DISTRIBUCION GAMMA
Su funcion de densidad de probabilidad es:
Con parámetros:
β: parámetro de escala, β > 0 α: parámetro de forma, α > α > 0
Valor esperado Valor esperado (media) (media) Varianza V arianza
DISTRIBUCION GAMMA
Propiedades La distribución exponencial es una distribución dis tribución gamma con α =1. Si X1 es una gamma ( α1,β) y X2 es una gamma ( α2,β) entonces Y=X1+X2 es una gamma (α1+ α2,β). Si X es una gamma ( α,1) entonces βX es una gamma ( α1,β), para cualquier β>0.
Las dos primeras pr imeras propiedades nos no s dicen que podemos generar valores de distribuciones distribuci ones gamma de valores grandes de α mediante convolución de valores valores de distribuciones distribucio nes gamma. La L a tercera propiedad nos dice que sólo es necesario desarrollar desarroll ar métodos de generación de variables aleatorias aleatorias gamma con β=1. Una gamma(1,1) es una exponencial de media 1.
DISTRIBUCION GAMMA La distribución gama toma una variedad de formas dependiendo del valor de α . Como se ilustra en la figura. Para β<1 la distribución es muy asimétrica con f(x) tendiendo a infinito a medida que x tiende a cero.
DISTRIBUCION GAMMA
Usos y Aplicaciones Aplicacione s La distribución distr ibución gamma se aplica a una gran diversidad de áreas, permitiéndonos una metodología metodo logía en el marco de análisis de la biología y la ingeniería. ingeniería. Es una candidata popular para modelar procesos, procesos, dada su capacidad para asumir una amplia variedad de formas. formas . Una elección frecuente, especialmente especial mente cuando se trata de representar datos de precipitación es la distribución gama. Muchas de estas variables atmosféricas son claramente claramente asimétricas. asimétricas. Es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, f iabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera
DISTRIBUCION GAMMA
1)
Casos Particulares La función exponencial es un caso particular de la distribución gamma y tiene aplicaciones de interés práctico. práctico. Se S e obtiene con α = 1 en la distribución Gamma 1 − x / β , x>0 e f ( x ) = β 0, para otro x
2)
Otro caso especial de la distribución gamma se obtiene si hacemos β=2 y α=n/2, en donde n es un entero positivo. La distribución distribuci ón resultante es la distribución ji-cuadrado, cuya densidad esta definida por:
DISTRIBUCION GAMMA
Ejemplos Suponga que las llamadas llam adas telefonicas que llegan a un conmutador conmutador particular siguen un proceso de Poisson con un promedio de 5 llamadas l lamadas entrantes por minuto. ¿Cuál ¿Cuál es la l a probabilidad de que transcurra transcur ra a lo mas un minuto hasta que lleguen 2 llamadas al conmutador? α= 2, β= 1/5, x= 1 f ( x) =
1
∫
P ( x ≤ 1) = 25 x e
−5 x
0
P ( x ≤ 1) = 0.96
dx
1 α
β Γ(α )
=
−
x
α −1 − x / β
5 xe
e
=
1 (1 / 5) Γ(2)
5 x
−
3
−
e
x
5 x
2 −1 − x /(1 / 5 )
1
−
0
e
= 25 x 2 e −5 x
DISTRIBUCION GAMMA El tiempo en horas que semanalmente semanal mente requiere una máquina para mantenimiento es una variable aleatoria con distribución distribu ción gamma con parámetros α=3, β=2 tie mpo de a) Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo mantenimiento sea mayor a 8 horas b) Si el costo de mantenimiento en dólares es C = 30X + 2X 2, siendo X el tiempo de mantenimiento, encuentre el costo promedio de mantenimiento. f ( x ) =
1 α
β Γ(α )
x
α −1 − x / β
e
P(X > 8) = 1 - P(X 8) = 1 -
1
=
1 3
(1 / 5) Γ(2)
x
2 −1 − x /(1 / 5 )
e
8
x e 16 ∫
2 −x / 2
0
dx
= 1−
1 16
= 25 x 2 e −5 x
[- 2x e
2 - x/2
8 + 4(-2x e - x/2 + 2(-2 e - x/2 ))] 0
P( x > 8) = 0.2381
DISTRIBUCION GAMMA E[C] = E[30X + 2X 2] = 30 E[X] + 2 E[X 2] E[X] = αβ = 3(2) = 6 E[X 2] = ∫ x f ( x)dx = ∫ x 161 x e dx = ∫ ∞
∞
2
2
2
−x / 2
16
0
−∞
1
∞
4
x e
− x / 2
dx
0
sustituya susti tuya y = x/2 para usar la función funci ón Gamma =
1 16
∞
∞
∫ (2 y )
4
e
−y
( 2dy )
0
= 2 ∫ y 4 e − y dy 0
= 2Γ(5) = 2(4!) = 48 E[C] = 30(6) + 2(48) = 276 dólares
DISTRIBUCION GAMMA Conclusiones Como hemos observado la funcion gamma lo que busca es una variable aleatoria que nos permite encontrar encontrar el tiempo que transcurre transcurre para la realizacion de un evento. Y queda demostrado que esta funcion da origen a muchas otras distribuciones siendo las mas representativas la esponencial y la chi-cuadrada. Esta distribucion trata de predecir eventos poco probables, como las precipitaciones y probabilidad por po r tiempos de espera.
