Distribuciones discretas para probabilidad y estadística.Descripción completa
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distribuciones discretas importantes por el profesor tito de la unacDescripción completa
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distribuciones de probabilidades de variables discretasDescripción completa
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evaluacion probabilidad
INTRODUCCIÓN A LA ESTADISTICADescripción completa
Problemas de distribucion discreta, distribucion Binomial y distribucion por Poisson de la facultad de Ingenieria de Sistemas, Computo y Telecomunicaciones de la Universidad Inca Garcilazo d…Descripción completa
Teoría Teoría en general. general. 1.
Contestar falso o verdadero. Un experimento de probabilidad binomial tiene como característica: ____ Cada ensayo ensayo tiene solo dos resultados resultados posibles (éxito o fracaso). ____ Los n ensayos ensayos son dependientes y repetidos. repetidos. ____ El resultado de un ensayo no debe afectar la probabilidad de éxito de cualuier otro en el experimento. ____ !e considera un muestreo muestreo con rempla"o.
Solución:
2.
#erdadero$ %also$ #erdadero$ %also.
!e&ale cu'les de las siuientes características son verdaderas para una distribucin *oisson.
x n+x p(x) = p n
a) ____
x
b) ____ ,iene ,iene una frecuencia constante constante a través del tiempo ( λ). c) ___ ____ _ ,iene ,iene aplic aplicaci acin n en teorí teoríaa de colas. colas. d) ____ ,ien ,ienen en aplicacio aplicaciones nes en control control y aseuram aseuramiento iento de la calida calidad. d. e) ____ Los eventos eventos son dependien dependientes tes entre entre sí. sí. Solución:
!e-n un artículo$ los estadounidenses tienen posibilidad en /0 de aduirir una infeccin mientras mientras est'n 1ospitali"ad 1ospitali"ados. os. !i se anali"an anali"an los reistros reistros de 2 pacientes pacientes 1ospitali"ado 1ospitali"ados$ s$ eleidos al a"ar$ encuentre la probabilidad de ue: a) 3inuno 3inuno de los los 2 1aya 1aya aduirido aduirido la infeccin infeccin mientr mientras as estuvo estuvo 1ospitali 1ospitali"ado. "ado. b) Uno o m's de los 2 1ayan 1ayan aduirido la infeccin infeccin mientras estuvieron estuvieron 1ospitali"ados. 1ospitali"ados.
Solución:
En este caso el éxito ser' ue una persona 1aya sido infectada mientras estuvo
1ospitali"ada$ por lo ue: p =
/0
=
4 /0.
La funcin de probabilidad ser' de una distribucin binomial$ ue con los valores de este caso ser':
= () ()(0.9:6/) = 0.9:6/. a) En este inciso se busca x50$ por lo tanto: b) Como se busca x5 $ /$ 6$ . . .$ 27 es m's sencillo uitarle a $ la probabilidad total acumulada$ el valor para cuando x50$ ue sumar cada una de las probabilidades de los valores de x necesarios para cumplir la condicin. Como ya se tiene la probabilidad de x50 (del inciso anterior) lo -nico es rest'rselo a $ por lo ue:
4.
!e construye un sistema electrnico comple8o con determinado n-mero de componentes de − 0.96/ = 0.26; de ue esta situacin suceda. respaldo en sus subsistemas. Un subsistema tienen cuatro componentes idénticos$ y cada uno tiene la probabilidad 0./ de fallar en menos de 000 1oras. El subsistema traba8a si dos o m's cualesuiera de los cuatro componentes traba8an. !i se supone ue los componentes traba8an en forma independiente$ calcular la probabilidad de ue: a) Exactamente dos de los cuatro componentes duren m's de 000 1oras. b) El subsistema traba8e m's de 000 1oras.
Solución:
a) Como la probabilidad ue se nos da es la de fallar en menos de 000 1rs.$ y la ue se necesita es la ue duren m's de 000 1rs.$ la probabilidad de esta -ltima ser' el complemento de la primera$ por lo tanto al usar la funcin de distribucin binomial el resultado ueda:
En la competencia de biatln de los >ueos ?límpicos$ un participante reali"a la prueba de es@í a campo traviesa y en cuatro ocasiones se detiene en un campo de tiro y dispara con su rifle cinco veces. !i acierta en el centro del blanco$ no se asinan puntos de penali"acin. !i un atleta particular tiene un 1istorial de atinarle a la diana en el 40A de sus disparos$ cu'l es la probabilidad de ue acierte en el centro del blanco: a) Los cinco disparos en su siuiente parada en el campo de tiro. b) *or lo menos cuatro disparos en su parada en el campo de tiro. (!upona independencia.)
Solución:
a) !e sabe ue p50.4 y n52 y se uiere saber el valor para cuando x52. Con estos datos se busca en una tabla de funcin de distribucin binomial acumulada la probabilidad$ pero con estas características solo 1ay 1asta x597 pero se sabe ue la probabilidad total es $ por lo ue si a se le uita la probabilidad de x59$ dar' el valor ue se busca. p(x = 2) = − 0.9042 = 0.2402.
b) *or lo ue menos cuatro$ sinifica la probabilidad de x59 y x52. *or lo ue si se suman estas dos probabilidades nos da el valor ue se busca:
? bien se pueden sacar los valores de la tabla. 3.B.: ay ue tomar en cuenta ue alunas tablas de la distribucin binomial son acumuladas.
6.
El departamento de matem'ticas tiene ; licenciados auxiliares ue se destinan a una misma oficina. Cada licenciado puede estudiar por iual en su casa o en la oficina. DCu'ntos escritorios deben 1aber en la oficina par ue cada uno tena por lo menos un escritorio el 40A de las veces
Solución:
La frase de ue Fpueden estudiar por iual en su casa o en su oficinaG$ se refiere ue
estudian en un luar o en otro$ teniendo probabilidad iual cada uno de estos luares siendo 0.2 en cada caso. Lo ue se uiere saber es con n5; y p50.2 cu'l es el valor de x ue cubre el 40A de las veces$ por lo ue viendo en la tabla de la distribucin binomial acumulada se obtiene: p(x = 2) = 0.;222 con lo ue a-n no se cumple el porcenta8e. Entonces : p(x = ) = 0.49; ue rebasa lo pedido$ pero cumple con el reuisito.
He tal manera se concluye ue debe 1aber escritorios para ue cada uno tena por lo menos un escritorio el 40A de las veces.
7.
Heterminar el n-mero esperado de varones de una familia con ; 1i8os$ suponiendo la distribucin del sexo iualmente probable. DCu'l es la probabilidad de ue el n-mero esperado de ni&os suceda.
Solución:
El n-mero esperado de varones es E = np = ; ⋅ 0.2 = 9 $ y la probabilidad de ue la
!e empacan die" motores para su venta en determinado almacén. Los motores se venden a I00 cada uno7 la compa&ía se compromete a devolver el doble del valor de cada motor si est' defectuoso. Calcular la anancia neta esperada de la compa&ía si la probabilidad de ue cualuier motor tena defectos es de 0.0;. !uponer u e la calidad de los motores es independiente.
Solución:
!e sacan primeramente los valores dados:
n = 0
precio por motor = I00
p = 0.0;
pao por defecto = I/00.
J1ora bien$ se venden 0 motores a I00 pesos cada uno$ pero a esto se le resta lo ue se tiene ue paar por uno defectuoso con su respectiva probabilidad$ por lo ue tenemos: E(x) = ( n ⋅ precio ) + ( n ⋅ p ⋅ pao por defecto) = (0 ⋅ 00) + (0 ⋅ 0.0; ⋅ /00) = I;90 se espera anar.
9.
Con base en un periodo laro$ se 1a determinado ue 40A de todos los estudiantes inscritos en el curso /04 de matem'ticas lo aprueban7 si toman el curso rupos de 60 estudiante$ determine la media y la desviacin est'ndar del n-mero de estudiantes aptos por curso.
Solución:
!e tienen los datos:
n = 60 p = 0.4 = 0.
K como: E(x)
=
np
y
#(x)
=
np
Entonces : E
=
60 ⋅ 0.4
#
=
60 ⋅ 0.4 ⋅ 0. = /.=
=
/= alumnos y
10.
La probabilidad de ue un artículo producido por una f'brica sea defectuoso es 0.0/. Un caramento de 0 000 artículos se envía a sus almacenes. allar el n-mero esperado E de artículos defectuosos y la desviacin est'ndar σ.
Solución:
!e tienen los valores:
n = 0 000$ p = 0.0/$
= 0.4;.
*or lo ue sustituyendo en las frmulas nos ueda: E = np = 0 000 ⋅ 0.0/ = /00. σ
=
np =
0 000 ⋅ 0.0/ ⋅ 0.4;
= ±9 .
5.2. Distribución Poisson. 11.
La lleada de clientes en una ca8a de una tienda departamental tiene una distribucin de *oisson con un promedio de ; por 1ora$ y toma 0 minutos atender a cada cliente. *ara una 1ora determinada$ calcular la probabilidad de ue: a) Lleuen exactamente ; clientes. b) 3o lleuen m's de 6 clientes. c) Lleuen por lo menos / clientes. d) La media.
Solución:
!e tiene para los tres incisos ue λ5;$ por lo ue:
a) !e busca la probabilidad para las condiciones x5; y λ5;7 por lo ue se busca la probabilidad de estas condiciones en una tabla de funcin de distribucin de *oisson y se obtiene: p50.246$ como esta probabilidad es acumulada$ a este valor se le tiene ue restar la probabilidad para x5= (0.926) y de esta manera se tiene la probabilidad exactamente para ; clientes7 lo ue es: p = 0.246 − 0.926 = 0.9
b) La expresin Fno lleuen m's de 6 clientesG$ sinifica ue lleue $ / 6 clientes. *or lo ue sería la probabilidad acumulada 1asta x56$ entonces se recurre a una tabla de funcin de distribucin de *oisson acumulada y tenemos como resultado: p
=
0.09/ de ue no lleuen m's de 6 clientes.
c)
d) Como E(x)5λt$ entonces
12.
El n-mero de imperfecciones en el te8ido de una tela tiene una distribucin de *oisson con un promedio de 9 por yarda cuadrada. a) Calcular la probabilidad de ue una muestra de una yarda cuadrada tena por lo menos un defecto. b) Calcular la probabilidad de ue una muestra de tres yardas cuadradas tena al menos un defecto. c) Calcular el promedio de los costos de reparacin para un lien"o de oc1o yardas cuadradas de tela$ si el costo de reparacin de defectos en el te8ido es de I0 por cada uno.
Solución:
a) ,enemos ue λ59 y para tener la probabilidad de ue tena por lo menos un defecto una yarda cuadrada$ basta con restarle a (probabilidad total acumulada)$ la probabilidad para x507 ue se puede obtener de una tabla de distribucin *oisson$ entonces: p = − 0.0; = 0.4;/.
b) !e resuelve iual al inciso anterior$ tomando en cuenta solamente ue la muestre es de 6 yardas por lo ue λ5/$ ya ue el promedio dado es por yarda cuadrada$ entonces: p = − 0.000 = .
Es decir ue la posibilidad de ue en tres yardas cuadradas se tena al menos un defecto es seuro ue suceda. c) *ara oc1o yardas cuadradas λ56/ entonces: E(x) = Costo ⋅ L = 0 ⋅ 6/ = I6/0
13.
El n-mero de colonias de bacterias en determinado tipo de muestras de aua contaminada tiene una distribucin de *oisson cuyo promedio es / por centímetro c-bico. DCu'ntas muestras de un centímetro c-bico de aua deben seleccionarse para alcan"ar una probabilidad aproximada de 0.42 de ver por lo menos una colonia de bacterias
Solución:
!e ver' en la tabla de distribucin de *oisson ue probabilidad con una λ5/ se cubre
cuando se toma muestra (x5)$ y si esta probabilidad no alcan"a la de 0.42$ ue es la de ver por lo menos una colonia de bacterias$ se anali"ar' la probabilidad para / muestras y así sucesivamente 1asta cubrir la probabilidad de 0.42. ay ue tomar en cuenta ue ser' m's sencillo si a (probabilidad total acumulada) se le uita la probabilidad de ue la muestra no tena colonia de bacterias para cumplir con el reuisito de ver Fpor lo menos una coloniaG.
?tro detalle ue es importante es ue λ ir' cambiando se-n el n-mero de muestras ue estemos anali"ando$ por lo ue la respuesta es: *ara λ59$ es decir$ / muestras$ la probabilidad es p5 + 0.0;5 0.4;/$ siendo / muestras las necesarias para cumplir con las condiciones.
14.
!upona ue en una prueba de aritmética muy lara$ Honna obtendría bien el =0A de las preuntas. *ara un examen de 0 preuntas$ calcule la probabilidad: a) He ue Honna obtena correctas por lo menos siete preuntas. b) He ue Honna obtena nueve o die" preuntas correctas. c) Dcu'l es el n-mero esperado de preuntas ue tendr' bien Honna.
Solución:
!e sabe ue λ5np por lo ue para este caso λ5(0)(0.=)5 =$ y teniendo este datos de
pueden resolver los incisos. a) El 1ec1o de ue Honna obtena correctas por lo menos siete$ implica ue saue = bien$ ;$ etc. 1asta 07 por lo ue si a (probabilidad total acumulada) se le resta la probabilidad acumulada 1asta x5 respuestas correctas$ dar' la probabilidad en cuestin. Mecurriendo a la tabla de distribucin de *oisson obtenemos: p
=−
0.92 = 0.22
b) !i los valores se sacan de una tabla de distribucin acumulada de *oisson$ lo ue se tiene ue p
=
0.40 − 0.=/4 = 0.=/.
1acer es para λ5= y x50$ restarle la probabilidad de λ5= y x5;$ para ue de esta forma nos uede la probabilidad de x54 y x50$ por lo ue: ? bien$ se puede resolver con la frmula de distribucin de *oisson para los valores de x 4 y 0. c) !abemos ue E(x)5 λ y λ5np$ lo cual es E5(0)(0.=)5 = preuntas correctas se espera ue tena Honna.
15.
El n-mero de automviles ue entran a un estacionamiento es una variable aleatoria con distribucin de *oisson$ con un promedio de 9 por 1ora. El estacionamiento tiene luar slo para / ve1ículos$ y est' vacío al principio. a) Calcular la probabilidad de ue el estacionamiento se llene durante la primera 1ora. !uponer ue todos los ve1ículos permanecen en el estacionamiento m's de una 1ora. b) Calcular la probabilidad de ue lleuen menos de / ve1ículos en un turno de ; 1oras.
Solución:
a) El decir ue se llene el estacionamiento es la probabilidad de ue lleuen / o m's ve1ículos$ por lo ue si a (probabilidad total acumulada) se le uita la probabilidad acumulada 1asta x5$ dar' el valor ue se busca$ por lo ue: p
= −
0.444 = 0.00.
b) Ka ue el valor promedio dado es para una 1ora$ para el periodo de ; ser' λ56/. El decir Fue lleuen menos de / ve1ículosG$ implica ue lleuen $ /$ 6$ . . .$ 7 por lo ue si sumamos todas las probabilidades de estos valores de x$ se obtendr' el valor ue se pide. *or lo eneral las tablas de distribucin *oisson proporcionan valores 1asta λ5/2$ por lo ue se tendr'n ue calcular los valores de x con la funcin de la distribucin de *oisson$ entonces: p(x = 0) = p(x = ) = p(x = /) = p(x = 6) =
6/ 0 0N 6/ N 6/ / /N 6/6 6N
e − 6/ = ./ × 0 −9 e − 6/ = 9.02 × 0 −6 e − 6/ = .9; × 0 −/ e − 6/ = .4 × 0 −
p(x = ) =
6/ N
e − 6/ = .9 × 0 − 2
∑ px = 0.0000= de ue lleuen menos de / autos en ; 1oras. x =0
5.6. Distribución hipergeométrica. 16.
Un 8ardinero planta cinco bulbos seleccionados al a"ar de una ca8a ue contiene seis de narcisos y cinco de tulipanes. DCu'l es la probabilidad de ue plante: a) ,res bulbos de narcisos y dos de tulipanes. b) *or lo menos un bulbo sea de tulip'n.
Solución:
a) !e uiere saber la probabilidad de plantar 6 bulbos de narcisos y / de tulipanes. *ara tener todos los datos en los par'metros de la distribucin 1ipereométrica$ a cualuiera de los tipos de bulbos se le asinar' @$ por e8emplo$ el n-mero de bulbos de narcisos es el valor de @ fracasos$ y por consiuiente el n-mero de bulbos de tulipanes ser'n los éxitos7 a1ora si determinamos ue @ ser'n los narcisos$ x56 por ue se uiere saber la probabilidad para 6 narcisos7 y los restantes ser'n tulipanes$ entonces:
35$ n5 2$ @ narcisos5 $ x56.
:+ 62+ /0⋅ p= =0.96/4deusa emnra. 9:/ 2 b) Es decir ue sean $ /$ 6$ 9 2 los bulbos de tulipanes$ por lo ue si a la probabilidad total acumulada () se le resta la probabilidad de ue no 1aya nin-n bulbo de tulip'n da el valor ue se busca$ por lo tanto:
35$ n5 2$ @ tulip'n5 2$ x50.
2 : 0 2 ⋅: p(x 0)== = =0. /4 9:/ 2 Entonces: + 0.0/45 0.4;=0 de ue 1aya por lo menos un bulbo de tulip'n.
17.
Un motor de automvil de ; cilindros tiene dos bu8ías ue fallan. !i se uitan las cuatro bu8ías de un lado del motor$ Dcu'l es la probabilidad de ue entre ellas se encuentren las dos ue tienen fallas.
Solución:
!e tienen como datos:
35 ;. @5 /. n59$ y lo ue se pide es x5/.
!ustituyendo estos valores en la funcin de la distribucin 1ipereométrica nos da:
Entre las ciudades ue una sociedad profesional est' considerando como futura sede para sus prximas tres convenciones anuales$ = est'n en la parte occidental de Oéxico. *ara evitar problemas$ la seleccin se de8a al a"ar. !i ninuna de las ciudades puede ser eleida m's de una ve" Dcu'les son las probabilidades de ue: a) 3inuna de las convenciones se celebre en la parte occidental del país. b) ,odas las convenciones se efect-en en la parte occidental de Oéxico.
Solución:
Jl mencionar ue ninuna ciudad puede ser eleida m's de una ve"$ implica ue el
experimento es sin reempla"o$ por lo ue la distribucin 1ipereométrica puede ayudar a resolver la cuestin. Los datos ue proporciona el problema son los siuientes: 35 $ @5=$ n56.
a) !e busca la probabilidad para x50 ya ue se uiere saber la probabilidad de ue ninuna de las convenciones sea en la parte occidental$ por lo tanto:
DCu'l es la probabilidad de ue una auditora de acienda detecte solamente / declaraciones de impuestos con deducciones ileales$ si selecciona aleatoriamente de ; declaraciones ; de las cuales contienen deducciones ileales.
Solución:
!e dan los valores:
35 ;$ n5$ @5;
K se busca la probabilidad para cuando x5/7 entonces:
Un comité de 6 interantes se forma aleatoriamente seleccionando de entre 9 doctores y / enfermeras$ donde P representa el n-mero de doctores en el comité. Encuentre p(/ ≤ P ≤ 6).
Solución:
Con los datos del problema$ basta sacar las probabilidades para x5/ y x56 y sumar
