DISTRIBUCIN NORMAL.docx

DISTRIBUCIÓN NORMAL o campana de Gauss-Laplace Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya r!fica tiene forma de campana. En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo "#n,p$, para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, mayores, se ve que sus políonos políonos de frecuencias se aproximan aproximan a una curva en %forma de campana%.

FUNCIÓN DE DENSIDAD Empleando c!lculos bastante laboriosos, laboriosos, puede demostrarse que el modelo de la función de densidad que corresponde a tales distribuciones viene dado por la fórmula &epresentación &epresentación r!fica de esta función de densidad

'a distribución normal queda definida por dos parámetros , su media y su desviación típica y la representamos así

Mg. Miguel Angel Macetas Hernández

(

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DISTRIBUCIÓN •

)uede tomar cualquier valor #* ∞, + ∞$

•

Son m!s probables los valores cercanos a uno central que llamamos media

•

•

µ

onforme nos separamos de ese valor µ , la probabilidad va decreciendo de iual forma a derecha e izquierda #es # es sim-trica$. onforme nos separamos de ese valor µ , la probabilidad va decreciendo de forma m!s o menos r!pida dependiendo de un par!metro σ , que es la desviación típica.

#x$ es el !rea sombreada de esta r!fica

TIPIFICACIÓN

)or tanto su función de densidad es


/

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DISTRIBUCIÓN •

)uede tomar cualquier valor #* ∞, + ∞$

•

Son m!s probables los valores cercanos a uno central que llamamos media

•

•

µ

onforme nos separamos de ese valor µ , la probabilidad va decreciendo de iual forma a derecha e izquierda #es # es sim-trica$. onforme nos separamos de ese valor µ , la probabilidad va decreciendo de forma m!s o menos r!pida dependiendo de un par!metro σ , que es la desviación típica.

#x$ es el !rea sombreada de esta r!fica

TIPIFICACIÓN

)or tanto su función de densidad es


/

0 su función de distribución es

Siendo la representación r!fica de esta función

1 la variable 2 se la denomina variable tipificada de X , y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada.

Caracterstica de !a distri"ución norma! tipificada #reducida$ estándar% •

3o depende de de nin4n par!metro par!metro

•

Su media es 5, su varianza es ( y su desviación típica es (.

•

'a curva f(x) es sim-trica respecto del del eje 60

•

7iene un m!ximo en este eje

•

7iene dos puntos de inflexión inflexi ón en z 8( y z 8 *(

Apro&imación de !a Binomia! por !a Norma! #Teorema de De Moivre) ' 9emostró que bajo determinadas condiciones #para n rande y tanto p como q no est-n próximos a cero$ cero$ la distribución "inomial "#n, p$ se puede puede aproximar mediante mediante una distribución normal


:

9ebemos tener en cuenta que cuanto mayor sea el valor de n, y cuanto m!s próximo sea p a 5.;, tanto mejor ser! la aproximación realizada. Es decir, basta con que se verifique


>

M13E?6 9E 71"'1S. 1S6S M@S &EAE37ES. 'a distribución de la variable 2 se encuentra tabulada


;


B

Cá!cu!o de pro"a"i!idades en !a distri"ución N# ($ )% A) La probabilidad p de encontrar un valor cualquiera z ≤ k, siendo k > 0, es C

*#+% , pD -  FG Su probabilidad aparece en la fiura*( y su valor se determina directamente en las tablas E.emp!os' (H.* )D z  (,I; G 8 J#(,I;$ 8 5,K;KK /H.* )D z  :,(L G 8 J#:,(L$ 8 5,KKK: B) Para calcular p[ z > k recorde!os que "#k) $ p#z>k) % & de donde

pD - / + G , ) 0 *#+% Su probabilidad aparece en la fiura*( en color blanco E.emp!os (H.* pD z (,I;G 8 (*5.K;KK 8 5,5>( /H.* )Dz N /,LG 8 ( * )Dz  /,LG 8 ( O J#/,L$ 8 (* 5,KKI> 8 5,55/B :H.* )Dz5,(/G 8 ( * )DzP5,(/G 8 ( O J#5,(/$ 8 ( O 5,;>IL 8 5,>;// Recprocamente Suponamos ahora que nos dan la probabilidad y necesitamos averiuar el valor z 8 F correspondiente a una determinada probabilidad p. 7endremos que *#+% , pD - 1 + G , p El valor F lo encontraremos en las tablas, bien directamente o de una manera aproximada. E.emp!os =allar el valor F que cumple las relaciones siuientesC (H.* )Dz  FG 8 J#F$ 8 5,; buscando directamente en la tabla F 8 5,55 /H.* )Dz  FG 8 J#F$ 8 5,LI/K buscando directamente en la tabla F 8 (,(> :H.* )Dz  FG 8 J#F$ 8 5,L;55 este valor no viene dado en las tablas pero esta comprendido entre J#(,5:$ 8 5,L>L; y J#(,5>$ 8 5,L;5L. 7omaremos como respuesta el valor de F cuya probabilidad se aproxime m!s a 5,L;55. En este caso ser! F 8 (,5>. 





') La probabilidad p de encontrar un valor cualquiera z ( 0, es

pD- 10+ G , ) 0 pD- 1 + G , ) 0 *#+% 6bserva que pDz P* FG 8 pDz  FG 8 ( * pDz P FG

E.emp!os' (H.* pDz P* 5,;G 8 pDz 5,;G 8 (* pDz P 5,;G 8 ( * J#5,;$ 8 (* 5,BK(; 8 5,:5L; /H.* pDz *(,LG 8 pDz N(,LG 8( * pDz (,LG 8 ( O J#(,L$ 8 (* 5,KB>( 8 5,5:;K 9e pedirnos pDz * FG observemos en la fiura / que C pD- /0 + G , pD- 1 + G , *#+% E.emp!os' (H.* pDz  *(,LG 8 J#(,L$ 8 5,KB>( /H.* pDz  * 5,:G 8 J# 5,:$ 8 5,B(IK Reciprocamente Suponamos ahora que nos dan la probabilidad, p, y necesitamos averiuar el valor z 8 * F para el queC pD z P * FG 8 ( * pDz P FG 8 ( * J#F$ 8 p *#+% , ) 0 p 9e donde El valor de F lo encontraremos en las tablas, bien directamente o de una manera aproximada.


I

E.emp!os =allar el valor de * F que cumple las relaciones siuientesC (H.* pDz P* FG 8 5,:5L; pDz P* FG 8 ( * 5,:5L; 8 5,BK(; F 8 5,;5 * F 8 * 5,;5 /H.* pDz * FG 8 5,5:;K pDz P * FG 8 ( * 5,5:;K 8 5,KB>( F 8 (,L5 * F 8 * (,L5 :H.* pDz * FG 8 5,>K:/ pDz P * FG 8 ( * 5,>K:/ 8 5,;5BL Q F 8 5,5/ * F 8 * 5,5/ >H.* pDz * FG 8 5,BK(; pDz  * FG 8 pDz P FG 8 5,BK(; F 8 5,;5 * F 8 * 5,;5 ;H.* pDz N* FG 8 5,K>/K pDz N * FG 8 pDz  FG 8 5,K>/K F 8 (,;L * F 8 * (,;L BH.* pDz N* FG 8 5,KKI( pDz N* FG 8 pDz  FG 8 5,KKI( F 8 /,IB *F ( 8 * /,IB 

































9$ 'a probabilidad p de encontrar un valor cualquiera F P z P FR 'a probabilidad p de que un valor cualquiera z se Encuentre en el intervalo F P z P FR es

pD + 1 - 1 +2 G , pD- 1 +2G 0 pD- 1 + G 9etermin!ndose pDz P FRG y pDz P FG, se4n los valores de FR y F y restando los resultados obtenidos.

E.emp!osC (H.* pD ( P z P (,L;G 8 pDz P (,L;G * pDz P (G 8 5.KBIL * 5,L>(: 8 5,(/B; /H.* pD(,B/ z P /,:G 8 pDzP/,:G * pDz  (,B/ G 8 J#/,:$ * J#(,B/$ 8 5,KLK: O 5,K>I> 8 5,5>(K :H.* pD*( z  (,L;G 8 pD z  (,L;G * pD z  *(G 8 5.KBIL + 5,L>(: * ( 8 5,L5K( >H.* pD* 5,B5  z  (,>G 8 pDz  (,>G * pDz  * 5,B5G 8 5,K(K/ + 5,I/;IG O ( 8 5,B>>K ;H.* pD*(,L; z  *(G 8 pD z  *(G * pD z  *(,L;G 8 pD z  (,L;G * pD z  (G 8 5.KBIL * 5,L>(: 8 5,(/B; BH.* pD* /,: P z P*(,IG 8 pDz P *(,IG * pDz P*/,: G 8 pDz P/,: G * pDz P*(,IG 8 5,KLK: *5,K;;>G 8 5,5::K Ca!cu!o de pro"a"i!idades en una distri"ución norma! N# 3$ 4%5 Tipificar una 6aria"!e 'o m!s frecuente es que tenamos que trabajar con distribuciones 3# , T$ diferentes de la normal5 'os valores recoidos en la p!ina / sólo son v!lidos para la distribución 3#5,($ y por ello es necesario habilitar un cambio de variable entre ambas distribuciones. Si x es de N# 3$ 4% y z es z=

x −µ

δ de N#($)% cualquier valor de x de la distribución N# 3$ 4% se corresponde con otro E.emp!os )750 Dada !a distri"ución norma! N#)8$9% determina !as pro"a"i!idades si:uientes'

a$ pDx  /5G . El valor correspondiente a x 8 /5 es pDx  /5G 8 pDz  5,;G 8 5,BK(;

z=

/5 − (L >

z=

de donde

(B,; − (L >

=

− (,; >

= −5,:I;

b$ pDx N (BR;G. El valor correspondiente a x 8 (BR; es donde pDx N (BR;G 8 pDz N *5R:I;G 8 pDz  5R:I;G Q 5RB>>: #valor m!s aproximado$ c$ pD(K P x P /:G . El valor correspondiente a x 8 /: es

z

=

/: − (L >


de

;

= = (,/; >

L

z

=

(K − (L

(

= = 5,/;

> > El valor correspondiente a x 8 (K es pD(K P x P /:G 8 pD5R/; P z P (R/;G 8 pDz P (R/;G * pDz P 5R/; G 8 5RLK>> O 5R;KLI 8 5R/K;I

;750 En una distri"ución N # < = (2> % $ ca!cu!a + para ?ue se den !as si:uientes i:ua!dades a$ pDx  FG 8 5RKII/ Si pDz  FRG 8 5,KII/ FR 8 /,55 



F U =

F − µ

δ

⇒/=

F − B 5,K

⇒ F = I,L

b$ pDx  FG 8 5,: Si pDz  FRG 8 5,: se trata de un valor de FR neativo, porque la probabilidad es menor que 5,; pDz * FRG 8 pDz N FRG 8 ( O pDz  FRG 8 5,: de donde pDz * FRG 8 5,I FR Q 5,;/ * FR Q * 5,;/ 





F U =

F − µ

δ

⇒ −5,;/ =

F − B 5,K



⇒ F = −5,;/ − 5,K + B = ;,;:

@750 a ta!!a media de !os ;(( a!umnos de un centro esco!ar es de )< cm  des6iación tpica )(cm5 Si !as ta!!as si:uen una distri"ución Norma! ca!cu!ara !a pro"a"i!idad de ?ue un a!umno e!e:ido a! a-ar mida más de )8( cm5  Cuántos a!umnos pueden esperarse ?ue midan más de )8( cm  So!ución

 )#x(L5$8 

p z >

(L5 − (B;  (5

  8p#z (R;$8(Op#zP(R;$

8 5R5BBL Se espera que 5,5BBL . /55 8 (:,:B . Se espera que a lo sumo (: alumnos superen la altura de (L5 cm.

9750 E! sa!ario medio de !os emp!eados de una empresa se distri"ue se:n una distri"ución norma!$ con media @( ((( G  des6iación tpica < ((( G5 Ca!cu!ar e! porcenta.e de emp!eados con un sue!do comprendido entre ; (((  @; ((( G5 So!ución

 /;555 − :5555 < z < :/555 − :5555   B555 B555   8 p# * 5,L: P z P 5,:: $ 8 )#/; 555 P x P :/ 555 $ 8 p

)#zP5R::$ O p#zP* 5RL:$ 8 5RB/K: * D( O 5RIKBIG 8 5R>/B El >/RB V de los empleados tienen un sueldo comprendido entre /; 555 W y :/ 555 W.


K

9XS7&X"AXY3 36&M1' (H$ Se X - una variable aleatoria con distribución 3#5,($ calcula, as siuientes probabilidadesC a$ P ( X ≤ /,BI ). b$ P ( X > (,B). c$ P ( X ≤ −:,/>). d$ P ( X ≥ −5,KB). e$ P ((,B; ≤

X

≤ /,5:).

Sol C a$ 5,KKB/Z b$ 5,5;>LZ c$ 5,555BZ d $ 5,L:(;Z d $ 5,5/L:.

/H$ Se X - una variable aleatoria con distribución 3#5,($, calcula as siuientes probabilidadesC a$ P ( X ≤ 5,I ). b$ P ( X > 5,;;). c$ P ( 5,> ≤ X ≤ 5,I ). d$ P ( X ≤ 5,L:). e$ P ( X > −5,>;). f$ P ( − 5,; ≤ X ≤ 5,I ). :H$ Se Z una variable aleatoria con distribución 3#5,($, calcula as siuientes probabilidadesC a$ P ( Z ≤ (,/:). b$ P ( Z ≥ (,/;). c$ P ( Z ≥ −/,:). d$ P ( Z ≤ −5,L>). e$ P ( 5,/I ≤ Z ≤ (,I>). f$ P ( − (,> ≤ Z ≤ −5,BL). $ P ( − 5,K; ≤ Z ≤ (,(B). h$ P ( Z ≤ ;). i$ P ( − /,I ≤ Z ≤ >). l$ P ( − / ≤ Z ≤ /). Sol C a $ 5,LK5IZ b$ 5,(5;BZ c$ 5,KLK:Z d $ 5,/55;Z e$ 5,:;/IZ f $ 5,(BI;Z g $ 5,I5;KZ $ (Z i$ 5,:5L>Z l $ 5,5BBB.

>H$ ierta población Z siue una distribución 3#5,($C


(5

a$ alcula P ( Z ≤ /,>I ). b$ alcula P ( Z ≤ −(,/>). c$ alcula P ( − (,(> ≤ Z ≤ :,/5). d$ Es verdad que P ( Z ≤ −() = P ( Z ≥ () [ f$ Es verdad que P ( Z ≥ () = 5,(;LI [ $ alcula P ( Z ≤ :,B/). h$ alcula P ( Z ≥ >,/;). i$ alcula P ( /,B( ≤ Z ≤ /,L;). l$ alcula P ( Z < −5,L). m$ alcula P ( Z < (,K:). n$ alcula P ( z > 5,5:). ;H$ Sea Z una variable aleatoria 3 #5,($, calcular o valor de casosC a$ P ( Z ≤ ! ) = 5,BII/

! en

cada en los siuientes

b$ P ( Z ≤ ! ) = 5,/55> c$ P ( − : ≤ Z ≤ ! ) = 5,KLK: d$ P ( − ! ≤ Z ≤ ! ) = 5,L>>> e$ P ( Z ≤ ! ) = 5,; f$ P ( Z ≤ ! ) = 5,(ILL $ P ( − / ≤ Z ≤ ! ) = 5,KBK5 h$ P ( − ! ≤ Z ≤ ! ) = 5,B;/L

Sol C a $ ! = 5,>BZ b$ ! = −5,L>Z c$ ! = /,:;Z d $ ! = (,>/Z e$ ! = 5Z f $ ! = −5,K/Z g $ /,>5Z $ 5,K>.

BH$ Se Z una variable aleatoria 3#5,($, calcular o valor de casosC a$ P ( Z ≤ ! ) = 5,K:K> b$ P ( Z ≤ ! ) = 5,(;:K

! en

cada uno de los siuientes

c$ P ( Z ≤ ! ) = 5,K5BB d$ P ( Z ≤ ! ) = 5,55(> IH$ Sea X una variable aleatoria 3#;,/$, calcula as siuientes probabilidadesC a$ P ( X ≤ −/,I ) b$ P ( X ≥ :,;) c$ P ( − /,( ≤ X ≤ >,;)


((

Sol C a $ 5,555(Z b$ 5,II:>Z c$ 5,>5((.

LH$ Sea X una variable aleatoria 3#K,>$, calcula as siuientes probabilidadesC a$ P ( X ≤ :) b$ P ( X ≥ I ) c$ P ((5 ≤ X ≤ (>) KH$ Sea X es una variable aleatoria 3#(/,:$ calcular

(

P X

≤ (>) .

Sol C 5,I>LB.

(5H$ Sea X una variable aleatoria 3#B,/;$, calcula as siuientes probabilidadesC a$ P ( X ≤ >) b$ P ( X > L) c$ P ( X ≥ >) d$ P ( ; ≤

X

≤ K)

((H$ Sea X una variable aleatoria 3#I,/$, calcula as siuientes probabilidadesC a$ P ( X ≤ ;) b$ P ( X ≥ B) c$ P ( X > ;) d$ P ( B ≤ X ≤ (5) e$ P ( X > B,;) f$ P ( X > −;,;) $ P ( − > ≤ X ≤ L) h$ P ( − L ≤

X

≤ −; )

(/H$ Sea X una variable aleatoria 3#:,(/$, calcular o valor de a$ P ( X ≤ ! ) = 5,L5: b$ P ( − : ≤ X ≤ ! ) = 5,BL/B c$ P ( X ≤ ! ) = 5,(/(5 d$ P ( X ≥ ! ) = 5,; Sol C a $ L,B>Z b$ :(,>>Z c$

− ((,5>Z

! nos

siuientes casosC

d $ :.

(:H$ Se X una variable aleatoria 3#B,:$, calcular o valor de a$ P ( X ≤ ! ) = 5,LK/;

! nos siuientes casosC

b$ P ( X ≥ ! ) = 5,;/:K


(/

(>H$ Ana empresa lleva a cabo una prueba para seleccionar nuevos empleados. on la experiencia de prubas anteriores, se sabe que las puntuaciones siuen una distribución normal de media L5 y desviación típica /;. \]u- porcentaje de candidatos obtendr! entre I; e (55 puntos[ Sol C :B,I>V.

(;H$ 'os pesos de los niôs siuen distribución normalmente con peso medio de :,B _iloramos e una desviación típica de 5,; _iloramos. alcularC a$ 1 probabilidad de que un niô pese menos de : _iloramos. b$ 1 probabilidad de que un niô pese entre :,( e :,L _iloramos. c$ 1 porcentaje de beb-s con un peso superior a >,; _iloramos. (BH$ 'as alturas de los niô siuen una distribución normal con media BB centímetros e desviación típica ; centímetros. alcular cuantos niôs midan entre B; e I5 centímetros. Sol C /K>.

(IH$ 'a duración media de un tel-fono móvil es > aôs, con una desviación típica de 5,; aôs. Se una vida 4til del tel-fono se distribuye normalmente, calcular a probabilidad de que, al comprar un móvil, este dure m!s de cinco aôs. (LH$ An estudio sobre la vida 4til de un automóvil obtiene una media de (B aôs con una desviación típica de dos aôs e medio. Suponiendo que a variable se distribuye normalmente, calcularC a$ 1 probabilidad de que tena una vida 4til superior a (K anos. b$ 1 porcentaje de automóviles cuna vida 4til entre (> e (I anos. Sol C a$ 5,((;(Z b$ >>,:;V.

(LH$ An profesor observó que las notas obtenidas por los alumnos en los ex!menes de Estadística siuen una distribución 3#B , /,;$. Se el 4ltimo examen asistieron :/ alumnos, \u!ntos sacaron menos un I[ Sol C (( alumnos.

(KH$ 'as alturas, en metros, de los individuos de una población siuen una distribución normal con media (,I; metros e desviación típica 5,(; metros. 9e una población de >.555 personas, calcular cuantas tendr!n una altura comprendida entre (,B; e (,L; metros. /5H$ 9e una muestra de (.555 personas de una tendr! especializada en pequeôs realos siuen una distribución normal de media (,IB W e desviación típica 5,L W. a$ alcula a probabilidad de que una persona eleida sea m!s de (,I;W. b$ \u!ntos personas da muestra tendr!n un persona comprendida entre (,I/ e (,IL W[ /(H$ Se suponemos que la duración dos televisores de una determinada marca siue una distribución normal con media de (B anos e desviación típica de / anosC a$ \al - a probabilidad de que un televisor dure m!s de /5 anos[ b$ \E a de que dure entre (5 e (> anos[ Sol C a $ 5,5//LZ

b$ 5,(;I>.

//H$ 'os peso dos paquetes que se transporta cierta empresa distribuye normalmente con media I; _iloramos e una desviación típica de B _iloramos. \]ue porcentaje de paquetes transportados por la empresa tendr! un peso superior a IL _iloramos[


(:

/:H$ En cierta competición deportiva, os tempos #en minutos$ que tarda os atletas en correr una determinada distancia siue una distribución 3#(5,/$. Se participan L5 atletas, \u!ntos tendr!n L minutos o m!s en finaliza a carrera[ Sol C BI.

/>H$ En una universidad de B55 estudiantes, n4mero de materias suspensas se distribuye normalmente con una media de : e una desviación típica de 5,B. \antos estudiantes suspender!n m!s de dos materias[ \antos suspender!n m!s de cuatro[ /;H$ 'as maquinas de una compa^ía distribución con media (I; ramos e desviación típica de /; ramos. Se consideramos de la media de las maquinas se encuentre (B; e (L; ramos, \u!ntas maquinas un lote de ;.555[ Sol C (.;;>.

/BH$ El tiempo de vida de una l!mpara siue una distribución normal de media (L5 horas e desviación típica (; horas. a$ \u!l es la probabilidad de que, comprar una l!mpara, luz m!s de (K; horas[ b$ Si compramos (; l!mparas, \u!ntas de las l!mparas se espera que iluminen m!s, (I5 horas[. /IH$ 'a duración de cierto tipo de l!mparas, expresada en horas, siue una distribución 3#I;5,(I;K$, \]ue porcentaje de l!mparas dura entre >55 e ;I; horas[ En un lote de (.555 l!mparas de ese tipo, \u!ntas de las durar!n menos de ::5 horas[ Sol C (:,;KVZ L.

/LH$ An n4mero de libros prestados diariamente en una biblioteca de una Aniversidad siue una distribución 3#(; , /,;$. a$ \]ue porcentaje de días se prestan m!s de (L libros[ b$ \alcular a probabilidad de que en un día se presten entre (5 e (> libros[ /KH$ Ana m!quina produce tubos cuyos di!metro se distribuye normalmente con media :;,B mm e desviación típica 5,> mm. Suponiendo que los tubos no sirven si di!metro es inferior a :>,L mm o superior a :B,( mm, \]u- porcentaje de tubos defectuosos produce esta m!quina[ Sol C (/,L>V.

:5H$ El contenido teórico de un frasco de cierta medicamento es de (/; centímetros c4bicos. Se suponiendo que los contenidos de dichos frascos siuen una distribución normal de desviación típica L centímetros c4bicos. a$ \]u- probabilidad hay de que, comprar un frascos, que contena m!s de (:/ centímetros c4bicos[ b$ \u!l ser! a porcentaje de frascos que contenan cierto medicamento entre (/5m e (:5 centímetros c4bicos[ :(H$ 'as puntuaciones finales de un rupo de expositores siuen una distribución normal de media B e desviación típica (,;. Se 4nicamente existen plazas para un /5V de las personas que se presentan ! exposición, \9ónde estar! situada a nota promedio del expositor se quede con plaza[ Sol C I,/I.


(>

:/H$ Sea X una variable aleatoria con distribución normal tal que P ( X ≤ > ) = 5,(;LI , calcular a su media e y su desviación típica. Sol C media

= BZ

desviaci#n t"pica

(

P X

≤ I ) = 5,BK(; e

= /.

::H$ An laboratorio farmac-utico prepara pastillas circulares con di!metro medio de (/ mm e una desviación típica de 5,L mm. Suponiendo una distribución normal, calcular a probabilidad de que sea eleida una pastilla sea un di!metroC a$ mayor de (/,; mm. b$ Entre (( e (: mm. :>H$ El di!metro medio de las piezas producidas en una f!brica e de >; mm. a$ 9etermina a desviación típica sabiendo que a probabilidad de que una pieza tienen di!metro mayor de ;5 mm - iual a 5,55B/. b$ Se analizan L/5 piezas, \u!ntas tendr!n di!metro comprendido entre :K,I e >:,; mm[ Sol C a $ /Z b$ (L:.

:;H$ En un examen de matem!ticas, a media de las calificaciones B,/; desviación típica (,/;. Se as calificaciones se distribuyen normalmente, calcular a probabilidad de que un estudiante obtena una notaC a$ mayor que B. b$ Menor que L. c$ Entre ;,; e I,/;. :BH$ An fabricante observa que a demanda diaria de un producto, expresada en unidades, siue una distribución 3#(;5,/;$. a$ Se ten almacenadas (B; unidades do producto que fabrica, \u!l es la probabilidad de que a demanda supere as existencias[ Sol C a$ 5,/I>:Z b$ $lomenos /// unidades .

:IH$ 'as alturas dos individuos de una población distribución normalmente con media (,I; m e desviación típica 5,(; m. 9una población de >.555 personas, calcular cuantas tendr!n una altura entre (,B; e (,L; m. :LH$ 'a altura de una cierta especie de plantas distribuye normalmente con media :5 cm. Sabiendo que el (/,/;V das plantas miden menos de /5 cm., calcular a desviación típica. Sol C L,B.

:KH$ 'a esperanza de vida dos L55 miembros de una tribu se distribuye normalmente con media de BB anos e desviación típica de ; anos. alcula cuantos se espera que vivan entre B; e I5 anos. >5H$ En un concurso los participantes responden a un cuestionario. Sabiendo que las puntuaciones que obtienen siuen una distribución 3#(55,/;$C a$ \1 que porcentaje de participantes se califica con una puntuación superior a ((/[ b$ \]u- porcentaje de participantes obtienen una puntuación comprendida entre (55 e (/5[


(;

c$ Se o /;V dos participantes pasan ! siuiente fase, \]u- puntuación mínima necesaria para clasificar[ Sol C a $ :/,;BVZ b$ /L,L(VZ c$ ((I puntos.


(B

Cá!cu!o de pro"a"i!idades en !a distri"ución N# ($ )% uti!i-ando E&ce! A) La probabilidad p de encontrar un valor cualquiera z ≤ k, siendo k > 0, es C

*#+% , pD -  FG Su probabilidad aparece en la fiura*( y su valor se determina directamente en las tablas E.emp!os' (H.* )D z  (,I; G 8 J#(,I;$ 8 5,K;KK

B) Para calcular p[ z > k recorde!os que "#k) $ p#z>k) % & de donde

pD - / + G , ) 0 *#+% Su probabilidad aparece en la fiura*( en color blanco E.emp!os (H.* pD z (,I;G 8 (*5.K;KK 8 5,5>(


(I


(L


pD- 10+ G , ) 0 pD- 1 + G , ) 0 *#+%

E.emp!os' (H.* pDz P* 5,;G 8 pDz 5,;G 8 (* pDz P 5,;G 8 ( * J#5,;$ 8 (* 5,BK(; 8 5,:5L;

D) La probabilidad p de encontrar un valor cualquiera k ( z ( k*

'a probabilidad p de que un valor cualquiera z se Encuentre en el intervalo F P z P FR es

pD + 1 - 1 +2 G , pD- 1 +2G 0 pD- 1 + G

E.emp!osC


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(H.* pD ( P z P (,L;G 8 pDz P (,L;G * pDz P (G 8 5.KBIL * 5,L>(: 8 5,(/B;


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+) upon-a!os a.ora que nos dan la probabilidad / necesita!os averi-uar el valor z % k correspondiente a una deter!inada probabilidad p . 7endremos que

*#+% , pD - 1 + G , p El valor F lo encontraremos en las tablas, bien directamente o de una manera aproximada. E.emp!os =allar el valor F que cumple las relaciones siuientesC (H.* )Dz  FG 8 J#F$ 8 5,; buscando directamente en la tabla F 8 5,55 


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Cá!cu!o de pro"a"i!idades en !a distri"ución N#($ )% uti!i-ando Hinita" A) La probabilidad p de encontrar un valor cualquiera z ≤ k, siendo k > 0, es C

*#+% , pD -  FG Su probabilidad aparece en la fiura*( y su valor se determina directamente en las tablas E.emp!os' (H.* )D z  (,I; G 8 J#(,I;$ 8 5,K;KK


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Gráfica de distribución N*r+al, Media-, Des./st.-% !"

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B) Para calcular p[ z > k recorde!os que "#k) $ p#z>k) % & de donde

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DISTRIBUCIN NORMAL.docx

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