Diskretni Sustavi Upravljanja - Pitanja i Odgovori Za Usmeni Ispit

Pitanja i odgovori za usmeni ispit iz kolegija

Diskretni sustavi upravljanja

Diskretni sustavi upravljanja - pitanja i odgovori za usmeni ispit

Što su signali

1.

Signale je moguće definirati kao funkcije koje nose informaciju. Matematički, signale je moguće prikazati funkcijama jedne ili više nezavisnih varijabli. Ovisno o načinu prijenosa i obrade unutar sustava automatskog upravljanja, signali mogu biti:

2. o

o

o

Kontinuirane Signali kontinuirani po vremenu, kod kojih je nezavisna varijabla (vrijeme t) kontinuirana veličina, dok amplituda (zavisna varijabla) može b iti kontinuirana (analogni signal - slika a) ili diskretna veličina (kvantizirani signal - slika b),

Diskretne Signali diskretni po vremenu, kod kojih je nezavisna va rijabla (vrijeme t) diskretna veličina a zavisna varijabla (amplituda) diskretna veličina (diskretni signal - slika c) ili kvantizirana veličina (digitalni signal - slika d).

Hibridne Hibridni sustav je sustav kod kojega postoje i kontinuirani i diskretni signali npr. sustavi automatskog upravljanja koji su voĎeni digitalnim računalom. Za takve sustave, umjesto hibridni, uobičajeno se koristi naziv digitalni sustavi upravljanja.

3.

Razlika izmeĎu kontinuiranog i diskretnog signala. Razlika izmeĎu kontinuiranog i diskretnog signala je u tome što iznosi koje amplituda diskretnog signala može poprimiti nisu kontinuirani kao kod analognog signala ili kvantizirani kao kod digitalnog signala. U slučaju kada je perioda uzorkovanja vrlo mala, gubi se u tome smislu razlika izmeĎu diskretnog i digitalnog signala.

4.

Razlika izmeĎu diskretnog i digitalnog signala. Razlika diskretnog i digitalnog signala je u tome što iznosi koje amplituda diskretnog diskr etnog signala može poprimiti nisu kvantizirani, kao što je slučaj kod digitalnog signala. U slučaju kada je perioda uzorkovanja vrlo mala, gubi se u tome smislu razlika izmeĎu diskretnog i digitalnog signala.

2


Što su signali

1.

Signale je moguće definirati kao funkcije koje nose informaciju. Matematički, signale je moguće prikazati funkcijama jedne ili više nezavisnih varijabli. Ovisno o načinu prijenosa i obrade unutar sustava automatskog upravljanja, signali mogu biti:

2. o

o

o

Kontinuirane Signali kontinuirani po vremenu, kod kojih je nezavisna varijabla (vrijeme t) kontinuirana veličina, dok amplituda (zavisna varijabla) može b iti kontinuirana (analogni signal - slika a) ili diskretna veličina (kvantizirani signal - slika b),

Diskretne Signali diskretni po vremenu, kod kojih je nezavisna va rijabla (vrijeme t) diskretna veličina a zavisna varijabla (amplituda) diskretna veličina (diskretni signal - slika c) ili kvantizirana veličina (digitalni signal - slika d).

Hibridne Hibridni sustav je sustav kod kojega postoje i kontinuirani i diskretni signali npr. sustavi automatskog upravljanja koji su voĎeni digitalnim računalom. Za takve sustave, umjesto hibridni, uobičajeno se koristi naziv digitalni sustavi upravljanja.

3.

Razlika izmeĎu kontinuiranog i diskretnog signala. Razlika izmeĎu kontinuiranog i diskretnog signala je u tome što iznosi koje amplituda diskretnog signala može poprimiti nisu kontinuirani kao kod analognog signala ili kvantizirani kao kod digitalnog signala. U slučaju kada je perioda uzorkovanja vrlo mala, gubi se u tome smislu razlika izmeĎu diskretnog i digitalnog signala.

4.

Razlika izmeĎu diskretnog i digitalnog signala. Razlika diskretnog i digitalnog signala je u tome što iznosi koje amplituda diskretnog diskr etnog signala može poprimiti nisu kvantizirani, kao što je slučaj kod digitalnog signala. U slučaju kada je perioda uzorkovanja vrlo mala, gubi se u tome smislu razlika izmeĎu diskretnog i digitalnog signala.

2


5.

Što je diskretizacija Diskretizacija (eng. discretization) je pojam koji označava zamjenu kontinuiranog signala s njegovim diskretnim iznosima. Diskretizirani signal moguće je prikazati kao:

6.

Što je uzorkovanje Uzorkovanje (eng. sampling) predstavlja diskretiziranje po vremenu, te govorimo o vremenskoj diskretizaciji ili uzorkovanju po vremenu - slika. Prema tome, uzorkovanje je vremenski ovisan postupak, dok diskretizacija i ne mora biti vremenski ovisna.

Uzorkovanje (diskretiziranje po vremenu) kontinuiranog signala daje diskretni signal

7.

Što je kvantizacija Kvantizacija (eng. quantization) je proces zaokruženja ili ograničavanja amplitude signala na

jedan iznos iz konačnog skupa iznosa. Kvantiziranje predstavlja diskretizaciju signala po razini (amplitudi) - slika

Kvantiziranje (diskretizacija po amplitudi)

3


Što je digitalizacija

8.

Digitalizacija (eng. digitization) je pojam koji označava zamjenu kontinuiranog signala sa signalom kod kojega se obavlja diskretiziranje signala po vremenu (uzorkovanje) i diskretiziranje po razini (kvantiziranje) - slika. Pod pojmom digitalizacije često se susreće diskretizacija po dva

ili više različitih parametara signala. To i ne mora biti vrijeme, te npr. imamo digitalizacija slike, digitalizacija zvuka itd.

Digitalizacija (diskretizacija po vremenu i

9.

Kako se realiziraju diskretni sustavi Diskretni sustavi realiziraju se diskretiziranjem signala po vrem enu (uzorkovanje), amplitudi (kvantiziranje) ili po vremenu i am plitudi (digitaliziranje). Pod diskretnim sustavom automatskog upravljanja razumijeva se sustav s barem jednim elementom koji obavlja diskretiziranje kontinuiranog signala.

Diskretni sustavi mogu se prema načinu diskretizacije podijeliti na

10. o o o

11.

impulsne sustave kod kojih se diskretiziranje obavlja po vremenu - uzorkovani sustavi relejne sustave kod kojih se diskretiziranje obavlja po razini (amplitudi) – kvantizirani sustavi digitalne sustave kod kojih se diskretiziranje obavlja po vremenu i amplitudi – digitali zirani sustavi

Linearnu teoriju sustava može se primijeniti n a digitalne sustave upravljanja ako je digitalizacija obavljena uz:

Samo na impulsne sustave moguće je primijeniti linearnu teoriju sustava. Za relejne i digitalne sustave vrijedi nelinearna teorija sustava. U sustavima automatskog upravljanja od interesa nam je diskretizacija po vremenu.

4


12.

Diskretiziranje po vremenu (uzorkovanje), moguće je obavljati: o

periodički s jednom frekvencijom uzorkovanja (eng. uniforrn rate sampling) ili ako se uzorkuje više od jednog signala s dvije i više frekvencije uzorkovanja (za svaki signal njegova frekvencija uzorkovanja - slika c 1 i c2),

o

13.

neperiodički (s preskočenim uzimanjem uzorka (eng. skip sampling) s promjenjivom učestalošću uzorkovanja (eng. variable sampling), stohastički kada je uzimanje uzoraka potpuno stohastičko).

Objasniti periodičko i neperiodičko uzorkovanje Kod periodičkog uzorkovanja uzorci kontinuiranog signala uzimaju se u pravilnim vremenskim razmacima (slika a). Perioda uzorkovanja (T) je vrije me izmeĎu uzimanja uzoraka. Frekvencija uzorkovanja ( ) predstavlja broj uzimanja uzoraka u jedinici vremena. Često se umjesto frekvencije uzorkovanja

koristi kružna frekvencija uzorkovanja

[rad/s], koja se skraćeno takoĎer zove frekvencija uzorkovanja. Neperiodičko uzorkovanje s preskočenim uzimanjem uzorka je ono pri kojem se uzorci kontinuiranog signala ne uzimaju u pravilnim vremenskim razmacima. Na primjer, nakon dva uzimanja uzorka u razmaku od T, čeka se 6T, te se ponovno u razmaku od T uzimaju dva uzorka (slika b).

Kod stohastičkog uzorkovanja uzimanje uzoraka kontinuiranog signala obavlja se u slučajno odabranim trenucima.

14.

Kako se ostvaruje diskretiziranje po vremenu (uzorkovanje) Diskretiziranje po vremenu (uzorkovanje), ostvaruje se modulacijom signala. Diskretni element (DE) - ureĎaj koji kontinuirane signale pretvara u slijed impulsa. Diskretni element je modulator kojim se obavlja uzorkovanje kontinuiranog signala. Uzorkovanje je proces

pomoću kojega se kontinuirani signal mjeri ili predstavlja svojim vrijednostima u odvojenim fiksiranim trenucima. Ako je uzimanje uzoraka dovoljno često, može se pokazati daje diskretizirani signal

ekvivalentan kontinuiranom signalu y (t ).

5


Navesti i pojasniti najčešće modulacije signala

15.

Diskretiziranje po vremenu (uzorkovanje), ostvaruje se modulacijom signala. Najčešće su u upotrebi: o

amplitudno-impulsna modulacija (AIM)

o

širinsko-impulsna modulacija (ŠIM)

o

vremensko-impulsna modulacija (VIM).

Kod amplitudno-impulsne modulacije visina impulsa proporcionalna je amplitudi kontinuiranog signala (slika a).

Kod širinsko-impulsne modulacije trajanje impulsa ( τ) proporcionalno je amplitudi kontinuiranog signala, a visina i perioda ponavljanja impulsa su konstantni (slika b). Vremensko-impulsna modulacija je takva vrsta modulacije kod koje su širina i amplituda impulsa

konstantni, a perioda ponavljanja impulsa se smanjuje proporcionalno s povećanjem amplitude kontinuiranog signala (slika c). Takva vremensko- impulsna modulacija zove se još i frekvencijsko-impulsna modulacija, za razliku od fazno- impulsne modulacije koja takoĎer spada u grupu vremensko-impulsnih modulacija

Linearni diskretni sustavi su sustavi s amplitudno-impulsnim modulatorom (diskretnim elementom), te linearnim kontinuiranim dijelom

Navesti po jedan primjer diskretnog sustava:biološki, tehnički, ekonomski

16. o o o

17.

biološki - neuroni u mozgu, vožnja automobila, ... tehnički – sonar, radar, sustavi za navigaciju, NC sustav, ... ekonomski – bankarski izvještaji, podaci za popis stanovništva , ... Objasniti diskretni element

Amplitudno-impulsna modulacija ostvaruje se u diskretnom elementu, ureĎaju koji pretvara kontinuirani signal u niz uskih impulsa koji se pojavljuju u trenucima t = kT . Na slici dana je blok-shema diskretnog elementa, te ulazni i izlazni signal tog ureĎaja.

Diskretni element propušta signal s ulaza na izlaz samo u kratkom intervalu vremena τ, dok u ostalom dijelu periode diskretizacije nema prolaza signala kroz diskretni element. Vrijeme prolaska signala τ, vrlo je kratko u usporedbi s periodom diskretizacije T.

6


18.

Diskretni element kao modulator

Uzorkovanje se može shvatiti kao proces modulacije koji pretvara kontinuirani signal u niz impulsa, amplitude jednake amplitudi kontinuiranog signala u pripadnim trenucima. Diskretni element je prema tome modulator kojemu je ulazni signal, - signal modulacije, a niz jediničnih impulsa, - nositelj modulacije (slika ).

19.

Kako se dobije izlazni signal modulatora

20.

Pojasniti ponašanje funkcije ima važnu ulogu u procesu diskretizacije. Poznavanje karakteristika te funkcije bitno je za analizu ponašanja diskretnog elementa i diskretnih sustava. Budući daje funkcija periodička funkcija, istu se može prikazati u obliku Fourierovog reda Funkcija

gdje su

Funkcija

Fourierovi koeficijenti dani izrazom :

unutar periode diskretizacije opisana je izrazom (20.3)

Iz (20.2) i (20.3) proizlazi:

odnosno

7


za k=0

Iz (20.5) i (20.1) proizlazi:

Jednadžba (20.7) pokazuje da jedinična impulsna funkcija u sebi sadrži jednu istosmjernu komponentu , kao i beskonačan broj harmonika s opadajućom amplitudom. Amplituda -tog harmonika jednaka je:

Ona brzo opada s povećanjem " ". Na osnovi izraza (20.7) može se zaključiti da diskretni element prenosi originalni signal, ali takoĎer

i generira više harmonike dobivene procesom uzorkovanja. Posljedice uzorkovanja mogu se takoĎer pokazati usporedbom frekvencijskog spektra originalnog signala i uzorkovanog signala. Jednadžba

daje odnos uzorkovanog signala (

originalnog signala ( ). Ako se u jednadžbu

) i kontinuiranog -

uvrsti jednadžba (20.7) dobit

će se izraz:

Najjednostavniji način ispitivanja spektra sastoji se u pretpostavci da originalni signal sadrži samo jednu frekvencijsku komponentu. Takav signal opisuje se npr. funkcijom:

21.

Pojasniti frekvencijski spektar neke funkcije Frekvencijski spektar neke funkcije prikaz je raspodjele amplituda i faza, komponenata te

funkcije, na odreĎenim frekvencijama. 22.

Što prikazuje frekvencijski spektar periodičke funkcije Spektar periodičke funkcije je krivulja koja pokazuje am plitude sinusoidalnih komponenata u toj funkciji na pripadnim frekvencijama.

8


23.

Amplitudno-frekvencijski spektar za signal koji sadrži samo jednu frekvencijsku komponentu Amplitudno-frekvencijski spektar originalnog signala danog jednadžbom (20.10), sastoji se od dviju vertikalnih linija (ako uzmemo u obzir i negativne frekvencije), na frekvencijama , duljine jednake amplitudi signala na tim frekvencijama (slika ).

Spektar monoharmoničkog signala

24.

Diskretni frekvencijski spektri

Diskretni frekvencijski spektri često se zovu i linijski (slika), jer su sastavljeni od okomitih linija na odreĎenim frekvencijama. Energija periodičkog signala proporcionalna je duljini linije na frekvenciji signala. Frekvencijski spektar periodičkog signala, koji opisuje amplitudu i fazu frekvencijskih kompone nata signala, daje prikladan pregled informacije koja je sadržana u signalu

Spektar uzorkovanog monoharmoničkog signala

25.

Spektar uzorkovanog monoharmoničnog signala Slika u predhodnom pitanju.

26.

Spektar kontinuiranog signala s m harmoničkih komponenti U slučaju kada se originalni signal frekvencijskih komponenata u području sastoji od frekvencija izmeĎu 0 i [1/s], amplitudni frekvencijski spektar sastojat će se od okomitih linija, kao stoje prikazano na slici . Duljina pojedine linije jednaka je amplitudi pripadne frekvencijske komponente.

9


27.

Spektar uzorkovanog signala s m harmoničkih komponenti Na isti način kao u slučaju s jednom frekvencijskom komponentom, može se poka zati da će amplitudno-frekvencijski spektar diskretnog signala sadržavati ne samo prigušene komponente ., (slika) originalnog signala, već i komponente originalnog signala pomaknute za Spektar uzorkovanog signala s

harmoničnih

komponenti

28.

Spektar kontinuiranog signala s beskonačnim brojem frekvencijskih komponenata Ako originalni signal sadrži beskonačan broj frekvencijskih komponenata unutar frekvencijskog [1/s], tada se spektar može prikazati kontinuiranom krivuljom (slika ) područja 0 −

Spektar kontinuiranog signala s beskonačnim brojem frekvencijskih komponenata

29.

Spektar uzorkovanog signala s beskonačnim brojem frekvencijskih komponenata Signal koji sadrži beskonačan broj komponenata može se smatrati neperiodičkim, a to znači da se frekvencijski spektar takvog signala može odrediti iz frekvencijskog prikaza njegove Fourierove transformacije. Ovaj prikaz je kontinuirana funkcija frekvencije. Spektralna funkcija diskretiziranog signala dana je Fourierovim integralom jednadžbe (20.10)

Spektar uzorkovanog signala s beskonačnim brojem frekvencijskih komponenata

10


30.

Utjecaj diskretnog elementa na signal o

proširuje spektar originalnog signala na čitavo frekvencijsko područje, unoseći u uzorkovani signal komplementarne spektre na

o o

, ( k = 1, 2,...)

prigušuje originalni signal (gušenje se povećava s povećanjem frekvencije) umanjuje energetski sadržaj originalnog signala, jer uzorkovani signal ima Proširenje spektra nepovoljno djeluje na prijenos signala. Naime, na izlazu sustava automatskog upravljanja pojavljuju se nepoželjne oscilacije malih am plituda, što daje isti efekt kao da na sustav djeluje šum. Te oscilacije rezultat su prolaza visokofrekvencijskih komponenata uzorkovanog signala kroz preostali dio sustava (koji je u većini slučajeva niskofrekvencijski filter). Diskretni element koristi se u sustavima automatskog upravljanja, a njegov izlazni signal

, može se koristiti za upravljanje. MeĎutim, njegova slaba energija to onemogućava. Kada tada je površina ispod impulsa j ednaka amplitudi kontinuiranog signala, a to znači da impulsi nose samo informaciju o kontinuiranom signalu u trenucima uzimanja uzoraka 31.

Element za formiranje Diskretni element koristi se u sustavima automatskog upravljanja, a njegov izlazni signal

, može se koristiti za upravljanje. MeĎutim, njegova slaba energija to onemogućava. Kada tada je površina ispod impulsa j ednaka amplitudi kontinuiranog signala, a to znači da impulsi nose samo informaciju o kontinuiranom signalu u trenucima uzimanja uzoraka. Diskretni element se u sustavima automatskog upravljanja, zbog navedenih razloga, mora

proširiti s ureĎajem koji će restaurirati originalni signal iz uzorkovanog signala. To drugim riječima znači da će taj ureĎaj filtrirati visokofrekvencijske komponente u uzorkovanom signalu, dajući ujedno dovoljnu energetsku razinu dobivenom signalu. Takav ureĎaj zove se element za formiranje (slika )

Diskretni element i element za formiranje

Općenito, element za formiranje može na svom izlazu dati bilo kakav oblik signala. Na slici prikazan je pravokutni oblik signala. Element za formiranje je demodulator, a najčešća vrsta demodulatora koji se pojavljuju u sustavima automatskog upravljanja su oni kod kojih je

memoriranje signala protegnuto na čitav period uzorkovanja. Takvi elementi ekstrapoliraju (interpoliraju) signal izmeĎu dva susjedna uzimanja uzoraka s konstantom jednakom iznosu signala u prethodnom uzorku i imaju naziv ekstrapolatori nultog reda (ZOH elementi, eng. Order Hold), odnosno elementi sa zadrškom nultog reda.

11

Zero


Idealni diskretni element i ekstrapolator nultog reda (ZOH)

32.

Idealni diskretni element zove se Impulsni element.

33.

Razlika diskretni element-impulsni element

Impulsni element razlikuje se od diskretnog elementa u tome što nema inerciju, tj. kod njega je . On za razliku od diskretnog elementa ne smanjuje amplitude originalnog spektra s povećanjem frekvencije. 34.

Različito označavanje impulsnog elementa u blok shemama

35.

Da li je izlazni signal iz impulsnog elementa primjenjiv za upravljanje fizikalnog sustava i zašto S energetskog stajališta širina impulsa proporcionalna je energiji koju impuls nosi. U graničnom slučaju, kada trajanje impulsa teži nuli, izlazni signal i z impulsnog elementa ne sadrži energiju već samo informaciju, tj. nije primjenjiv za upr avljanje fizikalnog sustava. Da bi se neki proces pokrenuo nužno je da signal koji ga pobuĎuje ima pored informacijskog i energetski sadržaj. To znači da će se iza impulsnog elementa, a prije aktuatora morati u sustavu upravljanja ugraditi sklop kojim će se rekonstruirati energetski sadržaj signala - rekonstruktor odnosno element za formiranje.

36.

δ

funkcija

Fizikalno, δ funkcija odgovara impulsu beskonačne amplitude i beskonačno male širine s površinom impulsa jednakoj 1. 37.

Impulsni element može se promatrati kao modulator koje funkcije Impulsni element moguće je promatrati kao modulator δ funkcije (slika), jer je izlazni signal niz moduliranih

δ

funkcija.

Idealizirani diskretni element kao impulsni modulator

12


38.

Objasniti rekonstruktor Element za formiranje (rekonstruktor) je sklop koji rekonstruira kontinuirani signal (s ulaza impulsnog elementa) iz uzorkovanog signala (na izlazu impulsnog elementa) (slika)


39.

U sustav upravljanja koji sadrži i impulsni elem ent i aktuator, rekonstruktor se ugraĎuje: U sustav upravljanja koji sadrži i impulsni elem ent i aktuator, rekonstruktor se ugraĎuje iza impulsnog elementa, a prije aktuatora jer se mora rekonstruirati ener getski sadržaj signala.

40.

Što predstavlja funkcija je idealna funkcija diskretiziranja predstavljena nizom jediničnih impulsa (slika b), odnosno „nositelj― modulacije. Funkcija

41.

Što predstavlja funkcija Funkcija

42.

je zakašnjela impulsna funkcija koja se pojavljuje u trenutku

Što predstavlja funkcija je izlazni signal impulsnog modulatora.

13

.


43.

Kako se formira signal Signal

44.

formira se množenjem

i

Laplaceova transformacija signala Primjenom Laplaceove transformacije na izlazni signal impulsnog elementa

proizlazi diskretna Laplaceova trasformacija:

odnosno

Gornji izraz pokazuje da je Laplaceova transf ormacija signala periodička funkcija s periodom . Općenito se može ustvrditi da periodička kontinuirana vremenska funkcija ima diskretne frekvencijske spektre, a diskretna vremenska funkcija, dobivena periodičkim

diskretiziranjem, ima periodičke frekvencijske spektre. Poznavanje frekvencijskog spektra u osnovi je ekvivalentno poznavanju vremenske funkcije. 45.

Da li impulsni element sadrži inerciju Za razliku od diskretnog elementa, impulsni ele ment ne sadrži inerciju, pa zbog toga ne

povećava gušenje s povećanjem frekvencije. 46.

Da li impulsni element povećava gušenje s p ovećanjem frekvencije Ne, jer ne sadrži inerciju.

47.

Spektar ulaznog (kontinuiranog) i izlaznog signala impulsnog elementa

Spektar

ulaznog

a)

i

izlaznog

signala impulsnog elementa b)

14


48.

Slika prikazuje spektar originalnog signala:

Skicirati spektar

49.

Slika prikazuje spektar originalnog signala:

Skicirati spektar

50.

Za spektar uzorkovanog signala

Prikazati restauraciju originalnog spektra iz uzorkovanog signala

15


Uključivanje impulsnog elementa u regulacijski krug ima za posljedicu:

51. o

o

o

proširenje spektra na čitavo frekvencijsko područje zbog pomicanja originalnog spektra za ( ,...)- učinak šuma omogućuje "time sharing"

o

gubitak energetske razine kontinuiranog signala

o

52.

deformaciju kontinuiranog signala, tj. gubitak jednog dijela korisne informacije sadržane u kontinuiranom signalu generiranje visokofrekvencijskih komponenata u diskretnom signalu

Kako često treba uzimati uzorke da bi uzorkovani signal bio ekvivalentan kontinuiranom ) veća od dvostruke ), uzorkovani signal potpuno će vjerno prenositi

Teorem (Impulsni teorem). Ako je srednja frekvencija uzorkovanja (

najviše frekvencije u kontinuiranom signalu ( svojstva kontinuiranog signala.

53.

Objasniti kako se istovremeno jednim kabelom može prenijeti više signala Tako da se uzimaju uzorci u različitim vr emenskim trenucima.

54.

Što je element za formiranje (rekonstruktor) Element za formiranje (rekonstruktor) je sklop koji rekonstruira kontinuirani signal (s ulaza impulsnog elementa) iz uzorkovanog signala (na izlazu impulsnog elementa) (slika)


55.

Frekvencijska karakteristika elementa za formiranje Frekvencijska karakteristika elementa za formiranje mora prema tome imati oblik nisko-frekvencijskog filtera, kako

bi se odstranile neželjene visokofrekvencijske komponente, (slika)

16


56.

Ekstrapolator nultog reda - skicirati signal na ulazu i izlazu

Kada se element za formiranje projektira tako da u intervalu izmeĎu dva uzimanja uzorka funkciju

aproksimira s polinomom nultog reda, tj.konstantom jednakoj vrijednosti funkcije na početku intervala,

tada se takav element zove ekstrapolator nultog reda odnosno sklop sa zadrškom nultog reda (ZOH element). Na slici prikazan je izlazni signal ZOH elementa (eng.

57.

Zero Order Hold)

Ekstrapolator prvog reda-skicirati signal na ulazu i izlazu Ako element za formiranje aproksimira kontinuiranu funkciju polinomom prvog reda u intervalu

izmeĎu dva uzimanja uzorka

tada se takav element zove ekstrapolator prvog reda odnosno element sa zadrškom prvog reda (FOH element). Na slici se prikazanje oblik izlaznog signala ek strapolatora prvog reda (eng. First Order Hold).

58.

Ekstrapolator drugog reda – koliko podataka o funkciji treba za aproksimaciju funkcije u Za ekstrapolator drugog reda potrebna su tri podatka o funkciji u trenutku prethodna trenutka .

17

i u dva


59.

Ekstrapolatori višeg reda – koliko podataka o funkciji treba za aproksimaciju funkcije u

Za odreĎivanje derivacije funkcije u nekoj točci potrebno je to više podataka, što je veći red derivacije koja se traži. Ekstrapolatori višeg reda točnije aproksimiraju kontinuirani signal, nepovoljno utječu na stabilnost, jer unose u sustav veće kašnjenje i učinkovitije filtriraju visokofrekvencijske komponente sadržane u uzorkovanom signalu. Pri projektiranju ekstrapolatora treba imati na umu dva kontradiktorna zahtjeva , a to su dozvoljene količine visokofrekvencijskih komponenti u izlaznom signalu ekstrapolatora, te potrebna stabilnost, tj. dinamička svojstva sustava. Rješenje je očito u kompromisu meĎu tim zahtjevima. 60.

Najčešći ekstrapolatori Zbog visokih troškova i konstrukcijskih problema koji se javljaju pri projektiranju ekstrapolatora viših redova, kao i zbog faznih pomaka koje oni unose u sustav, najčešće se susreću ekstrapolatori nultog reda a ponekad i ekstrapolatori prvog reda. Oni u praksi potpuno zadovoljavaju, pogotovo kada su frekvencije diskretiziranja veće, što je skoro uvijek slučaj kod sustava voĎenih digitalnim računalom.

61.

Navesti primjer sklopa koji vrši funkciju ekstrapolatora nultog reda D/A pretvornici koji se mogu naći na tržištu su ekstrapolatori nultog reda.

62.

Da li idealni rekonstruktor može biti idealni ekstrapoplator nultog reda? Ne, osim ako ne uzorkujemo po odsječcima konstantan signal s trajanjem odsječka jednakim periodi uzorkovanja.

63.

Amplitudno-frekvencijska karakteristika ekstrapolatora nultog reda

Na slici je vidljivo da se ovdje radi o niskofrekvencijskom filteru koji propušta niskofrekvencijske osnovne komponente, a guši pomaknute visokofrekvencijske komponente dobivene uzorkovanjem kontinuiranog signala.

Amplitudna a) i fazna frekvencijska karakteristika b) ZOH elementa

18


64.

Fazno-frekvencijska karakteristika ekstrapolatora nultog reda Na slici je dana frekvencijska karakteristika ekstrapolatora nultog reda podijeljena s periodom uzorkovanja u polarnom koordinatnom sustavu .

Frekvencijska karakteristika ZOH elementa u polarnom prikazu

65.

Prednosti ZOH elementa o o

66.

jednostavnost izvedbe zbog čega je vrlo čest u praksi (A/D pretvornik) moguće gaje koristiti i kod neperiodičkog uzorkovanja Nedostaci ZOH elementa

o

točno rekonstruira samo stepeničaste signale koji su konstantni tijekom periode uzorkovanja za sve ostale signale rekonstrukcija daje pogre šku

o

filtriranje VF komponenti je daleko od idealnog

o

fazno zaostajanje na frekvencijama

o

o

,...) iznosi -180°, te destabilizira sustav. Ekstrapolator nultog reda može se promatrati i kao sustav s usporenjem (slika pitanje 64.). Uz pravilno odreĎen period uzorkovanja, prema vremenskim konstantama u sustavu, on može i poboljšati stabilnost, pogotovo ako stabilizacija zahtijeva korekciju s faznim zaostajanjem (

smanjenje periode uzorkovanja T ima za posljedicu smanjenje poja čanja i povećanje propusnog opsega tj. degradaciju VF filterskih sposobnosti ZO H elementa. Ako se želi dobiti idealna rekonstrukcija (uz pretpostavku da nema preklapanja (aliasing) spektra), tada bi amplitudna frekvencijska karakteristika unutar frekvencijskog intervala trebala biti (vidi sliku pitanje 55):

a fazna:

19


67.

Ako signal ima ograničeni frekvencijski spektar, kakva bi trebala biti amplitudna frekvencijska karakteristika za idealnu rekonstrukciju signala

68.

Ako signal ima ograničeni frekvencijski spektar, kakva bi trebala biti fazno-frekvencijska karakteristika za idealnu rekonstrukciju signala

69.

Ako se signal frekvencije 1Hz i drugi signal frekvencije 5 Hz uzorkuje frekvencijom 4Hz, da li se

na temelju uzorkovanog signala mogu razlučiti uzorkovani originali? Ne. 70.

Ako se signal frekvencije 1Hz uzorkuje frekvencijom 4Hz, da li se prenosi oblik uzorkovanog originala?

Ne. Za to je potrebno uzorkovati frekvencijom koja je 10 do 20 puta veća od najveće frekvencije originalnog signala. 71.

Ako se želi da uzorkovani signal ima što vjerniji oblik originalu, što treba napraviti s frekvencijom uzorkovanja?

Ukoliko želimo da nam maksimalna pogreška kod rekonstrukcije amplitude bude unutar 1% tada treba biti N ≥300. 72.

Izbor periode uzorkovanja temeljem pokazatelja otvorenog kruga a) Diskretni sustav moguće je aproksimirati ekstrapolatorom nultog reda serijski povezanog s procesom (slika).

ZOH element u seriji s kontinuiranim dijelom sustava

Za male periode uzorkovanja, ZOH je mogu će zamijeniti s kašnjenjem od

jer je:

Ako dozvoljavamo da fazno osiguranje uslijed djelovanja ZOH bude pogoršano za najviše treba vrijediti: 5° do 15°, tada na frekvenciji presjeka

20


odakle: dok je Nyquistova frekvencija uz

odnosno frekvencija uzorkovanja u tom slučaju: b) Druga mogućnost jest da se iz amplitudne frekvencijske karakteristike otvorenog kontinuiranog dijela sustava (LAFK), odredi frekvencija —

, kod koje gušenje padne na

. Preporuka je da se period uzorkovanja tada odredi prema:

S takvim izborom pogreška u realizaciji diskretiziranog sustava u odnosu na originalni kontinuirani sustav ne premašuje posto. 73.

Izbor periode uzorkovanja temeljem pokazatelja zatvorenog kruga Postoji nekoliko preporuka za izbor periode uzorkovanja na temelju nekog od pokazatelja kvalitete zatvorenog sustava upravljanja. a) Budući da propusni opseg

odnosno vrijeme porasta

daju pokazatelj brzine odziva zatvorenog sustava, to oboje mogu poslužiti kod izbora periode uzorkovanja. Tako je:

odnosno:

Ako se sa

označi broj uzimanja uzoraka u vremenu porasta, tada će biti

Katkada je korisno opisati periodu uzorkovanja s bezdimenzijskom varijablom koja ima dobru fizikalnu interpretaciju. Kod oscilatornih sustava takva varijabla je perioda oscilacija, dok je kod neoscilatornih sustava to vrijeme porasta. Tako će npr. za sustave prvog reda

bez konačne nule vrijediti daje vrijeme porasta jednako vremenskoj konstanti sustava. Kada je sustav npr. drugog reda (bez konačnih nula) i oscilatoran tada je

odnosno:

odakle slijedi:

21


Ako je

. Gornje preporuke, da se uzorkuje sa četiri do deset uzimanja uzoraka po vremenu porasta ili pak dvadesetak uzimanja uzoraka po periodi pokazale su se u praksi najprihvatljivijima.

b) Ako se poznaje vrijeme smirivanja odabere deseti dio tog iznosa

tada je preporuka da se za period diskretizacije

Ako je najmanja vremenska konstanta sustava manja od tako dobivene periode , tada se preporučuje da se za periodu uzorkovanja uzorkovanja odabere:

Taj izbor predstavlja procjenu od koje treba po ći pri izboru prave periode uzorkovanja, koju je moguće odrediti naknadnim ispitivanjem sustava simulacijom. Ova preporuka dobra je za spore sustave s velikom inercijom i pokazala se dobra za izbor integracijskog intervala kod numeričke integracije u simulacijama na digitalnom računalu. c)

Treća mogućnost izbora periode uzorkovanja osniva se na frekvencijskom prikazu odziva sustava na skokovitu pobudu. Ako se iz dobivene frekvencijske krivulje odredi

frekvencija kod koje je gušenje u sustavu veliko, na primjer ili tada se temeljem te frekvencije perioda uzorkovanja može po impulsnom teoremu odrediti kao:

d) Za pokretne objekte moguće je izbor periode uzorkovanja vezati uz brzinu kojom se kreću. Tako je npr. za brodove preporučljivo odabrati za periodu uzorkovanja vrijemekoje je potrebno brodu da prevali deseti dio svoje duljine Navedene preporuke pri izboru perioda diskretiziranja su početni korak, koji uz naknadna

ispitivanja sustava (na primjer, simulacijom na računalu), mogu olakšati brže i točnije definiranje odgovarajućeg perioda uzorkovanja . U praksi se pokazalo da je preporuka najprihvatljivija i u većini slučajeva daje najbolju procjenu periode uzorkovanja. U procesnoj industriji zbog sličnih procesa koje treba automatizirati, perioda uzorkovanja na neki način je standardizirana i vezana je uz vrstu glavne fizikalne varijable koja se uzorkuje. Tako je perioda uzorkovanja obično: Fizikalna varijabla

Tok fluid a

Razin e

Tlako vi

Temperatur e

smjes e

Perioda uzorkovanj a [s]

1÷3

5÷10

1÷5

10÷20

10÷20

Komercijalni digitalni regulatori k oji se koriste za nekoliko petlji imaju fiksirani period uzorkovanja od oko 200 [ms]. U petljama s PI regulatorom uzorkuje se s 2 ÷ 6 uzoraka po vremenskoj konstanti, dok se kod petlji s PID regulatorom uzorkuje s 5 ÷ 10 uzoraka po vremenskoj konstanti. 74.

Kakvi su spektri sustava upravljanja

Spektri sustava upravljanja koji se uzorkuju nemaju ograničeni spektar, budući da je u sustavima automatskog upravljanja preklapanje spektra (aliasing) neizbježno zbog toga će svako uzorkovanje rezultirati šumom u uzorkovanom signalu.

22


75.

Što je aliasing? Preklapanje spektra.

76.

Da li u signalima sustava automatskog upravljanja postoji aliasing? Da.

77.

U sustavima automatskog upravljanja prije uzorkovanja signal se mora kondicionirati-kako?

Takav se signal prethodno filtrira od šumova koji u njemu postoje. Filteri koji to obavljaju nazivaju se pretfilteri odnosno antialiasingfilteri.

78.

Kakvi su to antialiasing filteri?

Budući da su šumovi obično na visokim frekvencijama, antialiasing filteri moraju biti niskopropusni filteri koji su ugoĎeni na Nyquistovu f rekvenciju . Takav bi filter u . Ovi filteri imaju idealnom slučaju morao otkloniti sve komponente u signalu koje su više od stoga strmiju amplitudnu frekvencijsku karakteristiku iznad gornje granične frekvencije od običnih NF filtera, koji se takoĎer koriste za kondicioniranje signala, kao što je npr . filter drugog reda

. Antialiasing filteri se projektiraju ovisno o frekvenciji

uzorkovanja, te za svaki signal koji se u zorkuje mora postojati jedan takav f ilter. 79.

Da li se antialiasing filter stavlja prije ili poslije impulsnog elementa? Prije (slika pitanje 77.).

80.

Prije uzorkovanja iz signala treba izdvojiti poremećajne komponente-kako? Prvenstveno se treba pozabaviti pravilnim izborom odgovarajućeg perioda uzorkovanja A/D pretvornika i frekvencijama koje su prisutne u uzorkovanom s ignalu. Da bi se eliminirao aliasing treba: o

o

o

Postaviti koristan propusni opseg mjerenja,

Odabrati odgovarajući senzor s dovoljno propusnog opsega, Odabrati niskopropusni ili uskopropusni antialiasing analogni filter koji može eliminirati sve komponente iznad ili izvan frekvencija u propusnom opsegu,

o

Uzorkovati s frekvencijom koja je barem dvostruko veća od gornje granične frekvencije filtera.

Ili kraći odgovor : Ovo se može obaviti s različitim filterima s propusnim opsegom ugoĎenim na frekvenciju korisnog signala.

23


81.

Nabrojiti barem dvije vrste filtera za izdvajanje korisnog signala

Buttenvorth, bessel, filter Chebvsheva, eliptički i drugi filteri. Eliptički filteri postižu tražene zahtjeve s najmanjim redom filtera u odnosu na ostale.Amplitudna frekvencijska karakteristika eliptičkog filtera je jednoliko valovita u propusnom i nepropusnom području. Buttenvorth filteri daju najbolju aproksimaciju Taylorovim redom idealnog niskopropusnog filtera.Amplitudna frekvencijska karakteristika butterworth filtera je maksimalno ravna u propusnom i monotona u ostalom području.

Analogni bessel filteri u svojem propusnom opsegu mogu najbolje sačuvati oblik originalnog signala, jer im je grupno kašnjenje maksimalno ravno. Oni moraju biti najvišeg reda u odnosu na ostale, jer im je prigušenje lošije. Amplitudna karakteristika Chebishevljevog filtera I vrste je jednoliko valovita u propusnom i monotona u nepropusnom području, dok je za filter II vrste obratno. 82.

Primjenom Laplaceove transformacije na diskretnu funkciju diskretna Laplaceova transformacija. Napisati izraz za .

83.

Kako se iz

proizlazi

dobije

Tako da se u predhodnom izrazu u pitanju 82.

zamjeni sa

pa se dobije jednostrana

– transformacija. 84.

Napisati jednostranu

85.

Što je

-transformaciju

(eng. Region of Convergence) predstavlja područje iznosa koje može poprimiti kompleksna varijabla u – ravnini i za koje iznose će beskonaćan red konvergirati. 86.

Definicija kompleksne varijable

U kompleksnoj ravnini gore navedeni izraz pre dstavlja kružnicu radijusa

24

.


87.

Da li više različitih kontinuiranih funkcija može imati istu

-transformaciju?

, tada se mora poznavati , jer Da. Ako se želi dobiti jednoznačan odgovor o originalu se može dogoditi da dvije potpuno različite sekvence imaju istu – transformaciju. Pored jednostrane – transformacije postoji i dvostrana dana sa:

88.

Skicirati desnu jediničnu skokovitu sekvencu

Desna jedinična skokovita skvenca

desne skokovite sekvence je izvan kružnice

Kao što se vidi, je područje izvan jedinične kružnice. Ovaj rezultat moguće je loopćiti i reći da sve desne sekvence imaju izvan kružnice čiji radijus definira najudaljeniji pol od ishodišta, jer ne smije sadržavati polove funkcije. 89.

Skicirati lijevu jediničnu skokovitu sekvencu

Lijeva jedinična skokovita sekvenca

Kada god je

lijeve skokovite sekvence je unutar kružnice

u unutrašnjosti kružnice čiji radijusje definiran polom, tada je sekvenca lijeva

Kao što se vidi, dvije potpuno različite sekvence desna i lijeva jedinična skokovita sekvenca imaju iste - transformacije. Jedino što ih razlikuje i po čemu se može zaključiti o kojoj je . sekvenci riječ je njihov

25


90.

Skicirati konvergirajuću desnu sekvencu

91.

Skicirati divergirajuću desnu sekvencu

92.

Za desne sekvence

-transformacija konvergira ako

sadrži ..

sadržiu sebi jediničnu kružnicu (slika a), ako to nije slučaj (slika b) obje transformacije divergiraju. Pol mora biti unutar jedinične kružnice za stabilnost sekvence! Za desne sekvence

93.

Da li

-transformacija konvergira ako

-transformacija daje odgovor o ponašanju funkcije izmeĎu trenutaka uzorkovanja

Ne.

-transformacija daje vrijednost funkcije samo u trenucima uzorkovanja, a nedaje odgovor o ponašanju funkcije izmeĎu trenutaka uzorkovanja. trenutaka uzorkovanja. Za to je potrebno poznavati .

26


94.

Za što se koristi

-transformacija

Za dobivanje vrijednosti funkcije samo u trenucima uzorkovanja. 95.

96.

Navesti barem dva postupka za odreĎivanje

-transformacije

o

Korištenjem izraza za

– transformaciju

o

Primjenom teorema o kompleksnoj konvoluciji

o

Korištenjem gotovih tablica ili programskih paketa

-transformacije Koja je razlika izmeĎu i modificirane – transformacij a odreĎuje ponašanje sustava samo u trenucima uzorkovanja. –transformacijom moguće je dobiti kompletniju sliku ponašanja sustava, odnosno možemo dobiti informaciju o signalu i izmeĎu dva uzorka. – transformacij a je samo specijalni slučaj –transformacije. Osnovna je ideja modifikacije u kašnjenju ili prethoĎenju signala. Kod kašnjenja signala je definirana izrazom

Kod predhoĎenja signala

je definirana izrazom

Dakle proizlazi 97.

Za što se koristi inverzna

-transformacija

Za odeĎivanje ili , odnosno dobivanje vrijednosti originalne funkcije u trenucima diskretiziranja i dobivanje približne procjene funkcije originala , te se vrlo često koristi za odreĎivanje originala. 98.

Skicirati blok shemu linearnog diskretnog sustava

99.

Skicirati serijsku vezu D/A pretvornika i procesa

100. Skicirati serijsku vezu D/A pretvornika i procesa za potrebe analize i sinteze diskretnih sustava

27


101. Što je strukturna shema nekog sustava Strukturna shema nekog sustava u stvari je grafički prikaz diferencijalne, odnosno jednadžbe

diferencija sustava. Ona pokazuje protok signala u sustavu i meĎusobnu vezu pojedinih elemenata sustava. Ako se analiza diskretnog sustava obavlja uz pomoć -transformacije, tada se sustav predstavlja blok shemom iz koje se može odrediti funkcija prijenosa (ako postoji) ili izlazna veličina sustava u -području. 102. Što se može odrediti na osnovu prijenosne funkcije sustava Na osnovu funkcije prijenosa ili kvalitete sustava.

moguće je odrediti stabilnost sustava, te ostale pokazatelje

103. Po čemu se razlikuju strukturne sheme otvorenih i zatvorenih sustava

Strukturne sheme razlikuju se po položaju impulsnog elementa u krugu. 104. Otvoreni diskretni sustav koji sa drži impulsni element na ulazu u kontinuirani dio sustava

105. Otvoreni diskretni sustav sustava koji sadrži serijsku vezu dva linearna kontinuirana sustava s impulsnim elementom na njihovim ulazima

106. Otvoreni diskretni sustav koji sadrži impulsni element na ulazu dva serijski povezana kontinuirana sustava

107. Otvoreni diskretni sustav koji sadrži impulsni element izmeĎu dva kontinuiranih sustava

108. Zatvoreni diskretni sustav s impulsnim elementom iza komparatora

28


109. Zatvoreni diskretni sustav s impulsnim elementom na izlazu direktne grane sustava

110. Zatvoreni diskretni sustav s impulsnim elementom iza komparatora i na izlazu sustava

111. Zatvoreni diskretni sustav s impulsnim elementom u povratnoj vezi

112. Preslikavanje imaginarne osi iz Ako je

u

ravninu

, tada se imaginarna os preslikava u:

Izraz predstavlja jediničnu kružnicu u – ravnini

113. Preslikavanje lijeve poluravnine -ravnine u -ravninu

Preslikava se u unutrašnjost jedinične kružniice u – ravnini

29


114. Preslikavanje desne poluravnine -ravnine u -ravninu

Preslikava se izvan područja jejedinične kružnice u – ravnini

115. Preslikavanje linije konstantnog prigušenja iz s u

ravninu

116. Preslikavanje konstantnih frekvencijskih linija ω=konst.

117. Preslikavanje lijeve poluravnine iz -ravnine u -ravninu Kao i 113.

30


118. Preslikavanje polova iz s-ravnine (kontinuirani sustav) u z-ravninu (diskretni sustav) te ponovno u s-ravninu (diskretni sustav)

119. Preslikavanje polova iz s-ravnine u z-ravninu

120. Preslikavanje nula iz -ravnine u -ravninu Za razliku od polova, kod dis kretnog sustava ne može se reći po kojem zakonu će se preslikavati nule. Tako se općenito ne može reći da će minimalno-fazne nule kontinuiranog sustava biti preslikane u neminimalno-fazne nule diskretnog. Upravo suprotno, kontinuirani

sustavi s polnim višk om

—

će diskretizacijom uvijek dati neminimalno -fazne

nule, ako je perioda uzorkovanja dovoljno mala, [155]. Kod prebacivanja funkcije prijenosa kontinuiranog sustava u diskretnu domenu, polova preslikava se po zakonu

konačnih nula kontinuiranog sustava općenito ne preslikava po tom zakonu. Neke od dok se otići u ili mogu biti pokraćene s polom tih nula, mogu ovisno o periodi uzorkovanja (tada imamo skrivene oscilacije), ili se preslikati t akoĎer po približno istom zakonu kao i polovi ( ). Kako će se diskretizacijom kontinuiranog (analognog) filtera dobiti polova i nula, to se zbog diskretizacije pojavljuje gdje je —

—

—

nula kojih originalni kontinuirani sustav nije imao,

. Prema tome, diskretni sustav imat će

nula koje su posljedica diskretizacije. Ako je

neće biti.

31

tih

polova, —

preslikanih nula, te još

nula uslijed diskretizacije,


Ako je

tada će se

konačnih nula kontinuiranog sustava preslikavati po:

nula teži 1. Ako je tada će — nula generiranih Kada diskretizaci jom biti tim bliže korijenima polinoma danog u tabeli, kako T → 0. Naime, za velike funkcije prijenosa kontinuiranih sustava približno će biti dane sa:

Za ovakve procese (integratore) diskretizacijom će se dobiti odnosno nule kako slijedi u tabeli [155]:

Tabela pokazuje daje kod diskretizacije pojava neminimalno- faznih nula više pravilo nego iznimka. Iako originalni sustav nije imao neminimalno-faznih nula, diskretizirani

sustav posjeduje takve nule. O tome moramo voditi računa kod projektiranja sustava upravljanja. Ako je , striktno pravilna funkcija prijenosa kontinuiranog sustava, koja k tome zadovoljava: 1. 2.

imat će diskretiziranu funkciju prijenosa kod koje će sve nule težiti 0 kako

.

121. Diskretizacija sustava s očuvanjem težinske funkcije

Diskretizacijom sustava s očuvanjem težinske funkcije kontinuirani i diskr etni sustav imaju iste iznose u trenucima uzimanja uzoraka. Korištenjem tablica na jednostavan način može se diskretizirati sustav direktnom primjenom transformacije).

transformacije (Tablica Laplaceove i

32


122. Diskretizacija sustava s očuvanjem prijelazne funkcije

(ZOH diskretizacija)

Kod ove diskretizacije zadržava se jednakost prijelazne karakteristike analognog i diskretnog filtera u trenucima uzorkovanja. ZOH diskr etizacija koristi se onda kada se sustav upra vlja digitalnim računalom, jer su D/A pretvornici ZOH elementi. Do funkcije prijenosa diskretnog filtera moguće je doći primjenom tabela —transfomacije s time da se funkcija prijenosa analognog filtera ( ) pomnoži sa funkcijom prijenosa ZOH elementa (D/A konvertera) i nakon toga uz pomoć tabele -transformacije prebaci u - područje. Postoje i gotove tabele ZOH transformacije iz kojih je bez množenja moguće doći direktno do ZOH

diskretiziranog sustava poznavajući

123. Diskretizacija kojom se zadržava impulsni odziv-primjer, integrator

Ovim postupkom dobit će se jednakost impulsnog odziva kontinuiranog sustava (filtera) i diskretnog sustava (filtera) u trenucima uzorkovanja. Ako se koriste tabele -transformacije dobit će se diskretizirani sustav istog impulsnog odziva u trenucima uzorkovanja kao i kontinuirani sustav. 124. Bilinearna transformacija (Tustin) pojasniti kako se provodi Kod Tustinovog postupka diskretizacije provodi se algebarska supstitucija kompleksne varijable

prema deﬁniciji:

Ono što je dobiveno Tustinovom diskretizacijom je mogućnost korištenja svih postupaka razvijenih za analizu kontinuiranih sustava (Bodeov dijagram i sl.). 125. Preslikavanja bilinearnom transformacijom-imaginarne osi Kako će se preslikati imaginarna os -ravnine u

zamjeni sa

-ravninu može se dobiti ako se u izrazu:

teuvrsti u izraz:

odakle će se dobiti:

Imaginarna os preslikala se u imaginarnu os pseudofrekvencija i dana je kao:

. Varijabla

zove se relativna

Budući da relativna pseudofrekvencija nema dimenzije, često je svrsishodnije koristiti apsolutnu pseudofrekvenciju koja ima dimenziju

i dana je sa:

33


TakoĎer se bilinearna transformacija tada definira sa:

odnosno:

126. Preslikavanja bilinearnom transformacijom-lijeve poluravnine Bilinearna transformacija definirana je sa:

gdje je

kompleksna varijabla (kompleksna pseudofrekvencija). Bilinearnom transformacijom jedinična kružnica iz —ravnine preslikava se na imaginarnu os kompleksne —ravnine, unutrašnjost jediničnog kruga u —ravnini preslikava se u lijevu poluravninu kompleksne ravnine, a područje izvan jedinične kružnice u desnu poluravninu -ravnine (slika).

Preslikavanje polova iz —ravnine (a) u —ravninu te u

—ravninu (c)

127. Što se dobilo bilinearnom transformacijom Ono što se dobilo bilinearnom transformacijom, mogućnost je korištenja svih postupaka razvijenih za analizu kontinuiranih sustava. 128. Skicirati amplitudno frekvencijsku karakteristiku niskopropusnog filtera preslikanu bilinearnom transformacijom

Amplitudna frekvencijska karakteristika analognog niskopropusnog filtera bilinearnom transformacijom

34

preslikana


129. Diskretizacija aproksimacijom derivacije s Euler unaprijednom diferencijom Ovim postupkom se u diferencijalnoj jednad žbi derivacija zamjenjuje s Eulerovom (una prijednom) diferencijom. Prva diferencija definirana je s:

Druga diferencija definirana je sa:

derivacija sa:

Ako se derivacija zamijeni s diferencijom imamo:

Laplaceova transformacija će dati:

Ako je

slijedi:

odnosno:

Kod Euler (unaprijedne) diskretizacije imaginarna os —ravnine preslikati će se u os paralelnu imaginarnoj osi koja prolazi točkom +1 u —ravnini (slika b).

Preslikavanje iz —ravnine (a) u —ravninu Euler unaprijednom (b) i Euler kauzalnom diferencijom (c)

To znači da će doći do degradacije frekvencijske karakteristike, jer se

os nije preslikala u

jediničnu kružnicu. Pored toga moguće je da se neki stabilni kontinuirani sustavi preslikaju u nestabilne diskretne sustave, što nije prih vatljivo. Da bi se ovi učinci umanjili, nužno je uzorkovati s vrlo malim periodom uzorkovanja, te se ovakva diskretizacija može koristiti za nisko propusne filtere.

35


130. Diskretizacija aproksimacijom derivacije s Euler kauzalnom diferencijom Slično kao i kod Euler (unaprijedne) diferencije, ovdje se umjesto unaprijedne treba koristiti kauzalna diferencija koja je definirana sa:

ta diferencija je:

Derivacija se zamjenjuje sa:

Laplaceova transformacija će dati:

Ako je

slijedi:

odnosno:

Preslikavanje iz —ravnine u —ravninu dano je na slici c) u prethodnom pitanju . Kao što se vidi, imaginarna os -ravnine nije se preslikala u jediničnu kružnicu, već u kružnicu radijusa centrom na pozitivnoj realnoj osi u točki . Posljedica toga je degradacija frekvencijske

karakteristike koja je to veća što smo dalje od . Područje s najmanje degadacije je ono oko točke u —ravnini. Da bi se polov i našli grupirani oko točke 1 u —ravnini nužno je da period uzorkovanja bude čim manji. Lijeva poluravnina —ravnine preslikala se u unutrašnjost ove male kružnice, što znači da će stabilni kontinuirani sustavi biti preslikani u stabilne diskretne sustave . Isto tako, može se dogoditi da neki nestabilni kontinuirani sustavi budu preslikani u stabilne diskretne sustave, što u svakom slučaju nije ono što bi željeli. Zbog svega navedenog, ovu vrstu diskretizacije može se koristiti samo za sustave (filtere) s niskim propustom odnosno sustave s velikom inercijom.

131. Navesti dvije osnovne vrste matematičkih modela za d iskretne sustave Kao i kod linearnih vremenski nepromjenjivih sustava postoje dvije osnovne vrste matemati čkih modela za diskretne sustave: 1. 2.

Ulazno/izlazni opis preko jednad žbe diferencija ili funkcije prijenosa, Interni opis preko varijabli stanja.

132. Kakve se jednadžbe koriste u teoriji diskretnih sustava U teoriji diskretnih sustava koriste se jednadžbe diferencija.

36


133. Osnovna razlika u strukturi kontinuiranog i diskretnog sustava Za razliku od kontinuiranog sustava, diskretni sustav sadrži u svojoj strukturi barem jedan impulsni element i element za formiranje. Iz slike vidljivo je da se prikazani diskretni susta v razlikuje od kontinuiranog samo po signalu razlike koji je uzorkovana veli čina.

Blok shema kontinuiranog i diskretnog sustava

134. Kakav mora biti period uzorkovanja da bi se kontinuirani sustav dobio iz diskretnog uz minimalne razlike

Kontinuirani sustav može se dobiti iz diskretnog, ako period uzorkovanja teži nuli. 135. Opisati linearni vremenski nepromjenjiv sustav u m atričnom obliku varijablama stanja Vektorske jednadžbe diferencija vremenski nepromjenjivog diskretnog sustava glase:

gdje su:       

gdje je

— vektor stanja, —vektor izlaza, — vektor upravljanja - matrica sustava (dimenzije x ) - ulazna matrica (dimenzije x ) - izlazna matrica (dimenzije x ) - matrica direktnog preslikavanja ulaza na izlaz (dimenzije red sustava,

broj ulaza, a

x )

broj izlaza sustava. Na ovaj način opisuju se i

SISO i MIMO sustavi. Ako se usporede jednadžbe stanja i izlaza diskretnog sustava s jednadžbama stanja i izlaza kontinuiranog sustava, uočit će se razlika u tome stoje kontinuirana nezavisna varijabla zamijenjena varijablom koja može poprimiti cjelobrojne iznose. Matrice i imaju istu dimenziju kao i matrice i kontinuiranog sustava no, za razliku od kontinuiranog sustava, one su ovisne o periodi uzorkovanja. Za odreĎeni period uzorkovanja , matrice i su konstantne za vremenski nepromjenjiv diskretni sustav.

37

Diskretni Sustavi Upravljanja - Pitanja i Odgovori Za Usmeni Ispit

Recommend Documents