SEDE TACNA
DIPLOMA DE ESPECIALIZACIÓN PROFESIONAL EN: “DISEÑO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
DE CONCRETO ARMADO”
MÓDULO I “COMPORTAMIENTO COMPORTAMIENTO Y DISEÑO
A FLEXIÓN Y CORTANTE
DE ELEMENTOS DE CONCRETO ARMADO”
SESIÓN N° 02 - TARDE “COMPORTAMIENTO
A LA FLEXIÓN DE ELEMENTOS
DE CONCRETO ARMADO SIN CONFINAR”
Ing. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
[email protected]
Mag. JOSÉ ACERO MARTÍNEZ
[email protected]
03 de Diciembre del 2017 Tacna – Perú
ÍNDICE CAPÍTULO I GENERALIDADES 1.1
OBJETIVOS
01 CAPÍTULO II
RELACIONES ESFUERZO - DEFORMACIÓN DE LOS MATERIALES 2.1
ESFUERZO – DEFORMACIÓN PARA EL CONCRETO NO CONFINADO
02
2.2
ESFUERZO – DEFORMACIÓN PARA EL ACERO DE REFUERZO
04
CAPÍTULO III DIAGRAMA MOMENTO – CURVATURA 3.1
INTRODUCCIÓN
05
3.2
DIAGRAMA MOMENTO – CURVATURA
07
CAPÍTULO IV DIAGRAMA MOMENTO – CURVATURA APROXIMADO 4.1
INICIO DEL AGRIETAMIENTO DEL CONCRETO A TRACCIÓN
14
4.2
INICIO DE LA FLUENCIA DEL ACERO A TRACCIÓN
15
4.3
INICIO DEL APLASTAMIENTO APLASTAMIENTO DEL CONCRETO
16
CAPÍTULO V EJEMPLOS DE APLICACIÓN
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CAPÍTULO I GENERALIDADES 1.1
OBJETIVOS
1.1.1 OBJETIVO GENERAL La presente sesión tiene como objetivo determinar el diagrama momento – curvatura de una sección de concreto armado sin confinar para predecir su comportamiento comportamiento a la flexión. 1.1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS -
Determinar las relaciones esfuerzo – deformación del concreto no confinado.
-
Determinar las relaciones esfuerzo – deformación del acero de refuerzo.
-
Determinar el diagrama momento – curvatura de una sección de concreto armado sin confinar.
-
Determinar la ductilidad de una sección de concreto armado sin confinar.
-
Predecir el comportamiento comportamie nto a la flexión de una sección de concreto armado sin confinar.
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CAPÍTULO II RELACIONES ESFUERZO - DEFORMACIÓN DE LOS MATERIALES 2.1
MODELO ESFUERZO – DEFORMACIÓN PARA EL CONCRETO NO CONFINADO La curva de Hognestad tiene puntos característicos, comienza con una parábola invertida en el origen y tiene un vértice en las coordenadas (
;
), donde el valor de
, se considera como 0.002, luego la curva se convierte en línea recta de pendiente
negativa hasta que la deformación de ruptura se da para un valor de
esfuerzo del 0.85
.
= 0.004 y un
Figura 2.1. Curva esfuerzo-deformación del concreto no confinado
( ) Donde:
: Esfuerzo del concreto no confinado
: Esfuerzo máximo del concreto no confinado
: Deformación del concreto
: Deformación del concreto asociada al
: Deformación máxima del concreto no confinado Para determinar la fuerza resultante que actúa en la sección transversal del
elemento y la distancia donde actúa esta fuerza con respecto a la parte superior se calculan coeficientes, denominados
y , que van a representar porcentajes de área
rectangular y de distancia respectivamente. respectivamente. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
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∫ [ ] ∫ [ ] ∫ [ ] { [ ∫ ] [ ] ∫ ∫ [ ] ∫ [ ] { ∫ [ ] ∫ [ ] {
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El coeficiente de es un porcentaje del área por debajo de la curva con respecto al
área de un rectángulo de valor
.
El coeficiente de es un porcentaje de distancia de
deformación
con respecto al valor de la
.
Finalmente estos coeficientes
y nos servirán para evaluar la fuerza resultante
generada por los esfuerzos de compresión y la ubicación del punto de aplicación de la
fuerza, respectivamente. respectivamente.
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2.2
MODELO ELASTOPLÁSTICO PERFECTO Es común que en el diseño y evaluación sísmica se utilice una aproximación de la curva esfuerzo- deformación llamado “modelo elastoplástico perfecto”, ( Fig. 2.2).
Figura 2.2. Curva esfuerzo-deformación esfuerzo-deformación del modelo elastoplástico perfecto para el acero sometido a tracción. t racción.
: Esfuerzo del acero
: Esfuerzo de fluencia del acero : Módulo de elasticidad del acero : Deformación del acero
: Deformación de fluencia del acero : Deformación máxima del acero Las principales desventajas de utilizar el modelo elastoplástico perfecto para
propósitos de diseño o evaluación sísmica son las siguientes: -
Se ignora la capacidad del acero para tomar esfuerzos mayores al de fluencia fy.
-
Existe la posibilidad posibilidad de que el concreto concreto se aplaste aplaste sin que el acero acero haya fluido, fluido, provocando así una falla frágil por compresión.
-
Al considerarse la misma curva para el acero a compresión, se ignora el incremento de resistencia y disminución de la deformación.
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CAPÍTULO III DIAGRAMA MOMENTO – CURVATURA 3.1
INTRODUCCIÓN
Figura 3.1 Comportamiento de la curva carga – deflexión de un elemento a flexión En la figura aparecen algunos tipos del comportamiento de la curva carga-deflexión de elementos de concreto armado hasta y más allá de la carga última y se comparan el comportamiento comportamiento frágil y dúctil. La consideración de las características de la curva cargadeformación de los elementos es necesaria por las siguientes razones: ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
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1. No debe ocurrir ocurrir la falla frágil frágil de los elementos. elementos. En el caso extremo extremo de que una una estructura se cargue hasta la falla, debe poder desarrollar grandes deflexiones bajo cargas cercanas a la máxima, lo que puede salvar vidas al advertir la falla e impedir el desplome total. 2. Las distribuciones distribuciones posibles posibles de de momento flector, fuerza cortante y carga axial, axial, que podrían utilizarse en el diseño de estructuras estáticamente indeterminadas, dependen de la ductilidad de los elementos en las secciones críticas. Se puede lograr una distribución de momentos flectores que difiera de la obtenida de un análisis estructural elástico lineal, si puede ocurrir una redistribución de momentos. Es decir que, conforme se aproximan a la carga última, algunas secciones pueden alcanzar sus momentos resistentes últimos antes que otras; pero si allí puede ocurrir la rotación plástica, mientras se mantiene el momento último, se puede transmitir carga adicional conforme los momentos en otras partes se elevan hasta su valor último. La carga última de la estructura se alanza cuando, después de la formación de suficientes articulaciones plásticas, se desarrolla un mecanismo de falla. La mayoría de los códigos dan margen a cierta redistribución de momentos en el diseño, según la ductilidad de las secciones. Utilizar una redistribución de momentos puede dar ventajas debido a una reducción en la congestión del refuerzo en los apoyos de los elementos continuos, ya que permite reducir los picos de los momentos flectores en las envolventes de los momentos flectores. 3. En las regiones regiones expuestas a sismos, una consideración consideración muy importante en el diseño es la ductilidad de la estructura cuando se la sujeta a cargas de tipo sísmico. Ello se debe a que la filosofía del diseño sísmico se apoya en la absorción y disipación de energía, mediante la deformación inelástica para la supervivencia en los sismos intensos. En consecuencia, las estructuras que no se pueden comportar en forma dúctil y se deben diseñar para fuerzas sísmicas muchos mayores si se desea evitar el desplome. Las características de carga y deformación de los elementos a flexión en la fluencia y en la rotura dependen principalmente de la relación momento-curvatura de las secciones, ya que la mayoría de las deformaciones de los elementos de proporciones normales se deben a las deformaciones asociadas con la flexión. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
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3.2
DIAGRAMA MOMENTO – CURVATURA
3.2.1 CURVATURA DE UN ELEMENTO
c
Figura 3.2 Deformación de un elemento a flexión La figura muestra una parte inicialmente recta de un elemento de concreto armado con momentos de extremos y fuerzas axiales iguales. El radio de curvatura R se mide hasta el eje neutro. El radio de curvatura R, la profundidad del eje neutro c, la deformación d el concreto en la fibra extrema a compresión εc y la deformación del acero a tracción εs, varían a lo largo del elemento debido a que entre las grietas el
concreto toma cierta tracción. Considerando solamente un pequeño tramo de longitud dx del elemento y utilizando la notación de la figura, las siguientes relaciones proporcionan la curvatura de una sección (rotación por longitud unitaria del elemento) y está dada por el símbolo φ.
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La curvatura varía físicamente a lo largo del elemento debido a la fluctuación de la profundidad del eje neutro y las deformaciones entre las grietas. Si la longitud del elemento es pequeña y abarca una grieta, la curvatura está dada por la ecuación 1, con εc y εs como las deformaciones en la sección agrietada. Si se miden las deformaciones
en la sección crítica de una viga de concreto armado en una corta longitud calibrada conforme se aumenta el momento flector hasta la falla, de la ecuación 1 se puede calcular la curvatura, lo que permite obtener la relación momento – curvatura para la sección.
Figura 3.3. Relaciones momento – curvatura para vigas simplemente reforzadas. (a) Sección que falla a tracción tracción (ρ < ρb). (b) Sección que falla a compresión (ρ > ρb ) En la figura se muestran dos de esas curvas obtenidas de mediciones en vigas simplemente simplemente reforzadas que fallan en tracción y compresión. Ambas curvas son lineales en las etapas iniciales, y la ecuación clásica de la elástica proporciona la relación entre el momento M y la curvatura φ en que EI es la rigidez a flexión de la sección.
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Al aumentar el momento, momento, el agrietamiento agrietamiento del concreto concreto reduce la rigidez rigidez a flexión de las secciones, la reducción de rigidez es mayor para la sección reforzada ligeramente que para la sección reforzada más fuertemente. El comportamiento de la sección des después del agrietamiento depende principalmente de la cuantía de acero. Las secciones reforzadas ligeramente producen una curva prácticamente lineal de M-φ hasta el punto de fluencia del acero. Cuando éste fluye, ocurre un aumento grande en la curvatura a momento flector casi constante, y el momento se eleva lentamente hasta un máximo debido a un aumento en el brazo de palanca interno, y luego decrece. Por otra parte, en las secciones fuertemente reforzadas, la curva M- φ deja de ser lineal cuando el concreto entra a la parte inelástica de la relación esfuerzo – deformación, y la falla puede ser bastante frágil, a menos que se confine el concreto mediante estribos cerrados con separación pequeña entre ellos. Si no se confina el concreto, este se aplasta a una curvatura relativamente pequeña antes de que fluya el acero, ocasionando una disminución inmediata en la capacidad de tomar momentos. Para asegurar el comportamiento dúctil en la práctica, siempre se utilizan en las vigas cuantías de acero inferiores al valor de la cuantía balanceada. balanceada. 3.2.2 DETERMINACIÓN TEÓRICA DE LA RELACIÓN MOMENTO – CURVATURA Es posible deducir curvas teóricas momento – curvatura para secciones de concreto reforzado con flexión y carga axial, en base a suposiciones semejantes a las utilizadas para la determinación de la resistencia a flexión. Se supone que las secciones planas antes de la flexión permanecen planas después de la flexión y que se conocen las curvas esfuerzo-deformación para el concreto y el acero. Las curvaturas asociadas con un rango de momentos flectores y cargas axiales pueden determinarse utilizando estas suposiciones y a partir de los requerimientos de compatibilidad de deformación y equilibrio de las fuerzas.
Figura 3.4. Esfuerzo - deformación del concreto no confinado a compresión ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
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Figura 3.5. Esfuerzo - deformación del acero a tracción y compresión En las figuras 2.4 y 2.5 se muestran curvas típicas esfuerzo – deformación para el concreto no confinado y acero de refuerzo, en que fy es el esfuerzo de fluencia del acero y f’c es la resistencia a compresión del concreto no confinado en un elemento.
Figura 3.6. Sección y diagrama de deformaciones La figura muestra una sección de concreto armado. Para determinada deformación del concreto no confinado en la fibra extrema a compresión εc y una profundidad c del eje neutro, se puede determinar las deformaciones del acero εs1, εs2, εs3, … , εsi por
triángulos semejantes del diagrama de deformaciones. Por ejemplo, para la varilla i la profundidad profundidad di.
( )
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Figura 3.7. Sección y diagrama de esfuerzos y fuerzas internas La figura muestra una sección de concreto armado con carga axial y flexión. Ahora se pueden encontrar los esfuerzos fs1, fs2, fs3, …, fsi
correspondientes correspondientes a las
deformaciones εs1, εs2, εs3, …, εsi a partir de la curva esfuerzo - deformación para el
acero. En seguida se pueden encontrar las fuerzas del acero S1, S2, S3, … , Si a partir de los esfuerzos del acero y las áreas del mismo. Por ejemplo, para la varilla i, la ecuación de la fuerza es:
Se puede encontrar la distribución del esfuerzo del concreto en la parte comprimida de la sección de la figura 2.4 a partir del diagrama de deformaciones y la curva esfuerzo - deformación para el concreto. Para cualquier d eformación dada del concreto εc en la fibra extrema a compresión, se puede definir la fuerza de compresión del concreto C y su posición en términos de los parámetros
Actúa a la distancia
y en que:
de la fibra extrema extrema a compresión. compresión. Se puede determinar determinar el factor factor
α del esfuerzo medio y el factor del centroid e para cualquier deformación εc en la fibra
extrema a compresión para secciones rectangulares a partir de la relación esfuerzodeformación como sigue:
∫ ∫∫
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En consecuencia, si se puede escribir el esfuerzo fc en el concreto en términos de la deformación εc (es decir, si se conoce la curva esfuerzo deformación), usando las
ecuaciones 6 y 7 se puede determinar la fuerza del concreto y su línea de acción. Se pueden escribir las ecuaciones de equilibrio de fuerzas como:
∑ ∑ ( )
La curvatura está dada, por similitud con la ecuación 1.
Se puede determinar la relación teórica momento – curvatura para un nivel dado de carga axial, incrementado la deformación del concreto en la fibra εc extrema a compresión. Para cada valor de ec se encuentra la profundidad c del eje neutro que satisface el equilibrio de las fuerzas ajustando c hasta que las fuerzas internas calculadas utilizando utilizando las ecuaciones 4 y 5. Satisfaga la ecuación 8. Nótese que en el caso de flexión solamente Pa = 0. Entonces se utilizan las fuerzas internas y la profundidad del eje neutro encontrado de esa manera para determinar el momento M y curv atura φ a partir de las ecuaciones 7, 9 y 10 que correspondan a ese valor de εc. Desarrollando el cálculo para una diversidad de valores de εc se puede graficar la curva momento - curvatura. El cálculo es extenso y de ser necesario se realiza mejor utilizando una computadora digital.
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CAPÍTULO IV DIAGRAMA MOMENTO – CURVATURA APROXIMADO
Figura 4.1. Curvas idealizadas momento – curvatura para una sección que falla a tracción. El diagrama momento – curvatura para una viga, en que fluye el acero a tracción se puede idealizar por la relación trilineal presentada en la figura 4.1a. La primera etapa es el agrietamiento, la segunda a la fluencia del acero a tracción y la tercera al límite de la deformación útil en el concreto. En muchos casos es suficientemente exacto idealizar la curva todavía más hasta cualquiera de las dos relaciones bilineales mostradas en las figuras 4.1b y 4.1c, que proporcionan grados sucesivos de aproximación. La figura 4.1a es una curva virgen idealizada que representa el comportamiento a la primera carga. Una vez que se desarrollan las grietas, como sucede en la mayoría de la s vigas bajo cargas de servicio, la relación M- φ es casi lineal desde la carga cero hasta el inicio o arranque de la fluencia. En consecuencia, las curvas bilineales de las figuras 4.1b y 4.1c son buenas aproximaciones aproximaciones para vigas inicialmente inicialmente agrietadas.
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4.1
INICIO DEL AGRIETAMIENTO DEL CONCRETO A TRACCIÓN
As1
(n-1) As1
d1 c d2
h
h
C.G. (n-1) As2
As 2
b
b
√ √ ( ) f cc cc
cc
As1
d1 c d2
h
h-c
As 2 ct =
cr
f ct ct = f r r
√ √ ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
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4.2
INICIO DE LA FLUENCIA DEL ACERO A TRACCIÓN f C
c
As1
d1
S1
c
c - d1
CC= 0.5fC bc - A S1 f C1 CS = AS1 f S1
d2
h
d2- c As 2 S2 =
y
TS = AS2 f S2
b
Equilibrio:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Compatibilidad:
Leyes Constitutivas:
Reemplazando Reemplazando las leyes constitutivas en el equilibrio: equilibrio:
√ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
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4.3
INICIO DEL APLASTAMIENTO DEL CONCRETO c
As1
d1
= 0.003
S1
c
c - d1
0.85f'c Cc = 0.85f'c (bB1c - AS1) CS = AS1 f S1
B1c
d2
h
d2- c As 2 S2 =
TS = AS2 f S2
y
b
Equilibrio:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Compatibilidad:
Leyes Constitutivas:
Iterando la dimensión del eje neutro “c” hasta cumplir el equilibrio:
Ductilidad de una sección de concreto armado sin confinar
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CAPÍTULO V EJEMPLOS DE APLICACIÓN Ejemplo 1. Determinar el diagrama momento-curvatura aproximado y su ductilidad para la sección mostrada. Considere para el acero un comportamiento elasto-plástico perfecto y para el concreto el bloque rectangular de esfuerzos. Conside re f’c=27.6 MPa, fy=414 Mpa, Es=200000 Mpa. 2 Ø 1''
75mm
525mm
600mm
3 Ø 1''
300mm
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Ejemplo 2. Determinar el diagrama momento-curvatura (5 puntos) y su ductilidad para la sección mostrada. Considere para el acero un comportamiento elasto-plástico perfecto y para el concreto el modelo de Hognestad. Conside re f’c=27.6 MPa, fy=414 Mpa, Es=2 00000 Mpa.
2 Ø 1''
75mm
525mm
600mm
3 Ø 1''
300mm
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Ejemplo 3. Determinar el diagrama momento-curvatura y su ductilidad mediante el programa SAP2000 para la sección mostrada. Considere para el acero un comportamiento elasto-plástico perfecto y para el concreto el modelo de Hognestad. Conside re f’c=27.6 MPa, fy=414 Mpa, Es=200000 Mpa. 2 Ø 1''
75mm
525mm
600mm
3 Ø 1''
300mm
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