DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL: 1. En Lima Metropolitana la botella de aceite “primor” de un litro tiene un precio promedio de 5 soles y una desviación estándar de 0.4. Si se toman muestras aleatorias de 50 precios, se pide calcular e interpretar: A)La probabilidad que el precio promedio muestral se encuentre entre 4.85 y 5.10 B) La probabilidad que el precio medio muestral sea inferior a 4.80 y C) dentro de que limites simétricos alrededor del precio promedio verdadero se encontrara el 95% de los precios promedios muestrales. SOL:
μ=500, σ =0.4 y n=50
Como datos del problema se tiene que:
σ 2´x =Var (´x )=
Luego:
A)
σ 2 0.42 = =0.0032 → σ x´ =0.057 n 50
´x → N (5.00 ;0.0032 ) y Z=
P(4.85 ≤ ´x ≤5.10) =P
(
( x´ −5.00 ) → N (0,1) , Nos piden: 0.057 =P(−2.63 ≤ Z ≤1.75)=∅(1.75)−∅(−2.64)
4.85−5.00 ´x −5.00 5.10 −5.00 ≤ ≤ ) 0.057 0.057 0.057
¿ 0.95994−0.00427=0.95567 Rpta . Interpretacion: El 95.567% de los precios promedios muestrales de las botellas de aceite “primor” de un litro, se encuentra entre 4.85 y 5.10 soles, para n=50 B)
P( ´x ≤ 4.80)=P
(
´x −5.00 4.80−5.00 ≤ ) 0.057 0.057
=P(Z ≤−351 )=0.00022
Interpretacion: El 0.022% de los precios promedios mestrales de las botellas de aceite “primor” de un litro, sera inferior a 4.8 soles, para muestras de 50 precios. C) Sean 5.00-E y 5.00+E los limites simetricos alredeor de la media
μ=500 , dentro delos cuales estará el 95% de las 0.95=P(5.00−E ≤ Z ≤5.00 +E )=P
¿ 2∅
(
−1 →∅
E ) 0.057
(
=∅
−E E ≤Z≤ ) 0.057 0.057
(
−∅
E ) 0.057
(
´x . Entonces:
−E ) 0.057
=0.975
E ( 0.057 )
E =Z 0.975=1.96 → E=1.96 ( 0.057 )=0.11 . Luego los limites seran: 0.057 5.00−E=5.00−0.11=4.89 soles y 5.00+0.11=5.11 soles .
Es decir:
o .95=P(4.89 ≤ ´x ≤ 5.11) Interpretacion: El 95% de los precios promedios muestrales de las botellas de aceite “primor” de un litro, se encuentran entre 4.89 y 5.11 soles alrededor de 5, para muestras de 50 precios. JUAN FRANCISCO BAZÁN BACA-TEXTO DE PROBLEMAS DE INFERENCIA ESTAD. UNAC-FCE 2.-) El CI de los alumnos de un centro especial se distribuye normalmente con media 80 y desviacion tipica 10. SI extraemos una muestra aleatoria simple de 25 alumnos: a) Si se ectrae un sujeto al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga como minimo una puntuacion de CI de 75? b) ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmetica sea mayor de 75? c) ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmetica sea como maximo 83? d) ¿Qué valor debeira tomar la media aritmetica para que la probabilidad de obtenerlo en esa muestra sea como maximo 0.85? SOL:
X → N ( 80,10) X´ → N (80,2)
a) b) c)
d)
P( X ≥ 75)=P
P( X´ ≥ 75)=P P( X´ ≤ 83)=P
=P
(z ≥
X −μ ) σ
(z ≥
X´ −μ ) σ /√ n
(z ≥
X´ −μ ) σ / √n
=P =P
=P(z ≥−0.5)=0.6915
(z ≥
75−80 ) 10
(z ≥
75−80 ) 10/5
(z ≥
83−80 ) 10/5
=P(z ≥−2.5)=0.9938 =P(z ≥ 1.5)=0.9332
P( X´ ≤ X´ ) =o , 85 … … Z 0.85=1,04 … … 1,04= i
X´ i−80 → X´ i =82,08 10 5
CARMEN JIMENEZ-ANALISIS DE DATOS I- TEMA 21
DISTRIBUCION DE PROPORCION 1.- Un psicologo clinico afirma que con su terapia para tratar “el miedo a volar en avion” se recupera 2l 80% de los pacientes. Si seleccionamos al azar 16 pacientes que han acudido a su consulta durante los ultimos e meses por este tema, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos el 75% se hayan recuperado y puedan tomar aviones? Sol: X: N° de pacientes recuperados………..
X → B(x ,n=16, π=0.80)
P: Proporcion de pacientes recuperados….
P→ B( x, n=16,π =0.80)
El 75% son sujetos:
P( P ≥ 0,75)=P(X ≥12)=1−F (11 )=0,798. i
i
(según tablas de la binomial)
Aproximacion a la Normal: Si N es suficientemente grande
0,20 ≤ π ≤ 0,80
Entonces la probabilidad de P se puede aproximar mediante el modelo normal. Con: X: “Números de aciertos” Vimos que….. X → N ( nπ , √ nπ ( 1−π ) )
En puntuaciones típicas:
Z=
X i−nπ → N (0,1) √ nπ (1−π )
Con correcion por continuidad: -
Z=
( X i ∓ 0,5 )−E(x ) σ ( x)
Ahora tenemos P: Proporcion de aciertos. Entonces:
P→ N (π , √ π ( 1−π ) )
En puntuaciones tipicas: :
Z=
Con correcion por continuidad:
Pi−π → N (0,1) √ π (1−π )/n
Z=
( Pi ∓0,5/n ) −E( p) σ ( p)
CARMEN XIMENEZ-ANALISIS DE DATOS I- TEMA 21
DIFERENCIA DE MEDIAS
DIFERENCIA DE PROPORCIONES
Insituto tecno de chihuahua http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap01c.html
