ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS “T” PROFESOR: LEONEL SUASACA PELINCO Ingeniero civil, Magister en ingeniería civil, Doctor en Ciencias e ingeniería civil ambiental CIP. 80191
ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS “T” Las vigas T o L se producen cuando hay un sistema conjunto de pisos con las losas apoyadas sobre las vigas y trabajando monolíticamente, en este caso la parte superior de la viga complementa su trabajo con una porción de la losa adjunta a la misma para absorber compresiones dando lugar a la figura ya indicada. Tal como se muestra en el grafico siguiente. B
B Ala
t Alma
bw
S
bw
S
bw
S
bw
VALORES DEL ANCHO DE ALA B L/4 Viga interior
bw 16t bw s Asumir el menor
L / 12 bw Viga exterior
bw 6t bw s / 2
L = Luz de la viga o largo bw = Ancho de la viga (alma) t
= Espesor de la losa
VIGA T En el caso clásico de vigas “T” es para un sistema de piso monolítico, tal como se mostró anteriormente, puede producirse también elementos T o L que actúen aisladamente como es el caso de una mensula (figura A) o el caso de una viga T invertida de cimentación (figura B) bw
B t
t bw
B
B 4bw
t bw / 2
CASOS DEL COMPORTAMIENTO DE VIGAS “T” En el análisis y diseño de vigas T hay que determinar primero la forma de comportamiento de dichos elementos, de acuerdo al primer termino a que el ala de la viga este en la zona comprimida o traccionada y en segundo termino de que el eje neutro quede dentro o fuera del ala de la viga . De acuerdo a esto pueden presentarse los siguientes casos: 1.- VIGAS “T” REAL.- En este caso la zona de compresiones se encuentra hacia el ala de la viga, lo cual es adecuado, pudiendo producirse a su ves 2 condiciones de que el eje neutro caiga dentro del ala de la viga (figura A) o que el eje neutro quede dentro del alma de la viga (figura B),en el primer caso se analizara como una viga rectangular equivalente de ancho B y en el segundo caso se analizaran realmente como una viga T. B E.N.
B Zona en compresión Zona en Tracción
E.N.
bw
2.- VIGA “T” CON COMPORTAMIENTO RECTANGULAR.En este caso el eje neutro esta ubicado hacia la zona de tracción y como tal el ala con el mayor área de concreto no contribuye en nada para soportar las tensiones, por lo tanto no se toma en cuenta el sobre ancho y se diseña como una viga rectangular cuales quiera. B Zona en compresión
E.N. Zona en Tracción
bw
PRIMER CASO.- Cuando el E.N. cae dentro del ala de la viga B t
c=0.85f'c.a.b
a
d-a/2
d
T=Asfy
Ac Bt c T T As f y As f y c c 0.85 f c ' Ac Ac 0.85 f c ' 0.85 f c '
Si el 1er caso Mu As a fyd 2
a
As f y 0.85 f c 'B
Estas formulas verifican si la falla es sub armada o sub reforzada, para cuyo efecto debe cumplirse con la siguiente relación: As f y 0.75 Tmax Tmax 0.85 f c ' Acmax
Donde:
abal
6000 d 1 6000 f y
PROBLEMA
Determinar el momento ultimo que resiste la sección T de la figura sabiendo que f’c = 210Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2 recubrimiento de 6cm. 90
10 60 4F 1" 30 1) VERIFICAR EL CASO DE ANALISISI:
Ac
As f y 0.85 f c '
20.40 4200 Ac 480cm 2 0.85 210
480cm 2 900cm 2
1er Caso
2) Calculo de Mu
a Mu As f y d 2 As f y 20.40 4200 a 5.30cm 0.85 f c ' B 0.85 210 90 5 .3 Mu 0.9 20.40 4200 54 39.60Tn 2
m
3) Chequeamos si la falla es sub reforzada 6000 abal 0.85 54 27cm 6000 4200 Acmax 90 10 17 30 1410cm 2 Tmax 0.85 210 1410 251685kg 20.40 4200 0.75 251.69 85.68 188.77ok ! Ok! La falla es sub reforzada
SEGUNDO CASO: Análisis de vigas T cuando el eje neutro cae dentro del alma de la viga . B
Ac Bt Y1
Y2
d
A1
A2
bw
Y1 A1 Y2 A2 Yc A1 A2 Ac A1 A2
t
A1 Bt A2 Ac A1 e
A2 bw
Donde:
Ac
As f y 0.85 f c ' B
Yc d-Yc
As f y T
Mu As f y d Yc
Finalmente hay que indicar que para la verificación de cuantía sub-armada se usa las mismas formulas que en el primer caso
PROBLEMA: Hallar el momento ultimo que soporta la sección T de la figura
100
f’c = 210 kg/cm2
5 47 6F 1" 30
fy = 4200 kg/cm2 r = 8 cm
Ac
As f y 0.85 f c '
Ac
4200 30.60 720cm2 0.85 210
720 500 2 do Caso A2 720 500 220cm 2 A2 220 e 7.33cm bw 30 500 2.5 220 8.67 4.39cm Yc 720 Mu f y As d Yc
Mu 0.9 4200 30.6047 4.39 4928613.48kg Mu 49.29tn m
Chequeo falla sub reforzada
As f y 0.75 Tmax
As f y 0.75 0.85 f c ' Acmax 6000 6000 abal 1 d 0.85 47 23.5 6000 f 6000 4200 y Acmax 100 5 23.5 530 1055cm 2 As f y 0.75 0.85 210 1055
30.6 x 4200 128520 128520 141238
Ok! Falla sub reforzada
Nótese que en este caso estamos muy cerca de la falla sobre armada, por lo que en la practica es conveniente buscar trabajar siempre en el primer caso.
DISEÑO DE VIGAS “T” CON ACERO EN TRACCION SOLAMENTE Para el diseño de vigas T en forma análoga al problema de análisis pueden presentarse 2 casos referentes, si el eje neutro cae dentro del ala o del alma de la viga, como en los problemas de diseño desconozco el área del acero, para verificar a que casos corresponde compararemos el momento ultimo que absorbe el ala de la viga T y el momento actuante en nuestro problema. Al respecto debemos indicar que el momento que puede absorber el ala de la viga viene dado por la siguiente relación.
B t d
h
bw
a
As f y 0.85 f c 'B
As
Mu a fy d 2
a Mu 0.85 f c 'B t d 2
PRIMER CASO.- Cuando Mu ≤ Mut => 1er Caso En este caso el eje neutro cae dentro del ala de la viga y análogamente al problema de análisis se diseña como una viga rectangular con un ancho B igual al ala de la viga y se utiliza las formulas clásicas.
Mu As a fy d 2
a
As f y 0.85 f c 'B
Para verificar si la falla es de tipo sub reforzado se utiliza la siguiente relación As
3 Asmax 4
Asmax
fc ' 0.85 B t ab t bw fy
abal
6000 d 1 6000 f y
PROBLEMA: Diseñar la viga T de la figura para las solicitaciones que se indican 100
Mu = 40.5 tn-m 10 50
f’c = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 r = 6 cm
Mu 40.50 t Mut 0.85 f c ' B t d 2 Mut 0.9 0.85 210 100 10 44 5 62.65 62.65 40.50 1er Caso
Tanteo con 5 cm Mu 40.5 105 As 25.82 a 5 f y d 0.9 4200 44 2 2 As f y 25.82 4200 a 6.07 0.85 f c 'B 0.85 210 100
Tanteo con 6.15 cm 40.5 105 As 26.18 6.15 0.9 4200 44 2 26.18 4200 a 6.16 0.85 210 100 As 26.18cm 2 As 51"
Chaqueo falla sub reforzada
abal
6000 6000 1 44 0.85 44 22cm 6000 4200 6000 4200
210 As max 0.85 100 10 22 1025 55.25cm 2 4200 3 As 55.25 As 41.44cm 2 4 26.18 41.44cm 2
SEGUNDO CASO.- Cuando Mu > Mut
En este caso el eje neutro cae dentro del alma de la viga y para resolver el problema como no se conoce el centroide Yc se trabaja por tanteos de acuerdo a la siguiente metodología. 1) En la figura siguiente se asume un valor de Z que seria la mayor cantidad de las 2 ahí planteadas B Yo
z 0.9 d
Z=d-Yc
t zd 2
2) Se calcula el área de acero de acuerdo a la siguiente relación:
Mu As f y z 3) Como ya conozco el área del acero ahora si puedo hallar el área comprimida.
Ac
As f y
0.85 f c '
4) Como ya tengo el área en compresión puedo hallar
A2 Ac A1 A2 e bw 5) Ahora si por centros de gravedad puedo hallar el valor Yo
Y1 A1 Y2 A2 Yo A1 A2
6) Finalmente puedo hallar un nuevo valor Z=d-Yo comparo el Z calculado si son iguales o difieren en menos de un 5% el problema esta terminado caso contrario se hacen nuevos tanteos hasta que Z planteado Igual a Z calculado.
PROBLEMA : Diseñe la viga “T” de la figura para un Mu = 120 TNm se sabe además que f’c = 210 Kg/cm2; fy = 3500 Kg/cm2; r = 8cm
130 7 80
35 Mut 0.9 0.85 210 130 7 72 3.5 100.14 100.14 120 2do Caso
z 0.9 d 64.8 t z d 68.5 2
Mu 120 105 As 55.61 f y z 0.9 3500 68.5 As f y
55.61 3500 Ac 1090.39cm2 0.85 f c ' 0.85 210 A2 1090.39 910 180.39 e
180.39 5.15cm 35
Yc
910 3.5 180.39 9.58 4.51cm
1090.39 z 72 4.51 67.49 As 55.6cm 2
Existiendo una discrepancia entre el Z planteado y el Z calculado de solo 1% se acepta como valido el tanteo y por tanto el área de acero igual 55.6cm2 (11Φ1”) Chequeo por falla sub reforzada:
6000 6000 abal 1 72 0 . 85 72 38.65cm 6000 3500 6000 3500
210 As max 0.85 130 7 38.65 7 35 102.9cm 2 3500 3 As 102.9 As 77.18cm 2 4 Ok! Falla sub reforzada 55.60 77.18cm 2
DISEÑO DE ALIGERADOS Las losas aligeradas no son otra cosa que un sistema de vigas T en el que la zona que el concreto trabaja a tracción ha sido eliminada colocándose en su lugar bloques huecos o plastoformo, lográndose de esta manera aliviar el peso del sistema de entre pisos y lograr también una solución económica ya que solo habría acero en la zona de las viguetas; sin embargo para que una losa aligerada cumpla con los 2 objetivos antes mencionados las luces deben ser entre 3 a 6.5m aproximadamente, y las sobre cargas entre 200 a 400 Kg/m2 no siendo conveniente el uso de aligerados cuando haya cargas móviles o cargas de impacto, en el grafico siguiente se muestra la sección típica de una losa aligerada, donde como se puede apreciar varias de las dimensiones están ya estandarizadas, siendo las variables del diseño el peralte de la losa y el refuerzo a colocar tanto principal como de temperatura. 40
BLOQUETA
10
30
BLOQUETA
10
30
10
Para calcular las losas aligeradas se utilizara la siguiente metodología:
1) DETERMINACION DEL ESPESOR DEL ALIGERADO.Para determinar el espesor del aligerado hay algunos cálculos y tablas que veremos en detalle en la parte practica del curso; sin embargo en el cuadro siguiente damos valores muy prácticos para calcular el peso del aligerado. LUZ
SOBRE CARGA
h
L ≤ 4.0 m L ≤ 5.0 m L ≤ 6.0 m L ≤ 8.0 m
s/c ≤ 250 Kg/cm2 s/c ≤ 300 Kg/cm2 s/c ≤ 350 Kg/cm2 s/c ≤ 400 Kg/cm2
h = 17 cm. h = 20 cm. h = 25 cm. h = 30 cm.
2) METRADO DE CARGAS.- El metrado se realiza para cargas permanentes y sobre carga, mas no así para las cargas de sismo, esto en razón de que la losa no tiene como función ser parte del esqueleto resistente de la estructura como si lo son las vigas y columnas. La función de la losa es de diafragma, para hacer que las fuerzas horizontales actúen a nivel del piso sin afectar a las columnas y por lo tanto como ya se dijo no se toma en cuenta las cargas de sismo. a) METRADOS DE CARGAS PERMANENTES.- Incluye el peso propio del aligerado, el piso terminado, la tabiquería paralela al armado de las viguetas que normalmente se considera como tabiquería equivalente y la tabiquería perpendicular al armado de las viguetas que se consideran como carga puntual a.1) PESO PROPIO DEL ALIGERADO.- Se calcula de acuerdo a la siguiente tabla:
h
PESO (Kg/m2)
17 cm. 20 cm. 25 cm. 30 cm.
280 300 350 400
a.2) PISO TERMINADO .- El peso del piso terminado independientemente de su acabado se asume en 100 Kg/m2 a.3) TABIQUERIA PARALELA AL ARMADO DE LAS VIGUETAS.- Se considera como una carga distribuida y se obtiene dividiendo el peso total de la tabiquería entre el área del aligerado. Normalmente se toma como carga equivalente y se puede usar los siguientes valores. CONDICION
PESO (Kg/m2)
No hay tabiquería Poca tabiquería Regular tabiquería Bastante tabiquería
0 50 100 150
a.4) TABIQUERIA PERPENDICULAR AL ARMADO DE LAS VIGUETAS.Se considera como una carga puntual con la siguiente relación.
Pm W 1.00 h
b) SOBRE CARGAS.- Las sobrecargas dependen del uso al que este destinado la edificación pudiendo utilizarse los siguientes valores: USO
S/C (Kg/cm2)
Vivienda Oficinas Locales comerciales Locales industriales Cinemas Hospitales Zonas de seguridad
250 250 300 350 400 400 500
Wu 1.4 Wd 1.7 Wl Wu Wu ' porvigue 2.5
taad
40cm
3) CALCULO DE MOMENTOS Y CORTES.Para calcular los momentos y cortes de diseño se pueden emplear 2 métodos
a) METODOS DE LOS COEFICIENTES.- ES un metrado aproximado que contemplan tanto la norma peruana como el ACI y consiste en usar coeficientes aproximados siempre y cuando se cumpla con las siguientes condiciones
1) El aligerado a diseñar tenga por lo menos 2 tramos 2) Los elementos sean prismáticos 3) Que las luces sean aproximadamente iguales sin que el mayor de los claros adyacentes exceda en 20% al menor 4) Existan solo cargas distribuidas 5) La sobre carga no debe exceder de 3 veces la carga permanente.
MOMENTO POSITIVO
Claros de extremo continuo no restringido Claros de extremo continuo colado monolítico con el apoyo Claros interiores
Wu Ln2 / 11 Wu Ln2 / 14 Wu Ln2 / 16
MOMENTO NEGATIVO EN LA CARA EXTERIOR DEL PRIMER APOYO INTERIOR
Dos claros Mas de 2 claros Momento negativo en los demás caras de los apoyos interiores
Wu Ln2 / 9 Wu Ln2 / 10 Wu Ln2 / 11
MOMENTOS NEGATIVO EN LA CARA DE TODOS LOS APOYOS PARA:
Losas con claros que no exceden de 3m MOMENTO NEGATIVO EN LA CARA INTERIOR DE LOS APOYOS EXTERIORES PARA LOS ELEMENTOS CONTINUOS MONOLÍTICAMENTE CON SUS APOYOS
Cuando el apoyo es un viga de borde Cuando el apoyo es una columna Cortante en elementos extremos en la cara del primer apoyo interior Cortante en la cara de todos los demás apoyos
Wu Ln2 / 12
Wu Ln2 / 24 Wu Ln2 / 16 1.5Wu Ln / 2
Wu Ln / 2
B) METODO DEL ANALISIS ESTRUCTURAL.- Cuando no se cumple con las condiciones para utilizar el método de los coeficientes, hay que recurrir a cualquier método del análisis estructural que resuelva cortes y momentos en una viga hiperestática, pasando desde los métodos clásicos como la doble integral a los 3 momentos o métodos iterativos como Cross, Kani o Takabella hasta métodos matriciales, debiendo recordarse que no es suficiente trabajar con una sola posición de cargas, sino que debe hacerse el juego de las diferentes posiciones de sobrecarga como se muestra a continuación y luego hallar la envolvente de momentos y cortes. Wl
(+)
Wl
Wd
Wl
Wd
(+) (-)
(-)
Wl
Wd
Wl
Wd
4) CALCULO AREAS DE ACERO.- Para hallar el acero principal se diseña como viga T, con la aclaración de que si se ha usado las normas de dimensionamiento ya no es necesario chequear a que caso de vigas T corresponde, sino que se utiliza siempre el caso 1 con las siguientes características: a) Para el calculo de refuerzos por momentos negativos se diseña como una viga rectangular equivalente , tomando en cuenta el ancho del alma de la vigueta bw=10cm. b) Para el calculo del refuerzo por momentos positivos se diseña como una viga rectangular equivalente con un ancho igual al ala de la viga B=40cm 5) CALCULO DEL ACERO DE TEMPERATURA .- El acero de temperatura se colocara a manera de parrilla en al losa superior con un recubrimiento de 2cm para el calculo del acero de temperatura se utiliza alambron de1/4” y su calculo es casi estándar tal como se muestra.
Ast 0.00251005 1.25cm 2 0.32 @ 100 25.6 25cm 1.25 1 / 4" @ 25cm
6) VERIFICACION DEL ENSANCHE.- Finalmente como un aligerado no lleva estribos, debe verificarse que el peralte asumido no requiere ensanches por momentos o por cortes. Para verificar si el ancho de la vigueta es suficiente, se realiza los 2 siguientes chequeos.
a) Verificación por momento
t Mut 0.85 f c 'B t d 2 b) Verificación por corte
Vc 0.53 f c ' b d
