c.r) igual a α . Luego, α = 2θ p .

♦

Obsérvese en el círculo de Mohr que, para llevar el punto

♦

Nótese también que el punto

X

X

al punto

se produce el esfuerzo

J , donde se produce el esfuerzo normal máximo, > 90º , ( 180º −α ), en (s.r). No es que esto no pueda hacerse,

puede llevarse al punto

pero este proceso implicaría girar un ángulo sino que siempre es aconsejable tener en cuenta el ángulo que nos lleve a cualquiera de los esfuerzos normales (sea máximo o mínimo) por el camino más corto. ♦

Algo muy similar sucede si consideramos el punto observa que al girar el mismo ángulo esfuerzo normal máximo.

♦

Evidentemente, en los puntos

I

α

Y . Según este (y considerando el camino más corto), se J , donde se produce el

(pero en s.r), se llega hasta el punto

J , el esfuerzo cortante es cero.

y

Ahora bien, siguiendo estas últimas indicaciones, resulta el gráfico que muestra la orientación donde se producen los esfuerzos normales máximo y mínimo es el siguiente:

σ máx

y

σ mín θp x

Para graficar el elemento en la orientación donde se produce el esfuerzo cortante máximo, debemos considerar lo siguiente: ♦

máximo ♦

(τ máx ) debe girarse un ángulo en (s.r) igual a

También, el punto

X

puede llevarse al punto donde se produce el esfuerzo cortante mínimo

un ángulo en (s.c.r) igual a ♦

X al punto donde se produce el esfuerzo cortante (90º −α ) = 60.945º . Luego, 2θ c = 60.945º .

Obsérvese en el círculo de Mohr que, para llevar el punto

Tomando en cuenta

(τ mín )

girando

(90º +α ) . Pero aquí también debe ser considerado el camino más corto.

2θ c , resulta que τ máx

se encuentra ubicado por encima del eje

σ

lo que quiere decir

que éste es positivo (tiende a hacer girar el elemento en s.r).


66


ESPOCH ♦ ♦

INGENIERÍA MECÁNICA Sucede algo similar sucede si se considera el punto Y . Nótese que cuando se produce el esfuerzo cortante máximo, el valor del esfuerzo normal es diferente de cero y cuyo valor es,

C = σ n '.

Este último esfuerzo puede ser de tensión o de compresión. En este problema,

resulta que este esfuerzo es de tensión para cualquiera de los dos puntos que se considere (

X

o

Y ).

Teniendo en cuenta estas últimas indicaciones, resulta el gráfico que muestra la orientación donde se produce el esfuerzo cortante máximo es el siguiente:

σn'

y

θc

σn'

τ máx

b) Punto

X ( −σ x ,τ xy ) → X (−8,5)

Estos puntos se miden desde el origen Nuevamente, ubíquese el punto

X

e

X

O

Punto

( −σ x ,τ xy )

Y mediante una línea recta se define el punto C

Lleve el punto

X

al punto

X'

X'

son

σ −τ . y el punto

2θ

Y'

son

C y diámetro XY .

en (s.r).

( −σ x ' ,τ x ' y ' ) es evidente que σ x '

De igual manera, las coordenadas del punto

Y de coordenadas (σ y ,−τ xy ) . Uniendo

(centro) y se dibuja el círculo de centro en

girando un ángulo igual a

Como las coordenadas del punto

Y (σ y ,−τ xy ) → Y (10,−5) .

del sistema coordenado

de coordenadas

x

es un esfuerzo de compresión.

(σ y ' ,−τ x ' y ' ) y por lo tanto σ y '

es un esfuerzo de tensión.

Para estas últimas, véase la figura siguiente que representa el círculo de Mohr para este estado de tensiones. El signo de

τ x' y ' ,

del punto

X',

muestra que este esfuerzo debe situarse por encima del origen

O

y además,

sugiere que éste tiende a hacer girar el elemento en (s.r). Esto último debe tenerse presente para cuando se vaya a graficar el nuevo estado de tensiones, luego de que el elemento ha girado el ángulo

θ = 15º

en (s.r).


67


ESPOCH


σ +σ y   C =  x  2 

τ τ máx

 − 8 + 10  C =  =1  2 

→

X' σ x −σ y R =  2 

2θ

X

β D

 − 8 − 10  2 R=   + (5 ) = 10 .296 2   2

α A B

E

C

F G

O

σ

tan α = Y Y'

tan β =

DC R

→

X 'D → DC

τ xy XB = BO + OC σ x + C

5 8 +1

tan α =

cos β =

2

  + (τ xy )2 

β = α + 2θ

→

α = 29.055º

→

β = 59.055 º

DC = 5.294

→

DC = DO + OC = σ x ' + C

→

σ x ' = 4.294

OE = σ y '

→

OE = OC + CE = C + DC

→

σ y ' = 6.294

X ' D = τ x' y '

X ' D = 8.830 →

τ x ' y ' = 8.830

→

Los esfuerzos normales máximo y mínimo están dados por:

OG = OC + CG = C + R

→

OG = σ máx

→

σ máx = 11.296

OA = CA − OC = R − C

→

OA = σ mín

→

σ mín = 9.296

Es claro que los esfuerzos normales máximo y mínimo son de tensión y compresión, respectivamente. Nuevamente, los esfuerzos coordenado

σ −τ .

σ x ' , σ y ' , σ máx

y

σ mín

se miden desde el origen

O (punto de intersección) del sistema

El esfuerzo cortante máximo está dado por:

τ máx = R

τ máx = 10.296

→

Este último esfuerzo se mide desde el centro del círculo de Mohr. Para graficar el elemento en la orientación dada, debemos tener presente las coordenadas de los puntos Punto

X'

y

Y'.

X ' ( −σ x ' ,τ x ' y ' )

Según éstas, el esfuerzo normal es de compresión y el esfuerzo cortante es positivo, es decir, éste último tiende a hacer girar el elemento en (s.r). Punto

Y ' (σ y ' ,−τ x ' y ' )

Según éstas, el esfuerzo normal es de tensión y el esfuerzo cortante es negativo, es decir, éste último tiende a hacer girar el elemento en (s.c.r).


68


ESPOCH


Teniendo en cuenta estos últimos comentarios, el elemento que representa el nuevo estado de tensiones resulta ser:

y

σ y'

θ

x

σ x'

τ x'y '

El elemento que muestra la orientación donde se producen los esfuerzos normales máximo y mínimo y en la que se produce el esfuerzo cortante máximo, ya fue considerado en la parte a) de este problema.

PROBLEMA 5 Determine los planos principales y los esfuerzos principales para el estado de esfuerzo plano que resulta de superponer los dos estados de esfuerzo plano mostrados. (Unidades: Mpa). 100

50 30º

50

+

75

SOLUCIÓN: Puesto que los dos estados de esfuerzo se encuentran en sistemas coordenados distintos, a saber, el sistema el sistema Sistema

x' y '

y

xy , respectivamente, lo que se debe hacer es pasar uno de ellos, al sistema del otro. x' y '

Luego de que el elemento ha girado un ángulo respectivamente,

(0,−τ x ' y ' ) y (0,τ x ' y ' ) .

θ = 30º

en (s.r), las coordenadas de los puntos

X'

y

Y ' son,

X ' , el esfuerzo cortante tiende a hacer girar el elemento en (s.c.r) y para el Y ' , el esfuerzo cortante tiende a hacer girar el elemento en (s.r).

Esto es así ya que, para el primer punto segundo punto

Teniendo en cuenta esto último, el esfuerzo cortante del punto cortante del punto Sistema

Y'

X'

debe situarse por debajo del origen y, el esfuerzo

debe situarse por encima de éste.

xy

Las coordenadas de los puntos

X

y

Y son, respectivamente, (σ x ,−τ x ' y ' ) y (σ y ,τ x ' y ' ) .

X , el esfuerzo cortante tiende a hacer girar el elemento en (s.c.r) y para el Y , el esfuerzo cortante tiende a hacer girar el elemento en (s.r).

Esto es así ya que, para el primer punto segundo punto

Teniendo en cuenta esto último, el esfuerzo cortante del punto cortante del punto

Y

X

debe situarse por debajo del origen y, el esfuerzo

debe situarse por encima de éste.


69


ESPOCH


Pasando el primer sistema al segundo, mediante un círculo de Mohr, se tiene:

τ

θ = 30º → α + 2θ = 90º →

Y'

α = 30º

R = τ x ' y ' = 50

Y

cosα = A

2θ = 60º

α

O

B

σ

2θ X

OB R

→

OB = 43.301

OB = σ x

→

σ x = −σ y

→

σ x = 43.301 σ y = −43.301

senα =

− τ xy BX = R R

τ xy = −25

→

X' El estudiante ya habrá notado que los puntos

X

,

X', Y

y

Y'

tienen las coordenadas descritas anteriormente.

Luego, el elemento que representa el nuevo estado de esfuerzos según el sistema coordenado

xy

es:

σy τ xy

σx

Superponiendo (sumando algebraicamente) este último estado de tensiones al segundo estado dado en el problema, obtenemos:

σy 100

τ xy

50

σx

+

75

(σ x ) T = σ x + 75 = 118.301 ; (σ y ) T = σ y + 100 = 56.699 ; (τ xy ) T = τ xy − 50 = −75


70


ESPOCH


Luego, el elemento que representa el estado definitivo de esfuerzos según el sistema coordenado

xy

es:

(σ y ) T (τ xy ) T

(σ x ) T

Las coordenadas de los puntos

XT

y

YT

[(σ

son, respectivamente,

) , ( −τ xy ) T

x T

] y [(σ

) , (τ xy ) T

y T

]

Representando este estado de tensiones en un círculo de Mohr, se tiene:

τ

 (σ x ) T + (σ y ) T  C=  → 2  

YT

118.301 + 56.699  C=  = 87.5 2  

 (σ x ) T − (σ y ) T  R=   + (τ xy ) T 2   2

D O

A

B

E

C 2θ p

σ

τ máx

2

2

(τ xy ) T DX T = R R 2θ c + 2θ p = 90º →

XT

]

118.301 − 56.699  2 R=  + [75] = 81.078  2   sen2θ p =

R

[

→

θ p = 33.837º

θ c = 56.163º

Los esfuerzos normales máximo y mínimo son, respectivamente:

OE = σ máx = OC + CE = C + R

→

OA = σ mín = OC − AC = C − R

→

El esfuerzo cortante máximo es:

τ máx = R

σ máx = 168.578 σ mín = 6.422

τ máx = 81.078

→

θ p = 33.837 º

El ángulo al que se produce el esfuerzo normal máximo es:

El ángulo al que se produce el esfuerzo cortante máximo es:

θ c = 56.163º

El esfuerzo normal, cuando se alcanza el esfuerzo cortante máximo es:

en (s.c.r).

en (s.r).

σ n ' = C = 87.5

a tensión.


71


ESPOCH


Finalmente, los elementos que muestran tanto los esfuerzos normales máximo y mínimo, así como el esfuerzo cortante máximo, son:

σ mín

y

y

σn'

σ máx

θp

τ máx x

x

θc σn'

De aquí en adelante ya no se desarrollarán los problemas tan completamente como se ha hecho en estos tres primeros, pues pensamos que éstos se han resuelto de manera bastante clara y completa.

PROBLEMA 6 Determine los planos principales y los esfuerzos principales para el estado de esfuerzo plano que resulta de superponer los dos estados de esfuerzo plano mostrados.

τo

τo 30 º

+ 30º

SOLUCIÓN: Llevaremos ambos estados de esfuerzo a un solo sistema coordenado de ejes

xy .

Coordenadas del primer estado de esfuerzo Es evidente que luego de girar el ángulo indicado en (s.c.r), las coordenadas de los puntos respectivamente,

(0,−τ x ' y ' ) = (0,−τ o )

y

(0,τ x ' y ' ) = (0,τ o ) .

X'

y

Y'

son,

X'

y

Y'

son,

Coordenadas del segundo estado de esfuerzo Cuando el elemento ha girado el ángulo indicado en (s.r), las coordenadas de los puntos respectivamente,

(0,τ x ' y ' ) = (0,τ o )

y

(0,−τ x ' y ' ) = (0,−τ o ) .

A continuación se graficarán estos puntos en sus respectivos círculos de Mohr.


72


ESPOCH


Primer estado de esfuerzo Graficando este estado de esfuerzo (representado por el subíndice 1) en el círculo de Mohr tenemos:

τ

Y' 2θ = 60º

α + 2θ = 90º σ cos α = x1 τo τ x1 y1 senα = τo σ y1 cos α = τo

Y

σ x1

α

σ

σ y1

2θ

X

→

α = 30º

→

σ x1 = −0.866τ o

→

τ x1 y1 = −0.5τ o

→

σ y1 = 0.866τ o

X' El elemento que representa este nuevo estado de tensiones es:

σ y1 τ x1 y1 σ x1

Segundo estado de esfuerzo Graficando este estado de esfuerzo (representado por el subíndice 2) en el círculo de Mohr tenemos:

X'

τ 2θ = 60º

α + 2θ = 90º σ cos α = x 2 τo σ y2 cos α = τo τ x2 y2 senα = τo

X

σ x2

α

2θ

σ y2

σ

Y

→

α = 30º

→

σ x 2 = −0.866τ o

→

σ y 2 = 0.866τ o

→

τ x 2 y 2 = 0.5τ o

Y' ________________________________________________________________________________ DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS I

73


ESPOCH


El elemento que representa este nuevo estado de tensiones es:

σ y2

σ x2 τ x2 y2 Superponiendo estos nuevos estados de tensiones obtenemos:

σ y1

σ y2 τ x1 y1 σ x1

+

σ x2 τ x2 y2

σ x = σ x1 + σ x 2 σ y = σ y1 + σ y 2

σ x = −1.732τ o σ y = 1.732τ o

→ →

τ xy = τ x1 y1 + τ x 2 y 2

→

τ xy = 0

El elemento que muestra el estado de tensiones resultante es:

σy σx

Las coordenadas de los puntos Éstos se ubican en los puntos

X B

y y

Y


( −σ x ,0) y (σ y ,0) .

A , respectivamente, del círculo de Mohr siguiente.


74


ESPOCH


Representando este elemento en el círculo de Mohr:

τ

B

A

σ

σ A = σ máx = σ y

→

σ máx = 1.732τ o

σ B = σ mín = σ x → τ máx = σ y

→

τ máx

σ mín = −1.732τ o = 1.732τ o

θ p = 0º

θ c = 45º ( s.r )

→

Los elementos que muestran los esfuerzos normales máximo y mínimo, así como el esfuerzo cortante máximo, son, respectivamente:

σ máx

y

σ mín

x θc

τ máx PROBLEMA 7 Determine los planos principales y los esfuerzos principales para el estado de esfuerzo plano que resulta de superponer los dos estado de esfuerzo plano mostrados.

σo

σo

σo 30º

σo

+

30º

SOLUCIÓN: Llevaremos ambos estados de esfuerzo a un solo sistema coordenado de ejes

xy .

Coordenadas del primer estado de esfuerzo Es evidente que luego de girar el ángulo indicado en (s.c.r), las coordenadas de los puntos respectivamente,

( −σ x ' ,0) = (−σ o ,0)

y

(σ y ' ,0) = (σ o ,0) .

X'

y

Y'

son,

X'

y

Y'

son,

Coordenadas del segundo estado de esfuerzo Cuando el elemento ha girado el ángulo indicado en (s.r), las coordenadas de los puntos respectivamente,

(σ x ' ,0) = (σ o ,0)

y

( −σ y ' ,0) = ( −σ o ,0) .


75


ESPOCH


A continuación se graficarán estos puntos en sus respectivos círculos de Mohr. Primer estado de esfuerzo Graficando este estado de esfuerzo (representado por el subíndice 1) en el círculo de Mohr tenemos:

τ 2θ = 60º

X

τ x1y1 X'

σ x1 → σo σ y1 cos 2θ = → σo τ x1 y1 tan 2θ = → σ x1

cos 2θ = 2θ

σ x1

σ y1

Y'

σ

σ x1 = −0.5σ o σ y1 = 0.5σ o τ x1 y1 = 0.866σ o

Y


σ y1

σ x1 τ x1 y1

Segundo estado de esfuerzo Graficando este estado de esfuerzo (representado por el subíndice 2) en el círculo de Mohr tenemos:

τ X 2θ = 60º

σ y2 2θ

Y'

σ x2 → σo σ y2 cos 2θ = → σo τ x2 y2 tan 2θ = → σ x2 cos 2θ =

σ x2

X'

σ

Y

σ x 2 = 0.5σ o σ y 2 = −0.5σ o τ x 2 y 2 = 0.866σ o


76


ESPOCH



σ y2

σ x2 τ x2 y2

Superponiendo estos nuevos estados de tensiones obtenemos:

σ y1

σ y2

σ x1

+

σ x2

τ x1 y1

σ x = σ x1 + σ x 2 σ y = σ y1 + σ y 2

τ x2 y2 σx = 0 σy =0

→ →

τ xy = τ x1 y1 + τ x 2 y 2

→

τ xy = 1.732σ o

El elemento que muestra el estado de tensiones resultante es:

τ xy Las coordenadas de los puntos

X

y

Y

para este elemento de esfuerzo son, respectivamente,

(0,τ xy )

y

(0,−τ xy ) .

Representando este elemento en el círculo de Mohr:

X

τ σ máx

σ mín

σ

σ máx = τ xy

→

σ máx = 1.732σ o

σ mín = −τ xy

→

σ mín = −1.732σ o

τ máx = τ xy

→

τ máx = 1.732σ o

θ p = 45º ( s.r ) →

θ c = 0º

Y


77


ESPOCH



y

σ mín

x

θp

τ máx

σ máx

PROBLEMA 8 Para el elemento mostrado, halle el rango de valores de

τ xy , para el cual el esfuerzo cortante máximo en el plano es

igual o menor que 20 kpsi. (Unidades: kpsi).

16

τ xy

8

SOLUCIÓN: Las coordenadas de los puntos

X

y

Y

son, respectivamente:

(8,−τ xy )

y

(−16,τ xy )

Llevando este estado de esfuerzo a un círculo de Mohr, tenemos:

τ máx

τ

Y

C=

σ x +σ y

C=

→

BC = 12

2 BO = BC + CO

O

B

A

C

σ

BO = σ y

8 − 16 = −4 2 → BO = BC + C

→

τ máx = 20 τ máx 2 = BC 2 + BY 2 = BC 2 + τ xy

2

→

τ xy = 16

X

Finalmente, el intervalo para el esfuerzo cortante es:

− 16 ≤ τ xy ≤ 16


78


ESPOCH


PROBLEMA 9 Para el estado de esfuerzo plano mostrado, halle el rango de valores de

θ , para el cual el esfuerzo normal σ x '

es

igual o menor que 65 MPa. (Unidades: Mpa).

σ y'

20

τ x'y '

σ x'

30 60

=

θ

SOLUCIÓN: Coordenadas del primer estado de esfuerzo Las coordenadas de los puntos

X

y

Y


(60,−30)

y

(−20,30) .

Coordenadas del segundo estado de esfuerzo Cuando el elemento ha girado el ángulo indicado en (s.c.r), las coordenadas de los puntos respectivamente,

(σ x ' ,−τ x ' y ' )

y

(σ y ' ,τ x ' y ' ) .

X'

y

Y'

deberán ser,

Representemos ambos estados de tensiones (aunque éstos son equivalentes) en el mismo círculo de Mohr:

C=

τ

σx +σ y 2

→

σ x −σ y R =   2

Y

C=

60 − 20 = 20 2

2

  + (τ xy ) 2 

 60 + 20  2 R=   + (30) = 50  2  σ x ' = 50 2

Y'

O

C

α

γ

B A

2θ

σ

OA = OC + CA = C + CA

σ x ' = C + CA →

X'

R

cosα =

X

CA R

→

BX τ xy = R R γ = 2θ + α → senγ =

Finalmente, el rango de valores del ángulo es:

→

OA = σ x'

CA = 45

α = 25.842º →

γ = 36.87º

θ = 5.514º

84.486º ≤ θ ≤ 5.514º


79


ESPOCH


PROBLEMA 10 Para un estado de esfuerzo plano, se sabe que los esfuerzos normal y cortante están dirigidos como se muestra y que

σx=

σy=

30 Mpa,

principal

σ mín , y

σ máx =

80 Mpa, y

120 Mpa. Halle: a) la orientación de los planos principales, b) el esfuerzo

c) el esfuerzo cortante máximo en el plano.

σy τ xy

σx

SOLUCIÓN: Las coordenadas de los puntos

X

y

Y


(30,−τ xy )

(80,τ xy ) .

y

Llevando estos puntos a su respectivo círculo de Mohr, tenemos:

τ

τ máx

C= Y

σx +σ y 2

D O

→

30 + 80 = 55 2 σ máx = C + R →

R = 65

a)

2θ p

C

C=

OA = σ máx = OC + CA

σ máx = 120

B

→

E

A

σ

OE = σ y = OC + CE →

σ y = C + CE CE = 25

R = CE + YE = CE + (τ xy ) 2 2

2

2

2

τ xy = 60 tan 2θ p =

X

YE τ xy = CE CE

→

θ p = 33 .69 º

b) OB = σ mín = CB − OC = R − C

σ mín = 10

→

Es claro que este esfuerzo normal mínimo, es un esfuerzo normal de compresión.

De la parte

a) :

c)

τ xy = R 2 − CE 2

→

τ xy = 60

Puesto que este esfuerzo se ha calculado con respecto al punto Y , éste se encuentra por encima del eje lo que, nuevamente, significa que tiende a hacer girar el elemento en (s.r).

σ

,


80


ESPOCH


Algo importante que debe mencionarse con respecto a la parte

a ) es lo siguiente:

θ p encontrado se mide en (s.r, ángulo negativo) desde Y hasta A . Alternativamente, en la figura se observa que el ángulo que lleva X a A en (s.c.r) es, (180º −2θ p ) = 112.62 º , o sea que también, θ p = 56.31º .

- El ángulo

Comprobación:

- El ángulo

θc

tan[2 x(−33.69º )] = −2.4

que lleva

Pero también, el ángulo Comprobación:

Y a τ máx

θc

es,

que lleva

y

tan(2 x56.31º ) = −2.4

(90º −2θ c ) = 22.62º , es decir, θ c = 11.31º en (s.c.r). Y a τ máx

es,

tan[2 x(11.31º )] = 0.417

(90º +2θ p ) = 157.38º , es decir, θ c = 78.69º en (s.r). tan[2 x(−78.69º )] = 0.417

y

Considerando estas últimas observaciones, los elementos que muestran los esfuerzos normales máximo y mínimo, así como el esfuerzo cortante máximo, son, respectivamente:

σn'

σ máx

y

y

τ máx

σn' θc

x

θp

x

σ mín PROBLEMA 11 Se sabe que para cada una de las dos orientaciones dadas de los ejes, para un estado de esfuerzo plano, los esfuerzos normal y cortante están dirigidos como se muestra y las magnitudes de los esfuerzos normales

σx, σy

y

σ x'

son

respectivamente, 10 kpsi, 2 kpsi y 12 kpsi. Halle: a) los planos y esfuerzos principales, y b) el máximo esfuerzo cortante en el plano.

σy

σ y'

τ xy

σ x' σx

30º

=

τ x'y '

SOLUCIÓN: Coordenadas del primer estado de esfuerzo Las coordenadas de los puntos

X

y

Y


(10,−τ xy )

y

(2,τ xy ) .

Coordenadas del segundo estado de esfuerzo Cuando el elemento ha girado el ángulo indicado en (s.c.r), las coordenadas de los puntos respectivamente,

(σ x ' ,τ x ' y ' ) = (12,τ x ' y ' )

y

(σ y ' ,τ x ' y ' ) .

X'

y

Y'

deberán ser,


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Representemos ambos estados de tensiones (aunque éstos son equivalentes) en el círculo de Mohr:

τ

C=

Y

σ x +σ y

σ x = 10

→

2

C=

σ x ' = 12

10 + 2 =6 2 σy =2

OA = OC + CA = C + CA O

β 2θ

C

Y'

X'

α B A

σ

OB = OC + CB = C + CB

→

OA = σ x '

→

CA = 6 OB = σ x CB = 4

CA CB = → cos α = 1.5 cos β cos α cos β 60º = α + β → cos(60º −β ) = 1.5 cos β cos(x − y) = cos x. cos y + senx.seny R=

R X

cos(60º − β ) = cos 60º. cos β + sen60º.senβ Re solviendo : β = 49.107º , α = 10.893º a)

β = 2θ p

→

θ p = 24.554º ( s.c.r )

CA = 6.11 cos α 2θ c + β = 90º →

θ c = 20.447º ( s.r )

τ máx = R

τ máx = 6.11

R=

ó

θ p = (90º −24.554º ) = 65.446º ( s.r )

σ máx = C + R = 12.11 y

⇒

ó

σ mín = C − R = −0.11

θ c = (90º + β ) / 2 = 69.554º ( s.c.r )

b) →


σ mín

y

y

σ máx

τ máx

θp

x

θc

x


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PROBLEMAS PROPUESTOS TRANSFORMACIONES DE ESFUERZOS PROBLEMA 12 Si

σ 1 = 12 kpsi y σ 2 = 2 kpsi, ¿cuáles son los valores de σ x , σ y

y

τ xy

si el ángulo del eje

x

a la dirección de

σ1

es 30º en (s.r)? ¿30º en (s.c.r)? PROBLEMA 13 Supóngase que el esfuerzo principal mayor es 14 MPa y el ángulo del eje

x

σ2

vale 6 MPa. ¿Cuáles son los valores de

σx, σy

y

τ xy

si

a la dirección del esfuerzo principal mayor es 100º en (s.r)? ¿80º en (s.c.r)?

PROBLEMA 14 Para el estado de esfuerzos dados, halle los esfuerzos normales y cortantes ejercidos sobre una cara inclinada 25º en (s.c.r). (Unidades: kpsi).

10

30

60

16

25

25 º

5

40 6

Fig.P.14

Fig.P.15

Fig.P.16

PROBLEMA 15 Para el estado de esfuerzo dado, calcule: a) los planos principales y, b) los esfuerzos principales. (Unidades: Mpa).

PROBLEMA 16 Para el estado de esfuerzo dado, halle los esfuerzos normales y cortantes después de girar el elemento mostrado: a) 40º en (s.c.r) y, b) 15º en el (s.r). (Unidades: kpsi).

EL CÍRCULO DE MOHR PROBLEMA 17 Determine los planos principales y los esfuerzos principales para el estado de esfuerzo plano que resulta de superponer los dos estado de esfuerzo plano mostrados. (Unidades: kpsi).

3 6 5

+

2

45º

4


83


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PROBLEMA 18 Determine los planos principales y los esfuerzos principales para el estado de esfuerzo plano que resulta de superponer los dos estado de esfuerzo plano mostrados.

σo

σo

σo 30º

σo

+

30º

PROBLEMA 19 Para el elemento mostrado, halle el rango de valores de

τ xy , para el cual el esfuerzo cortante máximo en el plano es

igual o menor que 11 kpsi. (Unidades: kpsi).

16

σy

τ xy

τ xy 8

σx

Fig.P.19

Fig.P.20

PROBLEMA 20 Se sabe que los esfuerzos normal y cortante para un estado plano de esfuerzo, están dirigidos como se ilustra y que

σ x = 12 kpsi, σ y = 6 kpsi, y σ mín = 4 kpsi. Halle: a) la orientación de los planos principales, b) el esfuerzo principal σ máx , y c) el esfuerzo cortante máximo en el plano.

PROBLEMA 21 Para el estado de esfuerzo plano mostrado, halle el rango de valores de

θ , para el cual el esfuerzo cortante τ x ' y '

es

igual o menor que 45 MPa. (Unidades: Mpa).

σ y'

20

τ x'y '

σ x'

30 60

=

θ


84


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PROBLEMA 22 Para un estado de esfuerzo plano, se sabe que para cada una de las dos orientaciones dadas de los ejes, los esfuerzos normal y cortante están dirigidos como se muestra y las magnitudes de los esfuerzos normales

σx, σy

y

σ x'

son,

respectivamente, 80 MPa, 30 MPa y 75 MPa. Halle: a) los planos y esfuerzos principales, y b) el máximo esfuerzo cortante en el plano.

σy

σ y' τ xy

σ x' σx

=

30º

τ x'y '


85


ESPOCH


CAPÍTULO 5 DISEÑO POR RESISTENCIA ESTÁTICA 5.1 INTRODUCCIÓN Una carga estática es una acción estacionaria de una fuerza o un momento causado por una fuerza sobre un cierto objeto. Para que una fuerza o un momento sean estacionarios o estáticos deben poseer magnitud, dirección y punto (o puntos) de aplicación que sean invariables. Una carga estática puede ser de tensión o compresión axial, fuerza cortante, momento de flexión o de torsión, o cualquier combinación de estas acciones. No obstante, la carga no debe experimentar alternación alguna para que sea considerada como estática. A veces se supone estática a una carga aunque se sabe que es de esperar que sufra alguna variación. Esta consideración, por lo general, se hace para obtener una idea aproximada de las dimensiones del elemento o componente, y para simplificar los cálculos de diseño cuando las variaciones en las cargas son pocas o de pequeña magnitud. Un elemento de máquina puede fallar en sitios de concentración de esfuerzos locales provocados por discontinuidades geométricas o microestructurales. La presencia de grietas dentro de una microestructura también es una característica importante en la comprensión de la falla de elementos de máquinas. La mecánica de fractura es una técnica del análisis de fracturas que sirve para determinar el nivel de esfuerzos en el cual se propagarán las grietas preexistentes de tamaño conocido, conduciendo a la fractura. Los materiales, el nivel de esfuerzos, los defectos productores de grietas y los mecanismos de propagación de gritas se consideran cuando se estudian la tenacidad a la fractura y la longitud crítica de la grietas. Durante todo el capítulo, se asume que las cargas son estáticas, de esta forma se implica que la carga se aplica gradualmente y el equilibrio se alcanza en un tiempo relativamente corto. De esta manera, no es una función del tiempo.

5.2 CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS Los esfuerzos en o cerca de una discontinuidad, como en el agujero de una placa, son más altos que si la discontinuidad no existiera. Se puede deducir lo mismo para cualquier otra discontinuidad, como un filete, una muesca, una inclusión o un área de aplicación de carga. Un concentrador de esfuerzos es una discontinuidad en una parte que altera la distribución del esfuerzo cerca de la discontinuidad, de manera que la ecuación elemental del esfuerzo, ya no describe el estado de esfuerzo en esa parte. La concentración de esfuerzo es la región en la cual están presentes los concentradores de esfuerzos. El factor de concentración de esfuerzos ke es el factor que se usa para relacionar el esfuerzo máximo real en la discontinuidad con el esfuerzo promedio sin la discontinuidad:

ke =

Esfuerzo − máximo − actual Esfuerzo − promedio

Para el factor de concentración de esfuerzos se supone que la distribución del esfuerzo se puede representar por medio de un esfuerzo promedio y que el cambio a la ecuación esfuerzo-deformación unitaria se obtiene usando el factor de concentración de esfuerzos. Se suponen condiciones de carga estática. El esfuerzo máximo ocurre en el área más pequeña de sección transversal. El valor de

ke

es difícil de calcular y usualmente se determina por medio de

alguna técnica experimental, como la del análisis fotoelástico de un modelo plástico de una parte o por una simulación numérica del campo de esfuerzo.

5.3 GRÁFICAS*

El factor de concentración de esfuerzos es una función del tipo de discontinuidad (agujero, filete o acanaladura), de la geometría de la discontinuidad y del tipo de carga que se experimenta.

________________ * Véase ANEXOS.


86

DISEÑO POR RESISTENCIA ESTÁTICA

ESPOCH


Por medio de estas gráficas es posible hacer varias observaciones acerca del factor de concentración de esfuerzos: 1.

El factor de concentración de esfuerzos es independiente de las propiedades del material.

2.

Está significativamente afectado por la geometría.

3.

También se afecta por el tipo de discontinuidad; el factor de concentración de esfuerzos es considerablemente menor para un filete que para un agujero.

Estas observaciones relacionan la reducción de los esfuerzos en una parte. Si el material es frágil, el límite de proporcionalidad es el esfuerzo de ruptura, así que la falla para este material comenzará en el punto de la concentración de esfuerzo cuando se alcanza el límite de proporcionalidad. De esta manera es importante aplicar los factores de concentración de esfuerzos cuando se utilicen materiales frágiles. Por otro lado, si el material es dúctil y está expuesto a una carga estática, con frecuencia los diseñadores ignoran los factores de concentración de esfuerzos, puesto que un esfuerzo que excede el límite proporcional no dará como resultado un agrieta. En vez de esto, el material dúctil tendrá una resistencia de reserva debida a la fluencia y al endurecimiento por deformación unitaria. En aplicaciones donde son esenciales diseños rígidos y tolerancias reducidas, la concentración de esfuerzos se considerará sin importar la ductilidad del material.

*5.4 ANALOGÍA DEL FLUJO Una buena práctica de diseño hace que el Ingeniero Mecánico reduzca las concentraciones de esfuerzos tanto como sea posible. Las formas recomendadas parar reducir la concentración de esfuerzos requieren un mejor entendimiento de lo que ocurre en la discontinuidad que incrementa el esfuerzo. Una forma de alcanzar este entendimiento es observando la similitud entre la velocidad del flujo de un fluido en un canal y la distribución de esfuerzo de una placa cargada axialmente, cuando las dimensiones del canal son comparables al tamaño de la placa. La analogía es exacta, puesto que las ecuaciones del potencial de flujo en la mecánica de fluidos y el potencial de esfuerzo en la mecánica de sólidos son de la misma forma. Si el canal tiene dimensiones constantes de principio a fin, las velocidades son uniformes y las líneas de flujo están igualmente espaciadas. Para una barra de dimensiones constantes bajo carga axial los esfuerzos son uniformes y están espaciados igualmente. En cualquier puno dentro del canal el flujo debe ser constante, donde el volumen del flujo es:

q = ∫ u * dA De la mecánica de sólidos, la fuerza debe ser constante en cualquier localización de la placa:

F = ∫ σ * dA Si la sección del canal cambia abruptamente, la velocidad del flujo se incrementa cerca de donde cambió la forma y, para mantener un flujo igual, las líneas de flujo se deben hacer más angostas y agruparse. En un miembro esforzado de la misma sección transversal el incremento del esfuerzo es análogo al incremento de la velocidad, o inversamente al cambio en el espacio entre las líneas de flujo.

*5.5 MECÁNICA DE FRACTURA Los estudios estructurales que consideran la extensión de grietas como una función de una carga aplicada se realizan en la mecánica de grietas. Una grieta es un defecto microscópico que siempre existe bajos condiciones normales sobre la superficie y dentro del cuerpo de un material. Estas grietas (o dislocaciones) sobre o dentro de la superficie son como una puntada perdida en un tejido. Bajo la aplicación de un esfuerzo la grieta se mueve fácilmente a través del material, causando un pequeño deslizamiento en el plano en el cual se mueve. Los materiales pueden fallar más fácil en estas localizaciones. Ningún material o procesos de manufactura producen estructuras cristalinas libres de defectos, así que estas imperfecciones microscópicas siempre están presentes. Se requiere de un menor esfuerzo para propagar una grieta que para iniciarla. Propagar unan grieta es como rasgar una tela. Una vez que se inicia el rompimiento, se propagará muy fácilmente a través de la tela. Sin embargo, el rompimiento se detiene en una costura o en otra interrupción del tejido de la tela. Así que también la propagación de grietas se puede prevenir introduciendo discontinuidades, para que éstas actúen como una costura. Las fallas por fractura ocurren en niveles de esfuerzos muy por debajo del esfuerzo de fluencia de un material sólido.


87


ESPOCH


En la mecánica de fracturas se tiene interés en la longitud crítica de la grieta, la cual hará que falle la parte. El control de fracturas consiste en mantener la combinación del esfuerzo nominal y el tamaño existente de la grieta debajo de un nivel crítico para el material que se use en un elemento de máquina.

*5.6 MODOS DEL DESPLAZAMIENTO DE GRIETAS Existen tres modos de propagación de grietas fundamentales, y cada uno llevará a cabo un desplazamiento diferente de la superficie de las grietas:

(a)

(b)

(c)

Fig. 5-1 Tres modelos del desplazamiento de una grieta.

1.

Modo I: abertura (a). El modo de abertura (o de tensión) es el modo de propagación de grietas que se encuentra con más frecuencia. Las caras de la grieta están separadas simétricamente con respecto al plano de la grieta.

2.

Modo II: deslizamiento (b). El modo de deslizamiento (o cortante en el plano) ocurre cuando las caras de la grieta se deslizan una en relación con otra, simétricamente con respecto a la normal del plano de la grieta, pero asimétricamente con respecto al plano de la grieta.

3.

Modo III: desgarramiento (c). El modo de desgarramiento (o antiplano) se presenta cuando las caras de la grieta se deslizan asimétricamente con respecto tanto al plano de la grieta como a su normal.

Los modos de propagación de grietas se conocen por su designación con números romanos como se consignó anteriormente (por ejemplo, modo I). Aunque el modo I es el más fácil de visualizar como un mecanismo de propagación de grietas, aplicando en análisis de concentradores de esfuerzos a geometrías regulares, sugiere que la propagación de grietas ocurrirá cuando los esfuerzos sean más altos en el extremo de la grieta que en cualquier otra parte del sólido.

*5.7 TENACIDAD A LA FRACTURA Aquí, las consideraciones de la tenacidad a la fractura están restringidas al modo I de desplazamiento de grietas. Pero primero se necesita determinar qué es lo que se entiende por factor de intensidad de esfuerzo. El factor de intensidad de desfuerzo

kt

especifica la intensidad de esfuerzo en el extremo de la grieta.

La tenacidad a la fractura, por otro lado, es el valor crítico de la intensidad de esfuerzo para e3l cual ocurre la extensión de la grieta. La tenacidad a la fractura se usa como un criterio de diseño en la prevención de fracturas para materiales frágiles, al igual que la resistencia a la fluencia sirve como criterio de diseño en prevención de la fluencia para materiales dúctiles bajo carga estática. Como los esfuerzos cerca de un extremo de una grieta se pueden definir en términos del factor de intensidad de esfuerzos, existe un valor crítico de la intensidad a la fractura

k ci

que se puede usar para determinar la condición de

una fractura frágil. En general, la ecuación para la tenacidad a la fractura es

K ci = Yσ nom aπ donde:

Y a

σ nom

= factor de corrección adimensional que toma en cuenta la geometría de la parte que contiene la grieta = mitad de la longitud de la grieta = esfuerzo nominal a la fractura

Algunas de las suposiciones impuestas en la derivación de esta ecuación son que la carga se aplica lejos de la grieta y que la longitud de la grieta

2a

es pequeña con relación al ancho de la placa.


88


ESPOCH


Se necesita aclarar las diferencias entre el factor de intensidad de esfuerzos

kt

y la tenacidad a la fractura

k ci .

El primero representa el nivel de esfuerzo en el extremo de la grieta o en un aparte que contiene una grieta, mientas que el segundo, es la intensidad de esfuerzo más alta que puede soportar la parte sin fracturarse. De esta forma, la intensidad de esfuerzo tiene muchos valores, mientras que la tenacidad a la fractura es un valor en particular.

5.8 TEORÍAS DE FALLA* Al diseñar elementos mecánicos que resistan las fallas se debe estar seguro de que los esfuerzos internos no rebasen la resistencia del material. Si el que se empleará es dúctil, entonces lo que más interesa es la resistencia de fluencia, ya que una deformación permanente sería considerad como falla; sin embargo, existen excepciones a esta regla. Muchos de los materiales más frágiles o quebradizos, como los hierros colados, no poseen un punto de fluencia, así que debe utilizarse la resistencia última como criterio de falla. Al diseñar que han de hacerse de un material frágil, también es necesario recordar que la resistencia última a la compresión es mucho mayor que a la tensión. Las resistencias de los materiales dúctiles son casi las mismas a tensión que a compresión. Por lo general, se considera que esto ocurrirá en el diseño a menos que se posea la información contraria.

5.8.1 TEORÍA DEL ESFUERZO NORMAL MÁXIMO Esta teoría sólo se presenta por su interés histórico. Sus predicciones no concuerdan con la experimentación, y de hecho a veces dan origen a resultados que quedan del lado de la inseguridad. Esta teoría establece que: “la falla suele ocurrir siempre que el esfuerzo principal mayor sea igual a la resistencia “. Supóngase que se ordenan los tres esfuerzos principales para cualquier estado de esfuerzo en la forma

σ1 > σ 2 > σ 3 Luego, si la fluencia fuera el criterio de falla, esta teoría anticipa que el desperfecto sucede siempre que

σ 1 = S yt donde

S yt

subíndices

o bien

σ 3 = − S yc

S yc son las resistencias de fluencia a la tensión y a la compresión, respectivamente (obsérvese que los t y c suelen suprimirse cuando estas dos resistencias son iguales). y

Si se usa la resistencia última, como en el caso de los materiales frágiles, la falla ocurrirá siempre que

σ 1 = S ut donde

o bien

σ 3 = −S uc

S ut y S uc son, respectivamente, las resistencias últimas a la tensión y a la compresión.

En el caso de torsión pura la torsión cuando

σ 1 = τ = −σ 3

y

σ 2 = 0 . Por consiguiente, esta teoría predice que un elemento fallaría a

τ = S y . No obstante, los experimentos demuestran que elementos sometidos a carga de torsión se

deformarán permanentemente cuando el máximo esfuerzo torsional sea aproximadamente igual a 60% de la resistencia de fluencia. Ésta es una de las razones por las que no se recomienda usar esta teoría.

5.8.2 TEORÍA DEL ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO Ésta es una teoría fácil de emplear y siempre de predicciones seguras con respecto de los resultados de ensayos por lo que se le ha utilizado en muchos reglamentos de diseño. Se emplea únicamente para predecir la fluencia y, por lo tanto, se aplica sólo a los materiales dúctiles. Esta teoría afirma que: “se inicia la fluencia siempre que, en un elemento mecánico, el esfuerzo cortante máximo se vuelve igual al esfuerzo cortante máximo en una probeta a tensión, cuando ese espécimen empieza a ceder”.

__________ * Véase: TEORÍAS DE LA FALLA DE UN MATERIAL en el libro “Diseño en Ingeniería Mecánica” de J. E. Shigley y L. D. Mitchell si desea algo más de información relacionada al tema.


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ESPOCH


τ

σ3

τ

σ1

S

σ3

S σ1

σ2

σ3

σ2

(a)

σ1

(b)

Fig. 5-2 (a) Círculo de Mohr para tensión simple. (b) Círculo de Mohr para torsión pura.

En la figura a) se muestra el círculo de Mohr para la prueba de tensión simple. El esfuerzo cortante máximo es

τ máx = 0.5σ 1 = 0.5S El círculo de Mohr para la torsión pura se muestra en la figura b). El esfuerzo cortante máximo es

τ máx = 0.5(σ 1 − σ 3 ) ya que se ha considerado que los esfuerzos principales se tienen en el orden

σ1 > σ 2 > σ 3 .

En consecuencia, esta

teoría predice la que la falla se producirá siempre que

τ máx = 0.5S y

S y = (σ 1 − σ 3 )

o bien

Nótese que esta teoría establece también que la resistencia de fluencia al cortante está dada por la ecuación

S S y = 0.50S y 5.8.3 TEORÍA DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN Esta teoría de falla también se llama teoría de la energía de cortante o teoría de Von Mises-Hencky. Aplicarla es sólo un poco más difícil que aplicar la del esfuerzo cortante máximo, y es la más conveniente para el caso de materiales dúctiles. Como la del esfuerzo cortante máximo, ésta se emplea sólo para definir el principio de fluencia.

σ1 > σ 2 > σ 3

σ2

σ med

σ1

σ3

=

σ med

(a)

(b)

σ 2 − σ med

σ med

σ 1 − σ med

+

σ 3 − σ med (c)

Fig. 5-3 (a) Elemento en estado de esfuerzo triaxial. En éste se produce cambio de volumen y distorsión. (b) Elemento en estado de tensión hidrostática, en el que sólo hay cambio de volumen. (c) Elemento en que sólo se produce deformación angular sin cambio de volumen.

Esta teoría se originó a partir de la observación de que materiales dúctiles, sometidos a esfuerzo hidrostático (de igual tensión o compresión), tenían resistencias de fluencia muy superiores a los valores obtenidos por el ensayo a tensión simple. Así, se postuló que la fluencia no era, de ninguna manera, un fenómeno de tensión o de compresión simples, sino más bien que estaba relacionada de algún modo con la distorsión (o deformación angular) del elemento esforzado.


90


ESPOCH


Ahora bien, una de las primeras teorías de falla afirmaba que la fluencia se inicia cuando la energía total d deformación, almacenada en el elemento esforzado, llega a ser igual a la energía elástica que hay en un elemento contenido en la probeta de tensión en el punto de cadencia. Esta teoría, denominada teoría de la energía máxima de deformación, ha dejado de utilizarse pero fue precursora de la teoría de la energía de distorsión. Luego de un análisis y estudio minucioso, se obtiene la relación siguiente que expresa el criterio de falla:

2 S y2 = (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 lo cual define la iniciación de la fluencia para un estado de esfuerzo triaxial. Si cualquiera de los tres esfuerzos normales principales son cero, el estado de esfuerzo es biaxial. Sea entonces

σA

el mayor de los dos esfuerzos distintos de cero, y

σ B , el menor. Luego

la ecuación anterior se

reduce a

S y2 = σ A2 − σ Aσ B + σ B2 Para casos de torsión pura

σ B = −σ A

y

τ = σ A ; en consecuencia: S Sy = 0.577 S y

Se observa que el criterio de energía de distorsión predice una resistencia de fluencia al cortante sensiblemente mayor que la predicha por la teoría del esfuerzo cortante máximo. Para estudios de análisis y diseño conviene generalmente utilizar los Esfuerzos Equivalentes de Tresca y de Von Mises. Es posible pasar por alto el análisis del círculo de Mohr en el caso especial de flexión y torsión combinadas, cuando se determinan estos esfuerzos equivalentes, cuyos valores se determinan por las ecuaciones siguientes:

σ eq −T = σ x2 + 4(τ xy ) 2

Esfuerzo equivalente de Tresca

Esfuerzo equivalente de Von Mises

σ eq −VM = σ x2 + 3(τ xy ) 2

donde, para los dos tipos de esfuerzos equivalentes:

σ x = σ flexión + σ axial

y

τ xy = τ torsión + τ corte

5.9 CRITERIO DE DISEÑO Una vez que se ha determinado cualquiera de los dos esfuerzos equivalentes antes mencionados, para diseñar un elemento se utilizará la ecuación:

σ eq = donde:

Sy n

σ eq = esfuerzo equivalente según Tresca o esfuerzo equivalente según Von Mises S y = resistencia a la fluencia n = coeficiente de seguridad


91


ESPOCH

5.10


FALLA DE MATERIALES DÚCTILES

Por lo general, un diseñador de elementos mecánicos empleará la Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo si las dimensiones no tienen que ser muy precisas, si es necesaria una rápida estimación del tamaño, o si se sabe que los factores de seguridad han de ser amplios. La Teoría de la Energía de Distorsión predice con mayor precisión la falla y, por lo tato, se utilizaría cuando el margen de seguridad hubiera de estar dentro de límites cercanos o cuando se investigue el origen de la falla real de un elemento mecánico. Para determinar el factor de seguridad, sígase los pasos siguientes: 1.

Calcúlese

2.

¿Es

σ1, σ 2

σ1 ≥ σ 3

y

σ3

utilizando unidades compatibles.

?: SÍ

→

T.E.N.M:

NO → T.E.N.M: T.E.C.M:

3.

n = S y /σ1 n = −S y / σ 3 n = S y /(σ 1 − σ 3 )

Si los esfuerzos son combinados (de hecho, así sucede siempre), evalúe

σ eq

para obtener:

n = S y / σ eq

5.11 FALLA DE MATERIALES FRÁGILES Al seleccionar una teoría de falla para el caso de materiales frágiles*, se observan primero las siguientes características de la mayor parte de estos materiales: 1.

La gráfica del esfuerzo en función de la deformación es una línea continua y uniforme hasta el punto de falla; ésta ocurre por ruptura y, por tanto, esos materiales no tienen resistencia de fluencia.

2.

La resistencia a la compresión muchas veces suele ser mayor que la resistencia a la tensión.

3.

La resistencia última de torsión, es decir, el módulo de ruptura, es aproximadamente igual a la resistencia a la tensión.

Es de importancia mencionar que para el caso de los materiales frágiles se emplean tres teorías de falla, a saber, la Teoría del Esfuerzo Normal Máximo (T.E.N.M), la Teoría de Coulomb-Mohr (T.C.M) y la Teoría de Mohr modificada (T.M.m)

Teoría del Esfuerzo Normal Máximo Esta teoría ya ha sido analizada en la sección 5.8.1.

Teoría de Coulomb-Mohr

σ1 S ut

−

σ3 S uc

=1

A veces llamada teoría de la fricción interna, se basa en los resultados de dos ensayos: el de tensión y el de compresión. Esta teoría establece que la fractura se produce en un estado de esfuerzo tal que origina un círculo tangente a la envolvente de los dos círculos de prueba.

Reordenando la ecuación anterior, es posible deducir que:

S3 =

S uc σ 1 S uc −1 σ 3 S ut

__________ * Véase: FALLAS DE MATERIALES FRÁGILES en el libro “Diseño en Ingeniería Mecánica” de J. E. Shigley y L. D. Mitchell para más información.


92


ESPOCH


S3 =

Teoría de Mohr modificada

En las ecuaciones anteriores,

S ut

y

S uc

S uc σ 1 ( S uc − S ut ) −1 σ 3 S ut son, respectivamente, la resistencia última a tensión y a compresión.

Para determinar el factor de seguridad, sígase los pasos siguientes: 1.

Obtenga los valores de

2.

σ3 > 0:

S ut , S uc , σ 1 , σ 2

→ n = S ut / σ 1 NO → σ 1 = 0 : SÍ

y

σ3

, y asegúrese que

(para las tres teorías)

SÍ:

n = − S uc / σ 3

NO:

σ1 ≥ 0 :


SÍ: calcule NO:

3.

σ1 > σ 2 > σ 3 .

S3 → n = S3 / σ 3

n = − S uc / σ 3

(T.C.M)


 σ3   −  ≥ 0 : σ − 1 1   → n = S 3 / σ 3 (T.M.m) NO → n = S ut / σ 1 (T.E.N.M) y (T.M.m) SÍ


93


ESPOCH


PROBLEMAS RESUELTOS TEORÍAS DE FALLA EN MATERIALES DÚCTILES

PROBLEMA 1 Un acero dúctil tiene una resistencia de fluencia de 40 kpsi. Determínese los factores de seguridad correspondientes a la falla mediante las teorías del esfuerzo normal máximo, del esfuerzo cortante máximo y de la energía de distorsión, respectivamente, para cada uno de los siguientes estados de esfuerzo (valores en kpsi):

a) σ x = 10 , σ y = −4 b) σ x = 10 , σ y = 0

y

d) σ x = 10 , σ y = 5

y

y

τ xy = 0

τ xy = 4 (s.r) c) σ x = −2 , σ y = −8 y τ xy = 4 (s.c.r)

DATO:

τ xy = 1 (s.r)

S y = 40kpsi

SOLUCIÓN:

a)

Hallemos primero los esfuerzos normales máximo y mínimo, así como del esfuerzo cortante máximo.

Recordando las ecuaciones que definen el centro y radio de un círculo de Mohr dadas en el capítulo 4, obtenemos:

C = 3 , R = 7 , luego, σ máx = 10 T.E.N.M:

n=

Sy

σ máx

y

σ mín = −4

→

n=

40 10

Sabemos que para la teoría del esfuerzo cortante,

T.E.C.M:

Haciendo,

0 .5 S y

n=

τ máx

σ máx = σ A

y

→

n=

⇒

τ máx = R

0.5 x 40 7

n=4

, luego,

⇒

n = 2.857

σ mín = σ B , tenemos que el esfuerzo de Von Misses* es:

σ ' = σ A2 − σ Aσ B + σ B2 = (10) 2 − [10 x(−4)] + (−4) 2 T.E.D:

b)

n=

Sy

σ'

→

n=

40 12.49

⇒

→

σ ' = 12.49

n = 3.203

De manera similar al literal anterior:

C = 5 , R = 6.403 , luego, σ máx = 11.403 T.E.N.M:

n=

Sy

σ máx

→

y

n=

σ mín = −1.403 40 11.403

⇒

n = 3.508

__________ * No confundir este esfuerzo con el equivalente de Von Misses, ya que este último toma en cuenta la acción de esfuerzos combinados (normales y cortantes), mientras que el primero, como tal vez ya lo ha notado, sólo toma en cuenta esfuerzos normales máximos (principales).


94


ESPOCH

T.E.C.M:

Haciendo,


0 .5 S y

n=

τ máx

σ máx = σ A

y

→

n=

0.5 x 40 6.403

⇒

n = 3.124

σ mín = σ B , tenemos que el esfuerzo de Von Misses es:

σ ' = σ A2 − σ Aσ B + σ B2 = (11.403) 2 − [11.403x(−1.403)] + (−1.403) 2 T.E.D:

c)

Sy

n=

→

σ'

C = −5 , R = 5 , luego, σ máx = 0

n=

y

40 12.165

⇒

→

σ ' = 12.165

n = 3.288

σ mín = −10

Evidentemente el esfuerzo normal máximo no puede ser cero, puesto que al sustituir este valor en la ecuación para el coeficiente de seguridad obtenemos un valor para éste último de infinito, lo que naturalmente es un absurdo. En este caso particular se hace,

T.E.N.M:

n=

T.E.C.M:

n=

Haciendo,

Sy

σ mín 0 .5 S y

τ máx

σ máx = σ A

y

σ máx = σ mín

, luego tenemos,

→

n=

40 10

⇒

n=4

→

n=

0.5 x 40 5

⇒

n=4


σ ' = σ A2 − σ Aσ B + σ B2 = (0) 2 − [0 x(−100)] + (−10) 2 T.E.D:

d)

Sy

n=

→

σ'

n=

40 10

C = 7.5 , R = 2.693 , luego, σ máx = 10.193

T.E.N.M:

n=

T.E.C.M:

n=

Haciendo,

Sy

σ máx

σ máx = σ A

0 .5 S y

τ máx y

⇒ y

n=

Sy

σ'

σ ' = 10

n=4

σ mín = 4.807

→

n=

40 10.193

⇒

n = 3.924

→

n=

0.5 x 40 2.693

⇒

n = 7.428


σ ' = σ A2 − σ Aσ B + σ B2 = (10.193) 2 − [10.193x(4.807)] + (4.807) 2 T.E.D:

→

→

n=

40 8.832

⇒

→

σ ' = 8.832

n = 4.529

Importante es mencionar que los esfuerzos normales máximo y mínimo no necesariamente tienen que ser positivo y negativo o viceversa, respectivamente. Adviértase que en la T.E.N.M, lo que se toma en cuenta es el valor del “mayor” esfuerzo normal principal.


95


ESPOCH


PROBLEMA 2 Una fuerza aplicada en

D,

cerca del extremo de una palanca de 15 pulg. de longitud, como se ilustra, ocasiona

determinados esfuerzos en la barra en voladizo

OABC .

Esta barra está hecha de acero UNS G10350 y ha sido

forjada, maquinada, tratada térmicamente y revenida a 800ºF. ¿Qué carga

F

produciría fluencia en la barra?

Datos : L1 = 15in L2 = 14in d A = 1in d O = 1.5in S y = 81kpsi n =1

SOLUCIÓN:

F produce fluencia en la barra. A ) para ser analizados. ¿Cuál de los dos es el más crítico?

El factor de seguridad es uno ya que el enunciado del problema dice que la carga Obsérvese que existen dos puntos de interés ( O y Punto

A:

Trasladando la carga

F

a este punto tenemos:

M xz = T = F .L1

→

T = 15 F

M xy = M = F .L2

→

M = 14 F

El esfuerzo normal por flexión es:

σx =

32 M πd A3

→

σx =

32(14 F ) = 142.603F π (1) 3

El esfuerzo cortante por torsión es:

τ xz =

16T πd A3

→

τ xz =

16(15 F ) = 76.394 F π (1) 3

El esfuerzo equivalente de Von Misses es:

La carga

F

que produce fluencia en la barra es:

σ eq = (σ x ) 2 + 3(τ xz ) 2 σ eq = (142.603F ) 2 + 3(76.394 F ) 2 = 194.535 F σ eq =

Sy n

→

194.535 F = 81000

⇒

F = 416.377lb


96


ESPOCH

Punto


O:

Trasladando la carga

F

M xz = T = F .L1

a este punto tenemos:

→

M xy = M = F ( L2 + 2) →

T = 15 F M = 16 F


σx =

32 M πd O3

→

σx =

32(16 F ) = 48.289 F π (1.5) 3


τ xz =

16T πd O3

→

τ xz =

16(15 F ) = 22.635 F π (1.5) 3

σ eq = (σ x ) 2 + 3(τ xz ) 2

El esfuerzo equivalente de Von Misses es:

La carga

F

σ eq = (48.289 F ) 2 + 3(22.635 F ) 2 = 62.201F

que produce fluencia en la barra es:

Sy

σ eq =

n

→

62.201F = 81000

⇒

F = 1302.239lb

De los resultados anteriores se concluye que el punto más crítico es el punto

A.

σ = P / A , vemos que el esfuerzo aumentará cuando el A ) y, decrecerá cuando el área aumente (punto O ). Según esto último, la carga más segura que puede soportar la barra es 416.377lb . Esto debe ser así ya que, si la sección de diámetro de 1in puede soportarla, con mucha más razón lo hará la de 1.5in . Esto era de esperarse ya que, por definición de esfuerzo, área disminuya (punto

PROBLEMA 3 La figura muestra una barra redonda, sometida a la acción de un vector momento M = 1.75i + 1.10k, en kN-m. El material es una aleación de aluminio UNS A95056-H38. Un elemento de esfuerzo A , se encuentra localizado en la parte superior de la barra. A partir de los esfuerzos producidos en este elemento, determínese el factor de seguridad contra falla estática utilizando la teoría del esfuerzo cortante máximo y la de la energía de distorsión.

y

Datos : d = 0.040 m = 1.575in M x = 1.75kN − m M z = 1.10kN − m

z

S y = 50kpsi

A

Mz

x

Mx

SOLUCIÓN: Puesto que este vector momento resulta que también es un vector libre, sus componentes nos muestran que en el punto en cuestión se tiene:

M x = M yz = T = 1.75

y

M z = M xy = M = 1.10 Unidades:

[kN − m]


97


ESPOCH Como


Sy

se encuentra dado en unidades del sistema inglés, transformando el torque y el momento a estas unidades

tenemos:

T = 1.75kN .m = 15482.615lb.in El esfuerzo normal por flexión es:

σx = −


τ xz =

32 M πd 3

16T πd 3

y

M = 1.10kN .m = 9732lb.in

→

σx = −

→

τ xz =

32(9732) = −25381.856 π (1.575) 3

16(15482.615) = 20182.397 π (1.575) 3 Unidades:

Teniendo en cuenta que

σ y = 0 , obtenemos: C = −12.686 , R = 23.838 , σ máx = 11.152

y

σ mín = −36.524 Unidades:

n=

T.E.C.M:

Haciendo,

σ máx = σ A

0 .5 S y

τ máx y

→

n=

0.5 x50 23.838

⇒

n=

Sy

σ'

[kpsi ]

n = 1.049


σ ' = σ A2 − σ Aσ B + σ B2 = (11.152) 2 − [11.152 x(−36.524)] + (−36.524) 2 T.E.D:

[ psi ]

→

n=

50 43.194

⇒

→

σ ' = 43.194

n = 1.158

PROBLEMA 4 Una palanca, sometida a una fuerza estática vertical hacia debajo de 400 lb, está montada en una barra de 1 pulg. de diámetro, como se indica. a) b) c)

Hállense los esfuerzos críticos en la barra circular. Calcúlese ele factor de seguridad empleando la teoría del esferazo cortante máximo. Esta barra es de acero UNS G46200, tratado térmicamente y estirado a 800ºF. Con base en la carga estática, encuéntrese el factor de seguridad por medio de la teoría de la energía de distorsión.

Datos : L1 = 9in L2 = 7in d = 1in F = 400lb S y = 94 kpsi


98


ESPOCH


SOLUCIÓN:

a) Trasladando la carga

F

al empotramiento tenemos:

M xy = T = F .L1

→

T = 400 x9 = 3600

M yz = M = F .L2

→

M = 400 x7 = 2800


σx =

32 M πd 3

→

σx =

32(2800) = 28520.566 π (1) 3


τ xy =

16T πd 3

→

τ xz =

16(3600) = 18334.649 π (1) 3 Unidades:

b)

Teniendo en cuenta que

σ y = 0 , obtenemos: C = 14.261 , R = 23.228 , σ máx = 37.489

y

σ mín = −8.967 Unidades:

n=

T.E.C.M:

c)

Haciendo,

0 .5 S y

→

τ máx

σ máx = σ A

y

n=

0.5 x94 23.228

⇒

n=

[kpsi ]

n = 2.023


σ ' = σ A2 − σ Aσ B + σ B2 = (37.489) 2 − [37.489 x(−8.967)] + (−8.967) 2 T.E.D:

[ psi ]

Sy

→

σ'

n=

94 42.685

⇒

→

σ ' = 42.685

n = 2.202

PROBLEMA 5 La figura presenta un elemento de tubo en voladizo construido con una aleación de aluminio UNS A92014-T4. Se desea obtener un conjunto de dimensiones de sección transversal para el tubo con base a una carga de flexión

F = 0.80kN , una tensión axial P = 7.20kN y una carga de torsión T = 38 N .m . Los factores de seguridad por carga serán n F = 2.20 , n P = 1.30 y nT = 1.90 . Utilícese un factor de seguridad por resistencia n R = 1.50 . y

Datos : S y = 40 kpsi = 275790291 .7 N / m 2

0.12 m

F = 800 N P = 7200 N

F z

T = 38 N .m n = nF .nR = 3.30 P T

x


99


ESPOCH


SOLUCIÓN: Los esfuerzos en un eje de sección tubular sometido a cargas axiales, de flexión y de torsión son, respectivamente:

σx = donde:

4P π (D 2 − d 2 )

σx =

32 MD π (D 4 − d 4 )

τ xy =

16TD π (D 4 − d 4 )

σ x = esfuerzo axial σ x = esfuerzo de flexión τ xy = esfuerzo de torsión D = diámetro exterior del eje d = diámetro interior del eje M = momento flexionante en la sección crítica T = momento torsionante en la sección crítica

Ahora bien, por el principio de superposición, el esfuerzo normal está dado por:

σ = (σ x ) axial + (σ x ) flexión =

4P 32 MD + 2 2 π (D − d ) π (D 4 − d 4 )

Ahora debemos calcular cualquiera de los esfuerzos equivalentes (puesto que existen esfuerzos combinados).

El valor del momento flector está dado por:

M = (0.12 x800) = 96 N .m

σ eq = σ 2 + 4τ 2 =

Calculemos el esfuerzo equivalente de Tresca:

Sy n

Elevando al cuadrado y reemplazando datos: 2

2

 4 x7200  16 x38 D  32 x96 D   275790291.7  + + 4 =   2 2 4 4  4 4  3.30   π ( D − d ) π ( D − d )  π (D − d ) 

2

Operando: 2

2

 9167.325 977.848 D   193.532 D  + + 4 4 = 6.984 x1015  2 2 4 4  4  ( D − d ) ( D − d ) ( D − d )     Despreciando por el momento el esfuerzo debido a la carga axial, se tiene: 2

2

 977.848 D   193.532 D  + 4 4 = 6.984 x1015  4 4  4   (D − d )   (D − d )  Asumiendo que

D = 2d , obtenemos:

1 (977.848 2 + 4 x193.532 2 ) = 6.984 x1015 3 2 (15d )

→

4915.579 = 6.984 x1015 6 d

Despejando el valor del diámetro, se tiene:

d = 0.009m = 9.431mm = 0.371in


100


ESPOCH


Con este diámetro tentativo, calculamos los valores de todos los esfuerzos; así tenemos:

(σ x ) axial =

τ torsión =

9167.325 N = 37725617.28 2 2 3 x0.009 m

(σ x ) flexión =

;

977.848 x 2 N = 178847370.8 2 3 15 x0.009 m

193.532 x 2 N = 35396799.26 2 3 15 x0.009 m

Calculando el esfuerzo normal resultante mediante el principio de superposición, hallamos:

σ = (37725617.28 + 178847370.8) Pa = 216572988Pa Ahora, la incógnita es el factor de seguridad; reemplazando en el esfuerzo equivalente de Tresca, obtenemos:

σ eq = 216572988 2 + 4 x35396799.26 2 =

275790291.7 n n = 1.210

Operando y despajando el valor del coeficiente de seguridad, se tiene:

Este último valor está muy por debajo del valor dado, a saber, n = 3.30 ; ahora, ¿debemos aumentar o disminuir el valor del diámetro interior?. La respuesta se encuentra al analizar la ecuación de esfuerzo.

Sabemos que el esfuerzo (en general) se define mediante la relación

σ=

F . A

Es obvio que para que el esfuerzo

disminuya (“se haga más seguro”) el área debe aumentar. Con esto último, aumentemos el valor del diámetro interior a,

d = 0.5in = 12.7 mm = 0.013m .

En este punto, el estudiante habrá notado que el proceso para encontrar las dimensiones es iterativo. Volviendo a calcular todos los esfuerzos con

(σ x ) axial =

τ torsión =

d = 0.013m , tenemos:

9167.325 N = 18081508.87 2 2 3 x0.013 m

;

(σ x ) flexión =

977.848 x 2 N = 59344439.38 2 3 15 x0.013 m

193.532 x 2 N = 11745228.34 2 3 15 x0.013 m

Calculando el esfuerzo normal resultante mediante el principio de superposición, hallamos:

σ = (18081508.87 + 59344439.38) Pa = 77425948.25Pa Ahora, la incógnita es el factor de seguridad; reemplazando en el esfuerzo equivalente de Tresca, obtenemos:

σ eq = 77425948.25 2 + 4 x11745228.34 2 =

275790291.7 n

Operando y despajando el valor del coeficiente de seguridad, se tiene:

n = 3.409

Puesto que este último valor del coeficiente de seguridad es bastante próximo ha dimensiones más adecuadas para el elemento de sección tubular son:

d = 0.5in

y

n = 3.30 ,

se concluye que las

D = 1in


101


ESPOCH


PROBLEMA 6 Determínense las dimensiones (con valor redondeado a 0.125 pulg) del resorte o muelle de acero de sección rectangular y en voladizo que se muestra en la figura.

Datos : F = 100lb S y = 180 kpsi L = 40in

F

n=3

h

b = 6h

40in b

SOLUCIÓN: Es evidente que el muelle se encuentra sometido a un sólo esfuerzo crítico, el esfuerzo de flexión. Este problema es algo más sencillo que el anterior, puesto que ya está definida la relación entre las dimensiones del elemento mecánico. Si no se tuviera esta relación, el procedimiento de resolución sería semejante al realizado en el problema anterior.

M = (100 x 40) = 4000lb.in

Bien, el valor del momento flexionante está dado por:

El momento de inercia de la sección respecto al eje neutro (este es paralelo al eje z) es:

Reemplazando la relación que existe entre las dimensiones, se obtiene:

El esfuerzo normal por flexión está dado por:

σ flexión =

I E.N

I E.N =

b.h 3 12

6h.h 3 h 4 = = 12 2

M .c I E.N

Adviértase que c , es la distancia desde el eje neutro hasta la fibra que se vaya ha analizar. En este caso se analizará aquella fibra extrema que se encuentra sometida a tensión, y en cuyo caso el valor de c es el mismo que el del centroide. Es importante mencionar que, cuando se tengan elementos sometidos a esfuerzos combinados de compresión y de tensión, estos se diseñarán únicamente a esfuerzos de tensión, puesto que si se consideran esfuerzos de compresión, éstos últimos harán que el esfuerzo disminuya y, claro, lo que se busca es diseñar cuando las solicitaciones son críticas (en otras palabra, son grandes)*.

Según esto último, es esfuerzo normal por flexión** es:

σ flexión =

M . y 6M . = 3 I E.N h

Empleando la teoría del esfuerzo normal máximo, se tiene:

σ=

Sy n

→

6 x 4000 180000 = 3 h3

h = 0.737in

⇒

Como se nos pide un valor redondeado a (1/8) de pulgada, es evidente que las dimensiones del resorte son:

h = (6 / 8)in

b = (36 / 8)in

y

__________ * Valdría la pena que el estudiante consultase esta situación al autor de este texto para información adicional del tema y conocer cierta anécdota. ** Esta expresión tiene equivalencia a esfuerzo normal debido a la flexión, pero debido a que resulta muy larga para escribirla, se usará la expresión esfuerzo normal por flexión para referirse a ella.


102


ESPOCH


PROBLEMA 7

Para el problema anterior, determínense las dimensiones del resorte de acero de sección rectangular y en voladizo, cuando en su extremo libre actúa un momento torsor dimensiones del resorte.

T = 1000lb − in .

Se desconoce la relación entre las

SOLUCIÓN: El valor del momento flexionante es:

M = (100 x 40) = 4000lb.in

El momento de inercia de la sección respecto al eje neutro (este es paralelo al eje z) es:

σ flexión =

El esfuerzo normal por flexión está dado por:

M .c I E.N

24000 h 12 = 3 2 b.h b.h 2

El esfuerzo por torsión está dado por:

α

b.h 3 12

σ flexión = 4000 x x

Reemplazando valores:

El coeficiente

I E. N =

τ torsión =

depende de la relación

a/b.

a : lado − mayor T →  α .a.b 2 b : lado − menor Para nuestro caso:

Reemplazando el valor del momento torsor (torque), se obtiene:

Calculemos el esfuerzo equivalente de Tresca:

τ torsión =

τ torsión =

σ eq = σ 2 + 4τ 2 =

T α .b.h 2

1000 α .b.h 2 Sy n

Elevando al cuadrado y reemplazando datos: 2

2

 24000   1000   180000  + 4 =   2  2   b.h   α .b.h   3  Simplificando:

Asumamos

 4 x10 6  576 x10 6 + α2 

  = 3600 x10 6 

2

b = 2h . Según esta relación, el valor de α

Por lo tanto,

1 2 b .h 4

→

1  4  576 + 2  = 3600 4  b .h  α 

Reemplazando valores:

σ flexión =

2

(en tablas) es

1  4  576 +  = 3600 → 6  4h  0.246 2 

0.246 .

h = 0.595in

b = 1.191in . Con estas dimensiones tentativas, calculamos los respectivos esfuerzos.

24000 = 56921.214 psi 1.191(0.595) 2

;

τ torsión =

1000 = 9640.936 psi 0.246(1.191)(0.595) 2

Ahora, la incógnita es el factor de seguridad.

σ eq = 56921.214 2 + 4 x9640.936 2 =

180000 n

→

n = 2.995


103


ESPOCH


Francamente, no pensábamos que el problema iba ha ser resuelto en un primer intento; desgraciadamente, esto no ocurre con frecuencia, sino más bien, hay que realizar dos o tres iteraciones para encontrar las dimensiones más adecuadas de los elementos de máquinas. Cuando esto último ocurre, lo que se hace es intentar con otra relación entre las dimensiones ó, más brevemente, se comienza a hacer que las dimensiones aumenten con el objetivo de que los esfuerzos disminuyan. Esto último hará que los elementos se vuelvan cada vez más seguros (el coeficiente de seguridad aumenta). Puesto que

n = 2.995

prácticamente es

n = 3 , resulta que las dimensiones del resorte son, redondeando:

b = 1.2in

y

b = 0.6in

TEORÍAS DE FALLA EN MATERIALES FRÁGILES PROBLEMA 8 Los ensayos de una clase particular de hierro colado ASTM No. 20 dieron una

S uc = 600 MPa .

S ut = 150 MPa

y una

Determínese el factor de seguridad según cada una de las teorías de falla para los siguientes

estados de esfuerzo (valores en Mpa):

a) σ x = 50 , σ y = 0

y

τ xy = 30

b) σ x = −80 , σ y = −40 c) σ x = 40 , σ y = 30

y

(s.r)

τ xy = 20

(s.c.r)

τ xy = 10 (s.c.r) d) σ x = 30 , σ y = −60 y τ xy = 30 (s.r) y

SOLUCIÓN: Tomando en cuenta que se han ordenado los esfuerzos normales máximos de manera que manera general) y en particular, asumiendo que

a)

σ1 > σ 2 > σ 3 *

(de

σ 2 = 0 **, tenemos:

Siguiendo un procedimiento similar al problema anterior:

C = 25 , R = 39.051 , σ máx = 64.051 Haciendo:

σ máx = σ 1

y

σ mín = σ 3

y

σ mín = −14.051

tenemos:

¿σ 3 > 0 ? → NO → ¿σ 1 = 0 ? → NO → ¿σ 1 ≥ 0 ? → SI → T.C.M → S 3 → n = S 3 / σ 3 S3 =

S uc 600 → S3 = = −31.195 σ 1 S uc 64.051x600 −1 −1 (−14.051) x150 σ 3 S ut

⇒

n=

− 31.195 = 2.220 − 14.051

(T.C.M)

 σ3  S  ≥ 0 ? → NO → n = ut → T.E.N.M y T.M.m ¿ − σ1  σ1 −1 ⇒

n=

150 = 2.342 64.051

(T.E.N.M y T.M.m)

__________ * Véase la figura 4-6. pág. 59 de este texto. ** Véase la figura 5-2. pág. 91 de este texto.


104


ESPOCH


b) C = −60 , R = 28.284 , σ máx = −31.716 Haciendo:

σ máx = σ 1

y

σ mín = σ 3

y

σ mín = −88.284

tenemos:

¿σ 3 > 0 ? → NO → ¿σ 1 = 0 ? → NO → ¿σ 1 ≥ 0 ? → NO → n = − S uc / σ 3 n=−

⇒

c) C = 35 , R = 11.180 , σ máx = 46.18 Haciendo:

σ máx = σ 1

y

σ mín = σ 3

¿σ 3 > 0 ? → SI → n = S ut / σ 1

y

y

(Para las tres teorías)

150 = 3.248 46.18


tenemos:


d) C = −15 , R = 54.083 , σ máx = 39.083

σ máx = σ 1

600 = 6.796 − 88.284

σ mín = 23.82

n=

⇒

Haciendo:


σ mín = σ 3

y

σ mín = −69.083

tenemos:

¿σ 3 > 0 ? → NO → ¿σ 1 = 0 ? → NO → ¿σ 1 ≥ 0 ? → SI → T.C.M → S 3 → n = S 3 / σ 3 S3 =

S uc 600 → S3 = = −183.882 σ 1 S uc 39.083x600 −1 −1 (−69.083) x150 σ 3 S ut

n=

⇒

− 183.882 = 2.662 − 69.083

(T.C.M)

 σ3  S  ≥ 0 ? → SI → T.M.m → S 3 → n = 3 ¿ − σ3  σ1 −1 S uc 600 → S3 = = −222.451 S3 = σ 1 ( S uc − S ut ) 39.083(600 − 150) −1 −1 (−69.083) x150 σ 3 S ut ⇒

n=

S ut

⇒

σ1

− 222.451 = 3.220 (T.M.m) − 69.083 150 n= = 3.838 (T.E.N.M) 39.083 n=

EJES DE TRANSMISIÓN Un problema básico de diseño es el de ejes de transmisión. En él se utiliza la mayor parte (si no todas) de los principios fundamentales descritos en los capítulos anteriores. Un eje de transmisión* (o árbol) es un elemento cilíndrico se sección circular, que puede estar fijo o estar girando, sobre el que se montan engranes, poleas, volantes, ruedas de cadena, manivelas o manubrios, así como otros elementos mecánicos de transmisión de fuerza o potencia. Los ejes de transmisión, o simplemente ejes, son barras sometidas a cargas de flexión, tensión, compresión o torsión que actúan individualmente o combinadas. En este último caso es de esperar que la resistencia estática y la de fatiga sean consideraciones importantes de diseño, puesto que un eje puede estar sometido en forma simultánea a la acción de esfuerzos estáticos, completamente invertidos en forma alternante y repetidos sin cambio de sentido**.


105


ESPOCH


El término “eje” abraca otras variedades, como los ejes de soporte y los husillos. Un eje de soporte es el que no transmite carga de torsión y puede ser fijo o rotatorio. Un eje de transmisión rotatorio de corta longitud se denomina husillo. Siempre que sea posible, los elementos de transmisión de potencia, como engranes o poleas, deben montarse cerca de los cojinetes de soporte. Este reduce el momento flexionante y, en consecuencia, la deflexión y el esfuerzo por flexión.

DISEÑO PARA CARGAS ESTÁTICAS Los esfuerzos en la superficie de un eje macizo de sección circular, sometido a cargas combinadas de flexión y de torsión, son:

σx = donde:

32 M πd 3

τ xy =

16T πd 3

σ x = esfuerzo de flexión τ xy = esfuerzo de torsión d = diámetro del eje M = momento flexionante en la sección crítica T = momento torsionante en la sección crítica

PROBLEMA 9 En el rodillo industrial engranado, el material transportado por éste ejerce una fuerza distribuida uniformemente, con

una intensidad de w = 20lb / in ; para el sistema mostrado, determínese el diámetro del eje. Todas las dimensiones se encuentran en pulgadas.

Datos : F = 200lb S y = 54 kpsi

θ = 20º

SOLUCIÓN: Descomponiendo la carga

F

en sus componentes rectangulares tenemos:

Fy = F .senθ

⇒

Fy = 68.404lb ↓

Fz = F . cos θ

⇒

Fz = 187.939lb ↑

Los sentidos de las componentes anteriores se justifican según el plano sobre el cual actúan.

________ * A veces a un eje de transmisión se le llama, impropiamente, “flecha”. ** Aunque estos conceptos no pertenecen a este capítulo, han sido mencionados debido a su importancia en el diseño de estos elementos de máquinas. En el capítulo siguiente se encontrarán las aplicaciones y ecuaciones correspondientes para estos elementos.


106


ESPOCH


xy

PLANO

w


en carga puntual:

W = w.l 1.75

→

8

1.75

W = (20 x8)lb ⇒ 2.75

Oy

W = 160lb ↑ 4

1.75 Fy

≅

2.75

Oy

Fy

W

Cy

w

1.75

4

Cy

CÁLCULO DE LAS REACCIONES:

∑M ∑F

O

y

= 0:

= 0:

W (5.75) + Cy (11.5) − Fy (14.25) = 0

⇒

Cy = 4.761lb ↑

−Oy + W + Cy − Fy = 0

⇒

Oy = 96.3571lb ↓

DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

Unidades : [lb ] Unidades : [lb.in ] En el diagrama de fuerza cortante se tiene un punto de intersección momento flector. Llamando entre

I

y

x

, en el cual se producirá el máximo valor de

A

e

I

, y

l

a la distancia correspondiente

B , tenemos: tan θ =

Por Trigonometría Elemental:

96.357 63.643 = x 8− x

Por lo tanto: Por supuesto, tanto

x

como

l

⇒

x = 4.818in

⇒

l = 3.182in

son necesarios para la construcción del diagrama de momento flector.

El valor máximo de momento flector es:

PLANO

I

la distancia que existe entre los puntos

M I = 400.749lb.in

xz

Ahora bien, según la figura del problema el sistema coordenado tiene la orientación siguiente:

11.5

x z

⇒

2.75

Oz

Fz

Az


107


ESPOCH


CÁLCULO DE LAS REACCIONES:

∑M = 0: ∑F = 0: O

z

Adviértase que en

Az (11.5) − Fz (14.25) = 0 ⇒

Az = 232.88lb ↑

Oz − Az +Fz = 0

⇒

Oz = 44.942lb ↓

Az , la dirección (mostrada por la flecha) es negativa según el sistema coordenado adjunto. Oz ; su dirección es positiva.

Algo similar sucede con

Esto último debe tenerse muy en cuenta para la construcción de los diagramas de fuerza cortante y momento flector.

DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

Unidades : [lb ]

Unidades : [lb.in ]

M C = 516.833lb.in

El valor máximo de momento flector es:

VALORES RESULTANTES DE MOMENTOS FLECTORES El estudiante habrá notado que los máximos momentos flectores ocurren en puntos distintos del eje, a saber, en el plano

xy

el valor máximo se encuentra en el punto

I

, mientras que en el plano

xz

éste está en el punto

C.

Ahora bien, sabemos que el diseño debe realizarse en un punto específico (punto crítico) para lo cual debemos tener los valores del momento flector de este punto en los dos planos antes considerados. Es evidente que, como en el plano plano

xz

xy

el valor máximo de momento flector se encuentra en el punto

el momento flector máximo está en el punto

Punto

Punto

C

Plano( xy ) :

M I = 400.749lb.in

Plano( xy ) :

M C = 188.118lb.in

Plano( xz ) :

M I = 295.179lb.in

Plano( xz ) :

M C = 516.833lb.in

MI

, y que en el

C , uno de ellos será más crítico que el otro.

I

Importante es mencionar que el valor de

I

con respecto al plano

xz

fue obtenido por Geometría Elemental

(semejanza de triángulos). Ahora que ya tenemos los valores de los puntos

I

y

C

en los planos

xy

y

xz ,

debemos calcular el valor del

momento flector resultante en cada uno de esos puntos, así: Momento resultante en el punto

M I = ( M I ) 2xy + ( M I ) 2xz Momento resultante en el punto

M C = ( M C ) 2xy + ( M C ) 2xz

I

:

→

M I = 400.749 2 + 295.179 2

⇒

M I = 498lb.in

M C = 188.118 2 + 516.833 2

⇒

M C = 550lb.in

C: →


108


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DETERMINACIÓN DEL PUNTO CRÍTICO Para ello observemos la figura siguiente, que es una representación del montaje del eje.

Los puntos

A

y

C

son los sitios donde se alojarán los respectivos cojinetes (rodamientos).

Puesto que la diferencia entre los momentos resultantes de los puntos valor del momento en que buscamos.

C

I

y

C

no es muy significativa, tomamos el

como el valor máximo del momento flector. Esto hace que el punto

Pero esto último no es condición suficiente para asegurar que

C

sea el punto crítico

C es el punto crítico buscado.

Un análisis más riguroso demuestra que efectivamente C es punto crítico, pues es aquí donde a más de tenerse el valor del momento flector resultante máximo se tiene también el valor de esfuerzo normal máximo; claro, esto es así ya que, considerando la sección más pequeña, es evidente (recuerde la definición de esfuerzo) que el esfuerzo normal debido a la flexión es más crítico en éste que en los demás puntos. El estudiante debe estar preguntándose: el punto

A

tiene igual sección que el punto

también un punto crítico? La respuesta es sencilla. No es punto crítico como

C

C , entonces, ¿por qué A

sección que éste (la menor por supuesto), su valor de momento flector resultante es pequeño comparado con el del punto

no es

ya que, a pesar de tener la misma

186lb.in , que es un valor muy

C.

DISEÑO DEL EJE El eje se encuentra sometido al efecto de esfuerzos combinados, a saber, de flexión y de torsión, por lo tanto, se requiere la utilización del Esfuerzo Equivalente de Von Misses.

(σ eq )V .M = σ 2 + 3τ 2

Éste último está dado por:

σ=

Recordando que:

También,

M = MC

y

32 M πd 3

τ=

T = Fz (rD )

16T πd 3

→

, tenemos:

(σ eq )V .M =

Sy n

T = (187.939 x1.5)lb.in

⇒

T = 281.909lb.in

Puesto que no se menciona que el sistema mecánico requiera de una precisión y seguridad altas* se tomará un valor de

n = 2.

Ahora que ya conocemos la mayoría de los datos, procedemos a reemplazarlos en la ecuación que define el Esfuerzo Equivalente de Von Misses. Se tiene: 2

2

 32 x550   16 x 281.909   54000  + 3   =  3  3 π .d  π .d     2 

Evidentemente, el valor del diámetro

d

2

31385249.84 6184140.625 + = 729000000 d6 d6 37569390.46 = 729000000 ⇒ d = 0.610in d6

→

es el correspondiente a la sección más pequeña.

________ * Cuando de ciertos sistemas mecánicos dependan o estén en riesgo vidas humanas y por que no, la de ciertas especies de animales (especialmente aquellas en peligro de extinción), el valor del coeficiente de seguridad en estos casos es considerablemente elevado. ¿Cuánto? Francamente no lo sabemos, de todos modos un valor de 10 o superior ya sería seguro.


109


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Como este problema ha sido resuelto de una manera muy detallada, en los problemas que vienen a continuación (y que son bastante similares a éste), sólo se describirán algunos conceptos adicionales, si así lo amerita el problema. Las soluciones a ellos se harán de una manera directa y ya no de la forma que se hizo aquí.

PROBLEMA 10 La figura ilustra un eje de transmisión con cojinetes en A y D , una polea en B y otra en C . Las fuerzas indicadas en la superficie de las poleas representan las tensiones de las bandas en los lados tirante y flojo de las mismas. Calcúlese el momento torsionante aplicado al eje por la polea que está en C y la polea que está en B . Determínese un diámetro apropiado del árbol, tomando como base un esfuerzo normal de 16 kpsi y/o un esfuerzo cortante admisible de 12 kpsi. (Dimensiones en pulgadas).

x 27lb 300lb y

Datos :

dD

50lb

d B = 8in d D = 6in

dB

σ adm = 16kpsi τ adm = 12kpsi

360lb D

6 z

C

8 B 8 A SOLUCIÓN:

Es evidente que las fuerzas actuantes (tensiones de las bandas) se encuentran ubicadas en planos distintos, a saber, en el plano

xy

actúa una tensión resultante de

tensión resultante de

(300 + 50)lb = 350lb ,

mientras que en el plano

xz

actúa una

(360 + 27)lb = 387lb . Estas tensiones resultantes son el resultado (cabe la redundancia) de

trasladar las tensiones de las bandas al centro del eje de transmisión. Según lo anterior, obtenemos: PLANO

xy 8

8

∑M

6

Ay

A

= 0:

Dy

B

Dy = 127.273lb ↓

C

A

(350 x8) − 22 Dy = 0

∑F

y

D

= 0:

− Ay + 350 − Dy = 0 Ay = 222.727lb ↓

350

De aquí en adelante, en todos los problemas que se requieran diagramas de momentos flectores para su solución, únicamente se presentará éste y ya no la forma como se obtuvo, pues pensamos, que en este punto, el estudiante ya domina la construcción de estos diagramas. DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES

B

D

C

A

( M B ) xy = 1781.816[lb − in] ( M C ) xy = 763.635[lb − in]


110


ESPOCH

PLANO


xz 8

8

∑M

6

Az

A

= 0:

(387 x16) − 22 Dz = 0

Dz

Dz = 281.455lb ↓

C

B A

∑F

D

z

= 0:

Az − 387 + Dz = 0 Az = 105.545lb ↓

387

DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES

B

( M C ) xz = 1688 .720[lb − in ]

D

C

( M B ) xz = 844 .360[lb − in ]

A

MOMENTOS RESULTANTES

Punto

B:

M B = [(M B ) xy ] 2 + [(M B ) xz ]2

⇒

M B = 1971.754[lb − in]

Punto

C:

M C = [(M C ) xy ]2 + [(M C ) xz ]2

⇒

M C = 1853.241[lb − in]

Cálculo del diámetro

Por flexión: Punto

B:

σ x = σ adm =

32 M B πd 3

⇒

d = 1.079[in]

Punto

C:

σ x = σ adm =

32 M C πd 3

⇒

d = 1.057[in]

Por torsión: Puesto que,

→ TBω B = TC ω C ; pero como el eje gira a la misma velocidad angular, ω B = ω C . TB = TC = T ; además, T = ( Flado −tenso − Flado − flojo ).rpolea

PB = PC *

Por lo tanto se tiene que: Finalmente, el torque es:

T = ( Flado −tenso − Flado − flojo ).rpolea = (300 − 50) x 4 = (360 − 27) x3 Puntos

B

y

C:

τ x = τ adm =

16T πd 3

⇒

⇒

T = 1000[lb − in]

d = 0.752[in]

________ * Claro, esto es así ya que no se consideran pérdidas de potencia debido a la fricción entre bandas y poleas. Ciertamente, esto no ocurre en los sistemas mecánicos reales en los cuales, efectivamente, se produce una pérdida de potencia, la misma que se manifiesta en forma de calor. Recuerde que, la energía no se crea ni se destruye, únicamente se trasforma.


111


ESPOCH


PROBLEMA 11 Para el sistema que se muestra en la figura, determínese el diámetro del eje*. Todas las dimensiones se encuentran en pulgadas.

Datos : F1 = 600lb S y = 71kpsi

θ = 20 º

SOLUCIÓN: Primero calcularemos las componentes rectangulares de las dos cargas aplicadas, Puesto que conocemos la magnitud de

Tenemos:

⇒

( F1 ) y = 563.816lb

( F1 ) z = F1 .senθ

⇒

( F1 ) z = 205.212lb

F2

y

F2 .

F1 , el cálculo de sus componentes resulta muy fácil.

( F1 ) y = F1 . cos θ

Para calcular las componentes de

F1

tomamos en cuenta que en el sistema se transmite la misma potencia.

Recordando el análisis de potencia que se realizó en el problema 9, tenemos:

T A = TC

→

( F1 ) y .rA = ( F2 ) z .rC (563.816 x12) = ( F2 ) z (5)

⇒

( F2 ) z = 1353.157lb

⇒

( F2 ) y = 492.509lb

Finalmente:

tan θ =

( F2 ) y ( F2 ) z

Ahora que ya conocemos los valores de las componentes de reacciones en los cojinetes según los planos PLANO

xy

y

F1

y

F2 ,

tenemos que encontrar los valores de las

xz .

xy 20

16

∑M

10

Oy

O

= 0:

492.509

A

C 563.816

By = 316.086lb ↑

B

O

563.816(20) + By (36) − 492.509(46) = 0

∑F

y

= 0:

−Oy + 563.816 + By − 492.509 = 0 Oy = 3187.393lb ↓

By

________ * De aquí en adelante sería conveniente que el estudiante consiga los problemas que han sido tomados como exámenes e intente resolverlos.


112


ESPOCH


DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR

Unidades : [lb ] PLANO

Unidades : [lb.in ]

xz 20

16

∑M

10

Oz

1353 .157

A

O

= 0:

205.212( 20) + Bz (36) − 1353.157(46) = 0 Bz = 1615.027 ↑ (−)

B

O

∑F

C 205 .212

z

= 0:

Oz − 205.212 − Bz + 1353.157 = 0 Oz = 467.082 ↓ (+ )

Bz


Unidades : [lb ]

Unidades : [lb.in ]

VALORES RESULTANTES DE MOMENTOS FLECTORES Punto

A

Punto

B

Plano( xy ) :

M A = 7747.860lb.in

Plano( xy ) :

M B = 4925.092lb.in

Plano( xz ) :

M A = 9341.640lb.in

Plano( xz ) :

M B = 13531.56lb.in

Momento resultante en el punto

M A = ( M A ) 2xy + ( M A ) 2xz Momento resultante en el punto

M B = ( M B ) 2xy + ( M B ) 2xz

A: →

M A = 7747.86 2 + 9341.64 2

⇒

M A = 12137lb.in

M B = 4925.092 2 + 13531.56 2

⇒

M B = 14400lb.in

B: →

DETERMINACIÓN DEL PUNTO CRÍTICO De la figura siguiente y recordando el análisis descrito en el problema 9,

O

A

B

B es el punto crítico:

C


113


ESPOCH


DISEÑO DEL EJE El Esfuerzo Equivalente de Von Misses es:

Recordando que:

Además,

M = MB

T = ( F1 ) y .(rA ) →

σ=

32 M πd 3

τ=

(σ eq )V .M = σ 2 + 3τ 2 16T πd 3

,

(σ eq )V .M =

tenemos:

Sy n

y sabemos que el torque está dado por:

T = (563.816 x12)lb.in

Tomando en cuenta lo mencionado en el problema 9,

⇒

T = 6765.792lb.in

n = 2.

Reemplazando valores en el Esfuerzo Equivalente de Von Misses, obtenemos: 2

2

2

2.15210 3562039728  32 x14400   16 x6765.792   71000  + 3 = → + = 1260250000       3 π .d 3 d6 d6  π .d     2  2.510 = 1260250000 ⇒ d = 1.645in d6 Evidentemente, el valor del diámetro

d


PROBLEMA 12 La figura es un dibujo esquemático de un contraeje que sostiene dos poleas para bandas en

V

. La tensión menor en

la banda (lado flojo) de la polea A es 15% de la tensión mayor (lado tirante). Por conveniencia se supone que cada par de tensiones de bandas o corea son paralelas. Determínese el diámetro del eje. Todas las dimensiones están en milímetros.

Datos : S y = 71kpsi

θ = 45º

SOLUCIÓN: Sabemos, de los problemas anteriores, que la potencia transmitida por ambas poleas es la misma. Un análisis más detallado demostró que, el torque que actúa en cada polea también es el mismo. Sin embargo, algo que no mencionó, y que es muy importante, es el hecho de que estos torques (vectores libres) tienen la misma magnitud, pero sus sentidos son diferentes; esto no quiere decir, sin embargo, que el torque resultante sea nulo*, de hecho, el efecto torsionante sólo tiene lugar en el tramo interno abarcado por las poleas.


114


ESPOCH


Ahora bien, el sentido de giro de una polea es el coincidente con la dirección del lado más tenso. Según esto último, es

B,

obvio que el sentido en el que gira la polea ubicada en el punto

según el plano

yz ,

es en el sentido de

movimiento de las agujas del reloj. Como el torque en la polea en

A

debe tener la misma magnitud pero sentido contrario (según el plano

yz )

al torque

B **, inmediatamente se concluye que en la polea A , el lado tenso es P1 .

P2 = 0.15P1

Empleando la condición dada en el enunciado del problema obtenemos: Con esta última relación, ahora ya es posible hallar los valores de CÁLCULO DE

P1

Y DE

T A = TB ,

y de

P2 .

P2 T = ( Flado −tenso − Flado − flojo ).rpolea

Recordando que el torque está dado por la ecuación:

y que,

P1

( P1 − P2 ).rA = (270 − 50).rB

podemos escribir:

Teniendo en cuenta los datos del gráfico y la relación entre

( P1 − 0.15 P1 )(125) = (270 − 50)(150) P2 = 0.15 P1

P1

y

⇒

P1 = 310.588 N

⇒

P2 = 46.588 N

Ahora tenemos que encontrar la componentes rectangulares de Por Trigonometría Elemental sabemos que

P2 , obtenemos:

senθ = cos θ

P1

cuando

y

P2 .

θ = 45º ; según esto tenemos:

( P1 ) y = ( P1 ) z = P1 .senθ

⇒

( P1 ) y = ( P1 ) z = 219.619 N

( P2 ) y = ( P2 ) z = P2 .senθ

⇒

( P2 ) y = ( P2 ) z = 32.943N

Al llevar las componentes al centro del eje, obtenemos:

Py = ( P1 ) y + ( P2 ) y

⇒

Py = 252.562 N

Pz = ( P1 ) z + ( P2 ) z

⇒

Pz = 252.562 N

Como antes, debemos calcular las reacciones en los distintos planos.

PLANO

xy 300

∑M

550

Oy

O

= 0:

Cy = 89.140 N ↓

Cy

A O

Py (300) − Cy (850) = 0

∑F

C Py

y

= 0:

−Oy + Py − Cy = 0 Oy = 163.422 N ↓

________ * Sería conveniente que el estudiante lea nuevamente el capítulo 2, sección 2.12.1 de este texto para recordar este tema. ** Esto tiene que ser así, caso contrario, si las dos poleas giran en el mismo sentido, ¿de qué torsión hablamos?, es decir, la torsión sería nula.


115


ESPOCH



Unidades : [ N ] PLANO

Unidades : [ N .m]

xz 300

400

Oz A

∑M

150 220

O

O

= 0:

Pz (300) − 220(700) + Cz (850) = 0 Cz = 92.037 N ↑ ( −)

C

∑F

B

z

Pz

= 0:

Oz − Pz + 220 − Cz = 0 Oz = 124.599 N ↓ (+ )

Cz


Unidades : [ N ]

Unidades : [ N .m]


A

Punto

B

Plano( xy ) :

M A = 49.027 N .m

Plano( xy ) :

M B = 13.371N .m

Plano( xz ) :

M A = 37.380 N .m

Plano( xz ) :

M B = 13.806 N .m


A:

M A = ( M A ) 2xy + ( M A ) 2xz Momento resultante en el punto

M B = ( M B ) 2xy + ( M B ) 2xz

→

M A = 49.027 2 + 37.380 2

⇒

M A = 61.652 N .m

→

M B = 13.3712 + 13.806 2

⇒

M B = 19.220 N .m

B:


O

A

B

A es el punto crítico:

C


116


ESPOCH


Note que los puntos críticos deben encontrarse dentro o cerca ce los límites donde se produce la torsión, es decir, dentro de, o en los puntos donde están montadas las poleas. DISEÑO DEL EJE El Esfuerzo Equivalente de Von Misses es:

σ=

Recordando que:

M = MA

Además,

32 M πd 3

τ=

(σ eq )V .M = σ 2 + 3τ 2 16T πd 3

,

(σ eq )V .M =

tenemos:

Sy n


T = ( Flado −tenso − Flado − flojo ).(rpolea ) →

T = (270 − 50)(0.150) N .m

⇒

T = 33 N .m

n = 2. MA y T .

Tomando en cuenta lo mencionado en el problema 9, se tomará Como

Sy

está en unidades inglesas, pasemos a este sistema

Entonces:

M A = 61.652 N .m = 545427.2094lb.in T = 33 N .m = 292.075lb.in


2

 32 x545427.2094   16 x 292   71000  =   + 3  3 3  π .d    π .d   2  3.0813 = 1260250000 ⇒ d = 5.38in d6 Nuevamente, el valor del diámetro

d

2

→

3.0813 6634789.941 + = 1260250000 d6 d6


PROBLEMA 13 La figura ilustra un contraeje sometido a cargas combinadas, debido a la acción de los dos engranes. La fuerza en el engrane helicoidal es FB = -(0.2625 FB) i + (FB)j –(0.3675 FB)k. El eje será de acero UNS G10500, tratado térmicamente y estirado a 900ºF. Hállese el diámetro del eje. (Dimensiones en milímetros).

DATO:

S y = 130 kpsi


117


ESPOCH


SOLUCIÓN: Finalmente, este es un problema en el cual se encuentran presentes la mayoría de los conceptos descritos en la solución de problemas anteriores. Sin embargo, y como a modo de pasos para la solución de este tipo de problemas, a continuación se resumen los más básicos de ellos. 1.

Sy ,

El dato

se obtiene de tablas donde se encuentran las aleaciones ferrosas (aceros) y no ferrosas

(aluminio, cobre, etc.) más utilizadas en ingeniería.

xy

xz .

2.

Se deben calcular las reacciones producidas por los cojinetes en los planos

3.

Con las reacciones obtenidas, se procede a la construcción de los diagramas de fuerza cortante y de momento flector, relativos, claro está, a cada uno de los plano antes mencionados. De estos diagramas se obtiene el valor del momento flector máximo resultante.

4.

y

El torque se produce sólo por las fuerzas tangenciales que actúan en cada una de las poleas; también, puesto que se supone un sistema ideal, se transmite la misma potencia, lo que da como resultado que

5.

Ti = T j .

Es importante recalcar que los torques, en los puntos donde están situadas las poleas (en este caso,

i

y

j)

tienen la misma magnitud, pero son de sentidos opuestos. 6.

Un punto situado dentro de aquellos lugares donde se han montado las poleas para generar la transmisión de potencia queda sometido automáticamente a esfuerzos por torsión. Fuerza de esos puntos, no tiene sentido esperar que se produzcan esfuerzos debido a torsión.

7.

Según esto último, un punto será crítico cuando se encuentre bajo solicitaciones combinadas; generalmente, un eje se encuentra sometido a esfuerzos debidos a flexión (normales) y a torsión (cortantes).

8.

Tomando en consideración la importancia del sistema frente a condiciones de alto riesgo (peligro de vidas) o simplemente de una aplicación muy común, se procede a elegir el valor del coeficiente de seguridad ( n ).

9.

Finalmente, se emplea el Esfuerzo Equivalente de Von Misses para determinar el valor más seguro del diámetro del eje de transmisión.

Ahora que ya sabemos todo lo que debemos hacer, entonces procedamos con la solución de este problema. CÁLCULO DE LAS REACCIONES Sabemos que el

TB = TD

y que

Pz = 5330 N , por lo tanto:

Fy (250) = Pz (150) Fy =

5330 x150 N 250

⇒

Fy = 3198 N

Fx = 0.2625 Fy

⇒

Fx = 839.475 N

Fz = 0.3675 Fy

⇒

Fz = 1175.265 N

Luego,

PLANO

xy 1370 0 .55

0 . 45

0 . 40

Ay

Cy

B C

A

0 .55

1370 0 .15

⇒

0 .45

1370

Ay

Cy

B

M

A

D

0 .40

Fy

Fy

1370

C

D

Adviértase que en el primero de estos diagramas de cargas, no se ha indicado la carga horizontal que actúa en el punto B , a saber, por supuesto).

Fx *, pero

en cambio, si se muestra la de magnitud

1370 N

(la que tiene dirección horizontal,


118


ESPOCH


Pasando la carga de

1370 N

(dirección horizontal) al centro del eje, obtenemos el segundo diagrama de cargas que

se muestra en la figura anterior, en donde se presenta un momento

M = 1370.rD

→

M = 1370 x0.15

M

, cuyo valor está dado por:

M = 205.5 N .m

⇒

Entonces:

∑M

A

= 0:

Fy (0.55) − Cy (1) − 1370(1.4) + M = 0 3198(0.55) − Cy (1) − 1370(1.4) + 205.5 = 0

∑F

y

= 0:

⇒

Cy = 46.4 N ↓

⇒

Ay = 1781.6 N ↓

− Ay + Fy − Cy − 1370 = 0 − Ay + 3198 − 46.4 − 1370 = 0

DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR Recordando lo expuesto en el capítulo 2, el momento construcción del diagrama de momento flector.

M

es negativo (s.c.r); esto último es muy importante para la

Unidades : [ N ] PLANO

Unidades : [ N .m]

xz

Por conveniencia, acomodando el sistema coordenado de modo que las cargas sean ahora positivas hacia arriba y negativas hacia abajo, tenemos:

1175 .265 1175 .265

839 .475

Cz

Cz

0.25

A

1370

D B

C

Az

⇒

0.45

C B 0.55

0.40

D

839 .475

1370

Az

5330 0.55

M

A

5330 0.45

0.40

839.475 N como la de 1370 N actuando ya en el centro del eje, producirán esfuerzos normales A , con un valor igual a su suma. No obstante, este último esfuerzo mencionado actuará con una fuerza de 1370 N en las proximidades derechas del punto B y en todos los puntos hasta llegar a D .

Tanto la carga de

de compresión en el punto

Los efectos que las fuerzas horizontales (axiales) causan en el eje serán discutidos en el capítulo 10, en el tema referente a Rodamientos. Entonces, pasando la carga de

839.745 N

(dirección horizontal) al centro del eje, obtenemos en el segundo

diagrama de cargas de la figura anterior, un momento

M = 839.745.rB

→

M

, cuya magnitud está dada por:

M = 839.745 x0.25

⇒

M = 209.936 N .m

________ * En el plano xz se considerarán todas las cargas y se describirá algo muy importante.


119


ESPOCH


Entonces:

∑M

A

= 0:

−1175.265(0.55) − Cz (1) + 5330(1.4) + M = 0 −646.396 − Cz + 7462 + 205.5 = 0

∑F

z

= 0:

⇒

Cz = 7025.540 N ↓

⇒

Az = 2870.805 N ↑

Az − 1175.265 − Cz + 5330 = 0 Az − 1175.265 − 7025.540 + 5330 = 0

DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR De manera similar al plano

xy

el momento

M

es negativo.

Unidades : [ N ]

Unidades : [ N .m]


B

Punto

C

Plano( xy ) :

M B = 979.8800 N .m

Plano( xy ) :

M C = 342.5 N .m

Plano( xz ) :

M B = 1578.943 N .m

Plano( xz ) :

M C = 2132 N .m


M B = ( M B ) 2xy + ( M B ) 2xz

B: →


C:

M C = ( M C ) 2xy + ( M C ) 2xz

→

M B = 979.9 2 + 1579 2

⇒

M C = 342.5 2 + 2132 2

⇒

M B = 1858.286 N .m

M C = 2159.336 N .m


A

B

C

C es el punto crítico:

D

Note que el punto crítico está dentro de los límites donde se produce la torsión, es decir, dentro de los puntos donde están montadas las poleas.


120


ESPOCH


DISEÑO DEL EJE El Esfuerzo Equivalente de Von Misses es:

σ=

Recordando que:

Además,

M = MC

T = Fy .rB

32 M πd 3

τ=

(σ eq )V .M = σ 2 + 3τ 2 16T πd 3

,

tenemos:

(σ eq )V .M =

Sy n


→

T = 3198 x0.25

T = 799.5 N .m

⇒

n = 2. MC y T .

Tomando en cuenta lo mencionado en el problema 9, se tomará Como

Sy

Entonces:

está en unidades inglesas, pasemos a este sistema

M C = 2159.336 N .m = 19111.734lb.in T = 799.5 N .m = 7076.172lb.in


2

 32 x19111.734   16 x7076.172   130000    + 3  =  3 3 π .d π .d      2  3.810 3896352462 + = 4225000000 d6 d6 3.810 = 4225000000 ⇒ d = 1.445in d6 Como antes, el valor del diámetro

d

2



121


ESPOCH


PROBLEMAS PROPUESTOS TEORÍAS DE FALLA EN MATERIALES DÚCTILES PROBLEMA 14 Supóngase que se usa un latón amarillo duro UNS C27000 para una varilla. Calcúlense los factores de seguridad según cada una de las tres teorías de falla estática correspondiente a los siguientes estados de esfuerzo (valores en Mpa).

a) σ x = 70 , σ y = 30

y

b) σ x = 70 , σ y = 0

τ xy = 30

y

τ xy = 0

c) σ x = −10 , σ y = −60 d) σ x = 50 , σ y = 20

y

y

(s.r)

τ xy = 30

τ xy = 40

(s.c.r)

(s.r)

PROBLEMA 15 Un elemento de máquina se carga de manera que

σ 1 = 20kpsi , σ 2 = 0

resistencia de fluencia mínima en tensión y compresión de

y

σ 3 = −15kpsi ; el material tiene una

60kpsi . Determínese el factor de seguridad para cada una

de las siguientes teorías de falla: a) b) c)

Teoría del Esfuerzo Normal Máximo (T.E.N.M) Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo (T.E.C.M) Teoría del la Energía de Distorsión (T.E.D)

PROBLEMA 16 Una pieza de máquina se carga estáticamente y tiene una resistencia de fluencia de 350 Mpa. Para cada estado de esfuerzo que se indica, evalúe el factor de seguridad mediante cada una de las tres teorías para falla estática. Los valores de los estados están dados en Mpa.

a) b) c) d)

σA σA σA σA

= 70 , σ B = 70 = 70 , σ B = 35 = 70 , σ B = −70 = −70 , σ B = 0

PROBLEMA 17 Determínense las dimensiones del resorte o muelle de acero de sección rectangular y en voladizo que se muestra en la figura. (Indicación: asuma el material, el coeficiente de seguridad y la relación entre las dimensiones).

Datos : F = 500lb L = 40in F

Im agine : h

T = 1300lb.in

40in b


122


ESPOCH


PROBLEMA 18 Una fuerza aplicada en

D , cerca del extremo de una palanca de sección tubular de 15 in de longitud, como se ilustra,

ocasiona determinados esfuerzos en la barra en voladizo OABC . Para una carga F = 500lb , determínense las dimensiones más seguras para la barra. (Indicación: asúmase el tipo de material y el coeficiente de seguridad).

Datos : L1 = 15in L2 = 14in

PROBLEMA 19 Para el elemento de sección circular que se encuentra sometido al efecto de las solicitaciones que se muestran, determine el diámetro más seguro. (Indicación: asuma el material y el coeficiente de seguridad)

y

Datos :

L3

x

D

z

C

L2 = 15in

L1

L3 = 10in

A Fz

Fy = 200lb Fz = 300lb L1 = 5in

L2

B

Fx = 100lb

Fx Fy

PROBLEMA 20 Lo mismo que el problema anterior, pero ahora con un elemento cuya sección es tubular.


123


ESPOCH


TEORÍAS DE FALLA EN MATERIALES FRÁGILES

PROBLEMA 21 Empléense valores típicos de las resistencias de hierro colado ASTM No. 40 y hállense los factores de seguridad, correspondientes a ruptura, por la Teoría de Esfuerzo Normal Máximo (T.E.N.M), la del Esfuerzo Cortante Máximo (T.E.C.M), la de Coulomb-Mohr (T.C.M) y la de Mohr modificada (T.M.m), respectivamente, para cada uno de los siguientes estados de esfuerzo (valores en kpsi):

a) σ x = 10 , σ y = −4

y

b) σ x = 10 , σ y = 0

τ xy = 4

y

c) σ x = −2 , σ y = −8

τ xy = 0 τ xy = 4

y

d) σ x = 10 , σ y = −30

(s.r)

y

(s.c.r)

τ xy = 10

(s.r)

PROBLEMA 22 Empléense valores típicos de las resistencias de hierro colado ASTM No. 40 y hállense los factores de seguridad, correspondientes a ruptura, por la Teoría de Esfuerzo Normal Máximo (T.E.N.M), la del Esfuerzo Cortante Máximo (T.E.C.M), la de Coulomb-Mohr (T.C.M) y la de Mohr modificada (T.M.m), respectivamente, para cada uno de los siguientes estados de esfuerzo (valores en kpsi):

a) σ x = −15 , σ y = 3

y

b) σ x = −18 , σ y = 10

τ xy = 5 y

(s.r)

τ xy = 5

(s.r)

c) σ x = 12 , σ y = 6

y

τ xy = 3

(s.c.r)

d) σ x = 8 , σ y = 10

y

τ xy = 4

(s.c.r)

EJES DE TRANSMISIÓN

PROBLEMA 23 La figura representa un eje con dos poleas y dos cojinetes (no ilustrados) en A y en B . En cada polea se indica la dirección de las tensiones de las bandas. El sistema de coordenadas se puede identificar por los subíndices de los vectores de las reacciones en los apoyos. Hállese el diámetro seguro del eje, considerando que el esfuerzo normal admisible es de 24 kpsi y el esfuerzo cortante permisible es de 12 kpsi. Dimensiones en pulgadas.

Datos : d B = 6in d C = 10in

θ = 30º


124


ESPOCH


PROBLEMA 24 El contraeje que se muestra en la figura tiene dos engranes rectos montados en él, y cuyos ángulos se formaron con un ángulo de presión de 20º. Una barra de acero UNS G10150 estirado en frío y con un diámetro uniforme ha de emplearse para el eje. Obténgase un diámetro de seguridad para el eje utilizando un factor de seguridad de 2.5. Dimensiones en milímetros.

PROBLEMA 25 La figura es un dibujo esquemático de un subensamble de eje, engrane y cojinete, que es parte de un reductor de velocidad con engranes helicoidales. Una fuerza FB = (-1700i +6400j -2300k) lb se aplica al engrane B como se ilustra. El materia es acero UNS G43400, tratado térmicamente y revenido a 1000ºF. Obténgase un diámetro d e seguridad para el eje. Dimensiones en pulgadas. (Indicación: asúmase el factor de seguridad).

Datos : d A = 12in d B = 24in d C = 12in


125


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CAPÍTULO 6 DISEÑO POR RESISTENCIA A LA FATIGA 6.1 INTRODUCCIÓN La mayoría de las fallas de los elementos de máquinas implica condiciones de carga que fluctúan con el tiempo. Sin embargo, las condiciones de carga estática que se analizaron en el capítulo anterior son importantes, pues proporcionan la base para la comprensión de este capítulo. Aquí se enfatiza la comprensión y prevención de la falla de un componente bajo carga cíclica y de impacto. En lugar de considerar una variación general de la carga con el tiempo (carga fluctuante), sólo se consideran las cargas cíclicas o una secuencia de carga que se repite. Las cargas fluctuantes inducen esfuerzos de fluctuación (cíclicos), que con frecuencia resultan en la falla por daño acumulativo. En muchos casos hay que analizar elementos de máquina que han fallado bajo la acción de esfuerzos repetidos o fluctuantes y, sin embargo, después de un cuidadoso análisis se descubre que los esfuerzos máximos reales fueron inferiores a la resistencia última del material y, muchas veces, aún menores que la resistencia de fluencia. La característica más notable de estas fallas ha sido que los esfuerzos se repitieron muchas veces. Por lo tanto, la falla se denomina falla por fatiga. Las fallas por fatiga comienzan con un apequeña grieta, y ésta es tan diminuta que no se puede percibir a simple vista y es bastante difícil localizarla por inspección con Magnaflux o con rayos X. la grieta s e desarrollará en un punto de discontinuidad en el material, tal como un cambio en la sección transversal, un chivetero o un orificio. Hay otros puntos menos obvios donde es probable que se inicien fallas por fatiga, como las marcas de inspección o de otra clase, grietas internas o irregularidades causadas por el maquinado. Una vez que se forma una grieta, el efecto de concentración del esfuerzo se hace mayor y se extiende más rápidamente. Como el área esforzada disminuye en tamaño, el esfuerzo aumenta en magnitud hasta que, finalmente, el área restante falla de repente. En consecuencia, las fallas por fatiga se caracterizan por dos áreas distintas. La primera se debe al desarrollo progresivo de la grieta, en tanto que la segunda se origina en la ruptura repentina. La zona tiene un aspecto muy parecido al de la fractura de un material frágil como el hierro colado, que ha fallado por tensión. Cuando las piezas de máquina fallan estáticamente, por lo general sufren una deformación muy grande debido a que el esfuerzo excedió a la resistencia de fluencia. Entonces debe reemplazarse antes de que ocurra la ruptura. Por tanto, muchas fallas estáticas son visibles y se detectan anticipadamente, pero una por fatiga no da señal alguna: es repentina y total y, por lo tanto, peligrosa. El diseño contra fallas estáticas es relativamente sencillo, pues los conocimientos actuales sobre el asunto son bastante completos. Pero la fatiga es un fenómeno mucho más complicado, sólo explicado parcialmente, y si el ingeniero pretende ascender hasta la cima de su profesión debe adquirir tanto conocimiento de la materia como sea posible. Cualquiera que no sepa lo suficiente sobre fallas por fatiga puede duplicar o triplicar los factores de seguridad y, así, crear un diseño que no fallará. Pero tales diseños no serán competitivos en el mercado actual ni los ingenieros que los hayan realizado (¿por qué?). Para entender mejor las fallas debidas a esfuerzos fluctuantes, considere la fluencia que se causa por la flexión hacia delante y hacia atrás en un sujetador de papel. La flexión resulta en esfuerzos de tensión y de compresión en lados opuestos del sujetador de papel, y estos esfuerzos se invierten cuando la dirección de la flexión cambia. De esta forma, el esfuerzo en cualquier punto alrededor del alambre del sujetador de papel variará como una función del tiempo. La flexión del sujetador eventualmente agotará la ductilidad del material, lo que produce una falla. Los esfuerzos y las deformaciones debidas a cargas de impacto son mucho mayores que los causados por una carga estática. Por esta razón, los efectos de las cargas dinámicas tienen importancia. Las propiedades físicas de un material son una función de la velocidad de carga. Afortunadamente, entre más rápida sea la aplicación de una carga, mayores serán las resistencias a la fluencia y a la rotura. Algunos ejemplos en los cuales la carga de impacto se debe tener en cuenta son los choques de automóviles, el goleo de un clavo con un martillo y la rotura del concreto con un martillo neumático.

6.2 FATIGA La construcción de caminos y los trabajos de mejoradito que detienen el tráfico de vez en cuando hacen que los colapsos en obras de Ingeniería Civil, como los puentes, resulten verdaderamente raros. Pero las fallas por fatiga, como las conocemos en la actualidad, no son completamente extrañas. La fatiga constituye la causa individual más grande de falla en los metales, la cual se estima que es el 90% de todas las fallas metálica. Las fallas por fatiga, especialmente en las estructuras, resultan catastróficas o insidiosas, y ocurren repentinamente, a menudo sin advertencia. Por esta razón los ingenieros deben tener en cuenta el efecto de la fatiga en sus diseños. La fatiga se aplica a escalas microscópica y macroscópica. Es decir, aunque la falla por resquebrajamiento de la superficie de un cojinete de elementos rodante y la fragmentación de un barco en dos resulten dos eventos muy diferentes, tanto el cojinete como el barco han fallado debido a la fatiga.


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DISEÑO POR RESISTENCIA A LA FATIGA

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La falla por fatiga tiene una apariencia quebradiza aún en metales dúctiles y se nota muy poco si se asocia con una deformación plástica alta. La fatiga es un fenómeno complejo. Esencialmente, consiste en la propagación de grietas en una microescala al principio y, luego, muy rápida a medida que las grietas por fatiga alcanzan una longitud crítica. La fatiga representa una preocupación en cualquier lugar en el que estén presentes los esfuerzos cíclicos. Los investigadores han encontrado que las grietas por fatiga por lo general comienzan en la superficie y se propagan por el volumen de un componente, a menos que existan grandes defectos bajo la superficie o concentradores de esfuerzos en el sustrato. Las grietas por fatiga comienzan en varios sitios simultáneamente y se propagan cuando un defecto domina y crece más rápidamente que los otros.

6.3 RESISTENCIA A LA FATIGA 6.3.1 EXPERIMENTOS DE VIGA ROTATORIA Como la fatiga es básicamente un fenómeno de acumulación de daños, los defectos iniciales tienen un gran efecto tienen en el rendimiento. Ningún proceso de manufactura produce partes libres de defectos; por ello, las artes no existen sin miles e incluso millones de defectos por pulgada cúbica. De esta manera son muy difíciles los enfoque analíticos que derivan las resistencias a la fatiga por medio de principios básicos, y la mayoría del conocimiento acerca de la fatiga del material se basa en la experimentación. Para determinar las resistencias de materiales bajo la acción de cargas de fatiga, las probetas se someten a fuerzas repetidas o variables de magnitudes especificadas y, así, se cuentan los ciclos o alternaciones de esfuerzos que soporta el material hasta la falla o ruptura. El dispositivo para ensayos de fatiga más usado es la máquina de viga rotatoria de delata velocidad de R.R. Moore. Ésta somete a la probeta a flexión pura (no a cortante transversal) por medio de pesos.

6.3.2 DIAGRAMA S-N Esta gráfica* puede trazarse en papel semilog o log-log. En el caso de materiales férreos y sus aleaciones ésta se vuelve horizontal después de que el material ha sido esforzado durante un cierto número de ciclos. El empleo de papel logarítmico destaca el recodo o ángulo de la curva, que no se manifestaría si los resultados de experimentación se graficaran en un sistema de coordenadas cartesianas. Las ordenadas del diagrama S-N son las resistencias a la fatiga

Sf

. Al expresar este tipo de resistencias también

debe indicarse el número de ciclos N que corresponde. En el caso de los caeros se presenta el quiebre mostrado en la figura, y más allá de ese punto no ocurrirá falla, cualquiera que sea el número de ciclos. La resistencia correspondiente al quiebre se denomina límite de resistencia a la fatiga ( Se ) o simplemente, límite de fatiga. La gráfica de la figura anterior nunca llega a ser horizontal en el caso de metales no ferrosos y sus aleaciones y, por tanto, no tienen límite de resistencia a la fatiga. El conjunto de conocimientos disponibles acerca de la falla por fatiga desde N=0.5 hasta N=1000 ciclos generalmente se clasifica como fatiga de bajo cilclaje. La fatiga de alto ciclaje es la falla correspondiente a los ciclos de esfuerzo con frecuencia mayor que 103 ciclos. En la figura también se distingue entre una región de duración finita y una región de duración infinita. El límite entre tales regiones no puede definirse con claridad, excepto en el caso de un material específico: pero se localiza entre 106 y 107 ciclos para los aceros, como se ilustra en la misma figura. La curva de este diagrama se puede obtener mediante la ecuación

 (0.9Sut ) 2  1  0.9Sut  log Sf = − log log N + log    ' 3  Se '   Se  donde:

Sf

= resistencia a la fatiga del elemento real (vida finita)

Se ' = límite de fatiga de la probeta de ensayo Sut = resistencia última a la tensión (propiedad del material) N = número de ciclos

________________ * Si desea mayor información sobre ésta gráfica véase: EL DIAGRAMA S-N en el texto “Diseño en Ingeniería Mecánica” de J. E. Shigley y L.D. Mitchell.


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Los límites a la fatiga del esfuerzo del acero en tres tipos de carga se pueden calcular como:

Se'= 0.5Sut Se' = 0.45Sut

Se' = 0.29 Sut Si se trata de torsión pura o de corte solamente:

flexión axial torsión y corte

S Se ' = 0.577 Se'

Puesto que el esfuerzo de rotura y el tipo de carga se conocen en varios materiales, sus límites a la fatiga se pueden calcular.

*6.4 REGÍMENES DE FATIGA En el diagrama S-N se indican diferentes tipos de comportamiento, en la medida en que el número de ciclos a la falla se incrementa. Los dos regímenes básicos son fatiga de bajo ciclaje (generalmente menor de 103 ciclos de esfuerzo) y fatiga de alto ciclaje (más de 103 pero menos de 106 ciclos de esfuerzo). La pendiente de la línea es mucho menor en la fatiga de bajo ciclaje que en la de alto ciclaje.

*6.4.1 FATIGA DE BAJO CICLAJE La fatiga de bajo ciclaje es cualquier carga que causa la falla debajo de 103 ciclos. Este tipo de carga es común. Una variedad de dispositivos, como las cerraduras de las guanteras en los automóviles, los pernos en las llantas d los camiones y los tornillos de ajuste que fijan los sitios de los engranes en los ejes, tienen ciclos menores de 103 veces durante sus vidas útiles. Sobrepasar 1000 ciclos significa que estos dispositivos durarán tanto como se pensó. Para componentes en el rango de bajo ciclaje los diseñadores ignoran los efectos de la fatiga por completo o reducen el nivel del esfuerzo permisible. Ignorar la fatiga parece un enfoque poco adecuado. Sin embargo, la poción de bajo ciclaje de la curva que se muestra en la figura tiene una pendiente pequeña (es decir, la resistencia a 1000 ciclos no se ha reducido considerablemente). Además, el punto de intersección de la y de la curva es la resistencia a la rotura, no la resistencia a la fluencia. Puesto que en el diseño estático a menudo se usa la resistencia a la fluencia y no la resistencia a la rotura en la definición de los esfuerzos permisibles, los enfoques estáticos son aceptables para diseñar componentes de bajo ciclaje. De hecho, el factor de seguridad compensa la inseguridad en la resistencia del material debida a la carga cíclica.

*6.4.2 FATIGA DE ALTO CICLAJE DE DURACIÓN FINITA En muchas aplicaciones el número de ciclos de esfuerzo que se aplica sobre un componente durante su vida útil se sitúa entre 103 y 107. Algunos ejemplos son las bisagras de las puertas de automóviles, los paneles de aeronaves y los bates de aluminio para el softball. Como la resistencia baja rápidamente en este rango, un enfoque que no toma en cuanta esta baja es inherentemente defectuoso.

*6.4.3 FATIGA DE ALTO CICLAJE DE DURACIÓN INFINITA Diversa aplicaciones demandan una vida infinita, que se define para los aceros como el número de ciclos arriba del cual se determina un límite a la fatiga, usualmente 106 ciclos. Si un material no tiene un límite de fatiga, no se puede diseñar para una vida infinita. Así, las aleaciones de aluminio, por ejemplo, siempre se diseñarán para una vida finita. Sin embargo, en aleaciones ferrosas y de titanio se sigue un enfoque de diseño de vida infinita. Básicamente, el diseñador determina un límite a la fatiga y usa esa resistencia como el esfuerzo permisible. Después, siguen el tamaño y la selección de componentes, al igual que un diseño estático. Este enfoque resulta a veces muy complejo.

6.5 FACTORES QUE MODIFICAN EL LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA Se ha expresado que toda probeta para ensayo en una máquina de viga rotatoria, utilizada para determinar límites de resistencia a la fatiga, se elabora con mucho cuidado y es ensayada en condiciones controladas en forma precisa. No es realista esperar que el límite de fatiga de un elemento mecánico o estructural resulte igual a uno de los valores obtenidos en el laboratorio.


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Joseph Marin ha propuesto algunos factores que modifican el límite de fatiga en la ecuación siguiente:

S e = k a k b k c k d k g k e S e' donde:

Se Se

= límite de fatiga del elemento mecánico '

= límite de resistencia a la fatiga de la probeta

k a = factor de acabado superficial

kb kc kd

= factor de tamaño = factor de confiabilidad = factor de temperatura

k e = factor de concentración de esfuerzos

k g = factor debido a varios efectos 6.5.1 FACTOR DE ACABADO SUPERFICIAL ( k a ) La superficie de la probeta de la viga rotatoria está perfectamente pulida y recibe un pulimento final en dirección axial para eliminar cualesquiera rayaduras circunferenciales. Obviamente, la mayor de los elementos de máquina no tienen esta alta calidad de acabado. Este factor de corrección se puede obtener mediante la ecuación:

k a = a ( S ut ) b

donde a y b son coeficientes adimensionales que dependen del tipo de material (véase ANEXOS)

6.5.2 FACTOR DE TAMAÑO ( k b ) La prueba de la viga rotatoria redonda da el límite de fatiga para una probeta generalmente de 0.3 pulg. de diámetro. En unidades SI se utilizan comúnmente 7.5, 10 o 12.5 mm. Desafortunadamente, el ensayo de probetas grandes con distintas formas y dimensiones es muy costoso pues requiere de un equipo de laboratorio muy caro. Por esta razón, sólo se dispone de un número limitado de datos.

6.5.2.1 Flexión y Torsión Kuguel ha propuesto una teoría basada en que toda falla está relacionada con la probabilidad de la interacción de un esfuerzo intenso con un desperfecto crítico en un cierto volumen. En base a un estudio estadístico intenso sobre ésta teoría, este factor puede obtenerse mediante las ecuaciones siguientes

k b = 0.869d −0.097

para

0.3 pu lg < d ≤ 10 pu lg

kb = 1

para

d ≤ 0.3 pu lg

kb = 1.189d

−0.097

para

o bien d ≤ 8mm

8mm < d ≤ 250mm

Uno de los problemas que surgen al usar estas ecuaciones, es qué hacer cuando se utiliza una sección no circular. Lo que generalmente se hace es calcular el área de ésta sección no circular e igualarla con el área de una sección circular. De esta manera se determina el valor de un diámetro equivalente, el mismo que se procede a reemplazar en las ecuaciones anteriores. Sin embargo, resulta que en los problemas, el valor de “d” de las ecuaciones anteriores es desconocido, por lo que se recomienda utilizar un valor para K b = 0.79

6.5.2.2 Carga Axial Cuando se presenta sólo el caso de que el elemento está sujeto a este tipo de carga, se tomará un valor entre 0.60 a 0.71 (una media sería lo más adecuado).

6.6 FACTOR DE CONFIABILIDAD ( k c ) El valor de este factor se encuentra en tablas, sin embargo, en la mayoría de la solución de los problemas de carga dinámica (fatiga), siempre se utiliza el valor de 0.987 para una confiabilidad del 90%.


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6.7 FACTOR DE TEMPERATURA ( k d ) Y FACTOR DEBIDO A EFECTOS DIVERSOS ( k g ) De manera general, estos factores en la ecuación de Marin tienen el valor de uno, ya que se asume que no tienen influencia significativa en el límite de fatiga del elemento mecánico o estructural.

6.8 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS ( k e ) Un gran número de elementos mecánicos tienen agujeros, ranuras, muescas u otras clases de discontinuidades que alteran la distribución del esfuerzo, como se describió anteriormente. La concentración de esfuerzo sí tiene que considerarse cuando las partes han de hacerse de materiales frágiles o cuando estarán sometidas a cargas de fatiga. El valor de este factor está dado por la ecuación:

kf

k e = ( k f ) −1

generalmente se denomina factor de concentración de esfuerzo en el caso de fatiga, aunque también se utiliza

para materiales frágiles bajo cargas estáticas. Este último factor viene definido mediante la ecuación:

k f = 1 + q ( k t − 1)

donde:

q

= sensibilidad a muescas (va de 0 a 1; véase ANEXOS)

k t = factor por configuración geométrica del elemento (va de 0 a 3; véase ANEXOS) Si

q = 0, kt = 1 , entonces el material no tendrá sensibilidad a las ranuras.

Si

q = 1, kt = 0 , entonces el material será completamente sensible a las ranuras.

Ahora bien, en la solución de problemas de diseño, pueda ser que la determinación de cualquiera de los dos parámetros que se necesitan para obtener el valor de k e , sea difícil o más aún imposible de hacerlo, en tales casos, se recomienda asumir el valor máximo para cada uno de estos dos parámetros. Sin embargo, si la configuración geométrica del elemento no existe totalmente en las gráficas, pero existe alguna similar, se toma los valores de ésta figura semejante ya que “es preferible tener algo aproximado a no tener nada”.

6.9 LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA DE LA PROBETA ( Se ' ) Anteriormente se definieron los valores que puede tomar este factor en la ecuación de Marin, tanto para carga de flexión, para carga axial, para carga de torsión y para carga cortante. Pero, ¿cuál de todos estos valores se toma para aplicar la ecuación de Marin? Pues bien, el valor que toma este factor será: 1. 2. 3. 4.

El valor dado para la flexión, cuando sólo existe ésta carga o todas las cargas conocidas. El valor dado para carga axial, cuando existe sólo ésta carga o todas las cargas conocidas (excepto la flexión). El valor dado para la torsión, cuando existe sólo ésta carga o todas las cargas conocidas (excepto las dos anteriores). El valor dado para cortante, cuando existe sólo ésta carga.

Siempre debe tenerse en cuenta este orden. De hecho, hay que mencionar que en la mayoría de problemas de diseño, siempre existe la presencia de esfuerzos debido a la flexión, por lo que el valor de

S e'

siempre estará dado por lo mencionado en el numeral 1.


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6.10 ESFUERZOS FLUCTUANTES En muchos casos necesita determinarse la resistencia de piezas, correspondiente a estados de esfuerzos diferentes de los casos en que hay inversión completa sucesiva.

Los valores de estos esfuerzos se pueden obtener a partir de las ecuaciones siguientes:

σa = donde:

σ máx − σ mín

y

2

σm =

σ máx + σ mín 2

σ a = esfuerzo de amplitud σ m = esfuerzo medio σ máx = esfuerzo máximo σ mín = esfuerzo mínimo

Puesto que generalmente un elemento de máquina está sometido a esfuerzos combinados, es muy común utilizar los esfuerzos equivalentes mencionados en el capítulo anterior. Estos esfuerzos equivalentes están dados del modo siguiente:

Esfuerzo equivalente de Tresca:

σ ( eq−T ) a = (σ x ) 2a + 4(τ xy ) 2a

y

σ ( eq −T ) m = (σ x ) 2m + 4(τ xy ) 2m

y

σ ( eq −VM ) m = (σ x ) 2m + 3(τ xy ) 2m

Esfuerzo equivalente de Von Mises:

σ ( eq −VM ) a = (σ x ) 2a + 3(τ xy ) 2a donde, para los dos tipos de esfuerzos equivalentes:

(σ x ) a = (σ flexión + σ axial ) a (τ xy ) a = (τ torsión + τ corte ) a

y

(σ x ) m = (σ flexión + σ axial ) m

(τ xy ) m = (τ torsión + τ corte ) m

y

6.11 CRITERIO DE DISEÑO Una vez que se han determinado estos esfuerzos, para el diseño de un elemento sujeto a fatiga, se utilizará la ecuación siguiente:

Ecuación de Goodman

(σ eq ) a Se

+

(σ eq ) m S ut

=

1 n

donde:

S e = límite de fatiga del elemento mecánico

S ut = resistencia última de tensión (propiedad del material) n = coeficiente de seguridad


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*6.12 MÉTODO DE MAYORACIÓN Ahora bien, cuando un componente mecánico se encuentra bajo el efecto de todas las solicitaciones que conocemos, para determinar el valor del factor ( k e ), ¿en función de cuál solicitación lo hacemos? Pues bien, en la ecuación de Marin este factor lo hacemos igual a la unidad, pero la ecuación de Goodman también debe ser modificada*:

k f (σ eq ) a

+

Se En ésta,

k f = 1 + q(k t − 1)

(σ eq ) m S ut

=

1 n

como antes, y puesto que en la mayoría de los casos siempre existirá flexión, este valor

corresponde a la acción de este tipo de esfuerzo (se debe tener en cuenta lo mencionado anteriormente en relación a

q

ya

kt ).

*6.13 RESISTENCIA A LA FATIGA EN TORSIÓN Cuando el caso sea de un elemento mecánico sujeto solamente a este tipo de carga (esfuerzo), se deberá tener en cuanta que para su diseño, se deberán emplear las ecuaciones siguientes:

τa =

S Se n

τa +τm =

y

S Sy n

De éstas dos ecuaciones, aquella que nos proporcione el menor coeficiente de seguridad, será la más adecuada para el diseño del elemento, además de indicarnos en qué tramo del grafico siguiente se encuentra.

Durante el proceso de análisis y diseño de un componente de máquina, a veces resulta necesario imponernos el valor del coeficiente de seguridad. El valor de este coeficiente generalmente se encuentra entre 1.4 y 2.5. Un valor aceptable es de 1.5 a 2. Ahora, cuando se trata de encontrar este factor de seguridad (obviamente las dimensiones del elemento ya están dadas), este valor puede ser cualesquiera.

_________________ * Véase: LÍNEA DE GOODMAN en el libro “Elementos de Máquinas” de B. Hamrock, Bo O. Jacobson y S. R. Schmid, para una descripción algo más detallada.


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DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS ( IVAN MORAN)

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