DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Valor esperado y Varianza Sección 3-4 3-33) Se evalúa el acabado superficial de 40 muestras de cinta magnética, y se obtienen los resuntados siguientes:
Número de defectos 0 Número de muestras
1 18
2 12
3 7
4 2
5 1
0
Determine la media y variaza del número de defectos por muestra de cinta.
µ = ∑ 𝑥𝑓(𝑥) = 0(0,45) + 1(0.3) + 2(0,18) + 3(0,05) + 4(0,02) + 5(0) ∀𝑥
𝜇 = 0.9 𝜎𝑥 2 = ∑(𝑥 − 𝜇𝑥)2 → 𝑓(𝑥) ∀𝑥
= (0 − 0.9)2 (0.45) + (1 − 0.9)2 (0,3) + (2 − 0,9)2 (0,18) + (3 − 0,9)2 (0,05) + (4 − 0,9)2 (0,02)
𝜎𝑥 2 = 0,998
3-35) Se mide la longitud de las terminales de varios componentes electrónicos( a la décima de milímetro mas cercana), y se obtienen los siguientes resultados:
Longitud 2,0 número de terminales
2,1 5
2,2 8
2,3 10
2,4 22
2,5 28
Determine la media y la variaza de la longitud de las terminales. X={2,0; 2,1; 2,2;
2,3; 2,4; 2,5; 2,6}
𝜇𝑥 = 2,35 ≅ 2,4
2,6 16
9
𝜎𝑥 2 = (2,0 − 2,4)2 (0,05) + (2,1 − 2,4)2 (0,08) + (2,2 − 2,4)2 (0,1) + (2,3 − 2,4)2 (0,22) + (2,4 − 2,4)2 (0,29) + (2,5 − 2,4)2 (0,16) + (2,6 − 2,4)2 (0,09) 𝜎𝑥 2 = 0,026 3-37) Continuación del ejercicio 3-11 Determine la media y la variaza de la variable aleatoria del ejercicio 3-11. Resultado
a
b
c
d
e
f
X
0
0
1,5
1,5
2
3=8
1 1 1 1 1 1 1 𝜇𝑥 = 0 ( ) + 0 ( ) + 1,5 ( ) + 1,5 ( ) + 0 ( ) + 2 ( ) + 3 ( ) 8 8 8 8 8 8 8 𝜇=1 𝜎𝑥 2 = 0,94 3-39) Continuación del ejercicio 3-14. Determine la media y la variaza de la variable aleatoria del ejercicio 3-14.
Segundos 30 #De ensambles 3
31 5
32 6
33 9
34 12
35 25
36 32
37 15
38 9
39 6
X={30; 31; 32; 33; 34; 35; 36; 37; 38; 39}
𝜇𝑥 = 35,25 𝜎𝑥 2 = 2,46 + 1,79 𝜎𝑥 2 = 4,25
3-41) Continuación del ejercicio 3-18. Determine la media y la variaza de la variable aleatoria del ejercicio 3-18. X f(x)
-2
-1
0
1
2
1
2
2
2
1
8
8
8
8
8
X{-2; -1; 0; 1; 2} 𝜇𝑥 = 0 𝜎𝑥 2 = 1,5
3-43) Las muestras de cierta materia prima se clasifican de acuerdo a su contenido de humedad e impurezas, redondeando éste al porcentaje más c ercano. A continuación se presentann los resultados obtenidos con 80 muestras. Contenido Humedad
Impurezas
3%
4%
1%
5
14
19
2%
57
4
61
62
18
80
a) Determine la media y la variaza del contenido de humedad de esas muestras. X= {3; 4} 62
18
𝜎𝑥 2 =
𝜇𝑥 = 3 (80) + 4 (80) (3−3,225)2 (62)+(4−3,225)2 (18) 80
𝜎𝑥 2 = 0,17
𝜇𝑥 = 3,225
b) Calcule la media y la varianza del contenido de impurezas de estas muestras. Y={ 1; 2} 19
61
(1−1,76)2 (19)+(2−1,76)2 (61)
𝜇𝑦 = 1 (80) + 2 (80)
𝜎𝑦 2 =
𝜇𝑦 = 1,76
𝜎𝑦 2 = 0,18
80
3-45) Determine la media y la varianza de los costos adicionales para las 80 muestras. El rango de la variable aleatoria X es [0, 1, 2, 3, x], donde x es una incógnita. Si cada valor es igualmente probable y la media de X es 6, calcule x. E(x)= ∑∀𝑥 𝑋 . 𝑝(𝑋 = 𝑥) 1 1 1 1 1 6 = 0( ) + 1( ) + 2( ) + 3( ) + 𝑥( ) 5 5 5 5 5 6=
1 2 3 𝑥 + + + 5 5 5 5
6=
6+𝑥 5
30 = 6+x X=24
Distribución Binomial Sección 3-6 3-53. Para cada uno de los escenarios siguientes establezca si es razonable o no, utilizar la distribución binomial como modelo de variable aleatoria y por qué. Indique todas las suposiciones que tenga que hacer, según sea el caso. a. Un proceso produce miles de transductores de temperatura. Sea X el número de transductores que no cumplen con los requisitos de diseño de una muestra de 30 tomada al azar del proceso Si es razonable utilizar la distribución binomial porque cumple con que los eventos son independientes, la probabilidad de éxito o fracaso constante. b. De un lote de 50 transductores de temperatura, se toma una muestra de 30 sin remplazo. Sea X el número de transductores que no cumplen con los requisitos de diseño. No es razonable utilizar la distribución binomial ya que no hay independencia de eventos. c. Cuatro componentes electrónicos idénticos están conectados a un controlador que puede conmutar de un componente que falla a otro de los que quedan como repuesto. Sea x el número de componentes que han fallado después de cierto tiempo de operación. Es razonable utilizar la distribución binomial por ser eventos independientes y mutuamente excluyentes. d. Sea X el número de accidentes que ocurren en las carreteras federales de cierto estado durante un mes. No es razonable porque el hecho que ocurra accidentes se da por varios factores por lo que el evento no es independiente. e. Sea X el número de respuestas correctas de un estudiante que resolvió un examen de opción múltiple, en las que pudo eliminar, en algunas preguntas, varias de las opciones porque eran incorrectas, y en otras, todas las opciones incorrectas. Es razonable porque responder una pregunta es independiente de responder otra. De forma incorrecta.
f. Los defectos sobre la superficie de un chip semiconductor aparecen al azar. Sin embargo, sólo el 80% de los defectos pueden detectarse mediante pruebas. Se toma una muestra de 40 chips que tienen un defecto y se someten a prueba. Sea X el número de chips en los que la prueba encuentra un defecto. No es razonable ya que los chips pueden tener uno o cero defectos. g. Considere de nuevo la situación presentada en (f). Suponga ahora que la muestra de 40 chips está formada por chips que tienen uno o cero defectos Si es razonable ya que los chips pueden tener uno o cero defectos. h. En una operación de llenado se intenta llenar paquetes de detergente, de modo que tengan el peso señalado en la publicidad. Sea X el número de paquetes de detergente que pesan menos que lo indicado en la publicidad. Es razonable porque cada paquete tiene la misma probabilidad de éxito o fracaso, son independientes y mutuamente excluyentes. i. Los errores en un canal de comunicación digital se presentan en rachas que afectan de manera severa a varios bits consecutivos. Sea X el número de bits transmitidos erróneamente en el envío de 100 000 bits. No es razonable porque los eventos son independientes. j.
Sea X el número de grietas superficiales de una bobina grande de acero galvanizado. No es razonable porque la grieta depende de la bobina.
3-55. La variable aleatoria X tiene una distribución binomial con n = 10 y p = 0.5. Calcule las probabilidades siguientes a. 𝑃(𝑋 = 5) 𝑃(𝑋 = 5) =
ℂ ∗ 0.55 ∗ (1 − 0.5)10−5 10 5
𝑃(𝑋 = 5) = 0.2461
b. 𝑃(𝑋 ≤ 2) ℂ ∗ 0.50 ∗ (1 − 0.5)10−0 10 0 = 0) = 0.000976 ℂ = 1) = ∗ 0.51 ∗ (1 − 0.5)10−1 10 1 = 1) = 0.00976 ℂ = 2) = ∗ 0.52 ∗ (1 − 0.5)10−2 10 2 = 2) = 0.0439 ≤ 2) = 0.000976 + 0.00976 + 0.0439 = 0.0547
𝑃(𝑋 = 0) = 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋
c. 𝑃(𝑋 ≥ 9) ℂ ∗ 0.59 ∗ (1 − 0.5)10−9 10 9 = 9) = 0.00976 ℂ = 10) = ∗ 0.510 ∗ (1 − 0.5)10−10 10 10 = 10) = 0.000976 ≥ 9) = 0.00976 + 0.000976 = 0.0107
𝑃(𝑋 = 9) = 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋
d. 𝑃(3 ≤ 𝑋 < 5) ℂ ∗ 0.53 ∗ (1 − 0.5)10−3 10 3 𝑃(𝑋 = 3) = 0.117 ℂ 𝑃(𝑋 = 4) = ∗ 0.54 ∗ (1 − 0.5)10−4 10 4 𝑃(𝑋 = 4) = 0.205 𝑃(3 ≤ 𝑋 < 5) = 0.117 + 0.205 = 0.322 𝑃(𝑋 = 3) =
3-57. La variable aleatoria X tiene una distribución binomial con n = 10 y p = 0.01. Calcule las probabilidades siguientes. a. 𝑃(𝑋 = 5) ℂ ∗ 0.015 ∗ (1 − 0.01)10−5 10 5 = 5) = 2.4 ∗ 10−8 ≤ 2) ℂ = 0) = ∗ 0.010 ∗ (1 − 0.01)10−0 10 0 = 0) = 0.9 ℂ = 1) = ∗ 0.011 ∗ (1 − 0.01)10−1 10 1 = 1) = 0.091 ℂ = 2) = ∗ 0.012 ∗ (1 − 0.01)10−2 10 2 = 2) = 4.15 ∗ 10−3 ≤ 2) = 0.9 + 0.091 + 4.15 ∗ 10−3 = 0.9951
𝑃(𝑋 = 5) = 𝑃(𝑋 b. 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋
c. 𝑃(𝑋 ≥ 9) ℂ ∗ 0.019 ∗ (1 − 0.01)10−9 10 9 = 9) = 9.9 ∗ 10−18 ℂ = 10) = ∗ 0.0110 ∗ (1 − 0.01)10−10 10 10 = 10) = 1 ∗ 10−20 ≥ 9) = 9.9 ∗ 10−18 + 1 ∗ 10−20 = 9.91 ∗ 10−18
𝑃(𝑋 = 9) = 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋
d. 𝑃(3 ≤ 𝑋 < 5) ℂ ∗ 0.013 ∗ (1 − 0.01)10−3 10 3 𝑃(𝑋 = 3) = 1.118 ∗ 10−4 ℂ 𝑃(𝑋 = 4) = ∗ 0.014 ∗ (1 − 0.01)10−4 10 4 𝑃(𝑋 = 4) = 1.977 ∗ 10−6 𝑃(3 ≤ 𝑋 < 5) = 1.118 ∗ 10−4 + 1.977 ∗ 10−6 = 1.137 ∗ 10−4 𝑃(𝑋 = 3) =
3-59. Determine la función de distribución acumulada de una variable aleatoria binomial con n = 3 y p = ¼ 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 3) ℂ 𝑃(𝑋 = 0) = ∗ 0.250 ∗ (1 − 0.25)3−0 3 0 𝑃(𝑋 = 0) = 0.422 ℂ 𝑃(𝑋 = 1) = ∗ 0.251 ∗ (1 − 0.25)3−1 3 1 𝑃(𝑋 = 1) = 0.422 ℂ 𝑃(𝑋 = 2) = ∗ 0.252 ∗ (1 − 0.25)3−2 3 2 𝑃(𝑋 = 2) = 0.141 ℂ 𝑃(𝑋 = 3) = ∗ 0.253 ∗ (1 − 0.25)3−3 3 3 𝑃(𝑋 = 3) = 0.0156 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 3) = 0.422 + 0.422 + 0.141 + 0.0156 = 1
3-61. Sea X el número de bits recibidos de manera incorrecta en un canal de comunicación digital, y suponga que X es una variable aleatoria binomial con p = 0.001. Si se transmiten 1000 bits, calcule lo siguiente. a. 𝑃(𝑋 = 1) ℂ 1000 1 𝑃(𝑋 = 1) = 0.368 𝑃(𝑋 = 1) =
∗ 0.0011 ∗ (1 − 0.001)1000−1
b. 𝑃(𝑋 ≥ 1) ℂ ∗ 0.0010 ∗ (1 − 0.001)1000−0 1000 0 𝑃(𝑋 = 0) = 0.368 𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 0.368 = 0.632 𝑃(𝑋 = 0) =
c. 𝑃(𝑋 ≤ 2) 𝑃(𝑋 = 0) =
ℂ 1000 0
∗ 0.0010 ∗ (1 − 0.001)1000−0
𝑃(𝑋 = 0) = 0.368 ℂ 𝑃(𝑋 = 1) = ∗ 0.0011 ∗ (1 − 0.001)1000−1 1000 1 𝑃(𝑋 = 1) = 0.368 ℂ 𝑃(𝑋 = 2) = ∗ 0.0012 ∗ (1 − 0.001)1000−2 1000 2 𝑃(𝑋 = 2) = 0.184 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 0.368 + 0.368 + 0.184 = 0.92 d. Media y varianza de X 𝜇 = 1000 ∗ 0.001 = 1 𝜎 2 = 1000 ∗ 0.001 ∗ (1 − 0.001) = 0.999 3-63. En un proceso de producción se examinan lotes de 50 resortes helicoidales para determinar si cumplen con los requerimientos del cliente. El número promedio de resortes helicoidales que no cumplen con los requerimientos es de cinco por lote. Suponga que el número de resortes que no cumplen con los requerimientos en un lote, denotado por X, es una variable aleatoria binomial. a. ¿Qué valores tienen n y p? 𝑛 = 50 𝑝 = 0.1 b. 𝑃(𝑋 ≤ 2) ℂ ∗ 0.10 ∗ (1 − 0.1)50−0 50 0 = 0) = 5.154 ∗ 10−3 ℂ = 1) = ∗ 0.11 ∗ (1 − 0.1)50−1 50 1 = 1) = 0.0286 ℂ = 2) = ∗ 0.12 ∗ (1 − 0.1)50−2 50 2 = 2) = 0.0779 ≤ 2) = 5.154 ∗ 10−3 + 0.0286 + 0.0779 = 0.112
𝑃(𝑋 = 0) = 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋
c. 𝑃(𝑋 ≥ 49) ℂ ∗ 0.149 ∗ (1 − 0.1)50−49 50 49 = 49) = 4.5 ∗ 10−48 ℂ = 50) = ∗ 0.150 ∗ (1 − 0.1)50−50 50 50 = 50) = 1 ∗ 10−50 ≥ 49) = 4.5 ∗ 10−48 + 1 ∗ 10−50 = 4.51 ∗ 10−48
𝑃(𝑋 = 49) = 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋
3-65. Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han reservado un lugar, la aerolínea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es 0.10, y el comportamiento de los pasajeros es independiente. a. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los pasajeros aborden el vuelo? 𝑃(𝑋 = 120) ℂ 𝑃(𝑋 = 120) = ∗ 0.10120 ∗ (1 − 0.10)125−120 125 120 𝑃(𝑋 = 120) = 0 b. ¿Cuál es la probabilidad de que el vuelo parta vacío? 𝑃(𝑋 = 0) ℂ 𝑃(𝑋 = 0) = ∗ 0.100 ∗ (1 − 0.10)125−0 125 0 𝑃(𝑋 = 0) = 1.907 ∗ 10−6 3-67. Un examen de opción múltiple contiene 25 preguntas, cada una con cuatro respuestas. Suponga que un estudiante sólo adivina las respuestas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste de manera correcta más de 20 preguntas? 𝑃(𝑋 > 20) ℂ 𝑃(𝑋 = 21) = ∗ 0.2521 ∗ (1 − 0.25)25−21 25 21 𝑃(𝑋 = 21) = 9.1 ∗ 10−10 ℂ 𝑃(𝑋 = 22) = ∗ 0.2522 ∗ (1 − 0.25)25−22 25 22 𝑃(𝑋 = 22) = 5.516 ∗ 10−11 ℂ 𝑃(𝑋 = 23) = ∗ 0.2523 ∗ (1 − 0.25)25−23 25 23 𝑃(𝑋 = 23) = 2.398 ∗ 10−12 ℂ 𝑃(𝑋 = 24) = ∗ 0.2524 ∗ (1 − 0.25)25−24 25 24 𝑃(𝑋 = 24) = 6.661 ∗ 10−14 ℂ 𝑃(𝑋 = 25) = ∗ 0.2525 ∗ (1 − 0.25)25−25 25 25 𝑃(𝑋 = 25) = 8.882 ∗ 10−16 𝑃(𝑋 > 20) = 9.676 ∗ 10−10 b. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste de manera correcta menos de cinco preguntas? 𝑃(𝑋 < 5) ℂ 𝑃(𝑋 = 4) = ∗ 0.254 ∗ (1 − 0.25)25−4 25 4 𝑃(𝑋 = 4) = 0.118
ℂ ∗ 0.253 ∗ (1 − 0.25)25−3 25 3 = 3) = 0.0641 ℂ = 2) = ∗ 0.252 ∗ (1 − 0.25)25−2 25 2 = 2) = 0.025 ℂ = 1) = ∗ 0.251 ∗ (1 − 0.25)25−1 25 1 = 1) = 6.271 ∗ 10−3
𝑃(𝑋 = 3) = 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋 𝑃(𝑋
ℂ ∗ 0.250 ∗ (1 − 0.25)25−0 25 0 𝑃(𝑋 = 0) = 7.525 ∗ 10−4 𝑃(𝑋 < 5) = 0.214 𝑃(𝑋 = 0) =
Distribución Binomial Negativa y Geométrica Sección 3-7 3-69) suponga que la variable aleatoria X tiene una distribución geométrica con p=0.5.Calcule las probabilidades siguientes a) P(x=1) 𝑃(𝑥 = 1) = (1 − 0.5)1−1 ∗ 1 𝑃(𝑥 = 1)=1 b) P(x=4) 𝑃(𝑥 = 4) = (1 − 0.5)4−1 ∗ 4 𝑃(𝑥 = 4) = 0.5 c) P(x=8) 𝑃(𝑥 = 8) = (1 − 0.5)8−1 ∗ 8 𝑃(𝑥 = 8) = 0.0625 d) P(x ≤ 2) 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 𝑝(𝑥 = 0) + 𝑝(𝑥 = 1) + 𝑝(𝑥 = 2) 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 0.75 e) P(x ˃ 2) P(x ˃ 2)=1-(p(x ≤ 2)) P(x ˃ 2)= 0.25 3-71) La probabilidad de un alineamiento óptico exitoso en el ensamblado de un producto de almacenamiento óptico de datos es 0.8.Suponga que los ensayos son independientes
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera exactamente cuatro ensayos? 3 P(x=4)= ( ) (0.203 )(0.80 ) 3 (x=4)= 0.0064 b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera como máximo cuatro ensayos? P(x ≤ 4) = P(x=0)+ P(x=1)+ P(x=2)+ P(x=3)+ P(x=4) P(x ≤ 4)=0.9984 c) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera al menos cuatro ensayos? P(x ≥ 4)= 1-[ p(X=0)+ p(X=1)+ p(X=2)+ p(X=3)] P(x ≥ 4)=1-0.992 P(x ≥ 4)=0.008 3-73) Continuación del ejercicio 3-68.Recuerde que la posibilidad de encontrar luz verde en el semáforo de un crucero muy concurrido en la mañana es del 20%.Suponga que cada mañana representa un ensayo independiente a) ¿cuál es la probabilidad de que la primera mañana en que la luz del semáforo se encuentre en verde sea la cuarta mañana desde el inicio del experimento? 𝑃(𝑥 = 4) = 0.1024 b) ¿Cuál es la probabilidad de que la luz del semáforo no se encuentre en verde durante diez mañanas consecutivas? 𝑃(𝑥 ≥ 10) = (0.8)10 𝑃(𝑥 ≥ 10) = 0.107
3-75) Considere una secuencia de ensayos Bernoulli independientes con p=0.2 a) ¿Cuál es el número esperado de ensayos que es necesario realizar para obtener el primer éxito? 1 E(X)=0.2 E(x)=5 b) Después de obtener el octavo éxito ¿Cuál es el número esperado de ensayos que deben efectuarse para obtener el noveno éxito?
9−8
E(X)= 0.2 E(x) = 5
3-77) Suponga que x es una variable aleatoria binomial negativa con p=0.2 y r=4.Calcule lo siguiente a) La media de x ux= E(X)= 4/0.2 Ux=20 b) P(x=20) 19 P(x=20) =( ) (0.8016 )(0.24 ) 3 P(x=20) = 0.0436 c) P(x=19) 18 ) (0.8015 )(0.24 ) 3 P(x=19)= 0.0459 P(x=19) =(
d) P(X=21) 20 ) (0.8017 )(0.24 ) 3 P(x=21) =0.0411 P(x=21) =(
3-79) La escala electrónica de un proceso de llenado automático detiene la línea de producción después de haber detectado tres paquetes con peso menor que el especificado .Suponga que la probabilidad de llenar un paquete con un peso menor es 0.001 y que cada operación de llenado es independiente a) ¿Cuál es el número promedio de operaciones de llenado antes de que se detenga la línea de producción? 3 U(x) = 0.001 U(x) = 3000 b) ¿Cuál es la desviación estándar del número de operaciones de llenado antes de que se detenga la línea de producción? s2= 3(1 − 0.001)/(0.0012 ) s= √𝑠 `2 s= 1731.18
3-81) Deduzca las expresiones para la media y la varianza de una variable aleatoria geométrica con parámetro p (se necesitan fórmulas para series infinitas)
Distribución Hipergeométrica Sección 3-8 3-83. Continuación del ejercicio 3-82. Calcule la media y la varianza de X. Datos: N=100 n=4
𝑘
𝑝=𝑁 20
𝑝 = 100 = 0,2
k=20
𝜇𝑥 = 𝐸(𝑥) = 𝑛. 𝑝 𝜇𝑥 = 𝐸(𝑥) = 4 ∗ 0,2 = 0,8
𝜎 2 = 𝑉(𝑥) = 𝑛. 𝑝 ∗ (1 − 𝑝) ∗ [
𝑁−𝑛 ] 𝑁−1
𝜎 2 = 𝑉(𝑥) = 4 ∗ 0,2 ∗ (1 − 0,2) ∗ [
100 − 4 ] = 0,620 100 − 1
3-85. Continuación del ejercicio 3-84. Calcule la media y la varianza de X. Datos: 𝑘
N=20
𝑝=𝑁
n=4
𝑝 = 20 = 0,2
k=4
𝜇𝑥 = 𝐸(𝑥) = 𝑛. 𝑝
4
𝜇𝑥 = 𝐸(𝑥) = 4 ∗ 0,2 = 0,8 𝜎 2 = 𝑉(𝑥) = 𝑛. 𝑝 ∗ (1 − 𝑝) ∗ [
𝑁−𝑛 ] 𝑁−1
𝜎 2 = 𝑉(𝑥) = 4 ∗ 0,2 ∗ (1 − 0,2) ∗ [
20 − 4 ] = 0,539 20 − 1
3-87. Continuación del ejercicio 3-86. Calcule la función de distribución acumulada de X en el ejercicio 3-86. Datos: 𝑘
N=10
𝑝=𝑁
n=3
𝑝 = 10 = 0,4
4
k=4 𝑝(𝑥 ≤ 3) = 𝑝(𝑥 = 0) + 𝑝(𝑥 = 1) + 𝑝(𝑥 = 2) + 𝑝(𝑥 = 3) 4 10 − 4 ( )( ) 𝑝(𝑥 = 0) = 0 3 − 0 = 0,17 10 ( ) 3 4 10 − 4 ( )( ) 𝑝(𝑥 = 1) = 1 3 − 1 = 0,5 10 ( ) 3
4 10 − 4 ( )( ) 2 3 − 2 𝑝(𝑥 = 2) = = 0,3 10 ( ) 3 4 10 − 4 ( )( ) 𝑝(𝑥 = 2) = 3 3 − 3 = 0,03 10 ( ) 3 𝑝(𝑥 ≤ 3) = 0,17 + 0,50 + 0,30 + 0,03 = 1 3-89. Un lote de 75 arandelas contiene cinco en las que la variabilidad en el espesor alrededor de la circunferencia de la arandela es inaceptable. Se toma una muestra al azar de 10 arandelas, sin reemplazo. a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las arandelas inaceptables se encuentre en la muestra? Datos: N=75
𝑝(𝑥 = 0) =
5 75−5 ( )( ) 0 10−0 75 ( ) 10
= 0,4786 = 47,86%
n=10 k=5 x=0 b. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las arandelas inaceptables se encuentre en la muestra? 𝑝(𝑥 ≥ 1) = 1 − [𝑝(𝑥 = 0)] 𝑝(𝑥 ≥ 1) = 1 − 0,4786 = 0,5214 = 52,14% c. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una de las arandelas inaceptables se encuentre en la muestra? 5 75 − 5 ( )( ) 𝑝(𝑥 = 1) = 1 10 − 1 = 0,3922 = 39,22% 75 ( ) 10
d. ¿Cuál es el número promedio de arandelas inaceptables en la muestra? 𝐸(𝑥) = 𝑛 ∗ 𝑝 𝑘
𝑝=𝑁
5
𝑝 = 75 𝐸(𝑥) = 10 ×
5 = 0,667 75
3-91. Una cinta magnética se corta en tiras de media pulgada de ancho, para luego devanarlas en cartuchos. La unidad de corte contiene 48 cuchillas. Se escogen al azar cinco de ellas y se evalúan diariamente para determinar el desgaste del filo. Si se encuentra cualquier cuchilla sin filo, se reemplaza todo el conjunto de cuchillas de la unidad de corte con uno nuevo. Datos: N=48 n=5 k=10 a. Si la unidad de corte tiene 10 cuchillas desgastadas, ¿Cuál es la probabilidad de remplazar el conjunto de cuchillas el primer día en que se lleva a cabo la evaluación? 𝑝(𝑥 ≥ 1) = 1 − 𝑝(𝑥 = 0)
𝑝(𝑥 = 0) =
(
10 38 )( ) 0 5 48 ( ) 5
= 0,2931
𝑝(𝑥 ≥ 1) = 1 − 0,2931 = 0,7069
b. Si la unidad de corte tiene 10 cuchillas desgatadas, ¿cuál es la probabilidad de que el conjunto de cuchillas no sea remplazado hasta el tercer día de iniciada la evaluación? 𝑃(𝑌 = 3) = 0,29312 (0,7069) = 0,0,0607 c. Suponga que el primer día en que se hace la evaluación dos cuchillas están desgastadas; el segundo día, seis están desgastados, y el tercer día 10 están desgastadas. ¿Cuál es la probabilidad de que el conjunto de cuchillas no sea remplazado hasta el tercer día de la evaluación? En el primer día: K=2 n=5 N=48
𝑝(𝑥 = 0) =
2 46 ( )( ) 0 5 48 ( ) 5
= 0,8005
En el segundo día: K=6
𝑝(𝑥 = 0) =
6 42 ( )( ) 0 5 48 ( ) 5
= 0,4968
n=5 N=48 En el tercer día: P(x=0)=0,2931 de la parte a. Por lo tanto P(Y=3)=0,8005(0,4968)(1-0,2931)=0,2811 3-93. Continuación del ejercicio 3-89. Utilice la aproximación binomial a la distribución hipergeométrica para aproximar las probabilidades del ejercicio 3-89. En este ejercicio, ¿cuál es el factor de corrección para población finita? Datos: n=10 p=5/75 𝑛 𝑝(𝑥) = ( ) (𝑢)𝑥 (1 − 𝑝)𝑛 𝑥
10 1 0 14 10 ) ( ) (15) = 0,5016 0 15 b) 𝑝(𝑥 ≥ 1) = 1 − 𝑝(𝑥 = 0) = 0,4984 10 1 1 14 9 c) 𝑝(𝑥 = 1) = ( ) (15) (15) = 0,3583 1 1 2 d) 𝐸(𝑥) = 10 (15) = 3 a) 𝑝(𝑥 = 0) = (
POISSON Sección 3-9 3-95. Suponga que X tiene una distribución Poisson con media 4. Calcule las probabilidades siguientes a) P(x=0) (0.40 ) ∗ (2.71828−0.4 ) 0! P(x=0) = 0.6703 𝑃(𝑥 = 0) =
b) P(x ≤ 2) P(x≤2) = [p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)]
𝑃(𝑥 = 0) = 𝑃(𝑥 = 1) = 𝑃(𝑥 = 2) =
(0.40 )∗(2.71828−0.4 ) 0! (0.41 )∗(2.71828−0.4 ) 1!
(0.42 )∗(2.71828−0.4 ) 2!
= 0.67 = 0.2681 = 0.0536
P(x≤2)=0.9917 c) P(x=4) 𝑃(𝑥 = 4) =
(0.44 ) ∗ (2.71828−0.4 ) = 0.00102 4!
d) P(x=8) 𝑃(𝑥 = 8) =
(0.48 ) ∗ (2.71828−0.4 ) = 0.000000108 8!
3-97) A menudo el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como una variable aleatoria de Poisson. Suponga que en promedio, se reciben 10 llamadas por hora a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 1 hora? (105 ) ∗ (2.71828−10 ) 𝑃(𝑥 = 5) = = 0.0378 5! b) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba tres llamadas o menos en una hora? 𝑃(𝑥 ≤ 3) = 𝑝(𝑥 = 0) + 𝑝(𝑥 = 1) + 𝑝(𝑥 = 2) + 𝑝(𝑥 = 3)
𝑃(𝑥 = 0) = 𝑃(𝑥 = 1) = 𝑃(𝑥 = 2) = 𝑃(𝑥 = 3) =
(100 )∗(2.71828−10 ) 0! (101 )∗(2.71828−10 ) 1! (102 )∗(2.71828−10 ) 2! (103 )∗(2.71828−10 ) 3!
= 0.000454 = 0.00454 = 0.00227 = 0.07560
𝑃(𝑥 ≤ 3) = 0.0148
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas? u=20
𝑃(𝑥 = 15) =
(2015 )∗(2.71828−20 ) 15!
= 0.05
d) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos? u=5
𝑃(𝑥 = 5) =
(55 )∗(2.71828−5 ) 5!
= 0.1754
3-99) el número de baches en una sección de la carretera interestatal requieren reparaciones urgentes, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media de dos baches por millas a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya baches que reparar en un tramo de 5 millas? u= 10 (100 ) ∗ (2.71828−10 ) 𝑃(𝑥 = 0) = = 0.000454 0! b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo de media milla? u= 1 𝑃(𝑥 ≥ 1) = 1 − [𝑝(𝑥 = 0)]
𝑃(𝑥 = 0) =
(10 )∗(2.71828−1 ) 0!
= 0.368
𝑃(𝑥 ≥ 1) = 0.632 c) Si el número de baches está relacionado con la carga vehicular de la carretera y algunas secciones de esta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, ¿Qué puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar tienen una distribución de Poisson? Podemos decir que tiene una distribución de Poisson ya que el tamaño de la carretera vendría a ser muy grande y que por el hecho de que no menciona la cantidad exacta de vehículos tanto pesados como ligeros pasan por allí podríamos deducir que la probabilidad de la creación de baches para reparar será pequeña, además de que su análisis vendría a ser en intervalos. Entonces vendría a ser un ejercicio que cumple con todas las características del modelo de Poisson
3-101) el número de fallas de un instrumento de prueba debidas a las partículas contaminantes de un producto, es una variable aleatoria Poisson con media 0.02 fallas por hora
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le instrumento no falle en una jornada de 8 horas? u=0.16 (0.160 ) ∗ (2.71828−0.16 ) 𝑃(𝑥 = 0) = = 0.85 0!
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se presente al menos una falla en un periodo de 24 horas? u=0.48 𝑃(𝑥 ≥ 1) = 1 − [𝑝(𝑥 = 0)]
𝑃(𝑥 = 0) =
(0.480 )∗(2.71828−0.48 ) 0!
= 0.6187
