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Distribuciones de Probabilidad Discretas y Continuas
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Unidad 3 Distribución
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Problemario Completo
SolucionarioTrabajo 1.Estadistica II
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Y CONTINUAS
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Una distribución de probabilidad es similar a una distribución de frecuencias frecuencias relativas. Sin embargo, en lugar de describir el pasado, esta describe la posibilidad de que se presente un evento futuro. Por ejemplo, un fabricante de medicamentos puede solicitar un tratamiento que provoque una pérdida de peso en el 80% de la población. Una agencia de protección al consumidor puede probar el tratamiento tratamiento en una muestra de seis personas. Si la afirmación del fabricante es verdadera, es casi imposible tener un resultado donde nadie pierda peso en la muestra y es más probable que 5 de 6 personas pierdan peso.
¿Qué es una distribución de probabilidad?
Una distribución de probabilidad presenta los resultados posibles de un experimento y la probabilidad de cada uno de ellos.
Variables aleatorias
En un experimento al azar, los resultados se presentan de manera aleatoria. Por tanto, casi siempre se le llama variable aleatoria, por ejemplo, si contamos el número de empleados ausent el lunes en un turno matutino, matutino, el número podría podría ser 0, 1, 2, 3,.. El número de ausentes ausentes es un
variable aleatoria. Otras variables aleatorias podrían ser: el número de focos defectuosos Sign upequipo to vote on title producidos producidos durante la semana, las estaturas de los miembros del de this basquetbol masculin Useful diez Not useful últimos años el número de corredores en una carrera, en cada uno de los el número de muertos por accidentes de tránsito durante las vacaciones de semana santa.
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Si el rango de una variable aleatoria contiene un intervalo de valores reales, entonces es una variable aleatoria continua. Ejemplos de variables aleatorias continuas son: pesos, volúmenes, longitudes, voltajes, resistencia, ángulos, espesor, entre otros. Y al igual que las variables aleatorias discretas generará distribuciones de probabilidad continuas como la Distribución Normal.
MEDIA, VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR DE UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
La media es un valor típico que se utiliza para representar la ubicación central de una distribució de probabilidad. También se describe como su valor esperado. Y su valor se calcula a través de:
|MEDIA DE LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD:
µ = [xP(x)]
|
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Donde P(x) es la probabilidad de un valor particular de x.
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La varianza describe la cantidad de dispersión de los datos, (variación de ellos), en una distribuci de probabilidad. Sign up to vote on this title Useful Not useful |VARIANZA DE UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD: 2 = [(x - µ)2P(x)] |
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3. Sumar los productos restantes para obtener la varianza.
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La desviación estándar, , se obtiene al extraer la raíz cuadrada positiva de 2.
Ejemplo: El palacio de las pizzas ofrece tres tamaños de refresco de cola: chico, mediano y grand
para acompañar las pizzas. Los refrescos de cola se venden a $0.80, $0.90 y $1.20, respectivamente. De los pedidos, 30% son para el tamaño chico, 50% para el mediano y 20% par el grande. Organice el tamaño de los refrescos de cola y la probabilidad de venta en una distribución de probabilidad. a) ¿Es una distribución de probabilidad discreta? b) Calcule la cantidad media cobrada por refresco de cola. c) ¿Cuál es la varianza de la cantidad cobrada por un refresco de cola? ¿Cuál es la desviación estándar?
SOLUCION: You're Reading Preview a) Es una distribución de probabilidad discreta ya quea los valores que toma la variable aleatoria s
pueden contar, (tres valores = chico,Unlock mediano y grande), esto se puede ver en la tabla siguiente: full access with a free trial.
Download With Free Trial |Tamaño de refrescos |de cola (x) |chico de $ 0.80
|Probabilidad |P(x)
|
|
|0.30
| Sign up to vote on this title
|mediano de $ 0.90 |grande de $ 1.20
|0.50 |0.20
| |
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c) Una tabla será útil para el cálculo de la varianza:
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|Tamaño de refrescos |de cola (x) |chico de $0.80
|Probabilidad
|P(x) |0.30
|
|(x - µ)
| |(x - µ)2
|0.80 0.93
| |(x - µ)2.P(x)
|0.0169
|
|0.00507
| |mediano de $0.90 | |grande de $1.20 |
|0.50
|0.20
|0.90 0.93
|1.20 0.93
|0.0009
|0.0729
|0.00045
|0.01458
2 = 0.02010
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De donde la desviación estándar es: = 0.1417744688 0.14
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DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL
Es una distribución de probabilidad discreta que se presenta muy a menudo. Una de sus
características es que existan sólo dos resultados posibles en una particular Sign upprueba to vote on this titlede un experimento, en el control de calidad se puede identificar como una variable tipo pasa o no Useful useful Not del pasa. Por ejemplo, un artículo cumple con especificaciones o no, una pieza resiste cierta fuerza o
no. Es un experimento aleatorio donde el resultado de cada ensayo es uno de dos: éxito o
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Es el número
de combinaciones de n elementos disponibles tomados x a la vez.
Aquí p es generalmente la proporción promedio de artículos defectuosos. Algunos ejemplos típicos para esta distribución son los siguientes:
Un proceso produce 5% de piezas defectuosas. Sea X el número de piezas defectuosas en las siguientes 20 piezas producidas.
En una prueba final de artículos electrónicos se tiene un historial de que el 1% tiene alguna fall que es necesario reparar antes de liberarlos. Sea X la cantidad de artículos con fallas en los siguientes 50 inspeccionados.
De los nacimientos en un hospital, sea X la cantidad de niños varones en los siguientes 10 You're Reading a Preview nacimientos. Unlock full access with a free trial.
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Si X es una variable aleatoria con distribución binomial (n, p), entonces, la media y la varianza d la distribución será:
µ = E(X) = np
y
2 = V(X) = np (1 p)
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Y si estamos interesados en conocer r defectos o menos utilizaremos una distribución
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1.- En un proceso de fabricación que produce gran cantidad de artículos, se sabe que en promed
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2% de ellos son defectuosos. Los artículos son empacados en cajas de 10, y se quiere saber cuál e la probabilidad de que no haya ningún artículo defectuoso en cada caja. Si X es el número de artículos defectuosos por caja, entonces se quiere obtener P(x=0), lo cual es:
[pic]
Por tanto, se espera que el 82% de las cajas no tengan ningún artículo defectuoso. Mientras que 18% restante tendrá al menos un defectuoso. Si se quisiera saber cuál es la probabilidad de que tengan exactamente un artículo defectuoso (P(x = 1)), entonces:
[pic]
Por lo que se espera que 16.7% de las cajas tendrá exactamente un articulo defectuoso. Y si You're Reading a Preview quisiéramos saber cuál es la probabilidad de que como máximo se tenga un defectuoso, entonce Unlock full access with a free trial.
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P(x 1) = P(x = 0) + P(x =1) = 0.82 + 0.167 = 0.987
De manera similar se podría calcular cualquier otra probabilidad. Sign up to vote on this title
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2.- Las normas de la industria sugieren que el 10% de los vehículos nuevos requieren un servicio de garantía en el primer año. Jones Nissan en Sumter, Carolina del Sur, vendió ayer 12 autos
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3.- La velocidad a la que las compañías de servicios pueden resolver problemas es muy importante. La compañía de teléfonos Telecom, informa que puede resolver los problemas del cliente el mismo día que éstos se reportan en el 70% de los casos. Suponga que 15 casos reportados hoy son representativos de todas las quejas.
a) ¿Cuántos problemas esperaría que se resolvieran el día de hoy? ¿Cuál es la desviación estánda b) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 de los problemas se resuelvan hoy? c) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 u 11 de los problemas se resuelvan hoy? d) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 de los problemas se resuelvan hoy?
Respuestas: a) µ = 10.5 y = 1.7748; b) 0.2061; c) 0.4247 d) 0.5154
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD HIPERGEOMETRICA
Esta se aplica en ciertos tipos de experimentos Bernoulli, en los que la probabilidad de éxito no s You're Reading a Preview mantiene constante. Por ejemplo, un conjunto de N objetos contiene K de ellos clasificados com Unlock full access with a free trial. éxitos y (N K) como fallas. Se extrae una muestra aleatoria (sin reemplazo) de tamaño n de tal conjunto, n N. Sea x el número de éxitos en la muestra, entonces, x tiene una distribución Download With Free Trial hipergeométrica.
[pic] Sign up to vote on this title
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donde: N es el tamaño de la población; K es el número de éxitos en la población; n es el tamaño de la muestra y x es el número de éxitos de la muestra (del que se quiere encontrar la
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formar un comité que va a hablar con la gerencia acerca de los horarios en que inician los turnos
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¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de los cinco empleados seleccionados para el comité pertenezcan a un sindicato?
SOLUCION: En este caso, la población son los 50 empleados del departamento de ensamblaje. Un empleado puede ser seleccionado para el comité sólo una vez. De ahí que el muestreo se realice sin reemplazos. Por tanto, la probabilidad de seleccionar un empleado sindicalizado, cambia de un ensayo a otro. La distribución de probabilidad hipergeométrica es adecuada para determinar la probabilidad. En este problema N es 50, el número de empleados; K es 40, el número de empleados sindicalizados; n es 5, el número de empleados seleccionados, y x es 4, el número empleados sindicalizados seleccionados.
Deseamos encontrar la probabilidad de que 4 de los 5 miembros del comité sean sindicalizados. Al insertar estos valores en la formula, tenemos:
You're Reading a Preview [pic]
Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial Por tanto, la probabilidad de seleccionar 5 trabajadores de ensamblaje al azar de los 50 trabajadores y encontrar que 4 de 5 sean sindicalizados es de 0.431.
up to on this titlede diez EJERCICIO: La tienda Enseres Electrónicos del Sur, acaba deSign recibir unvote cargamento useful que por error Useful Not reproductores de DVD. Poco después de recibirlo, el fabricante llamó para reportar
enviaron tres unidades defectuosas. La propietaria de la tienda, decidió probar dos de los diez reproductores de DVD que recibió. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los dos
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unidad de área, por unidad de volumen, por unidad de tiempo, etc.) Es frecuente que este tipo d
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variables tenga una distribución de Poisson, cuya función de distribución de probabilidad está dada por:
[pic]
donde [pic]= 2.718281828.., además la media de la distribución es: µ = np = y su varianz es: 2 = Cuando el valor de n es bastante grande y la probabilidad de un éxito p es muy pequeña la distribución binomial se aproxima bien a la distribución de Poisson.
PROBLEMA: Un estudio de las filas en las cajas registradoras del Supermercado Selectos Gigante reveló que entre las 4:00 y las 7:00 p.m., los fines de semana existe un promedio de cuatro clientes formado
¿Cuál es la probabilidad de que usted visite el Supermercado Selectos Gigante a esa hora durant este mes y encuentre que: You're Reading a Preview a) ¿No hay clientes esperando?. b) ¿Hay cuatro clientes esperando?Unlock full access with a free trial. c) ¿Cuatro clientes o menos esperando? d) ¿Cuatro clientes o más están esperando? Download With Free Trial
SOLUCION: Basados en que el experimento sigue una distribución de Poisson, determinamos que
el valor de = 4 que corresponde al promedio observado y procedemos a evaluar las condicione pedidas en la formula de la distribución. Sign up to vote on this title
[pic]
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