Capítulo 1
Comportamiento Interno
Antes de comenzar con el diseño de una viga tipo joist es importante conocer la forma en que se comporta tanto externa como internamente. Se debe conocer cuáles son aquellos miembros que están trabajando en tensión y los que lo están haciendo en compresión. Es fundamental comprender los diagramas de cortante y momento y saber identificar aquellos puntos críticos para el diseño. En la figura que se presenta a continuación (figura 1.1) podemos observar los diagramas de cortante y momento que corresponden a una viga tipo joist.
Figura 1.1 Del diagrama de cortante se puede observar que a medida nos acercamos al centro del claro, la fuerza cortante disminuye. De tal forma, los miembros diagonales ubicados cerca del centro trabajan en menor porcentaje si se les compara con aquellos ubicados más cerca de los extremos. Este análisis es útil cuando se busca economía en el diseño. Del diagrama de momento flector se puede observar que el momento es cero en los extremos y aumenta de manera gradual hasta alcanzar su valor máximo en el centro del claro. Este diagrama es importante para el análisis de deformaciones y nos permite ver que la deformación máxima que se espera en este tipo de vigas es en L/2.
1
Para conocer el comportamiento de cada uno de los l os elementos que comprende esta viga es importante saber qué fuerzas inicialmente hacen trabajar cada uno de ellos. Comenzaremos explicando este comportamiento haciendo uso del esquema que se se detalla en la figura 1.2
Figura 1.2 Cada una de las vigas tiene un área tributaria de la que toma una parte de las cargas de servicio y carga muerta. Haciendo previamente una u na trasformación de cargas que se explicara con mayor detalle posteriormente en este manual, podemos conocer la carga distribuida que soporta cada una de las vigas. Con la información de la carga distribuida podemos realizar un equilibrio estático para determinar determin ar las reacciones en cada uno de los apoyos que sería (wl/2), con esta reacción hacemos equilibrio estático en el nodo “a” y mediante nos damos cuenta que el primer miembro diagonal se encuentra en tensión.
∑
∑ =0 −=0 2 = () ∑ =0 −=0 = ()
Figura 1.3 Luego, analizando el
nodo “b” mediante equilibrio
estático, obtenemos lo siguiente: 2
Para conocer el comportamiento de cada uno de los l os elementos que comprende esta viga es importante saber qué fuerzas inicialmente hacen trabajar cada uno de ellos. Comenzaremos explicando este comportamiento haciendo uso del esquema que se se detalla en la figura 1.2
Figura 1.2 Cada una de las vigas tiene un área tributaria de la que toma una parte de las cargas de servicio y carga muerta. Haciendo previamente una u na trasformación de cargas que se explicara con mayor detalle posteriormente en este manual, podemos conocer la carga distribuida que soporta cada una de las vigas. Con la información de la carga distribuida podemos realizar un equilibrio estático para determinar determin ar las reacciones en cada uno de los apoyos que sería (wl/2), con esta reacción hacemos equilibrio estático en el nodo “a” y mediante nos damos cuenta que el primer miembro diagonal se encuentra en tensión.
∑
∑ =0 −=0 2 = () ∑ =0 −=0 = ()
Figura 1.3 Luego, analizando el
nodo “b” mediante equilibrio
estático, obtenemos lo siguiente: 2
∑ =0 −−+=0 =+ () =0 −=0 = ( ( )) Figura 1.4
Al resolver los demás nodos de manera idéntica, nos podemos dar cuent a que los miembros internos estarán actuando de manera alterna, comenzando en tensión. Ahora analizaremos las fuerzas internas en las cuerdas. Comenzaremos analizando el esfuerzo flector presente en la viga: M=
²
Si aplicamos este momento a una de las cuerdas, se genera un par de fuerzas con un brazo de palanca que equivale al peralte de la viga. De tal manera que la fuerza interna F está dada por:
Dónde:
= = ² 8
P = Peralte de la viga M= Momento flector F= Fuerza interna
Capítulo 2
Diseño 3
El diseño de vigas tipo joist se puede realizar ya sea a través de la metodología ASD, así como a través de la metodología LRFD. Cualquiera que sea el caso, el proceso de diseño se hará respetando un análisis por esfuerzo y otro por deformación. Este proceso comprende una serie de pasos que a continuación se detallan: 1. El primer paso para el diseño de este tipo de vigas consiste en el cálculo de la carga que se distribuye a lo largo de la viga. Dicha carga incluye la carga muerta de los materiales colocados sobre esta y que forman parte integral de la misma, el peso propio de la estructura tipo Joist y la carga viva que dependerá del uso que se le dará a la estructura. a) Una losa con sistema tipo Joist esta generalmente compuesta por los elementos que a continuación se describen:
Lamina de zinc (kg/m2) Concreto (volumen/m2 * Densidad = kg/m2) Mortero (volumen/m2 * Densidad = kg/m2) Piso de Granito (volumen/m2 * Densidad = kg/m2) Instalaciones eléctricas (kg/m2) Instalaciones hidrosanitarias (kg/m2) Aire Acondicionado (kg/m2) Cielo Falso (kg/m2)
Figura 2.1
4
Figura 2.2 Además de todas estas cargas, se debe calcular el peso propio de la viga por unidad de área (kg/m2). A esta le llamaremos Wpp. Una vez que se dispone de todos estos datos se obtiene un total de la carga muerta de la viga. A este total le llamaremos WD. b) La carga viva que se estima va a soportar la viga dependerá del uso que se le dará a la estructura metálica. Para ello se debe consultar el código de construcción vigente en la comunidad. El código hondureño de la construcción, por ejemplo, nos brinda el dato correspondiente a un edificio de oficina, a un hospital, a una escuela, etc. A esta carga le llamaremos WL.
c) Luego se obtiene la carga total por unidad de área:
WT= WD +WL+ Wpp
d) Como esta carga se distribuye por unidad de área, ésta se multiplica por el área tributaria 5
de la viga, generalmente de 0.61 x1= 0.61m 2. Es decir, 0.305 m a cado lado de la viga por cada ML. Con este producto obtenemos W , que es la carga que se distribuye por cada ML de la Viga. En este caso las unidades son kg/ml.
Figura 2.3
Capítulo 3
Análisis Metodología ASD 6
Partiendo de una losa con forma rectangular (AxB) con una carga Wu: 1.2W D + 1.6WL; especificando el número de Joist a cada 0.61m a lo largo de la distancia B de la losa.
3.1 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
1. Determinar el momento máximo esperado que se determina mediante la ecuación:
Mmax =
²
Dónde:
W: Carga muerta (W D), más la Carga viva (W L). L: Claro de la viga
2. Asumir angulares para la construcción de las vigas Joist.
3. Proseguimos a calcular el peralte de la viga Joist, el cual puede ser calculado de dos formas:
a) P=
b) P=
4. Escogiendo la dimensión más manejable de P, gráficamente se puede observar la dimensión del peralte
7
Figura 3.1
d
Figura 3.2
5. Luego de obtener el peralte podemos calcular la distancia d. Esta distancia se extiende desde el centroide del angular superior hasta el centroide del angular inferior, mediante la ecuación siguiente:
d= P-y1-y2
Dónde:
P: peralte y1: centroide del angular superior y2: centroide del angular inferior
6. Teniendo el Mmax esperado y la distancia d podemos calcular la fuerza que actúa en forma horizontal internamente en la cuerda superior e inferior del sistema, 8
distribuyéndola a la mitad de su magnitud para cada cuerda, la cual trabaja a compresión para la cuerda superior y en tensión en la cuerda inferior esto lo sabemos por el equilibrio estático desarrollado en el capítulo 1 de este manual.
La
determinamos de la siguiente manera:
. F= FC =
FT =
Dónde:
Fc: fuerza axial a compresión en la cuerda superior FT: fuerza axial a tensión en la cuerda inferior d:
distancia
entre
centroide
y
centroide
de
los
angulares
7. Para determinar la fuerza a la que estarán sometidos los miembros inclinados , necesitamos encontrar el cortante máximo, el cual puede determinarse con la siguiente formula:
Vmax
=
8. Luego determinamos el espaciamiento S, que es la distancia a la cual van colocados los miembros internos de la viga tipo joist que se determina mediante la siguiente forma:
Dónde:
S=
L: longitud de la viga Joist 9
n: cantidad de miembros internos de la viga
3.2 DISEÑO DE LOS MIEMBROS INTERNOS DEL SISTEMA DE VIGAS TIPO JOIST
1. Iniciamos nuestro análisis determinando la longitud l de los miembros internos, la cual será la misma para todos los miembros debido a que poseen las mismas longitudes geométricas. Esta longitud es determinada mediante la fórmula:
l=
ට ቀቁ² + ()²
MIEMBROS INTERNOS A TENSIÓN 2. Aplicando semejanza de triángulos encontramos la fuerza en tensión del primer miembro, analizándola de izquierda a derecha a lo largo de la viga joist. Lo expresamos de la siguiente manera:
=
Despejando para la carga del miembro obtenemos:
10
Pt=
l
La fuerza interna en los miembros a compresión (Pc) será de igual magnitud que la fuerza en tensión (Pt) por la simetría de la estructura con la diferencia que esta fuerza actúa en compresión.
3.3 DISEÑO DE LA CUERDA INFERIOR
La cuerda inferior de la viga está sometida a esfuerzos de tensión. De acuerdo a la metodología ASD debemos determinar el esfuerzo a tensión. Este esfuerzo debe corresponder al 60% del esfuerzo de fluencia Fy.
Ft = 0.60Fy
Calculamos el área requerida de la cuerda inferior necesaria para soportar la fuerza interna que actúa a lo largo de la cuerda, la cual se calcula con la siguiente formula
Areq = Siendo:
Ft: fuerza interna que actúa en tensión Ft: esfuerzo a tensión
Teniendo Areq escogemos un angular comercial de la tabla 1.1, (ver referencias al final de este manual), el cual debe cumplir con las siguientes especificaciones:
11
) 100≥60% Nota:
b) Esbeltez:
<300
Una vez que se ha comprobado el cumplimiento de estas condiciones,
entonces podemos trabajar con dicho angular. Si no cumple con alguna de estas, entonces se debe escoger otro angular. Se debe tener el cuidado de escoger angulares que se encuentren disponibles en el mercado local.
3.4 DISEÑO DE LA CUERDA SUPERIOR
Escogemos un angular tomando referencia del angular diseñado en la cuerda inferior, el cual debe cumplir con las especificaciones siguientes:
b) Esbeltez
dónde:
KS
<
200
a)
<
ට ²
K= facto menor que uno
E= 29,000,000 ²
s=longitud de la cuerda
Cc=
rz= radio de giro en el eje z Nota:
se utiliza el radio de giro en rz en lugar de usar rx ó ry, porque es en este
sentido donde se presenta la falla por lo general. 12
Si las especificaciones anteriores se cumplen debemos determinar un factor de seguridad (F.S.) para determinar el esfuerzo permisible Fa de la siguiente manera:
ቂቃ³ -
² ቂ ቃ Fa= [1 ]
F.S. = + ³
² ..
Luego calculamos el esfuerzo que produce la fuerza interna Fc que actúa en la cuerda inferior.
fa= Realizamos una comparación de esfuerzos: Si Fa ≥ fa
El diseño de la cuerda superior se analizara con el ángulo escogido.
Si Fa < fa probamos diseñar con otro angular hasta que esta condición se cumpla, Seguidamente se revisa el porcentaje de trabajo de la siguiente manera:
%trabajo= Se debe cumplir que:
%trabajo ≥ 60%
13
3.5 MIEMBROS A COMPRESIÓN
Asumimos un angular de la tabla 1.1 para cumplir las especificaciones de los miembros internos actuando a compresión.
a) Esbeltez
Donde:
Cc=
KS
200
<
ට ²
a)
<
E= 29,000,000 ²
Si las especificaciones anteriores se cumplen debemos determinar un factor de seguridad (F.S.) para determinar el esfuerzo permisible (Fa) se calcula de la siguiente manera:
ቂቃ³ -
F.S. = + ³
² ቂ ቃ Fa= [1 ]
² ..
Luego calculamos el esfuerzo que produce la fuerza interna Fc que actúa en la cuerda inferior.
fa= Realizamos una comparación de esfuerzos: Si Fa ≥ fa
El diseño de la cuerda superior se analizara con el ángulo escogido. 14
Si Fa < fa probamos diseñar con otro angular hasta que esta condición se cumpla, Seguidamente se revisa el porcentaje de trabajo de la siguiente manera:
%trabajo= Se debe cumplir que:
%trabajo ≥ 60%
3.6 MIEMBROS A TENSIÓN
Determinamos el esfuerzo a tensión que será el
Fy=Ft
Calculamos el área requerida del miembro interno necesario para soportar la fuerza interna interna que actua a lo largo de el, teniendo en consideración que sus unidades serán consistentes. La cual se calcula con la siguiente formula:
Areq=
Siendo:
P: La fuerza axial que actua en tensión Ft: esfuerzo en tensión
15
Teniendo el área requerida (Areq) escogemos un angular comercial de la tabla 1.1, el cual debe cumplir con la con la siguiente especificación.
%trabajo = =
ൗ ൗ =
Nota: para lograr economía se puede trabajar con miembros internos de área un poco menor a el calculo con el debido cuidado de encajuelar los angulares que se encuentran en los extremos de la viga, el cual debe cumplir con las siguientes especificaciones para el encajuelado mostrado gráficamente.
Figura 3.6
Esbeltez
ቀ ቁ<200 16
Para encontrar rxy necesitamos encontrar el área total de los angulares expuestos anteriormente y el momento de inercia correspondiente, el cual se encuentra utilizando el teorema de ejes paralelos (teorema de Steiner), donde:
rxz =
ට
donde: AT = 2 A1
para encontrar IT utilizamos el teorema de ejes paralelos el cual se determino con la siguiente formula:
IT = 2
(+1²)
Seguidamente revisamos el porcentaje de trabajo como sigue:
%trabajo=
100≥60%
fa=
17
Capítulo 4
Análisis Metodología LRFD
Partiendo de una losa con forma rectangular (AxB) con una carga Wu: 1.2W D + 1.6WL; especificando el número de Joist a cada 0.61m a lo largo de la distancia B de la losa.
4.1 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
1. Determinar el momento máximo esperado que se determina mediante la ecuación:
Mmax =
²
Dónde:
W: Carga muerta (W D), más la Carga viva (W L). L: Claro de la viga
2. Asumir angulares para la construcción de las vigas Joist.
3. Proseguimos a calcular el peralte de la viga Joist, el cual puede ser calculado de dos formas:
b) P=
b) P= 18
4. Escogiendo la dimensión más manejable de P, gráficamente se puede observar la dimensión del peralte
Figura 3.1
d
Figura 3.2
5. Luego de obtener el peralte podemos calcular la distancia d. Esta distancia se extiende desde el centroide del angular superior hasta el centroide del angular inferior, mediante la ecuación siguiente:
d= P-y1-y2
Dónde:
P: peralte y1: centroide del angular superior y2: centroide del angular inferior 19
6. Teniendo el Mmax esperado y la distancia d podemos calcular la fuerza que actúa en forma horizontal internamente en la cuerda superior e inferior del sistema, distribuyéndola a la mitad de su magnitud para cada cuerda, la cual trabaja a compresión para la cuerda superior y en tensión en la cuerda inferior esto lo sabemos por el equilibrio estático desarrollado en el capítulo 1 de este manual.
La
determinamos de la siguiente manera:
F=
.
F =
F = T
C
Dónde:
Fc: fuerza axial a compresión en la cuerda superior FT: fuerza axial a tensión en la cuerda inferior d:
distancia
entre
centroide
y
centroide
de
los
angulares
7. Para determinar la fuerza a la que estarán sometidos los miembros inclinados , necesitamos encontrar el cortante máximo, el cual puede determinarse con la siguiente formula:
Vmax =
8. Luego determinamos el espaciamiento S, que es la distancia a la cual van colocados los miembros internos de la viga tipo joist que se determina mediante la siguiente forma:
20
S=
Dónde:
L: longitud de la viga Joist n: cantidad de miembros internos de la viga
4.2 DISEÑO DE LOS MIEMBROS INTERNOS DEL SISTEMA DE VIGAS TIPO JOIST
3. Iniciamos nuestro análisis determinando la longitud l de los miembros internos, la cual será la misma para todos los miembros debido a que poseen las mismas longitudes geométricas. Esta longitud es determinada mediante la fórmula:
l=
ට ቀቁ² + ()²
MIEMBROS INTERNOS A TENSIÓN 4. Aplicando semejanza de triángulos encontramos la fuerza en tensión del primer miembro, analizándola de izquierda a derecha a lo largo de la viga joist. Lo expresamos de la siguiente manera:
= 21
Despejando para la carga del miembro obtenemos:
Pt=
l
La fuerza interna en los miembros a compresión (Pc) será de igual magnitud que la fuerza en tensión (Pt) por la simetría de la estructura con la diferencia que esta fuerza actúa en compresión.
4.3 DISEÑO DE LA CUERDA INFERIOR
La cuerda inferior de la viga está sometida a esfuerzos de tensión. De acuerdo a la metodología LRFD debemos determinar el esfuerzo a tensión. En este método se trabaja con una Resistencia última Pu, que estará en función de un coeficiente de reducción Φ=0.90, el esfuerzo de fluencia y el área.
Pu = Φ*Fy*A
Calculamos el área requerida de la cuerda inferior necesaria para soportar la fuerza interna que actúa a lo largo de la cuerda, la cual se calcula con la siguiente formula:
Areq = Pu/( Φ*Fy)
Siendo:
Fy: esfuerzo de fluencia Φ: Coeficiente de reducción 22
Pu: Resistencia ultima
Teniendo Areq escogemos un angular comercial de la tabla 1.1, (ver referencias al final de este manual), el cual debe cumplir con las siguientes especificaciones:
) 100≥60% Nota:
b) Esbeltez:
<300
Una vez que se ha comprobado el cumplimiento de estas condiciones,
entonces podemos trabajar con dicho angular. Si no cumple con alguna de estas, entonces se debe escoger otro angular. Se debe tener el cuidado de escoger angulares que se encuentren disponibles en el mercado local.
4.4 DISEÑO DE LA CUERDA SUPERIOR
La cuerda superior de la viga está trabajando a compresión. En este método también se trabaja con una resistencia ultima, que está en función de un ESFUERZO CRITICO, un coeficiente de reducción para elementos en compresión Φc = 0.85 y el área. Escogemos un angular tomando referencia del angular diseñado en la cuerda inferior, el cual debe cumplir con las especificaciones siguientes:
c) Esbeltez
KS
<
200
23
λ≤1.5 Entonces: =(0.658) ∗ Si λ>1.5 Entonces: 0. 8 77 = λ ∗
d)Si
dónde:
λc=
ට
K= facto menor que uno
E= 29,000,000 ²
s=longitud de la cuerda
rz= radio de giro en el eje z Nota:
se utiliza el radio de giro en rz en lugar de usar rx ó ry, porque es en este
sentido donde se presenta la falla por lo general.
e) Una vez determinado el valor del esfuerzo critico Fcr, se procede al cálculo de la resistencia última. f) Luego se compara Pu con Preal. Si Preal previamente escogido.
≤
Pu, entonces se puede utilizar el angular
En caso contrario elegir un angular cuyas especificaciones cumpla con las condiciones anteriormente mencionadas.
24
4.5 MIEMBROS A COMPRESIÓN
Asumimos un angular de la tabla 1.1 para cumplir las especificaciones de los miembros internos actuando a compresión.
a) Esbeltez
KS
200
<
λ≤1.5 Entonces: =(0.658) ∗ Si λ>1.5 Entonces: 0. 8 77 = λ ∗
b)Si
dónde:
λc=
ට
K= facto menor que uno
E= 29,000,000 ²
s=longitud de la cuerda
c) Una vez determinado el valor del esfuerzo critico Fcr, se procede al cálculo de la resistencia última. d) Luego se compara Pu con Preal. Si Preal previamente escogido.
≤
Pu, entonces se puede utilizar el angular
25
En caso contrario elegir un angular cuyas especificaciones cumpla con las condiciones anteriormente mencionadas.
Realizamos una comparación de esfuerzos: a) Si Fa ≥ fa el diseño de miembro interno sometido a compresión se analiza con el angular escogido b) Si Fa < fa probamos diseñar con otro angular hasta que esta condición de cumpla.
%trabajo ≥ 60%
donde: %trabajo =
100
4.6 MIEMBROS A TENSIÓN
De acuerdo a la metodología LRFD debemos determinar el esfuerzo a tensión. En este método se trabaja con una Resistencia última Pu, que estará en función de un coeficiente de reducción Φ=0.90, el esfuerzo de fluencia y el área.
Pu = Φ*Fy*A
Calculamos el área requerida de la cuerda inferior necesaria para soportar la fuerza interna que actúa a lo largo de la cuerda, la cual se calcula con la siguiente formula: 26
Areq = Pu/( Φ*Fy) Siendo:
Fy: esfuerzo
de fluencia
Φ: Coeficiente de reducción Pu: Resistencia ultima Teniendo Areq escogemos un angular comercial de la tabla 1.1, (ver referencias al final de este manual), el cual debe cumplir con las siguientes especificaciones:
100≥60% )
b) Esbeltez:
<300
Nota: para lograr economía se puede trabajar con miembros internos de área un poco menor a el cálculo con el debido cuidado de encajuelar los angulares que se encuentran en los extremos de la viga, el cual debe cumplir con las siguientes especificaciones para el encajuelado mostrado gráficamente.
Figura 3.6
27
Esbeltez
ቀ ቁ<200
Para encontrar rxy necesitamos encontrar el área total de los angulares expuestos anteriormente y el momento de inercia correspondiente, el cual se encuentra utilizando el teorema de ejes paralelos (teorema de Steiner), donde:
rxz =
ට
donde: AT = 2 A1
para encontrar IT utilizamos el teorema de ejes paralelos el cual se determinó con la siguiente formula:
IT = 2
(+1²)
Seguidamente revisamos el porcentaje de trabajo como sigue:
%trabajo=
100≥60%
fa=
28
Capítulo 5
ANALISIS POR DEFORMACIÓN
Ya sea que se diseñe haciendo uso de la metodología ASD o la LRFD, es necesario hacer un análisis de diseño por deformación que cumpla con:
Δesp ≤ Δmax Dónde:
Δesp = Deformacion esperada
⁴ =
Δmax=Deformacion máxima permitida
=
Si se tiene acceso a paquetes de estructuras se puede introducir datos para poder simular estas deformaciones. Como se puede observar en las figuras siguientes, simuladas en los programas STAAD PRO y RISA, respectivamente.
STAAD PRO
29
