a r a p
k
| X |
e , d µ n o , d ) x ( 1 k f = ) x ( σ
−
f
∈
x
a d a c a r a p
. . . p − ) x , p ) 3 p , − − 2 − , 1 1 ( ( 1 1 p ( x . n p = p n = = x n x , . ) a . . r x a σ ( , 2 f p = , 1 p , n 1
2
) 0 x = (
f x
X E D N ´ O I C P I R C S E D
. r i r r u c o e d d a d i l i b a b o r p a m s i m a l e n e i t
X
e d r o l a v a d a c e d n o d
X
e l b a i r a v a l l e u q a s E
N ´ O I C U B I R T S I D
a t e r c s i D e m r o f i n U
p ·
. x . . ) , p 2
. . · .
−
n )
X
x k
k
x
= 2
k
- l e a d b o s r e p n o n i o c c i t O e p e T r I X e r ´ E t n : s e o a d i a c t l n u e s d e r n e s p o e d d n o i l ´ o y s a y H a . h p e u − q 1 n d e a l d i e l u i q b a A b : i o l r l p u n o o c n r O e S B A e C d A o R t F . n y o e , t n m i p e m r i e d a r p d i e p x l i x E b e
l a i m o n i B
p − p 1 2
− + 1 k = ( , k 1 p σ +
2
n
1
− −
p − p k x 1
=
1 1
k x k , k − −
1
p
2
σ
= = =
µ ) x a r x a ( f p
k p
=
− −
= ) x (
f
1
x 1
= )
1
=
2
µ σ
2
µ
X , s e c e v
n
i l l u o n r e B e d o t n e m i r e p x e n u e t i p e r e s i S
X
i , l l u o n r e B e d o t n e m i r e p x e . n ” o u t n i x E ´ e
a c i r t ´ e m o e G
2
1
1
µ
. ” s o t i x e ´ e d l a t o t # “ =
k
x
· x , . . . . . ! · . , n ! x x , · ! x ( x f
= r e m i r p l e r e n e t b o a t s a h s a i r a s e c e n s e n o i c i t e p e r e d # “ =
!
·
k
k N k n N n
=
. . . , 3 , 2 x ) , λ ! 1 ( x , λ 0 − e = = x ) a r x a ( p f
p
−
·
k N
N n N n k x
p
2
k
2
x 2
N N
a t c a x e r e n e t b o a t s a h s a i r a s e c e n s e n o i c i t e p e r e d . # o “ j fi = r o l X a i , v l l n u o u n r s e e B k e e d d n o o t d n , e ” m s i o r i t e x p ´ x e e k e n t u n n e E m
a v i t a g e N l a i m o n i B
- . n O o S c l A e C n A E R . F o a z c a i t l s p ´ ı r m t e e e c r a r n a i s c a y l n o o n c u k r o − p N o y n , u O , T n I n X E a ´ m a c o i t t s ı e ´ r s e s t c o t a r n a e c m a e l l e n o c N s o n t o n c e o m t e n l e u j n k o y c a n h o u t e n u D j
a c i r t ´ e m o e g r e p i H
, y
a p H 1
d . a 1 d i l i b = a k b o p r p + · n · · o c +
. ) s k e x c , e . v .
. k , x x , a 2
1
r r
x u ( c f o k l , r a i
, m . o . : n . i , s + t s o l e d u c a p e t m v l s . u ´ a o s ” t s r e m n x o e e a d s d a o A m r r i i r u m r . e c o a k t v p p o . x s y e r o o a d t t a n , h n s n d i e e e l u e m e c m u i i e e q b r d a l v e n b e p s o x e r e n l e n x s e p l o o u n e i a . l c r r n q c o d i e u t r A s e c t e : k n p o = n l k e e a r o r i r x s i , . c o m . i n e + t d · i o . e n u q · p , e n i n · e e e t p r i t + d s b l e r o u d t l d x a a a s m d n i o i d e l i + t m i a i o b l i o x t a i b n a x e n b c i ´ t b e e e o n e l u d m r u o d p r q i n m p e # r n e s “ e o p s l e e a t e = p c d o x n a ´ d N X E r i X
r p 1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
l a i m o n i t l u M
l e d s a i c n e r r u c . o ” I e l o d a v o r λ i e t = d n e i m l σ o r e p n “ e o λ s = e c = u µ λ s
2
, a o u l o a s n p b n o a m o l o r l e c a p a i v t n r o a l o e l e i a t d c e v n r r r i u o e e b q s p t u o n a e i s r r d b e p e u n n u s u s a e p a m o d n t e l e o a a o l d v c s a e s . r v e a c r o t r o u e ˜ n n r i a s t e e p l n u c b i . u e s q s s a l d ´ e e a E p m r s i . a m o i e i ” y n c e u I m n u u q d e s l o m a a l a r l o r l a : s d u v s u o a c r s e l c c e e t a o n e n t n v n o e n e e r s o a i i e o o e l s u t c : e n g s s c n e u a u u i e i c i s s c u s c n s b l u s u s e e s e n e l e l d l o n e d s o n e d a n e i e d a r e r c i c a i c p I i a i u d n e u s c c e o c n n d o l r n o a n e n r e r e u c v r u i u r r u c e q e s r e r a o n c r l t u e e n c o u n i e i t d c o l o e d o c e a d e d d s a e , r n a d . i u d u c i a y d q t d e d l i , l i i s e i i d b v d l e , i i b a s b c n d ´ u b a t a a e b i o v e s m r o m o e b r g e u o n p r . p d l m o a o e d p d a l l u # v d d a a t L t a “ , o a L i m c P d g ) = a i s ) i e l i f e n i i i r ) i b i l i m o ( ´ a ( ( a X
n o s s i o P
166
Capítulo 5 Algunas distribucion distribuciones es de probabilidad discreta
5.70 Una empresa compra lotes grandes de cierta clase de dispositivo electrónico. Utiliza un método que rechaza el lote completo si en una muestra aleatoria de 100 unidades se encuentran 2 o más unidades defectuosas. a) ¿Cuál es el número promedio promedio de unidades unidades defectuosas que se encuentran en una muestra de 100 unidades si el lote tiene 1% de unidades defectuosas? b) ¿Cuál es la varianza? 5.71 Se sabe que para cierto tipo de alambre de cobre ocurren, en promedio, 1.5 fallas por milímetro. Si se supone que el número de fallas es una variable aleatoria de Poisson, ¿cuál es la probabilidad de que no ocurran fallas en cierta parte de un alambre que tiene 5 milímetros de longitud? ¿Cuál es el número promedio de fallas en alguna parte de un alambre que tiene 5 milímetros de longitud? 5.72 Los baches en ciertas carreteras pueden ser un problema grave y requieren reparación constantemente. Con un tipo especí �co de terreno y mezcla de concreto la experiencia sugiere que hay, en promedio, 2 baches por milla después de cierta cantidad de uso. Se supone que el proceso de Poisson se aplica a la variable aleatoria “número de baches”. probabilidad de que no aparezca aparezca más de a) ¿Cuál es la probabilidad un bache en un tramo de una milla? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no aparezcan aparezcan más de 4 baches en un tramo determinado de 5 millas? 5.73 En ciudades grandes los administradores de los hospitales se preocupan por el �ujo de personas en las salas de urgencias. En un hospital especí �co de una
ciudad grande el personal disponible no puede alojar el �ujo de pacientes cuando hay más de 10 casos de emergencia emergenc ia en una hora determinada. Se supone que la llegada de los pacientes sigue un proceso de Poisson y los datos históricos sugieren que, en promedio, llegan 5 emergencias cada hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora hora determinada el personal no pueda alojar el �ujo de pacientes? b) ¿Cuál es la probabilidad de que, que, durante un turno de 3 horas, lleguen más de 20 emergenc emergencias? ias? 5.74 Se sabe que 3% de las personas a las que se les revisa el equipaje en un aeropuerto lleva objetos cuestionables. ¿Cuál es la probabilidad de que una serie de 15 personas cruce sin problemas antes de que se atrape a una con un objeto cuestionable? ¿Cuál es el número esperado de personas que pasarán antes de que se detenga a una? 5.75 La tecnología cibernética ha generado un ambiente donde los “robots” funcionan con el uso de microprocesadores. croprocesado res. La probabilidad de que un robot falle durante cualquier turno de 6 horas es de 0.10. ¿Cuál es la probabilidad de que un robot funcione a lo sumo 5 turnos antes de fallar? 5.76 Se sabe que la tasa de rechazo en las encuestas telefónicas es de aproximadamente 20%. Un reportaje del periódico indica que 50 personas respondieron a una encuesta antes de que una se rehusara a participar. a) Comente acerca de la validez del reportaje. Utilice una probabilidad en su argumento. b) ¿Cuál es el número esperado esperado de personas personas encuestadas antes de que una se rehúse a responder?
Ejercicios de repaso 5.77 Durante un proceso proceso de producción, cada día se seleccionan al azar 15 unidades de la línea de ensamble para veri�car el porcentaje de artículos defectuosos. A partir de información histórica se sabe que la probabilidad de tener una unidad defectuosa es de 0.05. Cada vez que se encuentran dos o más unidades defectuosas en la muestra de 15, el proceso se detiene. Este procedimiento se utiliza para pa ra proporcionar una señal en caso de que aumente la probabilidad de unidades defectuosas. probabilidad de que en un día detera) ¿Cuál es la probabilidad minado se detenga el proceso de producción? (Suponga 5% de unidades defectuosas). probabilidad de una unidad defecdefecb) Suponga que la probabilidad tuosa aumenta a 0.07. ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier día no se detenga el proceso de producción?
máquina automática 5.78 Se considera utilizar una máquina de soldadura para un proceso de producción. Antes de comprarla se probará para veri �car si tiene éxito en 99% de sus soldaduras. Si no es así, se considerará que no es e�ciente. La prueba se llevará a cabo con un prototipo que requiere hacer 100 soldaduras. La máquina se aceptará para la producción sólo si no falla en más de 3 soldaduras. probabilidad de que se rechace rechace una a) ¿Cuál es la probabilidad buena máquina? b) ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que se acepte una máquina ine�ciente que solde bien el 95% 9 5% de las veces? 5.79 Una agencia de renta de automóviles en un aeropuerto local tiene 5 Ford, 7 Chevrolet, 4 Dodge, 3 Honda y 4 Toyota disponibles. Si la agencia selecciona al azar 9 de estos automóviles para transportar delega-
Ejercicios de repaso
dos desde el aeropuerto hasta el centro de convenciones de la ciudad, calcule la probabilidad de que rente 2 Ford, 3 Chevrolet, 1 Dodge, 1 Honda y 2 Toyota. En un centro de mantenimiento que recibe llamadas de servicio de acuerdo con un proceso de Poisson entran, en promedio, 2.7 llamadas por minuto. Calcule la probabilidad de que a) no entren más de 4 llamadas en cualquier minuto; b) entren menos menos de 2 llamadas en en cualquier mi minuto; nuto; llamadas en un periodo periodo de 5 mimic) entren más de 10 llamadas nutos. 5.80
Una empresa de electrónica a �rma que la proporción de unidades defectuosas de cierto proceso es de 5%. Un comprador sigue el procedimiento estándar de inspeccionar 15 unidades elegidas al azar de un lote grande. En una ocasión especí �ca el comprador encuentra 5 unidades defectuosas. a) ¿Cuál es la la probabilidad de que esto esto ocurra, si es correcta la a �rmación de que el 5% de los productos son defectuosos? reaccionaría usted si fuera fuera el comprador? b) ¿Cómo reaccionaría 5.81
Un dispositivo electrónico de conmutación falla ocasionalmente, pero se considera que es satisfactorio si, en promedio, no comete más de 0.20 errores por hora. Se elige un periodo particular de 5 horas para probarlo. Si durante este periodo no ocurre más de un error, se considera que el funcionamiento del dispositivo es satisfactorio. a) ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que, con base base en la prueba, se considere que un dispositivo no funciona satisfactoriamente cuando en realidad sí lo hace? Suponga que se trata de un proceso de Poisson. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un dispositivo dispositivo se considere satisfactorio cuando, de hecho, el número medio de errores que comete es 0.25? De nuevo suponga que se trata de un proceso de Poisson. 5.82
Una empresa por lo general general compra lotes grandes de cierta clase de dispositivo electrónico. Utiliza un método que rechaza el lote completo si encuentra 2 o más unidades defectuosas en una muestra aleatoria de 100 unidades. rechace a) ¿Cuál es la probabilidad de que el método rechace un lote que tiene un 1% de unidades defectuosas? b) ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que acepte un lote que tiene 5% de unidades defectuosas? 5.83
El propietari propietario o de una farmacia local sabe que, en promedio, llegan a su farmacia 100 personas por hora. ho ra. probabilidad de que en un periodo dea) Calcule la probabilidad terminado de 3 minutos nadie entre a la farmacia farmacia.. b) Calcule la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos entren más de 5 personas perso nas a la farmacia. 5.84
167
a) Suponga que lanza 4 dados. Calcule la probabilidad de obtener al menos un 1. lanza 2 dados 24 veces. veces. Calcule Calcule la b) Suponga que lanza probabilidad de obtener al menos uno (1, 1), es decir, un “ojos de serpiente”. 5.85
Suponga que que de 500 billetes billetes de lotería que se venden, 200 le dan a ganar al comprador al menos el costo del billete. Ahora suponga que usted compra 5 billetes. Calcule la probabilidad de ganar al menos el costo de 3 billetes. 5.86
Las imperfeccio imperfecciones nes en en los tableros de circuitos y los microcircuitos de computadora se prestan para un análisis estadístico. Un tipo particular de tablero contiene 200 diodos y la probabilidad de que falle alguno es de 0.03. a) ¿Cuál es el número promedio promedio de fallas fallas en los diodos? b) ¿Cuál es la varianza? c) El tablero tablero funciona si no tiene diodos defectuosos. defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que un tablero funcione? 5.87
El comprador potencial de un motor particular requiere (entre otras cosas) que éste encienda 10 veces consecutivas. Suponga que la probabilidad de que encienda es de 0.990. Suponga que los resultados de intentos de encendido son independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que el posible comprador acepte el motor después de sólo 10 encendidos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se tenga que intentar encenderlo 12 veces durante el proceso de aceptación? 5.88
El esquema esquema de aceptación aceptación para comprar lotes que contienen un número grande de baterías consiste en probar no más de 75 baterías seleccionadas al azar y rechazar el lote completo si falla una sola batería. Suponga que la probabilidad de encontrar una que falle es de 0.001. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se acepte un lote? b) ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que se rechace rechace un lote en la vigésima prueba? c) ¿Cuál es es la probabilidad de que se rechace rechace en 10 o menos pruebas? 5.89
Una empresa que perfora pozos petroleros opera en varios sitios y su éxito o fracaso es independiente de un sitio a otro. Suponga que la probabilidad de éxito en cualquier sitio especí �co es de 0.25. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un perforador perforador barrene 10 sitios y tenga un éxito? se declarará en bancarrota bancarrota si tiene b) El perforador se que perforar 10 veces antes de que ocurra el primer éxito. ¿Cuáles son las perspectivas de bancarrota del perforador? 5.90
168
Capítulo 5 Algunas distribucion distribuciones es de probabilidad discreta
Considere la información del ejercicio de repaso 5.90. El perforador cree que “dará en el clavo” si logra el segundo éxito durante o antes del sexto intento. ¿Cuál es la probabilidad de que el perforador “dé en el clavo”? 5.91
Una pareja decide que continuará procreando hi jos hasta tener dos hombres. Suponiend Suponiendo o que P(hombre) 0.5, ¿cuál es la probabilidad de que su segundo niño sea su cuarto hijo? 5.92
=
Por los investigadores se sabe que una de cada 100 personas es portadora de un gen que lleva a la herencia de cierta enfermedad crónica. En una muestra aleatoria de 1000 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 7 individuos porten el gen? Utilice la aproximación de Poisson. Nuevamente con la aproximación de Poisson, determine cuál es el número promedio aproximado de personas, de cada 1000, que portan el gen. 5.93
Un proceso de fabricación produce piezas para componentes electrónicos. Se supone que la probabilidad de que una pieza salga defectuosa es de 0.01. Durante una prueba de esta suposición se obtiene una muestra al azar de 500 artículos y se encuentran 15 defectuosos. a) ¿Cuál es su respuesta respuesta ante la suposición de que que 1% de las piezas producidas salen defectuosas? Asegúrese de acompañar su comentario con un cálculo de probabilidad. piezas producidas producidas salen b) Suponiendo que 1% de las piezas con defecto, ¿cuál es la probabilidad de que sólo se encuentren 3 defectuosas? c) Resuelva de nueva cuenta los incisos a) y b) utilizando la aproximación de Poisson. 5.94
Un proceso de manufactura produce artículos en lotes de 50. Se dispone de planes de muestreo en los cuales los lotes se apartan periódicamente y se someten a cierto tipo de inspección. Por lo general se supone que la proporción de artículos defectuosos que resultan del proceso es muy pequeña. Para la empresa también es importante que los lotes que contengan artículos defectuosos sean un evento raro. El plan actual de inspección consiste en elegir lotes al azar, obtener muestras periódicas de 10 en 50 artículos de un lote y, si ninguno de los muestreados está defectuoso, no se realizan acciones. azar y 2 de cada 50 a) Suponga que se elige un lote al azar artículos tienen defecto. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno en la muestra de 10 del lote esté defectuoso? de su respuesta en el inciso a), comente b) A partir de sobre la calidad de este plan de muestreo. c) ¿Cuál es el el número promedio promedio de artículos artículos defectuosos encontrados por cada 10 artículos de la muestra? 5.95
Considere la situación del ejercicio de repaso 5.95. Se ha determinado que el plan de muestreo debería ser lo su �cientemente amplio como para que haya una probabilidad alta, digamos de 0.9, de que si hay tantos como 2 artículos defectuosos en el lote de 50 que se muestrea, al menos uno se encuentre en el muestreo. Con tales restricciones, ¿cuántos de los 50 artículos deberían muestrearse? 5.96
La seguridad nacional requiere que la tecnología de defensa sea capaz de detectar proyectiles o misiles ofensivos. Para que este sistema de defensa sea exitoso, se requieren múltiples múltipl es pantallas de radar. Suponga que se usarán tres pantallas independientes y que la probabilidad de que cualquiera detecte un misil ofensivo es de 0.8. Es evidente que si ninguna pantalla detecta un misil ofensivo, el sistema no funciona y requiere me jorarse. a) ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que ninguna de las pantallas detecte un misil ofensivo? probabilidad de que sólo una de las b) ¿Cuál es la probabilidad pantallas detecte el misil? c) ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que al menos 2 de las las 3 pantallas detecten el misil? 5.97
Suponga que es importante que el sistema general de defensa contra misiles sea lo más perfecto posible. a) Suponga que la calidad de las pantallas pantallas es la que se indica en el ejercicio de repaso 5.97. ¿Cuántas se requieren, entonces, para asegurar que la probabilidad de que el misil pase sin ser detectado sea de 0.0001? decide utilizar sólo 3 pantallas e b) Suponga que se decide intentar mejorar la capacidad de detección de las mismas. ¿Cuál debe ser la e �cacia individual de las pantallas (es decir, la probabilidad de detección), para alcanzar la e �cacia que se requiere en el inciso a? 5.98
Regrese al ejercicio de repaso 5.95 a. Vuelva a Regrese calcular la probabilidad usando la distribución binomial. Comente su respuesta. 5.99
En cierto departamento universitario de estadística hay dos vacantes. Cinco personas las solicitan; dos de ellas tienen experiencia con modelos lineales y una tiene experiencia con probabilidad aplicada. Al comité de selección se le indicó elegir a los 2 aspirantes aleatoriamente. a) ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que los 2 elegidos elegidos sean los que tienen experienc experiencia ia con modelos lineales? b) ¿Cuál es la probabilidad de que, de los 2 elegidos, uno tenga experiencia con modelos lineales y el otro con probabilidad aplicada? 5.100
67
Solutions for Exercises in Chapter 5
5.74 µ = 1 and
σ
2
= 0 .99.
5.75 µ = λt = (1.5)(5) = 7 .5 and P (X = 0|λt = 7.5) = e
−7.5
= 5.53 × 10 4 . −
5.76 5.76 (a) (a) P (X ≤ 1|λt = 2) = 0 .4060. (b) µ = λ t = (2)(5) = 10 and P (X ≤ 4|λt = 10) = 0 .0293. 5.77 5.77 (a) (a) P (X > 10| 10 |λt = 5) = 1 − P (X ≤ 10| 10|λt = 5) = 1 − 0.9863 = 0.0137. (b) µ = λt = (5)(3) = 15, so P (X > 20| 20|λt = 15) = 1 1 − 0.9170 = 0.0830.
− P (X ≤
20| 20|λ = 15) =
5.78 p = 0.03 with a g (x; 0.03). So, P (X = = 16) = (0.03)(1 − 0.03)15 = 0 .0190 and µ = 0 103 − 1 = 32.33. .
5.79 So, Let Y = number number of shifts shifts unti untill it fails. fails. Then Y follows a geometric distribution with p = 0.10. So, + · · · + P (Y ≤ 6) = g (1;0.1) + g (2;0.1) + · · + g (6;0.1) = (0.1)[1 + (0.9) + (0.9)2 + · · · + (0.9)5 ] = 0.4686. 5.80 5.80 (a) The numbe numberr of people interv interview iewed ed before before the first first refus refusal al follo follows ws a geomet geometric ric distribution with p = 0.2. So. ∞
(1 − 0.2)50 P (X ≥ 51) = (0.2)(1 − 0.2) = (0 .2) = 0.00001, 1 − (1 − 0.2) =51
x
x
which is a very rare event. (b) µ =
1 0.2
−1
= 4.
5.81 n = 15 and p = 0.05. 1
(a) P (X ≥ 2) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 −
15
x
(0.05) (1 − 0.05)15
−x
x
= 1 − 0.8290 =
x=0
0.1710. 1
(b) p = 0.07. So, P (X ≤ 1) =
15
x
(0.07) (1 − 0.07)15 x
−x
= 1 − 0.7168 = 0.2832.
x=0
5.82 n = 100 and p = 0.01. 3 100
(a) P (X > 3) = 1 − P (X ≤ 3) = 1 −
x
(0.01) (1 − 0.01)100
−x
x
= 1 − 0.9816 =
x=0
0.0184. 3
(b) For p = 0.05, P (X ≤ 3) =
100
x
x=0
(0.05) (1 − 0.05)100 x
−x
= 0.2578.
68
Chapter Chapter 5 Some Discrete Probability Distributions
5.83 Using the extension extension of the hypergeometr hypergeometric ic distribution, distribution, the probabilit probability y is
57434 2 3 1 1 2 5 = 0.0308. 2
5.84
λ =
2.7 call/min. call/min.
(a) P (X ≤ 4) =
4
−2.7 (2.7)x
e
= 0.8629.
!
x
=0
x
(b) P (X ≤ 1) =
1
−2.7 (2.7)x
e
= 0.2487.
!
x
=0
x
(c)
λt =
13.5. So, 10
P (X > 10) = 1 − P (X ≤ 10) = 1 −
−13.5 (13.5)x
e
!
x
=0
= 1 − 0.2971 = 0.7129.
x
5.85 n = 15 and p = 0.05. (a) P (X = = 5) =
15 5
(0.05)5(1 − 0.05)10 = 0 .000562.
(b) I would not b elieve elieve the claim of 5% defectiv defective. e. 5.86
λ =
0.2, so λt = (0.2)(5) = 1.
(a) P (X ≤ 1) =
1
−1 (1)x
= 2 e−1 = 0.7358. Hence, P (X > 1) = 1−0.7358 = 0.2642.
e
!
x
=0
x
(b)
λ =
1
0.25, so λt = 1.25. P (X |le1) =
−1.25 (1.25)x
e
!
x
=0
= 0.6446.
x
1 100
5.87 (a) 1 − P (X ≤ 1) = 1 −
x
=0
100− (0.01) (0.99)100− = 1 − 0.7358 = 0.2642. x
x
x
(b) P (X ≤ 1) =
1 100 x
=0
100− (0.05) (0.95)100− = 0 .0371. x
x
x
5.88 5.88 (a) 100 visi visits/ ts/60 60 minu minutes tes with with λt = 5 visits/3 minutes. P (X = = 0) = (b) P (X > 5) = 1 −
5
=0
5
e
5 !
x
x
e
−5 50
0!
= 0 .0067.
= 1 − 0.6160 = 0.3840.
x
5.89 5.89 (a) (a) P (X ≥ 1) = 1 − P (X = = 0) = 1 − (b) P (X ≥ 1) = 1 − P (X = = 0) = 1 −
4 1 0 5 4 0
6
6
= 1 − 0.4822 = 0.5177.
24 1 0 35 24 0
36
36
= 1 − 0.5086 = 0.4914.
5.90 n = 5 and p = 0.4; P (X ≥ 3) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − 0.6826 = 0.3174. 5.91 5.91 (a) (a) µ = bp = (200)(0.03) = 6. (b)
σ
2
= npq = 5.82.
69
Solutions for Exercises in Chapter 5 6
0
(c) P (X = = 0) = e (6) = 0.0025 (using the Poisson approximation). 0! = 0) = (0 .97)200 = 0 .0023 (using (using the binomial distributi distribution). on). P (X = 5.92 5.92 (a) (a) p10 q 0 = (0.99)10 = 0.9044. 12−10 (b) p10 q 12− = (0 .99)10 (0.01)2 = (0 .9044)(0.0001) = 0.00009.
5.93 n = 75 with p = 0.999. (a) X = = the number of trials, and P (X = = 75) = (0 .999)75 (0.001)0 = 0.9277. (b) Y = the number of trials trials before the first failure failure (geometri (geometricc distribut distribution), ion), and 19 P (Y = 20) = (0 .001)(0.999) = 0 .000981. (c) 1 − P (no failures) = 1 − (0.001)0 (0.999)10 = 0.01. 5.94 5.94 (a) (a)
10 1
pq 9 = (10)(0.25)(0.75)9 = 0 .1877.
(b) Let X be the number of drills until the first success. X follows a geometric distribution with p = 0.25. So, the probability of having the first 10 drills being failure is q 10 = (0.75)10 = 0.056. So, there is a small prospects prospects for bankruptcy bankruptcy.. Also, the probability that the first success appears in the 11th drill is pq 10 = 0.014 which is even smaller. x−1
pk q x−k = k −1
6−1 2−1
.
x−1
4−1 2−1
.
5.96 It is a negative negative binomial distribution distribution.. 5.95 It is a negative negative binomial distribution distribution..
k −1
pk q x−k
2
4
(0 25) (0 75) = 0 0989. (0 5) (0 5) = 0 1875. = 2
.
2
.
.
.
5.97 n = 1000 and p = 0.01, with µ = (1000)(0.01) = 10. P (X < 7) = P (X ≤ 6) = 0 .1301. 5.98 n = 500; (a) If p = 0.01, 14
P (X ≥ 15) = 1 − P (X ≤ 14) = 1 −
500(0 01) (0 99) x=0
x
.
x
.
500− 500−x
= 0.00021.
This is a very rare probability and thus the original claim that p = 0.01 is questionable. (b) P (X = = 3) =
500 3
3
497
(0 01) (0 99) .
.
= 0 .1402.
(c) For (a), if p = 0.01, µ = (500)(0.01) = 5. So P (X ≥ 15) = 1 − P (X ≤ 14) = 1 − 0.9998 = 0.0002.
For (b), = 3) = 0 .2650 − 0.1247 = 0.1403. P (X = 5.99 N = = 50 and n = 10.
70
Chapter Chapter 5 Some Discrete Probability Distributions
( )( ) = 1 − 0.6367 = 0. 0.3633. ( ) (b) Even Even though the lot contains contains 2 defectiv defectives, es, the probabilit probability y of reject reject the lot is not very high. Perhaps more items should be sampled. 2
(a) k = 2; P 2; P ((X ≥ 1) = 1 − P ( = 0) = 1 − P (X =
0
48 10
50 10
(c) µ = (10)(2/ (10)(2/50) = 0. 0.4. ( )( ) (50−n)(49− )(49−n) = 1 − (50− (50)(49) ( ) 2
5.100 Suppose n Suppose n items need to be sampled. P ( P (X ≥ 1) = 1 −
48
0
n
50
≥
0.9.
n
The solution is n = 34.
5.101 Define X Define X = = number of screens will detect. Then X ∼ b(x; 3, 0.8). (a) P ( = 0) = (1 − 0.8)3 = 0.008. P (X = (b) P ( = 1) = (3)(0. (3)(0 .2)2(0. (0.8) = 0. 0.096. P (X = (c) P ( = 2) + P + P ((X = = 3) = (3)(0. (3)(0 .8)2(0. (0.2) + (0. (0.8)3 = 0. 0 .896. P (X ≥ 2) = P ( P (X = 5.10 5.1022 (a) (a) P ( = 0) = (1 − 0.8)n P (X = (b) (1 − p) p)3
≤
5.103 n = 10 and p and p = =
≤
0.0001 implies that n that n
0.0001 implies implies p p 2 50
≥
≥
6.
0.9536.
= 0.04.
P ( P (X ≥ 1) = 1 − P ( P (X = 0) ≈ 1 −
10
(0. (0.04)0(1 − 0.04)10 = 1 − 0.6648 = 0. 0.3351. 3351.
0
The approximation is not that good due to
n N
= 0.2 is too large.
( )( ) 5.10 5.1044 (a) (a) P = = 0.1. () ( )( ) (b) P = = 0.2. () 2
3
2
0
5 2
2
1
1
1
5 2
5.105 n = 200 with p = 0.00001. 4
(a) P ( P (X ≥ 5) = 1 − P ( P (X ≤ 4) = 1 −
200
(0.(0.00001) (1
x=0
x
x
200−x − 0.00001)200− ≈
is a rare event. Therefore, the claim does not seem right. (b) µ = np = np = = (200)(0. (200)(0.00001) = 0. 0.02. Using Using Poisson Poisson approximation, approximation, 4
P ( P (X ≥ 5) = 1 − P ( P (X ≤ 4) ≈ 1 −
(0.02) −0.02 (0.
e x=0
x!
x
= 0.
0. This
